Top Banner
A Review of Mathematical Models for Hydrogen and Direct Methanol Polymer Electrolyte Membrane Fuel Cells K. Z. Yao 1 , K. Karan 1* , K. B. McAuley 1 , P. Oosthuizen 2 , B. Peppley 3 , and T. Xie 4 1 Department of Chemical Engineering, Queen's University, Kingston, Ontario, Canada K7L 3N6 2 Department of Mechanical Engineering, Queen's University, Kingston, Ontario, Canada K7L 3N6 3 Department of Chemistry and Chemical Engineering, Royal Military College of Canada, Kingston, Ontario, Canada K7K 7B4 4 DuPont Canada Inc., Research and Business Development Center, Kingston, Ontario, Canada K7L 5A5 Received 14.04.03, in revised form 15.12.03, accepted 16.12.03 1 Introduction The hydrogen fuel cell and direct methanol fuel cell (DMFC) are among the most favorable candidates for repla- cing the internal combustion engine in automobiles and bat- teries in portable and micro applications. Validated mathe- matical models provide a powerful tool for the development of improved fuel cell designs. Mathematical models can be used to describe the fundamental phenomena taking place in the fuel cell system, predict fuel cell performance under dif- ferent operating conditions and optimize the design of fuel cell systems. In this paper, empirical and fundamental mod- els for both the polymer electrolyte hydrogen fuel cell and DMFC are reviewed: ± Single cell models, which describe the electrochemical and transport processes in each fuel cell component, and the pressure drop, flow distribution, and temperature profile in the flow field; ± Manifold stack model for the entire fuel cell stack, which evaluates the pressure loss and temperature variation of the entire fuel cell stack, and flow distribution between each individual fuel cell. ± Mathematical modeling for the analysis of the integrated fuel cell power systems, which includes the reformer, fuel purification, exhaust fuel processing, and waste heat recov- ery, is beyond the scope of this paper. The electrochemical kinetics models for different catalysts have been reviewed by various authors [1±7] and will not be reviewed here. 2 Single Fuel Cell Models As shown in Figure 1 [8], a typical fuel cell consists of seven components: anode flow channel (AF), anode diffusion layer (AD), anode catalyst layer (AC), membrane (M), cath- ode flow channel (CF), cathode diffusion layer (CD), and cathode catalyst layer (CC). The fuel (hydrogen or methanol) flows through the anode flow channel, diffuses through the anode diffusion layer, and reaches the anode catalyst layer, where it is catalytically oxi- dized and releases electrons and protons. The released elec- trons are conducted through the catalyst metal and carbon grains and arrive at the cathode side via the external circuit, while the protons are transported through the membrane to ± [ * ] Corresponding author, [email protected] Abstract This paper presents a review of the mathematical modeling of two types of polymer electrolyte membrane fuel cells: hy- drogen fuel cells and direct methanol fuel cells. Models of single cells are described as well as models of entire fuel cell stacks. Methods for obtaining model parameters are briefly summarized, as well as the numerical techniques used to solve the model equations. Effective models have been de- veloped to describe the fundamental electrochemical and transport phenomena occurring in the diffusion layers, cata- lyst layers, and membrane. More research is required to de- velop models that are validated using experimental data, and models that can account for complex two-phase flows of liquids and gases. Keywords: Polymer Electrolyte Membrane Fuel Cell, Direct Methanol Fuel Cell, Mathematical Modeling FUEL CELLS 2004, 4, No. 1±2 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 3 REVIEW DOI: 10.1002/fuce.200300004
27

A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

Apr 27, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

� ������ ����� ���� ����� ����������� �������� ������ ���� �������������� ���� ���� ������� �� ����� �� ������ �� �� �������� ������������� �� ��������� �� �� ��!� "����#�� �$ %��#���� &'����'�(���)� *�+������ ��'����������%�����,- �./� "����#�� �$ �������� &'����'�(���)� *�+������ ��'���������� %�����,- �./� "����#�� �$ %��#���� ��%��#���� &'����'� 0���� ������ %����'� �$%����� ��'����������%���� �,�,�!! "���� %���� 1��� 0������ �� ������� "�+����#�� %���� ��'���������� %�����,- 2�2

0����+���!�3!�3�� � �+���� $�#�2����3�� �������� �/����3�

� ��������������� ������� ��� ��� �� ���� � ������� ��� ���

������ ��� ���� ��� ���� �������� �������� �� ������ �� ��� ������ �������� ���� � ����������� �� ���������� � �������� �� �� �� ����� ������ ��������� ���������� �� ������ ������� � ������� ���� �� ��� ����������� �������� ��� ��� ������� ��������� �� ������ � ������ �� ��� ���� ��� �������� ������� �� �� ��� � ���� ��� ��� ������! ����� � ��� ��� ������� � ���� ������� �������� ������� �� ������"� ��� ����� � ��� ��� �������� # ���� �����! ������ �� �� �������� ������� �� ���� ��� ������� ��� ������� ������� ��� ��� ������ ��� ��������$% &���� ��� ������! ��� � ��� ���� ��� ��� ��� ���� �� ���������� ��� ����� � �� � ��� ��� ������! �� ����������� ����! ��� �����������! �� ����������� ������� ��� ��� ����'

% ������ ��� ����� �� ��� ����� ��� ��� ��� ! ��� ���������� ��� �������� ���� �� ����������� �������� ���� ����� ��� ��� ��� ! �� ��� ����������� �������� � ��������� ��� ����

% ��������� �� ������� �� ��� ������� � ��� ���������

��� ��� ����� �������! ��� � � ����� ��� �������! �������� ����! �(����� ��� ��� �����! �� ����� ���� �� ������! �� ����� ��� � ��� � ���� ������ ��� ��� ��� ���� �� ���� � ������ �� ������ �������� ���� ��� ���������� ������� ������� )*%+, �� ���� �� �� �������� �����

!����� ���� ���� �����-� ���� � ������ * ).,! � ���� �� ��� ��� ������ �

���� �������$ ���� ��� ���� �-��! ���� ����������� �-��! ���� ������� ����� �-��! ������� ���! ������� ��� ���� ����! ������ ������ ����� ����! �� ������ ������� ����� �����

��� ��� �������� �� �������� ���� ������� ��� ������� ����! ������ ������� ��� ���� ������ �����! ����� ��� ��� ���� ������� �����! ����� �� �� ������� ���� �(����"�� �� �������� ��� ���� �� ������� ��� �������� ��� ����� ��� ��� ��� ������� ��� ������� ����� �� ��������� �� ������ �� ��� ������ ���� ��� ��� �(����� �� ���!����� ��� ������ ��� ���������� ������� ��� ������� ��

�)/, ����������� �� ���� ���������������������

����������� ����� ������� � ������ � ��� ��������� �� �������� ��� ����� � ������� ��� ������� ������� ��� ����$ �������� ��� ���� �� ���� � ������� ��� ����� ������ ������ ���� ��� ��� ����� �� ���� �� ������ � ����� ��� ������ �� ������� �� ������� ����� ���������� ��� �������������"��! �� ���� �� ��� ����� �� �� ��0��� ���� ������� ��� ����� �0������� 1� ���� ������ ���� ��� ���������� �� ��� ���� ��� �������� ��� ��� ���� �� ��

�������� ������� � ����� � ��� ������ ������! �������� ������! �� �������� ���� ������ � �� ��0����� �� �������� ������ ���� ��� ��������� ���� �(��������� ����!�� ������ ���� � � ��� �� �����( ��������� ���� ���0���� �� ������

�������� 2������ 1�� ������� ������� ���� ����! ���� �������� ���� ����! ��������� �� �������

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# "

�����

"�1? �3��33�@$�����33�3333!

Page 2: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��� ������ ������� ������ -� ��� ���� ����! �(��� �� ��� ���� ��� ��� ������ ��� ����! �� �(��� ������������� ��� ������ ����� �� ��� ������� �����! ����� ����� �� ���� ������ �� ��� ���� �� �������� ������ ���������� ��� ��� � ����� � � ������� ��� ��� ��$

3�3 ��3 � 3�3�

��� ������� ��� ��� �� � ���� ��$

3��4�� � 4�3 � 3��3 � 5�3�

&���� ���� ��� ������! ��� � ��� �� 0��������������� ���� ����� ���� ���� ��� ������� ����� �� �� ��� ���� ���� �� ������� � �� ������� ��� ��� ������$ ������� �� ������� � ������ �� �� ������ ������� ��� ������� �� ������� � ������ ��� ������ ������ �� �0������ ������� � ��� ��� ��� ��� ������� ����� ���� ��� ����������� �������"���� ������ �� ������ �������� ��������� ��� �� ������ ������ � ��� �� ��� �������� ��������� ������� �� � �� ����! �������! ������ ������� ���� ��������! �� ��� ��� ���� �� ��� ������

��� ������� � ������ ��� ��

���� ������ �� ������� � ������ ��� � ���� � �������� ��� � ������"���� �����! ��� � ��� ���� �� ���� �����"� ��� ��� ��� �� ������� � � ��� ����� # ������! ���� ���� ��� ��� ������� �� ����� ��� ��� ����������� �������� ��� � ����� �� ����� ��� ������� ����! ������� �����������������! ��������� ��������� ��� ����� ���� ��$ � �������� ������������ ���� �� ��� � ������� ������� � ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� �� ��� ������� �������! ���� ������������� ���� �� ��� ��� �� ������� �� � ��� �������! �������������! ������ ������ �� ��� �������! �� ������ ������������� ���� �� ���� ������ ������� �� � ��� ���� �����

������� ������! ������ ������ �� ��� ������� ��� �������� ������ �� �0����� ��������� �� 6�� � ��� )7, �������� ���� �� �� ����� ��� ������� ��� � ��� ������� ��� ��� �� ������ ����� �������� ���$

� � �8 � � ��� � � �� �� ������� �3�*�

�����! �8 �� ��� ����������� ���� �� ��� ��������� ������� ��� ����� � ���� �(������� �������� ��� � ��� � ������� �0�����! ��� � � ���� �� ��� � ������� �������������' � �� ��� ����� 9��� ������� � � ��� ��� ��� ��������! �� �� �� ��� 9��� ������������' ��� �(������� ������ ���� �� � ��� �� ��� ������ ������������� ���� ������������� � ���� �� �� �(��������� ���� ���� � ���� � �������������! ���������! �� �(��� ��� ����� )7,� &����0�����!:�� � ��� )*8, ����� � �� ����! �� �� �

��3

� �! �� 10� �3�*� ��

������ � ��� �� ��� ������ ���������� � ��� ����������� # ��� :�� � ��� ����� ��� ������ �� ���������� ��� � ����� � ����������� �� ���������

&0������� � ��� )**, ���� � ������ �� ������ � �� � ����� ��� ���� �������� ���������� ���� ������� 6�� � ���;������ �� ����� �� ��� ���� ���� � ��� <=& � 10� �3�*� ����)� �� � ���� ���!,! ����� � �� � ��� ������ ���� ��������� ������ �� ��� �� ��� �������� ����� ������ ��������� ����� �(��������� ����� ���� �� ����! 2���� � ��� )*3,�� 6��� ��� � )*4, ���� �������� ������ �� ������ ���������� � ����������� �� ������ � �� � ��� �� ��� ������� ����� ��������! ��� � ����� ��� � ��� � �� ������� �������� ��� �������� ���� ������ �0������ =������!���� � ��� ���������� � ���� ���� ��� ������� �� ������(��������� �����

-������� � ��� )*5, ��������� � ����� ���� � ��������� � �� ������ �� ������ �� �� ��0���� # ��� �� ������� ����������! ��� &������(���� �0����� ��� ���� ������"� ������ ������ ���� �������� ��� ����� � ������� ������! �� �� �� ����� ��� ������� ��������� � �����������3

� �� �(��� ����3� �� ��� ����� �� ������ ��� �������

������ �� ��� ������ ������� ��� � ������� ����3����3

�� ��� ������� ����� �� ��� ������� ������� =���;� ������� ����������� ������� �� ����� ������� ��� >�����0����� ��$

� � *�337� �"#

�����

�3��

�3�

� � 8�? ������3�

��

�� �3�3�

��� � ������� ������������ �� ������� ��� ��� ������ ���0�����$

��� � �* � �3" � �4" ������3� � �5" ����� �3�4�

-������� � �������� ������ ������������ ���� ��� ����� � ��� �����! �� �� ��������� � ����� �� �� ������� ������ ���3

� ��� 9��� ������������ �� �� ���������$

���� � �� �3�5�

z y

x

AF AD AC M CC CD CF

���� � ������� ��� ������� ������ � � ��� ��� ���� ��� �� ��� � ������� ��� �� � ������� � ����� ��� �� � �������� ����� �� ���� ��� ���� � �� � ������� ��� ���� � ������� � ����� ������� � �������� �����

�����

# 7 �33! 81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 3: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

����� � �� �������� �(���������������� ����� ��� �������� ������� �� ��� ����� ���� ��� ���

��� �$ ��� @������ ��� #� �� ��� �! ����� ������ )*?%*+,���� ���������� ���� ������� �� ����� ��� �(������������� �������� ���� ��� @������ ��� �� :����! �� � ���)*., ��������� �� �������"� ��� ��� � ��� ����� �� � ������ �(��� �� �0������ �� ��������� � �� ����� ����� ��� ��� �� ������ ��� ��� �����������

��� ����� � ������ �� ������� � ������ �� ������� ���� �������� &������� � ��� )*7! 38, ��������� � ������ ������� ���� �������� �� ������� ������ ��� � ��� �� �������� ��������� ���� ����� �������� ������������� ����� ����� � ��� ����� ������� ������� ��� ���� ������������ � ��� ������� �� ����� ������ �� ��� ��� �� ��� ��� ���� �� �� ��� ������ 6��� ��� � )3*, �� ���� �������� ������ ���� ��� ����� ��� �������� ����� ����������� �� ������� � ������� ��� ���� ��� ����� �� ����� � �(� � �������� �� ��� ������� ����� ��� ��� �� � ����� ��� �������������� ��� �� �������� ��������� � ������ �� �� ������� ���� ��� �� ������� ���������

��� �������� � ������ �� ������� � ������ �� ����������� ���� ����! �� ��� ����� ����������� ���� ��0������� ����� ��� ����� �0������� ���� �� � �������� ���� ������� ��� � ����� � ���� � � ��� ��� �� �� ��������� �������������� )*8! *.,� =������! ��� ���������� ��������� ��� ����(��������� ���� ��� ������� ��� �� �� ����� ���� ����� ����� ���� � ������� ���� � �������� �������� -�����������! ������ �� ������� � ������ �� �� �(��� ����� ��� �� ��� �������� �������� ������� �� ��� ���� ���� �� ��� ������ #������� ��������! �� � �� ��� ��� � ��������! �����������! �� ����� ������ �����������! ��� �� ����� ���! ������� ��� �������� � ������ �������� �� ��� ���������� � �������� ��� �����

��� � ������ ��� ��

&� � ��� �������� ��� ��� �� @������ �� ���������� )34! 35,! �� &������ � ��� )3?,! ���������� ������� ��� ������� �� ��� ���������� � � �� ������ ������ ��� ����� @��� � ����� ������ ��� ������������� 9����� ���� ��� � ���� ��� ��� ��� �$ ���� ��� � ������ *� ������"��� ���� �� ����! ������� ������������� �� ��������������� ������ ���� ��� ���������� ��� �������������� ������ � �� ������� ��� ��� ��������� �������� ��� � ��� �������� ��� � ����� ��� 9� ����� ������� )3A%44, ��� ���� ��� ���� ������� ���� �� ��� ��� ����� �$�% ���� � ������ *�! ����� ��� ����� ����� ������� )45%58, �������� ��� �������� � ��� ���� ����� ����� ���� ��� � ���� ��� ��� ��� �$ ���� ��� � ������ *� ����� ���� ��� ���� ��� ��� ���� �& ���� ��� � ������ *��-� ���� � ������ 3! � ��� ���� ����� � ������ ��� �� �� ��� ���� ������� �� ��������� � �� ������������� �� ����� ��� ������� ��������

=������! ��� ����� � ��� ����������� �� ��� ������ ��� ���� ��� ���� ��� � ��� ��� ���� ��� ��� ����� ��� 9 ��� ����� ���! ��� �� �� ����� � ����

�� � ��� ����������� �� � ������� ������� ���� ������� ��� � ��� ��� ����! ��� ��� �������� ��� �� �� ��� ���� �� ��� ��"�� - ���������� ������� ������ � ��������� ��� $�& ���� �� ��� ��� ����� 0������������������� ����� )5*%55,� # ����� ������! � ����������������� �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ���� �& ���� ���� �� ������ ���� ������ ������������ ����� �� ��� ���� ���� � ���� ��� ��� ��� �� ��������� ������� � ��� $�& �����- ������� ������ � �� ���� � 0���� ��������������� �������! � ��� � � ������������ ����� �� ��� & ���� ��� �� ������ ���� � ������������� ����� � ��� $�% ���� )5?,!�� � ������������ ����� �� $ ���� ��� �� ������ ���� �������������� ����� � ��� &�% ���� )5A,� ���� �� ����!

