This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
สมการ y=f(x) กราฟของฟงกชน 2 ตวแปร f ในระนาบ xyz คอกราฟของ
สมการ z f (x, y) ซงโดยทวไปจะเปนพนผวใน 3 มต เมอกลาวถงกราฟใน 3 มต สมการในเทอม x และ y เชน
x y 1 จะเปนสมการทก ากวมไมชดเจนวาควรเขยนกราฟใน 2 มตหรอ 3 มต จงควรเขยนสมการใหมเปน x y 0z 1 ซงเปนกรณของ 3 มต ซงทงสองกรณจะกราฟดงน
พนทผวใน 3 มตอาจเกดจากการเลอนเสนโคงบนระนาบหนง
ขนานไปกบเสนคงทเสนหนง ในรป ระนาบ x y 1 ไดจากการเลอนเสนตรง x y 1 ขนานไปกบแกน Z โดยทวไปแลว ถาสมการในเทอมของ x และ y มกราฟใน 2 มตเปนเสนโคง C ในระนาบ XY แลวเมอเขยนกราฟเดยวกนใน 3 มต จะเกดพนผวทไดจากการเลอนเสนโคง C ขนานกบแกน Z ท านองเดยวกนสมการในเทอมของ x และ z จะใหพนผวใน 3 มตทไดจากการเลอนเสนโคงขนานกบแกน Y
และ สมการในเทอมของ y และ z จะใหพนผวใน 3 มตทไดจากการเลอนเสนโคงขนานกบแกน X
สามและลากเสนเชอมจดตด 1. หาจดตดแกน X โดยแทน y z 0 ในสมการได x 1 2. หาจดตดแกน Y โดยแทน x z 0 ในสมการได y 2 3. หาจดตดแกน Z โดยแทน x y 0 ในสมการได z 1
หมายเหต แกนในรปไมถกตอง
ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชน 2 2f (x, y) 1 x y ในปรภม XYZ
วธท า กราฟของฟงกชนคอกราฟของสมการ 2 2z 1 x y เมอยกก าลงสองทงสองขางได 2 2 2z 1 x y จดรปสมการใหมไดเปน 2 2 2x y z 1 ซงเปนทรงกลมหนงหนวยมจดศนยกลางท (0,0,0) เนองจาก z 0 ดงนนกราฟของ f จงเปนครงบนของทรงกลม
ถา ให y คงทโดย 0y y และ ให x แปรคา แลว P จะเปนจดทเคลอนไปตามเสนโคง 1C ทเกดจากการตดพนผว z f (x, y) กบระนาบ 0y y ดงนน x 0 0f (x , y ) คอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง 1C ทจด
0 0(x , y ) (ซงกคอ การเปลยนแปลงในคา z เมอ x เพมขนหนงหนวย)
นนคอ 0 0 0 0x 0 0
x 0
f (x x, y ) f (x , y )f (x , y ) lim
x
เมอลมตหาคาได
ความหมายทางเรขาคณตของ fy
ของ z f (x, y)
ถา ให x คงทโดย 0x x และให y แปรคา แลว P จะเปนจดทเคลอนไปตามเสนโคง 2C ทเกดจากการตดพนผว z f (x, y) กบระนาบ 0x x ดงนน y 0 0f (x , y ) คอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง 2C ทจด
0 0(x , y ) (ซงกคอ การเปลยนแปลงในคา z เมอ y เพมขนหนงหนวย)
นนคอ 0 0 0 0y 0 0
y 0
f (x , y y) f (x , y )f (x , y ) lim
y
เมอลมตหาคาได
ตวอยาง 3.3.5 (หนา 157) จด Q เคลอนทไปตามเสนโคงซงเปนรอยตดของทรงกลม 2 2 2x y z 1 กบระนาบ 2x 3
ทจด 2 1 2
P , ,3 3 3
อตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ y มคาเทาไร วธท า เนองจากพกด z ของจด P มคาเปนบวก จะไดวาจดนอยบน
