Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 1/15 พลศาสตร (Dynamics) บทที่ 5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง (สวนที่ 4) 5/7 Motion Relative to Rotating Axes การเคลื่อนที่สัมพัทธที่เรียนมาในหัวขอกอนๆ เปนการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งซึ่ง สังเกตโดยผูสังเกตซึ่งใชระบบพิกัดฉากที่ไมมีการหมุน อยางไรก็ตามหลายๆ ครั้ง กลไกที่ ตองการวิเคราะหการเคลื่อนที่อาจจะไมไดเชื่อมตอกันดวยวัตถุแข็งเกร็ง แตเกิดการเคลื่อนที่ แบบเลื่อนไถลกัน การเคลื่อนที่แบบนี้ไมสามารถใชวิธีการในหัวขอที่แลวในการหาความเรงได ในหัวขอนี้จะกลาวถึงการวิเคราะหการเคลื่อนที ่โดยผูสังเกตซึ่งใชแกนพิกัดหมุน ซึ่งสามารถใช แกปญหาเหลานี้ได รวมถึงสามารถประยุกตใชกับปญหาในหัวขอกอนๆ ไดดวย เพื่อใหเขาใจถึงความแตกตางของปญหาที่สามารถพิจารณาโดยใชแกนพิกัดซึ่งไมหมุน ดังที่เรียนในหัวขอกอน และปญหาซึ่งตองพิจารณาดวยแกนพิกัดหมุน พิจารณาตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 การเคลื่อนที่บนจานหมุน B B C D a a X Y A x y ω รูปที่ 1 การเคลื่อนที่บนจานหมุน รูปที่ 1 แสดงการเคลื่อนที่บนจานหมุน (วงกลมสีเทา) ซึ่งมีรูตรงกลาง ดังนั้นในรูป a และ B จะยืนอยูนิ่งนอกจานหมุน สวน A, C และ D ยืนอยูบนจานหมุนและหมุนไปพรอมกับ จานหมุน พิกัด X-Y เปนพิกัดที่อยูนิ่งเทียบกับโลก สวนพิกัด x-y จะเปนพิกัดซึ่งหมุนไปพรอม
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 1/15
พลศาสตร (Dynamics)
บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง (สวนท 4)
5/7 Motion Relative to Rotating Axes การเคลอนทสมพทธทเรยนมาในหวขอกอนๆ เปนการเคลอนทของวตถแขงเกรงซง
รปท 1 แสดงการเคลอนทบนจานหมน (วงกลมสเทา) ซงมรตรงกลาง ดงนนในรป a และ B จะยนอยนงนอกจานหมน สวน A, C และ D ยนอยบนจานหมนและหมนไปพรอมกบจานหมน พกด X-Y เปนพกดทอยนงเทยบกบโลก สวนพกด x-y จะเปนพกดซงหมนไปพรอม
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 2/15
กบจานหมน สมมตใหจานมขนาดใหญ ดงนน a กบ A จะถอวายนอยตาแหนงเดยวกนทจดกาเนดของแกนพกด X-Y และ x-y กาหนดให a เปนผสงเกตอยบนแกนหยดนงสวน A เปนผสงเกตซงอยบนแกนหมน ความเรวทผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถเรยกวา relvv (ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนท เราไดทราบจากหวขอทเรยนกอนแลววา ABrel vv /
vv = ) 1. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ B
กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ
aBaB vvv /vvv += เนองจาก a และ B อยนง a จงเหน B อยนงดวย ดงนนความเรวทกตวใน
ความเรวทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B ( 0/ == relaB vv vv ) ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ
ABAB vvv /vvv += เนองจากจด A อยทจดกาเนดของแกนหมน พกดจด A จงไมมการ
เปลยนแปลง 0=Avv และจากรป B ยนอยนง 0=Bvv ดงนนจะได 0/ =ABvv อยางไรกตามเนองจาก A เคลอนทไปพรอมกบจานหมน ดงนน A จะมองเหน B เคลอนท ดงนน relvv จงมคา ในกรณน relAB vv vv ≠/ 2. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ C
กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรวสมพทธ
aCaC vvv /vvv += เนองจาก a อยนง สวน C จะหมนไปพรอมกบจาน a จงเหน C หมนไปพรอม
กบจาน โดยเคลอนทเปนวงกลมรอบ a ในทน 0=avv สวน relaCC vvv vvv == / อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรว
vv = เทากบความเรวการหมนเปนวงกลมรอบจดศนยกลาง แตในกรณน A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ C ดงนน A จะมองเหนวา C หยดนง 0=relvv กรณน relAC vv vv ≠/ 3. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ D
หมนไปพรอมกบจาน พรอมๆ กบเดนเขามาหา a ทจดศนยกลาง ดงนน a จงเหน D หมนไปพรอมกบจานและเดนเขาหาพรอมๆ กน
อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ D นน เนองจาก A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ D ดงนน A จะมองเหนวา D เดนตรงเขามาหา A เพยงอยางเดยว จากสมการความเรวสมพทธ ADADAD vvvv //
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 3/15
ตวอยางท 2 กลไกแบบเลอนไถล
รปท 2 กลไกแบบเลอนไถล
จากรปท 2 กาหนดความเรวเชงมมของชนสวน OD เทากบ 2 rad/s คงท ตองการหาความเรวและความเรงเชงมมของชนสวน CA ปญหานสามารถเขยนสมการความเรวสมพทธของความเรวและความเรง ดงวธการทไดกลาวมาในหวขอกอนหนาไดดงน กาหนดใหจด P เปนจดบนชนสวน OD ซงอยทบกบจด A บนชนสวน CA ในขณะนน ความเรวสมพทธ
v เนองจากชนสวน OD กบ AC ไมใชเปนวตถแขงเกรงชนเดยวกน แตเปนชนสวนคนละชนทเลอนไถลกน ดงนนจะไมสามารถคดแบบเดยวกบปญหาความเรงสมพทธในหวขอกอนหนาได ในกรณนจาเปนตองใชวธการความเรวสมพทธในกรณแกนหมนแกปญหา
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 4/15
)ˆˆ( jyixrrrr BBA ++=+= vvvv (1) โดย x, y เปนพกดซงวดไดจากระบบพกดหมน x-y สวน i และ j แสดงเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง x และ y ตามลาดบ ความเรวของ A สามารถหาไดโดยหาอนพนธสมการ (1) เทยบกบเวลาดงน
dtjyixdrr BA)ˆˆ( +
+= &v&v (2)
ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยว jyixdt
jyixd ˆˆ)ˆˆ(&& +=
+ ซงจะเหมอนกบ
สมการการเคลอนทสมพทธทไดเรยนมาแลว อยางไรกตามเนองจากในกรณนแกนพกด x-y หมน ดงนนทศทางของเวคเตอร i และ j จะเปลยนแปลงตลอดเวลา การหาอนพนธจงตองหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวยดวย
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 5/15
(ก) (ข)
รปท 4 การหาคาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j รปท 4 แสดงการหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j จากรปจะไดวา
jdid ˆˆ θ= และ idjd ˆˆ θ−=
ดงนน ji ˆˆ ω=& และ ij ˆˆ ω−=& (3) หรอเขยนในรปผลการครอสเวคเตอรไดดงน
รปท 6 แสดงการเปรยบเทยบการแกปญหากลไกขอตอ เนองจากกลไกขอตอตอกนดวยชนสวนแขงเกรง AB ดงนนปญหานจงสามารถแกไดทงโดยการวเคราะหแบบความเรวสมพทธ (ทเรยนในหวขอกอนหนา) ทางดานซายมอ กบการใชแกนหมนทางดานขวามอ ในกรณใชความเรวสมพทธ และแกนพกดของผสงเกต B ไมหมน B จะมองเหน A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ดงนน rv ABBA
vvv ×ω=/ อยางไรกตามถาใชการพจารณาแบบแกนหมน โดยตงแกนหมนดงรปทางดานขวามอ จะพบวาจด A และจด B จะเปนจดทไมเคลอนทเทยบกบแกน x-y ทตงขน ดงนนผสงเกตท B จะมองเหน A อยนง (พกดเดมบนแกน x-y ตลอดเวลา) 0=relvv อยางไรกตามสมการจากการพจารณาโดยใชแกนหมนจะเหมอนกบการพจารณาแบบความเรวสมพทธทเรยนมาแลว เนองจากมพจน rr ABframerotating
vvvv ×ω=×ω − เพมเขามา
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 8/15
เพอใหงายตอการจดจาสมการ (11) ใหพจารณารปท 7 ซงแสดงทศทางของความเรงตางๆ ผสงเกตอยทจด B โดยแกนพกดทใช x-y หมนดวยอตราเรวเชงมม ω ผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถ A ซงเคลอนทตามแนวเสนการเคลอนทสสม จด P เปนจดคงทบนพกด x-y ซงในขณะนนอยตาแหนงเดยวกบจด A
รปท 7 ความเรงตางๆ ในระบบแกนพกดหมน
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 9/15
ผสงเกต B เคลอนทดวยความเรง Bav เมอผสงเกตสงเกตจด P ซงอยทบกบจด A จะพบวาจด P เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต (เมอสงเกตโดยใชแกนพกดทไมหมน) ความเรงของจด P เทากบ rv&v ×ω (ความเรงในแนวเสนรอบวง) และ )( rvvv ×ω×ω (ความเรงเขาสศนยกลาง)
อยางไรกตาม ตาแหนงทตองการสงเกตคอจด A ความเรงทจด A เมอเทยบจากจด P จะเทากบ relrel av vvv +×ω2 โดย relav เปนความเรงทมองเหนโดยผสงเกตทอยบนแกนหมน สวน relvvv ×ω2 เปนความเรงทแตกตางเมอสงเกตบนแกนไมหมนและแกนหมน ความเรง
เรยบเรยงจาก “Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige เพอใชประกอบการเรยนการสอนวชา 2103213 Engineering Mechanics I โดย อ.ดร. ชนตต รตนสมาวงศ
Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 10/15