น่าจะดี ถ้านักศึกษาสายสังคมศาสตร์ จะรู้จัก Probability Function สมเพลิน เกษมรัตนสันติ วารสารสังคมวิทยามานุษยวิทยา 30 (1) มกราคม-มิถุนายน 2554
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตร
จะรจก Probability Function
สมเพลน เกษมรตนสนต
วารสารสงคมวทยามานษยวทยา 30 (1) มกราคม-มถนายน 2554
บทคดยอ
ความเขาใจในเรองรปแบบการแจกแจงขอมลในวชาสถต ถอเปนกญแจสำคญ
ดอกหนงในการสรางความเขาใจวชาสถตเบองตน อยางไรกตาม ตวรปแบบเองกมเรอง
ราวทางคณตศาสตรเขามาเกยวของพอสมควร เชน ฟงกชนความนาจะเปน (probability
functions) การหาอนพนธ (differentiation) การอนทกรล (integration) เปนตน จง
ทำใหเกดอปสรรคในการเขาใจ โดยเฉพาะอยางยง ถาเปนนกศกษาสายสงคมศาสตร ซง
ไมถนดวชาคณตศาสตร บทความนจงพยายามเขยนรปแบบการกระจายขอมลแบบ
เบองตน 2 รปแบบ ซงใชกนมาก คอ รปแบบการแจกแจงขอมล แบบโคงปกต (normal
distribution) และรปแบบการแจกแจงขอมลแบบทวนาม (binomial distribution)
โดยอธบายในแนวงายๆ ซงเพยงพอแกความเขาใจของนกศกษาสายสงคมศาสตรและ
สามารถนำไปใชได ตลอดจนหลกการการยมรปแบบการแจกแจงขอมลแบบโคงปกตมา
ใชในกรณทขอมลดงเดมไมไดกระจายเปนโคงปกต
abstract
The understanding of the probability distribution theory in statistics
is an important key for the introductory course to statistics. However, the
theory itself always involves, more or less, mathematical concepts, for
example, the probability function, differentiation, integration, and the like.
This is quite a barrier for students in social sciences to understand, since
they are not very keen in mathematics. This paper, thus, attempts to explain
two basic distributions including Normal Distribution theory and Binomial
Distribution theory in an easy manner hoping that students will be able to
understand and use them correctly. The explanation also includes the use
of the Normal Distribution theory borrowed by the data originally binomial
distributed.
118 สมเพลน เกษมรตนสนต
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 119
1. ความเบองตน
การใชวชาสถตในทางปฏบตกคอการนำาเอาขอมลดบทเกบจากสนาม
หรอทบนทกไวแลวในเอกสารมาวเคราะหทางสถต ขอมลทเกบมาอาจเปนตวเลข
โดยตรง เชน ในการขายสนคาในราน วนท 1 ขายได 56.50 บาท วนท 2 ขายได
60 บาท วนท 3 ขายได 72.75 บาท เปนตน หรอเปนขอมลทอาจตองตความ
หมายของขอความใหเปนตวเลข เชน ถามผตอบ เหนดวยอยางยง กแปลงเปน
5 คะแนน เหนดวย ให 4 คะแนน เปนตน บางครงอาจมคำาตอบเรองเพศวา เปน
หญง 10 คน เปนชาย 8 คน กเอาเลข 10 หรอเลข 8 มาเปนขอมลดบ เหลาน
เปนตน ตวอยางทยกมาทงหมดน เราแยกขอมลไดเปน 2 ชนดใหญๆ ดงน
1. ตวแปรชนดตอเนอง (continuous variable)
ถาเราสนใจจะศกษาเรองความสงหรอนำาหนก อาจเรยกความสงหรอ
นำาหนกวาตวแปรและใชอกษร X แทนตวแปรดงกลาว สมมตมตวเลข 2 ตว ซง
เปนตวเลขจรงทมคาเปนบวก (real number)1 หรออาจเปนคา 0 กได ตวอยาง
เชน 5 กบ 32 ถาตวแปร X นมคาอยในชวง 5 ถง 32 (5 ≤ X ≤ 32)
คอเปนตวเลขใดๆ กไดทอยในชวงดงกลาว เชน 6, 9.118, 18.4557 หรอ
31.023689 เราจะเรยกตวแปร X นวาตวแปรตอเนอง คาทกคาของ X อยใน
ชวงดงกลาว ลกษณะนทำาใหไมมชองโหวระหวางคาของตวแปร X เพราะ X มคา
เปนทศนยมไดไมจำากดจำานวน นนคอคาของ X จากตวหนงไปยงอก ตวหนงจะ
เกดความหนาทบ (density) ตวแปรชนดนเรยกวาตวแปรชนดตอเนอง บางครง
นกวชาการจะกลาวถงตวแปรชนดนอยางงายๆ วา เปนตวแปรทนำามาชงตวงวด
ได นนคอวดเปนคาออกมาไดและมทศนยมได เราเขยนกราฟทมความตอเนอง
และไมมชวงวางบนเสนกราฟได ดงน
1 ตวเลขทไมเปน real number เชน √-1, 4 √-1 เปนตน
2. ตวแปรชนดไมตอเนอง (discrete variable)
สมมตวาหนงสอสถตเลมหนงระบเลขหนาไวตงแตหนาท 1 ถงหนา 1,019 ดงนน
คาของตวแปร X เชน การเปดหนาหนงสอเลมนเพอดเนอหาของหนงสอ จงเปนตวเลขทม
ขอบเขต (finite) เรมตงแตหนาท 1 ถงหนาท 1,019 ซงอาจจะไมเปดหนาเรยงกนกได เชน
เปดหนา 1 ไปหนา 2 ขามไปหนา 5 หนา 6 หนา 7 ไปเรอยๆ อยางไรกด ในการเปดแตละ
ครงจะไมปรากฏตวเลข 34.6 หรอ 1.1103 หรอตวเลขอนทมทศนยมขนเลย
อกตวอยางหนง สมมตใหมการดงไพจากสำารบหนง เมอดงแลวตองใสคนสำารบทก
ครงพรอมทงสบไพกอนการดงครงตอไป ใหตวแปร X คอการ ดงไพออกจากสำารบแลวจบได
ควนโพธแดง ดงนน X จงเปนจำานวนครงทดงไพแลวไดควนโพธแดง จงเปนไปไดวา X คอดง
ครงแรกแลวได หรอดงครงท 3 แลวได หรอดงครงท 21 แลวได หรอดงครงท 302 แลว
ได หรอดงครงท 5,000 แลวได หรอดงครงท 4 ลานแลวได หรอไมไดเลยแมแตครงเดยว
ตวอยางนแสดงใหเหนวา X เปนตวเลขทไมมขอบเขต แตสามารถนบจำานวนครงได (count-
ably infinite number of values) ทงสองตวอยางนแสดงใหเหนวาคาของตวแปรชนดน
จะเปนตวเลขจำานวนนบและไมมทศนยม กลาวอยางหลวมๆ ไดวา คาของตวเลขมชองวาง
ระหวางตวเลข ไมตดกนเปนพด จงมลกษณะเปน mass ไมเปน density เรยกตวแปรชนดน
วา ตวแปรไมตอเนอง
ไมวาจะเปนขอมลแบบตอเน องกด หรอแบบไมตอเน องกด ขอมลมความ-
กระจดกระจายพอสมควร กลาวคอ เปนตวเลขมากบาง นอยบาง แตกตางกนไป
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 121
2. ทฤษฎการแจกแจงความนาจะเปน (probability distribution theory)
