Page 1
ก
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ค าน า
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมท 2 เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ เลมน จดท าขนเพอพฒนาทกษะการคดวเคราะห การคดสงเคราะห และการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยมงเนนใหนกเรยนเกดทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร รวมทงสามารถน าความรไปประยกตใชในชวตประจ าวนได แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมนไดสอดแทรกเนอหาสาระการเรยนรและกจกรรมไวอยางหลากหลาย มล าดบขนตอนการท า จากงายไปหายาก ชวยกระตนใหนกเรยนอยากเรยนร ทาทายความสามารถ เหมาะสมกบวย และพฒนาการของนกเรยน มเนอหาครอบคลมวชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ระดบชนมธยมศกษาปท 4 สอดคลองกบสาระและมาตรฐาน การเรยนรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ จดท าขนทงหมด 7 เลม เลมท 2 น ประกอบไปดวยค าแนะน าส าหรบครผสอน ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะ ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน ใบความร แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยนและแบบบนทกคะแนน มเฉลยแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกทกษะ และเกณฑ การใหคะแนนอยในภาคผนวกทายเลม
ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมน จกเปนประโยชนแกนกเรยน ผสนใจและครผสอนสามารถน าไปใช ในการจดการเรยนร ขอขอบคณผเชยวชาญ ผมสวนรวม และกลยาณมตรทกทานทใหค าแนะน า และตรวจสอบแบบฝกทกษะเลมนจนส าเรจลลวงดวยด
พนดา เจรญสข
Page 2
ข
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
สารบญ
เรอง หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าแนะน าส าหรบครผสอน ง ค าแนะน าส าหรบนกเรยน จ ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน ฉ ผลการเรยนร ช จดประสงคการเรยนร ช แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 4 ใบความรท 1 เรอง ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ 5 แบบฝกทกษะท 1.1 เรอง มตของเมทรกซ 8 แบบฝกทกษะท 1.2 เรอง สมาชกของเมทรกซ 10 ใบความรท 2 เรอง ชนดของเมทรกซ 12 แบบฝกทกษะท 2.1 เรอง ชนดของเมทรกซ 19 แบบฝกทกษะท 2.2 เรอง ชนดของเมทรกซ 21 แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 23 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 26 แบบบนทกคะแนน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 26
Page 3
ค
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
สารบญ (ตอ)
เรอง หนา ภาคผนวก 28 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 29 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 เรอง มตของเมทรกซ 30 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 เรอง สมาชกของเมทรกซ 32 เฉลยแบบฝกทกษะท 2.1 เรอง ชนดของเมทรกซ 35 เฉลยแบบฝกทกษะท 2.2 เรอง ชนดของเมทรกซ 37 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 39 บรรณานกรม 40
Page 4
ง
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ค าแนะน าส าหรบครผสอน
1. แบบฝกทกษะเลมนใชรวมกบการจดกจกรรมการเรยนรแบบกลมเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) ครผสอนสามารถน าไปใชจดกจกรรมการเรยนรตามคมอการจดกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 ตามทจดใหไวอยางครบถวน
2. ชแจงจดประสงคการเรยนร วธการเรยนรใหนกเรยนทราบ และรวมกนท าขอตกลงในการเรยนใหตรงกนระหวางครกบนกเรยน
3. ใหนกเรยนอานค าแนะน าและขนตอนการใชแบบฝกทกษะกอนลงมอท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคล จากนนสงกระดาษค าตอบใหครเปนผตรวจและบนทกผลคะแนนเกบไว
4. ใหนกเรยนศกษาใบความรกอนลงมอท าแบบฝกทกษะแตละแบบฝกดวยความตงใจ หลงจากนนใหนกเรยนจบคกนภายในกลมตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝกทกษะในภาคผนวกอยางรอบคอบและซอสตยโดยครจะเปนผตรวจสอบอกครง
5. ในการจดกจกรรมการเรยนรเมอนกเรยนมปญหาในการท าแบบฝกทกษะ หรอไมเขาใจในเรอง ทเรยนครตองอธบายนกเรยนเพมเตมทนทจนกระทงนกเรยนเขาใจอยางถองแท
6. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลและสงกระดาษค าตอบใหครตรวจ ครแจงผลการตรวจแบบทดสอบหลงเรยนใหนกเรยนทราบแลวน าไปหาคาเฉลยเปนคะแนนความส าเรจของกลม
Page 5
จ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ค าแนะน าส าหรบนกเรยน
1.ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท
2. ใหนกเรยนแตละคนศกษาใบความรอยางละเอยดทกครงกอนลงมอท าแบบฝกทกษะดวยความตงใจ หลงจากนนตรวจแตละแบบฝกทกษะจากเฉลยในภาคผนวกทละแบบฝกตามล าดบอยางรอบคอบและซอสตย แลวบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน ถาผลคะแนนจากการท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 80 นกเรยนสามารถศกษาใบความร หรอท าแบบฝกทกษะตอไปได หากมสมาชกในกลมไดคะแนนต ากวาเกณฑ ใหสมาชกในกลมนนชวยเหลอและใหค าแนะน าแกเพอนแลวท าแบบฝกทกษะจนผานเกณฑรอยละ 80
3. ในการท าแบบฝกทกษะทกครง ขอใหนกเรยนท าดวยความตงใจ และมความซอสตยตอตนเอง ไมลอกเพอนหรอเปดดเฉลยกอน ควรท าใหเสรจในเวลาทก าหนด หากมขอสงสยในสวนทเปนเนอหา กอนลงมอท าแบบฝกทกษะในแตละชด นกเรยนสามารถขอค าปรกษาและซกถามจากครผสอนได
4. เมอศกษาใบความรและท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 80 ครบทกชดแลว ใหนกเรยน ท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท
Page 6
ฉ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน
ท าความเขาใจค าแนะน าการใช แบบฝกทกษะส าหรบนกเรยน
ท าแบบทดสอบกอนเรยน
ศกษาแบบฝกทกษะ เลมท 2 โดย - ศกษาใบความร
- ท าแบบฝกทกษะ
ท าแบบทดสอบหลงเรยน
ผานเกณฑ (รอยละ 80)
ศกษาแบบฝกทกษะวชาคณตศาสตร เลมท 3
เรอง การบวกและการลบเมทรกซ
ไมผานเกณฑ
Page 7
ช
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ผลการเรยนร
จดประสงคการเรยนร
ดานความร (K) 1. นกเรยนสามารถบอกความหมายของเมทรกซได 2. นกเรยนสามารถเขยนสญลกษณแทนเมทรกซได 3. นกเรยนสามารถบอกชนดของเมทรกซได
ดานทกษะกระบวนการ (P) 1. นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2. นกเรยนมความสามารถในการเชอมโยง
ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A)
1. นกเรยนมวนย รบผดชอบ 2. นกเรยนใฝเรยนร
มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซ และการด าเนนการของเมทรกซ
Page 8
1
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ค าชแจง
1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ลงในกระดาษค าตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. ก าหนด
043
021A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. A เปนเมทรกซทม 2 หลก 3 แถว ข. 23 เปนมตของเมทรกซ A
ค. 32 เปนมตของเมทรกซ A ง. A เปนเมทรกซทมขนาด 23
2. ก าหนด
10
01
10
B ขอใดตอไปนถกตอง
ก. B เปนเมทรกซทม 2 แถว 3 หลก ข. 23 เปนมตของเมทรกซ B
ค. 32 เปนมตของเมทรกซ B ง. B เปนเมทรกซทมขนาด 32
3. ตอไปนไมถกตอง
ก. เมทรกซจตรสเขยนแทนดวย nmij ]a[A
ข. เมทรกซจตรสมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i = j
ค. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i < j
ง. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i > j
แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
Page 9
2
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
4. ก าหนด 31ij ]a[A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. 31ij ]a[A เมอ 3 2, 1, i และ 1 j
ข. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 j
ค. 31ij ]a[A เมอ 3 i และ 3 2, 1, j
ง. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 2, 1, j
5. ก าหนด
4-03-4
12-30
01-21
A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. 7 a a a 312111 ข. 2 a a a 332211
ค. 4 a a a 342312 ง. 5- a a a 342414
6. ก าหนด
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A แลวขอใดถกตอง
ก. A เปนเมทรกซจตรส ข. A เปนเมทรกซสเกลาร
ค. A เปนเมทรกซศนย ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ
7. ก าหนดให 44ij ][a A ถา
j i เมอ j - ij i เมอ 1
j i เมอ j i aij แลวขอใดตอไปนถกตอง
ก.
