1 บทที่ 5 ลําดับ อนุกรม และอนุกรมกําลังของจํานวนจริง 5.1 ลําดับของจํานวนจริง บทนิยาม 5.1.1 ลําดับของจํานวนจริง คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปน N และมีเรนจเปนเซตยอยของ R ถา : f → N R เปนลําดับ เรานิยมเขียนบอกคาของ f ที่ n ∈ N ดวยสัญลักษณ n a แทนการ ใชสัญลักษณ () f n และเรียก n a วาพจนที่ n ( th n term) หรือ พจนทั่วไป (general term) ของลําดับ เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ เราจะเขียนแทนลําดับดวยสัญลักษณ 1 2 3 { , , ,..., ,...} n aa a a หรือ 1 2 3 , , ,..., ,... n aa a a หรือ { } n a บทนิยาม 5.1.2 กําหนดให { } n a เปนลําดับ และ L ∈ R เรากลาววา L เปน ลิมิต ของ { } n a (limit of { } n a ) หรือ ลําดับ { } n a ลูเขา (converge) สู L เขียนแทนดวยสัญลักษณ n a L → หรือ lim n n a L →∞ = ถาสําหรับทุก ๆ จํานวนจริง 0 ε > จะมี 0 n ∈ N ซึ่งทําให | | n a L ε − < สําหรับทุก ๆ จํานวนนับ 0 n n ≥ ในกรณีนี้เรากลาววา { } n a เปน ลําดับลูเขา (convergent sequence) และถา { } n a ไมเปนลําดับลูเขา เราเรียก { } n a วา ลําดับลูออก (divergent sequence) ตัวอยาง จงพิจารณาวาลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก 1. 1 {} n 2. {( 1) } n −
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
บทที่ 5
ลําดับ อนุกรม และอนุกรมกําลังของจํานวนจริง
5.1 ลําดับของจํานวนจริง
บทนิยาม 5.1.1 ลําดับของจํานวนจริง คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปน N และมีเรนจเปนเซตยอยของ R
ถา :f →N R เปนลําดับ เรานิยมเขียนบอกคาของ f ที่ n∈N ดวยสัญลักษณ na แทนการ
ใชสัญลักษณ ( )f n และเรียก na วาพจนที่ n ( thn term) หรือ พจนทั่วไป (general term) ของลําดับ
เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ เราจะเขียนแทนลําดับดวยสญัลักษณ
1 2 3{ , , ,..., ,...}na a a a
หรือ 1 2 3, , ,..., ,...na a a a
หรือ { }na
บทนิยาม 5.1.2 กําหนดให { }na เปนลําดับ และ L∈R เรากลาววา L เปน ลิมิต ของ { }na (limit of
{ }na ) หรือ ลําดับ { }na ลูเขา (converge) สู L เขียนแทนดวยสัญลักษณ na L→ หรือ lim nna L
→∞=
ถาสําหรับทุก ๆ จํานวนจริง 0ε > จะมี 0n ∈N ซึ่งทําให
| |na L ε− < สําหรับทุก ๆ จํานวนนับ 0n n≥
ในกรณีนี้เรากลาววา{ }na เปน ลําดับลูเขา (convergent sequence) และถา { }na ไมเปนลําดับลูเขา
เราเรียก { }na วา ลําดับลูออก (divergent sequence)
ตัวอยาง จงพิจารณาวาลําดับที่กําหนดใหตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก
1. 1{ }n
2. {( 1) }n−
2
ทฤษฎีบท 5.1.3 ลําดับของจํานวนจริงถามีลิมิต มีไดเพียงจํานวนเดียวเทานั้น
