E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem Term´ eszettudom´ anyi Kar At ¨ obbsz ¨ or ¨ os integr´ al ´ es alkalmaz´ asai BSc Szakdolgozat V´ arkonyi D´ avid Matematika Bsc Matematikai elemz˝ o szakir´ any T´ emavezet˝o: Pfeil Tam´ as, adjunktus ELTE Alkalmazott Anal´ ızis ´ esSz´am´ ıt´ asmatematikai Tansz´ ek Budapest 2014
36
Embed
A t obbsz or os integr al es alkalmaz asai · 2014. 6. 23. · Szerettem volna erdekes feladatokon keresztul bemutatni a t emat . Az els}o fejezetben osszefoglaltam a szakdolgozatomban
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Eotvos Lorand TudomanyegyetemTermeszettudomanyi Kar
A tobbszoros integral es alkalmazasai
BSc Szakdolgozat
Varkonyi David
Matematika Bsc
Matematikai elemzo szakirany
Temavezeto: Pfeil Tamas, adjunktus
ELTE Alkalmazott Analızis es Szamıtasmatematikai Tanszek
Budapest2014
Koszonetnyilvanıtas
Szeretnem megkoszonni temavezetomnek, Pfeil Tamasnak a rengeteg segıtseget, turelmet es
hasznos tanacsot, melyek hatalmas segıtseget nyujtottak a szakdolgozatom elkeszıtesehez.
Tovabba szeretnem megkoszonni barataimnak es csoporttarsaimnak a tamogatast es
segıtseget, melyet az evek soran nyujtottak.
2
Tartalomjegyzek
Koszonetnyilvanıtas 2
Bevezetes 4
1. Elmeleti osszefoglalo 5
2. Egyvaltozos Riemann-integralok 10
3. Nevezetes sıkhalmazok terulete 15
4. Testek terfogata 26
5. Integral sıkbeli es terbeli halmazokon 31
Irodalomjegyzek 35
Nyilatkozat 36
3
Bevezetes
Szakdolgozatom temajanak a tobbszoros integralt es alkalmazasait valasztottam. Szerettem
volna erdekes feladatokon keresztul bemutatni a temat. Az elso fejezetben osszefoglaltam
a szakdolgozatomban felhasznalt fontosabb fogalmakat, allıtasokat. A masodik fejezetben
egyvaltozos integralokra vonatkozo feladatokkal foglalkoztam, melyek megoldasat tobbval-
tozos fuggveny integraljara vezettem vissza. A harmadik fejezetben nevezetes sıkhalmazok
teruletet szamıtottam ki, ahol tudtam, tobbfele megoldasi modszert is alkalmaztam. A ne-
gyedik fejezetben testek terfogatat hataroztam meg tobbdimenzios integralok segıtsegevel.
Az otodik fejezetben pedig kulonbozo ket- es haromvaltozos integralokat szamıtottam ki.
4
1. fejezet
Elmeleti osszefoglalo
Ebben a fejezetben eloszor bevezetjuk a Jordan-mertek, majd a tobbdimenzios Riemann-
integral fogalmat. Utana felsorolunk nehany, a tobbdimenzios integralokra vonatkozo allı-
tast. Vegul definialjuk a gorbe fogalmat.
Bevezetjuk tetszoleges n ∈ N+ eseten az mn Rn-beli (Jordan-)merteket, illetve merhe-
toseget. Tekintsuk az Rn ternek azt a koordinatatengelyekkel parhuzamos oldalu, 12k
el-
hosszusagu n dimenzios kockakra valo racsfelbontasat, ahol csucspont az origo. Ekkor egy
n dimenzios kocka[i12k,i1 + 1
2k
]×[i22k,i2 + 1
2k
]× . . .×
[in2k,in + 1
2k
], i1, . . . , in ∈ Z
alaku, melynek merteke legyen 12kn
. Adott H ⊂ Rn korlatos halmaz eseten jelolje Hk azon
kis zart n dimenzios kockak uniojat a racsbol, melyek belemetszenek H-ba, Hk pedig azon
kis zart n dimenzios kockak uniojat, melyek reszei intH-nak. Ezek merteke m(Hk), illetve
m(Hk) legyen az unioban szereplo kockak szama szorozva 12kn
-nel. Definialjuk az mn(H) es
mn(H) n dimenzios belso, illetve kulso merteket, mint limk→∞
mn(Hk), illetve limk→∞
mn(Hk).
