యూ õట్ – 5 - mooc.nios.ac.inmooc.nios.ac.in/mooc/pluginfile.php?file=/14003/coursecat/description... · ప్ూర్ణ్ సంఖ్ాయ సి ó õ ‘Z’ అన

ప్రాథమిక విద్యలో డపి్లమా (D.El.Ed)

1

యూనిట్ – 5 సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలప ై ప్రాధమిక చతురిిధ ప్కా్రియలు

నిరరాణము: 5.0 ప్రిచయం 5.1 అభ్యసన లక్ష్యయలు 5.2 వివిధ సంఖ్య సమితులు 5.2.1 సహజ సంఖ్యలు మరియు ప్ూరరణ ంక్రలు 5.2.2 ప్ూర్ణ సంఖ్యలు 5.2.3 అకర్ణీయ సంఖ్యలు 5.3 సంఖ్యలప ై చతురిిధ ప్కా్రయిల ధరరాలు 5.3.1 సహజ సంఖ్యలు మరియు ప్ూరరణ ంక్రలప ై ప్కా్రయిలు 5.3.2 ప్ూర్ణ సంఖ్యలప ై ప్కా్రయిలు 5.3.3 అకర్ణీయ సంఖ్యలప ై ప్కా్రియలు 5.4 క్రర్ణ ంక్రలు మరియు గుణిజాలు 5.4.1 సరమానయ క్రర్ణ ంక్రలు మరియు గరిష్ట సరమానయ క్రర్ణ ంకం 5.4.2 సరమానయ గుణిజాలు మరియు కనిష్ట సరమానయ గుణిజాలు 5.5 అంకగణితము మరియు వినియోగము 5.6 చరిచంచిన ముఖ్ాయంశరలు 5.7 మీ ప్గాతిని ప్రీక్ష్ించుక్ొనుటకు మాదిరి జవరబులు 5.8 చద్వవలసిన మరియు సంప్దాించవలసిన గంిదీలు 5.9 యూనిట్ చివరి అభ్యయసరలు


2

5.0 పరిచయం

మన నితయ జీవితంలో మనం ఉప్యోగించే లేద మనకు ఎద్ుర్య్యయ చ లా వసుు వనలను మనం ల్క్రచంచవలసిన అవసర్ం ఉంటదంది.ఉదా: కుటదంబ సభ్యల సంఖ్య, ప్రఠశరల/తర్గతి లోని విద యర్ధు ల సంఖ్య, బటటలు క్ొనడ నిక్ర క్రవలసిన ధనం, కూర్గరయలు మరియు ప్ప్ను దినుసులు బర్ధవనలు, పిలలల క్ొఱకు ప్నసుక్రలు, ఇంటి నుండి ప్రఠశరలకు గల ద్ూర్ం, ఒక గది యొకచ పొ్ డవన మరియు వెడలుు మొద్లగునవి. ఎంత తేడ ఎనిి అని చెప్ుడ నిక్ర సంఖ్యలు చ లా అవసర్ం.వసుు వనలను ల్క్రచంచడ నిక్ర, వేరవిర్ధ ప్రిమాణ లు వయకుప్ర్చడ నిక్ర పొ్ డవన, వెడలుు, ఘనప్రిమాణము క్ొలవడ నిక్ర, క్రలానిి వయకుప్ర్చడ నిక్ర సంఖ్యలు చ లా అవసర్ం. సంఖ్యలు మన జీవితంలో ఎంతగర ముడిప్డిప్ో యాయంటే అవి లేకుండ మనం ఏదీ ఆలోచించలేం. అయ్తే మనం ఈవరళ ఉప్యోగించే సంఖ్యలు న గరికత ప్రార్ంభ్ంలో కనిప టటలేద్ు. వేరవిర్ధ ప్రాచీన న గరికతలోల అభివృదిు చెందిన క్ొనిి సంఖ్య వయవసథలను బయద ద ం. మాయన్ వ్యవ్స్థ :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 బాబిలోనియన్ వ్యవ్స్థ :

రోమన్ వ్యవ్స్థ :


3

I II III IV V VI VII VIII IX X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 XXX XL L LX LXX LXXX C CC CCC CD D M 30 40 50 60 70 80 100 200 300 400 500 1000 ఈ సంఖ్ాయ వయవసథలోల , వేరవిర్ధ సంఖ్యలకు సంజఞలను గుర్ధు ప టదట క్ోవడం కష్టంగర ఉండేది. అంతే క్రకుండ , వివిధ ప్కా్రియల్ైన కూడిక, తీసివేత మొద్లగునవి చేయడం కూడ కష్టంగర ఉండేవి. భారతదేశం యొక్క విశిష్ట మ ైన సేవ్:ఈ న టి హ ంద్ూ-అర్బిక్ వయవసథ అనగర 0,1,2,3,4,5,6,7,8 మరియు 9 అంక్ెలప ై ఆధ ర్ప్డిన అర్బుులు వరయప్రరరర్ుం దీనిని మొద్ట వరరి దేశంలోనూ ఆతర్ధవరత నెమాదిగర అనిి దేశరలలోనూ అనుసరించ ర్ధ. అంద్ువలల ఈ సంఖ్ాయ వయవసథనుహ ంద్ూ – అర్బిక్ వయవసథ అంటయర్ధ. ఈ వయవసథలో మిగత వయవసథలతో పో్ ల్చచనట్లల నఒక విశిష్టమ ైన ప్యాోజనం ఉనిది. అదేంటంటే ఎంత ప ద్ద సంఖ్యనెైన ఈ ప్ది అంక్ెలను ఉప్యోగించి వయకుప్ర్చవచుచ/వరాయవచుచ. ఒక్ స్ంఖ్యలో స్థథ న విలువ్ : ఈ 10 అంక్ెలు ఒక అంక్ెగల 10 సంఖ్యలను సూచిసరు య్. మనకు 9 కంటే ప ద్దవెైన సంఖ్య అవసర్మ ైన, మనం 10, 11, 12,...........59,............98 మరియు 99 మొద్లగునవి రెండంక్ెల సంఖ్యలను రరబటట వచుచ. ఈ సంఖ్యలను ఎటయల రరబటయట మో మీకు తెలుసు. ఈ రెండంక్ెల సంఖ్యలోల రెండు సరథ న లున ియ్, కుడి వెైప్నన ఉనిది ఒకటల సరథ నం, ఎడమవెైప్నన ఉనిది ప్ద్ుల సరథ నం.


4

ఒకటలసరథ నంలోఅంక్ె ఒక్వ ఒకచ విలువను కల్చగి ఉంటదంది. i.e, 26లో, ఒకటల సరథ నంలో ఉని అంక్ె 6. దీని విలువ ప్ద్ుల సరథ నంలో ఉని అంక్ె 2. దీని సరథ న విలువ 20 (2 x 10 = 20) అదే విధంగర వంద్ల సరథ నంలో ఉని అంక్ె యొకచ సరథ న విలువ ద ని ముంద్ు విలువకు 100 రెటదల ఉంటదంది. సరథ న విలువల గూరిచ మీకు బయగర తెలుసు. అయ్తే, తన సరథ న నిక్ర సంబంధం లేకుండ ఒక్వ విలువను కల్చగిన అంక్ె ఒకటదనిది. అదే సున ి (0). భ్యర్తీయ గణిత నిక్ర అందించిన విశిష్టమ ైన సేవ ‘0’ (సున ి) సంఖ్యలోని ఏసరథ నంలో ఉనిప్ుటిక్ీ ద ని విలువ సున ి. అయ్తే‘0’ యొకచ ప్రాముఖ్యత ఎంటి? ఏదెైన ఒక మూడంక్ెల సంఖ్య, 308 తీసుకుంద ం. ప్ద్ుల సరథ నంలోని ‘0’ విలువ సుని, ఒక వేళ ‘0’ అనిది లేకుంటే 308 సంఖ్య ఏమ ైయుండేది? ఈ సంఖ్య 38 అయుయంటదంది. అప్నుడు మొతుం సందేహమే. ఇకచడ‘0’ సరథ న లను ఖ్చిచతంగర ఉంచి, ఆ సంఖ్యకు సరెైన గురిుంప్ననిసుు ంది. ఈ అధ యయంలో మనం నితయ జీవితంలో ఉప్యోగించు క్ొనిి ప్రాధమిక సంఖ్య వయవసథ గురించి మరియు సంఖ్ాయ వయవసథలప ై ప్రాధమిక ప్కా్రయిల ధరరాలను గూరిచ చరిచద ద ం. ఈ అధ యయం ప్ూరిు చేయడ నిక్ర కనీసం 10 గంటలు అవసర్మౌతుంది. 5.1 అభ్యస్న లక్ష్యయలు : ఈ అధ యయం అధయయనం ద ిరర మీర్ధ ఈ క్రంిది సరమరరు ాలు సరగించగలర్ధ.

హ ంద్ూ – అర్భిక్ వయవసథలో సంఖ్యల యొకచ ప్రాముఖ్యతను అవగరహన వేరవిర్ధ సంఖ్య సమితులను గురిుంచుట ఉద : సహజ సంఖ్యలు, ప్ూర్ణ సంఖ్యలు

మరియు అకర్ణీయ సంఖ్యలు. వేరవిర్ధ సంఖ్ాయ సమితులప ై ప్రాధమిక ప్కా్రయిల్ైన కూడిక, తీసివేత,

గుణక్రర్ంమరియు భ్యగహార్ంల యొకచ ధరరాలను తెలుసుక్ొనుట. సహజ సంఖ్ాయ సమితిలో క్రర్ణ ంక్రలను మరియు గుణిజాలను కనుగొనుట.


5

5.2 వివిధ స్ంఖ్ాయ స్మితులు: 5.2.1 స్హజ స్ంఖ్యలు మరియు పూరథణ ంకథలు : ప్రార్ంభ్ంలో మనిషి వసుు వనలను ల్క్రచంచడమే ప్ధా న లక్ష్యం P సంఖ్యల వయవసథను ఆశించ డు. అంద్ువలన 1,2,3,4,...... అనీి ల్క్రచంచే సంఖ్యలను సృషిటoచ డు. ఈ సంఖ్యలనుసహజ సంఖ్యలని కూడ అంటయర్ధ. ఈ సంఖ్యలను వసుు వనల సముద యంతో ఈ క్రంిది విధంగర సంబంధప్రిచ ర్ధ:

వసుు వనల

సముద

యం

సంఖ్య పేర్ధ ఒకట ి రెండు మూడు న లుగు

సంఖ్య

గుర్ధు

1 2 3 4

అంద్ువలల ల్క్రచంచే సంఖ్య వయవసథలో ఒక్ొచకచ సంఖ్య ప్తాేయకంగర ఒక్ొచకచ వసుు సముద యంతో సంసర్గం కల్చగి ఉంది దీనుిండి మీర్ధ ఈ క్రంిదివి గమనించవచుచ.

i. అనిింటి కంటే చిని సహజ సంఖ్య 1 ii. ప్తాి సహజ సంఖ్య ద ని తరరిత సంఖ్యను కల్చగి ఉంది. అనగర ప్తాి సంఖ్యకు

తరరిత సంఖ్య 1ని కలప్డం ద ిరర (ముంద్ు సంఖ్యకు) వసుు ంది. ఉద : 4 తరరిత సంఖ్య 5 మరియు 29 యొకచ తరరిత సంఖ్య 30.

iii. ప్తాి సహజ సంఖ్య (1 మినహా) ముంద్ు సంఖ్యను కల్చగి ఉంది. ఉద : 7 యొకచ ముంద్ు సంఖ్య 6 మరియు 60 ముంద్ు సంఖ్య 59

iv. 2 నుండి ఎంత ప ద్ద సంఖ్య తీసుకున ి ద ని కంటే ప ద్ద సహజ సంఖ్య ఉంటదంది.


6

పూరథణ ంకథలు: సహజ సంఖ్యలలో ‘0’ లేద్ని మీర్ధ గమనించి ఉంటయర్ధ. ఎంద్ుకంటే, వసుు వనలను ల్క్రచంచడం ఎలలప్నుడూ ‘1’ తోనే ప్రార్ంభ్మౌతుంది. క్రనీ, మనం సంఖ్యలను సంజఞలతో వరాసినప్నడు 10,20,30,........100 మొద్లగునవి సూచించడ నిక్ర మనం ‘0’ ను వరడుత ము. విష్యాలు సర్ళం చేయడ నిక్ర సహజ సంఖ్యలకు ‘0’ ను చేరిచ ప్ూరరణ ంక్రల సమితిని ఏర్ురిచ ర్ధ. దీనిని‘W’ తో సూచిసరు ర్ధ. ముంద్ుకు వెళ్ళేముంద్ు మీ ప్గాతిని ప్రీక్ష్ించుక్ోండి: E1. ఎంద్ుకు సహజ సంఖ్య 1క్ర ముంద్ు సంఖ్య లేద్ు? E2. అతి చిని ప్ూరరణ ంకము ఏది? E3. 8 ఈ క్రంిది సరథ న లు ఆకిమించినప్నడు 8 యొకచ ముఖ్ విలువకు మరియు సరథ న విలువకు మధయ తేడ ఏమి?

i. ఒకటల సరథ నము ii. ప్ద్ుల సరథ నము iii. వంద్ల సరథ నము

5.2.2 పూరణ స్ంఖ్యలు : నితయ జీవితంలో ఎద్ుర్య్యయ వేరవ వేర్ధ సంద్రరులను ప్రిశీల్చంచినటదల న, మనం వయతిరవక లక్ష్ణ లు కల్చగిన ఈ క్రంిద్ చూపిన క్ొలతలను గమనిసరు ం. లాభ్ము - నష్టము ఆసిు - అప్ను వెయయడం - తీస యయడం ప ైక్ర - క్రంిదిక్ర ప ైన చూపించిన విధంగర వయతిరవక లక్ష్ణ లను క్ొలవడంలో, ఈ క్రంిద్ ప్టిటకలో చూపినటదల గర సమనియ సిథతిని గమనించవచుచ.

వయతిరవక లక్ష్ణ లను క్ొలవడం సమనియ సరథ నం

లాభ్ము - నష్టము

ఆసిు - అప్ను

లాభ్ం లేద్ు, నష్టము లేద్ు

ఆసిు లేద్ు, అప్ను లేద్ు


7

వెయయడం - తీస యయడం

ప ైక్ర - క్రంిదిక్ర

వేయనూ లేద్ు, తీయనూ లేద్ు

ప ైక్ర లేద్ు, క్రంిదిక్ీ లేద్ు.

ప ై ఉద హర్ణలలో, సమనియ సరథ నం సుని సరథ య్ని సూచిసుు ంద్ని గమనించవచుచ. అంద్ువలల , 1,2,3,........ సంఖ్యలకు వయతిరవకంగర ఉండే సంఖ్యలను సృషిట oచ ర్ధ. క్రబటిట ఈ క్రంిద్ చూపినటదల గర మనకు వయతిరవక సంఖ్యల జతలు ఏర్ుడ ా య్. (+1) + (-1) = 0 (+2) + (-2) = 0 (+3) + (-3) = 0 మొద్ల్ైనవి. ఇప్నుడు మనం చూసుు ని సంఖ్ాయ వర్ధస ఏద్నగర .........-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,........... ఈ సంఖ్ాయ సమితిని ప్ూర్ణసంఖ్యలు అంటయర్ధ. అనగర సహజ సంఖ్యలకు ‘0’ ను చేరిసేు ఏర్ుడే సంఖ్యలు ప్ూరరణ ంక్రలు అయ్తే, ప్ూరరణ ంక్రలకు ఋణ సంఖ్యలను కలుప్గర ఏర్ుడే సంఖ్యలను ప్ూర్ణ సంఖ్యలు అంటయర్ధ. +1,+2,+3,+4,............ మొద్లగునవి సంఖ్యలను ధన ప్ూర్ణ సంఖ్యలు అంటయం. మరియు-1,-2,-,3,-4,..... మొద్లగు సంఖ్యలను ఋణ ప్ూర్ణ సంఖ్యలు అంటయం. ప్ూర్ణ్ సంఖ్ాయ సమితిని ‘Z’ అను అక్ష్ర్ంతో సూచిసరు ం.

i. అతి ప ద్ద ప్ూర్ణ్ సంఖ్య ఉండద్ు. ఎంద్ుకంటే ఏ ప ద్ద ప్ూర్ణ సంఖ్యను తీసుకున ి, ద నికంటే ప ద్ద ప్ూర్ణసంఖ్య ఉంటదంది.

ii. అతి చిని ప్ూర్ణ సంఖ్య ఉండర్ధ. ఎంద్ుకంటే, ఎంత చిని ప్ూర్ణ సంఖ్య తీసుకున ి, ద ని కంటే చిని ప్ూర్ణ సంఖ్య ఉంటదంది.

iii. ప్ూర్ణ సంఖ్య వర్ధసలో +p అను ప్తాి ప్ూర్ణ సంఖ్యకు (+p + (-p) = 0 అయ్యయటటదల గర-p అను ప్ూర్ణ సంఖ్య ఉంటదంది. ఈ+p మరియు-p లను ఒకద నిక్ొకటి వయతిరవక సంఖ్యలు అంటయం.


8

iv. 0(సున ి) ధన సంఖ్య క్రద్ు, ఋణ సంఖ్య క్రద్ు. పూరణ స్ంఖ్యలను వ్రుస్ క్రమంలో వ్థా యడం మరియు స్ంఖ్ాయ రేఖ్ప ై గురితంచడం. ఈ క్రంిది ఇవిబడిన ప్ూర్ణ సంఖ్యల వర్ధస కమిాలను గమనించినట్లల న, అవి కుడి వెైప్నకు వెళళే క్ొదీద ప ర్ధగుతూ, ఎడమవెైప్నకు వెళళే క్ొదీద తగుగ తూ ఉన ియ్. ...............-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,........................ అంద్ువలల ...............<-3,<-2,<-1,<0,<+1,<+2,<+3,............. ప్ూర్ణ సంఖ్యలను గురిుంచడ నిక్ర సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై బింద్ువనలను కూడ ఉప్యోగించవచుచ. దీని విధ నం ఈ క్రంిది ఇవిబడింది.

i. ఒక సర్ళరవఖ్ను గీచి ద ని L అని పేర్ధ ప టటండి. (ఇకచడ L మొతుం రవఖ్ని సూచిసుు ంది. ఇది రవఖ్ప ై బింద్ువనను సూచించద్ు.)

ii. సమాన ద్ూరరలలో ఆ రవఖ్ప ై బింద్ువనలను గురిుంచండి. ఏవెైన రెండు వర్ధస బింద్ువనల మధయ ద్ూరరనిి ప్మాాణ ద్ూర్ం అంటయం.

iii. ఏదేని ఒక బింద్ువనను ‘O’ అని పేర్ధ ప టిట ద నిని సున ిగర సూచించండి. iv. ‘0’ (సున ి)కు కుడివెైప్నన గల బింద్ువనలను వర్ధసగర 1,2,3,4,..... లుగర

సూచించండి.

ఇప్నుడు మనం L రవఖ్ను సంఖ్ాయ రవఖ్ అంటయం. 5.2.3 అక్రణీయ స్ంఖ్యలు: ఇప్నుడు మనం మొతుంలోని భ్యగరలను చూద ద ం.


9

ఒకట ి రెండు సమాన

భ్యగరలలో ఒక భ్యగం

3 సమాన భ్యగరలలో

ఒక భ్యగం

4 సమాన

భ్యగరలలో ఒక

భ్యగం

మొతుం యొకచ భ్యగరలను సూచించడ నిక్ర సృషిటంచిన ప ైన చూపిన సంఖ్యలు ఈ క్రంిద్ ఇవిబడ ా య్. ఒక వసుు వన రెండు సమాన భ్యగరలలో ఒక భ్యగం : ½ (సగం, ఒకటి బ ై రెండు) ఒక వసుు వన యొకచ 3 సమానభ్యగరలలో ఒక భ్యగం : 1/3 (మూడో వంతు, ఒకటి బ ై మూడు) ఒక వసుు వన యొకచ 4 సమాన భ్యగరలలో ఒక భ్యగం : ¼ (న లుగో వంతు, ఒకటి బ ై న లుగు) అదే విధంగర, ఈ క్రింది ప్టంలో షేడ్ చేసిన భ్యగం,

¾ ను సూచిసుు ంది (3 లవము, 4 హార్ము)

2/3 ను సూచిసుు ంది (2 లవము, 3 హార్ము)


10

4/6 ను సూచిసుు ంది (4 లవము మరియు 6 హార్ము) ఒక మొతుం వసుు వన యొకచ వేరవిర్ధ భ్యగరలను క్ొలవడ నిక్ర నిరిాంచిన సంఖ్యలను భిని సంఖ్యలు లేద భిన ిలు అంటయర్ధ. కుల ప్ు ంగర, ఒక మొతుంలో క్ొంత భ్యగం లేద ఒక సమూహంలో క్ొనిింటిని భినిం అంటయం.

i. క్రమ భిననము:2/3, 3/8, 5/7 మొఎఅల్ైనవి కమి భిన ిలు, ఇకచడ లవము < హార్ము. ఈ భిన ిలనీి 1 కంటే తకుచవ అని గమనించవచుచ.

ii. అపక్రమ భిననము:5/3, 11/7, 28/5 మొద్లగునవి అప్కమి భిన ిలు, ఇకచడ లవము > హార్ము అని గమనించవచుచ.

iii. మిశరమ భిన్ానలు:2 1/3, 3 2/7 మొద్లగునవి మిశమి భిన ిలు. ఈ మిశమి భిన ిలను అప్కిమ భిన ిలుగర మరియు అప్కమి భిన ిలను మిశమి భిన ిలుగర మార్చవచుచను. 2 1/3= 7/3, 3 2/7 = 23/7

iv. యూనిట్ భిన్ానలు : లవము‘1’ గర గల భిన ిలను యూనిట్ భినిం అంటయం. ఉద హర్ణ: ½, 1/5, 1/7 మొద్లగునవి

v. స్మానభిన్ానలు: లవ, హారరలను ఒక్వ ధన ప్ూర్ణ సంఖ్యచే గుణించిన, భినిం ర్ూప్ంలో మార్ధు ఉంటదంది క్రనీ విలువ మార్ద్ు. ద నిని సూక్ష్మాకరించిన మళ్ళే అదే భినిం ఏర్ుడుతుంది. క్రబటిట ఒక్వ విలువ కల్చగిన భిన ిలను సమాన భిన ిలు అంటయర్ధ. ఉద హర్ణకు,

a. 2/3 = 4/6 = 8/12 అంద్ువలల 2/3,4/6,8/12, సమాన భిన ిలు. b. 40/16 = 20/8 = 10/4 = 5/2, అంద్ువలల

40/16,20/8,10/4,5/2లు సమాన భిన ిలు.


11

vi స్జాతి భిన్ానలు:సమాన హారరలు గల భిన ిలను సజాతి భిన ిలు అంటయం. ఉద : 1/15, 2/15, 3/15, 4/15 మొద్లగునవి అక్రణీయ స్ంఖ్యలు:p/q ర్ూప్ంలో ఉంది, p,q లు ప్ూర్ణ సంఖ్యల్ై మరియు q .........o అయ్న అటిట సంఖ్యలను అకర్ణీయ సంఖ్యలు అంటయం. ఈ సంఖ్యలను ‘Q’ అను అక్ష్ర్ంతో సూచిసరు ము. ప్తాి భినిము ఒక అకర్ణీయ సంఖ్య. అకర్ణీయ సంఖ్యల ఉద హర్ణ: 2/7, -3/4, 0/5, 4/-9 ఈ క్రంిద్ గమనించండి: 1=3/3, 2=10/5, -4=-8/2, 0=0/9 క్రబటిట అనిి ప్ూర్ణ్ సంఖ్యలను p,q లు ప్ూర్ణ సంఖ్యల్ై q ...... 0 అయ్యయటటదల గర అకర్ణీయ సంఖ్యలుగర వరాయవచుచను. అంద్ువలల ప్తాి ప్ూర్ణ్ సంఖ్య ఒక అకర్ణీయ సంఖ్వయ. ఈ క్రంిది ప్రఠం సహజ సంఖ్యలు (N), ప్ూరరణ ంక్రలు(W), ప్ూర్ణ సంఖ్యలు (Z) మరియు అకర్ణీయ సంఖ్యలు (Q) మధయ గల సంబంధమును సూచిసుు ంది.

Q అనిి ప్ూర్ణ సంఖ్యలని, మరియు ప్ూర్ణ సంఖ్యలు క్రని ½, 2/7, -3/8 లాంటి సంఖ్యలని కల్చగి ఉంటదంది.

Z అనిి ప్ూరరిమాచలని, మరియు ఋణ ప్ూర్ణ సంఖ్యలను కల్చగి ఉంటదంది. W అనిి సహజ సంఖ్యలని మరియు సునిని కల్చగి ఉంటదంది. స్ంఖ్ాయ రేఖ్ప ై అక్రణీయ స్ంఖ్యలు:మనం ప్ూర్ణ సంఖ్యలను సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై చూప్డమ లాగో ముందే చూశరం. ఇప్నుడు అకర్ణీయ సంఖ్యలను సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై చూప్నద ం. (i)¾, (ii) -2/5, (iii) 2 2/3 లను సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై చూప్నద ం.


12

¾ అనగర ఒక మొతుం యొకచ 4 సమాన భ్యగరలలోని 3 భ్యగరలు అని మనకు తెలుసు.

సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై 0 నుండి 1వర్కూ గల భ్యగరనిి 4 సమాన భ్యగరలుగర విభ్జంచ ము. A,B,C మరియు D అనునవి 0 నుండి 1 వర్కూ గల భ్యగరనిి 4 సమాన భ్యగరలుగర సూచించిన భింద్ువనలు. 0 నుండి C వర్కూ గల భ్యగము 4 సమాన భ్యగరలలో 3 సమాన భ్యగరలను సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై సూచిసుు ంది. సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై ¾ ని‘C’ అని బింద్ువన సూచిసుు ంది. -2/5 ని స్ంఖ్ాయ రేఖ్ప ైస్ూచంచుట.

ప ై సంఖ్ాయ రవఖ్ప ై, -2/5 ను B సూచిసుు ంది. 2 2/3 ని స్ంఖ్ాయ రేఖ్ప ై చూపుట

ప ైసంఖ్ాయ రవఖ్ప ై 2 2/3 ని B సూచిసుు ంది. అక్రణీయ స్ంఖ్యను పామాణ రూపంలో వ్థా యుట:p/q ర్ూప్ంలో ఉంది, p,qల యొకచ సరమానయ క్రర్ణ ంకము 1 మాతమేా అయ్యంది. q > 0 అయ్తే ఆ అకర్ణీయ సంఖ్యను ప్మాాణ ర్ూప్ంలో ఉంది అంటయము. తరరిత భ్యగరనిక్ర వెళ్ళే ముంద్ు మీ ప్గాతిని ప్రీక్ష్ించుక్ోండి. ఉద : ఈ క్రింది ప్వాచన లు తపో్ ు లేక ఒప్ో ు పేరొచనుము: (a) అనిి సహజ సంఖ్యలూ ప్ూర్ణ సంఖ్యలే (b) అనిి ప్ూర్ణ సంఖ్యలు ప్ూరరణ ంక్రలే


13

(c) ప్ూరరణ ంక్రలు అకర్ణీయ సంఖ్యలు క్రవన (d) ఋణ ప్ూర్ణ సంఖ్యలు అకర్ణీయ సంఖ్యలు క్రలేవన. (e) అనిి అకర్ణీయ సంఖ్యలు ప్ూర్ణ సంఖ్యలు క్రవన.

5.3 స్ంఖ్యలప ై చతురిిధ పాకరరయల ధరథాలు: ప్రాహమిక చతురిిధ ప్కా్రియల్ైన కూడిక, తీసివేత, గుణక్రర్ం, భ్యగహార్ంమనకు బయగర తెలుసు. ఈ భ్యగంలో, వివిధ సంఖ్ాయ సమితులప ై ఈ చతురిిధ ప్కా్రయిల యొకచ ధరరాలను మీర్ధ తెలుసుకుంటయర్ధ. 5.3.1 స్హజ స్ంఖ్యలు మరియు పూరథణ ంకథలప ై పాకరరయలు: సహజ సంఖ్ాయ సమితిక్ర ‘0’ చేర్చడం ద ిరర ప్ూరరణ ంక్రల సమితి ఏర్ుడుతుంద్ని మీకు తెలుసు అంద్ువలల చతురిిధ ప్రాధమిక ప్కా్రియల యొకచ ధరరాలు ఈ రెండు సంఖ్ాయసమితులప ై చ లా వర్కూ ఒక్వ విధంగర ఉంటయయ్. క్రబటిట ఈ రెండు సంఖ్ాయ సమితులను కల్చపి ఈ భ్యగంలో చరిచసుు న ిం. (a)స్ంక్లనం:రెండు ర్క్రల ఒక్వ విధమ ైన వసుు వనలను చేరిచనప్నడు, ఏర్ుడిన క్ొతు వసూు సముద యంలోని సంఖ్యల మొత ు నిి ఎలా కనుగొంటయo. మనం 2 అగిగ ప్నలలను 5 అగిగప్నలలకు కలాప్రలనుకుంటే, దీనినిరెండు ర్క్రలుగర కూడమని విధ యర్ధు లకు చెప్ువచుచ. ఒక ప్ద్దతి ఏంటంటే అనిి అగిగప్నలలలను కల్చపి, మొతుం ప్నలలల సంఖ్యను కనుగొనడం రెండవ ప్ధ్ుతి ఒక సమూహంలోనివి అటేల ఉంచి, మిగిల్చనవి రెండవ సమూహం నుంచి ఒక్ొచకచటి కలప్రల్చ.


14

సహజ సంఖ్యలు మరియు ప్ూరరణ ంక్రలోల క్ొనిి సంకలన ధరరాలు: (i)స్ంవ్ృత ధరాం:రెండు సహజ సంఖ్యల ప్ూరరణ ంక్రల మొతుం కూడ ఒక సహజ సంఖ్య / ప్ూరరణ ంకము. (ii) సథథ తయంతర ధరాం: p + q = q + p (p,q లు సహజ సంఖ్యలు లేద ప్ూరరణ ంక్రలు అయ్నప్నుడు) (iii). స్హచర ధరాం:(p+q)+r = p+(q+r) = p+q+r ఈ ధర్ాం 3 (లేక అంతకంటే ఎకుచవ) సహజ సంఖ్యలు / ప్ూరరణ ంక్రల సంకలన ప్కా్రయిను తెల్చయ జవసుు ంది. (iv) పూరథణ ంకథలలో స్ంక్లన తతసమాంశము : ప్ూరరణ ంక్రల సమితిలో, 4+0=0+4=4. అదే విధంగర p+0=0+p=p (p ఏదెైన ఒక ప్ూరరణ ంకము) క్రబటిట ‘0’ ను ప్ూరరణ ంక్రల యొకచ సంకలన తతసమాంశము అంటయం. (b) వ్యవ్క్లనము: వయవకలనం అనగర తీసివేయడం. ఒక వసూు సముద యం నుండి మనం క్ొనిింటిని గరనీ లేద అనిింటినీ గరనీ తీసివేయవచుచ.ఉద హర్ణకు: 5 వసుు వనల నుండి మనం 5 గరనీ లేద 5కంటే తకుచవ వసుు వనలను గరనీ తీసివేయవచుచ. ఒక వసుు సముద యం నుండి, అనిివసుు వనలను తీసి వేసినప్నడు, ఏమీమిగలద్ు. దీనినే సున ితో సూచిసరు ం క్రబటిట , p-p=0 (p ఒక ప్ూరరణ ంకం) గుణకథరం:ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో మళ్ళే మళ్ళే కూడడ నిి గుణక్రర్ం అంటయం. ఉద : 3 + 3 ని 3 x 2 అని సూచిసరు ం. 3 + 3+ 3 ని 3 x 3 ని సూచిసరు ం. 3+ 3+ 3+ 3 ని 3 x 4 అని సూచిసరు ం. గుణకథర ధరథాలు: (i) వినిమయ ధరనం: ఈ క్రంిది ప్టిటకను గమనించుము:


15

ఒక్ొచకచ అడుా వర్ధసలో 5 ప్నవనిలున ియ్. 4 అడుా వర్ధసలున ియ్. ప్నవనిల మొతుం = 5+5+5+5 = 20

అదే విధంగర, ప్కచ ప్టంలో 5నిలువన వర్ధసలున ియ్ ఒక్ొచకచ నిలువన వర్ధసలో 4 ప్నవనిలున ియ్. క్రబటిట మొతుం ప్నవనిలు = 5x4=20 దీనుిండి, 5 x 4 = 4 x 5 అని తెలుసుు ంది. మరొక విధంగర, p,q లు ఏవేని రెండు సహజ సంఖ్యలు లేద ప్ూరరణ ంక్రల్ైన, p x q = q x p అవనతుంది క్రబటిట సహజ సంఖ్యలు మరియు ప్ూరరణ ంక్రలు గుణక్రర్ంలో వినిమయ ధరరానిి ప్రటిసరు యని అంటయం.


16

(iii) స్ంవ్ృత ధరాం:p,q ఏవేని రెండు సహజ సంఖ్యలు లేద ప్ూరరణ ంక్రలు అయ్న p x q కూడ (అనగర వరటి లబదం) ఒక సహజ సంఖ్య లేద ప్ూరరణ ంకం అవనతుంది. క్రబటిట , ప్ూరరణ ంక్రలు మరియు సహజ సంఖ్యలు గుణక్రర్ంలో సంవృత ధరరానిి ప్రటిసరు యని చెప్రు ం. (iv) గుణకథర తతసమాంశం: గుణక్రర్ంలో‘1’ క్ర ప్తాేయక ధర్ాం ఉంది p ఒక సహజ సంఖ్య అయ్న, p x 1 = 1 x p = p క్రబటిట , 1ని సహజ సంఖ్యల యొకచ గుణక్రర్ తతసమాంశo అంటయం. (v) స్ంక్లనం ప ై గుణకథరం యొక్క విభాగ న్ాయయం: p x (q+ r) = p x q + p x r అయ్న గుణక్రర్ం సంకలనంప ై విభ్యగ న యయం ప్రటిసుు ంద్ని అంటయం. ఉద హర్ణకు: 5 x (3+ 4) = 5+ 7= 35 మరియు 5x 3 + 5 x 4 = 15+20=35 5x (3+4) = 5x 3 +5 x4 (d) భాగ హారం:p,q లు సహజ సంఖ్య ల్ై మరియు pxq = r అయ్న, r p మరియుభ్యగింప్బడుతుంది అంటయం. p మరియు q లు r యొకచ క్రర్ణ ంక్రలు. దీనిని మనం ÷ చే సూచిసరు ం మరియు r ÷ p= q మరియు r ÷ q= p అని వరాసరు ం. ఉద హర్ణ: 3 x 5= 15 క్రబటిట (i) 15 3 మరియు 5 లచే భ్యగింప్బడుతుంది. (ii) 3 మరియు 5 లను 15 యొకచ క్రర్ణ ంక్రలంటయం. (iii) 15ను 3మరయిు 5 ల యొకచ గుణిజం అంటయం. 15 ÷ 3= 5 మరియు 15 ÷ 5=3 అని వరాసరు ం. అంతే క్రకుండ , ( a) 1 x 12 = 12, (b) 2 x 6 = 12, (c) 3 x 4 = 12 క్రబటిట (a), (b) మరియు(c) ల నుండి, 1,2,3,4,5,6మరియు 12 12 యొకచ క్రర్ణ ంక్రలు అని చూప్వచుచ. 1,2 మరియు 3 ల గూరిచ ఏమి తెలుసు? రెండు సంఖ్యల లబదం 1గర గల సంఖ్యలు లేవన.


17

అంద్ువలల , 1 ఒక్వ ఒక క్రర్ణ ంకం కల్చగి ఉంది . అది 1 1 x 2 = 2 మరియు రెండు సంఖ్యల లబదం 2 గర గల ఇతర్ సంఖ్యలు లేవన. క్రబటిట , 2 కు గల క్రర్ణ ంక్రలు 2. అవి 1 మరియు 2. అదే విధంగర, రెండే క్రర్ణ ంక్రలు గల సహజ సంఖ్యలు చ లా ఉన ియ్. అవి 2,3,5,7,11,13... మొద్లగునవి వీటిక్ర గల క్రర్ణ ంక్రలు రెండే 1 మరియు అదే సంఖ్య , వీటినే ప్ధా న సంఖ్యలు అంటయం. 1 మరియు అదే సంఖ్య క్రర్ణ ంక్రలుగర గల సహజ సంఖ్యను ప్ధా న సంఖ్య అంటయర్ధ.

2 కంటే ఎకుచవ క్రర్ణ ంక్రలు గల 4,6,8,9,.....12,15,.... మొద్లగునవి సహజ

సంఖ్యలను సంయుకు సంఖ్యలు అంటయం.

స్ంయుక్త స్ంఖ్యల కథరణాంక్ విభ్జన: ఒక సంయుకు సంఖ్యను ప్ాధ న సంఖ్యల లబదంగర వరాయడ నిి ప్ధా న క్రర్న మచ విభ్జన అంటయర్ధ.

12= 2 x 2 x 3


18

కనుగొను విధ నం: అంద్ువలల 12 = 2 x 2 x 3. పాధాన స్ంఖ్యలక్ు స్ంబంధ ంచన కొనిన పదాలు: పరస్పర పాధాన స్ంఖ్యలు (లేదా స్థపేక్ష పాధాన స్ంఖ్యలు): “1” తప్ు ఇతర్ ఉమాడి క్రర్ణ ంక్రలు లేని సహజ సంఖ్యలను ప్ర్సుర్ ప్ధా న సంఖ్యలు లేద సరపేక్ష్ ప్ాధ న సంఖ్యలు అంటయర్ధ. ఈ క్రంిద్ క్ొనిి ఉద హర్ణలు ఇవిబడ ా య్: (i) 8 మరియు, 27 ప్ర్సుర్ ప్ధా న సంఖ్యలు ( అవి రెండూ సంయుకు సంఖ్యలు (ii) 17 మరయిు 20 లు ప్ర్సుర్ ప్ధా నసంఖ్యలు క్వ్ల పాధాన స్ంఖ్యలు:రెండు ప్ధా న సంఖ్యల భ్ేద్ం 2 అయి్న ఆ సంఖ్యలను కవల ప్ధా న సంఖ్యలు అంటయర్ధ. ఉద హర్ణకు. 3 మరియు 5,5 మరియు 7, 7 మరియు 13, 17 మరియు 19మొద్లగునవి కవల ప్ధా న సంఖ్యలకు ఉద హర్ణలు. స్రి పాధాన స్ంఖ్య: 2 ఒక్వ ఒక సరి ప్ధా న సంఖ్య. అనిింటి కంటే చిని ప్ధా న సంఖ్య కూడ 2. కొంత వ్థయపథత లోపల పాధాన స్ంఖ్యలను గురితంచుట: 1 మరియు 100 లోప్న ప్ధా న సంఖ్యలను గురిుంచు ప్కా్రయి ఈ క్రంిద్ ఇవిబడింది. దీనినే ఎర్టోసునీసు జల్ల డ అంటయర్ధ.ఎర్టోసునీసు గీకిు గణిత శరసు రజ్ఞఞ డు.


19

ప్ద్ుతి: (i) 2 కంటే ప ద్దవెైన 2 యొకచ గుణిజాలను క్ొటిట వేయండి. ii) 3 కంటే ప ద్దవెైన 3 యొకచ గుణిజాలను క్ొటిట వేయండి. (iii) 5 కంటే ప ద్దవెైన 5 యొకచ గుణిజాలను క్ొటిట వేయండి. (iv) 7 కంటే ప ద్దవెైన 7 యొకచ గుణిజాలను క్ొటిట వేయండి. 1 తప్ు మిగిల్చన క్ొటిట వేయని సంఖ్యలనీి ప్ధా న ప్ంఖ్యలే. ఎంద్ుకు ఈ ప్కా్రయి ‘7’ వద్ద నిల్చపి వేయబడింది? 100 యొకచ వర్గ మూలము 10. 10 కంటే తకుచవెైన ప్ధా న సంఖ్య 7. క్రబటిట ఈ ప్కా్రయి 7 వద్ద ఆగిప్ో య్ంది. క్రబటిట 1 నుడి 100లోప్న గల ప్ధా న సంఖ్యలు, ఈ క్రంిద్ ఇవిబడ ా య్. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89 మరియు 97.


20

ఇపుపడుమీ పాగతిని పరీక్ష్షంచు క ండష: ఉద 5: ప్ధా న సంఖ్య మరియు సంయుకు సంఖ్య క్రని సహజ సంఖ్య ఏది? ఉద 6: ప్ూరరణ ంక్రల సమితిలో సంకలన తతసమాంశo ఏది? ఉద 7: రెండు ప్ధా న సంఖ్యల భ్ేద్ం బేసి సంఖ్య. వరటి మొతుం 15 అయ్న, ఆ ప్ధా న సంఖ్యలు ఏవి? ఉద 8: 10 మరియు 30 ల మధయ ఎనిి జతల కవల ప్ాధ న సంఖ్యలు ఏర్ుడత య్? ఉద 9: ఒక భ్యగ హార్ంలో విభ్యజకము, భ్యగ ఫలము మరియు శేష్ము వర్ధసగర 8, 12 మరియు 15 అయ్న విభ్యజయము ఎంత? 5.3.2. పూరణ స్ంఖ్యలప ై పాకరరయలు: A: సంకలనము:ప్ూరరణ ంక్రలలో సంకలన ధరరాల్ైన (i) సంవృత ధర్ాం, (ii) వినిమయ ధర్ాం, (iii) సహచర్ ధర్ాం, (iv) సంకలన తతసమాంశం ప్ూర్ణ సంఖ్యలలోనూ ఉన ియ్. ప ై ధరరాలు క్రకుండ అద్నంగర ప్ూర్ణ సంఖ్యలో ఉని మరిక ధర్ాం ఈ క్రంిద్ ఇవిబడింది: (v) సంకలన విలోమం: ‘+p’ ఒక ప్ూర్ణ సంఖ్య అయి్న (+p) + (-p) = 0 అయ్యయటటదల గర (-p) అనే ప్ూర్ణ సంఖ్య ఉంటదంది. ‘+p’ మరియు‘-p’ లు ప్ర్సుర్ సంకలన విలోమాలు. ఇప్నుడు ప్ూర్ణ సంఖ్యలప ై సంకలన ప్కా్రయిను గూరిచ చరిచద ద ం. (a) ధన ప్ూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం: ధన ప్ూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం సహజ సంఖ్యల సంకలనం లాగవ ఉంటదంది. ఉద : (+5) + (+3) = +8 (b) ధన ప్ూర్ణ సంఖ్య మరియు ఋణ ప్ూర్ణ సంఖ్య సంకలనం: ఉద : (+5) + (+3) (+5) = (+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(+1) అని మనకు తెలుసు. అదే విధంగర, (-3) ని ఇలా వరాయవచుచ. -3= (-1)+(-1)+(-1). ఇప్నుడు(+5)+(-3) = (+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(+1)+(-1)+(-1)+(-1) = {(+1)+(-1)} + {(+1)+(-1)} + {(+1)+(-1)} + (+1)+(+1)


21

=0+ 0+ 0+ (+2) =0+ (+2) = +2. కుల ప్ు ప్ద్ుతిలో: (+5)(-3) = (+2)+(+3)+(-3) [+5 ని (+2)+(+3) గర వరాసరము] = (+2)+{(+3)+(-3)} = (+2)+0 = +2 మరొక ఉద హర్ణ: (+4)+(-7) = (+4)+(-4)+(-3) [-7 ని (-4)+(-3) గర వరాసరము] = {(+4)+(-4)} + (-3) = 0+(-3) = -3. (c) రెండు ఋణ ప్ూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం: (-2)+(-3) = (-1)+(-1) + (-1)+(-1)+(-1) = -5 B. వ్యవ్క్లనం: ప్ూర్ణ సంఖ్యల వయవకలనం అనగర వయతిరవక సంఖ్యల సంకలనం (అనగర సంకలన విలోమం). అంద్ువలల p మరియు q లు ఏవేని రెండు ప్ూర్ణ సంఖ్యల్ైన p-q = p+(-q) అవనతుంది. ఉద హర్ణకు: (i) (+5) - (+8) = (+5)+(-8) (ii) (+4)– (-3) = (+4)+(+3) (iii) (-5)-(+2) = (-5)+(-2) (iv) (-7)-(-3) = (-7)+(+3) సంకలన ప్కా్రయిలో మనకు ప ై ఫల్చత లు తెలుసు. ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో వయవకలనం యొకచ ఒక ప్తాేయక లక్ష్ణం ఈ క్రంిద్ చూద ద ం. సహజ సంఖ్యలోల q<p అయ్తే, p-q ఒక అర్ు వంతమ ైన ప్కా్రయి. క్రనీ, ప్ూర్ణ సంఖ్యలోల ,

q<p, q=p or q>p అయ్నప్నుడు కూడ p-q ఒక అర్ు వంతమ ైన ప్కా్రయి.


22

స్ంఖ్ాయ రేఖ్లప ై స్ంక్లన మరియు వ్యవ్క్లన పాకరరయలు: ఈ క్రంిద్ చూపిన విధంగర సంకలనం మరియు వయవకన లకు సంఖ్ాయ రవఖ్లను ఉప్యోగించవచుచ. (a) స్ంక్లనం: (సంకలనం చేయడ నిక్ర, మనం కుడివెైప్నకు కడులుత ం) (i) (+5)+(+8) = +13

(b) వ్యవ్క్లనం: (వయవకలన నిక్ర మనం ఎడమ వైెప్నకు కడులుత ం.) (i) (+6)-(+8) = -2 [+6 నుండి ఎడమవెైప్నకు 8 లేక్రచసరు ము]


23

(c) గుణకథరం: రెండు ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో ఒకటి ఋణేతర్ ప్ూర్ణ సంఖ్య అయ్న, ఆ రెండింటి గుణక్రర్ం సంకలనం అవనతుంది. (i) (+5)+(+5)+(+5)+(+5) = (+5) x 4 అంద్ువలల (+5) x(+4) = 20 [మనం సహజ సంఖ్యలతో చేసినటదల గర] (ii)(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3) = (-3) x 5 క్రబటిట(-3) x 5 = -15 ప్ూర్ణ సంఖ్యల గుణక్రరరనిక్ర గుర్ధు ల నియమాలు:

p q p x q

ధన సంఖ్య

p > 0


q > 0


p x q > 0

ఋణ సంఖ్య

p< 0


q< 0


p x q > 0


24


p > 0


q< 0


p x q < 0


p< 0


q > 0


p x q < 0


p< 0

సుని

q= 0

సుని

p x q = 0


p > 0

సుని

q= 0

సుని

p x q = 0

ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో గుణక్రర్ ధరరాలు: (i) గుణక్రర్ం సంవృత ధర్ాం ప్రటిసుు ంది. (ii) గుణక్రర్ం సహచర్ ధర్ాం (iii) గుణక్రర్ తతసమం ఉనిది.ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో గుణక్రర్ తతసమం 1. (iv)గుణక్రర్ం కూడికప ై విభ్యగ న యయం కల్చగి ఉంటదంది. కృతయము – 1

మూర్ుఉద హర్నలము తీసుకుని ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో ప ైన చూపిన గుణక్రర్ ధరరాలను

ప్రిశీల్చంచండి.


25

(d) భాగ హారం:మనం సహజ సంఖ్యలోల భ్యగహార్ం అంటే గుణక్రర్ం యొకచ వయతిరవక ప్కా్రయి అని ముంద్ుగరనే చరిచంచుకున ిం. ఇకచడ కూడ అదే విద నం. ‘p’ మరియు‘q’ లు శూనేయతర్ ప్ూర్ణ సంఖ్యలు మరియు p x q = r అయ్న, (i) r ÷ p= q (ii) r ÷ q= p అంటయం. క్రబటిట , (i) (+5) x (+3) = +15 (+15) ÷ (+5) = +3 మరియు(+15) ÷ (+3) = +5 (ii) (+4) x(-6) = -24 (-24) ÷ (+4) = -6 మరియు(-24÷ (-6) = +4 (iii) (-3) x(-5) = +15 (+15) ÷ (-3) = (-15) మరియు(+15) ÷ (-5) = -3 ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో భ్యగహార్ం యొకచ గుర్ధు ల నియమాలు:

p q p--- q

ధన తాకం

p > 0

ధన తాకం

q > 0

ధన తాకం

(p----q)>0

ధన తాకం

p > 0

ఋణ తాకం

q < 0

ఋణ తాకం

(p--- q)< 0

ఋణ తాకం ధన తాకం ఋణ తాకం


26

p< 0 q > 0 (p--- q)< 0

ఋణ తాకం

p< 0

ఋణ తాకం

q < 0

ధన తాకం

(p----q)>0

ముఖ్య గమనిక: సున ితో ప్ూర్ణ సంఖ్యలు భ్యగహార్ం ఆర్ుర్హతం (అసరధయం) లేద నిర్ిచించ లేము. మీ ప్గాతిని ప్రీక్ష్ించుక్ోవడ నిక్ర క్రంిది వరటిక్ీ సమాధ నమిముా: ఉద 10: ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో సంకలన తతసమాంశం ఏది? ఉద 11: +7 యొకచ సంకలన విలోమమేది? ఉద 12: ప్ూర్ణ సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగర 1 వచుచ ప్ూర్ణ సంఖ్య ఏది? అలాంటి ప్ూర్ణ సంఖ్యలు ఎనిి ఉన ియ్? ఉద 13: -8 నుండి +8 వర్కూ గల ప్ూర్ణ సంఖ్యల యొకచ మొత ు నిి కనుగొనుము. 5.3.3. అక్రణీయ స్ంఖ్యలప ై పాకరరయలు: A స్ంక్లనం: (i) మనం అకర్ణీయ సంఖ్యలను సజాతి భిన ిలుగర మారిచన తరరిత వరటిని సంకలనం చేసరు ము. ఉద : 3/8 +5/12 = 9/24 + 10/24 ( రెండు అకర్ణీయ సంఖ్యలు సజాతి = 9+10/24 భిన ిలుగర మార్ధచము ) = 19/24 (ii) ఈ క్రంిది నియమం వినియోగించి మనం అకర్ణీయ సంఖ్యలను సంకలనం చేసరు ము. p/q+ r/s = ps+rq/qs ఉద హర్ణకు: 2/3 + 4/5 = 2x5+3x4/3x5 = 10+12/15 = 22/15 = 17/15 గమనిక: (-8) ----- 4= -2, 8--- (-4) = -2


27

క్రబటిట , -8/4= 8/-4 = -8/4, క్రవనన –p/q = p/q = -p/q సంకలన ధరరాలు: (i) అకర్ణీయ సంఖ్యలలో సంకలనం సంవృతo (ii) అకర్ణీయ సంఖ్యలలో సంకలనం వినిమయం. (iii) అకర్ణీయ సంఖ్యలలో సంకలనం సహచర్ం (iv) సంకలన తతసమాంశం ఉనిది. Q లో సున ి సంకలన తతసమాంశం (v) సంకలన విలోమం ఉనిది. p/q మరియు –p/q లు ప్ర్సుర్ం సంకలన విలోమాలు. క్రబటిట , p/q +[-p/q] = 0 కృతయము-2

మూర్ు ఉద హర్ణలతో ప ైన చూపిన అకర్ణీయ సంఖ్యల యొకచ సంకలన ధరరాలను

ప్రిశీల్చంచుము.

B. వ్యవ్క్లనం: (i) ఒక అకర్ణీయ సంఖ్యను మరొక అకర్ణీయ సంఖ్య నుండి తీసివేయుటకు మనకు ముంద్ుగర వరటిని సజాతి భిన ిలుగర మార్ధచకుoటయము. ఉద : 5/8 – 7/12 = 15/24 -14/24 = 15-14/24 = 1/24 (ii) ఒక అకర్ణీయ సంఖ్యను మరొక సంఖ్య నుండి తీసివేయుటకు మనము వయవకలన నిి సంకలనంలోక్ర మారిచ, తర్ధవరత సంకలన నియమానిి అనుసరిసరు ర్ధ. క్రబటిట , p/q – r/s = p/q + (-r/s) = ps-qr/qs ఉద : 3/4 -2/5= 3/4+ -2/5 = 3x5+(-2)x4/4x5 = 15-8/20 = 7/20 (c) గుణకథరం: p/q మరియు r/s లు రెండు అకర్ణీయ సంఖ్యలయ్న, p/q x r/s = pxr/qxs


28

ఉద : (i) 2/3 x 4/5 = 2x4/3x5 = 8/15 (ii) -3/4x2/7 = -3x2/4x7 = -6/28 = -3/14 అక్రణీయ స్ంఖ్యలోో గుణకథర ధరథాలు: (i) గుణక్రర్ం సంవృతం (ii) గుణక్రర్ం సహచర్ం (iii) గుణక్రర్ం వినిమయం (iv) గుణక్రర్ తతసమాంశం ఉంది (Q లో గుణక్రర్ తతసమాంశం 1) (ఈ ధరరాలను మూర్ు ఉద హర్ణలతో ప్రిశీల్చంచుము) (v) గుణక్రర్ విలోమo ఉనిది. p/qx q/p= 1 క్రవనన. p/q మరియు q/p లు ప్ర్సుర్ గుణక్రర్ విలోమాలు. ఉద : 2/3 యొకచగుణక్రర్ విలోమం/వనయతకామం 3/2, 5 యొకచ గుణక్రర్ విలోమం లేద వనయతకామం 1/5 (vi) సంకలనం ప ై గుణక్రర్ం విభ్యగ న యయం కల్చగి ఉంది. ఎలాగంటే, p/q x (m/n+k/l) = p/q x m/n+ p/q x k/l ఉద , 2/3(-4/5+6/7) = 2/3 x (-4/5) + 2/3 x 6/7 అకర్ణీయ సంఖ్యలోల గుణక్రర్ం యొకచ గుర్ధు నియమాలు, ప్ూర్ణ సంఖ్యలోల నివే. కృతయము – 3

మూర్ు ఉద హర్ణలతో ప ైన సూచించిన అకర్ణీయ సంఖ్యల యొకచ గుణక్రర్ ధరరాలను

ప్రిశీల్చంచుము.

D ఒక అకర్ణీయ సంఖ్యను మరొక అకర్ణీయ సంఖ్యతో భ్యగించడ నిక్ర మొద్టి అకర్ణీయ సంఖ్యను రెండవ సంఖ్య యొకచ వనయతకాకం తో గుణించ ల్చ. అనగర, p/q ÷ r/s = p/q x s/r = ps/qr


29

ఉద : 2/3 ÷ 4/7) = 2/3 x 7/-4 = 14/-12 = -7/6 = -1 1/6 గమనిక: (i) సున ితో భ్యగహార్ం అర్ుర్హ తం. అంటే అసరధయము. లేద నిర్ిచించలేము. (ii) భ్యగహార్ం యొకచ గుర్ధు నియమాలు ప్ూర్ణ సంఖ్యలలో ఉనిటదల గరనె ఉంటయయ్. అక్రణీయ స్ంఖ్యలను దశథంశథలుగథ చూపుట: హార్ము 10 లేద 10 యోకచ ఘాత ర్ూప్ంలో ఉని అకర్ణీయ సంఖ్యలను వేరవ ర్ూప్ంలో వయకు ప్ర్ధసరు ము. ఈ క్రంిది ఉద హర్ణలు గమనించండి. 1/10 = 0.1, 2/10 = 0.2, 7/10 = 0.7 1/100 = 0.01, 2/100 = 0.02, 14/100 = 0.14 మరి క్ొనిి ఇతర్ అకర్ణీయ సంఖ్యలు చూద ద ం. ½= 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 ¾ = 3x25/4x25 = 75/100 = 0.75 5/8 = 5x125/8x125 = 625/1000 = 0.625 2/5 = 2x2/5x2 = 4/10 = 0.4 ప ై ఉద హర్ణల నుండి, అకర్ణీయ సంఖ్యల యొకచ హారరలకు 2 లేక 5 తప్ు ఇతర్ క్రర్ణ ంక్రలు లేనటలయ్తే, వరటిని ద్శరంశ సంఖ్యలుగర సూచించవచుచ. ఈ ద్శరంశరలను అంతమయ్యయ ద్శరంశరలు అని అంటయర్ధ. అయ్తే 1/3, 1/6, 2/7 మొద్లగునవి వరటి సంగతేంటి? ఈ సంద్ర్భంలో, హారరలను ఏ సంఖ్యతో గుణించిన 10 యొకచ ఘాత లుగర మార్చలేము. క్రబటిట , మనము 1 ని 3 చె భ్యగించి డ నిక్ర సమాన ద్శరంశముని దేమో చూద ద ం. ఈ భ్యగహార్ం గమనిసేు , ప్తాి సరరి ఒక్వ శేష్ం 1

ప్ననరరవను తమౌతుంద్నీ, అదేవిధంగర భ్యగ ఫలంలో ఒక్వ


30

సంఖ్య 3 ప్ననరరవృతమౌతుంద్ని గమనించవచుచ. ఈ ద్శరంశo అంతం క్రద్ు. అంద్ువలల 1/3 యొకచ ద్శరంశ ర్ూప్రనిి ఇలా వరాసరు ము. 1/3 = 0.333... ఫల్చతం ఎప్ుటిక్ీ అంతంక్రద్ు క్రబటిట , మరియు సంఖ్య 3 మళ్ళే మళ్ళే ప్ననరరవృతంమౌతూ ఉంది క్రబటిట ఈ ఫల్చత నిి అంతం క్రని మరియు ఆ వరిుత ద్శరంశ అంటయం. ప ై ద్శరంశరలకు మరి క్ొనిి ఉద హర్ణలు చూద ద ం. 0.232323... 2.53737373.... 1.342342342.... ప ై సంఖ్యలను సంక్వత ర్ూప్ంలో ఈ క్రంిది విధంగర కూడ వరాసరు ము. 0.333...... = 0.3 బయర్ 0.232323... = 0.23 బయర్ 2.5373737... = 2.537 బయర్ 1.342342342... = 1.342 బయర్ అంతం క్రనీ మారియు ఆవృతం క్రని ద్శరంశరలు కూడ ఉన ియ్. ఈ క్రంిద్ క్ొనిి ఉద హర్ణలు ఇవిబడ ా య్. 0. 12112111211112... 3.201001000100001... ప ై ద్శరంశరలలో ఏ ఒకచ అంక్ెగరనీ లేద అంక్ెలు గరనీ ప్ననరరవృతం క్రలేద్ని గమనించవచుచ. అంద్ుక్వ వరటిని అంతం మరియు ఆవృతం క్రని ద్శరంషరలు అంటయం. అంతంకథని ఆవ్ృత దశథంశథనిన అక్రణీయ స్ంఖ్య రూపంలోకర మారచడం: ఉద : అకర్ణీయ ర్ూప్ంలోక్ర మార్చండి. (i) 0.4 బయర్ (ii) 0.23 బయర్ సరధన: 0.4 బయర్ ని x అనుక్ోనుము 0.444.... = x________1. 0.444... x 10 = x x 10 ( రెండు వెైప్నలా 10 తో గునించగర)


31

4.444... = 10X _________2 1 మరియు 2 ల నుండి 4.444... – 0.444.... = 10x– x => 4= 9x x = 4/9 క్రబటిట 0.4 బయర్ = 4/9 (ii) 0.23బయర్ ని x అనుకుంద ం. 0.232323... = x_________1 0.232323.... x100 = 100x (ఇర్ధవెైప్నలా 100తో గుణించగర) 23.2323.... = 100x _______2.

