Top Banner
บทที3 การประยุกต์ของอนุพันธ์ ในบทนี้เราจะศึกษาการประยุกต์หลากหลายของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น เราจะใช้วิธีการของแคลคูลัส ในการวิเคราะห์ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชัน และใช้อนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการ หาผลเฉลยของ ปัญหาค่าเหมาะที่สุด (optimization problems) ซึ่งปัญหาดังกล่าว เป็น ปัญหาของการหาวิธีที่ดีที่สุดเพื่อทำบางสิ่งบางอย่าง อาทิเช่น ถ้าเวลาเป็นสิ่งสำคัญที่สุดที่เราพิจารณา เราก็จะหาวิธีที่เร็วที่สุด เพื่อทำงานให้ลุล่วง แต่ถ้าค่าใช้จ่ายเป็นสิ่งสำคัญที่สุดที่เราพิจารณา เราก็หา วิธีการที่ทำให้มีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด เพื่อทำงานให้ลุล่วง ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหาค่าเหมาะที่สุดสามารถ ลดรูปเป็นการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนช่วงบางช่วง นอกจากนี้เราจะใช้อนุพันธ์ในการ ศึกษาการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามแนวของเส้นตรง 3.1 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และความเว้า ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด คำว่า เพิ่มขึ้น ลดลง หรือ คงตัว ได้ถูกนำมาใช้อธิบายลักษณะกราฟของฟังก์ชันจากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น จากกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้สามารถอธิบายได้ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางซ้ายของ x =0 เป็นฟังก์ชันลดจาก x =0 ถึง x =2 เป็นฟังก์ชันเพิ่มจาก x =2 ถึง x =4 และเป็น ฟังก์ชันคงตัวทางขวาของ x =4 x 0 2 4 เพิ่มขึ้น ลดลง เพิ่มขึ้น คงตัว 51
39

บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

Feb 26, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

บทท 3

การประยกตของอนพนธ

ในบทนเราจะศกษาการประยกตหลากหลายของอนพนธ ตวอยางเชน เราจะใชวธการของแคลคลสในการวเคราะหฟงกชนและกราฟของฟงกชน และใชอนพนธเปนเครองมอทางคณตศาสตรในการหาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด (optimization problems) ซงปญหาดงกลาว เปนปญหาของการหาวธทดทสดเพอทำบางสงบางอยาง อาทเชน ถาเวลาเปนสงสำคญทสดทเราพจารณาเรากจะหาวธทเรวทสด เพอทำงานใหลลวง แตถาคาใชจายเปนสงสำคญทสดทเราพจารณา เรากหาวธการททำใหมคาใชจายนอยทสด เพอทำงานใหลลวง ในทางคณตศาสตร ปญหาคาเหมาะทสดสามารถลดรปเปนการหาคาสงสดหรอคาตำสดของฟงกชนบนชวงบางชวง นอกจากนเราจะใชอนพนธในการศกษาการเคลอนทของอนภาคตามแนวของเสนตรง

3.1 ฟงกชนเพม ฟงกชนลด และความเวา

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

คำวา เพมขน ลดลง หรอ คงตว ไดถกนำมาใชอธบายลกษณะกราฟของฟงกชนจากซายไปขวาตวอยางเชน จากกราฟของฟงกชนตอไปนสามารถอธบายไดวาฟงกชนเปนฟงกชนเพมทางซายของx = 0 เปนฟงกชนลดจาก x = 0 ถง x = 2 เปนฟงกชนเพมจาก x = 2 ถง x = 4 และเปนฟงกชนคงตวทางขวาของ x = 4

x0 2 4

เพมขน ลดลง เพมขน คงตว

51

Page 2: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 52

กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และให x1 และ x2 เปนจดในชวง I

(a) f เปน ฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I ถา f(x1) <

f(x2) เมอ x1 < x2

(b) f เปน ฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I ถา f(x1) >

f(x2) เมอ x1 < x2

(c) f เปน ฟงกชนคงตว (constant function) ถา f(x1) = f(x2) สำหรบทกคา x1 และ x2

บทนยาม 3.1

กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b)

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]

(c) ถา f ′(x) = 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]

ทฤษฎบท 3.1

ถงแมวาทฤษฎบท 3.1 จะกำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] แตเราสามารถใชทฤษฎบท 3.1 กบฟงกชนทตอเนองบนชวงใดๆ เชนถา f ตอเนองบนชวง [a,+∞) และf ′(x) > 0 บนชวง (a,+∞) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a,+∞) และถา f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) และ f ′(x) < 0 บนชวง (−∞,+∞) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง(−∞,+∞)

จงหาชวงททำให f(x) = 3x4+4x3−12x2−5 เปนฟงกชนเพม และชวงททำให f(x)