พนผวของครงทรงกลมสวนบนซงมสมการ 2 2z 1 x y อตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ y ทจดน (เสมอนกบจด Q
เคลอนทไปตามวงกลมของรอยตด) คอ 2 1
,3 3
zy
1
2 2 2z(1 x y )
y y
1
2 2 21(1 x y ) ( 2y)
2
2 2
y
1 x y
เพราะฉะนน
2 22 1,
3 3
1z 13y 22 1
13 3
วธท 2 หา zy
จากฟงกชนซงก าหนดโดยปรยายของทรงกลม
2 2 2x y z 1 เทยบกบ y และพจารณา z เปนฟงกชนของ x และ y จะได
2 2 2x y z (1)y y
z
2y 2z 0y
z yy z
แทนคาพกด y และ z ของจด 2 1 2
P , ,3 3 3
จะได
2 1 1
, ,3 3 3
z (1 / 3) 1y (2 / 3) 2
ตวอยาง 3.3.7 (หนา 159) เสนทแยงมม D ของรปสเหลยมผนผา
ก าหนดโดย 2 2D x y เมอ x และ y เปนความยาวของดานประกอบมมของรปสเหลยมผนผา (a) จงหาสตรส าหรบหาอตราการเปลยนแปลงของ D เทยบกบ x ถา x เปลยนแปลงไปขณะท y คงท (b) สมมต y=4 เซนตเมตร จงหาอตราการเปลยนแปลงของ D เทยบกบ x ขณะทดาน x ยาว 3 เซนตเมตร วธท า
(a) 1
2 2 22 2
D 1 xx y (2x)
x 2 x y
(b) 2 2(3,4)
D 3 3x 53 4
อนพนธยอยอนดบสง (Higher-Order Partial Derivatives)
อนพนธยอยอนดบทหนงของ z f (x, y) [ xf (x, y) และ
yf (x, y) ] ยงคงเปนฟงกชนของตวแปร x และ y สามารถหาอนพนธยอยของ xf และ yf เทยบกบ x และเทยบกบ
y ได เรยกวาอนพนธยอยอนดบทสองของ f ซงมวธหาดงน 1) การหาอนพนธยอยเทยบกบ x สองครง
เรยกวา สมการลาปลาซของฟงกชนสองตวแปร (Laplace's Equation in Function of Two Variables) สวนสมการลาปลาซ
ของฟงกชนสามตวแปร f(x, y, z) คอ 2 2 2
2 2 2f f f
0x y z
2. ฟงกชน f จะเรยกวา ฟงกชนฮารมอนก (Harmonic) ในบรเวณ R ถาฟงกชนนนสอดคลองกบสมการลาปลาซในบรเวณ R และอนพนธยอยอนดบสองเปนฟงกชนตอเนองใน R
3. ฟงกชนในตวอยาง 3.3.10 เปนฟงกชนฮารมอนก
ในระนาบ xy ทไมรวมจดซงอยบนเสนตรง y x
3.4 กฎลกโซ (Chain rule)
ทบทวน กฎลกโซในฟงกชนหนงตวแปร
ทฤษฎบท กฎลกโซ (Chain Rule) ให f เปนฟงกชนทหาคาไดบน (a, b) และ g เปนฟงกชนทหาคาไดบน Range(f ) ถา f หาอนพนธไดท x c ในชวง (a, b) และ g หาอนพนธไดท f (c) แลว g f หาอนพนธไดท x c และ
ขอสงเกต พจารณาแผนภาพซงมจดยอดเปนตวแปรตาม z และแตกกงแยกเปนตวแปรอสระ x และ y จากนนแตกกงเปนตวแปรเสรม t โดยในแตละสาขาจะมอนพนธก ากบไว ซงกฎลกโซไดจากการคณกนของอนพนธในแตละสาขาและน าทงสองสาขามาบวกกนไดเปน
left branch right branch
dz z dx z dydt x dt y dt
z
y
t t
x
zx
dxdt
dydt
zy
ตวอยางท 3.4.2 (หนา 164) ให 2z x y และ 2 3x t , y t
จงหา dzdt
วธท า
ตวอยาง ก าหนดให 2 2w ln(u v ) และ u 1 x,v 2x
จงหา dwdx
ท x 0
วธท า
ตวอยาง จงหา t
2
dzdt
เมอ 2xyz e , x tcos t และ y tsint
วธท า
ทฤษฎบท 3.4.2 (กฎลกโซส าหรบตวแปรเสรมสองตว) ให z f (x, y) เปนฟงกชนสองตวแปรทสามารถหาอนพนธไดทจด (x, y) และให x x(u,v) และ y y(u, v) เปน