(b)

z

2

3

4

1

x

x=h

x=0

z=ww2w1z=0

(a)

3

2

4

1

x

x=h

x=0

z=ww2w1 z=0

z

���� ! !������ ��� �� �� $�% ������ �� "�# �� � ���� ���� �������������� ��������� " # �� � ���� ���� ����������� ��������� �� �� � $����!� ������� � ����� �� �������� ����� %� ����

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# $

Page 4: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��������������� ������ ���� ��� ��������� �� ������������� � ������ ).! 5+%57,� @���� � ��� )57, ��� ����� �� ���� ��� ������ ���� ������ ������� �0������! ��������� ������� ���� ��� ���� ������ �� � �������� - ����� ����� ������ � ��� ���� �� ����� � ��� )5+!5., �� �� B� �� C�� ).,� - ����� ��� � ����������0������ ��� ������� �� ��� ������� ���� ���������� � ����� �� ����� �� �������� ���������� ���� �� ������� ������� ��� ����������� ����� �� �������� ��������� �� ��� �������������� ������ � �� � � ������� �������� ��� ��0����� ������ �� � ������

��� � ������� ��� ���! ��������� ������� �� �� �� ������� ����� 9 ��� ������ ����! ����� �� ��������������� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� ���� �� ���������� ������ ���� ������� ��� ���������� ����� ��������! ��������� ��� ��� �(��� �� ���� ��� ���� �� ������ ��������� � ����! ��� �������� � ��� ������ ���� �� ������� ������ � ��� ������� ��� ���� 9 ��� ���� ����! ��� ����� ���� ���� � ������� �� ������������ ������! ������� ���� ��� ������� �� ��� # ������"�� ������� �� �������� ����! ��� �������� � ������� �� ����� ��� ������ ��������� ��� ���� ��� ��� ����� �� ������� ������ 9��� ����� ���! ��� ������� �� �� �� ����� �������! ������ ����� �������� �������! ����� �����! �� ��� �������(��� ����� �� �� ��� �(���"���� � �������� # ���� ���!��� ��0��� ����� �������� ��� ��������� ���� ��� ����� �� ��� ������ �� ���� ��� ������ ��� � ����� �� ���� � ���� ���� ������ �� ���� ���� �� ��� ��0��� ����� � ��� ������ ���� �� ��� ���� ���(��� � ��� ���� ���� ����� � ��� ������ � �(��� �� ������� �� ��� ������������� -���! ��� ������� � ��� ���������� �� ������������ �� � ��� ����������� ����������� )?8,� # ��� ����������� � ��� ��� �������! ��� ����������� ��� ��� ���������� <� ����! ���� �� ���� ��� ��� ��� ������� ����� ����� � ��������� ��� � ��� ���� )3.! 4+! 58! 5A! ?8%??,�- ����������� ����� ��� ��� ��������� �� ������ ������ 2�������� &���� B�������� )4+! 58,

������� � ������� ��� ����������� ������ �� ����������! ��� ��� ������ � ���� �� �������"�� �� ���������������� �� ������������ ������� ��� � ��� ������������� ������ ������ ���� ����������� �� ����� � ���� ������ ��� ����� ��� $�% ����� )45! 4?! 53! 54! 5A,� ��������! ������ ����������� �������� ���� ��� ��� ���� �� �� �������� ��� ����������� ������ � ���� ��� ��� ��� ��� ��������� D���� � ��� )37,! @���� � ��� )57,! @����� � ��� )?*,! ��<��� �� :� )?8,�

C���� ���� ��� ��� ������ ��� ����� ��� ������ �����! ��� ����� ������ ���� ��� ��������� �� ������������ � ������ ).! 3.! 4A! 47! 58! ?A,� �� @����� � ��� )47,���� ���� ��� ��������� ������� � ��� ����� ������ ������� ���� ��� ��� ���� �� ������ ������ =������!������� � ����� ����� ��� �� ���� � ����� ������ &����� ��� � ��� )?+, ��������� � ������ ����� ����� �� �������� ��� ������� ������� �� ����� ����� � ���������� � ������� ��� ����� ���� ����� ������ ������� ��������� �� ���� ������� ��� ���� �� ����� ��

������ ���� ��� 2�������� &���� B�������� ).! 4A! 58,�=������! �� ����� ��������� ������� ���� ��� ����� ����� ������� ��� ���� ����� ����� �� �� �� ��� ����������� �� >�����E� �� >���� )3.,� # ����� ��� ! ������������ ������� �� ������� ������� � ����� ������!�(���! �� ����� � ������� ���� ��������� =������!����� ����� ��� � ���� �� ��� ������ � ��� ���������� ����

# ��� ������� ������ ����! ������� ��� �������� ������ ��� �� � ������ �� ������� � ���� ��� ��������� ������� ��� ����

'�'�� (���� #��) ������� �(#!

�&����� #��� ����

��� ������� ������� � ��� ���� ��� ���� �� �� ������� ��� �� ��� ��� ���� ��� ��� �� ���������� ��� ��� ����� ������� � ������ ����� �� ��� ������� �����! ����� �� �� ������ ��� ��� ����������� ��� ��� ���� �� ��� ���� ������� ����� � ��� ������� �� ��� ���� ����! ���������� �� ������� �� ��� ��� ���� ��� ���� ������������� ����� ������ C���� �� ���������� ��� ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ���������� ����! �� ��� ����� ����� � �� ���3�3�.� :�0��� ����� ���� ������ � ��� ���� ��� ��� ������������ ����� ����� ��� ��������� ����� ��������!������� � ��� ����������� ������! � ����� ����� �� ��������� ��� ��� �� ������ � ��� ���� ��� ����� # �������� ! ��� ��� ��� ��� ��������� &������ � ��� )3?, �������� ��� ���� ��� ���� �� � ������� ������� �� ��� ���� ��&�<�� - �������! ��� ��������� ����� ��� ��� ���� ��� ������� �� ���� ����� �� �0��� �� ��� ������� ��� ������ � ��� ��� ����� ��� ���� ���� � �0����� � �� ������� �� ����� �� ������ )3?,$

*+)�(# �*�

)�(# � ,)�( �- � . �-��*�

=���! *+)�(# �� *�

)�(# ��� ���� ���� �� ������ �������� ����! ����� ������! ,)�( �� ��� ����� ��( ������� �������� � ������ ���� ��� ���� �� ������ �����! -�� . ��� ��� ����� �� ����� � ��� ��� ����! ����� ��������

��� ���� �� ��� � ����� � ��� ���� ��� ���� ��� ������� �� ������ 10� �-��*�$

$)�(# ��� $+

)�(#���*�$+

)�(#�

$+)�(#���*�$+

)�(#�����*

�-��3�

�����! ��! ��� ���� �������� ��� ���! �� ��� ����� ������*+

)�(# �� ,�3 �( � �- � .�! �� � �� ��� ����� � ,)�( �� ,�3�(���� �� ������ � � �� ��� ����� ����� � ��� �� ��� � �����������

��� ���� �� ��� � ������� ��$

$�3 �(# � *� $)�(# �-��4�

�����

% 7 �33! 81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 5: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

-������� ��� �&�< ������ � ������� � ������ ������0������! ��� ��������� ���� ��� ��� ��� ��������� ������� ����� ��� ��� ���� �� �� ����� ���� ���� �������� ��� ��� ��� �� �������� ���� ������� � ���� ��������"����� # ����� ������� )45! 5*%55,! ��� ���� ��� ������� ������� �� � ���� ��� ��� ���$

�*)�(#�&�

�&� �,)�( �&� �- �-��5�

>��� ���� ,)�(�&� �� � � ��� � & � ����� ������ ����� ���� ��� �����

��� ���� ������ � � �� ������� �� ��� ���� ��� ��������� � )45! 53! 54,$

���*�(#*)��

�"(#

�&� ��(��"/ � "(#� � )��3 �-��?�

����� �� �� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� ! *) �� ��� ���� ����� ������ � ��� ��� ! "/ �� "(# ��� ��� ����������� � ������ ���� ����� �� ��� ��� � ��� ����! ����� ������! �� ����� ���� ������ ��� ���! �� (� �� ��� ���� ������ ������� ��� ������

��� ������� ������� �� 10�� �-��5� �� �-��?� ���$

& � 8 *)�(# �*+)�(# � "(# � "+

(#

& � .�*

)�(#

�&� 8�

�"(#

�&� 8 �-��A�

��� ���� ��� ������ � ��� � ���� �� ��� ��������� ��� ��� ���� �& ���� ����� �� ����� � ��� ������ ���� ��� � ������� �� ����������� � ��� $ �� % ���� ���� ����� �� ������ *�! ��� )37! 4A! 4.! 5A, �� ���������������� ).! 5+%57, ������ ���� ��� ��������� �� �������� ������ ����� ��� � ��� ���� ��� ����� ��� �0������ � �������! �������! �� ���� ���� � �� �� � ��� ��� ����������$���� �� �0 ��� �� &1

��� � �� �2� �-��+�

���� �� �0 �� ��1

��2� � �� �22� � /� ��2� �-��.�

���� ������� ���� �� 0�� ������ 1

�$� � �� $2� � �3$� � )��3 �-��7�

��� ������������ ������ )37! 5A! 57,! ��� �0����� ������ ���� � �� ������� ��$

����"(#

� � �� ��� "(#2� � ���"(#� � 4� �-��*8�

=���! � �� ��� ������� ������! 2 �� ��� �� ��� � ���� ���! /�� ��� ��������! � �� �� ��� ��� ��� ����� �� ������� ��� ������� � ��� ��� ���! ����� ������! 3 �� ��� ��������� � ����

��� ! 4� �� ��� ���� ���� � ���� ���� � ���� �� ��� ���������� ������ ��� ��� �� ��� ��� ���� �������

��� ��� ��� ����� �:=&� � 10�� �-��+�%�-��*8� ��� �����0����� �� � ����� ����� ).! 55,! �� ��� "��� � ������������ ������� -���! ����� �0������ � �� ��������� ��������� ����� ������ )37! 4.! 5A,! ��� ����� )37! 4.! 5A,!������ ��� ��� )37! 4.,! ���� ��� ��� )37! 5A,! �� �������� ��� ������ )37! 5A! 57,� # =��� �� ����� �;� �����)4.,! ��� ���� ���� ��� ��� �� ������� �� � ���� ������������� � ������ ������� ��������! ��� �;� ��� ���� ������ �� ����� � ��� �0����� � �����$

/ � � ���

2 �-��**�

=���! �� �� ��� ������������ � ��� �������� ������ ��������

��������� �� ���������� � ����� � ��� ���� ����� ���� ������� �� >���� �� C���� )45,� # ����� �����!>���� �� C���� ������� ���� ����� �������� ��������� ��� ���� �� ������ ����� � ��� ��� � ��� ����������� ��� ������� �0������ ���� ���� �� ��� ���� ������� ���� � �� ��0��� �� ����� �����$

�*�)�(#�&�

�&� ��2�-�

�"��$2

)�(#/� /�� )�(#� �-��*3�

�*2)�(#�&�

�&� �

�*�)�(#�&�

�&�,)�(�&� �- �-��*4�

�����! �2� �� ��� �������� ���� ����� � ����� �����! ��� ��� ������ � ��� ����! �� /��

)�(# �� ��� ��������� ��������������

C�� �������� �� ���������� ��� ��������! �������� ���� � � �� ��� ����� ��$

���*�(#*)���"(#

�&�

��2�

�*�)�(#�&�

�&�5(��"/ � "(#� � )��3 �-��*5�

�����! ��2� �� ��� ������� � ����������� @������ �������� ������� �� 10� �-��A� � �� ������� �����

3��� *� ����� #��� ����

# ��� ����! ��� � �� �� �� ��� ���� ��� ���������� �� ������� �� ����� ����� �� �� � �0����� �������� �������� B��� � ������ � ���� �� ������� �� ���� ������ ��� ������� ��� ���! ��� ���� ���� � � ���� ������� ��� ������� �� � �&�<� ��� ������� �0����� ���������� �� ����� � ��� )?., �� �������� �������$

*+�(# �*�

�(# � ,�( �- � . �

)� ��4��� �����3 �-��*?�

&���� ��� � ��� )?+, ��������� � ����� ����� �� ������� ����$

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# &

Page 6: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

���(#

� � *

���+

� ��(#� ��.4(�

6(#�� � ��(�� �

��4��� �����3 �-��*A�

=���! ��(# ! �+ �� ��(���� ��� ����� � �������� � ����

��� � ��� ���� ����! �� ��� ����! �� � ��� ���� �������� �����! " �� ��� ������ � ���� � ��� ���� ����! �.4 ��� ���� ������ ��� ��� ������ ��� ���� ��� �� ������� ������ �����! (� �� 6(# ��� ��� ���� ������� ������ ���� �� ������ � ��� ���� ����! ����� �������>��� ���� ��� ������ ����� �� �� ��� ����� �� &����� ���;� ������

# ���� ������ ��� �� ����� �� ��������$ ��� ���������� � �����;� ����� �� ��� ��0��� ����� � &���� ���;������� # �������! � ��������� ��� � �(��� �� ���� �������� �� ��0������ ����� ��� �� ��� ���������� �� ��������� � ����� �� ������� �� ���� �� ��� ������� ���3� ��������� � � �������� ���� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� ������� � � ��� ����� � � ��0������ �������������! ��� ������� � ��������� ��� � ��0���������� �� ���� ��������� # � �! � � ����� � ��0���������� )?5,! ��� ���� � ��������� ��� ��� �������� ��������� �������� �� ��� �� 3�5 � *8%4� -� ����� ��� ���������! ��� ����� ����� ������� � �����(������� 5+F����� �� *5F ������� ����� ��� ������! ��� � ���� ���� �� ������ ������� ��� ����' ��� ������� �� ��� � �������� ����� ���� �� ���� � ������ �������� -� ���� ��������! ��� ����� ����� ��� ���� ��3 � ������� ������� �� ������� ������ ��� ����� � � � ����� ����� ���3 ���� ���� � ��� ��� � ���� � ���� ������ ��� ��0���������� �� ��� ������ ����� )?7,� ��������� ��� � ���0������ ���� ��� ��� ������� �� C�� �� C�� )58,�- ���� ��� ��������� ��� �������$

��� �� & ���� �� 0�� ���� �����1

���2�&�*��2��&

� �,�(�&��� �-��*+�

��2&�2

�&� �,

(�&��� �-��*.�

���� ������� 0�� ���� ������1

���2�

&�*��2���

�&�

��

�2�

$ ��

���$�#3���

.4�

����

���

���$�#3�

� � )���4�����3 �-��*7�

��2&�*��2��

�&

��2

$�

���$�#3��

.4���

��

���$�#3�

� � )���4�����3 �-��38�

=���! �2�� ��� ����� ������ �� ���! ,�

(�&� �� ,

(�&� ������ ���� �( ���� ��(�� � ��� ��0��� �� ��� ������ ���

��� ����� �� ��� ������ �����! ��

���$�#3

�� �

��$�#3 ���

��� � ������� � ��� ��� �� ��� ����� � ������ ��� ���� �� ������ ������ >��� ���� ���� ���� ��� ����� ��� ��� ������ ��� � ����� �� ����� ��� ��� ����� �� ������ ������

@������ ������� �� 10�� �-��*+�%�-��38� ���$

& � 8 2�& � 2��+

& � 2& � 2�+

& � �� � ���+

� � � ��+

& � .�2�

&

�&� 8�

�2&

�&� 8�

���

�&� 8�

��

�&� 8 �-��3*�

������ � ��� )*87, ���� �� ���� �������� � ������� ������ � ��� ���� ��� ��� �� �������� ��� ����� � ������ ��� ���� �����

������ �

��� ���� ��� ���� � ��� ������� ��� ��� ��� ���������� �(��������� - �������� ���������� ����� �� �������� ���� � ��� �� ��������������� �0������ � �������!�����!���� ���� �! �� ����� ���� � �� ��� ��������� ��� ������� =������! ��� � ��� �� �� �������� ��������!��� �������� � ����� � ��� ���� ����� �� ���� � � � �� ������� �� ��� ����� � ��� ������� � ������� ���� �� ��� ������ ������� � ��� ������ �����

9 ��� ����� ���! ��� ����� � � ��������� ��� � ����� ��� �� ������! ���� ����� � � ��0������ ������� ����! ��� ���� ��� � � ���� ��� ��� ������� �� �������� ��� ��������� ������! �� ���� ������ ��� ������� ���� �������� =������! ��� �������"���� �(�������� )?7!A8, ���� ���� ���� ��� ��� ����� �(���� �� ������� �� ������ ���� ����� � ��� ��� ����� 9� ����� �(�� � ���� �������� ��� ���������� � ��� ��0��� �� ��� ����� �� ���� ����� ��"� �� ����������� � ������� �� ����� ��� ���� ������ �� �� �� � ��� ���� ����� � �� �������� �������� ����� ��� ���� ���� ���� �� ����� ��� ��� ��� ���� �������! �������� ���� ����� ������ ������ ��������������� �0��������� �0������ ��� ����� �� ��� ������� ������� � ��3! ���������� �� �������� � ������� �������! �� ������� �� �������� � ��� ��������� ������

'�'�' �� ���� #��) ������� ��#!