ทฤษฎีบท 5.1.4 กําหนดให ,r s∈R เปนคาคงตัวใด ๆ
1. lim 0n
nr
→∞= เมื่อ | | 1r <
2. 1lim 0sn n→∞= เมื่อ 0s >
หมายเหต ุ lim n
nr
→∞ หาคาไมไดเมื่อ 1r ≤ − หรือ 1r >
ตัวอยาง
1. 1lim2nn→∞
2. 2lim3
n
n→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
3. 2
1limn n→∞
4. 3
1limn n→∞
บทนิยาม 5.1.9 กําหนดให { }na เปนลําดับ
1. เรากลาววา { }na เขาใกลอนันต (tends to +∞ ) และเขียนแทนดวยสัญลักษณ
lim nna
→∞= +∞ ถ าสําหรับทุก ๆ α ∈R จะมี 0n ∈N ที่ทําให na α> สําหรับทุก ๆ 0n n≥
2. เรากลาววา { }na เขาใกลลบอนันต (tends to −∞ ) และเขียนแทนดวยสัญลักษณ
lim nna
→∞= −∞ ถาสําหรับทุก ๆ α ∈R จะมี 0n ∈N ที่ทําให na α< สําหรับทุก ๆ 0n n≥
ทฤษฎีบท 5.1.11 กําหนดให ,r s∈R เปนคาคงตัวใด ๆ
1. lim n
nr
→∞= +∞ เมื่อ 1r >
2. lim s
nn
→∞= +∞ เมื่อ 0s >
ตัวอยาง
1. limn
n→∞
= +∞
2. lim 2n
n→∞= +∞
ทฤษฎีบท 5.1.12 กําหนดให 0n เปนจํานวนนับ f เปนฟงกชันที่นิยามสําหรับทุก ๆ 0[ , )x n∈ ∞ และ
{ }na เปนลําดับจํานวนจริงซึ่ง ( )na f n= สําหรับทุก ๆ 0n n≥ จะไดวา
ถา
lim ( )x
f x L→∞
= แลว
lim nna L
→∞=
3
ตัวอยาง จงพิจารณาวา ลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก
1. { }2nn
2. ( )
2
ln 1nn
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭
3. { }1nn
4
ทฤษฎีบท 5.1.14 (การทดสอบอัตราสวน : Ratio Test)
กําหนดให { }na เปนลําดับของจํานวนจริงบวก และ 1lim n
n n
a La+
→∞= โดยที่ L∈R
1. ถา 1L < แลว { }na เปนลําดับลูเขาและ lim 0nna
→∞=
2. ถา 1L > หรือ 1lim n
n n
aa+
→∞= +∞ แลว { }nx เปนลําดับลูออก และ lim nn
a→∞
= +∞
ตัวอยาง จงตรวจสอบวาลาํดับ { }2!n
n เปนลาํดับลูเขาหรือลูออก
วิธีทํา เห็นไดชัดวา { }2!n
n เปนลําดับของจํานวนจริงบวกและ
( )1
1 !2lim lim 0 11 ! 2
nn
nn nn
a na n
++
→∞ →∞
⎛ ⎞= ⋅ = <⎜ ⎟+⎝ ⎠
ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 5.1.14 จะไดวา { }2!n
n เปนลําดับลูเขา และ lim 0nna
→∞=
หมายเหตุ ลําดับของจํานวนจริงบวก { }na ที่มี 1lim n
n n
a La+
→∞= และ 1L = อาจเปนลําดับลูเขาหรือลําดับ
ลูออกก็ได ตัวอยางเชน
- 1{ }n เปนลําดับของจํานวนจริงบวกที่ลูเขาและ 1lim 1n
n n
aa+
→∞=
- { }n เปนลําดับของจํานวนจริงบวกที่ลูออกและ 1lim 1n
n n
aa+
→∞=
ทฤษฎีบท 5.1.16 กําหนดให { },{ },{ }n n na b c เปนลําดับ และ , ,L M k∈R โดยที่ lim nna L
→∞= และ
lim nnb M
→∞= จะไดวา
1. limn
k k→∞
=
2. lim limn nn nka k a kL
→∞ →∞= =
3. lim( ) lim limn n n nn n na b a b L M
→∞ →∞ →∞+ = + = +
4. lim( ) lim limn n n nn n na b a b L M