ฟงกชนสองตวแปร ซง x x y
, ,u v u
และ
yv
หาคาได
และตอเนองทจด (u, v) แลว ฟงกชนประกอบ z f (x(u, v), y(u, v)) สามารถหาอนพนธไดทจด (u, v) และ
z z x z yu x u y u
และ z z x z y
v x v y v
หมายเหต เราสามารถพจารณาแผนภาพซงมจดยอดเปนตวแปรตาม z และแตกกงเปนตวแปรอสระ x และ y จากนนแตกกงเปนตวแปรเสรม u และ v โดยในแตละสาขาจะมอนพนธก ากบไว ซงกฎลกโซไดจากการคณกนของอนพนธในแตละสาขาและน าทงสองสาขามาบวกกนไดเปน z z x z y
u x u y u
และ z z x z y
v x v y v
ตวอยาง 3.4.3 จงหา zu
และ
zv
ในพจนของ u และ v
เมอ xyz e โดยท x 2u v และ u
yv
วธท า
z
y
u u
x
zx
xu
yv
zy
v v
xv
yu
* ตวอยาง จงหา zx
และ
zy
เมอ z f (2x 3y, x 2y)
โดยท f เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได วธท า
ตวอยาง 3.4.5 ถา y f (x ct) g(x ct) จงแสดงวา ฟงกชนตอไปนสอดคลองกบสมการคลนในหนงมต
เมอ z เปนตวแปรตาม และ x, y เปนตวแปรอสระ เชน 2 2z f (x, y) x y
ฟงกชนโดยปรยาย เขยนในรปทวไปเปน F(x, y) 0 ซงไมทราบวา x หรอ y เปนตวแปรตามหรอตวแปรอสระ เชน 2 2x y 1 0 แตถาเราเขยนวา F(x, y) 0 และ y f (x) y เปนตวแปรตาม และ x เปนตวแปรอสระ
ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธระบทศทาง ก าหนดโดยให z f (x, y) เปนพนผว S ถา 0 0 0z f (x , y ) แลว จด 0 0 0P(x , y ,z ) เปนจดบนพนผว S ระนาบทตงฉากกบระนาบ xy ทผานจด 0 0 0P(x , y ,z ) และ
0 0 0P (x , y ) และขนานกบเวกเตอร 1 2u u u i j จะตดกบพนผว S เปนเสนโคง C
ดงนนอตราการเปลยนแปลงของ f ในทศทางของเวกเตอร u จะเปนความชนของเสนสมผสเสนโคง C ทจด P ดงรป
หมายเหต ในกรณท 1 2u u u i j เปนเวกเตอรทขนานกบแกน X และแกน Y จะไดวา
ตอไปพจารณาเกรเดยนตและเสนสมผสเสนโคงระดบ ให f(x, y) เปนฟงกชนทมอนพนธ และ f (x, y) c เปนเสนโคงระดบ ถา เสนโคงระดบแทนดวย (t) x(t) y(t) r i j
แลว f (x(t), y(t)) c โดยการหาอนพนธเทยบกบ t ทงสองขางจะได
d df (x(t), y(t)) (c)
dt dt
f dx f dy· · 0
x dt y dt
f f dx dy
0x y dt dt
i j i j
นนคอ f 0 r ------------- (*)
เนองจาก f f cos r r
และ (*) ไดวา cos 0 ดงนน มมระหวางเวกเตอร f และเวกเตอรสมผส (t)r คอ 902
นนคอ f ตงฉากกบเวกเตอรสมผส (t)r
สรปไดวา f ตงฉากกบเสนโคงระดบ f (x, y) c แสดงวาทจด 0 0(x , y ) ใด ๆ โดยพจารณาวา 0 0f (x , y ) c ไดวา 0 0f (x , y ) ตงฉากกบเสนโคงระดบ 0 0f (x, y) f (x , y )
ตวอยาง 3.5.5 (หนา 176) จงหาสมการเสนสมผสวงร 2
2xy 2
4 ทจด (-2, 1)
วธท า
พจารณาเกรเดยนตของ r เมอ r r โดยท x y r i j เปนเวกเตอรบอกต าแหนงใด ๆ