�&����� #��� ����

��� ������ ��� ���� �������� � ���� �� �(���� ������� �� �� ����� ������� ��� ��� ������ ������ -����������� �(��� ���� ��� � ��� ��� ��� ������� �! �� ������ ��� �� �� �� ��� ��� �� ��� �(���� ��� �� ����� �� � ����� � ���� C���� �� �������� � ��� ������ ���������� ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� ������ ������ �� �(����C���� �� ���� ���������� ��� ��� ���� ���� �� ��� ���������� ������� ��� ������� �� ��� ���������� ����� - ��������� � ��0��� ����� ����� ��� ������ ���� ������� � ������� �� ������� ��� ��� � ����� � ��� ����������� �� ����� ��� � ��� � �(��� �� ������� ������

�����

' 7 �33! 81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 7: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��������! ��� ������� ���� ���� �� �� ���� ����� �������� ��� ��0��� ����� ��� ��� �������

��� ���� ������ � ���� �� ������� ��� ���� ��� ����� ��� ���� ��� ������� �� ��� ������ ��� ����� ��� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ����� �� � �&�< )34%3?, �� ����� ��� ��� ��� )45! 5*%55,� ������������� )37! 4A! 4.! 5A,�� ��������������� ).! 5+%57, ������ ���� ��� ���������� ����� � ��� �0������ � ������� �10� �-��+��!����� �10� �-��.��! ���� �10� �-��7��! �� ����� ���� ���10� �-��*8��� ������������ ��� ��� ��� �������� ��������� ��� ���� ��� ����! ����� ��� ����� ��� ��� ��(���!������! �� ������ � ��� ������ ��� ����� ��������!��� ���� ���� � �0����� ���� �� �� ������� �� ��� ��� ����# ���� ��� )34! 35! A*,! ��� ��� ����� �� ������� �� �������� � �0��������� ���� ��� ��0��� ����� �����' �� � ������� �� ��� � ����� � ��� ����� �� �� � ��� ������������ �� �������� ��� ��� ���� ��������� �� ����� ������� ��� ������ ��� �� �� ��������� ���� ����� ������

# � �� �������! ��� ���������� �� �������� ������ ���� ���� ������������ # >���� �� C����;� ��� )45,! ��� ���� ���� �� ����� ���� � �0������ �10���-��*3�%�-��*5�� ���� ���� �� ���� ���� �� ������ ��� ������ 6����� �� ���������� )A3, ��������� � ������� ��� ��������� ��� � ��� ������ ��� ����� # ����������! ���� ��� �� ��0��� ������ ��� ������� �� �� �������� �� �������� ��� �� � ����� ������� 4��

��� ������� ����� ���� � ����� �� �� � ����� ��������� ��� ���� ��� �� ��� � �������� � ����� �� ����� � ����� �� �� ��� ������� ��� �0������$

���2(�

�&� �

- � )��3 � ���,3 ����*�

����)2�(���&

� ��- ����3�

=���! � �� ��

��� ��� �������� �� �������� ���� ���� ��� � ��� �� ��0��� �����! � �� ��� ���� � ��������&� � ����� �� ��� ��� ��� ��� � ��� ��0��� �����! ��

) � �� �� ������ ��� ������! � � ��� ����������� �� ��� (

�� (� ��� ��� ������� ����� ���� �� ��� ��� �� ��0���������! ����� ������! - �� ��� ����� � ��� ��� ����� # �������� ������� ����� ���� � ��� ��� ���� �� ("! ���$

(" � ( � (� ����4�

6����� �� ���������� )A3, ������� ���� ����� �������� ��� ���� � ��� ����� ����� �� � ����� ����� �������� ���� ��� ��������� ���� �� ��� ���� 9 � ��� ��� �����������! �� ����� ������ ��� ���� ��� ��� ����������� ���� �������� �� ��� ��0��� ������

��� �0����� � ����� �� ������� �� �� � �����$

���22(��&

� ��� 2�2� � �22� �(

�&

�������� ����5�

���� 2�2�(���&

� ��� 2�2� � �22� �(�

�&

�������� ����?�

��� <=& � ��� ����� �0������ �� � ������� �� �� ����!��� � � ���� �� ��� ������� ������ ������ ��������� ��� �� ��� ���� ������ ������ ��� ��� ������ ����� ���� � ������� ����� ���� � ����� �� �� � ��������� ����� ��� ���� �� � ������ ��� ������ �� ��� �� ���� �� ��� ���� ���� � ��� ���� ��� ����� ��� �������� ��������� ����� ���� ��� ��� ����! ��� ��� ������������ ������ ���� ��� ��� ���� �� �� �������

- ���� ����� ���� ����� ��� ��������� �� C�� � ���)4+,� # ����� ��� ! ��� ��� ����� ��������� ��(���� ����� ���������� ��� ��������� ������ �� ������ �� � ����� ����� �� ��(����� =� �! ��� ��������� ��� � �� ��� ����� �� �������������� ��(���� ���� ��� �� ������ ��( ����������� ��� ����� � ������ ��(���� ���� ��� �� � �������������� ���� ��� )A4,� ��� �0������ � ������� �10� �-��+���� ����� �10� �-��.�� ��� � ��������� ���� ��� ����������� ���� � �0������ �� �� � ��� ���$

������

� �����2���

��3�� � ����3��� � �*� ���3�

� ��3��

���� � �

�7� � )��3 � ���,3 ����A�

=���! � �� ��� ������ � ��� ��(���� �� � �� ��� ������������� �� ��� � ��� ��� � ��� ��(����� � �� �����! �(����! �� ������� � �� � � �� �� ������ ��� ��� ������� ��� ��� �� ��0��� ����� ��� �� ��! �� ��� ������ �� ���� � ��� ��� � ��� ��� ������ ���

�� �

�$

� � ��� � �*� ��� ����+�

�� � ��� �� � �*� ����

� )��3 � ���,3 ����.�

�����! � ��� ���� ��� ��0��� ���������! ��� � �� �0��� �� ������������ �� ��� � ��� ��0��� ������ C�� � ��� ���� �������� ���� ��0��� ����� ������� ��� ��� ��� ����� ������������� ��� ��� ��� ��������� ������ =� �! �

) �� �� ����� �� ��� ����������� �� �������� ��� ���������� #� �� ����������� ���� �(��� �� ������ ��� �������� � ��� ��0�������� �� ����� �� ��� ��� ��� ��� � ��� ��0��� ������ ������

y

x

2

1

���� � &� �$��� �$������� � � �� ��� ������ �� � ��� ��� ��� �� ����� "'� � ��� (���� ��� )*!+#� �� ��� $���� !� ��,��� $����

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# (

Page 8: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

���! � � �� ������ ��� 10�� ����+� �� ����.�$

� � ���)����� ) �

�������� ) ��)�����)�����

) � ����7�

�� � 10� ����A� �� ��� ���� ��� ���� ��� � ���$

�� ����� ��

���

���

��� �����*���� �

����*8�

�� �� ���� ��� �������� ����������$

�� � ����

����

����

������� �

�� ! � � *� �� ����**�

��� �� �

� ��� ��� �������� �������������� �� ��� ��0��� ��

��� ������� ���� ��� �� ������ ���� ��� ������ �� ����������$

��� � �4�

� � �*� ��4 ����*3�

7� � 10� ����A� �� ��� ��( ����� �� �������� �������� �/����� �������$

7� � ���

���/�� � ��� � ��

����*4�

��� ��������� ����� ���� ����� ��� �� ������ ���$

�� 2� � 7� � ���2 ����*5�

�2 � �7� � ��2 ����*?�

�� ����! C��;� ����� )4+, �� ��� ���� �������������������� ����� �� ������� ��� �����

3*#�

��� ������ ��� ���� � ��� ���� �� 0���� ������� ������ � ������� ��� ���� # ��� ����! � ��������� ��� ���!��3! ���� �� � ����� ��� ��3 �� ����� �� �� ��� �(������� ��������� ������� � ��� ������ ������� ����� �� ������������ �� ��0��� �������� � ��������� ��3� ��� ��������� ���� ��� ��� ������� �� ������ � �&�< )?., �� ����� ��� ��� ��� )58,� # ��� �&�< ������ �! �0������ �������� �� 10� �-��*?� ���� ����� B��� � �������� ������ �! ��0����� ������� �� 10� �-��38� ��� ������� �� C�� ��C�� �� ��� ���� ���� � � ��� ������ ��� ����$

��2&�

�&

� ��2

$�

���$�#3��

.4� �

��

���$�#3

� ��

� )��3 � ���,3 ����*A�

>��� ���� ��� ��� ��� ����� �� �������� ����� # ����� ���� �������� ���� ����� � ������ � ��� ��� ������ ���� ��� �� � ����� )*87,�

������ �

������ ��������� ��� ������ ������ ���� ���� ��� ��0���� �� ��� ������ ��� �������� ���� ����� �� � ���������� ��������� � ��� ����� ��� ��� ��� ��� ����������� �� ����� � ��� �� ��� ���� � � ��� ������ ������=������! ����� �� � �������"���� �(������� ���� ������������ �� ����� C�� ��0��� ����� �(���� � ��� ��� � ���������� �����! ��� ��������� ��� ����� ����� � � ���������� ����� �� � ��������� ��0��� ������ ��� ��"� �� ������������ � ��� ����� �������� �� ����� ����� ���� � ����� ���� � � ��� ������� � ��0��� ������ ������ ������� �������� �� �������"� ��� �������� ��� ��� � ��������� ���� ��� ������ ��� ���� �� �� ������� ������������������� �� ������� -���! ����� ��� �� ��� �� ��� ��������� � �� ��� �����( ���� ���� � ��� ��� ���� �������� � ��������� � ����� �������

'�'�8 #��)�#��� /�� � *���� �##!

��� ������� � � ��� ���� ������� ������ � ��� ������� � ��� �� �(����� =������! � � ��� ��� ��� ! ������ ��� ��� ��� �� �� �0����� ����������� �� �� � ���������� ���' ����! � �� � ��������� ���! ��� ��� ���� ��� ������� �� ���� �� ��� ������ - ������� ��� ������������ ���� ���� �� �� ���"�� ��� ��� ��������� ��! ����0�����! ���� �� ���������� ���������� ��G�� ����� ��� �������� � � ��� ��� ��� ��� � ��� ��� � ���� ���� �� � ������ ����������� ��� �������� ������� �! ����������� ������������! �������� ����� �����! �� ��� ���������� -�������� ����� ����� �� ���������� � ����� � ��� ��� ����� �� ��� ����� �������� ������ C������ � ��� ��������� �� ������ ��� ��� �������� �� ����������� �������� ��� ���� � ��� ����! ��� �������� ����� ����� ���� ��� ������ ��� ����������� ����������� ����� ��� ������ �� ������ ���� ����������� ���� ��� ������ 9 ��� ����� ���!� ������ ��� ����� ��� ����� ��� �������� ���� �� ������������ �������� � ��� ����� ��� ��� ��� ! �� ��� �������

(a)

(c)

(b)

(d)

���� % -������� � ������� �� � ������ �� ���� ��������� � �������� �������� �� ��$���� ��������� �� ������������ ���������

�����

�) 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 9: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

����� ������ �� � ��������� ��� ���� # ���� �� ���! �������� ����� ������ �� ���� ��� ������� ��� ��� �� ������� ��������� ������ ��� ������ ��� ��� ����� � ����(� �� ����

��� �������� ���� �� ��� ����������� � � ������������� ������� ����� � ��� ���� ����� ���� ������ �������� ������ ��� ���� � ������ 5 ).A,�

#� � �� ��� ���� ��� �������� ����� ���� � ���� ���� ������������ ��� ��(���� ���� � ��� � ���� � ������ ��� ���� ��� �� ��� ������ ������ =������! ��� ����� ��������� � ��� ������ �� �� ������ ������� �� ��� ��� � ������� ���� ����� 9 ��� ����� ���! ��� �������� �������� ���� ������ ������ ��� ���� ���! ��� � ���� ��� �������� ������ # ��� �������� ���� ����! ��� ��� ���� � ���� �������� ���� � � ��� ������ ����� ����� �������� � ������� ���� ���� -������� ��� �� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� ���� �������� ����� � ������ 5! �������� ����� ��� ���� ���� � ��� �� �� ����� ������ # ���������������� ���� ����! ��� ���� �� ������ ����� ��� ���������� �� ��� ������ ������ ��� ��� ���� ��� �� ��������� ��� ������ ����� ������ � ������� � ��� ������� ������ ����� ���� �� ��� �������� � ��� ���� �� �������� ��� ������ �� � �� �� ��� ���� ��������! ����������� ��������� �� ���� ������ �����

�&����� #��� �����

- ������ ����� ��� ��������� �� ���������� �� C����).+, �� ��� ���� ��� ��� ���� � � ������� ��� ��� ���� ����� ���� ����� # ���� �����! ��� ��� ��� ��� ������� ���� ������� 2������� ����� ����� �� �(����� �� ����� ��� ���� �������� ��������� ������� �� ��� ���� ��� ��� ������� ��� �������� ������ ���� � ����� ������� ������ � ������ ?�

���� ���� �����! �� � �� ��� ���� ��� ���� ����������0����� � �� ������� �� �� � ��� �! 7� ��$

��*�7 � �3�7 � �*�*�7 � �3�7�* �9�7 � 8 ����*�

=���! 9�7 �� ��� �������� ���� � ��� ��� ���� �� ������! � �� ��� ������ ��� ���� �� ��� ����� � ������ ?�

��� ������ ���! ��� �������� ���� ��2� � �� �������������� �� ��� ��� ���� ��$

�*�7 � �*�7�/�*�7 � /�7��3�7 � �3�7�/�7�* � /�7�

����3�

�����! �*�7 �� �3�7 ��� ������ ������� � ��� ��������� ��� ��� ������

10�� ����*� �� ����3�! �������� ���� ��� ���� ��� ���� ����������! ��� � ��� � �������� �0������! ��� � � �������� ������ �� ����� � ��� �������� �� ��� ����������� ���� ��� �����

��� ��� ��� ���� ���� ������������� ���� ����! ��� ��������� ���� ��� ��� ���� ���� �� ��� ������ ���� ������ �� ������ ���� ��� �;� ��� )3A! ..,$

�/ � ��2 ����4�

=���! �� �� � ����� ������� �� ��� �������� � ��� ������� �� ��� ������������ � ��� ������ ������ ����� � ���)5., �� 6��� ��� � )5?, ���� ������� ��� ��� ��� ���� ��������� ��� ������ =������! ��� �� �� � ��� ���� ���� ��� ���� � ��� ��� ����� � ���� �� ������� ������ ��� �

���������� �� C����;� ����� ��� ������� ��� ��� ��������� =������! �� ��� ����� � ��� ��� ���� �� ���� ��� ����� 3�3�* �� 3�3�3�! ��� �������� � ����� ����� �� �������� ��� � ����� � ��� ������ ���� ��� ���� �� ��������� ��� � ��� ��� ����� - ����� ��� ��� ��������� ��6����� �� ���������� )A3, �� ����� ��������� ��� � ��� ������ ��� ����� ���� ����� ��� ��� ����� � �� ���3�3�3 � ��� ������ ��� ����� =������! 6����� �� �����������;� ����� ��� �������� ��� ������� �� ��! ��� ���� ����� �� ��� �������� �� ���������� � �����!�� ��� ���� � ������� ����� ����� ��� ����� ��� ������ � ������ ��� ��� ������ ��� �� � ����� ��� ����� ��� ���� �� ��� ���� ���� � ��� ���� ���� ���� ���������! 6����� �� ����������;� ����� � ��� ���� ��� ������� ���� � �� � ����� ���� ��� ��� ����! ��� �� ���� ����� � ��� �������� ���� � ��� ��� �����

��� ����������� ������ � �� ��������� �� �������� ������� �������� � ��� ��� ���! ��� ���� ������� ������� ������ ��� ��� � ����� �� ��� �� � ��� ������ �� �� ��� ��� ����� ����� ������! �� ���� �� �� ������� �� ������� ������ ���� ��� ���� ������ ����������� )45! 53! 54! A3! .7! 78,� =�������! �� ��! ��� ��� ����������� ���� ���� ��� ��� ����'��� ��� �������� ��� ����������� ������ ��� ��� ������� ���� ����� �� �� �� � ����� ���� � ����� ������� ����������� ��� ����������� � ��� �������� ����� �� ������

3*#�

2������� ���� � ��� ���� �� ������ ��� ����� � ����� ��� ��� ����������� �� -����������� � ��� )7*%74,�

q2i,j+1 q1i+1,j

q2i,j

q1i,j

i,j

���� . / ��� � �� �� � ���� )0�+�

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# ��

Page 10: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

# ����� ��� ! � �����( �0����� ��� ���� �� �� ����� ����������� ���� � ��� ��������� ��� � ��������� ��� �������� � ����$��� �� ��� ���� � ��� ���� � � ��� ��� ����!���� �������� ���� ��� �� ��� �������� �� ��� ���� ��

��� ������ �� ��� ������!����� � �������� � ��� �� ��0��� ������ ��� �� ��� ����

� ������!���� ������������ ����!��� ������"���� � ����� �� �������!���� ������� ���������� � �93 � ��� ��0��� ������

# -�����������;� ��� ! ��� ����������� � ��� ��� ������� ��� ������� �� � ����� ������� ��� ���� �� �������

������ �

&� ��! ���� � ��� �������� ������ ���� � ���� ������� ������ ���� ����� ������� �� ������� ���� � ��������� ����� �� � �������� ����� � � ����� ����� ����� ���� �� ���� ��� ����������� �� ����������� ������������ � ��� ��� ����� -����������! ��� ��� �������� ���������� ������ ���� ����! �� � �������� �������� ��� ������ ��� �����! ���� ��� �������� - ����� ���� �� ����������� �� ��� ���� ������ ���� �������� ��� ��������� ����� ����� ����� �� ���� �� �������� ��� ��������� � � � ����� �������� ��� ���� �� ����� � ������ ����������� ���� ������ ��� �����( �������� ���� �������� ������ ������ �� � ����� � ��� ��������0������� &�� ��� ������� ������ �� ���� �� ��� ����� ������ ���� � ��� ������ ��� ������� ���� � ������������� �� ������ ��� ������������� �� ����� � ��� ������������ ����������� � ���� ���� �� ��� ������ ��������� ������� ���� �� �� ��������� ��� �������� � � �������������� �� ��� �� �� � ��� ���� ����� � �� ��� ������������ ������ ������ �� ���� � ��� ������ -���! ��� ������������� ����� ���� �� �� ������ ���� ������ �� ����� ��� ��� ������� �� � ��� �� ��� ����� ������ ����������������

'�'�: (���� 300���� .�&�� �(3!

�&����� #��� ����

���� � ��� � ������ ��� ��� ������ �� ��� ������������ � ���� ������� �� �� � ����� ������ � ��� �������� �����! ������� � ��� ������! ���� ��� ������������ ��� ������� �����! �� 9��� ������������ ��� �� ������������ ���� �� � ��� ��� ������ �� ������� ������ -���� ������ ����� ���� � ������ ���� ���� �� ������� �������� ������� �� �� � ��� ��� ������ �� ������������� ���� ����� ������� ��� ��� ������ ��� ���� ����� � ��� � ���� ��� ������� �����! ���� ��� � ��� �� �� ���������� ���� ��! �� ������ � ��� ��� ����������� �� ��� ������� ������ =������! ��� ������ ����� ���� ����� �������� � � ��� ��� ��������� =� �! ��� � �� � ��������� ��������� �� � ��� �� ������ � ��� �� � � ��� ����������� � ��� ��� ��� � ������� ������������

��� �������� ������� � ��� ���� ������ ����� ���������� ������� �� ������ ������ ������ � � ������������� ��� &������(���� �0������ � �� �������$

�$�$� �"

�7

$,7�$7,

/3�00�7

�-��*�

��� ��� ������� ��� ���! ����� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ������ �����$ ����� �� �������� ��������! ���&������(���� �0������ �� ��� )3?,$

�$)�(3

�$� �"+

/3�00)��3

$)�(3�*� �� � �

�-��3�

=��� + � ��3# � ,�3 �(! � �� ��� ����� ������! �� # �� ���

������� ������ ��� �� ������ � � ���� �� ��� ����� ������ ��� �� ��� � ��� ��������

# �������� �� ������� �� �� �����! 10� �-��3� � ����������� � ���� ��� ������ ����� �� �����$

$)�(3� ��$$�(#3 �

�*��� ��� �*� ���"+�(3

/3�00)��3

��

��� �

*�� �-��4�

=���! �(3 �� ��� ��� ��� � ��� ���� ������ ������$)�(3� �� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� ����� � ��������� ���� ������ ����� �� ��� ������� �����! �����$)�(#3 �� ��� ���� �� ��� �� ��� ����� � ������ ������� ��� ���� �� ��� ������ ������ # ��� ��� �&������ � ���! ����� �� ������� �� �� � ����� ��� � ��������� �����! �� $)�(#3 �� �0��� �� ��� ����� ���� �� ���� � ��� ���� ��� ����! $)�(#! ��� � �� ���������� 10� �-��3�� - ������� ������������ ������ � ������ ���� � ����� ������� )5*%55! 5A! A5,�

- 6���� ������ ���� �� ��������� ����� ��10� �-��*� �� � ��� �� ��� ����� ��� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��������� )4*! ?*,$

�$�$� �"

�7

$,7�$7,

/3�00�7

� �",/3�

�-��5�

�����! 3�

! ��� 6���� ������ ��� ��� �� ������������� ��� ����� � � ��� ������� ���� ������ ���� �� ��� ���������� ���� ��� � ��� ���� ���� ����$

3� � ���

.�"�*)

��-��?�

# ���� ����������� ������! ������������� )37! 4A!4., �� ��������������� ).! 5+%57, �0������ � ��������-��+�! ����� �-��.�! �� ��� ��� ���� ���� � �-��7� ������� ������� ���� ����� ���� �� ��� ������ ������$���� �� �0 ��� �� &1

���� � �� ��2� �-��A�

���� �� �0 �� ��1

���2� � �� ��22� � �/� ���2� � �

���

2 �-��+�

�����

� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 11: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

���� �� �0 ���� ������� 0�� ������ 1

��$� � �� �$2� � �3�00

$� � )��3 �-��.�

# ��� ������������ ����� )37! 57,! ��� �0����� ������ ���� � �� �(������� ��$

�����"(#�

� �� ����"(#2� � ���"(#� �-��7�

>��� ���� � 10� �-��+�! � ���� ��� ��� ����� �� � ����� ��� ���� �� � �(����� �� ��� ���� � ��� ����� ���� ����� �� # ��� ������������ �� ���� �����! ��� ���� ���� ����� ���� �� ����� ���� ��� ������ �� ��� ��� ���� � �-��+� � �� ���� ���! �� ��� �0����� � ����� �-��+� ���� ������ �� �� ��� �;� ��� ���� ������ ����� ������� )4.! 57,

/ � � ���

2 �-��*8�

10�� �-��A�%�-��7� � �� ������ �������� �� ����� �������������� � ��� ��� � ������� �� ������������ >������� ��� �� ���� ������ ��� ���! 3�00

! �� ���� �����3�00

���� �� ������� �� ��� �������� ������ ��� ���������� ��� @������� ���������$

3�00 � 3�

� �-��**�

=���! � �� ��� ��������! �� " �� ��� ����������! ��� � ����� ������� �� �� *�?�

��� ������� ����� � 10�� �-��A�%�-��7� �� ���� ������� 3���� % H 8 �� ) ��� ��� ���� ����� � ��� ��� ������! �� �! ��� �������� ������� ��� ���� ����� -� �������� � ������ ��� ���� ������ ����� �� ��� ������������ �$ H ��! ��� ��( � ������� �� ������� �� ��� ����������� ������� �������;� ���! ����� ��� ����� ��( �� �������� �� ��� ��� ���������� ���� �� �� -� ��� ������������ ��� ��� ��� ��� �� ��� ������ �����! ��� ���������� ��� ��� � ������� ��� ������� �� �� ��� ���� ������� ���� � ��� ��� ����� -� $ H 8 �� ()* � % � )3 ! �������� ������ ����� ��� �� ��� ��� � ��� ��� �����! ��� ��(��� ��� $ ���� ��� ��� ������� �� �� "���� #� � �� ��� ������� �� � � ��� ��� ��"� � �� � ��������� ��� ��� ������������ ��� ������� ������� )43,�

�������� ����! ��� �������� � ����� ����� � ���� ��� ��������� ��� � ��� ���� ������ ������ =������! ������������ ��� � ��� ���� ������ ����� �� �� ���������� �������� �� ��� ��������� ��� � ��� ������ ����� ��������� � ��������� ��� � ��� ������ ����� ���� �� ��������� � ��� �� ��� � ��� ������ ������ ������

��� � *�� �����! ��� 9��� ������������ � ��� ���� ������� ����� � �� �� ������ �� 9��;� ���$

�� �� ��00

�$ �-��*3�

=��� �00� �� ��� �� ���� ��� ������ � ��� ������ �����!

��� � �� ������� �� ��� ��� ������ � � �������� �������� )34,$

�00� � �*�?� �-��*4�

��� 3�� �� 4�� ������! 10� �-��*3� � �� �������������������� �� ���� � ��� �� ��� ����� � ����� ������ I�

3*#�

��� &������(���� �0������ ���� �� ��� ������� ��� ��� ���� ���� ��� ������� �� �������� ��� ���� ����������� � ��� ����� ����� � ��� )?., ��������� � ������������� ����� �� � ����� �� ����� 6��� ��� � � ��� )44! ??,�(����� ����� ������� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����� ���� ��0��� �� ����� # ��� ����� ������! ��� �� �������� ��������� =������! � ��� ����! ��������� ����(���� ���� � ���� ���� � �������� ������� �� � ������ ���� ����� ��� � ��3! �� ���������� �� �������� ������ �� �������� - ����������� ��������� ����� ������ ��������� �� C�� �� C�� )58, �� ��� ��0��� ������� # ����� �����! ��� �0����� � ������� �-��A� ������! �� ��� �0����� � ����� �-��+� �� ����$

2 � � ����/� �� �

����*)

��#

�-��*5�

=���! ���� ��� �� �� ��� �� ��� �� �� � � ���������������! �������! �� ��� ���������� ����� ���� �� ��� �������� ��� ���� ��� �0����� � ��� ��� ��������� ��$

�������

� �����2�� � ���3���00��

� �3��00� �

���� � �

�7� � )���4�����3 �-��*?�

>��� ���� 10� �-��*?� �� ������� �� 10� ����A�! ��� � ������ ���� �� �������� ��������� ��� � ��� ������ ��� ����� � ������� ��� ���� )4+,� ��� ���� �0���������� ����*8�%����*5�� � �� ���� �� �� ����� ��� ���� ��� ���� ��� � ��� ��� �! �������� ���������� ��� �� �

�! ��������

�������������� ���� �� �

� �! ��������������� ��( �7��! �� ���������� ����� ���� ����� 2��� 2 � ��� �� ���� ��� ���� � �� �� ������ ��$

3���00 � 3������ �-��*A�

3��00 � 3 ���*� �� � �-��*+�

��� ���������� �"� ��� ������� �� �� ���� ������ � 10� �-��*+� ��� ���� ��� ������ � ��0��� ���������$

� ������3

����3�

�������� ��3����3

�������3��

��3� �-��*.�

# C�� �� C��;� ��� ! ��� ��� ����� �� ��� ���� ���������� �� �� ��������� ���� ����� �� �������! �� �����0��� ����� ��� ������� �� �� ��������� ���� ��3� ���������! ��� ��� ����� � ������� � ��� ����� ��� ��� �� �����3 � ��� ��0��� ����� � �� �� ������ ������� ������������ �0��������� �������������

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# �"

Page 12: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

������ � ���;� ���� ����� ������� ��������� �������� ���� �������� � ��� ������ ����� )*87,� ��� ��������� ��� ��� ��������� �0������ ��� ���������� ��� ������ 10�� �-��*5� �� �-��*?�� 9� �� ����� �! �������! ����� � ����� ��� � ���������! �! ��� � �� �������� ������ � ����� �� �������� �� ��� ��� �������� ������������!��! �� � � ��� � ���������! �! ��� � � ��� �� ������� � �������� ��������! ��! ����� �� ��� ������� �0�����$

�� � �� �) �-��*7�

�����! � �� ��� ����� �������� �� �� �� ��� ����� ���������# ������ ;� ��� ! ���� ������ ������ ��� ��0��� �� ������ ����� �� ������� �� ��� ���� � �������� �� �����������! ��� � �� ����������� �� ��� ������ ���� � ���� ��������������

������ �

- ����� � ������� ���� ��� ������� �� ��� ���� ������� ����� � ���� ��� ������� ��� ��� �� ��� �����-��� ����! ��� ��������� ��� ����� ��������� �� C���� C�� )?8, �� ��� ����! ��� � ���� ���� �� ������� ����� ���� ������ ����� � ��� ������� ��� ���! ����������������� ��� �� �� � ��E�� � �� �����

'�'�; �� ���� 300���� .�&�� ��3!

�&����� #��� ����

��� ������ ������ ����� ��� � ���� ������� �� ������ ��� ���� ������ ������ #� ������� ���� � ��� ������� ��� ������� ����� �� ��� ������! �� �������� ����(��� ������������ C���� �� �������� � ��� ������ ����������� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� �� ���������� ������ ���� ���� ������� ��� ������� �� ��� ���������� ����� B��� ����� �������! ��0��� ����� � ��� ��� ������� ���� � ��� ������ ���� � �(���� ��������! ������������ ����� � ���� �������� ���� � ��� ������ ����������� ��� �� ���� � ��� ���� �����

��� ������������ &������(���� �0������ ���� ����� ���� ��� ��� �������� � ��� ���� ������ ����� �������� ��� ������� �� ��� ������ ���� �� &������ � ��� )3?!5*! A5,$

�$�3 ��3

�$��"+

/

$�3 ��3�*����8�?$)��3

3�00)��3

�*�$�3 ��3�$)��3

3�00)�,3

��

������*�

�$)��3

�$�

�"+/

�*�$�3 ��3�$)��3��*���3�00

)�,3

�$�3 ��3�*����8�?$)��3

3�00�3 �,3

��

�� ����3�

��� ������� ������� ���$

$�3 ��3# � $�3 ��# � $)��3# � $)��# ����4�

- ������� ������ � ��� ��� ���� �� ����� ������ ���� )34!35! 53%55! 5A! A*,� @������ �� ��������� )34, ������� ������� ����� ����� �� ���������� =� �! ��� �� �0����� ������� �� �������� ��� ��� ������ ���� ��������� �� ����� ����� ��� ��� ������ ��� �� �� ���� ��������� �����������

# ���� ������! ��� ������ ����� ��� ��� �������� ���� �������� �� ����������! �� ���� ����"�� �� � ������������� �� ����������� - ������ ����� ��� ��������� ��D���� � ��� �� � ��� �� ��� ���� ��������� ������������ � ��� ������ ����� )A*,� # ����� �����! ��� ����������� ��� ���������� �� � ������ � �������� ����������! ��� ����� ����� �� ������ ���������� �� ������������� =�������! ����� �� � ����� � ���� ���� �������� �� � �������

������������� )3A%43! 4A, �� ��������������� ).! 4.!5?! 5+%57, ������ ���� ��� ��������� �� ���� ��� �0������� � ������� �-��A�! ����� �-��+�! ���� ���� ��-��.�! �� ����� ���� � �-��7�� >���� � ��� )3A! 3+, ����������� ��� ������ ������ ����� ������ ���� ��� �������������� ��� ��� ������ ��� �������� �� ����� ������ ���� ������������� �� �������� ��� ����� ��� ����� ������ 3 ��� �� ���� #� � �� ��� ���� ��� ����� � ���� ���� ������� �������� -� ��� �������! $ H 8 ��)3 � % � )! �� �� ��� ���� �� ��� ������ ����� � ��� ��������� ��� ����! ��� ��� ������ �� ��� �� ���� � �������������� ��� ����� # ��� ������ ���! ��� �������� ��� ���� ���� �� ��� ������ ��������! �� ����� � ��� ��� ��� � ������� ���� ������� �� �� "���� &������ ��� ������ ��� �� 6�"�� � ��� )48,�

��� ������� � ��������� ��� � ��� ������ ����������� ��� �� ����� ���� ������� ��� � ��� ���� ������������ C��;� ��������� ��� ����� �� ��� ������ ��� ���� �� �������� �(����� �� ��� ������ ����������� �� ����� �������� )4+,� 10� ����A� �� ����$

�������

� ������2�� � ���3���

� ����3��� � �*� ���3�

� ��3��

� �

����� � �

�7� � )��3 � ���,3 ����5�

10�� ����+�%����*4� � �� ������� � ��� ���� �����!����� 10�� ����*5� �� ����*?� �� ���$

��� 2� � 7� � ����2 ����?�

��2 � �7� � ���2 ����A�

- ������ ������ � ��� ���� �� =� � ��� )3+,� ��� �������� � ������� �� ��� ���� ��� � ��� ��������� ��(�������� �� ����� #����� ��� �0����� � ������� ��� ��������� ��� ��� ������$

8 � �8�*� ���2 � �) ����+�

8 � �8���2� � �) ����.�

�����

�# 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 13: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

=���! �) �� ��� ���������� ����������� ���� � ����� �� �������� �� ����������!

