Page 1
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
0 1 32 4 5 6 7 8
1 1+1 2+1 3+1
หนวยการเรียนรูที่ 2
จํานวนเต็ม
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอยางจาํนวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได
2. เปรียบเทยีบจาํนวนเต็มและใชเคร่ืองหมายมากกวา นอยกวา และเทากับไดถูกตอง
3. หาผลบวก ผลลบ บนเสนจาํนวนได
2.1 ศูนยและจํานวนเต็มบวก
0 ไมใชจํานวนนับเพราะเราไมนิยมพูดวามีสมอยู 0 ผล หรือมีดินสอ 0 แทง เราพูดวา ไมมีสม ไมมี
ดินสอ เมื่อเราไมมีส่ิงของ เราก็ไมนับ ในกรณีเชนนี ้0 แทนความไมม ี
แต 0 ไมไดแทนความไมมเีสมอไป เชน เมื่อเราพูดวาอุณหภูมิของน้าํแข็งเปน 0 องศาเซลเซยีส เรา
ไมไดหมายความวา น้ําแข็งไมมอุีณหภูมิ แตหมายความวา น้ําแข็งมีความเย็นระดับหนึง่ ซึง่กาํหนดวา เปน
0 องศาเซลเซยีส
1 เปนจํานวนนับทีน่อยที่สุด จํานวนนับอ่ืนๆ เกิดจาก 1 ดังนี ้1 , 1 + 1 แทนดวย 2 , 2 + 1 แทนดวย 3
ฯลฯ การเพิม่ทีละ 1 ทาํใหเกิดจํานวนนับไมมีที่ส้ินสุด และแสดงบนเสนจํานวนไดดังนี ้
1. ใหนักเรียนนับเพิ่มทีละหนึง่ใหมากที่สุดที่จะมากได นักเรียนนับถงึจํานวนอะไร
2. นํา 1 ไปบวกจาํนวนที่นกัเรียนนับได ผลลัพธจะมากกวาหรือไม
3. จํานวนทีน่ักเรียนนับไวตอนแรกจะเปนจาํนวนทีม่ากที่สุดหรือไม
4. มีจํานวนนับทีม่ากที่สุดหรือไม
จํานวนเต็ม
จํานวนนับ เรียกอีกอยางหนึ่งวา จํานวนเต็มบวก
Page 2
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-31-
2.2 จํานวนเต็มลบ
ในชีวิตประจาํวัน จํานวน 1 , 2 , 3 , . . . เปนจาํนวนชนิดเดียวทีน่ักเรียนจะใชในการนับ ใช
เศษสวน เชน 1
2,
2
3, . . . และใชทศนิยม เชน 0.5 , 1.75 , . . . ในการบอกปริมาณที่ไมเปนจํานวนเต็ม
อยางไรก็ตามวิชาคณิตศาสตรไมใชวิชาทีส่อนการนับและการหาปริมาณเทานัน้ ในการเรียนวิชา
คณิตศาสตรนักเรียนจะตองรูจักจํานวนชนดิอ่ืนๆ ที่จาํเปนสําหรับวชิานี้ ในหวัขอนี้นักเรียนจะไดรูจัก
จํานวนเต็มลบ
นักเรียนเคยไดยินคําวา จํานวนเต็มลบ มากอนหรือไม
นักเรียนเคยไปเที่ยวเมืองหมิะหรือไม นักเรียนทราบไหมวาอุณหภูมิในเมืองที่มหีมิะเปนอยางไร
นักเรียนคงเคยไดยินอุณหภูมิ ที่ภูกระดึงหนาหนาวในเมืองไทย และอุณหภูมิ 26.5− ° ที่เมืองอลาสกา
ประเทศสหรัฐอเมริกา นัน่คือ นักเรียนไดรูจักจํานวนเต็มลบมาบางแลว
เราเร่ิมจากปญหางายๆ ตอไปนี้
กําธรมีเงินอยู 4 บาท ถาเขาใหนอง 1 บาท จงหาวากําธรเหลือเงนิเทาไร นักเรียนมวีิธีหาคําตอบ
อยางไร
ใหนักเรียนเขียนวธิีหาจํานวนเงนิที่เหลือ ถากําธรใหเงินนอง
1. 2 บาท
2. 3 บาท
3. 4 บาท
นักเรียนสังเกตเห็นหรือไมวา ในสัญลักษณแสดงการลบตอไปนี้ ตัวลบมีคาเพิม่ข้ึน
4 – 1
4 – 2
4 – 3
4 – 4
ถาใหตัวลบมคีาเพิ่มข้ึนเร่ือยๆ เราอาจเขียนเปนสัญลักษณได เชน
4 – 5
4 – 6
4 – 7
4 – 8
ฯลฯ
Page 3
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-32-
0 1 2 3 4 5
4 – 8 4 – 7
4 – 6
4 – 5 4 – 4
4 – 3
4 – 2 4 – 1
0 1 2 3 4 -1-2-3 -4
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
นักเรียนทราบหรือไมวา การลบขางตนมคํีาตอบอยางไร เราอาจแสดงการหาคําตอบโดยใชเสน
จํานวนดังนี ้
คําตอบสําหรับ 4 – 5 , 4 – 6 , . . . เปนจํานวนทีน่ักคณิตศาสตรสรางข้ึนเรียกวา จํานวนเต็มลบ
ให 4 – 5 เปนจํานวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –1 อานวา ลบหน่ึง
4 – 6 เปนจาํนวนซ่ึงแทนดวยสัญลักษณ –2 อานวา ลบสอง
นักเรียนคิดวา 4 – 7 , 4 – 8 , 4 – 9 จะเปนจํานวนอะไร
จํานวนเต็มลบ -1 , -2 , -3 , . . . แทนดวยจุดที่อยูทางซายมือของ 0 บนเสนจํานวนดังนี ้
Page 4
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-33-
0 1 2 3 4-1-2-3 -4
0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5
ดังนัน้ จาํนวนเต็มแบงออกเปน 3 พวก คือ
1. จํานวนเต็มบวก ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , . . .
2. จํานวนเต็มศูนย ไดแก 0
3. จํานวนเต็มลบ ไดแก –1 , -2 , -3 , -4 , . . .
ดังแสดงดวยเสนจํานวนดังนี ้
2.3 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
สมมุติวานักเรียนหนกั 35 กโิลกรัม เพื่อนหนกั 38 กิโลกรัม นักเรียนจะตอบไดหรือไม เพราะเหตุใด จึง
ทราบวาเพื่อนหนกักวา
ถาเราตองการทราบวาในเดือนเมษายน จงัหวัดแถบภูเขา เชน เชียงใหมกับจังหวัดแถบชายทะเล เชน
สงขลา โดยเฉลี่ยแลวจังหวัดใดรอนกวากัน นักเรียนจะวัดไดอยางไร
ถานกัเรียนทราบวาอุณหภูมเิฉล่ียในเดือนเมษายนที่จังหวัดเชียงใหมประมาณ 36 องศาเซลเซยีส และ
ที่จังหวัดสงขลา 30 องศาเซลเซียส นักเรียนจะตอบไดหรือไมวา จงัหวดัใดรอนกวากนั
ถานกัเรียนทราบวา อุณหภูมิเฉล่ียในฤดูหนาวของจังหวดัแมฮองสอนประมาณ 5 องศาเซลเซยีส และ
ที่จังหวัดเลยประมาณ 0 องศาเซลเซยีส นกัเรียนจะตอบไดหรือไมวาจงัหวัดใดหนาวกวากนั และถา
นักเรียนไดยินวิทยปุระกาศวา ปนีท้ี่จังหวัดเลย อุณหภูมตํ่ิาสุดเปน –5 องศาเซลเซยีส นักเรียนคิดวาอากาศ
ที่จังหวัดเลยปนี้หนาวกวาหรืออุนกวาปกติ
นักเรียนจะพบวา ถาอากาศย่ิงรอน อุณหภูมิจะยิ่งสูงข้ึน
ถาอากาศย่ิงหนาว อุณหภูมจิะยิ่งติดลบมากข้ึน
ในทาํนองเดียวกัน ในการเปรียบเทียบเพื่อดูวา จาํนวนใดนอยกวา จาํนวนใดมากกวา เราจะเหน็ไดงาย
จากเสนจํานวน
เมื่อกลาวถงึจาํนวนเต็มจะหมายถึงจาํนวนเต็มบวก
หรือจํานวนเต็มลบหรือศูนยก็ได
Page 5
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-34-
บนเสนจํานวนนี้ นักเรียนทราบแลววา สําหรับทางดานขวามือของศูนย จาํนวนทีอ่ยูทางซายจะนอย
กวาจาํนวนทีอ่ยูทางขวา เชน 2 < 3
นักเรียนจะเหน็วา -1 , -2 , -3 , . . . ไดจากการลดลงทีละหนึ่ง ดังนัน้สําหรับดานซายมือของศูนย
จํานวนที่อยูทางซายก็จะนอยกวาจํานวนที่อยูทางขวาเชนกนั
ดังนัน้ -2 นอยกวา -1 ใชสัญลกัษณ -2 < -1
-3 นอยกวา -2 ใชสัญลักษณ -3 < -2
ฯลฯ
ใหนักเรียนดูเสนจํานวนขางตนแลวตอบคําถามตอไปนี ้
1. -4 และ -5 จํานวนใดนอยกวากนั
2. เมื่อนับไปทางซายของศูนยทีละหนึง่จะไดจํานวนทีน่อยลงหรือมากข้ึน
3. นักเรียนคิดวามีจํานวนทีน่อยที่สุดหรือไม เพราะเหตุใด
4. จงเขียนจํานวนเต็มลบต้ังแต -10 ถึง -20 ตามลําดับจากนอยไปมาก
5. จงเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากมากไปนอย
-2 , -5 , -7 , -10 , -6 , -1
6. จงเติมจํานวนตามทีก่ําหนดใหตอไปอีก 3 จํานวน
-1 , -4 , -7 , -10 , . . .
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. 0.5 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................
ขอ 2. 1
34
เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................
ขอ 3. 4
2 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................
ขอ 4. 1.2
4 เปนจํานวนเต็มหรือไม........................................................................................
ขอ 5. –5.8 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................
ขอ 6. –9.6 เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................
แบบฝกหัดที่ 1
Page 6
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-35-
ขอ 7. 3
88
− เปนจํานวนเต็มลบใชหรือไม................................................................................
