ชุดที่ - TruePlookpanya · แบบฝึกเสริมทักษะที่ 1.3 62 แบบทดสอบหลังเรียน 71...

ชดท 1 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ

ค าน า

การจดการเรยนรคณตศาสตรเปนหวใจส าคญของครผสอนทจะถายทอดความร ทกษะและ

กระบวนการทางคณตศาสตรตางๆเพอสงเสรมความรความสามารถในการเรยนรของนกเรยนตาม

ศกยภาพใหไดมากทสด ซงการสงเสรมการเรยนรใหกบนกเรยนเปนการจดกระบวนการเรยนรท

เนนผเรยนเปนส าคญ ครสามารถออกแบบการจดการเรยนในลกษณะตางๆไดอยางหลากหลายเพอให

นกเรยนไดรบความรอยางคงทน ฝกทกษะทางการคด ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและ

การน าเอาความรมาประยกตใชใหเกดประโยชนสงสด

ชดการเรยน เรอง ทฤษฎกราฟเบองตนทเนนทกษะการเชอมโยง ชดท 1 ความรเบองตนเกยวกบ

กราฟ ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 จดท าขนเพอเปนสอประกอบกจกรรมการเรยนรรายวชา

คณตศาสตรเพมเตม 4 รหสวชา ค 30204 ซงนกเรยนจะไดฝกท ากจกรรมในรปแบบทเปนขนตอน

โดยเรยงล าดบเนอหาจากงายไปยากและน าไปสสถานการณปญหาทพบเหนในชวตประจ าวนซงจะชวย

เสรมสรางใหนกเรยนเกดทกษะและกระบวนทางคณตศาสตรทส าคญคอทกษะการเชอมโยง

ทางคณตศาสตร เนองจากการเชอมโยงทางคณตศาสตรเปนทกษะและกระบวนการทนกเรยนควรจะ

เรยนร ฝกฝนทกษะ และพฒนาใหเกดขนในตวนกเรยนเพราะการทนกเรยนเหนทกษะการเชอมโยงทาง

คณตศาสตรจะสงเสรมใหนกเรยนเหนความสมพนธของเนอหาตางๆในคณตศาสตรและความสมพนธ

ระหวางแนวคดทางคณตศาสตรกบศาสตรอนๆท าใหนกเรยนเขาใจเนอลกซงและคงทนขน ตลอดจนชวย

ใหนกเรยนเหนวาคณตศาสตรเปนวชาทมคณคาและสามารถน าไปใชประโยชนในชวตประจ าวนไดจรง

โดยมครเปนผใหค าแนะน าและอ านวยความสะดวก ตลอดจนตดตามผลการเรยนจากการศกษาชดการ

เรยนของนกเรยนอยางใกลชด

ผจดท าขอขอบพระคณทานผอ านวยการสถานศกษาโรงเรยนมธยมประชานเวศน ผ เชยวชาญ

และคณะครทกทานทใหค าแนะน าจนชดการเรยนเรองทฤษฎกราฟเบองตนทเนนทกษะการเชอมโยง

ส าเรจลลวงไปดวยด หวงเปนอยางยงวาชดการเรยนชดนจะสงผลใหนกเรยนมความรความเขาใจใน

เรองทฤษฎกราฟ และสามารถน าความรทางคณตศาสตรทเกยวของหรอน าความรเรองทฤษฎกราฟมา

เชอมโยงใชในสถานการณตางๆไดอยางถกตองและรกทจะเรยนรในวชาคณตศาสตรตอไป

ขจรรตน เกษรสทธ

คร วทยฐานะครช านาญการ


สารบญ

หนา

ค าแนะน าการใช 1

จดประสงคการเรยนร 2

เวลาทใช 2

แบบทดสอบกอนเรยน 3

ใบความรท 1.1 จดเรมตนของกราฟ 7

กจกรรมท 1.1 ส ารวจเสนทาง 8

ใบความรท 1.2 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ 11

กจกรรมท 1.2 เขยนเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) จากกราฟ G 16

ใบความรท 1.3 เขยนกราฟจากเซตของจดยอด V(G) และ เซตของเสนเชอม E(G) 17

กจกรรมท 1.3 มาเขยนกราฟกนเถอะ 21

แบบฝกเสรมทกษะท 1.1 24

ใบความรท 1.4 จดยอดประชด(Adjacent vertices) และ เกดกบ (Incident) 27

กจกรรมท 1.4 จดยอดประชด (Adjacent vertices) และเกดกบ (Incident) ของกราฟ G 29

ใบความรท 1.5 เสนเชอมขนาน (Parallel Edges ) และวงวน (Loop) 31

กจกรรมท 1.5 ตามหาเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และ วงวน (loop) 33

ใบความรท 1.6 กราฟเชงเดยว (Simple graph) และกราฟหลายเชง (Multi graph) 35

กจกรรมท 1.6 กราฟเชงเดยว (simple graph) และกราฟหลายเชง (multi graph) 39


ใบความรท 1.7 การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรแทนปญหาโดยการใชกราฟ 44

กจกรรมท 1.7 การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรแทนสถานการณปญหา 48

ใบความรท 1.8 การน าแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟมาแกปญหา

บางปญหาทพบเหนในชวตประจ าวนบางปญหา 50

กจกรรมท 1.8 ปญหาการจบคเตนร า และ ปญหาการจดชมนม 59

กจกรรมท 1.9 ปญหาการแบงงานท าตามความถนดของสมาชกในกลม 61



แบบทดสอบหลงเรยน 71

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 75

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 76

เฉลยกจกรรมและแบบฝกเสรมทกษะ 77

บรรณานกรม 101

ชดท 1 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ 1

ค าแนะน าในการใช

ชดการเรยน เรองทฤษฎกราฟเบองตน ทเนนทกษะการเชอมโยง

ชดการเรยน เรองทฤษฎกราฟเบองตน ทเนนทกษะการเชอมโยง ชดท 1 ความรเบองตน

เกยวกบกราฟ ทนกเรยนจะไดศกษาตอไปนใชเปนสอประกอบการเรยนของนกเรยนและนกเรยน

สามารถศกษา ปฏบตกจกรรมตางๆไดดวยตนเอง ซงนกเรยนตองศกษาจดประสงคการเรยนร

ระยะเวลาทใชในการท าชดการเรยนและเนอหาในชดการเรยนใหเขาใจเพอเปนแนวทางการศกษา

และปฏบตกจกรรมทเนนทกษะการเชอมโยง ดงน

1. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน ชดการเรยนเรองทฤษฎกราฟเบองตน ทเนนทกษะการ

เชอมโยง ชดท 1 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ จ านวน 10 ขอ

2. นกเรยนแบงกลมออกเปน 8 กลม กลมละ 5 คน โดยคละความสามารถของสมาชกในกลมดงน

นกเรยนเกง 1 คน ปานกลาง 2 คน และออน 2 คน โดยการแบงกลมจะใชคะแนนของนกเรยนท

ไดจากการวดผลสมฤทธทางการเรยนจากบทเรยนในหนวยกอนหนาน

3. นกเรยนแตละกลมรวมกนศกษาจดประสงคการเรยนร ใบความร และตวอยางในชดการเรยน

อยางละเอยดรอบคอบและเปนล าดบขนตอน

4. นกเรยนปฏบตกจกรรมแตละกจกรรมทก าหนดใหอยางเตมความสามารถโดยสมาชกในกลม

ชวยเหลอซงกนและกน หากนกเรยนมขอสงสยในขอค าถามสามารถซกถามครได

5. นกเรยนท าแบบฝกเสรมทกษะดวยตนเอง

6. เมอศกษาชดการเรยนชดท 1 เสรจเรยบรอยแลวใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเปน

รายบคคล เพ อตรวจสอบความรความเขาใจและทกษะการ เชอมโยงทางคณตศาสตร

และเปรยบเทยบความกาวหนาทางการเรยน

7. นกเรยนแตละคนตองมความซอสตยตอตนเองไมเปดดเฉลยขณะปฏบตกจกรรมหรอขณะท า

แบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน


เวลาทใช 5 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร

เมอศกษาชดการเรยนชดท 1 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ จบแลวนกเรยนจะมความร

ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรรวมทงคณลกษณะอนพงประสงค ดงน

ดานความร : นกเรยนสามารถ

1. หาเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟทก าหนดใหได

2. เขยนกราฟ G เมอก าหนดเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาใหได

3. หาจดยอดประชดและเสนเชอมเกดกบจดยอดในกราฟทก าหนดใหได

4. หาเสนเชอมขนาน (parallel edegs) และวงวน (loop) ได

5. บอกไดวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟเชงเดยว (simple graph) หรอกราฟหลายเชง

(multi graph)

6. สรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟแทนสถานการณตางๆได

7. แกปญหาบางปญหาโดยใชกราฟเปนแบบจ าลองได

ดานทกษะและกระบวนการ : นกเรยนมความสามารถใน

1. การเชอมโยง

2. การสอสาร สอความหมายและน าเสนอขอมล 3. การแกปญหา

ดานคณลกษณะทพงประสงค : นกเรยนเปนผท

1. มความซอสตย 2. มวนย 3. ใฝเรยนร


แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง ทฤษฎกราฟเบองตน


1. ค าวา “กราฟ” ในทฤษฎกราฟเบองตนหมายถงสงใดตอไปน

ก. เซตของจดยอดและเซตของคอนดบในความสมพนธทไมใชเซตวาง

ข. เซตของมมและเซตของดานของรปเหลยม

ค. เซตของจดยอดทไมเปนเซตวางและเซตของเสนเชอมระหวางจดยอด

ง. เซตของดานตางๆของรปหลายเหลยมและเซตของจ านวนตางๆ ทบอกความยาวของ

ดานตางๆ

2. ก าหนด G เปนกราฟ ดงรป

ก. V(G) = {u , v , w , x} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4}

ข. V(G) = {u , v , w , x , 𝑦} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5}

ค. V(G) = {u , v , w , x} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5}

ง. V(G) = {u , v , w , x , y} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4}

u

v

w

x e1 e2

e3

e4

e5

ค าชแจง

1. แบบทดสอบนเปนแบบปรนย เลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ เวลา 10 นาท

2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย × ลงบนค าตอบทถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว


3. ก าหนดเซตของจดยอด V(G) = {A , B , C , D , E , F} และเซตของเสนเชอม

E(G) = {AC , AD , AF , BC , BE , BF , DE} ขอใดเปนกราฟ G ทเกดจาก V(G) และ E(G)

ก.

ข.

ค.

ง.

A B

C F E D

A B

C F E D

A B

C F E D

A B

C F E D


ใชกราฟตอไปนตอบค าถามขอ 4 – 7

4. วงวนตรงกบขอใด

ก. e9

ข. e7

ค. e4

ง. e1

5. เสนเชอมคใดตอไปน ไมใช เสนเชอมขนาน

ก. e2 และ e3

ข. e4 และ e5

ค. e5 และ e6

ง. e9 และ e10

6. ขอใดเปนจดยอดประชด

ก. จดยอด A และจดยอด E

ข. จดยอด D และจดยอด E

ค. จดยอด C และจดยอด D

ง. จดยอด B และจดยอด E

7. เสนเชอมใดเกดกบจดยอด A

ก. e1

ข. e4

ค. e5

ง. e7

A

B C

E D

e1

e2 e3 e4

e5

e6 e7 e9 e8

e10


8. ก าหนดกราฟ G1 , G2 , G3 และ G4 ดงรป ขอใดกลาวถกตอง

G1 : G2 :

G3 : G4 :

ก. G1 ไมใชกราฟอยางงาย เพราะ มวงวน

ข. G2 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มจดยอดหลายจด

ค. G3 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มวงวน

ง. G4 เปนกราฟหลายเชง เพราะ มวงวนและเสนเชอมขนาน

9. การแขงขนแบดมนตน มผสมคร 6 คนโดยการแขงขนเปนแบบพบกนหมด คณะกรรมการ

แขงขนตองการทราบวาจะตองจดการแขงขนทงหมดกค ใหพจารณาการสรางแบบจ าลองทาง

คณตศาสตรแทนสถานการณโดยใชกราฟ ดงตอไปน

1) ใหจดกลมท 1 แทน ผสมครแขงขน

จดกลมท 2 แทน คแขงขนของผสมคร

2) ใหเสนเชอมระหวางจดสองจดใดๆ แทน การแขงขนของผสมครแขงขนและคแขงขน

ขอความขางตนขอใดถกตอง

ก. ขอ 1) และ ขอ 2) ถก

ข. ขอ 1) ถก และ ขอ 2) ผด

ค. ขอ 1) ผด และ ขอ 2) ถก

ง. ขอ 1) และ ขอ 2) ผด

10. จากการแขงขนแบดมนตนในขอ 9. คณะกรรมการตองจดการแขงขนทงหมดกค

ก. 10 ค

ข. 15 ค

ค. 20 ค

ง. 25 ค


ทฤษฎกราฟเรมตนมาจากปญหาหนงทมชอเสยงมากในชวงครสตศตวรรษท 18 เรยกปญหานวา

ปญหาสะพานเคอนกสเบรก (KÖnigsberg Bridge Problem) โดยปญหานกลาวถงสะพาน 7 สะพานใน

เมองเคอนกสเบรก เมองหลวงของอาณาจกรปรสเซยตะวนออก ปจจบนคอเมองคาลนนกรา (Kaliningrad)