จะไดวา 2 2r x y ดงนน
2 2 2 2
r r x yr
x y rx y x y
ri j i j
นอกจากนถาการหาเกรเดยนตของผลบวก ผลตาง ผลคณ และผลหาร จะมลกษณะเหมอนสมบตของการหาอนพนธ ดงทฤษฎบทตอไปน ทฤษฎบท 3.5.2 ให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ k จะได
1. (kf ) k f 2. (f g) f g 3. (f g) f g 4. (fg) f g g f
5. 2f g f f gg g
ทก x ในโดเมนของ g ซง g(x) 0
หมายเหต เราสามารถขยายแนวคดสฟงกชนทมากกวาสองตวแปรได พจารณาให f(x, y, z) เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยได และ
1 2 3u u u u i j k เปนเวกเตอรหนงหนวยในปรภมสามมต จะไดวาเกรเดยนตของ f คอ
f f ff
x y z
i j k
และส าหรบอนพนธระบทศทางของ f ในทศทางของ u คอ
1 2 3u
df f f f( f )· u u u
ds x y z
u
ตวอยาง 3.5.7 (หนา 178) จงหาทศทางและอตราการเปลยนแปลงทท าใหฟงกชน 3 2f (x, y,z) x xy z มอตราการเปลยนแปลงดงน
บทนยาม 3.6.1 ให f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท 0 0(x , y ) เรยก 0 0df(x , y ) ซงเปนฟงกชนของ x และ y ซงนยามโดย
0 0 x 0 0 y 0 0df (x , y )( x, y) f (x , y ) x f (x , y ) y
วาผลตางเชงอนพนธรวมของ f(x, y) ทจด 0 0(x , y )
f (x, y) x xf (x, y) 1 และ yf (x, y) 0
df (x, y)( x, y) x
dx x f (x, y) y xf (x,y) 0 และ yf (x, y) 1
df (x, y)( x, y) y
dy y
ถาพจารณาทจด (x, y) ใด ๆ ผลตางเชงอนพนธรวม จะไดเปน x ydf(x, y) f (x, y)dx f (x, y)dy
หรอ x ydf f dx f dy
ตวอยาง 3.6.1 (หนา 180) จงหาสวนเปลยนแปลงและผลตางเชงอนพนธรวมของฟงกชน 2 2f (x, y) x 3xy y ท x 2,y 3 โดยท x 0.05 และ y 0.04 วธท า ขนท 1 หาสวนเปลยนแปลงของฟงกชน f f (x x,y y) f (x,y) f(2 0.05, 3 0.04) f(2, 3)
ทฤษฎบท 3.7.1 ให 0 0 0 0P x , y ,z( ) เปนจดบนพนผว z f (x, y) ถา f(x, y) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด 0 0(x , y ) แลว พนผวจะมระนาบสมผสทจด 0P และระนาบสมผสมสมการเปน x 0 0 0 y 0 0 0 0f x , y x x f x , y y( )( ) ( )( )y z z( ) 0 ยงกวานน
1. เวกเตอร x 0 0 y 0 0f x , y , f x , y , 1 ( ) ( ) n
เปนเวกเตอรแนวฉากของพนผวทจด P0 และ
2. สมการของเสนแนวฉากของพนผวทจด P0 เปน
0 0 0
x 0 0 y 0 0
x x y y z zf x , y f( ) ( )x , y 1
ตวอยาง 3.7.1 (หนา 138) จงหาสมการของระนาบสมผส และสมการของเสนแนวฉากของพนผว 2 2z x y ทจด (1, -2, 5)
วธท า สมการระนาบสมผส คอ
x 0 0 0 y 0 0 0 0f x , y x x f x ,y y( )( ) ( )( )y z z( ) 0
สมการของเสนแนวฉาก คอ
0 0 0
x 0 0 y 0 0
x x y y z zf x , y f( ) ( )x , y 1
x xf (x, y) ......................... f (1, 2) ..............................
