Page 1
บทที่ 6 งานและพลังงาน งานในความหมายทางฟสิกส เกี่ยวของกับงานเชิงกล เชนออกแรงกระทํา
ตอวัตถุ สงผลใหวัตถุยายตําแหนง เรียกวา ทํางาน พลังงานเปนความสามารถที่จะทํางาน วัตถุที่มีพลังงานสามารถทํางานได
พลังงานเปนปริมาณอนุรักษ พลังงานอยูไดหลายรูป เชน พลังงานกล พลังงานไฟฟา พลังงานความรอน พลังงานเคมี พลังงานนิวเคลียร อ่ืน ๆ พลังงานสามารถเปลี่ยนรูปได ไมสามารถสรางใหมหรือทําลายใหหายไปได
1. งานเนื่องจากแรงคาคงตัว งานหมายถึงผลของการออกแรงกระทํา กําหนดใหมีคาเทากับ แรง คูณ
กับการกระจัด ตามแนวแรง เชน มีแรง F กระทําตอวัตถุโดยทํามุม θ กับแนวระดับ แลววัตถุมีการเคลื่อนที่ตามแนวระดับ ไดระยะทาง S ดังรูป
งานจะมีคาเทากับ
θ
F
θcosF
S
SF )cos(W θ= θcosW FS=
งานเปนปริมาณสเกลาร เขียนเปนแบบเวกเตอรได เปนผลคูณสเกลาร
SFrr⋅=W
มีหนวยเปน จูล (Joule) Physics 825113
1
Page 2
จาก θcosW FS= พิจารณา มุมระหวางแรงกับระยะกระจัด จะไดงานดังนี้
ถามุม FSFS
FSFSFS
−=°=°==°=°==°=°=
180cosW;180090cosW;90
0cosW;0
θθθ
S
F
S
F
θ
S
F
θ
N
f
W
y∆
x∆
1y
2y
2x
1x
θ mg
N
ผลของงานที่มีคาติดลบนี้ เปนเพราะแรงกับการเคลื่อนที่ไปคนละทางหรือเปนงานจากแรงตานนั่นเอง
FS=W
θcosW FS=
SfNgmFrrrrr⋅+++= )(W
SfF )cos(W −= θ
mgNF += jmggm ˆ−=
r
r
jyyixxS ˆ)(ˆ)(2112
−+−= jyixS ˆˆ ∆+∆=
r ymgSF ∆−=⋅=
rrg
W
Physics 825113
2
Page 3
2. งานเนื่องจากแรงแปรคาได พิจารณาวัตถุมวล ที่ติดอยูกับปลายสปริงซึ่งมีคาคงตัว m k สปริงวาง
อยูบนพื้นลื่น มีปลายหนึ่งตรึงอยูกับผนัง ถาใชแรง aFr ดึงวัตถุทําใหสปริงยืด
อกไดการกระจัด จะเกิดแรงคืนตัวของสปริง(restoring force)เทากับ x aFr
− 0=x
1x
1kx− aFr
ความสัมพันธ ระหวางแรงจากสปริงและระยะยืดหรือระยะหดของสปริงเปนไปตามกฎของฮุก (Hooke’s law) ซ่ึงกลาววาแรงคืนตัวของสปริงเปนสัดสวนโดยตรงกับการกระจัด หรือเขียนในรูปสัญลักษณเปน
kxF −= โดยที่คา k เรียกวาคาคงตัวของสปริง มีหนวยเปนนิวตันตอเมตร ถาแรงจากสปริงทําใหเกิดการกระจัดเปนระยะนอย ๆ x∆ งานซึ่งเกิดจากสปริงมีคา
xkxxF ∆−=∆=∆W พิจารณาเมื่อการกระจัดคานอย ทําใหเกิดงานคา d จะเขียนสมการได dx W
dxkxFdxd −==W
Physics 825113
3
Page 4
อินทริเกรตสมการไดวา ∫−=∫=∫ 2
1
2
1
2
1
WWW x
xxx
xdxkFdxd )(WWW 2
1212
221
12 kxkx −−=−= คางานเนื่องจากสปริงตามสมการ สามารถพิจารณาโดยใชกราฟความ
สัมพันธระหวางและการกระจัด
x∆ 1x 2x 1x 2x
kxF −=
F F F จะไดคาของงาน
)(W 212
1222
1 kxkx −−= สําหรับแรงแปรคาได ในหนึ่งมิติในกรณีทั่วไป จะไดงานนอยยิ่ง
Fdxd =W ∫=− 2
112 WW x
xFdx
งานเทากับพื้นที่กราฟความสัมพันธ ระหวางแรงและการกระจัด
W
F
1x 2xx
Physics 825113
4
Page 5
3. งานเนื่องจากแรงสามมิติ
1P2P
s∆r∆
rrr ∆+
s∆θ
F
P
x
y
z
การเคลื่อนที่ของอนุภาคในสามมิติ งานเนื่องจากแรง Fr กระทําให
อนุภาคมีการกระจัด นิยามโดย rr∆
rF rr∆⋅=∆W
ถาแรง Fr ทํามุม θ กับการกระจัด rdr ในขณะที่ลิมิตของเวลาเขาใกลศูนย
จะทําให ds~dr dsFd θcosW=
งานทั้งหมดเกิดจากแรงกระทํา คือ r
∫=∫ ⋅= 2
