a Seminar Vibracije 2018 Handouts - Tehnička Škola Split...- Dinamika rotora i rotacijskih strojeva - dijagnostika rotacijskih strojeva - debalans i balansiranje - „order tracking”

4.4.2018.

1

Vibracije

Teorija, mjerenje i primjena

Ž. Lozina i D. Sedlar

Seminar Županijskog stručnog vijeća Splitsko-dalmatinske županijeu obrazovnom sektoru strojarstva, brodogradnje i metalurgije

FESB - C401, 3. travnja 2018.

Vibracije

Definicija: Periodično gibanje oko ravnotežnog položaja(HRN ISO 2041:1990, Vibracije i udari - Rječnik)

Terminologija: Vibracije, oscilacije, titranje, …, kolebanje, …

Pregled

1. Uvod i teoretske osnove (12)2. Osjetnici i mjerna tehnika i postupci (12)3. Prenosna funkcija (8)4. Primjena s odabranim primjerima

4.1 Izolacija vibracija (prenosivost)4.2 Dijagnostika rotacijskih strojeva4.3 Eksperimentalna modalna analiza4.4 Dinamička ispitivanja

1. Uvod i teoretske osnove /1

x

m f

k

d

Poznato: m, k, d, f(t).

0 0( )x t x=

.

0 0( )x t x=& & Odredi funkciju gibanja x(t)


x

mf

k

d

mf

− dx

− kx.

x...

x

( )mx dx kx f t+ + =&& &

0 0( )x t x=

0 0( )x t x=& &


( ) ( ) ( )h p

x t x t x t= +

1. Slobodne

neprigušene

3. Prisilne

neprigušene

2. Slobodne

prigušene

4. Prisilne

prigušene

0f = 0f ≠

0d =

0d ≠

( )mx dx kx f t+ + =&& &

4.4.2018.

2


( ) sin( ) cos( )x t A t B tω ω= +

Rješenje se pretpostavlja u obliku:

2

0

( )

mx kx

m x tω

+ =

−

&&

( )k x t+

0

0

k

mω ω

=

= = ±

Fizikalni smisao negativnog predznaka?

1. Slobodne neprigušene vibracije


Slika: Slobodne neprigušene vibracije:

vremenski odziv, pomak

T

x

x0

x0

.

00 0 0( ) sin( ) cos( )

xx t t x tω ω

ω= +

&

0 02 fπ ω=

02 Tπ ω=

Demonstracija: Pinokio: različite amplitude!


2 22 2

0 0

2 2 2 2

kx mxkx mx+ = +

��

Slika: Pretvaranje kinetičke i potencijalne energije pri slobodnim neprigušenim vibracijama

22 2 2

2 2 2max 0 0 0max 0 0 0

02 2 2

kx kx mx xmx x x x

k ω

= + ⇒ = + = +

� ��


2. Slobodne prigušene vibracije

0mx dx kx+ + =&& &

Opće rješenje pretpostavlja se obliku:

( ) st

hx t Ae=

20ms ds k+ + =

2

1,2 1,2 0 0 1s jλ ω ζ ω ζ= =− ± −

2

d

kmζ =

0

k

mω =gdje su:


( )

( )

*

2 20 00

*

*

1 1*

( )

( )

( )

p p

t t

h

j t j tt

h

j t j tt

h

x t Ae A e

x t e Ae A e

x t e Ae A e

λ λ

ω ωσ

ω ζ ω ζζω

−−

− − −−

= +

= +

= +

Postoje tri mogućnosti (1–ζ2) > 0:

2.1: 0 <= ζ < 1 - podkritično prigušenje, rješenje harmonijsko-periodično2.2: ζ = 1 - kritično prigušenje, rješenje neperiodično2.3: ζ > 1 - nadkritično prigušenje, rješenje neperiodično


0 0 0 00( ) cos sin- t

h p p

p

x + xx t = x t + te

ξω ζωω ω

ω

&

t

xh

TP

e-ζω0t

2.1: Podkritično prigušenje

2

0 1pω ω ζ= −

( )2

2

2 2

1

P P

P

P

T

Tk

m

ω π

π π

ωζ

=

= =

−

4.4.2018.