→∞ →∞ →∞− = − = −
5. lim( ) (lim )(lim )n n n nn n na b a b LM
→∞ →∞ →∞= =
6. lim
lim limnn n
n n nn
aa Lb b M
→∞
→∞→∞
= = เมื่อ 0nb ≠ สําหรับทุก ๆ n∈N และ 0M ≠
7. lim lim mm mn nn na a L
→∞ →∞= = เมื่อ ,m m
mL a ∈R และทุกจํานวนนับ 2m ≥
8. ถามี 0n ∈N ซึ่ง n n na c b≤ ≤ สําหรับทุก ๆ 0n n≥ และ L M= แลวจะไดวา lim nnc L
→∞=
5
9. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด L และ { }na เปนลําดับในโดเมนของ f ซึ่งลูเขาสู L
แลว ( ) ( ) ( )lim limn nn n
f a f a f L→∞ →∞
= =
ตัวอยาง
1. 2 1lim 5n
nn→∞
++
2. 32lim5 4n nn→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
3. 2
23 2lim
1n
n nn→∞
−+
4. coslim3nn
n→∞
5. ( )1lim sinn n→∞
6
แบบฝกหัด 5.1
1. จงหาคาลิมิตตอไปนี้
1.1 2
2
3 1limn
n nn n→∞
− ++
1.2
5 23
22 4lim
1n
n nn→∞
− ++
1.3 2lim2n
nn n→∞ −
1.4
3lim5
n
n→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1.5 3
1lim1n n→∞ +
1.6 lim nn
ne→∞
1.7 lnlimn
nn→∞
1.8
1lim ln(1 )n n→∞
+
1.9 sinlimn
nn→∞
1.10 !lim nn
nn→∞
2. จงพิจารณาวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลําดับลูออก
2.1 3( 1){ }!n
n− 2.2
2{tan( )}1 8n
nπ
+
2.3 1 11, 2 1n nx x x+= = − 2.4 2
( 1){ )1
n nn−+
2.5 {2,7,12,17,...} 2.6 {cos( / 2)}nπ
2.7 82 4{1, , , ,...}3 9 27− − 2.8 2{ }
1n n
ne ee
−+−
2.9 2
23 5{ }nn n++
2.10 2cos{ }
2nn
7
5.2 อนุกรมของจํานวนจริง
บทนิยาม 5.2.1 กําหนดให { }na เปนลําดับของจํานวนจริง และ
1 2 3 ...n nS a a a a= + + + + , 1,2,...n =
เราเรียก nS วา ผลบวกยอยของ n พจนแรก หรือ ผลบวกยอยที่ n (nth partial sum) เรียกลําดับของ
ผลบวกยอย (sequence of partial sums) { }nS วา อนุกรมอนันตของจํานวนจริง (infinite series of real
numbers) (ตอไปจะเรียกสั้น ๆ วา อนุกรม (series)) และเรียก na วา พจนที่ n (nth term) ของอนุกรม
สําหรับอนกุรม { }nS เราอาจเขียนแทนดวยสญัลักษณ
1 2 3 ... ...na a a a+ + + + +
หรือ 1
nn
a∞
=∑
เราอาจจะเริ่มตนดัชนีของอนุกรมดวยคา 1n ≠ ก็ได ตัวอยางเชน อนุกรม 1 1 11 ...2 3 4+ + + + สามารถ
เขียนแทนดวยสัญลักษณ
0
11n n
∞
= +∑ หรือ 2
11n n
∞
= −∑ หรือ 3
12n n
∞
= −∑
เปนตน
บทนิยาม 5.2.2 จะเรียกอนุกรม 1
nn
a∞
=∑ วา อนุกรมลูเขา (convergent series) ถา { }nS เปนลําดับลูเขา
และเรียก อนุกรมลูออก (divergent series) ถา { }nS เปนลําดับลูออก
ถาอนุกรม 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขาที่ซึ่ง lim nn
S S→∞
= เมื่อ S∈R เราจะเรียก S วาผลบวก (sum)
ของอนุกรม และเขียนแทนดวยสัญลักษณ 1
nn
a S∞
=
=∑
