บทที่ 3 - คณิตศาสตร์ · Web view- หน งส อเร ยนสาระการเร ยนร เพ มเต ม คณ ตศาสตร

หนวยการเรยนรท 2เรอง แคลคลสเบองตน

รายวชาทนำามาบรณาการภาษาตางประเทศ

1. มาตรฐานการเรยนรมฐ. ค 6.1

2. ตวชวดชนปทเกยวของค 6.1 ม.6/1-6

3. สาระการเรยนรประจำาหนวย3.1 ลมตของฟงกชน 3.2 ความตอเนองของฟงกชน3.3 ความชนของเสนโคง3.4 อนพนธของฟงกชน3.5 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต3.6 อนพนธของฟงกชนประกอบ3.7 อนพนธอนดบสง3.8 การประยกตของอนพนธ3.9 ปฏยานพนธ3.10 ปรพนธไมจำากดเขต3.11 ปรพนธจำากดเขต3.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง

4. รองรอยการเรยนร4.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2

4.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก 1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยนและการใชบรการหองสมดของโรงเรยน

อยางเหมาะสม2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม

4.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนหลงเรยนจบหนวยการเรยนร

5. แนวทางการจดการเรยนรในภาพรวม

รองรอยการเรยนรแนวทางการจดการเรยนร

บทบาทคร บทบาทนกเรยน

5.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ

- อธบายเนอหาในแตละเรองอยางละเอยด

- อธบายสรปความคดรวบยอดในแตละเรอง

- แนะนำาการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

- ใหคำาแนะนำาเพมเตมกบนกเรยนทยงไมเขาใจ

- มอบหมายงานใหนกเรยนเพมเตมตามความเหมาะสม

- ใหคำาแนะนำาในการทำากจกรรมบรณาการ

- ฝกคดตามทครสอน- ใหความรวมมอกบคร

ผสอน- รวมทำากจกรรมในชน

เรยน- ปฏบตกจกรรมกลม

ตามหนาททไดรบมอบหมาย

- ใหนกเรยนฝกแสดงความคดเหนในชนเรยน

- ใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเปนรายกลมในชนเรยน

- ทำาแบบฝกหดเปนรายบคคล

- ศกษาหาความรเพมเตมจากหนงสอเรยน

54


5.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก

1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยนและการใชบรการหองสมดของโรงเรยนอยางเหมาะสม

2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม

- แนะนำาวธการคำานวณและสรปความคดรวบยอดเพอสรปเนอหาประจำาหนวย

- แนะนำาใหนกเรยนไปคนควาหาขอมลเพมเตมในหองสมดของโรงเรยน

- ใหคำาแนะนำาเพมเตมกบนกเรยนทยงไมเขาใจ

- แนะนำาวธการจดกลมและการทำากจกรรมกลม

- ใหนกเรยนสรปเนอหาสำาคญทเรยนในแตละหนวย

- ใหนกเรยนแสดงความคดเหนตามความเขาใจของนกเรยนเอง

- ใหนกเรยนไปคนควาโจทยเพมเตมในหองสมดโรงเรยน

- ใหนกเรยนจดกลมตามทครมอบหมายและชวยกนทำากจกรรมในชนเรยน

5.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

- สรปเนอหาทสำาคญโดยการถาม-ตอบกบนกเรยน

- ทำาแบบทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน

แผนการจดการเรยนรท 2/1 เรอง ลมตของฟงกชน

เวลา 3 ชวโมง

1.เปาหมายการเรยนร1.1 ผลการเรยนร

หาลมตของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาลมตของฟงกชนทกำาหนดใหได

55


2.สาระสำาคญ 2.1 สาระการเรยนร

ลมตของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ

1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา

2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช

3.รองรอยการเรยนร 3.1 ผลงาน / ชนงาน

1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.1 ก และ 2.1 ข2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.1 ก และ 2.1 ข

3.3 พฤตกรรมตามคณลกษณะพงประสงค1) นกเรยนใหความรวมมอในการทำางานกลม2) นกเรยนมความละเอยดรอบคอบและรบผดชอบในการทำางาน

3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาลมตของฟงกชน

4.แนวทางการวดผลและประเมนผล เกณฑขนตำา

1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป

56


2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป

การสรปผลการประเมนตองผานเกณฑขนตำาทง 3 รายการ

5.กจกรรมการเรยนการสอนเพอการเรยนร5.1 ขนนำา

ครกำาหนดฟงกชน f(x) = 2x 1 ใหนกเรยนเขยนกราฟจะไดดงรป

จากกราฟของฟงกชน ใหนกเรยนสงเกตวา ขณะท x เขาใกล 2 (นนคอ เมอ x 2 และเมอ x 2) คาของ f(x) จะเขาใกล 3

กลาวไดวา ลมตของฟงกชน f(x) = 2x 1 เมอ x เขาใกล 2 มคาเทากบ 3

5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ

57

y = 2x 1

(f(x) เขา

(ขณะท x เขา


1. จากขนนำา ครสรปเปนกรณทวไปดงนสำาหรบฟงกชน f ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซต

ของเซตของจำานวนจรง ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L เมอ x เขาใกล a เรยก L วา ลมตของ f ท a เขยนแทนดวย lim f(x) = L ถาไมมจำานวนจรง L ซง f(x) เขาใกล L เมอ x เขาใกล a แลว

f ไมมลมตท a จะเขยนวา lim f(x) หาคาไมได2. การหา lim f(x) เปนการพจารณาคาของ f(x) วาเขา

ใกลจำานวนจรงใดขณะท x เขาใกล

a หมายถงพจารณากรณท x a และ x a ครกลาวยำาวาเราจะไมพจารณาคาของ f(x) ท x = a ดงนน ฟงกชน f อาจจะนยามหรอไมนยามท x = a กได แตฟงกชน f จะตองนยามทแตละจดทใกล a

พจารณาฟงกชน f(x) = โดเมนของฟงกชนคอ R {5} กลาวคอ f(5) จะหาคาไมได แตเมอพจารณาคา f(x) คอ x เขาส 5 ไมวาจะทางดานซายหรอดานขวา f(x) จะมคาเขาใกล 10 แสดงวา f(x) นมคาลมต แตจะหาคา f(5) ไมได

3. ครอธบายวา เมอ x เขาใกลจำานวนจรง a ใดๆ ใหพจารณา 2 ทศทาง คอ1) x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทาง

ทกษะการคดแปลความ

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะห

58

x a

x a

x a

f(x) =

x 5+x 5


ดานซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ xa

2) x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวยสญลกษณ xa+

สำาหรบฟงกชน f ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจำานวนจรง

(1) ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L1 เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย (x a)

เรยก L1 วา ลมตซายของ f(x) เขยนแทน ดวย lim f(x) = L1


(2) ถาคาของ f(x) เขาใกลจำานวนจรง L2 เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา (x a)

เรยก L2 วา ลมตขวาของ f(x) เขยนแทนดวย lim f(x) = L2

ถา L1 = L2 = L จะไดวา ฟงกชน f มลมตเทากบ L เมอ x เขาใกล a เขยนแทนดวย

lim f(x) = Lถา L1 L2 จะไดวา ฟงกชน f ไมมลมต เมอ x เขาใกล a

นนคอ lim f(x) หาคาไมได4. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ใน

หนงสอเรยน โดยใหขอสงเกตวา lim f(x) กบ lim f(x) ไมจำาเปนตองเทากน

ครกลาวยำากบนกเรยนวา ถา lim f(x) lim f(x) จะกลาววา f เปนฟงกชนทไมมลมตท a

5. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาคาของ lim f(x) เมอ f(x) =

ทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช

59

x a

x a+

x a x

a

x a

x a+

x a

x a+

x 2 x+1, x 22, x 2


วธทำา เขยนกราฟของฟงกชนไดดงน

จากกราฟ lim f(x) = 3lim f(x) = 2lim f(x) lim f(x)

ดงนน lim f(x) ไมมลมตท 2


60

x 2

x 2+ x

2+ x 2 x 2


2) กำาหนดให f(x) = จงหาคาของ lim f(x)

วธทำา จาก f(x) =

เมอ x 3 จะได lim f(x) = 3(3) + 2 = 11

เมอ x 3 จะได lim f(x) = 32+ 1 = 10

เนองจาก lim f(x) lim f(x)ดงนน lim f(x) หาคาไมได

3) กำาหนดให f(x) = จงหาคาของ lim f(x)


จะได f(x) =

หรอ f(x) =ดงนน lim f(x) = 1 และ lim f(x) = 1เนองจาก lim f(x) lim f(x) ดงนน lim f(x) หาคาไมได

6. ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.1 ก ภายในเวลาทกำาหนด แลวรวมกนเฉลยคำาตอบ

7. ครแนะนำาวาการหาคาลมตของฟงกชนโดยการเขยนกราฟของฟงกชน บางครงอาจไมสะดวก เราสามารถใชทฤษฎบทเกยวกบลมตชวยในการหาคาของฟงกชนไดตามทฤษฎบทท 1, 2 และ 3 ในหนงสอเรยน


61

x2+1 เมอ x 3x +2 เมอ x 3

x2+1 เมอ x 3x +2 เมอ

x 3+

x 3

x 0

เมอ x เมอ x

x 3

x 0

x 0+

x 0

x 0

x 0+

1 เมอ x 1 เมอ x 0

x 3+

x 3


8. ครใหขอสงเกตจากทฤษฎบท 2 วา การหาลมตของฟงกชนพหนาม เมอ x เขาใกล a สามารถหาลมตไดโดยแทนคา x ในฟงกชนพหนามดวย a โดยใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย


62


1) จงหาคาของ lim (4x2+ 5x 3)วธทำา lim (4x2+ 5x 3) = lim 4x2+ lim

5x lim 3= 4 lim x2+ 5 lim x 3= 4(0)2+ 5(0) 3= 3

2) จงหาคาของ lim (x+3)(x2+ 4)วธทำา lim (x+3)(x2+ 4) = lim (x+3)

lim (x2+ 4)= (1+3) ((1)2+ 4)= (2)(5) = 10

9. ครอธบายการหาลมตของฟงกชนในกรณทตองการหาคาของ lim f(x) แตคาของ f(a) หาคาไมได เชน f(a) อยในรป , 0 , เราอาจใชการเปลยนรปของ

ฟงกชน เชน การแยกตวประกอบเพอกำาจดตวสวนทเปนศนย การคณและหารดวยคาสงยค (conjugate)ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบายขางตน

1) lim

วธทำา จาก f(x) = จะได f(1) =

แยกตวประกอบเพอกำาจดตวสวนทเปนศนยดงน

จาก =

= = (x+1)(x2+1)


63

x 0

x 1

x 0 x 0 x 0

x 0 x 0

x 0

x 1

x 1

x 1

x a

x 1


ดงนน lim = lim (x+1)(x2+1)

= (1+1)(12+1)= 4


64

x 1 x 1


2) lim

วธทำา lim = lim

= lim

= lim

= lim

= lim

=

= = 2

3) lim


= lim

= lim

= lim

ทกษะการคดวเคราะห

ทกษะการคดประยกตใช

65

x 1

x 1 x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1 x 1

x 1

x 1

x 1


= lim

= 10. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 ถงตวอยางท 5 ใน

หนงสอเรยนหวขอทฤษฎบทเกยวกบลมต11. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.1 ข กลมละ 3 ขอ

โดยวธจบฉลาก เมอทกกลมทำาเสรจแลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน5.3 ขนสรป

ครและนกเรยนทบทวนลมตของฟงกชนในประเดนตอไปน1) การหา lim f(x)

x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวย x a

x เขาใกล a โดยท x a เรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย x a+

2) lim f(x) กบ lim f(x) ไมจำาเปนตองเทากน

ถา lim f(x) lim f(x) จะกลาววา f เปนฟงกชนทไมมลมตท a

3) ทบทวนทฤษฎบทเกยวกบลมต

6. สอการเรยนร / แหลงการเรยนร6.1 สอการเรยนร

- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ

เรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ

6.2 แหลงการเรยนร

66

x 1

x a+

x a

x a

x a

x a+


1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

7. กจกรรมเสนอแนะ-

8. บนทกหลงการสอน (บนทกเฉพาะประเดนทมขอมลสารสนเทศชดเจน)

ประเดนการบนทก จดเดน จดทควรปรบปรง

1. การจดกจกรรมการเรยนร

2. การใชสอการเรยนร

3. การประเมนผลการเรยนร

4. การบรรลผลการเรยนรของนกเรยน

67


บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน

บนทกความเหนของผตรวจสอบแผนการจดการเรยนร………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………………………………………………………………………………………………….……..……..…………………………………………………………………………………………………………….………

ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................

แบบสงเกตการตอบคำาถามและการรวมกจกรรมหนาชน

ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน

68


3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก

ท ชอ-สกล

การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค

ะแนน ระดบคะแนน

10-12 7-9 4-6

3 3 3 3 12 ด พอใชปรบป

รง

แบบประเมนการทำางานกลม

69


วชาคณตศาสตร เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ....................


ประเดนการประเมน/คะแนน

ระดบคะแนน

ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด

70


2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 2/2 เรอง ความตอเนองของฟงกชน



บอกไดวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม1.2 จดประสงคการเรยนร

บอกไดวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม


ความตอเนองของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ




1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.22) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม

71


3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.2


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธตรวจสอบวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนตอเนองหรอไม


1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป



ครอธบายวาฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองท x = c กตอเมอจด (c, f(c)) เชอมเสนกราฟของ f ซงอยทางซายของจด (c, f(c)) และอยทางขวาของจด (c, f(c)) ใหตอเปนเสนเดยวกน ดงรป

72


จากกราฟใหนกเรยนสงเกตวา ถาฟงกชน f ตอเนองท x = c แลวกราฟของฟงกชนไมขาดตอนท x = c

ครสรปเปนบทนยาม ดงนบทนยาม ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด (a, b) และ c (a, b)

ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = c กตอเมอ1.f(c) หาคาได2.lim f(x) หาคาได

และ 3.lim f(x) = f(c)

5.2 ขนสอน


73

x c x c


1. จากบทนยามความตอเนองของฟงกชน ครยำากบนกเรยนวา ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว ฟงกชน f ไมเปนฟงกชนตอเนองท x = c และถาฟงกชน f มความตอเนองทจด x = c กราฟของฟงกชน f ทผานจด (c, f(c)) จะเปนเสนทลากตดตอกนไมขาดตอนทจดน

2. ครใหนกเรยนศกษาวธการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนจากตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน

3. ครยกตวอยางโจทยตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงพจารณาวา f(x) = เปนฟงกชนตอเนอง

ท x = 1 หรอไม

วธทำา จาก f(x) = เนองจาก f(1) หาคาไมได ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 1

2) กำาหนดให f(x) =

จงพจารณาวา ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 หรอไม


จะได f(1) = 2

lim f(x) = lim

= lim

= lim (x+1)= 2



74

, x 2 , x = 1

, x

x 1

x 1

x 1

2 , x = 1

x 1


จะเหนวา lim f(x) = f(1) ฟงกชน f ตอเนองท x = 1


3) จงพจารณาวา ฟงกชน f(x) = เปน

ฟงกชนตอเนองท x = 2 หรอไม


จะได f(x) =

หรอ f(x) =

เนองจาก f(2) หาคาไมได ฟงกชน f ไมตอเนองท x = 2

จากตวอยางทกลาวมา ครใหแนวคดในการตรวจสอบวาฟงกชนทกำาหนดใหตอเนองทจดทกำาหนดใหหรอไม เชน ฟงกชน f(x) ตอเนองทจด x = c หรอไม ควรพจารณาคาของฟงกชน ณ จดทกำาหนดใหกอนคอพจารณาคา f(c) กอน เนองจากเปนคาทหาไดงายทสด ถา f(c) หาคาไมได กเปนเหตผลทเพยงพอทจะสรปวา ฟงกชนนนไมตอเนองทจด x = c

4. ครอธบายหลกการพจารณาความตอเนองของฟงกชนบนชวงตอไปนฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง1. (a, b) กตอเมอ f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b)

2. [a, b] กตอเมอ


ทกษะการคดวเคราะหทกษะการคด

75

x 1

1 , x+2 0 1 , x+2 0 1 , x

2 1 , x 2

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ x

b x a+

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ


3. (a, b] กตอเมอ

4. [a, b) กตอเมอ

5. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางในหนงสอเรยน และยกตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง กำาหนด f(x) = จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง [5, 5] หรอไม

วธทำา จาก f(x) = ให a (5, 5)

ประยกตใช


f(a) = ซงหาคาไดlim f(x) = lim =

เพราะฉะนน lim f(x) = f(a)จะไดวา f ตอเนองท x = a แต a (5, 5)ดงนน f ตอเนองบนชวง (5, 5)เนองจาก f(5) = 0 และ f(5) = 0

lim f(x) = lim = 0 = f(5)lim f(x) = lim = 0 = f(5)

ดงนน f ตอเนองบนชวง [5, 5] ดงรป

76

x b

1) f ตอเนองททกๆ จดในชวง (a, b) และ x

a+

x a

x 5

x a

x a

x 5+

x 5+ x 5


6. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรมท 2.2 ในเวลาเรยน เมอทกกลมทำาเสรจแลวครและนกเรยนรวมกนเฉลยคำาตอบ

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนวธการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชน

ณ จดทกำาหนดให และความตอเนองบนชวง




6.2 แหลงการเรยนร1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

7. กจกรรมเสนอแนะ7.1 กจกรรมสงเสรมการคดเชงวเคราะห

ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนไปคนหาโจทยการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนชนดตางๆ

เชน ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนลอการทม คนละ 1 ตวอยาง พรอมทงแสดงวธทำา

ขนวเคราะหใหนกเรยนใชหลกการตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตามทไดเรยนมาขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและแสดงวธทำา จดทำาเปนรายงานสงคร

77


ขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยนตวอยางโจทย

กำาหนด f(x) =

ฟงกชน f ตอเนองท x = 1 หรอไม


lim f(x) = lim sinx = 0lim f(x) = lim ln x = 0

ดงนน lim f(x) = 0แต f(1) หาคาไมได f(x) ไมตอเนองท x = 1

7.2 กจกรรมบรณาการ-






78

sinx , 0 x 1ln x , 1 x

sinx , 0 x 1ln x , 1 x

x 1 x 1+ x 1

x 1 x 1+



บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................


ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................

