Page 1
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 1
การแกว่ง (Oscillation) • การแกว่งเป็นการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาบนเส้นทางเดิม เรียกว่าการเคลื่อนที่ ที่มีคาบ(Period)
• การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก (Simple Harmonic Motion , SHM) เป็นการแกว่งอย่างง่ายที่ไม่คิดแรงเสียดทานใด ๆ
รูปท่ี 1 สาธิตการทดลองซิมเปิลฮาร์โมนิก
รูปที่ 1 เป็นการสาธิตการทดลองซิมเปิลฮาร์โมนิก เมื่อปล่อยให้ลูกตุ้มมวล m ห้อยติดอยู่กับสปริงสั่นขึ้น-ลง เส้นทางของปากกาซ่ึงติดอยู่กับลูกตุ้มเขียนไว้บนกระดาษที่เคลื่อนที่ (ดู Motion of paper ในรูปที่ 1) จะมีลักษณะแบบไซน์ (sinusoidal) หรือกล่าวได้ว่า การขจัดจะเปลี่ยนแปลงขึ้นกับเวลา มีลักษณะแบบไซน์
รูปท่ี 2 การขจัดที่เปลี่ยนแปลงตามเวลามีลักษณะแบบไซน์ รูปที่ 2 แสดงการขจัดที่เปลี่ยนแปลงตามเวลามีลักษณะแบบไซน์ของสปริงเคลื่อนที่สั่นขึ้น-ลง การขจัดอยู่ระหว่าง –A กับ +A นั่นคือขนาดของแอมปลิจูดเท่ากับ A และจุดสมดุล คือ เมื่อ x = 0
+A
+A
-A
x
-A
t
Page 2
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 2
เราจะพิจารณาการแกว่งใน 1 มิติของซิมเปิลฮาร์โมนิก ให้อยู่ในรูปของสมการของการขจัด (x) ที่ข้ึนกับเวลา (t) เรียกว่าสมการการเคลื่อนที่ (Equation of motion) เขียนได้เป็น (1)
เมื่อ x ระยะขจัด (Displacement) ของวัตถุจากจุดสมดุล (มีหน่วยเป็น m) A แอมปลิจูด (Amplitude) หรือระยะขจัดสูงสุด (มีหน่วยเป็น m) ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) (มีหน่วยเป็น radian/s) ค่าคงที่เฟส (Phase constant) (มีหน่วยเป็น radian) ความเร็วของวัตถุหรือตัวแกว่ง สามารถหาได้จากอนุพันธ์ของ x เทียบกับเวลา t
(2)
ความเร่งของวัตถุหรือตัวแกว่ง สามารถหาได้จากอนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t
(3)
หรือเขียนอีกแบบหนึ่ง
(4)
เรียกสมการนี้ว่า สมการความเร่งของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค เราจะเห็นรูปแบบของสมการนี้ในเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิคในทุกกรณี จะต่างกันตรงที่ค่า ที่ข้ึนกับตัวแปรที่ต่างกันไปในแต่ละกรณี เราจะเห็นการพิสูจน์หา ในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิค 4 กรณีต่อไปนี้
2( ) sin( )a t A t
2( ) ( )a t x t
( 1)sin( )( )dv
a A tdt
( ) cos( )v t A t
cos( ) ( )dx d
v A t tdt dt
( ) sin( )x t A t
Page 3
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 3
1.การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริง 2. ลูกตุ้มอย่างง่าย (Simple Pendulum) 3. ลูกตุ้มชนิดบิด (Torsion Pendulum) 4. ลูกตุ้มฟิสิกัล (Physical Pendulum)
1. การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริง
รูปท่ี 3 การเคลื่อนที่ของมวลที่ติดกับสปริงบนพ้ืนที่ไม่มีแรงเสียดทาน
แรงเนื่องจากสปริงเป็นไปตามกฎของฮุค (Hooke’s Law)
(5)
โดยที่ k เป็นค่าคงที่ของสปริง F เป็นแรงดึงกลับของสปริง x เป็นระยะยืดหรือหดจากต าแหน่งสมดุล (x = 0)
จากกฎของนิวตัน ส าหรับการเคลื่อนท่ีแนวเส้นตรง
(6)
โดยที่ m เป็นมวลที่ติดอยู่กับสปริง a เป็นความเร่ง หรือ เขียนในรูปอนุพันธ์ก าลังสองของ x
F kx