สหพนธรฐรสเซย ซงเปนสะพานเชอมระหวางเกาะเนยฟฮอฟ (Kneiphof island) กลางแมน าพรเกล

(Pregel river) และแผนดน ดงรป

ภาพวาดจ าลองเมองเคอนกสเบรก วาดโดยนางสาวธนพร เกตอภย นกเรยนชน ม.5/2 โรงเรยนมธยมประชานเวศน

ชาวเมองตางพากนสงสยวา “ เปนไปไดหรอไมเมอเรมตน ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนงแลวเดนขามสะพานทงเจดสะพาน โดยผานแตละสะพานเพยงครงเดยวเทานนแลวกลบมายงจดเรมตนได ”

ใบความรท 1.1 จดเรมตนของกราฟ

ปญหาชวนคด นกเรยนคดวาเปนไปไดหรอไมทจะเดนขามสะพานเคอนกสเบรก โดยทเรมตน ณ

ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวเดนขามสะพานทกสะพานเพยงครงเดยวแลวกลบมาอยต าแหนงเดม ใหนกเรยนส ารวจเสนทางเพอหาค าตอบของปญหานจากกจกรรมท 1.1 ส ารวจเสนทาง


ค าชแจง ใหนกเรยนส ารวจเสนทางการเดนขามสะพานเคอนกสเบรก ทง 7 สะพานโดยเดนผาน

แตละสะพานเพยงครงเดยวเทานนและกลบมาทจดเรมตนไดหรอไม


สรปผล จากการส ารวจเสนทางการเดนขามสะพานเคอนกสเบรกทนกเรยนไดส ารวจในกจกรรม 1.1 คอ

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

กจกรรมท 1.1 ส ารวจเสนทาง


ปญหาสะพานเคอนกสเบรก โดยการส ารวจทเกดขน เกดมาจากการทดลองเดนตาม

เสนทางและใหผานสะพานทง 7 เพอกลบมายงจดเรมตน หากเปนสถานการณหรอสถานทจรงใน

การเดนส ารวจเปนไปไดอยางล าบากแตการจ าลองสะพานเคอนกสเบรกมาเปนภาพวาดดงกจกรรม

ท 1.1 แลวลองลากเสนทางการเดนสามารถท าใหการส ารวจสะดวกขน ซงผลทไดจากการส ารวจ

ปรากฎวาไมสามารถเดนขามสะพานเคอนกสเบรกทง 7 สะพานโดยเดนผานแตละสะพานเพยงครง

เดยวและกลบมาทจดเรมตนได และปญหานมนกคณตศาสตรหลายคนไดพยายามแกปญหา

โดยการทดลองจนไดค าตอบวาเปนไปไมไดแตไมมใครสามารถแสดงขอพสจนได จนกระทงป

ค.ศ. 1736 นกคณตศาสตรสวสเซอรแลนดชอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler) ไดไขปรศนานโดยการจ าลองปญหาดวยการใช จด แทน เกาะหรอแผนดนและใชเสนเชอม แทน สะพาน

ซงเชอมระหวางเกาะกบเกาะหรอเกาะกบแผนดน

ดงนน แบบจ าลองทแทนปญหานสามารถเขยนได ดงรป


เลออนฮารด ออยเลอร(Leonhard Euler) ไดใชแบบจ าลองแทนปญหาสะพานเคอนกสเบรก

จนเขาสามารถใหค าตอบของปญหาสะพานเคอนกสเบรกและอธบายเหตผลวาเปนไปไมได เราเรยกแผนภาพทสรางเปนแบบจ าลองของปญหาโดยใชจดและเสนเชอมวา “กราฟ”

เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler)ไดศกษาแบบจ าลองดงกลาว จนเกดผลงานตางๆขนมากมาย ซงท าใหเกดจดเรมตนของคณตศาสตรสาขาใหมอกสาขาหนงทเรยกวา ทฤษฎกราฟหรอ


วยตคณตศาสตร หลงจากนนกไดมนกคณตศาสตรอนๆ ท าการศกษาคนควาเกยวกบทฤษฎกราฟเพมเตม จนสามารถน าความรดงกลาวไปใชประโยชนในการแกปญหาตางๆไดมากมาย ดงน น กราฟ (Graph) จงมความส าคญในการแกปญหาตางๆโดยการจ าลองปญหาบางอยางดวยแผนภาพทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมระหวางจดยอดสองจด เชน แผนภาพทแสดงเสนทางการเดนรถไฟฟา BTS แผนภาพแสดงถนนทเชอมเมองตางๆ วงจรไฟฟา แผนภาพแสดงการเชอมตอของจงหวดตางๆในประเทศไทย เปนตน และการศกษาถงสมบตตางๆในทฤษฎกราฟมการประยกตใชอยางกวางขวางในศาสตรแขนงอนๆ เชน วทยาศาสตร สงคมศาสตร เศรษฐศาสตร เปนตน ซงนกเรยนจะไดศกษาตอไป

สวทซ ตวตานทาน

แบตเตอร

รป ก เปดวงจร รป ข ปดวงจร


ใบความรท 1.2 ความรเบองตนเกยวกบกราฟ

กอนทนกเรยนจะน าทฤษฎกราฟไปใชประโยชนไดนน จะตองท าความเขาใจเกยวกบความรเบองตนของกราฟทจะกลาวตอไปนกอน

จากแบบจ าลองทางคณตศาสตรสะพานเคอนกสเบรก

เรยกแผนภาพซงประกอบดวยจดและเสนทเกดขนวา “กราฟ” โดยทจดภายในกราฟ

เรยกวา จดยอด และเสนทเชอมระหวางจดยอดสองจด เรยกวา เสนเชอม

“กราฟ” ในทฤษฎกราฟไมไดหมายถงกราฟของความสมพนธหรอกราฟของฟงกชน

แต “กราฟ”ในทนเปนแผนภาพทประกอบไปดวยจดยอดและเสนเชอมระหวางจดยอดสองจด

ในเชงคณตศาสตร “กราฟ” มบทนยามดงน

หมายเหต 1.V(G) ≠ ∅ แต E(G) อาจเปนเซตวางได

2. ถาเสนเชอมเสนหนงมจดปลายดานหนงคอจดยอด u และจดปลายอกดานหนง

คอ จดยอด v เขยนเชอมเสนนดวย uv หรอ vu

บทนยาม กราฟ G ประกอบดวยเซตจ ากด 2 เชต คอ

1. เซตของจดยอด (vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G)

ถา u เปนสมาชกในV(G) เรยก u วาจดยอด

2. เซตของเสนเชอม (edge) ทเชอมระหวางจดยอดแทนดวยสญลกษณ E(G)

แบบจ าลองทางคณตศาสตรสะพานเคอนกสเบรก


B

ตวอยางท 1 จงพจารณากราฟ G1 , G2 และ G3 ตอไปน

1. จากกราฟ G1 เสนเชอมทเชอมระหวางจดยอด A และจดยอด B

คอ เสนเชอม AB หรอ BA

2. จากกราฟ G2 เสนเชอมทเชอมระหวางจดยอด u และจดยอด v

คอ เสนเชอม uv หรอ vu

3. จากกราฟ G3 เสนเชอมทเชอมระหวางจดยอด C และจดยอด D

คอ เสนเชอม CD หรอ DC

เพอใหเกดความเขาใจในบทนยามและการเชอมโยงความร

ทางคณตศาสตรเรองเซตกบการน าไปใชในการหา V(G) และ

E(G) ของกราฟ G ใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 ถงตวอยาง

ท 5 เมอก าหนดกราฟ G มาให ประกอบการศกษาดงน

v

u

A

D

C

กราฟ G1

กราฟ G2

กราฟ G3


ตวอยางท 2 ก าหนดกราฟ G ดงตอไปน

จงหา เซตของจดยอด V(G) และ เซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟ G

วธท า จากกราฟ G ทก าหนดใหจะไดวา

เซตของจดยอด V(G) = {A, B, C, D}

เซตของเสนเชอม E(G) = {AB, BC, AC, CD}

ตวอยางท 3 จากกราฟ G1 , G2 และ G3ในตวอยางท 1 สามารถเขยนสญลกษณแทนเสนเชอม

ไดดงน

1. จากกราฟG1สามารถเขยนเซตของเสนเชอม E(G) ไดดงตอไปน

E(G) = {AB} หรอ E(G) = {BA} หรอ E(G) = {e1}


E(G) = {uv} หรอ E(G) = {vu} หรอ E(G) = {e2}


E(G) = {CD} หรอ E(G) = {DC} หรอ E(G) = {e3}

D

B

A

C

v

u

A

D

C

e1

e2

e3

B

กราฟ G1

กราฟ G2

กราฟ G3


y w

x

v u

e1 e2 e3 e4

e5

ตวอยางท 4 ก าหนดกราฟ G ตอไปน

จงหา เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟ G

วธท า เนองจากกราฟ G มเสนเชอมระหวางจดยอด w และจดยอด y สองเสน เพอความสะดวก

ในการเขยนเสนเชอมในลกษณะน เราสามารถก าหนดชอหรอสญลกษณแทนเสนเชอมแตละเสนได

ดงน

ใหเสนเชอม e1 แทนเสนเชอม uv หมายถง เสนเชอมระหวางจดยอด u และจดยอด v

เสนเชอม e2 แทนเสนเชอม vw หมายถง เสนเชอมระหวางจดยอด v และจดยอด w

เสนเชอม e3 แทนเสนเชอม wx หมายถง เสนเชอมระหวางจดยอด w และจดยอด x

เสนเชอม e4 แทนเสนเชอม wy (เสนบน) หมายถง เสนเชอมระหวางจดยอด w และจดยอด y

เสนเชอม e5 แทนเสนเชอม wy (เสนลาง) หมายถง เสนเชอมระหวางจดยอด w และจดยอด y

ดงนนเขยนกราฟ G ไดดงน

จะไดวา

เซตของจดยอด V(G) = {u, v, w, x, y}

เซตของเสนเชอม E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}

y w v u

x


ตวอยางท 5 ก าหนดกราฟ G ดงตอไปน

จงหา เซตของจดยอด V(G) และ เซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟ G

วธท า จากกราฟ G ทก าหนดใหจะไดวา

เซตของจดยอด V(G) = {A, B, C, D, E, F}

เซตของเสนเชอม E(G) = {AB , BC , BD , DB , DE , DF}

หรอ = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}

จากใบความรท 1.2 ทนกเรยนไดศกษาขางตน

ใหนกเรยนตรวจสอบความเขาใจและน าความรเรองเซตไป

เชอมโยงใชในการเขยนเซตของจดยอด V(G) และ เซตของ

เสนเชอม E(G) เมอก าหนดกราฟ G มาใหจากกจกรรมท 1.2

นะคะ

B D

C

E

F

A

e6 e2

e1

e3

e5 e4


ค าชแจง ในแตละขอของกจกรรมตอไปนใหนกเรยน เตมค าตอบในชองวางใหสมบรณ และตรวจค าตอบได

จากเฉลยทายชดท 1

กจกรรมท 1.2 เขยนเซตของจดยอด 𝐕(𝐆) และเซตของเสนเชอม 𝐄(𝐆) จากกราฟ G

1. จากกราฟ G ในแตละขอตอไปน จงหา เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G)

กราฟ G เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) G1 :

V(G1) = {A, … , … , … , … , … , … , … } E(G1) = {AB, BC, CD, … , … , … , … , … }

G2 :

V(G2) = {A, … , … , … , … , … , … } E(G2) = {AB, … , … , … , … , … }

G3 :

V(G3) = {u, … , … , … , … } E(G3) = {uw, … , … , … , … }

G4 : A

V(G4) = {… } E(G4) = ........................................