1మరియు 2 ల నుండి, [సమీకర్ణం 2 నుండి 1 ని తీసివేయగర] 23 = 99x x=23/99

గమనిక: అంతం అయ్యయ మరియు అంతం క్రని మరియు ఆవృత ద్శరంషరలు ఒక్ొచకచటి ఒక అకర్ణీయ సంఖ్యను సూచిసరు య్. క్రనీ, అంతం క్రని మరియు ఆవృతం క్రని ద్శరంశము ఒక అకర్ణీయ సంఖ్యను సూచించద్ు. స్థథ న విలువ్ వ్యవ్స్థ విస్త రణ: 10000

=10ప్వర్

4

1000

= 10

ప్వర్

3

100

= 10

ప్వర్2

10

= 10

ప్వర్

1

1

=

10ప్వర్

0

1/10 1/100 1/1000

ఒకటల సరథ నం కుడివెైప్నన, క్రబటిట , 23.715 = 2 x 10+3x1+7x1/10+1x 1/100+5x1/1000 మీప్గాతినిప్రీక్ష్ించుక్ోండి


32

ఉద 14: (a) 2/7, (b) 3/-8, (c) 0 ల యొకచ సంకలన విలోమమేమి? ఉద 15: (i) 12/25, (ii) 7/8, (iii) 2/7 ల యొకచ ద్శరంశ ర్ూప్మేమి? ఉద 16: (a) 3/7, (b) -5/8, (c) 0 ల యొకచ గుణక్రర్ విలోమమేమి? ఉద 17: 0.51 బయర్ ను p/q ర్ూప్ంలో వయకు ప్ర్చుము. 5.4కథరణాంకథలు మరియు గుణిజాలు: సహజ సంఖ్యలు యొకచ గుణక్రర్ మరియు భ్యగహార్ ధరరాలను చరిచంచినప్నడు, మనము సహజ సంఖ్యల యొకచ గుణిజాలు మరియు క్రర్ణ ంక్రలు గూరిచ చరిచంచుకున ిం. ఈ భ్యగంలో, సరమానయ క్రర్ణ ంక్రలు మరియు గుణిజాలు కనుగొనడం మరియు గరిష్ట సరమానయ క్రర్ణ ంకo (గ.సర.క్ర) మరియు కనిష్ట సరమానయ గుణిజము (క.సర.గు) గణించడంలో వరటి యొకచ ఉప్యోమాగ మును గూరిచ వర్ధసగర చరిచంచుకుంద ం. నిజ జీవిత సమసయ సరధనలో వరటి ఉప్యోగం గురించి కూడ చరిచంచుకుంటయర్ధ. 5.4.1 స్థమానయ కథరణాంక్ం మరియు గరిష్ట స్థమానయ కథరణాంక్ం 12 మరియు 18 సంఖ్యలను తీసుకుంద ం. 12 యొకచ క్రర్ణ ంక్రలు : 1,2,3,4,6 మరియు 12............(a) 18 యొకచ క్రర్ణ ంక్రలు : 1,2,3,6,9 మరియు 18.............(b) (a) మరియు(b) ల నుండి ఏమి గమనించవచుచ? 1,2,3, మరియు 6 ప ై రెండు వర్ధసలోల నూ ఉని సరమానయ క్రర్ణ ంక్రలు. 1,2,3, మరియు 6 లను 12,18 ల యొకచ సరమానయ క్రర్ణ ంక్రలు అంటయం. గరిష్ట సరమానయ క్రర్ణ ంకం 6. క్రబటిట 6ని 12 మరియు 18 ల యొకచ గరిష్ట సరమానయ క్రర్ణ ంకం (H.C.F) అంటయం లేద గ.సర.క్ర అంటయం. H.C.F ను క్నుగొనడం / క్నుగొను పదద తులు: పధ్ధ తి:(i) ఒక్ొచకచ సంఖ్య యొకచ క్రర్ణ ంక్రల జాబిత వరాసిన పిద్ప్ H.C.F లేద గ.సర.క్ర ను కనుగొనడం (12 మరియు 18లకు కనుగొనిటదల గ) పదధ తి: (ii)ప్ధా న క్రర్ణ ంక విభ్జన ప్ద్ుతి


33

12 = 2x2x3 = 2 ప్వర్ 2 x 3 ప్వర్ 1 18 = 2x3x3 = 2 ప్వర్1 x 3 ప్వర్ 2 రెండు సంఖ్యలలోని సరమానయ ప్ధా న క్రర్ణ ంక్రల యొకచ కనిష్ట ఘాత ల యొకచ లబయద నిి గరిష్ట సరమానయ క్రర్ణ ంకం అంటయం. 12 మరయిు 18 ల యొకచ గ.సర.క్ర = 2 ప్వర్1 x 3 ప్వర్ 1 = 6. పదధ తి: (iii)వర్ధస భ్యగహార్ ప్ద్దతి: మ టదట -1 ఇచిచన సంఖ్యలలోని ప ద్ద సంఖ్యను చిని సంఖ్యచే భ్యగించడం, శేష్ం కనుగొనడం.

మ టదట – 2: వచిచన శేష్ం తో మొద్టి విభ్యజకంను భ్యగించడం. ఈ ప్కా్రయి శేష్ం సున ి వచేచ అర్కు క్ొనసరగుతుంది. శేష్ం సున ి క్రచేచ భ్యగహార్ంలోని విభ్యజకం గ.సర.క్ర అవనతుంది. అంద్ువలల , చివరి విభ్యజకమ ైన 6 గ.సర.క్ర అవనతుంది. గ.స్థ.కథ ను ఉపయోగించ పద స్మస్యలు స్థధ ంచుట: ఈ క్రంిది ఉద హర్ణ చూద ద ం. ఒక తర్గతిలో 24 బయలుర్ధ మరియు 30 బయల్చకలు ఉన ిర్ధ. ఒక్ొచకచ ల్ైనులో సమాన సంఖ్యలో విద్యర్ధద లుండునటదల బయలుర్కు మరియు బయల్చకలకు వేరవిర్ధ ల్ైనుల ఏర్ుర్చ ల్చ. అంద్ర్ధ బయలుర్ధ మరియు బయల్చకలు ఉండేటటదల గర ఒక్ొచకచ ల్ైనలల ఎంత మందిని గరిష్ట సంఖ్యలోల ఏరరుటద చేయవచుచ? ఒక్ొచకచ వర్ధసలోని విద యర్ధు ల (బయల్చకలు లేద బయలుర్ధ) గరిష్ట సంఖ్య 24 మరియు 30 ల గ.సర.క్ర. 5.4.2 స్థమానయ గుణిజాలు మరియు క్నిష్ట గుణిజాలు 8 మరియు12 సంఖ్యలు తీసుకుంద ం. 8చే భ్యగింప్బడే సంఖ్యను 8 యొకచ గునిజం అంటయం. క్రబటిట 8x1, 8x2, 8x3, 8x4,.... మొద్ల్ైనవి 8యొకచ గుణిజాలు.


34

అంద్ువలల 8యొకచ గుణిజాలు 8,16,24,32,40,48,.... (మరియు ఇది అంతం క్రని జాబిత ) అదే విధంగర, 12 యొకచ గుణిజాలు: 12,24,36,48,60,..... ( అంతం క్రని జాబిత ) ఇప్నుడు 8 మరియు12 యొకచ సరమానయ గుణిజాలు ఏవనగర: 24, 48,...... సరమానయ గునిజాల జాబిత కూడ అనంతం. 8 మరియు 12ల యొకచ కనిష్ట సరమానయ గునిజం 24. క్నిష్ట స్థమానయ గునిజం (L.C.M) క్నుగొను పదద తులు: పదద తి: (i)ఒక్ొచకచ సంఖ్య యొకచ గుణిజాల జాబిత వరాసిన పిద్ప్, సరమానయ గుణిజాలు మరియు కనిష్ట సరమానయ గుణిజం (ప ైన చెపిునటదల గర) పదద తి: (ii) ప్ధా న క్రర్ణ ంక విభ్జన ప్ద్దతి: మనం 12 మరియు 18 ల యొకచ L.C.M కనుగొన లనుకుంద ం. 12= 2x2x3 = 2 ప్వర్ 2 x 3 ప్వర్ 1 18= 2x3x3 = 2ప్వర్ 1 x 3 ప్వర్ 2 ఒక్ొచకచ సంఖ్యలోనూ ఉని ప్ధా న క్రర్ణ ంక్రలలో గరిష్ట ఘాతం యొకచ లబదం క.సర.గు అంటయం. రెండు సంఖ్యల యొకచ క.సర.గు మరియు గ.సర.భ్య ల మధయ సంబంధం ఈ క్రంిది ఉద హర్ణలు గమనిద ద ం. సంఖ్యలు సంఖ్యల లబదం గ.సర.భ్య క.సర.గు గ.సర.భ్య మరియు క.సర.గు ల

లబదం

12& 18

16 & 28

25 & 35

216

448

875

6

4

56

36

112

175

216

448

875


35

ప ై ప్టిటక నుండి ఏమి గమనించ ం? రెండు ధన సంఖ్యల లబదం = వరటి గ.సర.భ్య మరియు క.సర.గు ల లబదం

ఉద 18: రెండు ప్ర్సుర్ ప్ాధ న సంఖ్యల యొకచ గ.సర.భ్య ఏది ఉద 19:రెండు సంఖ్యల యొకచ గ.సర.భ్య మరియు క.సర.గులు వర్ధసగర8 మరియు96. వరటిలో ఒక సంఖ్య 24 అయ్న రెండవ సంఖ్య ఏది? 5.5 అంక్గణితం మరియు వినియోగం : A ఏక వసూు ప్ద్ుతి 5 సమాన సమూహాలుగర విభ్జంచడ నిక్ర 20 మంది విద యర్ధు లున ిర్ధ. ఇప్నుడు మనం భ్యగహార్ం చేద ద ం. 5 సమూహాలకు 5 సథలాలు క్వటయయ్ంచి ఒక్ొచకచ చోట ఒక్ొచకచరిని నిలబ టయట ం.

20లో నుండి 5 మది పిలల లు వెళ్ళేప్ో యార్ధ క్రబటిట 20-5 = 15 మిగిలార్ధ. ఒక్ొచకచ సథలంలో రెండవ విద యరిుని నిలబ డత ం.

మిగిల్చన 15 మందిలో 5 మది వెళ్ళలపో్ యార్ధ. క్రబటిట 15-5 = 10 మిగిల్చనవరర్ధ ఒక్ొచకచ సథలంలో మూడవ విద యరిుని నిలబ డత ం.


36

10 మందిలో నుండి 5 మంది వెళ్ళేపో్యార్ధ. క్రబటిట 10-5 = 5 మిగిలనవరర్ధ. ఒక్ొచకచ సథలంలో 4వ విద యరిుని నిలబ డత ం.

ఇప్నుడు 5-5 = 0 ఎవిర్ధ మిగలలేద్ు. ఇప్నుడు ఒక్ొచకచ సమూహంలో 4గుర్ధ విద యర్ధు లు ఉన ిర్ధ. క్రనీ 20 నుండి 5 మంది ఎనిి సరర్ధల తీసివేయగలమో మనకు తెలుసు 20 ÷ 5 క్రబటిట , ఇలా అంటయం 5 ఆఓఓఃఆఆళ్ాళ్ో౯ 20 మంది పిలలలు ఉంటే, ఒక్ొచకచ సమూహంలో 20 ÷ 5= 4 మంది పిలలలుంటయర్ధ. అనిి సమూహాలలో సమాన సంఖ్యలో పిలలలుంటయర్ధ. ఇతర్ ఉద హర్ణలు: (i) ఒక్వ ప్రిమాణ 5 ప్రతలాలో 20 లీ ప్రలు ఉంటే, ఒక్ొచకచ ప్రతలాో 20/5= 4 లీ ప్రలుoటయయ్. (ii) 5మీ రిబున్ ధర్ 20 ర్ూ అయ్న 1 మీ రిబున్ ధర్ = 20/5 = 4 మీ ఒకచ వసుు వన ధర్ తెల్చసినప్నడు, ఎకుచవ వసుు వనల ధర్లు ఎలా కనుగొంటయమోచూద ద ం. ఒక ప నుి వెల 8.00 ర్ూ. 3 ప నుిలవెల ఎంత?


37

3 ప నుిల మొతుం వెల= 8.00+8.00+8.00 ర్ూ. క్రనీ 8+8+8 = 8x3 క్ర సమానమని మనకు తెలుసు. 3 ప నుిల ధర్ = 8.00x 3 ర్ూ. అని చెప్ువచుచ. దీనుిండి ఏమి తెలుసుకున ిము. ఒక ప నుి ధర్ 8.00ర్ూ అయ్న 3 ప నుిల ధర్ = 8.00 x 3 = 24.00 ర్ూ. ఇదే ర్కమ ైన ఇతర్ ఉద హర్ణలు: (iii) ఒక ప్రయకె్ట్ ఉప్ను బర్ధవన 600 గరి అయ్తే 4 ప్రయకె్ట్ ల ఉప్ను బర్ధవన = 4x 600 గరి = 2400 గరి = 2.400 క్ర.గరి. (iv) ఒక నూనె జాడమలో 12 క్వజీల నూనె ఉనిటలయ్న, 5 నూనె జాడమలలోని మొతుం నూనె = 5 x 12 kg =60 kg ప ైనచరిచంచిన ఉద హర్ణలు విశేలషిద ద ం. ప ైన ఇచిచన ప్తాి ఉద హర్నలోనూ రెండు చ ర్ రరశులున ియ్. ఉద హర్ణలుమొద్టి చర్రరశి రెండవ చర్రరశి

(i) ప్రతలా సంఖ్య సరమర్ుాం

(ii) ప్ొ డవన ధర్/వెల

(iii) ప్రయక్ెటల సంఖ్య బర్ధవన

(iv) జాడమల సంఖ్య సరమర్ుాం

ప ై ఉద హర్ణల నుండి, (i) ఎకుచవ వసుు వనల వెల తెల్చసినప్నడు, ఒక వసుు వన ధర్ కనుగొనుటకు, మనం భ్యగహార్ం చేసరు ం.


38

(ii) ఒక వసుు వన ధర్ తెల్చసినప్నడు, ఎకుచవ వసుు వనల ధర్ కనుగొనుటకు మనం గుణక్రర్ం చేసరు ం. అంతే గరక, ప ై ప్టిటకలో, మొద్టి చర్రరశి ప రిగినట్లల న, రెండవ చర్రరశిలోనూ ప ర్ధగుద్ల ఉంది. అదే విధంగర మొద్టి చర్రరశిలో తర్ధగుద్ల రెండవ చర్రరశిలోనూ తర్ధగుద్లను సూచిసుు ంది. దీనినే రెండు చర్రరశుల మధయ అనులోను సంబంధం అంటయం. విలోమ స్ంబంధం గలిగిన చరరథశులు: ఈ సంద్రరులను గమనిద ద ం. 3 మంది ప్నివరళళే ఒక ప్నిని 5 రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేసరు ర్ధ. ఒక్వ వయక్రు ప్ని చేయవలసివసేు ఆ ప్నిని ఎనిి రోజ్ఞలలో చేసరు డు? ఇదే విధమ ైన ఇతర్ ఉద హర్ణలు: (i) 8 మందిక్ర ఆహార్o 5 రోజ్ఞలకు సరిపో్ తే, 1 వయక్రుక్ర అదే ఆహార్ం 5 x 8 = 40 రోజ్ఞలకు సరిపో్ తుంది. (ii) ఒక వయక్రు ఒక ప్నిని 24 రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేసేు ముగుగ ర్ధ వయకుు లు అదే ప్నిని 24/3 = 8రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేసరు ర్ధ. (iii) ఒక వయక్రుక్ర ఆహార్ం 30 రోజ్ఞలకు సరిప్ో తే, 5 గుర్ధ వయకుు లకు అదే ఆహర్ం 30/5 = 6 రోజ్ఞలకు సరిప్ో తుంది. ప ై ఉద హర్నలలోని చర్రరశులు:

వయకుు ల సంఖ్య ప్ని ప్ూరిు చేయుటకు ప్టదట క్రలము

ఆహార్ం వయకుు ల తీసుక్ొను సంఖ్య ఆహార్ం సరిపో్ వన రోజ్ఞల సంఖ్య

మనం ముంద్ు చూసినటదల గర, మొద్టి చర్రరశి రెటిటంప్న అయ్నట్లల న, రెండవ చర్రరశి సగం అవనతుంది. మొద్టి చర్రరశి న లగ వ వంతు అయ్నట్లల న రెండవ చర్రరశి 4 రెటదల అవనను.


39

క్రబటిట ప ై చర్రరశుల జతలు విలోమ సంబంధం కల్చగి ఉన ియని అంటయం. కథలము మరియు పనిలో ఏక్ వ్స్ూత పదధ తి యొక్క వినియోగము. ఈ క్రంిది ఉద హర్ణ చూద ద ం. ఉద : A ఒక ప్నిని 24 రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేయగర, అదే ప్నిని B 18 రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేయగలడు A మరియు B లు కల్చసి ప్నిచేయడం ప్రార్ంభించ ర్ధ. 4 రోజ్ఞల తరరిత A ప్ని చేయడం మానేశరడు. ఆ ప్ని ప్ూరిు క్రవడ నిక్ర ఎనిి రోజ్ఞలు ప్డుతుంది? సరధన: A ఒక ప్నిని 24 రోజ్ఞలలో చేయగలడు. A ఒక రోజ్ఞలో చేయు ప్ని = 1/24 B అదే ప్నిని 16 రోజ్ఞలలో చేయగలడు B ఒక రోజ్ఞలో చేయుప్ని = 1/8 A మరియు B లు ఒక రోజ్ఞలో చేయుప్ని = 1/24+1/18 = 3+4/72 = 7/72 A మరియు B లు 4 రోజ్ఞలలో చేసిన ప్ని = 4x7/72 = 28/72 = 7/18 ప్ూరిు చేయకుండ మిగిల్చన ప్ని = 1-7/18 = 18-7/18 = 11/18 ఒక రోజ్ఞలో B చేయుప్ని= 1/18 11/18 ప్నిని ప్ూరిు చేయుటకు B ప్టదట క్రలము = 11/18 ÷ 1/18 = 11/18 x 18/1 = 11 రో ప్ని ప్ూరిు చేయుటకు ప్టదట క్రలము = 4+11 = 15 రో ఏక వసుు ప్ద్దతిలో గణనచేయడ నిక్ర, ఈ క్రంిది సరద ర్ణీకర్ణ చేయవలసి ఉంది. (i) యూనిట్ క్రలంలో జరిగిన ప్ని = జరిగిన ప్ని /ప్ని చేయుటకు ప్టిటన క్రలం.

(ii) అవసర్మ ైన క్రలం = చేయవలసిన ప్ని /యూనిట్ క్రలంలో జరిగిన ప్ని

(B) శరతం కనుగొనడం


40

“ శరతం” అను ప్ద్ం యొకచ అర్ుం. “శరతం” అనగర“100 క్ర” అని అర్ుం అయ్తే దీనిి ఎప్నుడు వరడుత ం. ఈ క్రంిది సంద్ర్ుం చూద ద ం. A మరియు B లు ఇద్దర్ధ విద యర్ధు లు. A ప్రీక్ష్లో 80 మార్ధచలకు 64 మార్ధచలు పొ్ ంద డు. B వేరవ ప్రీక్ష్లో 75 మార్ధచలకు 63 మార్ధచలు ప్ొ ంద డు. ఎవర్ధ ప్రీక్ష్లో మంచి మార్ధచలు పొ్ ంద ర్ధ? 80క్ర 64 మార్ధచలు తెచుచకుని వరర్ధ లేద 75క్ర 63 తెచుచకునివరర్ధ? రెండు ప్రీక్ష్లోల నూ మొతుం మార్ధచలు ఒకటే అయ్నట్లల టే సులభ్ంగర చెప్ువచుచ. అంద్ుచేత, మొతుం మార్ధచలు 100గర ప్రిగణిసరు ం. 80 మార్ధచలకు A 64 మార్ధచలు సరధిసేు 100 క్ర A పొ్ ంద్ు మార్ధచలు = 64/80 x 100 = 80 ఇప్నుడు మనం Aక్ర వచిచన మార్ధచలు 100క్ర 80 అని చెప్ువచుచ. i.e., 80 శరతం లేద 80 శరతo అదే విధంగర 75 మార్ధచలకు B క్ర వచిచన మార్ధచలు = 63 100క్ర Bక్ర వచిచన మార్ధచలు = 63/75 x 100 = 84 A కంటే B బయగర చేశరడు. దీనుిండి మనం ఏం తెలుసుకున ిం. ఒక సంఖ్యను మరొక సంఖ్యతో పో్ లచడ నిి శరతం అంటయం. అలా ప్ో లుచనప్నడు, రెండవ

సంఖ్యను 100 గర ప్రిగణిసరు ర్ధ ‘p’ ని‘q’ తో ప్ో లుచనప్నడు p/q x 100% వసుు ంది.

శథతం వినియోగం/అనియం: ఈ క్రంిది సంద్రరులలో ‘శరతం’ వినియోగిసరు ం. వరయప్రర్ంలో లాభ్ం గరనీ లేద నష్టం గరనీ క్ొని వెల యొకచ శరతం గర వయకుప్ర్ధసరు ము. లాభ్ం 12% అనగర లాభ్ం క్ొని వెలలో 12% అని అర్ుం. లోను విహయంలో కటిటన వడమాని వయకుం చేసరు ము. ‘వడమా రవటద 10%’ అనగర 1 సంవతసర్ంలో వడమా అసలులో 10% అని అర్ుం.


41

(ఉతుతిులో) ప ర్ధగుద్ల లేద తర్ధగుద్ల విష్యంలో, ప ర్ధగుద్ల గరనీ లేద తర్ధగుద్ల గరనీ అసలు యొకచ శరతంగర వయకుప్ర్ధసరు ము. (a) లాభ్ము మరియు నష్టం: ఒక వరయప్రర్ంలో లాభ్ం= అమిాన వెల– క్ొని వెల నష్టం= క్ొని వెల– అమిాన వెల లాభ్శరతం= క్ొని వెల యొకచ లాభ్ శరతం

= లాభ్ం/ క్ొని వెల x100

= అ.వె.-క్ొ.వె./క్ొ.వె. x 100

నష్ట శరతం = క్ొని వెల యొకచ నష్ట శరతం

= నష్టం/క్ొ.వె. x 100

= క్ొ.వె.-అ.వె./క్ొ.వె. x 100

గమనిక్:ఒక వసుు వన క్ొని తరరిత, ర్వరణ కు గరనీ, వేరవ క్రర్ణంగర గరనీ క్ొంత ధనం ఖ్ర్ధచచేసినట్లల న, అప్నుడు మొతుం ధర్= క్ొ.వె.+ ఇతర్ఖ్ర్ధచలు లాభ్ం గరనీ లేద నష్టం గరనీ, కనుగొనడ నిక్ర ఈ మొతుం ధర్నేవరడ ల్చ గరనీ క్వవలం క్ొని వెల మాతమేా క్రద్ు. అమిానవెల గరనీ లేద క్ొని వెల గరనీ కనుగొనడంలో సౌలభ్యం క్ొర్కు ఈ క్రంిది నియమాలు ఉప్యోగించవచుచ.

అ.వె./100+లా.శర = క్ొ.వె./100

అ.వె./100-న.శర = క్ొ.వె./100


42

(b) వడమా ల్క్రచంచడం: మనం డబుును బయయంక్ లో పొ్ డుప్న చేసుకుంటయం, బయయంకు నుండి డబుును అప్ను తీసుకుంటయం. మనం డబుు ప్ొ డుప్న చేసినప్నడు మనకు బయయకు నుండి వడమా వసుు ంది. మనం బయయంకు నుండి డబుు తీసుకునిటలయ్తే, మనము బయయకుకు వడమా కడత ము. వడమా ఎలా లేకచగడత ర్ధ? బయయంకు సంప్దాించినప్నడు, అది వడమా రవటదను తెల్చయజవసుు ంది. మనం ఈ క్రంిదివి నిర్ణయ్ంచుకుంటయం. (i) ఎంత డబుు మనం అప్నుగర తీసుక్ోవరల్చ (లేద వేయాల్చ) (ii) ఎంత క్రలానిక్ర అప్ను తీసుక్ోవరల్చ(డబుు పొ్ డుప్న చేయాల్చ) అప్నుగర తీసుకుని డబుు ‘P’ మరియు క్రలము ‘T’ సంవతసర్ములు అనుకుంద ం. బయయంకు తెల్చయజవసిన వడమా రవటద r % లోన్ క్రలం చివర్లో ఎంత వడమా కటయట ం. వెనకుచ కటటవలసిన మొతుం డబుు ఎంత? ల్క్రచంచడం: వడమా రవటద = r% అంటే అసలు 100క్ర 1సంవతసర్ం క్రలానిక్ర వడమా r ర్ూ. అసలు 1 ర్ూ. క్ర, 1 సంవతసరరనిక్ర వడమా = r/100 అసలు pక్ర 1సంవతసరరనిక్ర వడమా = r/100 x p = pr/100 అసలుp క్ర ‘t’ సంవతసర్ములకు వడమా = pr/100 x t = prt/100 క్రబటిట

వడమా (I) = prt/100

నియమం I (I.p.t.r. నియమం) లోన్ క్రలం చివర్ కటట వలసిన మొతుం (A) = p+ I A = p+ prt/100


43

A = p(1+rt/100) Rule II (A.p.r.t- rule) నియమం – 1 వినియోగం

p,t,r ఇచిచనప్నడు, I కనుగొనడ నిక్ర,

p,r,I ఇచిచనప్నడు, t కనుగొనడ నిక్ర

p,I,t ఇచిచనప్నడు, r కనుగొనడ నిక్ర,

I, t,r ఇచిచనప్నడు, p కనుగొనడ నిక్ర

నియమం – 2 అనియం

p,t,r ఇచిచనప్నడు, A కనుగొనడ నిక్ర

p,r,A ఇచిచనప్నడు, t కనుగొనడ నిక్ర

p,t,A ఇచిచనప్నడు, r కనుగొనడ నిక్ర

A, t,r ఇచినప్నడు, p కనుగొనడ నిక్ర

మీ ప్గాతిని ప్రీక్ష్ించుక్ోండి: ఉద 20: గణితప్రఠయ ప్నసుకం వెల సరహ తయం ప్రఠయ ప్నసుకం కంటే 2ర్ూ. ఎకుచవ, 5 సరహ తయం ప్నసుక్రల వెల 3 గణిత ప్రఠయ ప్నసుక్రల కంటే 38ర్ూ. ఎకుచవ అయ్న, ఒక్ొచకచ సరహ తయం ప్నసుకం వెల ఎంత? ఉద 21: ముగుగ ర్ధ వయకుు లు సగం ప్నిని 8 రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేశరర్ధ. వరరిలో ఒకర్ధ ఆగిపో్ తే, మిగిల్చన ప్నిని వరర్ధ ఎనిి రోజ్ఞలలో ప్ూరిు చేసరు ర్ధ?


44

ఉద 22: గోప్రల్ 12% వడమా రవటదతో క్ొంత డబుు అప్ను తీసుకున ిడు. 5 సంవతసరరల తరరిత లోన్ క్రలయర్ చేయడ నిక్ర అతను 1280ర్ూ. వెనకుచ కటట వలసి వసేు , అతను ఎంత అప్ను తీసుకున ిడు. 5.6 ముఖ్ాయంశథలను గురుత చేస్ుక్ుందాం. ఎల్చమ ంటరీ ప్రఠశరల సరథ య్ గణిత విద య ప్ణా ళ్ళకలో ఉని న లుగు ర్క్రల సంఖ్ాయ వయవసథలు ఏవంటే:

- సహజ సంఖ్యలు (N): 1,2,3,4,...... - ప్ూరరణ ంక్రలు(W): 0,1,2,3,..... - ప్ూర్ణ సంఖ్యలు (Z): .......-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,..... - అకర్ణీయ సంఖ్యలు (Q): p/q ర్ూప్ంలో ఉంది, p,q లు ప్ూర్ణ సంఖ్యల్ై, q# 0

అయ్యయ సంఖ్యలను అకర్ణీయ సంఖ్యలంటయర్ధ. వ్ేరేిరు స్ంఖ్ాయ స్మితులలో స్ంక్లనం యొక్క వివిధ ధరథాలు: (i) N,W,Z మరియుQ లలో సంకలనం సంవృతం. (ii) N,W,Z మరియుQ లలో సంకలనం వినిమయం మరియు సహచర్ం. (iii) W,Z మరియుQ లలో సంకలన తతసమాంశం (సుని) కలద్ు. (iv) Z మరియుQ లలో సంకలన విలోమం కలద్ు. 4 ర్క్రల సంఖ్ాయ సమితులలో గుణక్రర్ం యొకచ వేరవిర్ధ ధరరాలు: (i) N,W,Z మరియుQ లలో గుణక్రర్ం సంవృతం. (ii) N,W,Z మరియుQ లలో గుణక్రర్ం వినిమయం. (iii) N,W,Z మరియుQలలో గుణక్రర్ం సహచర్ం. (iv) N,W,Z మరియుQ లలో గుణక్రర్ తతసమాంశం ఉంది. (v) Q లో గుణక్రర్ం విలోమం ఉంది. (vi) N,W,Z మరియు Q లలో గుణక్రర్ం సంకలనం ప ై విభ్యగ న యయం కల్చగి ఉంది.


45

అకర్ణీయ సంఖ్యలను (i) హార్ంలో 2 లేద 5 లు తప్ు వేరవ క్రర్ణ ంక్రలు లేకుంటే అంతమయ్యయ ద్శరంశరలుగరను (ii) హార్ంలో 2 లేద 5 తో ప్రటద ఇతర్ క్రర్ణ ంక్రలు ఉంటే అంతం క్రని ద్శరంశం గరనూ వయకుప్ర్చవచుచ. రెండు లేద అంతకంటే సహజ సంఖ్యల గ.సర.భ్య కనుగొనడ నిక్ర ప్ధా న సరమానయ క్రర్ణ ంక్రలు ఉప్యోగించవచుచ. అదే విధంగర రెండు లేద అంతకన ి ఎకుచవ సహజ సంఖ్యల క.సర.గు కనుగొనడ నిక్ర సరమానయ గుణిజాలు ఉప్యోగిసరు ం. 5.7 మీ పాగతిని పరీక్ష్షంచుకొనుటక్ు మాద రి జవ్థబులు: ఉద 1: కనిష్ట ల్క్రచంచు సంఖ్య 1. ఉద 2: 0. ఉద 3: (i) 0, (ii) 72, (iii) 792 ఉద 4: (a) True, (b) False, (c) False, (d) false, (e) True ఉద 5: 1, ఉద 6: 01, ఉద 7: 2 మరియు 13, ఉద 8: 2, ఉద 9: 101, ఉద 10: 0, ఉద 11: -7, ఉద 12: -1 మరియు +1, ఉద 13: 0, ఉద 14: (a) -2/7, (b) 3/8, (c) 0, ఉద 15: (i) 0.48, (ii) 0.875, (iii) 0.285714, ఉద 16: (a) 7/3, (b) -8/5, (c)లభ్యం క్రద్ు, ఉద 17: 51/99, ఉద 18: 1, ఉద 19: 32, ఉద 20: 22ర్ూ., ఉద 21: 12రోజ్ఞలు, ఉద 22: 800 ర్ూ. 5.8 స్ూచంచన మరియు స్ంపాద ంచవ్లసథన గరంధాలు : N.C.E.R.T.వరరిచే తయార్ధ చేయబడి ప్చాురించిన VI, VII మరియు VIII తర్గతి గణితప్రఠయ గంిధ లు. 5.9 యూనిట్ – చవ్రి అభాస్థలు: 1. -30 మరియు+30 ల మధయ 3 యొకచగుణిజాల్ైన ప్ూర్ణ సంఖ్య లేవి? 2. ఈక్రంిద్ సూచించిన మొత ు లను కనుగొనుము. (i) 1-2+3-4+5-6......+45 (ii) 1+2-3+4+5-6+7+8-9+.......-48 3.(i) ఈ క్రంిద్ ప్టిటక నుండి సంయుకు సంఖ్యలను క్ొటిటవేసి, 20 మరియు 69ల మధయ గల ప్ధా న సంఖ్యలను గురిుంచుము. (ii) వరటిలో కవల ప్ధా న సంఖ్యలను గురిుంచుము.


46

4. A 200 క్వజీల బియయం క్వజీ 18 ర్ూ. చొప్నున క్ొని ద నిలో క్వజీ 22ర్ూ. చొప్నున 150 క్వజీలను మరియు19 ర్ూ. చొప్నున మిగిల్చన బియాయనిి అమాడు. B క్వజీర్ూ.20 చొప్నున 250 క్వజీలు క్ొని, ర్ూ.23 చొప్నున అమాాడు. అయ్న, ఎవరిక్ర ఎకుచవ లాభ్ం వచిచందో కనుగొనుము. 5. P బయయంకు నుండి 8% సరధ ర్ణ వడమా రవటద చొప్నున 80,000.00 ర్ూ. అప్ను తీసుకున ిడు. అతను తన అప్ను ప్ూరిుగర తీరవచయాలంటే 3 సంవతసర్ంలు తరరిత ఎంత డబుు కటయట ల్చ?


1

యూనిట్ – 6

నిర్మాణం:

6.0 ప్రిచయం 6.1 అభ్యసన లక్ష్యయలు 6.2 ప్రాథమిక జ్యయమితీయ ప్టాలు 6.2.1 అనిర్వచిత ప్దాలు 6.2.2 ప్రాథమిక ప్టాలు 6.3 దవవమితీయ సంవృత ప్టాలు 6.3.1 త్రాభ్ుజ్యలు 6.3.2 చతుర్భుజ్యలు 6.3.3 వృతతము 6.3.4 సర్వసమానం సర్ూప్త 6.3.5 ప్రరవర్తనం మరియు సౌష్టవం 6.4 త్రాప్రిమాణ ఆకరరరలు 6.5 జ్యయమితీయ ప్రికరరలను ఉప్యోగించి నిరరాణం 6.6 మనం చరిచంచిన ముఖాయంశరలు 6.7 మీ ప్గాత్రని ప్రీక్ష్ించుకొనుము 6.8 చద్వవలసిన మరియు సంప్దావంప్ు గరంధాలు 6.9 అధాయయం చివరి అభ్ాయసరలు


2

6.0 పర్ిచయం

ఎప్ుడ ైనా మన చుటటట ప్రిశీలంచినట్లల తే మనం అనేక ర్కరల ైన వసుత వులను

చూసరత ం. అంద్ులో కొనిి వసుత వులు కొనిి లక్షణాలను సూచిసరత యి. ఉదాహర్ణకు చ టటట కు

వ్ేలాాడు జ్యమప్ండు అలాగే ఒక చ టటట లోని నిమాప్ండు మొద్లగునవి. మరియు మరికొనిి

ఇలాంటి లక్షణాలను కలి ఉండవు ఉదా: ఒక విరిగిన రరత్ర ముకక

పటం (Figure) 6.1

ఒక ఇటటక ముకకను తీసుకుందాం. ఇదవ మూడు దవశలలోనూ విసతరించబడి

ఉండును. అంద్ువలల ఇదవ ఒక త్రాప్రిమాణ వసుత వు (3D వసుత వులని కూడా అంటాం) ఈ

ఇటటకకు 6 ఉప్రితాళాలు, 12 అంచులు మరియు 8 శీరరా లు ఉనాియి.

ఒక గోడకరని లేక నేల కరనీ, లేక టేబుల్ (ప ైన గరనీ) ఉప్రితలం కరనీ ఒక తలానిి

సూచిసుత ందవ. ఒక ప్రతలాోని నీత్ర ఉప్రితలం ఎలలప్ుుడూ క్ష్ిత్రజ్ సమాంతర్మును

సూచిసుత ందవ. ఒక గోడ మీద్ కరనీ లేక నీటి మీద్ కరనీ మనము వివిధ ర్కరల ఆకరరరలను

లేక ప్టాలను క్రంద్ చూపినటటల గీయవచుచ.

పటం (Figure) 6.2


3

- తలముప ై గీయబడిన ప్టాలు -

ఒక దవవమితీయ సమతలము, ఎడమ నుండి కుడివ్ ైప్ుకు మరియు ప ై నుండి

క్రందవక్ విసతరించబడి ఉండును. దానిప ై గీయబడడ అనిి ప్టాలు ర ండు ప్రిమాణాలను కలి

ఉంటాయి. అంద్ువలల ప ై ప్టంలో చూపిన ఆకరరరలు “దవవప్రిమాణ (2D – ఆకరరరలు)

ప్టాలు. ఈ అధాయయంలో మనం ఈ 2D మరియు 3D ఆకరరరలను గూరిచ క్షుణణంగర

చరిచంచుకుందాం.

ఈ అధాయయం ప్ూరిత చేయడానిక్ కనీసం 10 అధయయన గంటలు అవసర్ం అవుతాయి.

6.1 అభ్యసన లక్ష్యయలు ఈ అధాయయం దావరర మీర్భ క్రందవ లక్ష్యయలు సరధవంచగలుగుతార్భ: ప్రాథమిక జ్యయమితీయ ప్టాల ైన బంద్ువు, రేఖ, క్ర్ణము మరియు కోణం లను గురితంచగలుగుతార్భ ఒక తలముప ై గీచిన వివిధ ర్కరల జ్యయమితీయ ఆకరరరలను గురితసరత ర్భ. ర ండు సమతుల ప్టాల మధయ సర్వసమానతవ, మరియు సమర్ూప్ నియమాలను వివరించగలుగుతార్భ. ఏదేని ఒక సమతల ప్టం యొకక ప్రరవర్తన, భ్మాణ సౌష్టవ్రనిి గురితంచగలుగుతార్భ. త్రాప్రిమాణ ఆకరరరలను మరియు వ్రటి ధరరాలను గురితంచగలర్భ. 6.2 ప్మాథమిక జ్యయమితీయ పటాలు 6.2.1 అనిర్వచిత పదాలు: ఒక గణిత శీరిాకను గూరిచ త లుుకోవ్రలంటే దానిక్ సంబంధవంచిన కొనిి ప్దాలను

గూరిచ త లుుకోవడం తప్ునిసరి. ఒక ప్దానిి గురించిన జ్యా నం దాని నిర్వచనం నుండి

రరబటటడం జ్ర్భగుతుందవ కరనీ ఒక ప్దానిి నిర్వచించడానిక్ మనకు ప్దాల ఉప్యోగం

చాలా అవసర్ం అవుతుందవ. మనం ఒక శీరా్కతో ప్రార్ంభంచినప్ుడు దానిక్


4

సంబంధవంచినటటవంటి ప్దాల సమూహం అంద్ుబాటటలో ఉండద్ు. ఇంద్ువలన ఒక శీరిాకకు

సంబంధవంచిన ప్దాలను నిర్వచించడం సరధయం కరద్ు. ఇటిట ప్రడాలనే ‘అనిరివచిత ప్దాలు’

అంటాం. బంద్ువు, రేఖ, తలము మొద్ల ైనవి రేఖాగణితంలోని కొనిి అనిర్వచిత ప్దాలు.

(ఈ అనిరివచిత ప్దాలను) నిర్వచించుటకు మనం మళ్లల వ్ నుకకు రరవ్రలున అవసర్ం

ఉందవ.

ప ైన ప్దాలకు నిర్వచనాలు లేనంద్ున, వీటిని సరిగర ఉప్యోగించుటకు క్రందవ

సవవకృతాలు ఇవవబడాడ యి.

ప్మాథమిక జ్యయమితీయ స్వవకృతాలు

(i) ప్తా్ర రేఖ (సర్ళ రేఖ) మరియు తలము ఒక బంద్ుసముదాయమే.

(ii) ఒక బంద్ువు గుండా అనేకమ ైన రేఖలను గీయవచుచను.

(iii) ర ండు వ్ేరేవర్భ బంద్ువుల గుండా ఒకే సర్ళ రేఖను గీయవచుచను.

(iv) ఒక తలంలో ర ండు ద్తత బంద్ువుల గుండా గీచిన రేఖ ఆ తలంలో ఉండును.

(v) ఒక రేఖలో లేనటటవంటి 3 బంద్ువులను కలగిన తలం ఒకే ఒకటి ఉండును.

(vi) ర ండు తరరలు ఖండించుకొనిటలయితే వ్రటి ఖండన రేఖ ఒక సర్ళ రేఖ అవుతుందవ.

ప ై సవవకృతాలు అనిర్వచిత ప్దాల ైన బంద్ువు, రేఖ, తలము ల మధయ గల అంతర్

సంబంధానిి త లయజ్ేసరత యి. ఈ అనిర్వచిత ప్దాలను ఉప్యోగించి ర్ూప్ ందవంచిన

జ్యయమితీయ సతాయలను అర్ధం చేసుకోవడంలో మరియు వయకతప్ర్చడంలో ఈ సవవకృతాలు

తోడుడుతాయి.


5

6.2.1 ప్మాథమిక పటాలు

బందువు: ప నిుల్ లేక ప నుి సరయంతో పేప్ర్ ప ై గురితంచిన ఒక చుకకను బంద్ువుగర

సూచిసరత ము. దవని ప్రిమాణానిి గూరిచన భ్ావన చేయరరద్ు. ర్ేఖ : ఒక రేఖ గూరిచ మాటాల డినప్ుడు అదవ సర్ళ రేఖ అని భ్ావించాల.

పటం 6.3

ప ైన సూచించినదవ ఒక సర్ళ రేఖ. ఇదవ సేకలు సరయంతో గీయబడిందవ. రేఖకు

ఇర్భవ్ ైప్ులా సూచించిన బాణప్ు గుర్భత లు ఇర్భవ్ ైప్ులా ఆ రేఖ అనంతంగర విసతరిసుత ంద్ని

త లయజ్ేసుత ందవ. తలం : ఒక గదవ యొకక నేల, గోడ ఉప్రితలం, ప్ుసతకంలోని ఒక పేజి తలానిి

సూచిసరత యి. ఒక తలం అనంతంగర విసతరించబడి ఉంటటందవ. ర్ ండు బందువుల మధ్య దూర్ం:

A, B లు ర ండు బంద్ువుల ైతే వ్రటి మధయద్ూర్ం ఒక నిర్భధ ష్ట ఋణాతాకం కరని

వ్రసతవ సంఖయ దవనిి ‘AB’ గుర్భత తో సూచిసరత ర్భ.

నిర్వచనం : A, B మరియు C లు ఒక సర్ళ రేఖప ై గల మూడు విభని

బంద్ువుల ై మరియు AB + BC = AC ఐన ‘B’ ని AC ల మధయ ఉనిద్ని అంటాం.

దవనిి సంకేతంగర A – B – C అని లేదా C – B – A అని వ్రాసరత ం.

పటం 6.4


6

ప ై ప్టం A – B – C అయియయ విధంగర A, B, C అను మూడు బంద్ువులను

సూచిసుత ందవ (అనగర A, C బంద్ువుల మధయ B ఉనిదవ). * ర్ేఖా ఖండము: (నిర్వచనం): -

A, B ర ండు బంద్ువులు మరియు ఆ ర ండు బంద్ువుల మధయ బంద్ువుల

సముదాయానిి “రేఖాఖండము” అని అటాం. దవనిి AB తో సూచిసరత ం.

A మరయిు B బంద్ువులను ABయొకక ‘అంతయ బంద్ువులు’ అంటాం.

ఒక రేఖా ఖండము ఎలలప్ుుడూ ఒక రేఖాలోని కొంత భ్ాగమే మరియు ర ండు అంతయ

బంద్ువులను కలి ఉండును. A, B లను అంతయ బంద్ువులుగర కలి ఉని రేఖాఖండానిి

ABsuur

తో సూచిసరత ం మరియు ఆ రేఖాఖండం ప్ డవు AB.

* ర్ేఖాఖండము యొకక పొ్ డవు (నిర్వచనం): -

రేఖాఖండం యొకక అంతయ బంద్ువుల మధయ ద్ూరరనిి ‘రేఖాఖండం ప్ డవు’

అంటాం కరబటిట ABsuur

యొకక ప్ డవు AB.

* కిర్ణము (నిర్వచనం): -

రేఖలో కొంతభ్ాగమ ై ఒక సిిర్ బంద్ువు వద్ద ప్రార్ంభ్మ ై ఒక ప్తాేయక దవశలో అనంత

ద్ూర్ము ప్ డిగింప్బడినదవ. ప్టం 6.5 లో రేఖ బంద్ువు A వద్ద ప్రార్ంభ్మ ై B దవశగర

అనంతంగర ప్ డిగింప్బడినదవ. ఈ ప్టంలో ABsuur

ని ‘క్ర్ణము’ అని అంటాం. దవనిి “AB

క్ర్ణము” గర చద్ువుతాము. ర ండు అక్షరరలప ై గీయబడిన బాణము ఒక క్ర్ణానిి

సూచిసుత ందవ మరియు ఈ బాణం దవశ A వద్ద ప్రార్ంభ్మవుతునిద్ని త లుప్ును.

పటం 6.5


7

A బంద్ువును ABsuur

యొకక ఆదవ బంద్ువు లేదా శీరా్ము అని అంటాం.

వయతిర్ేక కిర్ణము :

పటం 6.6

ప్టం 6.6 లో ABsuur

మరియు OAsuur

, OBsuur

లు ABsuur

లోని ర ండు క్ర్ణాల OAsuur

OBsuur

క్ర్ణాల

ఒకే ఉమాడి బంద్ువు ‘O’ ఈ సంద్ర్ుంలో OAuuur

,OBuuur

లను ‘వయత్రరేక క్ర్ణాలు’ అని

అంటాం. ఈ ర ండు వయత్రరేక క్ర్ణాలు కలపి ఒక రేఖను ఏర్ుర్భసరత యి. ర్ేఖల జ్తలు : క్రందవ ప్టంలో 3 రేఖలు చూప్బడాడ యి.

(I) (II) (III)

పటం 6.7

ప్టం 6.7 (i) లో చూప్బడిన ABsuur

, CDsuur

రేఖలు ఎంత వర్కూ ప్ డిగించినా

ఎనిటికీ కలుసుకోవు. ఇలా ఉనిదవ బంద్ువు లేని రేఖాలను “సమాంతర్ రేఖలు” అని

అంటాం .


8

ప్టం 6.7 (ii) చూపిన EFsur

, GHsuur

అను రేఖలు F గుండా H గుండా ప్ డిగించగర

ఉమాడి బంద్ువును కలి ఉంటాయి.

ప్టం 6.7 (iii) లో సూచించిన JKsur

, LMsuur

‘O’ అను ఉమాడి బంద్ువును కలి

ఉనాియి.

అంద్ువలల ప్టం 6.7 (ii) లో చూప్బడిన EFsur

, GHsuur

రేఖల జ్తలు ప్టం 6.7 (iii)

లో చూప్బడిన రేఖలు JKsur

, LMsuur

లు సమాంతరరలు కరయి రేఖలు అని లేదా ‘ఖండన

రేఖలు’ అని అంటాం. O బంద్ువును JKsur

, LMsuur

రేఖల “ఖండన బంద్ువు” అని అంటాం.

సమాంతర్ ర్ేఖాలను సూచించు గుర్తు :

ఒక జ్త సమాంతర్ రేఖల ైన ABsuur

, CDsuur

లను మనం ABsuur

P CDsuur

అని సూచిసరత ం

ఒక జ్త ర్ేఖల యొకక తిర్య గ్ేేఖ :

క్రందవ ప్టం 6.8 (i) ABsuur

, CDsuur

అను జ్త అసమాంతర్ రేఖాలను మరియు ప్టం

6.8 (ii) PQsuur

, RSsuur

అను ఒక జ్త సమాంతర్ రేఖాలను సూచిసరత యి.

ప్టం 6.8 (i) లో EF ఒక ఖండన రేఖ. అదే విధంగర ప్టం 6.8 (ii) లో PQsuur

, RSsuur

ల

ఖండన రేఖ TVsuur

.


9

(I) (II)

పటము 6.8

ప ై ర ండు ప్టాలలో EFsur

, TVsuur

లను “త్రర్య గేరఖ” అని అంటాం. కరవున ర ండు

రేఖలను ర ండు వ్ేరేవర్భ బంద్ువుల వద్ద ఖండించు రేఖను ‘త్రర్యక్ రేఖ’ అంటాం

సమాంత ర్ేఖల లక్షణాలు :

ప్టం 6.9 లో ABsuur , CD

suur లు ర ండు సమాంతర్ రేఖల మరియు EF

sur, GH

suur, IK

sur

లు ABsuur తో

900 కోణానిి ఏర్ుర్చు ‘3’ త్రర్య రేఖలు. ప్టంలో P, Q, R లు చూప్బడిన ABsuur

, ప ై త్రర్యక్

రేఖ యొకక ఖండన బంద్ువులు మరియు S, T, V లు CDsuur

రేఖప ై PSsur

, QTsuur

, RVsuur

త్రర్యక్ రేఖల ఖండన బంద్ువులు. ప్టములో PSsur

, QTsuur

, RVsuur

లు ABsuur

, CDsuur

సమాంతర్ రేఖల యొకక మధయ ద్ూరరలు. ఈ ద్ూరరల కొలవడం దావరర PSsur

= QTsuur

=

RVsuur

అవి గమనించవచుచ. అనగర PSsur

, QTsuur

, RVsuur

లు సమాన రేఖల ప్ డవులు కలగి

ఉంటాయి. దవనిి బటిట ర ండు సమాంతర్ రేఖల మధయ ద్ూర్ం ఎలలప్ుుడూ సమానమని

గరహ ంచవచుచ. అంద్ువలల సమాంతర్ రేఖల మధయ ద్ూర్ం సిిర్ంగర ఉంటటందవ అని అంటార్భ.


10

పటం 6.9

కోణము స్మవచనం:

A, B, C లు సరేభీయాలు కరని 3 బంద్ువుల ైన ABsuur మరియు AC

suur కోణాలచే

ఏర్ుడిన ప్టానిి BAC కోణం అంటాం. దవనిి BAC గర వ్రాసరత ం.

ABsuur , AC

suur లను BAC యొకక భ్ుజ్యలని ‘A’ ను శీరా్ం అని అంటాం

పటం .10

క్రంద్ చూపిన విధంగర A, B, C బంద్ువులను సరి నాలను బటిట కోణాలు వివిధ ఆకరరరలను

కలి ఉంటాయి.

పటం 6.11


11

కోణం కొలత:

జ్యయమిత్ర ప్రికరరల ప ట్టలో ఇవవబడిన కోణమానిని సరయంతో మనం కోణానిి

కొలుసరత ం. కోణమానిని సరయంతో కోణానిి కొలచే ప్మాాణానిి “డిగీర” అంటాం. ఈ క్రందవ

ప్టంలో చూపినటటల గర AOB కొలత 400 డిగీరలు, COB కొలత 1350 డిగీరలు.

ABC కొలతను m ABC గర సూచిసరత ం.

పటం 6.12

ఈ క్రందవ ప్టం 6.13 లో ABC కొలత 400 అయితే దానిి మనం m ABC = 700 గర

వ్రాసరత ం.

పటం 6.13

స్వవకృతం: ప్తా్ర కోణం ‘o’ కంటే ఎకుకవ మరియు 1800 కనాి తకుకవ ఐన ఒక వ్రసతవ

సంఖయతో సంబంధం కలగి ఉందవ ఈ సంఖయనే కోణం యొకక కొలత అని అంటాం. దవని ‘డిగీరల’

లో కొలుసరత ం.


12

లంబ ర్ేఖలు :

(I) (II) (III)

పటం 6.14

ప్టం 6.14 (i) లో m AOB = 900 ఈ సంద్ర్ుంలో OAuuur

OAuuur

క్ర్ణాలు

ప్ర్సుర్ లంబాలు. దవనిి మనం OAuuur

OAuuur

గర వ్రాసరత ము.

ప్టం 6.4 (ii) లో m CFE = 900 కరబటిట FEuur

CDuuur

అని వ్రాసరత ం. అదే

విధంగర ప్టం 6.4 (iii) లో m GLJ = 900 అంద్ువలల మనం దవనిి JKsur

GHsuur

లేదా

GHsuur

JKsur

అని వ్రాసరత ం.

కోణ సమదవవ ఖండన : ప్టం 6.15 లో ‘P’ BAC అంతర్ంలో ఒక బంద్ువ్ ై మరియు m

BAP = m PAC ఐన APuuur

క్ర్ణమును BAC యొకక “సమదవవ ఖండన రేఖ”

అంటాం.

అనగర ద్తత కోణానిి ర ండు సమాన భ్ాగరలుగర ఖండించు క్ర్ణానిి “కోణ సమదవవ ఖండన”

రేఖ అంటాం.

పటం 6.15


13

కోణాల యొకక వర్గీకర్ణ :

కోణాల కొలతను బటిట కోణాల క్రందవ విధంగర వరీికరించబడాడ యి:

(i) 900 కంటే తకుకవగర ఉందవ 00 కనాి ఎకుకవగర గల కోణానిి ‘అలుకోణం’ అంటాం.

(ii) 900 డిగీరలుగర గల కోణానిి ‘లంబకోణం’ అంటాం.

(iii) 900 కనాి ఎకుకవ 1800 కనాి తకుకవగర గల కోణంను “అధవక కోణం” అంటాం.

పటం 6.16

కోణాల జ్తలు:

1. ఆసనన కోణాలు: ర ండు కోణాలు ఒకే ఉమాడి శీరా్ం, ఉమాడి భ్ుజ్యనిి కలి ఉందవ వ్రటి

అంతరరలు ఏ ఉమాడి బంద్ువులను కలగి ఉంద్ని ఒక జ్త కోణాలను “ఆసని కోణాలు”

అంటాం.


14

పటం 6.17

ప ైన చూపిన ప్తా్ర ప్టంలోనూ ‘A’ ఉమాడి శీరా్ం అమేాలా BAP మరియు CAP

కోణాల జ్తలు మనం గురితంచవచుచ. ప్టంలో APuuur

కోణాల యొకక ఉమాడి భ్ుజ్ం అని

మరియు కోణాల అంతరరళంలో ఏ ఉమాడి బంద్ువు లేక పో్ వడం కూడా మనం

గురితంచవచుచ. కరబటిట BAP మరియు CAP లు ఒక జ్త ఆసని కోణాలు.

పూర్క కోణాలు : ర ండు కోణాల మొతతం 900 అయిన, ఆ ర ండు కోణాలను ప్ూర్క కోణాలు

అంటార్భ. ఇంద్ులో ప్తా్ర కోణము అలు కోణము.

(I) (II)

పటం 6.18

ప్టం 6.18 (i) లో, m ABC + m DEF = 900.

కరబటిట, ABC మరియు DEF లు ప్ూర్క కోణాలు.

ప్టం 6.18 (II) లో , m PAR + RAQ = 1800.

కరబటిట, PAR మరియు RAQ లు ప్ూర్క కోణాలు.


15

గమనిక: ఒక జ్త ప్ూర్క కోణాలు ఆసని కోణాలు జ్త కరవచుచ లేదా కరక ప్ో వచుచ.

సంపూర్క కోణాలు: ర ండు కోణాలు మొతతం 1800 అయిన, ఆ ర ండు కోణాల జ్తను

సంప్ూర్క కోణాలు అంటార్భ.

(I) (II)

పటం 6.19

ప ై ప్టం 6.19 (I) లో , m ABC + DEF = 1800 అంద్ువలన, ABC మరియు

DEF లు సంప్ూర్క కోణాలు.

ప్టం 6.19 (II) లో, m PQS + m RQS = 1800 కరవున PQS మరియు

RQS లు ఒక జ్త ఆసని సంప్ూర్క కోణాలు.

గమనిక: ఒక జ్త సంప్ూర్క కోణాలు ఆసని కోణాలు కరవచుచ లేదా కరక ప్ో వచుచ.

శీర్మా భిముఖ కోణాలు: ప్టం 6.20 లో ABsuur మరియు CD

suur లు O వద్ద ఖండించు

కునాియి. అంద్ువలల D వద్ద ఏర్ుడిన కోణాలు 4.

OBuuur

మరియు OCuuur

లు OAuuur

మరియు ODuuur

ల వయత్రరేక క్ర్ణాలు.

OAuuur

మరియు ODuuur

లచే ఏర్ుడిన కోణం AOD.

OBuuur

మరియు OCuuur

లచే ఏర్ుడిన కోణం BOC.


16

కరబటిట AOD మరియు BOC లను శీరరా భ ముఖ కోణాలంటార్భ.

ఎంద్ుకనగర O శీరరా నిక్ అభముఖంగర ఏర్ుడిన కోణాలు కరవున (ర ండు జ్తలు).

ర ండు సర్లరేఖలు ఖండించు కొనిప్ుుడు ర ండు జ్తల శీరరా భముఖ కోణాలు

ఏర్ుడుతాయి.

పటం 6.20

ర్ ండు ర్ేఖలను ఒక తిర్యగ్ేేఖ ఖండ ంచినపుడు ఏర్పడు కోణాలు:

ప్టం 6.21 (i) లో ABsuur

మరియు CDsuur

లు ర ండు సమాంతర్ంకరని రేఖలు మరియు PQsuur

వ్రటిని ఖండించిన త్రర్యగేరఖ. ఖండన బంద్ువుల వద్ద ఏర్ుడిన కోణాలు వర్భసగర

1,2,3,4,5,6,7 మరియు 8

పటం 6.21 (i) పటం 6.21 (ii)


17

ప్టం 6.21 (ii) లో EFsur మరియు GH

suur లు ర ండు సమాంతర్ రేఖలు మరియు KL

suur వ్రటిని

వ్ేరేవర్భ బంద్ువుల వద్ద బంధవంచిన ఒక త్రర్యగేరఖ. ఖండన బంద్ువుల వద్ద ఏర్ుడిన

బంద్ువులు వర్భసగర a,b,c,d,e,f,g మరియు R అక్షరరలతో సూచించార్భ.

ప్టం 6.21 (i) లో, 1 మరియు 5, 2 మరియు 6, 4 మరియు 8, 3 మరియు 7 కోణాలు

జ్తలు సద్ృశ కోణాలు .

1 మరియు 7, 2 మరియు 8 కోణాలు జ్తలు బాహయ ఏకరంతర్ కోణాలు .

కరగర, 3 మరియు 5, 4 మరియు 6 కోణాలు అంతర్ ఏకరంతర్ కోణాల జ్తలు .

అదేవిధంగర, ప్టం 6.21 (ii) లో, సూచించిన a మరియు h, b మరియు e, d మరియు g,

c మరియు f కోణాలు సద్ృశ కోణాల జ్తలు .

ర ండు సమాంతర్ రేఖలను ఒక త్రర్యగేరఖ ఖండించడం దావరర ఏర్ుడిన కోణాలను కొలవడం

దావరర మనం ఈ క్రందవ విష్యాలను గమనించవచుచ.

(i) బాహయ ఏకరంతర్ కోణాల జ్తలు సమానం మరియు అంతర్ ఏకరంతర్ కోణాల జ్తలు

సమానం.

(ii) సద్ృశ కోణాల జ్తలు సమానం.

మీ పాగతిని పర్గక్ష్ ంచుకోండ :

E1 ప్టం 6.22 లో ABsuur

మరియు ODsuur

ల ఉమాడి బంద్ువు O, AOD మరియు

DOB కొలతలు వర్భసగర x +30 మరియు x – 25 డిగీరలు. ర ండు కోణ కొలతలను

డిగీరలలో కనుకొనుము.


18

పటం 6.22 పటం 6.23

E2 ప్టం 6.23 క్ m AOC = 720 . AOD , BOC మరియు BOD కొలతలు

కనుగొనుము.

E3 ఈ క్రందవ ప్టం 6.24 నుండి క్రందవ కోణాల ర్కరలను పేరొకనుము.

(i) సద్ృశ కోణాల జ్త

(ii) సహ-అంతర్ కోణాల జ్త

(iii) ఏకరంతర్ కోణాల జ్త

పటం 6.24 పటం 6.25

E4 ప్టం 6.25 లో ABsuur

P CDsuur

మరియు PQsuur

వ్రటి ఖండన రేఖ. ఏర్ుడిన కోణాల

కొలతలు a,b,c,d,e,f,g మరియు R గర సూచించ బడాడ యి. g = 350 అయిన a,b,c,d,e,f

మరియు R విలువలను కనుగొనుము.


19

6.3 దవవపర్ిమాణ సంవృత పటాలు:

ఈ భ్ాగంలో మనం మూడు ర్కరల ైన దవవప్రిమాణ సంవృత ప్టాల ైన త్రాభ్ుజ్యలు,

చతుర్భుజ్యలు మరియు వృతతం యొకక ర్కరలు మరియు లక్షణాలను గూరిచ చరిచసరత ము.

6.3.1 తిాభ్ుజ్ము

నిర్వచనము: A, B, C లు సరేఖీయాలు కరని మూడు బంద్ువుల ైన, ABuuur , BC

uuur మరియు

CAuuur

లచే ఏర్ుడిన ప్టానిి త్రాభ్ుజ్ం ABC అంటార్భ. (దవనిని ABC గర వ్రాసరత ర్భ).

A, B, C లను శీరరా లు అని అంటార్భ. ABuuur , BC

uuur మరియు CA

uuur లను భ్ుజ్యలని మరియు

ABC,

BCA మరియు BAC లను ABC యొకక కోణాలని అంటార్భ. (ఈ కోణాలను B ,

C మరియు A అని వ్రాసరత ము).

తిాభ్ుజ్ అంతర్ము మర్ియు బాహ్యము:

ప్టం 6.26 నుండి పేజీలో ABC లోప్ల ఆకరమించిన ప్రాంతానిి త్రాభ్ుజ్ం యొకక

అంతర్ం అంటార్భ.

ABC మరియు దాని అంతర్ం ర ండూ కలసి ఆకరమించిన ప్రాంతానిి త్రాభ్ుజ్ ప్రాంతము

అంటార్భ.

పటం 6.26


20

ప్టం 6.27 లో P మరియు R లు ABC అంతర్ం లోని బంద్ువులు. M మరియు N

బంద్ువులు ABC ప ై గల బంద్ువులు, మరియు Q, S మరియు T బంద్ువులు ABC

యొకక బాహయ బంద్ువులు.

పేజీలోని ABC యొకక బయట ప్రాంతానిి (Q, S, T బంద్ువులు గల) ABC యొకక

బాహయ ప్రాంతమంటార్భ.

పటం 6.27

తిాభ్ుజ్యలు వర్గీకర్ణ:

(a) కోణ కొలతల ఆధార్ంగ్మ వర్గీకర్ణ:

(i) అలపకోణ తిాభ్ుజ్ం: త్రాభ్ుజ్ంలోని 3 కోణాలు అలుకోణాల ైన, ఆ త్రాభ్ుజ్యనిి

అలుకోణ త్రాభ్ుజ్ం

అంటార్భ. ప్టం 6.28(a) లోని ప్టం అలుకోణ

త్రాభ్ుజ్ం.

(ii) లంబ కోణ తిాభ్ుజ్ం: త్రాభ్ుజ్ంలోని ఒక కోణం లంబ కోణం అయిన త్రాభ్ుజ్యనిి లంబ

కోణ త్రాభ్ుజ్ం

అంటార్భ. ప్టం 6.28(b) దవనిని సూచిసుత ందవ.


21

(iii) అధవక కోణ తిాభ్ుజ్ం: ఒక కోణం అధవక కోణంగర గల త్రాభ్ుజ్యనిి అధవకకోణ త్రాభ్ుజ్ం


ప్టం 6.28(c) దవనిని సూచిసుత ందవ.

(a) అలప కోణ తిాభ్ుజ్ం (b) లంబ కోణ తిాభ్ుజ్ం (c) అధవక కోణ

తిాభ్ుజ్ం

పటం 6.28

(b) భ్ుజ్యల పొ్ డవుల ఆధార్ంగ్మ తిాభ్ుజ్యల వర్గీకర్ణ:

(i) విష్మ బాహు త్రాభ్ుజ్ం: ఏ ర ండు భ్ుజ్యలు సమానంగర లేని త్రాభ్ుజ్యనిి విష్మ

త్రాభ్ుజ్ం

అంటార్భ. ప్టం 6.29 (II).

(ii) సమదవవబాహు త్రాభ్ుజ్ం: ర ండు భ్ుజ్యల సమానంగర గల త్రాభ్ుజ్యనిి

సమదవవబాహు తా్రభ్ుజ్ం

అంటార్భ. ప్టం 6.29 (I) దవనిని సూచిసుత ందవ.