F ma
Page 4
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 4
(7)
จากสมการ (5) และ (6) เขียนได้เป็น
2
2
d xm kx
dt เมื่อหารด้วย m ทั้งสองข้างของสมการจะได้
(8)
สังเกตว่ารูปแบบของสมการ เป็นไปตามสมการความเร่งของซิมเปิลฮาร์โมนิค (ดูสมการที่ 4) โดยที่
(9)
หรือเขียนสมการ ใหม่ได้ดังนี้
(10)
ส าหรับคาบ หาได้จาก
(11)
เมื่อแทนค่า จากสมการที่ (9) ลงไปในสมการที่ (11) จะได้
2T
22
2
d xx
dt
2 k
m
2
2
d x kx
dt m
2
2
dv d xa
dt dt
k
m
Page 5
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 5
(12)
ความถี่ หาได้จากส่วนกลับของคาบ
(13)
เมื่อแทนค่า จากสมการที่ (9) ลงไปในสมการที่ (13) จะได้
(14)
ถ้าย้อนกลับไปสมการที ่(8) ซ่ึงเป็นสมการแสดงการเคลื่อนที่ส าหรับวัตถุติดกับสปริง
เราจะหาค าตอบของสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบของอนุพันธ์ก าลังสองของการขจัด เมื่อสมการอยู่ในรูปของอนุพันธ์ก าลังสองของตัวมันเอง แล้วได้ตัวมันเองคูณกับค่าคงที่พร้อมกับเครื่องหมายลบ (-) นักฟิสิกส์มักจะสมมติค าตอบอยู่ในรูปของ sin หรือ cosine โดยที่มีค่าคงที่ 2 ตัว ในที่นี้ คือ แอมปลิจูด A และ ค่าคงที่
เฟส (ปกติค่าคงท่ีทั้งสองจะทราบจากเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งจะได้เห็นในตัวอย่าง) เพราะฉะนั้น เราจะสมมติให้สมการข้างล่างเป็นค าตอบของสมการที่ (8)
(15)
อนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t
(16)
อนุพันธ์ของ v เทียบกับเวลา t
cos( )dx
A tdt
( ) sin( )x t A t
1
2
kf
m
1
2f
T
2m
Tk
2
2
d x kx
dt m
Page 6
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 6
(17)
หรือ
(18)
จะเป็นจริงได้ ก็ต่อเมื่อ 2 k
m เพราะฉะนั้นค าตอบของสมการคือ
( ) sin( )
kx t A t
m
(19)
กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ t เมื่อ x (0)= A ที่ t = 0 แสดงดังรูป (A)
(A) x vs. t
(B) v vs. t
(C) a vs. t
เงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลาเริ่มต้น t = 0 การขจัดที่เวลาเริ่มต้น เท่ากับแอมปลิจูด x (0)= A
)2
sin()(
tAtx หรือ )cos()( tAtx
หาความเร็วได้จากอนุพันธ์ของการขจัดเทยีบกับเวลา
22
2
d xx
dt
22
2sin( )
d xA t
dt
Page 7
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 7
)sin()( tAtv ดังนั้นความเร็วที่เวลาเริ่มต้น v (0) = 0
แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด Av max กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t เมื่อ x (0)= A ที ่t = 0 แสดงดังรูป (B) หาความเร่งได้จากอนุพนัธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา
)cos()( 2 tAta ดังนั้นความเร่งที่เวลาเริ่มต้น a (0) = 2Aw
แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด 2
max Aa กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง a กับ t เมื่อ x (0)= A ที ่t = 0 แสดงดังรูป (C) ถ้าเปลี่ยนเงื่อนไขที่เวลาเริ่มต้น จะได้กราฟที่ไม่เหมือนกัน ดังนี้ กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที่ t = 0 แสดงดังรูป (D)
(D) x vs. t
(E) v vs. t
(A) x vs. t
(A) x vs. t (F) a vs. t
เงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลาเริ่มต้น t = 0 การขจัดที่เวลาเริ่มต้น เท่ากับศูนย์ x (0)= 0