1.1 Definıcio. Egy H ⊂ Rn korlatos halmazt (Jordan-)merheto halmaznak mondunk, ha
kulso es belso merteke megegyezik, es ekkor legyen
mn(H) := mn(H) = mn(H)
a H halmaz (Jordan-)merteke.
1.2 Allıtas. Ha H egy n dimenzios, koordinatatengelyekkel parhuzamos oldalu tegla,
vagyis
H := [a1, b1]× [a2, b2]× . . .× [an, bn],
5
akkor H merheto es
mn(H) = (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an).
1.3 Definıcio. Az Rn halmaz ket reszhalmazat egymasba nem nyulonak nevezzuk, ha
nincsen kozos belso pontjuk.
1.4 Definıcio. Egy H ⊂ Rn merheto halmaz felosztasa olyan Φ := {H1, . . . , HN} egy-
masba nem nyulo, nemures merheto halmazokbol allo halmaz, ahol
H =N⋃i=1
Hi.
A H halmaz felosztasainak halmazat jelolje F(H).
1.5 Definıcio. Legyen f : H → R korlatos fuggveny, H ⊂ Rn merheto halmaz, tovabba
Φ := {H1, . . . , HN} a H halmaz egy felosztasa. Ekkor az f fuggveny Φ felosztasahoz tartozo
also, illetve felso kozelıtoosszege
sf (Φ) :=N∑i=1
(infHif
)·mn(Hi),
illetve
Sf (Φ) :=N∑i=1
(supHi
f
)·mn(Hi).
1.6 Definıcio. Legyen f : H → R korlatos fuggveny, H ⊂ Rn merheto halmaz. Az f
fuggveny Darboux-fele also integralja∫H
f := sup{sf (Φ) : Φ ∈ F(H)},
Darboux-fele felso integralja ∫H
f := inf{Sf (Φ) : Φ ∈ F(H)}.
Megmutathato, hogy ∫H
f ≤∫H
f.
6
1.7 Definıcio. Legyen f : H → R korlatos fuggveny, H ⊂ Rn merheto halmaz. Azt
mondjuk, hogy az f fuggveny Riemann-integralhato a H halmazon, ha∫H
f =
∫H
f.
A kozos erteket jelolje∫H
f , ezt nevezzuk az f fuggveny Riemann-integraljanak a H halma-
zon. A H halmazon Riemann-integralhato fuggvenyek halmazat jelolje R(H).
1.8 Tetel. Legyenek f, g ∈ R(H), c ∈ R.
I. Ekkor f + g ∈ R(H), f · g ∈ R(H) es c · f ∈ R(H), valamint∫H
(f + g) =
∫H
f +
∫H
g,
∫H
(c · f) = c ·∫H
f.
II. Ha f ≤ g, akkor ∫H
f ≤∫H
g.
III. Ha f ∈ R(H), akkor |f | ∈ R(H), tovabba∣∣∣∣∣∣∫H
f
∣∣∣∣∣∣ ≤∫H
|f |.
1.9 Tetel (Fubini tetele). Legyen I1 := [a, b] es I2 := [c, d] korlatos es zart intervallum.
(A) valtozat: Tegyuk fel, hogy f ∈ R(I1×I2) es minden x ∈ I1 eseten az y 7→ f(x, y), y ∈ I2fuggveny Riemann-integralhato az I2 intervallumon.
Ekkor a
ϕ(x) :=
d∫c
f(x, y) dy, x ∈ I1
jelolessel ϕ Riemann-integralhato az I1 intervallumon, emellett
∫I1×I2
f =
∫I1
ϕ =
b∫a
d∫c
f(x, y) dy
dx.
7
(B) valtozat: Tegyuk fel, hogy f ∈ R(I1×I2) es minden y ∈ I2 eseten az x 7→ f(x, y), x ∈ I1fuggveny Riemann-integralhato az I1 intervallumon.
Ekkor
ψ(x) :=
b∫a
f(x, y) dx, y ∈ I2
jelolessel ψ Riemann-integralhato az I2 intervallumon, emellett
∫I1×I2
f =
∫I2
ψ =
d∫c
b∫a
f(x, y) dx
dy.
1.10 Kovetkezmeny. Ha az f fuggvenyre teljesulnek a Fubini-tetel (A) es (B) valtoza-
tanak feltetelei, akkor
∫I1×I2
f =
b∫a
d∫c
f(x, y) dy
dx =
d∫c
b∫a
f(x, y) dx
dy,
vagyis a ket valtozo szerinti integralas sorrendje felcserelheto, es az ıgy kapott ugynevezett
iteralt integralok megegyeznek a ketvaltozos fuggveny integraljaval.