3

1. Uvod i teoretske osnove /103. Prisilne neprigušene vibracije

ωω

0

X0

F/k

1

1

4

4

ω0

10

-π

ϕ

00 2

0

1

1

FX

kσ

ω

=

−

t

xp

0 sin( )mx kx F tσ+ =&&

0( ) sin( )x t X tσ=σ ω≠

σ ω=


4. Prisilne prigušene vibracije

sinmx dx kx F tω+ + =&& &

( ) sin cosp

x t M t + N tω ω=

22

2 22

2

20 0

0

2 20

1( , )

1 4

2tan

A NM

F FA H

k k

N

M

ω ξωω

ξω ω

ξ ωωθω ω

= +

= =

− +

−= =

−


t

xp

0 5 10 15 20

0

0.02

0.04

0.06

0 sin( ) cos( )t

h p px e A t B t

ζωω ω

− = +

( ) ( )sin cosp p px M t N tω ω= +

( ) ( )sin cosp p p

x t N t M tω ω = +

σ = ωp

σ ωp≠

2. Osjetnici i mjerna tehnika/1Mjerni pretvornici:

- pomak: mjerni elektrootporni pretvornik, pretvornik s vrtložnom strujom, LVDT, RVDT,...

- brzina: induktivni osjetnik (velometar),...

- ubrzanje: piezoelektrični akcelerometar, kapacitivni akcelerometar,...

- sila: piezelektrični osjetnik sile, elektrootporni osjetnik sile,...

Seizmička masa

Piezoelektrični

element

Naboj

proporcionalan

ubrzanju

Slika: Principjelna shema piezoelektričnog

akcelerometra

2. Osjetnici i mjerna tehnika/2 2. Osjetnici i mjerna tehnika/3

4.4.2018.

4

2. Osjetnici i mjerna tehnika/4

Seizmička masa

Naponproporcionalan

brzini

Velometri, induktivni:

Slika: LVDT, RVDT (Linearno promjenljividiferencijalni transformatori)

Slika: Osjetnici sile:

Slika: Osjetnci brzine vrtnje:


Mjereni sustav

osjetnik

Prilagodba

signalaA/D konverzija

Napajanje osjetnika

Filtriranje signala

Pojačavanje signala

Zapisivanje

Analiza

Prikazivanje

rezultatamjerenja

RAČUNALO

ANALOGNO-DIGITALNI

PRETVARAČ(A/D konvertor)

PRILAGODBA

SIGNALA

(napajanje osjetnika i

pojačavanje)

RAČUNALO


Transformacijske metodeFourierova transformacija (DFT,FFT)„Order tracking”…KorelacijaKonvolucija…Identifikacija modalnih parametaraIdentifikacija sustava

2. Osjetnici i mjerna tehnika/8Poduzorkovanje / Aliasing

a) Ts=1.1 T b) Ts=T c) Ts=0.9 T

Slika 21: Aliasing („greška poduzorkovanja“) kada je

period uzorkovanja blizak periodu pojave (signala):

Diskretna Fourierova transformacija: DFT

2. Osjetnici i mjerna tehnika/9Poduzorkovanje / Aliasing

4.4.2018.

5

2. Osjetnici i mjerna tehnika/10FFT - Curenje i prozori

2. Osjetnici i mjerna tehnika/11Srednje vrijednosti

2. Osjetnici i mjerna tehnika/12Crest factor

MS

When the CF is small (approximately up to3.0), the prevailing character is sinusoidal;when the value is higher, the impulse characteris prevailing and this is one of the methods forassessing the condition of rolling bearings.

3. Prenosna funkcija /13.1 Vremensko područje

f(t)

t

t

x(t)

t=ξ

J(ξ)

t=ξ t-ξ

ξ

h(t-ξ)

dξ

Odziv na pulsnu i impuslnu uzbudu i konvolucija:

2

1

d ( ) ( )d

( )d

t

t

J f

J f

ξ ξ ξ

ξ ξ

=

= ∫

Impuls:

0

( ) ( ) sin( )d

t

t

p

p

Jx t f e t

m

σξ ω ξ ξω

−= −∫

( ) ( )( )

( ) 0

( )( ) sin

t

p

p

t x t

Jh tt h t e t

m

σ ξ

ξ

ξ ω ξω

− −

< =

= ≥ = −

0

( )

( )( ) 1 0

t t

tt dt

δ ξ ξ

δδ ξ ξ

∞

− ≠

= − = < < ∞

∫

3. Prenosna funkcija /23.2 Frekvencijsko područje

( )2 ( ) i tm i d k X i e ωω ω ω −− + + ( ) i tF i e ωω −=

1

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

B i X j F i

X iH i B i

F i

ω ω ω

ωω ω

ω−

=

= =

gdje je H(iω) frekvencijska prijenosna funkcija (engl. Frequency Response (Transfer) Function, FRF) a B(iω) je inverzna prenosna funkcija

1

1( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

sm d k V s F ss

R s V s F s

V sQ s R s

F s

−

+ + =

=

= =

( )( )

( )

V iQ i

F i

ωω

ω=

3. Prenosna funkcija /3

Mjera

odgovora

Prijenosna funkcija,

(FRF)

engl. naziv

Inverzna prijenosna

funkcija, (FRF Inverse)

engl. naziv

Ubrzanje

Inertance

(Accelerance prema

ANSI 2.31-1979.