ในทางสถต นกคณตสถตไดคดสรางทฤษฎการแจกแจงขอมลไวหลาย
รปแบบดวยกน เพอใหครอบคลมบรรดาขอมลดบทงหลายทมอยในโลกนเทา
ทเปนไปได แบงรปแบบการแจกแจงขอมลออกเปน 2 ชนดใหญๆ คอ รปแบบ
การแจกแจงขอมลแบบตอเนอง และรปแบบการแจกแจงขอมลแบบไมตอเนอง
เรยกรปแบบเหลานวา “ทฤษฎการแจกแจงความนาจะเปน” และทกๆ ทฤษฎก
จะม probability function กำากบอย (ถาเปนฟงกชนพชคณตธรรมดา จะไมม
คณสมบตคาความนาจะเปนตดตวอยกบฟงกชน)
ตวอยาง probability distribution theory ชนดกำากบขอมล แบบตอ-
เนอง (เชน นำาหนก รายได ความสง เปนตน) ไดแก normal distribution,
T–distribution และ 2–distribution เปนตน
ตวอยาง probability distribution theory ชนดกำากบขอมลแบบไมตอ
เนอง (เชน เพศ ศาสนา อาชพ เปนตน) ไดแก binomial distribution, multi-
nomial distribution และ Poisson distribution เปนตน
เมอทฤษฎรปแบบการแจกแจงขอมลเหลานมใหใชอยางมากมาย ก
หมายถงวา เมอมขอมลดบไมวาจะเปนขอมลทางสงคมศาสตรหรอขอมลทาง
วทยาศาสตรซงไดแยกตามประเภทขอมลแลว คอเปนขอมลประเภทตอเนอง ก
ด ประเภทไมตอเนองกด และกอนทจะนำามาวเคราะหทางสถตไดกตองดกอนวา
ขอมลทมอยนนอยภายใตการกำากบของทฤษฎการแจกแจงขอมลชนดใด เพอจะ
ไดใชคณสมบตของทฤษฎการแจกแจงขอมลนนๆ มาวเคราะหขอมลทเรามอย
เชน ใชสตรอะไร ใชสถตตารางอะไร ถาพบวาขอมลดบทไดมาอยภายใตกำากบ
ของทฤษฎใดทฤษฎหนงเรยบรอยแลว เราจงเรยกตวแปรของขอมลชดนวาเปน
random variable (ภาคผนวก x) นนคอ ถาตวแปรทเปนเพยง variable เฉยๆ
ยงนำามาวเคราะหทางสถตไมได ตวแปรตองเปน random variable2 เสยกอนถง
จะทำาการวเคราะหทางสถตได
2 โปรดดภาคผนวก ก
122 สมเพลน เกษมรตนสนต
เรองนอปมาไดวา สมมตมประชาชนคนหนงตองการมความรจนไดรบ
ใบปรญญาบตร ประชาชนคนนกตองหาสงกดซงเปนมหาวทยาลยหรอวทยาลย
เพอเขาศกษา เมอหาไดและเขาเปนนกศกษาของมหาวทยาลยแหงหนงไดแลว
ประชาชนคนนหรอเรยกใหมไดวา นกศกษาผน (เทยบไดกบ random vari-
able) กตองทำาตามระเบยบขอบงคบวาดวยการศกษาเพอใหไดใบปรญญาบตร
เมอศกษาจนครบตามระเบยบ เขากจะไดรบใบปรญญาบตร ในทสด ถาเขายง
เขามหาวทยาลยไมได กยากแกการจะไดรบใบปรญญา ขอมลดบตางๆ กเปรยบ
เหมอนประชาชนคนน ตราบใดทยงไมทราบประเภทของขอมลและชนดของ
probability distribution theory ทสามารถกำากบขอมลชดนได ตราบนนกยง
วเคราะหทางสถตไมได เพราะไมทราบจะวเคราะหอยางไร นนคอ ตองใหขอมล
ดบชดนม probability distribution theory ทเหมาะสมกำากบขอมลชดนใหได
กอน เรยกอยางงายๆ วาขอมลชดนมการแจกแจงเปนแบบไหน การแจกแจงของ
ขอมลทกชนดจะม probability distribution function กำากบอย เมอหาพบแลว
จงทำาการวเคราะหทางสถตตอไปตามคณสมบตของแตละ probability distribu-
tion function
3. การแจกแจงแบบโคงปกต (normal distribution)
เราลองมาทำาความรจกกบการแจกแจงขอมลแบบทพดกนอยางตดปาก
วา “โคงปกต” กอน เพราะเปนทฤษฎการแจกแจงขอมลทเปนแบบพนฐานทสด
โดยทวๆ ไป ในการทำาวจยผวจยมกจะเกบตวอยาง เชน ประมาณ 100 คน หรอ
มากกวานนขนไปใหมาตอบแบบสอบถาม ในแบบสอบถามมกจะถามเกยวกบ
เรองรายได อาชพ หรอเพศ เปนตน เรองรายไดมกจะใหผตอบกรอกตวเลขเอง
แตเพศนน ผตอบอาจจะกากบาทวาเปนหญงหรอเปนชาย ตวแปรทงสองพอจะ
แยกประเภทไดวา รายไดเปนตวแปรแบบตอเนอง สวนเพศเปนตวแปรแบบไม
ตอเนอง ตวอยางทเกบมา 100 คนเปนอยางนอย ถอเปนตวอยางทมขนาดใหญ
พอสมควร จงพออนมานไดวาตวแปรรายไดนาจะกระจายเปนโคงปกตได (nor-
mal probability distribution theory) ซงเปนไปตามกฎของตวอยางขนาดใหญ
กฎนกลาววาถาตวอยางมขนาดใหญหรอใหญขน ใหญขน การกระจายของขอมล
กจะมแนวโนมกลายเปนเสนโคงปกตมากขน ดงนนจงควรนำาเรองการแจกแจง
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 123
แบบโคงปกตมาพจารณาดวามคณสมบตอะไรบางทนกวจยสามารถนำาไปใชได
การแจกแจงแบบโคงปกตจะม probability function ประจำาตวอย
และเนองจากเปน probability function ของตวแปรแบบตอเนอง นกคณตสถต
จงเรยกฟงกชนนอยางเตมยศวา normal probability density function สาม
คำาหลงเขยนเปนตวยอไดวา p.d.f. คำาวา density จะทำาใหทราบวาเปน ตวแปร
ชนดตอเนอง คอมความตอเนองระหวางคาของตวแปร ถาเปรยบเทยบเปนพนท
กจะทำาใหเกดพนทแนนทบ สมการนจะทำาใหเกดเสนโคงแบบระฆงควำา หางสอง
ขางลาดลงไปเทาๆ กน ไมมทสนสด มยอดสงเพยงยอดเดยว และมกฎเกณฑทาง
คณตศาสตรเปนฟงกชนดงน
∫ (x; µ, σ2) = 1 e
คา π = 3.14159 คา e = 2.71828
µ และ σ เปนคาพารามเตอร (คอคาสถตของกลมประชากร ประชากร
จะหมายถงคนกได สตวกได สงของกได แลวแตวานกวจยกำาลงทำาเรองเกยวกบ
อะไรอย) ถานำาเอาฟงกชนนมาวาดรป จะไดภาพดงน
หางของเสนโคงทงสองขางจะไปบรรจบพนราบท −∞ และ +∞ (ซงอยไกลมาก การวาดภาพจงตองเปดชองวางไวทงสองขาง) และเนองจากเปน
124 สมเพลน เกษมรตนสนต
probability function จงกำาหนดคณสมบตวา พนทใตเสนโคงทงหมดคอตงแต
−∞ วงไปจนถง +∞ มคาเปน 1 เสมอ ถาตดสวนใดสวนหนงของภาพ
ออกมา คาพนทจะไมถง 1 คงเปนทศนยมเทานน และฟงกชนยงกำาหนดใหภาพ
น มความโดงหรอความสงเปนตวเลขคอ 3 มความเบเปน 0 คอไมเบเลย หาง
สองขางจะลาดออกไปเทาๆ กน
เราอาจจะสงสยวานกคณตสถตทำาอยางไรจงแปลงฟงกชนนใหเปน
รปกราฟดงทวาดไวแลวได เพอทบทวนความรเดมเกยวกบการวาดกราฟตาม
สมการพชคณต ใหดภาคผนวก ข ประกอบ แตสำาหรบ normal p.d.f. น เปน
สมการทยากกวาพชคณตมธยมทเคยเรยนมา จงนาจะทงประเดนความสงสยใน
เรองไดภาพนมาไดอยางไร โดยไววางใจในความถกตองและแมนยำาของนกคณต