1765
1154
2113
3211
A ข.
1123
7112
6511
5431
A
Page 10
3
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ค.
11-2-3-
711-2-
6511-
5431
A ง.
1765
7154
6513
5431
A
8. ขอใดตอไปนไมถกตอง
ก. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซสเกลาร ข. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซจตรส
ค. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซจตรส ง. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซเอกลกษณ
9. ก าหนด
0111
1011
1101
1110
A แลวขอใดตอไปนไมถกตอง
ก. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ 0 ข. A เปนเมทรกซทมมต 4 4
ค. A เมทรกซจตรส ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ
10. ก าหนด
1-12
311
201-
A ขอใดตอไปนมผลลพธตางจากขออน
ก. 233311 a a a ข. 22131133 a aa 2a
ค. 312213 3a a a ง. 312111 a a 2a
Page 11
4
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ชอ ชน เลขท
ขอ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
คะแนนเตม 10 คะแนน
ท าได คะแนน
เรมศกษาใบความรท 1
ความหมายและชนดของเมทรกซ
Page 12
5
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
บทนยาม เมทรกซ (Matrix) คอ ชดของจ านวน mn ตว ( m , n ∈ I+ ) ซงเขยนเรยงกน m แถว (row) n หลก (column) ภายในเครองหมายวงเลบ ในรปแบบ
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
เรยก 1. aij วาเปนสมาชกของเมทรกซ (entry) ในแถวท i หลกท j
เมอ i ∈{1, 2, 3, … m} และ j ∈{1, 2, 3, … n} 2. เมทรกซทม m แถว และ n หลก วาเปน nm เมทรกซ (อานวา เอม คณ เอน เมทรกซ) 3. nm เปนมตของเมทรกซ (dimension of matrix)
ตวอยางท 1 ก าหนด
2
1A จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก
พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ A คอ 12 เมทรกซ A ม 2 แถว 1 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a21 = 2
ใบความรท 1
เรอง ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ
แถวท 1 แถวท 2
แถวท m
หลกท 1 หลกท 2 หลกท n
Page 13
6
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ตวอยางท 2 ก าหนด
21
62B จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก
พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ B คอ 22 เมทรกซ B ม 2 แถว 2 หลก มสมาชก คอ a11 = 2, a12 = 6,
a21 = 1, a22 = 2 ตวอยางท 3 ก าหนด 1]01[C จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก
พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ C คอ 31 เมทรกซ C ม 1 แถว 3 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a12 = 0, a13 = 1
ตวอยางท 4 ก าหนด
987
654
321
D จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก
พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ D คอ 33 เมทรกซ D ม 3 แถว 3 หลก มสมาชก คอ a11 = 1, a12 = 2, a1 = 3, a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a31 = 7, a32 = 8, a33 = 9
Page 14
7
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ตวอยางท 5 ก าหนด
1234
5665
4321
F จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว
จ านวนหลก พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ F คอ 43 เมทรกซ F ม 3 แถว 4 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a12 = 2 , a13 = 3 , a14 = 4 ,
a21 = 5 , a22 = 6 , a23 = 6, a24 = 5, a31 = 4, a32 = 3, a33 = 2, a34 = 1
ตวอยางท 6 ก าหนด
43
21A , 1 0 1B และ
3
1
2
C
จงหา 1. a11 + b12 – c21 2. 2b13 – 3c11 + a22 3. ถา aij + b11 + cij = 0 แลว aij และ cij มคาเทาไร
