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A.A. 2006-07 prof. Savrié Mauro [email protected] www.fe.infn.it/~savrie
1
Meccanica dei Sistemi e Termodinamica
modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,
Esercitazioni ( docente: G.Zavattini) giovedì : 8:30-10:30 aula F4 Le copie delle presenti trasparenze sarannodisponibili in rete all’ indirizzo: www.fe.infn.it/~savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 10 Gennaio 2007Fine lezioni: 17 Marzo 2007Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 sconsigliato: 15/30<p<18/30 non ammesso: p<15/30
- prova orale : esito positivo: p>18/30
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(Le forze centrali e ) la gravità(Le forze centrali e ) la gravità
1. Forze centrali
•Sono forze molto importanti in fisica•Sono sempre dirette verso un centro di forza•Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza•Sono conservative•Il momento angolare si conserva
ox
y
P
r
'r P’
F
'F rFF ˆ
Repulsiva!!
0 rr
FrFr
ostante)(Cl
prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente da spiegare.
• corpi “terreni”• corpi celesti
0dt
ld
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3
Newton nel 1665 ( nel 1665 ( aveva 23 anniaveva 23 anni ) ipotizza che la caduta dei ) ipotizza che la caduta dei
gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle gravi ed il moto dei corpi celesti siano regolati dalle stesse leggi.stesse leggi.
non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi ( fenomenologiche).
1.1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche di i pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochicui il Sole occupa uno dei fuochi
2.2. I pianeti si muovono con velocità areolare I pianeti si muovono con velocità areolare costantecostante
3.3. i quadrati dei periodi di rivoluzione sono i quadrati dei periodi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie proporzionali ai cubi delle distanze medie dal Sole ( semi-asse maggiore )dal Sole ( semi-asse maggiore )
Dimostrazione della II legge:
S
pv
r
tv
se consideriamo un intervallodi tempo infinitesimo dt:
dtvmrm
dtvrdA
2
1
2
1
dtvmrm
dA
2
1
dt Lm
dA2
1 costante
m
L
dt
dA
2
2mrmrvLvmrvvmrvmrL r
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I satelliti artificiali (della Terra)I satelliti artificiali (della Terra)
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Conseguenze importanti della Conseguenze importanti della 22a a e 3 e 3aa legge legge
cost.Ka
TIII ; cost.Kr
dt
dAII 23
2
12
2
1
Nell’approssimazioneapprossimazione delle orbite circolariorbite circolari
2
T
La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale:
3
2
2
22
4
4
rK
rMF
T
rMrMFF
T
TTS
TTcTS
,
,
2r
MF S
S,T
....è una forza inversamente proporzionale al quadrato del raggio. Per azione e reazione questa forza è uguale a quella esercitata dalla Terra sul Sole ed è proporzionale alla massa della Terra, per simmetria...........
rrT
MF
rrMaMF
P
PP
ˆ
ˆ2
2
2
pianeta del massaM P
Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre):
dalla III legge
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Per il principio di azione e reazioneazione e reazione :
Che valgono contemporaneamente se: FM M
rT
2
Cosa fece realmente Newton?
• confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come )• considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!)
Ed ipotizzò…………….
3
2
2
2
,
44
rK
rM
T
rMF
S
TTST
TSSTTSST KMKMFF ,,
Definendo la nuova costante:
TSST kMkM
22 44
Per simmetria quindi:
2r
MMF Tmodulo della forza
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8
12212
2112 r̂
r
MMGF
N.B.N.B.