ขอ 8. จาํนวนใดบางเปนจํานวนเต็มลบ –1 , –3.4 , 1
52
− , 6
3− , – 6.0 ,
7
8−
.................................................................................................................................................
ขอ 9. –333 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน
ขอ 10. 25 อยูทางซายมือหรือขวามือของศูนยบนเสนจํานวน
ขอ 11. –20 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0
ขอ 12. 40 มีคามากกวาหรือนอยกวา 0
ขอ 13. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ = ลงในชองวางใหถกูตอง
♠ –60...............–16 ♠ –72 ...................... –71
♠ 80...............–80 ♠-1001....................... -1011
ขอ 14. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากมากไปหานอย
-19 , 10 , -14 , 0 , 18 , -13 , 9.......................................................................................
-1177 , -1717 , -1771 , -1777 , -1117 , -1171...............................................................
ขอ 15. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปหามาก
-49 , -37 , -47 , -31 , -35 , -46.......................................................................................
-792 , -297 , -729 , -972 , -279 , -927...........................................................................
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)
ขอ 1. จงเขียนเสนจํานวนแสดงศูนยและจํานวนเต็มลบถึง -20
ขอ 2. จงเติมจาํนวนอีก 3 จาํนวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให
0 , -2 , -4 , -6 , . . .
0 , -5 , -10 , . . .
0 , -7 , -14 , . . .
-3 , -7 , -11 , -15 , . . .
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 1
Page 7
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-36-
-9 , -14 , -19 , . . .
ขอ 3. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก 0 โดยลดทีละ 3
ขอ 4. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -1 โดยลดทีละ 2
ขอ 5. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -10 โดยเพิ่มทีละ 1
ขอ 6. จงเขียนจํานวน 5 จาํนวนตอจาก -15 โดยเพิ่มทีละ 3
ขอ 7. จงเติมจาํนวนเต็มอีก 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กาํหนดให
-2 , -4 , -6 , . . .
-1 , -3 , -5 , . . .
-3 , -6 , -9 , . . .
-2 , -7 , -12 , . . .
-20 , -16 , -12 , . . .
-41 , -36 , -31 , . . .
ขอ 8. จงเรียงจํานวนตอไปนี้จากนอยไปมาก
-3 , -7 , -31 , -1 , 0 , -6 , -13
-8 , -10 , -2 , 3 , -5 , 4
7 , 0 , -2 , -17 , -4 , -9
99 , -80 , 76 , 67 , -50 , -60
ขอ 9. จงหาจํานวนที่นอยทีสุ่ดและจํานวนที่มากที่สุด
-3 , -4 , -5 , -2 , 0
12 , -3 , -1 , 1 , -12
-13 , -15 , -2 , -6 , -4
-3 , 0 , 3 , -4 , -5
ขอ 10. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อใหเปนประโยคทีเ่ปนจริง
(-3) (-4)
(-7) (-8)
(-8) (-5)
0 (-1)
(-10) 0
(-20) (-30)
Page 8
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
คณิตศาสตรระดับมัธยมศึกษาปท่ี 1
-37-
ขอ 11. จงเรียงสารตอไปนี้ตามลําดับจุดเดือดจากตํ่าไปสูง
คลอรีน -35 องศาเซลเซยีส
ออกซิเจน -183 องศาเซลเซยีส
ไฮโดรเจน -253 องศาเซลเซยีส
ไนโตรเจน -196 องศาเซลเซยีส
ขอ 12.
น้ํา เอทิลแอลกอฮอล คารบอนไดออกไซด ออกซิเจน ไฮโดรเจน ปรอท
0 -114 -57 -219 -259 -39
ตารางขางบนแสดงอุณหภูมิเปนองศาเซลเซียสที่สารเปลีย่นสภาพเปนของแข็ง
จงหาวาสารชนิดใดแข็งตัวเร็วที่สุด
จงเรียงลําดับสารตามอุณหภูมิแข็งตัวเร็วที่สุดไปหาแข็งตัวชาที่สุด
ขอ 13. ขอความตอไปนี้จริงหรือไม
0 เปนจํานวนเต็ม
500 เปนจาํนวนเต็ม
-500 ไมเปนจาํนวนเต็ม
1.5 เปนจํานวนเต็ม
4
2 ไมเปนจํานวนเต็ม
ขอ 14. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มตอไปนี้จากนอยไปมาก
2 , -2 , 5 , 1 ,0 , -15 , -10 , -8 , 3
ขอ 15. จงเติมจํานวนเต็ม 3 จํานวนตามลําดับตามแบบที่กําหนดให
-8 , -6 , -4 , . . .
-7 , -4 , -1 , . . .
4 , 2 , 0 , . . .
15 , 10 , 5 , . . .
6 , 2 , -2 , . . .
-9 , -4 , 1 , . . .
ขอ 16. จงใสเคร่ืองหมาย < หรือ > เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
(-4) (-5)
7 (-7)
0 5
0 (-5)
18 (-12)
20 (-2)
Page 9
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 17. ใหนกัเรียนใชตารางแสดงอุณหภูมิของอากาศที่ระดับความสูงตางๆ วัดทีก่รุงเทพฯ หา
คําตอบของปญหาตอไปนี ้
ความสูงจากระดับน้ําทะเล
(กิโลเมตร)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
อุณหภูมิของอากาศ
(องศาเซลเซียส)
28 22 17 11 6 0 -6 -11 -17 -22
อุณหภูมิของอากาศท่ี 2 กิโลเมตร เหนือระดับน้ําทะเล ตางจากอุณหภูมิของอากาศที่ 3
กิโลเมตร เหนอืระดับน้ําทะเลเทาไร
อุณหภูมิของอากาศท่ี 7 กิโลเมตร เหนือระดับน้ําทะเล ตางจากอุณหภูมิของอากาศที่ 8
กิโลเมตร เหนอืระดับน้ําทะเลเทาไร
อุณหภูมิของอากาศท่ี 8 กิโลเมตร เหนือระดับน้ําทะเล ตางจากอุณหภูมิของอากาศที่ 9
กิโลเมตร เหนอืระดับน้ําทะเลเทาไร
ขอ 18. ถา a แทนจํานวนเต็มจํานวนหนึ่ง a จะตองแทนจํานวนเต็มบวกใชหรือไม ถาไมใช a จะ
แทนจํานวนใดไดบาง
ขอ 19. ถา b แทนจํานวนเต็มลบ b จะเปนจํานวนเต็มหรือไม
ขอ 20. ประโยคตอไปนี้ ประโยคใดเปนจริง ประโยคใดเปนเทจ็
0 เปนจาํนวนเต็มบวก
จํานวนเต็มบวกคือจํานวนนบั
มีจํานวนเต็มบวกมากมายนับไมถวน
20 เปนจํานวนเต็มบวก
ถา a เปนจาํนวนเต็มบวก เราสามารถหาจํานวนเต็มบวกที่มากกวา a ไดเสมอ
-38-
Page 10
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 -5
0 1 2 3 4-1-2-3 -4 5 -5
0 1 2 -1 -2
ขอ 21. จงเลือกจํานวนเต็ม จากจํานวนในแตละขอตอไปนี ้
0 , 1
2 , 1 ,
11
2 , 2
-1 , -2 , 3 , -3
1
2 ,-
1
2 , 4 , -4 , 0.1 , 3.78
5 , -5 , 1
5 , -
1
5 , 6 , -
1
6
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มใดๆ ได
2. บอกคาสัมบูรณของจํานวนเต็มใดๆ ได
2.4 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม
2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย
เรากลาววา คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2
-2 อยูหางจาก 0 เปนระยะ 2 หนวย
เรากลาววา คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2
ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้
1. จงหาคาสัมบูรณของ 5 , -5 , 9 , -9 , 10 , -10 , 11 , -11
2. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวกเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบ
3. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มลบเปนจาํนวนบวกหรือจํานวนลบ
4. คาสัมบูรณของจํานวนใดบางที่เปนจาํนวนลบ
นักเรียนสังเกตหรือไมวา มีจํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบเปนคูๆ ที่มีคาสัมบูรณเทากนั
ใหนักเรียนยกตัวอยางมาสัก 2 คู
-39-
Page 11
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากันจะอยูคนละขางของ 0 และอยูหาง
จากศูนยเปนระยะเทากัน เชน -1 และ 1 เรากลาววา
-1 เปนจํานวนตรงขามของ 1
และ 1 เปนจํานวนตรงขามของ -1
สวน 0 เปนจํานวนตรงขามของตัวเอง
ใหนักเรียนหาจํานวนตรงขามของจํานวนตอไปนี้
1. 3
2. -7
3. 45
4. -350
แบบฝกท่ี 2
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. คาสัมบูรณของ 48 คือ..................................................................................................
ขอ 2. คาสัมบูรณของ -120 คือ...............................................................................................
ขอ 3. 8 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................
ขอ 4. 124 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................
ขอ 5. คาสัมบูรณของ 56 คือ..................................................................................................
ขอ 6. คาสัมบูรณของ -56 คือ...............................................................................................
ขอ 7. 56 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................
ขอ 8. 19 เปนคาสัมบูรณของจํานวนใด...................................................................................
ขอ 9. จาํนวนตรงขามของ 148 คือ.......................................................................................
ขอ 10. จาํนวนตรงขามของ -3537 คือ.......................................................................................
ขอ 11. คือ..............................................................................................................
ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขาม ของ a
มีเพียงจํานวนเดียว และเขียนแทนดวย -a
แบบฝกหัดที่ 2
-40-
Page 12
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 12. 76− คือ........................................................................................................
ขอ 13. 35− คือ........................................................................................................
ขอ 14. 12− − คือ........................................................................................................
ขอ 15. 919− คือ........................................................................................................
ขอ 16. จงเติมเคร่ืองหมาย > หรือ < หรือ =
81− ........... 18−
25 ............. 25−
102− ......... 120−
1011− ........ 1101−
28− .......... 28− −
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาคาสัมบูรณของ 0
........................................................
ขอ 2. จงหาคาสัมบูรณของ -37 , -38 , -39 , -40
........................................................
ขอ 3. จงเติมขอความในชองวางใหถกูตอง
คาสัมบูรณของ 51 และ -51 ตางเทากับ ...............
คาสัมบูรณของ 470 และ ................ ตางเทากับ 470
คาสัมบูรณของ ............... และ -132 ตางเทากับ 132
56 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............
142 เปนคาสัมบูรณของ ............... และ ...............