(iii) సమబాహు త్రాభ్ుజ్ం: అనిి భ్ుజ్యలు సమానంగర గల త్రాభ్ుజ్యనిి సమబాహు

త్రాభ్ుజ్ం

అంటార్భ. ప్టం 6.29(III).


22

(I) (II) (III)

(సమదవవబాహ్ు తిాభ్ుజ్ం) (విషమబాహ్ు తిాభ్ుజ్ం) (సమబాహ్ు తిభా్ుజ్ం)

పటం 6.29

6.3.2. చతుర్తుజ్యలు:

క్రందవ చూపిన ప్టమును గమనించుము.

(i) (ii)

పటం 6.30

ప్టం 6.30 (i) లో A, B, C మరియు D బంద్ువులునాియి. ఏ మూడు బంద్ువులు

కూడా ఒక సర్ళరేఖప ై లేవు.


23

ప్టం 6.30 (ii) లో అనే బంద్ువులు గురితంచబడాడ యి. మరియు AB , BC , CD

మరియు AD రేఖా ఖండాలు గీయబడాడ యి.

AB , BC , CD మరియు AD రేఖా ఖండాలలో ఏ ర ండు కూడా చివరి బంద్ువుల వద్ద

తప్ు మరి ఇతర్ బంద్ువుల వద్ద కలప్ు.

ఈ సంద్ర్ుంలో AB , BC , CD , AD రేఖా ఖాండాలచే ఏర్ుడిన ప్టానిి చతుర్భుజ్ం

అంటార్భ. దవనిని A B C D చతుర్భుజ్ంగర పిలుసరత ర్భ.

A, B, C, D లు చతుర్భుజ్ం యొకక శీరరా లని, AB , BC , CD , AD లు భ్ుజ్యలని


A B C D చతుర్భుజ్ం యొకక నాలుగు కోణాలు ABC, BCD, CDA మరియు

DAB.

AC మరియు BD లు దాని కరరణ లు.

ఈ క్రందవ ప్టం 6.31 (a) ని గమనిదాద ం. తలంలోని A, B, C, D బంద్ువులలో, ఏ మూడు

సరేఖీయాలు కరవు.

(a) (b) (c)

పటం 6.31


24

కరనీ ప్టం 6.31(a) లో , AD మరియు BC లు చివరి బంద్ువుల వద్ద కరక వ్ేరొక

బంద్ువు వద్ద కలుసరత యి. అంద్ువలన AB , BC , CD మరియు AD లు

చతుర్భుజ్యనిి ఏర్ుర్చవు.

ప్టం 6.31(b) లో, చతుర్భుజ్ం అంటార్భ లోని ఏ వ్ేని ర ండు బంద్ువులను కలుప్ు రేఖా

భ్ంద్ం ప్ూరితగర చతుర్భుజ్ అంతర్ంలోనే ఉంటటందవ. కరవున ఈ చతుర్భుజ్యనిి కుంభ్కరర్

చతుర్భుజ్ం అంటార్భ.

ప్టం 6.31(c) లో, చతుర్భుజ్ం అంతర్ంగర ఉని బంద్ువులను కలపే రేఖా ఖండాలనీి

చతుర్భుజ్యనిక్ అంతర్ంగర ఉండే అవకరశం లేద్ు. కరబటిట EFGH ను ప్ుటాకరర్ చతుర్భుజ్ం


గమనిక: కుంభ్ాకరర్ చతుర్భుజ్ం కరరణ లు ప్ర్సుర్ం చతుర్భుజ్యనిక్ అంతర్ంగర

ఖండించుకుంటాయనీ, ప్ుటాకరర్ చతుర్భుజ్ కరరణ లు ర ండూ ప్ర్సుర్ం చతుర్భుజ్యనిక్

బాహయంగర ఖండించుకుంటాయని గమనించగలర్భ.

చతుర్తుజ్యల ర్కమలు:

(i) సమలంబ చతుర్తుజ్ం: ఒక జ్త సమాంతర్ భ్ుజ్యలు గల చతుర్భుజ్యనిి సమలంబ

చతుర్భుజ్ం అంటార్భ. ప్టం 6.32(I) AB P DC గర గల సమలంబ చతుర్భుజ్యనిి

సూచిసుత ందవ.

(I) సమలంబ చతుర్తుజ్ం (II) సమాంతర్ చతుర్తుజ్ం


25

(ii) సమాంతర్ చతుర్తుజ్ం: ర ండు జ్తల ఎద్ుర ద్ుర్భ భ్ుజ్యలు సమాంతర్ంగర గల

చతుర్భుజ్యనిి సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం అంటార్భ.

ప్టం 6.32 (II) లో EF P GH మరియు FG P EH . కరబటిట EFGH ఒక సమాంతర్

చతుర్భుజ్ం.

(iii) దీర్ఘ చతుర్సు రం: 4 కోణాలు లంబ కోణాలుగర గల చతుర్భుజ్యనిి దవర్ఘచతుర్సత రం అంటార్భ.

ఒక కోణం లంబ కోణంగర గల సమాంతర్ చతుర్భుజ్మే దవర్ఘచతుర్సత రం అని కూడా అంటాము.

(I) దీర్ఘ చతుర్సు రం (II) సమ చతుర్తుజ్ం (III)

చతుర్సు రం

పటం 6.33

(iv) సమ చతుర్తుజ్ం: అనిి భ్ుజ్యలు సమానంగర గల చతుర్భుజ్యనిి సమ చతుర్భుజ్ం


(v) చతుర్సు రం: అనిి భ్ుజ్యలు సమానంగర ఉంటట. అనిి కోణాలు లంబ కోణాలుగర గల

చతుర్భుజ్యనిి చతుర్సత రం అంటార్భ.

ప్టం 6.33 (III) లో AB = BC = CD = DA మరియు A= B = C = D = 900

కరబటిట ABCD ఒక చతుర్సత రం.


26

గమనిక: వివిధ ర్కరల చతుర్భుజ్యల యొకక ధరరాలను ప్యాోగరతాకంగర

త లుసుకొనవచుచను.

చతుర్భుజ్ం యొకక చుటటట కొలత = 4 భ్ుజ్యల ప్ డవుల మొతతము.

చతుర్భుజ్ం యొకక వ్ ైశరలయం = కర్ణం గీయడం దావరర ఏర్ుడిన ర ండు త్రాభ్ుజ్ వ్ేశరలాయల

మొతతము

సమలంబ చతుర్తుజ్ం యొకక చుటటు కొలత = 4 భ్ుజ్యల ప్ డవుల మొతతం.


27

సమలంబ చతుర్తుజ్ం యొకక వ ైశమలయం:

ప్కాక ప్టం 6.34 నుండి,

లంబ చతుర్భుజ్ం ABCD వ్ ైశరలయం

= ABC వ్ ైశరలయం + BCD వ్ ైశరలయం

= ½ AB × h + ½ CD × h

= ½ h (AB + CD)

= ½ h (సమాంతర్ భ్ుజ్యల ప్ డవుల మొతతము)

సమాంతర్ చతుర్తుజ్ం యొకక చుటటు కొలత:

(ప్టం 6.35 నుండి)

సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం చుటటట కొలత

= AB + BC + CD + DA

= AB + BC + AB + BC (Q AB = CD, AD = BC)

= 2AB + 2BC = 2 (AB + BC)

సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం యొకక

వ్ ైశరలయం = భ్ూమి x ఎతుత

Q సమాంతర్ చతుర్భుజ్ము దవర్ఘ చతుర్సత రం

కు సమానం


28

దీర్ఘ చతుర్సు రం యొకక చుటటు కొలత = AB + BC + CD + DA (ప్టం 6.36

నుండి)

= l + b + l + b = 2l + 2b = 2 (l + b)

[l = ప్ డవు AB, b = వ్ డలుు AD]

దవర్ఘ చతుర్సత రం వ్ ైశరలయం = l × b

సమ చతుర్తుజ్ం చుటటు కొలత = AB + BC + CD + DA (ప్టం 6.37

నుండి)

= AB + AB + AB + AB = 4 AB = 4 × భ్ుజ్ం ప్ డవు

సమ చతుర్భుజ్ంలో కరరణ లు ప్ర్సుర్ం లంబ సమదవవఖండన చేసుకుంటాయి

కరబటిట సమ చతుర్భుజ్ం ABCD వ్ ైశరలయం

= ABC వ్ ైశరలయం + ACD వ్ ైశరలయం

= ½ AC × BO + ½ AC × DO

= ½ AC (BO + DO) = ½ AC × BD

సమచతుర్భుజ్ం యొకక వ్ ైశరలయం

= ½ (కరరణ ల ప్ డవుల లబదం)


29

చతుర్సు రం యొకక చుటటు కొలత

= 4 భ్ుజ్ం ప్ డవు (సమలంబ చతుర్భుజ్ంలో వల )

చతుర్సత రం యొకక వ్ ైశరలయం

= AB x AD (దవర్ఘ చతుర్సత రం లాగర (ప్టం 6.38)

= AB x AB (భ్ుజ్యలనీి సమానం కరవున)

= AB2 = భ్ుజ్ము ప్ డవు యొకక వరి్ము.

6.3.3 వృతుము: వకర రేఖతో ఏర్ుడిన ఒక దవవప్రిమాణ ఆకరర్మే వృతతము మరియు దవనిని

గీయబడిన తలముప ై ఇదవ కొంత భ్ాగరనిి ఆకరమిసుత ందవ.

నిర్వచనం: ఒక తలములో సిిర్ బంద్ువు నుండి సిిర్ ద్ూర్ములో చరించే బంద్ు

సముదాయానిి వృతతము అంటార్భ.

ఆ సిిర్ బంద్ువును వృతత కేంద్మాని, సిిర్ ద్ూర్మును వృతత వ్రయసరర్ధమనీ అంటార్భ.

వృతతము యొకక ఏ ర ండు బంద్ువులన ైనా

కలుప్ు రేఖా ఖండానిి వృతత జ్యయ అంటార్భ.

వృతత కేంద్మాును కలగి యుని జ్యయ ను

వ్రయసము అంటార్భ. కరబటిట ప్టం 6.39 లో

AB ఒక వ్రయసము. AB ( AB ప్ డవు) వృతత వ్రయసమును ‘d ’ తో సూచిసరత ర్భ. OA

మరియు OB లు ర ండు వృతత వ్రయసరరరధ లు.

కరవున, d = 2r.


30

ప్టం 6.40 (a) లో , A మరియు C లు ABC వృతతం ప ై ర ండు బంద్ువులు. ఈ ర ండు

బంద్ువులు వృతతమును ర ండు భ్ాగరలుగర విభ్జిసరత యి.

ఒకొకకక భ్ాగరనిి వృత్రత చాప్ము అంటార్భ. వీటి అంతయ బంద్ువులు A మరియు C . »AC

వృతతం యొకక ఒక జ్యయ . P మరియు Q లు వృతతం ప ై ఇతర్ బంద్ువులు. P మరియు O

లు »AC జ్యయకు ఇర్భవ్ ైప్ులా ఉంద్గర Q మరియు O బంద్ువులు »AC జ్యయ కు ఒకే వ్ ైప్ున

ఉనివి.

ప్టం 6.40 (a) ప్టం 6.40 (b)

P బంద్ువును కలగియుని చాప్మును APC చాప్ము అని అంటార్భ. దవనిని APC టి ఓ

సూచిసరత ర్భ. Q బంద్ువును కలగిన చాప్మును చాప్ము అంటార్భ. దవనిని AQC తో

సూచిసరత ర్భ. APC దవ అలు అనీ, AQC ని అధవకచాప్ము అనీ అంటార్భ. APC మరియు

AQC లను ఒకదాని కొకటి అభ ముఖంగర ఉని (వయత్రరేఖ) చాప్రలు అంటార్భ.;

ప్టం 6.40 (b) లోని ప్టం ABC లో అలు చప్ము ADB యొకక చివరి బంద్ువులు A

మరియు B లకు గీయబడిన ర ండు వ్రయసరర్భధ లు AO మరియు BO . అంద్ు వలన

ఏర్ుడిన కోణం AOB (కేంద్ంా వద్ద).

ADB చాప్ము కేంద్మాు ఏర్ుర్చిన కోణం AOB .


31

AOB కొలతను ADB చాప్ము యొకక కోణప్ు కొలత అని అంటార్భ. (చాప్ము ప ద్దద ైనా కోణము

ప ద్దదవ). ¼ADBచాప్ము కోణము కొలతను m ¼ADB గర సూచిసరత ర్భ.

అధవక చాప్ము కోణం కొలత = 3600 – దాని వయత్రరేక చాప్ము యొకక కోణము కొలత

i.e m ACB = 3600 – m ADB (ప్టం 6.40 నుండి)

ప్టం 6.41లో, APC వృతత ం యొకక వ్రయసము AC.

కరవున AC వ్రయసము చేతను మరియు ఒకొకకక

వృతత చాప్ము APC మరియు AQC లచే

చుటటబడిన ఆకృత్రని అర్ధ వృతతము అని అంటార్భ.

అర్ధ వృతతములోని కోణం 900.

ప్టం 6.42 (i) లో, P మరియు Q లు అలు చాప్ము »AB అలు వృతత ఖండము ప ై ర ండు

బంద్ువులు అయిన APB మరియు AQB లను ¼APB లోని కోణాలని, ARB

మరియు AIB లు అధవక వృతతఖండము ARB లోని కోణాలని అంటార్భ.

(I) (II)

పటం 6.42


32

ప్టం 6.42(II) లో AB వృతత వ్రయసము. M మరియు N లు A,B లు అంతయ బంద్ువులుగర

గల అర్ధ వృతతములలోని బంద్ువులు. అయిన AMB మరియు ANB లు అర్ధ

వృతతములోని కోణాలు.

చకరయే చతుర్తుజ్ం: ఒక చతుర్భుజ్ం యొకక శీరరా లు వృతతంప ై ఉనిటటల యితే దానిని

చకీరయ చతుర్భుజ్ం అంటార్భ. ప్టం (6.43లో చూడినటటల గర). అంద్ువలల ABCD ఒక

చకీరయ చతుర్భుజ్ం.

వృతు ం అంతర్ం మరి్యు బాహ్యం లోని కోణాలు:

ప్టం 6.44 లో , KLM వృతత కేంద్మాు ‘O’

కరబటిట K, L, M బంద్ువులు వృతత ం ప ై ఉనాియి.

KLM వృతత తలంలో PO r మరియు QO r

అయియయటటటల గర P మరియు Q ర ండు బంద్ువులయిన , P ని

KLM వృతత అంతర్ంలో బంద్ువు అనీ, Q ని KLM వృతత బాహయంలోని బంద్ువనీ



33

వృతత ం ప ైని మరియు వృతత అంతర్ంలోని అనిి బంద్ువుల సముదాయానిి వృతత ప్రాంతము


వృతు ఖండము:

ప్టం 6.45లో, ABC వృతత ం యొకక జ్యయ AB .

AB వృతత ప్రాంతానిి ర ండు భ్ాగరలుగర విభ్జిసుత ందవ.

ఒకొకకక భ్ాగరనిి వృతత ఖండం అంటార్భ.

వృతత కేంద్ాము O ను కలగి ఉంద్ని ఖండానిి

అలు వృతత ఖండము అనీ, కేంద్ంా O ను

కలగియుని వృతత ఖండానిి అధవక వృతత ఖండం అనీ అంటార్భ.

వృతు ం యొకక కొనిన ధ్ర్మాలు :

1. ఒకే వృతత ఖండంలో కోణాలు సమానం

m APB = m AQB

అదేవిధంగర m ARB = m AQB

(Q APB అలు వృతత ఖండం, ARB అధవక వృతత ఖండం)

2. అర్ధ వృతతము లోన కోణం 900. అనగర లంబకోణము.

AB ఒక రరయసము. అంద్ువలన APB ఒక అర్ధ వృతతము.

అయిన m APB = 900 .


34

3. చకీరయ చతుర్భుజ్ంలోని ఎద్ుర ద్ుర్భ కోణాలు

సంప్ూర్కరలు. ABCD ఒక చకీరయ

చతుర్భుజ్ం.

m A + m C = m B + m D = 1800

4. ఒక వృతత చాప్ము కేంద్ాము వద్ద చేయు

కోణం అని మిగిలన వృతాత ంప ై ఏ దేని

బంద్ువు వద్ద చేయు కోణానిక్ ర టిట ంప్ు.

m AOB = 2 m ACB = 2 m ADB

మీ పాగతిని పర్గక్ష్ ంచుకోండ :

E5 : ఖాళ్లలను ప్ూరించుము.

(a) ర ండు ఆసని భ్ుజ్యలు సమానంగర గల సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం ఒక

_______________.

(b) ఒక వృతత బంద్ువును దాని ____________ తో కలుప్ లన రేఖ ఖండానేి

వ్రయసరర్ధము అంటార్భ.

(c) ఒక వృతత చాప్ము కేంద్మాు వద్ద చేయు కోణము 640 అయిన అదే చాప్ము మిగిలన

వృతత ంప ై చేయు

కోణము __________.

(d) చకీరయ చతుర్భుజ్ంలోని ఎద్ుర ద్ుర్భ కోణాల మొతతము __________డిగీరలు.


35

6.3.4. సర్వ సమానత మరి్యు సర్ూపత

సర్వ సమాన పటాలు: ర ండు సమతల ప్టాలు ఒక దానిప ై కరొకటి ఉంచినప్ుడు అవి ప్ూరితగర

ఒకదానితో ఒకటి ఏకీభ్వించనప్ుడు ఆ ర ండు ప్టాలు సర్వసమానాలు అంటాము. కరనీ దవనిని

ప్యాోగరతాకంగర చూడాల. ఈ ప్నినే తాత్రకకంగర చేయడానిక్ ఈ క్రంద్ కొనిి నిర్వచనాలు,

నియమాలు చూప్బడాడ యి. వీటి దావరర త్రాభ్ుజ్యల సర్వసమానతవము నియమాలు

గరహ ంచగలము.

“సర్వసమానతవము” ను గుర్భత తో సూచిసరత ము.

(i) రేఖా ఖండాల సర్వసమానతవము:

ర ండు రేఖా ఖండముల ప్ డవులు సమానమయిన

ఆ ర ండు రేఖా ఖండములు సర్వసమానం.

అంద్ువలల , ర ండు సర్వ సమాన రేఖా ఖండాలు

సమాన ప్ డవులు కలగి యుండును. ప్టం 6.50 నుండి,

AB = PQ AB PQ మరియు AB PQ AB = PQ

(ii) కోణాల సర్వసమానత:

ర ండు కోణాల కొలతలు సమానం అయిన

అవి ర ండు సర్వసమానాలు.

కరవున సర్వసమాన కోణాలు సమానం.

m ABC m PQR ABC PQR


36

మరియు m ABC m PQR mABC = mPQR

తిాభ్ుజ్యల సర్వసమానతవం :

ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు ఈ క్రందవ నియమాల ప్కారర్ం సర్వ సమానమౌతాయి.

ఈ నియమానిి భ్ు – కో – భ్ు నియమం అంటార్భ.

(i) ఒక త్రాభ్ుజ్ంలోని ర ండు భ్ుజ్యలు,

వ్రటి మధయ కోణం ర ండవ త్రాభ్ుజ్ంలోని

సద్ృశ భ్ుజ్యలు, వ్రటి మధయ కోనానిక్

సమానమయిన ఆ ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానం.

ప్టం 6.52 లోని AB PQ మరియు BC QR, ABC PQR

అయిన ABC PQR.

(ii) ఒక త్రాభ్ుజ్ంలోని మూడు భ్ుజ్యల వర్భసగర మరొక

త్రాభ్ుజ్ంలోని సద్ృశ భ్ుజ్యలకు సమానం అయిన

ఆ ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానం.

ప్టం 6.53 లో, AB PQ , BC QR మరియు

AC PR అయిన ABC PQR.

ఈ నియమానిి SSS సర్వసమానతవ నియమం అంటార్భ.


37

(iii) ఒక త్రాభ్ుజ్ంలో ర ండు కోణాలు వ్రటి మధయ భ్ుజ్ం ర ండవ త్రాభ్ుజ్ంలోని సద్ృశ కోణాలు

వ్రటి మధయ

భ్ుజ్యనిక్ సమానమ ైన ఆ ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానాలు.

ఈ నియమానిి A – S – A సర్వసమానతవ నియమం అంటార్భ.

ప్టం 6.54 లో

B Q, C R

మరియు BC QR అయిన

ABC PQR అవుతుందవ.

ఈ నియమానిి A – S – A సర్వసమానతవ నియమం అంటార్భ.

(iv) ర ండు లంబకోణ త్రాభ్ుజ్యలలో ఒక త్రాభ్ుజ్ంలోని కర్ణము, ఒక భ్ుజ్ము మరొక

త్రాభ్ుజ్ంలోని కర్ణము,

సద్ృశ భ్ుజ్యనిక్ సమానం అయిన ఆ ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వ సమానం.

ఈ నియమానిి లం – క – భ్ు సర్వసమాన నియమం అంటార్భ.


38

ABC లో B = Q, AB = PQ

మరియు AC = PR అయిన ABC PQRఅవుతుందవ.

గమనిక : ర్ ండు సర్వ సమాన తాిభ్ుజ్యలు సర్వసమానము.

సర్వ సమానతవ అనువర్దనాలు

ర ండు త్రాభ్ుజ్యలలోని ర ండు భ్ుజ్యలు గరనీ లేక ర ండు కోణాలు గరనీ సర్వ సమానమని

చూప్డానిక్ మనం

ఆ ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానమని నిర్ూపిసరత యి.

అంద్ువలన, జ్యయమిత్రలోని చాలా సమసయలను సరధవంచడంలో త్రాభ్ుజ్యల సర్వసమానతవము

ఒక ముఖయమ ైన ప్రికర్ంలో ఉప్యోగప్డుతుందవ. క్రందవ

ఉదాహర్ణ గమనిదాద ం.

ఉదాహర్ణ : ప్కాక ప్టంలో AB CD ,

ABC BCD అయిన AC BD

అని నిర్ూపించుము.

ఉపపతిు : ABC మరియు BCD లలో

AB CD (ద్తాత ంశము)

BC ర ండు త్రాభ్ుజ్యలకు ఉమాడి భ్ుజ్ం

ABC BCD (ద్తాత ంశము)


39

ABC BCD ( S – A – S సర్వసమానతవం)

AC BD ( సర్వసమాన త్రాభ్ుజ్యలలోని సద్ృశ భ్ుజ్యలు)

తాిభ్ుజ్యల సర్ూపత:

ఒక సమతల ప్టానిక్ ర ండు అంశరలుంటాయి. అవి ఆకరర్ము మరియు ప్రిమాణము.

ర ండు సమతల ప్టాలు ఒకే ఆకరర్ము మరియు ఒకే ప్రిమాణము కలగి యుని ఆప్టాలు

సర్వసమానము. ఒక దానితో ఒకటి ప్ూరితగర ఏకీభ్విసరత యి.

కరనీ మనం ఇప్ుుడు ఒకే ఆకరర్ం మాతమాు కలగిన ర ండు సమతల ప్రతాలను

తీసుకుందాము. కొనిి ఉదాహర్ణలు క్రంద్ ఇవవబడాడ యి.

(i) ఒక వయక్త యొకక ఒకే ఛాయాచితంా వ్ేరేవర్భ ప్రిమాణాలోల చేయించి నప్ుటకీ, అవి ఒకే

ఆకరరరనిి కలగి

ఉంటాయి, కరనీ ప్రిమాణాలు వ్ేర్భ.

(ii) ఒక ప్ుసతకంలో పిాంట్ చేయబడిన భ్ార్తదేశ ప్టం మరియు భ్ార్తదేశం యొకక గోడ

ప్టం ర ండూ

ఒకే ఆకరరరలు కలగి యునిప్ుటికీ ప్రిమాణాలు వ్ేర్భ.

(iii)


40

ప్టం 6.57 లో ,

ర ండు వృతాత లు ఒకే ఆకరర్ంలో ఉనాియి, కరనీ ప్రిమాణం వ్ేర్భ.

ర ండు చతుర్సరత ా లు ఒకే ఆకరర్ంలో ఉనాియి, కరనీ ప్ర్మాణాలు వ్ేర్భ.

ర ండు సమబాహు త్రాభ్ుజ్యలు ఒకే ఆకరర్ంలో, ఒకేలా ఉనాియి. ప్రిమాణం వ్ేర్భ.

వీటిని, సర్ూప్ ప్టాలు అంటార్భ.

గమనిక : సర్వ సమాన పటాలు సర్ూప్మలు. కమనీ సర్ూప పటాలు సర్వసమానాలు కమక

పో్ వచుు.

6.3.5 పర్మవర్ునము మర్ియు స్ౌషువము:

మనము త లుసు, అద్దంలో ప్రరవర్తనం కరర్ణంగర ప్తా్రబంబము ఏర్ుడుతుంద్ని. రేఖా

గణితంలోని ప్రరవర్తన భ్ావన అద్దంలోని ప్రరవర్తనానిి

పో్ ల వుంటటందవ.

(a) రేఖలో ప్రరవర్తనం:

(i) ర్ేఖలో ఒక బందువు పర్మవర్ునం:

ప్టం 6.58(a) లో, ‘l’ ఒక రేఖ.

(రేఖను చిని ఆంగల ఆక్షరరలలో సూచిసరత యి)

మరియు P ఒక బంద్ువు.

P అనే ఒక బంద్ువు ఒక రేఖలో ప్రరవర్తనం చ ందవనట్లల తే, దాని ప్తా్ర బంబము ఏర్ుడుతుందవ.

దాని ప్తా్రబంబమే? అదవ ఎకకడ ఏర్ుడుతుందవ? ప్టం 6.58 (b) లో చూదాద ం.


41

పాతిబంబమును పొ్ ందు విధానము:

ప్టం 6.58 (b) లో, P నుండి PM l కు గీయబడిన లంబం, PMuuur

ప ై P1 అను బంద్ువును

P – M - P1 మరియు PM = MP1 అయియయటటటల గర తీసుకునాిము. అంద్ువలన l రేఖలో P

యొకక ప్రరవర్తనం వలన మనకు P1 ప్తా్రబంబము ఏర్ుడుతుందవ.

ప్టం 6.59 ను గమనించండి.

ప్టంలో, l రేఖలో P1 యొకక ప్తా్రబంబము P11.

P21 l లో P2 యొకక ప్తా్రబంబము P3

1, P3 యొకక ప్ాత్రబంబము. బంద్ువు రేఖకు ద్గిర్వుతుని కొదవద , ప్తా్ర బంబము కూడా l రేఖకు ద్గిర్వుతునిదవ. P4 బంద్ువు l రేఖప ై ఉనిదవ. కరవున l రేఖనుండి P4 ద్ూర్ం శూనయం. కరబటిట P4

ప్తా్రబంబము కూడా l నుడి ‘o’ ద్ూర్ంలో ఉంటటందవ. అంద్ువలల P4 యొకక ప్తా్రబంబము P4 అవుతుందవ. ఇకకడ l ను ప్రరవర్తన రేఖ అంటార్భ.

(ii) రేఖా ఖండము యొకక ప్రరవర్తనము. ప్టం 6.60 లో l ప్రరవర్తన రేఖ మరియు A B ప్రరవర్తనం చ ందవంచ వలసిన రేఖా ఖండము. A1 మరియు B1 లు A మరియు B ల యొకక వర్భస ప్తా్రబంబాలు ( l రేఖలో).

రేఖలో l లో AB యొకక ప్రరవర్తనము 1 1A B

కరబటిట ప్రరవర్తన రేఖప ైని బంద్ువు యొకక ప్ాత్ర బంబము అదే అవుతుందవ.


42

(iii) త్రాభ్ుజ్ము యొకక ప్రరవర్తనం:

ప్కాకప్టం 6.61 లో చూపినటటల గర, ప్రరవర్తన రేఖ

l లో A,B,C బంద్ువుల ప్తా్రబంబాలు వర్భసగర A1, B1, C1 కరగర

ABC యొకక ప్రరవర్తన ప్ాత్రబంబం A1, B1, C1.

సౌష్టవము: కొనిి వసుత వుల యొకక ఆకరరరలు మరియు అమరికలు మనను చాలా

ఆకటటట కుంటాయి. మనం ఆ ఆకరరరలు గరనీ లేక అమరికలు గరనీ చాలా అంద్ంగర ఉనాియిని

అంటటంటాము. అలాంటి కొనిి ఈ క్రంద్ చూప్బడాడ యి.

ప ైన చూపిన ప్తా్ర ప్టంలోనూ, ర ండు సమాన భ్ాగరలుగర విభ్జించునటటల ఒక రేఖను గీచి,

రేఖ మీద్ుగర మడచి, కత్రతరించి, ఒకదానితో ఒకటి ప్ూరితగర ఏకీభ్వించునటటల చేయవచుచ.

అలాంటి ప్టానిి సౌష్టవ ప్టం అంటార్భ. ఆ రేఖను సౌష్టవ్రక్షం (సౌష్టవ అక్షం) అంటార్భ

లేదా సౌష్టవ రేఖ అంటార్భ.

ఆ ప్టం రేఖా శౌష్టవం కలగి ఉంద్ని అంటాము.


43

ప ై ప్టాల యొకక సౌష్టవ రేఖలు ఈ క్రందవ ప్టం 6.63 లో చూప్బడాడ యి:

రేఖా శౌష్టవం కలగిన అక్షరరల ఉదాహర్ణలు:

A B D E

ఇతర్మ ైనవి వ్రాయడానిక్ ప్యాత్రించండి.

రేఖా సౌష్టవం కలగిన జ్యయమితీయ చితాాలు :

ప్టం 6.64 లో, ABC ఒక సమదవవబాహు తా్రభ్ుజ్ం

PQsuur

సౌష్టవ రేఖ. ఎంద్ుకనగర, శీరా్ము A మరియు

ఏ గతీ వ్ ంబడి మనము

చితాానిి మదవంచినప్ుడు

ర ండు భ్ాగరలు ఒక దానిలో

ఒకటి సరగిరి ఏకభీ్విసరత యో

ఆ రఖేన ేసౌష్టవ రేఖ అంటాము


44

భ్ూమి BCమధయ బంధువు Q దావరర ప్ో వు రేఖా PQsuur

,

ఈ త్రాభ్ుజ్యనిక ్ఒకే ఒక సౌష్టవ రేఖ ఉనిదవ.

ప్టం 6.65 లో, ABCD ఒక దవర్ఘచతుర్సత రము. ఇదవ ర ండు

సౌష్టవ అక్ష్యలను కలగి ఉనిదవ. అవి PQsuur

మరియు RSsuur

.

ఎంద్ుకనగర, P, Q, R మరియు S లు వర్భసగర AD ,

BC , AB మరియు DC ల మధయ బంద్ువులు.

ప్టం 6.66 లో, ABC ఒక సమబాహు తా్రభ్ుజ్ం.

ఇదవ 3 సౌష్టవ అక్ష్యలను కలగి ఉనిదవ. అవి PQsuur

, RSsuur

.

TVsuur

. ప్తా్ర సౌష్టవ రేఖ ఒక శీరరా నిి మరియు దాని

ఎద్ుట భ్ుజ్ం యొకక మధయ బంద్ువులు కలుప్ుతాయి.

ప్టం 6.67 లో, ABCD ఒక చతుర్సత రం ఇదవ

4 సౌష్టవ అక్ష్యలను కలగి ఉనిదవ. అవి ACsuur

, BDsuur

.

PQsuur

. మరియు S లు వర్భసగర AD, BC, AB


45

మరియు DCల మధయ బంద్ువులు.

ఒక వృతత కేంద్ాం గుండా పో్ వు రేఖను ఆ వృతత సౌష్టవ్రక్షము అంటాము.

అనగర వృతాత నిక్ అనేక సౌష్టవ అక్ష్యలను గీయవచుచను.

కరబటిట ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎకుకవ సౌష్టవ అక్ష్యలు గల జ్యయమితీయ ప్టాలు మనం

గమనించవచుచ.

భా్మణ స్ౌషువం :

గరల సో క్నప్ుడు గీటటటవంటి ఒక గరలప్టం (కరగితంలో చేసిన) గమనించండి.

దాని 4 బలల డులు A,B,C మరియు D గర సూచించాయి. కేంద్ంా ఆధార్ంగర దవనిని

లంబ కోణము మీద్ుగర (అప్సవయదవశలో)

భ్మాణం చ ందవంచడం జ్రిగిందవ.

భ్మాణం చ ందవంచడం దావరర A, B ష్రట నానిి ,

B,C, మరియు D లు వర్భసగర C,D మరియు

A సరి నాలను వర్భసగర ఆకరమిసరత యి.

అంద్ువలన ఒక సంప్ూర్ణ భ్ామణం దావరర 4 ష్రట నాలు ఏర్ుడటం దావరర ప్ూర్వ సిిత్రని పో్ ల

ఉంటటందవ. అంద్ువలన ప్టంలో చూపిన (6.68) గరల ప్టం భ్మాణ సౌష్టవం కలగి ఉంద్ని

అంటాము. ఈ సంఖయ ‘4’ ను మనం భ్ామణ ప్రిమాణం అంటాము. ఏ బంద్ువు గుండా గరల

ప్టం భ్మాణం చ ంద్ుతుందో దానిని బంద్ు సౌష్టవం అని అంటార్భ.


46

క్రంద్ చూపిన ఆకరరరలకు భ్ామణ సౌష్టవమునిదేమో ప్రిశీలంచి, భ్ామణ ప్రిమాణం

కనుగొనుము.

మీ ప్గాత్రని ప్రీక్ష్ించుకొనుము

E6. ఖాళ్లలను ప్ూరింప్ుము.

(a) __________ లు సమానమ ైనప్ుడు ర ండు రేఖా ఖండాలు సమానమౌతాయి.

(b) _____________ లు సమానమ ైనప్ుడు ర ండు కోణాలు సమానాలు.

(c) ర ండు త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానమ ైన వ్రటి _________ కోణాల కొలతలు సమానం.

(d) ర ండు సర్ూప్ త్రాభ్ుజ్యలు ఒకే ____________ కలగి ఉంటాయి.

E7. ABC మరియు PQR లలో AB = 4 cm, BC = 7 cm, PQ = 6 cm, QR =

10.5 cm

మరియు m B = m Q .

(a) AC = 8 cm అయిన PR ను కనుగొనుము. (b) ABC మరియు PQR వ్ ైశరలాయల నిష్ుత్రత కనుగొనుము.


47

6.4. తిాపర్ిమాణ వసుు వులు

మనము ఇంతకు మునుపే త్రాప్రిమాణ వసుత వులను గూరిచ చరిచంచి యునాిము.

ఎడమ నుండి కుడిక్, ద్గిర్ నుంచి ద్ూరరనిక్ మరియు ప ై నుండి క్రందవక్ విసతరించి ఉని

వసుత వులను 3 D వసుత వులు అంటార్ని చ ప్ుుకునాిము. అనగర ప ై నుంచి, ప్కాకనుంచి,

ఎద్ుటనుంచి చూసినప్ుడు కనబడు ఆకరర్ములే 3 D ఆకరర్ములు లేదా త్రాప్రిమాణ

ఆకరర్ములు.

గమనిక: 2 D వసుత వులు ప్ డవు మరియు వ్ డలుు మాతమేా కలగి ఉంటాయి. కరనీ 3 D

వసుత వులు

ప్ డవు, వ్ డలుు మరియు ఎతుత కూడా కలగి ఉంటాయి. మూడు కొలతలు

ఉంటాయి కనుక

వీటిని తా్రప్రిమాణ వసుత వులు అంటార్భ.

మూడు దవశలలోనూ వసుత వులు ప్ర్సుర్ం ఒకదాని కొకటి లంబంగర విసతరించి ఉని

వ్రటిని 3 D వసుత వులు అంటార్భ

వేర్ేవర్త కమే 3 D – ఆకమర్మలు

(a) దీర్ఘ ఘనము : ఒక ప ట్ట , ఇటటక ముకక మరియు వీటిని పో్ లన ఆకరరరలను దవర్ఘ

ఘనము అని


ప్కాక ప్టంలో చూప్బడినవి. ఒక దవర్ఘ ఘనం.


48

ఇదవ 8 శీరరా లు ( A, B, C, D, E, F, G, H),

12 అంచులు (AB, BC,CD, AD, EF, FG

GH,EH,AH,BE,CF మరియు DG ), మరియు

6 ముఖాలు (ABCD, EFGH, ABEH, BEFC, CFGD, మరియు AHGD) కలగి ఉందవ

BC, EF, HG మరియు AD లు ఒకొకకకటి దవర్ఘ ఘనము యొకక ప్ డవును (l)

సూచించును. మరియు AB, CD, EH మరియు GF లు దవర్ఘ ఘనము వ్ డలుు (l) ను

సూచించును.

AH, BE, CF మరియు DG లు ఒకొకకకటి దవర్ఘ ఘనము యొకక ఎతుత (h) ను

సూచిసరత యి.

దీర్ఘ ఘనం సంపూర్ణతల వ ైశమలయము : ప ై తలము మరియు క్రందవ తలాల వ్ ైశరలయం

+ ముంద్ు మరియు వ్ నుక తలాల వ్ ైశరలయం

+ ఎడమ మరియు కుడి తలాల వ్ ైశరలయం

= 2 x lb + 2 x bh + 2 x lh

= 2 (lb + bh + lh) చద్ర్ప్ు యూనిటటల


49

దీర్ఘ ఘనం ఘనపర్ిమాణం :

ఒక త్రాప్రిమాణ వసుత వు అంతరరళంలో ఆ కరమించిన ప్రిమాణమును ఘనప్రిమాణము

అంటార్భ. ఒక దవర్ఘ ఘనము యొకక ఘనప్రిమాణము దాని ప్ డవు, వ్ డలుు మరియు

ఎతుత ల లబాద నిక్ సమానం.

V = l x b x h ఘనప్ు యూనిటటల .

గమనిక: దవర్ఘ ఘనము సంప్ూర్ణతల వ్ ైశరలయం = ప్కాకతల వ్ ైశరలయం + 2 భ్ూ వ్ ైశరలయం.

(b) సమ ఘనము: ప్ డవు, వ్ డలుు మరియు ఎతుత లు

సమానంగర గల దవర్ఘ ఘనము నే సమ ఘన మంద్ుర్భ.

సమఘనము యొకక అనిి అంచులు సమానంగర ఉందవ.

దాని అనిి ముఖాలు చతుర్సరత ా లు.

ఘనపర్ిమాణము యొకక పామాణము

3 – D వసుత వు యొకక ఘనప్రిమాణము కొలవడానిక్ ప్మాాణము యూనిట్ ఘనము

యొకక ఘనప్రిమాణము. అనగర ప్తా్ర భ్ుజ్ము 1 యూనిట్ ప్ డవు కలగిన ఘనము.

యూనిట్ ఘనము యొకక ఒకొకకక భ్ుజ్ము 1 స ం. మీ అయిన, దాని ఘన ప్రిమాణము

1 ఘ. స ం. మీ.


50

అదే విధంగర యూనిట్ ఘనం యొకక ఒకొకకక భ్ుజ్ము 1 మీ అయిన, దాని ఘన

ప్రిమాణం 1 ఘ.మీ. ఘ. స ం.మీ. మరియు ఘ. మీ. మొద్ల ైన వ్రనిని ఘనప్ు యూనిటటల


ఒక యూనిట్ ఘనము యొకక ఒకొకకక భ్ుజ్ము 1 స ం. మీ. అయిన, దానిని స ం.మీ.

ఘనము అంటార్భ.

అదే విధంగర యూనిట్ ఘనం యొకక ఒకొకకక భ్ుజ్ము 1 మీ అయిన, దానిని మీ.

ఘనము అంటార్భ.

మీ. ఘనము యొకక భ్ుజ్యలు విభ్జించిన మొతతం 100 x 100 x 100 = 10,00,000

స ం.మీ. ఘనములు ఏర్ుడును.

కరవున 1 మీ.ఘ = 106 స ం.మీ. ఘ.


51

గమనిక :

i) స ం.మీ. చతుర్సత రం మరియు మీ. చతుర్సత రం యొకక వ్ ైశరలాయలు ల క్కంచ బడలేద్ు. అవి

చ. స ం. మీ.

మరియు చ. మీ. గర నిర్వచించ బడాడ యి.

ii) స ం. మీ. ఘనము మరియు మీ. ఘనము యొకక ఘనము యొకక

ఘనప్రిమాణాలు వర్భసగర 1 ఘ. స ం.

మీ. మరియు 1 ఘ. మీ. గర నిర్వచించార్భ.

iii) చ. స ం. మీ. అనగర వ్ ైశరలయము యొకక ప్ామాణము. కరనీ స ం.మీ. చతుర్సత రం అనగర 1

స ం. మీ

భ్ుజ్ము గల చతుారరసత రం అని అర్ధం.

అంద్ువలన, చ. స ం. మీ మరియు స ం. మీ. చతుర్సత రం అనునవి ప్ూరితగర వ్ేరేవర్భ

భ్ావనలు.

అదేవిధంగర, ఘ. మీ. మరియు మీ. ఘనము ర ండూ వ్ేరేవర్భ భ్ావనలు.

స ం. మీ చతుర్సత రం యొకక వ్ ైశరలయం = చ. స ం. మీ.

అదే విధంగర, మీ. చతుర్సత రం యొకక వ్ ైశరలయం = చ. మీ.

మీ. ఘనము యొకక ఘనప్రిమాణము = ఘ. మీ.

అదేవిద్ంగర స ం. మీ. ఘనము యొకక ఘనప్రిమాణము = ఘ. స ం. మీ.


52

iv) యూనిట్ ఘనము యొకక భ్ుజ్ము ప్ డవున బటిట దానిని పిలుసరత ము.

ఉదాహర్ణకు: స ం. మీ. ఘనము, మీ. ఘనము మొద్లగునవి.

(b) పటుకములు:

ప్టం 6.73 లో చూపిన 3-D వసుత వు

ఈ క్రందవ లక్షణాలను కలగి ఉనాియి.

ఇదవ ర ండు త్రాభ్ుజ్యకరర్ ముఖాలు కలగి

యునిదవ. (ఒకటి భ్ూతలము, ర ండవదవ ప ై తలము)

సరధార్ణంగర మనము వీటిని భ్ూములుగర పేరొకంటాము.

ఈ త్రాభ్ుజ్యకరర్ ముఖాలకు లంబంగర 3 దవర్ఢచతుర్సరత ా కరర్ ముఖాలు కలగి ఉందవ. ఈ తలము

ప్కాకతలములు అంటార్భ ఇలా ‘ఎద్ుర ద్ుర్భగర సమాంతర్ంగర కల ర ండు తలములు సర్వ

సమానముల ై, మిగిలన తలములు సమాంతర్ చతుర్భభ్ుజ్ము (దవర్ఘ చతుర్సత రము) ల ైన ఆ

వసుత వు ప్టటకము’ అంటాము.

‘ఎద్ుర ద్ుగర గల సమాంతర్ తలములు త్రాభ్ుజ్ము ల ై , వ్రటి యొకక ప్కాక తలములు

సమాంతర్ చతుర్భుజ్ములు లేదా దవర్ఘచతుర్సత రము ల ైన, ఆ ప్టటకమును త్రాభ్ుజ్యకరర్

ప్టటకము’ అంటార్భ.

ప్టం 6.73 (i) ఒక త్రాభ్ుజ్యకరర్ ప్టటకము.


53

ర ండు త్రాభ్ుజ్యకరర్ చివర్ల మధయ ధూర్మును ఆ ప్టటకము, యొకక ఎతుత అని అంటాము.

దవనిని ప్టటకము యొకక ప్ డవు (క్ష్ిత్రజ్ సమాంతర్) అని కూడా అంటాము.

అదే విధంగర ప్టం 6.73(ii) లోని వసుత వు ష్డుుజి ముఖముగర గల ప్టటకము.

ప్టటకము యొకక ప్కాకతల వ్ ైశరలయం = భ్ూప్రిధవ x ఎతుత

ప్టటకము సంప్ూర్ణతల వ్ ైశరలయం = ప్టటకం ప్కాకతల వ్ ైశరలయం + 2(భ్ూ వ్ ైశరలయం)

ప్టటకం ఘనప్రిమాణము = ప్. భ్ూ వ్ ైశరలయము x ఎతుత

గమనిక: ఏ బహుభ్ుజిని భ్ూమిగర గల ప్టటకరనిక ైనా ప ై సూతాాలు వరితసరత యి.

(C) సూూ పము:

ర ండు వృతాత కరర్ చివర్లు (భ్ూములు) కలగి

ప్కాక తలము వకరముగర గల జ్యయమితీయ

ఆకరరరనిి సూి ప్కము అంటార్భ.

సూి ప్కము యొకక ర ండు వృతత కేందాాల మధయ

ద్ూర్మును సూి ప్ము ఎతుత అంటార్భ.

దవనిని ‘h’ అను అక్షర్ంతో సూచిసరత ర్భ.

ఈ రేఖనే సూి ప్ం యొకక లక్షం అంటాం.


54

సూూ పం వ ైశమలయం :

సూి ప్ం యొకక ప్కాకతల వ్ ైశరలయం,

సూి ప్ం యొకక ప్కాకతల వ్ ైశరలయం సరిగరి దాని

ప్కాకతలానిి చుటటబడిన కరగితం (దవర్ఘ చతుర్సరాకరర్)

వ్ ైశరలాయనిక్ సమానం. ప్టం 6.75 (b) ప్టం నుంచి.

సూి ప్ం ప్కాకతల వ్ ైశరలయం = ABCD దవర్ఘ చతుర్సత ర వ్ ైశరలయం

= AB x AD

= సూి ప్ం భ్ూప్రిధవ x సూి ప్ం ఎతుత

= 2πr x h

సూి ప్ం ప్కాకతల వ్ ైశరలయం = భ్ూ వ్ ైశరలయం x ఎతుత

= 2πr x h

= 2πr h. ఘ. యూనిటటల

గమనిక: ప్టటకం యొకక ప్ాకకతలాలు అనంతాల ైన, ప్టటకం సుమార్భగర సూి ప్ంగర

ఉతునిం

అవుతుందవ.

అంద్ుకే సూి ప్రనిి వృతాత కరర్ భ్ూములు గల ఒక ప్తాేయక ప్టటకమని అంటార్భ.


55

(d) పిర్మిడ్ : ఈజిప్ుట నగర్ంలో రరజులు మరియు రరణులు సమాధులను పిర్మిడుల


ఒక వసుత వు యొకక భ్ూమి బహుభ్ుజిగరను, ప్కాక తలములు త్రాభ్ుజ్ము ల ై , అవి ఒక

ఉమాడి

బంద్ువు వద్ద కలయు చునాి దానిని పిర్మిడ్ అంటాం.

ప్టటకము లేక పిర్మిడ్ యొకక పేర్భ

వ్రటి యొకక భ్ూతలము లేదా సమాంతర్ముగర

ఎద్ుర ద్ుర్భగర గల తలముల ఆధార్ంగర పేరొకంటార్భ.

త్రాభ్ుజ్యకరర్ పిర్మిడ్ 4 శీరరా లు, 6 అంచులు మరియు

4 ముఖాలు కలగి ఉంటటందవ.

చతుర్భుజ్ము భ్ూమిగర గల పిర్మిడ్ లో 5 శీరరా లు, 8 అంచులు మరియు 5 ముఖాలు

ఉంటాయి.

పిర్మిడ్ ఉప్రితల వ్ ైశరలయము = ప్కాకతల వ్ ైశరలయము + భ్ూ వ్ ైశరలయం

పిర్మిడ్ ఘనప్రిమాణం = 1

3 గ. భ్ూ వ్ ైశరలయం x h

1

3 x ప్టిటక ఘనప్రిమాణం


56

(e) శంఖువ : సర్కస్ లో జ్ోకర్ టోపవ, ప నిుల్ చివరిkoన శంఖువు ఆకరరరనిి కలగి

ఉంటాయి.

గమనిక : పిర్మిడ్ లనిింటిక్ ఒక శీరా్ం, భ్ూతలం, ప్కాక తలాలు త్రాభ్ుజ్యకరర్భగర ఉంటాయి.

ముఖ తలాలు అనంతమయి, తలం వకరర కరర్మ ైతే, ఆ పిర్మిడ్ శంఖాకరర్ంగర

మార్భతుందవ.

వృతాత కరర్ప్ు భ్ూతలం కల పిర్మిడ్ ను శంఖం అంటాం. శంఖం ఒక శీరా్ం, ఒక

వృతాత కరర్

భ్ూతలం కలగి ఉందవ మరియు ప్కాకతలం వకరంగర ఉంటటందవ.

శంఖువు సంప్ూర్ణ వ్ ైశరలయం = వటటా తల వ్ ైశరలయం +

భ్ూ వ్ ైశరలయం

శంఖువు ఎతుత = h యూనిటటల

శంఖువు భ్ూ వ్రయసరర్ధము r యూనిటటల మరియు ‘ l ’

ఏటవ్రలు ఎతుత అయిన,

భ్ూ వ్ ైశరలయం = 2πr

వటటాతల వ్ ైశరలయం = πrl [ 2 2r +hQ l ], ప ైథాగర్స్ సిదాధ ంతం ప్కారర్ం.

సంప్ూర్ణ వ్ ైశరలయం = πrl+ 2πr

= π r ( l + r) చ. యూనిటటల


57

శంఖువు ఘనప్రిమాణం = 1

3 2πr h ఘ. యూనిటటల

(f) గ్ోళము : ఆటలాడే బండి, సూర్భయడు మొద్ల ైనవి గోళాకరరరలుగర చ ప్ువచుచ.

“అంతరరళంలో సిిర్ బంద్ువు నుండి సమాన ద్ూర్ంలో నుని బంద్ు సరమదాయానిి గోళం

అంటాం”

గోళం ఉప్రితల వ్ ైశరలయం = 4 2πr

గోళం ఘనప్రిమాణము = 4

3 3πr

( r గోళం వ్రయసరర్ధము, మరియు π = 22

7= 3.14)

3-D ఆకమర్మలను ఏర్పర్చు వలర్ూప్మలు / తిామితీయ ఆకమర్మల వల ర్ూప్మలు

ఒక దవవమితీయ ఆకరర్ముక్ కలగియుందవ, దాని అంచుల మీద్ుగర/వ్ ంబడి మదవసేత ఒక

త్రామితీయ ఆకరరరనిి ఏర్ుర్చుటను వల అంటాము. అటట ముకక లేదా మంద్ప్ు కరగితం

ఉప్యోగించి ఈ త్రామితీయ ఆకరరరల వల ర్ూప్రలు తయార్భ చేసరత ము. ఈ వల ర్ూప్రల

దావరర మనం ప్టటకం, పిర్మిడుల చేయగలం.


58

(i) 5 స ం. మీ. అంచుగల ఘనము ఏర్ుర్చటానిక్ వల ర్ూప్ము క్రంద్ ఇవవబడినదవ.

ప్టంలో చూపిన వల ర్ూప్ంలోని కోణాలనీి లంబ కోణాలే. మరియు అంచుల కొలతలు

ప్టంలో ఇవవబడాడ యి.

(ii) భ్ూ వ్రయసరర్ధము 3.5 స ం. మీ మరియు ఎతుత 10 స ం. మీ. గల సూి ప్ము వల

ర్ూప్ము ఈ క్రంద్

ఇవవబడినదవ.

మీ పాగతిని పర్గక్ష్ ంచుకోందవ

E9. 175 స ం. మీ ప్ డవు 105 స ం. మీ వ్ డలుు మరియు 63 స ం. మీ ఎతుత గల ఒక దవర్ఘ ఘనాకరర్

చ కకను కత్రతరించడం దావరర ఏర్ుడు అత్ర ప ద్ద ఘనము యొకక ఒకొకకక భ్ుజ్ము ప్ డవు ఎంత?

E10. 33 స ం. మీ ప్ డవు మరియు 22 స ం. మీ వ్ డలుు గల దవర్ఘ చతుర్సరాకరర్ కరగితం నుండి

తయార్భ చేసిన ర ండు సూి ప్రకరరరల ఘన ప్రిమాణాల నిష్ుత్రతని కనుగొనుము.


59

6.5 జ్యయమితీయ పర్ికర్మల నుపయోగ్ించి నిర్మాణం చేయుట

జ్యయమితీయ ఆకృతులను నిరిాంచేంద్ుకు మనము ఉప్యోగించు ప్రికరరలు సేకలు,

వృతాత లేఖని, కోణమానిని, విభ్ాగిని మరియు మూలమటటములు (ఒకటి 450 – 450,

మరొకటి 600 – 300).

సేకలు యొకక అంచును మాతమేా ఉప్యోగించినప్ుడు దానిని మనం ర్ూలర్ అంటాము.

నిలువు అంచులు మాతమేా కలగిన దవర్ఘ చతుర్సరాకరర్ ప్లకను ర్ూలర్ అంటాము.

ర్ూలర్ మర్ియు వృతులేఖని ఉపయోగ్మలు :

ఒకప్ుుడు గణిత శరసత రజుణ లు ర్ూలర్ మరియు వృతతలేఖిని సహాయంతోనే ఎనని ప్రాథమిక

గణిత కృతాయలను చేయవచుచనని భ్ామించేవ్రర్భ. అయినప్ుటికీ ఈ క్రందవ జ్యయమితీయ

ప్టాలను ర్ూలర్ మరియు వృతత లేఖని సహాయంతో గీయవచుచను.

i) ఇచిచన కొలతతో రేఖా నిరిాంచుట.

ii) ఇచిచన రేఖా ఖండానిక్ లంబ సమదవవఖండన రేఖ నిరిాంచుట.

iii) ఇచిచన రేఖకు సమాంతర్ంగర/ లంబంగర రేఖను గీయుట.

a) రేఖప ై గల బంద్ువు వద్ద b) రేఖప ై లేని ఒక బాహయ బంద్ువు నుంచి

iv) ఇచిచన కొణానిక్ సమాన కొలత గల కోణము v) కోణ సమదవవఖండన రేఖ vi) 600 కోణము మరియు దాని గుణిజ్యల కొలతలు vii) ఇచిచన రేఖా ఖండమును ర ండు సమాన భ్ాగరలుగర విభ్జించుట viii) ఇచిచన కొలతక్ త్రాభ్ుజ్యలు, చతుర్భుజ్యలు మరియు వృతాత లు నిరిాంచుట


60

మీర్భ ప్రఠశరలలో చద్ువుకునాి రోజులలో ఈ నిరరాణాలనని చేసి ఉంటార్భ. అయినా, మీ అభ్యసనానిక్ ప్ునర్ులనము అందవంచడానిక్, ఈ నిరరాణ ప్కా్రయ కుల ప్త ంగర ఈ క్రంద్ ఇవవబడిందవ.

(i) ఇచిచన కొలతతో రేఖా ఖండమును నిరిాంచుట

(a) ప్టం 6.79 (a) లో చూపిన విధంగర సేకలు సహాయంతో నిరిాంచవచుచ

(b) వృతత లేఖని సహాయంతో ఇచిచన కొలతని వ్రయసరర్ధంగర తీసుకుని ప్టం 6.79 (b) లో

చూపినటటల

గీయవచుచ. l అనే రేఖను గీసి, దానిప ై A అను బంద్ువును గురితంచి, దానిని కేంద్ంాగర

వృతత రేఖని

ఉప్యోగించి ఇచిచన కొలతక్ రేఖప ై ఒక చాప్రమును గీయాల.

(c) ABమనకు కరవలసిన


61

(ii) ఇచిున ర్ేఖా ఖండము AB యొకక లంబ సమదవవఖండన ర్ేఖ గ్గయుట :

సో్ ప్మనము 1: (ప్టం 6.80 లో చూపినటటల గర), AB రేఖా ఖండమును గీచి, దాని

ప్ డవులో సగం కంట్

ఎకుకవ ప్ డవును వ్రయసరర్ధముగర తీసుకుని, A కేంద్మాుగర AB

ఇర్భవ్ ైప్ులా ర ండు

చాప్ములను గీయాల.

సో్ ప్మనము 2: B కేంద్ంాగర, అదే వ్రయసరర్ధంతో ముంద్ు

గీచిన చాప్రలను ఖండించునటటల మరి

ర ండు చాప్రలను గీయవల ను

సో్ ప్మనము 3: ఖండన బంద్ువులను కలుప్ుతూ ఒక

రేఖను గీయాల. ఈ రేఖను PQsuur

ని

సూచిసరత ము. అయిన PQsuur

ని ABయొకక

లంబ సమదవవఖండన రేఖా అంటార్భ.

AB మరియు PQsuur

ల ఖండన బంద్ువు O. కరబటిట AB మధయ బంధువు

O.

AB లో సగం లేదా అంతకంటే తకుకవ వ్రయసరర్ధము వృతత రేఖనిప ై

తీసుకునిటలయిన

ఏమి జ్ర్భగుతుందవ? ప్రీక్ష్ించుము.


62

(iii) (a) ఇచిున ర్ేఖకు దానిప ై గల ఒక బందువు దావర్మ లంబం గ్గయుట.

ABsuur రేఖక్ P బంద్ువు వద్ద లంబం నిరిాంచడానిక్:

సో్ ప్మనము 1: ప్టం 6.81 లో చూపినటటల గర, P కేంద్ంాగర, తగిన వ్రయసరర్ధంతో ABsuur రేఖను

ర ండు

బంద్ువుల వద్ద ఖండించునటటల చాప్రనిి గీయుము. ఆ ఖండన

బంద్ువులను

M మరియు N గురితంచుము.


63

సో్ ప్మనము 2: ప ై సో ప్రనంలో తీసుకునాి దాని కంట్ ఎకుకవ వ్రయసరర్ధంతో, M మరియు N

లు

కేందాాలుగర గీయబడిన చాప్రలు ABsuur రేఖకు ఒకే వ్ ైప్ున ఖండించు

కొనునటటల ర ండు

చాప్రలను గీయుము. ఆ ఖండన బంద్ువును K గర గురితంచుము.

సో్ ప్మనము 3: PKsuur రేఖను గీయుము. ఇప్ుడు PK

suur మనకు కరవలసిన లంబరేఖ. PKsuur

AB .

iii) (b) ఇచిచన రేఖకు, రేఖప ై లేని (బాహయ ) బంద్ువు గుండా లంబ రేఖను గీయుట.

ABsuur రేఖకు బాహయ బంద్ువు P గుండా లంబ రేఖను గీయుటకు,

ABsuur ఒక ఇచిచన రేఖ మరియు P AB

suur రేఖప ై లేని బంద్ువు.

సో్ ప్మనము 1: P కేంద్ంాగర, తగిన వ్రయసరర్ధం తో ABsuur

ని ర ండు బంద్ువుల వద్ద ఖండించే

టటటల చాప్

రేఖను గీయుము. ఆ బంద్ువులను M మరియు N గర గురితంచుము.

సో్ ప్మనము 2: M, N లు కేందాాలుగర, MN లో సగం కంటే

ఎకుకవ వ్రయసరర్ధంతో ABsuur

క్ ఒక వ్ ైప్ు

(P బంద్ువు లేని వ్ ైప్ు) ఒక దానితో ఒకటి


64

ఖండించు కొనునటటల ర ండు చాప్రలను గీయుము.

ఆ ఖండన బంద్ువును K అని గురితంచుము. PKsuur

రేఖను గీయుము.

PKsuur మనకు కరవలసిన P గుండా పో్ వు AB క్

లంబంగర గల రేఖ.

iii) (c) ఇచిచన రేఖకు, రేఖప ై లేని బంద్ువు గుండా సమాంతర్ రేఖను గీయుట.

P గుండా ABsuur క్ ఒక సమాంతర్ రేఖ గీయడానిక్ AB

suurP RS

suur అయియయటటటల గర RS

suur రేఖను

గీయాల. ప్టంలో చూపినటటల గర (6.83(a)) MNsuuur

రేఖ ABsuur ని T వద్ద ఖండించేటటటల P

గుండా గీయబడిన ర్భణరా్ రేఖ

సో్ ప్మనము 1: ABsuur

ని ఏ దేని బంద్ువు వద్ధ ఖండించునటటల P గుండా MNsuuur

రేఖను

గీయుము.


65

సో్ ప్మనము 2: RSsuur

ప ై P బంద్ువు వద్ద BTN కు సమానమగు కోణానిి నిరిాంచుము.

అంద్ువలల P గుండా పో్ తే ABsuur క్ సమాంతర్ంగర గల రేఖ ఏర్ుడుతుందవ.

దవనిని RSsuur

అని గురితంచుము.

ఇచిున ర్ేఖకు ఇచిున దూర్ంలో ఒక సమాంతర్ ర్ేఖను గ్గయుట

ABsuur ఇచిచన ఒక రేఖ. AB

suur క్ సమాంతర్ంగర (5 cm ద్ూర్ంలో అనుకుందాము) రేఖను

గీయుటకు,

సో్ ప్మనము 1: ABsuur ప ై P అను ఒక బంద్ువును తీసుకొనుము.నిరరాణము iii (a) లో

చూప్ునటటల గర P

వద్ద ABsuur ప ైక్ లంబంగర ఒక రేఖను గీయుము. దానిని PQ గర గురితంచుము.

సో్ ప్మనము 2: P కేంద్మాుగర 5 స ం. మీ. వ్రయసరర్ధంతో PQsuur

ఖండించే విధంగర ఒక

చాప్రమును

గీయుము. దానిని R గర పేరొకనుము.


66

సో్ ప్మనము 3: RPuuur ప ై R వద్ద C iii లో చరిచంచిన విధంగర RPB తో సమానమ ైన ఒక

కోణమును

ఏర్ుర్చుము.

కోణము భ్ుజ్మును, ప్ డిగించుము. ఇదవ మనకు కరవలసిన ABsuur క్

సమాంతర్ంగర

5 స ం. మీ ద్ూర్ంలో గల రేఖ అవుతుందవ.

(iv) ఇచిున ర్ేఖప ై దతు బందువు వదద ఇచిున కొణానికి సమాన కోణమును నిర్ిాంచుము.

