คณิต ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนาน ...คณ ต ม.ต น สอนอย างน เก งนานแล ว !! 4 โจทย

■ บรรณาธิการบริหาร สุกัญญา จารุการ หัวหน้ากองบรรณาธิการ แทนพร เลิศวุฒิภัทร บรรณาธิการเล่ม

พรรณพิมล กิจไพฑูรย์ ออกแบบปก ภาณุพันธ์ โนวยุทธ ออกแบบรูปเล่ม ธารินี คุตตะสิงคี ธุรการสำานักพิมพ์ อังคณา

อรรถพงศ์ธร ■ พิมพ์ที่ : หจก. ที. เอส. บี. โปรดักส์

จัดพิมพ์โดย สำานักพิมพ์ ส.ส.ท.

สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น) 5-7 ซอยสุขุมวิท 29 ถนนสุขุมวิท แขวงคลองเตยเหนือ เขตวัฒนา กรุงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอัตโนมัติ), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอัตโนมัติ) เสนองานเขียน • งานแปลได้ที่ www.tpa.or.th/publisher/new ติดต่อสั่งซื้อหนังสือได้ที่ www.tpabook.com

จัดจำาหน่ายโดย บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำากัด (มหาชน) อาคารทีซีไอเอฟ ทาวเวอร์ ชั้น 19 เลขที่ 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com

คณิต ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนานแล้ว !!

by… Katsuyuki Sadamatsu

แปลโดย... บดินทร์ พรวิลาวัณย์

ข้อมลูทางบรรณานกุรมของสำานกัหอสมดุแห่งชาติซาดามตัส,ึ คตัสยึุก.ิ คณติ ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนานแล้ว !!.-- กรงุเทพฯ : สมาคมส่งเสรมิเทคโนโลย ี(ไทย-ญี่ปุน่), 2557. 192 หน้า. 1. คณติศาสตร์. I. บดนิทร์ พรวลิาวณัย์, ผู้แปล. II. ชื่อเรื่อง. 510ISBN 978-974-443-605-4

พิมพ์ครั้งที่ 1 ธันวาคม 2557

“ถ้าหนังสือมีข้อผิดพลาดเนื่องจากการพิมพ์ ให้นำามาแลกเปลี่ยนได้ที่สมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ต่อ 1560, 1570

ราคา 180 บาท

KONNAFUNI OSOWARITAKATTA! CHUGAKU SUGAKU KYOSHITSUby Katsuyuki SadamatsuCopyright 2014 Katsuyuki SadamatsuAll rights reserved.Originally published in Japan by SB Creative Corp., TokyoThai translation rights arranged with SB Creative Corp. through THE SAKAI AGENCY.สงวนลิขสิทธิ์ฉบับภาษาไทยโดย สมาคมส่งเสริมเทคโนโลยี (ไทย-ญี่ปุ่น)

คณิต ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนานแล้ว !!

2

หัวข้อที่ 1 ถ้าเผอิญท�าตะเกียบตกพื้น...

วันน้ีมีคู่แม่ลูกมานั่งที่ม้านั่งในสวน

สาธารณะกะว่าคงเป็นเวลาอาหารกลางวนั

ที่สุขสันต์! แต่ลูกสาวตัวดีดันใจร้อนท�า

ตะเกียบตกพื้นเสียนี่?

เวลาอย่างน้ีคงอยากร้องว่า“โธ่ระวงั

หน่อยสิลูก...!”แต่ว่า...

ลองเก็บกิ่งไม้ตรงพื้นมาสักกิ่ง

แล้วลากเส้นขนาน 3 เส้นดูสิ

ลากแล้วจะเกิดอะไรขึ้นกันน้า!

!?

กเ็กดิโอกาสทีจ่ะได้เลา่เรื่องสมบัตขิอง

เส้นขนานให้ลูกสาวฟังยังไงล่ะ!

บทที่ 1 รูปทรงเรขาคณิต 1 (เส้นขนาน) ~ คณะละคร เส้นขนาน “เคล็ดวิชาลากเส้นช่วย”~

3

ไม่น่าเชื่อเลยว่า ต : ก = พ : น

เสมอ! (หมายเหตุ: จ�าง่ายๆ เป็นค�าว่า

“ตกพื้น”ก็ได้-ผู้แปล)

เมื่อกี้ตะเกียบสองอันยังไม่มีอะไร

เกีย่วโยงกนัเลยแต่พอลากเส้นขนาน3เส้น

แล้ว...

อัตราส่วนความยาวของต : ก จะ

ถ่ายทอดไปยังอัตราส่วนของ พ : น ได้

นั่นเอง

ต

พ น

!!

ก

ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า “การส่งอัตราส่วน”

(※พักยกตรงนี้ก่อนเดี๋ยวแม่ลูกคู่นี้จะกลับมาอีก!)

หัวข้อที่2โจทย์เรขาคณิตอมตะ

ว่าแต่เคยเห็นโจทย์แบบนี้กันหรือเปล่า?

คณิต ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนานแล้ว !!