................ เปนคาสัมบูรณของ 318 และ -318
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 2
-41-
Page 13
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 4. จงเติมคําวา “มากกวา” “นอยกวา” หรือ “เทากับ” ลงในชองวาง
เพื่อทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
21 ............... -21
คาสัมบูรณของ 21 ............... คาสัมบูรณของ -21
-6 ................ 6
คาสัมบูรณของ -6 ................ คาสัมบูรณของ 6
คาสัมบูรณของ -7 ................ คาสัมบูรณของ 9
คาสัมบูรณของ -5 ................ คาสัมบูรณของ -7
คาสัมบูรณของ -23 ................ คาสัมบูรณของ 20
คาสัมบูรณของ 13 ................ คาสัมบูรณของ -19
ขอ 5. จงหาจํานวนตรงขามของ -11 , -13 , -15 , -16 , -20
ขอ 6. จงหาจํานวนตรงขามของ 11 , 13 , 15 , 16 , 20
ขอ 7. จงหาจํานวนตรงขามของ -5 , 5 , 20 , -20 , 9 , -9
ขอ 8. จงหาจาํนวนที่แทนตัวแปร แลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง
67 + y = 67
a – 43 = 0
z + 0 = 91
x + x = 0
0 + u = 0
9 – v = 9
b × 1 = 1
20 × y = 0
9 × z = 9
a × a = 0
6 – v = 0
7 ÷ u = 1
25 ÷ w = 25
c ÷ 1 = 99
a ÷ 20 = 1
0 × 15 = x
ขอ 9. จงหาผลคูณ
1 × 25
(-35) × 1
(-72) × 1
(-1271) × 1
1 × (-592)
1 × 1
1 × b
b × 1
1 × c
c × 1
-42-
Page 14
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 10. จงหาผลหาร
3
1
2
1−
1
1−
1
1
11
−−
77
−−
21
21
−−
135
135
−−
1
b
ขอ 11. จงหาคําตอบ
0 + (-21)
(-480) + 0
0 + (-5)
0 – 5
0 – 7
0 – 47
0 – b
0 – 0
0 – (-4)
0 – (-20)
0 – (-35)
0 – (-43)
0 – (-c)
0 – (-z)
0 – z
ขอ 12. จงหาคําตอบ
0 × 1
0 × 0
0 × (-5)
0 × (-1)
(-2000) × 0
350 × 0
(-490) × 0
t × 0
0 × t
0 × (-a)
0
20
0
50−
0
1000
0
2497−
ขอ 13. จงหาคําตอบ
0 + 0
0 + (-7)
(-7) + 7
5 × 6 × 0
( 5 + 6 ) × 0
(-21) ÷ (-21)
(-19) ÷ (-1)
(-200) ÷ 200
0 ÷ ( 1 ÷ 2 )
[(-441) ÷ 21] ÷ 0
-43-
Page 15
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 14. จงหาคา z ทีท่าํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
3 × z = 0
z × (-7) = 0
a × z = 0 แต a ≠ 0
3
z =
4
z
z × z = 0
ขอ 15. ส่ีเทาของจํานวนจํานวนหน่ึงเทากับหาเทาของจํานวนเดิม จํานวนนั้นเปนเทาไร
ขอ 16. คร่ึงหนึ่งของจํานวนจํานวนหนึ่ง เทากบัสองเทาของจํานวนเดิม จาํนวนนัน้เปนเทาไร
ขอ 17. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปร แลวทาํใหไดประโยคที่เปนจริง
37 + 26 = x + 37
31 × 24 = 24 × a
( 56 + 2 ) + 13 = 56 + ( d + 13 )
8 × ( 7 × 6 ) = ( b × 7 ) × 6
4 × ( y × 7 ) = ( 4 × 3264 ) × 7
ขอ 18. จงเติมจํานวนหรือตัวแปรในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง สําหรับทุกๆ
คาของตัวแปร
7 + ( a + 3 ) = ( 7 + …….. ) + 3
x + ( 6 + a ) = ( x + 6 ) + ……..
a + ( b + c ) = ( …….. + …….. ) + c
( …….. + …….. ) + 7 = 8 + ( x + 7 )
( x + …….. ) + y = …….. + ( a +…….. )
7 × ( c × 3 ) = ( 7 × …….. ) × 3
( a × 6 ) × b = a × ( 6 × …….. )
a × ( b × c ) = ( …….. × …….. ) × c
( …….. × …….. ) × 7 = 8 × ( c × 7 )
( a × …….. ) × b = …….. × ( y × …….. )
ขอ 19. นกัเรียนคิดวาการลบมีสมบัติการเปล่ียนกลุมหรือไม
นั่นคือ ประโยค a – ( b – c ) = ( a – b ) – c
เปนจริงสําหรับจํานวน a , b , c ใดๆ หรือไม เพราะเหตุใด
-44-
Page 16
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 20. การหารมีสมบัติการเปลี่ยนกลุมหรือไม เพราะเหตุใด
ขอ 21 จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง
6 × ( 10 + 7 ) = ( 6 × …….. ) + ( 6 × …….. )
8 × ( 50 + 4 ) = ( …….. × 50 ) + ( …….. × 4 )
( 30 + 9 ) × …….. = ( 30 × 5 ) + ( 9 × 5 )
( 9 × 5 ) + ( 9 × 6 ) = 9 × ( …….. + …….. )
( 5 × 200 ) + ( 5 × 30) + ( 5 × 8 ) = 5 × ( …….. + …….. + …….. )
ขอ 22. จงหาจํานวนที่แทนตัวแปรแลวทําใหไดประโยคที่เปนจริง
( 6 × 5 ) + ( 6 × 1 ) = 6 × a
( 17 × 9 ) + ( 8 × 9 ) = d × 9
a × 253 = ( 7 × 200 ) + ( 7 × 50 ) + ( 7 × 3 )
b × 6 = ( 4000 × 6 ) + ( 700 × 6 ) + ( 50 × 6 ) + ( 3 × 6 )
( 12 × c ) + ( 19 × 5 ) = 31 × 5
( 12 × 55 ) + ( 12 × d ) = 12 × 100
ขอ 23. จงตรวจดูวาประโยคตอไปนี้เปนจริงหรือไม
5 × ( 8 – 3 ) = ( 5 × 8 ) – ( 5 × 3 )
6 × ( 7 – 2 ) = ( 6 × 7 ) – ( 6 × 2 )
( 5 – 4 ) × 9 = ( 5 × 9 ) – ( 4 × 9 )
( 7 – 6 ) × 4 = ( 7 × 4 ) – ( 6 × 4 )
ขอ 24. จงเติมจํานวนในชองที่เวนไว เพื่อใหประโยคเปนจริงสําหรับทุกๆ คาของตัวแปร
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ………………
( x + y ) × a = ……………. + ( y × a )
( 3 × c ) + ( 3 × d ) = ……………. × ( c + d )
( d × b ) + ( z × b ) = ( …………. + z ) × b
y × ( a + ………… ) = ( y × a ) + ( y × z )
………………. = ( a × 4 ) + ( b × 4 )
( b × x ) + ( b × y ) = ………………
( 2 × x ) + ( 3 × x ) = ( ………… + ………… ) × x
( 7 × a ) + ( 8 × a ) = ………………
20c = ( ………… × c ) + ( 11 × c )
10x + 20x = ………………
-45-
Page 17
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกสมบัติของ 0 และ 1 ได
2. นําสมบัติของ 0 และ 1 ไปใชได
2.5 สมบัติของ 0 และ 1 สมบัติของหนึ่ง 1. จํานวนใดๆ คูณกับ 1 จะไดจํานวนนัน้ เชน
1 32× = 32 1× = 32
1 ( 32)× − = ( 32) 1− × = -32
1 ( 1)× − = ( 1) 1− × = -1
สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
2. จํานวนใดๆ หารดวย 1 จะไดจํานวนนั้น เชน
27=1
27
27=1
27
สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
สมบัติของศูนย 1. จํานวนใดๆ บวกกับ 0 จะไดจํานวนนัน้ เชน
5 + 0 = 0 + 5 = 5
(-7) + 0 = 0 + (-7) = -7
สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
1 1a a a× = × = เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
1
aa= เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
a=a+0=0+a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
-46-
Page 18
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
2. จํานวนใดๆ คูณกับ 0 ได 0 เชน
0×2 = 2×0 = 0
( 5) 0− × = 0 ( 5)× − = 0
สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
3. 0 หารดวยจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 จะได 0 เชน 0
5 = 0
0
9− = 0
สมบัติขอนี้เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
4. ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนใดๆ เทากับ 0 จํานวนใดจํานวนหนึ่งอยางนอยหน่ึง
จํานวนตองเปน 0 เขียนเปนสัญลักษณไดดังนี ้
สมมุติวาจะหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะมีปญหาอยางไร
ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้
1. กําหนดให a=0
0 ใหนักเรียนเปล่ียนเปนประโยคการคูณ
2. จงหาคา a ที่จะทําใหประโยค 0=a×0 เปนจริง
3. นักเรียนหาคา a ในขอ 2 ไดมากกวาหนึง่คําตอบหรือไม
4. จากขอ 3 นักเรียนจะบอกไดแนนอนหรือไมวา 0
0 เปนเทาไร เพราะเหตุใด
5. ใหนักเรียนหา 0
9 โดยวิธีเดียวกนั ไดกี่คําตอบ
ถาหารจํานวนใดๆ ดวย 0 จะเกิดปญหา คือ
มีจํานวนใดเปนคําตอบก็ได หรือไมมีคําตอบเลย
เนื่องจากการหารดวยศูนยมีปญหาเชนนี ้นัก
คณิตศาสตรจึงไมใชศูนยเปนตัวหาร
0=a×0=0×a เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
0=a
0เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ ท่ีไมใช 0
ถา 0=b×a ดังนั้น 0=a หรือ 0=b เมื่อ b,a แทนจํานวน
ไมใช 0 เปนตัวหาร
-47-
Page 19
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
นักเรียนเคยทราบวาจํานวนนับทีม่ี 2 เปนตัวประกอบ หรือจํานวนนับที่ 2 หารลงตัว เรียกวา
จํานวนคู สวนจํานวนนับที่ไมมี 2 เปนตัวประกอบหรือจํานวนนบัที่ 2 หารไมลงตัว เรียกวา