ABC ఇచిచన కోణము మరియు PQ ఇచిచన రేఖ అనుకొంటాము అయిన PQsuur

రేఖప ై P

బంద్ువు వద్ద ABC క్ సమాన కోణం నిమించుట.

సో్ ప్మనం - 1 : B కేంద్ంాగర, కొంత వ్రయసరర్ధంలో BAuuur

మరియు BCuuur

లను ఖండించేటటటల గర

ఒక

చాప్రమును గీయుము. ఆ ఖండించిన బంద్ువులను M,N అని గురితంచుము

(ప్టం 6.85a).


67

అదేవిధంగర P కేంద్ంాగర, అదే వ్రయసరర్ధంతో PQsuur

ను ఖండించే విధంగర మరొక

చాప్రమును గీయుము. ఆ ఖండన బంద్ువును R తో సూచించుము

(ప్టం 6.85 b)

సో్ ప్మనం - 2 : M,N బంద్ువుల మధయ ద్ూర్ము వ్రయసరర్ధంగర తీసుకుని R, కేంద్ంాగర, Step

– I లో గీచిన

చాప్రమును ఖండించునటటల మరొక చాప్ము గీయుము (ప్టం 6.85c

లో చూపినటటల గర).

సో్ ప్మనం - 3 : క్ర్ణం PSuur

ను కలుప్ుము. SPR మనకు కరవలసిన ABC క్

సమానమ ైన

కోణము.

(v) కోణ సమదవవఖండన ర్ేఖను నిర్ిాంచుట

ABC ఇచిచన కోణము. దవనిని సమదవవఖండన చేయడానిక్,

సో్ ప్మనం - 1 : B కేంద్ంాగర, తగిన వ్రయసరర్ధంతో BAuuur

మరియు BCuuur

లను ఖండించేటటటల

చాప్ము


68

గీయుము. ఖండన బంద్ువులను P మరియు Q అని గురితంచుము.

సో్ ప్మనం - 2 : P మరియు Q లు కేందాాలుగర PQ లో సగం కంటే ఎకుకవ వ్రయసరర్ధంతో

చాప్రలు ఒకటి

కొకటి ప్ర్సుర్ం ఖండించుకునేలా ర ండు చాప్రలు గీయాల. ఆ ఖండన

బంద్ువును R

అని గురితంచాల.

సో్ ప్మనం - 3 : క్ర్ణం BRuuur ను కలుప్ుము. ABC యొకక సమదవవఖండన రేఖ BR.

కరవున

m ABR = CBR.

(vi) కొనిన పాతేయక కోణాలను నిర్ిాంచుట (600 కోణము, దాని గునిజ్యలు)

(a) 600 కోణము నిర్ిాంచుట ABuuur

ద్తత క్ర్ణము.

AB రేఖప ై A వద్ద 600 కోణానిి నిరిాంచుటకు,

సో్ ప్మనం - 1 : A కేంద్ంాగర, తగిన వ్రయసరర్ధంతో ABuuur మరియు BC

uuur క్రరణం ఖండించేలా ఒక

చాప్రనిి

గీయాల. ఆ ఖండన బంద్ువును P అను గురితంచుము.


69

సో్ ప్మనం - 2 : P కేంద్ంాగర మొద్టి సో ప్రనంలో చూపినటటల అదే వ్రయసరర్ధంతో మద్టి

చాప్రనిి

ఖండించినటటల మరో చాప్రనిి గీయుము. ఆ చాప్రనిి Q అని

గురితంచుము.

సో్ ప్మనం – 3 : AQuuur

క్ర్ణం గీయుము. QAB మనకు కరవలసిన 600 కోణం.

(b) 1200 కోణం ను నిర్ిాంచుట

సో్ ప్మనం – 1 : ABuuur అను క్ర్ణం గీయుము. A కేంద్ంాగర తగిన వ్రయసరర్ధంతో AB ను P వద్ద

ఖండించేలా

ఒక చాప్ం గీయుము.


70

సో్ ప్మనం – 2 : P కేంద్ంాగర అదే వ్రయసరర్ధంతో మొద్టి చాప్రనిి ‘Q’ కేంద్ంాగర అదే

వ్రయసరర్ధంతో మొద్టి

చాప్రనిి R వద్ద ఖండించేలా వ్ేరొక చాప్ం గీయుము.

సో్ ప్మనం – 3 : ARuuur క్ర్ణం ను కలుప్ుగర RAB మనకు కరవలున 1200 కోణం

(c) 900 కోణం నిర్ిాంచుట

సో్ ప్మనం – 1 : ప్టం 6.89 లో చూపినటటల నిరరాణం చేయుము.


71

సో్ ప్మనం – 2 : ఒక సర్వు కోణం గీయుము. ముంద్ు నిరరాణంలో చూపినటటల గర ASuuur

RAQ యొకక

కోణ సమదవవఖండన రేఖను గీయుము. ఆ ఖండన రేఖ ASuuur

గర

గురితంచుము. ఇప్ుుడు

SAP మనకు కరవలున 900 కోణము.

045 కోణమును కూడా 900 ను సమదవవఖండన చేయుట దావరర నిరిాంచు

వచుచ.

01

222 కోణం నిరిాంచుకు మొద్టి 4500 కోణానిి గీచి దానిి సమదవవఖండన

చేయుట

దావరర 01

222 కోణం నిరిాంచవచుచ.

E-11 (a) 300 (b) 150 (c) 1050 కోణాలను ఎటటు నిర్ిాంచెదర్ో పేర్కకనుము.

(vii) ఇచిున ర్ేఖా ఖండమును సమాన పొ్ డవులు కలిగ్ని భాగ్మలుగ్మ విభ్జంచుట

(a) ఇచిున AB ర్ేఖాఖండమును సమాన పొ్ డవులు గల 3 భాగ్మలుగ్మ విభ్జంచుట

సో్ ప్మనం - 1 : A కేంద్ంాగర, ABuuur

క్ర్ణంతో ఏకీభ్వించకుండా AXuuur

అను మరొక క్రరణం

గీయుము.


72

సో్ ప్మనం - 2 : AXuuur కు సమాంతర్ంగర BY

uuur క్ర్ణం గీయుము. m ABY = m BAX

సో్ ప్మనం - 3 : ‘A’ కేంద్ంాగర తగిన వ్రయసరర్ధంతో AXuuur ను ఖండిచేలా ఒక చాప్ం గీయుము. ఆ

బంద్ువును

P అని గురితంచుము. P కేంద్ంాగర అదే వ్రయసరర్ధంతో AXuuur ను ఖండించేలా

మరొక చాప్ం ను

గీయుము.

ఆ బంద్ువును Q అని గురితంచుము. అంద్ువలల మనకు AP మరియు

PQ అను ర ండు

సమాన భ్ాగరలు ఏర్ుడాడ యి. అదే వ్రయసరర్ధంతో BYuuur ప ై కూడా P1 Q1 ల

వద్ద

ఖండించునటటల ‘B’ కేంద్ంాగర చాప్రలను గీయుము. (ప్టం 6.90 (b) లో

చూపినటటల ).

సో్ ప్మనం - 4 : PQ1 మరియు QP1 లను కలుప్గర ABuuur రేఖాఖండం ను 3 సమాన భ్ాగరలు

అయియయలా

C మరియు D. బంద్ువుల వద్ద ఖండించును. AD = DC = BC (ప్టం

6.90(c) నుండి)


73

మీ పాగతిని పర్గక్ష్ ంచుకో

E-12 ఒక ర్ేఖా ఖండమునకు లంబ సమదవవఖండన ర్ేఖ గ్గయడం దావర్మ దానిని ఎనిన

సమాన భాగ్మలుగ్మ

విభ్జంచవచుు.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

E-13 లంబ సమదవవఖండన పదదతి దావర్మ ఇచిున ర్ేఖా ఖండానిన కింేద చూపి నటటు

ఖండ ంచడానికి

ఉపయోగ్ించగలవమ?

(a) సమాన పొ్ డవులు గల 4 భాగ్మలు (b) సమాన పొ్ డవులు గల 8 భాగ్మలు (c) సమాన పొ్ డవులు గల 2 భాగ్మలు

________________________________________________________________

________________________________________________________________


74

(viii) (a) తిాభ్ుజ్యల నిర్మాణాలు

రేఖా ఖండాలు మరియు ప్తాేయక కోణాల నిరరాణాల గురించి అవగరహనను మరియు

న ైప్ుణాయలను ప్ ంద్డం దావరర మనం త్రాభ్ుజ్యలను కేవలం సేకలు మరియు వృతత లేఖిని

సహాయంతో నిరిాంచవచుచ.

తిాభ్ుజ్ నిర్మాణానికి కమవలస్ిన కనీస కొలతలు :-

3 కోణాలు 3 భ్ుజ్యలు కలిన ఒక త్రాభ్ుజ్యనిి ఈ క్రందవ వ్రనిలో ఏ నియమం ఇచిచనప్ుటిక్

నిరరాణం చేయవచుచ.

(a) మూడు భ్ుజ్యల ప్ డవులు మరియు (S – S – S)

(b) ఏ ర ండు భ్ుజ్యల ప్ డవులు మరియు వ్రటి మధయ కోణము (S – A – S)

(c) ఏ ర ండు కోణాలు మరియు వ్రటి మధయ భ్ుజ్ము (A – S – A)

(d) లంబ కోణం, కర్ణం మరియు మిగిలన భ్ుజ్యలలో ఏదేని ఒక భ్ుజ్ము (RA – H – S)

ప ై నియమాల అనిింటి నుండి ఒక త్రాభ్ుజ్యనిి నిరిాంచుటకు కనీసం 3 కొలతలు

అవసర్మౌతుంద్ని గమనించవచుచ.

కృతయము:

త్రాభ్ుజ్ంలో ఏదేని ర ండు భ్ుజ్యల ఇచిచనప్ుడు దానిి ఎలా నిరిాసరత మో పేరొకనుము?


75

(b) చతుర్తుజ్యల నిర్మాణాలు : -

వివిధ ర్కరల త్రాభ్ుజ్యల నిరరాణాలు త లునటలయితే చతుర్భుజ్యల నిరరాణాలు చేయవచుచ.

ఎంద్ుకంటే ప్తా్ర చతుర్భుజ్యనిి దాని ఒకొకకక కరరణ నిి ర ండు త్రాభ్ుజ్యలుగర నిరిాంచవచుచ.

కనుక చతుర్భుజ్ నిరరాణానిి మద్టిగర దానిలోని ఒక భ్ాగమ ైన త్రాభ్ుజ్యనిి నిరిాంచడం

దావరర చతుర్భుజ్యనిి నిరిాంచవచుచ.

ప్కాక ప్టంలో చూపినటటల ABCD యొకక 4 భ్ుజ్యలు

మరియు ఒక కర్ణం ఐన AC ప్ డవు ఇచిచన మీర్భ

ర ండింటిలో ఏ తా్రభ్ుజ్యమ ైనా నిరిాంచవచుచ, త్రాభ్ుజ్య

ABC మొద్ట నిరిాంచి ఆప ైన త్రాభ్ుజ్ం ADC ని

నిరిాంచవచుచ. అంద్ువలల అవసర్మ ైన చతుర్భుజ్

నిరరాణం ప్ూర్తవును. అదే విధంగర ఏ ఇతర్

చతుర్భుజ్యలన ైనా నిరిాంచవచుచ.

E-14 ఈ కింేదవ చూపిన ఏ నియమాలకు చతుర్తుజ్ నిర్మాణము స్మధ్యమవును.

(a) నాలుగు భ్ుజ్యల ప్ డవులు త లునప్ుడు

(b) చతుర్భుజ్ం యొకక ర ండు కరరణ లు ఇచిచనప్ుడు

(c) ర ండు కోణాలు కొలతలు మూడు భ్ుజ్యల కొలతలు ఇచిచనప్ుడు


76

(d) సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం ర ండు ఆసనాి భ్ుజ్యలు మరియు ఏదేని ఒక కోణం

ఇచిచనప్ుడు.

6.6 చర్ుించిన ముఖాయంశమలు :

సమతల జ్యయమిత్రలో బంద్ువు రేఖ తలము అనునవి 3 అనిర్వచిత ప్దాలు.

అనిరివచిత ప్దాలను ఉప్యోగించి నిర్వచించిన ప్రాథమిక ప్దాలు రేఖా ఖండము,

క్ర్ణము, కోణం,

త్రాభ్ుజ్ము చతుర్భుజ్ం మొద్ల ైనవి.

ఆసని కోణాలు, ప్ూర్క కోణాలు, సంప్ూర్క కోణాలు, శీరరా భీమాఖ కోణాలు

మొద్ల ైనవి కోణాలు

జ్తలకు వే్రేవర్భ ఉదాహర్ణలు.

త్రాభ్ుజ్యలను

(a) వ్రటి ప్ర్సుర్ భ్ుజ్యల ఆధార్ంగర సమదవవబాహు తా్రభ్ుజ్ం, సమబాహు తా్రభ్ుజ్ం

మరియు

విష్మ బాహు తా్రభ్ుజ్ం అని,

(b) కోణాల కొలతల ఆధార్ంగర అలుకోణ, అధవక కోణ మరియు లంబ కోణ

త్రాభ్ుజ్యలుగర వరీికరించార్భ.

త్రాభ్ుజ్ంలోని 3 కోణాల మొతతం 1800 .

(a) త్రాభ్ుజ్ం యొకక చుటటట కొలత = మూడు భ్ుజ్యల ప్ డవుల మొతతం మరియు


77

(b) త్రాభ్ుజ్ం వ్ ైశరలయం = 1

2 x భ్ూమి x ఎతుత

సమలంబ చతుర్భుజ్ం, సమాంతర్ చతుర్భుజ్ం, దవర్ఘచతుర్సత రం, సమ చతుర్భుజ్ం

మరియు

చతుర్సత రం అనేవి వ్ేరేవర్భ ర్కరల చర్భుజ్యలు. ఒక చతుర్భుజ్ంలోని 4 కోణాల మొతతం

3600

ఒక సిిర్ బంద్ువు నుండి సిిర్ ద్ూర్ంలో చలంచే బంద్ు సముదాయానిి ‘వృతతం’

అంటాం. ఆ సిిర్

బంద్ువుని ‘వృతత కేంద్ాం’ అని, ఆ వృతత కేంద్ంా, వృతతం ప ై ఏ దేని ఒక బంద్ువుకు గల

ద్ూరరనిి

‘వృతత వ్రయసరరి్ం’ అని అంటాం.

వృతతం ప ై ఏ ర ండు బంద్ువులను కలుప్ు రేఖా ఖండానిి ‘జ్యయ’ అంటాం. ఈ జ్యయ

విభ్జించిన ర ండు

వృతత ప్రాంతాలను ‘వృతత ఖండాలు’ అంటాం.

ఒకే వృతతం ఖండంలోని కోణాలు సమానం మరియు అర్ధ వృతతంలోని కోణం 900.

ఒక చాప్ం యొకక ర ండు చివర్లకు కలుప్ బడిన వ్రయసరరరధ లు ఏర్ురిచిన కోణానిి ఆ

చాప్ం కేంద్ంా

వద్ద ఏర్ురిచిన కోణం అని అంటాం.

ఒక వృతత చాప్ం కేంద్ాం వద్ద చేయు కోణం మిగిలన వృతతంప ై గల ఏదేని బంద్ువుల వద్ద

కోణం కు


78

ర టిటంప్ు ఉండును.

చక్రయ చతుర్భుజ్యలలో ఎద్ుర ద్ుర్భ కోణాలు మొతతం 1800 (సంప్ూర్కరలు)

సమాన ప్ డవులు కలగిన రేఖా ఖండాలు సర్వసమానాలు మరియు సమాన కొలతలు

గల కోణాలు

సర్వసమానాలు.

వ్ేరేవర్భ నియమాల ప్కారర్ం ( S – S – S, S – A – S, A – S – A మరియు R –

H – S)

త్రాభ్ుజ్యలు సర్వసమానాలు అవుతాయి.

సర్వ సమాన ప్టాలు సర్ూప్రలు కరనీ సర్ూప్ ప్టాలు అనిి వ్ేళలా సర్వసమానాలు

కరవు. ర ండు

సర్ూప్ త్రాభ్ుజ్యల వ్ ైశరలయలు వ్రటి యొకక సద్ృశ భ్ుజ్యల వరరి ల నిష్ుత్రతక్

అనుప్రతంలో ఉంటాయి.

జ్యయమిత్రలోని ప్రరవర్తన భ్ావన అద్ధంలోని ప్రరవర్తన భ్ావనను ప్ో ల ఉంటటందవ.

ప్రరవర్తనాలు

ప్టాలలో సౌష్టవతను సృజిసరత యి.

సమతల ప్టాల వ్ ైశరలయం సూతాాల ఆధార్ంగర (3D) త్రామితీయ ఆకరరరల ైన దవర్ఘ ఘనం,

ఘనం,

సూి ప్ం, శంఖువు ప్టటకం, పిర్మిడ్, మొద్ల ైన వ్రటి ఉప్రితల వ్ేశరలాయలను

కనుగొనవచుచ.


79

సేకలు మరియు వృతత లేఖని మాతమేా ఉప్యోగించి క్రందవ జ్యయమితీయ ప్రతాలను

నిరిాంచవచుచ:

(i) ఇచిచన కొలతకు రేఖా ఖండము.

(ii) ఒక రేఖా ఖండం యొకక లంబ సమదవవ ఖండన రేఖ.

(iii) ఇచిచన వ్రయసరరరధ నిక్ వృతతము.

(iv) ఇచిచన క్ర్ణంప ై ఇచిచన బంద్ువుప ై ఇచిచన కోణంప ై సమానమ ైన కోణం.

(v) ఇచిచన రేఖకు సమాంతర్ంగర – లంబంగర ఉని రేఖ.

(vi) ఇచిచన కోణ సమదవవ ఖండన రేఖ.

(vii) 600 కోణానిి మరియు దాని గుణిజ్యలను నిరిాంచుట.

(viii) సంవృత, సర్వ సమాన త్రాభ్ుజ్యలు, చతుర్భుజ్యలు మరియు వృతాత లు.

మీ పాగతిని పర్ిక్ష్షంచుకొనుము

E1. 92½°

E2. 102°, 108°, 72°

E3. (i) ACQ, CDS , (ii) PCD, CDR (ii i) QCD, CDR ,

E4. a = c = f = h = 1450, e = d = b= 350

E5. (a) సమ చతుర్భుజ్ం (b) కేంద్ంా (c) 320, (d)1800

E6. (a) ప్ డవు (b) కొలతలు (c) సద్ృశ (d) ఆకరర్ం


80

E7. PR = 12 స ం. మీ.

E8. ABC: PQR = 4:9

E9. 63 స ం. మీ.

E10. ఘనప్రిమాణం నిష్ుతుత లు 3 : 2 .

E11. a = 60° కోణం యొకక సమదవవఖండన రేఖ గీయడం దావరర

b = 30° కోణం యొకక సమదవవఖండన రేఖ గీయడం

దావరర

c = ABC = 900 CBD = 1200 నిరిాంచి BE

గీయడం దావరర

ABD యొకక సమదవవఖండన రేఖ BE గీయడం దావరర m

EBC =1050

E12. ర ండు సమాన భ్ాగరలు

E13. (a) అవును (b) అవును (c) కరద్ు

E14. (a) కరద్ు (b) అవును (c) కరద్ు (d) అవును

6.8 చదవవలస్ిన మర్ియు సంపాదవంపు

గేంథాలు:

NCERT చే ర్ూప్ ందవంచబడిన 5 నుండి 8వ తర్గత్ర వర్కూ గల గణిత

ప్రఠయ ప్ుసతకరలు


81

6.9 అధాయయం చివర్ి అభాయస్మలు :

1. ప్కాక ప్టంలో చూపిన విధంగర సేకలు మరియు వృతత లేఖిని ఉప్యోగించి ఈ క్రందవ

ప్టానిి గీయుము.

AP = 3 స ం. మీ.

BP = 4 స ం. మీ.

BC = 7 స ం. మీ.

PQ = 5 స ం. మీ.

QD = 2 స ం. మీ.

BPuuur

ADuuur మరియు CQ

uuur AD

uuur

AD సౌష్టవ రేఖతో రేఖా సౌష్టవం గల ప్టానిి ప్ూరించుము?

2. ప్కాక ప్టంలో AC = BD = PF = 8 స ం. మీ.

ABC, BCD, CDA, BDE మరియు BPC లంబ

కోణాలు

మూలమటటం మరియు సకేలు ఉప్యోగించి

ప ై కొలతలకు ప్టం గీయండి? శేడ్ చేయబడి

త్రాభ్ుజ్ం APD తో వ్ేట చేయబడిన షేడ ట్


82

ప్రాంతాల వ్ ైశరలాయలు కనుగొని పో్ లుచము.

3. క్రందవ ప్టిటకలోని ఖాళ్లలను ప్ూరించుము.

ఆకరర్ం భ్మాణ కేంద్ంా సౌష్టవ ప్రిమాణం

సమ చతుర్భుజ్ం

సమబాహు తా్రభ్ుజ్ం

కరమ అష్టష్డుుజి చతుర్సంా

చతుర్సంా

4. 20 స ం. మీ. ప్ డవు గల ఒక వ్ ైర్ ముకకను తీసుకొనుము. వ్రటిని క్రంద్ ప్టిటకలో

చూపినటటల వ్ేరేవర్భ ప్ డవులు కలగిన దవర్ఘ చతుర్సరత ా కరరరలుగర వంచుము.

ప్తా్ర సంద్ర్ుంలోనూ అదవ ఆకరమించిన వ్ ైశరలాయనిి కనుగొని ప్ూరించుము.

దీర్ఘ చతుర్సు ర పొ్ డవు వ డలుప వ ైశమలయం

8 స ం. మీ.

7 స ం. మీ.

6 స ం. మీ.

5 స ం. మీ.


83

5. ఈ క్రందవ ప్తా్ర సముదాయంలో 3 కొలతలు ఇవవబడాడ యి. వీటిలో ఏ మూడు

(భ్ుజ్యలను) కొలతలను

త్రాభ్ుజ్ నిరరాణానిక్ తీసుకోవచుచ.

(a) 5.5 స ం. మీ. , 6.8 స ం. మీ. మరియు 7.2 స ం. మీ.

(b) 4.7 స ం. మీ. , 5.3 స ం. మీ. మరియు 10.0 స ం. మీ.

(c) 8.0 స ం. మీ. , 7.5 స ం. మీ. మరియు 9.2 స ం. మీ.

(d) 5.8 స ం. మీ. , 12.2 స ం. మీ. మరియు 6.0 స ం. మీ.

6. సేకలు మరియు వృతత లేఖిని సహాయంతో 52.50 కోణం కొలతను నిరిాంచడానిక్ ఈ

కోణానిి ఎటాల విభ్జించవచుచను.


1

యూనిట్ 7

నిర్రాణం:

7.౦. ఉపో్ ద్గా తం

7.1. అభ్యసన లక్ష్యయలు

7.2. కరల మానం మర్ియు కొలతలు భావన

7.౩. నిర్ిిష్టంకరనీ మర్ియు ప్రామనికకొలతలు

7.౩.1 పొ్ డవును కొలవడం

7.౩.౩ ఘనప్ర్ిమాణం కొలవడం

7.౩.4. బరువును కొలవడం

7.4. కొలమానం యొకక మెట్రకా్ వయవసథ

7.5. కరలానిి కొలవడం

7.6.. మనం చర్ిచంచినగ ముకయంశరలు

7.7. మీ ప్గాతిని ప్ర్ీక్ష్ించుకోవడగనికి మాద్ిర్ి ప్శా్ిలు సమాధగనగలు

7.8. చద్రవలసిన, సంప్దా్ించ వలసిన గరంధగలు

7.9. అధగయయ చివర్ి అభాయసరలు


2

7.౦. ఉపో్ ద్గా తం:

మనచుట్టట ఉని ప్తాి బౌతిక వసుు వు ర్ ండు లక్షణగలను కలా్గ ఉంట్ ంద్ని

మనం ముంద్ి అద్యాఅధగయయంలో చర్ిచనుచకునగిం. అవి ర్ ండూ ఆకరరం మర్ియు

ప్ర్ిమానం కంట్రకి చూడట్ానికి ఎలా ఉంట్ే తెల్గయజేసేద్ే ఆకరరం . ఉద్గ:- “ ఈ ప్ట్ం

చూడట్ానికి వృతగు కరరంలో వుంద్ి “. అని అంట్ాం. ఇకకడ వృతుం అనే ప్ద్ం ఆకరర్రనిి

తెలుప్ును. అద్ే విధంగర ఒక గుడి ముంద్ు ర్రతితో చేయడిన శిలాానిి చూసినప్ుడు

మనం ఇద్ి ర్రతితో చేయబడిన సింహం అని అంట్ాం ఇకకడ సింహం అనుప్ధం ఆ వసుు వు

ఆకరర్రనిి తెల్గయజేయును.

అయితే ఒక పేప్ర్ పెై గీయబడిన చతురసంా చగలా పెది్ద్ి అని మనం అనిప్ుాడు

‘పెది్ద్ి ‘ అనే ప్ద్ం ప్ర్ిమాణంను సూచిసుు ంద్ి.

“ఎవర్ సుట శికరం చగలా ఎతెతునద్ి” అనే ప్ద్గలు ద్గని ప్ర్ిమాణం గూర్ిచ

ట్ేలుప్ుతునిద్ి

ఈ కిరంద్ి ప్వాచనం చూద్గి ం :

“ సరకస్ లో ఆడుతుని ఇది్రు జోకర్ లలో ఒకరు చగలా లావుగర ఉనగిరు.

ఇకోకకకరు చగలా పొ్ ట్రటగర ఉనగిరు.” ద్ీనినుండి జోకర్ ప్ో ట్రటతనం ఎంతో మనం చెప్ాగలం ?

మర్ొక జోకర్ లావ ంతో చెప్ాగలరూ ?

ఖచిచతంగర చెప్ాలుము. ఒక వసుు వు యొకక పెది్ద్గ? చినిద్గ? అని తెలుసుకోవద్ం త ె

ల్గయజేయు లక్షనగనిి ద్గనియొకక ‘కొలత’ అంట్ాం .

ఉద్గ: ఒక ప్ట్ం తలంలో ఎంత ప్దా్ేశరనిి ఆకరమిసుు ంద్ి అనేద్ి ద్గనియొకక

వ ైశరలయం కొలతను తెల్గయజేసుు ంద్ి. ఒక ఘన వసుు వును నీట్రలో ముంచిన అద్ి ఎంత నీరు


3

ప్రత ానుండి బయట్ పొ్ రుల తుంద్ో ఆ నీట్రప్ర్ిమానం ఘనప్ర్ిమాణం కొలతను తెలుప్ును

ఈ అధగయయముతో మనం వివిధ కొలతలు వరట్ర ప్మాాణగలు మర్ియు బౌతిక వసుు వుల

యొకక వివిధ అంశరలు కొలుచు విధగనం ఇతర అంశరల గుర్ించి చర్ిచంచు కుంద్గము ఈ

ఆత్మాయం అధగయయనగనికి ౭ గంట్లు అవసరం అవును.

7.1. అభ్యసన లక్ష్యయలు :

ఈ అధగయయం అధయయనం ద్గార్ర ఈ కిరంద్ివి సరధించగలుగుతగరు.

వివిధ వసుు వులు మర్ియు ప్కాిరయలకు సంభ్ంద్ించినగ వివిధ అంశరల వేర్ేారు

కొలతల ప్మాాణగలను తెలుుకుంట్ారు.

మీ నిజజీవిత కుర తగాలలో వేర్ేారు కొలతల ప్మాాణగలను ఉప్యోగిసరు ం.

పొ్ డవు, వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం, సరమరం ం , బరువు , మర్ియు కరలంలకు

సంభ్ద్ించిన గణనలు చేసరు రు .

7.2 కొలమానం మర్ియు కొలతల భావన :

ప్తాి ఒకకరి్కి కొలమానగనికి సుప్ర్ిచితమే మన నితయజివితంలో ఒక వసుు ునో

మర్ొకట్ర గరనో కొలవరల్గు ఉంట్ ంద్ి. ఉద్గ: చొకకకుట్టడగనికి అవసరమైెన బట్ట పొ్ డవు

నితయబజారులో కొనవల్గున కూరగరయలు మర్ియు ప్ప్ుాద్ినుసుల బరువు,

ఒకర్ోజులో ఒక వయకిు తగాగు నీట్ర మోతగద్ు ఒక తరగతి పిలలల ఎతుు మర్ియు బరువు,

ఒక తరగతి గద్ి ప్ర్ిమాణం, ఒక ప్రట్శరల తోట్వ ైశరలయం, మీ ఇంట్రనుండి ప్రట్ాశరలకు

వ ళ్ళుట్కు ప్ట్ ట సమయం, మీ శ్రీ్ర ఉషోో్ గరత మొద్ల ైనవి. ఈ అనిి సంద్ర్రాలలోనూ

మనం ఏద్ో ఒక ద్గనిని కొలవవలసి ఉంట్ ంద్ి. ఈ అనిి సంధర్రాలలో కొలవడం

అనగర ఒక గుణగనిి ఒక ప్ామాణగనికి చెంద్ిన ప్ర్ిమాణ రూప్ంలో వయకుప్రచడమే.


4

మర్ొక విధంగర చెప్రాలంట్ే ‘కొలత’ అనగర ఒక వసుు వు పొ్ డవు, వ ైశరలయం మర్ియు

ఘనప్ర్ిమాణం మొద్లగు అంశరల యొకక ప్ర్ిమాణగనిి ప్ర్ిమనతాకం

తెల్గయజేయడమే.

వయసనం అనగర సంకయలను అనాయించి విద్గయరుి లకు నితయజివితంలో గణితం

ఉప్యోగరనిి తెలుుకోవడగనికి తోడాడట్ం మర్ియి అనేక గణిత భావనలను

న ైప్ునగయలని పెంప్ొ ంద్ింప్ జేయడం.

ప్రాధమిక ప్రట్శరలలోని పిలలలు అనేక రకరల కొలతలు గూర్ిచ తెలుసుకోవలసిన

అవసరమునిద్ి. ప్రాద్మిక సరథ యి విద్గయ ప్ణాగళికలో నిర్ేిశించిన కొనిి ముకయమైెన

కొలతలు పొ్ డవు, వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం, కరలము మొ,, కరనీ 7 నుండి 9 సం,,

వయసుుగల విద్గయరుం లకు ఈ భావనలు అమారుంగర అవిర్రాసరు యి. కరబట్రట , ఒక ట్రచర్

గర ఈ భావనలను విద్గయరుం లకు సులభ్తరం చేయవలసిన అవసరం ఎంతెైనగ కలద్ు.

ప్పా్ంచగనిి గూర్ిచ అనుభ్వం ప్ొ ంద్ుతుని బిడడకు ప్రారంబం నుంచి తిాప్ర్ిమాన (౩

dD) ఘన వసుు వుల ైన ప్ండుల , బొ మాలు, వివిధ రంగు రంగుల బాల కులు, ఘనగలు,

ద్ిరచాగతుాసయకరర ఘనగలు, అగిాపెట్రట , సూథ ప్రకరర ఘన వసుు వుల ైన చగకిాసులు, రూలర్

మొద్లగునవి సుప్కిచితమే ౩-dd వసుు వులను గమనించడం ద్గార్ర విద్గయరుం లు 2 –

db ప్ట్ాల గూర్ిచన భావనను పొ్ ంద్గలరు. ఉద్గహరణ ఘనగలలో ఆడుకోవడం లుక

అగిాపెట్ేటలను ఉప్యోగించట్ం లుద్గ ఈ వసుు వుల ప్ట్ాలను గీయడం ద్గార్ర విధగయర్ిి ఈ

ఘనగకరర వసుు వుల యొకక కరగితం లుద్గ ట్ేబుల్ ఉప్ర్ితలంపెైన సమతులాయనిి ,

గుర్ిథసరు రు. ౩ d వసుు వుల యొకక తలాలను ప్ర్ిశీల్గంచడం ద్గార్ర గరని , లుద్గ

వరట్రనమునగలను ద్ిాప్ర్ిమాన తలాలలో గమనించడం ద్గార్రగరని (౩ ప్ట్ాలను

సమతలంగర ఉని కరగితంపెై గరని , గోడపెైగరని, నేలపెైగరనీ గీయడం ద్గార్ర ), విద్గయర్ిం

2 - d వసుు వుల లక్షణగలను అనుభ్ూతి చెంద్ుతుంద్ి. అంతేకరకుండగ ౩ – dd


5

మర్ియు 2 – d వసుు వుల యొకక ప్ట్ాలను గీయడం లాంట్ర కుర తగయలలో

ప్రలగా నునట్ ల చేయడం ద్గార్ర వసుు వుల యొకక ప్మాాణగల గూర్ిచన వర్ి భావనను

మెరుగుప్రచడగనికి ద్ోహద్ం చేయగలరు. ఇట్ ల కుర తగయలద్గార్ర, ఏకప్ర్ిమాన

వసుు వులు ఒకే ఒక సంకయ i – e పొ్ డవు మాతమేా కల్గగి ఉంట్ాయని,

ద్ిాప్ర్ిమాన వసుు వులు 2 సంకయలు i – e , పొ్ డవు మర్ియు వ డలుా కల్గగ ి

ఉంట్ాయని, ద్ిాప్ర్ిమా న వసుు వులు 2 సంకయలు i – e, ప్ొ డవు మర్ియు

వ డలుా కల్గగి ఉంట్ాయని, తిాప్ర్ిమాన వసుు వులు మూడు సంకయలు i – e , పొ్ డవు,

వ డలుా, మర్ియు ఎతుు (లుద్గ మంద్ం ) కల్గగి ఉంట్ాయని గరహిసరు రు.

వేర్ేారుఆకరర్రలు మర్ియు ప్ర్ిమాణగలు గల వసుు ఫులలో అనేక రకరల కుర తగయలలో

విద్గయరుం లు ప్రలగా నడం ద్గార్ర పొ్ డవు, వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం భావనలు

అవగరహనగ గరని లుద్గ కొలవడం గరనీ చగలా సులభ్మౌతుంద్ి.

ఈ కిరంద్ కొనిి సరధగరనం ఉప్యోగించే కొలతలు ఇవాబడగడ యి. విద్గయరి్ం ప్రాధమిక

ప్రట్శరలలో వివిధ కృతగయలద్గార్ర మర్ియు నిజజీవిత సంధర్రాల అనువభ్వరల

నుండి వీట్రని అనుభ్ూతి చెంద్వచుచ.

1. ద్ూరమానము: పొ్ డవు , వ డలుా, ఎతుు , వరయసరరంము, ఇవనీి మార్రా నికి

సంబంధించిన కొలతలు, వీట్రలో ప్తాిద్ీ ర్ ండు నిర్ిిష్ట బింద్ువుల మద్య ద్ూర్రనిి

సూచిసరు యి .

ప్ట్ం 7.1 లో మనం మూడు కొయయ ద్ిమెాలు చూసుు నగియి. ప్తాిద్ీ ర్ ండు చివరలు (L.M) కల్గగిఉంద్ి. ఈ ర్ ండు చివరల మధయ ద్ూరము మిగిల్గన ర్ ండు ద్ిమెాల చివరల మధయ ద్ూరం అనిద్ి ఉమాడి ద్ిమెాల యొకక లక్షనం ద్ీనిన ేపొ్ డవు – కొలత అంట్ాము.

2. వ ైశరలయం - కొలత: ఒక తలంపెై ప్తాి 2.d ఆకరరం కొంత ప్రాంతగనిి ఆకరమిసుు ంద్ి. ఈ

ఆకరమించిన ప్రాంతగనిి లుక ప్వాేశరనిి వ ైశరలయం – కొలత అంట్ారు.


6

పెైన చూపిన ప్తాి ప్రఠం పేప్ర్ పెై కొంత భాగరనిి ఆకరమించిన అంద్ువలల 2 – d ఆకరరం

వ ైశరలయం కొలతలు కల్గగి యుంట్ ంద్ి.

౩. ఘనప్ర్ిమానం – కొలత : ౩ – d వసుు వులు అంతర్రళ్ంలో లుద్గ ఆవరనలో కొంత

భాగరనిి ఆకరమిసరు యి. ఒక ౩ – d వసుు వు ఆకరమించే అవరణని ద్గని ఘనప్ర్ిమాణ

కొలత అని ఉంట్ాయి. ఒక ౩ – d వసుు వును ( నీట్రలో కరుగనిద్ి) నీట్రలో

మునిచనప్ుడు కొంత నీరు బయట్కు ద్ొరుల తుంద్ి. ఎంత నీరు ఆ వసువు బయట్కు

ద్ోర్ిలనిచంద్ో , ఆ కొలతని ద్గని ఘనప్ర్ిమానం అంట్ాం.

.4తులామానం : తలొక వులత / మనం ఒక వసుు వును పెైకి వేల మంద్ి పైెకి ఎతిునప్ుాడు తేల్గకగర అనిపిసుు ంద్ి .మర్ొక వసుు వు ఎతుడగనికి చగలా కష్టప్డవలసి

వుంట్ ంద్ి .అంట్ే ఎకుకవ బరువును కల్గగి ఉంట్ాయి .తిా ప్రమాణ వసుు వులు కూడగ కొంత బలముతో భ్ూమి వ ైప్ు లాగరబడట్ం మనం చూసరు ము .ఎంత

ఎకుకవ బలముతో లుక ఎంత తకుకవ బలముతో 3-D వసుు వులను తన వ ైప్ుకు లాగుతుంద్ో ద్గనిని వరువు - కొలత అంట్ాము .బరువును భావనను

తెల్గయజేసే ఒక వసుు వు లక్షణగనిి బరువు - కొలత అంట్ారు .

.5వాలామానము : వాలం వులత /ర్ోజులో ఒక సంఘట్న ఎప్ుాడు జర్ిగింద్ి ?ఈ ప్శా్ిలకు సమాద్గనమివాడగనికి మనం కరలం కొలతనుు గూర్ిచ తెలుసుకొని ఉండగల్గ .

.6ఒవే లక్షణం గల ర ండు కస్తు క లనత పో లచడం ద్వారా వులకడం :

నర్ేష్ తన 6వ తరగతి విద్గయరుం లకు ప్రఠశరల తోట్లో ఒక సులానిి ఏర్రాతుచేయడంలో తోడప్డుతునగిడు. సథలం యొకక ద్ుి లు

గుర్ిుంచేట్ప్ుాడు విధగయరుం లు ప్రఠశరల ఆవరణలో ద్ీరచాతురసరాకరర సులానిి ,పెది్ భ్ుజం ప్ొ డవు చిని భ్ుజం ప్ొ డవకు ర్ ండు ర్ ట్ ల ఉండేట్ట్ ల నిరోయించగరు. కొంద్రు విధగయరుం లు కొల్గచే ప్ర్ికరం కోసం


7

వ తుకుతుండగర, నితిన ర్ ండు మూరలు పో్ డవుని ఒక కరరను త్మసుకుని ఒక వ ైప్ు 2 కరరల పొ్ డవు, ద్గని ఆసనింగర మర్ొకవ ైప్ు నగలుగు కరరల ప్ుొడవు ఉండేట్ట్ ల గర సథలానిి ప్ూరి్ుచేసరడు .

ఆ ర్ోజు సో మవరరం కరబట్రట ద్గారలో ఉని బావి నుండి నీరు త్మసుకువచిచ నీట్ర ప్రతనాు నింప్డం 5వ తరగతి విద్గయరుం ల వంతు ధతే ఆ ప్రతనాు

నింప్డగనికి వరర్ిక ఒకే ఒకక బక కప ఇచగచరు. ధతే 18 బక ట్ ల నీట్రతో ప్రతా నిండుతుంద్ని తెలుసుుకునగిరు. పెైన చూపిన కొలమానగనికి సంబంధించిన ర్ ండు ఉద్గహరణలు ప్ర్ీక్ష్ిసరు ం. మొద్ట్ర ఉద్గహరణలో భ్ూమి నిరోయించడగనికి సథలం యొకక భ్ుజాల ప్ొ డవలు కొలవడగనికి కరరను ఉప్యోగించగరు. మర్ొక విధంగర

చూసేు , భ్ుజాల పొ్ డవను కరరపొ్ డవతో ప్ో లచడం జర్ిగింద్ి మర్ియు ఒక భ్ుజం పొ్ డవు ద్గని ఆసను న భ్ుజానికి ర్ ట్రటంప్ు ఉండగలని సమయం చూప్బడింద్ి .ర్ ండవ ఉద్గహరణలో నీట్ర ప్రతా యొకక సరమరం ంతో పో్ లచబడింద్ి. సథలం భ్ుజాల పొ్ డవరలు కొలవడగనికి మీరు బక ప

ఉప్యోగించగలర్ర? లుద్గ నీతిప్రత ా సరమర్రం నిి కరరనుప్యోగించి కొలవగలర్ర?

ఈ ర్ ండు ఉద్గహరణల లుండి కొలవడమనిద్ి ర్ ండు ఒకే లక్షణము గల వసుు వులను పో్ లుచ ప్ాకిరయ అని విష్యం గరహించగలరు .సథలం యొకక పొ్ డవు లుక వ డలుాలను ఖచిచతమైెన పొ్ డవు కల్గగిన మీట్రు సేకలు లుద్గ ఖచిచతమైెన ప్ొ డవు కల్గగిన కరరనుప్యోగించి

కొలవగలము. అద్ే విధంగర ఘనప్ర్ిమానప్ు కొలత తెల్గపిన ిట్రు ప్రతగా లుద్గ సదసర లుద్గ బక ట్ు లతో పో్ లచడం ద్గార్ర నీట్ర ప్రత ా యొకక ఘనప్ర్ిమాణమును కొలవవచుచను .మీట్రు సేకలు మర్ియు ిట్రు ప్రత ా ర్ ండు ఒకే విధమైెన కొలతలు కరర కనుక నీట్రని ఒకద్గని బద్ులు మర్ోకట్ర ఉప్యోగించలుము .


8

ఒకే విధమైెన ర్ ండు వసుువులను పో్ లచద్మనిద్ి ఈ కిరంద్ సూచించిన ఒకట్ర లుద్గ అంతకనగి ఎకుకవ ప్ద్ంతులను ఉప్యోగించి

చేయడం జరుగుతుంద్ి .అవి a . ప్ర్ిశీల్గంచడం ద్గార్ర b . ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర ఉంచడం ద్గార్ర c . ప్ర్ోక్ష ప్ది్తుల ద్గార్ర d . నిర్ిిశ్ం కరని ప్ామాణగలను ఉప్యోంచడం ద్గార్ర e . ప్రామాణిక కొలతలు ఉప్యోగించడం ద్గార్ర

చివర సూచించిన ర్ ండు ప్ద్ంతులు తర్రాత యూనిట్ింల విధిగర చర్ిచంచబడుతుంద్ి .ఇప్ుాడు కొలవడం కోసం మొద్ట్ర మూడు ప్ద్ంతులను ఉప్యోగించి ఒకే విధమైెన వసుు వులను ఎట్ాల పో్ లుసరు మో చూద్గి ం. ఈ కృతగయనిి మీరు 1 లుద్గ 2వ తరగతి విద్గయరుం లతో

ప్యాతిించవచుచ. వరర్ికి వేర్ేారు పొ్ డవులు గల వివిధ రకరల 1ర్ ప్ులలలను ఇచిచ వరట్రని పొ్ డవులను బట్రట ఆర్ోహణ కరమంలో అమరచమని జ ప్ుాము .చగలా వరకూ అంద్రు విద్గయరుం లు ప్ులలలలో ఏద్ి పొ్ డవు, ఏద్ి పొ్ ట్రట అని పో్ లుచకుంట్ట వరట్రని కరమంలో అమరచగలరు. అద్ే విధంగర 5

వేర్ేారు ప్ర్ిమాణగలు కల ప్ూసలను ఇచిచ వరట్రని ఎకుకవ బరువు గల ప్ూస నుండి తకుకవ బరువు గల ప్ూస వరకూ వరుసలుో అమరచమనుము .ఎంత తారగర మర్ియు సులభ్ంగర, ఖచిచతంగర ప్ని ప్ూరి్ు చేసరు ర్ో మీరు చూడవచుచ. ప్ర్ిశీలన ద్గార్ర కొలవడగనికి ఇవి కొనిి ఉద్గహరణలు. ఒక తరగతిలో ట్లచర్ ర్ ండు రకరల ర్ిబానుల , ఎరరద్ి కుడి

చేతిలో మర్ియు ప్చచద్ి ఎడమ చేతిలో చూప్ుతూ, ఆ ర్ ండు ర్ిబానుల లో ఏద్ి పెది్ద్ో అడుిగింద్ి .కొంతమంద్ి యిదరర ర్ిబాన ప్ొ డవ ైనద్ి అనగిరు, మర్ికొంద్రు ప్చచ ర్ిబాన పొ్ డవ ైనద్ి అనగిరు. కేవలం ప్ర్ిశీలన ద్గార్ర

ఖచిచతమైెన కొలతను చెప్ుాతగం. అప్ుాడు ట్లచరు అడిగింద్ి “ఏద్ి పొ్ డవ ైనద్ి అని ఎలా చెప్ాగలం .’’?ఒక విద్గయరి్ం ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర పెట్టడం


9

ద్గార్ర అని చెప్రాడు. అలా చెయయగరనే ప్చచ ర్ిబాను ,యిదరర ద్గనికంట్ే పొ్ డవ ైనద్ి అని తెల్గసింద్ి కొనిి సంద్ర్రన్నలలో ప్ర్ిశీలన గరని, ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర ఉంచడం గరనీ ప్ో లచడగనికి ఉప్యోగించలుము. ఉద్గహరణకు,

వేర్ేారు ఎతుు లు గల ఒక సనగిని గరలసు , ఒక వ డలుా గరల సు త్మసుకుని, ద్ీని సరమరం ం ఎకుకవా ప్ాశ్ిుిచింద్ి .ఒక ప్ద్ంతి ఏంట్ంట్ే ఒక గరల సును ప్ూరి్ుగర నింపి ర్ ండవ గరల సులో పో్యడం. మొద్ట్ర గరల సులో నీట్రని ప్ూరి్ుగర వలపినప్ాట్రకెం ర్ ండవ గరల సు నిండినట్లయితే అప్ుాడు ర్ ండవ గరల సు

యొకక సరమరం ం , మొద్ట్ర ద్గనికంట్ే ఎకుకవ అని నిర్రి ర్ిసరు ము . నిరష్య రి ం వాని మరష్యు ని 7.3రామాణిక వులతలు : ఏ విధమైెన కొలతెైనగ ఎలలప్ుాడూ ఒక సంఖయతో ముడిప్డి ఉంట్ ంద్ి .ఎంద్ుకంట్ం వసుు వు చినిద్గ లుక పెది్ద్గ అనిద్ి సంఖాల ద్గార్రలు వయకు ప్రుసరు ము. ఉద్గ:

ప్ట్ం 6.1 )a ( కి చూపినట్ ల గర ఒక సంఖయను ద్ిమెా యొకక పొ్ డవుతో అనుసంధగనం చేయడగనికి ,మనం ద్ిమెా యొకక పొ్ డ వును ,వేర్ొక వసుు వు పొ్ డవుతో పో్ లచవల ను అంద్ువలన, ప్ర్ిశీలనలో కనగి ఏ వసుు వు యొకక పొ్ డవును పో్ లచవలసి ఉంద్ో డగనికి తగిన ప్తాేయక ప్ొ డవును ఎనుికోవరల్గ. ఈ

ప్తాేయక పొ్ డవును యూనిప ప్ొ డవు అంట్ారు. వసుు వు యొకక పొ్ డవు మర్ియు యూనిప పొ్ డవుల నిష్ాతేు వసుు వు పొ్ డవును తెల్గయుిజేసే సంఖయ . అద్ేవిధంగర వ ైశరలయం, యూనిప ఘనప్ర్ిమాణము మర్ియు చద్రప్ు యూనిట్ ల , ఘన యూనిట్ ల మర్ియు ............. లను వ ైశరలయము, ఘనప్ర్ిమాణము మర్ియు

బరువులను కొలవడగనికి వరుసగర ఉప్యోగిసరు ము. వీట్రనే కొలమానము యొకక ప్మాాణగలు అంట్ారు. ఇవి అవసర్రనిి బట్రట , సంద్ర్రానిి బపట్ర వేర్ేారు రూప్రలలో ఉంట్ాయి .ఈ కిరంద్ి ఉద్గహరణ ద్గనిని తెల్గయజేసుు ంద్ి. కిట్రకెం కరటన తగిల్గంచు ఇనుప్ కడిడ విర్ిగిప్ో యింద్ి మనము మర్ొకట్ర మార్ కప నుండి కొనవలసి ఉంద్ి.

సర్ మిన ప్ొ డవు గల కడిడ కొనడగనికి ఏమి చేయాల్గ ? సరధగరణం ఈ కిరంద్ి చూపినట్ ల చేసరు ం . 1 . విర్ిగిన కడిడ ష్రప్ుక త్మసుక ళిు ,సమాన పొ్ డవు గల మర్ొక కడిడ ట్లసు కొనడం . 2 . విర్ిగిన కడిడని కరరతో కొల్గచి ,ద్గని స యంతో మర్ొక కడిడ కొనడం.


10

3 . కరలు అడుగుతో కడిడని కొల్గచి ,ద్గని స యంతో అద్ే ప్ొ డవుగల కొతు కడిడని కొనడం. 4 . విర్ిగిన కడిడ పొ్ డవుకు సమానంగర ఒక ద్గర్రనిి కతిుర్ించి ,ద్గని పొ్ డవుకు సమానమెైన కడిడ కొనడం. 5 . మీట్రు సేకలు స యంతో కడిడ ప్ొ డవును నిర్రి ర్ించడం

పెైన చూపించిన మొద్ట్ర నగలుగు విధగనగలు వయకిుగతమైెనవి ,లుక సంద్ర్రన్ననికి తగినవి మర్ియు వయకిుకి వయకిుకి మారుతుంట్ాయి. వీట్రని నిర్ిిష్టంకరని

ప్మాాణగలతో కొలవడగనికి ఉద్గహరణలు .ద్ీనిని లనింగర మీట్రు సేకలనిద్ి ప్పా్ంచంలో అనిి ద్ేశరలలో ఉప్యోగించు ఒక ప్రామాణిక కొలత. ఎకకడెైనగ మీట్రు యొకక పొ్ డవు సిథరమైెనద్ి మర్ియు ఇద్ి వయకిు మీద్గరనీ , సంధరాం మీద్గరనీ లుద్గ

కలం మీద్ గరని ఆధగరప్డి ఉండద్ు. అంద్ువలల ప్ొ డవు యొకక ర ర్రమాణకి కొలతకు ఇద్ి ఒక ఉద్గహరణ . సరళ్మైెనవి మర్ియు ప్పా్ంచంలోని అంద్ర్ికెం సులభ్ంగర అరంం అవుతుంద్ి కరవున ప్రామాణిక కొలతలు తేల్గక మినవి /సులభ్మైెనవి. ఈ ప్రామాణిక కొలతలకు ఎట్రట తగరి్కక ఆధగరం లుకపో్యినప్ాట్రకెం, అంద్ర్ిచే ఆమోద్ించబడి కరమంగర ,శరసదు వియంగర మెరుగుచేయబడినవి. అంద్ుువలల ఈ ప్రామాణిక కొలతలు ఇంకర చిని ప్మాాణగలుగరనూ )సెంట్ర మీట్రుల /మిల్గలమీట్రూ , ఇ.ట్ర.సి) మర్ియు పెది్

ప్మాాణగలుగరను )e.g. కిలోమీట్రు) గరను నిరోయించగబడగడ యి. కరని ఇవి నిర్ిిష్టం కరని కొలతలలో లభ్యంకరవు .

నిర్ిిష్టం కరని ప్ామాణగలు తక్షణ మర్ియు ప్రాంత్మయ అవసర్రలన ుు త్మరచడగనికి రూపో్ ంద్ించబడగడ యి .నీవు ఒక త్మపి ప్ద్గరంం తయారు చేసుు నిట్లయితే, ప్తాిసరరి్ బియయం, ప్రలు, చక కర కొలవడగనికి ప్రతపాెై ఆధగరప్ద్ము. అనుభ్వంతో, చేతినిండగ

బియయం, ర్ ండు గరల సుల ప్రలు మర్ియు పిడిజుచి చక కర వేసరు వు. అనిలప్ాట్రకెం మీరు చేసిన ప్ద్గరంం అనిి ప్ద్గర్రం లు ఖచిచతంగర కొల్గచి చేసిన రుచినే కల్గగి ఉంట్ ంద్ి .ఈ ప్రామాణికం కరని ఈ ప్ామాణగలు మీకు బాగర ప్నిచేయవచుచ, కరని మర్ొకర్ికి ఉప్యోగప్డకపో్ వచుచ. ఒక ప్రాంతంలో చగలాకరలంగర పొ్ డవు, బరువు, వ ైశరలయం,

ఘణప్ర్ిమాణం కొలవడగనికి కొనిి సరధగరనంగర అంగీకర్ించబడిన ప్రామాణగలు


11

ఉప్యోగిసుుునగిరు .ఇవి వరర్ి ప్రాంతంలో లుద్గ సంసకృతంలో మాతమేా ప్రామాణిక కొలతలు అలాంట్ర ప్ామాణగలు మీరు ప్తాి సంసకృతిలోనూ చూడవచుచ. అయినప్ాట్రకెం ఆ ప్మాాణగలు ఒక సంసకృతికి మాతమేా చెంద్ినవ ై ఉంట్ాయి కరనీ ఇతర సంసకృతలకు అవి తోడాడకపో్ వచుచ.

కృతయము : 1- ఒక ప్రాంతంలో ఉప్యోగించే నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణగలను పేర్ొకనుము ఒకొకకక నిర్ిిష్టంకరని ప్ామాణగనిి డగనికి సమానమెైన ప్రామాణిక ప్ామాణమంలో పో్ ల్గచ మీ ప్రాంతప్ు వరర్ికి వరట్ర ప్యాోజనగలను మర్ియు ప్ర్ిమితులను తెలుప్ుము . మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవ ండష : 11. ప్రామాణిక కొలతలు మర్ియు నిర్ిిష్టంకరని కొలతల మధయ ఏవేని మూడు తేడగలను పేర్ొకనుము .

12. ప్రామాణిక కొలతల యొకక ఆవశ్యకతను గూర్ిచ వరాయుము. కృతయము :2- సిుమంవ ను ఉప్యోగించి మీ చేతి మణికట్ ట మర్ియు మెడ కొలతలను కొలువుము.

ఎనిి మనణికట్ ల పొ్ డవు ఒక మెడ పొ్ డవుకు సమానం? మీ కొలతలను మీ తరగతి విద్గయరుం ల కొలతలతో పో్ లుచము . కృతయము :3- చతుర్రసరాకరర కరగితంపెై అనేకమైెన ద్ిరచాతురసంా యొకక పొ్ డవు మర్ియు వ డలుాలు ఇచిచనప్ుాడు వ ైశరలయం కనుగొననుట్కు నియమానిి పేర్ొకనుము. ప్రామాణిక కొలతలు ఎంతో ప్యాోజనకరమైెనప్ాట్రకెం కొలవడం నేరుచకుంట్ ని ప్రాంభ్ద్శ్లో నిర్ిిష్టం కరని ప్రామాణగలు ఉప్యోగించడం ఎంతో అవసరం .వివిధ రకరల ైన నిర్ిిష్టం కరని ప్ామాణగలు తెల్గసియునింద్ు వలల , విద్యకు వేర్ేారు ప్ద్ంతులోల పో్ లచడం గూర్ిచ తెలుసుకొని న మాద్ిగర ప్రామాణిక కొలతల యొకక ఆవశ్యకతని తెలుసుకుంట్ారు. కొలవడగనికి ర్ ండు రకరల నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణగలు ఉనగియి .ఒక రకమైెన

ప్మాాణగలు వయకిుని బట్రట మారుతగయి ie చేయి, మూర ఇట్రట ప్మాాణగలను మీరు తరగతిలో ఏ వసుు వున ైనగ కొలవడగనికి ప్యాత్మించవచుచ (ఉద్గ : ట్ేబుల్ యొకక


12

పొ్ డవు). విద్గయరుం లు చేతులు, మూరలు, వేళా్ళు ఉప్యోగించి వీట్రని కొలమని మీరు అడగవచుచ వేర్ేారు విద్గయర్ధులచే కొలవబడిన ట్ేబుల్ యొకక ప్ొ డవును ప్ట్రటక రూప్ంలో నమోద్ు చేయుము . మద్ ంప్ మరష్యు మాప్నం :నిర్ిిష్ట కోలా ప్మాాణం ఉప్యోగించి కొలవడగనిక ిముంద్ుగర పిలలలను తెవుల్ యొకక ఏద్ేని ఒక అంచును చేయి కొలతలో గరని లుక కరర కొలతలో గరని ఎనిి యూనిట్ ల ఉంట్ాయో ఉహించమనండి .ఆ ప్ర్ిమా ణగనిి ఖచిచతంగర మద్ింప్ు లుక ఉహించవలసిన అవసర్రనిి గరహించునట్ ల చూడండి .యొకక పొ్ డవను లుద్గ మవ కొలతతో ప్ో ల్గచన బక కప యొకక సరమర్రం నిి కూడగ ఉహించమనవచుచను. ముంద్ు ముంద్ు వసుు వులను కొలవడగనికి ఈ మద్ింప్ు ఎట్ాల ఉప్యోగప్డుతుంద్ి?

మాప్నంలో మద్ింప్ు చగలా ప్ధాగన ప్రతా పో్ షిసుు ంద్ి .కోవడంలో విద్గయర్ిం చేసే పొ్ రప్రట్లను గుర్ిుంచి మగరు అలా జరగకుండగ మద్ింప్ు తోడాడుతుంద్ి. ఏద్ేని ఒక వసుు వును కొలవడగనికి ముంద్ు మద్ింప్ు చేయడం అలవరట్

చేయడం ద్గార్ర విద్గయరుి లు సర్ మిన ప్మాాణగలను ఎనుికోగలుగుతగరు, ఇచిచన కోలా ప్మాాణగనిి వసుు వు యొకక కొలతని మానసికంగర ప్ో లుచతగరు .అంద్ువలల

మాప్కము యొకక ప్కాిరయ మర్ియు ఫల్గతగనిి సులభ్ంగర మర్ియు ఖచిచతంగర పొ్ ంద్ుతగరు .

ఒక వసుు వు యొకక ఏ లక్షణగనిి ప్రామాణికంగర కొలుసరు మో ద్గనిని ముంద్ుగరనే విద్గయర్ిం చేత మద్ింప్ు చేయించడం ద్గార్ర కొలవడం ద్గార్ర ప్ొ ంద్ే సంఖయ యొకక ప్రాముఖయతను గుర్ిుసరు రు .ఉద్గహరణకి, వరసువరనికి 37 సెం.మీగర మద్ింప్ు చేసి ఉనిట్లయితే, తన తప్ుాను వ ంట్నే గుర్ిుంచగలద్ు.

మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవ ండష : 11. కొలవడం నేరుచకుంట్ ని ప్రారంభ్ ద్శ్లో నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలు

ఉప్యొగించడం వలన గల ప్యాోజనగలను ర్ ండింట్ర ని పేర్ొకనుము . 12. ప్ర్ిమాణగనిి అంచనగ వేయడగనికి ఉప్యోగప్డు ర్ ండు సనిివేశరలను తెలుప్ుము .


13

.7.3.1పొ డక నత వులకడం :ముంద్ు చర్ిచంచుకునిట్ ల గరకొలవడం అని ,అభ్యసన నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలతో కొలవడంలో ప్రలగా నిప్ుాడు ముంద్ుగర

మద్ింప్ు చేయడంలోనూ మర్ియు ప్ామాణగలు ఖద చితంగర ఉప్యోగించు న ైప్ుణగయలను అలవృద్ిం చేసుకోవడంలోనూ పో్ా తుహించగల్గ .విద్గయరి్ం ప్ర్ిసర్రలలో ఉనిట్ వంట్ర ప్ులలలు, వ ైరుల , ద్గర్రలు, ఆకులు, కరగితగలు లాంట్ర అనేకమైెన

వసుు వులను నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలుగర ఉప్యోగించకోవచుచ. ప్పా్ంచంలో చగలా తరచుగర శ్ర్ీర భాగరలనే నిర్ిిష్ట్ం కరని ప్మాాణగలుగర ఉప్యోగిసరు రు )ఈ కిరంద్ గమనించండి) . వేర్ేారు బాష్లోల వేర్ేారు పేరలతో పిలుసరు రు ఈ కొలతలని ,

నిరష్య రి ం వాని ప్రమాణవలుగా ఉప్యోగష్ంచత శరీల భాగాలు పెై వ ైశరలయము మర్ియు ఘనప్ర్ిమాణం ,లుక సరమర్రి లతో పో్ల్గచనప్ుాడు పొ్ డవు కొలవడగనికి నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలను ఎకుకవ సంఖయలో ఎకుకవ తరచుగర ఎకుకవ మంద్ి వయసుు మర్ియు విద్యతో సంభ్ంధం లుకుండగ ఉప్యోగిసరు రు. ప్రఠశరల ప్రారంభ్ ద్శ్లో ఈ నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగల ఉప్యోగం ఈ కరుిుంద్ ికరరణగల ద్ృష్రట చగలా ముఖయం .

a . పిలలలకు ప్ర్ిచయమైెన వసుు వులనే నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణ కొలతలుగర ఉప్యోంగించడం వలన వసుు వులను కొల్గచే న ైప్ుణగయలను పొ్ ంద్డంలో కొతు ప్ద్గలను ,పేరలను నేరుచకోవలసిన భారం పిలలలకు ఉండద్ు . b . పిలలలు ప్రారంభ్ంలో ప్యాోగరతాకంగర చేప్ట్ ట కొలతలకు ,నిర్ిిష్టం కరని

ప్మాాణగలు సర్ మిన ప్ర్ిమాణగనిి కల్గగియుంట్ాయి. పిలలలకు బాగర సుప్ర్ిచితమైెన బలల పొ్ డవు ,సేిహితుని ఎతుు లాంట్రవి కొలవడగనికి సెం.మీ చగలా చిని కొలత మర్ియు పిలలలు చగలా సరరుల కొలవవలసి ఉంట్ ంద్ి . c. ఒక వసుు వు కొలవడగనికి ప్రామాణిక సేకలు అంద్ుబాట్ లో లునప్ుాడు లుద్గ అంద్ుబాట్ లో ఉనగి ప్రామాణిక కొలతల అనుభ్వం కొతు సేకలును కనిపెట్టడగనిక ిపో్ా తుహిసుు ంద్ి . d. నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలు ఉప్యోగించడం ద్గార్ర ప్రమానిక కొలతలు మర్ియు ప్రామాణిక సేకలు యొకక ఆవశ్యకతని విద్గయరుం లు గరహిసరు రు .ఉద్గహరణకు, వరళ్ు


14

చేతిని ఉప్యోగించి కొల్గచినప్ుాడు ట్ేబుల్ పొ్ డవు ర్ ండు మురలు అని తెలుసుకుని వరరు వరర్ి ట్లచర్ చేతితో కొల్గచినప్ుాడు 1 ½ మూరలు మాతమేా పొ్ డవునిద్ి అని గుర్ిుసరు రు .శ్ర్ీర భాగరలనే కొలప్ామాణగలుగర ఉప్యోగించి అనేక వసుు వులను కొలవడం వలన తరగతిలో పిలలలంద్రూ ఒక విష్యం గుర్ిుసరు రు అద్ేంట్ంట్ే ,ఒక వసుు వు యొకక పొ్ డవును వేర్ేారు వయకుు లు కొల్గచినప్ుాడు వేర్ేారు ఫల్గతగలు వసరు యని గుర్ిుసరు రు. ఈ అవగరహన వలన ప్రామాణిక కొలతల యొకక ఆవశ్యకతని విద్గయరుం లు గుర్ిుసరు రు.