สูตรตอไปนี้เปนเครื่องมือที่ชวยอํานวยความสะดวกในการหาผลบวกยอยที่ n
1. 1
( 1)2
n
k
n nk=
+=∑
2. 3 22
1
( 1)(2 1)6 3 2 6
n
k
n n n n n nk=
+ += = + +∑
3. 22 4 3 23
1 1
( 1)2 4 2 4
n n
k k
n n n n nk k= =
⎛ ⎞+⎛ ⎞= = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
4. 2 5 4 34
1
( 1)(2 1)(3 3 1)30 5 2 3 30
n
k
n n n n n n n n nk=
+ + + −= = + + −∑
8
ตัวอยาง จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. 1
1( 1)n n n
∞
= +∑
2. 2 5 8 ...+ + +
3. 1
( 1)n
n
∞
=
−∑
9
ทฤษฎบีท 5.2.4 (การทดสอบพจนที่ n : The nth Term Test)
ถาอนุกรม 1
nn
a∞
=∑ ลูเขา แลวจะไดวา lim 0nn
a→∞
=
หมายเหตุ
1. ถา lim 0nna
→∞≠ แลว อนุกรม
1n
na
∞
=∑ ลูออก
2. บทกลับของทฤษฎีบท 5.2.4 นั้นไมเปนจริงเสมอไป กลาวคือ ถา lim 0nna
→∞= แลวอนุกรม
1n
na
∞
=∑ อาจ
เปนอนุกรมลูออก ตัวอยางเชน 1
1n n∞
=∑ เปนอนุกรมซึ่ง lim 0nn
a→∞
= แต1
1n n∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก
ตัวอยาง จงตรวจสอบวาอนกุรมที่กาํหนดใหตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. 1n
n∞
=∑
2. 1
2 11n
nn
∞
=
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑
บทนิยาม 5.2.6 อนุกรมเรขาคณิต (geometric series) คือ อนุกรมที่เขียนไดในรูป
1 2 1
1
... ...n n
n
ar a ar ar ar∞
− −
=
= + + + + +∑
ทฤษฎีบท 5.2.7 อนุกรมเรขาคณิต 1
1
n
n
ar∞
−
=∑ เมื่อ 0a ≠ เปนอนุกรมลูเขาถา | | 1r < และมีผลบวกเปน
1a
r− และเปนอนุกรมลูออกถา | | 1r ≥
ตัวอยาง จงพจิารณาวาอนกุรมตอไปนี้เปนอนกุรมลูเขาหรือลูออก
1. 0
12n
n
∞
=∑ 2.
1
12n
n
∞
=∑
3. ( )1
12
n
n
∞
=
−∑ 4. ( )1
35
n
n
∞
=∑
5. ( )1
23
n
n
∞
=
−∑ 6. ( )1
53
n
n
∞
=∑
10
ทฤษฎีบท 5.2.9 ถา 1
nn
a∞
=∑ และ
1n
nb
∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขา และ ,α β ∈R เปนคาคงตัวใด ๆ แลวจะไดวา
1( )n n
na bα β
∞
=
+∑ เปนอนุกรมลูเขา และ
1 1 1( )n n n n
n n na b a bα β α β
∞ ∞ ∞
= = =
+ = +∑ ∑ ∑
ตัวอยาง
1 1 1
3 5 1 13 52 7 2 7n n n n
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
ทฤษฎบีท 5.2.10 ถา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขาและ
1n
nb
∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก แลวจะไดวา
1( )n n
na b
∞
=
+∑
เปนอนกุรมลูออก
ตัวอยาง
1
4(( ) )5n
n
n∞
=
− +∑
บทนิยาม 5.2.12 อนุกรมพี (p-series) คือ อนุกรมทีเ่ขียนไดในรูป 1
1p
n n
∞
=∑ เมื่อ p∈R เปนคาคงตัว
ทฤษฎบีท 5.2.13 อนุกรมพีเปนอนุกรมลูเขา เมื่อ 1p > และเปนอนุกรมลูออก เมื่อ 1p ≤
ตัวอยาง
1. 1
1n n∞
=∑ 2. 2
1
1n n
∞
=∑
3. 3
1
1n n
∞
=∑ 4.