79


คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก

ท ชอ-สกลกา

รตอบ

คำาถา

ม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

80







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น

81


5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 2/3 เรอง ความชนของเสนโคง



หาความชนของเสนโคงและสมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกำาหนดใหได

1.2 จดประสงคการเรยนรหาความชนของเสนโคงและสมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกำาหนดให

ได


ความชนของเสนโคง2.2 ทกษะ / กระบวนการ




82



3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.3


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาความชนของเสนโคง





ครอธบายบทนยามตอไปนบทนยาม ถา y = f(x) เปนสมการของเสนโคง เสนสมผสเสนโคงทจด

p(x, y) ใดๆ จะเปนเสนตรงทผานจด p และมความชนเทากบ lim

บทนยาม ความชนของเสนโคง ณ จด p(x, y) ใดๆ บนเสนโคง หมายถง ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด p

83

h 0


5.2 ขนสอน


1. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางในหนงสอเรยนหวขอท 2.3 จากนนเขยนโจทยตอไปนบนกระดาน ใหนกเรยนคดหาคำาตอบ1) ถา y = 5x2 6 เปนสมการของเสนโคง จงหา

(1) ความชนของเสนโคงทจด (2, 14)(2) สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด (2, 14)วธทำา (1) ให f(x) = 5x2 6

ความชนของเสนโคงทจด (2, 14) เทากบ

lim = lim

= lim



84

h 0

h 0

h 0


= lim

= lim = lim 20+5h= 20

ดงนน ความชนของเสนโคงทจด (2, 14) เทากบ 20

(2) สมการของเสนตรงทผานจด (x1 , y1) และมความชนเทากบ m คอ

y y1 = m(xx1) เสนสมผสเสนโคงทจด (2, 14) คอเสนตรงท

ผานจด (2, 14) และมความชนเทากบ 20ดงนน สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด (2,

14) คอy 14 = 20(x2)y 14 = 20x 40

20x y 26 = 0 2) ถาเสนตรง y = ax + 1 ตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง y = 3x2+ 8 ทจด (1, 11)

จงหาคาของ aวธทำา ให y = f(x) = 3x2+ 8

ความชนของเสนโคงทจด (1, 11) เทากบ

lim = lim

= lim

= lim


85

h 0 h 0 h 0

h 0

h 0

h 0

h 0


= lim (6 + 3h)= 6

ดงนน ความชนของเสนโคงทจด (1, 11) เทากบ 6

เนองจากผลคณของความชนของเสนตรงสองเสนทตงฉากกนเทากบ 1

และ y = ax + 1 เปนเสนตรงทมความชนเทากบ a

a (6) = 1a = =


86

h 0


2. ครอธบายวา ความชนของเสนโคงในชวงทกำาหนดใหอาจเปนจำานวนบวกหรอจำานวนลบหรอศนยกได ซงจะบอกใหรวาในชวงนนๆ เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดลกษณะของเสนโคงทมความชนเปนจำานวนบวกในชวง (a, b)

จากกราฟ เมอ x เพมขน ทำาให y มคาเพมขน จงเปนฟงกชนเพมลกษณะของเสนโคงทมความชนเปนจำานวนลบในชวง (a, b)

จากกราฟ เมอ x เพมขน ทำาให y มคาลดลง จงเปนฟงกชนลด เมอกำาหนดกราฟของฟงกชน เราสามารถบอกไดวาความชนของเสนโคง ณ จดนนๆ เปนจำานวนบวกหรอจำานวนลบ ดงน


87



3. ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.3 ภายในเวลาทกำาหนด แลวเฉลยคำาตอบรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามเกยวกบความชนของเสนโคง






88








89


บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................



90




การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง


91






ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง


92



แผนการจดการเรยนรท 2/4 เรอง อนพนธของฟงกชน



หาอนพนธของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาอนพนธของฟงกชนทกำาหนดใหได


อนพนธของฟงกชน2.2 ทกษะ / กระบวนการ





3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม

93


3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.4


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชน





ครทบทวนเกยวกบความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) ใดๆ

เทากบ lim เมอลมตหาคาได เรยกลมตทไดนวา อนพนธของ

ฟงกชน f ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ

จำานวนจรง และ lim หาคาไดแลว เรยกคาของลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x

เขยนแทนดวย f (x)

94

h 0

h 0


5.2 ขนสอน


1. จากขนนำา ครแนะนำาวา อนพนธของฟงกชน f ท x นอกจากเขยนแทนดวย f (x) ยงเขยนแทนดวยสญลกษณอยางอน เชน (อานวา ด

วายบายดเอกซ) หรอ y หรอ f(x)

นนคอ f (x) = = y = f(x) = lim



95

h 0


2. ครยกตวอยางการหา f (x) เพมเตมจากในหนงสอเรยน ดงน1) จงหาอนพนธของ f(x) = 5 3x + x2


= lim

= lim = lim 3 + 2x + h= 3 + 2x

f (x) = 2x 32) กำาหนด f(x) = จงหา f (x)

วธทำา f(x) =

f(x+h) =

f(x+h) f(x) =

f(x+h) f(x) =

=

lim = lim

=

f (x) =


96

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0


3) กำาหนด f(x) = จงหา f (x)วธทำา f(x) =

f(x+h) = f(x+h) f(x) =

=

=

=


97


lim = lim

=

f (x) =

3. ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.4 ขอท 1 ขอยอย 1) – 4) ภายในเวลาทกำาหนด แลวเฉลยคำาตอบรวมกน

4. ครอธบายบทนยามตอไปน

บทนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชน และ a Df แลว

1) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอคาของ x

เปลยนจาก a เปน a + h คอ

2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ

lim

จากบทนยาม ครใหขอสงเกตวาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = aกคออนพนธของฟงกชน f ท x = a นนเอง

5. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางการหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในหนงสอเรยน และเพอใหนกเรยนเขาใจและเกดแนวคดในการแกปญหามากยงขนครและนกเรยนรวมกนทำากจกรรมท 2.4 ขอท 2-4 ไป


98

h 0

h 0

h 0


พรอมกนโดยใชวธถาม-ตอบกจกรรมขอทเหลอใหนกเรยนทำาเปนการบาน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามเกยวกบอนพนธของฟงกชน f ท x

และบทนยามเกยวกบอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x โดยยำาวา

f (x) = lim

และอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a กคอ f (a) นนเอง






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแตละคนแตงโจทยการหาอนพนธของฟงกชน f(x) โดยมเงอนไข

วาจะตองเปนโจทยทมเครองหมายกรณฑทสอง คนละ 1 ขอขนวเคราะห

99

h 0


ใหนกเรยนแสดงวธหาอนพนธของ f(x) จากโจทยทนกเรยนแตงขนอยางเปนขนตอน

ขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธทำาลงบนกระดาษ A4 นำาผลงานแลกเปลยนกบ

เพอนเพอตรวจสอบความถกตองขนประยกตใชครเลอกโจทยขอทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน







100



บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................



101




รตอบ

คำาถา

ม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

102







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง


103



แผนการจดการเรยนรท 2/5 เรอง การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร



หาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตรได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตรได


การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร2.2 ทกษะ / กระบวนการ





104


3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.5


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร





ครทบทวนการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามของอนพนธในรปของลมต จากโจทยตอไปน

1) จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = x3+ x + 1 ท x = 1วธทำา = f (x) = lim

= lim

= lim

105

h 0

h 0 h 0


= lim = lim 3x2+ 3xh + h2+ 1= 3x2+ 1

f (1) = 3(1)2+ 1 = 42) จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) =

วธทำา = f (x) = lim

= lim

= lim

= lim

= lim

= lim

=

=

5.2 ขนสอน


106

h 0

h 0 h 0

h 0 h 0

h 0

h 0

h 0


1. จากขนนำา ครแนะนำาวา การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามของอนพนธในรปของลมตคอนขางยงยาก และใชเวลาคอนขางนาน เพอใหการหาอนพนธของฟงกชนสามารถทำาไดสะดวกและรวดเรว จงไดมการสรางสตรเพอใชสำาหรบหาอนพนธของฟงกชนพชคณต จากนนครใหนกเรยนศกษาสตรท 1 ถงสตรท 8 และตวอยางการใชสตร

เพอหา ในหนงสอเรยนหวขอท 2.52. ครยกตวอยางโจทยตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาอนพนธของฟงกชน y = วธทำา y =

y =

= (5x2) + x +

=

=

=




107


2) จงหาอนพนธของฟงกชน y =

วธทำา y =

=

=

=

=

อนพนธของฟงกชน =

3) จงหาอนพนธของฟงกชน y =

วธทำา y =

y = x33+5x12x2

= 3x2+(5)x22(2)x3

= 3x25x2+4x3

อนพนธของฟงกชน = 3x25x2+4x3

4) จงหาอนพนธของฟงกชน y = (4x2+x1)(x+2)

วธทำา y = (4x2+x1)(x+2)


108


y = 4x3+9x2+x2

= 12x2+18x+1

อนพนธของฟงกชน = 12x2+18x+1


109


3. ครอธบายวธการหาสมการของเสนสมผส และยกตวอยางประกอบดงน

จากรป PQ เปนเสนสมผสเสนโคงทจด P(x1 , y1) และมความชน m สมการของเสนสมผส PQ คอ y y1 = m(x x1)PS เปนเสนปกตซงตงฉากกบ PQสมการของเสนปกต PS คอ y y1 = (x x1)1) จงหาสมการของเสนสมผสและสมการของเสนปกต