కృతయము 4- పొ్ డవును కొలవడగనికి మన ప్ర్ిసర్రలలో ఉని నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణగలగర ఉప్యోగించు వసుు వుల జాలతగను పేర్ొకనుము . పొ డక యొకక పరా మాణిక వులతలు : ప్రాధమిక ప్రఠశరల సరథ యిలో తరచుగర ఉప్యోగించే పొ్ డవు యొకక ప్రామాణిక కొలతలు మీట్రు ,సెంట్ర మీట్రు, మి లి మీట్రు మర్ియు కిలోమీట్రు ప్రారంభ్ంలో కిలో ముదట్రు చగలా ఎకుకవ ద్ూరము కరవున విద్గయరుం ల గరహణ సరథ యికి మించినద్ి అంద్ువలల ,పొ్ డవు యొకక ప్రామాణిక కొలతలు ప్వాేశ్పెడుతుని ద్శ్లో, విద్గయరుం లకు మీట్రు అంతకనగి చినిదైె్న సెం.మీ , మిల్గల మీట్రు ప్ర్ిచయం చేయాల్గ. పొ్ డవు యొకక ప్రామాణిక కొలతలు పిలలలకు ఎప్ుాడు మర్ియు ఎలుర ప్ర్ిచయం చేయాల్గ? పిలలలకు కొలవడగనికి ప్రామాణిక సేకలు అవసరమైెనప్ుాడు మాతమేా ప్రామాణిక యూనిట్ంలల న మేట్రు ,సెంట్ల మీట్రు ప్వాేశ్పెట్ాట ల్గ. ప్రారంభ్ ద్శ్లో, వేర్ేారు వసుు వులను కొలవడంలో న ైప్ుణయం పెంపొ్ ంద్ించడగనికి, నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణగలు ఉప్యోగించి కొలవడగనికి విధగయరంుులకు అనేక అవకరశరలను కల్గాంచగల్గ .అనగర ఒక కొల ప్మాాణగనిి ఎనుికోవడం, వసుు వు యొకక పొ్ డవును యూనిప

ప్మాాణంతో పో్ ల్గచ ఫల్గతగనిి సంఖయ మర్ియు ప్ామాణగలలో తెల్గయచెప్ాడం . ఉద్గ :3 మూరలు ,2 కరరలు ,5 జానలు మొద్ల ైనవి .

ర్ ండవ ద్శ్లో ,పిలలలు నిర్ిిష్టం కరని ప్మాాణగలను ఉ ప్యోగించి వసుు వులు కొలవడంలో న ైప్ుణయం పొ్ ంద్ి ,ఈ ప్మాాణగలు ఉప్యోగించి ఖచిచతమైెన కొలతను

కొలవడం అనిి వేళ్లా సరధయం కరద్ని గరహించి, ఏద్ి సర్ మిన కోలతో నిరియించుకోడం


15

కష్టంగర భావించినప్ుాడు, అప్ుాడు సిథరమైెన ప్డవు కల్గగిన ఒక కరరను (నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణం) ఉప్యోగించవచచుు .పిలలలు వేర్ేారు వసుు వుల పొ్ డవులను ఈ

కరరనుప్యోగించి చగలా వరకూ ఖచిచతంగర కొలవగరల్గగినప్ుాడు ప్రామాణిక కొలతయిదైన మీట్రు సేకలు ప్వాేశ్ పెట్టవచుచ. ఈ ద్శ్లో మీట్రు సేకలు విద్గయరుి లుకు అరంవంతంగర ఉంట్ ంద్ి .

: మీడలొ క కలు స్సయంలే వులకడంపిలలలు కరరనుప్యోగించికొల్గచేట్ప్ుాడు ,మనం ఒక విష్యం నిర్రి రణ చేసుకోవరల్గ. కరర యొకక ఒక చివర కొలవబడుతుని

వసుు వు యొకక ఒక చివరతో ఏకెంభ్వించగల్గ. ట్ేబుల్ పొ్ డవు కొలుసుు నిప్ుాడు, కరర యొకక ఒక చివరను ట్ేబుల్ యొకక చివర( ప్ొ డవు ముంద్ుగర)కుఏకెంభ్వించినట్ ల ఉంచి, కరర మర్ొక చివర ట్ేబుల్ పెై గుర్ిుంచగల్గ .ఇప్ుాడు కరరను ట్ేబుల్ పెై గల

బింద్ువుకు తగకించి మర్ొక చివర ట్ేబుల్ పెై గుర్ిుంచగల్గ. ఈ ప్కాిరయ ట్ేబుల్ మొతుం పొ్ డవు కరరనుప్యోగించి పొ్ ర్ిు చేసే వరకు కొనసరగుతుంద్ి. ట్ేబుల్ అంచును కొలవడగనికి ఎనిి కరరలు ఉప్యోగించగమో అద్ే ట్ేబుల్ పొ్ డవు కొలత. ఈ ప్కాిరయతో పిలలలు బాగర అలవరట్ ప్డనప్ుాడు ,వరరు ప్రామాణిక మీట్రు సేకలు ఉప్యోగించడగనికి సిద్ంంగర ఉనిట్ ల ప్రామాణిక సేకలుతో కొలవడం ఇంతక ముంద్ు వర్ిోంచిన ప్కాిరయను ప్ో ల్గ ఉంట్ ంద్ి .అయితే విద్గయరుం లు సేకలును సరి్గరా ఉప్యోగించడగనికి కొనిి జాగరతులు ఈ కిరంద్ చూప్బడగడ యి.

క కలు ప ై గల ఉప్ ప్రమాణవలనత గురష్ుంచడంలో విధ్వయలొు లకు అకగాహన కల్పంచడం :సేకలు పెై సూచించిన విభ్జన గూర్ిచ వరర్ికి సాష్టత ఉండవల్గసిన అవసరం ఉంద్ి .మీట్రు సేకలుపెై విద్గయరుం లు మొద్ట్ సెం.మీ గురుు లను గమనించగల్గ. మొద్ట్ర వరరు సెంట్ర మీట్రు ఉప్యోగించడంలో సాష్టత ఏరాడిన తర్రాత వురర్ిక ిపొ్ డవును కొలవడంలో మోట్ారు మర్ియు మిల్గలమీట్రుప్ర్ిచయం చేయవచుచ . వులకతడే కస్తు క లే క కలునత స్రష్గాా ఉంచడం : ఏ వసుు వు కోలుసుు నగిమో ,ద్గనిపెై, ద్గని పొ్ డవు మీద్ుగర సేకలును ద్గారగర మర్ియు ఖచిచతంగర ఉంచడం చగలా ముఖయం .


16

వసుు వు యొకక ఒక చివర సేకలుపెై సూచించిన ’o‘తో ఎకేభ్వించినట్ ల గర వసుు వు పొ్ డవు మీద్ుగర సుకలునుంచడం విద్గయరుం లకు ప్దా్రున ద్గార్ర చూప్వల ను .ప్రారంభ్ంలో

ఉని వరర్ికి ఇద్ి చగలా అవసరం. సేకలును సర్ిగరా ఉప్యోగించనట్లన అద్ి సూచించే ర్ీడింవ లుద్గ కొలత సరి్యిదైనద్ి కరద్ని చూప్వల ను.

ప్ట్ం – 7.6 పిలలలచే వసుు వు యొకక ఒక చివర సేకలు పెై ’o‘కరకుండగ ఇతర ఏద్ేని బింద్ువులతో (1 గరని ,2 గరని లుద్గ 3గరని ) ఏకిభ్వించి

నట్ ల గర చేసి వసుు వు యొకక ర్ ండవ చివరతో ఏకిభ్వించిన సేకలు యొకక ర్ీడింవ ను గుర్ిుంచుమనుము .

ప్ట్ం -7.7 ఖచ్ఛితంగా వుల్చే ముందత పొ డక నత మద్ ంప్ చేయడం :ముంద్ు చర్ిచనంట్ ల గర ,ప్మాాణ సేకలునుప్యోగించి ఖచిచతంగర కొలవడగనికి ముంద్ుగర, వసుు వు యొకక

పొ్ డవును మద్ింప్ు చేయడగనికి విద్గయరుం లను ప్ో ా తుహించవల ను. పొ డక నత ఖచ్ఛచతంగా : స్రష్గాా గనిచంచడం /లగవాకంచడం ,పిలలలచే వరరు కొలుసుు ని వసుు వు యొకక ఖచిచతమైెన పొ్ డవును నిర్రం ర్ించడగనికి రూలర్ోు గరనీ లుద్గ సేకలుతో గరనీ అనేక సంద్ర్రన్నలలో వేర్ేారు వసుు వులను కొల్గపించగల్గ. మొద్ట్ర విద్గయరి్ం సేకలు యొకక ’o‘బింద్ువును కొలవబడుకుని వసుు వు యొకక ఒక చివర ఉంచినట్లయితే వసుు వు యొకక మర్ొక చివర సేకలుపెై ఉని ఏ సంఖయ ఏకిభ్వించినద్ో అద్ే ఆ వసుు వు యొకక పొ్ డవు . కొలవవలసిన వసుు వు యొకక ఒక చివరను సేకలు పెైని ’o‘కరక ఏ ఇతర

బింద్ువుతోన ైనగ ఏకిభ్వించినప్ుాడు సేకలుపెై వసుు వు ర్ ండు చివరలు సూచించు సంఖయల భవద్మే వసుు వు ప్ొ డవు .

ఒక ప్తాేయక ప్ామాణగనిి మొద్ట్రసరరి్గర ఉప్యోగించినప్ుాడు ,ఉద్గ : సెంట్లమీట్రు పిలలలుు అనేక రకరల ైన వసుు వులను అనగర వ ైరుల ,ఇనుప్కడిడలు, ప్ులలలు, కరగితప్ు

కడిడలు మొద్ల ైనవి కొలవడం ద్గార్ర (ప్ూర్ిు యూనిట్ ల i.e. 3 సెం.మీ, 5 సెం .మీ , 1ర్ సెం .మీ మొద్ల ైనవి) వరరి్ ప్ని సులభ్మవుతుంద్ి. అట్ ల గరక 3.5 సెం.మీ , 1ర్.8 సెం .మీ


17

మొద్ల ైనవి వరర్ికి సంద్ే నిి కల్గగిసరు యి .ఈ కొలతలపెై ప్ట్ ట సరధించిన పిమాట్ వరర్ికి మీ.మీ ఉప్యోగించి కొలవగల వసుు వులను అంద్ించవచుచ .

వుల్చే న ైప్ ణవయనిఅ అవృకృద్ ు చేయడం :ప్రామాణిక సేకలునుప్యోగించి కొలవడగనికి కొనిి ప్రాధమిక న ైప్ుణగయలు అనగర వసుు వుతో సేకలును ఖచిచతంగర ఏకెంభ్వించడం, సర్ియిదైన ర్ీడింవ త్మసుకోవడం ,ర్ీడింవు మధయ తేడగను కనుకోకవడం మొద్ల ైనవి అవసరం. ఇవేవీ

కష్టమైెన న ైప్ుణగయలు కరకపో్యినప్ాట్రకెం, విద్గయరుి లు తగిన జాగరతు త్మసుకొని కరరణంగర తపా్ుాలు చేసుు ంట్ారు. ప్రారంభ్ద్శ్లో తగు జాగరతులు త్మసుకోవడం ద్గార్ర పిలలలు ఈ న ైప్ుణగయలను సులభ్ంగర అలవృద్ిం చేసుకోగలరు . తగష్న లూలర్ లేద్వ క కలు ఎనతఅవ కడం :మార్ కట్ింల వేర్ేారు పొ్ డవుల వేర్ేారు రకరల

సేకలుల అంద్ుబాట్ లో ఉనగియి. ప్రఠశరలలోల సరధగరణంగర 1 మీట్రు, 3ర్ సెంట్లమీట్రుల మర్ియు 15 సెంట్లమీట్రుల పొ్ డవుగల సేకళ్ళు అంద్ుబాట్ లో ఉనగియి మర్ియు ఉప్యోగిసుు నగిరు ఇవికరకుండగ వడంాగి ఉప్యోగించు వివిధ పొ్ డవులు కల ట్ేప్ులను మర్ియు బట్టల ద్ుకరణగలోల ఉప్యోగించు ఇనుప్ కడిడలను కూడగ విధగయరుం లకు తెల్గయజేయవచుచ . తరగతిలో ప్రామాణిక కొలతలు ఉప్యోగించు ప్రారంభ్ ద్శ్లో, 3ర్ సెం .మీ పొ్ డవు గల రులర్ గరనీ లుద్గ సేకళ్ళు గరనీ ఎంతో అనుకూలంగర ఉంట్ాయి. ఎంద్ుకంట్ే వరర్ి ప్ర్ిసర్రలలో ఉండే అనేక వసుు వులను కొలవడగనికి ఇద్ి సౌకరయంగర ఉంట్ ంద్ి .కొలవవలసిన వసుు వులు

యొకక పొ్ డవులను బట్రట ఎకుకవ ప్డవు కల్గగిన ట్ేప్ులు మర్ియు సేకళ్ళు అవసరమౌతగయి తరగతిగద్ి పొ్ డవు లుద్గ ప్రఠశరల వరండగ కొలవడగనికి ఎకుకవ పొ్ డవు కల్గగిన మీట్రు సేకలు అవసరం అవుతుంద్ి. అలాగే నగప ప్ుసుకంలోని ర్ేఖలను కొలవడగనికి లుేద్గ చిని వసుు వులను కొలవడగనికి 15 సెం.మీ ప్ొ డవు గల సేకలు తగినద్ిగర ఉంట్ ంద్ి .

మిగిల్గన వరట్రతో పో్ లచగర, వసుు వుల యొకక ప్ొ డవులను కొలవడం విద్గయరుి లకు అవగరహనకు అలాగే కొలవడగనికి చగలా సులభ్మైెన ప్ని. తరగతి లోప్ల మర్ియు బయట్ అనేక కుర తగయలనివాడం ద్గార్ర విద్గయరుి లను ఈ ద్ిశ్లో పో్ా తుహించవచుచ .ఇలాంట్ర

కొనిి కృతగయలు ఈ కిరంద్ ఇవాబడగడ యి . రంగు ప్ులలలు లుద్గ కరరలు ఉప్యోగించి ప్రామాణికం కరని సేకళ్ళు తయారు

చేయడం ,అంద్ులో సమాన భాగరలను విలని రంగులతో గుర్ిుంచడం.


18

1ర్ c , 15 c మర్ియు 2ర్ సెం.మీ మొద్ల ైన వేర్ేారు కొలతలు కల సెం. మీ సేకళ్ళు తయారుచేయడం ,అంద్ులో ఒకొకకక సెం.మీ భాగరనిి వేర్ేారు రంగులతో నింప్డం.

కబడిడ ,కో – కో , మొద్ల ైన గేములు ఆడట్ానికి ఆట్ సథలానికి హద్ుి లు ఏరారచడం. లాంవ జంర ,హడవ జంర లలో ప్రలగా నడం, మర్ియు పొ్ డవులు, ఎతుు లు కొలవడం . వేర్ేారు ప్ొ డవులు గల రే్ఖలను గీయడం ద్గార్ర డిజ ైనులు తయారుచేయడం.

.7.3.2 వ ైశాలయం వులకడం : ఒక వసుు వు యొకక వ ైశరలయం కొలవడగనికి ముంద్ువ ైశరలయం , అనగరనేమో చూద్గి ం. ఇంతవరకు మనం కొలవడం అనిద్ి సరళ్ ర్ేఖా భ్ంద్గనిి ట్ేబుల్

అంచు ద్గార్ర, మీట్రు వ ైరు ద్గార్ర, మాయర లోని ర్ేఖల ద్గార్ర, మర్ియు పెనిుల్ మొద్ల ైనవరట్ర ద్గార్ర సూచించవచుచ. ఇప్ుాడు ఈ కిరంద్ చూపిన ప్ట్ాలు చూద్గి ము .

పొ్ డవులు కొలవడంలో మనకుని జాా నగనిి బట్రట ,ఈ కిరంద్ి ప్తగలలో ద్ేనిని కొలవచుచ . “ప్ట్ాల యొకక హద్ుి లను తెల్గయజేయు ర్ేఖల పొ్ డవులను ”

“కరనీ, హద్ుి ల పొ్ డవులు ప్ట్ాల యొకక ఆకరర్రలను మర్ియు ప్ర్ిమాణగలను తెల్గయజేసరు యా ”?

ప్ట్ాల యొకక హద్ుి లు ద్గని ఆకరరం గూర్ిచ తెల్గయజేసుు ంద్ి కరనీ ప్ర్ిమాణం గూర్ిచ తెల్గయజేయడగనికి అద్ి సర్ిప్ో ద్ు . ప్ట్ం 7.9 పెైన చూపిన ప్తాి జత ప్ట్ాలలో మనం సరుప్తని వరట్ర ఆకరర్రలలో గమనించవచుచ. కరని ప్తాి జతలోని ర్ ండు ప్ట్ాలలో తేడగ ఏంట్ర ? ప్తాి జతలోని ర్ ండు ప్ట్ాలు వరట్ర ఆకరరంలో సరుప్రలు కరని ప్ర్ిమాణంలో కరద్ు .మనం పిలలలను ప్తాిజతలోనూ పెది్ద్ేద్ో గుర్ిుంచమంట్ే ఖచిచతంగర గుర్ిుసరు రు . కొంత మంద్ి పిలలలను ఎంద్ుకు కొనిింట్రని పెద్విగర ,కొనిింట్రని చినివి గర గుర్ిుంచగరని అడుగగర ,వరరు ఈ కిరంద్ి సమాద్గనగల్గచగచరు .

“ఒకద్గనికంట్ే వేర్ొకట్ర పెది్ద్ిగర కనబడుతునగిద్ి . ఒకద్గనిపెై మర్ొకట్ర ఉంచినప్ుాడు పెది్ద్ేద్ో గుర్ిుంచవచుచను .


19

“ఆకరరము పేప్రుపెై ఎకుకవ భాగరనిి ఆకరమిసుు ంద్ో ద్గనినే పెది్ద్ంట్ాము ” “ట్ేబుల ైా ఏ ప్ట్ం ఎకుకవగర విసుర్ిసుు ంద్ో అద్ే పెది్ద్ి”

పెై సమాద్గనగలనించి ,విద్గా రుి లు చగలా సులభ్ంగర పెది్ద్ి, చినిది్ అని భావనలను గమనించగలరు అని గరహించవచుచ ఇప్ుాడు వరరు వ ైశరలయం అని భావనకు చగలా ద్గారగర ఉనగిరు .

స్మతల ప్డం యొకక ఒక లక్షణం వ ైశాలయం : ఒక తలంలో ఒక ప్ట్ం విసుర్ించిన ప్దా్ేశ్ంకు వ ైశరలయం .లుక తలంలో ఒక ప్ట్ం ఎంత భాగం ఆకరమిసుు ంద్ో ద్గనినే వ ైశరలయం అంట్ాం. తలము అనిద్ి కరగితం గరని, ట్ేబుల్ ఉప్ర్ితలంగరని లుద్గ గరల స్ పేల ప ఎద్ెైనగకరవచుచ. ద్ీనినే కిరంద్ి ప్ట్ంలో చూడవచుచ . ప్ట్ం 7 .1ర్ పెైన చూపిన ప్ట్ాలలో ఏద్ి ఎకుకవ ప్దా్ీశ్ం ఆకరమించింద్ి అని తెలుసుకోడం ఎలా ?అంట్ే ఏద్ి ఎకుకవ వ ైశరలయం కల్గగి ఉంద్ి . ఒక ద్గని పెై ఒకట్ర ఏకెంభ్వించేట్ట్ ల చేయడం ద్గార్ర చెప్ాలుము .ఎంద్ుకంట్ే అవి సరూప్ ప్ట్ాలు కరవు (ఒకే ఆకరరము కల్గగినవి కరవు). ఇలాంట్ర సంద్ర్రన్నలలో, ఒకకకక ప్ట్ానిి ఒక వసుు వు ద్గార్ర అంచనగ వేయవచుచ. ద్గనినే వ ైశరలయం కొలవడగనికి గల ప్ామాణం అంట్ాం .కొనిి ఒకే ప్ర్ిమాణము మర్ియు ఒకే బాాండ్ కల్గగిన అగిా పెట్ంటలను త్మసుకుంద్గం. ర్ ండు ప్ట్ాలపెై ఈ అగిాపెట్ంటలను ఒకద్గని ప్కాకన ఒకట్ర ఉంచండి. అగిాపెట్ంటల మధయ ద్ూరం లుకుండగ మర్ియు ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర లుకుండగ ప్కాకప్కాకన కిరంద్ చూపినట్ ల గర అమరు చండి.

ప్ట్ం 7.11 ప్ట్ంలో 7.11 )a) 16 అగిాపెట్ంటలతో నినాబడినద్ని, 7.11 )b) 1ర్ పెట్ంటలతో నింప్బడినద్ని గమనించవచుచ .కరబట్రట మనం 7.11 )a ( ప్ట్ం ,7.11 )b) ప్ట్ం కంట్ే ఎకుకవ వ ైశరలయం కల్గగి ఉంద్ిని చెప్ావచుచ .

ఈ కిరంద్ి ప్ట్ాల వ ైశరలాయలను మద్ింప్ు చేయగలర్ర ?


20

మనం పెై ప్ట్ాల వ ైశరలాయలను కనుగొనలుము .ఎంద్ుకంట్ే అవి ఆకరమించిన ప్దా్ేశరలు లువు కరవున. ఎంద్ుకంట్ే సంవృత ప్ట్ాల ైన తిాభ్ుజం, చతురున్నజం లుక వృతం లా కరకుండగ పెై ప్ట్ాలు వివృత ప్ట్ాలు. కరబట్రట అవి ఏ ప్రాంతగనిి ఆకరమించవు .

సమతల ప్ట్ాల వ ైశరలాయల అభ్యసన ప్రారంభ్ద్శ్లో ,ఒకే భాాండ్ కు చెంద్ిన అగిాపెట్ంటలు, ఒకే ప్ర్ిమాణం గల ప్రల సిటక్ చతురసరాలు, రంగు కరగితగలతో తయారు చేసిన ఒకే

ప్ర్ిమాణం గల చతురసరాలు, ఒకే ప్ర్ిమాణం గల నోట్ ప్ుసుకరలు మొద్ల ైనవి విద్గయరి్ంకి బాగర ప్ర్ిచితమైెనద్ే ఉప్యోగించగలనిమాట్. తరగితిలో అభాయసం చేయడగనికి ఉప్యోగప్డు కొనిి కృతగయలను గమనించండి . ట్లచర్ యొకక ట్ేబుల్ ను ఒకే ప్ర్ిమాణం గల నోట్ ప్ుసుకరలతోప్రచడం ,ఎనిి ప్ుసుకరలు అవసరమౌతగయో ల కికంచడం .

పిలలల బ ంచీలను ఒకే ప్ర్ిమాణం గల ప్ుసుకరలతో ప్రచడం. అచుచ ప్ుసుకము గరని ,నోట్ ప్ుసుకం గరని అగ ు గిపెట్ేటలతో అమరచడం

)అగిాపెట్ంట వేర్ేారు తగగరలను ప్ర్ిచినప్ుాడు ఎనిినిి అగిాపెట్ంటలు అవసరమౌతగయో ప్శాినించడం .(

తరగతి గద్ి నేలకరని లుద్గ గోడగరని ఒకే ప్ర్ిమాణం గల రంగు కరగితగలతో కప్ాడం . సమతల ప్ట్ాల వ ైశరలాయలను మద్ింప్ు లుద్గ పో్ లుచనప్ుాడు మనం ఆ ప్ట్ాలు ప్ూర్ిుగర నింపేట్ట్ ల గర అద్ిిపెట్ంటలాంట్ర చిని ప్ామాణగలను ఎనుికుంట్ాము .కరనీ

ప్ట్ంలోని కొంత భాగం అగిాపెట్ేటలను ఉప్యోగించినప్ుాడు మిగిల్గపో్యింద్ంట్ే ప్రడవుతుంద్ి .? ఇట్రట సంద్ర్రన్నలలో మనం సరమానయంగర ఏమి చేసరు మంట్ే ,మిల్గగిన భాగం

మనం ఎనుికుని ప్ామాణంలో సగం కంట్ే ఎకుకవ గరనీ లుద్గ సగుం గరనీ ఉంట్ే ద్గనిని ఒక ప్ూరి్ు యూనిప గర త్మసుకుంట్ాము తకుకవ ఉంట్ే త్మసుకోము .)ఉద్గహరణకు మనము

5.4 ,5.3 ,5.2 ,5.1 లను 5 గరనే ప్ర్ిగణిసరు ము. కరనీ 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 లను 6 గర త్మసుకుంట్ాము . పెై చర నుండి వ ైశరలయం అనునద్ి ద్ిాప్ర్ిమాన వసుు వులకు సంభ్ంద్ించినద్ని, మర్ియు సంవృత ప్ట్ాల యొకక వ ైశరలయముప్ో లచడగనికి లుద్గ మద్ింప్ు చేయడగనికి


21

మనం చిని చిని యూనిట్లను ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర లుకుండగ ,అలాగే ఏ ర్ ండింట్ర మధయ ఖాల లుకుండునట్ ల గర ఈ ప్ట్ాలపెై ప్రచడం ద్గార్ర వ ైశరలయం కనుగొనగిము. అనేక రకరల ఒకే ప్ర్ిమాణం గల చిని చిని సమతల వసుు వులను ఉప్యోగించి వ ైశరలయంను కొలవచుచ.

వ ైశాలయం వులత యొకక పరా మాణిక ప్రమాణవలు : వ ైశరలయం కొలవడగనికి ప్రామాణిక యూనిప గర చతురస ావ ైశరలాయనిి ప్ర్ిగనిసరు రు. ఉద్గ :కు ప్ట్ం 7. 13 లో చూపిన 1 మీ చతురసంా

అలాంట్ర ప్ట్ం యొకక వ ైశరలాయనిి చద్రప్ు మీట్రు అని అంట్ారు .మర్ియు సంకేత రూప్ంలుో 1 చద్రప్ు యూనిప అని సూచిసరు రు. తరగతి గద్ి వ ైశరలయం, లుద్గ గోడ యొకక

వ ైశరలయం లుద్గ బడితోట్ యొకక వ ైశరలయం మర్ియు ఇతరమైెన పెది్ పెది్ సంవృత ప్దా్ేశరలను కొలవడగనికి చద్రప్ు యూనిట్ ల తగిన ప్మాాణం కరనీ, చిని చిని వ ైశరలాయలాల ంట్ర ప్ుసుకంలోని బొ మాలు, ప్ుసుకరలు కప్ాడగనికి పేప్రు ప్ర్ిమాణం ,ఇవనీి

కొలవడగనికి మనకు చిని ప్మాాణం అవసరమౌతుంద్ి. ద్గనినే 1 చద్రప్ు సెం.మీ గర సూచిసరు రు . ప్రామాణిక యూనిట్ ల ఉప్యోగించి జాయలుత్మయ ప్ట్ాల వ ైశరలలాయలు కనుకోకవడం ఎలా? పొ్ డవు 5 సెం.మీ, వ డలుా 3 సెం.మీ గల DCD ద్ీర ాచతురసరానిి గమనించండి. భ్ుజాల పొ్ డవులు సెం .మీ లో ఉనివి కరవున ఈ సంద్రన్నంలో వ ైశరలాయనికి సర్ మిన ప్మాాణగము చ .సెం.మీ

1 చ. సెం.మీ వ ైశరలయం గల చతురసరాకరర చిని చిని కరగితగలను ఒకద్గనిపెై ఒకట్ర లుకుండగ అలాగే ఏ ర్ ండు కరగితగల మధయ ఖాల ప్దా్ేశ్ం లుకుండగ ప్కాక ప్కాకన అమర్ిచనట్లయితుే

7.14 ప్తంను పో్ ల్గన ప్ట్మేరాడుతుంద్ి. ద్ీనికి ప్తాి అడుడ వరుసలో 5 చిని చద్ర్రలు అవసరమౌతగయి. అంట్ే DCD ద్ీర ాచతురసరానిిప్ూర్ిు చేయడగనికి 15 చిని చతురసరాలు

అవసరమౌతగయి(3 అడుడ వరసలు xఒకొకకక వరుసలో 5 చిని చతురసరాలు) అంద్ువలల DCD ద్ిరచాతురసంా వ ైశరలయం 1 చ.సె ుం .మీ .


22

1 చ.సెం.మీ.ప్మాాణం గల ద్ీరచాతుర్రసరాకరర ప్ట్ం యొకక వ ైశరలయం కనుగొను ప్ద్ంతి ఈ కిరంద్ ఇవాబడినద్ి .

DCD ద్ిరచాతురసంా వ ైశరలయం కనుగొనడగనికి D మర్ియు D లకు సమాంతరంగర, ద్ీరచాతురసంా చ.సెం.మీ గర విభ్జించబడినట్ ల రే్ఖా ఖండగలు గీయాల్గ . ఒక అడుడ వరుసలోని చతురసరాలు =5 మర్ియు అడుడ వరుసల సంఖయ =3 . ద్ిరచాతురస ావ ైశరలయం =పొ్ డవు వ ైప్ు గల యూనిట్ ల x వ డలుా వ ైప్ున గల యూనిట్ ల కుల ప్ు ంగర మనం ఇలా వరాసరు ము . ద్ీరచాతురస ావ ైశరలయం ) = xb) చద్రప్ు యూనిట్ ల L - పొ్ డవు యొకక యూనిట్ ల మర్ియు D – వ ుెడలుా యొకక యూనిట్ ల అయిన ప్ట్ం

7.14 లో L=5, D=3 DCD ద్ీరచాతురసంా వ ైశరలయం )= xb) చ. సెం.మీ

)=5x3) చ. సెం.మీ =15 చ .సెం.మీ అద్ే విధంగర ,చతురస ావ ైశరలయం =(భ్ు xభ్ు) యూనిట్ ల మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవ ండష : ఈ కిరంద్ చూపిన ప్ట్ాలలో, ఒకొకకక చుిని చతురసంా వ ైశరలయం

1 చద్రప్ు సెం. మీ అయిన ఒకొకకక ప్ట్ం యొకక వ ైశరలయమెంత? ఇతర జాయమిత్మయ ప్ట్ాల ైన తిాభ్ుజము ,చతురున్నజాలు , భాహ, భ్ుజాల యొకక వ ైశరలాయలు కూడగ ద్ీరచాతురస ావ ైశరలయ నియమానుసరరంగరనే కనుకుకంట్ాము. అకరమాకరర ప్ట్ాల వ ైశరలయం :అకరమాకరర ప్ట్ాల వ ైశ్ ురలాయలు కనుగొనట్ానికి సెం .మీ గరర

లు లుద్గ గళ్ు కరగితం ద్గార్ర కూడగ కనుగొనవచుచ. ఇవి ర్ ండూ ఒకే సూత ా ఆధగరంగర ప్నిచేసరు యి. ఒక అకరమాకరర వసుు వును, అనగర ఒక ఆకును గరర పెై నుంచి అంచు వ ంబడి

ఆకు ఆకృతిని గరర పెై గీయుము. (ప్ట్ం 7.15 లో చూపినట్ ల గర ( ఆకు వ ైశరలయం కనుగొనడగనికి ,ఆకు అకుర తి లోప్ల ఏరాడడ చతురసు వింను ల కికంచుము .అంద్ులో అడడ చద్ర్రలు, అంతకంట్ే ఎకుకవ ఉనివి మాతమేా ల కికసరు ము.అరం చతురసంా కంట్ే తకుకవ ఉనిద్గనిని ల కికంచము. మొతుం


23

చతురసరాల సంఖయ మనకు సుబారుగర ఆకు యొకక వ ైశరలాయనిి చం.సెం.మీ తెలుప్ుతుుుంద్ి .ఇద్ి అంత ఖచిచతమైెన విధగనం కరద్ు. అకరమాకరర సంవృత వసుు వుల వ ైశరలాయలు కొలవడంలో సర్ మిన విధగనగలోల ఒకట్ర ఏంట్ంట్ే, ప్రాంతగనిి విభ్జించిన అనేకమైెన అడుడ గీతలు మర్ియు నిలుఫు గీతల నుండి ఏరాడిన చతర్రల వ ైశరలాయల మొతగు నిి కనుగొనడం .

ప దయ మరష్యు చ్ఛనఅ వ ైశాలయప్ యూనిడలు : ప్రమాణవలు / ప్ట్ం 7.16 లో DCD ఒక మీట్రు చతురసంా D మర్ియు D లకు సమాంతరంగర ర్ేఖా ఖండగలను గీయడం ద్గార్ర ద్ీనిని సెం.మీ చతురసరాలుగర విభ్జించగము. కరబట్రట ఒకొకకక భ్ుజం మీద్ుగర 1ర్ర్ చిని చతురసరాలు ఉనగియి. కరబట్రట

DCD లోని మొతుం చిని చతుర సరాల సంఖయ =1ర్ర్x1ర్ర్=1ర్,ర్ర్ర్ . ఒకక చిని చతురసంా వ ైశరలయం =1 చ .సెం.మీ ద్ీనుించి 1 చ.మీట్రు =1ర్,ర్ర్ర్ చ .సెం.మీ అద్ే విధంగర ,1 చ .సెం.మీ )=1ర్x1ర్) చ.మి. మీ= 1ర్ర్ చ .మి.మీ అని నిరూపించవచుచ.

ప్ట్ం 7.16 పొ్ లం కొలత :- సరధగరణగర పొ్ లం కొలవడగనికి మనం ఉప్యోగించ ుే ప్రామాణిక యూనిప

‘ఎకర్ర ’మెట్రకా్ ప్ది్తిలో భ్ూమిని కొలవడగనికి ఉప్యోగించు ‘హడకరట రు .’1 హడకరట రు = 1ర్,ర్ర్ర్ చద్రప్ు మీ మర్ియు

1 ఎకర్ర = 1ర్ర్ చ .మీ ద్ీనుించి మనం ఇద్ి గరహించవచుచ . 1 హడకరట రు = 1ర్ర్ ఎకర్రలు మర్ియు 1ర్ర్ హడకరట రుల =చ.కి.మీ 1 హడకరట రు = 2.471 ఎకర్రలు .

7.3.3 ఘన ప్ర్ిమాణం కొలవడం :- ఇప్ాట్ర వరకూ మనం 1-D ) పొ్ డవును కొలవడం ,(

మర్ియు 2-D ) పొ్ డవు మర్ియు వ ైశరలయం (వసుు వుల కొలతల గూర్ిచ చర్ిచంచుకునగిం. ఇప్ుాడు 3-D వసుు వు యొకక వేర్ేారు అంశరల కొలతల గూర్ిచ తెలుసుకుంద్గము. మన

చుట్టట ఉని చగలా వసుు వులు 3-D వసుు వులు అనగర ప్ ుొడవు ,వ డలుా మర్ియు ఎతుు లుద్గ మంద్ము కల్గగివుని తిాప్ర్ిమాణవసుువులు ట్ేబుల్, కుర్ీచ, బ ంచి, ప్ుసుకం, బాల్,


24

బాయప, పెనిుల్ మొద్ల ైనవనీి 3-Dవసుు వులు మర్ియు ఇవనీి అంతర్రళ్ంలో కొంత భాగరనిి ఆకరమిసరు యి .

ఒక వసుు వు ఎంత సులం ఆకరమిసుు ంద్ో అంతర్రళ్ంలో) ద్గనినే ఆ వసుు వు యొకక ఘనప్ర్ిమాణం అంట్ారు . ఒక వసుు వు అంతర్రళ్ంలో ఆకరమించిన ప్దా్ేశరనిి ఎలా కనుకుకంట్ాము ? ఈ ప్శా్ికు సమాధగనం ఇచేచముంద్ు ,పిలలలు వసుు వులను కళ్ుతో చూసి ప్ో లచడం ద్గార్ర వరట్ర ఘనప్రి్మానగలను అంచనగ వేయగరలర్ర ? ఘనప్రి్మాణ భావనను గరహించగలర్ర?

“రూలర్ కంట్ే పెను ుిలు ఎకుకవ ప్దా్ేశ్ము ఆకరమిసుు ంద్గ ?

“ఫుప బాల్ కంట్ే కిరక ప బాల్ ఎకుకవ ప్దా్ేశ్ం ఆకరమిసుు ంద్గ? “డసటర్ కంట్ే చగక్ పదస్ ఎకుకవ ప్దా్ేశ్ం ఆకరమిసుు ంద్గ ?

“నిమాకరయ కంట్ే మామిడికరయ ఎకుకవ ప్దా్ేశ్ం ఆకరమిసుు ంద్గ ? పిలలలు వసుు వును పో్ లచగలరని నిద్గి రణ వేసుకుని తర్రాత కిరంద్ ప్ట్ం 7.17లో

చూపినట్ ల గర కొనిి కొయయతో చేసిన ఘనగలు, ద్ీరా ఘనగలు చూపి వరర్ిని ఈ కొయయ ద్ిమాన యొకక ఘనప్ర్ిమాణగలు పో్ లచమని చెప్ాండి .

ప్ట్ం 7.17 ఇకకడ పిలలలు కొయయ ద్ిమాల ఘనప్ర్ిమాణగలు అంచనగ వేయడంలో చగలా కష్టప్డతగరు .ద్ీనికి పిలల ల్గ ఒక వసుు వు యొకక ఘనప్ర్ిమాణం కనుగొను ప్ది్తులు తెలుసుకొని ఉండగల్గ. పొ్ డవు మర్ియు వ ైశరలయముల విష్యంలో లాగర, ఘనప్ర్ిమాణం కనుగొను ప్రామాణిక యూనిట్ ల ప్ర్ిచయం చేయవలసిన అవసరం ఉంద్ి. ఘనప్ర్ిమాణం

కొలవడగనికి 1 సెం.మీ x1 సెం .మీ x 1 సెం .మ ుద కల్గగిన చిని ప్మాాణం గల ఘనమును ప్రామాణిక యునిట్ ల గర భావిసరు ము .

ప్ట్ం 7 .1 8


25

ప్ట్ం 6.18)a ( లో చూపిన ఘనము ,ప్తాి అంచు 1 సెం.మీ పొ్ డవు కల్గగి ఉంద్ి. ద్ీనిని సెం.మీ ఘనము అంట్ారు. ద్ీని ఘనప్ర్ిమాణము ఒక ఘనప్ు సెం.మీ అవుతుంద్ి. ద్ీనిని ఘ. సెం.మీ అని సూచిసు తగరు . పెది్ వసుు వులు కొలవడగనికి ,ఘనప్ర్ిమాణప్ు పెద్ం యూనిట్ ల అనగర ఘ. మీ లాంట్రవి అవసరమౌతుంద్ి .

ప్ట్ం 7.1 8 )b ( లో చూపిన ద్ీరా ఘణము యొకక ఘనప్ర్ిమాణము న ట్ ల కొలుసరు మో చూద్గి ం పెైన చూపిన ద్ీర ాఘనము యొకక ప్ర్ిమాణము 3 సెం.మీ x 4 సెం .మీ x 5 సెం .మీ. పెై ప్ట్ంలో 5 ద్ిమ ు మెలునగియి .ఒకొకకక ద్ిమేాలో 3 అడుడ వరుసలునగియి. ఒకొకకక వరుసలో 4 సెం.మీ ఘనగలు ఉనగియి. ఒకొకకక ద్ిమెా

)4x3=) 12c ఘనగలు కల్గగి ఉంద్ి. మొతగు నికి ఆ ద్ీరఘానంలో 6 సెం.మీ ఘనగలునగియి. అంద్ువలల )3c x4c x5c ( ద్ీరఘానం యొకక ఘన ప్ర్ిమాణం 6ర్

ఘన సెం.మీ . ఈ ఉద్గహరణనుండి మనం ఇద్ి ర్రబట్టవచుచ . ద్ీర ాఘనం యొకక ఘనప్ర్ిమాణం )=పొ్ డవు x వ డలుా x ఎతుు ) ఘనప్ు యూనిట్ ల )= xbxl ( ఘనయూనిట్ ల ఇకకడ = పొ్ డవు ,b=వ డలుా మర్ియు l = ద్ీర ాఘనం యొకక ఎతుు . ఘనంలో =b=l అని మనకు తెలుసు. అంద్ువలన సమఘనం ఘనప్ర్ిమాణం = 3 =a3 ఘనప్ు యూనిట్ ల . మన ద్గార కొనిి ఘనగకరర వసుు వులు ద్ీర ాఘనం కరనీ లుక కరమ 3-D వసుు వులు

గరనీ ఉనిప్ుాడు ద్ీర ాఘనం ఘనప్ర్ిమాణ సూతగానిి కొద్ిిగర మారుా చేయడం ద్గార్ర వీట్ర ఘనప్ర్ిమాణగలు కనుగొనవచుచ .

ఒక ఘన వసుు వు ఘనప్ర్ిమాణమెైన కనుగొనడగనికి ఒక సరమానయ ప్ద్ంతి ఉనిది్. ఒక వసుు వు ఆకరమించిన ప్దా్ేశరనిి ఘనప్ర్ిమాణం అంట్ాం అని భావన నుండి ఇద్ి కనుగొనబడింద్ి .ఒక వసుు వుని ప్ూరి్ుగర ఒక ద్వాంలో ముంచినప్ుాడు ,ఆ వసుు వు తన ఘనప్ర్ిమాణమునకు సమానమెైన నీట్రని దొ్ర్ిలసుు ంద్ి.

కృతయము -5


26

ఒక గరల సు కూజా గరనీ లుద్గ ప్లచని బక కప గరనీ త్మసుకొని ద్గనినుి నీట్రతో నింప్ండి .నీట్ర సరథ యిని ద్గనిపెై గుర్ిుంచండి. ఆపెై ఒక ర్రయిని ద్గర్రనికి కట్రట ద్గరంతో ర్రయిని

నీట్రలో మునిగేట్ట్ ల గర చేయండి. ఇప్ుాడు మలు నీట్ర సరథ యిని గుర్ిుంచండి )11అని పేరు పెట్టండి) . మర్ొక పెది్ ర్రతి ముకకను త్మసుకొని నీట్రతో ద్ించండి. మలు నీట్ర సరథ యినుి 12 గర గుర్ిుంచండి .ఇప్ుాడు ర్ ండు నీట్ర సరథ యిల మధయ )11212) తేడగను కనుగొనగలర్ర ( ఈ ధర్రానిి ఉప్యోగించి ఘన వసుు వుల యొకక ఘన ప్ర్ిమాణగలను సూథ ప్రకరర

గరజు కూజాలను ఉప్యోగించి కొల్గచి ఘ. సెం.మీ తెలుప్ుతగరు. )cc) ఈ ప్ది్తిలో, గరల సు కూజాలో కొంత వరకు నీట్రతో గరనీ, లుద్గ వేర్ొక ద్వాంతో గరనీ నింపి ,ప్రారంభ్ంలో నీట్ర సరథ యిని గుర్ిుసరు రు. ఆ తర్రాత ఏ వసుు వు ఘనప్ర్ిమాణం కనుకొనగలో ద్గనిని ితిలో నింపి ,అప్ుాడు నీట్ర సరథ యిని గుర్ిుసరు రు. ఈ ర్ ండు సరథ యిలోల తేడగనే ఆ వసుు వు ఘనప్ర్ిమాణం అంట్ాం .

మర్ొక విధగనం ఏంట్ంట్ే ప్రతనాి ప్ూర్ిుగర నుదట్రతో గరనీ ,లుద్గ ఇతర ద్వా ప్ద్గర్రం లతో గరనీ నింప్రల్గ. ఏ ఒకక చుకక వేసిలా బయట్కు ద్ోర్ేలలా నింప్రల్గ. ఇప్ుాడు ఘన వసుు వును

ఆ నీట్రలో ముంచగల్గ. అప్ుాడు బయట్కు ద్ొ రి్లన ప్తాి నీట్ర బొ ట్ ట ను జాగరతుగర త్మసుకోవరల్గ. ఇప్ుాడు ఈ నీట్ర ఘనప్ర్ిమాణమే ఆ వసుు వు ఘనప్ర్ిమాణం అవుతుంద్ి . సరమరం ం మర్ియు ఘనప్ర్ిమాణం :- ఇంత వరకు మనం ఘన వసుు వుల ఘనప్ర్ిమాణగనిి ద్వా ప్ద్గర్రం లలో ముంచడం ద్గార్ర ఎయిధ కనుగొనవచోచ వేర్ేారు

ప్ది్తులు తెలుసుకునగిం. కరనీ ఈ ప్ద్ంతి ద్వా ప్ద్గర్రి ల ఘనప్ర్ిమాణగనిి కొలవడగనికి ఉప్యోగించలుము. అంతే గరక, ద్వా ప్ద్గర్రం లకు ఒక ప్తాేయక ఆకరరుం ఉండద్ు .ఏ ప్రతాలో ద్గనిని నింప్ుతగమో ఆ ఆకరర్రనిి ప్ొ ంద్ుతగయి. ఒక ప్రత ఎంత నీట్రని, లుక ఇసుకను, లుద్గ

ఉప్ుాను నింప్ గలద్ో (ఘనప్ర్ిమాణము (ద్గనిని ఆ ప్రత ాయొకక సరమరం ం 2ర్ బాట్రళ్ళు నీరు అని అంట్ాం. ఒక వ ళ్ ఒకొకకక బాట్రల్ సరమరం ం 1 ిట్రు అయితే బక కప సరమరం ం

2ర్ ిట్ రుల అవుతుంద్ి .ప్రాారంభ్ సరథ యిలో అభ్యసిసుు నిప్ుాడు పిలలలకు నిర్ిిష్టం కరని కొలతలు ఉప్యోగించి వేర్ేారు ప్రతలా సరమర్రం లు కొలవడగనికి అనేక అవకరశరలు ఇవరాల్గ.

ప్రఠశరలలో గరనీ లుద్గ బయట్ గరనీ చేయడగనికి పిలలలకు ఈ కిరంద్ కొనిి కుర తగయల్గవాబడగడ యి .


27

కప్ుాలు ఉప్యోగించి త్మ ప్రతలు నింప్డం ,లుద్గ ఏ ఇతర ప్రతలాన ైనగ నీట్రతో నింప్డం. (చిని కొలతల ద్గార్ర (

బక కప స యంతో నీట్ర కేనుల నింప్డం చిని కప్ుా స యంతో చక కరను డబాాలో నింప్డం ఇసుకను కొలవడం )ట్రన కరన స యంతో ( బియయం ,ఒడుల , గోధుమలు లుద్గ ఇతర ద్ినుసులు చిని ట్రన గరని లుద్గ ప్రల సిటక్ కేన స యంతో కొలవడం . నిర్ిిష్టం కరని యూనిట్ ల లుద్గ కొలతల ైన సూాను, కప్ుా, జగుా , ట్రన కేన, ప్రల సిటక్

జవ మొద్ల ైనవి ఉప్యోగించినప్ుాడు పిలలలకు తప్ానిసర్ిగర ఒక వసుు వును కొల్గచేట్ప్ుాడు ఒకే కొలతను ఉప్యోగించగలని తెల్గయజేయాల్గ. కొంత బియాయనిి వేరు వేరు ప్ర్ిమాణగలు గల కప్ుాలుతో ఆ బియాయనిి కొలవవచుచ .అప్ుాడు కొలతలోల గల తేడగలను గుర్ిుంచవచుచ .

విద్గయరుం లు నిర్ిిష్టంకరని కొలతలు ఉప్యోగించి ఘనప్ర్ిమాణం కొనవడం బాగర చేయ గల్గగినప్ుాడు మాతమేా ప్రామాణిక కొలతలను ప్వాేశ్ పెట్ాట ల్గ. అప్ుాడే ప్మాాణ యూనిట్ంలల న ఘన సెం.మీ మర్ియు ిట్రు అరంవంతంగర ప్వాేశ్ పెట్టవచుచ. ఆచగకర కొట్ ట లోని

నూన కొలుచు ప్రతలాు ఉప్యోగించి వరర్ికి ఈ భావనపెై అవగరహన ఏరారచవచుచ. ద్వా ప్ద్గర్రం లు కొలవడగనికి ఉప్యోగించు ప్మాాణ యూనిట్ ల ిట్రు ఒక ిట్రు 1ర్ర్ర్ ఘన సెం.మీ సమానం .

16. ఒక ఘన వసుు వు ద్ొర్ిలంచిన నీట్ర ఘనప్ర్ిమాణం కొలవడం ద్గార్ర ఆ వసుు వు ఘనప్ర్ిమాణం కొలవడగనికి ఉప్యోగించు ప్రామాణిక యూనిప ఏద్ి ? 17 ఒక నీట్ర ర్ిజర్రాయిర్ పొ్ డవు 3 మీ , వ డలుా 2 మీ మర్ియు ఎతుు 1 మీ అయిన ఆ

ర్ిజర్రాయిర్ లోని నీరు ఎంత ) ? ఎనిి ిట్రుల (? .3.4 .7తలొక వులకడం -: తులామానం / పిలలలు చగలా చిని వయసుు నుండే అనేక కృతగయలలో వేర్ేారు వసుు వుల యొకక బరువులను అనుభ్వించడం ద్గార్ర వసుు వు బరువు కొలుచు ప్కాిరయ గుర్ించి తెలుసుకుని ఉంట్ారు .పిలలలు బియయం , కూరగరయలు, ప్ప్ుాద్ినుసులు, మర్ియు ఇతర ఆ రప్ద్గర్రథ లను సరమానయ తగాసు మర్ియు ప్రామాణిక బరువులు ఉప్యోగించి తూచి


28

ఉంట్ారు .కరనీ ప్రారంభ్ ద్శ్లో, బరువును కొల్గచే ప్కాిరయను నిర్ిిష్టం కరని బరువుల ైన చిని ర్రళ్ళు, ఇట్ కర్రయి ముకకలు, కొయియ ,ఇనుము లుద్గ వేర్ే ప్ద్గర్రం లతో అలవరట్

చేయాల్గ. ఈ ద్శ్లో ఈ కిరంద్ి కృతగయలు చేయడంలో పిలలలను పో్ా తుహించగల్గ . ఒక కొయయ ర్ ండు ప్గళులతో ర్ ండు చివరలు వేలాాడునట్ ల ఒక నమూనగ తగాసును తయారు చేయడం :- కొయయకు సర్ిగరా మధయ భాగంలో ఒక ద్గర్రనిి కట్ాట ల్గ. ర్ ండు ప్గరులతో సమాన వరువులు వేసినప్ుాడు భ్ూమికి సమాంతరంగర ఉంట్ ంద్ి. కొయయను ద్గరంతో లుపినప్ుాడు (మధయలో కట్రటన ద్గరం.(

నిరష్య రి ంవాని యూనిడు లే తూచడం -: నిర్ిిష్టంకరని ప్మాాణగలను ఉప్యోగించి బరువును తూచడం పిలలలకు ఇసుక ,ఆకులు, గింజలు మొద్ల ైన వసుు వులు ద్గార్ర

పో్ా తుహించగల్గ. ఈ కృతగయలు ద్గార్ర , తగాసును ఉప్యోగించు న ైప్ుణగయలను ర్ ండు రకరలుగర పొ్ ంద్ుతగరు. మొద్ట్ర తగాసును సర్ిగరా ప్ట్ ట కోవడం, బరువులనుు మర్ియు వసుు వులను తగిన ప్గరులలో వేయడం ,కొయయను సమాంతరంగర ఉంచడం, ప్ల ల ంలోని వసుు వులను సర్ిచేయడం ద్గార్ర లాంట్ర న ైప్ుణగయలను ప్ొ ంద్ుతగరు. ర్ ండవద్ి,

తగాసునుప్యోగించి విద్గయరుి లు వసుు వులను ర్ ండు లుద్గ నగలుగు లుద్గ ఎనిమిద్ి సమాన భాగరలుగర విభ్జించగలరు . విద్గయరుం లు నమునగతగాసులు సర్ిగర ఉప్యోగించడంలోనూ ,నిరంష్టంకరని బరువులు ఉప్యోగించడంలోనూ న ైప్ుణయం సంప్రది్ంచినప్ుాడు, ప్రామాణిక తగాసు మర్ియు తూకప్ు

ర్రళ్ళు అవసర్రనామ గుర్ిుసరు రు. వరళ్ళు పెది్యిధయ కొద్ీి , చగలా పెది్ మర్ియు చగలా చిని బరువులను తూచడగనికి ఉప్యోగించు వేర్ేారు రకురల బరువులను తూచే సిుమంవ బాల నుు ,బరువులను తూచే విధుయు యంతాము మొద్లగు వరనిని గూర్ిచ తెల్గయప్రచగల్గ. బాగర తెల్గసిన వసుు వులను తూచడగనికి సరధగరణముగర ఉప్యోగించే ప్మాాణగలు గరర ము మరి్యు కిలో గరర ము కూరగరయలు, ప్ప్ుాలు, మొద్ల ైనవి కిలో గరర ములు, అరం కిలో గరర ములు (5ర్ర్గరర ) మరి్యు ప్రవు కిలోగరర ము(25ర్గరర (లలో తూచడం పిలలలకు బాగర తెలుసు .


29

.4 .7మెడరరక్ ప్దయ తిలో వులమానము-: లేద్వవ్ వులమా యొకక మెడరరక్ కయకస్ల వ్

ప్రామాణిక కొలతలకు సంభ్ంద్ించి వేర్ేారు ద్ేశరలలో ర్ ండు ప్ధాగన వయవసథలునగియి .అవి మెట్రకా్ వయవసథ మర్ియు బిాట్లష్ు వయవసథ ప్తా్మ వయవసథ లోనూ ర్ ండు రకరల కోల ప్మాాణగలునగియి .అవి ప్ధాగన ప్మాాణగలు, ఉతాని ప్మాాణగలు. ప్ొ డవు, ద్వాయర్రశి

మరి్యు కరలము (ఉషోో్ గరత , విద్ుయు కర్ ంప, ప్కారశ్ప్ు త్మవతా మర్ియు ప్ద్గరం ప్ర్ిమాణములతో ప్రట్ ) ల యొకక ప్మాాణగలను బవష్ యూనిట్ ల అంట్ారు. ఎంద్ుకుంట్ే కొలతల యొకక ప్మాాణగలకు ఘనప్ర్ిమాణము ,సరమరం ము మకుర వేగము మొద్ల ైన

బవష్ యూనిట్లలో వయకుప్రుసరు ము. ఉద్గహరణకు వ ైశరలయం యొకక ప్ామాణము చ. సెం.మీ, ఘనప్ర్ిమాణము ప్మాాణము ఘ. సెం.మీ, వేగము యొకక ప్మాాణము (గం.కు/ కి.మీ) గంట్కు కిలోమీట్రుల . ఈ బవసిక్ కోలా ప్మాాణగలనుు ఉప్యోగించడం వలల ,మెట్రకా్

వయవసథను c-g-s )) సెం .మీ, గరర , – సెకండ్) వయవసథ అని లుద్గ కొనిిసరరుల -k-s) ( మీ - కిలో గరర , –సెకండ్) వయవసథ అని అంట్ారు. అద్ే విధంగర, బిాట్రష్ వయవసథను f-p-s ) ఫుప –

పొ్ ం – సెకండ్) వయవసథ అంట్ారు . మెట్రకా్ వయవసథఅంతరమురత్మయంగర ఆమోద్ించబడిన వయవసథ .ద్ీనిని ఇంట్ర్ేిష్నల్

సిసటం ఆ యూనిపు లుద్గ ISయూనిపు అని అంట్ారు. )IS అనిద్ి పెాంద భాష్లో ఇంట్ర్ేిష్నల్ సిసటం ఆ యూనిపు ని సూచిసుు ంద్ి .అనగర s’ste i ten atio a d’ s its( అంతర్రమ త్మయంగర నిరాచించబడి ,ఆమోద్ించబడిన ర్ ండు తరగతు లకు చెంద్ిన ప్మాాణగలను IS కల్గగి ఉంద్ి. ఈ ర్ ండు తరగతులోల మొద్ట్రద్ి పొ్ డవు, ద్వాయము, కరలము,

ఉషోో్ గరత విద్ుయు కర్ ంప, ప్కారశ్ప్ు త్మవతా, ప్ద్గరం ప్రి్మాణము మొద్లగు వరట్రని కొలవడగనికి ఏడు IS బవస్ యూనిట్ ల . ర్ ండవ తరగతికి చెంద్ినవి IS ఉతానిమైెన

ప్మాాణగలు. ఇవి ఏడు బవస్ యుూనిట్లలో నిర్ిాంచ బడగడ యి .మిగిల్గన అనిి ప్రా్ిమాణగలు )ఉద్గ, ప్ని, శ్కిు, బలము) ఏడు IS ఉతానిమైెన

యూనిట్లలో వయకుప్రచ బడగడ యి . ఈ అధగయయంలో మనం పొ్ డవు, సరమరం ం మర్ియు బారువుల )IS యునిట్లయిన (గూర్ిచ మాతమేా చర్ిచంచుకుంట్ాము. వ ైశరలయము మర్ియు


30

ఘనప్ర్ిమాణగల ప్మాాణగలు పొ్ డవు యొకక ప్మాాణగలతో ద్గార సంబంధం కల్గగి ఉంద్ని మనం ఈ అధగయయంలో ముంద్ే చెప్ుాకునగిం .కొనిి సంద్ర్రన్నలలో ఈ కొలతలని

సరంప్దా్గయ వయవసథతో మర్ియు బిాట్లష్ వయవసథతో పో్ లచడగనికి ప్యాతిించగం. ఎంద్ుకంట్ే కొనిి కొలతలు మన ద్ేశ్ంలో సరమానయ ప్జాలు వరడుతునగిరు .

మెడరరక్ కయకస్ల యొకక చరష్తర మెట్రకా్ వయవసథ 16 వ మర్ియు 17 f శరతగభ్ాి లలో ఫ్రాను లో అలవృది్ం చేశరరు .ఫ్రాను

ద్ేశరనికి చెంద్ినగ లయను లోని సెయింప ప్రల్ చర్ిచకి చెంద్ిన గరబిాయల్ మౌన ట్న అను మత గురువు ద్ీనిని కనిపెట్రటన పితగమహ,డు. ఈయన కొలమానురనికి మెట్రకా్ వయవసథను

167ర్ లో ప్తాిప్రది్ంచగడు . 179ర్లో పెాంద విప్లవం త్మవాంగర ఉంట్ ని సమయంలో ‘నేష్నల్ అసెంషల

ఆ ఫ్రాను“ ’అనిి కొలతలకు మర్ియు అనిి బరువులకు ఒక సిథరమైెన (మారుా లుని) ప్మాాణగనిిర్రబట్టమని ’’పెాంద అకరడమీ ఆ సెైన ుస్ ’ను కోర్ింద్ి . ఆ అకరడమీ చే

నియమింప్బడిన కమీష్న ఒక సరళ్మైెన మరి్యు శరసదు వియమైెన ఒక వయవసథను సృషిటంచింద్ి . పొ్ డవు యొకక ప్ామాణం భ్ూప్ర్ిధిలో భాగంయిధయట్ట్ ల గర సరమరం ం )ఘనప్ర్ిమాణం) మర్ియు ద్వాయర్రశి కొలతలు పొ్ డవు యొకక ప్మాాణగల నుండి ఉతానిమయిధయట్ట్ ల గర, అంద్ువలల వయవసథ యొకక ప్ధాురన ప్మాాణగలను ఒకద్గనితో మర్ొకట్ర మర్ియు ప్ాకృతితో సంబధం ఏరారచడం. ప్ధాగన యూనిట్లను 1ర్ మర్ియు ద్గని ఘాతగలతో భాగించడం లుద్గ

గుణించడం ద్గార్ర ఒకొకకక యూనిప యొకక పెది్ లుద్గ చిని గుణిజాలను ప్ొ ంద్వచుచ . ఆ కమీష్న ప్ొ డవు యొకక ప్మాాణగనికి “మీట్రు e ”అని పేరు పెట్టంద్ి .ఈ పేరు గీరకు ప్ద్మైెన మెట్రకా్ అను ప్ద్ం నుంచి వచిచండ్ .ద్ీని అరంం “ఒక కొలత ”

మీట్రును తెల్గయజేసే భౌతికి ప్మాాణం ఒక ట్ంన మిల్గయనల ద్ూరము ఉండేట్ట్ ల గర ఉతుర ధృవం నుండి భ్ూమధయ ర్ేఖకు ర్ేఖాంశ్ం మీద్ుగర ఇంగీలష్ సముద్ంాపెై ఫ్రాను లోని ద్న కిల్క కు మర్ియు సెాయిన లోని బార్ేులో ద్ర్ి నగకు ద్గారగర నిర్ిాంచవలసి ఉంద్ి .ఫ్రాను లోని ద్న కిల్క కుమర్ియు సెాయిన లోని బార్ేులో నగకి మధయ ఇంగీలష్ ద్ిలాంబర్ మర్ియు


31

అండర్ మెక మిన అను ఇది్ర్ి నిర్ేిశరనుసరరం ఒక సర్ేా బృంద్ం 6 సంవతుర్రలు ప్ని చేసింద్ి. ఈ కొలతలు చేసేట్ప్ుాడు సర్ేాయర్ చగలా బాధకు గురయయురరు .కొనిిసరరుల జ ైలుకు కూడగ వ గరురు. ఎంద్ుకంట్ే ఈ ప్రాంతప్ు ప్జాలు మర్ియు అధికరరులు

వరలుల ండట్ం ఇష్టప్డలుద్ు అంతేకరద్ు, వరర్ి వలన ఏ విధమైెన మేలు జరగలుద్ని

భావించగరు. ఆ తర్రాత ద్ిలాంబర్ మర్ియు మెచెైన లు సర్ిగర ప్నిచేయలుద్ని తెల్గసింద్ి.