�) � �2��8�*���

*)�$)/� /��

) ��)�

��2�8��)*)

�$)/� /�� ) ��*� �)� ����7�

�����! ��2 �� �2� ��� ��� ���������� �� �������� ���� ������� �) �� � ���� �! ��� � �0���� * ��� $)/ � /��

) !�� 8 ��� $)/ � /��

) ���� �;� ��� �� ��� �0������ � ���� ���� � ����

������� �� ��� ��� ������ ��� ��� ��0��� �����! ��� �0����� ������ �� ����$

2� � 0�2 �3��� ����*8�

0� �� � ����� ����� ��� ���� ��� ���$

0� ����

��� ����**�

3�� �� ����� �� ��� �������� ������ ��� ���$

3�� ���

���

�/��

������*3�

# =�;� ��� ! 0� �� 3�� ���� ���� ������� �� �� ������0� ��� �� � �� 8�88? ����� 3�� ��� � ����� � *�8� *8�.�3

�%*� ���� ��������� �� �������� ��������� �� � ����������� ���� ������������� ��� ����� ����� ��� ����� �������� ��� �� �� �� ��� ���! �� ��0��� ���������! �! ������� ������ 8�* �� =�;� ����� # � ����� �����! ��� � ��������� � ��� ��� ���� � �������� ��� ���� )3.,! �� ���/��

������ ���� �� � ���� � ��0��� ����������

# ���������� ������ ������! ��� ��0��� ����� ��� ������� �������� �������� ��� ���� ���� ��� �������� �� ��� �������� ��� ������� �� ��� ��0��� ����� ���� ������� ������� ���������� )?*! ?3,� 9� �(����� �� ���� ����$

� � �8*� � $)

$��)��

� �$��

) ���

)��

*�������

�� �8 � *� �� � ��� ����*4�

�� �� ��� ��� ��� ������ �� ���� � ��� ���������� ����� �������� � ��� ������ ������ ����� ������ ������ � � ����� ��� ���� ��� � ��� ������ ���� � �(���! ��� ����� ���� �� �� ����� ��� ���� ��� � � ��������� ������

3*#�

# ��� ������ ������ ����� � ��� ����! � ������� ����� �(�� ��� ��� ��� �� � �� �����! �(���! �� ������!��3 ��� ���� �� ����� �� ��� �� ��� ��� ��� � ����������������� #� �� ������� ������� ���� ��� ��������� ����������� �� ������ ��������� � ��� ������� ������ ��������!����� �� � ������� � ��� ������ ������ ������ ����� � ��� )?., ������� ��� ���� �0������ �� ����� ���� �� ��� ������������ � ��� ���� ������ ����� �� ��� ������ ������

������ 6��� ��� � � ��� )44! ??, �(����� ����� ����� �� ���������� ��� ��� �� ��� ����� C�� �� C��;� )58, ������� ��������� ��� � ��� ���������� �������� ���� ��������� ��� ������ ������ ������ ��� ������ � ��0��� ��������� ���� ������ ������� �� ���������� 10� ����7�!��� ���� ������ ��� ������� � ��������� ��� � ��� ������ ��� ����� � ��� ������� ��� ���� # C�� �� C��;� ��� ! ����� ������� ���� ��� ����� ����� �� ��������� �� �(����� ��3 ��� �������� � ��� ������ ����� # ������ � ���;���� ! ��� ������ ������ ����� �� ������� ���� ��� ������� � �0������ �� ���� �� ��� ���� ������ ������

������ �

#� � �� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ��� ���������� ���������� &� ��! ��� ������ ���� ������� ����� ������������ ������ �! ��� � ���� ����"�� ��� ������� ����� �� � ���������� ������ ������ ���� � ������������� �� ����������� 9� ��� �(�� � ���� ��� �(��� ������� ���� ����� �� �� ��� �� ��� �� ������� ���� � ��������� ������ �����! �� � �� ��� ����������� � ����! ������"� �� ��� �����������! �� ��� ��� ����� ��� � ����� ������� �� �������� ������� � ����� ������� # �������! ��������� ���������� ��� � � ��� � ��� ��� ����� �� ���������� =������! ��������� �� ��� �� ��� ��� ����� ����� ��� ����� ���� ������ ���� � ����� ����� � � �� ������������ -���! �� �� ���� ��� ��� �� ����� �(�������� �� ����������� ��� �������� ��� ��� � ����� ������ � ��� ����������� �� �������� ��� �� ��� ��� ������ ���� ����

'�'�< (���� �� ��&� .�&�� �(�!

�&����� #��� ����

��� ���� ������� ����� �� � ������ ������ ������� � ������� �����! ���� �����! ��� � ������� ��� �������! �������� ����� �������� �����! �� � ��� �������! ��� ������� �� � ����� ��� ���� ���� ������ ������� ��� ������� ��� ������� ���� � ����� ��� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� �� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ��� ������� ��� ������� ����� �� ���� �����! ����� ��� ������ ��� ����������� ������� ��� ��� ������� �� ��� �������� ��� ��� ���� ����� � ��� ���� ���� � ��� ������� ��� ��� ��$

�3 � 3�� � 3�� �-��*�

��� �������� ��� ��� � �� ��� ����� �� ��� ���� �0������� �� ���� �� ��� ���� ������ ����� ��-��A�%�-��7������ � ��������� ���� � ���� ).! 35! 37! 4A! 5?,$

���� �� �0 ��� �� &1

���� � �� ��2� �

�*)�3�*))��7�3#

�-��3�

���� �� �0 �� ��1

���2� � �� ��22�

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# �$

Page 14: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��/� ���2� � ����

2� ��

��%0 �0 #� �-��4�

���� �� �0 ���� ������� 0�� ������ +1

��$�3

� � �� �$�3

2� � �3�00�3$�3

� � 7�3#� �

��$)

� � �� �$)2� � �3�00

) $)� ��7�3#� �

�-��5�

=���! 7� �� ��� ������ ����� ������ �� ��� ����� � ����� ��� ���� ���� ������������ � ��� ������� ��� ��������� � �� ��� ����� ���� � ������� � ��� ����� %0 �� �0 ��� ��� ����� �� � ������� � ��� �(�� ����� ����� � ��� ��� ��������! ����� ������� � �� ��� �������� � ��� ��� ������������� ��� ���� ���� � 10� �-��4� � ���� �� ��� ��� ����� �� ��� ��� ��� �������� ��������

-�����! ������� ������ � �� �� ����� ��� ������� ����� ��� ������� ��� ����� � ������ ��� ������ ����� ����� ������� )3?! 45! 5A%57! A?,� ��� ���� � ���� �� ��������� � ������� ������$

,�3 �(� � ��3# �-��?�

���� ������� ���� �� ����� ���� �� � ��� ������� �� �� ������ ��� ��� ������ ����� �� ������� ����� ����! ������ ��� � ��� ������� ����� �� *G48 � ��� ������ �������

��� ������ ����� ������ � �� ����� �� ��� @������������ �(������� )35! 37! 5?! 57! A?,$

7� � (�6 ���08��

��3���0�3

��

��*�3

������#�"

��� � �������#�"

���� �

�-��A�

=���! (�6 �� ��� �� ���� ������� ���� ��� ��� ������! ���� �� ��� ��� ���� �� ������ ������ ��� ���! �� ����� ���� ���� ������������ �� ��� ��� ��� ���� �� ��� ������� ���� ���� �(������ ��� ��� ���� ���� � �� � ��� ������������� ������� �� ��� ������! ���� � ����� ���� �����0����� � �� ���� )43,$

7� � (�6 ���08

��3���0

�3

��

��

*�3

�������#�"

��

� ��-��+�

# ��� �������! ��� ���� ���� ������������ ��� ��� ��������� ������ )3?! 45! 5A%5.,�

# B� � ���;� )4A, �� @������ �� ���������;� )35, �������! ��3

� 10� �-��A� �� ��� � ������� � ��� ��� ������������� #� ��� ������� �� ��� ��� ����� � ������� �� �������� � ������ ��� ������ ����� �� ��� ������� ������������ =���;� ���� -���! � ����� ��� ������! ��� �0������ ���� ���� � �-��5� ��� ������� �� ��� ��� ������� ��������� ��� ����� ������ )37! 5?! 57, ������� ���� ��� ��� ���� ���� �� ��� ��� � ���� �� ��� ����� � ������ ��� ��������� ��� ���� �� ��� ������� ���� �� ��������! ��3

� 10��-��A� ��������� ��� � ������� � ��� ��� ����� �� ��� � ������� ����� � �-��A� � �� ����� �� �� ������ �������� ���� �� ��� �� � ������� �������� ������

# ��� ������ ������� �����! �� ��� ������� ���� ��� ������� ����� �� � ��������� ��(���� ������� � ��� �������$ ��� ������ ������ ������� ��� � ��� ��������� � ��� ���� �� ����� �� �� �� ��� �' ��� ��� ������� ���� ��� �� ������' ��� ��� ��� ���� ��� ���� ������ ���� ��� �� ��� ����' �� ��� ������� ����� ��� ��� ��� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �� # ����� ������! ��� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ����� � ������ ��� ������ ����� �� ��� ������� ����� ������� ������� ����� ������� ��� ��� ������������ )35! 4A, �� ��� ����� )37! 5?! 57,� ��� �� �� � ��� ������� ���� ���� ���� �� � ��� � ��� ������� ��� �� ���������� ��� ���! ��� � �� � � ��� � ��������� -� �������! ��� �������� ���������� ���� �������� � ��� � ���� ��� ����� ������� ������ -���������� ������ ������� A����� �������� �� ����� ������ ���������� �� � �� ��� ��� ����� )AA%A.,�

��� ������� ����� ��� ������� �� ���� ����� ������������� ������� � ����! ������� �����! �� ��� �������!��� � ���� ��������� �� ��� ������ ��� ��� ���� ��� ��������� ����� ����� ���� ������� ��� ��� �����! ���������� ��� ��� ������� �� ��� � ��� ������� ������ -������� ��� ��� ����� �������� �� @����� � ��� )A7%+*, ����������� ��� ������� ����� ��� ��� ����������� ������� � ��(�������� �� �� ��������������� ����� � ������ �� ����� �������� ��� ��� ������� ������� +��

��� ��������� � @����� � ��� )+*, ������ ���� ��� ��������� ���������� ����� ������ ����������� ��� ������ ����� �������� ������� �� ��� ������ �� �� ��� ������ �� ������ =������! ��� ��� ��� ��� ���� � ��� ���! ����� ��� ��� ����� �� ���� ���� ���������� �� ���� ����� �� �������� ���������� ���� ����� �� �� �� � ��� ��� ���� ���� �� ��� ��� �����

��� 9��� ������������ � ��� ������� ����� � �� �������� ��� 9��;� ���$

3

2 41

���� * ���� ��� �� � � �� �������� ����� �� ������� � ����� !� ����� ���� �� $ �� %� ����

�����

�% 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 15: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��00� �� � � �7� �-��.�

=��� �00� �� ��� �� ���� ��� ������ � ��� ������� ������

3*#�

��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� ��� ���� ����� ����� ��$

��4�� ��3�� ��3 � A�� � A��

��� ������ ������ ������ ��� ��� � ���� ����� ����� �� ����� � ���� � ���� �� ��� ���� ���� � �0������� ���� �� ��� ������ ����� )44! 58! ??,$

�������

� �����2�� � ��3���00�� � �3��00�

� �-��7�

=���! ��� 4 �� ��� ���� �������� ��� ��� � ��� ��� ���� ������ ����� ������ 7� � �� ����� �������$

7� � (�6 ���08��

���4��

���0��4��

��

��

�)���0)

� ��

������#�"

�� � �-��*8�

��� ��� ��������� ���������� � �� � ���� ��� ������������� ������ �� ������� ������ ����� ����� � ��� )?.,������� ���� � �� � ���� *! ����� � H * �� � H 8 � ��� ��� � 6��� ��� � � ��� )44! ??,� C�� �� C�� )58, ����������� ������� �(������ �� � "��������� ��� ��� ��� ��� � ������� � ������� ��� ������� ��� 8�* �� ��������!���� � �� � ���� "��� � ����� ������

- ���������� ��� ��� �� ����� ��� ������� �� ��� ������� �(������ � ������� �� ��� ���������������� ��������� &���� ��� � ��� )?+,$

�<*� 4/ � ��4�� ���� / 4 ��� � 4�� � 4�

�<3� 4����3� ���� 4�� �� � 4�� � 4�

�<4�/ 4 ��� � 3�� �� ���� ���� ��3�� 3/ � 3��

�<5� / ���� � �� �� ���� ��3 ��3�� / � ��

#� �� �������� ���� ��� ���� ���� �� ��� �������������� �����&���� ��� � ��� ������ ���� � �������� ��� ���������� ��� ���� ������� �����! �� ����$

����4���(�

� � �.4(�

6��(�����4���(# � ���4���(���

(�6��(�

,���4�� �

(�6��(�

�* �-��**�

����3 �(�

� � �.4(�

6��(�����3 �(# � ���3 �(�� �

(�6��(�

�* �-��*3�

��� ������ �� ������� �� ���� ���� � 10� �-��*A�! ��� � ��������� �� ��� ���� ��� �����

- ����������� ����� ��� ��������� �� @�(��� � ��� �� ������� ������� ����� � ��� ���� )+3,� -� ���� � ������ .!��� ������� ����� �� ������( ������ �� ������ ���� � ���������� ������� ���� ������ � � ������ ���� ������� ������

��� ���� ����� ��� ����� ���� � ������� �� ����� �������� ���0��� ������� ��� ��� ���� �������� �� ������ ������������ ��� ��� ����� � ��� &= ���� ���! �� ��� ���� � ���� �����( �����! ����� ��� ��� � ���� ��� ������ ������ �� ��� ���������� ������� ��� ��� �����! � ��� $����� ����! �� ��� ��������

# ��� �� �� ����� �� ������ � ���! ��� ���� ��� ��� ��������� ��� � �� ���� ��� ��� �� ����� ������ � ��� 5����� ��� ��� �� ����� ���� �� C�� �� C��� -�����

2 31

���� 1 2���� � ��3� ������ ������ ��� � �� � � �� �������� ����� �� �������� � ����� !� �������� ����� �� ����

y’

4

2

3 51

���� 0 &���$��� �� � � �� �� � �������� ���� �� �� ����� �� �������� � ����� !� �������� ����4 ����� �� ���� ��� �� ����� %� ��,���$ � ����� .� ����

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# �&

Page 16: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

������ � ����� ����� �� ��� ����� � � ��� � ����� ��� ��� �� ��� �� � ������� ����� ��������� �� � ��������� � ��� ���� #� �� �� ���� ��� ��� ������� ��� ����� ������� ���������� ���� ��������

������ �

C�� ������� ��� ���� ������� �����! 0������� ������� �� ��� ��0�������� � ��� �� ��� ��� ����� ������ -����� �� ��� ��� ����� ���� �� ������ ��� �������� ����������� � ��� ������ ������� �����! ��� � ������ � � ��(����� � ��� ������ ����� ��� ��� � ������� �����! ���������! ������� �����! �� ��� ��������! �� ��� ��G�� ��0���������� ��� ����� ��� �� ������� ���� � ��� ������� ������� �(�� ��� �� ���� � ���������� �� � � ��� ���� �� ����� ������ ����� # ������� ��� ����! ��� ���� �(��������� ���� �! �� � ��� ���� �� ����� ������ �� ��� ������ �� ����� ��� �� ������ )+*,! � ��� ����� ���! ��� ������������� � ��� ���� ���� �� �� � ���� ��� ���� � ��� ������� ����! �� �� � �������� �� ������ ���� ��� �����(���� � �� ��� ��� ����� �� �� E�������� ��� �����! ��� ������������� � ��� ���� ���� ��� �� ������� �������� ������� �� � �� ��� �� ��� ��� ����� ����� � @�(��� � ��� )+3, ����� *8����� ��� ��� ����� � ������ � ��� )*87, ����� ������������ =������! �� � ������ ������� ��� ���� ����� ����������� �� � ����� ��������� ���� ������� �� ���������� �� ������������� ������� -���! �� �� ��� ��� ���������� � �������� �� ��� ��� ����� ���� ��� ��������(��������

'�'�> �� ���� �� ��&� .�&�� ���!