ของเสนโคง y = x22x ทจด(1, 3)วธทำา y = x2 2x

= 2x 2 ดงนน ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆ คอ 2x 2นนคอ ความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ จด (1, 3) เทากบ 2(1) 2 = 4สมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จด (1, 3) คอ

y 3 = 4(x + 1) y 3 = 4x 4

4x + y + 1 = 0สมการของเสนปกต ณ จด (1, 3) คอ


110


y 3 = 4y 12 = x + 1

x 4y + 13 = 0


2) จงหาสมการของเสนสมผสและสมการของเสนปกตของเสนโคง y = x3 2x2+ 4ทจด x = 2วธทำา y = x3 2x2+ 4

= 3x2 2(2x) + 0

= 3x2 4x คอ ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆดงนน ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจดท x

= 2= 3(2)2 4(2)= 4

เมอ x = 2, y = 23 2(2) 2+ 4 = 4ดงนน จดสมผสเสนโคงคอจด (2, 4)สมการของเสนสมผส คอ

y 4 = 4(x 2) y 4 = 4x 8

4x y 4 = 0 สมการของเสนปกต คอ

y 4 = (x 2) 4y 16 = x + 2

x + 4y 18 = 0 4. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.5 กลมละ 3 ขอ

111


ภายในเวลาทกำาหนด สำาหรบโจทยขอทยาก ครควรแนะนำาวธคดเบองตนเพอใหนกเรยนเกดแนวคดในการแกโจทยปญหาดวยตนเอง

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนสตรการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตทง

8 สตรอกครง และสรปเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน y = f(x) วา

lim คอ 1) อนพนธของฟงกชน f ท x2) ความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ3) ความชนของเสนสมผสเสนโคง f(x) ทจด (x, y)

ใดๆ






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนศกษาเพมเตมเกยวกบการพสจนสตรการหาอนพนธของฟงกชน

พชคณต ทง 8 สตรขนวเคราะหใหนกเรยนวเคราะหขนตอนในการพสจนวามวธการอยางไรบาง

112

h 0


ขนสรปใหนกเรยนเขยนวธการพสจนสตรท 1-8 และยกตวอยางการใชสตร สตรละ

1 ตวอยาง จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครและนกเรยนรวมกนอภปรายวธการพสจนสตรท 1-8







113



บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................



114




รตอบ

คำาถา

ม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

115







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง


116



แผนการจดการเรยนรท 2/6 เรอง อนพนธของฟงกชนประกอบและอนพนธอนดบสง



1) หาอนพนธของฟงกชนประกอบได2) หาอนพนธของฟงกชนอนดบสงได

1.2 จดประสงคการเรยนร1) หาอนพนธของฟงกชนประกอบได2) หาอนพนธของฟงกชนอนดบสงได


1) อนพนธของฟงกชนประกอบ2) อนพนธอนดบสง

2.2 ทกษะ / กระบวนการ1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา


3.รองรอยการเรยนร

117


3.1 ผลงาน / ชนงาน1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.6 และ 2.72) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.6 และ 2.7


3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชนประกอบ2) นกเรยนรวธหาอนพนธของฟงกชนอนดบสง





ครอธบายสตรการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ ดงนถา y= (gof)(x) = g(f(x)) แลว

= g(f(x)) f(x)

118


จากสตรน ถาให f(x) = u จะได y = g(u)

จะได = g(u) u หรอ

5.2 ขนสอน


1. ครยกตวอยางการหาอนพนธของฟงกชนประกอบเพมเตมจากในหนงสอเรยน ดงนตวอยาง

1) กำาหนดให y = (3x + 2)4 จงหา

วธทำา ให u = 3x + 2จะได y = u4



119


จาก =

= u4 (3x + 2)= 4u3 (3)= 12u3

= 12(3x + 2)3

2) ให y = จงหา

วธทำา ให u = 5 3x2

y =

จาก =

= (53x2)

= (6x)

=

=

2. ครแนะนำาวา เพอความสะดวกเราสามารถเปลยนแปลง

สตร = ไดดงน

ถา y = un แลว = nun1

เชน จากตวอยางขอ 1) y = (3x + 2)4

ให u = 3x + 2จะได y = u4


120


= u4

= 4u3


121


= 4(3x + 2)3 (3x + 2)

= 4(3x + 2)3 (3 + 0)= 12(3x + 2)3

จากตวอยางขอ 2) y = วธทำา ให u = 5 3x2

จะได y =

=

=

=

=

=

=

3. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.6 โดยวธจบฉลาก กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกนในชนเรยนอนพนธอนดบสง

4. ครใหนกเรยนอานบทนยามของอนพนธอนดบสงในหนงสอเรยนหวขอท 2.7 และแนะนำาการเขยนแทนดวยสญลกษณ ดงน

= y = f (x) เรยกวาอนพนธอนดบท

1 ของ f(x) = y = f (x) เรยกวาอนพนธอนดบ


122


ท 2 ของ f(x) = y = f (x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท 3 ของ f(x) = y(4) = f(4)(x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท 4 ของ f(x)

= y(n) = f(n)(x) เรยกวาอนพนธ

อนดบท n ของ f(x)


123


5. ครยกตวอยางโจทยการหาอนพนธอนดบสงตอไปน1) กำาหนดให f(x) = 3x4 2x + 5 จงหาอนพนธ

อนดบท 2 อนดบท 3 และอนดบท 4วธทำา จาก f(x) = 3x4 2x +

5หรอ f(x) = 3x4 2x + 5

f (x) = 12x3 2 +

f (x) =

= 36x2

f (x) =

= 72x +

f4(x) =

= 72 2) กำาหนดให f(x) = (3x 1)5 จงหา f (1)

วธทำา จาก f(x) = (3x 1)5

f (x) = 5(3x 1)4 (3x 1)= 5(3x 1)4

(3 0)= 15(3x 1)4

f (x) = 60(3x 1)3 (3x 1)= 60(3x 1)3(3 0)= 180(3x 1)3

f (x) = 540(3x 1)2 (3x 1)

= 540(3x 1)2(3 0)


124


= 1,620(3x 1)2 ดงนน f (1) = 1,620(3 1)2

= 1,620 4= 6,480


3) กำาหนดให y = จงหา

วธทำา จาก y = = =

= = = =

=

= 6. นกเรยนไดทราบมาแลววา f (x) คอ

1) อนพนธของฟงกชน f ท x2) ความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ3) ความชนของเสนสมผสเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆครแนะนำาวาสำาหรบ f (x) คออตราการเปลยนแปลงความชนของเสนโคง f(x) ทจด (x, y) ใดๆ


125


นอกจากนในเรองการเคลอนท อนพนธของฟงกชนอนดบท 2 ของ f ท x คอ ความเรง (a) ของวตถขณะเวลา t ใดๆ ซงหาไดจากอตราการเปลยนแปลงของความเรว (v) เทยบกบเวลา t ใดๆ ถาวตถเคลอนทตามสมการการเคลอนท s = f(t) เมอ s คอระยะทางทวตถเคลอนทไดในเวลา tนนคอ = v

= = aครสรปวา ความเรงขณะเวลา t ใดๆ กคออนพนธอนดบท 2 ของ s = f(t)

7. ครยกตวอยางตอไปนปลอยวตถจากทสงลงสพนดน วตถเคลอนทไดระยะทาง s = 16t2 เมตร ในเวลา t วนาท จงหา1. ระยะทางทวตถเคลอนทไดหลงจากปลอยวตถไป 3 วนาท2. ความเรวขณะ t = 2 วนาท

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช


3. ความเรงขณะเวลา t ใดๆ4. ความเรงขณะเวลา t = 5 วนาทวธทำา s = 16t2 เมตร

= 32t v = 32t เมตรตอวนาท

= 32

a = 32 เมตรตอวนาท 2

126


1. ระยะทางทวตถเคลอนทได คอ 16(3)2 = 144 เมตร2. ความเรวขณะ t = 2 วนาท คอ 32(2) = 64 เมตรตอวนาท3. ความเรงขณะเวลา t ใดๆ คอ 32 เมตรตอวนาท 2

4. ความเรงขณะเวลา t = 5 วนาท คอ 32 เมตรตอวนาท 2

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.7 กลมละ 3 ขอ ภายในเวลาทกำาหนด แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรป1) ครทบทวนการหาอนพนธของฟงกชนประกอบโดยยำาประเดนทวา

จากสตร =

ถา y = un

= nun1

2) จากสมการการเคลอนท s = f(t)เมอ s คอระยะทางทวตถเคลอนทไดในเวลา t

= f (t)f (t) คอความเรว (v) ขณะเวลา (t) ใดๆf (t) คอความเรง (a) ขณะเวลา (t) ใดๆ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2

127


- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ



ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมรวบรวมโจทยเกยวกบการนำาความรเรองอนพนธของ

ฟงกชนอนดบสงไปใชประโยชนในการคำานวณเกยวกบการเคลอนท กลมละ 3 ขอขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหโจทยและแสดงวธการหาคำาตอบขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธทำา จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน


128








บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน

129



ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................


ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก


การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

130







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

131


เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 2/7 เรอง การประยกตของอนพนธ



นำาความรเรองอนพนธของฟงกชนไปประยกตได1.2 จดประสงคการเรยนร

132


นำาความรเรองอนพนธของฟงกชนไปประยกตได


การประยกตของอนพนธ2.2 ทกษะ / กระบวนการ




1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.8 ก, 2.8 ข และ 2.8 ค2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ โจทยปญหาเกยวกบการหาคา“

สงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ”3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน

1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 2.8 ก, 2.8 ข และ 2.8 ค7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.4 ความรความเขาใจ

133


1) นกเรยนรวธหาคาตำาสดสมพทธและคาสงสดสมพทธ2) นกเรยนรวธหาคาตำาสดสมบรณและคาสงสดสมบรณ





ครทบทวนหลกการพจารณาเกยวกบฟงกชนเพมและฟงกชนลด ดงนกำาหนดให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ A เปนสบเซตของ Df1) f เปนฟงกชนเพมบน A กตอเมอ สำาหรบสมาชก x1 และ x2 ใดๆ

ใน A ถา x1 x2 แลว f(x1) f(x2)

2) f เปนฟงกชนลดบน A กตอเมอ สำาหรบสมาชก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถา x1 x2 แลว f(x1) f(x2)

จากกราฟจะเหนวาในบางชวงของฟงกชน f เปนฟงกชนลด ในบางชวงเปนฟงกชนเพม

5.2 ขนสอน

134

ฟงกชนลดฟงกชน

เพมฟงกชน

ลด

ฟงกชนเพม



1. ครแนะนำาเพมเตมในการพจารณาวาฟงกชนทกำาหนดใหเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนชวงใดบาง สามารถพจารณาไดจากคาความชนของเสนสมผสเสนโคงซงจะตรวจสอบไดรวดเรวกวา โดยใหนกเรยนอานทฤษฎบทในหนงสอเรยนตอไปนทฤษฎบท กำาหนดใหฟงกชน f เปนฟงกชนทหาอนพนธ

ไดบนชวง A Df 1) ถา f (x) 0 สำาหรบทก x ในชวง A แลว f

เปนฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง A

2) ถา f (x) 0 สำาหรบทก x ในชวง A แลว f เปนฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง A

2. ครอธบายวธใชทฤษฎบทขางตนตรวจสอบฟงกชนเพมและฟงกชนลดตามตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน

3. กอนศกษาเกยวกบการพจารณาคาตำาสดและคาสงสดของฟงกชนโดยใชความร เกยวกบอนพนธของฟงกชน ครอธบายความหมายของคาสงสดสมพทธ คาตำาสดสมพทธและคาวกฤต ตามบทนยามในหนงสอเรยน แลวใหนกเรยนพจารณาคาตำาสดสมพทธและคาสงสดสมพทธจากกราฟของฟงกชน ดงรป



135

รปท 1 รปท 2

f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0


จากรปท 1 ถา f (x) 0 เมอ x นอยกวา c เลกนอย แต f (x) 0 เมอ x มากกวา c เลกนอย แลวฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = cจากรปท 2 ถา f (x) 0 เมอ x นอยกวา c เลกนอย แต f (x) 0 เมอ x มากกวา c เลกนอย แลวฟงกชน f มคาตำาสดสมพทธท x = c

จากรปท 1 และรปท 2 จะเหนวา จดท x = c ซงเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอตำาสดสมพทธ คาของ f (x) เปลยนจากบวกเปนลบหรอเปลยนจากลบเปนบวก ดงนน ทจด x = c คาของ f (c) จงเทากบศนย คา c นเรยกวา คาวกฤตของฟงกชน f และจด (c, f(c)) บนกราฟของ f เรยกวา จดวกฤตของกราฟของ f

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ4. ครอธบายวา นอกจากใชอนพนธอนดบท 1 ของฟงกชน

ชวยในการพจารณาคาสงสดสมพทธและคาตำาสดสมพทธแลว เราอาจใชอนพนธอนดบท 2 มาชวยในการพจารณา จากทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท กำาหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง A

ใดๆ และ c เปนคาวกฤตของ f ซง f (x) = 01) ถา f (x) 0 แลว f (c) เปนคาตำาสด

สมพทธ


136


2) ถา f (x) 0 แลว f (c) เปนคาสงสดสมพทธ

ครใหขอสงเกตวาการตรวจสอบโดยใชอนพนธอนดบท 2 จากทฤษฎบทขางตนจะตองหาอนพนธอนดบท 2 ของฟงกชนนนๆ ได และ f (c) ตองไมเทากบศนยถาอนพนธอนดบท 2 ของฟงกชนหาคาไมได หรอ f (c) เทากบศนย เราตองใชวธพจารณาการเปลยนแปลงคาของอนพนธอนดบท 1 ของฟงกชนทจดบรเวณใกลเคยงคาวกฤตเทานน

5. ครสรปขนตอนในการหาคาสงสดหรอคาตำาสดสมพทธ ดงน วธท 1

1. หา หรอ f (x)

2. ให = 0 แลวหาคาของ x สมมตวาได x = c

3. (1) ถาทจด x c, 0 และทจด x c,

0ฟงกชนใหคาสงสดสมพทธท x = c

(2) ถาทจด x c, 0 และทจด x c, 0

ฟงกชนใหคาตำาสดสมพทธท x = c(3) ถาไมเปลยนเครองหมายทจด x c หรอท

จด x cฟงกชนไมมคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสด

สมพทธในการพจารณาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธอาจ


137


ทำาไดอกวธหนงคอวธท 2

1. หา f (x)2. ให f (x) = 0 หาคา x สมมตวาได x = c3. หา f (x)

(1) ถา f (c) 0 แลว f ใหคาสงสดสมพทธท x = c

(2) ถา f (c) 0 แลว f ใหคาตำาสดสมพทธท x = c

(3) ถา f (c) = 0 จะสรปไมได ตองใชวธท 1


6. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.8 ก โดยใชวธจบฉลาก กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

7. ครอธบายวา เมอกำาหนดฟงกชน y = f(x) ให เราหาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธของฟงกชนไดหลายคา บางคาอาจจะเปนคามากทสดหรอนอยทสดในบรรดาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธเหลานน แตบางคาอาจจะไมเปนคามากทสดหรอไมเปนคานอยทสดในบรรดาคาของฟงกชน f ท x สำาหรบทก x ทอยในโดเมนของ f กได เราจะเรยกคาของ f(x) ทมากทสดสำาหรบทก x ในโดเมนของ f วาคาสงสดสมบรณ และเรยกคา f(x) ทนอยทสดสำาหรบทก x ในโดเมนขง f วาคาตำาสดสมบรณ

บทนยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมบรณท x = c ถา f(c) f(x) สำาหรบทก x

ในโดเมนของฟงกชน f ท x cฟงกชน f มคาตำาสดสมบรณท x = c ถา


ทกษะการคดแปลความทกษะการคด

138


f(c) f(x) สำาหรบทก xในโดเมนของฟงกชน f ท x c

8. ครวาดรปกราฟตอไปนบนกระดานเพอใหนกเรยนเขาใจมากยงขน

จากกราฟ y = f(x) เมอ Df = {x|a x b} เปนฟงกชนทมคาสงสดสมบรณท x = c และ f(c) เปนคาสงสดสมพทธคาหนงของ f

วเคราะห


139


จากกราฟ y = f(x) เมอ Df = {x|a x b} เปนฟงกชนทมคาตำาสดสมบรณท x = c และ f(c) เปนคาตำาสดสมพทธคาหนง

9. ครและนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบความแตกตางระหวางจดสงสดสมพทธและจดสงสดสมบรณ จดตำาสดสมพทธและจดตำาสดสมบรณ โดยใชกราฟตอไปน

จากกราฟนกเรยนควรตอบไดวา จด B, จด D และจด F เปนจดสงสดสมพทธ

จด C, จด E เปนจดตำาสดสมพทธ(ครอธบายวา ในการพจารณาจดตำาสดสมพทธและจดสงสดสมพทธ ตามบทนยาม จะไมพจารณาตรงจดปลายของชวงเปด (a, b) ดงนน จด A และจด G จงไมใชจด


140


สงสดสมพทธและจดตำาสดสมพทธ)จด A เปนจดตำาสดสมบรณจด D เปนจดสงสดสมบรณ

(ครอธบายวา ในการพจารณาจดตำาสดสมบรณและจดสงสดสมบรณ เราตองพจารณาทจดปลายของชวงเปด (a, b) ดวย)


10. ครอธบายวธการหาคาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณตามตวอยางท 3 ในหนงสอเรยน แลวใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.8 ข ภายในเวลาทกำาหนด จากนนนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

11. ครอธบายหลกเกณฑทวๆ ไป ในการแกโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดดงน1) พจารณาวาโจทยตองการหาคาสงสดหรอคาตำาสด2) กำาหนดฟงกชน y = f(x) จากโจทย

3) หาคา

4) ให = 0 แลวแกสมการหาคาวกฤต

5) นำาคาวกฤตในขอ 4 มาทำาการตรวจสอบวาทำาให y มคาสงสดหรอคาตำาสดหรอไมแลวใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน ครอาจอธบายเสรมดวยตวอยางตอไปน1) พอคาคนหนงทราบวาถาเขาตงราคาสนคาอยางหนง

ชนละ 20 บาท ในหนงสปดาหเขาจะขายสนคาได 1,000 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 1 บาท เขาจะขายสนคาไดเพม


