ตัวแบบ EOQ ที่มีอัตราการเพิ่มสินค้าต่อเนื่องและสินค้ามี ...ตัวแบบ eoq

ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขนทไดมาโดยวธพชคณต THE EOQ MODEL WITH CONTINUOUS REPLENISHMENT RATE AND PRICE

INCREASES DERIVED ALGEBRAICALLY

วรณชย พมสข

ปญหาพเศษนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาสถต ปการศกษา 2555

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยบรพา

JJtor5o.r i

n-ruuu roo iifi on:rnr:rf, rf,udrsiordoruacf, u#rfi:rnrq.rdudHu.torr:tf,tnrfi sr

THE EOQ MODEL CONNNUOUS REPLENISHMENT RATE AND PRICE INCREASES DERIVED

ALGEBRAICALLY

.J---ur{au6q ?:futu ilil6?It :rfsnj:c'friri Aa szot tzgs

,oJ a v 9 t a ^

a Io1r'l:B7ru:flts'lilan 4t?rJfi16n:'l0TuRiluyH 6:nTt[0fi.n -

t,-a

- ^ ta l J 1 u -uruullrmnutuila?ultu{tua{n'l:6nu'1fr'llJ1{dn{n:a?ta1fi4n:uo,ttn a.lnTit.ldd6

tn,:Finur 255s #n6uv fl ::il n'l:n?uqililfuurfi rnu

frf{......... am.r'fd*nurradn

({rhunran:lnr:dnfiunf 6:nrnlar.n:)

Rilsn::un'l:aauilquT firnu

W'Q*................. r]:c61un :i,, n.,(oro,:rfihi rldrnul)

M&: n::iln1:

({rironran:ror:rinfiuyri 6:nrnlaur:)

Rtucn::iln1:flrguraaufrrnuar{rifilfilrgr,r'rfirru,Ti3;dr{rrri, urd.flornr:Flnulnruaa'nan:av-A-A-g?ilu1n1afl :ufufl n a'111?tr1d0n 1a{illrylIfl u1liuu:il1grt

tk lL d:voruraa'nqn:iilsrnran:rirufin

art,itrafifi..'({ri :anran.:ro+:rhllsrfnd urnqr::o[)

iud.l*-Gau.. W..M.a. .#-{LIt^, /rdtrl u v .

t! t a 3({rirunTaer:ror:tirr:qfuru'l il:ila?u) .,

ToJ4..?uYr.......Lnou;....................Tt.ft . .......

ประกาศคณประการ ปญหาพเศษฉบบนส าเรจลลวงไปไดดวยความเมตตาชวยเหลออยาดยง จากผชวยศาสตราจารย คณนทร ธรภาพโอฬาร อาจารยทปรกษาปญหาพเศษ ทกรณาใหค าปรกษา ค าแนะน า และแกไขขอบกพรองตางๆ ดวยความเอาใจใสทกขนตอน เพอใหปญหาพเศษฉบบนสมบรณทสด ผวจยจงขอกราบขอบพระคณเปนอยางสงไว ณ โอกาสน นอกจากนผวจยขอกราบขอบพระคณคณะกรรมการสอบปญหาพเศษในครงน ซงประกอบดวย อาจารยพชร วงษเกษม และอาจารยอภศกด ไชยโรจนวฒนา ทไดเสยสละเวลาและกรณาใหค าแนะน าเพมเตมในการปรบปรงปญหาพเศษฉบบนใหถกตองและเสรจสมบรณยงขน สดทายนขอกราบขอบพระคณบดา มารดา ทอยเบองหลงในความส าเรจ ซงไดใหความชวยเหลอ สนบสนนและเปนก าลงใจตลอดมา และขอบคณเพอนๆ ทกคน ทเปนก าลงใจในการท าปญหาพเศษจนส าเรจลลวงได

วรณชย พมสข

ข

52031235: สาขาวชา: สถต; วท.บ. (สถต) ค าส าคญ: ทฤษฏสนคาคงคลง/วธพชคณต วรณชย พมสข: ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขนทไดมาโดยวธพชคณต (THE EOQ MODEL WITH CONTINUOUS REPLENISHMENT RATE AND PRICE INCREASES DERIVED ALGEBRAICALLY) คณะกรรมการควบคมปญหาพเศษ: ผชวยศาสตราจารยคณนทร ธรภาพโอฬาร, ปร.ด. 20 หนา. ป พ.ศ. 2555

บทคดยอ Naddor (1996) ไดหาตวแบบ EOQ เมอสนคามราคาสงขนและอตราการเพมสนคาเปนอนนตโดยใชแคลคลสเชงอนพนธ ภายใตเงอนไขทพอเพยงและจ าเปน (พจารณาจากอนพนธอนดบทหนงและอนดบทสอง) เพอใหไดตวแบบเหมาะทสด ในงานวจยนเราใชวธพชคณตทปรากฏในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001) หาตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน (โดยปรบปรงตวแบบของ Naddor (1996) ดวยการเปลยนอตราการเพมสนคาแบบอนนตเปนแบบตอเนอง) สดทายเราไดยกตวอยางเชงตวเลขเพอแสดงการประยกตใชตวแบบ EOQ ทได

ค

52031235: MAJOR: STATISTICS; B.Sc.(STATISTICS) KEYWORDS: ECONOMIC ORDER QUANTITY/ALGEBRAICALLY WIRONCHAI POMSUK: THE EOQ MODEL WITH CONTINUOUS REPLENISHMENT RATE AND PRICE INCREASES DERIVED ALGEBRAICALLY ADVISOR: ASSISTANT PROFESSOR KANINT TEERAPABOLARN, Ph.D 20 P. ACADEMIC YEARS 2012.