G5 :

V(G5) = {… , … , … } E(G5) = {e1, … , … , … , … , }


a

b

c

a

b

c

A

B C

D D

B C

A

ใบความรท 1.3 เขยนกราฟจากเซตของจดยอด V(G) และ เซตของเสนเชอม E(G)

จากใบความรท 1.2 นกเรยนไดศกษาการเขยนเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม

E(G) เมอก าหนดกราฟ G มาให สวนในหวขอทจะกลาวตอไปนเปนการศกษารายละเอยดของ

การเขยนกราฟ G เมอก าหนดเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาให ดงน

ตวอยางท 6 จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดให V(G) = {a, b, c} และ E(G) = {ab, ac, bc}

สามารถเขยนกราฟ G ไดหลายแบบ เชน รป (1) , (2) หรอ (3) ดงน

รป (1) รป (2) รป (3)

ตวอยางท 7 จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดใหV(G) = {A, B, C, D} และ

E(G) = {AC, BC, DB} สามารถเขยนกราฟ G ไดหลายแบบ เชน รป (1) หรอ (2) ดงน

รป (1) รป (2)

a

b c

ปญหาชวนคด จากตวอยางท 6 และตวอยางท 7 สามารถเขยนกราฟ G ใน

แบบอน ไดอกหรอไมคะเพอนๆ และตวอยางตอไปนจะเปนการเขยนเซตแบบ

แจกแจงสมาชกจากเซตแบบบอกเงอนไขทก าหนดให เพอน าไปใชในการ

เขยนเสนเชอมของกราฟ G คะ


เพอนๆจะน าเสนเชอมไปเขยนกราฟไดตองเปลยนเซตแบบ

บอกเงอนไข E(G) = {AB|A , B ∈ V(G) และ A < B} เปน

เซตแบบแจกแจงสมาชกกอนนะคะ

ตวอยางท 8 จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดให V(G) = {1,2,3,4}

E(G) = {AB|A , B ∈ V(G) และ A < B}

วธท า ก าหนดจดยอดของ V(G) ดงรป (ก าหนดจดยอดเปนต าแหนงใดกได)

จากเงอนไข E(G) = {AB|A, B ∈ V(G) และ A < B}

เขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก ไดดงน E(G) = { 12 , 13 , 23 , 24 , 34 }

และน าเซตของเสนเชอม E(G) มาเขยนกราฟ G ไดดงรป

1

4

3

2

E(G)

= { AB , AC , BC , CD }

4

3

2

E(G)

= { AB , AC , BC , CD }

1


ตวอยางท 9 จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดให V(G) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

E(G) = {AB|A, B ∈ V(G) ซง A + B เปนจ านวนคและ A ≤ B}

วธท า ก าหนดจดยอดของ V(G) ดงรป

จากเงอนไข ของ E(G) = {AB|A, B ∈ V(G) ซง A + B เปนจ านวนคและ A ≤ B}

เขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก ไดดงน E(G) = { 11 , 22 ,33 , 44 , 55 , 13 , 24 , 15 }

น าเซตของเสนเชอม E(G)มาเขยนกราฟ G ไดดงรป

ขอสงเกต การเขยนเซตของ E(G) = {AB|A, B ∈ V(G) ซง A + B เปนจ านวนคและ A ≤ B}

แบบแจกแจงสมาชกซง A และ B เปนสมาชกของ V(G) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } พจารณาไดดงน

1+1 = 2 ซง 2 ∈ จ านวนค 5+5 = 10 ซง 10 ∈ จ านวนค




ดงนน E(G) = { 11 , 22 ,33 , 44 , 55 , 13 , 24 , 15 }

5

1

4

2

3

5

1

4

2

3


หมายเหต ในการเขยนกราฟ G จะก าหนดต าแหนงของจดยอด ณ ต าแหนงใดกไดและจะ

ลากเสนเชอมของกราฟเปนสวนของเสนตรงหรอเสนโคงทมความยาวเทาใดกได เชน กราฟ

ตอไปน ถอวาเปนกราฟเดยวกน

เสนเชอมสองเสนของกราฟอาจลากตดกนได โดยทจดตดของเสนเชอมทงสอง ไมถอวา

เปนจดยอดเดยวกนของกราฟ เชน

A B

A

B C A B C

จดตดของเสนเชอม


กจกรรมท 1.3 มาเขยนกราฟกนเถอะ

C

B

D

A

B

C

D

D

B

C

B

C

A C

B

B

C

A

A

A

A

ค าชแจง เมอก าหนดกราฟ G ทประกอบดวยเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาให

ใหนกเรยน เขยนกราฟในแตละขอใหสมบรณ โดยครเปนผตรวจค าตอบและใหคะแนน

1. ใหนกเรยนเขยนกราฟ G จาก V(G) และ E(G) ตอไปน ใหสมบรณ

1.1 V(G) = {A , B , C , D } E(G) = { AB , AC , BC , CD }

วธท า กราฟ G มจดยอด 4 จด และเสนเชอม 4 เสน สามารถเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน

รปท 1 รปท 2 รปท 3

1.2 V(G) = {A , B , C } E(G) = { AA , AB , AC , BC , CB }


รปท 1 รปท 2

รปท 3


2. ใหนกเรยนเขยนกราฟ G จาก V(G) และ E(G) ตอไปนมา 3 กราฟ

1. V(G) = {A , B , C , D , E } E(G) = { AB , AC , AE , BC , CD , ED }

วธท า กราฟ G มจดยอด ………จด และเสนเชอม ……….เสน สามารถเขยนกราฟไดหลายแบบ

เชน

2. V(G) = {A , B , C , D } E(G) = { AA , AB , BD , BC , CB } วธท า กราฟ G มจดยอด ……..จด และเสนเชอม ………..เสน สามารถเขยนกราฟไดหลายแบบ

เชน


3. จากการเขยนกราฟขางตน ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปนโดย เตมเครองหมาย √ หนาขอความ

ทถกตอง หรอเครองหมาย × หนาขอความทผด

............ 1. เมอก าหนดเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาให สามารถเขยน

กราฟ G ไดหลายรปแบบ

............ 2. การเขยนต าแหนงของจดยอดในกราฟ G สามารถเขยน ณ ต าแหนงใดกไดโดยไมมรปแบบท

แนนอน

............ 3. เสนเชอมของกราฟ G จะเปนสวนของเสนตรงไดเพยงอยางเดยวเทานน

............ 4. ความยาวของเสนเชอมแตละเสนจะยาวเทาใดกได

............ 5. เสนเชอมสองเสนของกราฟสามารถลากตดกนไดโดยทจดตดของเสนทงสองถอวาเปนจดยอด

ของกราฟ

ดงนนขอสงเกตทนกเรยนไดจากการเขยนกราฟ ในกจกรรมท 1.3 ทงหมด คอ

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

.


C

D

A

B

A

B C

B

𝑒7

แบบฝกเสรมทกษะท 1.1

1. จงหาเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟ G ทก าหนดใหตอไปน

1.1 V (G) = ..........................................................................

E (G) = ...........................................................................

1.2 V (G) = ...........................................................................

E (G) = ...........................................................................

1.3 V (G) = ...........................................................................

E (G) = ...........................................................................

1.4 V (G) = ...........................................................................

E (G) = ...........................................................................

1.5 V (G) = ..........................................................................

E (G) = ...........................................................................

B

C

จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. หาเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) เมอก าหนดกราฟ G มาใหได

2. เขยนกราฟ G เมอก าหนดเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาใหได

A

B E

C D

A

C

D E F G

𝑒8

𝑒1 A

𝑒4 𝑒2

𝑒3

𝑒5

𝑒6

E

D


𝑒8

𝑒3

𝑒7 𝑒4

𝑒5 𝑒6

𝑒10

B

A

C D

H

𝑒1

𝑒2

𝑒9

B

C D A

E F

H

𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4 𝑒5

𝑒6

𝑒7 𝑒8

1.6 V (G) = ...............................................

E (G) = ................................................

1.7 V (G) = ................................................

E (G) = ................................................

2. จงเขยนกราฟ G เมอก าหนด เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาให

2.1 V(G) = {u , v , w } E(G) = { uv , uw , vv , vw }

2.2 V(G) = {A , B , C , D , E } E(G) = { AB , AC , AE , BC , CD , ED }

2.3 V(G) = {v1 , v2 , v3 , v4} E(G) = { v1v2 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v4v4 }

E F


3. จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดให V(G) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } E(G) = { AB | A, B ∈ V(G)ซงA > BและA + Bเปนจ านวนค}


ใบความรท 1.4 จดยอดประชด(Adjacent vertices) และ เกดกบ (Incident)

เพอใหเกดความเขาใจในบทนยาม ใหนกเรยนศกษาตวอยางตอไปน


จากกราฟ G จะเหนวา

จดยอด u และจดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม ux

จดยอด v และจดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม vx

จดยอด v และจดยอด w เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม vw

แต จดยอด u และจดยอด v ไมเปนจดยอดประชด เนองจากไมมเสนเชอมระหวางจดยอดทงสอง

จดยอด u และจดยอด w ไมเปนจดยอดประชด เนองจากไมมเสนเชอมระหวางจดยอดทงสอง

จดยอด w และจดยอด x ไมเปนจดยอดประชด เนองจากไมมเสนเชอมระหวางจดยอดทงสอง

และจะเหนวา

เสนเชอมทเกดกบจดยอด u คอ เสนเชอม ux

เสนเชอมทเกดกบจดยอด v คอ เสนเชอม vx และ vw

เสนเชอมทเกดกบจดยอด x คอ เสนเชอม xu และ xv

เสนเชอมทเกดกบจดยอด w คอ เสนเชอม wv

หมายเหต การเขยนจดยอดประชดนกเรยนสามารถเขยนจดใดกอนกได ถอวาเหมอนกน เชน

จดยอด u และจดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม ux

หรอ จดยอด x และจดยอด u เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม xu

บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกราฟ เปนจดยอดประชด (adjacent vertices) กตอเมอ มเสนเชอม

ระหวางจดยอดทงสอง

เสนเชอม e ของกราฟเกดกบ (incident) จดยอด v ถาจดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม e

w

v

x

u


เพอนๆมขอสงเกตในการหาเสนเชอมทเกดกบจด

ยอดแตละจดอยางไรบางคะ



จดยอด A และ จดยอด B เปนจดยอดประชด เนองจาก มเสนเชอม e1

จดยอด B และ จดยอด C เปนจดยอดประชด เนองจาก มเสนเชอม e2

จดยอด B และ จดยอด C เปนจดยอดประชด เนองจาก มเสนเชอม e3

จดยอด A และ จดยอด C เปนจดยอดประชด เนองจาก มเสนเชอม e4

จดยอด B และ จดยอด D เปนจดยอดประชด เนองจาก มเสนเชอม e5

และ จะเหนวา

เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ เสนเชอม e1 และ e4

เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ เสนเชอม e1 ,e2, e3 และ e5

เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ เสนเชอม e2 ,e3 และ e4

เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ เสนเชอม e5 และ e6

แต จดยอด E ไมเปนจดยอดประชดกบจดยอดใดๆ และไมมเสนเชอมใดเกดกบจดยอด E

D

B

C

A

E

𝑒1

𝑒3 𝑒2

𝑒5

𝑒4

𝑒6

เสนเชอมทเกดกบจดยอดแตละจดนนใหมองจดยอดเปนหลก และ

สงเกตดวามเสนเชอมใดทลากออกจากจดยอดนนบางและ

เพอตรวจสอบความเขาใจเกยวกบจดยอดประชดและเสนเชอมเกดกบ

ใหนกเรยนท ากจกรรมท 1.4 ตอไปคะ


ค าชแจง ในแตละขอของกจกรรมตอไปนใหนกเรยนเตมค าตอบในชองวางใหถกตองและตรวจค าตอบ

ไดจากเฉลยทายชดท 1

กจกรรมท 1.4 จดยอดประชด (Adjacent vertices) และเกดกบ (Incident) ของกราฟ G

1. ก าหนดกราฟ G ตอไปน


จดยอด u และ จดยอด v เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

จดยอด u และ จดยอด w เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

จดยอด v และ จดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

จดยอด w และ จดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

จดยอด x และ จดยอด y เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

จดยอด x และจดยอด z เปนจดยอดประชด เนองจาก.....................................................

และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด u คอ ................................. .................................................................

เสนเชอมทเกดกบจดยอด v คอ ..................................................................................................

เสนเชอมทเกดกบจดยอด w คอ .................................................................................................

เสนเชอมทเกดกบจดยอด x คอ ..................................................................................................

เสนเชอมทเกดกบจดยอด y คอ ..................................................................................................

เสนเชอมทเกดกบจดยอด z คอ ..................................................................................................

x

w

z

v

u

y


2. ก าหนดกราฟ G ตอไปน

จากกราฟ G จงเตมเครองหมาย √ หนาขอความทถกตอง หรอเครองหมาย × หนาขอความทผด

.............. 1. จดยอด A และจดยอด D เปนจดยอดประชดเนองจากมเสนเชอม e1 , e2 , e5 และ e6

.............. 2. จดยอด B และ จดยอด D เปนจดยอดประชดเนองจากมเสนเชอม e4

...............3. เสนเชอม e5 เกดกบจดยอด A

.............. 4. เสนเชอม e4 เกดกบจดยอด B

.............. 5. เสนเชอม e3 เกดกบจดยอด C

.............. 6. จดยอด C และ จดยอด D เปนจดยอดประชด เนองจากมเสนเชอม e3

สรปไดวา

จดยอด u และจดยอด v ของกราฟ เปนจดยอดประชด (adjacent vertices) กตอเมอ..................................

เสนเชอม e ของกราฟเกดกบ (Incident) จดยอด v ถา...............................................................................