วธท า 1. a11 + b12 – c21 = 1 + 0 – 1 = 0 2. 2b13 – 3c11 + a22 = 2(–1) – 3(–2) + (–4) = 0 3. ถา aij + b11 + cij = 0 แลว aij และ cij มคาเทาไร
จาก aij + b11 + cij = 0 จะได 1 + 1 + (–2) = 0 นนคอ aij คอ a11 = 1
bij คอ c11 = –2
เมอเขาใจแลวลองมาท า
แบบฝกทกษะท 1.1 กนเลยคะ
Page 15
8
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ จ ำนวนแถว จ ำนวนหลก มต
ตวอยำง ]3 2- [ Z 1 2 2 1
1 ]1 [ A
2
3
2-
1
B
3
12-
5-4 C
4
5-0
32-
21
D
5
22-1-
212 E
6
853
02-2
514
F
แบบฝกทกษะท 1.1
เรอง มตของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนจ านวนแถว จ านวนหลก และมตลงใน ตารางใหถกตอง
Page 16
9
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ จ ำนวนแถว จ ำนวนหลก มต
7
7531
3013
12-24-
G
8
4-40
3-30
2-20
1-10
H
9
1000
0100
0010
0001
I
10
21543
32154
43215
54321
J
Page 17
10
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
1 ก าหนด
06-4
312- A จงหา a12, a13, a21, a23
วธท า a12 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 2 ดงนน a12 = 1
a13 คอ สมาชกของ A ในแถวท หลกท ดงนน a13 =
a21 คอ สมาชกของ A ในแถวท หลกท ดงนน a21 =
a23 คอ สมาชกของ A ในแถวท หลกท ดงนน a23 =
2 ก าหนด
124-
53-0
412
B จงหา b11, b13, b21, b22, b23, b32, b33
วธท า b11 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 1 ดงนน b11 = 2
b13 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 3 ดงนน b13 = 4
b21 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท ดงนน b21 =
แบบฝกทกษะท 1.2
เรอง สมำชกของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
Page 18
11
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
b22 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท
ดงนน b22 = b23 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท
ดงนน b23 = b32 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท
ดงนน b32 = b33 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท
ดงนน b33 =
3 ก าหนด
544-5-
433-4-
322-3-
211-2-
C และ
1324
1221 D จงหา
1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24
วธท า 1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14
2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24
Page 19
12
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
1. เมทรกซจตรส (Square matrix)
เปนเมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก เขยนแทนดวย nnij ]a[A
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
เสนทแยงมมหลก (main diagonal) เปนเสนทลากจากมมบนซายลงสมมลางขวา
(แนวสมาชก 11a , 22a , 33a ,…, nna )
: เมอใชเสนทแยงมมหลกเปนเกณฑ จะไดวา หมายเหต
1. สมาชกทอยในแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i = j
2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i < j
3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i > j
เสนทแยงมมหลก
ใบความรท 2
เรอง ชนดของเมทรกซ
เมทรกซทนกเรยนควรรจก มดงน
Page 20
13
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ตวอยางท 1 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซจตรสหรอไม เพราะเหตใด
1. A = [1]
ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก คอเทากบ 1
2.
123
132
321
B
ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก คอเทากบ 3
3.
404
303
202
101
C
ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบ 4 และมจ านวนหลก เทากบ 3 ซงไมเทากน
4.