Apparent mass

Brzina Mobility Impendance

Pomak

Compliance

(Receptance,

Admittance)

Dynamic stiffness

(Impendance)

( )

( )

A

F

ω

ω( )

( )

F

A

ω

ω

( )

( )

V

F

ω

ω

( )

( )

F

V

ω

ω

( )

( )

X

F

ω

ω

( )

( )

F

X

ω

ω

4.4.2018.

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12Graficki prikaz pomaka spram frekvencije

kruzna frekvencija [-]

pom

ak x

[m

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Graficki prikaz faznog pomaka spram frekvencije


faz

a x

[m

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-10

-8

-6

-4

-2

0Graficki prikaz Im(H) spram frekvencije


Ima

g x

[m

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6

-4

-2

0

2

4

6Graficki prikaz Re(H) spram frekvencije


Rea

l x [

m]

-6 -4 -2 0 2 4 6-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Re

Im

0

1

2

3

4

-15

-10

-5

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

Sika: Compliance

10-2

10-1

100

101

102

103

10-6

10-4

10-2

100

102

Graficki prikaz pomaka spram frekvencije


10-2

10-1

100

101

102

103

10-3

10-2

10-1

100

101

Graficki prikaz brzine spram frekvencije


10-2

10-1

100

101

102

103

10-4

10-2

100

102

Graficki prikaz ubrzanja spram frekvencije


10-2

10-1

100

101

102

103

-4

-3

-2

-1

0Graficki prikaz faznog pomaka spram frekvencije


1

k≈ 2

1

mω≈

k

ω≈

2

k

ω≈

1

mω≈

1

m≈ −

Copliance

Mobility

Inertance

Slika: Compliance, Mobility i Inertance u log-logdijagramu

a)

c)b)

Slika: Usporedni prikaz prenosnih funkcija (compliance) dva teoretska sustava s jednim stupnjem slobode:

a) crni sustav ima cca 10 puta višu krutost i cca 10 puta višu masu b) jednake krutosti ali crna ima cca 10 puta višu masu, c) crna ima cca 10 puta nižu krutost i cca 10 puta višu masu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

a) Mobility b) InertanceSlika: Mobility i Inertance u kompleksnoj ravnini („Nyquist plot“)

3. Prenosna funkcija /7

Dobivanje frekvencijske prenosne funkcije FRF (engl. Frequency response Function)

iz mjerenja se može podjeliti u dva koraka:

- mjerenje, digitalizacija i zapisivanje vremenske povijesti ulaza i izlaza

- Fourierova transformacija ulaza i izlaza

- računanje prenosne funkcije H(ω) i funkcije koherencije γ(ω)

Mjerenje: f(t) i x(t) � (FFT*) � F(ω) i X(ω) � H(ω); γ(ω)

Napomena: Ovisno o modelu šuma, primjenjuju se modifikacije koje daju bolje rezultate

(H1 metoda �Hf ; H2 metoda � Hx):

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

*

* *

*

*

XX

FX

S XX XXx

FX XF

XF

f

FF

X X

S SFRF H

F X

X FFRF H

F F S

ω ω

ωω ω

ω ωω

ω ω

= = = =

= = =

S

S S

S

1442443

1442443( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

*

2* *

2

*

**

XF

XFf XF XFFF

XXx FF XX FF XX

XF

X F S

SH F F S

SX XH S S S S

SF X

ω ω

ωω ω ω ωγ ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω

= = = = =S S

( )( )

( ) ( )

( )

2

2

20 1

XF

XX FF

S

S S

ωγ ω

ω ω

γ ω

=

< ≤

3. Prenosna funkcija /84. Primjena s odabranim primjerima /0

Moguća sistematizacija primjena vibracija:

- Izolacija vibracija i buke (prenosivost, engl. transmissibility)

- Dinamika rotora i rotacijskih strojeva

- dijagnostika rotacijskih strojeva

- debalans i balansiranje

- „order tracking” i Campbel plot

- klizni ležajevi (analiza orbite)

- kuglični ležajevi (ovojnice i demodulacija)

- …

- Dinamika konstrukcija

- eksperimentalna modalna analiza

- identifikacija modalnih parametara

- detekcija strukturnih promjena

- Dinamička ispitivanja

- …

4.4.2018.