เปนฟงกชนลด

ตวอยาง 3.1

วธทำ

Page 3: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 53

ความเวา

แมวาอนพนธของฟงกชน f จะบอกชวงททำใหกราฟของ f มลกษณะเพมขนหรอลดลง แตไมไดบอกวากราฟมลกษณะโคงแบบใด ตวอยางเชนกราฟของรปท 3.1 ทงสองกราฟ มลกษณะเพมขน แตมลกษณะของโคงไมเหมอนกน กราฟทางดานซายมอมลกษณะเวาอยดานบน ในขณะทกราฟทางดานขวามอมลกษณะเวาอยดานลาง สำหรบชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานบนเรากลาววา f เวาบน (concave up) บนชวงนน และชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานลาง จะกลาววา f เวาลาง (concave down) บนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 3.1:

รปท 3.2 ชวยใหเราสามารถพจารณาความเวาของฟงกชนบนชวงเปดใดๆ ดงน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถาความชนของเสนสมผสโคงเพมขนบนชวงนน และ f เวาลางถาความชนของเสนสมผสโคงลดลงบนชวงนน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถากราฟของ f อยบนเสนสมผสโคงบนชวงนน และ f เวาลางถากราฟของ f อยลางเสนสมผสโคงบนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 3.2:

ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเปด I ใดๆ แลว

(a) f จะ เวาบน(concave up) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวง I

(b) f จะ เวาลาง(concave down) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนลดบนชวง I

บทนยาม 3.2

Page 4: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 54

เนองจากความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน f ซงเปนฟงกชนทหาอนพนธได คอคาของอนพนธ f ′ และจากทฤษฎบท 3.1 จะไดวา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวงท f ′′ มคาเปนบวกและ f ′ เปนฟงกชนลดบนชวงท f ′′ มคาเปนลบ ดงทกลาวในทฤษฎบทตอไปน

กำหนดให f ′′ หาคาไดบนชวงเปด I ใดๆ

(a) ถา f ′′(x) > 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาบนบนชวง I

(b) ถา f ′′(x) < 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาลางบนชวง I

ทฤษฎบท 3.2

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปดใดๆ ทบรรจคา c และถา f มการเปลยนความเวาทจด (c, f(c)) แลว f จะม จดเปลยนเวา (inflection point) ท c และจะเรยกจด (c, f(c)) บนกราฟของ f วา จดเปลยนเวาของ f

บทนยาม 3.3

จงพจารณาความเวาของฟงกชน f(x) = x4 − 6x2 + 3 และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

ตวอยาง 3.2

วธทำ

Page 5: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 55

y

x

1

−1

−2

1 2 3 4−1−2

จากรปสงเกตไดวาฟงกชน f(x) = xe−x มจดเปลยนเวา แตเราไมสามารถหาไดบอกไดวาคอจดอะไร จงใชอนพนธอนดบหนงและอนพนธอนดบสองของ f หาชวงททำให f

เปนฟงกชนเพม ฟงกชนลด และชวงท f เวาบน เวาลาง พรอมทงหาจดเปลยนเวา

ตวอยาง 3.3

วธทำ

Page 6: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 56

3.2 คาสดขดสมพทธและกราฟของฟงกชน

คาสดขดสมพทธ

1. f(c) จะเปน คาสงสดสมพทธ (relative maximum หรอ local maxi-mum) ของ f ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก

(

c, f(c))

วา จดสงสดสมพทธ

2. f(c) จะเปน คาตำสดสมพทธ (relative minimum หรอ local mini-mum) ของ f ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมพทธ

ถา f มคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธท c แลวเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมพทธ (relative extremum) ท c

บทนยาม 3.4

y

xab

cd

b

b

b

b

คาสงสดสมพทธ[

f ′(a) หาคาไมได]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(b) หาคาไมได]

คาสงสดสมพทธ[

f ′(c) = 0]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(d) = 0]

รปท 3.3: คาสดขดสมพทธ

รปท 3.3 แสดงกราฟของฟงกชนทมคาสดขดสมพทธหลายคาดวยกน นอกจากน จากรปเราสงเกตไดวา คาสดขดสมพทธแตละคาจะเกดทจดทมเสนสมผสในแนวนอน

(

นนคอ f ′(x) = 0)

หรอทจดทมเสนสมผสในแนวยน

(

นนคอ f ′(x) หาคาไมได)

ดงนนเราจงกำหนดชอใหกบจดดงกลาวดงบทนยามตอไปน

คาวกฤต (critical number) ของฟงกชน f คอคา c ทอยในโดเมนของ f ททำให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

บทนยาม 3.5

Page 7: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 57

ถา f มคาสดขดสมพทธท c แลว c เปนคาวกฤตของ f

ทฤษฎบท 3.3 (ทฤษฎบทของแฟรมา (Fermat’s Theorem))