D

B

C

e1

e3

e2

e5

e4

e6

A


ใบความรท 1.5 เสนเชอมขนาน (Parallel Edges ) และวงวน (Loop)

จากใบความรท 1.4 ตวอยางท 11

จงตอบค าถามตอไปน

1. เสนเชอม e2 และ e3 มจดปลายของเสนเชอมเปนอยางไร

2. เสนเชอม e6 หรอเสนเชอม DD มจดปลายของเสนเชอมเปนอยางไร

ดงนนจากค าถามจดประกายเพอตอยอดความคดและบทนยาม สามารถตอบค าถามไดดงน

1. เสนเชอม e2 และ e3มจดปลายของเสนเชอมเปนจดยอดคเดยวกน นนคอ เสนเชอม e2 และ e3

เรยกวา เสนเชอมขนาน (parallel edges)

2. เสนเชอม e6หรอ เสนเชอม DD เปนเสนเชอมทมจดปลายทงสองเปนจดยอดเดยวกน นนคอ

เสนเชอม e6หรอ เสนเชอม DD เรยกวา วงวน (loop)

ค าถามจดประกายเพอตอยอดความคด

บทนยาม

เสนเชอมตงแตสองเสนขนไปทเชอมจดยอดคเดยวกน เรยกวา เสนเชอมขนาน (parallel edges)

เสนเชอมทมจดปลายทงสองเปนจดยอดเดยวกน เรยกวา วงวน (loop)

D

B

C

A

E

𝑒1

𝑒3 𝑒2

𝑒5

𝑒4

𝑒6


𝑒1

เพอใหเกดความเขาใจในบทนยาม ใหนกเรยนศกษาตวอยางท 12 และตรวจสอบ

ความเขาใจในเรองเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และวงวน (loop) ใหนกเรยนท า

กจกรรมท 1.5 ดวยนะคะ

ตวอยางท 12 ก าหนดกราฟ G ดงรป

จากกราฟ G จะได V(G) = {A , B , C , D , E , F}

E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5, e6 , e7, e8 } และพบวา e1 เปนวงวน

e5 และ e6 เปนเสนเชอมขนาน

e7 และ e8 เปนเสนเชอมขนาน

A

C

𝑒3 𝑒2

D

𝑒4

𝑒8 𝑒5

F

E

𝑒7 𝑒6

B


กจกรรมท 1.5 ตามหาเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และ วงวน (loop)

C

B

D

A

ค าชแจง ในแตละขอของกจกรรมตอไปนใหนกเรยนเขยนเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และ วงวน (loop)

โดยตรวจค าตอบไดจากเฉลยทายชดท 1

1. จากกราฟ G ทก าหนดให จงเขยนเสนเชอมทเปนเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และ วงวน (loop)

โดยใชปากกาสแตกตางจากโจทยทปรากฎในกราฟตามรอยเสนประใหถกตอง

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5

B

C

A

B CA

D

B

E

A

C

A

B

D

C


2. จงหาเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และวงวน (loop) จากกราฟตอไปน

2.1 เสนเชอมขนาน คอ .................................................

วงวน คอ .................................................

2.2 เสนเชอมขนาน คอ .................................................

วงวน คอ .................................................

2.3 เสนเชมขนาน คอ .............. ...................................

วงวน คอ .................................................

2.4 เสนเชมขนาน คอ .................................................

วงวน คอ .................................................

2.5 เสนเชมขนาน คอ ..........................................

วงวน คอ .................................................


เสนเชอมขนาน (parallel edges) คอ .......................................................................................................

วงวน (loop)คอ ........................................................................................................................................

C

B

D

A

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒7

𝑒6

𝑒5

C

B

A

𝑒1 𝑒2

𝑒3 𝑒4

B

C

E

D

A

𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒8

𝑒7

𝑒6

𝑒5

A

C

B

D

𝑒1 𝑒4

𝑒5

𝑒6

𝑒3

B

A

𝑒1

𝑒2

𝑒2


จากบทนยาม หากกราฟ G มเสนเชอมขนาน (parallel edges ) หรอ

วงวน (loop) อยางใดอยางหนง หรอ มทงเสนเชอมขนาน (parallel edges) และ

วงวน (loop) จะถอวากราฟ G เปนกราฟหลายเชง (multi graph) เพอท าความ

เขาใจบทนยามใหงายขน ใหนกเรยนศกษาตวอยางตอไปน

ใบความรท 1.6 กราฟเชงเดยว (Simple graph) และกราฟหลายเชง (Multi graph)

ตวอยางท 13 ก าหนดกราฟ G1 ,G2 , G3และ G4ดงน

จะไดวา กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว เนองจากในกราฟ G1ไมมเสนเชอมขนานและวงวน

กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G2มเสนเชอมขนานระหวางจดยอด B และ

จดยอด C

กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G3มวงวนทจดยอด D

กราฟ G4 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G4มเสนเชอมขนานระหวางจดยอด B และ

จดยอด C และวงวนทจดยอด D

บทนยาม กราฟ G จะเรยกวาเปนกราฟเชงเดยว (simple graph) หรอกราฟอยางงาย กตอเมอ ไมมเสน

เชอมขนาน และไมมวงวนในกราฟ G

ส าหรบกราฟทไมใชกราฟเชงเดยว เรยกวา กราฟหลายเชง (multi graph)

G1 G2 G3 G4

A

CB

D

C

A

B

D A

B

D

C B

A D

C


พจารณากราฟเชงเดยวและกราฟหลายเชงไดโดยไมตองเขยนกราฟให

นกเรยนสงเกตเสนเชอม ถาจดเรมตนและจดสนสดเปนจดยอดเดยวกน คอ

วงวน (loop) แตถามเสนเชอมตงแตสองเสนขนไปทเชอมจดยอดคเดยวกน

คอ เสนเชอมขนาน (parallel edges) นะคะ

ตวอยางท 14 ก าหนดกราฟ G1 ,G2 , G3และ G4ดงน

กราฟ G1ประกอบดวย V(G1) = { A , B , C , D , E }

E(G1) = { AB, AC, BD, BC, CD, DE } กราฟ G2ประกอบดวย V(G2) = { A , B , C , D , E }

E(G2) = { AB, BA, BC, DE }


E(G3) = { CD, DE, EE }


E(G4) = { AB, CB, BC, DE, AA }

วธท า

จากเซตของเสนเชอมของกราฟ G1 ,G2 , G3และG4ทโจทยก าหนดให สามารถพจารณา

กราฟเชงเดยวและกราฟหลายเชงไดโดยไมจ าเปนตองเขยนกราฟ ดงน

กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว เนองจากในกราฟ G1ไมมเสนเชอมขนานและวงวน

กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G2 มเสนเชอมขนาน คอ เสนเชอม AB , BA

กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G3 มวงวนคอ เสนเชอม EE

กราฟ G4 เปนกราฟหลายเชง เนองจากในกราฟ G4 มเสนเชอมขนาน CB, BC และวงวน AA


A

A

A

C

B

D

B

CD

A

B

C

D

B

CD

ตวอยางท 15 จงยกตวอยางกราฟ G1 ,G2 , G3และG4ซงแตละกราฟตองมจดยอด 4 จด และม

เสนเชอม 6 เสนและมลกษณะดงน

กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว

กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชงทมเสนเชอมขนาน

กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชงทมวงวน

กราฟ G4 เปนกราฟหลายเชงทมวงวนและเสนเชอม

วธท า (1) เนองจากกราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว แสดงวา ตองไมมวงวนและไมมเสนเชอมขนาน

สามารถเขยนกราฟได เชน

(2) เนองจากกราฟ G2 เปนกราฟหลายเชงทมเสนเชอมขนาน สามารถเขยนกราฟได เชน

(3) เนองจากกราฟ G3 เปนกราฟหลายเชงทมวงวน สามารถเขยนกราฟได เชน

(4) เนองจากกราฟ G4 เปนกราฟหลายเชงทมวงวนและเสนเชอมขนาน สามารถเขยนกราฟ

ได เชน

G1 :

G2 ∶

G3 ∶

G4 :


เพอตรวจสอบความเขาใจในเรองกราฟเชงเดยว

(simple graph) และกราฟหลายเชง (multi graph)

ใหนกเรยนท ากจกรรมท 1.6 ตอไปน


กจกรรมท 1.6 กราฟเชงเดยว (simple graph) หรอ กราฟหลายเชง (multi graph)

B

ค าชแจง ในแตละขอของกจกรรมตอไปนใหนกเรยน เตมค าตอบในชองวางใหสมบรณ และตรวจ

ค าตอบไดจากเฉลยทายชดท 1

1. กราฟ Gในขอตอไปน กราฟใดเปนกราฟเชงเดยว (simple graph) หรอ กราฟหลายเชง

(multi graph) พรอมทงบอกเหตผลประกอบ

กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว เนองจาก ................................................................................. ......

กราฟ G2 เปนกราฟ....................เนองจาก .........................................................................................



G1 G2

G3 G4

G C

A

BD

E

I H

F

E

H G

C

F

A B

D

D

B

C

A

CD

A


2. จงยกตวอยางกราฟ G1 , G2 และ G3 ซงแตละกราฟตองมจดยอด 5 และเสนเชอม 8 เสน

ตามเงอนไข ดงน

2.1 กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว

2.2 กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชงทมวงวน

2.3 กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชงทมวงวนและเสนเชอมขนาน


1. ก าหนดกราฟ G ดงรป

จงหา

1.1 วงวน ของจดยอด A คอ .............................................................................................

1.2 วงวน ของจดยอด B คอ .............................................................................................

1.3 วงวน ของจดยอด D คอ .............................................................................................

1.4 เสนเชอมขนาน ของจดยอด B และจดยอด C คอ ....................................................

1.5 เสนเชอมขนาน ของจดยอด D และจดยอด E คอ ....................................................

1.6 เสนเชอมขนาน ของจดยอด D และจดยอด F คอ ....................................................


จดประสงค : นกเรยนสามารถ

1. หาจดยอดประชด (Adjacent vertices) และเกดกบ (Incident) จดยอดในกราฟทก าหนดใหได

2. หาเสนเชอมขนาน (parallel edegs) และวงวน (loop) ได

3. บอกไดวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟเชงเดยว (simple graph) หรอกราฟหลายเชง (multi graph)


2. จงเตมขอความจากกราฟ G ทก าหนดให

2.1 V(G) = .............................................................................................................................

2.2 E(G) = .............................................................................................................................

2.3 เสนเชอมขนานของจดยอด B และจดยอด F

คอ ..........................................................................................................................................

2.4 วงวนของจดยอด E

คอ...........................................................................................................................................

2.5 จดยอดประชดของเสนเชอม e9

คอ .........................................................................................................................................

2.6 จดยอดประชดของจดยอด A

คอ .........................................................................................................................................

2.7 เสนเชอมขนานทเกดกบจดยอด C

คอ..........................................................................................................................................

2.8 เสนเชอม e6 เกดกบจดยอด............... และจดยอด...............

2.9 เสนเชอมขนานของจดยอด C และจดยอด D

คอ........................................................................................................................................

2.10 จดยอดซงไมใชจดยอดประชดของจดยอด A

คอ .......................................................................................................................................


3. จงเตมเครองหมาย √ หนาขอความทถกตอง หรอ × หนาขอความทผด

............ 3.1 เสนเชอม e1 เปนวงวน

............ 3.2 เสนเชอม e4 และ e5 เปนเสนเชอมขนาน

............ 3.3 จดยอด F มวงวน

............ 3.4 จดยอด F และจดยอด C มเสนเชอมขนาน

............ 3.5 จดยอด A และจดยอด F เปนจดยอดประชด

............ 3.6 จดยอดประชดของจดยอด B คอ จดยอด A จดยอด C และจดยอด F

............ 3.7 เสนเชอม e8 เกดกบจดยอด E และจดยอด C

............ 3.8 เสนเชอม e4 และ e5 เกดกบจดยอด F และจดยอด C

............ 3.9 เสนเชอม e3 และ e9 เปนเสนเชอมขนาน

............ 3.10 จดยอด C และจดยอด F มจ านวนเสนเชอมขนาน 4 เสน

ชดท 1 ความรเบองตนเกยวกราฟ 44

ใบความรท 1.7 การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรแทนปญหาโดยการใชกราฟ

หลงจากทนกเรยนไดศกษาความรเบองตนเกยวกบกราฟแลว ในหวขอตอไปนเปนการน า

ความรเบองตนเกยวกบกราฟมาเชอมโยงกบปญหาหรอสถานการณบางอยาง

การแกปญหาบางปญหาทซบซอน อาจท าไดโดยการสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรท

เหมาะสมแทนปญหา ซงท าใหเขาใจปญหาไดงายขน หลงจากนนจงแกปญหาจากแบบจ าลอง

เพอหาค าตอบ แลวน าค าตอบทไดจากแบบจ าลองมาอธบายผลทเกดขนกบปญหาจรง

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยการใชกราฟ มลกษณะคอนขางงายและเปน

แบบจ าลองทเหมาะสมกบบางสถานการณทซบซอนไดเปนอยางด

ตอไปนเปนตวอยางการสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟแทนปญหาหรอ

สถานการณ เพอท าใหเขาใจปญหาหรอสถานการณไดงายขน ดงตวอยางตอไปนนะคะ


ตวอยางท 16 จงสรางแบบจ าลองแสดงจงหวดทมพรมแดนตดกน

โดยใหจด แทน จงหวด เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวา

จงหวดสองจงหวดมพรมแดนตดกน เมอก าหนดแผนทดงรป

ทมาแผนทภาคตะวนออก http://www.panteethai.com

วธท า สามารถสรางแบบจ าลองแทนสถานการณ

โดยให จด แทน จงหวด

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวาจงหวดสองจงหวดมพรมแดนตดกน

ดงนนแบบจ าลองทแทนสถานการณสามารถเขยนกราฟไดดงน

ปราจนบร

สระแกว

จนทบร

ตราด ระยอง

ชลบร

ฉะเชงเทรา

http://www.panteethai.com/


ตวอยางท 17 ในการออกแบบชนลางของบานครขจรรตน สถาปนกของบรษททวาจาง

ไดออกแบบบานชนลางไว ดงรป

จงสรางแบบจ าลองแสดงทางเชอมระหวางหองแตละหองภายในบาน โดยให จด แทน

หอง และเสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ประต

วธท า สามารถสรางแบบจ าลองแทนสถานการณ

โดยให จด แทนหอง

และ เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ประต

ดงนนแบบจ าลองทแทนสถานการณสามารถเขยนกราฟไดดงน

หองรบแขก หองโถง

หองพกผอน

หองนอน หองน า

หองอาหาร

หองครว

หองรบแขก

หองอาหาร หองโถง


หองนอน หองน า

หองครว


จากตวอยางท 16 และตวอยางท 17 เปนการสรางแบบจ าลองแทนสถานการณหรอ

ปญหาโดยการใชกราฟ ซงท าใหเขาใจสถานการณหรอปญหาไดงายขน และกอนทนกเรยน

จะแกปญหาโดยการหาค าตอบจากแบบจ าลองทสรางขนไดนน นกเรยนจะตองสราง

แบบจ าลองแทนสถานการณหรอปญหาใหถกตองกอน และเพอเปนการตรวจสอบวา

นกเรยนสามารถน าความรมาเชอมโยงในการสรางแบบจ าลองแทนสถานการณหรอปญหา

ได ใหนกเรยนท ากจกรรมท 1.7 ตอไปน


กจกรรมท 1.7 การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรแทนสถานการณปญหา

1. สมมตวาสวนสาธารณะแหงหนงมเกาะ 3 เกาะ คอ C , D ,E และมสะพานเชอมระหวางเกาะและฝง

A กบ ฝง B ดงรป ใหนกเรยนสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณนโดยใหจดแทน

เกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน

สถานการณปญหา แบบจ าลองทางคณตศาสตร

2. บรษไปรษณยคนหนงตองไปสงจดหมายทงหมด 5บาน โดยทแตละบานตงอยรมถนน ดงภาพ

ตอไปน ให จดยอด แทน บานแตละหลง เสนเชอมแทนถนน


ทท าการไปรษณย


3. จงสรางแบบจ าลองแสดงจงหวดทมพรมแดนตดกน

โดยใหจด แทน จงหวด เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวาจงหวดสอง

จงหวดมพรมแดนตดกน เมอก าหนดแผนทดงรป



ใบความรท 1.8 การน าแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟมาแกปญหาบางปญหาทพบเหนใน

ชวตประจ าวนบางปญหา

มเมอง 4 เมอง คอ เมอง A , B , C และ D โดยท

มถนน 2 สายเชอมเมอง A และ B มถนน 1 สายเชอมเมอง A และ C

มถนน 1 สายเชอมเมอง Bและ D มถนน 1 สายเชอมเมอง A และ D

มถนน 1 สายเชอมเมอง B และ C

โดยการเดนทางระหวางเมองทง 4 เมอง มรถประจ าทางวงใหบรการ จะเปนไปไดหรอไม

ทรถประจ าทางจะเรมรบผโดยสารจากเมอง C โดยใหผานถนนทกสายเพยงครงเดยวแลวกลบมาถง

เมอง C

การแกปญหาดานตางๆ เชน ปญหาดานธรกจ ปญหาดานอตสาหกรรมการจดการ หรอ

แมกระทงปญหาทเกดขนในชวตประจ าวนบางปญหา เราอาจสรางแบบจ าลองทเหมาะสมแทน

ปญหา เพอใหเขาใจปญหาไดงายขน แลวแกปญหาโดยการหาค าตอบจากแบบจ าลอง จากนนน า

ค าตอบทไดจากแบบจ าลองมาใชในการตดสนใจเพอแกปญหาจากสถานการณจรงเปนการเชอมโยง

ความรเรองทฤษฎกราฟเบองตนกบชวตประจ าวน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 17 ปญหาการเดนทาง

วธท า จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ ไดดงน

ให จด A , B , C และ D แทน เมองแตละเมองตามล าดบ

ใหเสนทเชอมจด 2 จด แทน ถนนทเชอมเมองทงสองนน

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนไดดงรป

B

C

D

A


เนองจากถนนทเชอมระหวางเมอง A และ B มถนน 2 สาย และเพอความสะดวกในการหา

ค าตอบจากสถานการณ เราสามารถก าหนดใหถนนแตละสายแทนดวย e1, e2, e3, e4, e5และ e6ดงน

พจารณาจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรสรปไดวา เสนทางการเดนรถของรถประจ าทาง

จากเมอง C โดยใหผานถนนทกสายเพยงครงเดยวแลวกลบมาถงเมอง C สามารถท าไดดงตวอยาง

การเดนทางตามเสนทางตอไปน (ท าไดหลายแบบ)

แบบท 1 เรมตนทจดยอด C e1 → e2 → e4 → e5 → e3 → e6 สนสดทจดยอด C

แบบท 2 เรมตนทจดยอด C e6 → e4 → e5 → e3 → e2 → e1 สนสดทจดยอด C

ซงทง 2 แบบ มจดเรมตนทเมอง C แลวเดนทางผานถนนทกสายเพยงครงเดยวแลวกลบมา

ทเมอง C เหมอนเดม

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒5

𝑒6

B

C

D

A


ตวอยางท 18 ปญหาการออกแบบบานของสถาปนก

ในการออกแบบชนลางของบานครขจรรตน สถาปนกของบรษททวาจางไดออกแบบบาน

ชนลางไว ดงน

ถาครขจรรตนจะเดนผานหองทกหองโดยมเงอนไขวาตองเดนผานทกประต และแตละ

ประตจะผานไดเพยงครงเดยว สามารถท าไดหรอไม ถาท าไดตองเรมจากทใด และ ไปสนสดทใด


ใหจด แทนหอง

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ประต

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนไดดงรป

พจารณาจากแบบจ าลองทางคณตศาสตรสรปไดวา การเดนผานหองทกหอง และผานประต

แตละประตเพยงครงเดยวสามารถท าไดดงตวอยางตอไปน

เรมจาก หองรบแขก →หองโถง → หองพกผอน → หองนอน → หองโถง → หองอาหาร →

หองครว

จะพบวาการเดนทางดงกลาว จะสามารถผานประตทกประตเพยงครงเดยวได

หองรบแขก หองโถง


หองนอน

หองอาหาร

หองครว

หองรบแขก

หองอาหาร หองโถง


หองนอน หองครว


ขอสงเกต จากตวอยางท 17 และตวอยางท 18 ลกษณะของการหาค าตอบของปญหาเกดจาก

การทดลองอาจใชเวลาในการหาค าตอบไดคอนขางชา แตหากนกเรยนมความรเรองกราฟเพมขนจะ

สามารถท าใหตอบปญหาเหลานไดงายและเรวขน

ตวอยางตอไปนเปนลกษณะของสถานการณปญหาท

นกเรยนสามารถพบเหนในชวตประจ าวน ซงสามารถน าความร

เรองกราฟไปเชอมโยงใชในการแกปญหาไดเปนอยางด เชน

ปญหาการจดตารางการประชม ปญหาการจดตารางสอน ปญหา

การจดตารางสอบ ปญหาการจดสรรทรพยากร เปนตน

ตวอยางท 19 ปญหาการจดการประชม

คณะกรรมการนกเรยนโรงเรยนมธยมประชานเวศนแบงการท างานออกเปน 4 ฝาย ไดแก

ฝายกจกรรม ฝายบรหาร ฝายวชาการ ฝายการเงน แตละฝายอาจจะมกรรมการรวมกน

โดยประธานนกเรยนไดก าหนดวาแตละฝายจะตองมการประชมสปดาหละ 1 ครง ซงในการจด

ประชมไดจดเวลาในชวงหลงเลกเรยนของวนจนทร พธ และศกร ดงนนผทมหนาทในการจด

ประชมจะมวธการจดอยางไร โดยทกรรมการทกคนสามารถเขารวมประชมได ถาก าหนด

คณะกรรมการแตละฝายมคณะกรรมการรวมกนดงน

ฝายบรหารและฝายกจกรรม มกรรมการรวมกน

ฝายการเงนและฝายกจกรรม มกรรมการรวมกน

ฝายการเงนและฝายวชาการ มกรรมการรวมกน

ฝายวชาการและฝายกจกรรม มกรรมการรวมกน



ให จด แทน ฝายตางๆทง 4 ฝาย คอ ฝายบรหาร ฝายการเงน ฝายวชาการ และ ฝายกจกรรม

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวาสองฝายนนมกรรมการรวมกน

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนไดดงรปท (1)

จากรป (1) เปนแบบจ าลองทแสดงถงคณะกรรมการทง 4 ฝายทมกรรมการรวมกน ดงนน

ในการจดตารางการประชมพจารณาไดดงน ฝายบรหาร จดการประชมวนเดยวกบฝายกจกรรม

ไมได เนองจากมกรรมการรวมกน (นนคอ จดยอดทประชดกนจะตองก าหนดวนทตางกน) แตฝาย

บรหารสามารถจดประชมวนเดยวกบฝายวชาการหรอฝายการเงนไดอยางใดอยางหนง

ดงนนการจดตารางการประชม ถาก าหนดใหฝายบรหารประชมวนเดยวกบฝายวชาการคอ

วนจนทร ฝายกจกรรมประชมวนพธ และฝายการเงนประชมวนศกร ดงรปท (2)

สรปตวอยางหนง ในการจดตารางการประชมสามารถจดไดดงน

กรรมการฝาย วนประชม

ฝายบรหาร วนจนทร

ฝายกจกรรม วนพธ

ฝายวชาการ วนจนทร

ฝายการเงน วนศกร

รปท (1) รปท (2)

ฝายบรหาร

ฝายกจกรรม

ฝายการเงน ฝายวชาการ

วนจนทร

วนพธ

วนศกร วนจนทร


จากตวอยางท 19 นกเรยนคดวายงมค าตอบท

นอกเหนอจากค าตอบในตวอยางอกหรอไมคะ

นกเรยนอาจตอบตางจากนได แตตองยดหลกเกณฑทวา

จดยอดประชดกนจะตองก าหนดวนทตางกน ยงไงละคะ

น าความรเบองตนเกยวกบกราฟไปเชอมโยงใหถกตองนะคะ

ยงมค าตอบอนไดอกหรอไม

คดไมออก เพอนๆชวยคดหนอยสคะ…


ตวอยางท 20 ปญหาการจดสรรทรพยากรบคคล

ณเดช ญาญา ปกรณ มารก และเจมส สมครเขาท างานตามความสามารถของบคคลใน

บรษทแหงหนง โดยมเงอนไขวาแตละคนจะท างานไดเพยงต าแหนงเดยวเทานน ซงบรษทแหงนม

ต าแหนงงานวาง อย 5 ต าแหนง ซงความสามารถของทง 5 คน มดงน

ณเดช มความสามารถท างานต าแหนงท 3 และ 4

ญาญา มความสามารถท างานต าแหนงท 3

ปกรณ มความสามารถท างานต าแหนงท 1 และ 2

มารก มความสามารถท างานต าแหนงท 3 และ 4

เจมส มความสามารถท างานต าแหนงท 2 และ 5

จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทบคคลทง 5 คน ไดรบเขาท างานในบรษทแหงนทงหมด


ให จดยอด แบงเปน 2 กลม คอ กลมท 1 แทน คน กลมท 2 แทน ต าแหนงงาน

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสามารถของคนกบงาน

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนได ดงรป

สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวาเปนไปไมได ทบคคลทง 5 คน ไดรบเขาท างานใน

บรษทแหงนทงหมด เหตผลคอ พจารณา ณเดช ญาญา และมารก บคคลทงสามมความสามารถใน

การท างานไดเพยง 2 งานคอ ต าแหนงงานท 3 และงานท 4 ดงนนจะตองมคนใดคนหนงตองไมได

รบเขาท างานอยางแนนอน

ณเดช

ญาญา

ปกรณ

มารก

เจมส

1

2

3

4

5


ซงแนวทางในการตอบปญหานสามารถน าไปเชอมโยงใชแกปญหา

อนๆไดอกนะคะนกเรยน เชน ปญหาการจบคเตนร า ปญหาการจดเครองดม

ในงานปารต เปนตน ตอไปนเรามาศกษาปญหาทเกยวของกบศาสตรอนโดย

น าความรเรองทฤษฎกราฟมาเชอมโยงกนตอนะคะ

ตวอยางท 21 ปญหาดานวศวกรรมการออกแบบ

มบาน 3 หลง ซงแตละหลงตองการสาธารณปโภค 3 อยาง คอ ประปา ไฟฟา และโทรศพท

ถาตองการตดตงสาธารณปโภคเปนแบบวางทอใตดน จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทการตอ

สาธารณปโภคทงสาม มายงบาน 3 หลง โดยไมใหแนวทอของเครองสาธารณปโภคนนวางพาด

ทบกน


ให จดยอด แทน บานและสาธารณปโภค

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน แนวทอใตดนของเครองสาธารณปโภค


สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวาเปนไปไมได เนองจากจะมเสนตดกนในระนาบ

จากปญหานจะพบวาการใชกราฟ สามารถเปนแบบจ าลองทชวยใหเราแกปญหาในดานวศวกรรม

การออกแบบได


ตอนนนกเรยนไดศกษาความรเบองตนเกยวกบกราฟและการสราง

แบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟ มาเชอมโยงใชในการแกปญหาของ

สถานการณปญหาตางๆ แลวนะคะ

ตอไปเราจะน าความรทไดทงหมดมาเชอมโยงใชกบ

สถานการณปญหาในกจกรรมท 1.8 และกจกรรมท 1.9

กนดกวาคะเพอนๆ


กจกรรมท 1.8 ปญหาการจบคเตนร า และ ปญหาการจดชมนม

1. ปญหาการจบคเตนร า

ในงานลลาศการกศลแหงหนง นายธงชย นายวรศ นายปรชา นายอมร และนายนคร

ตองการออกไปเตนร า โดยทแตละคนตองการคทออกไปเตนร าดงตอไปน

ธงชย ตองการเตนร ากบ ทองจนทร หรอ ปยะมาศ

วรศ ตองการเตนร ากบ ปยะมาศ หรอ เสาวนย

ปรชา ตองการเตนร ากบ ศรญญา หรอ อนงคนาฏ

อมร ตองการเตนร ากบ ทองจนทร หรอ ปยะมาศ

นคร ตองการเตนร ากบ ศรญญา หรอ เสาวนย

จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทผชายทง 5 คน ดงกลาวจะมคเตนร าทกคน


ใหจดยอด แทน ...........................................................................................................................