ABSTRACT

Naddor (1996) derived the EOQ model with price increases and infinite replenishment rate by using differential calculus under sufficiently and necessarily conditions, consideration from first and second order derivatives. In this study, we use the algebraic method appeared in Grubbstrom and Erdem (1999) and Cardenas-Barron (2001) to derive the EOQ with continuous rate and price increases, improving the model of Naddor (1996) by changing infinite replenishment rate to be continuous replenishment rate. Finally, we give three numerical to illustrate applications of the model obtained.

ง

สารบญ

หนา บทคดยอภาษาไทย………………………………………………………………………………………………........................ ง บทคดยอภาษาองกฤษ……………………………………………………………………………………………………………….. จ สารบญ………………………………………………………………………………………………………………………………….... ฉ สารบญภาพ……………………………………………………………………………………………………………………………... ช บทท 1 บทน า………………………………………………………………………………………………………………............... 1 1.1 ความเปนมาและความส าคญของปญหา…........................................................................... 1 1.2 วตถประสงคของการศกษา…………………………………………………………………………………….... 3 1.3 ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากการศกษา……………………………………………………………….... 3 1.4 ขอบเขตของการศกษา…………………………………………………………………………………….......... 3 บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ…………………………………………………………………………............... 4 2.1 ทฤษฎทเกยวของ……………………………………………………………………………............................ 4 2.1.1 สมมตฐาน……………………………………………………………………………...................... 4 2.1.2 สญกรณ……………………………………………………………………………......................... 4 2.1.3 วธพชคณต…………………………………………………………………………….................... 5 2.2 งานวจยทเกยวของ…………………………………………………………………….................................. 5 บทท 3 วธการด าเนนการศกษา……………………………………………………………………................................... 7 บทท 4 ผลการศกษา……………………………………………………………………................................................... 8 4.1 ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาอยาตอเนองและสนคามราคาสงขน.......................... 8 4.2 ตวอยางเชงตวเลข..........…………………………………………………………………............................ 13 บทท 5 สรปผลและอภปรายผลการศกษา……………………………………………………………………................... 17 บรรณานกรม………………………………………………………………..................................................................... 18

จ

สารบญภาพ

ภาพท หนา 1. แสดงการเปลยนแปลงของระบบสนคาคงคลงเมอสนคามราคาสงขน.................................... 1 2. แสดงการเปลยนแปลงของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาเปนไปอยางตอเนอง และสนคามราคาสงขน................................................................................................. .........

2

1

0T 1T

0QD

เวลา

บทท 1

บทน ำ

1.1 ควำมเปนมำและควำมส ำคญของปญหำ ในการศกษาปญหาของระบบสนคาคงคลง ตวแบบแรกของปญหาระบบสนคาคงคลงซงเปนทรจกกน คอ ตวแบบ EOQ (Economic Order Quantity) ของ Harris (1915) ซงเปนตวแบบพนฐานของระบบสนคาคงคลง และไดถกน าไปใชในการปรบปรงและพฒนาสตวแบบอนๆ ทสอดคลองกบระบบทเปนจรงมากขน เชน ตวแบบ EOQ ทมการขาดแคลนสนคา ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนอง ตวแบบ EOQ ทมการลดราคาสนคา เปนตน และตวแบบทส าคญตวแบบอกตวแบบหนง คอ ตวแบบ EOQ เมอสนคามราคาสงขน ทสรางขนมาโดย Naddor (1966) จงมกเรยกกนวาตวแบบของ Naddor (Taylor and Bradley, 1985) ระบบสนคาคงคลงของตวแบบนไดพฒนาใหสอดคลองกบกรณทสนคามราคาสงขน ซงสามารถแสดงไดดงภาพท 1

ภาพท 1 แสดงการเปลยนแปลงของระบบสนคาคงคลงเมอสนคามราคาสงขน จากภาพท 1 0Q คอ ปรมาณการผลตหรอสงซอสนคาแบบพเศษกอนสนคามราคาสงขน Q คอ ปรมาณการผลตหรอสงซอสนคาแบบปกตกอนสนคามราคาสงขน 1Q คอ ปรมาณการผลตหรอสงซอสนคาแบบปกตภายหลงหลงสนคามราคาสงขน D คอ อตราความตองการสนคาตอหนวยเวลา 0T คอ จดเวลากอนสนคามราคาสงขน และ 1T คอ จดเวลาสดทายของชวงเวลาทมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษ ในตวแบบนมขอสมมตเบองตนเกยวกบราคาของสนคาแตกตางจากตวแบบ EOQ พนฐาน กลาวคอ ราคาของสนคาจะไมคงตวหรอเทากนตลอดเวลา แตจะมราคาสงขนเมอถงจดเวลาทก าหนดไว เชน สมมตวาปจจบนสนคามราคา c บาท