จงหาคาวกฤตของ f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 5

ตวอยาง 3.4

วธทำ

จงหาคาวกฤตของ f(x) = (2x+ 3)2/3

ตวอยาง 3.5

วธทำ

จงหาคาวกฤตของ f(x) =x2 + 3

x+ 1

ตวอยาง 3.6

วธทำ

Page 8: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 58

ทฤษฎบทของแฟรมากลาวแตเพยงวา คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตไมไดกลาววา จะมคาสดขดสมพทธท ทกคาวกฤต ตวอยางเชนจากฟงกชน f(x) = x3 ซงมกราฟดงรป

y

x−2 2

2

−2

เราไดวา f ′(x) = 3x2 ดงนน x = 0 เปนคาวกฤตเพยงคาเดยวของ f และจากกราฟจะเหนไดวาณคาวกฤต ฟงกชนไมไดใหคาสดขดสมพทธ

กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (a, b) และ c ∈ (a, b) เปนคาวกฤตของ f

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากบวกเปนลบท c)

แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของx ∈ (c, b)

(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากลบเปนบวกท c)

แลว f มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(x) มเครองหมายเหมอนกนบนชวง (a, c) และ (c, b)(

นนคอ f ′ มเครองหมายบวกทงสองดานของ c หรอมเครองหมายลบทงสองดานของ c

)

แลวf ไมมคาสดขดสมพทธท c

ทฤษฎบท 3.4 (การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test))

รปภาพตอไปนจะชวยใหเขาใจทฤษฎบท 3.4 มากขนy

x0 c

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0

(a) f มคาสงสดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0 f ′(x) > 0

(b) f มคาตำสดสมพทธ

Page 9: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 59

y

x0 c

f ′(x) > 0

f ′(x) > 0

(c) f ไมมคาสดขดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0

f ′(x) < 0

(d) f ไมมคาสดขดสมพทธ

จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชนในตวอยาง 3.1

ตวอยาง 3.7

วธทำ

จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x(x− 1)3

ตวอยาง 3.8

วธทำ

Page 10: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 60

ทฤษฎบทตอไปเปนอกวธหนงทสามารถนำมาพจารณาหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน f

กำหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธอนดบสองท c

(a) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) < 0 แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) > 0 แลว f(c) มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) = 0 แลวการทดสอบนไมสามารถหาขอสรปได นนคอf อาจจะมคาสงสดสมพทธ หรอคาตำสดสมพทธ หรอไมมคาสดขดสมพทธท c

ทฤษฎบท 3.5 (การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง (Second Derivative Test))

จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x) = 3x5 − 5x3

ตวอยาง 3.9

วธทำ

Page 11: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 61

กราฟของฟงกชนพหนาม

ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนทงายทสดสำหรบการวาดกราฟและวเคราะหกราฟ นนคอ การหาจดตดแกนพกด การหาคาสดขดสมพทธ การหาจดเปลยนเวา และลกษณะของกราฟเมอ x → +∞และเมอ x → −∞ สมบตตอไปนเปนสมบตทวไปของฟงกชนพหนาม

• โดเมนของฟงกชนพหนามคอ (−∞,+∞)

• ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนองททกจด

• ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนทหาอนพนธไดททกจด และกราฟของฟงกชนพหนามไมหกมมและไมมเสนสมผสกราฟในแนวยน

• กราฟของฟงกชนพหนามทไมใชศนยจะเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกดเมอ x → +∞และเมอ x → −∞ เนองจากลมตของฟงกชนพหนามทไมใชศนยเมอ x → +∞ หรอเมอ x → −∞ มคาเทากบ ±∞ ขนกบเครองหมายของพจนทมเลขชกำลงมากทสด

• กราฟของฟงกชนพหนามทมเลขชกำลง n (> 2) จะมจดตดแกน x อยางมากทสด n จดมคาสดขดสมพทธอยางมากทสด n − 1 คา และมจดเปลยนเวาอยางมากทสด n − 2 จดเนองจากจดตดแกน x คาสดขดสมพทธ และจดเปลยนเวาของฟงกชนพหนาม p(x) เปนผลเฉลยของสมการ p(x) = 0, p′(x) = 0 และ p′′(x) = 0 ซงเปนฟงกชนพหนามทมเลขชกำลง n, n− 1 และ n− 2 ตามลำดบ

กำหนดฟงกชน f(x) = x4 − 4x3 + 12

• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม) ของ f

• จงหาชวงททำใหกราฟของ f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของ f โดยใชขอมลทหาไดขางตน

ตวอยาง 3.10

วธทำ

Page 12: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 62

3.3 คาสงสดและคาตำสดสมบรณ

กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนสบเซตของจำนวนจรง D (โดเมนของ f) และc ∈ D

(a) f ม คาสงสดสมบรณ (absolute maximum หรอ global maximum)ท c ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในโดเมน D และเราเรยก f(c)