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ....................................................................................... ..


สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวา

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................


2. ปญหาการจดชมนม

โรงเรยนมธยมประชานเวศนมชมนมของนกเรยนชน ม.4 อย 4 ชมนม ไดแก ชมนมดนตร

ชมนมกฬา ชมนมลกเสอวสามญ และชมนมอนรกษสงแวดลอม นกเรยนแตละคนอาจจะเปน

สมาชกไดหลายชมนม ในขอบงคบเกยวกบชมนมก าหนดไววา แตละชมนมตองการประชมสปดาห

ละ 1 ครง และเวลาทใชประชม คอ หลงเลกเรยนวนองคาร วนพฤหสบด และวนศกร ถาก าหนดวา

มนกเรยนบางคนอยท งชมนมดนตรและลกเสอวสามญ

มนกเรยนบางคนอยท งชมนมอนรกษสงแวดลอมและดนตร

มนกเรยนบางคนอยท งชมนมอนรกษสงแวดลอมและกฬา

มนกเรยนบางคนอยท งชมนมกฬาและดนตร

ดงนนจะมการจดประชมอยางไร จงจะท าใหสมาชกทกคนเขารวมประชมในชมนมของตนเองได

ทกครง


ใหจดยอด แทน .............................................................................................................................

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ...........................................................................................



.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................


กจกรรมท 1.9 ปญหาการแบงงานท าตามความถนดของสมาชกในกลม

ค าสง ใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 4-5 คน โดยทแตละกลมชวยกนสรางโจทยปญหาท านอง

เดยวกบตวอยางท 20 ในใบความรท 1.8 โดยก าหนดงานทกลมไดรบมอบหมายใหท า เทากบ

จ านวนสมาชกในกลม แลวถามความถนดในการท างานของสมาชกแตละคนในกลมโดยสมาชก

แตละคนอาจจะถนดงานมากกวาหนงงานได แลวใชแบบจ าลองทางคณตศาสตรแกปญหาดงกลาว

เพอใหนกเรยนในกลมทกคนไดท างานทตนถนด (ค าตอบอาจมมากกวาหนงค าตอบ)

โจทยปญหา

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

แบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน


.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................


ในแตละขอตอไปน จงสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร โดยใชกราฟและแกปญหา

1. จงสรางแบบจ าลองแสดงจงหวดทมพรมแดนตดกนโดยให จดแทน จงหวด เสนเชอมระหวาง

จดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวาจงหวดสองจงหวดมพรมแดนตดกน เมอก าหนด

แผนท ดงรป

ทมาแผนทภาคตะวนออก http://www.panteethai.com

แบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน


จดประสงค : นกเรยนสามารถ

1. สรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรโดยใชกราฟแทนสถานการณตางๆได

2. แกปญหาบางปญหาโดยใชกราฟเปนแบบจ าลองได

http://www.panteethai.com/


2. ในวนแหงความรก พทยาเตรยมแผนการวา เขาจะมอบดอกกหลาบใหกบคนทเขาชอบซงม

ทงหมด 4 คน คอ โบว นา นท และเอม ดงนนเขาจงสงซอดอกกหลาบ 4 ชอ ส าหรบคนทงส

ซงดอกกหลาบมชอละหนงส คอ สแดง สชมพ สขาว และสสม โบวชอบดอกกหลาบสชมพ

และสสม นาชอบดอกกหลาบสแดงและสขาว นทชอบดอกกหลาบสแดงและสสม เอมชอบ

ดอกกหลาบสขาวและชมพ พทยาสามารถมอบดอกกหลาบใหกบคนทเขาชอบไดตรงตาม

ความชอบหรอไม

วธท า จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ

ไดดงน ใหจดยอด แทน .........................................................................................................

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ....................................................................................

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนได ดงกราฟ


......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................


3. มนกเรยนอย 4 คน คอ ปวรศ ณฐพงษ มนสพล และพรมาฆะ โดยทนกเรยนแตละคนชอบ

เลนกฬาดงน

ปวรศชอบเลนฟตบอลและวายน า ณฐพงษชอบเลนปงปองและฟตบอล

มนสพลชอบเลนเทนนสและฟตบอล พรมาฆะชอบเลนปงปอง เทนนส และวายน า

ถาจดใหนกเรยน 1 คน เลนกฬาเพยง 1 ชนด จะจดอยางไร จงจะจดใหนกเรยนแตละคนไดเลนกฬา

ชนดทตนเองชอบ


ใหจดยอด แทน .............................................................................................................................




.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................


4. ในอ าเภอแหงหนงไดมการสรางถนนเชอมสถานทส าคญๆไวดงน

มถนนระหวางโรงเรยนกบวด 1 สาย

มถนนระหวางวดกบทวาการอ าเภอ 1 สาย

มถนนระหวางทวาการอ าเภอกบตลาด 1 สาย

มถนนระหวางทวาการอ าเภอกบสถานขนสง 1 สาย

มถนนระหวางทวาการอ าเภอกบโรงพยาบาล l สาย

มถนนระหวางโรงพยาบาลกบสถานขนสง 1 สาย

มถนนระหวางสถานขนสงกบตลาด 1 สาย

มถนนระหวางสถานต ารวจกบสถานขนสง 1 สาย

มถนนระหวางสถานต ารวจกบตลาด 1 สาย

มถนนระหวางสถานต ารวจกบโรงเรยน 1 สาย

มถนนระหวางโรงเรยนกบตลาด 1 สาย

นกเรยนคนหนงสามารถปนจกรยานจากโรงเรยนไปสถานต ารวจโดยผานถนนทกสาย

สายละ 1 ครงไดหรอไม


ใหจดยอด แทน .............................................................................................................................




.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................


หอง E หอง D หอง C

หอง A หอง B

5. ก าหนดแบบบานดงตอไปน

เจาของบานตองการเดนผานประตทกประต

และผานหองทกหอง ถาตองการเดนผานแตละ

ประตเพยงครงเดยว สามารถท าไดหรอไม

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

6. ก าหนดใหแผนทของถนนในเมองแหงหนงเปนดงน

ถาตองการปดถนนซอม 1 สาย ควรปดถนน

ซอมในสายใด จงจะท าใหสามารถจดการเดน

รถทางเดยว (one way) โดยผานถนนทเหลอได

ทกสาย จะมจดใดเปนจดเรมตน จดใดเปน

จดสนสด

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................


7. ในการจดตารางสอนของนกเรยนกลมหนง ซงลงทะเบยนเรยนทงหมด 6 วชา คอ วชาภาษาไทย

วชาภาษาองกฤษ วชาคณตศาสตร วชาสงคม วชาสขศกษา และวชาวทยาศาสตร โดยททราบมาวา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาไทยและวชาคณตศาสตร

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาไทยและวชาสขศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาคณตศาสตรและวชาสขศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาไทยและวชาภาษาองกฤษ

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาองกฤษและวชาสงคมศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาภาษาองกฤษและวชาวทยาศาสตร

มนกเรยนบางคนเรยนวชาวทยาศาสตรและวชาสงคมศกษา

มนกเรยนบางคนเรยนวชาสขศกษาและวชาสงคมศกษา

เปนไปไดหรอไมหากทางโรงเรยนตองการจดตารางสอนทง 6 วชา โดยใชเวลา 3 ชวโมง

แตละวชาใชเวลาสอน 1 ชวโมง จงยกตวอยางในการจดตารางสอนทง 6 วชา ใหไดตามเงอนของ

โรงเรยน

วธท า จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ ไดดงนให

จดยอด แทน ....................................................................................................................................

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน .............................................................................................



.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................


8. ยนดเปนลกสาวของมานพ เธอมนองสาวชอนงเยาว พชยเปนพชายของจนทรเพญซงเปนแฝดผ

พของยนด พชยเปนลกเขยของวนย วนยมลกเปนลกสาวเพยงคนเดยวชอน าหนง เธอมลกชายท

รกชออาคม

จงหาวา

(1) มานพมลกกคน เปนลกสาวกคน ลกชายกคน

(2) ภรรยาของพชยคอใคร

(3) วนย พชย และจนทรเพญ เปนอะไรกบอาคม

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................


9. เจาของรานตดเยบเสอผาตองการมอบงานใหกบพนกงานของเธอ ซงมความสามารถเฉพาะทาง

4 คน คอ นม สา เก และนาฏ เธอมงาน 4 แบบส าหรบพนกงาน 4 คนน คอ งานตดผา งานเยบ

จกร งานปะชนผา และงานรดผา นม มความสามารถตดผาและรดผา สา มความสามารถงาน

ปะชนผาและรดผา เกมความสามารถงานตดผาและงานเยบจกร และนาฏมความสามารถงาน

เยบจกรและงานปะชนผา เจาของรานตดเยบเสอผาจะสามารถมอบงานใหกบพนกงานทกคน

ไดตรงกบความสามารถของพนกงานแตละคนหรอไม

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................


10. ก าหนดการวางลกบอลดงรป จงหาจ านวนสของลกบอลทนอยทสดวามกส โดยมเงอนไขวาลก

บอลทแตะกนใชสตางกน

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.


แบบทดสอบหลงเรยน



1. ก ำหนดกรำฟ G1 , G2 , G3 และ G4 ดงรป

G1 : G2 :

G3 : G4 :

ขอใดกลำวถกตอง

ก. G1 เปนกรำฟหลำยเชง เพรำะ มวงวน

ข. G2 เปนกรำฟหลำยเชง เพรำะ มวงวนและเสนเชอมขนำน

ค. G3 ไมใชกรำฟอยำงงำย เพรำะ มวงวน

ง. G4 เปนกรำฟหลำยเชง เพรำะ มจดยอดหลำยจด

2. ค ำวำ “กรำฟ” ในทฤษฎกรำฟเบองตนหมำยถงสงใดตอไปน

ก. เซตของจดยอดทไมเซตวำงและเซตของเสนเชอมระหวำงจดยอด

ข. เซตของจดยอดและเซตของคอนดบในควำมสมพนธทไมใชเซตวำง

ค. เซตของมมและเซตของดำนของรปเหลยม

ง. เซตของดำนตำงๆของรปหลำยเหลยมและเซตของจ ำนวนตำงๆทบอกควำมยำวของ

ดำนตำงๆ

ค าชแจง

1. แบบทดสอบนเปนแบบปรนย เลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ เวลา 10 นาท

2. ใหนกเรยนท าเครองหมาย × ลงบนค าตอบทถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว


3. ก ำหนด G เปนกรำฟ ดงรป

ก. V(G) = {u , v , w , x} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4}

ข. V(G) = {u , v , w , x , y} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5}

ค. V(G) = {u , v , w , x , y} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4}

ง. V(G) = {u , v , w , x} และ E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5}

4. กำรแขงขนแบดมนตน มผสมคร 6 คนโดยกำรแขงขนเปนแบบพบกนหมดคณะกรรมกำร

แขงขนตองกำรทรำบวำจะตองจดกำรแขงขนทงหมดกค พจำรณำกำรสรำงแบบจ ำลองทำง

คณตศำสตรแทนสถำนกำรณโดยใชกรำฟ ดงตอไปน

1) ใหจดกลมท 1 แทน ผสมครแขงขน

จดกลมท 2 แทน คแขงขนของผสมคร

2) ใหเสนเชอมระหวำงจดสองจดใดๆ แทน กำรแขงขนของผสมครแขงขนและคแขงขน

ขอควำมขำงตนขอใดถกตอง

ก. ขอ 1) และ ขอ 2) ถก

ข. ขอ 1) ผด และ ขอ 2) ถก

ค. ขอ 1) ถก และ ขอ 2) ผด

ง. ขอ 1) และ ขอ 2) ผด

5. จำกกำรแขงขนแบดมนตนในขอ 4. คณะกรรมกำรตองกำรแขงขนทงหมดจ ำนวนกค

ก. 25 ค

ข. 20 ค

ค. 15 ค

ง. 10 ค

u w

x e1 e2

e3

e4

e5


ใชกรำฟตอไปนตอบค ำถำมขอ 6 – 9

6. เสนเชอมคใดตอไปน ไมใช เสนเชอมขนำน

ก. e2 และ e3

ข. e4 และ e5

ค. e5 และ e6

ง. e9 และ e10

7. วงวนตรงกบขอใด

ก. e1

ข. e4

ค. e7

ง. e9

8. เสนเชอมใดเกดกบจดยอด A

ก. e1

ข. e2

ค. e3

ง. e4

9. ขอใดเปนจดยอดประชด

ก. จดยอด A และจดยอด E

ข. จดยอด C และจดยอด D

ค. จดยอด D และจดยอด E

ง. จดยอด B และจดยอด E

B C

E D

e4 e5

e6 e7 e9 e8

e10

A


10. ก ำหนด V(G) = {A , B , C , D , E , F} และ E(G) = {AC , AD , AF , BC , BE , BF , DE}

ขอใดเปนกรำฟ G ทเกดจำก V(G) และ E(G)

ก.