ระดบสนคาคงคลง 0Q

Q

1Q

2

ระดบสนคาคงคลง

ตอหนวย ตอมาผขายไดประกาศวาจะมการขนราคาสนคาอก k บาทตอหนวย โดยเมอขนราคาแลวสนคาจะมราคา c k บาทตอหนวย และสนคาอาจมราคา c k บาทไปอกชวงเวลาหนง และหลงจากนนอาจมการขนราคาสนคาอก จะเหนวาราคาสนคามราคาคงทเพยงชวงระยะเวลาหนงเทานน และหลงจากนนสนคาจะปรบราคาสงขนอก และเนองจากราคาสนคาทสงขนนอาจท าใหมการสงซอหรอผลตสนคาในปรมาณทมากกวาเดมกอนการขนราคาของสนคา ดงนนปรมาณสนคาทสงซอหรอผลตจงไมคงตวหรอมคาเทากนตลอดทกชวงเวลาเหมอนในตวแบบพนฐาน และในการหาปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคาม

ราคาสงขน ( *0Q ) (หรอหาตวแบบ EOQ ส าหรบกรณน) Naddor (1966) ไดสรางสมการทใชหา *

0Q โดยใชแคลคลสเชงอนพนธ (Differential calculus) ภายใตเงอนไขทท าใหประหยดคาใชจายทเกดขนไดสงสด และเพอใหตวแบบนสามารถประยกตใชไดกบกรณทอตราการเพมสนคาเปนแบบตอเนอง (Continuous rate) ดงนนในการศกษาครงน เราจงตองการปรบปรงตวแบบของ Naddor (1966) โดยมการเปลยนแปลงสมมตฐานของตวแบบเดม คอ ปรบอตราการเพมของสนคาเปนแบบตอเนอง ซงแตกตางจากเดมทมอตราการเพมของสนคาเปนอนนต ซงจะท าใหตวแบบมความสอดคลองกบความเปนจรงมากขน ระบบสนคาคงคลงในการศกษาครงนสามารถแสดงไดดงภาพท 2

ภาพท 2 แสดงการเปลยนแปลงของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน โดยท 0Q , Q , 1Q , D , 0T และ 1T มความหมายเดยวกนกบตวแบบในภาพท 1 สวน R คอ อตราการเพมสนคาตอเนอง 0S คอ ระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนสนคามราคาสงขน S คอ ระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตกอนสนคามราคาสงขน 1S คอ ระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตหลงสนคามราคาสงขน 0Q คอ ปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนสนคามราคาสงขน ซงในการหาตวแบบ EOQ ส าหรบกรณน หรอหา

*0Q ของระบบสนคาคงคลงน เราจะใชวธพชคณตเชนเดยวในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999)

และ Cardenas-Barron (2001) ภายใตเงอนไขทท าใหประหยดคาใชจายทเกดขนไดสงสด

เวลา 0T 1T

0QD

0Q

1Q

Q -R D

-R D

-R D

D

D D

0S

S

1S

3

1.2 วตถประสงคของกำรศกษำ เพอหาปรมาณการผลตหรอสงซอสนคาเหมาะทสดของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน

1.3 ประโยชนทคำดวำจะไดรบจำกกำรศกษำ ไดตวแบบ EOQ เพอน าไปประยกตหาปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาเหมาะทสดของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน

1.4 ขอบเขตของกำรศกษำ ในการศกษาครงน ตวแบบของระบบสนคาคงคลงทศกษา คอ ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน ซงวธทใชหาปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาเหมาะทสด คอ วธพชคณตทใชในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001)

4

บทท 2

เอกสำรและงำนวจยทเกยวของ

2.1 ทฤษฏทเกยวของ 2.1.1 สมมตฐำน (Assumption) ในการศกษาเกยวกบทฤษฎสนคาคงคลง โดยทวไปจะเรมตนดวยการก าหนดสมมตฐานของตวแบบ EOQ พนฐาน เพอปรบไปสสมมตฐานของตวแบบ EOQ ทสอดคลองกบระบบสนคาคงคลงมากขน และในการศกษาครงน ตวแบบ EOQ ทสนใจศกษา คอ ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน ซงมสมมตฐานดงน 1. ความตองการสนคาตอหนวยเวลามคาคงตว และทราบคาแนนอน 2. ระยะเวลาระหวางการสงซอหรอผลตสนคาจนไดรบสนคา หรอชวงเวลาน ามคาเทากบศนย 3. การไดรบสนคาทสงซอหรอผลต จะไมไดรบสนคาทเดยวทงหมด แตจะไดรบสนคาในอตราคงตว