2r
MmGF
Infatti se nella legge ricavata prima indichiamocon G una costante di proporzionalità:
GG= costante di gravitazione universale
Dimensioni: L M T3 1 2
Valore: 6 67 10 112
2
3 1 2. Nm
Kgm Kg s
F12 ......... la forza è attrattiva
La legge di gravitazioneLa legge di gravitazioneuniversaleuniversale
G
E prima abbiamo visto che:
È una costante che non dipende nè da M né da r
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Dimostrazione della III legge
Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione dell’ orbita circolare ( ma è sempre vera!!!):
M
m
r R
c
ω
ω
C centro di massa
R
r
m
M
00)(cm
e aF
rm
rR
MmG 2
2
2
3232 4
T
rrGM 32 4
rGM
T
cost.GMr
T
43
2
rivisto finqui 07 febbraio 2007
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Come fece Newton per verificare la validità della legge di Come fece Newton per verificare la validità della legge di Gravitazione Universale? (forse....)Gravitazione Universale? (forse....)
consideriamo il sistema Terra-Luna ed assumiamo che si possa fare l’ approssimazione di masse puntiformi (scopriremo che è vero!!!)Confrontiamo le accelerazioni della Luna e di un grave sulla superficie della Terra.
nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale:
22;
L
T
LL
T
T
r
MG
m
Fa
r
MG
m
Fg
22
22
2
22
2
22
2
2
4
4
4T
ra
rr
Tgr
T
ra
ra
gr
rr
va
r
r
a
g
LL
TL
2L
LL
TL
2L
LL
LL
T
L
L
mrrTg
r LT3
L822
210843
4 .
Tr lo aveva misurato Eratostene
22T
T
L
LTLT r
mMGF
r
mMGF ;,
mr mr TL68 1038610843 .;.
si conoscevano (rL era inizialmente errato):
in accordo con i dati!!!
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11
32
2
1062.3 T
L
L r
r
a
g
232
22
1072.24 msT
r
r
va
L
L
L
LL
se g=9.81 ms-1: misurato!!!
31061.3 La
g coincide entro l’ 1% con coincide entro l’ 1% con il rapporto inverso del il rapporto inverso del quadrato delle distanzequadrato delle distanze
inoltre: 2
211
1
221067.6
Kg
Nm
r
MgG
r
MGg
T
T
T
T
Calcolare la variazione di g con la quotaCalcolare la variazione di g con la quota
2hr
MG
m
Fhrrghrrrr
T
TgravT
.)(
TTTT
TTT r
hg
r
hrGM
r
hrGM)r(g 21211 2
2
2
!!!!02
Tr
h
g
g!!!!02
Tr
h
g
g
400
115
60156000
Tr
hKmhr
KmKm
200
1975809 22 gmsms.:g
l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T edalla sua distanza
se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge:
Cavendish
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Misura di Gcon la Misura di Gcon la Bilancia di CavendishBilancia di Cavendish
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Massa inerziale e massa gravitazionaleMassa inerziale e massa gravitazionale
MASSAda esperimentidi dinamica
da esperimentigravitazionali
ma sono uguali le quantità che si misurano?
siano dati tre corpi:
# Min Mgr distanza
A MA,in MA,gr dAC=r
C MC,in MC,gr dCB=r
B MB,in M,gr
2
,,
2
,, ;r
MMGF
r
MMGF grCgrB
CBgrCgrA
CA
grB
grA
B
A
BCB
ACA
M
M
P
PPFPF
,
,
ma in un esperimento inerziale:
B
A
B
A
in,BB
in,AA
M
M
P
P
gMP
gMP
in,B
gr,B
in,A
gr,A
in,B
in,A
gr,B
gr,A
M
M
M
M
M
M
M
M
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Bisogna fare un esperimento!Bisogna fare un esperimento!
Newton.
.2gr
in
gm
lmT
solo se: min.=mgr. g
lT 2
1. Eötvos (1909): min.=mgr. con 1/108
2. Dicke (1964) : min.=mgr. con 1/1010
Baricentro e centro di Massa?Baricentro e centro di Massa?
Bessel:misure accurate con pendoli:
4106
11
m
m
.gr
.in
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Campo GravitazionaleCampo Gravitazionale
n
ii
i
itot r
r
mmGF
103
0
0
g
r̂r
Gdmg
rr
mG
m
Fg
n
ii
i
itot
2
103
00
m3
mi
m1
m2
m0
0ir
0if
campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?)campo: è un “intermediario”
1. regione di spazio sede di forze gravitazionali2. è una grandezza vettoriale
3. il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse4. caratterizzato da un vettore tipico:
massa di unità
Forza
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•il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx •come va il campo per x>>a?