141


อก 100 ชน เปน 1,100 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 2 บาท เขาจะขายสนคาไดเพมอก 200 ชน เปน 1,200 ชน ถาเปนเชนนเรอยๆ ไป เขาควรจะตงราคาสนคาเทาใดจงจะไดเงนจากการขายมากทสดวธทำา จากการลดราคาลงชนละ 1 บาท จาก 20 บาท จะ

ทำาใหขายสนคาไดเพมขน 100 ชน จากทขายได 1,000 ชนใหลดราคาลงชนละ x บาท จาก 20 บาท จะทำาใหขาย

สนคาไดเพม 100x ชน จากทขายได 1,000 ชน ทำาใหไดเงนจากการขายมากทสด

เงนทขายได = (1,000 + 100x)(20 x)A = 1,000 20 + 1,000x

100x2A = 1,000 200x

ถา A = 01,000 200x = 0

x = 5 ควรตงราคาขาย = 20 5 = 15 บาท


142


2) กำาหนดใหรถสงสนคาชนดหนงมการเผาไหมของนำามน

เปน ลตรตอกโลเมตร เมอ x เปนความเรวม

หนวยเปนกโลเมตรตอชวโมง ถาตองการขบรถเปนระยะทาง 600 กโลเมตร โดยจายคานำามนนอยทสด ขณะทนำามนราคาลตรละ 30 บาท แลว จะตองจายคานำามนเทาไร

วธทำา ใหนำามนทใช P = ลตรตอ

กโลเมตร

ระยะทาง 600 กโลเมตร P = 600

P = 2,400x1+ x

P = 2,400x2+

ถา P = 02,400x2+ = 0

x2 =

=

x2 = 1,600x = 40

ขบรถดวยความเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง จะจายคานำามนนอยทสด

P = = 60 + 60

P = 120

143


ตองใชนำามน 120 ลตร นำามนราคาลตรละ 30 บาท จะตองจายคานำามน = 120 30 =

3,600 บาท12. ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.8 ค โดยวธจบฉลาก กลม

ละ 3 ขอ ภายในเวลาทกำาหนด จากนนนำาคำาตอบของแตละกลมมาอภปรายรวมกนในชนเรยน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามและทฤษฎบทในหวขอการประยกต

ของอนพนธ และหลกเกณฑทใชในการหาคาตำาสดสมพทธ คาสงสดสมพทธ คาตำาสดสมบรณ และคาสงสดสมบรณ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ




ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาเพมเตมเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน

ตรโกณมต อนพนธของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม พรอมโจทยและวธการแกปญหา

ขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหการหาอนพนธวาตองใชสตรใด มหลกและขน

ตอนอยางไรบางขนสรป

144


ใหนกเรยนเขยนสรปขอมลพรอมโจทยตวอยางตามความเขาใจของนกเรยน จดทำาเปนรายงานสงคร

ขนประยกตใชครนำาผลงานของนกเรยนมาอภปรายรวมกนในชนเรยน

7.2 กจกรรมบรณาการครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการเรยนรภาษาตางประเทศ

โดยใหนกเรยนแบงกลมคนหาโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ กลมละ 3 ขอ จดทำาเปนรายงานสงคร

ภาระงาน โจทยปญหาเกยวกบการหาคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษา“องกฤษ”

ผลการเรยนร ใชกระบวนการแปลความหมายจากภาษาองกฤษเปนภาษาไทยอธบายวธการแกโจทยปญหา เกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดผลงานทตองการ โจทยปญหาเกยวกบการหาคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษขนตอนการทำางาน 1. นกเรยนศกษาหลกเกณฑและวธการแกโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสด

2. คนควาโจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดทเปนภาษาองกฤษ กลมละ 3 ขอ จากแหลง ความรตางๆ

3. แปลความหมายของโจทยและวธทำา พรอมทงศกษาการใชภาษาองกฤษในการอธบาย

4. เขยนคำาศพทภาษาองกฤษทสำาคญพรอมคำาแปลไวในภาคผนวกทายรายงานเกณฑการประเมน 1. ความถกตองในการแกโจทยปญหาและการแปลความหมาย

2. ความนาสนใจในการนำาเสนอ3. ความสะอาดเรยบรอย


145







บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน

146



ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................




การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

147







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

148



แผนการจดการเรยนรท 2/8 เรอง ปฏยานพนธและปรพนธไมจำากดเขต



หาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดใหได1.2 จดประสงคการเรยนร

149


หาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดใหได


ปฏยานพนธ2.2 ทกษะ / กระบวนการ


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช4) ทกษะการคดสรปความ


1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.9 และ 2.102) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม



3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชนทกำาหนดให

150






ให f (x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F1(x) = x2 3xจะได F1(x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F2(x) = x2 3x + 2จะได F2(x) = 2x 3พจารณาฟงกชน F3(x) = x2 3x 5จะได F3(x) = 2x 3ครใหนกเรยนสงเกตวา ฟงกชน F1(x), F2(x) และ F3(x) ตางมอนพนธ

เปน 2x 3 เทากน โดยฟงกชนทงสามจะตางกนเฉพาะคาคงตวเทานนเราเรยก F1(x), F2(x) และ F3(x) วาปฏยานพนธของ f (x) = 2x 3

5.2 ขนสอน


151


ปฏยานพนธ1. ครบอกบทนยามของปฏยานพนธดงน

บทนยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของ f ถา F (x) = f (x)

สำาหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f2. ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบายบทนยามของปฏ

ยานพนธ1) จงแสดงวา F(x) = x3 3x2+ 9x 6 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2 6x + 9

วธทำา F(x) = x3 3x2+ 9x 6F(x) = 3x2 6x + 9

F(x) = f (x)นนคอ F(x) = x3 3x2+ 9x 6 เปนปฏยานพนธ

ของ f(x) = 3x2 6x + 92) จงแสดงวา F1(x) = x3+ 3x2+ 9x + 5 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

และ F2(x) = x3+ 3x2+ 9x 10 เปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

วธทำา จาก F1(x) = x3+ 3x2+ 9x + 5จะได F1(x) = 3x2+ 6x + 9 = f (x)จาก F2(x) = x3+ 3x2+ 9x 10จะได F2(x) = 3x2+ 6x + 9 = f (x)นนคอ F1(x) และ F2(x) ตางเปนปฏยานพนธของ

f(x) = 3x2+ 6x + 9* ครแนะนำาวา F1(x) และ F2(x) ตางกนเฉพาะคาคงตว

และทง F1(x) และ F2(x) ตางเปนปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

ดงนน F(x) = x3+ 3x2+ 9x + c เมอ c เปนคาคงตว เปนรปทวไปของปฏยานพนธของ f(x) = 3x2+ 6x + 9

3. ครสรปวาในการหาปฏยานพนธ เมอกำาหนดฟงกชน f



ทกษะการคดสรปความ

152


เราจะตองพยายามหาฟงกชน Fซง F (x) = f(x) และตอบในรปทวไปของปฏยานพนธของ f คอฟงกชน y = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว

4. ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) กำาหนดให f(x) = x 1

วธทำา ให F(x) = x2 x จะได F (x) = x 1

F1(x) = x2 x + 2 จะได F2(x) = x 1

F2(x) = x2 x 5 จะได F2(x) = x 1


153


F3(x) = 2x2 x จะได F3(x) = 4x 1F4(x) = x2 x จะได F4(x) = 2x 1

จะเหนวา F1, F2 ตางเปนปฏยานพนธของ f(x) = x 1

นนคอ F(x) = x2 x + c เมอ c เปนคาคงตว

เปนรปทวไปของปฏยานพนธ ของ f(x) = x 12) จงหาฟงกชน F เมอกำาหนด F (x) = 6x2

วธทำา ให F1(x) = x3 จะได F1(x) = 3x2

F2(x) = 2x3 จะได F2(x) = 6x2

นนคอ F(x) = 2x3+ c เมอ c เปนคาคงตว

3) จงหาฟงกชน F เมอกำาหนด F (x) =

วธทำา จาก F (x) = = x5

ลองให F1(x) = x4 จะได F1(x) = 4x5

F2(x) = x4 จะได F2(x) = (4x5) = x5

F3(x) = x4 จะได F3(x) = (4x5) = x5

นนคอ F(x) = x4+ c เมอ c เปนคา

คงตว หรอ F(x) = 5. ครสรปขนตอนการหาปฏยานพนธของฟงกชน ดงน

ขนท 1 กำาหนด f(x)ขนท 2 ลองให y = F(x)ขนท 1 หา F (x)ขนท 2 ทดสอบวา F (x) = f(x) หรอไม



154


(1) ถา F (x) = f(x) แลว y = F(x) + c เปนรปทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f

(2) ถา F (x) f(x) ใหดำาเนนการตามขนตอนท 2 ใหมจากนน ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 2.9

ปรพนธไมจำากดเขต6. ครแนะนำาใหนกเรยนรจกสญลกษณ f(x)dx เปนรป

ทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f อานวา ปรพนธไม“จำากดเขตของฟงกชน f เทยบกบตวแปร x”ดงนน ถา F (x) = f(x) ถา แลว

จะไดวา f(x)dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว* ปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชน f คอปฏยานพนธของฟงกชน f นนเอง


155


7. ครสรปเปนบทนยาม ดงนบทนยาม เมอ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจำานวนจรง

และ F (x) = f(x) สำาหรบทก x ทอยในโดเมนของ f

ปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชน f เขยนแทนดวย f(x)dx

โดยท f(x)dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตวใดๆกระบวนการหา f(x)dx เรยกวา การหาปรพนธเครองหมาย เรยกวา เครองหมายปรพนธเรยก f(x) วา ปรพนธdx เปนสญลกษณทบอกวา การหาปรพนธนเทยบกบตวแปร x

8. ครใหนกเรยนศกษาสตรเกยวกบการหาปรพนธและตวอยางการใชสตรตางๆ (ตวอยางท 1) ตามรายละเอยดในหนงสอเรยน

* จากตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน ขอทเปนการหาปรพนธไมจำากดเขตของผลบวกหรอผลตางของฟงกชน (ขอท 5-6) จะเหนวามการบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เชน

(2x + 3x2)dx = 2xdx + 3x2dx= 2 xdx + 3 x2dx= เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตว= x2+ x3+ (2c1+ 3c2)= x2+ x3+ c เมอ c = 2c1+ 3c2

ครควรแนะนำาวา แทนทจะบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เราอาจบวกคาคงตวเพยง



156


ตวเดยวเทานน จะทำาใหหาปรพนธไดสะดวกและรวดเรวขน ดงน

(2x + 3x2)dx = 2xdx + 3x2dx= 2 xdx + 3 x2dx

=

= x2+ x3+ c


157


9. ครอธบายสตร undu = + c โดยบอก

หลกในการใชสตร ดงน

การใชสตร undu = + cมกจะจดใหอยในรป (axm+ b) n xm1dx โดยท u = axm+ bและตองทำา xm1dx ในรป du จงจะใชสตร undu =

+ c ได

ครใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) จงหา (3x + 2)3dx

วธทำา ให u = 3x + 2 = 3 หรอ dx = du

(3x + 2)3dx = u3

= u3du

=

= u4+ c

= (3x + 2)4+ c

2) จงหา วธทำา ให u = 4x3+ 2

= 12x2 หรอ x2dx =

=

=


158


=

=

=

=


159


3) จงหา

วธทำา ให u = x2+ 2x + 1 = 2x + 2 = 2(x + 1)

(x + 1)dx =

=

=

=

= =

10. ครอธบายการหาปฏยานพนธของฟงกชน f เมอโจทย

กำาหนด = f(x) มาให ดงน

จาก = f(x)

dx = f(x)dxหรอ y = f(x)dx

โดยใชตวอยางตอไปนประกอบการอธบาย1) จงหาสมการเสนโคง y = f(x) ซงมความชน ณ

จด (x, y) ใดๆ บนเสนโคงเทากบ 4x 1 และผานจด (2, 1)วธทำา ความชนของเสนโคง ณ จด (x, y) ใดๆ คอ



160


เพราะฉะนน = 4x 1y = (4x 1)dx

y =

y = 2x2 x + cเนองจากเสนโคงผานจด (2, 1)


161


ดงนน 1 = 2(2)2 2 + cจะได c = 5ดงนน สมการเสนโคงคอ y = 2x2 x 5

2) ความชนของเสนโคงเสนหนงทจด (x, y) ใดๆ เทากบ x + ถาเสนโคงนผานจด (1, 4) จงหาสมการของเสนโคงน

วธทำา ความชนของเสนโคงทจด (x, y) ใดๆ คอ

ดงนน =

y =

y =

y = เนองจากเสนโคงผานจด (1, 4)

ดงนน 4 =

จะได c =

ดงนน สมการเสนโคงคอ y =

3) อนภาคชนหนงเคลอนทจากจดๆ หนง เมอเวลาผานไป t วนาท อนภาคมความเรว v = 4t3+ 2t 1 เมตรตอวนาท ขณะทเรมตนจบเวลา อนภาคเคลอนทไดทาง4 เมตร จงหาระยะทางทอนภาคเคลอนทหางจากจดเรมตนเมอ t = 3 วนาทวธทำา จากกำาหนด v = 4t3+ 2t 1

ดงนน s = t4+ t2 t + c



162


……….(1)ขณะเรมตนจบเวลาคอ t = 0 และ s = 4ดงนน 4 = 04 + 02 0 + c

c = 4จาก (1) จะได s = t4+ t2 t + 4เมอ t = 3; s = 34+ 32 3 +

4 = 91นนคอ เมอ t = 3 วนาท อนภาคเคลอนทหาง

จากจดเรมตน 91 เมตร


163


4) ในเวลา t วนาท รถไฟวงดวยความเรง a เมตรตอวนาท2

โดยท a(t) = 12t2+ 6t + 10 ถา t = 0 วนาท รถไฟวงไดทาง 10 เมตร ดวยความเรว v เทากบ 0 เมตรตอวนาทจงหาวาเมอ t = 5 วนาท รถไฟวงไดทางเทาไรวธทำา จาก a(t) = 12t2+ 6t + 10

ดงนน v(t) = (12t2+ 6t + 10)dt

v(t) = 4t3+ 3t2 + 10t + c1 ……….(1)

จากโจทย ถา t = 0 แลว v = 0ดงนน 0 = 4(0)3+ 3(0)2+

10(0) + c1จะได c1 = 0จาก (1); v(t) = 4t3+ 3t2 +

10tเนองจาก v = เมอ s แทนระยะทาง

ดงนน s(t) = t4+ t3+ 5t2+ c2 ……….(2)

จากโจทย ถา t = 0 แลว s = 10ดงนน 10 = 04+ 03+ 5(0) 2+

c2จะได c2 = 10จาก (2) จะได s(t) = t4+ t3+ 5t2+ 10เมอ t = 5; s(5) = 54+ 53+

5(5)2+ 10= 625 + 125 + 125 +10



164


= 885ดงนน เมอ t = 5 วนาท รถไฟวงไดทาง 885

เมตร11. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 2.10 กลมละ 3 ขอ

โดยวธจบฉลาก แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนบทนยามของปรพนธไมจำากดเขต โดยยำาใน

ประเดนทวา

1) การหาปรพนธของพจนยอยๆ ตองจดใหอยในรปของสตร

xndx = + c

เชน dx ตองจดรปเปน x5dx แลวหาปรพนธตามสตร

2) การหาปรพนธไมจำากดเขตของผลบวกหรอผลตางของฟงกชน แทนทจะบวกคาคงตวเมอหาปรพนธไมจำากดเขตของแตละฟงกชน เราอาจบวกคาคงตวเพยงตวเดยวเทานน

3) ทบทวนสตรตางๆ ของการหาปรพนธ แลวสรปวาเราสามารถนำาสตรการหาปรพนธไปใชประโยชนในการหาสมการเสนโคง การหาความเรวจากการเคลอนทเมอกำาหนดความเรงขณะเวลา t ใดๆ

6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ


6.2 แหลงการเรยนร

165


1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร


ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาและรวบรวมสตรเกยวกบการหาปรพนธอนๆ เพม

เตมใหไดมากทสด และตวอยางวธการใชสตรดงกลาว

เชน = ln |x| + c

= ln |u| + ceudu = eu+ caudu = + c เมอ a 0 และ a 1

ขนวเคราะหใหนกเรยนแสดงวธการใชสตรและวเคราะหวาสตรแตละแบบใชกบฟงกชน

ชนดใดบางขนสรปใหนกเรยนเขยนสตรและตวอยางการหาปรพนธจากสตรดงกลาว จดทำาเปน

รายงานสงครขนประยกตใชครนำาผลงานทถกตองและนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน





166





บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................

167


ตำาแหนง...........................................................




การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

168







ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

169



แผนการจดการเรยนรท 2/9 เรอง ปรพนธจำากดเขตและพนททปดลอมดวยเสนโคง



1) หาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดใหได2) หาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดใหได

1.2 จดประสงคการเรยนร1) หาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดใหได2) หาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดใหได


1) ปรพนธจำากดเขต2) พนททปดลอมดวยเสนโคง

2.2 ทกษะ / กระบวนการ1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา

170


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช4) ทกษะการคดสรปความ


1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 2.11 และ 2.122) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม



3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาปรพนธจำากดเขตของฟงกชนบนชวงทกำาหนดให2) นกเรยนรวธหาพนททปดลอมดวยเสนโคงบนชวงทกำาหนดให




5.กจกรรมการเรยนการสอนเพอการเรยนร

171


5.1 ขนนำาครทบทวนวธการหาปรพนธไมจำากดเขต โดยใหนกเรยนทำาโจทยตอไปน

1) จงหา

วธทำา =

=

=

=

2) จงหา

วธทำา =

=

=

=

5.2 ขนสอน


172


ปรพนธจำากดเขต

1. ครแนะนำาวา เปนสญลกษณทใชแทนปรพนธ

จำากดเขตของฟงกชนตอเนอง f บนชวง [a, b] และอธบายทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ดงนทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส

กำาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว

= F(b) F(a)2. จากทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ครสรปเปนขนตอน

การหาปรพนธจำากดเขตไดดงน1) หา F(x) ซงเปนรปทวไปของปฏยานพนธของ f(x)2) หา F(b) F(a)3) จะได = F(b) F(a)

* ครแนะนำาวา เราจะเขยนแทน F(b) F(a) ดวย

สญลกษณ F(x)



173

ba

ba


นนคอ = F(x) = F(b) F(a)