สถตในการแปลงสมการมาเปนภาพ เพราะตรงนไมใชประเดนสำาคญทจะกลาวถง
สงทนาสนใจมากกวารปกราฟกคอคณสมบตอนๆ ทนำามาใชวเคราะหขอมล นก
คณตสถตกำาหนดวา
1. ถาขอมลกระจายเปนโคงปกตแลว การจะหาคาเฉลยใหใชสตร
2. การหาคาเบยงเบนมาตรฐานใหใชสตร
3. โดยปกตตวแปรทอยบนเสนแกน X ของกราฟ อาจเปนการกระจาย
ของคะแนนดบกได แตคะแนนดบอาจมคาไดกวางขวางมาก เชน คาทเปนตวเลข
นอยๆ ดงเชนนำาหนกของคนหนวยเปนกโลกรม นำาหนกสงสดคงไมเกนตวเลข 3
หลก หรอคาทเปนตวเลขมากๆ เชน รายได ซงมไดตงแตหลกรอยจนถงหลกแสน
ฉะนนแกน X ของกราฟเสนโคงปกตจงอาจรวบรวมตวเลขทกวางขวางหลาย
แบบหลายชนดเชนนใหเปนตวเลขทกะทดรดขน นนคอการเปลยนคะแนนดบทง
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 125
หลายใหเปนคะแนน z-score (คอคะแนนมาตรฐาน เรมตงแตเลข 0, 1, 2,
... ไปเรอยๆ และเปนคะแนนทไมมหนวย เพอใหขอมลทงหลายอยในมาตรฐาน
เดยวกน คะแนนมาตรฐานมทศนยมได เชน 0.23, 1.56, ...) การเปลยน
คะแนนดบเปนคะแนนมาตรฐานกทำาไดไมยาก เพยงนำาเอาขอมลดบแตละตวมา
เขาสตร
สำาหรบขอมลของกลมตวอยาง
สำาหรบขอมลของกลมประชากร
คา x และ S.D. (คาเฉลยและคาเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง)
ใหคำานวณจาก
(ถาใชคา S.D. เปนคาประมาณของ σ ประชากร สตรจะเปลยนไปเปน
หารดวย n-1)
ดวยเหตนจงไดคา z ออกมาเปนคะแนน z-score ซงเลกกะทดรด โดย
ทวๆ ไปคา z-score จะวงอยระหวาง -∞ ถง +∞ แตขอมลดบตางๆ ทถก
แปลงเปน z-score แลว มกจะอยในชวงระหวาง -3 ถง +3 z-score ไมวา
ขอมลทเกบมาจะมขนาดตวอยางใหญโตมากมายเพยงใด เชน สมมตมขอมลชด
หนงเกบมา 500 คน (อาจเปนคานำาหนกหรอความสงหรอรายได ซงเปนตวแปร
แบบตอเนอง) เมอเอาขอมลเหลานมาคำานวณหาคาเฉลย ( x ) และหาคาเบยง
เบนมาตรฐาน (S.D.) ดงในสตรขางตน สมมตไดคาความสงของคนกลมนดงน
x = 162 เซนตเมตร S.D. = 3 เซนตเมตร
S.D. ซงเปนคาวดการกระจายเฉลยวาขอมลอยหางจาก x เปน 3
126 สมเพลน เกษมรตนสนต
เซนตเมตรนน จะถกยกใหเปน 1 z-score เสมอ (แม S.D. จะมคาเปนตวเลข
ใดๆ กตาม เชน อาจเปนเรองรายได = 2,500 บาท หรอระยะทาง = 150
กโลเมตร กจะถกเทยบใหเทากบ 1 z-score เสมอ) นำาเสนอดวยภาพไดดงน
นกคณตสถตไดคำานวณพนทใตเสนโคงปกตออกมาดงน
พนททอยระหวาง -1 ถง +1 z-score มคา probability = 0.6826
พนททอยระหวาง -2 ถง +2 z-score มคา probability = 0.9544
พนททอยระหวาง -3 ถง +3 z-score มคา probability = 0.9974
ถาแปลงคา probability เหลานเปนเปอรเซนต จะมความหมายดงน
1. คนทสงระหวาง 159 ถง 165 เซนตเมตร ม 68.26 เปอรเซนต
ของจำานวนตวอยาง ถาตวอยางมขนาด 500 จะมคนทสงระหวาง 159 ถง 165
นวอยจำานวน 500 (68.26 ÷ 100) = 341.3 คน
2. คนทสงระหวาง 156 ถง 168 เซนตเมตร ม 95.44 เปอรเซนต
ของจำานวนตวอยาง คดเปนจำานวนคนได 500 (95.44 ÷ 100) = 477.2 คน
3. คนทสงระหวาง 153 ถง 171 เซนตเมตร ม 99.74 เปอรเซนต
ของจำานวนตวอยาง คดเปนจำานวนคนได 500 (99.74 ÷ 100) = 498.7 คน
ไมวาตวอยางทนำามาศกษาจะมอย 1,000 คนหรอใหญกวานกตาม
99.74 เปอรเซนตของตวอยางจะตกอยในชวง −3 ถง +3 z-score นจงเปน
เหตผลทเรามกจะเหนภาพเสนโคงปกตวาดไวเพยง 3 z-score ซายและขวา
เทานน เหตผลทคา z-score ขางซายของเสนโคงปกตเปนคาลบ เพราะคาของ
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 127
ตวแปรทอยทางซกซายของเสนโคงตองเปนคาทลดลง จงเอาคาของ S.D. ไปลบ
ออกจากคาเฉลยเสมอ
จากภาพ ทำาใหทราบวาถาเราเอาคา x บวกกบคา S.D. จะเปนคา
คะแนนดบทอยตรง 1 z-score ถาบวกกบ 2 เทาของคา S.D. จะมคาเปน
คะแนนดบทอยตรง 2 z-score หรอ x ลบกบคา S.D. จะเปนคาคะแนนดบ ทอยตรง −1 z-score และถาลบกบ 2 เทาของคา S.D. จะเปนคาคะแนนดบ ท
อยตรง −2 z-score เปนดงนไปเรอยๆ
ถามคะแนนดบเปน 63 จะคดเปนคา z-score ไดอยางไร นนคอ
นกศกษาตองเอาคะแนนดบ 63 ไปใสในสตร z-score นนเอง
ปญหาตอไปกคอ นกคณตสถตกำาหนดตวเลข 0.6826 หรอ 0.9544
หรอ 0.9974 ไดอยางไร คำาตอบทสนทสดกคอ คำานวณมาจากฟงกชนทกำาหนด
ความโคงของเสนโคงปกตนนเอง สมการ normal probability density function
เปนดงน
คำานวณไดดงน
ในการหาคาความนาจะเปนของสมการ normal p.d.f. ตองอาศยสตร
2 สตรคอ
1. อาศยหลกของ Taylor’s series
128 สมเพลน เกษมรตนสนต
2. อาศยหลกการ integration ซงมเครองหมายคลายตว s แตเขยน
ยดๆ มความหมายวา “รวม” แตการรวมแบบ integrate จะรวมเอาพนท ทก
หยอมหญา ไมมชองวางใหเหลออยเลย จงเหมาะกบการคดหาคา ความนาจะ
เปนจากจดหนงไปอกจดหนง โดยระยะหางของทงสองจดจะไมมชองวางใดแทรก
อยเลย ซงเหมาะกบตวแปรแบบตอเนอง คอมคาทศนยม ทตดตอกนได เปนแพ
มสตรทตองใชดงน
สมการ normal เขยนใหมไดดงน
…(เปลยนกำาลงของคา e ให
เปนคา z-score)
ซง
ดงนน ถาหาคาความนาจะเปนของ z-score ทเรมตงแตคา 0 ถง 1
z-score จะคำานวณไดดงน
=
=
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 129
ขอความทางคณตศาสตรทกลาวมาทงหมด เปนเรองทนกศกษา สาย
สงคมศาสตรไมอยากอานเอาเสยเลย หากถงตรงนศกษาแลวไมเขาใจ กไมเปนไร
ขอแตเพยงใหสรปไดดงนกพอแลว
1. ใหอานตวเลขเพยงผานๆ ไป และจดจำาเฉพาะผลลพธ คอตวเลข
0.3413 โดยยอมรบวาผลลพธนเปนตวเลขทนกคณตศาสตรคดออกมาอยางถก
ตองแลว เปนตวเลขทคดมาจาก normal p.d.f. ในชวง z-score ตงแต 0 ถง 1
จงเปนคาความนาจะเปนของชวงพนทดงกลาว ดงรป
2. เนองจากเสนโคงปกตทงสองขางจากจดทม z-score = 0 มความ