4321
0000
4321
D
ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบ 3 และมจ านวนหลก
เทากบ 4 ซงไมเทากน
Page 21
14
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ตวอยางท 2 ก าหนด
4312
2134
4321
4321
A จงหา
1. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก 2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก 3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก
วธท า จาก
4312
2134
4321
4321
A
1. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก 1, 2, –1, 4 2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก 2, 3, 4, –3, 4, –2 3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก –1, 4, 3, –2, 1, 3
Page 22
15
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
2. เมทรกซศนย (Zero matrix)
เปนเมรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย เมอ nmij ]a[A และ ija = 0
เขยนแทนดวย 0 หมายเหต : เมทรกซศนยไมจ าเปนตองเปนเมทรกซจตรส
ตวอยางท 3 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซศนยหรอไม เพราะเหตใด
1. A = [0]
ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนย
2.
00
00B
ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนยทกตว
3.
000
000C
ตอบ เมทรกซ C เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนยทกตว
4.
10
00
00
D
ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกหนงตวทไมเปนศนย
Page 23
16
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
3. เมทรกซสเกลาร (Scalar matrix) เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ( ija โดยท i = j) เทากนทกตว
และ ija ท i ≠ j เปนศนยทกตว
ตวอยางท 4 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซสเกลารหรอไม เพราะเหตใด
1.
10
01A
ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซสเกลาร เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมม
หลกเทากนทกตว คอ เทากบ 1 และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว
2.
200
020
002
B
ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซสเกลาร เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมม
หลกเทากนทกตว คอ เทากบ –2 และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว
3.
4000
0300
0020
0001
C
ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซสเกลาร เพราะสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกแตละตว
ไมเทากน
Page 24
17
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
4. เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ( ija โดยท i = j) เทากบ 1 ทกตว
และ ija ท i ≠ j เปนศนยทกตว นนคอ
เมอ nnij ]a[A จะได
j i เมอ 0j i เมอ 1
a ij
เขยนแทนดวย I หรอ nI ส าหรบเมทรกซ nn
หมายเหต : 1. ถา I เปนเมทรกซเอลกษณแลว I เปนเมทรกซสเกลารดวย
2. Ik เปนเมทรกซสเกลาร เมอ k เปนคาคงตวใดๆ ตวอยางท 5 เมทรกซในขอใดตอไปนเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเหตใด
1.
10
01 A
ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนว
เสนทแยงมมหลกเทากบ 1 ทกตว และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว
2.
100
010
001
B
ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนว
เสนทแยงมมหลกเทากบ 1 ทกตว และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว
Page 25
18
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
3.
1000
01-00
001-0
0001
C
ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกบางตว
ไมเทากบ 1
4.
1001
0110
0110
1001
D
ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะสมาชกทไมไดอยในแนวเสนทแยงมมหลก
บางตวไมเทากบ 0
5. เมทรกซเอกฐาน (Singular matrix) เปนเมทรกซจตรสทไมมอนเวอรสการคณ เมทรกซไมเอกฐาน (Nonsingular matrix) เปนเมทรกซจตรสทมอนเวอรสการคณ