จํานวนค่ี
ในทางคณิตศาสตรบทนยิามของจํานวนคูและจํานวนค่ี อาจเขียนไดดังนี ้
ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี ้
1. นักเรียนคิดวา 0 เปนจํานวนคูหรือจํานวนค่ี
2. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนคู
3. จํานวนเต็มใดบาง ที่เปนจํานวนค่ี
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาของ
1) 0 × (-83) = 2) -22 × 1 =
3) (-14) × (-18) × 0 = 4) 1 × (-88) =
5) -a × 0 = 6) -c × 1 =
7) 0 + (-88) = 8) 0 ÷ 46 =
9) (-21) + 0 = 10) 0
21− =
ขอ 2. จงหาคาของตัวแปรทีแ่ทนประโยคแลวเปนจริง
1) a × 5 = 0 2) c ÷ c = 1
3) x + 8 = 0 4) 4 – y = 0
5) 12 × a = 1 6) c ÷ 1 = c
7) a × a = 1 8) c ÷ 12 = 1
9) 12 × x = 12 10) y ÷ 8 = 0
บทนิยาม จํานวนคู คือ จํานวนเต็มที่ 2 หารลงตัว และ จํานวนค่ี คือ จํานวนเต็มที่
2 หารไมลงตัว
แบบฝกหัดที่ 3
-48-
Page 20
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
11) 3a = 0 12) 7 ÷ x = 7
13) 5 + x = 5 14) 6 × a = 1
15) a( a – 4 ) = 0 16) ( a – 5 )( a + 3 ) = 0
17) 0 ÷ a = 0 18) a + a = 0
19) a – a = 0 20) a × a = a
2.6 สมบัติการเทากัน สมบัติการบวกและการคูณของจาํนวนเต็มบวก เมื่อนักเรียนบวกจํานวนสองจํานวน เชน 27 กับ 48 นักเรียนจะใชจํานวนใดเปนตัวต้ังก็ได
เพราะผลลัพธเทากัน นัน่คือ
27 + 48 = 48 + 27
จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติการบวกดังกลาวขางตน เราเรียกสมบัตินี้วา สมบัติ
การสลับที่สําหรับการบวก
ในทาํนองเดียวกันเมื่อคูณจํานวนเต็มบวก( หรือศูนย ) สองจํานวนใดๆ เชน 62 กับ 100 จะได
62 × 100 = 100 × 62
สมบัติขอนี้เรียกวา สมบัติการสลับที่สําหรับการคูณ
พิจารณาการบวกจํานวนมากกวาสองจํานวนข้ึนไป เชน ในการหาผลบวกของ 5 + 15 + 32
สมมุติวาจะไมเปล่ียนแปลงลําดับของจํานวนทัง้สามที่เรียงไว
ถาจะหา 5 + 15 กอน เขียน 5 + 15 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้
( 5 + 15 ) + 32 = 20 + 32 = 52
ถาจะหา 15 + 32 กอน เขียน 15 + 32 ไวในวงเล็บแลวหาผลบวกดังนี ้
5 + ( 15 + 32 ) = 5 + 47 = 52
จะเหน็วา ( 5 + 15 ) + 32 = 5 + ( 15 + 32 )
จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมีสมบัติดังกลาว เรียกสมบัตินีว้า สมบัติการเปลี่ยนกลุม
สําหรับการบวก
นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มบวกทุกจํานวนและศูนยมสีมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการคูณ
หรือไม ใหยกตัวอยาง
ในการเขียนสมบัติตางๆ ของจํานวนเต็มบวกเพื่อใหส้ันและกะทัดรัด เราใชประโยคที่มีตัวแปร
แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ประโยคขางลางเปนจริงสําหรับทุกจํานวนที่แทน a , b และ c
-49-
Page 21
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
( a + b ) + c = a + ( b + c )
a + b = b + a ab = ba
สมบัติการเปลี่ยนกลุม
ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ
( ab )c = a( bc )
การบวก การคูณ
สมบัติการสลับท่ี
ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ ให a และ b แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ
สมบัติการแจกแจงเปนสมบัติที่เชื่อมระหวางการบวกและการคูณดังในตัวอยาง
3 (7 5)× + = (3 7) (3 5)× + ×
(10 3) 4+ × = (10 4) (3 4)× + ×
สมบัติการแจกแจง
ให a , b และ c แทนจํานวนเต็มบวกใดๆ
a( b + c ) = ( ab ) + ( ac )
( b + c )a = ( ba ) + ( ca )
อันที่จริงแลว สมบัติการสลับที่สําหรับการบวกและการคูณ สมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการ
บวกและการคูณ และสมบัติการแจกแจงสําหรับการคูณบนการบวก เปนสมบัติของจํานวนทกุ
จํานวน ซึ่งนักเรียนจะไดพบในตอนตอไป
จากประโยคทีเ่ขียนแสดงสมบัติตางๆ ขางตน นกัเรียนควรสงัเกตไดวามีการใชวงเล็บเพื่อ
แสดงลําดับของการคํานวณ เชน เมื่อเขียน a× ( b + c ) หมายความวา ตองหาผลบวกของ b กับ
c กอน แลวจงึนาํผลบวกมาคูณกับ a แตถาเขียน ( a× b ) + ( a× c ) หมายความวา a× b และ
a× c เสร็จแลวนําผลคูณมาบวกกัน
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงบอกวาแตละขอตอไปนี้ใชสมบัติการเทากนัในขอใด ( สมบัติการสลับที ่ , สมบัติ
การเปล่ียนกลุม หรือ สมบัติการแจกแจง )
1) ( a + b )× 2 = 2× ( a + b ) ………………………………...
2) mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...
แบบฝกหัดที่ 4
-50-
Page 22
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
3) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...
4) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...
5) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...
6) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...
7) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...
8) ( a2× b2 )× c2 = a2
× ( b2× c2 ) ………………………………...
9) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...
10) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...
11)mn + ( xy + pq ) = ( mn + xy ) + pq ………………………………...
12) ( 3× 50 ) + ( 3× 20 ) – ( 3× 10 ) = 3× 60 ………………………………...
13) 2x + 2y + 2z = 2( x + y + z ) ………………………………...
14) ( a + b )c = ac + bc ………………………………...
15) [ (-2) + (-3) ] + (-4) = (-2) + [ (-3) + (-4) ] ………………………………...
16) ( 3 + m )× ( 2 – n ) = ( 2 – n )× ( 3 + m ) ………………………………...
17) ( a2× b2 )× c2 = a2
× ( b2× c2 ) ………………………………...
18) (-21) + (-12) = (-12) + (-21) ………………………………...
19) ( a× b )× c = c× ( a× b ) ………………………………...
ขอ 2. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง
1) 35 + 38 = ( ใชสมบัติการสลับที่ )
2) 25× (-36) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )
3) ( a + b )× ( x + y ) = ( ใชสมบัติการสลับที่ )
4) mx + my = ( ใชสมบัติการสลับที่ )
5) 24 + ( 36 + 48 ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )
6) [ (-32)× (-18) ]× (-7) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )
7) ( abc + pqr ) + xyz = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )
8) 2a× ( 3b× 4c ) = ( ใชสมบัติการเปลี่ยนกลุม )
-51-
Page 23
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
9) 4× ( 5 + 9 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )
10) ( 8 – 2 )× 7 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )
11) a× ( 8 – 7 + 6 ) = ( ใชสมบัติการแจกแจง )
12) ( x + y – z )× 3 = ( ใชสมบัติการแจกแจง )
ขอ 3. จงเติมคําตอบลงในชองวางใหถูกตอง พรอมทัง้บอกสมบัติการเทากนัที่ใชในแตละขอ
1) 2× ( a – b ) = – ( 2× b )
ใชสมบัติ ......................................................
2) (-2)× [ (-3)× 4 ] = × 4
ใชสมบัติ ......................................................
3) ( 15 + 4 )× 8 = ( 15× 8 ) +
ใชสมบัติ ......................................................
4) (-14) + = (-17) + (-14)
ใชสมบัติ ......................................................
5) (-2)× [ (-3) + (-4) ] = [ (-2)× ] + [ (-2)× ]
ใชสมบัติ ......................................................
6) ( 8a× 4 ) – ( ) + ( 8a× b ) = 8a× ( – 5 + 6 )
ใชสมบัติ ......................................................
7) (-5) + 10 = + (-5)
ใชสมบัติ ......................................................
8) ( a + b )× m = m×
ใชสมบัติ ......................................................
9) (ab)c = a( )
ใชสมบัติ ......................................................
10) ( a – b – c )× 4= ( a× 4 ) – –
ใชสมบัติ ......................................................