7

4. Primjena s odabranim primjerima Prenosivost / 1

cx&

x&

( )22

p= ( )F x t k cω ω+


2

0

2 22

2

0 0

1 2

( ) = =

1 2

pFg

F

ωξ

ωω

ω ωξ

ω ω

+

− +


Prenosivost: kinematička uzbuda

( ) ( ) 0m x + c x y + k x y = − −&& & &

2

0 j

2 22

2

0 0

1 2( )

( ) e( )

1 2

tXg

Y

φ

ωξ

ωωω

ω ω ωξ

ω ω

+

= =

− +

4. Primjena s odabranim primjerima 4.1 Izolacija vibracija (prenosivost)

Zadaci izolacije vibracija:

- temeljenje: zaštita okoline od izvora vibracija

- zaštita ljudi i osjetljive opreme od vibracija iz okoline

- uzbuda debalansom

- …

- stol za instrumentaciju u bioinženjerstvu �

- LIGO (stabilizacija ogledala) �

- …

04/04/2018 Ž. Lozina: Mehanika3, FESB 41

4. Primjena s odabranim primjerima Uzbuda debalansom

Neka tijelo koje rotira ima masu me i ekscentricitet e.

2( cos )emx + dx + kx = m e t xω ω −&& & &&

e

e

me

m m+

m

e

x(t)

dk

me

ω

4. Primjena s odabranim primjerima4.2 Dijagnostika rotacijskih strojeva

Mjerenja na rotacijskim strojevima se provode s dva cilja:

• Nadzor/praćenje stanja i rada stroja u svrhu održavanje (popraćeno standardima)

• Dijagnostika stanja i kvarova

4.4.2018.

8

4. Primjena s odabranim primjerima4.2 Dijagnostika rotacijskih strojeva

Primjeri:

- dijagnostika stanja strojeva

- debalans i balansiranje

- „order tracking” i Campbel plot

- klizni ležajevi (orbite)

- kuglični ležajevi (ovojnice i demodulacija)

- dinamika rotora

- rotor motora i generatora

- turbine

- detekcija istrošenosti i preostalog vijeka

- …

Dijagnostika rotacijskih strojevaStandardi /1-3 :

Vibration diagnostics is described in detail in:

ISO 13373-1: Condition monitoring and diagnostics of machines - Vibration condition monitoring - Part 1: General procedures

ISO 13373-2: Condition monitoring and diagnostics of machines - Vibration condition monitoring - Part 2:processing, presentation and analysis of vibration data.

[1] ISO 17359: Condition monitoring and diagnostics of machines -

General guidelines

[2] ISO 13373-1: Condition monitoring and diagnostics of machines -

Vibration condition monitoring - Part 1: General procedures

[3] ISO 13373-2: Condition monitoring and diagnostics of machines -

Vibration condition monitoring - Part 2: processing, presentation and

analysis of vibration data

[4] ISO 5348: Mechanical vibration and shock - Mechanical mounting of

accelerometers

[5] ISO 10816-1: Mechanical vibration - Evaluation of machine vibration

by measurements on non-rotating parts - Part 1: General guidelines and

Appendix ISO 10816-1/Amd.1

[6] ISO 1925: Mechanical vibration - Balancing - Vocabulary

[7] ISO 1940-1 Review 2004: Mechanical vibration - Balance quality

requirements for rotors in a constant (rigid) state - Part 1: Specification and

verification of balance tolerances

[8] ISO 1940-2: Mechanical vibration - Balance quality requirements for

rotors in a constant (rigid) state - Part 2: Balance errors

[9] ISO 11342: 1998 Mechanical vibration - Methods and criteria for the

mechanical balancing of flexible rotors

[10] ISO 10814: 1996 Mechanical vibration - Susceptibility and sensitivi ty

of machines to unbalance

[11] ISO 7919-1: Mechanical vibration of non-reciprocating machines -

Measurements on rotating shafts and evaluation criteria - Part 1: General

guidelines

[12] ISO 7919-3: Mechanical vibration of non-reciprocating machines -

Measurements on rotating shafts and evaluation criteria - Part 3: Coupled

industrial machines

Dijagnostika rotacijskih strojevaMjerne točke i smjerovi:

For numbering and labelling of the measured points the MIMOSA convention isrecommended.

MIMOSA = Machinery Information Management Open Systems Alliance, which isstated in appendix D of the standard ISO 13373-1 (Condition monitoring anddiagnostics of machines - Vibration condition monitoring, Part 1: Generalprocedures).

4.4.2018.

9

Dijagnostika rotacijskih strojevaOrbit analysis

„order tracking” campbell plot

Waterfall diagrams 4. Primjena s odabranim primjerima4.3 Eksperimantalna modalna analiza

EMAOMA

4.4.2018.

10

MAC

4. Primjena s odabranim primjerima4.4 Dinamička ispitivanja

Typical applications:- Analysis of resonance- Calculation of load spectrum via measuring data- Damage calculation- Component assessment and analysis- Development of jigs and fixtures

Shaker with climatic chamber

a Seminar Vibracije 2018 Handouts - Tehnička Škola Split...- Dinamika rotora i rotacijskih strojeva - dijagnostika rotacijskih strojeva - debalans i balansiranje - „order tracking”

Documents