ลาดชนเทากน ดงนนคาความนาจะเปนของชวง -1 ถง 0 จงเทากบ 0.3413
เหมอนกน ถาเราเอาสองขางมาบวกกนจะได 0.6826 จงตอบคำาถามทตงเอาไว
วานกคณตสถตหาคา 0.6826 มาไดอยางไร คาอนๆ คอ 0.9544 และ 0.9974
กหาไดเชนกน
3. ถาเราเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต (ภาคผนวก ค) จะเหนวา
ตารางนประกอบดวยคา z-score ตงแต 0 ถง 3.9 ในคอลมนแรก และ 0 ถง 9
ในแถวนอนแรกซงเปนคาทศนยมตำาแหนงท 2 ตอจากคอลมนแรก ถาดจากคา
z-score ในคอลมนแรก โดยวงลงมาทตวเลข 1.0 และมองถดไปอก 1 คอลมน
130 สมเพลน เกษมรตนสนต
คอคอลมนท 0 จะเหนคา 0.3413 ซงเทากบทคำานวณใหดแลว
4. ตารางนหาคาความนาจะเปนใหกบทกๆ คาของ z-score หมดแลว
ตงแตคา 0 ถง 3.9 ผใชจงเลอกใชเอาโดยอานจากตาราง ไมตองคดคำานวณเอง
เหมอนททำาใหดเปนตวอยาง เนองจากตารางนเปนตารางของคา z-score กบ
คาความนาจะเปน ถาทราบคา z-score กไปอานคาความนาจะเปนได หรอถา
ทราบคาความนาจะเปน กอานยอนกลบมาเปนคา z-score ได
5. ตารางนเปนการอานคาความนาจะเปนตงแตคา z-score = 0 ออก
ไปทางหางขวาของรปจนถงคา z-score ทเราตองการ สงเกตไดจากคา z-score
= 0 มคา probability = 0 แปลวายงไมมพนทเลย จงเปนตารางทบอกพนททวง
จากจดกงกลางออกไปทางปลายหางขวา (ดภาคผนวก ค)
ยงมตารางชนดอนทอานพนทจากปลายหางขวา (+∞) วงเขาหา
เสน z-score = 0 ถาอานจากตารางนท z-score = 0 จะไดคา probability =
0.5000 และถาอานคา z-score = 1 จะไดคา probability = 0.1587 จากรป
กคอพนทนอกแรเงาดานขวา ซงถาตองการพนทแรเงากใหเอาคา 0.1587 ไปลบ
ออกจาก 0.5000 กจะได 0.3413 ซงเทากบพนทแรเงาขางบน (ดภาคผนวก ง)
สดทายคอยงมตารางอกชนดหนงทอานพนทตงแตหางซายโดยเรมท
-3.5 ไลไปจนถงปลายหางขวาคอคา +3.5 เปนพนทสะสมไปเรอย แตไมคอย
เปนทนยมใชมากนก (ดภาคผนวก จ) ฉะนน เมอหยบตารางพนทใตเสนโคงปกต
ออกมาใช ตองตรวจดชนดของตารางใหเรยบรอยกอนวาเปนแบบไหน จงจะใชได
อยางถกตอง
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 131
6. การหาคาความนาจะเปนไมไดหาไดจาก probability function แบบ
งายๆ เทานน (จำานวนความถของแตละอนตรภาคชน หารดวยจำานวนความถ
ทงหมด) แตหาจาก probability function ทคดจากกฎเกณฑทางคณตศาสตรท
ยากขนดงเชน normal probability function ดงตวอยางทกลาวมาทงหมด ซง
กอาศยตารางพนทใตเสนโคงปกตในการหาคาความนาจะเปนโดยไมตองคำานวณ
เอง
7. ขอมลดบใดๆ ทไมไดเปนตวแปรชนดตอเนอง และไมไดกระจายเปน
โคงปกต จะใชสตรเหลานไมได และจะหาคาความนาจะเปนโดยใชตาราง “พนท
ใตเสนโคงปกต” กไมไดเชนกน
8. จากการอานตารางพนทใตเสนโคงปกต สมมตวาดท z-score =
2.15 กจะไดคา probability = 0.4838 แสดงวาเปนคาความนาจะเปนของ z-
score ตงแต 0 วงถง 2.15 จงเปนคาความนาจะเปนทมาจากชวงของขอมลท
อยตรง 0 z-score ถงขอมลทอยตรง 2.15 z-score ไมใชเปนคาความ นาจะ
เปนเฉพาะของขอมลทอยตรงจด 2.15 z-score ดงนนการหาคาความนาจะเปน
ของขอมลแบบตอเนอง ณ จดใดจดหนงจงหาไมได ซงกคอ 0 นนเอง ตองหาเปน
ชวงๆ จงจะหาได ซงจะเหนจากตารางวาคาความนาจะเปนท z-score = 0.0 จะ
เทากบ 0.0000 (ตารางภาคผนวก ค)
มาถงจดนอาจสงสยวาขอความเบองตนทงหมดนนจะมประโยชน
อยางไร เปาหมายใหญของวชาสถตยอมตองนำาไปใชกบการวางแผนหรอสราง
132 สมเพลน เกษมรตนสนต
นโยบาย แตกวาจะถงขนนนไดกยงตองทราบหลกการทางสถตตอไปอก ทวา
ความรในขนนกสามารถแกโจทยหรอทำาโจทยทางสถตไดในระดบหนง เพอความ
เขาใจมากยงขน นาจะลองศกษา probability function ของตวแปรแบบขาดชวง
อกหนงฟงกชนจากนนจงคอยดตวอยางโจทยเปรยบเทยบกน และวธแกโจทย
เปนลำาดบตอไป
ขอสรปทสำาคญของการแจกแจงแบบโคงปกต
จรงๆ แลวการแจกแจงขอมลแบบโคงปกตเปนฟงกชนทางคณตศาสตร
ทเปนทฤษฎขนบรสทธ (pure theory) ไมไดเกดจากขอเทจจรงทไดมาจากการ
สงเกตการณในธรรมชาต อยางไรกตาม การแจกแจงแบบโคงปกตกมประโยชน
อยางมากมายในสถตแบบอางอง มเหตผลอยางนอย 4 ขอในการอธบายเรองน
1. ประชากรชดหนงอาจถกยอมรบวาแจกแจงเปนโคงปกตกเพราะเปน
สงทรบรหรอสมมตวาเปนจรง ซงจรงๆ แลวอาจเปนการแจกแจงแบบอน แตคด
กนวาการแจกแจงนนเปนโคงปกต ตวอยางเชน ความสงของคนกลมใหญกลม
หนงกอตวเปนรปแบบของโคงปกตโดยประมาณ การวด IQ หรอนำาหนกของคน
กเชนกน มความเขาใจกนวาแจกแจงเปนโคงปกต แมความคดเชนน โดดเดนใน
ศตวรรษท 19 แตกฎเกณฑทางคณตศาสตรของโคงปกตไมไดเกดจากกฎทมา
จากธรรมชาต (nature’s rule) การแจกแจงหลายชนดทมความคลายคลงกบ
การแจกแจงแบบโคงปกตเกดขนไดในหลายสาขาวชานอกเหนอจากทางชววทยา
ดงกลาวแลวขางตน
2. อาจเปนเรองของความสะดวก (บนพนฐานทางคณตศาสตร) ท
สมมตวาประชากรแจกแจงเปนโคงปกต เพราะฟงกชนของโคงปกตมคณสมบต
ทางคณตศาสตรทสำาคญๆ ซงทฤษฎการแจกแจงชนดอนๆ ไมม การสมมตวา
ขอมลแจกแจงเปนโคงปกตทำาใหไดรบผลทางคณตศาสตรมากมายในการพฒนา
วธอนๆ ได ปญหาทางสถตอนหลากหลายสามารถหาคำาตอบไดถาประชากร
แจกแจงเปนโคงปกต โคงปกตยงเปนแมบทของการแจกแจงชนดอนๆ ในวชา
สถต แมแตการประยกตใชวธทางสถตตางๆ กพฒนาขนมาไดโดยใชทฤษฎของ
โคงปกต แมวาสมมตฐานของโคงปกตไมเปนจรง
3. การแจกแจงแบบโคงปกตใหบรการในดานการประมาณคาความนา
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 133
จะเปนทดกบทฤษฎการแจกแจงขอมลชนดอนๆ ได ถาการหาคาความนาจะเปน
ของทฤษฎอนๆ มความยงยากและทำางานลำาบาก ตวอยางเชน การแจกแจงแบบ
โคงปกตใหคาความนาจะเปนโดยประมาณทดแกขอมลทแจกแจงแบบไมตอเนอง