วา คาสงสด (maximum value) ของ f บน D และเรยกจด(

c, f(c))

วาจดสงสดสมบรณ ของ f บน D

(b) f ม คาตำสดสมบรณ (absolute minimum หรอ global minimum) ทc ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคา x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาตำสด (minimum value) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมบรณ ของ f บน D

และเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมบรณ (absolute extremum) ท c ถา f มคาสงสดสมบรณหรอคาตำสดสมบรณท c

บทนยาม 3.6

รปท 3.4 แสดงกราฟของ f ทมจด(

b, f(b))

เปนจดสงสดบนกราฟ และมจด(

e, f(e))

เปนจดตำสด ดงนน f มคาสงสดสมบรณท x = b และมคาตำสดสมบรณท x = e

x

y

a b c d e

b

b

(

b, f(b))

(

e, f(e))

รปท 3.4: คาสงสด f(b), คาตำสด f(e)

เราอาจจะมคำถามวา ฟงกชนทกฟงกชนมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณหรอไม? คำตอบคอไม ซงพจารณาไดจากกราฟของฟงกชนตอไปน

Page 13: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 63

c

f(c)

y

x

b

y = f(x)

(a)

c

f(c)

y

x

by = f(x)

(b)

รปท 3.5: (a) คาตำสดสมบรณ (b) คาสงสดสมบรณ

จากรปท 3.5(a) พบวาฟงกชน f ไมมคาสงสดสมบรณ แตมคาตำสดสมบรณท x = c

สำหรบรปท 3.5(b) เปนกราฟของฟงกชน f ทไมมคาตำสดสมบรณ แตมคาสงสดสมบรณทx = c

จากตวอยางกราฟขางตนนำไปสคำถามวา เมอใดฟงกชนทเราพจารณาจะมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ? ทฤษฎบทตอไปนจะตอบคำถามดงกลาว

ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาสงสดสมบรณ f(c) และคาตำสดสมบรณ f(d) ทจด c และ d บางจดในชวง [a, b]

ทฤษฎบท 3.6 (ทฤษฎบทคาสดขด (Extreme Value Theorem))

พจารณากราฟตอไปนy

x

b

b

| |

a c d b

y

x

b

b

|

a c d = b

y

x

b

b

| |

a c1 d c2 b

จะเหนวาแตละกราฟสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 3.6 ดงนนแตละกราฟจะมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณ

แตถาฟงกชนใดขาดสมมตฐานใดสมมตฐานหนงในทฤษฎบท 3.6 แลวฟงกชนนนไมจำเปนตองมคาสงสดสมบรณ หรอคาตำสดสมบรณ ดงตวอยางกราฟตอไปน

Page 14: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 64

y

x

fb

b

bc

b|

+

0 2

1

3

ฟงกชนมคาตำสดสมบรณ f(2) = 0

แตไมมคาสงสดสมบรณ

y

x

g

1

1 bc

0

ฟงกชนตอเนอง g ไมมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ

ทฤษฎบทคาสดขดกลาวแตเพยงวา ฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ แตไมไดบอกเราวาจะหาคาเหลานไดอยางไร? ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงตำแหนงทมคาสดขดสมบรณของฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b]

ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f จะเกดขนทจดปลายของชวง (a หรอ b) หรอทคาวกฤตของ f

ทฤษฎบท 3.7

จากทฤษฎบท 3.7 ทำใหเราไดขนตอนของการหาคาสดขดสมบรณของฟงกชนตอเนอง f บนชวงปด [a, b] ดงน

ขนตอนท 1 หาคาวกฤตของ f ในชวง (a, b)

ขนตอนท 2 คำนวณคาฟงกชน f ทคาวกฤตทงหมด และทจดปลาย a และ b

ขนตอนท 3 คาทมากทสดทไดจากขนตอนท 2 คอ คาสงสดสมบรณของ f บนชวง [a, b] และคาทนอยทสดคอ คาตำสดสมบรณ

จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3 − 3x+ 1 บนชวงปด [0, 3]

ตวอยาง 3.11

วธทำ

Page 15: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 65

จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3/2 − 12x1/2 บนชวงปด [1, 9]

ตวอยาง 3.12

วธทำ

3.4 โจทยประยกตเกยวกบคาสงสดและคาตำสด

ในหวขอนเราจะประยกตใชวธการทกลาวมาแลว สำหรบการหาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด ซงในการหาผลเฉลยของปญหาดงกลาววธหนงทนยมใชคอ การแปลงปญหานนๆ ใหอยในรปปญหาคาเหมาะทสดเชงคณตศาสตร โดยการกำหนดฟงกชนทตองการหาคาสงสด หรอคาตำสด ดงนนการหาคาเหมาะทสดของฟงกชนสามารถเขยนเปนขนตอนไดดงน

ขนตอนการหาคาผลเฉลยของ ปญหาคาเหมาะทสด

ขนตอนท 1 อานโจทยปญหาอยางรอบคอบ พรอมทงตงคำถามวา อะไรคอสงทเราไมทราบ? อะไรคอปรมาณทโจทยกำหนดให? อะไรคอเงอนไขทโจทยกำหนดให?

