•A plazma saját rezgései, az elektromágneses hullámok ...foldes/speci3.pdf · ZG G G Z D D D D D D D 0 0 -i 0 s ~ ( ) r) f e f i f f i f e f i t i 0 0. p E r v w w w w w w D

2019.03.11. 1

3. előadás

• A plazma saját rezgései, az

elektromágneses hullámok

diszperziós relációi

2

Egyszerű plazmamodellek Közeget ismerni kell a konkrét diszperziós relációkhoz!

-Független részecske modell:

nincs kölcsönhatás, nincs termikus sebességszórás,

j és egyes részecskék összegéből.

-Hidrodinamikai modell (MHD):

Másik véglet, nincs különbség ion, elektron stb között,

fenomenologikus mennyiségek.

Fejlődés kétfolyadék modell

(ion- és elektron-folyadék).

Plazma leírás Mikroszkopikus leírás (mikroszkopikusan) az egyes részecskéket követi

3

Plusz Maxwell egyenletek

Kinetikus leírás (nem az egyes részecskéket követi);

eloszlásfüggvényként írja le őket v,r,t

Folyadék leírás (átlagol a sebességre; csak r, t függés, sűrűségeloszlás)

" tagütközési",,__

_

tf

m

qf

t

frvBvEv v

tttf i

N

i

i vvrrrv

1

);,

4

Általános kinetikus plazma-modell Egyrészecske eloszlásfüggvény: ),,( tf rp

),(

),,(, :átlagok

normálás ),(),,(

tN

dtft

tNtfd

r

pvrprv

rrpp

Ritka gáz, nincs kölcsönhatás (Vlaszov-egyenlet, amikor a

Boltzmann egyenlet jobb oldalán az ütközési tag 0) :

BvEF

pF

rv

r

r

p

p

rp

ce

ff

t

f

t

f

t

f

t

f

dt

tdf

1 :erő-Lorentz

.0

,0),,(

Feltételezi, hogy a tér adott

(Maxwell egyenletekből)

5

prpvrj

prpr

dtfet

dtfet

,,,

,,,

A megoldás módszere:

Maxwell-egyenletek

E, B önkonzisztens téregyenletek,

ütközésmentes eset.

E, B f E, B stb.

6

Homogén, izotrop, ütközésmentes plazma

dielektromos állandója Az elektromágneses tulajdonságokat a plazma

dinamikai egyenleteiből származtathatjuk.

Legegyszerűbb eset: izotrop.

Ritkán ütköznek a részecskék szabad úthossz nagy

(gyors vagy kis távolságon lejátszódó folyamatok).

ütközésmentes plazma Vlaszov egyenlet.

Homogén, izotrop plazma pff

Felt.: Maxwell eloszlás (nem degenerált plazma), T , N

Kezdetben elektromos tér nélkül:

.2

exp)2(

2

2/30

Tm

p

Tm

Npf

7

Gyenge elektromágneses teret feltételezve az eloszlásfüggvény

perturbációjából meghatározható a dielektromos állandó.

),,()(),,( 0 tfpftf rprp

A Vlaszov egyenletből elsőrendben, feltételezve, hogy B nem

végez munkát, azaz 0)( 0

pBv f

az eloszlásfüggvény izotrop marad.

.0 0

pE

rv

f

ef

t

f

.0)(1

)(1

0

000

000

pE

rv

pBvE

rv

pBvE

rv

fe

f

t

ff

ce

f

t

f

ffc

efft

ff

Az első 2 tag a kezdeti feltétel miatt 0, a vxB és az utolsó tag másodrendűen kicsi.

8

kv

pE

pEkv

kr

0

0-i0

(Fourier)alakú )exp( ~ Linearitás

fe

if

fefif

itif

.0 0

pE

rv

f

ef

t

f

Következmény:

9

, , BEj

pvpvj

pp

dfedfe

dfedfe

Ezzel δf-et behelyettesítve az áram Fourier-komponense:

kvpkk

kvpk

kkv

p

j

i

ijijijij

j

i

ij

jij

j

ji

i

p

fv

dei

p

fv

dei

Ep

fEv

deij

0

2

0

2

0

2

4,

4,

,,

,,

Alapállapot: kvázineutrális

E, B indukált töltés, áram (perturbáció)

10

Ütközésmentes plazma, töltéssel rendelkező részecskék.

Semleges atomok az elektromágneses folyamatokban ebben az

esetben nem vesznek részt.

Probléma: a komplex függvény pólusa.

Feltételezések:

0Im )exp(~

0,,

tif

ttf rp

Akkor tűnik el ha

van imaginárius rész.

valós k esetén

infinitezimálisan

kis komplex részű, pozitív.

Pólus a felső féltérben.