)sin()( tAtx
หาความเร็วได้จากอนุพันธ์ของการขจัดเทียบกับเวลา
Page 8
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 8
)cos()( tAtv
ดังนั้นความเร็วที่เวลาเริ่มต้น v (0) = A
แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด Av max กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง v กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที ่t = 0 แสดงดังรูป (E) หาความเร่งได้จากอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา
)sin()( 2 tAta ดังนั้นความเร่งที่เวลาเริ่มต้น a (0) = 0
แอมปลิจูดหรือการขจัดสูงสุด 2
max Aa
กราฟความสัมพันธ์ระหว่าง a กับ t เมื่อ x (0)= 0 ที ่t = 0 แสดงดังรูป (F)
* ข้อสังเกต* สมการการเคลื่อนที่ของทั้งสองกรณีที่เง่ือนไขเริ่มต้นตา่งกันจะต่างกันท่ีค่าคงท่ีเฟส
ตัวอย่าง จงหาการขจัดที่เวลา t ใด ๆ ของมวล 100 กรัม ที่ติดกับสปริง ( k = 40 N/m) โดยที่เวลาเริ่มต้นมวลนี้ถูกดึงไปเป็นระยะ 0.2 เมตร แล้วปล่อยให้สั่นจากจุดหยุดนิ่งบนพื้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน
เริ่มต้นจากสมการ ( ) sin( )k
x t A tm
แทนค่า k = 40 N/m และ m = 100 กรัม ในสมการ
3
40 /( ) 0.2 sin( )
100 10
N mx t m t
kg
( ) 0.2 sin(20 )x t m t ตอนนี้ เหลือแต่ค่า ที่จะต้องหาจากเงื่อนไขเริ่มต้น นั่นคือ การขจัดที่เวลาเริ่มต้น ( 0) 0.2x t m
( 0) 0.2 0.2 sin(20 0 )
( 0) 0.2 0.2 sin( )
x t m m
x t m m
นั่นคือ 2
ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของระบบนี้จะเขียนได้สองแบบ
Page 9
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 9
( ) 0.2 sin(20 )2
( ) 0.2 cos(20 )
x t m t
x t m t
พลังงานของมวลที่ตดิกับสปริง เราจะสมมติให้ไม่มีแรงเสียดทานใด ๆ มาเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของสปริง เราจะเริ่มจากการหา พลังงานจลน์จากความเร็วดังนี้
พลังงานจลน์
พลังงานศักย์
พลังงานกล ได้จากพลังงานจลน์รวมกับพลังงานศักย์
2 2 21 1( )
2 2U kx m x t
2 2 2 21 1( )
2 2T mv m A x
2 2 21 1
2 2E T U m A kA
2 2 2 2( )v A x
2 2 2 2(1 sin ( ))v A t
( ) cos( )v t A t
Page 10
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 10
รูปท่ี 4 กราฟระหว่างพลังงานศักย์ (U) พลังงานจลน์ (T) และการขจัด (x)
สังเกตว่า พลังงานศักย์จะเป็นรูปพาราโบลาหงาย และ พลังงานจลน์จะเป็นรูปพาราโบลาคว่ า
พลังงานกลคงท่ี และแปรผันตรงกับก าลังสองของแอมปลิจูด พลังงานจะเปลี่ยนแปลงรูประหว่างพลังงานศักย์ในสปริงและพลังงานจลน์ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของ
วัตถุท่ีติดอยู่กับสปริง
T, U
T
U
T
U
Page 11
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 11
2. การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย (Simple pendulum) ประกอบด้วยลูกตุ้มมวลขนาดเล็ก ผูกกับเชือกเบา เมื่อดึงลูกตุ้มให้ท ามุมเล็ก ๆ (น้อยกว่า 5 องศา) กับแนวดิ่ง แล้วปล่อยให้มวลเคลื่อนที่กลับไปมา เราจะพิสูจน์ว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์-โมนิค
รูปท่ี 5 การแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย จากกฎของนิวตัน
(20)