5
1
1n n
∞
=∑
11
ทฤษฎีบท 5.2.15 (การทดสอบโดยการเปรียบเทียบ : Comparison Test)
กําหนดให 1
nn
a∞
=∑ และ
1n
nb
∞
=∑ เปนอนุกรมและมี 0n ∈ ที่ซึ่ง 0 n na b≤ ≤ สําหรับทุกจํานวนนับ 0n n≥
1. ถา 1
nn
b∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขา แลวจะไดวา
1n
na
∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขา
2. ถา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก แลวจะไดวา
1n
nb
∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก
ตัวอยาง 5.2.16 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. 21
11n n
∞
= +∑
2. 1
lnn
nn
∞
=∑
ทฤษฎีบท 5.2.17 (การทดสอบโดยการเปรียบเทียบดวยลิมิต : limit comparison test)
กําหนดให 1
nn
a∞
=∑ และ
1n
nb
∞
=∑ เปนอนุกรมที่ซึ่ง 0na ≥ และ 0nb > สําหรับทุก ๆ n∈N
1. ถา lim 0n
n n
a cb→∞= > แลวจะไดวาอนุกรมทั้งสองลูเขาดวยกันหรือไมก็ลูออกดวยกัน
2. ถา lim 0n
n n
ab→∞
= และ 1
nn
b∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขา แลวจะไดวา
1n
na
∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขา
3. ถา lim n
n n
ab→∞
= ∞ และ 1
nn
b∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก แลวจะไดวา
1n
na
∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก
12
ตัวอยาง
1. 3
1
12 1n n
∞
= −∑
2. 1
13 1n n
∞
= −∑
บทนิยาม 5.2.19 กําหนดให 0na > สําหรับทุก ๆ n∈N เราเรียกอนุกรมที่เขียนอยูในรูป
1 11 2 3 4
1( 1) ... ( 1) ...n n
n nn
a a a a a a∞
+ +
=
− = − + − + + − +∑
หรือ
1 2 31( 1) ... ( 1) ...n n
n nn
a a a a a∞
=
− = − + − + + − +∑
วา อนุกรมสลับ (alternating series)
ทฤษฎีบท 5.2.20 (การทดสอบอนุกรมสลับ : alternating series test)
ถา 1( 1)n
nn
a∞
=
−∑ เปนอนุกรมสลับซึ่ง
1. มี 0n ∈N ที่ทําให 1n na a+ < สําหรับทุก ๆ จํานวนนับ 0n n≥
2. lim 0nna
→∞=
แลวจะไดวาอนุกรมสลับ 1( 1)n
nn
a∞
=
−∑ เปนอนุกรมลูเขา
ตัวอยาง จงทดสอบวาอนกุรมสลับตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. 1
( 1)n
n n
∞
=
−∑
2. 1
( 1)n
n n
∞
=
−∑
13
บทนิยาม 5.2.22 กําหนดให 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรม
1. 1
nn
a∞
=∑ เปน อนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ (absolutely convergent series) ถา
1| |n
na
∞
=∑ เปน
อนุกรมลูเขา
2. 1
nn
a∞
=∑ เปน อนุกรมลูเขาแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergent series) ถา
1| |n
na
∞
=∑
เปนอนุกรมลูออก แต 1
nn
a∞
=∑ ลูเขา
ทฤษฎบีท 5.2.24 ถา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ แลว
1n