23
22
21
2
22
ax
xGmg
r
x
r
mGcosgg
x
x
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verifichiamo che è conservativo:
rr
MmGF ˆ
2
23222
23222
23222
)(
)(
)(
zyxGMmzf
zyxGMmyf
zyxGMmxf
z
y
x
Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che:
0;0; ˆˆ2ˆ ffr
Mmgfr
B
AAB sdFW
B
AAB sdrGMmrW
ˆ2
B
AAB drrGMmW 2
rr
MmGF ˆ
2
Ox
y
z A
Br
'r
sd
dr
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ABAB rr
GMmW11
funzione solo del puntofunzione solo del punto
dalla definizione di potenziale: C.r
MmGrV
per una distribuzione continua di massa:
dmr
GmrV )(
N.B.
1. la forza di Newton è corretta solo se M ha una distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm
2. per i sistemi legati gravitazionalmente
02
1 2 r
MmGmvE
r
MmG-rU • <0 per r finito
• =0 per R=∞•Fg è attrattiva•W>0 se m viene da ∞• U(r) vale per qualunque cammino
dr
dUrF
dalla definizione di energia potenziale:
Cr
MmGrEp
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r
MmG
r
MmG
r
MmGmvE
2
1
2
1 2
consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’ origine di un sistema di riferimento inerziale e l’ orbita di m sia circolare.
r
MmGrU 222
2
1
2
1rmmvK
nel approssimaione di orbita circolare:
22
2 r
MmGrm
rR
MmG
32rGM
22rr
GM r
GMmK
2
1
02
1
r
MmGE
per tutti i sistemiper tutti i sistemilegatilegati
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20
)(nergiaE
r
K
UE
00 E
0r
UKE
si può dimostrare che per un’orbitaqualunque :
22
23
12
eJ
G
mM
MmE
ll' orbitangolare demomento aJ :cost. orbitatà dell' eccentricie
orbita ellisse cerchio parabola iperbole
Eccent. 0<e<1 e=0 e=1 e>1
En.totale <0 <0 =0 >0
00 E
00 E
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Riordiniamo le idee sulRiordiniamo le idee sulpotenziale gravitazionalepotenziale gravitazionale
Per come avevamo definito il potenziale:
Che per l’ energia potenziale del P.M. in b:
U U U Lb a ab
U L Ub ab a In cui L’energia potenziale di aa può esserescelta arbitrariamentearbitrariamente.Per una particella rispetto al campo terrestrela poniamo uguale a zero sulla superficie terrestre:
U L mg y mgyab 0
Nei casi generali:
Ua 0
U r L r 0
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Per una particella di massa mm che si muoveverso la Terra in direzione radiale la forza cheagisce sulla particella (forza del campo):
F r GM m
r
U r L F r dr
U r GM m
rdr
U r GM m
rG
M m
r
T
r
r
Tr
T
r
T
2
2
Quindi l’ energia e’ una proprietà del sistemasistemadi massedi masse e non di una delle masse del sistema.Per la forza:
FdU
dr
d
drG
M m
r
F GM m
r
T
T
2
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EsempioEsempioVelocità di fuga
Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da:
U r GM m
rT
T
Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale?
L GM m
rJ Kgr
T
T
6 107 1
1310 10402112 KmhKms
r
MGv
T
T .
L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre:
T
T
r
mMGmv 2
02
1
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2) Periodo massimo di un pendolo
mx
0x
Tr
xR
mMG
R
xFcosFF
mgR
mMGF
T
T
Tx
T
T
2
2
KxFx
g
R
RGM
RT
RmM
G
m
K
mT
T
T
T
T
T
T
22
22
2
3
s.T 60384
EsempioEsempio
g
lT 2 ???