โปรดตดตามใน เลมท 6 “อนเวอรสการคณของเมทรกซ”
Page 26
19
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ ชนดของเมทรกซ
จตรส ศนย สเกลาร เอกลกษณ
ตวอยาง A = [0]
ตวอยาง
20
02 B
1
10
01C
2 ]000[D
3
1
0
1
E
4
242
424
242
F
5
100
010
001
G
แบบฝกทกษะท 2.1
เรอง ชนดของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเครองหมาย ลงในตารางใหถกตอง
Page 27
20
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ ชนดของเมทรกซ
จตรส ศนย สเกลาร เอกลกษณ
6
00
00
00
H
7
100
010
001
I
8
000
000J
9
200
020
002
K
10
1000
0100
0010
0001
L
Page 28
21
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
1. ก าหนด 22ij ]a[A และ
ji เมอ 0ji เมอ 1
a ij
2. ก าหนด 33ij ]b[B และ
ji เมอ 1ji เมอ 0
b ij
แบบฝกทกษะท 2.2
เรอง ชนดของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเมทรกซตามเงอนไขทก าหนด พรอมทงบอกชนดของเมทรกซ
Page 29
22
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
3. ก าหนด 44ij ]c[C และ
ji เมอ j-iji เมอ 0
c ij
4. ก าหนด 44ij ]d[D และ
ji เมอ jiji เมอ jiji เมอ ji
d ij
5. ก าหนด 44ij ]e[E และ
ji เมอ 3-ji เมอ 0
e ij
Page 30
23
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ค าชแจง
1. แบบทดสอบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ทบตวอกษรหนาขอทถกตอง
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. ตอไปนไมถกตอง
ก. เมทรกซจตรสเขยนแทนดวย nmij ]a[A
ข. เมทรกซจตรสมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i = j
ค. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i < j
ง. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i > j
2. ก าหนด 31ij ]a[A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. 31ij ]a[A เมอ 3 2, 1, i และ 1 j
ข. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 j
ค. 31ij ]a[A เมอ 3 i และ 3 2, 1, j
ง. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 2, 1, j
3. ก าหนด
4-03-4
12-30
01-21
A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. 7 a a a 312111 ข. 2 a a a 332211
ค. 4 a a a 342312 ง. 5- a a a 342414
แบบทดสอบหลงเรยน เรองความหมายและชนดของเมทรกซ
Page 31
24
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
4. ก าหนด
043
021A ขอใดตอไปนถกตอง
ก. A เปนเมทรกซทม 2 หลก 3 แถว ข. 23 เปนมตของเมทรกซ A
ค. 32 เปนมตของเมทรกซ A ง. A เปนเมทรกซทมขนาด 23
5. ก าหนด
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A แลวขอใดถกตอง
ก. A เปนเมทรกซจตรส ข. A เปนเมทรกซสเกลาร
ค. A เปนเมทรกซศนย ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ
6. ก าหนด
1-12
311
201-
A ขอใดตอไปนมผลลพธตางจากขออน
ก. 233311 a a a ข. 22131133 a aa 2a
ค. 312213 3a a a ง. 312111 a a 2a
7. ก าหนด
0111
1011
1101
1110
A แลวขอใดตอไปนไมถกตอง
ก. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ 0 ข. A เปนเมทรกซทมมต 4 4
ค. A เมทรกซจตรส ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ
Page 32
25
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
8. ก าหนดให 44ij ][a A ถา
j i เมอ j - ij i เมอ 1
j i เมอ j i aij แลวขอใดตอไปนถกตอง
ก.
1765
1154
2113
3211
A ข.
1123
7112
6511
5431
A
ค.
11-2-3-
711-2-
6511-
5431
A ง.
1765
7154
6513
5431
A
9. ก าหนด
10
01
10
B ขอใดตอไปนถกตอง
ก. B เปนเมทรกซทม 2 แถว 3 หลก ข. 23 เปนมตของเมทรกซ B
ค. 32 เปนมตของเมทรกซ B ง. B เปนเมทรกซทมขนาด 32
10. ขอใดตอไปนไมถกตอง
ก. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซสเกลาร ข. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซจตรส
ค. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซจตรส ง. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซเอกลกษณ
Page 33
26