�&����� #��� ����

��� ������ ������� ����� ��� � ������ ���� ���� ������� ������ � ��� ���� ������� ������ ��� ������ ���������� ������ ���� �� ������� ��� ������� ��� � ���� ��� �(����������� ������� ��� ������ ������ �����$

5�� ��3 � 5�� � 3�3�

��� ������� ���� �� ��������� � �������� ��� ����� ���� ���� ������� ����� � �� ������� �� ��� ������ ������������� ��� �0������ � �������! �����! �� ��� ��� ������� ���� �� ��� ����� ��! �( ��� ���� ��� ���� � ����� ��� ���� �� ������� ��� ���� � ����� ��� ����� � ��� <=&� 10�� �-��3� �� �-��5� ).! 34! 35! 37! 4*! 4A! 5?! ?*! A*,� ����0����� � ������� �� ����$

���� � �� ��2� �

8�?*)�3�*))�*���

7�

3#����*�

&�� ��� ���� � �0������ ���$

��$�3

� � �� �$�3

2� � �3�00�3$�3

� � 7�5#� �

��$)� � �� �$)2� � �3�00

) $)� ��*���7�3#� �

����3�

-������� �� ��� ������ ���� ��� ���� �������� � ��� ���� ��� ������ �� ������� ������ ��� � �� ��� �� �������! �������� ��� �� ���� �� ��� ����� �������� ������ ����� ��� � �� � ��� �������� �������� ����������� - �������! � ��� ���� ���� �� � ����� � ��� ���� ��� ���� � �0����� ����3��

��� ������ ������� ����� � ���� �� ������� �� � �������� ��� �����! ����� ��� ���� � ����� ����� �� ������� ������� �� ��� ��� ��� ��( )3?%3.! 48! 43! 45! 4+! 5A! 5+!57,�

��� ������ ����� ������! 7�! � �� ����� �� ��� @������������� �(������� )34! 35! 37! 5?! 57! ?*,$

7� � (�6 ���08��

��3���0�3

������#�"

��� � �������#�"

���� �

����4�

�����! ���� ��� ������ ���� ������������� ��� ������ ��� �

��� ��� ���������� ���� ���� �! �� ��� ���� ���� � ���<=& � 10� ����4� � �� ���� ���� =� � 10� ����4��� ���� ��� ���� �0����� )3?%3.! 48%43! 45! 4A! 5A%5.! A*,$

7� � �(�6 ���08��

��3���0�3

�������#�"

��� ����5�

C���� �������� �� ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� �� �������! �������� ��� ��� ���� ������� ��� ������� ����� ���������� ����! �������� � ��������� ��� � ��� ������� ����� ��� ����� � � � ����� ����� � ����� ��� ��� �������� � ��� ������ ����� �� ������� �����! �� ���� � ������� � �(��� ������ �� ��� ������� ����� �� ���� �� ����������� �� ����� ������� ��� ��������� ����� ���������� �� C�� � ��� )4+, �� ��� ������ ��� ���� �� ������� ����� ��� ��� �(����� �� ��� ������� ����� �� J���� :�� )+4,� ������� � ���� ����� ���� ��� ����� � �� ���3�3�? � ��� ������ ������ ������ :� �� ���� ��� )?4! +5,���� ���� ������� ��� ������ �������� # ����� ����� ��� )?4,! ��� ������ ������� ����� ��� ������� �� �� ����������! ���� ���� ��� � ��������� ����� ���� � ��(���� ���0��� ����� �� ��� �������� �� ��� � ��� ������! �(������� ���� ����� ������� � ��0��� ����� �����! �� ���������� � ��� ������� ������� ������ ��� ������� �(��������� ��� ��� �� �����(������ ���� � ������ ������� ������� ��������! ��� ������� �(��� ������ ��� ���!3�3

! � �� ������� ���$

.)�.�3�3

� .)3)��3

� .�3�3 ��

����?�

=���! .) �� .� ��� ��� ��� ��� � ��� ��0��� ����� ������� ��� �������! ����� ������� # ����� ��� )+5,! @�� �� �� :� ������� ��� �� � � �������� ������� � ����� �������� ��� ����� � ��� ������� ����� ��� ����� ���� ��� ��� ��(�����! ��0��� �����! �� �������� - ������� �(��� ������� ��� ���! 3�3

! ��� �� ������ ���$

*3�3

� �"�3

�*��)����3��3

� �)3)��3

� ��3���3

����A�

�����! �) �� �� ��� ��� ������ �� ��� � ��0��� ����� ���������� ��3

�� ��� =���;� ��� ����� �� �(��� �

�����

�' 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 17: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

������ �)! ��� � ����� ���� ��� ������ � ������! ������� �� � ��E������� ��������� �� �� ��� �(��������� �����

��� �� ��� ��� ������ ��� ����� � �� ��� 3�3�A! ��� ������ ��� ���� ������� ����� )AA%+*,! � ���� �� ������� �� ��� ������ ����� =������! ��� ����� � @����� � ��� )+*, ���������� ���� ������ � �� �� ��0����� �� ���� ��� �� �������������� ����� ������ ����� ���� ��� �� ���� ���� � � ��� ������ �����

3*#�

# ������� �� ��� ���� ��� � �(���! ��� �(���"���� �������� ���� � ��� �� ��� ������ ���� � ��� ���� ��� ��������� ���������$

5�� ��3 � 5�� � 3�3� �<�*�

��4�� ��3�� ��3 � A�� � A�� �<�3�

��� ���� � ���� � 10� �-��7� �� ����$������

� � �����2�� � ��3���00��

� �3��00� � ����+�

4�*

�� 4�3

��� ��� ���� �������� ��� ����! �� 7� ����� ������ ����� ������ �� ������� ����������

>���! ���� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� �������� �� ��� ������ �������� �� ��� ������ ���� �<�3� ������ ����� � ��� ���� ��� ��� ��� �<�*�! � ������� )58,$

7� � 7� � 7� ����.�

������� �������� ��� ���� ��� � ��� ��� � ����� � ��� )?., �� 6��� ��� � � ��� )44! ??,! �� ��� ������ ������ ����� ������! 7�! ��� �� ������ ������� ��� ���� �0���������5�� C�� �� C�� )58, ������� ���� ��� ������ ������ ������ �� ������� ���������! 7�! �� �� ����� �� ��� �������� ��(! ,�

��4�� ! �� ���� � ��� ������� �(������ �������� �� ��� ������$

7� � (�6

,���4��

A#����7�

,/��4�� �� �� ������ ���$

,���4�� � �� 2� ��

��4�� � ���3���4��

�����4��

�&

��

��������$�?*��

����*8�

?*�� ��� ���� ��� ������� � ��� ����� � ������ ���������� �� ��� ������ ������� ������

��� ���� �0����� ��� ���� ���� � C�� �� C��;���� $

7� � 7� � 7� � �(�6 ���08��

��3���0�3

�������#�"

��� ����**�

��� ��������� ������������! �� ! �� �� �������� �(���� ���� � C�� �� C��;� ��� )58,� - ������ �� ������������ ���� �� & ��� � ��� )+?%++, �� �� ����� �� $

�� � @�����,���4�� ����*3�

# ��� ����� � ������ � ���! ��� �(������ ��� ��� �� ����������� �� � 5����� ��� ���! �� � ������� � �������� ���� ���! ����� � ������� ������ � ��� � ������ �����)*87,� ��� �������� �� � �� ������� �� � ��������� ���*8����� ������� �(������ ��� ��� �� �����! �������!��� � �(�� �� ��� � ������� ����� ��� ���� ��������� ������ ��� ����

������ �

��� ������ ������� ����� ��� ��� ���� �������� 9� �������� ���� ��� �� �� � ������ ������� ��� �� ����� ����� ���� �� ��� ��� ������ ���� ������ ��� �� ������� ���� � ��� ������� ������ =������! ���� � ���������� ��� ��� ������ � ��� � ����� ��� ����� � ����� ����������� �� ����������� ���� ����������� -���! �� ������ ��� ��� �� ����� ���� � �(��������� ����� � �� ��������� ����� �� ��� ��� �������

'�'�A *������� �*!

�&����� #��� ����

��� ����� �( ���� ������� �� ���� �� �������� ���������� � ��� ���� ���� ��� ��� �(��� � ��� ����������� #� ���� ��� �� ������ ����� �� �� ��� ���� ������������ �� ��� ������ ������� �����! �� ������� ��� ������� ������ �������� ��� ���� ������ ���� ��������������� �� >���K! ��� � �� � �������� � ������������������ �� � ������������ ���� ���� ������� ��������� #��� ����� � � �����! ��� ������� � ���� �� ��� ��� ������� �������� �������� �� ��� �������� � ����� ������ ����� ����� ���� ����� ������� ���������� �� � �������� ������ ��� ��� �� ����� ��� ������ ������������ � ��� ����� ���� � ��� ������� )+.%.?,�

C���� �������� ������� ��� ������� ��� ��� ����������� ������� �� &������ � ��� )3?,� # ����� ��� ! ��� �������( ������ ��� ������� ��� �(������� ��$

,)�* � �����#�3)�*

���&

*)�

���$

���*�

=���! ���& �� ��� ������ � ��� ��� �������� � �� �������� ����! ����� �� ��� ����� � ��� ����� � ��������� ���� �� ��� ����� � ����� ����� �4��

4�� �� C�� ���

������� �� �������� � ������ �����! � � �� �� ���� ��33 )3?,� ��� ��������� ���� ������ � ���� �)! ��� ���������� � ������! �� �� ������$

� � 8�854� *+�.*�) � 47�.?�3) � 4A�8�4) 8 � �) �

� � *5� *�5��) � *� * � �) � 4 ���3�

�����! �) � �� �� ������ ��� $)/�/��

)�

��� ���� ���� � ��� <=& � 10� ���*� � ���� �� �������� ��( ����� �� ��� ��� ���������� ����� # ��� ��������! ������ ������ � � �����( ���! ����! ����3��

�� ���

��� ���������� ��� ���! ���� ! ����� �� ��� ������� ���

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# �(

Page 18: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��� � ����� ���� ���� ������� ��� �����! ������ � �������� ���� � ��� �������� &������ � ��� )3?, ��� ����� � ���� �������� �������! ��� ������� ����� � ��������� ���� ������ �� � ����� ����� � �� �����(������� 3�?� -����� ��������� ��� ���� � &������;� ����� �� �� ��������� �� ������ ����� �����$

���� � 3�?��33 ���4�

- 0������� �(������� ��� ���� �� ����� � ��� )5+! 5.,$

���� � 8�8837�3 � 8�8?�� 4�5� *8�*7 ���5�

��� �� �� ���� � ��� <=& � 10� ���*� � ���� �� ��������� � �����! ��� � �� �� ���� ����� ���� �������������� 3)�* ! ��� ������ ��� ��� � ����� � ��� ��������! �� ���� � � ��� � ��� ����� ����� ����������� ��3)�* ��� ��� ����� �����! � �� ��� 5�

��������� ����� � ����� ���� �� 10� ���*� �� � ��� ����� ����� ��( ����� �� ��� �������� ������� )5A,� ���� ������ ������� ��� ��� �;� ���$

���

���*)�

/ ���?�

���*)�

�� ��� ����� ����� � ������� � ��� �������� #���������;� �����! ��� ��� �����! �! ��� ������� �� ��� ������� ��� ���! 3)�* ! ������� ��� &�� ���1����� �0������

# ��� �� ��� � ��� ���� ��� ����! � ���������! �! ������� �� ��� ����� ������ ��� ����� ��( �� ��� ���������(� ���� 10� ���*�$

� � ,)�*�,�3� 3���� � 33)�*

#�

���&

*)�

���$

���A�

>��� ���� ,�3� �3#� # &������;� ��� )3?,! � �� �������

������� � ��������� ��� ������ - ���������� ������ ������ ��� �� ����� �

����

���� ���� � ����� � �����(������ ���� ���

����� � ��� ������� )45! 5+! 5.,� # ���� ���! 10� ���A� ��� ����$

� � 3���� � 33)�*#�

�)���*��)�(�*

�*���+�

2���� �������� ������� ��� ������� ��� ������� ��@������ �� ��������� )34! 35,� - ��� � ��� >�����2�� �0����� ���� � ����� ��� ��� ��� ���� �� ��� ���� �����( � ���� ����� �� ������$

, � �%#

�"3��3� � �2 � )��� ���.�

% �� ��� ����� � ��� ��� ���� ��� ����� ����� � ��� <=& ���� ����� �0����� � ��� �� �������� ��� �� ��� ��� ������������ �������! ������ ���� �� ��� � ������� ��������! �� ��� ��� ����� �� ���� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ������� ��� ������� �� ������� �� & �L��;��0�����$

2 � �

�%0 �0 #�

���/ ���7�

� �� ��� ��� ��� ���� ������������' %0 �� �0 ��� ��� ����� �� � ������� � ��� �(�� ����� ���� � ��� ��������! ����� �������

��� ��� �������! ��� ������� ��� ������������� �(�������� �������$

��� � �%0 �0 ���*8�

���� ������� ���� ��� ����� � ������� � ��� �������� � �� �������� ��������� ����� �� � ��� �������� �� ������� �� �� ����������� ��������! ��������� �� � � ������� ������� �� �� � ���� � ����� ���������! �� 10� ���.� �� ����$

,�� � �#

�"3�� ��� � ��� 2 ���**�

# @������ �� ���������;� �����! ��� ������� ��� �������� ���� �������� �� ��� ��� ����� ��� ������� ���� � �0��������� ���� ��� ��0��� ����� ����� � ��� ����������� �� ��� ����� ��������! ����� �������� ��� �� � � ��� =������! 10�� ���.� �� ���7� � ���� �� ��������� �����$

,)�* � �3)�) � �)�

�%0 �0 #� �)

���/ ���*3�

�������� 10�� ���*3� �� ���*�! �� � �� ��� ���� ������ ���������� ���� �� ����� ���� � ����� � @������ �����������;� ����� ������� ��� �������� ����� �� ��� ��� ������������� ��������

10� ���.� �� ���� � ���� ���� � �0����� �� ������ �����!�� �! ��� ������� �(������� �������$

, � 8 ���*4�

-���! 10� ���7� �� � ��� ��� ��� � ��� �0����� � ���������� ����������� ���� �� ��� �0������ � ����� ������ ���� � ���� ��������� �� B� � ��� ).! 4A, �� D����� ��� )37,$

���� �� �0 �� ��1

���2� � �� ��22� � �/� ���2��

����

2� ��

��%0 �0 #� ���*5�

���� �� �0 ���� �������1

��$� � �� �$2� � �3�00

$� � )��� ���*?�

>���! ���� ��� �0����� � ����� ���*5� �� ������� �� 10��-��4�! ���� �� ��� ���� ������� �����! �� ��� �0����� ����� ���� � ���*?� �� ������� �� ���� �� ��� ���� ����������� �-��.��

�����

) 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 19: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

��� 9��� ������������ � ��� ������� � �� �� ������� �� 9��;� ���$

�� �� ��

�$ ���*A�

��� �� ������ � ������� ��� ������! � ! �� ����������� ����� �� ��� ����� � �� ��� 5� #� ��� �� ���� ������ 3�� �� 4�� ������! 10� ���*A� ���� �� ������� �������������� �� ���� � ��� �� ��� ����� � ����� ������! I� -���� � ������� �� � ������ ������� ��� �� ��0����� �� ���3�� �� 4�� �����! ����� �������

3*#�

# � ����! � ������� �� ����� �������� ������� ����������! �������� � ������� � ���� ��� ������� ����� ���� &������;� ������ �� ����� �������� ������� ���������� � � ������� ��� ��� ��� ��� ������� �� ������� �� ����� � ��� )?.,� ��� ����� ��( ��� �������������� &������;� �(��������! �� ��� ������� ��( ��� �� ������ � � ������� ����$

,��4���* � �*���

�#�3��4���*

����4��

�$���*+�

�*��� �� ��� ��� ���������� ���� ��� ��� �� ������� )?5,$

�*��� � *�?