ขนตอนท 2 วาดรปประกอบ (ถาวาดได)

ขนตอนท 3 กำหนดตวแปรแทนปรมาณทตองการหาคาสงสด หรอคาตำสด และแทนปรมาณตางๆทเกยวของในโจทยปญหา

ขนตอนท 4 เขยนนพจนสำหรบตวแปรทตองการหาคาสงสดหรอคาตำสดในรปของตวแปรอนๆ ในขอ 3

Page 16: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 66

ขนตอนท 5 ถาหากนพจนทไดในขนตอนท 4 เขยนอยในรปของฟงกชนทมตวแปรอสระหลายตวแปร ใหลดทอนเหลอตวแปรอสระเพยงตวแปรเดยว โดยใชเงอนไขทโจทยกำหนดให

ขนตอนท 6 ใชวธการวธการทกลาวมาแลวหาคาสงสด หรอคาตำสด

ถามวสด 1200 ตารางเซนตเมตร ในการทำกลอง ทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสแตไมมฝาปด แลวจงหาปรมาตรทมากทสดทเปนไปไดของกลอง

ตวอยาง 3.13

วธทำ

Page 17: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 67

บรษทโฆษณาแหงหนงตองการทำแผนโปสเตอรประชาสมพนธรปสเหลยมผนผาทมพนท180 ตารางนว โดยพนททใชในการพมพขอความตองเวนขอบลางและดานขางทงสองดานไว 1 นว และเวนขอบบนไว 2 นว จงหาขนาดของแผนโปสเตอรททำใหมพนททใชพมพขอความมากทสด

ตวอยาง 3.14

วธทำ

Page 18: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 68

Wb

5 km.

Ab

Pb

Bb

8 km.

จากรป แทนขดเจาะนำมนในทะเลตงอยในตำแหนง W ซงอยหางจากจด A บนชายหาดในแนวเสนตรงเปนระยะทาง 5 กโลเมตร ตองการวางทอสงนำมนจากจด W

ไปยงจด B ซงอยหางจากจด A เปนระยะทาง 8 กโลเมตร โดยจะวางทอสงนำมนใตนำจากจด W ไปยงจด P ซงอยระหวางจด A และจด B จากนนตอทอสงนำมนไปบนชายหาดไปยงจด B ถาคาใชจายในการวางทอสงนำมนใตนำคดเปน 1, 000, 000 ดอลลารตอกโลเมตร และคาใชจายในการวางทอสงนำมนบนชายหาดคดเปน 500, 000 ดอลลารตอกโลเมตร จงหาตำแหนงของจด P ททำใหเสยคาใชจายในการวางทอสงนำมนนอยทสด

ตวอยาง 3.15

วธทำ

Page 19: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 69

3.5 ทฤษฎบทของรอล และทฤษฎบทคามชฌม

ในหวขอนจะกลาวถงทฤษฎบททเรยกวา ทฤษฎบทคามชฌม ซงถอวาเปนทฤษฎบททสามารถเขาใจไดงายในเชงเรขาคณต

ทฤษฎบทของรอล

เรมดวยการกลาวถงกรณเฉพาะของทฤษฎบทคามชฌม ซงเรยกวา ทฤษฎบทของรอล (Rolle’sTheorem) โดยกลาวในเชงเรขาคณตวา ถากราฟของฟงกชนทหาอนพนธไดมคาฟงกชนทจดปลายของชวง [a, b] เทากน แลวจะมจดอยางนอยหนงจดทอยระหวางจด a และจด b ทมเสนสมผสกราฟเปนเสนตรงในแนวนอน

y

x

b b

a bc

y

x

b b

a bc

y

x

b b

a bc1

c2

รปท 3.6: ทฤษฎบทของรอล (เชงเรขาคณต)

กำหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b) ถา

f(a) = f(b)

แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) อยางนอยหนงจำนวนททำให f ′(c) = 0

ทฤษฎบท 3.8 (ทฤษฎบทของรอล)

จงหาคาของ c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทของรอลสำหรบฟงกชน

f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 2 บนชวง [0, 1]

ตวอยาง 3.16

วธทำ

Page 20: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 70

ทฤษฎบทคามชฌม

ทฤษฎบทของรอลเปนกรณเฉพาะของทฤษฎบททเรยกวา ทฤษฎบทคามชฌม (Mean-ValueTheorem) ในเชงเรขาคณตทฤษฎบทคามชฌมกลาาวา ระหวางจด A(a, f(a)) และจด B(b, f(b))