(binomial) ภายใตเงอนไขบางประการ เชน ให n มขนาดใหญ เปนตน
4. ขอนเปนเรองความเกยวเนองอยางใกลชดระหวางขนาดของกลม
ตวอยาง (n) กบเรองราวของ sampling distribution ทวงเขาใกลรปแบบของ
โคงปกต3 กลาวคอ sampling distribution ทกลมตวอยางมขนาดใหญจะมการ
แจกแจงแบบโคงปกต แมประชากรของกลมตวอยางจะไมกระจายเปนโคงปกต
กตาม เรยกกฎนวา Central Limit Theorem กฎขอนเปนขอสำาคญและเปนหลก
การทเปนประโยชนมาก กฎนไดมาจากทฤษฎการแจกแจงแบบโคงปกต และนำา
ไปทดสอบสมมตฐานกบการประมาณคาแบบชวงทใชกนอยางแพรหลาย
4. การแจกแจงแบบทวนาม (binomial distribution)
ในการสรางแบบสอบถาม ผวจยคงตองมคำาถามเกยวกบคณสมบตของ
ผตอบบาง เชน เพศ เปนชายหรอเปนหญง ทำางานหรอไม ภมลำาเนาเดม อย
จงหวดอะไร เปนตน ผตอบตองเลอกตอบเอาตามคณสมบตของตวเขา เชน เปน
3 sampling distribution หมายถงการกระจายของคาสถต เชน คาเฉลย คาเบยง
เบนมาตรฐานของกลมตวอยางทเปนไปไดทงหมด ไมวาจะสมแบบใสคนหรอไมใสคนกอนสม
ครงตอไปกตาม ตวอยางเชน สมมตมประชากรหนงประชากร ประกอบดวยขอมล 5 ตว คอ
2.2, 3.8, 4, 5.4 และ 6.6 ถาสมตวอยางมาขนาด 2 โดยใชวธสมแลวไมใสคน จะมจำานวน
ตวอยางทงหมด 10 ตวอยางดงน
2.2, 3.8 มคาเฉลย = 3 2.2, 4 มคาเฉลย = 3.1 2.2, 5.4 มคาเฉลย = 3.8
2.2, 6.6 มคาเฉลย = 4.4 3.8, 4 มคาเฉลย = 3.9 3.8, 5.4 มคาเฉลย = 4.6
3.8, 6.6 มคาเฉลย = 5.2 4, 5.4 มคาเฉลย = 4.7 4, 6.6 มคาเฉลย = 5.3
5.4, 6.6 มคาเฉลย = 6
จากนนใหนำาเอาคาเฉลยทงหมด 10 ตวมาเขยนบนเสนตรงทเปนแกน X ในกรณ
นพบวาไมมคาเฉลยตวใดทมคาซำากนเลย จงยงไมเกดเสนโคงทเรยกวาเสนโคงปกต ถาเพม
ขนาดตวอยางใหใหญขนและถาใชวธสมแลวใสคนกจะทำาใหมจำานวนตวอยางมากขน ซงจะ
ทำาใหเกดคาเฉลยของตวอยางมคาซำาๆ กนหลายตว คาเฉลยทงหมดจะกอตวเปนเสนโคงปกต
เราเรยกเสนกราฟนใหมวา sampling distribution
134 สมเพลน เกษมรตนสนต
ชาย ทำางานแลว อยจงหวดลำาปาง คำาตอบเหลานจะมลกษณะเปนตวแปรแบบ
ไมตอเนอง เปนชายกเปนชาย เปนหญงกเปนหญง ถาหากมจำานวนชายอย 3
คน และหญง 5 คน ตวเลขทนำามาใชจงเปนจำานวนนบคอเลข 3 หรอเลข 5
ไมสามารถวดเปนคาทมทศนยมได โดยทวๆ ไปนกคณตศาสตรจงคด proba-
bility function ทเปนพนฐานทสดหรอเปนเบองตนทสดของตวแปรแบบไมตอ
เนอง เรยกวา binomial probability mass function
binomial p.m.f. มฟงกชนดงน
p (x; n, p) = ⁿcx px q⁽ⁿ-x) (ม n และ p เปนคาสถตของประชากร
หรอเรยกวา parameter)
binomial p.m.f. เปนฟงกชนซงใชแทนการแจกแจงขอมลใดๆ ทเปน
แบบไมตอเนองและมเหตการณ 2 อยางประกอบกน เชน คนในโลกนม 2 เพศ
คอชายกบหญง ถาจะวเคราะหขอมลโดยสนใจเพศชายเปนเกณฑ กใช p แทน
เพศชาย ดงนน q กถกใชแทนเพศหญง (เรยก p วาเปนเหตการณทเปน suc-
cess เรยก q วาเปนเหตการณทเปน failure ตามปกต p+q = 1 เสมอ) ถา
ขอมลทเกบมาม 3 อาชพ เชน บางคนเปนคร บางคนเปนหมอ และบางคนเปน
ทนายความ หากงานวจยนนสนใจอาชพหมอ ใหหมอเปนตวยน กจะใช p แทน
อาชพหมอ และ q แทนอาชพอนๆ (คอครและทนายความ) เปนตน
ⁿcx เปนสตรของ combination คอ =
ถากลมตวอยาง (n) ม 5 คน และสมมาเพยง (x) 2 คน โดยสมแลวไมใสคน จะคำานวณออกมาไดดงน
5! อานวา 5 factorial มความหมายวาใหเอาตวเลข 5 คณตวเลข ท
ลดลงจาก 5 หนงคาคอ 4 คณตวเลขทลดลงจาก 4 หนงคาคอ 3 คณแบบนไป
เรอยจนกระทงถงเลข 1
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 135
หมายความวา จำานวนรปแบบทคน 5 คนจะถกสมออกมาทละ 2 คน
จะไดรปแบบทไมซำากนเลย ม 10 รปแบบ เชน สมมตใหคนทง 5 คน ชอ ก ข ค
ง และ จ สมทละ 2 คนไดคตางๆ ดงน กข กค กง กจ ขค ขง ขจ คง คจ และ งจ
p และ q เปนคาความนาจะเปนเบองแรกซงผทำาวจยตองทราบเสย
กอน เชน โอกาสเกดของเดกหญงในโลกน = 0.5 ของชายก = 0.5 เชนกน
โอกาสเกดหนา 1 แตมของลกเตาเทยงตรง = ¹/₆ ดงนน โอกาสเกดหนาอนๆ
ของลกเตานจะ = ⁵/₆ และ p + q ตอง = 1 เสมอ
คำาถามมกเกดขนวา จะทราบคาความนาจะเปนเบองแรกไดอยางไร คำา
ตอบกคอ สวนใหญจะทราบจากเหตการณทเกดซำาๆ กนหลายๆ ครงและหาคา
เฉลยออกมาเปนตวเลขได (relative frequency definition of probability) เชน
โอกาสเกดหวหรอกอยของสตางค 1 อนจะเทากน (ตางกเทากบ 0.5) โอกาส
เกดของเดกหญงและเดกชายจะเทากนคอ 0.5 บางครงเมอดจากบนทกเกาๆ ก
ทำาใหพอทราบได บางครงถาทำาวจยซำาๆ กนหลายๆ ครง ไดตวเลขตรงกนตลอด
มา กทำาใหทราบไดเชนกน หรองายทสดกคอการอานจากโจทย หรอโจทยบอก
ใหนนเอง เมอแทนคาตางๆ ลงใน probability function ตวเลข ทไดมาจงเปน
คาความนาจะเปนตวใหมซงเราตองการทราบ ตวอยางเชน ในครอบครวทมบตร
2 คน โดยปกตรปแบบทบตร 2 คนจะเกดเปนเพศชายหรอหญงเปนดงน (ชาย,
ชาย) (ชาย, หญง) (หญง, ชาย) (หญง, หญง) ดงนนผวจยอยากทราบคาความ
นาจะเปนการเกดของเดกหญงในครอบครวทมบตร 2 คน ตามรปแบบการกระ
จายดงบรรทดบนจงตองใช binomial p.m.f. หาคาความนาจะเปนดงกลาวดงน
จำานวนบตรหญง ⁿcx px q⁽ⁿ-x) คาความนาจะเปน คนท 1คนท 2
0 4
ชาย ชาย
4 คา ทไดมาจาก คำานวณไดดงน
เทอมอนๆ กหาคาไดในทำานองเดยวกน
136 สมเพลน เกษมรตนสนต
1 หญง ชาย
2 หญง หญง
คาความนาจะเปนตวใหมซงคำานวณไดจาก binomial p.m.f. จะตความ
หมายดงน
คา ¼ ของครอบครวทมบตรหญง 0 คน หมายความวาโอกาสท
ครอบครวครอบครวหนงมบตร 2 คน และไดบตรเปนชายทงหมด จะมเพยง ¼ จากจำานวนเตมคอ 1
คา ²⁄₄ หมายความวา โอกาสทบตรทงสองจะเปนชายหนงคน เปนหญง