ตอเนองจบครบตามปรมาณทสงซอหรอผลต 4. จะท าการสงซอหรอผลตสนคาเมอระดบสนคาคงคลงลดลงมาเทากบจดสงซอ หรอจดทก าหนด 5. ปรมาณสนคาทสงซอหรอผลตแตละครงมคาคงตว 6. ราคาสนคาตอหนวยไมคงตวตลอดเวลา 7. ระบบสนคาคงคลงจะด าเนนไปเรอยๆ อยางตอเนองไมสนสด 8. ไมยอมใหมการขาดแคลนสนคาหรอไมยอมใหระดบสนคาคงคลงต ากวาศนย 2.1.2 สญกรณ (Notation) สญกรณทใชในการศกษาตวแบบ EOQ ทมการขาดแคลนสนคาและสนคามราคาสงขน มดงน

D แทนอตราความตองการสนคาตอหนวยเวลา

R แทนอตราการเพมสนคาตอหนวยเวลา A แทนคาใชจายในการสงซอหรอคาใชจายในการเตรยมการผลตสนคา h แทนคาใชจายในการเกบรกษาสนคา c แทนราคาสนคาทสงซอหรอผลตตอหนวยเวลา i แทนคาใชจายในการเกบรกษาสนคาทแปรไปตามราคาสนคา Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตกอนสนคามราคาสงขน

*Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตเหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน

1Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตหลงสนคามราคาสงขน

*1Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตเหมาะทสดหลงสนคามราคาสงขน

5

S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตกอนสนคามราคา สงขน

*S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตเหมาะทสดกอน สนคามราคาสงขน

1S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตหลงสนคามราคา สงขน

*1S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบปกตเหมาะทสดหลง

สนคามราคาสงขน

0S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนสนคามราคา สงขน

*0S แทนระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคาม

ราคาสงขน 0Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนสนคามราคาสงขน *

0Q แทนปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน 0C แทนคาใชจายรวมเมอมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษ 1C แทนคาใชจายรวมเมอไมมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษ G แทนคาใชจายทสามารถประหยดได

*G แทนคาใชจายทสามารถประหยดไดสงสด 2.1.3 วธพชคณต (Algebraic method) วธทใชหาตวแบบ EOQ ในการศกษาครงน คอ วธพชคณตในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001) หลกการของวธน คอ ใชพชคณตจดรปแบบของคาใชจายในระบบสนคาคงคลงทสนใจ ใหอยในรปแบบก าลงสอง (quadratic form) เพอท าใหคาใชจายมคาต าสด หรอท าใหประหยดคาใชจายไดสงสด

2.2 งำนวจยทเกยวของ งานวจยทเกยวของโดยตรงกบตวแบบทศกษาในครงนเรมตนดวย Harris (1915) ไดน าเสนอตวแบบ EOQ พนฐานตวแบบแรกของระบบสนคาคงคลง และเปนตวแบบทน าไปสตวแบบทส าคญอนๆ เชน ตวแบบ EOQ ทมการขาดแคลนสนคา ตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาเปนไปอยางตอเนอง และตวแบบ EOQ เมอสนคามราคาสงขน เปนตน ตวแบบทงหมดทกลาวมานไดมาโดยการใชแคลคลสเชงอนพนธ ซงนอกจากการใชแคลคลสเชงอนพนธในการหาตวแบบทตองการแลว เรายงพบวาตวแบบเหลานสามารถหามาไดโดยใชวธอนๆ ตวอยางเชน การใชวธพชคณตหาตวแบบ EOQ ทมการขาดแคลนสนคาในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001) ไดใชวธพชคณตหาตวแบบ EOQ ทมอตราการเพม

6

สนคาเปนไปอยางตอเนอง และ Teng (2009) ไดใชวธคาเฉลยเรขาคณตหา EOQ พนฐาน ตวแบบ EOQ ทมการขาดแคลนสนคา และตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาเปนไปอยางตอเนอง เปนตน

ส าหรบตวแบบ EOQ เมอสนคามราคาสงขน บคคลแรกทน าเสนอตวแบบในลกษณะน คอ Naddor (1966) ซงไดพฒนาตวแบบ EOQ พนฐานโดยสมมตใหสนคามราคาสงขนทจดเวลาขางหนา ตอมา Brown (1967) ไดพฒนาตวแบบทคลายคลงกบของ Naddor (1966) ดวยวธทแตกตางกน ซงภายหลง Brown (1982) ไดแสดงใหเหนวาทงสองตวแบบมความสมมลกน (equivalent) Tersine and Grasso (1978) ใชวธจดสงซอในการหาขนาดของลอต (lot) ทตอบสนองตอการขนราคาสนคา Tersine and Hylton (1982) น าเสนอวธการก าหนดขนาดของการสงซอแบบพเศษ ซงการตดสนใจสงซอจะกระท ากอนเกดผลกระทบจากจดสงซอ Taylor and Bradley (1985) ขยายตวแบบการขนราคาสนคาโดยการยดหยนเวลาของการขนราคาสนคา Markowski (1986) ไดแกไขขอบกพรองของ Taylor and Bradley (1985) และพฒนาวธทท าใหคาใชจายของการสงซอนอยทสด Jordan (1987) ไดพฒนาตวแบบอยางงายเพอใหผปฏบตงานสามารถก าหนดปรมาณการสงซอเหมาะทสดเมอสนคามราคาสงขน Goyal and Bhatt (1988) ไดมการพฒนาวธการค านวณอยางงายส าหรบการก าหนดกลยทธการจดซอเหมาะทสดเมอผจดจ าหนายประกาศขนราคาสนคา Goyal (1992) พฒนาขนตอนวธอยางงายส าหรบการก าหนดขนาดของการสงซอเมอสนคามราคาสงขน Richard (1996) พฒนาวธ เหมาะทสดเมอมการขนราคาสนคาและเปนอสระกบความตองการสนคา Tien-Yu Lin (2011) น าเสนอ ตวแบบสนคาคงคลงทเกดขอบกพรองการผลตของการสงซอเมอสนคามราคาสงขน