บนกราฟของฟงกชน f ทหาอนพนธได จะมจดอยางนอยหนงจดบนกราฟทมเสนสมผสกราฟขนานกบเสนตด AB

y

x

b

b

b

A(a, f(a))

a c b

B(b, f(b))

y

xa b

b

b

b

b

c1 c2

A(a, f(a))

B(b, f(b))

รปท 3.7: ทฤษฎบทคามชฌม (เชงเรขาคณต)

กำหนดให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b) แลวจะมจำนวน c ∈ (a, b) ททำให

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

ทฤษฎบท 3.9 (ทฤษฎบทคามชฌม)

จงหาคา c ทสอดคลองกบขอสรปของทฤษฎบทคามชฌม สำหรบฟงกชน

f(x) = x3 + x− 1 บนชวงปด [0, 2]

ตวอยาง 3.17

วธทำ

Page 21: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 71

3.6 อตราสมพทธ

ปญหาอตราสมพทธ (related rates problem) เปนปญหาทเกยวกบ อตราการเปลยนแปลงของปรมาณตางๆ ทมความสมพนธกน โดยทปรมาณแตละตวจะเปนฟงกชนของเวลา

ขนตอนการหาผลเฉลยของปญหาอตราสมพทธ

1. อานโจทยปญหาอยางรอบคอบ

2. เขยนรปประกอบณ เวลาใดๆ (ถาเขยนได)

3. กำหนดตวแปรแทนปรมาณตางๆ ซงเปนฟงกชนของเวลา

4. เขยนอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลาของปรมาณตางๆ ทโจทยกำหนดให และทตองการหาในรปของอนพนธ

5. เขยนสมการแสดงความสมพนธของปรมาณตางๆ ทไดจากขอ 4 ณเวลาใดๆ

6. ใชกฎลกโซหาอนพนธทงสองขางของสมการทไดจากขอ 5 เทยบกบเวลา

7. แทนคาอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา และคาของตวแปรทโจทยกำหนดให แลวหาอตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลาของตวแปรทโจทยตองการ

ถารศมของวงกลมเพมขนดวยอตรา 5 เซนตเมตรตอวนาท จงหาวาพนทของวงกลมจะเพมขนดวยอตราเทาใด? เมอรศมของวงกลมยาว 15 เซนตเมตร

ตวอยาง 3.18

วธทำ

Page 22: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 72

หลอดไฟหลอดหนงวางอยบนพน และสองไฟไปบนผนงตกทอยหางออกไป 12 เมตร ถาชายคนหนงสง 1.7 เมตร เดนจากหลอดไฟไปยงผนงดวยความเรว 1.6 เมตรตอวนาท จงหาวาความยาวของเงาของชายผนทปรากฎอยบนผนงจะลดลงดวยอตราเทาใด? เมอเขาอยหางจากผนงตก 4 เมตร

ตวอยาง 3.19

วธทำ

Page 23: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 73

บนไดยาว 10 ฟต พงอยบนฝาผนงซงตงฉากกบพนราบ ถาดงสวนปลายของบนไดออกจากผนงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาวามมระหวางสวนบนของบนไดกบผนงจะเพมขนดวยอตราเทาใด? ถามมระหวางสวนบนของบนไดกบผนงมคาเปน π/4 เรเดยน

ตวอยาง 3.20

วธทำ

Page 24: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 74

รถยนต 2 คนวงออกจากสถานทแหงหนงพรอมกน คนหนงวงไปทางทศใตดวยความเรว60 ไมลตอชวโมง อกคนหนงวงไปทางทศตะวนตกดวยความเรว 25 ไมลตอชวโมง จงหาอตราการเพมของระยะทางระหวางรถทงสองคน เมอเวลาผานไปครบ 2 ชวโมง

ตวอยาง 3.21

วธทำ

Page 25: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 75

3.7 ผลตางเชงอนพนธและการประยกต

จากหวขอทผานมา เราไดใชสญลกษณdy

dxแทนอนพนธของ y เทยบกบ x ไมใช dy หาร

ดวย dx แตในหวขอนเราจะใหความหมาย dy และ dx แยกกนให P (a, b) เปนจดคงท (fixed point) บนกราฟของสมการ y = f(x) ดงรปท 3.8(a)

b dx

dy

P (a, b)

y = f(x)

x

y

เสนสมผส

(a)

bP (a, b)

y = f(x)

x

y

a a+∆x

dy∆y

∆x

(b)

รปท 3.8:

ถา P เปนจดกำเนดของระบบแกนพกดใหม (แกน dx และแกน dy) ซงขนานกบระบบแกนพกดเดม (แกน x และแกน y) เสนสมผสกราฟทจด P จะมรปแบบสมการคอ dy = mdx