-52-
Page 24
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
0 2 1 4 3 6 -1 -2 5
-4 -2 -3 0 -1 2 -5 -6 1
-6 -2 -1 -4 -3 0 -7 -5 -8
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง สามารถบวกจํานวนเต็มได
2.7 การบวกจํานวนเต็ม การบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ นักเรียนเคยแสดงการหาผลบวกของจํานวนเต็มบวกบนเสนจํานวนแลว เชน 3 + 2
ลูกศรที่แสดงการบวกดวย 2 ชี้ไปทางไหน ซายหรือขวา
เราจะใชหลักเกณฑอยางเดียวกนัในการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับ
จํานวนเต็มลบบนเสนจํานวนดังตัวอยาง
1) หาผลบวก (-3) + (-2) แสดงไดดังนี้
ลูกศรที่แสดงการบวกดวย -2 ชี้ไปทางไหน
นักเรียนคิดวาจะอานคําตอบไดอยางไร
2) หาผลบวก (-3) + (-5) แสดงไดดังนี้
เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มลบกบัจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้
1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน
(-4) + (-1) , (-2) + (-4) , (-7) + (-2)
2. นักเรียนคิดวา ผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบสองจํานวนจะเปนจํานวนเต็มลบเสมอไป
หรือไม
3. ใหนักเรียนหาผลบวก (-4) + (-1) โดยนําคาสัมบูรณของ -4 และ -1 มาบวกกันแลวตอบ
เปนจํานวนเต็มลบ นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม
4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก (-2) + (-4) , (-7) + (-2) นกัเรียน
ไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม
-53-
Page 25
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
1 5 6 3 4 7 0 2 -1
-1 3 4 1 2 5 -2 0 -3
โดยทัว่ไปการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ จะใชวิธีการเชนเดียวกับใน
ขอ 3 ใหนักเรียนใชวธิีการดังกลาวหาผลบวกตอไปนี ้
1) (-25) + (-3)
2) (-3) + (-25)
3) (-12) + (-8)
4) (-8) + (-12)
ตัวอยางที ่1 จงหาผลบวก (-14) + (-16)
วิธีทาํ (-14) + (-16) = -30 ตอบ
ตัวอยางที ่2 จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนที่อยูในวงเล็บใหญกอน (-7) + [(-5) + (-26)]
วิธีทาํ (-7) + [(-5) + (-26)] = (-7) + (-31)
= -38 ตอบ
การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ
บนเสนจํานวน ในกรณีจํานวนที่เปนจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา ดังตัวอยาง
1) หาผลบวก 6 + (-4) แสดงไดดังนี ้
6 + (-4) = 2
2) หาผลบวก (-2) + 5 แสดงไดดังนี้
(-2) + 5 = 3
ในการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบกับจํานวน
เต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณของจํานวนเต็มลบแตละ
จํานวนมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ
-54-
Page 26
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
-2 2 3 0 1 4 -3 -1 -4
-6 -2 -1 -4 -3 0 -7 -5 1
เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้
1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน 5 + (-3) , (-4) + 7
2. คําตอบในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเตใมลบ
3. ใหนักเรียนหาผลบวก 5 + (-3) โดยนาํคาสัมบูรณของ 5 และของ –3 มาลบกัน แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มบวก นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม
4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก (-4) + 7 นักเรียนไดคําตอบเทากับ
ที่หาไดในขอ 1 หรือไม
5. ใหนักเรียนหาผลบวกตอไปนี้โดยนําคาสัมบูรณมาลบกนั แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก
ใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนที่เปนจํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
1) 10 + (-5)
2) 12 + (-4)
3) (-4) + 12
4) (-4) + 5
5) (-5) + 10
6) 5 + (-4)
7) 29 + (-3)
8) (-3) + 29
ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบบน
เสนจํานวน ในกรณีจํานวนที่เปนจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา ดังตัวอยาง
1) หาผลบวก 3 + (-5) แสดงไดดังนี ้
3 + (-5) = -2
2) หาผลบวก (-6) + 2 แสดงไดดังนี้
(-6) + 2 = -4
เพื่อจะหาวิธีบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ใหนกัเรียนตอบคําถาม
ตอไปนี้
1. จงแสดงการหาผลบวกตอไปน้ีบนเสนจํานวน (-8) + 5 , 4 + (-9)
2. คําตอบที่ไดในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ
-55-
Page 27
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
3. ใหนักเรียนหาผลบวก (-8) + 5 โดยนําคาสัมบูรณของ -8 และของ 5 มาลบกัน แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มลบ นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีห่าไดในขอ 1 หรือไม
4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลบวก 4 + (-9) นักเรียนไดคําตอบเทากับ
ที่หาไดในขอ 1 หรือไม
5. ใหนักเรียนหาผลบวกตอไปนี้ โดยนาํคาสัมบูรณมาลบกนั แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ
ใหนักเรียนสังเกตวาจํานวนที่เปนจํานวนเต็มลบ มีคาสัมบูรณมากกวา
1) (-7) + 4
2) (-12) + 6
3) 3 + (-9)
4) 2 + (-11)
5) (-10) + 2
6) 3 + (-16)
7) (-23) + 13
8) 15 + (-28)
หลักเกณฑการบวกจํานวนเต็มมี ดังนี ้1. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวน
เต็มบวก
2. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มลบ ใหนาํคาสัมบูรณมาบวกกัน แลวตอบเปนจํานวน
เต็มลบ
3. การหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณไมเทากัน ใหนํา
คาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวกหรือลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณ
มากกวา
จงหาผลบวกโดยใชหลักเกณฑที่สรุปไวขางตน
1. 15 + 5
2. 5 + 15
3. 21 + (-8)
4. (-8) + 21
5. (-19) + (-1)
6. (-1) + (-19)
7. 4 + (-7)
8. (-7) + 4
9. 1 + (-5)
10. (-5) + 1
ในการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับ
จํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณไมเทากัน ใหนําคา
สัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก
หรือลบ ตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา
-56-
Page 28
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
-2 3 -1 5 6 0 2 4 1
3 -2 -1 -4 -3 0 2 -5 1
ตัวอยางท่ี 3 จงหาผลบวก 32 + (-17)
วิธีทาํ 32 + (-17) = 15 ตอบ
ตัวอยางท่ี 4 จงหาผลบวก [(-19) + 8] + (-2)
วิธีทาํ [(-19) + 8] + (-2) = (-11) + (-2)
= -13 ตอบ
ใหนักเรียนพิจารณาการแสดงการหาผลบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบบน
เสนจํานวน ในกรณีจํานวนทั้งสองมีคาสัมบูรณเทากัน ดังตัวอยาง
1) หาผลบวก 5 + (-5) แสดงไดดังนี ้
5 + (-5) = 0
2) หาผลบวก (-3) + 3 แสดงไดดังนี้
(-3) + 3 = 0
ใหนักเรียนสังเกตวา -5 เปนจํานวนตรงขามของ 5
และ 3 เปนจํานวนตรงขามของ -3
ผลบวกที่ได คือ 5 + (-5) = 0 และ (-3) + 3 = 0 ซึ่งเปนไปตามสมบัติที่วา ผลบวกของ
จํานวนใดๆ กบัจํานวนตรงขามของจํานวนนั้นตองเปน 0
ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้
1. จงหาผลบวก
1) 12 + (-12)
2) 68 + (-68)
3) (-39) + 39
4) (-521) + 521
2. ถา a เปนจํานวนใดๆ จงหาผลบวก
1) a + (-a)
2) (-a) + a
-57-
Page 29
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี จงหาผลบวกบนเสนจํานวนตอไปนี ้
1) (-3) + (-4)
2) (-1) + (-5)
3) 7 + (-3)
4) 4 + (-9)
5) (-2) + 7
6) (-4) + 10
7) (-5) + (-3)
แบบฝกหัดที่ 5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-58-
Page 30
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
8) 4 + (-11)
9) (-8) + 13
10) 9+ (-4)
11) (-9) + 5
12) 8 + (-8)
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด)
ขอ 1. จงหาผลลัพธ
(-5) + (-8) = ………………..
(-8) + (-5) = ………………..
(-7) + (-1) = ………………..
(-1) + (-7) = ………………..
(-19) + (-6) = ………………..
(-6) + (-19) = ………………..
(-46) + (-57) = ………………..
(-57) + (-46) = ………………..
(-214) + (-49) = ………………..
(-49) + (-214) = ………………..
(-25) + (-145) = ………………..
(-145) + (-25) = ………………..
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 3
-59-
Page 31
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 2. นกัเรียนคิดวา จํานวนเต็มลบมีสมบัติการสลับทีสํ่าหรับการบวกหรือไม
ขอ 3. จงหาจาํนวนที่แทน x แลวทาํใหไดประโยคที่เปนจริง
x + (-5) = -6 ……………...
(-2) + x = -9 ……………...
x + (-10) = -15 ……………...
(-12) + x = -21 ……………...
ขอ 4. จงหาผลลัพธโดยบวกสองจํานวนที่อยูในวงเล็บใหญกอน
(-3) + [(-1) + (-8)] =
[(-3) + (-1)] + (-8) =
(-2) + [(-4) + (-5)] =
[(-2) + (-4)] + (-5) =
[(-10) + (-6)] + (-7) =
(-10) + [(-6) + (-7)] =.
[(-17) + (-13)] + (-9) =
(-17) + [(-13) + (-9)] =
.
ขอ 5. นกัเรียนคิดวา จํานวนเต็มลบมีสมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการบวกหรือไม …………….......
ขอ 6. จงหาผลบวก
20 + 200 = ………………….
200 + 20 = ………………….
(-6) + (-18) = ………………….
(-18) + (-6) = ………………….
(-1) + (-11) = ………………….
(-11) + (-1) = ………………….
(-3) + 40 = ………………….
40 + (-3) = ………………….
26 + (-42) = ………………….
(-42) + 26 = ………………….
ขอ 7. ใหนักเรียนแทน a และ b ดวยจาํนวนทีก่ําหนดใหในประโยค a + b = b + a แลวดูวาประโยค
ที่ไดเปนจริงหรือเท็จ
a = 5 , b = 6 3) a = 23 , b = -9
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
a = -2 , b = -8 4) a = 6 , b = -11
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
………………………………………… …………………………………………
ขอ 8. จากขอ 6 และขอ 7 นกัเรียนคิดวา การบวกจํานวนเต็มมีสมบัติการสลับทีห่รือไม .............
-60-
Page 32
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 9. ใหนักเรียนแทน a , b และ c ดวยจํานวนทีก่ําหนดใหในประโยค ( a + b ) + c = a + ( b + c )
แลวดูวาประโยคที่ไดเปนจริงหรือเท็จ
a = 3 , b = 4 , c = 2 a = -1 , b = 3 , c = 5
a = -5 , b = -2 , c = 7 a = 23 , b = -14 , c = -6
a = -8 , b = -19 , c = -10
ขอ 10.นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มมีสมบัติการเปล่ียนกลุมสําหรับการบวกหรือไม ..........................
ขอ 11. จงหาผลบวก
(-16) + 8 + (-4) = ……………….….
(-2) + 3 + 2 = ……………….….
(-5) + (-5) + 5 = ……………….….
8 + 2 + (-10) = ……………….….
13 + (-9) + (-1) = ……………….….
24 + 7 + (-6) = ……………….….