ఏమైెనప్ాట్రకెం, మెట్రకా్ వయవసథకి ‘మీట్ర్’ ఒక నిశ్చలమెైన ప్మాాణమయియంద్ి.

‘మీట్ర్’ కొలత యొకక ఖచిచతతగానిి మెరుగుప్రచడగనికి మీట్రు నిరాచనంలో

అధికరర్ికంగర ఎనిి మారుాలు వచిచనప్ాట్రకెం, ద్గని ప్ొ డవులో మాతంా ఏ మారూా ర్రలుద్ు

ఇంతలో మీట్రును ఆధగరంగర చేసుకుని ఇతర ప్మాాణగలు చేయవలసినద్ిగర శరసు విజాులకు

నిర్ేిశించడమైెనద్ి.

ద్వాయర్రశి యొకక మెట్రకా్ ప్ామాణం “గరర ం” . గరర ం ని “గరి్ష్ట సరంద్తా యొకక ఉషోో్ గరత వది్ ఒక

ఘన సెం. మీ (ప్తాి భ్ుజము ర్.ర్1 మీ. గల ఘనము) వీట్ర యొకక ద్వాయ ర్రశి” అని

నిరాచించగరు.

సరమరం ం కొలవడగనికి ప్ామాణమెైన ిట్ర్ ని ఒక ఘన డెసదుమీట్ర్ (ప్తాి భ్ుజం ర్.1 మీ

గరగ ఘనం) యొకక ఘనప్ర్ిమాణంగర నిరాచించగరు.

ప్మాాణగలు నిర్ేిశించిన తర్రాత (ఫ్రాను లో మెట్రాక్ వయవసథ అనేక ఒడిద్ుడులకు గుర్ మియియంద్ి.

న పో్ ల్గయన ఒకసరరి్ ద్ీని వినియోగరనిి నిషేధించగడు. అయినప్ాట్రకెం, మెట్రకా్ వయవసథ 7th

ఏపిాల్ 1795లో ఫెాంద ప్ాభ్ుతాంచే అధికరర్ికంగర ఆమోద్ించబడింద్ి. మెట్రకా్ వయవసథ

ప్ునగద్ులను ప్రామాణీకర్ించుట్కు మర్ియు నమూనగ ప్మాాణగలకు రూప్కలాన

చేయిడగనికి 1798 సంతుర్రల నుండి 1799 వరకు న ద్ర్ లాయండ్ు, సిాట్మర్ లాండ్, డెన

మార్క, సెాయిన, ఇట్ి ద్ేశరల ప్తాినిధిలతో ఒక శరసదు వియ సద్సుు నిరాహించగరు.

ప్రల ట్రన, ఉప్యోగించి ‘మీట్రు’ మర్ియు ‘కిలోగరర ం’ కు శరశ్ాత ప్మాాణగలు తయారు

చేశరరు. 10th డిసెంబర్ 1799 చట్టం ద్గార్ర ఫ్రానోలో ఈ ప్ాణగనగలు అధికరర్ికమయాయయి.


32

ప్రారంబంలో మెట్రకా్ వయవసథను ఉతగుహంగర ఆమోద్ించకపో్యినప్ుాట్రకెం, 184ర్

సంతురంలో ఫ్రాను లో ద్ీని ఉప్యోగం తప్ానిసర్ి చేసిన తర్రాత న మాద్ిగర ఇతర ద్ేశరలు

కూడగ ద్ేనిని అనుసర్ించగయి. 195ర్ మర్ియు 196ర్ సంతుర్రముల మధయకరలంలో

ప్పా్ంచంలోని చగలా ద్ేశరలు ద్ీనిని అనుసర్ించగయి. అయితే ఈ నగట్రకెం మెట్రకా్ వయవసథను

ఆమోద్ించని దే్శరలు కొనిి మాతమేా ఉనగియి. అంద్ులో U.S.A. ఒకట్ర.

బరువులు మర్ియు కొలతలు ప్మాాణగల చట్టం ద్గార్ర మన భారతద్ేశ్ ప్రరలమెంప కొలతలు

మర్ియు బరువులలో మెట్రకా్ వయవసథను 1956 డిసెంబర్ లో ఆమోద్ించింద్ి. ఇద్ి 1958

సంతురం అకోట బర్ 1వ తేద్ీ నుంచి అమలులో వచిచంద్ి.

మెడరరక్ కయకస్ల లో ప్రమాణవలు : మెట్రకా్ వయవసథలో ఒక యూనిప యొకక చిని ప్ామాణగలను 1

10, 1

100 గర, పెది్ ప్మాాణగలను 1ర్ ర్ేట్ ల , 1ర్ర్ ర్ ట్ ల గర త్మసుకుంట్ాము. ఈ విధగనం

గమనను సౌలభ్యంచేసుు ంద్ి.

ఈ వయవసథ ఇలా ఉంట్ ంద్ి.

పెది్ యూనిట్ ల కిలో యూనిప = 1ర్ర్ర్ యూనిట్ ల

హడకరట యూనిప = 1ర్ర్ యూనిట్ ల

డెకర యూనిప = 1ర్ యూనిట్ ల యూనిప

చిని యూనిట్ ల

డెసిు యూనిప = 1

10 యూనిట్ ల

సెంట్ర యూనిప = 1


మిల్గల యూనిప = 1



33

ఇప్ుాడు మనం పొ్ డవు, సరమరం ం మర్ియు బరువుల కొలమానగలను నిరాచించగడంలో

మెట్రకా్ యూనిప ల నిర్రాణం ఎట్ ల ఉప్యోగిసరు ర్ో చూద్గి ం.

పొ డక వులకడవనివా ప్రమాణవలు: మెట్రకా్ వయవసథలలో పొ్ డవును కొలవడగనికి ప్మాాణం

‘మీట్రు’.

పెది్ ప్మాాణగలు కిలో మీట్రు = 1ర్ర్ర్ మీట్రుల

హడకరట మీట్రు = 1ర్ర్ మీట్రుల

డెకర మీట్రు = 1ర్ మీట్రుల యూనిప – మీట్ర్


డెసి మీట్రు = 1

10 మీట్రుల

సెం. మీట్రు = 1


మి లిమీట్రు = 1


వీట్రలో కి.మీ.మీ. మర్ియు సెం. మీ. లు తరుచుగర వేర్ేారు ద్ూర్రల పొ్ డవులను

కొలవడంలో ఉప్యోగిసరు రు మర్ియు సరధగరణం అంద్రకెం తెలసినవే.

మన ద్ేశ్ంలో 1958 నుంచి మెట్రకా్ వయవసథ అమలులో ఉనిప్ాట్రకెం, ఇంకర కూడగ అంగుళ్ం

(2.54 సెం. మీ), అడుగు (12 అంగుగరలు) మర్ియు గజము (=3 అడుగులు) ప్ామాణగలు

ఇప్ాట్రకెం భ్ూమి కోవడంలో మర్ియు బట్టలు కుట్టడగనికి ట్ంైలర్ బట్టలు కతిుర్ించడగనికి చగలా

సంద్ర్రన్నలోల ఉప్యోగిసుు నగిరు.


34

సామరాు ానిఅ వులకడవనివా ప్రమాణవలు : ద్వా ప్ద్గర్రం నికి ఆకరరంలుద్నిది్ అంద్రకెం

తెల్గసినద్ే. ఏ ప్రతలాో ఉంచుతగమో ప్ద్గర్రం ము ఆకరర్రనిి పొ్ ంద్ుతుంద్ి. కరబట్రట , ఒక

ద్వాప్ద్గరంం యొకక ప్ర్ిమాణగనిి కొలవడగనికి ప్మాాణంగర మనం ఘనప్ర్ిమాణ ప్మాాణం

లుద్గ బరువు యొకక ప్ామాణం ఉప్యోగిసరు ం.

ిట్రు సరమరం ం కొలవడగనికి ఉప్యోగించు ప్ామాణం. అలాగే ఘనప్ర్ిమాణం యొకక

ప్మాాణం కూడగ ిట్రు. సరమరం ం కొలవడగనికి ఉప్యోగించు ప్మాాణం. అలాగే

ఘనప్ర్ిమాణం యొకక ప్ామాణం కూడగ ిట్రు.

వేర్ేారు సరమర్రం లతో వేరే్ారు ప్రతలాు తయారు చేయబడగడ యి.

పెది్ యూనిట్ ల కిలో ిట్ర్ (kl) = 1ర్ర్ర్ ిట్రుల

హడకరట ిట్ర్ (hl) = 1ర్ర్ ిట్రుల

డెకర ిట్ర్ (del) = 1ర్ ిట్రుల యూనిప/ ప్మాాణం : ిట్రు (l)


డెసి ిట్రు (dl) = 1

10 ిట్రుల

సెం. ిట్రు (cl) = 1


మి లి ిట్రు (ml) = 1


ద్వా ప్ద్గర్రం ల ైన నీరు, ప్రలు మర్ియు నూన లు కొలవడగనికి ితరు ఎకుకవ తరుచుగర

ఉప్యోగించి ప్మాాణం.


35

దరకయ రాశి/తలొక వులకడవనివా ప్రమాణవలు:

ద్వాయర్రశిని కొలవడగనికి ప్ధాగన ప్మాాణం గరర ము. ఇతర పెది్ మరి్యు చిని ప్మాాణగలు ఈ

కిరంద్ ఇవాబడగడ యి.

పెది్ ప్మాాణగలు కిలో గరర ము (kg) = 1ర్ర్ర్ గరర ముల

హడకరట గరర ము (hm) = 1ర్ర్ గరర ముల

డెకర గరర ము (dag) = 1ర్ గరర ముల ప్మాాణము : గరర ము (g)

చిని ప్మాాణగలు

డెసి గరర ము (dg) = 1

10 గరర ముల

సెం. గరర ము (cg) = 1


మి లి గరర ము (mg) = 1


వీట్రలో కిలోగరర ం, గరర ం మరి్యు మి లి గరర ం లు సరధగరణంగర ఉప్యోగిసరు రు.

ద్వాయ ర్రశి యొకక ఈ ప్ామాణగలు కరకుండగ, చగలా ఎరుప్ు గల ప్ద్గర్రం లను తూచడగనిక ి

కిాంట్ాల్ మర్ియు మెట్రకా్ ట్నుిలు ఉప్యోగిసరు రు.

1 కిాంట్ాల్ = 1ర్ర్ కిలో గరర ం మరి్యు 1 ట్నుి = 1ర్ర్ర్ కి. గరర ం. లుద్గ

1 ట్నుి = 1ర్ కిాంట్ాళ్ళు.

మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవ ండష.

E8. బిాట్లష్ వయవసథ యొకక కొలమానం కంట్ర మెట్రాక్ వయవసథ యొకక ప్యాోజనగలను

పేర్ొకనుము.

E9. ఒక Kg బియయం Rs. 25/- అయిన, 5 కిాంట్ాళ్ళు బియయం ధర ఎంత? ఈ బియాయనిి

2ర్ Kg


36

ప్రక ప లలో కట్రటనట్లయిన ఎనిి ప్రక ప లు తయారు చేయవచుచ? వాలమానము:

కొలత అనిద్ి భ్ూమి తనచుట్టట తగను తిరగడగనికి మర్ియు సూరుయని చుట్టట తిర్ిగడగనిక ి

సంబంధించినద్ి. ర్ ండు వరుస సూర్ోయద్యాల మధయ కరలానిి సరధగరణంగర ఒక ర్ోజు

అంట్ారు. కరనీ శరసు వి వేతులు ఒక ర్ోజు ర్ ండు వరుస అరం – ర్రతుాల మధయ కరలంగర

గనిసరు రు. కరబట్రట ఒక ర్ోజు అరం – ర్రతిా ప్రారంభ్మైె మరుసట్ర తోజు అరం – ర్రతిా ముగుసుు ంద్ి.

ఈ వయవధిని సౌర ద్ినం అంట్ారు.

సూరుయడు తన చుట్టట తగను తిరగడగనికి ప్ట్ేటకరలం ఒక సౌర ది్నం

ఒక సంప్ూరో భ్ామణం డిగీర కొల వయవసథలో 36ర్ర్ డిగీరల కొలత కల్గగి యుంతుంద్ి.

కరలం కొలత మరి్యు డిగీర కొలతల మధయ ప్ొ ంద్ిక త్మసుకుర్రవడగనికి (ఇవి ర్ ండు

భ్మానము సంబంధించినవి కరవున) 36ర్ యొకక ఉప్ గుణిజాల ఆధగరంగర యూనిప

విభ్జన చేశరరు.

కరబట్రట ఒక సౌరద్ినం వయవధిని 24 సమాన భాగరలుగర చేశరరు. ఒకొకకక భాగరనిి 1 గంట్

అనగిరు. 1 గంట్ = 6ర్ నిమష్రలు మర్ియు 1 నిమిష్ం = 6ర్ సెకనుల .

అంద్ువలల ఒక సౌర ది్నం = 24 గంట్లు

1 గంట్ = 6ర్ నిమష్రలు

1 నిమిష్ం = 6ర్ సెకనుల సౌల స్ంతసలం :

భ్ూమి సూరుయని చుట్టట తిరగడగనికి ప్ట్ ట కరలానిి సౌర సంవతురం అంట్ారు.


37

సౌల స్ంకతసరానివా మరష్యు సౌల ద్ నవనివా మధ్య గల స్ంతంధ్ం:

1 సౌర సంవతురం = 365 ర్ోజులు, 5 గం. 48 ని. 47 సెకనుల .

సుమారుగర 1 సౌర సంవతురం = 365 1

4 ద్ినగలు.

2 కరయల ండర్ సంవతుర్రనిి 365 ర్ోజులుగర ప్ర్ిగణిసరు రు.

అంద్ువలల ప్తాి సంవతురం మనం ద్గద్గప్ు 6 గం. సమయానిి అనగర ర్ోజులో 1

4 వంతు

కోలోాతునగిము.

అంద్ువలల 4 సంతుర్రలలో మనం 1 ర్ోజును కోలోాతునగిం. ద్ీనిని సర్ిచేయడగనికి 4

సంతుర్రలకు ఒక సరరి్, ఒక సంతుర్రనిి 366 ర్ోజులుగర ప్ర్ిగణిసరు ము. ద్ీనినే ిప్ు

సంతురం అంట్ాం.

సంవతురం సంఖయ 4 చే నిషేష్ంగర భీగింప్బడితే, ద్గనిని ిప్ు సంతురం అంట్ాం. అనీి

సంతుర్రలలో ఫిబవార్ి న లకు 28 ర్ోజులు ఉంట్ే ిప్ు సంవతుర్రనికి ఫిబవార్ి న లలో 29

ర్ోజులు ఉంట్ాయి అంద్ువలల ఒక కరయలండరులో మనకు జనవర్ి, మార్ిచ, మే, జూల ై,

ఆగష్ుట , అకోట బరు మర్ియు డిసెంబర్ న లలు 31 ర్ోజులు ఉండగర, ఏపిాల్, జూన, సెపెటంబర్,

నవంబరు న లలకు 3ర్ ర్ోజులు ఉంట్ే, ఫిబవార్ి న లకు 28 ర్ోజులు (ిప్ు సంతురంలో 29

ర్ోజులు) ఉంట్ాయి. పిలలలు కరయలండర్ న లలోల ని ర్ోజులను వేర్ేారు విధగనగలోల గురుు పెట్ ట

కుంట్ారు. అయితే న లల పెై ప్రట్ను పొ్ ంద్ట్ం ద్గార్ర చగలా ఆసకిుకరంగర నేరుాకుంట్ారు.

న లల యొకక ప్రట్

సెపెటంబర్ కి 3ర్ ర్ోజులు

అట్ేల ఏపిాల్, జూన, నవంబరులకు

మిగిల్గన న లలకు 31 ర్ోజులు


38

ఫిబవార్ి మాతంా మిన యింప్ు

ద్గనికి మాతంా 28 ర్ోజులు

ిప్ు సంతురంలో 29 ర్ోజులు

మినసయంప్ లు:

సంతురం సంఖయ యొకక సరథ నం ప్ద్ుల మర్ియు ఒకట్ల సరథ నగలోల సునగిలుండి, మర్ియు

‘4’ చేత మాతమేా భాగింప్బడే సంతుర్రలు (సంఖయలు) మాతమేా ిప్ు సంతుర్రలు కరవు.

కరనీ వీట్రలో 4ర్ర్ యొకక గుణిజాలు ిప్ు సంవతుర్రలు.

కరబట్రట, 2ర్ర్ర్ ఒక ిప్ు సంవతురం. కరనీ 199ర్, 18ర్ర్,2100,2200,2300

మొద్లగునవి ిప్ు సంవతుర్రలు కరవు. గడషయాలం స్మయం:

మనకు ర్ ండు రకరల గడియార్రలునివి. 12 గంట్లు – గడియారం మర్ియు 24 గంట్ల –

గడియారం.

సరధగరణంగర మనం 12 గం. గడియార్రనిి ఉప్యోగిసరు ం. ఈ గడియారంలో, ద్గని

డయల్ పెై సూచించిన గంట్లు సంఖయలు 1 నుండి 12 వరకు ప్ర్ిమితమైె ఉంట్ాయి.

అంద్ులో గంట్ల ములుల 12 గం. లకు ఒకసరర్ి ప్ూరి్ుగర తిర్ిగితే, నిమిష్రల ములుల 1

గంట్కు ఒకసరరి్ ప్ూర్ిుగర తిరుగుతుంద్ి.

అరం ర్రతాి మర్ియు మధగయహిం 12 సూచిసరు యి. మనం అరంర్రతాి 12 గం. మర్ియు

మధగయహిం 12 గం. అంట్ాము. ఖచిచతంగర అరంర్రతిా 12 గం. నుండి మధగయహిం 12

గం. గల సమయానిి am అంట్ాం. ఉద్గహరణకి మనం 5 am లుక 6:3ర్ am లుక

8:ర్ర్ am అనిట్ ల గర. అద్ేవిధంగర, ఖచిచతంగర మధగయహిం 12 గం. నుండి తిర్ిగి ర్రతిా


39

12 గం. వరకు సమయానిి pm. అంట్ాం. ఉద్గ: మనం మధగయహిం 4 pm, సరయంతంా

7 pm అనిట్ ల గర.

24 గం. ల గడియార్రలను ర్ మిలుాలలోనూ, ఎయిర్ వే లలోనూ ఉప్యోగిసరు రు.

ఈ గడియారంలో అరంర్రతిాని 24 గం. లుగర గణిసరు రు. తర్రాత కరలానిి 1 గం. , 2 గం., 3 గం. .... అని తిర్ిగి అరం ర్రతిా వరకు గణిసరు రు. ఇకకడ am నుండి pm ల ఉప్యోగం లుద్ు. ఈ వయవసథలో, గడియారంలో 1 నుండి 24 సంఖయలు సూచిసరు యి. ఇకకడ గంట్ల ములుల 24 గం. లోల ఒకసరరి్ ప్ూర్ిుగర తిరుగుతుంద్ి. స్మయజ్ఞా నం: గడియారం గరనీ లుద్గ కరయలండర్ కరనీ చద్వడగనికి ముంద్ు విద్గయరి్ం (కరలసమయ జాా నం కల్గగి యుండగల్గ. అనగర, భ్ూత, భ్విష్యు మర్ియు వరుమాన కరలాల గూర్ిచన కల్గగి యుండగల్గ. పిలలలు 6 సంవతుర్రల వయసుులో మద్ట్రసరరి్ ప్రఠశరలకు వచిచనప్ుడు, చగలా వరకు ఆ జాా నం కల్గగి ఉంట్ారు. నిని ఏమి జర్ిగింద్ి లుద్గ పో్యిన వరరం ఏమి జర్ిగింద్,ి ఇప్ుాడు వరరు ఏం చేసుు నగిరు, ర్ేప్ు వరళ్ళు ఏమి చేయబో తునగిరు లాంట్రవి మాట్ాల డ గలరు. నిని , ఈ ర్ోజు, ర్ేప్ు లాంట్ర ప్డగలతో ప్రారంబించి మనం వరరి్చే పో్యిన న ల లుద్గ పో్యిన సంవతురం లాంట్ర చెపిాంచ వచుచ. లుద్గ కొనిి సంవతుర్రల కిరతం జర్ిగిన సంఘట్నలను అవి జర్ిగిన కరమంలో అమరచడం చేయించవచుచ. అద్ే విధంగర ర్ేప్ు జరగబో వు సంఘట్నలు, ర్ేప్ు వరరం జరగబో వునని, ర్ేప్ు న ల జరగ బో వునవి మర్ియు ర్రబో వు సంవతురములో జరగబో వు విష్యాల గూర్ిచ వరర్ితో మీరు చర్ిచంచవచుచ. ఈ అనిి ప్యాోజనగలకు లుక ఉద్ేిశరలకు భ్ూత, వరుమాన, మర్ియు భ్విష్యు లో జర్ిగిన సంఘట్నపెై ప్శాిించి నియత, అనియత చరచలోల వేర్ేారు సమయాలలో వరర్ిని ప్రలగా నచేయుట్ అలాల ంట్ర కొనిి ప్శా్ిలు ఈ కిరంద్ ఇవాబడగడ యి.

ఈ ద్ినం ఏంట్ర?

నినిట్ర ద్ినం ఏంట్ర? లుద్గ ర్ేప్ట్ర ద్ినం ఏంట్ర?


40

ఈ ర్ోజు మీ కరల సుకు జరుకరనివరరు ఎవరు?

నిని తరగతికి జరుకరని వరరు ఎవరు?

ర్ేప్ు ఏ పదర్ియడ్ లో మీకు ల కకలు class జరుగుతుంద్ి?

ఈ వరరం ఏమి వరరం?

ర్ేప్ు ఏమి వరరం

ఎవరు పెది్వరరు నీవర? లుద్గ నీ సేిహితుడగ?

పిలలలతో ఈ విధంగర ఎంత ఎకుకవ మీరు చర్ిచసరు ర్ో, వరళ్ళు సమయజాా నగనిి అంతగర

ప్ద్ును పెట్టగలరు. ఈ చరచలతో ప్రట్ గర, వరర్ికి కొనిి సంఘట్నలను వరుసకరమంలో

(సమయానగినుసర్ించి) అనగర చగలా కరలం కిరతం జర్ిగినవి, కొంత కరలం ముంద్ే

జర్ిగినవి, అప్ుాడే జర్ిగినవి, ఇక జరగబో వునవి అమరుచనట్ ల గర సంద్ర్రన్నలను

కల్గాంచండి. లుద్గ, కరలర్ేఖపెై వరరు సంఘట్నలను అమరచడగనికి ప్యాతిించగలరు.

కరలాను కరమంగర వరరు సంఘట్నలను అరంంచేసుకు అమరచ గల్గగినప్ుడు, అప్ుాడు

మీరు గడియారం మర్ియు సమయానిి ల కికంచడం గూర్ిచ ప్ర్ిచయం చేయవచుచ.

తక్షణ స్మయం మరష్యు వాల కయకధ్ :

సమయానిి నమోద్ు చెయిడమనిద్ి ఏ రకమైెన కరలానికి సంఘట్నలు మీకు

అవసరమౌతగయో ద్గనిపెై ఆధగరప్డి ఉంట్ ంద్ి. ఉద్గహరణకు ఈ కిరంద్ి సంద్ర్రన్నలను

ప్ర్ిశీల్గంచండి.

1. భారత ద్ేశరనికి సరాతంతా ం వచిచ ఎనిి సంవతుర్రలు గడిచింద్ి?

2. నీ సేిహితుల ైన సదమ మర్ియు సేిహల వయసుుల లోని లుద్గ ఎంత?

3. ల కకలోల కరల స్ రూ, ట్ంస్ట ప్ూర్ిుగర వరాయడగనికి ర్ోహిు ఎంత సమయం త్మసుకునగిడు?


41

మొద్ట్ర ప్శా్ికు ఏ సంవతురం భారత ద్ేశరనికి సరాతంత ాం వచిచంద్ో తెల్గసి ఉండగల్గ (1947

A.D) మర్ియు ఏ సంవతురం నుండి లుద్గ గణించగలో అద్ి (2ర్18 A.D). కేవలం 2ర్18

నుండి 1947 ను త్మసువేసేు జవరబు లలసుు ంద్ి.

ర్ ండవ సంద్రన్నంలో ఇది్ర్ి సేిహతుల యొకక ఖచిచతమైెన వయసుు సంతుర్రములలో,

న లలోల మర్ియు తేద్ీలలో వరర్ి జనా తేద్ీలు అవసరం. ఇద్ి మొద్ట్ర ద్గనికంట్ే కరసు కిలష్టంగర

ఉంట్ ంద్ి.

ఇది్ర్ి సేిహితుల ప్ుట్రటక తేద్ీలు అకోట బర్ 18th,1999 మర్ియు సెపెటంబర్ 12th, 2000

అనుకుంద్గం.

వరర్ిది్ర్ి వయసుులోల తేడగను మీరు ర్ ండు రకరలుగర కనుకోకవచుచ.

(i) ఖచిచతంగర వరర్ి ప్సాుు త వయసుులను ఒక ఖచిచతమైెన తేద్ీ నగట్రకి (ఉద్గ 1st,

జనవర్,ి 2ర్18)

కనుగొనవల ను. తర్రాత ఆ ఇది్ర్ి వయసుుల మధయ తేడగను కనుగొనుము.

(ii) వరర్ి ప్ుట్రటన తేద్ీల మధయ తేడగను కనుగొనుము. మనం ఈ ర్ ండవ

ప్ద్ంతినుప్యోగించి

కనుగొనగిము.

వరర్ి ప్ుట్ాట న తేద్ీల మధయ తేడగను కనుగొనడగనికి వరర్ి ప్ుట్రటన తేద్ీలను ఈ కిరంద్ి విధంగర

వరాసి కనుగొనుము.

స్ంతసలము న ల రోజు

సేిహ 2ర్ర్ర్ ర్9 12

సదమ 1999 1ర్ 18

ర్ర్ 1ర్ 24


42

న లలో మర్ియు ర్ోజులు ఉనిప్ుాడు తేడగ ఎలా కనుగొనగలో మీరు వివర్ించవచుచ. ఈ

సంద్రన్నంలో 18 ర్ోజులు కంట్ే 12 ర్ోజులు తకుకవ కరబట్రట , మనం 9 న లల నుండి 1 న ల

(3ర్ ర్ోజులు) త్మసుకోవరల్గ. ఈ తేడగను కనుగొనగల్గ. Ie 30+12 = 42 ర్ోజులు – 18ర్ోజులు

= 24 ర్ోజులు కరబట్రట మనం 1 సంతురము త్మసుకోవరల్గ (2ర్ర్ర్ నుండి). ఇప్ుాడు 12 8

= 2ర్ న లలు – 1ర్ న లలు = 1ర్ న లలు. సంతుర్రలలో లుద్గ లుద్ు. కరబట్రట ఇది్ర్ి

వయసుులలో లుద్గ 1ర్ న లలు మరి్యు 24 ర్ోజులు అని గరహించగలరు.

కుల ప్ు ంగర. మీ విధగయరుం లకు కరలానిి కొలవడంలో న ైప్ుణగయనిి పెంపొ్ ంద్ించడంలో స యం

చేయడగనిక,ి గడియార్రనిి ఖచిచతంగర చద్వడం, కరలానిి am మర్ియు pm లలో

తెలప్డం, ర్ ండు సంఘట్నలమధయ కరలానిి కనుగొనడం, మొద్లగునవి వివిధ రకరల

కృతగయలను రూప్ొ ంద్ించి విద్గయరుం లచే చేయించగల్గ. మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవునతము:

E10. రమా 11-11-1911వ తేద్ీ పొ్ా ద్ుి న సటల్ కు వ ళిలంద్ి, మలు 12-12-2ర్12 ర్రతిా

ఇంట్రకి వసుు ంద్ి.

అయిన ఆమె తన ఇంట్ర వది్ ఎనిి ర్ోజులు ఉండద్ు. E11. ఈ కిరంద్ి సంవతుర్రల నుండి ిప్ు సంవతురమును గుర్ిుంప్ు.

E12. ఒక ప్రఠశరల భ్వనము ర్ిపేరు ప్ని జనవర్ి 1ర్వ తేద్ీ 2ర్ర్8 న ప్రారంభ్మయియంద్ి.

65 ర్ోజులు

వరకు కొనసరగింద్ి. ఏ నగట్రకి ప్ని ప్ూరుయియంద్ి?


43

7.6 నేలొచకునఅ ముఖాయంశాలు చూద్వయ ం:

పొ్ డవు ఏక ప్ర్ిమాణ వసుు వు, కరనీ వ ైశరలయం మర్ియు ఘనప్ర్ిమాణం వరుసగర 2 -

D మర్ియు 3 – D వసుు వులకు సంబంధించినవి.

ప్ర్ిశీల్గంచగర, వసుు వులను కొలవడగనికి ఒక ద్గనితో ఒకట్ర ఏకెంభ్వించునట్ ల ఒక ద్గనిపెై

ఒకట్ర ఉంచడం మర్ియు ప్ర్ోక్ష ప్ద్ంతులను ఉప్యోగించడం, మర్ియు నిర్ింష్టం కరనీ

ప్ర్ిమానగలు మర్ియు ప్రామాణిక కొలతలు విర్ివిగర ఉప్యోగించగరు.

నిరి్ంష్టంకరని ప్మాాణగల ైన శ్రీ్ర భాగరలు లుద్గ ప్రాంతంలో అంద్ుబాట్ లో ఉని సరమాగిర

ప్రామాణిక యూనిట్ల బాగర ఖచిచతంగర ఉండవు కరనీ ప్రారంభ్ంలో నేరుచకుంట్ ని

వరర్ికి ప్మాాణం భావన కొల్గచు విధగనం చగలా అరంవంతంగర ఉంట్ ంద్ి మర్ియు

ఉప్యోగప్డుతుంద్ి.

ప్రామాణిక కొలతల ైన ప్ొ డవు, వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం, సరమరం ం, మర్ియు

బరువులు ప్ర్ిచయం చేయడగనికి ముంద్ే విద్గయరుం లు వసుు వుల గుణగలను కొల్గచ ే

ప్కాిరయలను గూర్ిచ తెలుసుకుని ఉంద్ో ప్రామాణిక యూనిప లు ప్ర్ిచయం చేసినప్ుడు,

విద్గయరుం లు నిర్ింష్టం కరనీ ప్ామాణగల ద్గార్ర పొ్ ంద్ిన అనుభ్వరనిి ఉప్యోగించినట్ ల

వరర్ిని పో్ా తుహించగల్గ.

ప్తాి విద్గయరి్ం ఒకొకకక అంశరనికి సంబంద్ించి యూనిట్ ల , చిని యూనిట్ ల మర్ియు పెది్

యూనిట్ ల గూర్ిచ జాా నం పొ్ ంద్ిన తర్రాత వరరు పొ్ డవు, వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం

మర్ియు బరువుల యొకక ప్మాాజిక మెట్రకా్ యూనిట్ ల ఉప్యోగించడంలో న ప్ుణయం

సంప్రది్ంచుట్కు వరరి్కి ప్రాథమిక ష్రట యిలో అనిి కల్గాంచగల్గ.

మెట్రకా్ వయవసథ పొ్ డవు, వ ైశరలయం, ద్వాయర్రశి, కరలం, ఉషోో్ గరత, విద్ుయు కర్ ంప. 7 ప్ధాగన

ప్మాాణగలతో కొలమానగనికి అంతర్రమ త్మయ ప్ామాణగలుగర వంట్ర ఆమోద్ించబడింద్ి.

కరలానిి సౌర సంవతురం, న లలు, ద్ినగలు, గడియారంలోని గంట్లు, నిమిష్రలు,

సెకనలలో కొలుసరు రు.


44

సంఘట్న కరలానిి నమోద్ చేయడంలోనూ, సంఘట్న కరలానిి గణించడంలో

న ైప్ుణయం సరధించడగనికి విద్గయరుం లకు అవకరశ్ం కల్గాంచగల్గ.

7.7 “మీ ప్రగతిని ప్రీక్షంచతవ ండష” వా మాద్ రష్ జ్వాతులు :

E1. ఏద్ేని 3 తేడగలను పేర్ొకనుము.

E2. అవి ఖచిచతమైెనవి, ప్పా్ంచం అంతగ ఒకేలా ఉనగియి మరి్యు శరసదు వియ కొలతలోల

ఉప్యోగించగరు.

E3. ఉద్గహరణలు పేర్ొకనుము.

E4. నిర్ింష్టం కరని ప్ామాణగలు పిలలలకు నుప్ర్ిచితమైెనవి. అంద్ువలల పిలల లకు సులభ్ంగర

అరంమౌతగయి. ప్రామాణిక సేకలు ఉప్యోగించడగనికి ముంద్ు, ఈ నిర్ింష్టం కరని ప్మాాణగలు

పిలలలు సులభ్ంగర ఉప్యోగించగలరు.

E5. (A) 8 చ. సెం. మీ. (B) 9 చ. సెం. మీ. (C) 24 చ. సెం. మీ.

E6. ఘ. సెం. మీ. (ిట్రు కరద్ు ఎంద్ుకంట్ే అద్ి సరమరం కొలత యొకక ప్ామాణం లుద్గ

ద్వా ప్ద్గర్రం ల

కొల ప్ామాణం).

E7. 6000 ిట్రుల .

E8. మెట్రకా్ వయవసథలో పెది్ ప్ామాణగలు మర్ియు బిని ప్మాాణగలను ప్ధాగన కొల

ప్మాాణం యొకక 1ర్ యొకక గునిజాలగరనూ లుద్గ ఉప్విభాగరలుగరనూ పేర్ొకంట్ారు.

E9. రూ. 12,500/- 25 ప్రక ట్ ల

E10. 398 ర్ోజులు

E11. 1536, 16ర్ర్, 182ర్, 2000 మర్ియు 2ర్12

E12. 2ర్ర్8, మార్ిచ, 14 వ తేద్ీ


45

7.8 చదకకలకిన మరష్యు స్ంప్రద్ ంచకలకిన గరంథవలు :

IGNOU (2008) ట్లచింవ అర పెైవిమరీ్ సూకల్ మాధెమా ట్ాక్ు (వరలూయ, 5): మేనేజ్

మెంప, నూయఢి లి : IGNOU.

7.9 అధ్వయయ – చ్ఛకరష్ అభాయసాలు :

1. వేర్ేారు వసుు వులు కొలవడగనికి పో్ ల్గక ప్ద్ంతట్ ఎట్ ల తోడాడునో వరోి్ంచుము.

2. కొలమానం యొకక నిర్ింష్టంకరని మర్ియు ప్రామాణిక ప్మాాణగలు సరాభావరనిి

మర్ియు ప్యాోగరనగలను తగిన ఉద్గహరణలతో పో్ లుచము. 3. ఎంద్ువలల పొ్ డవు, ద్వాయర్రశి మర్ియు కరలముల యొకక మెట్రకా్ ప్మాాణగలను SI

ప్ధాగన ప్మాాణగలుగర ప్కాట్రంచగరు. మర్ియు వ ైశరలయం, ఘనప్ర్ిమాణం మర్ియు

సరమర్రం లను ఉతానిమైెన ప్ామాణగలుగర ప్కాట్రంచగరు?


1

యూనిట్ – 8 - ద్త్త ాంశ నిర్వహణ నిర్మాణము: 8.0 ప్రిచయము 8.1 అభ్యసన లక్ష్యయలు 8.3 ద్త్త ాంశ సేకర్ణ మరియు ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర చిత్ాములను చిత్ాాంచుట 8.3.1 సో ప్రనచిత్పా్టాం. 8.3.2 బార్ ప్టాం (Bar graph) 8.3.3. చిత్ ాప్టాం (Pictorial graph) 8.3.4 ప ై-ప్టాం (Pie chart) 8.4. ద్త్త ాంశ విభ్జన 8.4.1 క ాంద్రయా ప్వాృత్త మాన్లు కనుగొనుట. (Central Tendency) 8.4.1.1 అాంకమధ్యమాం (Airthematic Mean) 8.4.1.2 మధ్యగత్ాం(Median) 8.4.1.3బాహుళకాం (Mode) 8.4.2 చర్శీలత్ మాప్న్లు కనుగొనుట (Measures of Variability) 8.4.2.1 వ్రయపతత (R) 2.2 చత్ురరద ాంశన విచ్లనాం (Q.D) 2.3 సగటు విచలనాం (M.D) 2.4 ప్రామాణిక విచలనాం (S.D) 8.5 Let us sumup.


2

దత్త ాంశ నిర్మాహణ

8.0. INTRODUCUTION (పర్చియాం):- ప్యాోగాం ద్్వరర లేద్్ ప్రీక్ష ద్్వరర ప్ ాంద్ిన ద్త్త ాంశరనిి యధ్సతిత్లో ప్రిశీలన చేసత ఖచిిత్మ ైన వివర్ణ ఇవవలేము. ప్ ాంద్ిన ద్త్త ాంశరనికి ఒక కరమానిి ఇచిి, త్ద్్వరర ఒక నిరిదష్ట వివర్ణను తెలుప్వచుి. ఈ కరమానిి తెలియజ సేద్ే సరాంఖయకశరసత రాం (statistics). సరాంఖయకశరసత రాంలో మొద్టి ప్కిారయ ద్త్త ాంశరనిి వరీీకరిాంచడాం. ద్త్త ాంశరల సరి యిని అనుసరిాంచి ఆరోహణ (లేద్్) అవరోహణ కరమాంలో రరయడాం (లేద్్) ద్త్త ాంశ ప్రిమాణాం ఆధ్ర్ాంగర త్ర్గత్ులు వ్రరిగర విభ్జాంచడాం, ద్త్త ాంశరనిి ప్రామాణీకరిాంచడాంలో ఇమిడి ఉని సరాంఖయకశరసత రాం సూత్ాాం. ప్యాోగాం(లేద్్) ప్రీక్ష ద్్వరర ప్ ాంద్ిన ద్త్త ాంశరనిి కరమ సూచికలు, గణనలు, నిష్పత్ుత లు అనే మాసరల అవిర్ళ, విర్ళ శరరణుల ద్్వరర వయకత ప్ర్ుసరత ాం. ఈ విధ్ాంగర ద్త్త ాంశ ప్కాిరయ వలల ప్యాోగాం, ప్రీక్షల నుాంచి ఒక అర్ధవాంత్మ ైన ఫలిత్నిి ప్ ాంద్వచుి. ఈ ద్త్త ాంశ చిత్రాకర్ణ వలల అమూర్తమ ైన గణిత్ అాంశరలను మూరీతకరిాంచవచుి. ద్రని వలల సరమానుయలు కూడ్ ఫలిత్లను సులభ్ాంగర గరహ ాంచగలర్ు. 18వ శత్బ్దదలోని జన్భా, జన్భాకు సాంబాంధిాంచిన ఆరిధక ద్త్త ాంశ సేకర్ణ కరమ విద్్నాంలో రరజయయలు చేప్టటట ప్కిారయ ద్్వరర సరాంఖయకశరసత రాం ఆవిరరావాం జరిగిాంద్ి. 19వ శత్బ్దద ప్రార్ాంభ్ాంలోనే సరాంఖయకశరసత రాం అర్ధాం విసృత్ ప్ ాంద్ి, ద్త్త ాంశ సేకర్ణ, ద్త్త ాంశ విశరలష్ణ, ద్త్త ాంశ సరరరాంశాం తెలియజ సే ప్కాిరయకు న్ాంద్ి జరిగిాంద్ి. సరట టిసతటక్స్(సరాంఖయకశరసత రాం) ప్ద్ోత్పత్త కి“లాటిన్” భాషర ప్ద్మ ైన “సరట టస్”, “సరట టిసరట ” అనే ఇటాలియన్ ప్ద్ాం (statesman), “సరట టిసతటకర” అనే జర్మన్ ప్ద్్లే కరర్ణాం అని చ్రిత్ాక ఆధ్రరలు ద్్వరర తెలుసుత ాంద్ి. విద్్యప్కాిరయలో చ్లా సమసయల ప్రిషరారరనికి సరాంఖయకశరసత రాం ఎాంతో ఉప్యోగప్డుత్ుాంద్ి. ఈ శరసరత ా నిి విసత ృత్ ప్రిచిన వయకిత సర్ రోన్ల్్డ ఎ.ఫతష్ర్ (యిత్డు ఫతబవారి 7, 1890 లో లాండన్ లో జనిమాంచ్డు) ఈయన సరాంఖయకశరసత రoనుకు చేసతన కృషతవలల ఇత్నిి సరాంఖయకశరసత ర పతత్మహుడు అాంటార్ు. భార్త్ద్ేశాంలో సరాంఖయకశరసరత ా నికి కృషతచేసతన


3

వయకిత ప్శారాంత్ చాంద్ ా మహాలనోబ్దస్. ఇత్నిి భార్త్ద్ేశ సరాంఖయక శరసత ర పతత్మహుడు అాంటార్ు. ఈయన ఇాండియన్ సరట టిసతటకల్డ ఇన్ సతటటయయట్ సరి పతాంచ్ర్ు. సమాంఖ్యకశమస్తత ర నిర్ాచన్లు (STATI STICAL DEFENITIONS) సాంఖాయ ద్త్త ాంశరనిి సేకరిాంచడాం, ప్దా్రిశాంచడాం, వ్రఖాయనిాంచడమే సరాంఖయకశరసత రాం“కరర క్స్ టౌన్” , “కరర డ్” 1. “గణిత్ాంలో ఒక శరఖగర ఉాంటయ అాంకెలుకు సాంబాంధిాంచిన సమాచ్రరనిి సేకరిాంచి వ్రఖాయనిాంచేద్ే సరాంఖయకశరసత రాం”. 2. “సాంభావుత్లను గణిాంచే ప్ద్దత్ులను అధ్యయనాం చేయడ్నికి ర్ూప్ ాంద్ిాంచిన గణిత్శరసత రాంలోని విభాగమే సరాంఖయకశరసత రాం”. 3. “సమాచ్రరనిి చిత్రా్ూప్రలోల కి అనువద్ిాంచి త ాంద్ర్గర విష్యానిి అర్ధాం చేయగలిగ ద్ే సరాంఖయాంక శరసత రాం”. దత్త ాంశాం నిర్ాచన్లు: 1. “ముగిాంప్ు లేద్్ త్రరరమణ్లు చేయడ్నికి ఉప్యుకతమ ైన వ్రసతవ్రల సేకర్ణే ద్త్త ాంశాం”. 2. “సేకరిాంచిన వ్రసతవ్రలను ప్కాిరయలను చేప్టటడ్నికి, మార్ిడ్నికి అనుకూలాంగర ఉాండే ర్ూప్ాంలోకి అనువద్ిాంచిన సమాచ్రరనిి ద్త్త ాంశాం అాంటార్ు”. 3. “సమాచ్ర్ాం ప్సారర్ాంచేయడ్నికి, విశరలషతాంచడ్నికి, ప్కాిరయలను జత్ప్ర్చడ్నిక ిత్గిన విధ్ాంగర ఉని వ్రసతవ్రలు, భావనలు లేద్్ సూచనలనే ద్త్త ాంశాం అాంటార్ు”. 8.1 అభ్యస్తన లక్ష్యయలు(Learning Obiectives):

ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర ద్త్త ాంశ సేకర్ణ మరియు ద్త్త ాంశమును వరీీకరిాంచవచుి. ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర ద్త్త ాంశాంను ప్టిటకలలోనూ, ప్టాలలోనూ చూపతాంచవచుి.

ద్రనినుప్యోగిాంచి విభిని విద్్లుగర త్యార్ుచేయవచుి. అవి: బార్ గరర ఫ్, ప ై-గరర ఫ్, సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయ వకరాం మొద్ల ైనవి.

ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర ర ఖాచిత్ాలు గీసే న ైప్ుణయాం ప్ ాంద్ుత్ర్ు. ఇచిిన ద్త్త ాంశరనికి ప్ౌనఃప్ునయ విభాజక ప్టిటకను త్యార్ుచేసే విధ్న్నిి

అవగరహన చేసుకుాంటార్ు.


4

క ాంద్రయా ప్వాృత్త మాప్న్లు (అాంక గణిత్ాం, మధ్యగత్ాం, భాహుళకము) ను అవగరహన చేసుకొని, ద్త్త ాంశ సవభావ్రనిి వ్రఖాయనిసరత ర్ు.

సరమానయ సాంభావయత్ వకరాం భావనను, లక్షణ్లను తెలుసుకుాంటార్ు. కోత్ సహా సాంబాంధ్ గుణకరనిి గణిాంచి ఫలిత్నిి వ్రయఖాయనిసరత ర్ు.

8.2 దత్త ాంశ సేకర్ణ మర్ియు నిర్ాహణ (Collection and Representation of Data):- మన నిత్య జీవిత్ాంలో అన్ని అవసరరలకు సమాచ్ర్ సేకర్ణ అనేద్ి త్ప్పనిసరిగర సేకరిాంచ్లి. న్న యొకా న లసరి జీత్ాంను అనుసరిాంచి న్న న ల యొకా కర్ుిలు అాంచన్ వ్ేసత ఖర్ుి ప టటవచుి . ద్రని ఆధ్ర్ాంగర మనాం న లవ్రరీ ఉప్యోగిాంచే వివిధ్ ప్తా్ రోజు అవసర్ములు, మనాం ఉప్యోగిాంచే కరెాంట్ బ్దలుల , కొనిధ్రిాంచే వసుత వులు, పతలలలు యొకా టయయష్న్ ఫీజులు, వ్ ైద్య మరియు ర్వ్రణ ఖర్ుిలు అాంచన్ వ్ేయవచుి. ఒక వ్ేళ మనకు వచిిన ఆద్్యాం సరిపో్ కప్ో తే ద్్నికనుగుణాంగర మనాం నడుచుకోవచుి. ఒక ఉప్రధ్యయుడు ప్తా్ద్ినము, వ్రర్ము, న ల, 3 న లలుకొకసరరి మరియు సాంత్్ర్ాంలో సూట డెాంట్్ యొకా ప్వా్ేశ జయబ్దత్ను ప్రిశీలిాంచవచుి. ద్త్త ాంశాంను విభిని జనకులనుాండి డెైరెక్సట లుగర , ఇన్ డెైరెక్సట గర ప్ ాంద్వచుి అలా ప్ ాంద్ిన ద్త్త ాంశాం ను వర్ుసకరమాంలో ఖర్ుి చేయాలి. ఇలా ద్త్త ాంశాం సేకర్ణను టటబులర్ మరియు పతకోట రియల్డ ఫరర్మ ద్్వరర తెలుసుకోవచుి. కృత్యాం (Activity): - మీ సూాల్డ యొకా ప్ాత్ద్ినము మరియు సాంత్్ర్ము యొకా సమాచ్ర్ ప్టిటకను త్యార్ుచేయాండి. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8.2.1 దత్త ాంశ సేకర్ణ (Data collection):- ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర సమాచ్రరనిి సేకరిాంచ్లి, ఈ సమాచ్రరనిి వర్ుసకరమాం ఆధ్ర్ాంగర సేకరిాంచ్లి.


5

కృత్యాం (Activity) – 2:- 88,25,16,43,7,70,16,34,61,52,97, ద్త్త ాంశ నుాంచి ఆరోహానిి (లేద్్) అవరోహానిి కరమాంలో అమార్ిాండి. ఉద్1:-ఒక ప్రఠశరలలో ఉప్రధ్యయురరలు‘6’ వ త్ర్గత్ విద్్యర్ుధ లను విహార్యాత్కాు త్రసుకువ్ ళ్లల లని నిర్ణయిాంచిాంద్ి. ఇాంద్ుకు గరను కొనిి ప్ాండుల జయబ్దత్ ఇచిి విద్్యర్ుధ లకు ఏమేమి కరవ్రలో అడిగిాంద్ి. ఇకాడ ఉప్రద్్యయురరలు కొనిి ప్ాండుల (ఆపతల్డ, కమలా, అర్టి, జయమ) (లేద్్) ఫలము పేర్ుల ఇచిి విద్్యర్ుధ లను అడిగితెలుసుకొనిద్ి. ఇకాడ ద్త్తాంశ సేకర్ణ అనేద్ి “ప్రాధ్మిక వనర్ు”. ఉద్ 2:- ఒక ప్టటణాంలో కొద్ిదమాంద్ి ఉద్ో యగసుత లు యొకా జీత్బత్యలను సేకరిాంచమని ఉప్రధ్యయురరలు విద్్యర్ుధ లకు తెలిపతాంద్ి. అప్ుపడు ఆ విద్్యర్ుధ లు ఆ ప్టటణాంలోని ఆయా కరరరయలయాలలోకి వ్ ళ్లల ద్త్త ాంశరనిి సేకరిసరత ర్ు. సేకరిాంచి ఉప్రద్్యయురరలకు అాంద్జ సరత ర్ు. ద్రనినే“ద్ివత్రయ వనర్ు” అాంటార్ు.

సాంఖాయ ద్త్త ాంశరలను రెాండు విధ్లుగర విభ్జాంచవచుి. ఒకటి అవిర్ళ శరరణి, రెాండవద్ి విర్ళశరరణి.

ద్త్త ాంశాం ఒక వ్రయపతతలో కొనిి విలువలతో ఉాంటుాంద్ి. ఆవిలువలు ఎనిి భాగరలుగర అయిన్ విడగొటటబడి ఉాండవచుి. అలాాంటి శరరణిని అవిర్ళశరరణి అాంటార్ు (continuous series) ఉద్:- ఒకత్ర్గత్లోని విద్్యర్ుధ ల బర్ువులు 35.5 కి.గరర ., 35.55 కిలోగరర ములు మొద్ల ైనవి.

ద్త్త ాంశాంలో ఒక వ్రయపతతలో ధ్న ప్ూరరణ ాంక విలువలే ఉాంటట అలాాంటి శరరణిని విర్ళశరరణ ిఅాంటాాం. (Discreteseries)

ఉద్ – 3 : సచిన్ టెాండూలార్ యొకా విభిని టెస్ట మాయచ్ లు సో ార్ వివర్ములు, 16,56,25,8,3,33,23,107


6

ద్త్త ాంశ సేకర్ణ అనేవి అమరిక సమూహాలును ఆధ్ర్ాంగర ఉాంటట ద్్నిని విత్ర్ణ అాంటార్ు. ఒక సాంఖయ సూచిక అనేద్ి విభిని సమాచ్రరలు ఉద్్: మార్ా్, వయసు్, ఎత్ుత , ఆద్్యాం మొద్ల ైనవి. ద్రనినే సో ార్్ ఆఫ్ విత్ర్ణ అాంటార్ు. ఉద్:- ఒక ప్రఠశరలలోని వ్ేర్ు, వ్ేర్ు త్ర్గత్ుల విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ 20,25,30,35 మొద్ల ైనవి. అవిర్ళ శరరణి విరరమమాప్న్నిి రెాండు విద్్లుగర రరసరత ర్ు. మొదటిది:- ఒక ప్జాయా ప్రీక్షలో ఒక వయకిత గణన 110 అనుకొాంద్్ాం. ఈ గణన విరరమ మాప్నాం 110 గణన విరరమ మాప్న్నికి మధ్య విలువ అవుత్ుాంద్ి. కరబటిట కిరాంద్ ివిలువలను సమానాంగర త్రసుకుాంటార్ు.109.6, 109.7, 109.8, 109.9, 110.2, 110.2, 110.3, 110.4 మొద్ల ైనవి. ర్ ాండవది:- ఒకప్రీక్షలో ఒక వయకిత గణన 110 అయినప్ుడు, ఆటను సాంబాంద్ిత్ ప్రీక్షలో 110 అాంశరలకు గరను, సరెైన సమాధ్నాం చేసత ఉాంటాడు. కరని 111 కి ద్్డు. ద్రని విరరమ మాప్నాం 110-111 (మద్య విలువ 110.5) 8.2.2 దత్త ాంశ పటిి క వివర్ణ (Tabular Representation of Data):- పటిి కలను త్యార్ుచేయడ్నికి నియమాలు:- ప్టిటకలను అమర్ిడాం ఒక కళ, ప్యాోగ కర్త సృజన్త్మకత్తో సేకరిాంచిన ద్త్త ాంశరనిి త్నుఏ ఆశయాంతో ప్టిటకను త్యార్ుచేసుత న్ిడో ద్్నిి న ర్వ్ేర ి విధ్ాంగర నిాంప్వలసత ఉాంటుాంద్ి. కృత్యాం (Activity) – 2 88,25,16,43,7,70,16,34,61,52,97 ద్త్త ాంశాం నుాంచి ఆరోహానిి (లేద్్) అవరోహానిి కరమాంలో అమర్ిాండి. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


7

ఉద్్: 5 ఎసరమ ద్త్త ాంశ సేకర్ణ ఒక త్ర్గత్లోని విద్్యర్ుధ ల యొకా భ్ూటుల యొకా విభిని కొలత్లు సేకర్ణ కిరాంద్ి ఇవవబడిాంద్ి. 5,4,7,5,7,6,5,6,6,4,5,6,8,7,4,6,5,6,4,5,7,6,7,5,6,6,48,7

బూటలు యొకక పర్ిమాణాం భ్ూటలు యొకక పర్ిమాణాం టాలీ మార్క్క్ విద్యర్ుు ల స్తాంఖ్య (F) 4

5 5

7 6

10 7

6 8

2 TOTAL 30

* కృత్యాం (Activity) – 2 ద్త్త ాంశాం విత్ర్ణాం ఆధ్ర్ాంగర ప్ౌనహాప్ుణయాం విత్ర్ణాం ప్టిటక పతాపేర్ చేయాండి a) త్ర్గత్ విద్్యర్ుధ ల యొకా వయసు్ b) త్ర్గత్లోని విద్్యర్ుధ ల యొకా ఎత్ుత __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

* కృత్యాం (Activity) – 3

మీ యొకా సూాల్డ లోని 8 వ త్ర్గత్ విద్్యర్ుధ ల యొకా బర్ువులను కొలవాండి. వ్రరి బర్ువులు ఆధ్ర్ాంగర సమూహ ప్ౌనః ప్ునయ విత్ర్ణ ఆధ్ర్ాంగర ప్టిటక పతాపేర్ చేయాండి? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


8

1. ప్టిటక కుల ప్త ాంగర, ప్ూరిత అర్ధవాంత్ాంగర, సతద్దాంగర, సమగరాంగర సవయాం వివర్ణతో కూడినద్ెై ఉాండ్లి. త్కమకలతో ఉాండకూడద్ు, అనిి విష్యాలు సపష్టాంగర తెలప్రలి. 2. ప్టిటకలలో ఉాంచే గణ్ాంకరలు గరన్న, రరశులు గరన్న, శీరిికలు గరన్న, త్రిాకాంగరనూ, అర్ధవాంత్మ ైనవి గరనూ, సాంబాంధిత్ సమాచ్ర్ాం గరనూ ఉాండ్లి. సమర్ణీకర్ణ (పటిి కలు) యొకక ప్మాముఖ్యత్:- కిలష్టాంగర ఉాండే సమాచ్ర్ాం సులభ్ాంగర అర్ధాం అవుత్ుాంద్ి.

పో్ లిడ్నికి సౌకర్యాంగర ఉాంటుాంద్ి. గణ్ాంకరలను సులభ్ాంగర ల కిాాంచవచుి, విశరలషతాంచవచుి.

ప్ౌనః పునయాం: ద్త్త ాంశాంలో ఎనిి గణనలు ఉన్ియో తెలిపే సాంఖయను ఆ ద్త్త ాంశాం యొకా ప్ౌనఃప్ునయాం అాంటార్ు.

ద్త్త ాంశరనిి నియమిత్ త్ర్గత్ అాంత్రరల వ్రరిగర వరీీకరిాంచినప్ుడు ఒకొాకా త్ర్గత్ అాంత్ర్ాంలో ఎనిి గణనలున్ియో తెలిపే సాంఖయను ఆ త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం యొకా ప్ౌనఃప్ునయాం అాంటార్ు.

ద్త్త ాంశరనిి త్ర్గత్ులు వ్రరీగర విభ్జాంచడాం వలల ప్ౌనఃప్ునయ ప్టిటకను ప్ ాంద్వచుి. ద్రనినే ప్ౌనఃప్ునయ విభాజన (Frequency Districbution table) ప్టిటక అాంటార్ు.

ప్ౌనఃపునయ విభాజన పటిి క త్యార్ుచేయడ్నికి పదదతి:- ఉద్:40 మాంది విద్యర్ుు లకు వచ్చిన మార్ుకలు కిాంద నమోదుచేయబడినది. ప్ౌనఃపునయ విభాజన పటిి క త్యార్ుచేయాండి ఉద్ 6 :- 8,48, 55, 52, 78, 42, 93, 85, 7, 37, 94, 66, 72, 73, 66, 91, 52, 78, 85, 9, 68, 81, 64, 60, 75, 84, 78, 10, 63, 21, 14, 30, 19, 25, 93, 33, 15, 29, 25, 13. ఇచిిన ద్త్త ాంశరనిి ఆరోహణ కరమాంలో (లేద్్) అవరోహణ కరమమలో వ్రాయాలి. 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 19, 21, 25, 29, 30, 33, 37, 42, 48, 52, 55, 60, 63, 64, 66, 66, 68, 72, 73, 75, 78, 78, 78, 81, 84, 85, 85, 91, 93, 93, 94. ఇచిిన ద్త్త ాంశాంలోని కనిష్ట, గరిష్ట విలువలును కనుకోావ్రలి. ప ై ఉద్్హర్ణలో

కనిష్ట విలువ 7, అలాగ గరిష్ట విలువ 94. కనిష్ట, గరిష్ట విలివల భేద్్నిి వ్రయపతత అాంటార్ు. 94-7= 87 (వ్రయపతత )


9

త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ప్ డవు = వ్రయపతత/త్ర్గత్ అాంత్రరల సాంఖయ (లేద్్) త్ర్గత్ అాంత్రరల సాంఖయ = వ్రయపతత/త్ర్గత్ అాంత్రరల ప్ డవు. మనము ప ై ఉద్్హర్ణలో త్ర్గత్ అాంత్రరల ప్ డవు 10 గర త్రసుకొనిప్ుడు త్ర్గత్ అాంత్రరల సాంఖయ = వ్రయపతత/త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ప్ డవు = 87/10 = 8.7

త్ర్గత్ అాంత్రరలను కనుకొాని అాంత్రరల సాంఖయ లేద్్ త్ర్గత్ అాంత్ర్ప్ు ప్ డవు సహాయాంతో వ్రాయాలి. 0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99

గణనలను సాంబాంధిత్ త్ర్గత్ అాంత్రరలలో సూచిాంచి ప్ౌనఃప్ునయ ప్టిటకను త్యార్ుచేయాలి. త్ర్గత్ అాంత్రరలను ఒక నిలువ వర్ుసలో రరసుకొని, ఒకొాకా అాంత్ర్ాంలో ద్త్త ాంశాంలోని ఏయిే గణ్ాంకరలు సరిపో్ త్యో ప్రిశీలిాంచి రెాండవ నిలువ వర్ుసలో రరయాలి.

త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం

గణన చిహాిలు

గణ్ాంకరలు(సాంఖయ) ప్ౌనఃప్ునయాం మధ్యత్ర్గత్

0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

III IIIII IIII III II III IIIIII IIIIII IIII IIII

7, 8, 9 10, 13, 14, 15, 19 21, 25, 25, 29 30,33,37 42,48 52,52,55 60, 63, 64, 66, 66, 68 72, 73, 75, 78, 78, 78 81, 84, 85, 85 91, 93, 93, 94

03 05 04 03 02 03 06 06 04 04

5.5 15.5 25.5 35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5

ప్ౌనఃపునయ విభ్జన పటిి క త్యార్ుచేయడ్నికి సో ఫమన్లు:- త్ర్గత్ అాంత్రరల సాంఖయను 5-15 వర్కూ నిరరద రిాంచవచుి. త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ప్ డవు 3, 5, 10 ఉాండేటటుల చూడ్లి.