y yf (x, y) ......................... f (1, 2) ..............................
ดงนน สมการระนาบสมผสทจด (1, -2, 5) คอ x y( )( ) (f 1, 2 x 1 f 1, 2 y z 0)( ( 2)) ( 5)
………………………………………………………………………………………….
และสมการของเสนแนวฉากของพนผวทจด (1, -2, 5) คอ
x y
x 1 y ( 2( ) ( )
) z 5f 1, 2 f 1, 2 1
………………………………………………………………………………………….
ถาพนผวในปรภมสามมต ก าหนดโดย F(x, y,z) 0
ซงเปนฟงกชนโดยปรยาย โดยท z เปนฟงกชนของ x และ y จะได
yxx y
z z
FFf , f
F F
เพราะฉะนน สมการของระนาบสมผสพนผว F(x, y,z) 0 ทจด
0 0 0 0P x , y ,z( ) คอ
y 0 0 0x 0 0 00 0 0
z 0 0 0 z 0 0 0
F x( )( )( ) ( ) )
( ) (
, y , zF x , y , zx x y y (z z 0
F x , y , z F x , y , )z
หรอ
x 0 0 0 0 y 0 0 0 0
z 0 0 0 0
F x , y , z x x F (x , y , z (y y
F x , y
( )( ) ) )
, z )z 0( )(z
ในท านองเดยวกน สมการของเสนแนวฉากของพนผว F(x, y,z) 0 ทจด 0 0 0 0P x , y ,z( ) คอ
0 0 0
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
x x y y z zF x , y ,z F x , y ,z F x( ) ( ) ,( )y ,z
โดยทเวกเตอร x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0F x , y , z , F x , y , z , F x , y( ) ( ) ( ), zn เปน
เวกเตอรแนวฉากของพนผว F(x, y,z) 0 ทจด 0 0 0 0P x , y ,z( )
ตวอยาง 3.7.2 จงหาสมการของระนาบสมผสและสมการของ
เสนแนวฉากของพนผวทรงร 2 2
2x zy 3
4 9 ทจด (-2, 1, -3)
วธท า ให 2 2
2x zF(x, y,z) y 3 0
4 9 จะได
x xF ........................... F ( 2,1, 3) ....................
y yF ........................... F ( 2,1, 3) ....................
z zF ........................... F ( 2,1, 3) ....................
0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก f(x, y) D 2. f มคาสงสดสมบรณ (Absolute Maximum) ท
0 0(x , y ) ถา 0 0f (x, y) f (x , y ) ส าหรบทก f(x, y) D
รปตอไปนแสดงกราฟของ f ซงมโดเมนเปนบรเวณสเหลยมจตรส
ปดในระนาบ xy ซงจดในโดเมนสอดคลองกบอสมการ 0 x 1, 0 y 1
คาต าสดสมพทธทจด A และ C คาสงสดสมพทธทจด C คาต าสดสมบรณทจด A คาสงสดสมบรณทจด D
สมมตให f(x, y) มคาสงสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และอนพนธ
ยอยของ f หาคาไดทจด 0 0(x , y ) แลว เสนรอยตดของพนผว z f (x, y) บนระนาบ 0x x , 0y y มเสนสมผสท 0 0(x , y ) อยตามแกนนอน ดงนน x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0
ขอสรปนยงคงจรงกบกรณท f มคาต าสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และไดผลดงทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฎบท 3.8.1 ถา f(x, y) มคาต าสดสมพทธหรอคาสงสดสมพทธทจด 0 0(x , y ) และอนพนธยอยอนดบหนงของ f(x, y) หาคาได แลว x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0
บทนยาม 3.8.3 ให f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร
0 0(x , y ) เปนจดวกฤต (Critical Point) ของ f(x, y) ถา x 0 0f (x , y ) 0 และ y 0 0f (x , y ) 0 หรอ อนพนธยอยใดอนพนธยอยหนงหรอทงสองหาคาไมไดทจด 0 0(x , y )
ตวอยาง 3.8.1 (หนา 186) จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน 2 2f (x, y) x y 2x 6y 14
วธท า
ขนท 1 ค านวณอนพนธยอย
x yf (x, y) .................................., f (x, y) ....................................