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง สามารถลบจํานวนเต็มได
2.8 การลบจํานวนเต็ม ในการลบจํานวนเต็มนัน้ เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังนี ้
ตัวอยางเชน 6 – 2 = 6 + (-2)
2 – 6 = 2 + (-6)
(-15) – 3 = (-15) + (-3)
4 – (-9) = 4 + 9
(-13) – (-11) = (-13) + 11
ใหนักเรียนเขียนการลบตอไปนี้ในรูปการบวกดวยจํานวนตรงขามของตัวลบ ตามตัวอยาง
ขางตน
1. 8 – 5
2. 3 – 4
3. 7 – 12
4. (-2) – 4
5. (-9) – 5
6. (-10) – 12
7. 3 – (-7)
8. 20 – (-9)
9. 16 – (-30)
10. (-3) – (-8)
11. (-5) – (-2)
12. (-4) – (-16)
ตัวต้ัง – ตัวลบ = ตัวต้ัง + จาํนวนตรงขามของตัวลบ
-61-
Page 33
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
เมื่อเขียนการลบใหอยูในรูปการบวกแลวจึงหาผลบวกของจํานวนเต็มตามวิธกีารบวกที่เคยสรุป
ไว ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลลบ (-3) – 4
วิธีทาํ (-3) – 4 = (-3) + (-4)
= -7 ตอบ
ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลลบ 2 – (-3)
วิธีทาํ 2 – (-3) = 2 + 3
= 5 ตอบ
ตัวอยางท่ี 3 จงหาผลลบ (-2) – (-6)
วิธีทาํ (-2) – (-6) = (-2) + 6
= 4 ตอบ
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาผลลัพธตอไปนี ้
1) 3 – 12 = 2) 18 – 23 =
3) -9 + 16 = 4) 132 – 184 =
5) 336 – 363 = 6) -75 + 199 =
7) 48 – 32 – 64 = 8) 15 – 18 + 14 – 20 =
9) -12 + 15 – 17 + 18 = 10) 25 – 36 + 17 – 35 =
11) 42 – 50 – 17 – 8 = 12) -19 – 18 – 17 – 16 =
13) -76 + 77 – 79 + 72 = 14) 35 – 32 – 38 + 30 =
15) (-5) + 8 = 16) 12 – 9 =
17) (-4) + (-8) = 18) (-12) + (-15) + (-9) =
19) -12 + 7 = 20) (-18) + 11 =
21) 24 – (-19) = 22) -(-8) – (-4) =
23) (-21) + (-13) = 24) (-41) – (-8) =
แบบฝกหัดที่ 6
-62-
Page 34
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
25) [(-12) + (-13)] – 15 = 26) -8 – [ 4 – (-9)] =
= =
= =
27) 3 – [(-7) + (-8)] = 28) ( -12 – 15 ) – ( 15 – 19 ) =
= =
= =
ให a = -1 , b = -3 , c= -5 จงหาคาของ
29) a + b + c = 30) a – b – c =
= =
31) a + ( b – c ) = 32) ( a – b ) + c =
= =
ให a = 3 , b = -2 , c = -1 จงหาคาของ
33) a – b + c = 34) ( a + b ) – c =
= =
35) a – ( b + c ) = 36) c – ( a – b ) =
= =
ให P = 2 , Q = -2 , R = 1 , S = 1 จงหาคาของ
37) P + Q – R + S = 38) ( P – Q ) + ( R – S ) =
= =
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลลบ
7 – 9 = ……………………………...
...........................................
2 – 15 = ……………………………...
...........................................
0 – 26 = ……………………………...
...........................................
(-27) – 8 = …………………………….
.........................................
(-3) – 14 = …………………………….
.........................................
(-18) – 3 = …………………………….
.........................................
0 – (-10) = ……………………………...
...........................................
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 4
-63-
Page 35
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
6 – (-45) = ……………………………...
...........................................
104 – (-30) = …………………………...
.......................................
(-49) – (-49) = ………………………….
......................................
(-31) – (-22) = ………………………….
.........................................
(-15) – (-16) = …………………………….
........................................
ขอ 2. จงหาคาของ y ที่ทาํใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) 0 – 2 = y …………………
2) (-1) – 0 = y …………………
3) 0 – 0 = y …………………
4) 0 – (-5) = y …………………
5) 8 – y = 0 …………………
6) 0 – y = 0 …………………
7) (-3) – y = 0 …………………
8) y – 6 = 0 …………………
9) y – 4 = -1 …………………
10) 0 – y = 7 …………………
ขอ 3. จงหาคาของ ( a + b ) – c เมื่อ
1) a = 3 , b = -6 , c = 5
2) a = 4 , b = -3 , c = -2
3) a = 8 , b = -8 , c = -1
ขอ 4. จงหาคาของ a + ( b – c ) เมื่อ
1) a = 4 , b = -6 , c = -6
2) a = -7 , b = -18 , c = -24
3) a = -5 , b = 3 , c = 3
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
สามารถคูณจํานวนเต็มได 2.9 การคูณจํานวนเต็ม
การคูณจํานวนเต็มมีสมบัติการสลับที่ การเปล่ียนกลุม และการแจกแจงบนการบวก ซึ่งเราจะ
ใชสมบัติเหลานี้ในการหาผลคูณ การคูณจํานวนเต็มบวกกบัจํานวนเต็มลบ ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้
4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2
2 × 5 = 5 + 5
5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7
ตัวอยางเหลานี้แสดงความหมายของการคูณ
-64-
Page 36
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ในทาํนองเดียวกัน
3 × (-4) = (-4) + (-4) + (-4)
= -12
ใหนักเรียนเขียนการคูณจํานวนตอไปนี้ในรูปการบวกแลวหาผลลัพธ
1. 5 × (-2)
2. 3 × (-1)
3. 12 × (-3)
เพื่อจะหาวิธีคูณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบใหรวดเร็วข้ึน ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี ้
1. ใหนักเรียนหาผลคูณ 6 × (-5) โดยเขียนการคูณใหอยูในรูปการบวกกอน
2. คําตอบที่ไดในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ
3. ใหนักเรียนหาผลคูณ 6 × (-5) โดยนาํคาสัมบูรณของ 6 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ –5
แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ นักเรียนไดคําตอบเทากับคําตอบในขอ 1 หรือไม
4. ใหนักเรียนใชวิธีการเชนเดียวกับในขอ 3 หาผลคูณตอไปนี ้
1) 3 × (-2)
2) 7 × (-3)
3) 4 × (-6)
4) 15 × (-4)
การคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก
ใหนักเรียนพิจารณาผลคูณตอไปนี้
1. 5 × (-2)
2. (-2) × 5
นักเรียนจะหาผลคูณในขอ 1 โดยเขียนเปนรูปการบวกของ -2 ไดหรือไม
นักเรียนจะหาผลคูณในขอ 2 โดยเขียนเปนรูปการบวกของ 5 ไดหรือไม
ในการหาผลคูณ (-2) × 5 เราจะใชสมบัติการสลับที่สําหรับการคูณจํานวนเต็ม ดังนี ้
(-2) × 5 = 5 × (-2)
= -10
จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบ
เปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณ
ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้
-65-
Page 37
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรียนหาผลคูณตอไปนี้ โดยอาศัยวิธคูีณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ตามตัวอยาง
ขางตน
1. (-3) × 7
2. (-10) × 4
3. (-15) × 8
4. (-32) × 41
นักเรียนหาผลคูณของจํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวกไดอยางไร
เพื่อจะหาวิธีคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก ใหนกัเรียนตอบคําถามตอไปนี ้
1. ใหนักเรียนหาผลคูณ (-4) × 6 โดยอาศัยการคูณจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ
2. คําตอบที่ไดในขอ 1 เปนจํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ
3. ใหนักเรียนหาผลคูณ (-4) × 6 โดยนาํคาสัมบูรณของ -4 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ 6
แลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ นักเรียนไดคําตอบเทากับคําตอบในขอ 1 หรือไม
4. ใหนักเรียนใชวิธีเชนเดียวกบัในขอ 3 หาผลคูณตอไปนี้
1) (-5) × 4
2) (-11) × 9
3) (-13) × 6
4) (-15) × 8
วิธีคูณจํานวนเต็มบวกกบัจํานวนเต็มลบ และวิธีคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มบวก
เหมือนกนัไม ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลคูณ 38 × (-5)
วิธีทาํ 38 × (-5) = -190 ตอบ
ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลคูณ (-26) × 20
วิธีทาํ (-26) × 20 = -520 ตอบ
จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบ
เปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณ
ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้
-66-
Page 38
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
การคูณจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ในการหาผลคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ เชน (-3) × (-2) เราจะใชสมบัติการ
แจกแจงดังนี ้
เนื่องจาก (-2) + 2 = 0
ฉะนัน้ (-3) × [(-2) + 2] = (-3) × 0
= 0
จากสมบัติการแจกแจง
(-3) × [(-2) + 2] = [(-3) × (-2)] + [(-3) × 2]
ฉะนัน้ [(-3) × (-2)] + [(-3) × 2] = 0
เราทราบวา (-3) × 2 = -6
ฉะนัน้ [(-3) × (-2)] + (-6) = 0
ประโยคขางตนกลาววา (-3) × (-2) เปนจํานวนที่บวกกับ (-6) แลวได 0 แตจํานวนที่บวก
กับ -6 แลวได 0 มีอยูจํานวนเดียว คือ 6
ดังนัน้ (-3) × (-2) = 6
โดยทัว่ๆ ไปเราสามารถพิสูจนไดวา ผลคูณของจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบเปนจํานวน
เต็มบวกเสมอ
ใหนักเรียนหาผลคูณ (-3) × (-2) โดยนําคาสัมบูรณของ -3 ไปคูณกับคาสัมบูรณของ -2 แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มบวก นกัเรียนไดคําตอบเทากับทีท่าํมาขางตนหรือไม