4

โจทย์

ให้เส้นแบ่งครึ่ง∠AของΔABCตัดกับด้าน

BCที่จุดDจงแสดงว่าAB:AC=BD:DC

A

B CD

ความจริงน่ีคือทฤษฎีบทอันโด่งดังที่กล่าวว่า “เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งด้านตรงข้ามมุมเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของสองด้านที่ขนาบมุมน้ัน”

ก่อนอื่นผมจะเฉลยตามต�าราก่อนก็แล้วกัน

เฉลย

ต่อด้านBAของΔABCออกไปยังจุดC′ซึ่งท�าให้AD∥C′C

จากAD∥C′Cจะได้ว่า

∠AC′C = ∠BAD (มุมสมนัย)

∠ACC′ = ∠DAC (มุมแย้ง)

โจทย์ก�าหนดให้∠BAD=∠DACจึงได้ว่า∠AC′C = ∠ACC′

ท�าให้ΔACC′เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีAC=AC′

ดังนั้น

AB : AC = AB : AC′

และจากAD∥C′Cจะได้ว่า

AB : AC′=BD:DC B

A

C

C′

D

บทที่ 1 รูปทรงเรขาคณิต 1 (เส้นขนาน) ~ คณะละคร เส้นขนาน “เคล็ดวิชาลากเส้นช่วย”~

5

จึงสรุปได้ว่า

AB:AC=BD:DC

ตอนนี้อ่านผ่านๆ ก่อนก็ได้ครับ!

ตอนอ่านเฉลยนีใ้นต�ารากอ็าจจะคล้อยตามอยูห่รอกว่า“เออกจ็รงิ

แฮะ...”แต่รู้สึกไหมว่าอยู่ดีๆโผล่มาจากไหน?

สาเหตุน่าจะเป็นเพราะประโยคแรกสุดที่จู่ๆก็ขึ้นมาว่า...

“ต่อด้านBAของΔABCออกไปยังจุดC′ซึ่งท�าให้AD∥C′C”

เจอแบบนี้คงอยากร้องว่า“เอ๊ะ?ท�าไมอยู่ๆถึงนึกอยากท�าอะไร

อย่างนั้นขึ้นมา?”จุดนี้ล่ะที่ท�าให้หลายคนงงเวลาเรียนเลขในห้องเรียน

ตรงนีผ้มจะอธบิายให้หายข้องใจกนันะครบัว่า“ท�าไมถงึนกึจะท�า

อะไรอย่างที่บอกไว้ในประโยคแรกสุดแต่ต้น?”

หัวข้อที่3เล่าเรื่องเส้นขนาน

แต่ก่อนที่จะไปไขข้อสงสัยกัน ตอนนี้เรามาทบทวน “สมบัติของ

เส้นขนาน”เพื่อเตรียมความพร้อมก่อนดีกว่า!

➀

มุมสมนัยมีขนาดเท่ากัน

คณิต ม.ต้น สอนอย่างนี้ เก่งนานแล้ว !!

6

➁

มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

➂

AB : BC = A′B′ : B′C′

การส่งอัตราส่วน

อัตราส่วนในการแบ่งเส้น

ที่1จะเท่ากับอัตราส่วน

ในการแบ่งเส้นที่2

Aเสนที่ 1

เสนที่ 2A′ B′ C′

B C

¹Ñ蹤×Í

เราส่งอัตราส่วนAB:BCบนเส้นที่1ตามเส้นขนาน

ไปเป็นอัตราส่วนA′B′ : B′C′บนเส้นที่2ได้

ก็เหมือนกับเรื่องตะเกียบในหัวข้อที่ 1 นั่นแหละ

ต่อไปผมจะเล่าให้ฟังว่าสมบตัข้ิอ3ทีเ่ราส่งอตัราส่วนไปตามเส้น

ขนานได้นี้จะน�าไปใช้ตรงไหนอย่างไรบ้าง

บทที่ 1 รูปทรงเรขาคณิต 1 (เส้นขนาน) ~ คณะละคร เส้นขนาน “เคล็ดวิชาลากเส้นช่วย”~

7

อย่างแรกต้องมีเส้นขนาน3เส้น

ในบรรดาเส้นขนาน3เส้นจะมีเส้นหลัก1เส้นกับเส้นรอง

อีก2เส้นซึ่งเราตั้งชื่อให้ว่า“คณะละคร เส้นขนาน”

สิ่งที่รู ้ก็คือ “คณะละคร เส้นขนาน” จะยอมให้เราส่ง

อัตราส่วนการแบ่งด้านตามที่กล่าวมานี้ได้

A

A′ B′ C′

B CÍѵÃÒʋǹ·Ñé§Êͧµ‹Ò§ÍÂÙ‹º¹àÊŒ¹µÃ§à´ÕÂǡѹ ´Ñ§¹Ñé¹AB : BC = A′B′ : B′C′

àÊŒ¹Ãͧ àÊŒ¹ÃͧàÊŒ¹ËÅÑ¡ให้นึกประมาณนี้คือเส้นหลักอยู่ตรงกลาง ส่วนเส้นรองทั้งสองวิ่งขนานไปทางสองฝั่งของเส้นหลัก

เอาละตรงนี้มีข้อพึงระวังไว้อย่างหนึ่งคืออัตราส่วนที่ส่งด้วย

“คณะละคร เส้นขนาน” ต้องเป็นอัตราส่วนที่อยู่บนเส้นตรง

เดียวกันเท่านั้น

รูปด้านบน AB : BC อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวใช่ไหมในท�านองเดียวกัน A′B′ : B′C′ ก็อยู่บนเส้นตรงอีกเส้นเช่นกัน!