โดยท m คอ ความชนของเสนสมผส แตเนองจากความชน m ในระบบแกนพกดใหมมคาเทากบความชน m ในระบบแกนพกดเดม ดงนน m = f ′(x) และสมการเสนสมผสสามารถเขยนอยในรป

dy = f ′(a)dx

เนองดวยเสนสมผสกราฟจะอยใกลกบเสนโคงซงเปนกราฟของสมการ y = f(x) ในบรเวณทใกลกบจด P (a, b)

(

ดรปท 3.8(b))

ดงนน ถา ∆x = dx แทนสวนเปลยนแปลงของ x ทมคานอยมาก แลวสวนเปลยนแปลงของ y บนเสนโคงบนชวง [a, a+∆x] คอ

∆y = f(a+∆x)− f(a)

ในขณะทสวนเปลยนแปลงของ y บนเสนสมผสคอ

dy = f ′(a)dx

ซงจะไดวา dy เปนตวประมาณคาทดของ ∆y และงายตอการคำนวณ(

เนองจากเปนผลคณของคาคงตวกบ dx

)

Page 26: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 76

ผลตางเชงอนพนธ (Differential)

ถาฟงกชน y = f(x) หาอนพนธไดทจด x ใดๆ และให dx(

ผลตางเชงอนพนธของตวแปรอสระ x

)

แทนสวนเปลยนแปลงของ x แลวผลตางเชงอนพนธ dy ของตวแปรตาม y ถกกำหนดโดย

dy = f ′(x)dx

บทนยาม 3.7 (ผลตางเชงอนพนธ)

จงหาผลตางเชงอนพนธ dy ของฟงกชนตอไปน

(a) y = x3 − 2ex (b) y =√3x2 + x+ 1

(c) y = sin(1 + 2x) ln(x2 + 1)

ตวอยาง 3.22

วธทำ

Page 27: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 77

การประมาณคา (Approximations)

ผลตางเชงอนพนธมบทบาททสำคญในเรองของการประมาณคาดงน กำหนดให y = f(x) เปนฟงกชนใดๆ โดยมกราฟดงรป

bP (a, b)

y = f(x)

x

y

a a+∆x

dy∆y

f(a)

f(a+∆x)∆x

จากรปจะเหนไดวา ถาคา x เปลยนไปดวยปรมาณ ∆x แลวคา y จะเปลยนไปดวยปรมาณ ∆y

ซงเราสามารถประมาณคาไดดวย dy นนคอ

∆y ≈ dy หรอ f(a+∆x)− f(a) ≈ f ′(a)dx

ดงนนสำหรบจด x ใดๆบนเสนโคง จะไดวา

f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx (3.1)

จงหาคาประมาณของ√4.3 และ

√8.6

ตวอยาง 3.23

วธทำ

Page 28: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 78

จงหาคาประมาณของ (1.97)6

ตวอยาง 3.24

วธทำ

จงหาคาประมาณของ cos 62◦

ตวอยาง 3.25

วธทำ

Page 29: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 79

3.8 รปแบบยงไมกำหนด และหลกเกณฑโลปตาล

ในหวขอนเราจะกลาวถงวธการทวไปในการหาลมตโดยใชอนพนธ ซงเปนวธการทนยมใชมากในการหาลมตโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร และสามารถหาลมตไดหลากหลายรปแบบ

รปแบบยงไมกำหนด 0/0

โดยทวไปถาลมตอยในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมอ x → a แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0/0 และคาของลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได เราไดพบลมตในรปแบบนมาแลวบางในบทท 1 ตวอยางเชน

limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21= 2 และ lim

x→0

sin x

x= 1

ลมตแรกเปนลมตของฟงกชนตรรกยะ ซงหาคาลมตไดโดยการตดทอนตวประกอบรวม สำหรบลมตทสอง เราสามารถใชวธการเชงเรขาคณตในการหาคาลมต อยางไรกตามมรปแบบลมตหลายรปแบบทไมสามารถใชวธการทางพชคณต หรอวธการเชงเรขาคณตหาคาลมตได

ดงนนในหวขอนเราจะเรยนรวธการทเรยกวา หลกเกณฑโลปตาล (L’Hospital’s rule)ซงจะใชในการหาลมตในรปแบบยงไมกำหนด

สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = 0 และ limx→a

g(x) = 0

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+,x → −∞ หรอเมอ x → +∞

ทฤษฎบท 3.10 (หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0)

ตวอยางตอไปนจะใชหลกเกณฑโลปตาลในการหาคาลมต โดยมขนตอนดงน

ขนตอนท 1 ตรวจสอบวา limx→a

f(x)

g(x)อยในรปแบบยงไมกำหนด 0/0

Page 30: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 80

ขนตอนท 2 หาอนพนธของ f และ g แยกกน

ขนตอนท 3 หาคา limx→a

f ′(x)

g′(x)ถาลมตหาคาได หรอคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลวจะไดวา

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)