ใหนักเรียนหาผลคูณตอไปนี้ โดยใชวธิีหาผลคูณของคาสัมบูรณ
1. (-1) × (-2)
2. (-1) × (-1)
3. (-9) × (-5)
4. (-36) × (-4)
จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปน
จํานวนเต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลคูณของ
คาสัมบูรณของสองจํานวนนัน้
-67-
Page 39
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
หลักการคูณจํานวนเต็มสรุปยอๆ ได ดังนี้ 1. จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มบวก ผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก
เชน 9 × 7 = 63
2. จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มลบ ผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก
เชน (-9) × (-7) = 63
3. จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มลบ หรือจํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวก ผลลัพธเปน
จํานวนเต็มลบ
เชน 9 × (-7) = -63
(-9) × 7 = -63
ตัวอยางที ่3 จงหาผลคูณ (-15) × (-12)
วิธีทาํ (-15) × (-12) = 180 ตอบ
ตัวอยางท่ี 4 จงหาผลคูณ [9 × (-13)] × (-7)
วิธีทาํ [9 × (-13)] × (-7) = (-117) × (-7)
= 819 ตอบ
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลคูณ
1) 4 × (-6) =
2) 2 × (-100) =
3) 4 × (-25) =
4) 20 × (-2) =
5) 52 × (-30) =
6) 36 × (-110) =
ขอ 2. จงหาผลคูณ
1) (-7) × 5 =
2) (-90) × 3 =
3) (-11) × 64 =
4) (-55) × 12 =
5) (-400) × 20 =
6) (-101) × 150 =
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 5
-68-
Page 40
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 3.จงหาผลคูณ
1) (-1) × (-1) =
2) (-1) × 1 =
3) (-5) × 8 =
4) 1 × (-6) =
5) (-20) × 11 =
6) (-12) × (-14) =
7) 47 × (-10) =
8) (-12) × (-12) =
ขอ 4. จงแทนคา a , b และ c ดวยจาํนวนทีก่ําหนดใหในประโยค ( a × b ) × c = a × ( b × c )
แลวดูวาประโยคที่ไดเปนจริงหรือไม
1) a = -1 , b = 4 , c = 3
2) a = 2 , b = -5 , c = 7
3) a = -3 , b = -2 , c = 8
4) a = -2 , b = -3 , c = -6
5) a = 4 , b = 3 , c = -6
ขอ 4. จงหาผลคูณ
1) (-6) × 10 × (-4) =
2) (-1) × (-1) × (-1) =
3) (-7) × (-5) × 8 =
4) (-2) × (-9) × 1 =
5) (-36) × 120 × 5 =
6) 8 × (-10) × (-10) =
7) (-4) × (-7) × (-2) =
8) 10 × (-20) × (-5) × (-2) =
9) 1 × (-7) × (-22) × 53 =
10) (-1) × 1 × 9 × 41 × (-1) =
ขอ 5. จงหาคา b ทีท่ําใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) b × 3 = -12
2) 7 × b = -7
3) (-2) × b = 8
4) (-1) × b = 1
5) b × 1 = -1
6) 6 × (-10) × b = -60
7) 100 × b = -500
8) (-1) × b = 4
9) (-5) × b × (-5) = -125
10) (-1) × b × (-1) = 1
ขอ 6. จงหาคา x เมื่อกาํหนด a , b และ c ใหดังนี ้
x = a × b , a = 3 , b = -2
x = -a – c , a = -5 , c = -2
x = a – ( b × c ) , a = -7 , b = -3 , c = -4
x = 5 × ( a – b ) , a = 0 , b = 2
x = ( 6 – a ) × c , a = -1 , c = -2
-69-
Page 41
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 7. จงแทนคา a , b และ c ดวยจาํนวนที่กําหนดให
เพื่อหาคา a × ( b + c ) และ ( a × b ) + ( a × c ) นักเรียนไดผลลัพธเทากนัหรือไม
1) a = 5 , b = 1 , c = -1
2) a = -7 , b = -3 , c = -2
3) a = -4 , b = -8 , c = 1
4) a = -1 , b = 6 , c = -3
5) a = 6 , b = -12 , c = -7
ขอ 8. จงแทน a , b และ c ดวยจํานวนทีก่ําหนดให
เพื่อหาคา ( b + c ) × a และ ( b × a ) + ( c × a ) นักเรียนไดผลลัพธเทากนัหรือไม
1) a = 4 , b = 1 , c = -2
2) a = -5 , b = 4 , c = -9
3) a = -4 , b = -6 , c = -5
4) a = -7 , b = -2 , c = 8
5) a = 8 , b = -2 , c = -10
ขอ 9. จงเติมจาํนวนในชองทีเ่วนไวใหถกูตอง
1) (-2) × ( a + b ) = [(-2) × a] + [(-2) × …….. ]
2) (-7) × ( a + b ) = [(-7) × a] + [ …… × …… ]
3) ( 2 + c ) × …… = 8 + ( c × 4 )
4) 3 × ( b + …… ) = ( 3 × b ) + (-12)
5) ( x × y ) + ( x × z ) = x × ( …… + …… )
6) ( …… × …… ) + ( z × x ) = ( y + z ) × x
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
สามารถหารจํานวนเต็มได
2.10 การหารจํานวนเต็ม นักเรียนตอบไดหรือไมวาเพราะเหตุใด 24 หารดวย 8 จงึได 3
ใหนักเรียนพิจารณาประโยคทั้งคูขางลาง
24
8 = 3
8 3× = 24
ตัวต้ัง
ตัวหาร ผลหาร
-70-
Page 42
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ประโยค 8 3× = 24 เปนตัวอยางหนึง่ที่แสดงวา
ตัวหาร × ผลหาร = ตัวต้ัง
เราจะใชหลักขอนี้หาผลหารของจํานวนเต็มดังตอไปนี้
1. หาผลหาร 30
5
−
ให 30
5
− = a
ดังนัน้ a×5 = -30
เนื่องจาก 5 ( 6)× − = -30
ฉะนัน้ a = -6
ดังนัน้ 30
5
− = -6
2. หาผลหาร 30
5−
ให 30
5− = a
ดังนัน้ ( 5) a− × = 30
เนื่องจาก ( 5) ( 6)− × − = 30
ฉะนัน้ a = -6
ดังนัน้ 30
5− = -6
3. หาผลหาร 30
5
−−
ให 30
5
−−
= a
ดังนัน้ ( 5) a− × = -30
เนื่องจาก ( 5) 6− × = -30
ฉะนัน้ a = 6
ดังนัน้ 30
5
−−
= 6
-71-
Page 43
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรียนทําแบบฝกหัดตอไปนี้
1. ให a แทนผลลัพธ จงเปล่ียนประโยคตอไปนี้ใหอยูในรูปการคูณ แลวหาคาของ a
1) 14
7 = a
2) 18
2
− = a
3) 5
1− = a
4) 7
1
−−
= a
5) 1
1
−−
= a
2. จากขอ 1 ใหนักเรียนหาผลลัพธ a ในแตละขอ โดยนาํคาสัมบูรณของตัวต้ังและของตัวหาร
มาหารกนั
ถาทัง้ตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคูก็ตอบเปนจาํนวน
เต็มบวก
ถาตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึง่เปนจํานวนเต็มลบโดยทีอี่กตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก
ก็ตอบเปนจาํนวนเต็มลบ
3. คําตอบในแตละขอที่ไดในขอ 1 และขอ 2 เทากนัหรือไม
ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลหาร 444 ÷ (-12)
วิธีทาํ 444 ÷ (-12) = -37 ตอบ
ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลลัพธ { }[ ]( 7) ( 9) ( 11) ( 13)− × − + − ÷ −
วิธีทาํ { }[ ]( 7) ( 9) ( 11) ( 13)− × − + − ÷ − = [ ]63 ( 11) ( 13)+ − ÷ −
= 52 ( 13)÷ −
= -4 ตอบ
การหารจํานวนเต็มใหนําคาสัมบูรณของตัวต้ังและ
ของตัวหารมาหารกนั
ถาทัง้ตัวต้ังและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือ
จํานวนเต็มลบทั้งคูจะไดคําตอบเปนจํานวนบวก
ถาตัวต้ังหรือตัวหารตัวใดตัวหนึง่เปนจํานวน
เต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวกจะไดคําตอบ
เปนจํานวนลบ
-72-
Page 44
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาตอไปนี ้
1) 2 × (-4) =.................................................
2) 2) (-6) × 3 =.................................................
3) (-5) × (-1) =.................................................
4) (-7) × (-8) =.................................................
5) 3 × (-4) × (-1) =...........................................
6) (-8) × (-2) × 2 =...........................................
7) (-4) × (-3) × (-2) =.....................................
8) (-1) × (-1) × (-1) =.....................................
9) (-1)× (-1)× (-1)× (-1) =.....................................
10) [(-3) × 4× (-8) × (-1)] × 0 =............................
11) (3)(-4)(-2) =.................................................
12) 2(-5)(-6) =......................................................
13) –18 ÷ 2 =......................................................
14) 20 ÷ (-5) =................................................
15) 16
18
−−
=.....................................................
16) 15
3
− =.....................................................
17) 14
2− =..........................................................
18) (-25) ÷ (-1) =...............................................
19) 0 ÷ (-18) =...............................................
20) (-20) ÷ 0 =...............................................
แบบฝกหัดที่ 7
-73-
Page 45
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 2. กาํหนดให m = -18 , n = -3 , p = 2 จงหาคาของ
1) m ÷ n =.............................................................
2) p × m =.............................................................
3) n × p =.........................................................
4) m ÷ p =........................................................
5) n ÷ m =............................................................
6) ( n ÷p )× m =.......................................................
ขอ 3. กาํหนดให x = -1 , y = 1 , z = -2 จงหาคาของ
1) xyz =........................................ 2) xz
y =..................................................
3) yz ÷ x =........................................................................................................
4) z ÷ xy =........................................................................................................