a เป็นความเร่ง หรือ เขียนในรูปอนุพันธ์ก าลังสองของ s เมื่อ s เป็นการขจัดที่วัดตามแนวโค้งและเขียนได้ในรูปของความยาวเชือก L และมุม ดังนี้
(21)
แทนสมการ(21) ลงในสมการ (20)
(22)
2
2
dF mL
dt
S L
2
2
d SF ma m
dt
z
sinmg
L
T
mเgg
cosmg
m d
mg
Page 12
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 12
จากรูปแรง mg สามารถแยกออกเป็นสองแรงที่ตั้งฉากกัน โดยแรง sinmg เป็นแรงที่ดึงมวล กลับสู่ต าแหน่งสมดุล และแรง cosmg เท่ากับแรงตึงเชือก T ซึ่งท าให้เชือกมีความยาวเท่าเดิมไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวเดียวกับความยาวเชือก
(23)
สมการ(21) แทนลงในสมการ (23)
(24)
เมื่อมุม เป็นมุมเล็ก ๆ สามารถประมาณได้ว่า
(25) แทนในสมการจะได้ สมการการเคลื่อนที่ของการแกว่งลูกตุ้มอย่างง่าย
(26)
สังเกตว่าสมการ (26) มีรูปแบบคล้ายกับสมการความเร่ง สมการที่ (4) โดยที่ เป็นการขจัด และ
2 g
L
โดยที่ค าตอบของสมการ(26) คือ
เมื่อ ระยะขจัด (Displacement) ของวัตถุจากจุดสมดุล (มีหน่วยเป็นเรเดียน radian หรือองศา)
0 แอมปลิจูด (Amplitude) หรือระยะขจัดสูงสุด (มีหน่วยเป็นเรเดียน radian หรือองศา) ความถี่เชิงมุม (Angular frequency) (มีหน่วยเป็น radian/s) ค่าคงที่เฟส (Phase constant) (มีหน่วยเป็น radian)
0( ) sin( )t t
2
2
d g
dt L
sin :
2
2sin
d g
dt L
sinF mg
Page 13
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 13
ส าหรับคาบ หาได้จาก
(27)
เมื่อแทนค่า จากสมการที่ (9) ลงไปในสมการที่ (11) จะได้
(28)
ความถี่ หาได้จากส่วนกลับของคาบ
(29)
เมื่อแทนค่า จากสมการที่ (28) ลงไปในสมการที่ (29) จะได้
(30)
ข้อสังเกต* 1. การทดลองลูกตุ้มอย่างง่ายสามารถท าการวัดค่า g ของโลกได ้
2. ถ้ามุมการแกว่งกว้าง จะไม่ถือว่าเป็นการแกว่งแบบซมิเปิลฮารโ์มนิค บางครั้งถ้ามุมการแกว่งไม่กว้าง
เกินไป สามารถประมาณคาบไดเ้ท่ากับ )16
11(2
2
0 g
lT
1
2
gf
L
1
2f
T
2L
Tg
2T
Page 14
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 14
3. ลูกตุ้มชนิดบิด (Torsion Pendulum)
รูปท่ี 7 ลูกตุ้มชนิดบิด
ลูกตุ้มชนิดบิด ประกอบด้วยแป้น ตรึงอยู่กับลวดโลหะ จุดศูนย์กลาง O ติดอยู่ที่ปลายข้างหนึ่งของลวดโลหะ
เมื่อบิดให้แป้นเป็นมุม max จากจุด O แล้วปล่อยให้บิดไปมารอบแนว OP ลวดที่แขวนจะบิดไปด้วย ท าให้เกิดทอร์คกระท าต่อแป้น เรียกว่า ทอร์คคืนตัว (restoring torque) และทอร์คนี้จะพยายามดึงให้แป้นกลับสู่ต าแหน่งสมดุล ถ้ามุม max เล็ก ๆ ทอร์คคืนตัวจะเขียนได้
(31)
และจากนิยามของทอร์ค
2
2
dt
dII
(32)
เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย
2
2
dt
dI (33)
02
2
dtdI
(34)
Page 15
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 15
I
(35)
IT
2
2 (36)
4. ลูกตุ้มฟิสิกัล (Physical Pendulum)
รูปท่ี 8 ลูกตุ้มฟิสิกัล
ลูกตุ้มฟิสิกัล ประกอบด้วยวัตถุเกร็งที่แกว่งรอบแกนราบอันหนึ่ง จากรูป จุด CM คือศูนย์กลางมวลห่างจากจุดหมุนเป็นระยะ dsin และท ามุม กับแนวดิ่ง ทอร์คที่กระท ากับวัตถุในทิศท่ีให้วัตถุดึงกลับ คือ
sinmgd (37) และจากนิยามของทอร์ค
2
2
dt
dII
(38)
เมื่อ I เป็นโมเมนต์ความเฉื่อย จากสมการ จะได้
sin2
2
mgddt
dI (39)
Page 16
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 16
ย้ายข้างจะได้
0sin
2