10

త్ర్గత్ హద్ుద లు త్రసుకోవడాంలో జయగరత్త వహ ాంచ్లి. ప్టిటకలోని మొద్టి నిలువ వర్ుసకు త్ర్గత్ అాంత్రరలను రరయాలి. రెాండవ నిలువ

వర్ుసలో ద్త్త ాంశాంలోని ఒకొాకా గణనను త్రసుకొని అద్ి ఏ త్ర్గత్ అాంత్రరనిక ిచెాంద్ిాంద్ో నిర్ణయిాంచి ఆ గణనకు గుర్ుత గర ఒక నిలివ గీత్తో సూచిాంచ్లి. అయితే ప్తా్ర న్లుగవ గీత్ త్ర్ువ్రత్ అయిద్వ గీత్ను వ్రటికి అడ్ాంగర గీసూత గురితాంచ్లి (గరిష్టాం 5) ప్టిటక మూడవ వర్ుసలో త్ర్గత్ులు వ్రరిగర గణన చిహాిలను ల కిాాంచి ప్ౌనఃప్ునయాంగర వ్రాయాలి.

త్ర్గతి హదుద , అ అాంత్ర్ాం, అ మయ య విలువ నిర్ య విన్నాం:- త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం 10-19 వర్కూ వ్రసతవాంగర 9.5 నుాంచి ప్రార్ాంభ్మ ై 19.5 వద్ద అాంత్ాం అవుత్ుాంద్ి. ద్త్తాంశ గణనలు విర్ళశరరణిలో ఉనిప్ుడు 10-19, 20-29 త్ర్గత్ులు గర విభాజత్మ ైనప్ుడు, 10-19 త్ర్గత్అాంత్ర్ాంలో 9 ముాంద్ు త్ర్గతటి ఎగువ హద్ుద , 10-19 త్ర్గత్ అాంత్ర్ాంలో 10 త్ర్ువ్రత్ త్ర్గత్ ద్ిగువ హద్ుద మధ్య బ్దాంద్ువు 9.5 అవుత్ుాంద్ి. అవిర్ళ శరరణిలో గణన 25 అయితే, త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం 24.5 నుాంచి 25.56 మధ్య బ్దాంద్ువు “25” అవుత్ుాంద్ి. ప్ౌనఃపునయ విభాజనలో త్ర్గతి మయ య బాందువు కనుకకకనడ్నికి స్తూతా్ాం:- త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం అవిర్ళశరరణిలో ఉనిప్ుడు త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం విర్ళశరరణి ఉనిప్ుడు మధ్య బ్దాంద్ువు= ది్గువహద్ుద +ఎగువ

హద్ుద -ద్ిగువ హద్ుద / 2 = 24.5+29.5-24.5/2

= 24.5+5/2 = 24.5+2.5 = 27 మద్య బ్దాంద్ువు = 27

మధ్య బ్దాంద్ువు= ది్గువహద్ుద +ఎగువ హద్ుద -ద్ిగువ హద్ుద / 2

= 25+29-25/2 = 25+4/2

మధ్య బ్దాంద్ువు = 25+2 = 27


11

8.3. దత్త ాంశాం ఆన్ర్ాంగమ చ్చతా్ములను చ్చతిాoచుట (Pictoral depiction of data):- చిత్ాలు(లేద్్) ద్ృశయ ర్ూప్రలు అర్ధమ ైనాంత్ త ాంద్ర్గర సాంఖాయర్ూప్రలు అర్ధాం కరవు. అనేద్ి నిరివవ్రద్్ాంశాం. కరబటిట ద్త్త ాంశరనిి ర ఖా ప్టర్ూప్రలోల ప్దా్రిశసరత ర్ు. ర ఖాప్టాలు ద్త్త ాంశరల పో్ లికలనూ, వ్ ైవిధ్యలక్షణ్లునూ, విలక్షణ్లనూ త ాంద్ర్గర బయటప డత్యి. ద్ృశయ ప్టాలను గరర ప్ులు అాంటార్ు. i.e., చిత్పా్టాం, ప్ౌనఃప్ునయ సో ప్రనచిత్ాాం, బార్ ప్టాం మరియు ప ై ప్టాం. 8.3.1. సో ప్మన చ్చతా్ాం (Histogram):- ప్ౌనఃప్ునయ విభాజనాంలోని త్ర్గత్ అాంత్రరలు వర్ుసగర x- అక్షాం ప ై, ప్ౌనఃప్ున్యనిి Y-అక్షాంప ై త్రసుకొని ద్రర్ఘ చత్ుర్స ాఆకరర్ కడడ్లు ఒక ద్్నిని ఒకటి ఆనుకొని ఉాండే ర్ూప్ాంలో చూపతాంచే ర ఖా చిత్ ాప్టానిి సో ప్రన చిత్ాాం (Histogram) అాంటార్ు. ద్త్త ాంశాం అవిచిని త్ర్గత్ అాంత్రరలప ై అవిచిిని ప్ౌనఃప్ునయ విభాజకoలో ఉాంటుాంద్ి. త్ర్గత్ అాంత్రరల ప్ డవు కు సమానాం కరబటిట x- అక్షాంప ై త్గిన సేాలుతో త్ర్గత్ులను Y-అక్షాంప ై త్గిన సేాలుతో ప్ౌనఃప్ున్యలను గురితాంచి ఒకద్్నికి ఒకటి ఆనుకొని ఉాండే ద్రర్ఘ చత్ుర్సరాలు నిరిమాంచ్లి. ఉద్ 9:- 5వ త్ర్గతి విద్యర్ుు లకు గణిత్శమస్తత రాం యొకక యూనిట్ పర్ీక్ష యొకక మార్ుకల వివర్మలు ఇవాబడ్ా యి. మీర్ు ప్ౌనఃపునయ సో ప్మన చ్చతా్ాం గీయాండి? త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం (C.I) మార్ుాలు 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25

విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ 5 7 10 12 6 సమయ న: ఇచ్చిన దత్త ాంశాం ఆన్ర్ాంగమ సో ఫమనచ్చతా్ాం (Histogram) కిరాంది ఇవాబడిాంద?ి


12

8.3.2. బార్క్ పటాం (Bar Graph):- కొనిి సాంద్రరాలలో చిత్ా ప్టాలను గీయడాం కష్టాం మరియు ఎకుావ సమయాం త్రసుకుాంటుాంద్ి. అటువాంటి సాంద్రరాలలో సాంఖాయ ద్త్త ాంశాంను బార్ ప్టాం ర్ూప్ాంలో చూడవచుి.


13

బార్క్ పటాంను గీయుటకు కిరాంది నియహ మాలు ప్మటిాంచ్లి: 1. మొద్టగర అడ్ాంగర మరియు నిలువుగర గీత్లు గీయాలి (X- అక్షాంమరియు Y-అక్షాం) 2. అడు్ గీత్ గుాండ్ మార్ుాలు బార్ ప్టాంను గురితాంచవల ను (x-అక్షాం) 3. నిలువు గీత్గుాండ్ ఇచిిన వసుత వుల యొకా సాంఖయలు గురితాంచ్లి (Y-అక్షాం) 4. అడ్ాంగర గీచేటప్ుపడు ఇచిిన వసుత వుల యొకా సమానమ ైన వ్ డలుప గురితాంచవల ను. కృత్యాం(Activity):- ఒక త్ర్గతిలోనివిద్యర్ుు లలో ఒక వమర్ము ర్ోజులలో త్ర్గతికి హాజర్ు

కమని విద్యర్ుు ల యొకక బార్క్ పటాం ను కిరాంది ఇచ్చిన దత్త ాంశాం ఆన్ర్ాంగమ గీయుము.

రోజులు సో మ వ్రర్ాం

మాంగళ వ్రర్ాం

బుధ్ వ్రర్ాం

గుర్ు వ్రర్ాం

శుకర వ్రర్ాం

శని వ్రర్ాం

ఆద్ి వ్రర్ాం

హాజర్ు కరని విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ

7

16 11 9 18 20 25


14

సమయ న:- ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ఈ బార్ కిరాంద్ి ఇవవబడిన ద్త్త ాంశాం ప్తా్ సబజెక్సట కు రెాండు ప్రీక్షల యొకా మార్ుాలు ఇవవడాం జరిగిాంద్.ి ఈ సమాచ్ర్ాం ఆధ్ర్ాంగర వ్రటి బేద్ాం చూప్ుత్ూ బార్ ప్టాం గీయాండి.

త్ర్గత్/ప్రీక్ష తెలుగు ఇాంగీలష్ గణిత్ాం స ైన్్ సో ష్ల్డ అర్ధవ్రరిిక ప్రీక్ష 61 65 90 70 58 సాంవత్్ర్ ప్రీక్ష 68 72 80 57 76

సమయ న:- ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8.3.3 చ్చతా్ పటాం:- సాంఖాయ ద్త్త ాంశరనిి ఆధ్ర్ాంగర చేసుకొని బొ మమల గుర్ుత లను ఉప్యోగిసరత ర్ు. ఈ బొ మమల గుర్ుత లు సులభ్ాంగర గుర్ుత ాంచి ద్ృశయ ప్భాావాం ప్ ాంద్ుత్ము. “ఇచిిన ద్త్త ాంశాం నుాంచి సులభ్ాంగర గురితాంచడ్నికి గీసే బొ మమలనే చిత్ా ప్టాం అాంటార్ు”. ఉద్:-వివియ త్ర్గతి గదలిలోని విద్యర్ుు లను(బాలికలు) ఉపయోగిాంచ్చ, అ కిరాంది దత్త ాంశాం ఆన్ర్ాంగమ ఒక చ్చతా్ పటాలను గీయాండి?

త్ర్గత్ I వత్ర్గత్

2వ త్ర్గత్ 3వ త్ర్గత్ 4వ త్ర్గత్ 5వ త్ర్గత్

బాలికల సాంఖయ 25 20 30 10 15


15

సమయ న: త్ర్గత్ బాలిక విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ I II III IV V

చ్చతా్ పటాం గీయు విన్నాం:కొనిి సాంద్రరాలలో చిత్ ా ప్టాంలు గరయడాం కష్టాంతో కూడుకుని ప్ని. ఈ చిత్ాప్టాంలను సులభ్ాంగర గీయడ్నికి (లేద్్) గురితాంచడ్నికి “5” బాలిక విద్్యర్ుధ లను “_____” గుర్ుత తోనూ, “4” గుర్ు బాలిక విద్్యర్ుధ లను “_____” గుర్ుత తోనూ, మిగుీ ర్ బాలిక విద్్యర్ుధ లను “____” గుర్ుత తోనూ, ఇద్దర్ు బాలిక విద్్యర్ుధ లను “_____” గుర్ుత తోనూ, 1 బాలిక విద్్యరిధని “____” గుర్ుత తోనూ సూచిసరత ర్ు. 8.3.4 ప -ైపటాం: - “ఒక జన్భా (సరర్వత్ాక సమిత్)కి చెాంద్ిన విజయత్రయ ఉప్సమూహాల అనుప్రత్లను 360 డిగీరలకు(వృత్తాంలోనికి కోణ్నికి) చూపతసేత ఆ ప్టానిి వలయ ప్టాం అని అాంటాాం. అవరీీకృత్ ద్త్త ాంశాం నుాంచి ప ై ప్టాంతో సులభ్ాంగర వరీీకరిాంచవచుి. ఈ ప ై-ప్టాం మొత్తాం ఒక వృత్త నిి సూచిసుత ాంద్ి. ఈ వృత్తాంలోని ప్తా్ర భాగాం కొాంత్ కోణాం చేసూత చ్ప్ాం గీయబడిఉాంటుాంద్ి. = f/N x 360 డిగీరలు ఇాంద్ులో f= ఒక భాగాం హకా ప్ౌనఃప్ునయాం N= మొత్తాం ప్ౌనఃప్ునయాం (టోటల్డ) ఉద్: కిరాంది దత్త ాంశాం లేద్ సమర్మoశాం నుాంచ్చ ప ై-పటాంను గీచ్చ గుర్ితాంచాండి? మర్ియు చ్పాం పొ్ డవు కోణాంలను కనుకోకాండి.


16

Items of Erpenditure (వస్తుత వులుకు అయిన ఖ్ర్ుి )

Expenduture (ఖ్ర్ుి)

ఇలుు అదదద 21 వియ యత్ బలుు 03

వియ య 36 పామాణాం 06 ఆహార్ాం 42

ఇత్ర్ములు 12 మొత్తాం 120

సమయ న:

వసుత వులుకు అయిన ఖర్ుి/ద్ేనికోసాం ఖర్ుి

చేసుత న్ియో

ఖర్ుి చేసతన మొత్తాం మధ్య కోణాం

ఇలుల అద్ెద 21 360/120 x21=63 విద్ుయత్ బ్దలుల 03 360/120 x 03=9

విద్ుయత్ కు అయిన ఖర్ుి 36 360/120 x 36=108 ప్యాాణాం 06 360/120 x 06=18 ఆహార్ాం 42 360/120 x 42=126

ఇత్ర్ములు 12 360/120 x 12=36


17

ప ై-పటాం గీయడ్నికి మెటలు లేద్ సో ఫమన్లు:- 1. ప్తా్ర చ్ప్ాం యొకా మధ్య కోణాంను గణన చేయాలి. 2. సరెైన వ్రయసరర్ధాంతో వృత్త నిి గీయాలి. 3. వ్రయసాంను వృత్తాంలో గడియార్ాం ద్ిశలో గరని (లేద్్) గడియార్ాం వయత్ర ఖ ద్ిశలో గరని

గీయవచుి. 4. ఒకొాకా చ్ప్ాంను కు (sector) ఒకొాకా ర్ాంగుతో గురితాంచ్లి. అప్ుడు మనకు

సులభ్ాంగర అర్ధాం అవుత్ుాంద్ి. 8.4 దత్త ాంశ విభ్జన (లేద్) పర్ిశీలన (data analysis):- ఒక ద్త్త ాంశ సవభావ్రనిి తెలియజ సేాంద్ుకు క ాంద్రాయ ప్వాృత్త మాప్న్లు, చ్ర్శీలత్ మాప్న్ల గణన అత్యాంత్ ప్రాముఖాయనిి కలిగి ఉాంద్ి. క ాంద్రయా ప్వాృత్త మాప్న్లు (Measures of central tendency) మాప్న గణన ద్్వరర ద్త్త ాంశరలు ఏ బ్దాంద్ువు వద్ద క ాంద్రకాృత్ాం అయాయయో తెకుసుత మిద . ద్రని ద్్వరర ద్త్త ాంశాం ప్ూరిత సవభావాం గరహ ాంచలేాం. రెాండు సమూహ ద్త్త ాంశరల సగటు ఒకటట అయిన్ వ్రటి అాంత్రీ్త్ సవభావాం ఒకటట అని చెప్పడ్నికి వీలులేద్ు. ఆ ద్త్త ాంశ గణనల “విసతర్ణ” తెలిసతనప్ుడు మాత్మేా ఆ రెాండు సమూహాల ద్త్త ాంశ సవభావాంలో భేద్ాం తెలుసుకోగలాం. ఉద్:(a) 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (b) 5, 9, 10, 13, 19, 17, 18


18

ప ై రెాండు (a,b) లలో ఉాండే ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర మధ్య విలువ రెాండిాంటికీ ఒకాటట (13) అయినప్పటికీ, (a) లో మద్య విలువకు ద్గీర్గర మిగత్ విలువలు ఉన్ియి. (b) లో మద్య విలువకు ద్గీర్గర విలువలు లేవు. వయత్యసాం చ్లా ఎకుావగర ఉాంద్ి. ద్రనిన ేబేద్ాం (లేద్్) తేడ్ అాంటార్ు. 8.4.1 క ాందరాయ పావృతితమాన్లు(Measures of central Tendency):- ద్త్త ాంశాంలోని గణ్ాంకరలను ఒక సేాలు ప ై అమరిసేత ఒక ద్ిగువ, ఎగువ హద్ుద లలో ఇమిడి ఉాంటాయి. గణ్ాంకరలన్ని ఏద్ో ఒక విలువ వద్ద పో్ గుప్డికరని, ఎకుావ సిలాంలో ద్ూర్ ద్ూర్ాంగర విసతర్ాంచబడి గరని, కొనిి సిలాలోల ఒక విధ్ాంగర అమర్ిబడి గరని ఉాండవచుి. అయితే పో్ గు ప్డిన విలువలు సేాలు మధ్యసిలాంలో కూడ్ ఉాండవచుి. ఇలా ఒక విలువ వద్ద ఎకుావ విలువలు పో్ గుప్డడాం లేద్్ క ాంద్రకాృత్మవడ్నిి క ాంద్రయా ప్వాృత్త అాంటాాం. క ాంద్రయా ప్వాృత్ుత లను మూడు ర్కరలుగర మాప్నాం చేయవచుి. అవి 1) అాంక మధ్యమాం, 2) మధ్యగత్ాం, 3) బాహుళకాం. 8.4.1.1 అాంక మయ యమాం (Airthmatic Mean):- “ఒక ద్త్త ాంశ రరసుల మొత్త నిి ఆ రరసుల సాంఖయతో భాగిాంచగర వచేిద్ి అాంకగణిత్ మధ్యమాం” ద్రనిని“సగటు” అని కూడ్ అాంటాాం. ద్త్త ాంశాం ఆధ్ర్ాంగర సమసరయ సరధ్నను రెాండు విద్్లుగర విభ్జాంచవచుి. అవి అవరీీకృత్ ద్త్త ాంశాం, వరీీకృత్ ద్త్త ాంశాం. a) అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి అాంక మయ యమాం కనుకకకనుట (Mean of ungrouped data):- ప్రీక్ష్యాంశరల నుాంచి నేర్ుగర ప్ ాంద్ిన గణనలను అవరీీకృత్ ద్త్త ాంశాం అాంటాాం. ఈ ప్ద్దత్లో ప్ౌనఃప్ునయ విభాజన ప్టిటక ఉాండద్ు. అవరీీకృత్ ద్త్ాంశాం అాంకమధ్యమానిి కనుకోావ్రలాంటట ద్త్త ాంశాంలోని రరశుల మొత్త నిి ఆ ద్త్త ాంశ సాంఖయచే భాగిసేత వసుత ాంద్ి. ద్త్త ాంశాంలో రరశులు (గణనలు) X1, X2, X3,.............................Xn రరశులు, రరశుల సాంఖయ‘n’ అయితే అాంకమధ్యమాం = X1, X2, X3,................... / n = ∑x/n =


19

M = రరసుల మొత్తాం/రరసుల సాంఖయ ఉద్: ఒకవడడా మాయచ్ లలో ద్ని సో కర్ు 33, అ 17, అ 60, అ 25 మర్ియు 45 చేసమడు. అయిత ేఅాంక మయ యమాం కనుకోకాండి? సమయ నమొత్తాం ప్ర్ుగులు (సో ార్) = 33+17+60+25+45=180 మాయచ్ ల సాంఖయ = 5 సరరసరి ప్ర్ుగులు = మొత్తాం ప్ర్ుగులు/మాయచ్ ల సాంఖయ = 180/5=36 (ఒక మాయచ్ లో ప్ర్ుగుల సరరసరి =36) b) వర్ీీకృత్ దత్త ాంశాం నుాంచ్చ అాంకగణిత్ స్తగటల కనుకోకవమడాం:- అవరీీకృత్ ద్త్త ాంశరనిి త్ర్గత్ అాంత్రరలుగర విభ్జాంచి ప్ౌనఃప్ుణయ విభాజన ప్టిటక త్యార్ు చేయడాం ద్్వరర వచిిన ద్త్త ాంశరనిి వరీీకృత్ ద్త్త ాంశాం అాంటార్ు. ద్త్తాంశ గణనలు 30 కాంటట అధ్కాంగర ఉనిప్ుడు అవరీీకృత్ విద్్నాంలో సమసయ సరధ్న సాంకిలష్టత్ను కలిగి ఉాంటుాంద్ి. అాంద్ువలల ద్త్త ాంశరనిి వరీీకరిాంచి సమసయను సరధిాంచడాం సులభ్ాం. ఇాంద్ులోరెాండు ప్ద్ధత్ులున్ియి. 1. ద్రర్ఘ ప్ద్దత్ (Lang Methode) 2. సాంక్ష్ిప్త ప్ద్దత్ (Short Method) 1. దరర్ఘపదదతి:- ఈ ప్ద్దత్ ద్్వరర సమసయ సరధ్నకు కిరాంద్ి సూత్ానిి ఉప్యోగిాంచ్లి. అాంకమధ్యమాం (M) = ∑fx/N = ∑fx/∑f M = అాంక మధ్యమాం , ∑f = x= ప్ౌనః ప్ునయాం, మధ్యమ విలువ ∑f = N= ప్ౌనఃప్ునయాం, x = త్ర్గత్అాంత్ర్ాంయొకామధ్యబ్దాంద్ువు∑f= N = గణనలసాంఖయలేద్్ ప్ౌనఃప్ున్యల మొత్తాం ఉద్: సో ర్క్్(త్ర్గతి అాంత్ర్ాం) 0-

10 10-20

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

ప్ౌనఃపునయాం 5 6 12 8 10 6 6 సమయ న: సో ార్్(త్ర్గత్అాంత్ర్ాం) Frequency (f) Midpoint (x) f x x

0-9 5 5 25


20

19-29 6 15 90 29-39 12 25 300 39-49 8 35 280 49-59 7 45 315 59-69 5 55 330 69-79 5 65 390

∑f = 500 ∑fx = 1730 సరరసరి = ∑fx/∑f= ∑fx/N ∑fx = ప్ౌనఃప్ునయాం, మధ్య విలువల లబదాం N = ప్ౌనః ప్ుణ్యల మొత్తాం అాంకగణిత్ మధ్యమాం = 1730/50 = 34.6 Activity – 6 ఒక వ్రర్ాంలో న్నవు చద్ివ్ే గాంటలు యొకా సరరసరిని ల కిాాంచాండి. ఒక వ్రర్ాంలో న్నవు నిద్ ాపో్యిే గాంటలు యొకా సరరసరి కనుకోాాండి. 2. స్తాంక్ష్ిపత పదదతికకలిపితత్ మయ యమ పదదతి ద్ార్మ అాంకమయ యమాం కనుకోకవడాం. (Short Method):- ద్రర్ఘ ప్ద్దత్ కాంటట ఈ ప్ద్దత్ సులభ్మ ైoద్ి. గణనలు అధికాంగర ఉనిప్ుడు లేద్్ మధ్య బ్దాంద్ువు విలువ అధికాంగర ఉనిప్ుడు ఈ ప్ద్దత్ ఉప్యోగాంగర ఉాంటుాంద్ి. ఉద్:కిరాంది ఇచ్చిన దత్త ాంశమనికి అాంకమయ యమాం కనుకోకాండి?

త్ర్గతి అాంత్ర్ాం (c.i.) 0-9 9-19 19-29 29-39 39-49 49-59 59-69 ప్ౌనఃపునయాం 5 6 12 8 7 6 6


21

సమయ న:-

త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం (class Intenal c.i)

ప్ౌనఃప్ునయాం(f) మధ్యవిలువ(x) విచలన్లు (deviatias) d=x-A.M

f x d

0-9 5 5 -2 -10 9-19 6 15 -1 -6 19-29 12 25 0 0 29-39 8 35 1 8 39-49 7 45 2 14 49-59 6 55 3 18 59-69 6 65 4 24

N =50 ∑fd =48

A.M = 25, N=50, ∑fd = 47, C.I = 10 సాంక్ష్ిప్త అాంకమధ్యమాం (A.M) = A.M+∑fd/N X C.I = 25+48/50 X 10 25+9.6 = 34.6 Activity - 7


22

కిరాంది స్తాందర్మాలలో అాంక గణిత్ మయ యమాం గనిసమత ాం:- విసతర్ణ సరధ్ర్ణమ ైనప్ుడు. రెాండు సమూహాల గణనలు పో్ లిడ్నికి. ప్తా్ గననను ప్రిగణనలోనికి త్రసుకోవలసత వచిినప్ుడు. వ్రసతవ, కలిపత్ సమాచ్ర్ాం ప్ ాంద్డ్నికి ప్రామునిక విచ్లనాం ప్ ాంద్డ్నికి (లేద్్) గణిాంచడ్నికి బాహుళకరనిికనుగొనడాంలో అాంకగణిత్ సగటును ఉప్యోగిసరత o ద్త్త ాంశ విశవసన్నయత్ ప్ ాంద్డ్నికి కిరాంది స్తాందర్మాలలో అాంకగణిత్ాం మయ యమo గణిాంచo 1. అనిి గణనలు అాంద్ుబాటులో లేనప్ుడు 2. విసతర్ణ అసరధ్ర్ణమ ైనప్ుడు (వ్ ైష్మయమ ైనప్ుడు) 3. ద్త్త ాంశ ప్రిశీలన ద్్వరర గణిాంచలేాం. య ర్మాలు: క ాంద్రయా ప్వాృత్తమాన్లలో విశవసతాంచద్గిాంద్ి. గణిాంచడ్నికి గణనలకు కరమాం అవసర్ాం లేద్ు. అవర్ీీకృత్ాందత్త ాంశాం యొకక అాంకమయ యమ ప్ౌనఃపునయాం:- ఉద్: ర్ాంజిత్ యొకక పాతి ర్ోజు వమర్ి వేత్నాంల వివర్మలు ఇవాబడినవి. అయిన స్తర్మస్తర్ి పాతి ర్ోజు వేత్నాం కనుగొనుము: పాతితోజు వేత్నాం 120 130 140 145 150 ర్ోజుల స్తాంఖ్య 5 4 7 6 8


23

సమయ న: Daily wages (in)(x) ప్తా్రోజూ కూలీ (వ్ేత్నాం)

రోజుల సాంఖయ (f) fX x

120 5 600 130 4 520 140 7 980 145 6 870 150 8 1200

∑f =30 ∑fx = 4170 సరరసరి= మొత్తాం వ్ేత్నము / రోజుల సాంఖయ = ∑fx/∑f = 4170/30 = 139 ర్ాంజత్ యొకా ప్తా్రరోజు వే్త్నాం 139/- Activity – 8 కిరాంద్ి ప్టిటక యొకా సరరసరి ల కిాాంచాండి.

వచ్చిన మార్ుక లు 15 17 20 22 24 25

విద్యర్ుు ల స్తాంఖ్య 3 5 9 4 7 2

8.4.1.2 మయ యగత్ాం(Median):- ద్త్త ాంశ విసతర్ణలో మధ్యసి బ్దాంద్ువును మాధ్యమిక లేక మధ్యగత్ాం అాంటార్ు. మధ్యగత్ాం విసతర్ణలో మధ్య బ్దాంద్ువుని సూచిసుత ాంద్ి. “ఏ చర్రరశి విలువ ఆ సమూహానిి రెాండు సమ భాగరలుగర విభ్జసుత ాంద్ో ఆ చర్రరశిని ఆ సమూహానికి మధ్యగత్ాం అన్ిడు. ఇాంద్ులో ఒక భాగాం మధ్యగత్ాం కాంటట ఎకుావ విలువను కలిగి ఉాండవచుి. మరొక భాగాం మధ్యగత్ాం కాంటట త్కుావ విలువను కలిగి ఉాండవచుి. అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి మయ యగత్ాం కనుకోకవడాం:- ద్త్త ాంశాంలోని గణనలను ఆరోహణ లేద్్ అవరోహణ కరమాంలో వ్రాయాలి. మధ్యగత్నిి కనుకోావ్రలాంటట


24

1. కొలత్ల సాంఖయ బేసత సాంఖయ అయినప్ుడు మధ్యగత్ాం = N+1/2 వ విలువ వర్ుస విలువ అవుత్ుాంద్ి. 2. కొలత్ల సాంఖయ సరి సాంఖయ అయినప్ుడు మాధ్యమిక =N/2, N+1/2 ల సగటు మధ్యగత్ాం విలువ అవుత్ుాంద్ి. అాంటట మధ్యగత్ాం= ½ [N/2 + (N/2+1) (or) N/2+(N/2+1)/2 ఉద్: ఒకస్తూకల్ లో 10 మది ఉప్మద్యయుల యొకక వివర్మలు (వయస్తు్లు) ఇవాబడినవి. అయిన దరనిలో మయ యగత్ వయస్తు్ను కనుకోకాండి? వయస్తు్లు: 37, అ 34, అ 52, అ 45, అ 50, అ 41, అ 31, అ 40, అ 36, అ 55. సమయ న:ఉప్రద్్యయుల వయసు్లు అమరికను ఆరోహణ కరమాంలో వ్రాయగర వ్రరి వయసు్లు 31, 34, 36, 37, 10, 41, 45, 50, 52 మరియు 55 (చిని నుాండి ప ద్దకు) ఇకాడ మొత్తాం 10 మాంద్ి ఉప్రద్్యయులు వయసు్లు ఇవవబడినవి కరవున 10 సరిసాంఖయ కరబటిట అప్ుడు (N/2+(N/2+1)/2 సూత్ాాం ఉప్యోగాంచ్లి. ఉప్రద్్యయుల వయసు్లో 40, 41 మధ్యగర ఉన్ియి కరబటి్ట N=10 కరబటిట N/2= 5వ సాంఖయ , N+1/2 = 6 వ సాంఖయ మధ్యగత్ాం= 40+41/2 [N/2+(N/2+1)/2] = 81/2 = 40.5 [ఇకాడ మధ్యగత్ాం 40.5 సాంవత్్రరలు] ఉద్:ఇాండియన్ కిరక టర్క్్ ఒక వనాే మాయచ్ లో సమనిాంచ్చన సో కర్క్ వివర్మలు కిరాంద ఇవాబడ్ా యి. అయిన మయ యగత్ాం కనుకోకాండి. సో కర్క్్: 95, అ 40, అ 2, అ 55, అ 10, అ 38, అ 33, అ 22, అ 0, అ 18, అ 8. సమయ న: సో ార్(ర్న్్ ని ) అవరోహణ కరమాంలో వ్రాయగర 95, 55, 40, 38, 33, 22, 18, 10, 8, 2, 0 ఇకాడ మొత్తాం 11 కరబటిట ఇద్ి బేసత సాంఖయ అప్ుడు మధ్యగత్ాంనుకు సూత్ాాం మధ్యగత్ాం= ½ (N+1) = 11+1/2 = 12/2 =6 = 2(వసుకరమాంలో చూచినప్ుడు 22 అనేద్ి‘6’ ప్రిశీలన) Hence the Median Score is 22.


25

ప్ౌనఃపునయ విత్ర్ణ అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశాం యొకక మయ యగత్ాం:- ఉద్: కిరాంది దత్త ాంశాం యొకక మయ యగత్ాం కనుకోకాండి? ఇచ్చిన మార్ుకలు 17 20 15 22 18 25 విద్యర్ుు ల స్తాంఖ్య 5 8 6 7 10 3

సమయ న: ప్ ాంద్ిన మార్ుాలు (x) విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ (f) సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం (cf)

15 6 6 17 5 6+5=11 18 10 11+10=21 20 8 21+8=29 22 7 29+7=36 25 3 36+3=39 N=∑f = 39 ∑cf = 142

ఇకాడ మధ్యగత్ాం = N+1/2 = 39+1/2 = 40/2 = 20 ప్ౌనఃపునయ దత్త ాంశాం యొకక వర్ీీకృత్ మయ యగత్ాం (grouped data):- ఉద్: కిరాంది ఇచిన దత్త ాంశాం ఆన్ర్ాంగమ మయ యగత్ాం కనుకోకాండి? పొ్ ాందిన మార్ుకలు (త్ర్గతి అాంత్ర్ాం)

30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

విద్యర్ుు ల స్తాంఖ్య (f)

1 3 8 15 10 9 4


26

సమయ న: ప్ ాంద్ిన మార్ుాలు (త్ర్గత్

అాంత్ర్ాం (C.I) విద్్యర్ుధ ల సాంఖయ (f) సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం (cumal

ative freuey) 30-39 (C.I) 1 1

40-49 3 4 50-59 8 12(F) 60-69 15 (fm) 27 70-79 10 37 80-89 9 46 90-99 4 50

N = 50 ఇకాడ మొత్తాం గణనల సాంఖయ = ప్ౌనఃప్ున్యల మొత్తాం =50 మధ్య బ్దాంద్ువు = N/2 = 50/2 = 25 25 వ గణన మధ్య బ్దాంద్ువు, అద్ే మధ్యగత్ాం/మాధ్యమిక అవుత్ుాంద్ి. మధ్యగత్ాం(Median) = Lm +[(N/2)-F/fm] x C.I Lm = మధ్యగత్ాం ఉని త్ర్గత్ ద్ిగువ హద్ుద . N = ప్ౌనఃప్ున్యల మొత్తాం F = మధ్యగత్ త్ర్గత్ ఎగువన ఉని ఆరోహణ సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం. f = మధ్యగత్ త్ర్గత్ ప్ౌనఃప్ునయాం C.I = త్ర్గత్ ప్ డవు/అాంత్ర్ాం. మధ్యగత్ాం(M) = L+[N/2-F/fm] x C.I మధ్యగత్ాం అనేద్ి 25,26ల మధ్య ఉాంటుాంద్ి. కరబటిట డ్నికి సమాన సరి యిలో ఉాండే త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం యొకా విలువ త్రసుకోవ్రలి. ఇకాడ సరి యి అనేద్ి 60-69 ల మధ్యలో ఉాంద్ ికరబటిట అకాడ మధ్యగత్o 59.5 Fm=15, C.I = 10, F = 12


27

M = 59.5+(25-12/15) X 10 = 59.5+13/15X10 = 59.5+130/15 = 59.5+8.6 = 68.1 కిరాంది స్తాందర్మాలలో మయ యగత్ాం లేకికసమత ాం:-

ద్త్త ాంశ మధ్య బ్దాంద్ువు తెలుసుకోవడ్నికి త్వర్గర ద్త్తాంశ సగటును గణిాంచడ్నికి విసతర్ణఅప్సరమానయమ ైనప్ుడు(వ్ ైష్మయమ ైనప్ుడు) త్ర్గత్ అాంత్రరల ప్ౌనఃప్ునయాం శూనయమ ైనప్ుడు ఖచిిత్సమాచ్ర్ాం అవసర్ాం లేనప్ుడు గణనలు విసతరిాంచి ఉనిప్ుడు. బాహుళకాం గణిాంచడ్నికి ద్త్త ాంశరనిి ప్రిశీలన ద్్వరర గణిాంచడ్నికి కనిష్ట, గరిష్ట అవసర్ాం లేనప్ుడు మధ్యగత్ాం గనిసరత ాం.

కిరాంది స్తాందర్మాలలో మయ యగత్ాం గనిమిాం:-

రెాండు ద్త్త ాంశరలను ప్ో లిడ్నికి బీజగణిత్ ప్ద్ధత్ులకు అనువుగర లేనప్ుడు గణనలు అధిక సాంఖయలో ఉనిప్ుడు మధ్యగత్ాం గణిాంచo

య ర్మాలు:- మధ్యగత్ాం కనుకోావాండాంలో అనిి విలువలు ప్రలగీ నవు (అాంకమాధ్యమాంలో అనిి

విలువలు ప్రలగీ ాంటాయి). ద్త్త ాంశ మధ్య విలువలను సూచిసుత ాంద్ి. సులభ్ాంగర అర్ధాం అవుత్ుాంద్ి. ద్రని విలువ కనిష్ట, గరిష్ట విలువల వలల మార్ుప చెాంద్ద్ు.


28

8.4.1.3 MODE (బాహుళకాం):- ద్త్త ాంశ విసతర్ణలో త్ర్ుచుగర వచేి గణనను “బాహుళకము అాంటార్ు. ఇద్ి ద్త్తాంశాంలో అనిి గణనలు కాంటట అధిక ప్రరయయాలు వసుత ాంద్ి. Mode అాంటట ఇాంగీలష్ు ప్ద్ాం La mode అనే ప ాాంచ్ ప్ద్ాం నుాంచి ఉత్పనిమ ైనద్ి. La mode అాంటట ఫరయష్న్ లేద్్ చ్లా పేర్ుని ద్ృగివషతయాం అని అర్ధాం. “ద్త్త ాంశ విసతర్ణలో త్ర్ుచుగర కనిపతాంచే గణనననే “బాహుళకాం” అాంటాాం కరో ద్ికరో అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి బాహుళకము కనుగొనుట:- ఉద్: ఇాండియా కిరక ట్ ఆటగమళళ యొకక వయస్తు్లు ఇవాబడ్ా యి. అయిన బాహుళకము కనుగొనాండి? 29, అ 38, అ 19, అ 24, అ 34, అ 29, అ 24, అ 38, అ 23, అ 28 , అ 24 సమయ న:- వీరి వయసు్ల బాహుళకాం 24 ఎాంద్ువలననగర ద్త్త ాంశాంలో త్ర్ుచుగర వచేి సాంఖయ బాహుళకాం ఈ ద్త్త ాంశాంలో 19, 23, 24, 24, 24, 28, 29, 29, 34, 38, 38 24 ఎకుావ సరర్ుల వచిిాంద్ి. ఈ విలువనే బాహుళకాం అాంటార్ు. వర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి బాహుళకాం కనుకోకవడాం:- త్ర్గతి అాంత్ర్o

18-22

23-27

28-32

33-37

38-42

43-47

48-52

53-57

58-62

ప్ౌనఃపునయాం

04 05 20 31 22 07 06 03 02

సమయ న:-

త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ప్ౌనఃప్ునయాం 18-22 04 23-27 05 28-32 20 f1 33-37 31 f 38-42 22 f2


29

43-47 07 48-52 06 53-57 03 58-62 02

బాహుళకప్ు త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ద్ిగువ హద్ుద (l) = 32.5 1=f-f1 = 31-20 =1 2=f-f2= 31-22 =9

ఎకుావ గణనలు (31) గల త్ర్గత్ 33.37 ద్రనినే బాహుళకాం త్ర్గత్ అాంటాాం. బాహుళక త్ర్గత్కి ఎద్ుర్ుగర ఉని ప్ౌనఃప్ునయాం (f) బాహుళక త్ర్గత్కి ప ైన ఉని ప్ౌనఃప్ునయాం f1 = 20 బాహుళక కిాంద్ ఉని త్ర్గత్ ప్ౌనఃప్ునయాం f2 =22 ద్రనిలో త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం 5

బాహుళకరనికి సూత్ాాం(m) = l + / x C.I = l + f –f1/(f-f1) + (f-f1) x C. I ప ై విలువలను ప్తా్క్ష్ పతాంచగర (M) = 32.5 + 31-20/(31-20)+(31-22) X 5 = 11/11+9 X 5 + 32.5 = 32.5 + 2.75 బాహుళకాం(MODE) = 35.25 అాంటట 100 మoద్ి విద్్యర్ుధ లలో 35 మార్ుాలు వచిినవ్రర్ు అధ్కాంగర ఉన్ిర్ని చెప్పవచుి.

కిరాంది స్తాందర్మాలలో బాహులకమనిి గనిసమత ాం:-

విసతర్ణ అసాంప్ూరితగర ఉనిప్ుడు ద్త్త ాంశ సగటు సుమార్ుగర అాంచన్ వే్యడ్నికి త్ర్ుచుగర వచేి గణనను తెకుసుకోవడ్నికి


30

అాంకగణిత్ సగటు మధ్యగత్ాం తెలిసతనప్ుడు బాహుళకాం = (3 x మధ్యగత్ాం)–(2x అాంకమధ్యమాం)

చ్లా మాంద్ి విద్్యర్ుధ లు ప్ ాంద్ిన మార్ుాలు తెలుసుకోవడ్నికి కిరాంది స్తాందర్మాలలో బాహుళకాం గణిాంచo:-

కచిిత్ సమాచ్ర్ాం అవసర్ాం ఉనిప్ుడు రెాండు ద్త్తాంశ విలువలును పో్ లిడ్నికి విశరవసన్నయ సమాచ్రరనిి ప్ ాంద్డ్నికి

య ర్మాలు:- బాహుళకాం కనుకోావడాంలో అనిి విలువు ప్రలోీ న్వు ద్త్త ాంశాంలో ఇద్ి ఒక అాంశాం ప్రిశీలన ద్్వరర గణిాంచవచుి.

8.4.2 చర్శీలత్ మాన్లుకవిస్తతర్ణ కకలత్లు (Measures of variability Dispersion):- క ాంద్రయా మాప్న్ల వలల ద్త్త ాంశాంలోని గణనలు ఏ విధ్ాంగర క ాంద్రకాృత్మ ై ఉన్ియనే విష్యాం తెలుసుత ాంద్ి. ఈ సమాచ్ర్ాంతో ద్త్త ాంశ ప్ూరిత సవభావ్రనిి అవగరహన చేసుకోవడాం కష్టాం. ద్త్త ాంశ ప్ూరిత సవభావ అవగరహనకు గణనలు ఏ విధ్ాంగర క ాంద్ాాం చుటయట విసతరిాంచి ఉన్ియో తెలియాలి. ఈ విధ్ాంగర క ాంద్ాాం చుటయట గణనలు విసతరిాంచద్్నిి “చర్శీలత్” అాంటార్ు. చర్శీలత్ మాన్లు 4 ర్కరలు: అవి 1. వ్రయపతత (Range) 2. చత్ురరద ాంశక విచలనాం (Quartile Deviation) 3. సగటు విచలనాం (Average Deviation) 4. ప్రామాణిక విచలనాం (Standard Deviation) 8.4.2.1 వమయపతత (Range):- “ద్త్తాంశాంలోని గరిష్ట , కనిష్ట విలువల బేద్్నిి వ్రయపతత అాంటార్ు.” ద్త్తాంశ విసతర్ణను అత్ సులభ్ాంగర, శీఘ్రాంగర మాప్నాం చేయవచుి.ద్త్త ాంశాంలోని రెాండు గణనలను మాత్మేా ప్రిగణలోకి త్రసుకుాంటాము. ఒకోాసరరి ద్త్త ాంశాంలో విలువలలో గణనలు విసతరివ్ేసతనటుగర


31

ద్ూర్ాంగర ఉాండవచుి. ఈ సాంద్రరాలలో ఇద్ి అాంత్ విశవసన్నయాం కరద్ు. ద్త్తాంశాంలో ఇత్ర్ గరననలకు ప్రాధ్యనయాం లేద్ు. ఉద్:ఈసో కర్క్్2, అ 5, అ 6, అ 4, అ 12, అ 10, అ 9 మర్ియు 8 ల వమయపతత కనుకోకాండి? సమయ న: మ ద్టగర ఇచిిన ద్త్త ాంశరనిి ఆరోహణ (లేద్్ అవరోహణ కరమాంలో వ్రాయాలి. ఆ త్ర్ువ్రత్ ప ద్ద విలువ నుాంచి చిని విలువను త్రసతవ్ేయాలి. 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 వ్రయపతత= 12-2 = 10 ఉద్ 2: 10 మాంది విన్యర్ుద లుకు తదలుగులో వచ్చిన మార్ుకలు 30, అ 38, అ 42, అ 50, అ 49, అ 60, అ 56, అ 78, అ 80, అ 82 అయిత ేవమయపతతని, అ వమయపతత గుణకమనిి తదలపాండి? సమయ న: వ్రయపతత= గరిష్ట విలువ – కనిష్ట విలువ =82-30=52 వ్రయపతత గుణకాం = గరిష్ట విలువ – కనిష్ట విలువ/ గరిష్ట విలు + కనిష్ట విలువ = 82-30/82+30 = 52/112 = 0.46 (వ్రయపతత గుణకాం) కిరాందిస్తాందర్మాలలోవమయపతతనిగనిసమత ాం:-

త్వరిత్ాంగర ద్త్తాంశ వ్రయపతతనిప్ ాంద్డ్నికి గరిష్ట , కనిష్టవిలువలుతెలిసతనప్ుడు ప్ౌనఃప్ునయవిభాజనప్టిటకత్యార్ుచేయడ్నికివ్రయపతతనిగనిసరత ాం.

య ర్మాలు:- 1. వ్రయపతతని సులభ్ాంగర గణిాంచవచుి. 2. ద్త్త ాంశ సవభావ్రనిి అాంచన్ వ్ేయడ్నికి విశవన్నయమ ైనద్ి. కరద్ు. 3. మధ్యసి గణనల విసతర్ణ సతిత్ని చెప్పలేద్ు.

8.4.2.2 చత్ుర్మద ాంశక విచలనాం: (Q.D);- ద్త్త ాంశాంలోని కనిష్ట, గరిష్ట గణనల భేద్్నిి వ్రయపతత ద్్వరర కనుకోామాత ాం. కొనిి సాంద్రరాలలో ద్త్త ాంశాంలోని అాంత్రీ్త్ గణనల విసతర్నన్ను కనుకోాల ాం. ద్త్త శాంలోని అాంత్రీ్త్ విసతర్ణ సవభావ్రనిి తెలుసుకోవడ్నికి చత్ురరద ాంశక విచలనాం ఉప్యోగప్డుత్ుాంద్ి. ద్త్త ాంశ గణన్ల్డ విభాజన్నిి 4 భాగరలుగర విభాజసరత ాం.


32

కిరాంద్ి ర ఖను విభాజన ర ఖ అనుకుాంటట, ద్్నిలో న్లుగు సమాన భాగరలు ప్ౌనఃప్ునయ విభాజనాంలో మొత్తాం ప్ౌనఃప్ున్యల సాంఖయ N అయితే, ఆరోహణ సాంచిత్ ప్ౌనః ప్ుణయాంలో N/4 వ విలువ 25 గణనలను విభ్జాంచే బ్దాంద్ువు. ద్రనినే ప్దా్మ చత్ురరద ాంశక విచలనాం అాంటార్ు. ద్రనిని Q1 తో సూచిసరత ాం. ఆరోహణ సాంచిత్ పో్ విఃప్ునయాంలో N/2 విలువ 50% గణనలను విభ్జాంచే బ్దాంద్ువు. ద్రనిని మధ్యగత్ాం అాంటాాం. ద్రనిని Q2 తో సూచిసరత ాం. అద్ే విధ్ాంగర 3/4N విలువ 75% గణనలను విభ్జాంచే బ్దాంద్ువు. ద్రనినిత్ృత్రయ చత్ురరద ాంశక విచలనాం అాంటాాం. ద్రనిని Q3 తో సూచిసరత ాం. చత్ురరద ాంశక విచ్లన్నిి త్ృత్రయ, ప్దా్మ చత్ుర్ధాంశకరల భేద్ాంలో సగాంగర త్రసుకుాంటాాం. ద్త్త ాంశరల మధ్య బ్దాంద్ువు Q2 నుాంచి గణనలు ఏ విధ్ాంగర విసతరిాంచి ఉన్ియో చత్ురరద ాంశక విచ్లన మాప్నాం ద్్వరర తెలుసుకోవచుి. ద్రనిని అర్ధ చత్ుర్ధాంశక వ్రయపతత అని కూడ్ అాంటార్ు. చత్ురరద ాంశక విచ్లన గణన ద్్వరర ద్త్తాంశాంలోని వ్ ైశరమానిి (Skewness) , కుకుద్త్ (Kurtosis) ని గణిాంచవచుి. అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి చత్ుర్మద ాంశ విచలనాం కనుకోకవడాం:- ఉద్:- 20 మద ివిన్యర్ుు లకు యూనిట్ పర్ీక్షలో సమమానయ శమస్తత రాంలో వచ్చిన మార్ుకలు 8, అ9, అ 11, అ 13, అ 12, అ 10, అ 8, అ 14, అ 15, అ 18, అ 19, అ 16, అ 15, అ 20, అ 12, అ 17, అ 7, అ 15, అ 16 అయిన చత్ుర్మద ాంశ విలువ గణిాంచoడి? సమయ న:- ప ైన ఇచిియా గణనలను ఆరోహణ కరమలో వ్రాయగర 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14 15, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20, 21 Q1 Q2 Q3 ద్త్త ాంశ విలువల సాంఖయ N = 20 ద్త్త ాంశ విలువల మధ్య బ్దాంద్ువు = 20/2 = 10(మధ్య బ్దాంద్ువు) ద్త్త ాంశ ఆరోహణ కరమానిి ఎడమ నుాంచి ల క ాసేత 10వ ప్ద్ాం 14, కుడి నుాంచి ల క ాసేత మధ్య బ్దాంద్ువు = 14+15/2 = 14.5 ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక సాంఖయ Q1 = 20/4 = 5 వ సాంఖయ = 10 త్ృత్రయ చర్ురరద ాంశక సాంఖయ Q3 = 3/4 X20 = 15 =15 వ సాంఖయ = 16 చత్ురరద ాంశక విచలనాం (Q.D) = Q3-Q1/2 = 16-10/2 = 6/2 = 3


33

చత్ురరద ాంశక విచలనాం (Q.D) = 3 వర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి చత్ుర్మద ాంశక విచలనాం కనుకోకవడాం:- ఉద్:కిరాంది వర్ీీకృత్ దత్త ాంశాం నుాంచ్చ చత్ుర్మద ాంశక విచలనాం కనుకోకవడాం.

త్ర్గతి అాంత్ర్ాం

20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

90-100

ప్ౌనఃపునయాం 1 3 11 18 10 4 2 1 సమయ న:త్ృత్రయ, ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక విచ్లన్ల భేద్ాంలో సగరనిి చత్ురరద ాంశక విచలనాం అాంటార్ు. ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక విచ్లన బ్దాంద్ువు 25%, త్ృత్రయ చత్ురరద ాంశక విచ్లన బ్దాంద్ువు 75% గణనలను సూచిాంచే బ్దాంద్ువులు

త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం ప్ౌనఃప్ునయాం సరరాంత్ ప్ౌనఃప్ునయాం 20-30 1 1 30-40 3 4 40-50 11 f2 15F1 50-60 18f1 33F2 60-70 10f3 43F3 70-80 4 47 80-90 2 49 90-100 1 50

ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశాం సరధిాంచేాంద్ుకు సూత్ాాం (Q1) =l1 + N/4 –F/f1 x C.I త్ృత్రయ చత్ురరద ాంశకరనని సరధిాంచేాంద్ుకు సూత్ాం (Q3) L3 +3N/4-F3/f3 X C.I చత్ురరద ాంశక విచలనాం (Q.D) = Q1-Q3/2 l 1 = ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక త్ర్గత్ ద్ిగువ హద్ుద N = ప్ౌనఃప్ున్యల మొత్తాం F1 = ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక త్ర్గత్కి ముాంద్ు గల సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం


34

f1 = ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక త్ర్గతటి ప్ౌనఃప్ునయాం. C.I = త్ర్గత్ అాంత్ర్o. N/4 = 50/4 = 12.5 (ఈ ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక బ్దాంద్ువు సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం 15, 4 ల మధ్య ఉాంటుాంద్ి. ద్రని త్ర్గత్ 40-50 Q1 = 40+12.5-4/11 X 10 =40+8.5/11 X 10 = 40+8.5/11 = 40+7.75 =47.73(Q1) 3N/4 = 3X50/4 = 37.5(ఈ త్ృత్రయ చత్ురరద ాంశక బ్దాంద్ువు సాంచిత్ ప్ౌనఃప్ునయాం 43, 33ల మధ్య ఉాంటుాంద్ి. ద్రని త్ర్గత్ (C.I) 60-70 Q3 = 60+37.5-33/10 X 10 = 60+4.5 = 64.5 (Q3) చత్ురరద ాంశక విచ్లన సూత్ాాం (Q.D) = Q3-Q1/2 = 64.5-47.73/2 =16.77/2 =8.385 కిరాంది స్తాందర్మాలలో చత్ుర్మద ాంశక విచ్లన్నిి గనిసమత ాం:-

మధ్యగత్నిిఆధ్ర్ాంగరత్రసుకొనిప్ుడు, ద్త్త ాంశాంసగటుమధ్యగత్క ాంద్రయాo అయినప్ుడు

గరిష్ట , కనిష్టవిలువలుఅసపష్టాంఅయినప్ుడు వ్రయపతతత్కుావగరఉనిప్ుడుచత్ురరద ాంశకవిచలన్నిి గనిసరత ాం.

య ర్మాలు:- మధ్యగత్మే చత్ుర్ధాంశక విచ్లన్నికి ఆధ్ర్ాం. గణనల మధ్యసి సతిత్ని తెలుప్ుత్ుాంద్ి. త్ృత్రయ, ప్ధా్మ చత్ురరద ాంశక విచలన్ల భేద్్లలో సగాం చత్ురరద ాంశక విచలనాం.

8.4.2.3 స్తగటల విచలనాం (Average Deviation):- ద్రనిని“మధ్యమ విచలనాం అని కూడ్ అమాత రెఉ. ద్రని విలువను క ాంద్రయా ప్వాృత్త మాన్ల ైన అాంక గణిత్ మధ్యమాం, మధ్యగత్ాం, బాహుళకరల నుాంచి ద్త్త ాంశ గణనలు త్రసతవ్ేసత కనుకొాాంటాాం. ద్రనిని సరధిాంచడ్నికి గణిత్ చిహాిలను ప్రిగణలోకి త్రసుకోర్ు. ‘మిల్డ్’ ప్కారర్ాం“మధ్యమ(సగటు) విచలనాం ఆ ద్త్త ాంశ గణనల అాంకమధ్యమాం, మధ్యగత్ాం లేద్్ బాహుళకరల విచలణ్లు కూడ్ ఇవవడమ ైనద్ి.


35

అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశాం ద్ార్మ స్తగటల విచలన్నిి కనుకోకవడాం:- ఉద్:ఒక త్ర్గతిలోని 5 గుర్ు విద్యర్ుు ల యొకక మార్ుకలు 5, అ 8, అ 11, అ 12, అ 14అయిత ేస్తగటల విచలన్నిి కనుకోకాండి? సమయ న: సగటు(M) =x1+x2+x3+.......xn/n x= ద్త్త ాంశాంలోని గుణ్లు = (M) = 5+8+11+12+14/5 =50/5 =10 M =సగటు(అాంకమధ్యమాం, మధ్యగత్ాం, బాహుళకాం లో ఏద్ెైన్ ఒకటి త్రసుకోవచుి) సగటు విచలన్ల సూత్ాాం(A.D) =∑|x-m|/n = |5-10|+|8-10|+|11-10|+|2-10|+|14-10| 5 = 5+2+1+2+4 = 14 =2.8 5 5 వర్ీీకృత్ దత్త ాంశాం ద్ార్మ స్తగటల విచలన్నిి కనుకోకవడాం:- ఉద్:

త్ర్గతి అాంత్ర్ాం

30-34 35-39 40-44 45-49 50-54

ప్ౌనఃపునయాం 3 9 15 8 5 సమయ న: త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం

(ప్ౌనఃప్ునయాం) f

మధ్యబ్దాంద్ువు (x)

|x-x| f(x-x) fx

30-34 3 32 10.58 31.5 96 35-39 9 37 5.5 49.5 333 40-44 15 42 0.5 7.5 630 45-49 8 47 4.5 36 376


36

50-54 5 52 9.5 49.5 266 N =40

N = 40, X =∑fx/N = 1701/40 =42.5 ∑f|x-x| = 170.82 సగటు విచలనాం (A.D) = ∑f|x-x|/N సగటు విచలనాం = 170.8/40 = 4.26 కిరాంది స్తాందర్మాలలో స్తగటల విచలన్నిి గనిసమత ాం:-

విచలనాం అధికాంగర ఉనిప్ుడు అాంకమధ్యమo, మధ్యగత్ాం తెలిసతనప్ుడు విభాజనాం సరమానయాంగర ఉనిప్ుడు అనిి విలువలను తెలిసతనప్ుడు సగటు (మధ్యమ) విచలన్నిిగనిసరత ాం.

య ర్మాలు:- విచలనాం అధికాంగర ఉనిప్ుడు మధ్యగత్ాం నుాంచి కూడ్ గణిాంచడాం జర్ుగుత్ుాంద్ి.

8.4.2.4 ప్మామాణిక విచలనాం (Standard Deviation):- ప్రామాణిక విచలనాం ఒక శరసీత రయ విధ్నాం. చర్శీలత్ మాన్లనిిoటిలో ఖచిిత్మ ైనటువాంటిద్ి. ఈ ప్ద్దత్ని ప్రిశోధ్కులు అధికాంగర వ్రడుత్ర్ు. ఇద్ి సగటు విచలనాం కాంటట ప్రామాణికమ ైనద్ి. సగటు విచలనాంలో గణిత్ చిహాిలను ప్రిగణలోకి త్రసుకోర్ు. కరని ప్రామాణిక విచలనాంలో గణిత్ చిహాిలను త లగిాంచడ్నికి ప్ర్ాం మూలాయలు ఉప్యోగిాంచక విచ్లన్లను వరీ్ాంచేసరత ాం. ఇద్ి ఇాంద్ులో వ్రడే ఒక ప్తాేయక ప్ద్దత్. “గిల్డ బార్ట” ప్రామాణిక విచలన్నిి “సగటు వరీ్ముల విచలనాం” అని కూడ్ అాంటార్ు. ద్త్త ాంశాం అాంకమధ్యమాం కనుకొాని ద్్ని నుాంచి వచిిన ద్త్త ాంశ విచలన్ల వరరీ లను గణనల సాంఖయ Nతో భాగిాంచి, వచిిన విలువకు వరీ్మూలాం కనుకోావాండాం ద్్వరర ప్రామాణిక విచలనాం” ప్ ాంద్వచుి. ద్రనిని గీరకు అక్షర్ాం “ “ సతగరమతో సూచిసరత ాం.


37

అవర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి ప్మామాణిక విచలనాం కనుకోకవడాం:- ఉద్:దత్తాంశాంలోని 10 మాంది 5వ త్ర్గతి విద్యర్ుు లకు తదలుగులో వచ్చిన మార్ుకలు 19, అ 22, అ 23, అ 15, అ 22, అ 22, అ 17, అ 12, అ 18, అ 20 అయితే ప్మామాణిక విచలనాం కనుకోకాండి? సమయ న:

ద్త్త ాంశాంలోని గణనలను మొద్ట నిలువ వర్ుసలో వ్రాయాలి. ద్త్త ాంశ గణనలకు అాంకగణిత్ సగటు కనుకోావ్రలి. రెాండవ నిలువ వర్ుసలో అాంకమధ్యమ విచలన్లను వ్రాయాలి. మూడవ నిలువ విచలన్లకు వరరీ లను కనుకోావ్రలి. వరరీ ల మొత్తాంను కూడ్

కనుకోావ్రలి. రరశుల సాంఖయతో భాగిసేత ద్త్త ాంశ విసత ృత్ వసుత ాంద్ి. విసత ృత్కి వరీ్మూలాం కనుకోాంటట

ప్రామాణిక విచలనాం ప్ ాంద్వచుి. తెలుగులో మార్ుాలు (x) d = x-m d2

19 19-19=0 0 22 22-19=3 9 23 4 16 15 -4 16 22 3 9 22 3 9 17 2 4 12 -7 49 18 -1 1 20 1 1

∑x=190 ∑d2=114 M = ∑x/n =190/10 =19 ∑x= గణనల మొత్తాం


38

d = విచలనాం d2 = విచలన్ల వరీ్ాం n = గణనల సాంఖయ, M = సగటు v = విసత ృత్, d= ప్రామాణిక విచలనాం. v(విసత ృత్) =∑d2/n =114/10 =11.4 ప్రామాణిక విచలనాం = ర్ూట్ 11.4 = 3.3 వర్ీీకృత్ దత్త ాంశమనికి కరమ విచలనాం కనుకోకవడాం (దరర్ఘ పదదతి):- ఉద్: త్ర్గతి అాంత్ర్ాం 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 ప్ౌనఃపునయాం 3 9 15 8 5

సమయ న: ద్త్త ాంశరనికి వరీీకృత్ ప్ద్దత్లో అాంకమధ్యమాం కనుకోావ్రలి. మధ్యవిలువలు నుాంచి అాంకమాధ్యమానిి త్రసతవ్ేయాలి. ప్ౌనఃప్ునయాం(f) తో విచ్లన్లను గుణిాంచ్లి. విచ్లనాంతో(x),(fx) ను మరొకసరరి గుణిాంచ్లి. వచిిన లబాద నిి ప్ౌనఃప్ునయాం మొత్తాంతో భాగిాంచి వరీ్మూలాం చేయగర ప్రామాణిక

విచలన్నిి ప్ ాంద్వచుి. త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం

మధ్య బ్దాంద్ువు (x)

ప్ౌనఃప్ునయాం(f) Deviation x=x-xబార్

fx fx2 Fx

30-34 32 3 -10.3 -13.14 323.23 32 X 3 35-39 37 9 -5.3 -48.4 260.49 37 X 9 40-44 42 15 -0.38 -5.7 2.166 42 X

15 45-49 47 8 4.62 36.96 170.75 47 X 8


39

50-54 52 5 N=40

9.6 48.1 462.7 ∑fx2

=1219.37

52 X 5 =260

x = ∑fx/N =1695/40 =42.3 ప్రామాణిక విచలనాం (S.D) = ∑fX2/N = 1219.37/40 = 30.484 =5.52 కిరాంది స్తాందర్మాలలో ప్మామాణిక చలన్నిి గనిసమత ాం:-

అధిక విశవసన్నయమ ైన విచ్లన విలువను ప్ ాంద్డ్నికి సతిర్మ ైన విచ్లన గరనను ప్ ాంద్డ్నికివివిధ్ సాంఖయకీయ ప్ద్దత్ుల సరధ్న

సాంద్ర్ాాంలో ప్రామాణిక విచలన్నిి గనిసరత ాం. య ర్మాలు:-

విశవసన్నయమ ైనద్ి. సతిర్మ ైనద్ి. బీజగణిత్ ప్ద్ధత్ులకు అనువ్ ైనద్ి.