7

บทท 3

วธกำรด ำเนนกำรศกษำ

การศกษาตวแบบ EOQ ทมการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน สามารถแบงการด าเนนงานศกษาออกเปน 3 ขนตอนดงน 3.1 ศกษารายละเอยดของระบบสนคาคงคลงของ Naddor (1966) และศกษาวธพชคณตเพอทใชในการหาตวแบบในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001)

3.2 หาปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาเหมาะทสด หรอหาตวแบบ EOQ ของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขนโดยใชวธพชคณต

3.3 แสดงตวอยางเชงตวเลขเพอแสดงการประยกตของตวแบบ EOQ ทไดในขนตอนท 3.2

8

บทท 4

ผลกำรศกษำ

4.1 ตวแบบ EOQ ทมอตรำกำรเพมสนคำตอเนองและสนคำมรำคำสงขน ผลลพธทเราตองการหา คอ ปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาเหมาะทสดของระบบสนคาคงคลงทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน หรอหาตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขนโดยใชวธพชคณต และทฤษฎบทตอไปนแสดงผลลพธดงกลาว

ทฤษฏบท 4.1 ส าหรบ *1

2

( )( )

ARDQ

i c k R D

แลวจะไดวา ปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษ

เหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน คอ

*0 *

1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

(1)

ระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน คอ

*0 *

1

2D AS k

ic Q

(2)

และคาใชจายทสามารถประหยดไดสงสด คอ

2

**1

2

2 ( )

RD AG k A

ic R D Q

(3)

พสจน พจารณาระบบสคาคงคลงในภาพท 2 เมอราคาสนคามการปรบราคาจาก c บาทตอหนวย เปน c k บาทตอหนวย ซงการปรบราคาสนคาใหมราคาสงขนจะเกดขน ณ เวลา 0T ซงถาไมมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนเวลา 0T เมอท าการสงซอหรอผลตสนคาในภายหลง ราคาสนคาตอหนวยจะสงขนและปรมาณสนคาทไดจะมคาลดลงกวาเดม ซงจะเหนไดวากอนเวลา 0T เราสามารถจดหาสนคาเหมาะทสดดวยราคา c

บาทตอหนวยในปรมาณ *Q หนวย ไดเปน

* 2

( )

ARDQ

ic R D

(4)

9

แตเมอจดหาสนคาเหมาะทสดหลงเวลา 0T ในปรมาณ *1Q หนวย จะได

*1

2

( )( )

ARDQ

i c k R D

(5)

จะเหนวาคาของ *Q มากกวาคาของ *1Q แสดงวาเมอสนคามราคาสงขนปรมาณการสงซอหรอปรมาณการ

ผลตสนคาเหมาะทสดจะมคาลดลง ถามการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนถงเวลา 0T ในปรมาณ 0Q หนวย 0 0Q ดงภาพท 2 คาใชจายรวมในชวงเวลา 0T ถง 1T สามารถพจารณาไดดงน

คาใชจายทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาในปรมาณ 0Q หนวยมคาเทากบ

0A cQ คาใชจายในการเกบรกษาทแปรไปตามราคาสนคามคาเทากบ

0 0

0

( )

0 0

( ) ( )

S S

R D Dic R D xdx ic S Dx dx

0 0

( )

0 0

2 2

0( )

2 2

S S

R D Dic ic

R D x DxS x

2 2 20 0 0

2( ) 2

S S Sic ic

R D D D

2 20 0

2( ) 2

S Sic ic

R D D

2 20 0

2( ) 2

S Sic

R D D

20

2( )

RSic

R D D

(6)

จาก 0 0 00

( ) ( )

S S RSQ D

R D D R D

ดงนน

00

( )Q R DS

R

(7)

10

แทน 0S ใน (6) จะไดคาใชจายในการเกบรกษาทแปรไปตามราคาสนคามคาเทากบ

20

( )

2

Q R Dic

RD

ดงนนคาใชจายรวมเมอมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษกอนเวลา 0T คอ

20

0 0

( )

2

Q R DC A cQ ic

RD

(8)