3. ครอธบายการหาปรพนธจำากดเขตโดยใชทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส โดยใชตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน แลวใหแนวคดเพมเตมวาในการหาปรพนธจำากดเขตของฟงกชน f โดยใชทฤษฎบทหลกมลน ตองหาปฏยานพนธของฟงกชน f กอน โดยไมตองบวกคาคงตว c เพราะเมอแทนคา x = b และ x = a ใน F(x) แลวหา F(b) F(a) คาคงตว c จะลบกนหมดไป


174


4. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตม

1) จงหา 1 2(x2+2)dx

วธทำา เนองจาก f(x) = x2+2 เปนฟงกชนตอเนองใน R

ดงนน ฟงกชน f จงเปนฟงกชนตอเนองในชวง [1, 2]

1 2(x2+2)dx =

=

=

=

2) จงหา 2

1

วธทำา เนองจาก f(x) = x2+ เปนฟงกชนตอ


175

21


เนองใน R {0}ดงนน ฟงกชน f จงเปนฟงกชนตอเนองในชวง [

2, 1]เนองจากปฏยานพนธของฟงกชน f(x) = x2+

x3 คอ

F(x) = =

ดงนน 2

1 =

=

=

=

176

12


=

=


177


3) จงหา 0 1x2(x21) 2dx

วธทำา 0 1x2(x21) 2dx = 0

1x2(x42x2+ 1)dx= 0

1(x62x4+ x2)dx

=

=

=

5. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรมท 2.11 แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

พนททปดลอมดวยเสนโคง6. ครแนะนำาวาเราสามารถนำาความรเกยวกบปรพนธจำากด

เขตมาชวยในการหาพนททปดลอมดวยเสนโคง โดยใชทฤษฎบทตอไปน


178

10


ทฤษฎบท เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยกราฟของ f จาก x = a ถง x = b 1. ถา f(x) 0 สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง

[a, b] และ A เปนพนทเหนอแกน X แลว A =

a bf(x)dx

2. ถา f(x) 0 สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a, b] และ A เปนพนท

ใตแกน X แลว A = a bf(x)dx

7. จากทฤษฎบทในขนนำา ครอธบายเพมเตมวา ถาฟงกชน y = f(x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] พนททปดลอมดวยเสนโคงของ y = f(x) จาก x = a ถง x = b หมายถงพนทบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f, แกน X, เสนตรง x = a และเสนตรง x = b

8. ครใหนกเรยนศกษาลกษณะของพนททปดลอมดวยเสนโคงทอยเหนอแกน X หรออยใตแกน X จากรปในหนงสอเรยน

9. ครใชตวอยางท 1 และตวอยางท 2 อธบายวธการหาพนททปดลอมดวยเสนโคงโดยใชทฤษฎบทขางตน


179


10. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 9 x2 จาก x = 2 ถง x = 1

วธทำา กราฟของ f เปนรปพาราโบลาควำา และ f(x)

0 สำาหรบทก x ในชวง[2, 1]

ให A แทนพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 9 x2

จาก x = 2 ถง x = 1 จะได A =

2 1(9 x2)dx

=


180

12


=

= = 24 ตารางหนวย

2) จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 2x + 3 แกน X และเสนตรง x = 1, x = 3

วธทำา


181


พนทสวนทแรเงา = 1

3(x2 2x + 3)dx

=

= (9 9 + 9)

= 9 = 9 + 4

= 13 ตารางหนวย

11. ในหวขอการหาพนทระหวางเสนโคงสองเสน ครอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน1) จงหาพนทระหวางเสนโคง y = 3x x2 และเสนตรง y = 4 2x

วธทำา


182

31


หาจดตดระหวางเสนโคงกบเสนตรงy = 3x x2y = 4 2x

จะได 3x x2 = 4 2xx2 5x + 4 = 0

(x 4)(x 1) = 0x = 1, 4y = 2, 4

จดตดคอ (1, 2) และ (4, 4)


183


พนทระหวางเสนโคง = 1 4 [(3x x2) (4

2x)]dx= 1

4 (5x x2 4)dx

=

=

=

=

=

= ตารางหนวย

2) จงหาพนทระหวางเสนโคง y = 2x2 4x + 6 และ y = 1 + 4x x2

วธทำา หาจดตดของเสนโคง y = 2x2 4x + 6

ทกษะการคดวเคราะห

ทกษะการคดประยกตใช

184

41


และ y = 1 + 4x x2

จะได 2x2 4x + 6 = 1 + 4x x2

3x2 8x + 5 = 0(3x 5)(x 1) = 0

x = , 1

พนทระหวางเสนโคง = 1 [(1 + 4x x2)

(2x2 4x + 6)]dx= 1 (3x2+ 8x 5)dx

= [x3+ 4x2 5x]

= (1 + 4 5)

= (2)

185

53

53

153


กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคด

แบบ

= + 2

= ตารางหนวย

12. ครใหนกเรยนแบงกลมชวยกนทำากจกรรมท 2.12 แลวนำาคำาตอบทไดมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนในประเดนตอไปน

1) ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส โดยครยำาวา

= F(b) F(a)ในการหา F(b) F(a) เพอความรวดเรวในการคำานวณ ไมจำาเปนตอง

เขยนคาคงตว c เนองจากเมอแทนคา x = b และ x = a ใน F(x) แลวหา F(b) F(a) คา c จะลบกนหมดไป

2) หลกในการหาพนททปดลอมดวยเสนโคง6.1 สอการเรยนร




186









187


บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................



188




การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง


189






ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง


190



การประเมนและสะทอนตนเองหลงเสรจสนการเรยนในหนวยการเรยนรท 2(Self Reflection)

1. การประเมนตนเองของผเรยน ใหดำาเนนการดงน1.1 ครทบทวนผลการเรยนรประจำาหนวยการเรยนรทกขอ ใหนกเรยนไดทราบ

โดยอาจเขยนไวบนกระดาน พรอมทงทบทวนถงหวขอกจกรรมการเรยนวาไดเรยนอ ะ ไ ร บ า ง

1.2 ใหนกเรยนเขยนบนทกการประเมนตนเองไวในสมดงานดานหลงตามหวขอดงน

บนทกการประเมนและสะทอนตนเองประจำาหนวยการเรยนรท 2วน/เดอน/ป ทบนทก ............... / ............... / ...............

รายการบนทก1. จากการเรยนทผานมาไดความรอะไรบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................2. ปจจบนนมความสามารถปฏบตสงใดไดแลวบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................3. สงทยงไมร ไมกระจาง ไมเขาใจ มอะไรบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................4. ผลงานหรอชนงานทเนนความภาคภมใจจากการเรยนในบทนคออะไร ทำาไมจงภาคภมใจ

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

191


2. การพฒนาการเรยนการสอนโดยใชกระบวนการวจยในชนเรยนของครชอเรองทวจย.........................................................................

1. ความเปนมาของปญหาสงทคาด

หวง...................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

สงทเปนจรง....................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

ปญหาทพบคอ................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

สาเหตของปญหาคอ......................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

แนวทางการแกปญหาคอ..............................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................2. วตถประสงคในการแกปญหา

2.1 เพอแกปญหาเรอง...................................................................................................................................................................

ของนกเรยนชน................................... หอง ...................................... จำานวน ............................ คนโดยใช.....................

192


....................................................................................................................................................................................................

2.2 เพอศกษาผลการแกปญหาเกยวกบ .....................................................................................................................................

หลงจากทไดทดลองใชวธแกปญหาโดย ...........................................................................................................................3. ขอบเขตของการแกปญหา

3.1 กลมเปาหมายในการแกปญหาคอ นกเรยนชน .............................. หอง ......................... จำานวน ........................ คน

ในภาคเรยนท .................................... ปการศกษา .................................. ทมปญหาเกยวกบ ..........................................

3.2 เนอหาทใชในการศกษาคอ เรอง .................................................................... หนวยการเรยนร ....................................

วชา ...................................................................................3.3 ระยะเวลาในการศกษา ประมาณ ............ สปดาห/เดอน ตงแตวนท .........

เดอน ............................ พ.ศ. .................ถงวนท ................ เดอน .................................... พ.ศ.

.........................4. วธดำาเนนการในการแกปญหา

4.1 เครองมอทใชในการแกปญหา คอ ......................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

ซงมขนตอนในการสรางและพฒนาดงน.......................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

............................................................................................. ......

...............................................................................................................

............................................................................... 4.2 เครองมอทใชในการเกบรวบรวมขอมลคอ

193


...............................................................................................................

....... .....................................................................................................

............................................................................................... ซงมขนตอนในการสรางและตรวจสอบคณภาพดงน

....................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

4.3 การเกบรวบรวมขอมล ไดดำาเนนการเกบรวบรวมขอมลตามวธการดงน1) นำาเครองมอทใชในการแกปญหาไปทดลองใชกบนกเรยนในเวลา

......................................................................

โดย..................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

2) นำาเครองมอเกบรวบรวมขอมลไปเกบขอมลเกยวกบ...............................................................................................

โดย..................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

4.4 การวเคราะหขอมลและการสรปผล ไดดำาเนนการวเคราะหขอมลและสรปผลดงน

....................................................................................................................................................................................................

194


.................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................5. ผลการแกปญหา

ผลการแกปญหาเกยวกบ ............................................................................................................................................................... ของนกเรยนกลมเปาหมาย ปรากฏผลดงน ...............................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

195

บทที่ 3 - คณิตศาสตร์ · Web view- หน งส อเร ยนสาระการเร ยนร เพ มเต ม คณ ตศาสตร

Documents