/��4��

/�� ��4��

���*.�

>��� ���� �������� ������ ��� � ������� ��� �������� �� � �����;� ����� ��� ������� �� � ��� �� ���������� ���� ���4�� �� ��� ������� ����! ����� �� ��� ������ ��� ����� � ������� ���� ���� �� ��� ����� � ����������$

���4�� � *5�/��4��

/�� ��4��

� *�?3�?

���*7�

#� ������ �� ���� ����! � ���� �0�����! *5 �� ��� ����� ���� ��� � � ���� �������� �������! 3�? �� *�? ��� ������ ���������� ��� ���� �� ����� �� ������� � ������� ��������� �������! ����� �������

@������ �� ���������;� ������ )34, �� ���� ��������� � ������� ��� ���� � ��� 6��� ��� � )??, �� &����� ��� )?+, ������� & �L��;� �0����� ��� ���� �� ��������� ���� ���� ��� �� ��� ��� ������������ �� ��������! �������� >�����2�� �0����� ��� ������� �� ��� ��( ���� ����

C�� �� C��;� ��������� ����� )58, �� ������ ���� ������� ������ �10� �-��*5� �� �-��*?�� ���� ������� ����� �������� ��� ������� ��� ������� �� �� ������������ ���� ��0��� �� H *�� ��� ��� ���������� ���� ���� ��� �� �������! �*

��� ! ��� ������� �� �� ����������� ����� ������� ���� �� ���! $��4�� $

�*��� � 3�?$��4�� ���38�

������ �

�������� ������� � ��� ������� �� ��� ���������� ��� ���� ��� ������� ���� ������� �(������� ��������� ���������� �� � ��� ��� ���� ��� ������� ����� ����� � ������� ����������� - ������ � ���� ��� ������� ��� � ��� � ���� ������ ��� ��� ����! ��� �� ������ � ������� �������� ������� ������� �� ������ ����� ����������� ��� ���� ����� � ��� ��������� ����������� �� ������� �� ��� ����� � � ������� ��� �� �������� �� ������� �� ������� ���� ��� �� ����� �� ������������ ����������

" !��*������������� ��������� � ��� ��� ������ �� �� ����� �� ���

����� �� ���� �� ��� ��������� ����� ��� ��� ������� 7 ����� ��� ������ ���� ������ ������

��� �������� ��� ��������� �� ���� ����� � B�������!����� ��� ������� ��� ��������� �� ����� � M�������).+,� ��� �������� �� ������� ������� ��� ��� ������ ��������� �� ������� ����� ���� �� ������ ����������� ��� � ������ � ���� �� ��� ������� ��� ���� ��� �������������� ���� ��� ��� ������ � ��� �������� ����� �� � ��� ��

- ����� ����� � ������� ���� ��� ������� �� ���������� ��� ����������� � ������� )75%*88,' �������! �������� �� �� ����*7.8;�� - ����������� ������ � ������������ ��� ��� �������� �� @�E��� �� I��� )75,� =�������! ���� � ����� ������ ���� ��������� �� ���� �( ������

(a)

(b)

v2(n) P2(n n) P2d( )

v1(n) P1(n) P1d(n) v1(1)

ffo(n)

ffi(n)

���� 5 -������ � ��� ���� ���� "�# $������ "6# ���� ��� " # �7��"8# ���� ���

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# �

Page 20: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

�� ����� ���������� ���� ���� ����� � ���� ���������!��� � �� �� ����� ���� �� ��� ��� ��� �! � ��� � ��� ������ ������ �� ����� �� ������� ��� ��� ���� �� ��� ������ - ������� ����� � ������ ���� ��� ��������� ����� ����������� � ��� ��� ��� �������� ).+! *8*%*8A,�

�&����� #��� �����

���������� �� C���� ).+, ��������� � ��� ����������� �� ���� ����������! �� ���� � ������ 7� ��������� ������ � ��� ������� �0������$

��� ������� ���� � � ��� ������ �����!

/*���� � /*��� *� � ��

�2*���

/3���� � /3��� *� � ��)����

��23���

�4�*�

�� ��� �� ����� ���� � �� ��� ��� � ����!

/*���� � /*��� � ��� 2*���� 3� 2*��� *�� 3� �

/3���� � /3��� � �3� 23���� 3� 23��� *�� 3� � �4�3�

���� ���� � �� ��� ��� � ����!

�� 2*��� � 2*��� *�� � 00������� 23��� � 23��� *�� � �)� 00���� �4�4�

�����! 2 �� ��� ��� ���� ���! �! �! ��! �� �� ��� ��� ��������� �� ��� ���� �� ������ ��� �����! � �� �� ��� ������� ������� �� ��� �*�7 �� �3�7 � 10� ����3�! �� �� �� �3

� 10� �4�3� ��� ���� �� � ��� �� ��� ������ ���� ����� ����������� �� ������ ���� ���� ������� ��� ��� ����� ������� 7� ��� ��������� �) � 10�� �4�*� �� �4�4� �� �� ��� ������ N* �� ��� B������� �� %* �� ��� M�������� 00����� 00���� ��� ��� ���� �� ������ ��� ���� � ��� ��� ��� ����

10�� �4�*�%�4�4� ��� � ��� � ������ �������� �0������!��� � � �� ������ ���� ��� ��� � � ����� ��� ������ �������� ��� ����� ��� �� ���� �� �� ����� 00���� ��� 00���!�� �� ������ ����� �� �'��� ������� ��� �������� ���� � ����� ��������� ��� �����

- ������� ����� ��� ��������� �� ��������� � ���)*8*,� # ����� ��� ! ������ � ���� �� �� �3 �10� �4�3��! ���������� ������ �� �0������ ���� ���� �� � ��� �� ��������� � ��� ������� �� ������$

�� ��� ������� ������!

/*���� � /*��� � *3� 2*���� 3� 2*��� *�� 3� �

8�5 *� 2*���*�2*���

� �3*3� 2*���� 3 �4�5�

�� ��� ������ ������!

/3���� � /3��� � *3� 23���� 3� 23��� *�� 3� �

�4�?�

��� �������� � ���� ��G�� ����� ����������� ���� ������ ����� ���� �� � ��� ��� ��� ��� ������������� # ������ �����! -������� � ��� )*83, ����� ��� ��� ����� ���� � ����������� �� � ����� �� ��� ��� ��� �� �����������! ���� ���� ��� ��� ��� ���� �! �� � ��������� ������ ��� ��� ��� ���� =������! ��� ��� ������� ������������ ��� ����� ��� ��� �������� � ���� ��� � -������������ ��� )*84! *85, ��������� � ������������ ����� �� ����� ���� ����������� ������ ���� � ���� ��� � ��� ����� ����� � �0����� ��� ������� �� �� � ������ � �� � �������� ���� ��� ���� ������ ��� �� �������� �� ��� ��� ������� �������� �� ��� ������� ������ �� ��� �� ������� ������������ ������� ������ ���� ��� ����� � ��� ����! ������ ������! �� ��� ���� ���� ���� ����������� ��� ���� ������������ ���� �������� ��� ��� ����������� �������=������! ��� ��������� ���� ��� ����������� �� ����� ���� &�% ���� ���� ���� ����� �� ��� ���� ��� ���� ������ � �� �� ������ ����� ��� �(�����! ��� ����������� ��������� ������ ��� ��� ���� � ��� �������� �����! ���� ������ ��� ��� ���� �� ����� ������� - �������������������� ��� ��������� �� ������ � ��� )*8?, �� ��� 21� ��� ��� ��� � # ���� ��� ! � ����� ����� ���� ����� ����� ������ �� � �� � ���� � ����� ��������� ���! �� ��� ������������ ������ � ��� ����� ������ ��� ����� ���� =������! ��������� �������� �� � ��� ��� �� � ��� �� ����� ���� ������ ������� ��� ������� #� ��� ��� ��� ���� � ���������������� ����������� � ��� ��� ���� �� � ������ �� ������ ����������� �������� �������� &������ ����������� ���� �������� � :��;� ��� )4+! *8A,�

3*#�

��� ������ ��� ����������� � � ��0��� ��� ���� ���������� �� -����������� � ��� )*8+! *8.,� ����� ��� ���� ������� �� ����� �� ���� ���� �( ������! ���� ����� ������ �� � ��� �� ��� ��� ��� ���� �� ������� ���� � ��� ��� ����� - ������ ��� ��� ����� �� ���� �� ��������� ����� ����� � ����� � ��� ���� ��� ��� � ������� ������� ��� � ��� ��� ����� �� ������ ��� �������<��� �� ������ 7�� �� ����� � ��� ��� ����������� � ������ ������! �0��� ���� ��� �� � ��� ��� ���� �� ������� �E� ����� ��� �������� ���� � ��� ���� ��� ������� �� ������ ��$

�/ � *3

�23 � 0��� ���

� ��4�A�

=���! �� �� ��� �������� ��������' 2 �� ��� ��� ���� ���' � ����� ����� � ��� ��� ����! ��� � ������ �� ��������� ���! 0 �� ��� ���� � �� ��� ��� ���! �� � �� ����������� ������� � ��� �� ��� ���������

��� �������� ���� � ��� ��� ���� � �� � ��������� ��� ��� ��� �� ������ ���� ��� ��� ���� ����� )7*! 73,! ��� ����� ����� �� ��� ��� ���� �� ��������� � ��� ��� ������� ��� ��� ������� ��� ��� �������� ���� � ��� ������ ��� ���� ��� ������� ���� 10� �4�A�� # ���� �0�����! � �� ����������� ������� � ��� �� ��� ���������

�����

7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 21: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

�������� ����! ��� �������� ���� � �� � ��� � ������ ���0��� �� ���� � ��� ��E� �� ��� ���� =������! ��� ��������������� � �0��� ��� ��� �� � ��� ��� �� ������ ��0��� �������� ���� � ���� �� � ��� �� - �������! ���������� ��� ����� ��� ���� �� ����� ��� ���� � ��� ������������! ����! ��� ��� ��� ��� � �������� ����� ������ ����� � �� 2�� #� ��� ��� ���� � � ����� � ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� ��� ���� � ���� �� ������� �������������� ���������

������ �

&������ �� ��� �������� �� �������� ������! � ������������ ����� �� ����� �� ����� � ��� ����������� �������� ��� ����������� ����� � ��� ��� ��� ! ������������������ ����� ���� �� ����� � � �������� ������� � ������� ��� � ��� ��� �� ���� ��� �0������ � �������!�����! �� ����� ���� �! �� ������ �������� ���� ��������� ��� ���� ����� �� � ����� ��� ����� �� �� � ����=������! �� � ��� ���� � ����� ����� � ��� ����! ��������� ����� �� ���� ������� �������������� - ������� �� �� ��� �� �������� ��� ��� ��� ��� ����� �� �� ������� ����� ��� ����� ��� ����������� ����� ���� �������������� ����������� ������

# ���� +� ������� ����� ��� �������� �� ��� ��� ���� �� ��� ����� �

��� ����! �� ���� ������� ���� ����������� ����� � ������� ���� ��� ������� �� � �� ��� ��� ���� � �� � ��� ���!�����������! ��������' �������� � ��� ��� ���� ����������! �����! �� �������' ��� ��� ��� � �� � �������� ������� ����� �� ��� �������' ���������� �� ������������� � �� � ������ �� ������� ����� �� ��� �������'�������� � ��� ������ �� ��� ��� ���� ������! �� �������� � ��� ���� � ��� ��� �

9���� ����� ���������� � ���� ��� ����������� ���� �� ��� ��������! ����� �� ���������� � ��� ���� ����� ��� ������ � ��� ��� ��� �� ����� � �������! �� ������ ��� ���� �� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� ���������� ����� �� ������ � ����� ���������� ��� �������"�� � �����*%**� -��� ����� ����������! ��� �( ���� ����� �������� ��� ��� ������ ��� ������� ���� �� ��E������� ����������� �� �� ��� �(��������� ���� )34! 35! 58! ?*,�

$ ,� ����� ������ �� ���� ��������9����������� ������ � �� ������ ������ �������

����� �� ��������� )33! 34! 3?,� # ���� ��� ��� ����! ��������� �� �������� ��� ��������� )A*! A?,� =������! ��������� �� ��������������� ������ �� ���� ����� ���� �� ������� �������� ��� ����� �0������ � �� ������������� � ���� � ���� ����� � ������ )3A%3.! 48! 4*!44! 5A! ?5,� ������ ����� ���������! ����������� ����

����� � �����! ������� �� ���� ���� ���� ��� ���� ).!4A! 58! 5+%57,�

�� �������� ��� ��������� �� ������! ����� ������� ������� ������� ���� ������� �(��������� �������� &� �� ���������"���� ����� ���� ��� ���� �� ����� ��������� )34!35! 3+%37! 4A! 58! 5A! 57! ?*! ?+,� >� �� ��� ������� ��� ������� ����� ������ ������������! ��������! �� ������������ ������� �� ��� ��� � �������� ���� �(���������� ������������

% !� ����������� �� ������ �� ���� ������� ��� ���� �� ���

���� ���� ��� ��������� 1����� �� ������ �� �� ������� ������ � ��������� ��� ���� �� ��� ��� ��� � ����(������ ��� �������� ��� ��� ���� �� ��� ����� ���������� ������� � ����� � ��� ������ ������! �������� ������! �� ������� ���� ��� ������� �(���������=������! ���� ������� ��� ����� �� �������"� ��� ����������� ��� � ��������� ��� � ��� ��� �����! �� ��������� ���������� ��������� �� ������ �� �� ����� ������ ����� � �� ����������� ������� � ��� �����( ������� ����������� ����� ������� ������ ���� �� ��� � ������������� � ����� �� ��� ��� �������� � �������� ��� ���� �� ������ #������� �� ��������� �� ������� ������ ��� ��0����� �� ����� ������ ����� � ��� ������ ��� ��� ��������

��*�������� ������� ������� ����� �� � �� � ������� ��� �� ��� ����

���� � ��� >������ & �� �� �� 1������� <����� � ���� �� �>&1<�� � ����� �� ��� ����� �� -��������� ���������� �� ���� ����� ��-���! 6�����! ����� �� ������� �

-��� �� .����

&� � � ������� � � ������� "! �9�#�

����������� <���� ��

3 �*�����

7������3�7� )3?,

3�3� 3�A4� *8�A �� .8 O� )43! .,

3�3� ?�3*7+� *8�A �� .8 O�

3�3� 8*++? � *8�5 �� 8 O� )33! 34,

3) � 8�3?A� *8�5 �� 45 O�

3�3� *�++� "

3+4�*�.34�*�8*4�*8?

/� )4A,

3��3� 4� *8�? ! 3�

��3� *� *8�*8

3��4�� � 4� *8�A � 5�?7.A� *8�." � 7�57+7� *8�**"3

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# "

Page 22: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

����������� <���� ��

3���4�� � *8�?�5*A4�777�++.�"

3) � 3�?A� *8�? "

48?

� �3�445 *�8*4�*8?/

� �! 3�

) � 8

2���� ������ ��� ��� � ������� ��3 �%*�

3�� � 5�?� *8�7 �� .8 O�

)*7! 5?,

&� � ! 2����� ������� � � ������� "! �9�#�

����������� <���� ��

@���� ������ ��� ��� � �3 �%*�

/3�7 � � " "�"�7

�� ��

/�/�7� �*�4

"�"�7� �?�*3 *

*)�*)7

� �8�?

)3*,

/ � ��� �� " � 6

��� ����� � � �� �)?+,

3)��3! 3)��3

�� 3)�,3$ � H 8�884A5 �� � B 3�445 '

3�3 �,3� H 8�883+5? �� � B *�.34 '

"� �� /� ��� ���� �� ����������� �� ��������� )3?!?+,

C����$ "� H A5+�4 @ �� /� H 33*�3 ���

9(���$ "� H *?5�5 @ �� /� H 57�+ ���

>������$ "� H *3A�3 @ �� /� H 44�? ���

3�7 � 3�7 "��0 �/��0� � /

/��0

""��0

� �*�?

).! 43! 5?,

3)��3� 8�7*?� *8�5 "��0 � 48+�* @ /��0 � * � �

3)���3� 8�383� *8�5 "��0 � 48+�? @ /��0 � * � �

3�3 ���3� 8�A5A � *8�5 "��0 � 37.�8 @ /��0 � * � �

3)��3� 8�3.3� *8�5 "��0 � 48.�* @ /��0 � * � �

3)�,3� 8�3?A� *8�5 "��0 � 48+�? @ /��0 � * � �

3�3 �,3� 8�338� *8�5 "��0 � 374�3 @ /��0 � * � �

�3)��3� 4�A.� *8�4 �"�48+�*�*8 !