Landau-szabály:

C-szerint alulról kerülni

11

kvkv

p ip

fvd

e

xixix

j

iijij0

2

0

4

1lim

Az első tag a hermitikus (valós) rész, a második az

antihermitikus (imaginárius) rész, ami az elnyelést okozza.

Elnyelés =kv=kvcos=kv (fázissebesség) esetén.

Cserenkov sugárzás, elnyelés:

Izotrop plazmában a disszipáció végbemehet ütközésmentes esetben is!

v < v részecske megelőzheti a fényt

sugárzás szakad le energiát ad a hullámnak.

v > v részecske energiát nyel a hullámból.

A kölcsönhatási sebességintervallum a szögtől függ!

kv

pk

j

i

ijij

p

fv

de

0

24,

12

Cserenkov-sugárzás

• Kevesebb vr>v mint

vr<v elnyelés

dominál.

• Elektromágneses hullám

akkor erősödik,

ha f0-nak van pozitív

meredekségű része!

Maxwell-eloszlás:

13

Izotrop plazma dielektromos állandója

. ),(),(),(22

kkk ljitrji

ijijk

kk

k

kk

Megmutatható (házi feladat), hogy

m

p

2

2

mellett

.2

1,

,4

1,

0

2

2

2

0

2

2

2

fd

k

ek

fd

k

ek

tr

l

kv

vkp

kv

kvp

Maxwell-eloszlás

integrál kiszámítható

m

Ne

m

TvT

22

p

2 4 ;

2

Ezzel:

.1,

,11,

2

2

22

2

T

ptr

TT

pl

kvJk

kvJ

vkk

Láttuk:

Másfelől:

kv

kvp i

p

fvd

e

j

iijij0

24

14

J+(x) a plazma diszperziós függvény:

,22

22

22

xxWiedxexJ

x

i

x

W tabulázott.

Aszimptotikus kifejtések:

0Imx ,ReIm ,1 2

,1x 2

,ImRex ,1 2

...31

1

2

242

2

2

xxxxeixJ

xixJ

xxxeixx

xJ

x

x

Ebből meghatározható:

- rezgések spektruma

- elektromágneses hullámok terjedésének módja a plazmában

Feltételezzük, hogy nincs degenerált plazmakomponens.

2019.03.11. 15

Ütközésmentes, nem degenerált plazma longitudinális rezgései

Izotrop plazma longitudinális diszperziós egyenlete:

.011,22

2

TT

pl

kvJ

vkk

Sok komplex (k) megoldás létezik.

Gyengén csillapodó rezgések:

a) gyors hullám: /k >>vTe,, vTi (x>>1)

2

...31

1 242

2x

xeixx

xJ

D

e

B

pe

te rNe

Tkd

24

m

Ne epe

24 Emlékeztető:

x=/kv

2019.03.11. 16

Feltételezés: gyengén csillapodó, Re >> Im

11

22 m

MTT

xxei

ei

iontag elhanyagolható, 1/x2-ig sorfejtés:

.02

exp2

311),(22

2

23

2

2

22

2

2

TeTe

peTepel

vkvki

vkk

Csillapodás (exponenciális) gyenge nagy x esetén.

Bevezethető i komplex. Ekkor a valós rész:

.0311),(Re2

22

2

2

Tepel vk

k

A Debye-hossz: pe

TeDe

vr

Feltételezve, hogy ~pe:

2019.03.11. 17

.3131 222

2

2222

Depe

pe

Tepe rk

vk

Elektronplazmahullám

(Langmuir-hullám):

izotrop plazma nagyfrekvenciás

longitudinális rezgései.

DeDeTe rrkvk

k

1~ 1 22

A csillapodás kicsi:

2

3

2

1exp

8,Re

,Im233

DeDe

pe

l

l

krrkk

k

Szemléletes magyarázat: a fázissebesség >> részecskék sebessége

~pe : csak a nagyon gyors elektronok csillapodnak

(Landau-csillapodás), a Maxwell-eloszlás farka.

Ha k nő, nő,

1Dekr

de a közelítés itt már nem érvényes.

2019.03.11. 18

Langmuir hullám diszperziós görbéje

k növelésével a közelítés

érvényét veszíti

2019.03.11. 19

Emlékeztető: Plazma diszperziós függvény

J+(x) a plazma diszperziós függvény:

,22

22

22

xxWiedxexJ

x

i

x

W tabulázott.

Aszimptotikus kifejtések:

0Imx ,ReIm ,1 2

,1x 2

,ImRex ,1 2

...31

1

2

242

2

2

xxxxeixJ

xixJ

xxxeixx

xJ

x

x

2019.03.11. 20

b) közbenső fázissebesség: vTi<</k<<vTe , Re >> Im

.02

312

11,22

2

2

33

3

2

22

2

2

22

2

Tivk

Ti

Tipi

TeTe

pel evk

ivk

kvi

vkk

Ha kicsi a csillapodás, az imaginárius rész kicsi, az előző módszerrel:

e

eZZNN

vkT

T

m

MZ

vkZm

M

rkrkrk

iie

Tii

e

Te

DeDe

Dipi

;

;2

exp11

8

11

1131

22

223

33

4

1

2222

2222

Csak nemizotermikus

plazmában! (Te>>Ti)

122 Dirk

nagy hullámhosszra.