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ชอ ชน เลขท
ขอ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
คะแนนเตม 10 คะแนน
ท าได คะแนน
Page 34
27
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
แบบบนทกคะแนน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการพฒนา
แบบทดสอบกอนเรยน 10
แบบทดสอบหลงเรยน 10
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน
ผานเกณฑ ไมผานเกณฑ
แบบฝกทกษะท 1.1 30
แบบฝกทกษะท 1.2 30
แบบฝกทกษะท 2.1 40
แบบฝกทกษะท 2.2 10
มการพฒนา หมายถง คะแนนสอบหลงเรยนมากกวาคะแนนกอนเรยน ในแตละแบบฝกทกษะนกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกตองไมนอยกวารอยละ 80 แบบฝกทกษะท 1.1 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 24 คะแนน แบบฝกทกษะท 1.2 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 24 คะแนน แบบฝกทกษะท 2.1 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 32 คะแนน แบบฝกทกษะท 2.2 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 8 คะแนน
เกณฑการประเมน
Page 35
28
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ภาคผนวก
Page 36
29
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ ค าตอบ
1 ค
2 ข
3 ก
4 ง
5 ง
6 ค
7 ข
8 ง
9 ง
10 ค
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)
ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน
Page 37
30
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก มต
ตวอยาง ]3 2- [ Z 1 2 2 1
1 ]1 [ A 1 1 11
2
3
2-
1
B 3 1 31
3
12-
5-4 C 2 2 22
4
5-0
32-
21
D 3 2 32
5
22-1-
212 E 2 3 23
6
853
02-2
514
F 3 3 33
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1
เรอง ควำมหมำยของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนจ านวนแถว จ านวนหลก และมตลงใน ตารางใหถกตอง
Page 38
31
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ จ ำนวนแถว จ ำนวนหลก มต
7
7531
3013
12-24-
G 3 4 34
8
4-40
3-30
2-20
1-10
H 4 3 43
9
1000
0100
0010
0001
I 4 4 44
10
21543
32154
43215
54321
J 4 5 45
เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 1.1 (ขอละ 3 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 30 คะแนน) เตมค าตอบถกไดชองละ 1 คะแนน เตมค าตอบผด หรอไมเตมค าตอบ ไดชองละ 0 คะแนน
Page 39
32
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
1 ก าหนด
06-4
312- A จงหา a12, a13, a21, a23
วธท า a12 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 2 ดงนน a12 = 1
a13 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 3 ดงนน a13 = 3
a21 คอ สมาชกของ A ในแถวท 2 หลกท 1 ดงนน a21 = 4
a23 คอ สมาชกของ A ในแถวท 2 หลกท 3 ดงนน a23 = 0
2 ก าหนด
124-
53-0
412
B จงหา b11, b13, b21, b22, b23, b32, b33
วธท า b11 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 1 ดงนน b11 = 2
b13 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 3 ดงนน b13 = 4
b21 คอ สมาชกของ B ในแถวท 2 หลกท 1 ดงนน b21 = 0
เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2
เรอง สมำชกของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
Page 40
33
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
b22 คอ สมาชกของ B ในแถวท 2 หลกท 2 ดงนน b22 = -3
b23 คอ สมาชกของ B ในแถวท 2 หลกท 3 ดงนน b23 = 5
b32 คอ สมาชกของ B ในแถวท 3 หลกท 2 ดงนน b32 = 2
b33 คอ สมาชกของ B ในแถวท 3 หลกท 3 ดงนน b33 = 1
3 ก าหนด
544-5-
433-4-
322-3-
211-2-
C และ
1324
1221 D จงหา
1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24
วธท า 1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14
c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 = (–2)(1) + (–1)(2) + (1)(2) + (2)(1) = (-2) + (–2) + 2 + 2 = 0