1
2
1
W s s
r r
dsFcosrdF θr rr
∫ ⋅=∫ ⋅= rddtrdmrdF rr )(W 2
2
Physics 825113
5
Page 6
4. งานและพลังงานจลน ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันขอที่ 2
dtvdmamFrrr
==Σ rถา
TF เปนสวนประกอบของแรง F ในทิศเดียวกับความเร็ว จะได vr
dtdvmF
T=
งานในชวงเวลาคานอยยิ่งสั้น ๆ dvmvdrdt
dvmdrFdT
===W งานทั้งหมดเมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากจุด A ไปสูจุด B คือ
∫∫ == B
A
v v
s s T dvmvdsFd (B)(A)
W 2
212
21W
ABmvmv −=
ผลคูณระหวาง 21 ของมวลของวัตถุกับความเร็วกําลังสองนี้เรียกวา พลังงาน
จลน ( kinetic energy , K ) ของวัตถุ 2
21W mv=
งานสุทธิ เทากับ การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน KKK
AB∆=−=ΣW
เรียกขอนี้วา ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน ( Work-energy theorem ) ถางานสุทธิเปนศูนย แสดงวา เคลื่อนที่ดวยขนาดความเร็วคงที่
Physics 825113
6
Page 7
5. พลังงานศักยโนมถวง พิจารณาวัตถุมวล เคลื่อนที่จากจุด m ),(
111yxP ไปยังจุด ),(
222yxP
เวกเตอรตําแหนงของจุดทั้งสองและพิกัดสัมพัทธคือ
1P
2P
rr∆
1rr
2rr
x
y
z
jmg ˆ−
kzjyixr ˆˆˆ1111
++=r
kzjyixr ˆˆˆ2222
++=r
kzzjyyixxrrr ˆ)(ˆ)(ˆ)(12121212
−+−+−=−=∆rrr
แรงโนมถวงที่กระทําตอมวล คือ มีคาคงตัว จะไดงานของแรงโนมถวงเปน
m jmg ˆ−
rF rr∆⋅=W
g
)(W12g
yymg −−= ความสูงเพิ่มขึ้น งานที่ทําโดยแรงโนมถวงจะเปนลบ
แรงโนมถวงจะทําใหวัตถุเคลื่อนที่ลง ถามีแรงภายนอกกระทําใหวัตถุเคลื่อนที่ขึ้น แรงนี้จะมีทิศสวนกับทิศของแรงโนมถวง
Physics 825113
7
Page 8
งานที่เกิดจากแรงภายนอกกระทําตอวัตถุภายใตแรงโนมถวง เรียกวา พลังงานศักยโนมถวง (gravitational potential energy) เทียบกับตําแหนง พลังงานศักยโนมถวงมีคา
)(U0
yymg −= เนื่องจาก rF rr
∆⋅=g
W )(W12g
yymg −−= ดังนั้นจะไดวา UUU ∆−=−−= )(W
12g
ถาให แทนงานที่ทําโดยแรงอื่น ๆนอกเหนือไปจากแรงโนมถวงตาม ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน
W′
KKKAB
∆=−=ΣW จะไดวา
12gWW KK −=+′
212
1222
112)(W mvmvmgymgy −=−−′
)()(W
)()(W
1212
12
222
112
212
1222
1
mgymvmgymv
mgymgymvmv
+−+=′
−+−=′
ผลบวกของพลังงานจลนกับพลังงานศักยเรียกวา พลังงานกลรวม (total mechanical energy) , E
12W EE −=′
งานของแรงทั้งหมดนอกเหนือไปจากแรงโนมถวงเทากับการเปลี่ยนพลังงานกลรวมของวัตถุ ถา จะไดวา 0W =′
)()(1
212
12
222
1 mgymvmgymv +=+ พลังงานกลของวัตถุจะคงตัว คือหลักการอนุรักษพลังงานกล (principle of conservation of energy)
Physics 825113
8
Page 9
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในสนามโนมถวงไมคงตัว เชนจรวดเคลื่อนที่สูงขึ้นไปจากผิวโลกมาก ๆ กรณีนี้ gr มีคาไมคงตัว ทําใหแรงโนมถวงและพลังงานศักยโนมถวงไมคงตัวไปดวย
r แรงโนมถวง g
F ที่โลกซึ่งมีมวล M กระทําตอวัตถุมวล อยูหางจากจุดศูนยกลางโลก
m
r
2rmMGF
g=
งานเนื่องจากแรงโนมถวงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้นจาก ไป คือ 1
r2
r
∫−= 2