ในการสงซอหรอผลตสนคา ณ เวลา 0T เปนตนไป (พจารณาเสนปะในภาพท 2) เราจะหาคาใชจาย

รวมในชวงเวลา 0T ถง 1T ไดดงน

เนองจากปรมาณสนคาในชวงเวลา 0T ถง 1T มคาเทากบ 0Q หนวย ราคาสนคาในชวงนมคาเปน

c k บาทตอหนวย และจ านวนครงในการสงซอหรอผลตสนคามคาเทากบ 0

1

Q

Q ครง ดงนนคาใชจายตางๆ

ในชวงเวลา 0T ถง 1T มดงน

คาใชจายในการสงซอหรอผลตสนคาจ านวน 0Q หนวยมคาเทากบ

00

1

( )Q A

c k QQ

คาใชจายในการเกบรกษาสนคาในชวงเวลา 1Q

D มคาเทากบ

1 1

1

( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

S S

R D Di c k R D xdx i c k S Dx dx

21( )

2( )

RSi c k

R D D

(9)

จาก 11

( )Q R DS

R

แทนลงใน (9) จะไดคาใชจายในการเกบรกษาสนคาเทากบ

*21 ( )

( )2

Q R Di c k

RD

11

ดงนนคาใชจายในการเกบรกษาสนคาในชวงเวลา 0Q

D คอ

10

( ) ( )

21

i c k Q R D

RD

QD

QD

1( )0 2

( )Q R D

RDi c k Q

(10)

คาใชจายรวมทเกดขนในชวงเวลา 0T ถง 1T โดยปรบใหเปนคาเหมาะทสดจะมคาเทากบ

*

0 11 0 0*

1

( )( ) ( )

2

Q A Q R DC c k Q i c k Q

RDQ

(11)

ดงนนคาใชจายทสามารถประหยดไดเมอมการสงซอแบบพเศษมคาเทากบ

1 0G C C

2*

0 010 0 0*

1

( )( )( ) ( )

2 2

Q R DQ A Q R Dc k Q i c k Q A cQ ic

RD RDQ

2*

0 010 0*

1

( )( )( )

2 2

Q R DQ A Q R DkQ i c k Q A ic

RD RDQ

2*01

0*1

( )( )( )

2 2

Q R DQ R DAk i c k Q ic A

RD RDQ

2*201

0* *1 1

( )( )( )

22

Q R DQ R DADk i c k Q ic A

RDDQ Q DR

2*201

0* *1 1

( )( )1( )

22

Q R DQ R DADk i c k Q ic A

D RDQ Q R

20

0* *1 1

2( )

( )( )( )1( )

22

ADRR D

Q R Di c K R DADk i c k Q ic A

D RDQ Q R

20

0*1

( )2

2

Q R DAk Q ic A

RDQ

12

200 *

1

( ) 2 2

2 ( )

ic R D RD AQ k Q A

RD ic R D Q

2

200 * *

1 1

( ) 2 2 2

2 ( ) ( )

ic R D RD A RD AQ k Q k

RD ic R D ic R DQ Q

2

*1

( ) 2

2 ( )

ic R D RD Ak A

RD ic R D Q

2 2

0 * *1 1

( ) 2 2

2 ( ) 2 ( )

ic R D RD A RD AQ k k A

RD ic R D ic R DQ Q

(12)

ซง G ในสมการ (12) จะมคาสงสดเมอ 2

0 *1

( ) 20

2 ( )

ic R D RD AQ k

RD ic R D Q

หรอ เมอ

0 *1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

ดงนน ปรมาณการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคามราคา

สงขน คอ

*0 *

1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

และเมอแทน *0Q ลงใน (7) จะได ระดบสนคาคงคลงสงสดทเกดจากการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะ

ทสดกอนสนคามราคาสงขน คอ

*0 *

1

2D AS k

ic Q

และคาใชจายทสามารถประหยดไดสงสดเมอมการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษ คอ

2

**1

2

2 ( )

RD AG k A

ic R D Q

ซงท าใหเราไดสมการ (1) ถง (3) ตามทตองการ

13

หมำยเหต ในกรณท 2

*1

2

2 ( )

RD Ak A

ic R D Q

จะท าให * 0G แสดงวาการสงซอหรอผลตสนคา

แบบพเศษในปรมาณ *0Q หนวย ควรจะกระท ากตอเมอคาของ *G ในสมการ (12) มคามากกวาศนยเทานน

แตถาคาของ *G นอยกวาศนยกไมควรสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษดงกลาว

ในกรณทอตราการเพมสนคามคามากเปนอนนต ( R ) จะไดวา *0Q และ *G ทไดในทฤษฏ

บทจะกลบไปเปนเหมอนกบของ Naddor (1966) ดงบทแทรกตอไปน บทแทรก 4.1 ถา R แลวจะไดวา

*0 *

1

2D AQ k

ic Q

(13)

และคาใชจายทสามารถประหยดไดสงสด คอ

2

**1

2

2

D AG k A

ic Q

(14)