หนงคน เปน ²⁄₄ จากจำานวนเตม 1 ซงกคอเปนบตรชายหนงและเปนบตรหญง
หนง มโอกาสเปนไปไดมากกวาเปนบตรชายทงคหรอเปนบตรหญงทงค
สงเกตไดวา คาความนาจะเปนทเกดขนทงหมดรวมกน (¼ + ²⁄₄ +
¼) ยอมเทากบ 1 เสมอ ซงกคลายกบการกระจายแบบ normal คอพนทใต
เสนโคงรวมกนทงหมด = 1 แตขอมลแบบ binomial เปนการกระจายแบบ ไม
ตอเนอง (ไมมทศนยม) การรวมกนของคาความนาจะเปนของเหตการณทงหมด
จงใชเครองหมาย summation (∑) และ probability function กคำานวณไดงาย
กวาการกระจายแบบโคงปกต อยางไรกตาม ขอแตกตางทเหนไดชดเจนเปนดงน
1. การหาคาเฉลยของขอมลแบบ binomial ใชสตร
คาเบยงเบนใชสตร
n คอ ขนาดตวอยาง
p คอ คาความนาจะเปนเบองแรกซงหาไวแลว
q คอ 1- p
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 137
2. ไมมการยอขนาดของขอมลดบใหกลายเปน z-score ไมวา n จะใหญ
โตเพยงไร ดงนน z-score จงเปนการรวบรวมขอมลใหเลกลง ทำาใหเหลอการกระ
จายหางออกไปจากเสนตรงกลางของโคงปกต (z-score = 0) เปน 3 z-score
ทางซาย (ปกตจะมคาเปนลบ เพราะคาลบจะทำาใหคะแนนดบมคาลดลง) และ 3
z-score ทางขวา ดงนนคา z-score จงเปนเรองของ เสนโคงปกตแตอยางเดยว
ไมเกยวกบการแจกแจงแบบ binomial (รวมทงการแจกแจงแบบอนๆ ดวย)
3. ดวยเหตผลของขอ 2 ถาลองเปดตารางคาความนาจะเปนของ bi-
nomial p.m.f. จะพบวานกสถตไดคำานวณคาความนาจะเปนไวโดยกำาหนด n ม
คาตงแต 1 ถง 20 ซงตองใชหนากระดาษถง 4 หนา (ดภาคผนวก จ1-จ4) ถา
n ใหญกวานกจะใชหนากระดาษเพมขน ซงกไมมใครคำานวณไว ถา n มขนาดใหญ
กวา 20 ผวจยจะตองคำานวณเอง หรอมฉะนนกใหหาคาความ นาจะเปนโดยอาศย
ตารางหาคาความนาจะเปนของโคงปกตแทน เรยกวา binomial approximation
to normal ซงสะดวกกวามาก แตตองทำาตามเงอนไขทกำาหนดไวบางอยาง (จะ
กลาวตอและยกตวอยางใหเหนในภายหลง)
เพอใหเกดความชดเจนมากยงขน ใหพจารณาตวอยางโจทยสก 2 ขอ
เปรยบเทยบกน รวมทงแกโจทยและตอบคำาถามทโจทยถาม
1. ชายคนหนงตองเดนทางจากบานทอยนอกเมองไปทำางานใน
เมอง โดยเดนทางเฉลย 24 นาท มคาเบยงเบนมาตรฐาน = 3.8
นาท ใหการเดนทางเปนการแจกแจงแบบโคงปกต
ก. จงหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใช
เวลาอยางนอยครงชวโมง
ข. ถาททำางานเรมงานเวลา 9 โมงเชา และเขาออก
จากบานเวลา 8.45 น. จงหาความนาจะเปนทเขา
จะไปทำางานสาย
2. สมมต 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย
เนองจากมลภาวะอากาศ ถาสมตนไมมา 5 ตน จงหา
ก. ความนาจะเปนทใบไมไดรบความเสยหาย 3 ตน
ข. คาเฉลยของตนไมทมใบเสยหาย
138 สมเพลน เกษมรตนสนต
ถาพจารณาโจทยทงสองขอ จะสงเกตเหนขอแตกตางกนดงน
ในขอทหนง ตวแปรเปนเรองของเวลา นบเปนชวโมงและนาทได
เปนตวแปรแบบตอเนอง และขอความในโจทยระบชดเจนวา “ใหการเดนทาง
แจกแจงเปนโคงปกต” คณสมบตทงสองอยางของขอมลชดนจงถกกำากบโดย
normal p.d.f. ดงนนการคำานวณหาคาความนาจะเปนตามทโจทยถามจงอาศย
ตารางพนทใตเสนโคงปกตซงไมตองคำานวณเองจาก probability function และ
อาศยสตร z-score ซงเปนคณสมบตของ normal p.d.f. นได
สวนในขอสอง เปนเรองของการสมเอาตนไมมาพนจพเคราะห ตองสม
มาเปนตนๆ ไมสามารถสมเพยงครงตนหรอ ¼ ของตนได ขอมลแบบนจงเปน
ขอมลไมตอเนอง ทงยงไมมขอความใดๆ ทระบวาเปนการแจกแจงแบบโคงปกต
แตกลบมขอความกลาววา 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย
จากมลภาวะ ยอมแสดงวายงมตนไมอกจำานวน 85% ทไมไดรบความเสยหาย
เรองนจงเปนเหตการณสองอยางประกอบกน ลกษณะขอมลแบบน จงเขาขาย
การแจกแจงแบบ binomial และสามารถอยภายใตกำากบของ binomial p.m.f.
ได การหาคาความนาจะเปนจงตองใช probability function ของ binomial และ
การหาคาเฉลยกตองใชสตรของ binomial เชนกน
ในการเรยนสถตขนพนฐาน ผเรยนยงเรยนเนอหาวชาไมมากนก จงยง
ไมอาจทดสอบขอมลดวยตนเองวาขอมลทไดมามรปแบบการแจกแจงเปนแบบใด
ม probability function ชนดใดเปนตวกำากบ โจทยจงมกจะบอกขอเทจจรง ตรง
นให ถาเราจบขอเทจจรงตรงนจากโจทยได กจะเปนการงายในการแกโจทยเปน
อยางมาก การแกโจทยหรอตอบคำาถามโจทยทำาไดดงน
ขอ 1. คาเฉลยในการเดนทาง (x) = 24 นาท
คาเบยงเบนมาตรฐานของการเดนทาง (S.D.) = 3.8 นาท
ขอ ก. ใหหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย
30 นาท ถาวาดรปจะไดดงน
สงทโจทยถามคอพนทหรอคาความนาจะเปนในสวนพนทแรเงา
การวเคราะห: การใชตารางพนทใตเสนโคงปกตหาคาความนาจะเปน
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 139
ถาพจารณาโจทยทงสองขอ จะสงเกตเหนขอแตกตางกนดงน
ในขอทหนง ตวแปรเปนเรองของเวลา นบเปนชวโมงและนาทได
เปนตวแปรแบบตอเนอง และขอความในโจทยระบชดเจนวา “ใหการเดนทาง
แจกแจงเปนโคงปกต” คณสมบตทงสองอยางของขอมลชดนจงถกกำากบโดย
normal p.d.f. ดงนนการคำานวณหาคาความนาจะเปนตามทโจทยถามจงอาศย
ตารางพนทใตเสนโคงปกตซงไมตองคำานวณเองจาก probability function และ
อาศยสตร z-score ซงเปนคณสมบตของ normal p.d.f. นได
สวนในขอสอง เปนเรองของการสมเอาตนไมมาพนจพเคราะห ตองสม
มาเปนตนๆ ไมสามารถสมเพยงครงตนหรอ ¼ ของตนได ขอมลแบบนจงเปน
ขอมลไมตอเนอง ทงยงไมมขอความใดๆ ทระบวาเปนการแจกแจงแบบโคงปกต
แตกลบมขอความกลาววา 15% ของตนไมในปาดบชนมใบไมไดรบความเสยหาย
จากมลภาวะ ยอมแสดงวายงมตนไมอกจำานวน 85% ทไมไดรบความเสยหาย
เรองนจงเปนเหตการณสองอยางประกอบกน ลกษณะขอมลแบบน จงเขาขาย
การแจกแจงแบบ binomial และสามารถอยภายใตกำากบของ binomial p.m.f.