โดยทฤษฎบท 3.8.2 ไดวา จด (4,4) ใหคาต าสดสมพทธ แทนคา x 4 และ y 4 ลงใน (2) ได z 2 ดงนน กลองทใชวสดนอยทสดคอกลองทมความสง 2 ฟตและมฐานเปนสเหลยมจตรสมความยาวดานเทากบ 4 ฟต
ขอสงเกต ค าตอบทไดยงไมสมบรณ เพราะยงไมไดแสดงวาคาต าสดสมบรณส าหรบ S เกดเมอ x 4, y 4 และ z 2 เปนแตเพยงคาต าสดสมพทธเทานน การทจะแสดงวาคาสงสดขดสมพทธเปนคาสดขดสมบรณดวยนนท าไดยากส าหรบฟงกชนของสองตวแปรหรอมากกวา แตอยางไรกตามในโจทยประยกตเชนตวอยางน มกจะเหนไดชดเจนจากการพจารณารปราง หรอพจารณาในทางเรขาคณตวาคาทหาไดเปนคาสดขดสมบรณหรอไม
3.9 ตวคณลากรานจ (Lagrange Multiplier)
ให f (x, y) มคาสดขดและ g 0 บนพนผว g(x, y) k วธการหาคาสดขดของ f (x, y) โดยมเงอนไขประกอบ
g(x, y) k โดยท 1. หาทกคาของ x, y และ โดยท
f (x, y) g(x,y) และ g(x, y) k 2. คาของ f ททกจด (x, y) จากขอ 1. ทมากทสดจะเปนคาสงสด ของ f และคานอยทสดจะเปนคาต าสดของ f วธการนเรยกวาวธตวคณลากรานจ (Method of Lagrange Multiplier) และเรยกจ านวนจรง วาตวคณลากรานจ (Lagrange Mmultiplier)
ถาเขยนสมการเวกเตอร f g ในพจนของสวนประกอบ แลวจะได
x x y yf g f g g(x, ,, y) k
ซงเปนระบบสมการ 3 สมการ และมตวไมทราบคา 3 ตว ไดแก x, y และ
ตวอยาง 3.9.2 (หนา 194) จงหาคาสดขดของฟงกชน 2 2f (x, y) x 2y บนวงกลม 2 2x y 1
วธท า ขนท 1 เขยนปญหา คอ
คาสดขดของ 2 2f (x, y) x 2y สอดคลองเงอนไข 2 2g(x, y) x y 1
ขนท 2 สรางระบบสมการจาก f g x x y yf g f g g(x, ,, y) k
ได 2x 2x (1) 4y 2y (2)
2 2x y 1 (3) ขนท 3 หาผลเฉลยของระบบสมการ
จาก (1) ได x 0 หรอ 1 กรณท 1 x 0 แทนคา x ใน (3) ได y 1 กรณท 2 1 แทนคา ใน (2) ได y 0 แทนคา y ใน (3) ได x 1 ดงนน f จะมคาสดขดทจด (0, 1), (0, -1), (1, 0) และ (-1, 0) ดงนนคาของ f ทงสจด คอ f (0,1) 2, f (0, 1) 2, f (1,0) 1, f ( 1,0) 1
ขนท 4 หาคาสงสดและคาต าสดบนวงกลม 2 2x y 1 คาสงสดของ f คอ f (0, 1) 2 และคาต าสด คอ f ( 1,0) 1
ให f (x, y,z) มคาสดขดและ g 0 บนพนผว g(x, y,z) k วธการหาคาสดขดของ f (x, y,z) โดยมเงอนไขประกอบ
g(x, y,z) k โดยท 1. หาทกคาของ x, y, z และ โดยท