ข.

ค.

ง.

A B

C F E D

A B

C F E D

A B

C F E D

A B

C F E D


เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน



ขอ เฉลย

1. ค

2. ค

3. ก

4. ง

5. ก

6. ข

7. ก

8. ง

9. ค

10. ข


เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน



ขอ เฉลย

1. ง

2. ก

3. ง

4. ข

5. ค

6. ก

7. ก

8. ก

9. ค

10. ค


เฉลยกจกรรมท 1.2

จากกราฟ G ในแตละขอตอไปน จงหา เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G)

กราฟ G เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) 1.

V(G) = {A, B, C, D, E, F, G, H} E(G) = {AB, BC, CD, EF, FG, GH, BG, CF}

2.

V(G) = {A, B, C, D, E, F, G} E(G) = {AB, AC, BD, BE, CF, CG}

3. V(G) = {u, v, w, x, y} E(G) = {uw, wy, yv, vx, xu}

4. A

V(G) = {A} E(G) = ø

5.

V(G) = {A, B, C}

E(G) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5}


A


1. ให G เปนกราฟซงประกอบดวยเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ทก าหนดให

ตอไปน จงเขยนกราฟ G ใหสมบรณเมอก าหนดจดยอดมาให

1.1 V(G) = {A , B , C , D } E(G) = { AB , AC , BC , CD }


รปท 1 รปท 2 รปท 3

1.2 V(G) = {A , B , C } E(G) = { AA , AB , AC , BC , CB }


รปท 1 รปท 2

2. ใหกราฟ G ซงประกอบดวยเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ทก าหนดตอไปน

จงเขยนกราฟทไดจาก V(G) และ E(G) มา 3 กราฟ

2.1 V(G) = {𝐴 , B , C , D , E } E(G) = { AB , AC , AE , BC , CD , ED } วธท า กราฟ G มจดยอด 5 จด และเสนเชอม 6 เสน สามารถเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน

รปท 3

A

B

C

A

C

B

B

C

A

B

C

E

D

A

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

C

B

D

A

B

C

D

D

B

C

A


D

D

A

D

2.2 V(G) = {A , B , C , D } E(G) = { AA , AB , BD , BC , CB } วธท า กราฟ G มจดยอด 4จด และเสนเชอม 5 เสน สามารถเขยนกราฟไดหลายแบบ เชน

3. จากกจกรรมการเขยนกราฟในขอ 1 ใหนกเรยนตอบค าถามตอไปนโดย เตมเครองหมาย √

หนาขอความทถกตอง หรอ × หนาขอความทผด

2.1 กราฟ G ทก าหนด เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาใหสามารถเขยนกราฟ

G ไดหลายรปแบบ

2.2 การเขยนต าแหนงของจดยอดในกราฟ G สามารถเขยน ณ ต าแหนงใดกไดโดยไมมรปแบบการ

เขยนต าแหนงของจดยอดทแนนอน

× 2.3 เสนเชอมของกราฟ G จะเปนสวนของเสนตรงไดเพยงอยางเดยวเทานน

2.4 ความยาวของเสนเชอมแตละเสนจะยาวเทาใดกได

× 2.5 เสนเชอมสองเสนของกราฟสามารถลากตดกนไดโดยทจดตดของเสนทงสองถอวาเปนจดยอด

ของกราฟ

ดงนนขอสงเกตทนกเรยนไดจากการเขยนกราฟ ในกจกรรมท 1.3 ทงหมด คอ

1. กราฟ G ทก าหนด เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาใหสามารถเขยนกราฟ

G ไดหลายรป

2. จะก าหนดต าแหนงของจดยอด ณ ต าแหนงใดกได

3. เสนเชอมของกราฟ G จะเปนสวนของเสนตรงหรอเสนโคง และมความยาวเทาใดกได

4. เสนเชอมสองเสนของกราฟสามารถลากตดกนไดโดยทจดตดของเสนทงสองไมถอวาเปนจด

ยอดของกราฟ

B

C

A

B

C

B

C

A


𝑒8 A

C

D

A

B

A

B C

E

𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒7 𝑒4 𝑒5

𝑒6 C D

B

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1

1. จงหาเซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) ของกราฟ G ทก าหนดใหตอไปน

1.1 V (G) = { A , B , C , D }

E (G) = { AB , BC , CD , DA , AC }

1.2 V (G) = { A , B , C }

E (G) = { AB , BC , CB , CA }

1.3 V (G) = { A , B , C , D , E }

E (G) = { AC , CE , EB , BD , DA

1.4 V (G) = { A , B , C , D , E , F , G }

E (G) = { AA , AB , AC , BD , BE , CF , CG }

1.5 V (G) = { A , B , C , D , E }

E (G) = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8}


𝑒8

𝑒3

𝑒7 𝑒4

𝑒5 𝑒6

𝑒10

B

A

C D

H

𝑒1

𝑒2

𝑒9

B

C D A

E F

H

𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4 𝑒5

𝑒6

𝑒7 𝑒8

1.6 V (G) = { A , B , C , D , E , F , H }

E (G) = {𝑒1, 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑒4 , 𝑒5 , 𝑒6 , 𝑒7 , 𝑒8}

1.7 V (G) = { A , B , C , D , E , F , H }

E (G) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10}

2. จงเขยนกราฟ G เมอก าหนด เซตของจดยอด V(G) และเซตของเสนเชอม E(G) มาให

หมายเหต การเขยนกราฟ G สามารถเขยนไดหลายรป ดงนน กราฟ G ทเฉลยเปนเพยง

ค าตอบ ค าตอบหนงเทานน

2.1 V(G) = {u , v , w }

E(G) = { uv , uw , vv , vw }

2.2 V(G) = {A , B , C , D , E } E(G) = { AB , AC , AE , BC , CD , ED }

2.3 V(G) = {v1 , v2 , v3 , v4}

E(G) = { v1v2 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v4v4 }

E F

u

v w

C

E

A

D

B

𝑣1

𝑣2

𝑣3

𝑣4


3. จงเขยนกราฟ G เมอก าหนดให V(G) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

E(G) = { AB |A , B ∈ V(G)ซง A > B และ A + B เปนจ านวนค }

วธท า ก าหนดจดยอดของ V(G) ดงรป

พจารณา การเขยนเซตE(G) = { AB |A , B ∈ V(G) ซง A > B และ A + B เปนจ านวนค }

แบบแจกแจงสมาชกซง A และ B เปนสมาชกของ V(G) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ตองพจารณา 2

เงอนไข คอ เงอนไขท1A >B และ เงอนไขท 2ถาน า A + B แลวผลบวกทไดตองเปนจ านวนค

นนคอ

เมอ A = 3 และ B = 1 ซง 3 > 1 และ 3 + 1 = 4 ∈ จ านวนค






ดงนน E(G) = { 31 , 42 ,51 , 53 , 62 , 64 }

น ามาเขยนกราฟ ไดกราฟ G ดงรป

5

4

6

32

1

3

5

4

6

1

2



1. ก ำหนดกรำฟ G ตอไปน

จำกกรำฟ Gจะเหนวำ

จดยอด u และ จดยอด v เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม uv

จดยอด u และ จดยอด w เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม uw

จดยอด v และ จดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม vx

จดยอด w และ จดยอด x เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม wx

จดยอด x และ จดยอด y เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม xy

จดยอด x และจดยอด z เปนจดยอดประชด เนองจำก มเสนเชอม xz

และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด u คอ เสนเชอม uv และ uw

เสนเชอมทเกดกบจดยอด v คอ เสนเชอม vu และ vx

เสนเชอมทเกดกบจดยอด w คอ เสนเชอม wu และ wx

เสนเชอมทเกดกบจดยอด x คอ เสนเชอม xv , xy , xw และ xz

เสนเชอมทเกดกบจดยอด y คอ เสนเชอม yx

เสนเชอมทเกดกบจดยอด z คอ เสนเชอม zx

x

w z

v

u

y


2. ก ำหนดกรำฟ G ตอไปน

จำกกรำฟ G จงเตมเครองหมำย √ หนำขอควำมทถกตอง หรอเครองหมำย × หนำขอควำมทผด

1. จดยอด A และจดยอด D เปนจดยอดประชดเนองจำกมเสนเชอม e1 , e2 , e5 และ e6

× 2. จดยอด B และ จดยอด D เปนจดยอดประชดเนองจำกมเสนเชอม e4

3. เสนเชอม e5 เกดกบจดยอด A

× 4. เสนเชอม e4 เกดกบจดยอด B

5. เสนเชอม e3 เกดกบจดยอด C

× 6. จดยอด C และ จดยอด D เปนจดยอดประชด เนองจำกมเสนเชอม e3


จดยอด u และจดยอด v ของกรำฟ เปนจดยอดประชด (adjacent vertices) กตอเมอ มเสนเชอม

ระหวำงจดยอดทงสอง

เสนเชอม e ของกรำฟเกดกบ (incident) จดยอด v ถำจดยอด v เปนจดปลำยจดหนงของเสนเชอม e

D

B

C

e1

e3

e2

e5

e4

e6

A


C

B

D

A


1. จำกกรำฟ G ทก ำหนดให จงเขยนเสนเชอมทเปนเสนเชอมขนำน(parallel edges ) และ วงวน (loop) ท

ปรำกฎในกรำฟตำมรอยเสนประใหถกตอง

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5

2. จงหาเสนเชอมขนาน (parallel edges ) และวงวน (loop) จากกราฟตอไปน

1.1 เสนเชอมขนำน คอ ไมมเสนเชอมขนำน

วงวน คอ 𝑒2

2.2 เสนเชอมขนำน คอ 𝑒1 , 𝑒2

วงวน คอ 𝑒4 , 𝑒6

B

C

A

B

C

A

D

B

E

A

C

A

B

D

C

C

B

D

A

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒7

𝑒6 𝑒5

B

A

𝑒1

𝑒2



วงวน คอ 𝑒4

2.4 เสนเชอมขนำน คอ 𝑒3 , 𝑒4และ 𝑒6 , 𝑒7 , 𝑒8

วงวน คอ ไมมวงวน


วงวน คอ 𝑒1 , 𝑒6

ขอสรปทได

เสนเชอมขนำน(parallel edges) คอ เสนเชอมตงแตสองเสนขนไปทเชอมจดยอดคเดยวกน

วงวน (loop)คอ เสนเชอมทมจดปลำยทงสองเปนจดยอดเดยวกน

A

C

B

D

𝑒1 𝑒4

𝑒5

𝑒6

𝑒3

B

C

E

D

A

𝑒1 𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒8

𝑒7

𝑒6

𝑒5

C

B

A

𝑒1 𝑒2

𝑒3 𝑒4


B


1. กราฟ Gในขอตอไปน กราฟใดเปนกราฟเชงเดยว (simple graph) หรอ กราฟหลายเชง

(multi graph) พรอมทงบอกเหตผลประกอบ

กราฟ G1เปนกราฟเชงเดยว เนองจาก ไมมเสนเชอมขนานและวงวน

กราฟ G2เปนกราฟหลายเชง เนองจาก มเสนเชอมขนาน

กราฟ G3เปนกราฟหลายเชง เนองจาก มวงวน

กราฟ G4เปนกราฟหลายเชง เนองจาก มเสนเชอมขนานและวงวน

G1 G2

G3 G4

G

C

A

B

D

E

I

H

F

E

H

G

C

F

A

B

D

D

B

C

A

C

D

A


2. จงยกตวอยางกราฟ G1 , G2 และ G3 ซงแตละกราฟตองมจดยอด 5 และเสนเชอม 8 เสน ตาม

เงอนไข ดงน

2.1 กราฟ G1 เปนกราฟเชงเดยว ยกตวอยางเชน

2.2 กราฟ G2 เปนกราฟหลายเชงทมวงวน ยกตวอยางเชน

2.3 กราฟ G3 เปนกราฟหลายเชงทมวงวน และเสนเชอมขนาน ยกตวอยางเชน

A B

C

D

E

A

B

C D

E

A B

C

D

E A

B

C

D

E

A

B

C D

E

A

B

C D

E



1. ก าหนดกราฟ G ดงรป

จงหา

1.1 วงวน ของจดยอด A คอ e1

1.2 วงวน ของจดยอด B คอ e3

1.3 วงวน ของจดยอด D คอ e7

1.4 เสนเชอมขนาน ของจดยอดB และจดยอด C คอ e4 และ e5

1.5 เสนเชอมขนาน ของจดยอดD และจดยอด E คอ e8 , e9 และ e10

1.6 เสนเชอมขนาน ของจดยอด D และจดยอด F คอ e11 และ e12

2. จงเตมขอความจากกราฟ G ทก าหนดให

2.1 V(G) = {A, B, C, D, E, F} 2.2 E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} 2.3 เสนเชอมขนานของจดยอดB และจดยอด F คอ e2และe3