ได การหาคาความนาจะเปนจงตองใช probability function ของ binomial และ
การหาคาเฉลยกตองใชสตรของ binomial เชนกน
ในการเรยนสถตขนพนฐาน ผเรยนยงเรยนเนอหาวชาไมมากนก จงยง
ไมอาจทดสอบขอมลดวยตนเองวาขอมลทไดมามรปแบบการแจกแจงเปนแบบใด
ม probability function ชนดใดเปนตวกำากบ โจทยจงมกจะบอกขอเทจจรง ตรง
นให ถาเราจบขอเทจจรงตรงนจากโจทยได กจะเปนการงายในการแกโจทยเปน
อยางมาก การแกโจทยหรอตอบคำาถามโจทยทำาไดดงน
ขอ 1. คาเฉลยในการเดนทาง (x) = 24 นาท
คาเบยงเบนมาตรฐานของการเดนทาง (S.D.) = 3.8 นาท
ขอ ก. ใหหาความนาจะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย
30 นาท ถาวาดรปจะไดดงน
สงทโจทยถามคอพนทหรอคาความนาจะเปนในสวนพนทแรเงา
การวเคราะห: การใชตารางพนทใตเสนโคงปกตหาคาความนาจะเปน
จำาเปนตองอานคา z-score ในคอลมนแรกเขาไปในคอลมนตอๆ ไป สดแลวแต
วาทศนยมในตำาแหนงทสองของคา z-score จะปรากฏเปนตวเลขอะไร กใหไป
ทคอลมนนนซงทหวคอลมนมเลขตรงกน แลวอานคาความนาจะเปนออกมา ดง
นนจงตองแปลงคาตางๆ ทโจทยกำาหนดให เปนคา z-score โดยทำาดงน
จากนนจงนำาคา z-score ไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต
กรณทใชตารางในภาคผนวกหนา ค ใหอานคา z-score = 1.5 ใน
คอลมนแรก และวงเขาไปทคอลมนท 10 ซงมหวคอลมนเขยนไววาเปนเลข 8
ซงเปนทศนยมตำาแหนงทสอง จงอานคาความนาจะเปนได 0.4429 ถาด ในรป
กจะเปนคาท xi อยระหวาง 24 ถง 30 นาท เพราะตารางนอานคาความนาจะ
เปนทเรมตรงกงกลางของเสนโคงตรงจดทคา z-score = 0 ออกไปทางหางขวา
คอคา +∞ ดงนน คำาตอบของขอ ก. นจงตองเอาคา 0.4429 ไปลบออกจาก
0.5000 ซงเปนพนทครงหนงของเสนโคงปกต จะได = 0.0571 นนคอ ความนา
จะเปนทการเดนทางจากบานจะใชเวลาอยางนอย 30 นาท เปน 0.0571
ในกรณทใชตารางในภาคผนวกหนา ง ถาอานคา z-score ดงทคำานวณ
ออกมาได (1.58) จะไดคำาตอบโดยตรงคอ 0.0571 เพราะตารางนบอกคาความ
นาจะเปนหรอกคอคาพนทใตเสนโคงปกต จากทางสดหางขวา (+∞) เขามาสคา z-score ทเรากำาลงเปดด (1.58) จงไดคำาตอบพอด
140 สมเพลน เกษมรตนสนต
ขอ ข. หมายความวา เขามเวลาเดนทางไดเพยง 15 นาท กถงเวลา
เขางานแลว (9.00 น.) ซงจรงๆ แลว ณ เวลา 9.00 น. นน ชายผนกำาลงเดน
ทางอย เพราะโดยเฉลยเขาตองใชเวลาเดนทางถง 24 นาท และเมอเปนคาเฉลย
ของทกๆ วนจงตความไดวา ถามเวลาเดนทางถง 24 นาท เขาจะไมไปทำางาน
สาย ดงนน คาความนาจะเปนของการไปทำางานสายจงอยระหวาง 15 ถง 24
นาท ดงรป
จงหาคาความนาจะเปนไดดงน
คดเปนคาความนาจะเปนโดยเปดจากตารางภาคผนวก ค = 0.2518
ในขอ 2. เขาสมตนไมมา 15 ตน ใหหาความนาจะเปนทจะพบใบไม ท
ไดรบความเสยหาย 3 ตน จากการวเคราะหแลวทราบวาขอ 2 นตองอยภายใต
กำากบของ binomial p.m.f. จงใชสตรในการหาคาความนาจะเปนดงน คอ
p(x) = ⁿcx px q⁽ⁿ-x)
p คอคาความนาจะเปนเบองแรก ซงโจทยบอกวา 15% ของตนไมใน
ปาดบชนมใบไมทไดรบความเสยหาย จงมคาเปน 0.15
q = 1 – 0.15 = 0.85... (p+q = 1)
n = 5 ตน
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 141
x = 3 ตนทโจทยถาม
จงคำานวณหาคาความนาจะเปนไดดงน
ถาไมคำานวณเองตามสตร กสามารถเปดตารางของ binomial ในภาค
ผนวกหนา ฉ1 เมอ n = 5 r หรอ x ในสตรขางบน = 3 p = 0.15 จะไดตวเลข
เปน 0.0244 ซงตรงกบทไดคำานวณไวพอด และคำาถามขอ ข. ซงใหหาคาเฉลย
ของตนไมทมใบเสยหาย ใหใชสตร
x = np
= 5 (0.15) = 0.75 คอคำาตอบคาเฉลยทโจทยถาม
จะเหนวาการแกโจทยทงสองขอ ตองอาศยความรเรอง probability
function ของขอมลมาเปนตวชวย จงจะคำานวณหาคำาตอบไดตามทตองการ
ในกรณทคาขนาดตวอยาง (n) ของการกระจายแบบ binomial p.m.f.
ใหญมากๆ เชน เปน 100 จะคำานวณไดลำาบากขน ตาราง binomial กไมมใหใช
เพราะ n มคาใหญกวา 20 ในเรองน นกคณตสถตไดคดคนกนมานานแลวพบวา
ถาขอมลใดมขนาดตวอยางทใหญ การกระจายของขอมลกจะมลกษณะใกลเคยง
กบโคงปกต ดงนนกอาจขอยมคณสมบตของเสนโคงปกตไปใชได โดยตองทำาตาม
เงอนไขทกำาหนด และปรบขอมลอกเลกนอย ถาลกษณะขอมลแบบ binomial จะ
ขอยมคณสมบตของเสนโคงปกตไปใช ตองเรยกวา binomial approximation to
normal ซงมขอกำาหนดดงน
(0.15)3 (0.85)2
142 สมเพลน เกษมรตนสนต
1. เมอขนาดตวอยางใหญ ซงกไมไดกำาหนดความใหญทแนนอน จง
แนะนำาใหดคา np หรอ nq ถาคณกนแลวตางกมคาใหญกวา 5 โดยทคา p และ
คา q ตางกไมใกลเคยงกบ 0 การกระจายแบบ binomial กจะใกลเคยงกบเสน
โคงปกต โดยมสตร standard score (z-score) ดงน
(x คอจำานวน p)
2. ใหเอาคา 0.5 บวกหรอลบออกจากคา x (แลวแตกรณ) เพอทำาให
ขอมลแบบขาดชวงมความตอเนองมากขน (เรยก Yate’s correction for con-
tinuity) เพราะคณสมบตของเสนโคงปกตกำาหนดใหขอมลทนำามาใชตองเปน
ขอมลแบบตอเนอง จากนนจงนำาคาตางๆ มาเขาสตร z-score ทกลาวไปแลว
และนำาคา z-score ไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกต กจะไดคาความนาจะเปน
ทใกลเคยงและประหยดเวลามากกวาการคดคำานวณจาก binomial probability
function ตวอยางเชน
ประชากรประกอบดวยนกศกษาชนปทหนง 1⁄₆ สวน นอกนนเปน
นกศกษาชนปอนๆ ในการสมจบฉลากชอนกศกษา 120 ครง ใหหาความนาจะ
เปนทจะไดนกศกษาชนปทหนง 18 ครงหรอนอยกวา (สมแลวใสคน)
โจทยขอนบอกลกษณะของประชากรวาประกอบดวย 2 ลกษณะ คอ
นกศกษาชนปทหนงมคาความนาจะเปนเบองแรก = 1⁄₆ และนกศกษาชนปอนๆ
มคาความนาจะเปนเบองแรก = ⁵⁄₆ การหาคาความนาจะเปนจงควรอาศย
probability function ของ binomial ซงกคอ ⁿcx px q⁽ⁿ-x)
ในทน p = 1⁄₆ q = ⁵⁄₆
n = 120 x = 18, 17, 16, … , 0 คน
ดงนนจงหาคาความนาจะเปนไดดงน
¹²⁰C₁₈ (1⁄₆)¹⁸ (⁵⁄₆) ¹⁰² + ¹²⁰C₁₇ (1⁄₆) ¹⁷(⁵⁄₆) ¹⁰³ + … + ¹²⁰C₀ (1⁄₆)⁰ (⁵⁄₆) ¹²⁰
เหนไดวา คาตางๆ คำานวณไดลำาบากและเสยเวลามาก และเมอ
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 143
พจารณาจาก np = 120(1⁄₆) = 20 หรอ nq = 120(⁵⁄₆) = 100 ซงเปนตวเลขทใหญกวา 5 จงทำาใหทราบวาโจทยขอนสามารถใช binomial approximation to
normal ได
จากตวเลข 0 คน ถงตวเลข 18 คน ซงเปนคา x จำาเปนตองใชตวเลข
(-0.5) ถง (18.5) แทน (ในทนใหเอาตวเลข 0 คน ลบ 0.5 จงไดคา -0.5 และ
เอาตวเลข 18 คน บวก 0.5 จงไดคา 18.5 ทงนเพอใหคาทงสองผานจดทโจทย
ถามคอ 0 และ 18 มฉะนนจะไดคำาตอบทไมถกตอง) การบวกหรอการลบออก
นนกเปนการทำาใหขอมลแบบขาดชวงมความใกลเคยงกบขอมลแบบตอเนอง โดย
ใชวธของ Yate’s correction for continuity พนทแรเงาจากภาพขางลางแสดง
ถงคาความนาจะเปนทโจทยถาม
คา z-score (-5.02) นำาไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกตภาคผนวก
ค ไดคา 0.5000
คา z-score (-0.37) นำาไปเปดตารางพนทใตเสนโคงปกตภาคผนวก
ค ไดคา 0.1443
ดงนน คาความนาจะเปนจงมคา = 0.5000 – 0.1443
= 0.3557
144 สมเพลน เกษมรตนสนต
วธนคำานวณไดงายและเรวกวาการใช binomial p.d.f. การคำานวณเชน
นมขอสงเกตดงน
1. โจทยกำาหนดขอมลใหเปนแบบ binomial p.d.f. แตถามคาความนา
จะเปนเปนแบบชวง จงนำาเอาคณสมบตของการกระจายแบบโคงปกตมาใชแทน
ได เชน สตร z-score ทปรบใหรบกบ binomial และตารางพนทใตเสนโคงปกต
เปนตน ถาโจทยถาม ณ จดใดจดหนง เชน ใหหาคาความนาจะเปนทสมแลวได
นกศกษา 15 คน ในกรณนกตองคำานวณจาก binomial p.d.f. (ⁿcx px q⁽ⁿ-x)) แมจะตองเสยเวลากตาม บางครงอาจมการคำานวณจากคา 14.5 - 15.5 อยบาง
แตกไมเปนทนยมมากนก และทำาใหทราบวาการหาคาความนาจะเปน ของขอมล
แบบตอเนอง ณ จดใดจดหนงไมสามารถหาได
2. เปนเรองททำาใหทราบวามการยมคณสมบตของ probability func-
tion อนๆ มาใชได แตตองทำาตามเงอนไขอยางเครงครด และตองมสตรทนกสถต
คดไวแลวเพอใหเรานำามาใช มฉะนนกไมสามารถยมกนได (เรองนจะเหนไดชด
ขนในเรองการทดสอบ 2 test of independence ซงขอมลทกระจายแบบ chi-
square (x2) ตองเปนขอมลแบบตอเนอง หากเรานำาเอาขอมลแบบขาดชวง
เชน multinomial p.d.f. มาขอยมคณสมบตของ chi-square ไปใช กตองทำา
ตามเงอนไขอยางเครงครดเหมอนกน)
เรองแบบนทำาใหเกดฐานคต (assumptions) ตางๆ ในวชาสถต ผใช
จำาเปนตองปฏบตตามอยางเครงครด เพอใหคำานวณไดตวเลขทถกตอง จะไดนำา
ไปใชกำาหนดแผนงานหรอวางนโยบายไดอยางมประสทธภาพ
5. สรป
โดยสรป ความเขาใจในเรอง probability function ของการกระจาย
ขอมลเปนเรองสำาคญ แมจะเปนนกศกษาสายสงคมศาสตรกควรจะรบทราบ
เพราะจะทำาใหเขาใจสถตมากขน จะไดวเคราะหโจทยไดถกและแกโจทยเปน
ทำาใหทราบวาตารางสถตแตละตารางมทมาอยางไร และเปนพนฐานในการเรยนร
สถตขนสงตอไป เชน การทดสอบสมมตฐาน การวเคราะหคาแปรปรวน เปนตน
และสามารถนำาผลการทดสอบไปใชปฏบตในการวางแผนหรออนๆ ตอไป
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 145
หนงสออางอง
เอกสารภาษาไทย
ธระพร วระถาวร. 2539. ความนาจะเปนกบการประยกต. กรงเทพฯ: นำาอกษรการพมพ.