4.2 ตวอยำงเชงตวเลข ในหวขอน เรายกตวอยางเชงตวเลขเพอแสดงการประยกตใชผลการศกษาทไดในทฤษฎบท 4.1 ตวอยำงท 1 รานจ าหนายเครองไฟฟาแหงหนงสงซอพดลมจากโรงงานผลตพดลมในราคาเครองละ 450 บาทแตละปรานไฟฟาแหงนสามารถจ าหนายพดลมได 3000 เครอง ตอมาโรงงานแหงนไดแจงใหทราบวาตนเดอนหนาจะปรบราคาพดลมเพมขนอกเครองละ 50 บาท ถาในการสงซอพดลมของรานไฟฟาแหงนจะตองเสยคาใชจายในการด าเนนการ 5000 บาทตอครง คาใชจายในการเกบรกษาพดลม 5% ของราคาพดลมตอเครองตอป และโรงงานแหงนสามารถจดสงพดลมไดในอตราปละ 5000 เครอง อยากทราบวารานไฟฟาแหงนควรจะสงซอพดลมจ านวนเทาใด กอนทจะถงตนเดอนหนาจงจะท าใหประหยดคาใชจายรวมไดสงสด และสามารถประหยดไดเทาได และจ านวนพดลมสงสดมกเครอง

14

วธท ำ จากโจทย 5,000R เครองตอป 3,000D เครองตอป 5,000A บาทตอครง 450c บาทตอเครอง 50k บาทตอเครอง 5%i ของราคาตนทนตอเครองตอป

หา *1Q ไดจากสมการ *

12

( )( )

ARDQ

i c k R D

2(5,000)(5,000)(3,000)

(0.05)(450 50)(5,000 3,000)

1,732.0508

หา *0Q ไดจากสมการ *

0 *1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

(5,000)(3,000) (2)(5,000)50

(0.05)(450)(5,000 3,000) 1,732.0508

18,591.1676

หา *0S ไดจากสมการ *

0 *1

2D AS k

ic Q

3,000 (2)(5,000)50

(0.05)(450) 1,732.0508

7,436.4670

หา *G ไดจากสมการ 2

**1

2

2 ( )

RD AG k A

ic R D Q

2

(5,000)(3,000) (2)(5,000)50 5,000

(2)(0.05)(450)(5,000 3,000) 1,732.0508

8,888.89 ดงนนรานไฟฟาแหงนควรสงซอพดลมมาจ าหนายจ านวน 18,591.1676 เครอง ซงท าใหประหยดคาใชจายไดสงสด 8,888.89 บาท และมจ านวนพดลมสงสดเทากบ 7,436.4670 เครอง

15

ตวอยำงท 2 ปจจบนราคาตนทนแกส LPG ในประเทศมราคาอยท 8.50 บาทตอกโลกรม ตอมาทราบวาจะมการปรบราคาตนทนราคาแกส LPG เปน 9.00 บาทตอกโลกรม ในอก 7 วนขางหนา ซงในปจจบนปมแกสแหงนจ าหนายแกส LPG ไดปละ 150,000 กโลกรม ซงมคาใชจายในการเกบรกษาเทากบ 15% ของแกส LPG ตอกโลกรมตอป คาใชจายในการสงซอครงละ 1000 บาท ถาปมแกสแหงนไดรบแกส LPG มาจ าหนายในอตรา200,000 กโลกรมตอป อยากทราบวาปมแกสแหงนควรจะสงซอแกสมาจ าหนายในปรมาณเทาใด กอนทจะมการปรบราคา จงจะท าใหประหยดคาใชจายไดสงสด และสามารถประหยดไดเทาใด วธท ำ จากโจทย 200,000R กโลกรมตอป 150,000D กโลกรมตอป 1,000A บาทตอครง 8.50c บาทตอกโลกรม 0.50k บาทตอกโลกรม 15%i ของราคาแกสตอกโลกรมตอป

หา *1Q ไดจากสมการ *

12

( )( )

ARDQ

i c k R D

(2)(1,000)(200,000)(100,000)

(0.15)(8.50 0.50)(200,000 100,000)

29,814.2397

หา *0Q ไดจากสมการ *

0 *1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

(200,000)(150,000) (2)(1,000)50

(0.15)(8.50)(200,000 150,000) 29814.2397

266,862.1362

หา *G ไดจากสมการ 2

**1

2

2 ( )

RD AG k A

ic R D Q

2

(200,000)(100,000) (2)(1,000)50 1,000

(2)(0.15)(8.50)(200,000 150,000) 29,814.2397

117,705.88 ดงนนปมแกสแหงนควรจะท าการสงซอแกส LPG มาจ าหนายในปรมาณ 266,862.1362 กโลกรม กอนทจะมการปรบราคา ซงท าใหประหยดคาใชจายไดสงสดเทากบ 117,705.88 บาท

16

ตวอยำงท 3 นายด าเปนเกษตรกรทตองการซอปยจากนายแดง ปจจบนปยทนายด าซอมราคาอยทถงละ 250 บาท ตอมานายแดงไดประกาศวาจะขนราคาปยในอก 1 เดอนขางหนา เปนถงละ 260 บาท ซงปจจบนนายด าตองการใชปยปละ 2000 ถง คาใชจายในการเกบรกษาปย 4% ของราคาปยตอถงตอป และคาใชจายในการสงซอปยครงละ 300 บาท ถานายแดงสามารถจดสงปยใหนายด าไดในอตราปละ 4500 ถง อยากทราบวานายด าควรจะสงซอปยจากนายแดงจ านวนเทาใด กอนทนายแดงจะขนราคาปย จงจะท าใหประหยดคาใชจายไดสงทสด และสามารถประหยดคาใชจายไดเทาใด วธท ำ จากโจทย 4,500R กโลกรมตอป 2,000D กโลกรมตอป 300A บาทตอครง 250c บาทตอกโลกรม 10k บาทตอกโลกรม 4%i ของราคาแกสตอกโลกรมตอป