Spektrum főleg az ionkomponenstől függ!

Ionplazmahullám (kisfrekvenciás).

Határeset (egyszerű):

122 Derk

X<<1 X>>1

i

iB

pi

tiDi

Ne

Tkr

24

21

Ebben a határesetben: 2222

111

DeDe rkrk

2222222

22

2222 3

31 DiDepiDe

De

Dipi rkrkrk

rk

rk

Mivel

M

ZNevr pi

pi

TiDi

22 4

és

2019.03.11. 22

.22

3exp1

8

.31

23

2222

i

e

i

e

s

e

ie

T

ZT

T

T

m

MZ

M

mZ

vkZT

T

M

TZk

A normál hang analógiájára definiálható vs , az ionhang:

e

ies

ZT

T

M

TZv

31 ionakusztikus hullám.

Teljesülés feltétele: 122

3exp

23

i

e

i

e

T

ZT

T

T

azaz Z=1-re Te/Ti>6. Ennyire nemizotermikus kell legyen

az ionakusztikus hullám.

2019.03.11. 23

Másik határeset: 122 Derk de 122 Dirk amikor

22pi kapjuk.

2

3

2exp1

8 22

223

33Ti

pi

i

e

De

pi

vkT

T

m

MZ

rkM

mZ

erősen nemizotermikus esetben gyenge csillapodás.

Ion Langmuir-rezgés a szabad elektronok okozta

negatív tértöltésben történik.

Hasonló ahhoz, ahogy az elektron Langmuir rezgés

pozitív ionháttérben végbemegy.

2019.03.11. 24

Longitudinális rezgések diszperziós görbéi

Az alsó görbe az ionhullám

diszperziós relációja.

Észrevehető, hogy az ion

Debye-hossz rövidebb az elektron

Debye-hossznál.

2019.03.11. 25

c) Kisfrekvenciás rezgések: /k<<vTi,vTe (x<<1)

Ez a sztatikus eset, nem hullám, ui.

sugár.-Debye a 1

ahol 1

11,0,

21

2222

2

D

D

DT

p

ll

rr

rkvkkk

Ekkor a longitudinális hullám leárnyékolódik a Debye-sugáron belül!

Hasonló árnyékolás az ion akusztikus hullámra is:

vTi<</k<<vTe ; >>pi,

l hasonlóan frekvencia-független rárny=rDi

Ez megfelel a nagyfrekvenciás longitudinális tér árnyékolásának

pi2<<2<<pe

2 között (amint az ábra mutatta, abban a

frekvencia-tartományban nincs hullám).

1x 2

xixJ

2019.03.11. 26

Miért? Szemléletesen:

Legyen egy q töltés az r=r0 helyen!

!lecseng! R 1

,0

,,02

4

2

44,0,0,0,0

44

0 ,

2

2

3

30

00

000

árnyr

R

árny

ijji

ijji

i

i

ijjijijiii

eR

q

rkkkk

kkk

eqk

eq

kkkkkkEkikkDik

qdiv

q

kr

kr

rrD

jrrr

Ez pontosan a longitudinális dielektromos állandó

2019.03.11. 27

Transzverzális hullámok ütközésmentes, izotrop

plazmában

A diszperziós egyenlet transzverzális része:

0,2

22 k

ck tr

ahol (láttuk):

T

ptr

kvJk

2

2

1,

a) gyors hullámok határeset: /k>>vT (x>>1)

0...112

2

2

22

2

2

2

22

2

22

p

T

ptr

ck

kvJ

ck

ck

A nagyfrekvenciás hullámok spektruma tehát: 2222peck

Az iontag elhanyagolható.

2

...31

1 242

2x

xeixx

xJ

2019.03.11. 28

Transzverzális hullámok ütközésmentes, izotrop

plazmában

• A fázissebesség nagyobb lehet a közegbeli fénysebességnél!

A spektrum ezért nem függ a részecskék hőmozgásától.

• Az iontag elhanyagolható.

• Az ütközéseket elhanyagolva nincs elnyelés, ui. imaginárius része csak v/c>>1 esetén nem 0, ilyen gyors részecske nincs.

• Nem csillapodó hullám!

• További tulajdonságok:

(/k)2=c2/tr, ezért /k>c, ha tr<1

• A dielektromos állandó és a törésmutató

< 1 !!