2.4 วงวนของจดยอด E คอ e5

2.5 จดยอดประชดของเสนเชอม e9 คอ จดยอดA และจดยอดC

2.6 จดยอดประชดของจดยอด A คอ จดยอดB และ จดยอดC


2.7 เสนเชอมขนานทเกดกบจดยอด C คอ e7 และ e8

2.8 เสนเชอมe6เกดกบจดยอด C และจดยอด E

2.9 เสนเชอมขนานของจดยอดC และจดยอด D คอ e7 และ e8

2.10 จดยอดซงไมใชจดยอดประชดของจดยอด A คอ จดยอด D ,จดยอด E และ จดยอด F

3. จงเตมเครองหมาย หนาขอความทถกตอง หรอ × หนาขอความทผด

3.1 เสนเชอมe1เปนวงวน

3.2 เสนเชอมe4 และ e5เปนเสนเชอมขนาน

× 3.3 จดยอด F มวงวน

3.4 จดยอด F และจดยอด C มเสนเชอมขนาน

× 3.5 จดยอด A และจดยอด F เปนจดยอดประชด

3.6 จดยอดประชดของจดยอด B คอ จดยอด A , จดยอด C และจดยอด F

3.7 เสนเชอม e8เกดกบจดยอด E และจดยอด C

3.8 เสนเชอมe4 และ e5 เกดกบจดยอด F และจดยอด C

× 3.9 เสนเชอมe3 และ e9เปนเสนเชอมขนาน

× 3.10 จดยอด C และจดยอด F มจ านวนเสนเชอมขนาน 4 เสน



1. สมมตวาสวนสาธารณะแหงหนงมเกาะ 3 เกาะ คอ C , D ,E และมสะพานเชอมระหวางเกาะและฝง

A กบ ฝง B ดงรป ใหนกเรยนสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณนโดยใหจดแทน

เกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน


ให จดยอด แทน ฝงและเกาะ เสนเชอม แทน สะพานเชอมฝงกบเกาะและเกาะกบเกาะ สามารถเขยนแบบจ าลองคณตศาสตร ไดดงน

2. บรษไปรษณยคนหนงตองไปสงจดหมายทงหมด 5บาน โดยทแตละบานตงอยรมถนน ดงภาพ

ตอไปน ให จดยอด แทน บานแตละหลง เสนเชอมแทนถนน


ให จดยอด แทน บานและไปรษณย เสนเชอม แทน ถนน

A

B

C D

E




3. จงสรางแบบจ าลองแสดงจงหวดทมพรมแดนตดกน

โดยใหจด แทน จงหวด เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวาจงหวดสอง

จงหวดมพรมแดนตดกน เมอก าหนดแผนทดงรป


ให จดยอด แทน จงหวด เสนเชอม แทน ความสมพนธทแสดงวาจงหวดสองจงหวดมพรมแดนตดกน

แมฮองสอน

เชยงใหม

ล าพน ล าปาง

แพร

อตรดตถ

นาน

พะเยา

เชยงราย


เฉลยกจกรรมท 1.8 ปญหาการจบคเตนร า และ ปญหาการจดชมนม

1. วธท า จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ

ไดดงน ใหจดยอด แบงเปน 2 กลม คอ กลมท 1 แทน ผชาย และกลมท 2 แทน ผหญง

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธท 2 คนนนเปนคทตองการเตนร ากน

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนตวอยางแบบจ าลองได ดงรป

สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวา ผชายทง 5 คน ดงกลาวมคเตนร าทกคน ดงน

ผชาย แบบท 1 จบคกบ แบบท 2 จบคกบ

ธงชย ทองจนทร ปยะมาศ

วรศ เสาวนย เสาวนย

ปรชา อนงคนาฎ อนงคนาฏ

อมร ปยะมาศ ทองจนทร

นคร ศรญญา ศรญญา

ธงชย

วรศ

ปรชา

อมร

นคร

ทองจนทร

จจนทร

ปยะมาศ

เสาวนย

ศรญญา

อนงคนาฎ


2. วธท า จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ

ไดดงน ใหจดยอด แทน ชมนมทง 4 ชมนม

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธทแสดงวามนกเรยนเปนสมาชกอย

ทง 2 ชมนมทเปนจดยอด

ดงนนแบบจ าลองทางคณตศาสตรทแทนสถานการณน สามารถเขยนตวอยางแบบจ าลองได ดงรป

สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวา มวธการจดประชมทสามารถท าใหสมาชกทก

คนเขารวมประชมในชมนมของตนเองไดทกครง ดงน

ชมนม วนประชม

ดนตร วนพฤหสบด

ลกเสอวสามญ วนองคาร

อนรกษสงแวดลอม วนองคาร

กฬา วนศกร

เฉลยกจกรรมท 1.9 ปญหาการแบงงานท าตามความถนดของสมาชกในกลม

ครเปนผตรวจความถกตองและใหคะแนน

รปท (2) รปท (1)

นเปนเพยงค าตอบหนงเทานน

สามารถตอบไดหลายแบบ

ดนตร

ลกเสอวสามญ

กฬา อนรกษสงแวดลอม

วนพฤหสบด

วนองคาร

วนศกร วนองคาร



1. ตวอยางแบบจ าลอง ดงรป

2. ตวอยางแบบจ าลอง ดงกราฟ

พทยาสามารถมอบดอกกหลาบกบคนทเขาชอบไดตรงตามความชอบ และ พทยามวธมอบดอก

กหลาบใหกบคนทง4 ดงน

ชอ แบบท 1 แบบท 2

โบว สชมพ สสม

นา สแดง สขาว

นท สสม สแดง

เอม สขาว สชมพ

3. จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ ไดดงน

ใหจดยอด แบงเปน 2 กลม คอ กลมท 1 แทน คน และกลมท 2 แทน ประเภทกฬา

เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความชอบกฬา

ดงนนตวอยางแบบจ าลอง ดงกราฟ

สงขลา

ชมพร

สราษฎรธาน

ระนอง

พงงา

ภเกต

กระบ

นครศรธรรมราช

ตรง

พทลง

ปตตาน

ยะลา

นราธวาส

นา

นท

เอม

สแดง

สชมพ

สขาว

สสม

โบว

สตล


สามารถจดใหนกเรยนแตละคนไดเลนกฬาชนดทตนเองชอบคนละ 1 อยางไดดงน

ชอ กฬา

ปวรศ ฟตบอล

ณฐพงษ ปงปอง

มนสพล เทนนส

พรมาฆะ วายน า

4. จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ ไดดงน

ใหจดยอด แทน สถานทตางๆ เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ถนนเชอมสถานทสองสถานท

ดงนนตวอยางแบบจ าลอง ดงกราฟ

สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวานกเรยนคนหนงสามารถปนจกรยานจากโรงเรยนไป

สถานต ารวจโดยผานถนนทกสาย สายละ 1 ครงไดหลายแบบ ตวอยางเสนทางแบบหนง คอ

โรงเรยน วด ทวาการอ าเภอ โรงพยาบาล สถานขนสง ตลาด ทวาการอ าเภอ

สถานนขนสง สถานต ารวจ ตลาด โรงเรยน สถานค ารวจ



ปวรศ ณฐพงษ

ฟตบอล วายน า ปงปอง เทนนส

พรมาฆะ มนสพล

โรงเรยน สถานค ารวจ

สถานขนสง

โรงพยาบาล

ตลาด วด

ทวาการอ าเภอ


5. ใหจดA , B , C , D และ D แทน หอง A , B , C , D และ E ตามล าดบ เสนเชอม แทน ประตท

เชอมระหวางหอง ดงนนแบบบานดงกลาวสามารถเขยนกราฟไดดงน

การเดนผานทกประตโดยแตละประตเดนผานเพยวครงเดยว ไมสามารถท าได แตถาท าประต

เพมระหวางหอง D กบหอง E กสามารถท าได โดยไดทางเดน ดงน

A C D E B D A B

6. ใหจดยอด แทน ทางแยก เสนเชอม แทน ถนน

ดงนน แผนทถนนดงกลาวสามารถเขยนในรปกราฟ ไดดงน

ปดถนนทเชอมระหวาง A กบ C กจะสามารถ

จดรถใหเดนทางเดยวได ดงน (สามารถท าได

หลายแบบ ทแสดงใหดนเปนเพยงแบบหนง

เทานน)

D C B C D A B มจด D เปนจดเรมตน จด B เปน

จดสนสด

A B

C D E

B

C D E

A

B

C

D

A


7. จากขอมลทก าหนดให น ามาสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร แทนสถานการณ ไดดงนให

จดยอด แทน วชา เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน การมนกเรยนบางคนเรยนทงสองวชา


สรปจากแบบจ าลองทางคณตศาสตร จะพบวา วชาภาษาไทย และวชาสขศกษา ในชวโมงเดยวกน

ไมได แตวชาคณตศาสตรละวชาภาษาองกฤษ หรอ วชาคณตศาสตรกบวชาสงคมศกษา สามารถใน

ชวโมงเดยวกนได ดงนน ถาจดยอด 2 จดมเสนเชอมจะจดสอนในชวโมงทเวลาตางกน

ตวอยางหนงในการจดสอนวชาทง 6 วชา ดงน

ชวโมงท สอนวชา

1 คณตศาสตร วทยาศาสตร

2 ภาษาไทย สขศกษา

3 ภาษาไทย สงคมศกษา

ภาษาไทย

(ชวโมง 3)

ภาษาองกฤษ

(ชวโมง 2)

วทยาศาสตร

(ชวโมง 1)

คณตศาสตร

(ชวโมง 1) สขศกษา

(ชวโมง 2)

สงคมศกษา

(ชวโมง 3)





จดยอด แทน คน เสนเชอมระหวางจดสองจดใด แทน ความสมพนธโดยจดปลายลกศรเปนลก


ญ แทน ผหญง

ช แทน ผชาย

(1) มานพมลก 4 คน เปนลกสาว 2 คน ลกชาย 2 คน

(2) ภรรยาของพชย คอ น าหนง

(3) วนยเปนตาของอาคม พชยเปนพออาคม และจนทรเพญเปนอาของอาคม


จดยอดกลมท 1 แทน คน จดยอดกลมท 2 แทน ความสามารถเฉพาะทาง เสนเชอมระหวางจดสอง

จดใด แทน ความสามารถของแตละคนกบงาน


เจาของรานตดเยบเสอผาสามารถมอบงานใหกบพนกงานทกคนไดตรงกบความสามารถของ

พนกงานแตละคนไดดงน

ยนด(ช)

มานพ (ช)

นงเยาว(ญ) พชย(ช)

จนทรเพญ(ญ)

อาคม(ช)

น าหนง(ญ)

วนย(ช)

นม

สา

เก

นาฏ

งานตดผา

งานเยบจกร

งานปะชนผา

งานเยบผา


ชอ แบบท 1 แบบท 2

นม งานตดผา งานเยบผา

สา งานเยบผา งานปะชนผา

เก งานเยบจกร งานตดผา

นาฏ งานปะชนผา งานเยบจกร

10. สามารถสรางแบบจ าลองแทนสถานการณ โดยให จดยอด แทน ลกบอล เสนเชอม แทน

ความสมพนธทแสดงวาลกบอลสองลกแตะกน

ดงนนไดตวอยางแบบจ าลองดงกราฟ แลวก าหนดใหส แทน จ านวนเตมบวกลงบนจดแตละจด

โดยจดสองจดใดทมเสนเชอมตองก าหนดนสตางกน

ดงนน จ านวนสของลกบอลทนอยทสดตามเงอนไข คอ 3 ส

1

3

2

2

3 1

2

1

3

1

1

3 2

2 3


บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกล และคณะ. (ม.ป.ป.). คมอเตรยมสอบคณตศาสตรเพมเตม เลม 4 ม.4-6. กรงเทพ: ภมบณฑต. กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2554). แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม ม.4-6 เลม 4. กรงเทพ: เดอะบคส. ธนวฒน (สนต) สนทราพรพล. (ม.ป.ป.). คณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ: SCIENCE CENTER. พพฒนพงศ ศรวศร. (2555). คมอคณตศาสตรเพมเตม ม.4-6 เลม 4. กรงเทพฯ: เดอะบคส. เลศ สทธโกศล. (2555). Math Review คณตศาสตร มธยมศกษา 4-6 เลม 4 (เพมเตม). กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง. ศกดสน แกวประจบ. (2555). คมอ คณตศาสตรเพมเตม ม.4-5-6 เลม 4. กรงเทพ: พบซ ศภกจ เฉลมวสตมกล. (2550). เทคนคคณตศาสตรเพมเตม ม.5 เลม 2. กรงเทพฯ: แมค สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2544). เอกสารเสรมเรองความรเบองตน เกยวกบทฤษฎกราฟ. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: รากขวญ. --------. (2551). ทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร. พมพครงท 2. กรงเทพฯ: สถาบนสงเสรม การสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. (2553). คมอคร รายวชาเพมเตมเทคโนโลยสารสนเทศและการสอสาร คณตศาสตรส าหรบคอมพวเตอร กลมสาระการเรยนรการงานอาชพและเทคโนโลย ชวงชนท 4 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: สกสค. ลาดพราว. --------. (2554). คมอครรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 1. กรงเทพฯ: สกสค. ลาดพราว. --------. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 2. กรงเทพฯ: สกสค. ลาดพราว. สมย เหลาวานชย และ พวพรรณ เหลาวานชย. (2554). Hi-ED’s Mathematics คณตศาสตร เลม 4 มธยมศกษาปท 4-6 รายวชา (พนฐานและเพมเตม). กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง. สชพ งามเจรญ และ ไอศรย สดประเสรฐ. (ม.ป.ป.). คณตคดเรวทละเรอง: ทฤษฎกราฟเบองตน. นนทบร: ธรรมบณฑต.

ชุดที่ - TruePlookpanya · แบบฝึกเสริมทักษะที่ 1.3 62 แบบทดสอบหลังเรียน 71...

Documents