1.12 Allıtas. Legyen H1 ⊂ R2 (1.1) alaku normaltartomany es f : H1 → R folytonos
fuggveny. Ekkor ∫H1
f =
b∫a
ϕ2(x)∫ϕ1(x)
f(x, y) dy
dx.
Legyen H2 ⊂ R2 (1.2) alaku normaltartomany es f : H2 → R folytonos fuggveny. Ekkor
∫H2
f =
b∫a
ϕ2(y)∫ϕ1(y)
f(x, y) dx
dy.
8
1.13 Tetel (Integralas polartranszformacioval). Legyen
P (r, ϕ) := (r cosϕ, r sinϕ), D(P ) := R2.
Ha az A ⊂ [0,+∞)× [0, 2π] halmaz merheto, akkor a P (A) halmaz is merheto. Tovabba,
ha f : P (A) → R korlatos fuggveny, melyre az (r, ϕ) 7→ f(r cosϕ, r sinϕ) · r, (r, ϕ) ∈ Afuggveny Riemann-integralhato az A halmazon, akkor f Riemann-integralhato a P (A)
halmazon es ∫P (A)
f(x, y) dxdy =
∫A
f(r cosϕ, r sinϕ) · r drdϕ.
Ez a tetel specialis esete az alabbi integraltranszformaciora vonatkozo tetelnek.
1.14 Tetel (Integraltranszformacio). Legyen G ⊂ Rn nyılt halmaz, es g : G → Rn
folytonosan differencialhato fuggveny. Ha a H halmaz merheto, H ⊂ G es g injektıv az
intH halmazon, akkor a g(H) halmaz is merheto. Tovabba, ha f : g(H) → R korlatos
fuggveny, melyre x 7→ f(g(x)) · | det g′(x)|, x ∈ H Riemann-integralhato a H halmazon,
akkor f Riemann-integralhato a g(H) halmazon es∫g(H)
f dt =
∫H
f(g(x)) · | det g′(x)| dx.
1.15 Allıtas. Legyen [α, β] ⊂ [0, 2π] es legyen f := [α, β] → R nemnegatıv erteku foly-
tonos fuggveny. Ekkor az S := {(r, ϕ) ∈ [0,+∞) : 0 ≤ r ≤ f(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β} szektor
merheto halmaz, es a terulete:
TS =1
2
β∫α
f 2(ϕ) dϕ.
1.16 Definıcio. Gorbenek nevezzuk a g : [a, b] → Rn folytonos fuggveny ertekkeszletet.
Ha n = 2, akkor sıkgorberol, ha pedig n = 3, akkor tergorberol beszelunk.
1.17 Definıcio. Ha a H halmaz megegyezik a g : [a, b] → Rn folytonos fuggveny er-
tekkeszletevel, azaz H = g([a, b]), akkor azt mondjuk, hogy g a H halmaz (gorbe) egy
parameterezese.
9
2. fejezet
Egyvaltozos Riemann-integralok
Az alabbi negy feladatban egydimenzios Riemann-, illetve improprius integralokat sza-
molunk ki tobbdimenzios integralok segıtsegevel, es egydimenzios Riemann-integralokra
vonatkozo nevezetes egyenlotlenseget igazolunk.
2.1 Feladat. Igazoljuk, hogy1∫
0
x− 1
lnxdx = ln 2.
Legyen
f(x, y) :=
{xy, ha (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] \ {(0, 0)}1, ha (x, y) = (0, 0).
Az f fuggveny korlatos es csak az origoban nem folytonos, ezert megmutathato, hogy a
fuggveny Riemann-integralhato a [0, 1]× [0, 1] intervallumon.
(a) Eloszor x, majd pedig y szerint integralva:
1∫0
1∫0
xy dxdy =
1∫0
[xy+1
y + 1
]10
dy =
1∫0
(1
y + 1− 0
)dy =
=
1∫0
1
y + 1dy = [ln(y + 1)]10 = ln 2.
(b) Eloszor y, majd x szerint integralva:
1∫0
1∫0
xy dydx =
1∫0
[xy
lnx
]10
dx =
1∫0
x− 1
lnxdx.
10
A Fubini-tetel feltetelei teljesulnek, ıgy a tetel alapjan a ket ertek megegyezik, tehat
a vizsgalt integral ln 2.
2.2 Feladat. Nezzuk meg az elozo feladatot altalanosabban!