จงหาคาของ limx→1

x ln x

1− x

ตวอยาง 3.26

วธทำ

Page 31: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 81

จงหาคาของ limx→0

tan 2x

ln(1 + x)

ตวอยาง 3.27

วธทำ

จงหาคาของ limx→0

ex − sin x− 1

x2 − x3

ตวอยาง 3.28

วธทำ

Page 32: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 82

รปแบบยงไมกำหนด ∞∞

ถาพจารณาลมตในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → +∞ (หรอ −∞) และ g(x) → +∞ (หรอ −∞) เมอ x → a แลวจะไดวาลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได และจะเรยกลมตรปแบบลกษณะนวา รปแบบยงไมกำหนด∞/∞ เราไดพบลมตในรปแบบนมากอนแลว เชน

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x

จากหวขอ 1.3 จะไดวาลมตนสามารถหาคาได โดยการหารตวเศษและตวสวนดวย x ยกกำลงเลขชกำลงมากทสดของตวสวน นนคอ

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x= lim

x→+∞

(2x2 − 3)/x2

(3x2 − 5x)/x2

= limx→+∞

2−3

x2

3−5

x

=2− 0

3− 0=

2

3

อยางไรกตามเราไมสามารถใชวธการนกบการหาคาลมต

limx→1

ln x

1− x

แตหลกเกณฑโลปตาลสามารถนำมาใชในการหาลมตรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞

สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = ±∞ และ limx→a

g(x) = ±∞

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+,x → −∞ หรอเมอ x → +∞

ทฤษฎบท 3.11 (หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞)

Page 33: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 83

จงหาคาของ limx→0+

ln x

cot x

ตวอยาง 3.29

วธทำ

จงหาคาของ limx→0+

ln(sin x)

ln(tan x)

ตวอยาง 3.30

วธทำ

Page 34: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 84

รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞

ถา limx→a

f(x) = 0 แต limx→a

g(x) = ±∞ แลวไมมความชดเจนวา limx→a

f(x)g(x) มคาเทาไร? เรา

เรยกลมตในรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ ลมตในรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ สามารถหาคาได โดยการเขยนผลคณ fg ในรปผลหาร นนคอ

fg =f

1/gหรอ fg =

g

1/f

จากนนใชหลกเกณฑโลปตาลหาลมตสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞

จงหาคาของ limx→π/2

(tanx · ln sin x)

ตวอยาง 3.31

วธทำ

Page 35: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 85

จงหาคาของ limx→0

(

sin−1 x · csc x)

ตวอยาง 3.32

วธทำ

รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞

ถาคาลมต limx→a

[f(x)− g(x)] อยในรป

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞)

แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞ − ∞ การหาคาลมตในรปแบบน บางครงสามารถหาไดโดยการเปลยนรปลมตของผลตางเปนลมตของผลหาร ซงจะไดลมตทมรปแบบยงไมกำหนด0/0 หรอ ∞/∞

จงหาคาของ limx→0+

(

1

x−

1

sin x

)

ตวอยาง 3.33

วธทำ

Page 36: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 86

จงหาคาของ limx→4

(

1√x− 2

−4

x− 4

)

ตวอยาง 3.34

วธทำ

Page 37: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 87

รปแบบยงไมกำหนด 00,∞0, 1∞

รปแบบยงไมกำหนดหลายรปแบบเกดขนมาจากลมตในรป

limx→a

[

f(x)]g(x)

ซงแบงเปนกรณไดดงน

1. limx→a

f(x) = 0 และ limx→a

g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด 00

2. limx→a

f(x) = ∞ และ limx→a

g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด ∞0

3. limx→a

f(x) = 1 และ limx→a

g(x) = ±∞ จะไดรปแบบยงไมกำหนด 1∞

ในแตละกรณเราสามารถหาคาลมตได เรมดวยการให

y =[

f(x)]g(x)

จากนนหาลมตของ ln y เนองจาก

ln y = ln[

f(x)]g(x)

= g(x) · ln[f(x)]

ดงนนลมตของ ln y จะมรปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ ซงสามารถหาคาลมตได โดยวธการทกลาวมาขางตน หลงจากททราบคาลมตของ ln y แลวเราสามารถหาคาลมตของ y =

[

f(x)]g(x) ดง

ตวอยางตอไปน

จงหาคาของ limx→0+

(1− ex)1/ lnx

ตวอยาง 3.35

วธทำ

Page 38: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 88

จงหาคาของ limx→(π/2)−

(tanx)cos x

ตวอยาง 3.36

วธทำ

Page 39: บทที่ 3 การประยุกตของอนุพันธì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/MA216/MA216-260/stnote216... · 2018-02-18 · MA216 (Section

MA216 (Section 080001): จดทำโดย ผศ.ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 89

จงหาคาของ limx→0

(1− 2x)1/x

ตวอยาง 3.37

วธทำ