12g
W rr r
drGmM
12g
W rGmM
rGmM −=
ถาแรงที่กระทําตอวัตถุใหเคลื่อนที่เปนแรงโนมถวงเทานั้น จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน งานเทากับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน จะไดวา
212
1222
1
12mvmvr
GmMr
GmM −=− เมื่อ และ เปนความเร็วของวัตถุที่ตําแหนง และ ตามลําดับ
1v
2v
1r
2r
2
222
1
1
212
1r
GmMmvrGmMmv −=−
ปริมาณ rGmM− คือ พลังงานศักยของวัตถุเนื่องจากแรงโนมถวงที่โลก
กระทําตอวัตถุ เรียกวาพลังงานศักยโนมถวง rGmMU
g−=
ถาให E แทนพลังงานกลรวมของวัตถุ จะได
rGmMmvUKE
g−=+= 2
21
จะเห็นไดวา พลังงานศักยขึ้นกับตําแหนง เปนพลังงานสัมพัทธกับตําแหนง
Physics 825113
9
Page 10
6. พลังงานศักยยืดหยุน เมื่อสปริงยืดจากจุดสมดุลเปนระยะ งานเนื่องจากแรงคืนตัวของสปริง
กระทําคือ x
2W21kx−=
งานเนื่องจากแรงภายนอกกระทําตอสปริงเรียกวา พลังงานศักยยืดหยุนของสปริง เทากับ 2
21
0kxdxFU x
a =∫= ถาสปริงยืดออกจากระยะ ถึง งานของแรงคืนตัวของสปริงคือ 1 2x x
)()(W 212
1222
1el kxkx −−−=
UUU ∆=−−−= )()(W 12el ให เปนงานของแรง W′
aF ที่กระทําตอสปริง จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน งานเทากับการเปลี่ยนพลังงานจลน
)()(WWW
WW
212
1212
1222
1222
1el
el
kxmvkxmvUKK
K
+++=′∆+∆=−∆=′
∆=+′
ถา เปนศูนย พลังงานกลจะคงตัว นั่นคือ W′
)()( 222
1222
1212
1212
1 kxmvkxmv +=+
Physics 825113
10
Page 11
7. แรงอนุรักษ แรงอนุรักษ (conservative force) คือ แรงที่มีสมบัติดังนี้ 1. ทําใหเกิดงานไมขึ้นกับวิถีทาง แตขึ้นกับตําแหนงเริ่มตนกับตําแหนง
สุดทายเทานั้น งานของแรงอนุรักษเมื่อกระทําตอวัตถุจนเคลื่อนที่ครบรอบจึงเปนศูนย 0=∫ ⋅ rdF rr
2. งานเทากับผลตางของพลังงานศักย ที่ตําแหนงเริ่มตนกับตําแหนงสุดทาย
3. พลังงานกลที่ตําแหนงตาง ๆ คงตัว แรงที่ไมมีสมบัติดังที่กลาวมา เรียกวา แรงไมอนุรักษ
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปสูจุดหนึ่ง ภายใตสนามโนมถวงโดยไดรับแรงกระทําเปนแรงโนมถวงเพียงแรงเดียว งานที่วัตถุทําขึ้นกับพลังงานศักยที่ตําแหนงเริ่มตนและตําแหนงสุดทาย ของการเคลื่อนที่ ไมขึ้นกับวิถีทางเคลื่อนที่ของวัตถุ ถาวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้น พลังงานจลนลดลงแตพลังงานศักยเพิ่มขึ้น ถาวัตถุเคลื่อนที่ต่ําลงมา พลังงานจลนเพิ่มขึ้น แตพลังงานศักยลดลง ดังนั้นเปนการ เปลี่ยนกลับไปกลับมาระหวางพลังงานจลนและพลังงานศักย แรงโนมถวงทําใหพลังงานกลของวัตถุคงที่ จึงเรียกแรงโนมถวงวา แรงอนุรักษ แรงสปริงพิจารณาเฉพาะจุดเริ่มตนและจุดสุดทายดังนั้นเปนแรงอนุรักษ
แรงเสียดทาน กอเกิดงานที่เปนลบ สวนทางกับการเคลื่อนที่ เมื่อเกิดการเคลื่อนที่ครบรอบ งานของแรงเสียดทานไมเปนศูนย ดังนั้น แรงเสียดทานเปนแรงไมอนุรักษ
Physics 825113
11
Page 12
8. ความสัมพันธระหวางแรงอนุรักษกับพลังงานศักย rถา F เปนแรงอนุรักษทําใหวัตถุเคลื่อนที่จากจุด ไปยัง B ไดงาน A
r)(W ABAB UUrdFB
A
rr
−−=∫ ⋅=r
ตามรูป ทิศของ จะอยูในแนวสัมผัสกับวิถีการเคลื่อนที่ ขนาดของ เทากับ