Köv.: A plazmagömb egy szórólencse.

m

ne

n

n

c

petr2

2pe2

24

11

2019.03.11. 29

b) <<kvte határeset.

Iontag itt is mindig elhanyagolható:

Te

petr

kvik

2

21, Ezzel a spektrum:

2

232

pe

Tevcki

Tisztán képzetes csillapodó rezgés.

célszerűbb k()-ra, a

behatolási mélységre megoldani:

31

2

2

62

2Im

1

pe

Tesk

vc

k Skin-mélység ~ -1/3

A disszipáció itt Cserenkov-elnyeléssel történik. Általános,

ütközéses eset: sk~-1/2. Ütközésmentes: Anomális skin-effektus.

0 esetén sk. Az alacsonyfrekvenciás tér mélyen behatol!

Ez ellenkezője annak, mint ahogy a longitudinális tér a Debye-hosszon

árnyékolódik.

1x 2

xixJ

2019.03.11. 30

Visszatérés az inverz fékezési sugárzásos abszorpcióhoz

Láttuk: A klasszikus vagy ütközéses inverz fékezési sugárzás a leggyakrabban domináns. A transzport egyenlet teljes megoldása helyett „belecsempésszük” az ütközéseket.

Elektron-ion ütközések (ion nélkül nem teljesül

egyidejűleg az energia- és impulzus-megmaradás):

A lézertérben oszcillálva impulzus-átadó ütközések

a lézernyaláb csillapodik, ez fűti a plazmát:

E csillapítási tényező:

222

228

m

eEm

nmvnE leei

oseei

lE

Behelyettesítve az p=4e2ne/me plazmafrekvenciát:

ei

c

eei

p

En

n

2

2

2019.03.11. 31

Ismét: Az elektron-ion ütközési frekvencia:

• ahol vte az elektron termikus sebessége, ni az ionsűrűség.

• A hatáskeresztmetszet, b2, ahol b a legkisebb e-i távolság:

teiei vn

22

2

1temv

b

Ze

amiből b-t kiküszöbölve

2/32/3

22

2

22

e

e

e

ite

te

ieiT

Zn

T

Znv

mv

Zen

Lézerplazma-kölcsönhatásokban egy adott frekvenciájú lézernyaláb térbeli

csillapodása az érdekes. Most már ismerjük az elektromágneses hullám

diszperziós relációját plazmában., ebbe teszünk be egy ütközési tagot.

2019.03.11. 32

• Módosítjuk a transzverzális hullám diszperziós egyenletét az ütközések figyelembe

vételével.

Az ütközésmentes egyenlet: 2

2

2

222222 1

k ,

p

p

cck

A teljes, szigorú levezetés helyett ez átírható

2

2

2

22

2

22

11

peip

ei

p i

i

ck alakba, feltételezve, hogy

.1/ ei

Ez megoldható k-ra: ./1

1

211

222

2

2

2

p

peipi

ck

A térbeli csillapodást a k imaginárius részéből kaphatjuk:

.

/1/1

12/12/3

2

2/1222

2

cee

e

p

peiib

nnT

Zn

c

Az abszorpció inverz fékezési sugárzással tehát alacsony

hőmérsékleteken, nagy sűrűségeken, nagy rendszámú anyagra erős.

2019.03.11. 33

Homogén, L hosszúságú plazmában, ne<nc esetén az abszorpció:

.exp1 Libabs Gyenge abszorpcióra Libabs

erős abszorpcióra abs1, azaz lineáris kis abszorpció, telítődik

erős abszorpció ill. nagy plazmahossz esetén. Lineáris (ne=ncx/L)

sűrűségprofil esetére Ginzburg meghatározta az L hosszúságú

plazmára ne=0-tól ne= nc-ig és vissza ne=0-ig az abszorpciót:

.

15

32exp1

L

c

nceiabs

A sűrűségfüggő faktorok integrálása adja a 32/15 faktort, míg az

ütközési frekvenciát elég a kritikus sűrűségen venni. Ebben az

esetben is nagy ne, kis Te és nagy L esetén lesz nagy az abszorpció.

Látható, hogy a kritikus sűrűség körül lesz nagy az abszorpció,

tehát különösen érzékeny az ottani eloszlásra. Meredek profil

(profile steepening) esetén pl. csökkenhet (kicsi lesz az L).

2019.03.11. 34

Valódi plazmaprofil

Valódi lézerplazma

kölcsönhatásokkor a sűrűségprofil

valahogy így néz ki. Adott

hullámhosszú lézerre

.1

101.1 3

2

21

cm

mnc

A hőmérséklet néhány eV az

összenyomott szilárdtestben, keV

nagyságrendű a koronában. A

karakterisztikus sebesség a hangsebesség.

. / ceies nnMZTcv

Gradiensek, plazma méret: .,min effLs RcL