2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24 c11d21 + c22d22 + c33d23 + c44d24 = (–2)(4) - (–2)(2) - (3)(3) + (5)(1) = (–8) – (–4) – 9 + 5 = –8
Page 41
34
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 1.2 ขอ 1 และขอ 2 (จ านวน 26 คะแนน) เตมค าตอบถกตอง ชองละ 1 คะแนน เตมค าตอบผด หรอไมเตมค าตอบ ไดชองละ 0 คะแนน
ขอ 3 (จ านวน 4 คะแนน) หาค าตอบไดถกตอง ไดขอละ 2 คะแนน หาค าตอบไมถกตอง ไดขอละ 0 คะแนน
รวมขอ 1-3 ทงหมด 30 คะแนน
Page 42
35
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ ชนดของเมทรกซ
จตรส ศนย สเกลาร เอกลกษณ
ตวอยาง A = [0]
ตวอยาง
20
02 B
1
10
01C
2 ]000[D
3
1
0
1
E
4
242
424
242
F
5
100
010
001
G
เฉลยแบบฝกทกษะท 2.1
เรอง ชนดของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบชนด ของเมทรกซทก าหนด และ ลงในชองทไมตรงกบชนดของเมทรกซทก าหนด
Page 43
36
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ เมทรกซ ชนดของเมทรกซ
จตรส ศนย สเกลาร เอกลกษณ
6
00
00
00
H
7
100
010
001
I
8
000
000J
9
200
020
002
K
10
1000
0100
0010
0001
L
เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 2.1 (ขอละ 4 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 40 คะแนน) เตมเครองหมาย และ ลงในชองทถกตอง ไดชองละ 1 คะแนน เตมเครองหมาย และ ผด หรอไมเตม ไดชองละ 0 คะแนน
Page 44
37
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
1. ก าหนด 22ij ]a[A และ
ji เมอ 0ji เมอ 1
a ij
วธท า A =
01
10
ดงนน A เปนเมทรกซจตรส
2. ก าหนด 33ij ]b[B และ
ji เมอ 1ji เมอ 0
b ij
วธท า B =
100
010
001
ดงนน B เปนเมทรกซจตรส เมทรกซเอกลกษณ และเมทรกซสเกลาร
3. ก าหนด 44ij ]c[C และ
ji เมอ j-iji เมอ 0
c ij
วธท า C =
0000
0000
0000
0000
ดงนน C เปนเมทรกซจตรส เมทรกซศนย
แบบฝกทกษะท 2.2
เรอง ชนดของเมทรกซ
ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเมทรกซตามเงอนไขทก าหนด พรอมทงบอกชนดของเมทรกซ
Page 45
38
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
4. ก าหนด 44ij ]d[D และ
ji เมอ jiji เมอ jiji เมอ ji
d ij
วธท า D =
16123
7912
6541
5431
ดงนน D เปนเมทรกซจตรส
5. ก าหนด 44ij ]e[E และ
ji เมอ 3-ji เมอ 0
e ij
วธท า E =
3000
0300
0030
0003
ดงนน E เปนเมทรกซจตรส และเมทรกซสเกลาร
เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 2.2 (ขอละ 2 คะแนน จ านวน 5 ขอ รวม 10 คะแนน) เขยนเมทรกซและบอกชนดของเมทรกซถกตอง ได 2 คะแนน เขยนเมทรกซหรอบอกชนดของเมทรกซถกตองเพยงอยางเดยว ได 1 คะแนน เขยนเมทรกซและบอกชนดของเมทรกซไมถกตอง หรอไมเขยนเลย ได 0 คะแนน
Page 46
39
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
ขอ ค าตอบ
1 ก
2 ง
3 ง
4 ค
5 ค
6 ค
7 ง
8 ข
9 ข
10 ง
เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)
ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน
Page 47
40
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
พนดา เจรญสข
บรรณานกรม
กวยา เนาวประทป. 2556. เทคนคการเรยนคณตศาสตร : เมตรกซ. กรงเทพมหานคร:
ส านกพมพฟสกสเซนเตอร.
กระทรวงศกษาธการ. 2552. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.
กรงเทพมหานคร: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.
จกรนทร วรรณโพธกลาง. 2551 คมภรคณตศาสตร Entrance A-NET ระบบ Admission
สอบตรง และโควตา.กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ พ.ศ.พฒนา จ ากด.
ธนวฒน(สนต) สนทราพรพล. 2553. แบบฝกหดและเทคนคคดโจทยเรวคณตศาสตรเพมเตม
ม.4 เลม 2 .กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ SCIENCE CENTER.
สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. 2553. คมอครรายวชาเพมเตม
คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,
ลาดพราว.
--------. 2556. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .
กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,ลาดพราว.