rdr
rdr sdr ถา sF เปนสวนประกอบของ Fr ในทิศเดียวกับการกระจัด
จะได rdr dUdsFrdF s −==⋅rr
A s∆
rr∆
Arr
s∆θ
Fr
x
y
z
Brr
B
ABsF
dsdUFs −=
แสดงวาสวนประกอบของแรงอนุรักษในทิศใด ๆ หาไดจากคาลบของอนุพันธของพลังงานศักยเทียบกับตําแหนงในทิศนั้น และสามารถเขียนสม
การในรูปของพิกัดฉากสามมิติเปน
∂∂+
∂∂+
∂∂−= k
zUj
yUi
xUF ˆˆˆr
rrสามารถเขียนในรูปตัวดําเนินการเดล UF ∇−= ถา พลังงานศักย )(rU เปนฟงกชันของรัศมี แรงจะอยูในทิศของรัศมี ดังสมการ dr
dUF −=
Physics 825113
12
Page 13
9. กําลัง (Power) กําลัง คือ อัตราการทํางาน หรืองานที่ทําไดในหนึ่งหนวยเวลา
ไดกําลังเฉลี่ย tP ∆∆= W
กําลังขณะใดขณะหนึ่ง dtd
tPt
WWlim0
=∆∆=
→∆
หนวยของกําลัง คือ จูลตอวินาที (J/s) เรียกเปนหนวยใหมวา วัตต (W) ในการบอกหนวยของกําลังที่มาก มักนิยมใชหนวยกิโลวัตต (kW) หนวยของงาน อาจบอกเปน กิโลวัตต-ช่ัวโมง งาน 1 กิโลวัตต-ช่ัวโมง เทากับงาน Joule6106.3 × หนวยของกําลัง ที่ไมใชหนวยเอสไอหนวยหนึ่ง คือ กําลังมา คาของหนึ่งกําลังมาเทากับ 764 วัตต ตามสมการ คาของงาน rF rr
∆⋅=∆W สามารถเขียนคาของกําลังตาม สมการไดในรูป
vFtrFt
rFPtt
rrrrrr⋅=∆
∆=∆∆⋅=
→∆→∆limlim
00
Physics 825113
13
Page 14
หนังสืออิเล็กทรอนิกส
ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)
ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร
โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต
ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน
เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร
แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ
การทดลองเสมือน
บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)
พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส
ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส
การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล
แบบฝกหัดกลาง
แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ
ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?
ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา
ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร
คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว
การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส
นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย
ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส
การทํางานของอุปกรณตางๆ
Page 15
การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต
1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร
17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต
1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร
การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต
1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง
5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร
ฟสิกสราชมงคล