na
∞
=∑ เปนอนกุรมลูเขา
สรุป
ถา 1
nn
a∞
=∑ เปน อนกุรมลูเขาแบบสัมบูรณ จะไดวา
1n
na
∞
=∑ ลูเขา และ
1| |n
na
∞
=∑ ลูเขา
ถา 1
nn
a∞
=∑ เปน อนกุรมลูเขาแบบมีเงื่อนไข จะไดวา
1n
na
∞
=∑ ลูเขา แต
1| |n
na
∞
=∑ ลูออก
ตัวอยาง จงพจิารณาวาอนกุรมตอไปนี้เปนอนกุรมลูเขาแบบสัมบูรณหรือแบบมีเงื่อนไข
1. 1
( 1)n
n n
∞
=
−∑
2. 21
( 1)n
n n
∞
=
−∑
3. 1
( 1)3
n
nn
∞
=
−∑
ทฤษฎีบท 5.2.26 (การทดสอบโดยใชอัตราสวน : Ratio Test)
ให 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมซึ่ง 0na ≠ และ 1lim n
n n
aa+
→∞= ∞ หรือ 1lim n
n n
a La+
→∞= เมื่อ L∈R แลวจะไดวา
1. ถา 1L < แลวจะไดวา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
2. ถา 1L > หรือ 1lim n
n n
aa+
→∞= ∞ แลวจะไดวา
1n
na
∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก
3. ถา 1L = แลวจะสรุปผลการทดสอบดวยวิธีการนี้ไมได
14
ตัวอยาง จงทดสอบวาอนกุรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. 2
1
( 1)n
nn
ne
∞
=
−∑
2. 21
( 1) 3n n
n n
∞
=
−∑
ทฤษฎีบท 5.2.28 (การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ : Root Test) กําหนดให 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรม และ
lim | |nnn
a L→∞
= เมื่อ L∈R แลวจะไดวา
1. ถา 1L < แลวจะไดวา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูเขาแบบสัมบูรณ
2. ถา 1L > หรือ lim | |nnn
a→∞
= ∞ แลวจะไดวา 1
nn
a∞
=∑ เปนอนุกรมลูออก
3. ถา 1L = แลวจะสรุปผลการทดสอบดวยวิธีการนี้ไมได
ตัวอยาง จงทดสอบวาอนกุรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
1. ( )1
2 33 5
n
n
nn
∞
=
++∑
2. 1
1
( 1)n
nn n
∞ +
=
−∑
3. 2
21
5 23
n
n
nn n
∞
=
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠∑
15
แบบฝกหัด 5.2
1. จงหาผลบวกของอนุกรมตอไปนี้ (ถาม)ี
1.1 0
( 1)3
n
nn
∞
=
−∑ 1.2 3 9 272 4 81 ...+ + + +
1.3 1 14 164 1 ...− + − + 1.4
1 1 1 1 ...1 3 2 4 3 5 4 6+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1.5
1 1 1 1... ...1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1)n n+ + + +⋅ ⋅ ⋅ − +
1.6 1
1( 1)( 2)n n n n
∞
= + +∑
1.7 1
1(4 3)(4 1)n n n
∞
= − +∑ 1.8 11
22 1
n
nn
∞
+= +∑
1.9 0
n
n
e∞
−
=∑ 1.10
1
2 35
n
nn
∞
=
+∑
1.11 1
11n n n
∞
= + −∑ 1.12 1ln 1n
nn
∞
= +∑
2. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก
2.1 1
12 3n
n
∞
= −∑ 2.2 3 1/41
1( 10)n n
∞
= +∑
2.3 1
13n
n n
∞
=∑ 2.4
3
42 2 1n
nn
∞
= +∑
2.5 3
1
n
n
en
∞
=∑ 2.6
1
1n
n n
∞
=∑
2.7 2
1n
n
ne
∞
=∑ 2.8
1
13n n
∞
=∑
2.9
1
0
( 1) 2!