หา *1Q ไดจากสมการ *

12

( )( )

ARDQ

i c k R D

(2)(300)(4,500)(2,000)

(0.04)(250 50)(4,500 2,000)

455.7327

หา *0Q ไดจากสมการ *

0 *1

2

( )

RD AQ k

ic R D Q

(4,500)(2,000) (2)(300)10

(0.04)(250)(4,500 2,000) 455.7327

4,073.9620

หา *G ไดจากสมการ 2

**1

2

( )

RD AG k A

ic R D Q

2

(4,500)(2,000) (2)(300)10 300

(0.04)(250)(4,500 2,000) 455.7327

1,812 ดงนน นายด าควรจะสงซอปยจากนายแดงจ านวน 4,073.9620 ถง ซงท าใหประหยดคาใชจายไดสงสดเทากบ 1,812 บาท กอนทนายแดงจะขนราคาปย

17

บทท 5

สรปและอภปรำยผลกำรศกษำ

ในการศกษาครงน เราจะใชวธพชคณตทปรากฏในงานวจยของ Grubbstrom and Erdem (1999) และ Cardenas-Barron (2001) หาตวแบบ EOQ ทมอตราการเพมสนคาตอเนองและสนคามราคาสงขน ภายใตเงอนไขทท าใหประหยดคาใชจายไดสงสด ซงวธนไมตองใชความรทางดานแคลคลสเชงอนพนธในการหาตวแบบ EOQ แตการหาตวแบบ EOQ ในกรณน สามารถหาไดจากการจดรปของคาใชจายทเกดขนใหอยในรปแบบก าลงสอง ซงแตกตางจากการหาโดยใชอนพนธ ดงนนวธนจงเปนอกหนงวธทเหมาะส าหรบผทขาดความรทางดานแคลคลสเชงอนพนธ และในการศกษาครงน ตวแบบ EOQ ทใชหาปรมาณการสงซอหรอผลต

สนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน คอ *0Q มคาเทากบ

*1

2

( )

RD Ak

ic R D Q

หนวย ระดบ

สนคาคงคลงสงสดทเกดการสงซอหรอผลตสนคาแบบพเศษเหมาะทสดกอนสนคามราคาสงขน ( *0S ) มคา

เทากบ *1

2D Ak

ic Q

หนวย ซงท าใหประหยดคาใชจายไดสงสด ( *G ) เทากบ

2

*1

2

2 ( )

RD Ak A

ic R D Q

หนวย

18

บรรณำนกรม Brown, R. G. (1967). Decision rules for inventory management. New York: Holt Rinehart & Winston. Brown, R. G. (1982). Advanced Service Parts Inventory Control (2nded). Norwich: Materials Management Systems Cárdenas-Barrón, L. E. (2001). The economic production quantity (EPQ) with shortage derived algebraically. International Journal of Production Economics, 70, 289–292. Goyal, S. K. (1992). A note on inventory models with cost increases. Operations Research, 20, 414-415. Goyal, S. K. & Bhatt, S. K. (1988). A generalized lot size ordering policy for price increases. Operations Research, 25, 272-278. Grubbstrom, R. W. & Erdem, A., (1999). The EOQ with backlogging derived without derivatives. International Journal of Production Economics, 59, 529–530. Harris, F. W. (1915). Operation and costs. Factory Management Series, Chicago: Shaw. Jordan, P. C. (1987). Purchasing decisions considering future price increases: An empirical approach. Journal of Purchasing & Materials Management, 23, 25-30 Lev, B. & Weiss, H. J. (1990). Inventory models with cost changes. Operations Research, 38, 53-63. Luo, J. & Huang, P. (2003). A note on “Inventory models with cost changes”. Operations Research, 51, 503-504. Markowski, E. (1986). EOQ modification for future price increases. Journal of Purchasing & Materials Management, 22, 28-32. Naddor, E. (1966). Inventory Systems, New York: Wiley. Taylor, S.G. & Bradley, C. E. (1985). Optimal ordering strategies for announced price increases. Operations Research, 33, 312-325. Tersine, R. J. (1996). Economic replenishment strategies for announced price increases. European Journal of Operational Research, 92, 266-280. Tersine, R. J. & Schwarzkopf, A. B. (1990). Optimal Transition Ordering Strategies with Announced Price Increases. The International Journal of Logistics Management, 2(1), 26-34. Tersine, R. J. & Grasso, E. T. (1978). Forward buying in response to announced price increase. Journal of Purchasing & Materials Management, 14, 20-22.

19

Tersine, R. J. & Hylton, M. G. (1982). EOQ modification for inflation prices. Journal of Purchasing & Materials Management, 18, 23-28. Lin, T. Y. (2011). Inventory model for items with imperfect quality under announced price increases. African Journal of Business Management, 5(12), 4715-4730. Tsair, T. J. (2009). A simple method to compute economic order quantities. European Journal of Operational Research, 198, 351–353.