A waveletek és néhány alkalmazásuk peciálkurzus 2009 tavasz Tóth Gyula BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék
Feb 02, 2016
A waveletekés néhány alkalmazásuk
Speciálkurzus 2009 tavasz
Tóth Gyula
BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék
2
A kurzus áttekintése• Bevezetés a waveletekhez
– A wavelet transzformáció (WT)– Matematikai előkészítés
• Folytonos wavelet transzformáció (CWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások
• Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások
• Sokskálás analízis (MRA)• Esettanulmányok, további alkalmazások• Összefoglalás
3
A kurzus célja
• A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni
• Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz
• Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni
• El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat
4
A szükséges (elő)ismeretek
• Lineáris algebra, vektortér
• Függvényterek, ortogonalitás
• Fourier transzformáció, DFT, FFT
• Lineáris rendszerek, konvolúció
• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD
1. Bevezetés a waveletekhez
Speciálkurzus 2009 tavasz
6
Meghatározás
A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt:
• helyzet • lépték (skála) • irány szempontjából is analizáljunk.
7
Mi a wavelet analízis (WT)?• A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska• A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából
is lokalizált ψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó)– A Fourier transzformáció elemző függvénye,
eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált
• A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el– Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a
hasonlóság mértékét
• Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása
8
Idő/tér és frekvencia lokalizáció
9
Idő – frekvencia határozatlansági elvf(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja
t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot
Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált
Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei
Idő – frekvencia határozatlansági elv:
s2 · S2 ≥ ¼
idő-frekvencia sík
δ(t-tk) bázis eiωkt bázis wavelet bázis WFT (STFT) bázis
10
Wavelet analízis
11
Előnyök• Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban
elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel
• A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan)
• A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja
12
Hátrányok• Az elemző wavelet megválasztása
némiképpen tetszőleges• A wavelet analízis erőforrás igényesebb a
Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála)• A folytonos wavelet transzformáció (CWT)
nem ortogonális felbontást ad• Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni
az analízis eredményeit• Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier
analízise
13
Alkalmazások• A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és
folyamatosan bővül. Néhány terület:• Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI)• Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán
kitöltött mátrixú egyenletrendszerré• Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése• Szűrés, zajszűrés• Időben változó tulajdonságú jelek analízise
(EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)
14
JPEG2000 veszteséges képtömörítés
wavelet transzformálteredeti kép rekonstruált kép
a tárigény 236%-al csökkent
15
Ujjlenyomatok tárolása
egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja
• Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB
• Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel
• 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel
• Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető
16
Turbulencia
Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)
17
EKG
EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)
18
El Niño SST
Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)
19
Szűrés (inverz WT)
20
Nemstacionárius jel analízise 1.
250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek
10% normál eloszlású zaj
mintavételi frekvencia 2·2500 Hz
21
Nemstacionárius jel analízise 2.
TISA: Time-integral squared amplitude
N
iiAt
0
2
22
TörténetHaar Alfréd
Haar wavelet (1909)
Gábor Dénes
Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946)
Jean Morlet
Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984)
Stephane Mallat, Yves Meyer
Diszkrét wavelet transzformáció, DWT Sokskálás analízis, MRA (1988)
23
Matematikai alapok
• Lineáris algebra, lineáris tér
• Függvényterek, ortogonalitás
• Fourier transzformáció, DFT, FFT
• Lineáris rendszerek, konvolúció
• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD
24
Lineáris algebra, vektortérVektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y E vektorra két művelet, az összeadás és α R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx
a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn)
E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y M vektorra x + y, illetve tetszőleges α R/C skalárra αx is M-ben van
Ha S E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σi αixi | αi R/C , xi S }
Az x1, x2, … xn vektorok lineárisan függetlenek, ha Σi αixi = 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus
Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek
E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz
25
Függvényterek, ortogonalitásAz E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x> ≥ 0)
Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében
A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük.
Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y> = 0
Az x vektor normája az ||x|| = <x,x> skalárszorzat.
Vektorok egy {x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális
Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer
Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa
D. Hilbert
26
Ortogonális komplementer, Fourier-sorHa adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben
vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x E | x ┴ S} elemekből
áll.
Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴ , hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy
E = S S┴
azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege.
Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvények L2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen).
Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫ f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2 dt .
Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y E vektor felírható
y = Σk αkxk
Fourier-sor alakban. Az αk számok az y Fourier együtthatói, és αk = <xk ,y>
27
Ortogonális projekció és LKN közelítésEgy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral
Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y E -nek az S-re vett ortogonális projekciója
A d különbség vektor merőleges S-re
Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.