n n
n n∞ +
=
−∑ 2.10 2
1( )1n
nn n∞
=
−+∑
2.13 34
1( )n
n
n∞
=∑ 2.14 2
1
n
nn
ne
∞
=∑
2.15 3
1 (ln 2)nn
n∞
=∑ 2.16
1
1
( 1)n
nn n
∞ +
=
−∑
2.17 1 ( 1)n
n
nn
∞
= +∑ 2.18 2
1(ln )n
n n
∞
=∑
2.19 12
1
1( 1)( 1)
n
n n n
∞+
=
−+∑ 2.20 1
1
1( 1) ( 2)n
n
nn n
∞+
=
+−+∑
2.21 21
31( 1)
1n
n
nn
∞+
=
−+∑ 2.22 1
1
1( 1)( 1)
n
n n n
∞+
=
−+∑
2.23 2
1
( 3) (1 )!
n
n
nn
∞
=
− +∑ 2.24 11
5n
nn n
∞
+=∑
16
5.3 อนุกรมกําลังของจํานวนจริง
บทนิยาม 5.3.1 กําหนดให x เปนจํานวนจริง และให ,na c เปนคาคงตัวสําหรับทุก ๆ 0,1,2,...n =
จะเรียกอนุกรมของจํานวนจริงที่เขียนอยูในรูป
0( )n
nn
a x c∞
=
−∑ หรือ 2
0 1 2( ) ( ) ...a a x c a x c+ − + − +
วา อนุกรมกําลัง (power series) ใน x c− เรียก na เมื่อ 0,1,2,...n = วา สัมประสิทธิ์ (coefficients)
ของอนุกรมกําลัง และเรียก c วา ศูนยกลาง (center) ของอนุกรมกําลัง
ตัวอยาง 2 3
01 ...n
nx x x x
∞
=
= + + + +∑ เปนอนุกรมกําลังที่มีสัมประสิทธิ์ 1na = สําหรับทุกจํานวนนับ n
และศูนยกลางของอนุกรมกําลัง คือ 0c = อนุกรมนี้จะลูเขาและมีผลบวกเปน 11 x−
สําหรับทุก ๆ x ซึ่ง
| | 1x < และลูออกสําหรับทุก ๆ x ซึ่ง | | 1x ≥
ทฤษฎีบท 5.3.2 (1) ถาอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ ลูเขาที่ 1x x c= ≠ แลวอนุกรมนี้ลูเขาแบบสัมบูรณ
สําหรับทุก ๆ x ซึ่งทําให 1| | | |x c x c− < −
(2) ถาอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ ลูออกที่ 2x x c= ≠ แลวอนุกรมนี้ลูออกสําหรับ
ทุก ๆ x ซึ่งทําให 2| | | |x c x c− > −
ทฤษฎีบท 5.3.3 การลูเขาของอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ จะเปนไปตามกรณีใดกรณีหนึ่งตอไปนี้
1. อนุกรมลูเขา เมื่อ x c= เทานั้น
2. อนุกรมลูเขาสําหรับทุก ๆ x∈R
3. มีจํานวนจริง 0R > ที่ทําใหอนุกรมลู เขาสําหรับทุก ๆ x∈R ซึ่ ง | |x c R− < และ
ลูออกสําหรับทุก ๆ x∈R ซึ่ง | |x c R− >
บทนิยาม 5.3.4 1. เราจะเรียกจํานวนจริง 0R > ในทฤษฎีบท 5.3.3 (3) วา รัศมีการลูเขา (radius of
convergence) และเรียกเซตยอยของ R ที่นิยามโดย
{ x∈R |0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ เปนอนุกรมลูเขา}
วา ชวงของการลูเขา (interval of convergence) ของอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑
17
ดังนั้น ชวงของการลูเขาของอนุกรมกําลังนี้จึงเปนกรณีใดกรณีหนึ่งตอไปนี้
- ( , )c R c R− +
- [ , )c R c R− +
- ( , ]c R c R− +
- [ , ]c R c R− +
2. ถาอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ ลูเขาที่ x c= เทานั้น แลว 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ มีรัศมี
การลูเขาเปน 0 และชวงของการลูเขาของอนุกรมกําลัง คือ ชวงปด [ , ] { }c c c=
3. ถาอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ ลูเขาที่ทุก ๆ x∈R แลว 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ มีรัศมี
การลูเขาเปน ∞ และชวงของการลูเขาของอนุกรมกําลัง คือ ชวงเปดอนันต ( , )−∞ ∞ = R
ตัวอยาง 5.3.5 จงหารัศมีการลู เขาและชวงของการลู เขาของอนุกรมกําลังที่กําหนดใหตอไปนี้
1. 1
n
n
xn
∞
=∑
18
2. 1 !