f (x,y,z) g(x,y,z) และ g(x, y,z) k 2. คาของ f ททกจด (x, y, z) จากขอ 1. ทมากทสดจะเปนคาสงสด ของ f และคานอยทสดจะเปนคาต าสดของ f วธการนเรยกวาวธตวคณลากรานจ (Method of Lagrange Multiplier) และเรยกจ านวนจรง วาตวคณลากรานจ (Lagrange Multiplier)
ถาเขยนสมการเวกเตอร f g ในพจนของสวนประกอบ แลวจะได
x x y y z zf g f g f g g(, , x, y,z) k,
ซงเปนระบบสมการ 4 สมการ และ มตวไมทราบคา 4 ตว ไดแก x, y, z และ ตวอยาง 3.9.3 (หนา 195) จงหาจดบนทรงกลม
2 2 2x y z 4 ทอยใกลและไกลทสดจากจด (3, 1, -1)
วธท า ระยะทางจากจด (x, y, z) ไปยงจด (3, 1, -1) คอ 2 2 2d (x 3) (y 1) (z 1)
เนองจากการหาคาสงสดและคาต าสดของ 2 2 2S f (x, y,z) (x 3) (y 1) (z 1)
จะไดคาสงสดและคาต าสดของ d ดวย เพราะฉะนน จะพจารณาคาสงสดและคาต าสดของ f(x, y, z) เมอจด (x, y, z) อยบนทรงกลม นนคอ 2 2 2g(x, y,z) x y z 4 ขนท 1 เขยนปญหา คอ คาสดขดของ 2 2 2f (x, y,z) (x 3) (y 1) (z 1) สอดคลองเงอนไข 2 2 2g(x, y,z) x y z 4 ขนท 2 สรางระบบสมการจาก f g
x x y y z zf g f g f g g(, , x, y,z) k,
ได 2(x 3) 2x (1) 2(y 1) 2y (2)
2(z 1) 2z (3) 2 2 2x y z 4 (4)
ขนท 3 หาผลเฉลยของระบบสมการ จาก (1), (2), (3) ได
3x ,
1
1y ,
1
และ
1z
1
แทนคา x, y, z ใน (4) ได 2 2 2
2 2 23 1 ( 1)
4(1 ) (1 ) (1 )
2 11(1 )
4
ไดวา 11
12
นนคอ f มคาสดขดทจด 6 2 2
, ,11 11 11
และจด 6 2 2
, ,11 11 11
ขนท 4 หาคาสงสดและคาต าสด แทนคาจดทงสองใน f(x, y, z) ไดวา
จด 6 2 2
, ,11 11 11
อยใกลจด (3, 1, -1) ทสด
และ จด 6 2 2
, ,11 11 11
อยไกลจด (3, 1, -1) ทสด
ถาตองการหาคาต าสดและคาสงสดของฟงกชน f(x, y, z) โดยมเงอนไข g(x, y,z) k และ h(x, y,z) c ซงหมายความวาคาสดขดของ f เมอ (x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C ทเกดจากการตดกนของพนผว g(x, y,z) k และพนผว h(x, y,z) c
สมมต f มคาสดขดทจด 0 0 0P(x , y ,z ) เนองจาก f จะตงฉากกบเสนโคง C ทจด P แต g จะตงฉากกบพนผว g(x, y,z) k
และ h จะตงฉากกบพนผว h(x, y,z) c ดงนน g และ h จะตองฉากกบเสนโคง C นนคอ 0 0 0f (x , y ,z ) จะอยในระนาบทก าหนดโดย