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี ขอ 1. จงหาคาของตัวแปรทีแ่ทนประโยคแลวเปนจริง
1) a + a = a 2) a ÷ a = a
3) c× 0 = 0 4) c – c = 0
5) x × (-1) = x 6) 1 ÷ x = -1
7) y + 7 = 0 8) 7y = 0
9) a – 7 = 7 – a 10) a(a – 2) = 0
ขอ 2. จงหาคําตอบในแตละขอ
1) [ 2 + (-3)] ÷ (-1) 2) ( 3 – 8 ) ÷ ( 2 – 3 )
3) ( 4 – 6 )( 6 – 4 ) 4) ( 9 – 11 )( 3 – 6 )
5) ( -2 – 8 ) ÷ ( -1 – 1 ) 6) [ 3 × (-2)][ 2 × (-3)]
7) -3(-1) + 2(-4) 8) 8) (-1)(-1) + 3(-2)
9) ( -1 – 2 )( 3 – 5 )( -4 + 5 ) 10) -12 ÷ (-4)(-3)
แบบฝกหัดที่ 8
-74-
Page 46
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 3. ให T = [( - P + Q )× M ] ÷ K จงหาคาของ T เม่ือ
1) P = 1 , Q = -2 , M = -1 , K = 1 2) P = -2 , Q = 3 , M = 2 , K = -1
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
3) P = 3 , Q = -1 , M = 0 , K = -3 4) P = 1 , Q = -1 , M = 1 , K = -1
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
ขอ 4. กาํหนดให a = -1 , b = 2 , c = -2 จงหาคาของ
1) a × ( b – c ) 2) ( a × b ) – ( a × c )
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
3) ( b – c ) × a 4) ( b × a ) – ( c × a )
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
5) ( a × c ) × b 6) a × ( c × b )
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
-75-
Page 47
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) ขอ 1. จงหาผลหาร
1) (-29) ÷ (-29) =
2) 8 ÷ (-8) =
3) (-17) ÷ (-1) =
4) (-42) ÷ 2 =
5) (-21) ÷ (-3) =
6) 140 ÷ (-70) =
7) (-200) ÷ 40 =
8) (-441) ÷ 21 =
9) (-100000) ÷ (-100) =
10) 550 ÷ (-11) =
ขอ 2. เขียน ab แทน a × b และให x = ( ab – c ) ÷ d จงหาคา x เมือ่
1) a = 3 , b = -2 , c = 5 , d = 1
2) a = -3 , b = -4 , c = 2 , d = -2
3) a = -5 , b = 2 , c = -31 , d = 7
4) a = 1 , b = -1 , c = -2 , d = -1
5) a = -3 , b = 2 , c = -1 , d = -1
ขอ 3. ใหนักเรียนพิจารณาประโยค a – b = b – a เม่ือ a ≠ b แลวตอบคําถามตอไปน้ี
1) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคขางบนเปนจริงไดหรือไม
2) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคขางบนเปนเท็จไดหรือไม
3) การลบมีสมบัติการสลับทีห่รือไม
ขอ 4. ใหนักเรียนพิจารณาประโยค a ÷ b = b ÷ a เม่ือ a ≠ b แลวตอบคําถามตอไปนี ้
1) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือใหประโยคนี้เปนจริงไดหรือไม
2) จะหาจํานวนมาแทน a และ b เพ่ือทําใหประโยคนี้เปนเทจ็ไดหรือไม
3) การหารมีสมบัติการสลับทีห่รือไม
ขอ 5. ให y = [(-a + b) × c ] ÷ d จงหาคา y เม่ือ
1) a = -6 , b = 4 , c = -9 , d = 3
2) a = -31 , b = 7 , c = 0 , d = -2
3) a = 5 , b = -13 , c = -1 , d = 4
4) a = -8 , b = -2 , c = -1 , d = 1
5) a = 0 , b = -8 , c = -2 , d = 16
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 6
-76-
Page 48
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
X
Y
0 1 2 3 4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
-1
-1-2
-2
-3
-3
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
2
1
3
4
-4
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. สามารถบอกพิกัดของจุดตาง ๆ ที่อยูบนกราฟได
2. สามารถลงจุดของคูอันดับที่กาํหนดใหบนระนาบจํานวนได
2.11 กราฟ นักเรียนเคยใชเสนจํานวนเฉพาะสวนที่แสดงศูนยและจํานวนบวกสองเสนเปนแกนในการเขียน
กราฟมาแลว ตอไปนี้เราจะใชเสนจํานวนที่แสดงจํานวนเต็มทั้งสองเสนเปนแกนในการเขียนกราฟ เสน
จํานวนทั้งสองนั้นถือวาอยูบนระนาบเดียวกัน เราเรียกระนาบนี้วา ระนาบจาํนวน จุดแตละจุดที่อยูบน
ระนาบจํานวนนี้จะแทนคูอันดับเพียงคูเดียวเทานัน้และเมื่อเขียน ( a , b ) เราหมายความวา a และ b เปน
จํานวนใดๆ กไ็ด
ใหนักเรียนพิจารณาระนาบจํานวนตอไปนี ้
-77-
Page 49
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
X
Y
0 1 2 3 4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
-1
-1 -2
-2
-3
-3
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
2
1
3 4
(-3 , 1)
(-3 , -4)
(2 , 2)
R
S
P
Q
-4
บนระนาบจํานวน เสนจํานวนที่อยูในแนวนอนเรียกวา แกน X และเสนจํานวนที่อยูในแนวต้ัง
เรียกวา แกนY
เม่ือแทนคูอันดับใดๆ ดวยจุดบนระนาบจํานวน สมาชิกตัวทีห่นึง่ของคูอันดับแทนดวยจํานวนที่อยู
บนแกนนอน และสมาชิกตัวที่สองของคูอันดับแทนดวยจํานวนที่อยูบนแกนต้ัง โดยท่ัวไปเราเขียนคูอันดับ
ใดๆ ในรูป ( x , y ) ดังนั้น แทน x ดวยจํานวนที่อยูบนแกนX และแทน y ดวยจํานวนที่อยูบนแกน Y
เม่ือ P เปนจุดจุดหนึง่บนระนาบจํานวนที่เปนกราฟของ ( x , y ) จะกลาววาจุด P มีพิกัดเปน ( x ,
y ) และเขียนแทนดวย P( x , y )
จงพิจารณารูปขางตนแลวหาพิกัดของจุด P , Q , R และ S
-78-
Page 50
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
X
Y
0 1 2 3 4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9 -1
-1-2
-2
-3
-3
-4
-5
-5
-6
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
2
1
3
4
A
B
C
D
E
F
G
H
-4
จงหาพกิัดของจุด A , B , C , D , E , F , G และ H จากรูปที่กาํหนดใหขางตน
นักเรียนจะเหน็วาแกนX และแกนY แบงระนาบจํานวนออกเปนส่ีสวน แตละสวนเรียกวา จตุภาค
และกําหนดใหมีลําดับเปนจตุภาคที่ 1 , จตุภาคที่ 2 , จตุภาคที่ 3 และจตุภาคที่ 4 ดังในรูปขางบน
จตุภาคที่ 2
จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4
จตุภาคที่ 1
-79-
Page 51
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรยีนตอบคําถามตอไปน้ี
ขอ 1. จากกราฟท่ีกาํหนดใหในแตละขอ จงเขียนพิกัดของจุดตางๆ บนระนาบจํานวน
1) 2)
3) 4)
5)
0 1 2 3 4
0
X
Y
-1 -2 -3 -4
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
1
0
2
3
4
-1
-2
-3
-4
5 10 15 20 -5 -20 -15 -10
C
B
A
D
E
F
4
4
-4
-4
R
S U
T
X
Y
X
Y
3 -12 -9 -6 -3 0 6 9 12
3
6
9
12
-3
-6
-9
-12
J
K
L
G
H
I
X
Y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4 Q P O
N
M
X
Y
แบบฝกหัดที่ 9
-80-
Page 52
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ขอ 2. จงลงจุด( x , y ) จากคา x และ y ในตารางตอไปนี้บนระนาบจํานวน
1)
x 3 0 -2 1 -4
y 4 5 3 -6 -2
2)
x -6 -5 -4 -3 -2
y 2 3 4 5 6
-81-
Page 53
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
3) จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจํานวน พรอมทัง้ลากเสนตรงใหผานจุดเหลานั้น และสังเกต ตัวหลังของคู
อันดับเปนอยางไร
( -1 , 4 ) , ( -2 , 4 ) , ( -3 , 4 ) , ( 0 , 4 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 4 )
ผลของการสังเกต
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
4) จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจํานวน พรอมทั้งลากเสนตรงใหผานจุดเหลานั้น และสังเกต ตัวหนาของคู
อันดับเปนอยางไร
( -5 , 3 ) , ( -5 , 2 ) , ( -5 , 1 ) , ( -5 , 0 ) , ( -5 , -1 ) , ( -5 , -2 )
ผลของการสังเกต
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
-82-
Page 54
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
ใหนักเรยีนแสดงวธิีทํา (ลงในสมุด) 1. จงหาพกิัดของจุด P , Q , R , S , M และ N บนกราฟเสนตรงในรูป
1)
2)
จุด P …………
จุด Q …………
จุด R …………
จุด S …………
จุด M …………
จุด N …………
X
Y
0 2 4 6 8 -2 -1
-2
-4 -6
-3
-8
-4
•
1
4
3
2
•
• R
Q
P
Y
•
•
•
1
1
4
3
2
0 2 3 4 -1 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
X
S
M
N
แบบฝกหัดเพ่ิมเติม 7
-83-
Page 55
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
2. จงหาพกิัดของจุด A , B , C , D และ E บนกราฟเสนตรง L1 และ L2
3. จงหาพกิัดของจุด A , B , C และ D ซ่ึงอยูบนกราฟรูปวงกลม
จุด A …………
จุด B …………
จุด C …………
จุด D …………
จุด E …………
จุด A …………
จุด B …………
จุด C …………
จุด D …………
0 1 2 3 -1 -2 -3
3
2
1
-1
-2
-3
-4
4
• •
•
•
•
X
Y
A D
C
E
B
L1
L2
Y
X
A
B D
C
0
4
3
2
1
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1
-2
-3
-4
-84-
Page 56
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
4. จงหาพกิัดของจุด M , N , O , P , Q และ R บนกราฟเสนตรงในรูป
5. จงเขียนพิกัดของจุด P, Q R และ S ที่อยูบนเสนกราฟ L1 และ L2
จุด M …………
จุด N …………
จุด O …………
จุด P …………
จุด Q …………
จุด R …………
จุด P …………
จุด Q …………
จุด R …………
จุด S …………
•
• • • •
• 0
5
10
15
20
-5 -10 -15 -20
-5
-10
-15
-20
5 10 15 20 X
Y
M
N O
P Q
R
•
•
•
•
8
6
4
2
0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2
-4
-6
-8
X
Y
P
Q
R
S
L1
L2
-85-
Page 57
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
6. เสนตรง L1 , L2 , L3 และ L4 ตัดกันที่จุดใดบาง
7. จงลงจุดตอไปนี้บนระนาบจาํนวน
A( -3 , 2 ) , B( 0 , 6 ) , C( -4 , -5 ) , D( 2 , -3 ) , E( -5 , 0 ) และ F( 4 , 4 )
จุด ..................
จุด ..................
จุด ..................
จุด ..................
•
•
•
•
Y
X
L1
L2
L3
L4
0
-86-
Page 58
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
8. จงลงจุด ( x , y ) จากคา x และ y ในตารางตอไปนี ้บนระนาบจํานวนพรอมทัง้เขียนช่ือจุดกํากับ
ดวย
1)
x 0 1 -2 3 -4 -5 6
y 0 -1 2 -3 4 5 -6 ชื่อจุด A B C D E F G
2)
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 ชื่อจุด H I J K L M N O
-87-
Page 59
Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th
3)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 ชื่อจุด P Q R S T U V W
9. ใหนักเรียนสอบถามน้ําหนักและสวนสูงของเพ่ือนในหองเรียนจํานวน 10 คน แลวบันทกึลงใน
ตารางขางลาง พรอมทั้งเขียนกราฟของคูอันดับ
ชื่อ น้ําหนัก (กิโลกรัม)
สวนสูง (เซนติเมตร)
-88-