n
n
xn
∞
=∑
3. 1
! n
n
n x∞
=∑
4. 1
n n
n
n x∞
=∑
19
บทนิยาม 5.3.6 กําหนดให 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑ เปนอนุกรมกําลังที่มี I เปนชวงของการลูเขา
เราจะเรียกฟงกชัน f ที่นิยามโดย
0
( ) ( )nn
nf x a x c
∞
=
= −∑ สําหรับทกุ ๆ x I∈
วา ฟงกชันผลบวก ของอนุกรมกําลัง 0
( )nn
n
a x c∞
=
−∑
ตัวอยาง จงหาฟงกชนัผลบวกและชวงของการลูเขาของอนุกรมกาํลังตอไปนี้
1. 0
n
nx
∞
=∑
2. 2
0( 1) n n
n
x∞
=
−∑
3. 0 2
n
nn
x∞
=∑
4. 03n n
nx
∞
=∑
20
บทนิยาม 5.3.12 กําหนดให c∈R และ f เปนฟงกชันซึ่ง f และอนุพันธทุกอันดับของ f หาคาไดที่
จุด c จะเรียกอนุกรมกําลังที่เขียนในรูป
2 (3) 3 ( )1 1 1( ) '( )( ) ''( )( ) ( )( ) ... ( )( ) ...2! 3! !
n nf c f c x c f c x c f c x c f c x cn
+ − + − + − + + − +
วา อนุกรมเทยเลอร (Taylor series) ของ f รอบจุด c หรือ อนุกรมเทยเลอรรอบจุด c ที่กอกําเนิด
โดย f (Taylor series about c generated by f ) และเมื่อ 0c = จะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมแมคล
อริน (Maclaurin series)
ในบางครั้งเรานิยมเขียนอนุกรมเทยเลอรของ f รอบจุด c ในรูปของ ( )
0
( )( )!
n n
n
f c x cn
∞
=
−∑
เมื่อ (0) ( ) ( )f c f c=
ตัวอยาง
1. จงเขียนอนุกรมแมคลอรินของ ( ) cosf x x=
21
2. จงเขียนอนุกรมเทยเลอรของ 1( )f x x= รอบจุด 1c =
แบบฝกหัด 5.3
1. จงหาชวงของการลูเขาของอนุกรมกําลงัตอไปนี ้
1.1 1 2
n
nn
x∞
=∑ 1.2 2
1
n
n
xn
∞
=∑
1.3 1
n
n
nx∞
=∑ 1.4
1
34
n n
nn
xn
∞
=∑
1.5 1 2
n
nn
xn
∞
=∑ 1.6
1( 1)n
n
n x∞
=
−∑
1.7 1( ) , 0n
n
ax a∞
=
>∑ 1.8 1
!2
n
n
n x∞
=∑
2. จงเขียนอนุกรมแมคลอรินของ ( ) sinf x x=
3. จงเขียนอนุกรมแมคลอรินของ ( ) xf x e=
4. จงเขียนอนุกรมเทยเลอรของ ( ) sinf x x= รอบจุด 4c π=
5. จงเขียนอนุกรมเทยเลอรของ ( ) cosf x x= รอบจุด 3c π=
6. จงเขียนอนุกรมเทยเลอรของ ( ) xf x e= รอบจุด 2c =
Related Documents