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Sistemi di particelleSistemi di particelle
Se due particelle sono a distanza r la loroenergia potenziale è:
U r L r
Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r
L r
L rEnergia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento
Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro :
• per separare il P.M dalla Terra :
• per portarlo dall’ infinito a r:
U y mg y mgy
U y L mgyr
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E per un sistema diE per un sistema dipiù masse...più masse...
m1
m2
m3
o x
y
E l’energia potenziale del sistema:
23
3223
13
3113
12
2112
r
mmG:r
r
mmG:r
r
mmG:r
23
32
13
31
12
21
r
mmG
r
mmG
r
mmGU
Mentre per separare i corpi:
L U
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27
E l’energia potenziale del sistema è la somma:
223
3223
213
311332
12
21122
r
mmGr
r
mmGrm
r
mmGrm
:
::::
U Gm m
rG
m m
rG
m m
r
1 2
12
2
1 3
13
2
2 3
23
2
Mentre per separare i corpi: L U
E per un sistema di più masse...E per un sistema di più masse...
3m 1m
2m
13r
12r23r
y
xo
223
322
13
312
12
21
r
mmG
r
mmG
r
mmGL
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EsempioEsempio
Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole:
Avendo considerato:
M M
M Kg
r m
s T
T
TS
30 10
6 0 10
15 10
5
24
11
.
.
.
U GM M
rJTS
S T
TS
5 0 1033.
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Dimostrazione della I legge diDimostrazione della I legge diKepleroKeplero
o x
y α
r̂
d
rd
rd
il moto avviene nel piano:
dt
drvsenv
dt
drvvr
cos
dalla conservazione dell’ energia: costante
2
1 2 r
MmGmvE
r
MmGE
dt
dr
dt
drm
22
2
1
ma il momento angolare si conserva: costanteL
dt
drrmrmvsenL
2mr
L
dt
d
r
MG
m
E
rm
L
dt
dr2
222
22
v
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30
2
1
22
2
22
r
MG
m
E
rm
L
dt
dr
ma dato che ci interessa solo la relazione tra r e l’ anomalia φ
2mr
L
dt
d
2
1
22
22
22
1
rM
GmE
rmL
mr
L
dr
d
2
12
221
r
b
r
ab
r
drd
E
MmGa
Em
Lb
2
2
22
si può integrare ( non tanto facilmente!!!!)
22
2
0 cosbar
arba
222 cos bbaar
equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore)equazione di un’ ellisse di assi a ( maggiore)e b ( minore)e b ( minore)
I pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellitticheI pianeti si muovono intorno al Sole su orbite ellittiche
φ0=cost. di integ.0
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31
1f 2fa
b
BA
)y,x(P
equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
a
ba
àellitticittàeccentricie
a
ffe
221
1
10
e
2acost.PfPf 21
o
aeof 1
2a2
1222
122 yaexyaex
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32
2acost.PfPf 21 aPfPf '' 21
a
ba
a
ce
2 2
1f 2fa
b
BA
M)y,x(P
c2
o
'P
equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
aeff 221
a
ba
àellitticittàeccentricie
a
ffe
221
aoM
asenoMy
aoMx
cos
coscos
222 1 eab
cerchio ausiliario o eccentrico
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33
sinbycosax
222
222
sinbycosax
22222
22222
sinbayacosabxb 222222 bayaxb
12
2
2
2
b
y
a
x
equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
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34
1f 2fa
b
BA
M)y,x(P
c2
'P
equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine equazione di un’ ellisse con centro nell’ origine
eccentricaanomalia
veraanomalia
vettoreraggiorMf 2
dal teorema di Pitagora:
22222 cos easenbr
xf
yf
22
2
22
yx ffffr
222 senbff x 22
2 2cos aff y
22222 1 cos1 eabsen
cos1 ear
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35
1f Of 2a
b
Q
c2
r
d
r
a
ba
a
cε
22
)y,x(P
S
D
d
cosrDd
cosrD
r
DDr
cos11
x
y
cos1
Dr
fattore di scala
222 cos bbaar cos22
2
baa
br
cos122
2
aba
a
br
cos1
2
a
br
a
br
2
cos1
A'A
L’ equazione della nostra orbita era:L’ equazione della nostra orbita era:
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36
d
r
a
b
22a
a
c
1f Of 2a
b
Q
c2
r
)y,x(P
S
D
d
x
y
A'A
quando il punto P coincide con A:
OAD
OA
AV
OA
d
r
OAOAD
1
DOA
quando il punto P coincide con A’:
'
'
OAD
OA
d
r
'' OADOA
1
'D
OA
21
2'2
D
OAOAa
2
222 11
a
baaaD
a
bD
2
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Domanda da 10 punti!!!!Domanda da 10 punti!!!!
Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il Cosa succede se aumentiamo o diminuiamo di poco il ““raggio” dell’ orbita?raggio” dell’ orbita?
φ
P
r
x
y
descriviamo il moto in sistema di riferimento non inerziale con origine nel Sole ed un asse diretto da S verso P. Il sistema ruota con velocità angolare ω:
r
rrmF
rr
MmGF
c
g
ˆ
ˆ2
2
La componente radialedel risultante delle forze:
rdt
dm
r
MmGFFF CGR
2
2
L
costante in generale ( orbite ellittiche ) ma il mom. angolare:
costante
3
2
22 mr
L
r
MmGF
mr
L
dt
dR
è conservativa
centrifuga app. forzaF
grav. forzaF
c
g
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drFrU reff .
2
2
2mr
L
r
MmGrU eff .
0. rU eff
r per eGMm
Lr per
rU .eff
2
2
2
0
rrrper
rU eff
2 minima
0
.
U(r)
r
Ueff.(r)
-GMm/r
U(r)
r
r0
2
322
0 2L
mMGU
02
0 UrrK:tipo del è
esiste quindi un forza di richiamo:forza di richiamo:
0. 2 rrK
r
UF eff
r
r*
nell’ intorno di r0 l’ energia potenziale è ben approssimanta da una funzione del tipo
02
0 UrrKrU
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Rappresentazione grafica Rappresentazione grafica
dei campi di forzadei campi di forzalinee di forzalinee di forza
1. Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto
2. iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del campo
3. la loro densità è proporzionale all’ intensità del campo
4. la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti
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Linee di forza che indicano il campo gravitazionale vicino ad una massa puntiporme. La direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è proporzionale all’ intensità del campo
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Esempio 41Esempio 41
o
RT
r
x
y
MT
F mg mG
M
Rrr
F mGM
Rrsin
T
T
xT
T
3
3
sinx
r
F GM mr
R
x
rG
M m
Rxx
T
T
T
T
3 3
aF
mG
M
Rx xx
x T
T
3
2
Dove:
2 322 5 10 g
RT
R
gs
T
T
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Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico
cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa?
e se la distribuzione è piena?
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34
3
R
M
V
Mtetancos
Per un punto che dista r dal centro:
rR
MG
r
'MGg
R
rMr 'M
r 32
3
33
3
4
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QuesitoQuesito
Ad una distanza r dal centro:
'V'M 2r
m'MGF
rm
GF
3
4
Cosa ci ricorda?Cosa ci ricorda?
mG
m
m
KT
4
322
'.G
T 2843
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Distribuzione di massa a simmetria sferica..........come puntiforme.
Consideriamo per ora uno “strato sferico”
Consideriamo una fetta dell strato ( anello):
tspessoredr.hargl
rsen.lungh
2 dsenr t dV 22
dsenr t dVM 22
La forza esrecitata dall’ anello sulla massa m di “prova” in P:
cosx
dsenrm tG cos
x
mdMGdF
22
22
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cosx
dsenrm tG cos
x
mdMGdF
22
22
cosRrrRx;x
cosrRcos 2222
dRrsenxdx;R
xrRcosr 22
2
222
dxx
rR
R
mrGtdF
1
2
22
2
22
244
R
MmG
R
mtrGrKdFF
rR
rR
dxRr
xdsen
K rdxx
rRrR
rR
412
22
ma dato che:
come se tutta la massa fosse concentrata in un punto
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Vale assumendo:1. Simmetria sferica2. E se ρ=ρ(r)?3. Vale per la FG che agisce su m ma