స్తాంక్ష్ిపత పదదతి:- త్ర్గత్ అాంత్ర్ాం

ప్ౌనఃప్ునయాం మధియిలువ d=X-M fd f.d2

30-34 3 32 -2 -6 12 35-39 9 37 -1 -9 9 40-44 15 42 0 0 0 45-49 8 47 1 8 8 50-54 5 52 2 10 20

∑fd2=49


40

S.D(a) = i ∑f(d)2/N-(∑f/N)2 = 5 49/40-(5/40)2 = 5 1.2-25/1600 = 5 1.2 – 0.12 = 5 X 1.1 =5.5 8.5 LET US SUM UP. 1. ద్త్త ాంశరలను ప్తా్యక్షాంగర సేకర్ణ చేయడ్నిి ప్రాధ్మిక వనర్ులు మరియు ప్రోక్షాంగర సేకర్ణ్ చేయుటను ‘ద్ేవత్రయ వనర్ులు’ అాంటార్ు. ఉద్్: రికరర్ు్ లు, జర్ిల్డ్. 2. ద్త్త ాంశ గణనలను వరీీకృత్ మరియు అవరీీకృత్ ద్త్త ాంశ ప్ో విఃప్ున్యలగర విభ్జసరత ర్ు. 3. ద్త్త ాంశరనిి మరియు విభ్జనను బొ మమలు మరియు గరర ఫ్్ సహాయాంతో వివరిాంచడాం వలన ద్త్తాంశ విశరలష్ణను అవగరహన చేసుకుాంటార్ు. 4. అాంకమధ్యమాం, మధ్యగత్ాం మరియు బాహుళకాం వీటిని క ాంద్రయా ప్వాృత్త మాన్లు అాంటార్ు. 5. వ్రయపతత , చత్ురరద ాంశక విచ్లన, సగటు విచలనాం మరియు ప్రామాణిక విచలనాంలను చర్శీలత్ మాప్న్లు అాంటార్ు.


1

యూనిట్ – 9 : బీజీయ సమాసరలు

9.1 బో ధనాభ్యసన లక్ష్యయలు ఈ అధ్యయయం ద్యారర మీరు ఈ క్రంద్ి లక్ష్యయలను నేరుుకుంటారు. 1. బీజ గణిత ప్ద్యలను గూరచు, 2. బీజ గణిత సమాసరలు, అంద్ులోని రకరలు గూరచు, 3. స్థిర రరశులు, చరరరశులు మధ్య భేద్ము, సజాతి, విజాతి ప్ద్యల గూరచు, 4. [వివిధ్] బీజ గణితంలో చతురచాధ్ ప్కా్రయల గూరచు, 5. ఒక చరరరశిగల రేఖీయ సమీకరణయలను సరధి్ంచుట. 6. బీజ గణిత ప్కా్రయను, ప్ద్ధతులను ఉప్యోగచంచి వివిధ్ సమసయలను సరధి్ంచుట.

9.2 గుర్తు లను ఉపయోగ ించి సింఖ్యయ సమయసాలు రాయుట వివిధ్ ప్రచస్థితులలో +, - వంటి బీజగణిత గురుు లను ఉప్యోగచంచి అంకెలను రరయుట, వరటి ప్రచమాణయలను, లేద్య గణిత సంబంధ్యలను రరబటటు టనే అంకగణితం అంటారు. సరధ్యరణంగర నియమాలను, సూత్యాలను రరయుటకు అంకెలను ఉప్యోగచసరు రు. ఉదా:-1ఆయేషర ద్గగర 3 పనెుులు (కలములు), ఆమె తముుడు అరచాన్ ద్గగర 2 పెనుులు కలవు. కనుక ఇద్దరచ ద్గగర గల మొతుం పెనుుల సంఖ్య 3+2 = 5 పెనుులు పెై ఉద్యహరణ ద్యారర సమసరయ సరధ్న మరచయు ప్రచమాణయలను త్ెలియచేయుటకు అంకెలను ఉప్యోగచసరు ము. ఉదా: ఆయేషర ద్గగర‘x’ పెనుులు, మరచయు అరచాన్ ద్గగర ‘y’ పెనుులు కలవు. మొతుం వరరచరువురచ ద్గగర గల పెనుుల సంఖ్య ఎంత? ద్ీనిని బటిు మనము వరరచ ద్గగర (x+y) పెనుులు కలవని చెప్పవచయు. ఇకకడ x,y లు రెండూ వేరేారు సంఖ్యలు.


2

ఉదా:-2 ప్టం 9.1 ఒక చతురస ాభుజం 2 స్ెం.మీ. చతురస ాచుటటు కొలత = AB+BC+CD+DA = (2+2+2+2) స్ెం.మీ. = 2 x 4 స్ెం.మీ. = 8 స్ెం.మీ. బి) ప్టం 9.2 చతురస ాచుటటు కొలత కనుక్కండి. KLMN చతురస ాచుతుక్లత = KL+LM+MN+KN = (5+5+5+5) స్ెం.మీ. = 5 x 4 స్ెం.మీ. = 20 స్ెం.మీ.

ఈ విధ్ంగర ఇచిున కొలత ఆధ్యరంగర ఏ చతురస ాచుటటు కొలత న ైనయ కనుగొనవచుు. ద్ీనిని బటిు చతురసంా చుటటు కొలత భుజం కొలతక్ 4 రెటటల ండును. చతురసంా చుటటు కొలత = 4 x భుజము చతురస ాభుజం ‘a’ అయన చుటటు కొలత ‘p’ అయన p= 4 x a ఇచట‘a’ అనేద్ి ఇచిున చతురస ాభుజానిు త్ెలియచేయును. ద్ీని ఆధ్యరంగర ఏ చతురసంా చుటటు కొలతన ైనయ మనం కనుగొనవచుు. గురుు ల నుప్యోగచంచి అంకెలను వరడి వరటి మధ్య గణిత సబంద్యలను సరధ్యరణీకరచంచవచుు.అంకెలను, వరటి ప్రచమాణయలను త్ెలుసుక్వడయనిక్ ఇంగలలషు అక్షరరలూ a,b,c,......x,y,z లను గురుు లుగర వరడత్యరు. వివిధ్ ప్ద్ సమసయలను గురుు లను ఉప్యోగచంచి రరయుట ద్యారర సమాసరలను తయారుచేయవచుు. ఈ అక్షరరలూ అంకగణిత చతురచాధ్ ప్కా్రయల యొకక అనిు నియమాలను, లక్షణయలను ప్రటిసరు య.


3

9.3 బీజీయ సమయసాలు మర యు పదాలు 9.3.1 బీజీయ సమయసాలు:- అంకగణితంలో సమాసరలు ఎలా ఉంటాయంటే (3x8)+2, (10÷5)+(3x20)-7 మొద్లగునవి. పెై ఉద్యహరణ ద్యారర మనం గమనించినద్ి ఏమిటంటే 1. అంకెల ద్యారర సమాసరలు ఏరపడత్యయ. 2. చతురచాధ్ ప్కా్రయలు అనగర సంకలనము, వయవకలనము, గుణకరరం, భాగహారం లను సమాసరల వరడత్యరు. మనము చరరరశులనుప్యోగచంచి సమాసరనిు తయారుచేయవచుు. క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:-3 బబూల 6వ తరగతి చద్ువుతునయుడు. అతని తరగతి లో ‘m’ మంద్ి ఆడపథలలలు కలరు. మగపథలలలు, ఆడపథలలల కనయు 7 గురు తకుకవ. అయన బబూల తరగతిలో యంత మంద్ి విద్యయరుధ లు కలరు. ఆడపథలలల సంఖ్య = m మగపథలలల సంఖ్య = m-7 మొతుం విద్యయరుధ ల సంఖ్య = m+(m-7) = 2m-7 ఈ సమాసంలో 2, 7 అనేవి స్థిరరరశులు మరచయు‘m’ ఒక చరరరశి వయవకలనం, సంకలనం అనే ప్కా్రయలు ఇకకడ వరడబడినవి. 2x + 3 అనేద్ి సమాసము నంద్ు చరరరశి ‘x’ మరచయు స్థిరరరశులు 2,3 ఇంద్ు సంకలనము, గుణకరరము ప్కా్రయలు వరడబడినవి. పెై రెండు ఉద్యహరణలను బీజీయ సమాసరలుగర పథలవవచుు ఎంద్ుకంటే వీటిలో చరరరశులు, స్థిర ప్ద్యలు వరడబడినవి. స్థిర ప్ద్యలు, చరరరశులు చతురచాధ్ ప్కా్రయల ద్యారర కలప్బడటానిు బీజీయ సమాసం అంటారు.


4

ఉద్యహరణకు, 7m, 2py+1, a/2-5, m+n-2...మొద్లగునవి. బీజీయ సమాసరలు. క్రంద్ి ప్టిుకను ప్రచశీలించండి.

సూచన సమయసము p క్ 16 కలప్బడినద్ ి p+ 16

r నుండి 25 తీస్థవేయబడినద్ి

(-6) చే p గుణించబడినద్ి.

x 3 చే భాగచంచబడినద్ి

‘m’ 3 చే గుణించబడినద్ిమరచయు వచిున లబాద నిక్ 8ద్ి కలుప్బడినద్ి.

ఇద్ే విధ్ంగర, ఒక బీజీయ సమాసరనిు ఇచిునప్ుడు అద్ి ఏ విధ్ంగర రరయబద్ినద్ో చెప్పవచుు. ఉద్యహరణను ప్రచశీలించి క్రంద్ి ప్టిుకను ప్ూరచంచండి. సమాసము అద్ి ఏ వరాయబడినద్ి.

s-1 t+25 11a 2

5

b

2n-4

s నుండి 1 తీస్థవేయబడినద్.ి

పెై సమాసరలలో 1 కరని అంత కనయు ఎకుకవ ప్ద్యలునయుయ. బీజీయ సమాసరలు ప్ద్యల సంఖ్యల బటిు వివిధ్ రకరలుగర ఉంటాయ. ఏకప్ద్:ి ఒకే ప్ద్ం కలిగచన బీజీయ సమాసరనిు ఏక ప్ద్ి అంటారు. ఉద్య; 7xy,2x, -4n, -8,3a2 b ద్ిాప్ద్ి: రెండు ప్ద్యలు కలిగచయును బీజీయ సమాసరనిు ద్ిాప్ద్ి అంటారు.


5

ఉద్య: x+y, 2p-3q, z+1, 3xy+2x తిాప్ద్ి: మూడు ప్ద్యలు కలిగచయును బీజీయ సమాసరనిు తిాప్ద్ి అంటారు. ఉద్య: 2a-5b+3c, x+y-3, pq+p-2q బహుప్ద్:ి మూడు కంటే ఎకుకవ ప్ద్యలు కలిగచయును బీజీయ సమాసరనిు బహుప్ద్ి అంటారు. ఉద్య: 5x, 2a + 3b, m + n - 3 మీకు తె్లుసర? 3xy అనేద్ి ద్ిాప్ద్ి కరద్ు ఏకప్ద్ి m+ n – 3అనేద్ి ద్ిాప్ద్ి కరద్ు తిాప్ద్ి 2a + 3a ద్ిాప్ద్ి కరద్ు ఎంద్ుకంటే ఇవి విజాతి ప్ద్యలు కరవు. ఏకప్ద్,ి ద్ిాప్ద్ి, తిాప్ద్ులను బహుప్ద్ులు అనవచుు. 9.3.2 చర్రాశులు మర యు స్థి ర్పదాలు: p= 4a అనే గణిత సమాసరనిు ప్రచశీలించగర a= 1 అయనయ p = 4 x 1 = 4 a= 2 అయనయ p = 4 x 2= 8 a= 3 అయనయ p = 4 x 3 = 12 ద్ీనిని బటిు a విలువను బటిు p విలువ మారుతుంద్ి. a, p లు చర రరశులు అని చెప్పవచుు. చర్రాశి: నిరలీత సమితి నుండి ఏ విలువ ైనయ కలిగచ యుండే బీజానిు చరరరశి అంటారు. ఏ తిాభుజానికెైనయ మూడు కంటే ఎకుకవ భుజాలు ఉంటాయా? ఉండవు కనుక తిాభుజము యొకకభుజాలు ఎప్ుపడు ఒక స్థిర సంఖ్య. ద్ీనిని బటిు

ఒకే స్థిరమైెన విలువను కలిగచయుండే బీజానిు స్థిరరరశి అంటారు. p = 4a సమాసంలో p,a చర రరశులు, 4 స్థిరరరశి


6

మీకు తె్లుసర? చరరరశిక ్స్థిరమైెన విలువ ఉండద్ు. చరరరశులను సరధ్యరణంగర x, y, z, p, q, r అక్షరరలత్ో సూచిసరు రు. అనిు వరసువ సంఖ్యలు స్థిర రరశులు బీజీయ సమాసరలనిు స్థిరరరసులత్ో, చరరరసులత్ో ఏరపడత్యయ. క్రంద్ి ఉద్యహరణను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:-5 ప్రప్ులు ఒకొకకకటి 10 రూ.లు ధ్ర కలిగచన ఒకలాంటి రెండు పెనుులు కొనయుడు. అయనయ ప్రప్ులు వరయప్రరచక్ ఎంత డబుులు ఇవావలస్థ ఉంటటంద్ి. రెండు పెనుుల ఖ్రలద్ు = Rs. 10 x 2 = 20 రూ. ప్రప్ులు చెలిలంచయలస్థంద్ి మొతుము ధ్ర = ఒకొకకక వసుు వు ధ్ర x వసుు వుల సంఖ్య మొతుము ధ్రను ‘c’ అనుకునుచ ,ో వసుు వుల సంఖ్యను ‘n’ అనుకునుటలయన ఈ సమాసరనిు ఇలా వరాయవచుు. c= 10n , ఇంద్ు n,c లు చరరరశులు – 10 స్థిర రరశి ఉదా:-6 ఇషరు, రేషరు లు అకకచెలలల లు, రేషరు కంటే ఇషరు 4 ఏళ్ళు పెద్దద్ి. ఈ క్రంద్ి ప్టిుకను చద్ివి ప్ూరచంచండి. రేషరు వయసుు సం.లలో ఇషరు వయసుు సం.లలో

7 9 x

7 + 4 = 11

ప్టిుకలో చివరచ ప్ద్ము యొకక జవరబు అనగర ఇషరు వయసుు x + 4 సం.లు అయనయ రేషరు వయసుు x సం.లు x + 4 అనేద్ి బీజీయ సమాసం అవుతుంద్ి. ‘x’ చరరరశి 4 స్థిరరరశి. క్రంద్ి సమాసరలలో, చరరరశులను, స్థిరరరశులను గురచుంచి రరయండి.


7

సమాసము చరరరశి స్థిరరరశి y-7

s/2+3 2p+3q

9.3.3 బీజీయ సమయస పదాలు ఇంతకు ముంద్ు సంభాషణ ద్యారర బీజీయ సమాసము అనేద్ి రెండు లేద్య మూడు ప్ద్యలను కలిగచయుంటటంద్ి. క్రంద్ి ఉద్యహరణలను గమనించండి ఉదా:-72p+3 అనేద్ి ఒక బీజీయ సమాసం ఈ సమాసరనిు వరాయుటకు ముంద్ుగర 2p ని విడద్ీస్థ 2,p లను గుణించి వరటి లబాద నిక్ 3ని కలప్రలి. ఉదా:- 8xy + 3z -5 అనేద్ి ఒక బీజీయ సమాసం ఈ సమాసరనిు వరాయుటకు ముంద్ుగర x,y ని విడద్ీస్థ గుణించయలి. అద్ే విధ్ంగర 3z ని కూడయ విడద్ీస్థ గుణించయలి. ఆ తరువరత ఆ ప్ద్యలను కలప్రలి ఆ మొతుంను (-5) ని కలిపథనచ ోమనకు బీజీయ సమాసము ఏరపడుతుంద్ి. పదము:కేవలం స్థిరరరసులు గరని లేద్య కేవలం చరరరసులు గరని లేద్య గుణకరర ప్రచక్రయత్ో

కూడి యును స్థిర, చరరరసుల సముద్యయానిు ప్ద్ం అంటారు. సమాసంలో ఉను అనిు భాగరలు సంకలన, వయవకలన గురుు లను ఉప్యోగచంచి రరస్తు ఆ సమాసరనిు బీజీయ సమాసం అంటారు. మీకు తె్లుసర? ప్ద్యల కలయక ద్యారర సమాసరలు ఏరపడత్యయ. ప్ద్ము ముంద్ు గల గురుు ఆ ప్ద్మునే చెంద్ుతుంద్ి. ఈ క్రంద్ి ప్టిుకలో గల సమాసరల యొకక ప్ద్యలు మరచయు ప్ద్యల సంఖ్యను గురచుంచండి.


8

సమాసము ప్ద్యల సంఖ్య ప్ద్యల పతరుల 2ab-3 k/3+1 -xyz/2

16-x+3y2

2 2ab, -3

ఇద్ి ప్యాతిుంచండ:ి ప్తాి ద్యంటలల ని 4 ప్రద్యలుండేటటగర 2 సమాసరలను వరాయండ.ి 9.3.4 లబద ిం, గుణకిం మర యు కార్ణాింకిం: ముంద్ు అధ్యయయాల ద్యారర 2 మరచయు 5 యొకక గుణకరరం, 2 x 5=10 10 అనేద్ి గుణకం మరచయు 2, 5 అనేవి 10క్ కరరణయంకరలు. 2 చరరరసుల యొకక గుణకరరం ద్యారర వచేు లబదం ఎంటి? 3 మరచయు z యొకక లబదం = 3 x z= 3z అలాగే y మరచయు z యొకక లబదం = y x z = yz మనం ముంద్ు చూస్థన విధ్ంగరనే సమాసరలలో 1 లేద్య అంతకనయు ఎకుకవ ప్ద్యలు కలవు. ఉద్యహరణకు సమాసము 2ab-3 అనేద్ి 2 ప్ద్యలను, 2ab అనేద్ి 2, a మరచయు b యొకక లబదము. మనము 2, a మరచయు b లను 2ab యొకక కరరణయంకరలుగర చెప్పవచుు. వృక్ష చితమాు ద్యారర మొతుం ప్ద్యలను, ప్ద్యల యొకక గుణకరలను బీజీయ సమాసంలో వయకు ప్రచవచుు.


9

ప్యాతిుంచండ:ి క్రంద్ి వరటిక్ వృక్ష చితామును గలయండి i, 3xy+5y ii, 7ab-5a+2 మీకు తె్లుసర? ఒక స్థిర కరరణయంకరనిు సంఖ్ాయ కరరణయంకం అంటారు. ఒక చరరరశి కరరణయంకరనని బీజీయ కరరణయంకం అంటారు. ఉదా:-93xy-5y అనేద్ి ఒక సమాసము అంద్ులో 3xy, -5y అనేవి ప్ద్యలు. ప్ద్ము యొకక సంఖ్య కరరణయంకమునేసంఖ్ాయ గుణకము లేద్య గుణకము గర పథలుసరు రు. 3 అనేద్ి 3xy గుణకము మరచయు 5 అనేద్ి y యొకక గుణకము. వీటిని పరయత్నించిండి: ఈ సమాసములలో గల ప్ద్యల యొకక గుణకరలను గురచుంచండి. (i) -6ab (ii)–pq/3 9.3.5 సజాత్ మర యు విజాత్ పదాలు 2pq యొకక కరరణయంకరలను ప్రలక్ష్ించండి-pq, 5pq, (½)pq. ఈ ప్ద్యలను ఒకే రకమైెన బీజీయ కరరణయంకరలు pq కరని వివిధ్ రకరల సంఖ్ాయ కరరణయంకరలు కలవు. ఒకే బీజీయ గుణకరలను కలిగచయును ప్ద్యలను సరచయ ప్ద్యలు అంటారు. విభిను బీజీయ గుణకరలు కలిగచయును ప్ద్యలను విజాతి ప్ద్యలు అంటారు. ఉదా:-ఈ సమాసములో 2a+rab-3a-b, ప్ద్యలు 2a, -3a వీటిక్ ఒకే రకమైెన బీజీయ గుణకం ‘a’ కనుక ఇవి సజాతి ప్ద్యలు. కరని 2a, 5b ప్ద్యల యొకక బీజీయ గుణకరలు ఒకట.ి కరద్ు కనుక ఇవి విజాతి ప్ద్యలు. ప్యాతిుంచండి. 1. సజాతి ప్ద్యలను ఒకే సమూహంలో చేరుగర: 7x7,-8x,8y, x, -y, 15y


10

2. ప్తాీ సమూహమును ఈ క్రంద్ి ప్టిుకలో నింప్ండి.

ప్ద్యలు కరరణయంకయు బీజీయ గుణకం ఒకటేనయ, కరద్య సజాతి/విజాతి ప్ద్ము 15x 12y 9z -13z 6xy 2x -2ab 5ba

15,x 12y

ఒకటి కరద్ు విజాతి

క్రంద్ి అభాయసరనిు చేయండి? ఉదా:-1ఏవ ైనయ 2 బీజీయ సమాసరలను p మరచయు q చరరరశులు ఉప్యోగచంచి వరాయండ?ి ఉదా:-2 క్రంద్ి సంద్రరులననుసరచంచి బీజీయ సమాసరలను వరాయండి? (i) x మరచయు y యొకక లబాద నిక్ 3ను 5రెటటల కలప్ండి (ii) abలను గుణించగర వచిున లబదం నుండి abలను కలుప్గర వచిున లబదం నుండి తీస్థవేయుట. ఉదా:-3 2y-3z+5 ఈ సమాసములో గల చరరరశులను మరచయు స్థిర రరశులను గురచుంచండ.ి ఉదా:-4 ప్తాి ప్ద్ము నుండి x యొకక గునకమును వరాయుము. (i) -x (ii) 2xy+y2+z2 (iii) 2/3x2y


11

ఉదా:-5 సజాతి ప్ద్యలను గురచుంచండి: (i) 5xy (ii) -3abc ఉదా:-6 కరరణయంకరలు రరయండి:

2P, -3pq, 1

2pqr, -5 P

3 3 pqr, 5pq

ఉదా:-7 ఈ క్రంద్ి సమాసరలలో ప్ద్యలను మరచయు కరరణయంకరలను గురచుంచండి. (i) 3xy-py (ii) ab+2a-3y 9.4 బీజీయ సమయస పరకరయిలు మనము ముంద్ుగర త్ెలుసుకునటటవంటి చతురచాధ్ ప్కా్రయలు-సమకలనం, వయవకలనం, గుణకరరం, భాగహారం. మనము ఇకకడ ఒక ప్ద్దతి ప్కారరము అంకగణితము నుండి బీజ గణితముకు మరచయు ఈ ప్కా్రయలు మనము ఇప్ుపడు ఈ అక్షరరల అంకెలను ఎలా గురచుసరు మో నేరుుకుంద్యం. అంకెలు సంకలనం, వయవకలనం, గుణకరరం, భాగహారం యొకక సూచనలను, లక్ష్యయలను ప్రటిసరు య. మనము రెండు రకరల బీజీయ ప్కా్రయలను ప్రటిసరు ము. (i) అక్షరరల పెైన ప్ాక్రయ (ii) సమాసము పెైన ప్కా్రయ 9.4.1 సింకలనిం: సజాతి ప్ద్యలను కూడటం ద్యారర సమాసరలను సంకలనం చేసరు రు. a) సింఖ్యలు/ఏకపది యొకక సమకలనిం. మనము నేరుుకునయుము 2 + 2 + 2 = 2 x 3 = 3 x 2 ఇద్ే విధ్ంగర x + x + x = x x 3 = 3 x x = 3 x మరచయు, x+x+x+x+x = 5 x x = 5 x ఇప్ుపడు 3x మరచయు 5x సమకలనం = 3 x + 5 x

= ( x + x + x ) + ( x + x + x + x + x )


12

= x + x + x + x + x + x + x + x = 8 x అలాగే 3x+5x = (3 x x )+(5 x x ) = (3+5) x x = 8 x x =8 x క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం: ఉదా:-105ab, 7ab మరచయు ab లను సమకలనమును కనుగొనండి? సాధన: మొతుం= 5ab+7ab+ab = (5 x ab)+(7 x ab)+(1 x ab) = (5+7+1) x ab = 13 x ab = 13ab 5ab+7ab+ab = 13ab ప్యాతిుంచండ?ి క్రంద్ి వరటి యొకక మొతుంను కనుగొనండి? (i) 3p, p మరచయు 7p (ii) 6xyz మరచయు 12xyz రెండు లేద్య అంతకనయు ఎకుకవ సజాతి ప్ద్యలను సమకలనము త్ెలుసుకునయుము. ఇప్ుపడు మనము విజాతి ప్ద్యల సమకలనము గురచంచి ఆలోచించండ ి5 మామిడి ప్ండుల మరచయు 3 కమలాల యొకక మొతుం కనుగొనండ?ి మనము ఇప్ుపడు వరటి మొతుం 8 మామిడి ప్ండుల లేద్య 8 కమలాలు అని చెప్పలేము. అద్ే విధ్ంగర, 5x మరచయు 3y ల మొతుం ఒకటి ప్ద్ం కరద్ు. మనము ద్యనిని 5x+3y గర వరాసరు ము. ఇకకడ ఆ రెండు ప్ద్యలు అలాగే ఉంటాయ. b)బీజీయ సమయసాల యొకక సింకలనిం: క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:11 5a+7 మరచయు 2a-5 ల యొకక మొతుం ఎంత. మొతుం= 5a+7+2a-5 = (5a+2a)+(7-5) = 7a+2


13

ఉదా:-12 4x+3y, 8+2x మరచయు2y-5 ల మొతుం ఎంత? మొతుం= 4x+3y+8+2x+2y-5 = (4x+2x)+(2y+3y)+(8-5) = 6x+5y+3 క్రంద్ి వరటిని ప్యాతిుంచండి: బీజీయ సమాసరల సమకలనము: (i) mn+5 మరచయు 2mn-7 (iii) 2a+3a-1 (iv)3a+7, (v) 5b-3 సంకలనంలో సమృత, స్థితయంతర, సహచర ధ్రరులను ప్రటిసరు య. 9.4.2 వ్యవ్కలనిం: ప్ూరీ సంఖ్యల తీస్థవేతలను సులువుగర చేయటం మనకు త్ెలుసు. అద్ే సూతాం ఈ బీజీయ సమాసరలకు వరచుసుు ంద్ి. a) ఏకపది యొకక వ్యవ్కలనిం:5x నుండి 2x ను తీస్థవేయండ.ి 5x – 2x = (x + x + x + x + x) – (x + x) = x + x + x + x + x – x – x = x+ ( – x) + x + ( – x) + x + x + x = 0 + 0 + x + x + x = 0 + 3x = 3x ఈ క్రంద్ి విధ్ంగర కూడయ చేయవచుు. 5x-2x = 5 x x – 2 x x = (5-2) x x = 3 x x =3x ఉదా:-1316mn నుండి 7m ను తీస్థవేయండ.ి 16mn-7mn = 16 x mn – 7 x mn = (16-7)mn =9 x mn = 9mn రెండు విజాతి ప్ద్యల యొకక భేద్ము ఏకప్ద్ి కరని ద్ిాప్ద్ి అవుతుంద్ి. ఉద్యహరణకు, 5x మరచయు 3y ల బేధ్ము = 5x-3y ప్యాతిుంచండ?ి


14

వయవకలనం: (i) 11m నుండి 5m (ii) 10ab నుండి 6ab (iii) 3xy నుండి 5xy b) బీజీయ సమయసాల వ్యవ్కనిం: వయవకలనం ప్ద్దతి కూడయ సమకలనం లాంటిద్ే. ఈ క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:-14 4a+5b-2 నుండి 3a+2b ను తీస్థవేయండ.ి సాధన:(4a+5b-2)-(3a+2b) = 4a+5b-2-3a-2b = (4a-3a)+(5b-2b)-2 = a+3b-2 మరొక ప్ద్దతి: ఈ బీజీయ సమాసరలను ఒక ద్యని క్ంద్ ఒకటి వరాస్థ, సజాతి ప్ద్యలను ఒక వరుసలో వరాస్థ మిగచలిన ప్ద్యలను విడిగర ఉంచయలి. ఈ క్రంద్ి విధ్ంగర (4a + 5b - 2) – (3a + 2b)

= 4a +5b -2 – 3a - 2b

= (4a-3a) + (5b-2b) – 2

= a + 3b – 2

ప్యాతిుంచండ:ి తీస్థవేయండ(ిi) 10x+7b-3 నుండి 5x-9 (ii) 6pq-1+3q నుండ4ిpq-5p+2 9.4.3 గుణకార్ిం: a) ఏకపదుల గుణకార్ిం: a x a = a2, ఇకకడ 2 అనేద్ి‘a’ ల యొకక సంఖ్యను త్ెలుప్ుతుంద్ి. a2 లో ఉను 2 నుఘాతము అని a ని భూమి అని అంటారు. ఈ క్రంద్ి ప్టిుకను నింప్ండి.


15

‘a’ ల సంఖ్య లబదం భూమి ఘాత్యంకం

3 ‘a’ ల యొకక లబదం a x a x a x a

a x a x a x a x a

a3 a 3

ఏ విధ్ంగర 2 ప్ద్యలను గుణించయలో తె్లుసుకుంద్యం. a మరచయు b ల యొకక లబదం, a x b ద్ీనినే ‘ab’ గర కూడయ రరసరు ము. అద్ే విధ్ంగర, a x a x b = a2b a x a x b x b = a2b2.... వీటిని వరాయండి (i) X x X x X x y x y = (ii) m x m x m x n x n x n = ఇప్ుపడు మరచకొనిు ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:-152x మరచయు 3y లను గుణించుము. 2x x 3y = 2 x x x 3 x y = 2 x 3 x x y = 6xy ఉదా:-163mn ను-5mn నుండి గుణించుము. 3mn x (-5mn) = 3 x m x n x (-5) x m x n = 3 x (-5) x (m x m) (n x n)

= -15 x m2 x n2 = -15m2 x n2 ఉదా:-17 -5pq, 4pqr మరచయు 2r ల యొకక లబదం ఎంత? (-5pq) x (4pqr) x 2r = (-5) x p x q x 4 x p x q x r x 2 x r = (-5) x 4 x 2 x p x p x q x q x r x r = -40 x p2 x q2 x r2 = -40p2q2r2 ప్యాతిుంచండి క్రంద్ి వరటి యొకక లబదంను కనుగొనండి (i) 4xy x 2x2

(ii) 5m x 3n x 7mn


16

b) ఏకపది తో బాహుపది గుణకార్ిం: ఈ గుణకరరం చేయుటకు గరను సమృత, స్థితయంతర, సహచర.. మొద్లగునవి ధ్రరులను అకకడకకడ అవసరమును బటిు వరడుత్యము. ఉదా:-18 (3x – 5) ను 2x త్ో గుణించుట. లబదం= (3x – 5) x 2x = 3x x 2x– 5 x 2x (ద్ీనికద్ి ప్ంచియవాగర) = 3 x 2 x x x x - 5 x 2 x x = 6x2– 10x ఉదా:-19 3a ను(5a -2b +4) త్ో గుణించుట.

లబదం = 3a × (5a – 2b + 4) = 3a × 5a + 3a × (-2b) + 3a × 4 = 3 × a × 5 × a + 3 × a × (-2) × b + 3 × a × 4 = 3 × 5 × a × a + 3 × (-2) × a × b + 3 × 4 × a = 15a2 – 6ab + 12a

వీటిని ప్యాతిుంచండ.ి లబదమును కనుగొనండి. (i) 2x-3y మరచయు 5xy (ii) 3mn మరచయు(5m – 7mn + 3n) c) బహుపదిని వేరొక బహుపదిచే గుణ ించుట. మొద్టి బహుప్ద్ిలో ప్తాి ప్ద్మును రెండవ బహుప్ద్ిలోని ప్తాి ప్ద్ంచే గుణించి వచిున లబాద లను కూడడం ద్యారర బహుప్ద్ుల లబాద లను కనుగొనవచుు. ఉదా:-20(a+b) ని(3a-5b) త్ో గుణించండ.ి

సాధన: (a + b) (3a – 5b)


17

= a (3a – 5b) + b( 3a – 5b)

= a × 3a – a × 5b + b × 3a + b × (-5b)

= 3 × a × a – 5 × a × b + 3 × a × b – 5 × b × b

= 3a2 – 5ab + 3ab – 5b2

= 3a2-2ab – 5b2

ఉదా:-21 (2x + 5) ని(x2– 3x + 2) త్ో గుణించండ.ి సాధన: (2x + 5) × (x2 – 3x + 2)

= 2x × (x2 – 3x + 2) + 5 (x2 – 3x + 2)

= 2x × x2 – 2x × 3x + 2x × 2 + 5 × x2 – 5 × 3x + 5 × 2

= 2x3 – 2× 3 × x × x + 2 × 2x + 5 x2 – 15x + 10

= 2x3 - 6x2 + 5x2 + 4x – 15x + 10

= 2x3 + (-6 + 5) x2 + (4 – 15) x + 10

= 2x3 – x2 – 11x + 10 ప్యాతిుంచండ.ి వీటి యొకక లబదమును కనుగొనండి. (i) (2m+3n) మరచయు(m-2n) (ii) (pq-1) మరచయు(2p+3q-5) 9.4.4 భాగాహార్ము: (i) విభాజయంను లవంగరను, విభాజకమును హారంగర వరాయుము. (ii) భినుమును సూక్ష్ముకరచంచుము. ఇప్ుపడు ఈ క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం.


18

(i) 15mn ను 5m చే భాగచంచుము = 15mm

5mm = 3x5xmxn

5xm = 3n

(ii) 18x2 y2÷ (-6xy) = 3x6x x 4

-6x xy

x x xy

x = - 3xy

ప్యాతిుంచండి బాగచంచండి (i) 25xy by-5y (ii) 30a2b2c by 6ab b) బహుపదిని ఏకపదిచే భాగ ించుట: బహుప్ద్ిలోను ప్తాీ ప్ద్మును ఏక ప్ద్ిచే భాగచంచ వలయును. ఈ క్రంద్ి ఉద్యహరణలను సరధ్ించుద్యద ం. ఉదా:-23 (i) 9x2 -15xy ను 3x చే భాగచంచండ.ి

(9x2 -15xy) ÷ (3x) =29 15

3

x xy

x

= 29

3

x

x- 15

3

xy

x = 3x-5y

(ii) 8a2b-12ab2+20ab ను(-4ab) త్ోభాగచంచండ.ి (8a2b-12ab2+20ab) ÷(-4ab) = -2a+3b-5 ప్యాతిుంచండ.ి భాగచంచండి(i) 6m2n-9mn2 ను 3mn త్ో (ii) 10x3y-15x2y2-5x2y3 ÷ 5xy c) బహుపదిని బహుపదిచ ేభాగ ించుట: సంఖ్యలను ఎలా భాగచంచయలో మనకు త్ెలుసు. అలాగే ఒక పెద్ద భాగరహార ప్ద్దతి ద్యారర కూడయ భాగహారం చేసరు ం. ఇప్ుపడు ఇకకడ అద్ే ప్ద్దతి ద్యారర భాగహారం చేసరు ం. క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. step:-1 హారము మరచయు విభాజకముల ప్ద్యలను ఆరోహణ కరమంలో ఘాత్యల సహాయంత్ో బహుప్ద్ిలో ప్ద్యలను అమరరులి.


19

step:-2 హారము యొకక మొద్టి ప్ద్మును విభాజకము యొకక మొద్టి ప్ద్ంత్ో భాగచంచయలి. అప్ుపడు విభాకుములో మొద్టి ప్ద్ము వసుు ంద్ి.

ఇకకడ 215

5

x

x = 3x

step:-3 విభాజకంలో ప్తాి ప్ద్మును 3x త్ో గుణించండి హారము క్రంద్ వచిున ఫలితమును వరాయాలి. విభాజకము నుండి వచిున ఫలిత్యనిు తీస్థవేయండి.

step:-4 ఇప్ుపడు step 2 నుండి 3 వరకూ మలిల పెై

ద్యనిలా చేయండ.ి ఇప్ుపడు 20x-12 ని విభాజకముగర తీసుక్ండ.ి ఇంద్ులో 2వ విభక్ు = 20x/5x = 4 ఆ 2వ విభక్ు మరచయు విభాజకము నుండి తీస్థవేయగర శేషం ‘0’ వచిుంద్ి. (15x2+11x-12) ÷ (5x-3) = 3x+4 ఈవిధ్ంగరబహుప్ద్ినిబహుప్ద్ిచేభాగచసరు ము. Note: విభాజకముయొకకమొద్టిప్ద్ముభాగహారచని ఘాతంకంటేతకుకవ ైఉండకరలేద్ు. మీపురోగత్ని పర శీలించుక ిండి ఉదా:85x2-6xy-y2-2x2-3y2+2xy-2y2+x2 ను సూక్ష్ముకరచంచండి. ఉదా:9 2m-3n+5 మరచయు8+4n ల మొతుం నుండి 3m-5n+7 ను తీస్థవయేండ?ి ఉదా:10 ఈ క్రంద్ి ఖ్ాళీలను ప్ూరచంచండి. (a2-5ab-3a+7) + (........) = 3a2+2ab-5b+2 ఉదా:11 గుణించండి (a) (3x-2) ని(2x+3) త్ో (b) (p2+pq+q2) (p-q)


20

ఉదా:12 3a3+16a2+20+21a ను(a+4) త్ో భాగచంచండి. 9.5 రఖేీయ సమయసాలు మర యు వాటి యొకక సాధనాలు ఒక సమీకరణయనిు ఒక సమత్ౌలయం త్ో సరచ ప్ో లిునప్ుడు సరచతూగుతుంద్ి. ఆ రెండు భుజాలను సమీకరణం యొకక R.H.Sమరచయు L.H.S త్ో పో్ లిునప్ుడు సరచతూగుత్యయ. ఉద్యహరణకు 3x-5= 16 అనే సమీకరణంలో 3x-5 అనేద్ిL.H.S మరచయు 16 అనేద్ి R.H.S ఆ రెండు సమత్ౌలయంగర ఎప్ుపడు ఉంటాయంటే L.H.S మరచయు R.H.S విలువ ఒకటయనప్ుపడే. ఈ సమీకరణంలో x అనేద్ి ఒక త్ెలియని చరరరశి

9.5.1 LIinear Algebraic Equation (రేఖీయ సమయసాలు) ఇప్ుపడు ఒక చిను సమసయను చూద్యద ం. ఏ సంఖ్య కనుగోవరలనుకుంటటనయువో అద్ి ఎప్ుపడు రెటిుంప్ు అయ ఆ తరువరత డయనిక్ 5 ని కలుప్ుగర మొతుం 15 అగును. ఒక గణిత నివేద్ికను వరాయుటకు, మనము ఒక చరరరశి x, ద్ీనిని రెటిుంప్ు చేస్థనచ ో2x. ద్ీనిక్ 5ని కలుప్గర అద్ి 2x+5 అగును. మనకు త్ెలుసు 2x+5, 15కు సమానం అగును. ఇప్ుపడు ఆ గణిత నివేద్ిక 2x+5=15. ఇద్ే ఆ పెైన మనం చెపథపన సమీకరణం. ఒక బహుప్ద్ి ఒక ఖ్చిుతమైెన గురుు త్ో ఉండి అద్ి ఒక సంఖ్యకు సమానం అయత్,ే ఆ నివేద్ికను సమీకరణం అంటారు. కనుక 2x+5=15 అనునద్ి ఒక సరధ్యరణ బీజీయ సమీకరణము. ఇప్ుపడు కొనిు ఉద్యహరణలను చూస్థ, కొనిు సమీకరణయలను ఈ క్రంద్ి ప్టిుకలో వరాద్యద ం.


21

నివేదిక సమీకర్ణిం సమకలనం ద్యారర x మరచయు 7 అనేద్ి 16 కు సమానం 3ను y నుండి తీస్థవేయగర ఆ వచిునద్ి 10క్ సమానం n యొకక 9 రెటటల లబదం 36కు సమానం 4లో 3 వ వంతు m అనేద్ి 12క్ సమానం

x + 7 = 16

మీరు రరస్థన ప్టిుకలో సమీకరనయలును రేఖీయ సమీకరణయలు ఒక చరరరశిత్ో ఏరపడత్యయ మరచయు ఆ చరరరశి యొకక ఘాతం ‘1’ ఒక సమీకరణం ఒక రేఖీయ బహుప్ద్ి రూప్ంలో ఉండటానిు రేఖీయ సమీకరణం అంటారు. రేఖీయ సమీకరణం లో ఒక చరరరశి గల సమీకరణం ax+b=0 రూప్ంలో ఉంటటంద్.ి ఇకకడ a,b అనేద్ి సంఖ్యలు మరచయు x అనేద్ి త్ెలియద్ు. ఈ రేఖీయ సమీకరణయలను మొద్టి ప్రచమాణ సమీకరణయలు అంటారు. Note: x2+7x+6=0 ఈ సమీకరణం రేఖీయ సమీకరణం కరద్ు ఎంద్ుకంటే x యొకక ఘాతం 2 కనుక.

9.5.2 రఖేీయ సమీకర్ణాల యొకక సాధన: ఒక రేఖీయ సమీకరణం x+7=16 ని తీసుకుంద్యం. ఇప్ుపడు‘x’ విలువ ఎంత? ప్ూరీ సంఖ్యలను 1,2,3,.... ను x క్ బద్ులుగర ఉంచినచ ో ఇరువ ైప్ులా ఎప్ుపడు సమానం అవుతుంద్ో అద్ే x విలువ. మనము x విలువ ఒక 9 ద్గగర మాతమేా చూడగలము. ఒకక x=9 న ఆ సమీకరణయనిు రెండు వ ైప్ులా సమానం చేసుు ంద్ి. మిగచలినవి ఏవి చేయవు. మనకు త్ెలుసు సమీకరణంలో రెండు వ ైప్ులు సమానం అయత్ేనే సమీకరణం సరధి్ంచినటటల . ఉద్యహరణకు, సమీకరణం 2y=6 అనేద్ి y=3 ద్యారర మాతమేా సరధి్ంచబడుతుంద్.ి అద్ే విధ్ంగర m-3=4 అనేద్ి m=7 ద్యారర మాతామే


22

సరధి్ంచబడుతుంద్.ి త్ెలియని రరశి యొకక విలువను కనుగొని సమీకరణంలో ప్తాిక్ష్ేపథంచడం వలన ఒక సరెైన ద్త్యు ంశమును సరధ్ిసరు ము. ఆ విలువనే ఆ సమీకరణం యొకక మూలము అంటాము. ఒక సమీకరనమును సరధి్ంచడం అంటే త్ెలియని చరరరశి యొకక సరెైన విలువను కనుగొనడమే. రేఖీయ సమీకర్ణము యొకక సాధనలు: a) యత్న దీష పదద త్: ప్టిుకను నింప్ుట ద్యారర సమీకరణయనిు సరధి్ంచుట x+7=16 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x+7 ఒకొకకక విలువ ప్తాిక్ష్ేపథసూు అద్ి సరధ్న అవుతుంద్ో లేద్ో ప్రచశీలిసూు సమీకరణయనిు సరధి్ంచే ప్ద్దతిని యతు ధీ్ష ప్ద్దతి అంటారు. ఒకొకకక విలువను ప్తాిక్ష్ేపథసూు అద్ి సమీకరణయనిు సంతృపథు ప్రుసుు ంద్ో లేద్ో ప్యాతిుసూు వ ళ్ుడం కషుము, కరలంత్ో కూడుకునుది్. ఎకుకవగర పెద్ద సంఖ్యలయత్ే సరధి్ంచటం కషుం. ఇవి చేయండ.ి యతు ధీ్ష ప్ద్దతిలో సమీకరణయలును సరధి్ంచండి.

(i) m-5=16 (ii) 2y-1=17 b) సింకలనము లేదా వ్యవ్కలనము దాారా సమీకర్ణానిన సాధిించుట. బీజీయ సమాసరనిు సునిుతప్ు త్యాసు త్ో సమత్యస్థుతిత్ో ఉండడయనిు ప్ో లుసరు రు. బీజీయ సమాసం యొకక రెండు వ ైప్ులా సమత్యస్థితిక్ తీసుకురరవడం అంటే త్యాసులో రరళ్ును రెండు ప్ళ్ళులలో వేయుట లేద్య తీయుట ద్యారర సమత్యస్థితిక్ తీసుకు రరవడమే.


23

సమీకరణ సరధ్నయలే ఈప్ద్ధతినే ఎకుకవగర ఉప్యోగచసరు రు. ఉద్యహరణకు, x అనేద్ి బియయం సంచి బరువు త్యాసు యొకక ఎడమ ప్ళ్్ుంలో ఉంచి w బరువు గల రరయ ని త్యాసు యొకక కుడి ప్ళ్్ుంలో ఉంచినటలయత్ే త్యాసు సమత్యస్థితిక్ వస్తు అప్ుపడు x = w అని చెప్పవచుు. case:1 ఇప్ుపడు రెండు ప్ళీలలకు ‘c’ అనే బరువును కలిపనటలయన త్యాసు ద్ండము భూమిక్ సమాంతరంగర ఉంటటంద్ి. x + c = w + c case:2 రెండు ప్ళ్ళుల నుండి c అనే బరువును తీస్థవేయడం వలన కూడయ భూసమాంతరం గరనే ఉంటటంద్ి. x – c = w - c case:3 రెండుప్ళ్ళులలోనే ఒకేసరరచ c రెటటల బరువుని ఉంచినటలయత్ే అప్ుపడు కూడయ భూమిక్ సమాంతరంగరనే ఉంటటంద్ి. xc=wc case:4 రెండు ప్ళ్ళులలోను ఒకేసరరచ 1/c రెటటల బరువును ఉంచినటలయత్ే అప్ుపడు కూడయ భూ సమాంతరగరనేఉంటటంద్ి.

x w

c c (c≠0 అయత్ేనే)

పెై లక్షణయల ప్కారరము సునిుతప్ు త్యాసులో బరువును తూచుటకు 4 సూత్యాలు కలవు. ఇద్ే ప్ద్దతిలో సమీకరణ సరధ్నకు 4 ప్ద్దతులు కలవు. అవి:

1) ఒక సమీకరణంలో ఒకే విలువను రెండు వ ైప్ులా కలప్డం వలన సమీకరణం యొకక సమత్యస్థితి మారద్ు.

2) ఒక సమీకరణంలో ఒకే విలువను రెండు వ ైప్ులా తీస్థవేయడం వలన సమీకరణ సమాత్యస్థితి మారద్ు.

3) ఒక సమీకరణంలో ఒకే విలువను రెండు వ ైప్ులా గునించడం వలన సమీకరణ సమత్యస్థితి మరద్ు.


24

4) ఒక సమీకరణంలో ఒకే విలువను రెండు వ ైప్ులా భాగచంచడం వలన సమీకరణ సమత్యస్థితి మారద్ు.

ఉదా:25 y-5=11 ను సరధ్ించండ.ి సాధన: y-5=11 (y-5)+5=11+5 (Adding 5 on b’s) y+(-5+5) = 16 y+0=16 y=16 ఉదా:26 z+4=8 ను సరధి్ంచండి. సాధన: z+4=8 (z+4)-4=8-4 z+(4-4)=4 z+0=4 z=4 ఉదా:27 x/3=12ను సరధి్ంచండి. సాధన: x/3=12

1

x( x3)3

x =36 x1=36x x=36

ఉదా:28 5x-2=28 ని సరధి్ంచండ.ి సాధన: 5x-2=28 (5x-2)+2 = 28+2 5x+(-2+2) =30 5x+0 = 30 5x=30 5x/5 =306/5 x=6


25

ప్యాతిుంచండ:ి ఈ క్రంద్ి సమీకరణయలను సరధ్ించండి. (i) 3x+2=14, (ii) x/4-1=5 బీజపదద త్: రేఖీయ సమీకరణయలను సరధ్ిసుు నప్ుపడు ఒక సంఖ్యను ఎడమ చేతి వ ైప్ు నుండి కుడివ ైప్ుకు మారుడంలేద్య కుడి నుండి ఎడమకు మారుడం చేసూు ఉంటాం. అలా చేసుు నప్ుడు ఒక వ ైప్ు కలిపథనటలయత్ే రెండో వ ైప్ు తీస్థవేయడం జరుగుతుంద్ి. ఈ క్రంద్ి విధ్ంగర ప్కా్రయలు మారుత్యయ. 1) సంకలనము వయవకలనముగర మారుతుంద్ి. 2) వయవకలనం సంకలనముగర మారుతుంద్ి. 3) గుణకరరం భాగరహారంగర మారుతుంద్ి. 4) భాగహారం, గునకరరంగర మారుతుంద్ి. ఈనియమాలనే బీజీయ ప్ద్దతి అంటారు. ఉదా:29 సరధి్ంచుము 2x-7=5 సాధన: 2x-7=5 2x=5+7 7ను కుడివ ైప్ు మారుగర 2x=12 x=12/2 2ను కుడివ ైప్ు మారుగర x=6 ఉదా:30 సరధి్ంచుము 5y-2/3 =6 సాధన: 5y-2/3=6 5y-2=6 x 3 5y-2=18 5y=18+2 5y=20 y=20/5 =4 y=4


26

ఇవి చేయండ.ి (1) 3p+2=17 (2) 2(x+4)=12 d) అడ్డు గుణకార్ము యొకక నియమయలు ఒక సమాసంలో భినుం ఉనుట్లల న భినయునిు సులభ ప్ద్దతిలో ‘=’ నంద్ుమారుప లేకుండయ విడద్ీయుట. ఉద్యహరణకు a/b=c/d a=c/d x b b ను కుడివ ైప్ు మారుగర a=c x b/d a x d = c x b c ను ఎడమవ ైప్ు మారుగర

అలా కరకుండయ a/b = c/d a/b x bd =c/d x bd bd చే రెండు వ ైప్ులా గుణించగర ad=cb అడడ గుణకరరం నంద్ు ఇద్ి ఒక నియమము. మరచ కొనిు ఉద్యహరణలు ప్రచశీలిద్యద ము. ఉదా:31 సరధి్ంచుము 3x+1/2 =x+7/4 సాధన: 3x+1/2=x+7/4 (3x+1) x 4 = (x + 7) x 2 అడడ గుణకరరం చేయగర విభాగరనయయయం. 12X+4=2X+14 12X-2X=14-4సజాతి ప్ద్దలను ఎడమ వ ైప్ుకు, స్థిరప్ద్యలను కుద్ివప్ుకు

మారుగర 10X=10 X=10/10 10 ని కుడివ ైప్ు మారుగర X=1


27

ఉదా:32 సరధి్ంచుము. 3y-1/2y+3=5/7 సాధన: 3y-1/2y+3=5/7 (3y-1) x 7 = (2y+3) x 5 అడడ గుణకరరం 21y-7 = 10y+15 21y-10y = 15+7 11y =22 y =22/11 =2 రేఖీయ సమాసరలను సరధి్ంచుటలో 4 ప్ద్దతులను మనం ప్రచశీలించయం. వీటిలో సిల మారుప, అడడ గుణకరరం ఉప్యోగచంచబడినవి. క్రంద్ి సమసయలను సరధి్ంచుము ఉద్య:13 క్రంద్ి సమాసరలను సరధి్ంచుము (i) 7x=28 (2) 3y-2=19 (3) x/2-3=6 ఉద్య:14 క్రంద్ి సమాసరలను సరధి్ంచు (1) 28=4+3(t+5) (2) 2(2p-3)=6 ఉద్య:15 క్రంద్ి సమాసరలను సరధి్ంచు. (1) 8x/3x+6=4/3 (2) 2x+3/3x+7=5/8 9.6 పద సమసయలను సాధిించుట/ బీజీయ పదద త్ులను వాడ్డట. గణిత సమాసరనిు సరధ్యరణ సమాసంగర మారుడం మనం నేరుుకునయుం. ఏ విధ్ంగర సరధి్ంచయలో త్ెలుసుకునయుం. బీజగణితం నితయ జీవిత సమసయలను సరధి్ంచుటలో ఎలా ఉప్యోగప్డుతుంద్ంటే

1) ప్ద్ సమసయను ముంద్ు అరధం చేసుక్వడం 2) త్ెలియని ప్ద్యలను త్ెలుసుకొనుటకు వరటిక్ గురుు లను కేటాయంచడం,

ప్తాిక్ష్ేపథంచడం చేయుట. 3) ప్ద్యలలో ఇచిున సంబంధ్యల ఆధ్యరంగర బీజీయ సమాసరలను రరయుట. 4) సమసయను సరధి్ంచి, త్ెలియని ప్ద్యల విలువను త్ెలుపట


28

5) సమసయను సరచచూచుట.

క్రంద్ి ఉద్యహరణలను ప్రచశీలిద్యద ం. ఉదా:33 మిత ఒక సంఖ్యని ఊహ ంచిoద్ి. ఆ సంఖ్య 4 త్ో గుణించి 7 ని తీస్థవేస్తు వచిున సంఖ్య 17. అయన ఆ సంఖ్య ఏద్ి? సాధన: మిత ఊహ ంచిన సంఖ్య ‘x అనుక్నుము సంఖ్యని 4త్ో గుణించగర =4x ద్యనినుండి 7ని తీస్థవేయగర = 4x-7 సమసయ నుండి 4x-7=17 4x-7=17 4x=17+7 4x=24 x = 24/4 = 6 కరవలస్థన సంఖ్య =6 సర చూచుట: L.H.S =4X-7 = 4 X 6-7 = 24-7=17= R.H.S. ఉదా:34 వికకక, రచకకక కంటే 5 ఏండుల పెద్ద . 15 సం.ల క్రతం వికకక వయసుు రచకకక వయసుుక్ 2 రెటటల ప్సాుు తం వరరచ వయసుులు ఎంత? సాధన: ఇద్దరచలో రచకకక చిను వరడు. కనుక ప్సాుు తం రచకకక వయసుు ‘z’ అనుక్ వికకక వయసుు = (z+5) సం.లు 15సం.లు క్రతం వికకక వయసుు = z+5-15=z-10సం.లు 15 సం.ల క్రతం రచకకక వయసుు z-15 సం.లు. ఇచిున సంబంధ్ం ప్ాకరరం వికకక వయసుు రచకకక వయసుుక్ 2 రెటటల . Z-10=2(Z-15)


29

Z-10=2Z-30 Z-2Z=-30+10 Z=20 కనుక రచకకక ప్సాుు త వయసుు = 20 సం.లు. వికకక వయసుు 20+5=25సం.లు. క్రoద్ి సమసయలు సరధి్ంచండి. ఉద్య:16 రెండు సంఖ్యల మొతుం 64. ఒక సంఖ్య, రెండవ సంఖ్య కనయు 14 ఎకుకవ ఆ సంఖ్య లేవి. ఉద్య:17 క్రంద్ి సమసయలు సరధి్ంచుము. a) సచిన్, ధ్ోనిక్ 2 రెటటల రన్ు చేసరడు ఇద్దరూ కలిస్థ 100 క్ ఒకటి తకుకవ రన్ు చేస్తు ఎవరెవరు ఎనిు రన్ు చేసరరు. b) నరహరచప్ురం గరర మంలో గరరెడన్ లో ప్జాలు 102 మొకకలు నయటిరచ. ప్ళ్ళు కరయని మొకకలు, మూడు రెటటల ప్ండుల కరస్త మొకకల కనయు రెండు ఎకుకవ. అయన ప్ండుల కరస్త మొకకలలనిు? c) సరనియా వయసుు ఆమె తండి ావయసుులో సగం. ఆమె తండిా వయసుు ఆమె త్యత

వయసుులో సగం. 20సం.ల తరరాత సరనియా వయసుు ప్సాుు త తండిా వయసుుక్ సమానం. అయన సరనియా, ఆమె తండి,ా త్యతల ప్సాుు త వయసుు లలంత?

ఉద్య:18 క్రంద్ి సమసయను సరధి్ంచు.

2 3 5

3 7 8

x

x

9.7 క ిడీకర దాద ిం. అంక గణితంలో సంఖ్యలను త్ెలియ చేయుటకు అక్షరరలను గురుు లుగర వరడటమే బీజ గణితం. ప్తాీ సంఖ్య ఒక స్థిర ప్ద్ం. వేరేారు సంద్రరులలో వేరేారు విలువలను స్థిర


30

ప్ద్యనిక్ గురుు లనిచుుట ద్యారర సరధి్ంచవచుు. బీజ గణితంలో గురుు లను, స్థిర ప్ద్యలను వరడుట ద్యారర సమాసరలను రరయవచుు. చతురచాధ్ ప్ాక్రయలను, గురుు లను, స్థిర ప్ద్యలను వరడి బీజ సమాసరలను రరయవచుు. ప్ద్యలు గురుు లత్ో (+,-,x,÷) వేరు చేయబడి సమాసంలో ఉంటాయ. ఆ ప్ద్యలలో స్థిరప్ద్యలు, చరరరశులు, రెండూ కలిపథ ఉండవచుు. ఒక బీజేయ సమాసంలో ఒక ప్ద్ం ఉంటే ఏకప్ద్ి అని, రెండు ప్రద్యలుంటే ద్ిాప్ద్ి అని, మూడు ప్ద్యలుoటే తిాప్ద్ి అనీ, సమాస ప్రచమాణం ఆ ప్ద్యలలో పెద్ద ప్రచమాణం కల ప్ద్యనిద్ే అవుతుంద్ి. సమాసంలో రెండు వ ైప్ులా ఉండే ప్ద్యలు త్యాసులో రెండు ప్ళ్ళులక్ సమానం. రేఖీయ సమాసరలు 4 ప్ద్దతుల ద్యారర సరధి్ంచబడును. అవి ప్యాతు ప్ద్దతిసంకలనం, వయవకలనం, రెండు వ ైప్ులా సమానం చేయుట, వుయత్కమము, అడడ గుణకరరం ప్ద్దతులు. 9.8 (అభాయసన) ఉద్య సమాధ్యనయలు. ఉద్య:1 p+q, 2p-q, 3p+2q-1 ఉద్య:2 (1) 5xy+3 (2) ab-(a+b) ఉద్య:3 చరరరశులు = y,z స్థిర రరశులు =2,3,5 ఉద్య:4 (1) -1, (2) 2y, (3) 2/3xy ఉద్య:5 (2p,p/3), (-3pq,5pq), (1/2 pqr,3pqr) ఉద్య:6 (1) xy గుణకం= 5 5= xy మొ.వి. (2) 3 యొకక గుణకం = -abc abc=-3మొ.వి. ఉద్య:7 (1) ప్ద్యలు= 3xy,5y కరరణయoకరలు 3xy = 3,x,y కరరణయంకరలు 5y=5,y (2) ప్ద్యలు= ab, 2a మరచయు 3y


31

ఉద్య;8 4x2-4xy-6y2 ఉద్య:9 -m+6n+6 ఉద్య:10 2a2+7ab+3a-5b-5 ఉద్య:11 (a) 6x2+5x-6 (b) p3-q3 ఉద్య:12 3a2+4a+5 ఉద్య:13 (i) x=4, (ii) y=7, (iii) x=18 ఉద్య:14 (i) t=3 (ii) p=3 ఉద్య:15 (i) x=2 (ii) x=11 ఉద్య:16 25 మరచయు 39 ఉద్య:17 (a) ధ్ోని=33 సచిన్=66 (b) 25 (c) 20,40,80 ఉద్య:18 x= 11 9.9 SUGGESTED READINGS AND REFERENCES Bansal, R.K. (2007). Middle school mathematics. New Delhi: Selina Publication.

NCTM (1999). Activities for Junior High School and Middle School Mathematics,

Vol.2, The National Council of Teachers of Mathematics(NCTM), INC, USA.

Teaching of Maths at Upper Primary Level, Vol.- II Published by DEP-SSA, IGNOU,

New Delhi

Text Book of Cl- VI, Vii and VIII published by NCERT, New Delhi.

9.10 అభాయసము 1. క్రంద్ి వరటిక్ సమాసరలు రరయండి. (1) p,q ల మొతుంలో 3వ వంతు (2) a,b ల లబదం నుండి a, b ల మొత్యు నిు తీస్థవేయుట. (3) x,y ల లబాద నిక్ 2 చే గుణించి 8 కలుప్ుట


32

2. (1)-5xyz లో xy ల గుణకం కనుక్కండి (2) 2m2n2 లో m2 గుణకం (3) -9pqrలో 9 గుణకం కనుక్కండి 3. సంఖ్ాయ గుణకం కనుక్కండి (1) - t (2) 2/3pq (3) -8x2y2 4. ఏక ప్ద్,ి ద్ిాప్ద్ి, తిాప్ద్ిలకు ఉద్యహరలివాంద్ి. 5. సజాతి ప్ద్యలను ఒక సమూహంగర రరయుము (1) ab2, -4ab, 2a2b, ab, -3ab2, 2/3 ab,-5a2b, a2b2 (2) 2x, -5xym –x, xy/2, 3y 6. క్రంద్ి సమాసరలను కలప్ండి. (1) a+b-5, b-a+3 మరచయు a-b+6 (2) 4x+3y-7xy, 3xy-2x మరచయు2xy-y (3) m2-n2-1, n2-1-m2 మరచయు 1-m2-n2 7. వయవకలన్ చేయండ.ి (1) x(y-3) నిy(3-x) నుండి తీస్థవేయు (2) 5m-10 నుండmి2+10m-5 (3) 2ab-3a2-3b2 నుండి5a2-7ab+5b2 8. సూక్ష్ముకరచంచండ.ి (1) 10x2-8x+5+(-5x)-4x2-6m-10 (2) 20mn-10n-17m-12n+14m+2 9. గుణించండి (1) (a-b) ని(a2+ab+b2) త్ో గుణించు (2) (p+q-5) ని(p-q) త్ో గుణించు 10. భాగచంచు (1) (8m2+4m-60) ని(2m-5) త్ో భాగచంచు (2) (6a2b2-7abc-3b2) ని(3ab+c) త్ో భాగచంచు


33

11. క్రంద్ి సమీకరణయలను సరధి్ంచు. (1) 2y-5=9 (2) 3/5+x=13/5 (3) z/3+z/5 = 40 (4) 8 4

6 3 3

x

x

12. క్రంద్ి సమసయలను సరధ్ించు (1) ద్ీరఘ చతురసరాకరర సిలం పొ్ డవు, వేడలుప కనయు 5 మీ. ఎకుకవ. సిలం చుటటు కొలత 70మీ. అయన ప్ొ డవ ంత? (2) సమద్ిాబాహు తాిభుజంలో భూ క్ణయలు సమానం, ఒక క్ణం భూక్ణయలకనయు 150 ఎకుకవ. అయత్ే క్ణయల విలువలు కనుక్కండి.

యూ õట్ – 5 - mooc.nios.ac.inmooc.nios.ac.in/mooc/pluginfile.php?file=/14003/coursecat/description... · ప్ూర్ణ్ సంఖ్ాయ సి ó õ ‘Z’ అన

Documents