วนส พชวณชย และชนนะพงษ บำารงทรพย. 2547. ทฤษฎความนาจะเปน: พนฐานและการ
ประยกต. กรงเทพฯ: ประกายพรก.
รชกมล กบลจตต. 2545. ความนาจะเปน: ทฤษฎและการประยกต. นครปฐม: โรงพมพ
มหาวทยาลยศลปากร.
เอกสารภาษาองกฤษ
Freund, John E. 1962. Mathematical Statistics. Englewood Cliffs, New Jersey:
Prentice-Hall.
Hays, William L. 1973. Statistics for the Social Sciences. 2nd ed. New York: Holt,
Rinehart and Winston.
Hoyt, John P. 1967. A Brief Introduction to Probability Theory. Scranton, Penn-
sylvania: International Textbook.
Hogg, Robert V. and Allen T. Craig. 1971. Introduction to Mathematical Statistics.
New York: Macmillan.
Spiegel, Murrey R. 1961. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Statistics.
New York: Schaum.
146 สมเพลน เกษมรตนสนต
ภาคผนวก ก
เนองจากตวแปรแบงออกเปนแบบตอเนอง (continuous) และแบบไม
ตอเนอง (discrete) จงแยกอธบาย random variable ออกเปน discrete ran-
dom variable และ continuous random variable
Discrete Random Variable
ถาตวแปร X มชดของคาทเปนตวเลขไมตอเนอง เชน ลกเตาหนงลกม
แตมของหนาตางๆ ในแตละหนาเปนตวเลขทไมตอเนอง (discrete values) คอ
หนา 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แตม ถาใหลกเตาลกนเปนลกเตาทมความเทยงตรง
ไมถกถวงนำาหนกใหหนาใดหนาหนงปรากฏอยเสมอ แตละหนาจงมโอกาสเกด
เทาๆ กนในการโยนแตละครง แตละหนาของลกเตาจงมคาความนาจะเปนเทาๆ
กนคอ 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6 และ 1/6 โดยมผลรวมของคาความนาจะ
เปนทงหมดเปน 1 เราเรยกตวแปรแบบนวา discrete random variable สวน
function p(x) ซงมคาเปน 1/6 ทงหมดจะเรยกวา probability mass function
ของตวแปร X นนคอ เราเนนความสำาคญของคาความนาจะเปนทมประจำาตว
เหตการณทจะเกดทกเหตการณ คอการเกดหนาทมแตมตางๆ และเมอรวมกน
เปน 1 เราจงเรยกตวแปรนวา random variable, chance variable หรอ sto-
chastic variable
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 147
Continuous Probability Variable
แนวคดของ discrete random variable สามารถขยายมาสตวแปร X
ทมชด ของตวเลขแบบตอเนองได เสนตอเนองทเรยกวา relative frequency
polygon (เสนประ ในภาพซายมอทโยงจดกงกลางของแทง histogram) ถกลาก
ตอกนเปนเสนโคงทมความตอเนองทแสดงในภาพขวา
เสนโคงภาพขวามสมการคอ Y = p(x) และมคณสมบตเพมเตมคอ
พนทใตเสนโคงทงหมดจะเทากบ 1 โดยทพนทใตเสนโคงระหวาง X = a และ X
= b (พนทแรเงา) ใหคาความนาจะเปนของ X ซงอยระหวางคา a และ b ยอม
มคาไมถง 1 เขยนเปนสญลกษณไดคอ Pr(a ≤ X ≤ b)
เราเรยก p(x) วาเปน probability density function หรอเรยกสนๆ
วา density function และเรยกตวแปร X วา continuous random variable
ตวแปร X จะเปน continuous random variable ไดกตอเมอม probability
function กำากบอย และผลรวมของคา probability function = 1 คาความนาจะ
เปนของตวแปร X ซงเปนตวแปรทมความตอเนองจงตองหาเปนชวง เชน หาคา
ความนาจะเปนของ X ทมคาตงแต a ถง b ซงยอม มคาไมถง 1 การหาคาความ
นาจะเปนของตวแปร X ทคาใดคาหนงจง = 0
148 สมเพลน เกษมรตนสนต
ความคลายกนกบ discrete random variable คอตวแปร X ของทง
สองชนด จะม probability function กำากบอย และผลรวมของคาความนาจะ
เปนของชดตวเลขของตวแปร X = 1
ความแตกตางกนคอ discrete random variable จะหาคาความนาจะ
เปนของ แตละตวของชดขอมลได เชน หนา 3 แตมของลกเตามคาความนาจะ
เปนเปน 1/6 เปนตน แต continuous random variable ตองหาคาความนาจะ
เปนของตวแปร X เปนชวงๆ
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 149
ภาคผนวก ข
เพอทบทวนความจำา จงไดยกกรณตวอยางการเขยนกราฟจากสมการ
พชคณตธรรมดา (ไมใช probability function) มาใหดจำานวน 2 กราฟ ซงไมม
คณสมบตเรอง คาความนาจะเปน สำาหรบฟงกชนของการแจกแจงแบบโคงปกต
นนสามารถเขยนเปนกราฟ ไดเชนกน และยงมคณสมบตเรองคาความนาจะเปน
เขามาเกยวของดวย
Y = 2X - 3 หาคา X และ Y ได ดงน
X โดยสมมต -1 0 1 2
Y -5 -3 -1 1
สมการนใหกราฟเปนรปเสนตรง
150 สมเพลน เกษมรตนสนต
Y = X2 - 2X - 8 หาคา X และ Y ได ดงน
X โดยสมมต -2 -1 0 1
Y 0 -5 -8 -9
สมการนใหกราฟเปนรปเสนโคง Parabola
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 151
ภาคผนวก ค
152 สมเพลน เกษมรตนสนต
ภาคผนวก ง
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 153
ภาคผนวก จ
154 สมเพลน เกษมรตนสนต
ภาคผนวก ฉ 1
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 155
ภาคผนวก ฉ 2
156 สมเพลน เกษมรตนสนต
ภาคผนวก ฉ 3
นาจะด ถานกศกษาสายสงคมศาสตรจะรจก Probability Function 157
ทมา: Richard Steven Burington and Donald Curtis May. 1970.
Handbook of Probabilities with Tables. (2nd ed.) New York: McGraw
- Hill, pp.347-350.
ภาคผนวก ฉ 4