2
I
mgd
dt
d (40)
เมื่อ เป็นมุมเล็ก ๆ sin จะได้สมการการเคลื่อนที่ของซิมเปิลฮาร์โมนิค
02
2
I
mgd
dt
d (41)
(42)
(43)
(44)
22
2
d mgd
dt I
mgd
I
22
IT
mgd
Page 17
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 17
*โจทย์น่าคดิ*
ถ้าวัตถุเกร็งเป็นไม้เมตร ท าการเจาะรูที่ปลายสดุของไม้เมตรด้านหนึง่เพื่อท าการแกว่ง จงหาคาบของการแกว่ง ก าหนดให้ไม้
เมตรมีความยาว L มวล M และค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้เมตรรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล, CMI 2
12
1ML
เมื่อให้ไมเ้มตรนี้มีความกว้างน้อยกว่าความยาวมาก ๆ
การแกว่งที่ถูกหนว่ง (Damped simple harmonic motion)
การแกว่งที่ถูกหน่วง เป็นการแกว่งที่มีแรงเสียดทานเข้ามาเกี่ยวข้องท าให้มีการสูญเสียพลังงานให้กับสิ่งแวดล้อม เช่น สูญเสียไปในรูปความร้อน เป็นต้น ผลท าให้พลังงานรวมลดลง นั่นคือจากสมการ แอมปลิจูดก็ลดลงด้วยจนกระท่ังเป็นศูนย์ในที่สุด
รูปท่ี 9 การแกว่งที่ถูกหน่วง มวลห้อยกับสปริงสั่นขึ้น-ลงในสารละลายที่มีความหนืด
Page 18
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 18
ในที่นี้จะยกตัวอย่างการแกว่งของมวลที่ติดอยู่กับสปริง โดยที่มวลจุ่มลงไปในสารละลายที่มีความหนืด เพราะฉะนั้นแรงต้านทานที่เกิดจากความหนืดของตัวกลางเป็นปฏิภาคกับความเร็วของมวล
bvf (45)
bvkxF (46)
bvkxdt
xdm
2
2
(47)
02
2
vm
bx
m
k
dt
xd (48)
วิธีการแก้สมการ
ให้ tetx )( แทนในสมการ จะได้
02 ttt em
ke
m
be (49)
02 m
k
m
b (50)
เมื่อแก้สมการในรูปแบบของ 02 cbxax
a
acbbx
2
42 (51)
ดังนั้นสมการ จะมีค าตอบเป็น
2
4
2
m
k
m
b
m
b
(52)
เมื่อให้ค่าคงที่ของความหน่วง m
b
2 และความถ่ีเชิงมุมของการแกว่งเมื่อไม่มีแรงเสียดทาน
m
k
จะได้
02 22 (53)
Page 19
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 19
เรียกสมการนี้ว่า Characteristic equation 22
2,1 (54) โดยที่ค าตอบทั่วไป general solution เขียนได้
21)( BxAxtx (55) โดยที ่
ttteeex
221
1
(56)
ttteeex
222
2
(57)
เพราะฉะนั้น
)()(2222 ttt BeAeetx
(58)
การสั่นมี 3 กรณี จะสั่นแบบไหนดูจากเทอม 22
1. 022 รากเป็นจริง เรียกกรณีนี้ว่า Overdamp oscillation
หรอื 2
2
4m
b> m
k
2. 022 รากเป็นจริงและมีหนึ่งค าตอบ เรียกกรณีนี้ว่า Critical oscillation
หรือ 2
2
4m
b= m
k
Page 20
วิชา ว31211 กลศาสตร์ เรื่อง Simple Harmonic Motion ห้องเรียนพิเศษวิทยาศาสตร์ ม.4/1
โดย ครศูิลปชัย อ่วมวงษ์ โรงเรียนพิมายวิทยา อ าเภอพิมาย จังหวัดนครราชสีมา
หน้าที่ 20
3. 022 รากเป็นจินตภาพ เรียกกรณีนี้ว่า Underdamp oscillation
หรือ 2
2
4m
b< m
k
รูปท่ี 10 แสดงแอมปลิจูดที่ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปของการสั่นทั้ง 3 กรณี (a) an underdamped oscillator (b) a critically damped oscillator (c) an overdamped oscillator
กรณี Underdamp oscillation วัตถุจะสั่นขึ้นลงรอบ ๆ จุดสมดุล แต่แอมปลิจูดจะลดลงเรื่อย ๆ ตามเวลาที่ผ่านไป
กรณี Critical oscillation และ Overdamp oscillation วัตถุจะไม่มีสั่นขึ้นลงรอบ ๆ จุดสมดุล แอมปลิจูดจะลดลงเรื่อย ๆ ตามเวลาที่ผ่านไป โดยที่แอมปลิจูดของกรณี Critical oscillation จะลดลงเร็วกว่ากรณี Overdamp oscillation