�3)��3� *�8*� *8�4 �"�374�*�*8 !

)45,

�3)�,3� *�8*� *8�4 �"�374�*�*8 !

�3�3 �,3� 8�.5� *8�4 �"�374�*�*8

� �� ��� ���� � ������� ���� �%4�! " � @

/3�3 �,3� 8�3+7� *8�5 !

/3)�,3� 8�4.+ � *8�5 !

/3)��3� 8�4+8 � *8�5 ! �� .8 O�

)*7,

/ �� ��� �������� � ���3��4���) � *�?.� *8�7 ����8�83A34�" � 37.� ! " � 6 )?*,

3��4�����3� 8�8*+5� *8�5 ! 3��4���) � 8�834?+ � *8�5 ! )37,

3)���3� 8�84*.� *8�5 ! 3)��3

� 8�84A.� *8�5 !3)�,3

� 8�84.A� *8�5 ! 3�3 �,3� 8�83AA7� *8�5 �� **8 O�

&� � � :��� ������� � � ������� �� ��� "! �9�#�

����������� <���� ��

3)�* � *8�*8 ��� 35*A *484� *3+4�"

� �� �

��3�?A4� 8�44�� 8�83A�3 � 8�888A+*�4 �

)3*! 48! 53! ?5,

3)�* � ��� 35*A *484� *3+4�"

� �� �3488

)�* )54! 55,

3488

)�* � *8�*8 � � 3

3488

)�* � *8�*8 �3�� 4� 3 � � � 4

3488

)�* � *8�*8 �*�A+�� 3�8*� 4 � � � 5�?

3488

)�* � *�3?� *8�*8 5�? � �

3)�* � 4�?� *8�A � �*5

��� � 354A3+4�"

� �)45! 47,

&� � % '����� ������� � � ������� "! �9�#�

����������� <���� ��

������ ����� 3��4�� � 8�8+.?� *8�5 !3��3

� 8�8A+8� *8�5 !3,3

� 8�8.47? � *8�5

)37,

3�3� 8�8+.?4 � *8�5 !

3) � 8�*85+� *8�5

�������� ����� 3��4�� � 8�88+.?� *8�5 !3��3

� 8�88A+8� *8�5 !3,3

� 8�88.47?� *8�5

)37,

3�3� 8�88+.?4� *8�5 !

3) � 8�8*85+� *8�5

&� � . (��� ����� ";� 9� �9�#�

����������� <���� ��

C���� ��� ����� � � �%* �%*� )3?,�) � .�7*� *8�5

C���� ��� ����� � � �%* �%*� )34,�) � ?�8� *8�5 �� A8 O�

��� ����� � ���� ��� � ������� ����� ��� ��� ���� �� )45,� � *�8.� *8�*8 �"�37.�*�8?

��� ����� � ������ ��� � ������� ����� ��� ���� � �%* �%*�

)34,

� � 3�84� *8�? ! �� A8 O�

��� ����� � ������ ��� � ������� ����� ��� ��� ���� �� )45,� � *�4A� *8�*8 �"�37.�*�8?

��� ����� � ��0��� ����� � ���� � � �%* �%*��� � 8�5?.?87� ?�485+5*� *8�4" � 3�4*34*� *8�?"3

�5�57*A*� *8�."4 � 4�3+A.*� *8�**"5

)4A,

��� ����� � ��� ����� � ����� � �%* �%*�� � 3�84� *8�?

)4A,

�����

# 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 23: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

&� � * <�������� $�� ����� "!� ��� �� �����3� ���#�

���� ���� �� � ?� *8�*8 )45,

������ ����� �� � *� *8�*4 )45,

�� � *� *8�*3 )33! 3A,

�� � *�3� *8�*3 )34,

�� � *�+A� *8�** ).! 3?! 43,

�� � *� *8�** )4A,

�� � *�.� *8�*A )?*,

������� �� � *�?.� *8�*. )*7! 3?,

�� � *�.� *8�*. ).! 38! 43! 5?,

�� � *� *8�3* )4A,

�� � +�*.� *8�*. )?*,

&� � 1 ����� ;����� $�� ����� � ��� "!#�

����������� <���� ��

� � *�*4� *8�*7 )*7!3?,

� � +�*.� *8�38 ).! 38! 43,

� � 3�8� *8�38 )5?,

&� � 0 ����� ������ ����� � ;������ $�������

2��������� ����������� <���� �

-��� �� ������ ������ 8�? ���� )3*%35! 48! 54,

��� ��� �� ������� ����� -����� ����$8�?! 8�? )38,

��� ���$ �� �� �� ������� ����$ 3! 3

3! 3 ).! *7! 3?! 43,

8�?! * )5?,

-��� �� ������ ������ 8�?! 3 )37! ?*,

��� ��� �� ����$ �� �� �� 8�.+?! 8�347 )4A,

<� � ������� � =������$ *388 )38,

���0�3

���� �%4�

<� � ������� � 9(���$ ���0�3

4�47 )38,

���� �%4� 5�A3 )*7,

4�?+ )3A,

<� � ������� � 9(��� �� 4*�. )37! ?*,

2��������� ����������� <���� �

����$ ���0�3

���� ��4� 8�34 )4A,

<� �������� � ������� ������ �� ����$���0

* �����8�7+ )37! ?*,

<���� � ����� ������ �� ������� $ 8�8* )3A,

������� ����� ��� ���$ ���08

�- �%3�������� $ 8�7 )53,

-���$ 8�A )5?,

�������$ 5�5� *8�+

<���� � ����� ������ �� -���$ )4A,

����$ ���08 �- �%3� 75�3? ��� 4??+8

�*4?4� *

"

� �� �

�������$ 8�8533

<���� � ���� ��������� �� -��� $ *�5� *8? )38,

������� ����� ��� ���$(�6 ���0

8

�������$ *�8� *8�?

�- �%4� �������$ ?�8� *8�5 )*7! 3?,

-��� $ ?� *83 ).! 43,

�������$ *�8� *8�5

<���� � ���� ��������� �� -��� $ *�8 )37! ?*,

����$ (�6 ���08

�- �%4� �������$ *�8� *8�?

&� � 5 � ��� � ������7��� "�9� �9�#�

����������� <���� ��

� � ����*3A.� *484� *3+4�"

� �8�88?*47�� 8�8843A� )3*! 48!53%55! ?5,

� � 8�88?*A4.� 8�888383*+�� 8�8833*?5�3 � 8�8883++3�4 )47,�*�5A?+� *8�?�5 � 3�++5A� *8�+�?

� � 8�8A )5?,

� � 8�445 )37! ?*,

&� � �= &�� ������ $��������� $ ������ "(#�

����������� <���� ��

=����������� ��� ���

�8 � *�34� 8�7� *8�4 �" � 37.�

�3�4�"5#

�����3�3��3�

)*7! 38! 3?! 5?,

�8 � 8�3437� 8�883?"! " � 6 ).! 43,

�8H*�* )3*! 33! 3A! 48,

���� �8H*�3* )4A! ?4,

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# $

Page 24: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

&� � �� >��� $�������

2����������

����������� <���� ��

�0 ��(�� ����� � ������� ���� �%4� )*7! 38! 3?! 5?,�0 � *�3� *84

�� =��� ��� ���! �I ���%* 6%*� )48,���

) � +?�4.

��2) � 44�5A� A�..� *8�4" � +�A8� *8�A"3

�4�?7� *8�7"4

���3� 3.�.5� +�A?� *8�?" � 4�37� *8�A"3

�.�+8� *8�*8"4

��2� =��� � ���������� �I ���%*� )48,��2� � 5?8+8� 5�*7" � 4�55� *8�4"3

�3�?5� *8�A"4 � .�7.� *8�*8"5 ! " � O�

��2 <��� ����� � ��0��� ����� ���������� ���� �%*� )34,��2H*88

�2� <��� ����� � ����� ����� ��������� � ��%*� )34,�2�H*88

/�� ) &�������� ����� �������� ����� )3*! 48! 43,

���*8 /�� ) � �3�*+75� 8�837?4� " � 7�*.4+

�*8�?"3 � *�55?5� *8�+"4! " � O�

&�������� ����� �������� �����/��

) � 3*.�4 �����+�+A5?* � �� *�5?.4.� �*�?

�3�++?.8� �4 � *�34484� �A !)45,

� � *� "��A5+�4�! " � @

%0 ������ � �(�� ����� � ������� )*7! 38! 3?,%0 � �*

�� ������� ��� ������ � ����� �C �%* 6%*��� � 8�A

)3?,

-��� �� !� ����(� -��� ������� ����� ���� ��3�� �� � �������� �� ��� ��� ������ ���� ��� �� �

����� �� �� �������� �� ��� ��� ������ ������ ��� �� �

���(�6 1� ���� ������� ���� ��� ��� ������ ��%*�( �������� ����� ���� ��������� �� ��� ����� � ���

���� ��3�(� =��� ������ ���� ��� ��� ����� ���(� �������� ����� ���� ��������� �� ��0��� ����� �

��� ���� ��3�(" ����� ������� ����� ���� � ��� ��� ���� ��3��) C���� ����� � �������0 �� ������� � ��� �(�� ����� ���� � ��� ��� ����

���� ���� �%4��+

���� � ������� �� ��� ���� ���� �%4�

��(# ���� � ������� � ���� ���� ���� �%4��� =��� ��� ��� �I �%* 6%*�

��(�

���� � ������� � ��� ���� ������� ����������%4�

� � ����� ���� � ������� � ��� ���� ���� �%4�3�� ��������� ������ ��� ��� �� �%3�3 ������ ��� ��� �� �%3�3�7 @���� ������ ��� ��� �� �%3�3�

6���� ������ ��� ��� �� �%3�

� ���� ������� ����8 ����������� ���� �� ��� �������� ���# ������� �����! 7A!5.5 �� ���%*�0� #���� ��� ���� ��� ���00����� 00���� #��� �� ������ ��� ���� � ��� ��� ��� ��� ��4 �%*�� =����� � ��� ���� ����(3 ��� ��� � ��� ���� ������ ����� �����

2�=��� � ���������� �I ���%*�

+ =������ ��( ����� �� �� ����!+ � ��3# � ,�3 �(

���� �%3 �%*�� ������ ������ �- �%3�7� ! 7� ������ ����� ������ �� ���� �� ������ �-�%4��� =��� ������ ��� ��� �� �%3 6%*��.4 ���� ������ ��� ��� ������ ���� ��� ��

���� ������ ����� �� �%*���2 1��������� ���� ����� � ��0��� ����� ���� �%*��2� ��������� ���� ����� � ����� ����� ��%*�. :���� � ��� ��� ����! ���*+

)�(#! -��� ���� ����� ��� ����! ���� &%*�

*�

)�(#-��� ������ ����� ��� ����! ���� &%*�

*) ����� ������ � � ���%*����� 1�� ���������� ��� ���! ��� ������� ����� �

����� ���� ���� ������� ��� ������*

���1�� ���������� ���� ��� ��� �� �������

,)�(

C���� ��( ������� ��� ����� � ������ ��� ������� ���� �� ��� ������ ����� ���� �%3 &%*�

/ 2������� �> �%3�/�� ��������� �������� �> �%3�/��

)&�������� ����� �������� �> �%3�

9 ��� �������� ���� � ��� ��� ���� ��4 �%*�9 ������ ��� ���� ��4 �%*��

D������� �� �������� ���� � ��� ��� � ������ ����� ���� �%4 �%*�

��

D������� �� �������� ���� � ��� ��� � ��� ���0��� ����� ���� �%4 �%*�

�) #��������� ����������� ���� � ����� ������� �������� �� ���������� ���� �%3 �%*�

4 ������ � ��0��� ���������4� =��� ���� � ����! ��� � � ���� �� ��� ����

������ ������ ��� �� ��� ������ �I �%4 �%*�"(# ����������� � ��� ��� � ��� ���� �6�"/ ����������� � ��� ����� �6�6 �� ��� � ���� ��� �� �%*�6(� ������ � ���� ������� ����� ��4�6(# ������ � ���� ��� ���� ��4�- C���� � ��� ��� ���� ���$

�3 �(#� $

)�(#���� �� ��� � ������� �� ����� �� ���� ��� ����

�����

% 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 25: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

$+

�3 �(#� $+

)�(#���� �� ��� � ������� �� ����� �� ���� � ����� ��� ����

%0 ������ � ��� �(�� ����� ���� � ��� ��� �������% ������ � ��� ��� ( <���� ������ ,

)�(�� ,

�3 �(

�� �� �� -��� �� ������ ������ ��� ����

�-��� ��� ���� ��� � ���

� 2��������

�-��� ���� �������������

��

������� ���� ��������������

�9��� �������������

�� ������� ��� ������ �C �%* �%*��� 2����������� � ������ ����� ��3��

�<������� ������������ �� ��� ����� ��3�

��

�<������� ������������ �� ��0��� ����� ��3�

� 1�� ��� ���� ������������ ��3�� C���� ����! ��� ����� � ��� ����� � ����� ���

�� ���� �� ��� ����� � ����� ��������4 �� ������� ����! ��� ����� � ��� ����� � ������

�� ���� ���� �� ��� ����� � ����� ������

<������� �������� � ��� �����

��

<������� �������� � ��0��� �����* ��� ����� � � �%* �%*�� ������ � � �%4�

�00

� 1� ���� ��� ������ � ������� ����� ��%* �%*�

�������� ��� ������ ��%* �%*�

� ����������"� <����� � ���� � ���� ���� ��%*��� ��� ���� �������� ��� ���! ��� ����� ������

*+

)�(�� ,

�3 �(� �- � .�

� 2������� � ��� ������� ����� ���

����������)*, >��� ��� ��� ! ��I� & �����! �� &���� ��� ! 2�>�

<���! #��� ����� ���! ��'!! *8?%**A�)3, 2��� B���! -� �� �! I��� ������! �� =����! -� �� �

���! (����� �� ��&�� (1 C������ ���! ''���D'!! 5?7%5+8�)4, I��� :����! �� (���� ���� ������� ���! 8��>!! +A+%++*�)5, 2� ���������! &� &�������! �� /�)�� 4������ ���!

�E'��D'!! 353%3?3�)?, �� & ����"! &� M���! 6� &���� ���! ������� �������

� F "�������& ���! ':��'!! *334%*344�)A, &� D�����"��! -�I� -������! #��� ����� ���! ��'!!

*8?%**A�)+, &� &�������! 9�-� �����! -� 2������������! ��I� �� �!

-�I� -������! �� /�)�� 4������ � �! 8<�8!! 377%438�)., &� B�! ��J� C��! �"3 �(�� 4��� *���� ���! /�������

�� �0 �� (4*� ��� "����0�� 32��� 'EEE ���! 8<<��!! *7%3?�

)7, I� 6��! &��� :��! &� &�������! ��1� ���������! �� ����� ������� 4��� � �! �:'�A!! 3A+8�5�

)*8, I� =� :��! ���� :�� ! -�I� -������! �� /�)�� 4������ � �!>E�'!! 3?.%3A.�

)**, D� &0�������! D� ������! 1� 2������ 0��! �� :����! -�2����! �� (����� ���� ������� �& � ! 'G! *557%*5??�

)*3, :� 2����! D� ������! �� �������! @� �;-����!�� /�)�� 4������ ��! �EA! *73%384�

)*4, -� -� 6��� ��� �! ���� ������� �& �������� ��� ��!:! .5?%.?3�

)*5, I��� -�������! <��� @������! <��� ��! @�-� 2������!2�<� <������! ��I =�����! �� ���� ������� 4��� � �! �:'��!!*%.�

)*?, I��� -�������! <��� @������! <��� ��! @�-� 2������!2�<� <������! ��I =�����! �� ���� ������� 4��� � �! �:'��!!7%*?�

)*A, I��� -�������! <��� @������! <��� ��! @�-� 2������!2�<� <������! ��I =�����! /���� +� ������ ����& ���2������� ���0� � �! 'A��!! *�*3*?%*�*338�

)*+, I��� -�������! <��� @������! <��� ��! @�-� 2������!2�<� <������! -� <��������! �� /�)�� 4������ � �!:G��D8!! 457%?A�

)*., <��� ��! I��� -�������! ��-� =�����! =��� I���!@�-� 2������! 2�<� <������! �� /�)�� 4������ ���!A<��D'!! *+4%*.8�

)*7, -� &�������! 2� -�����������! 1�@� �����! 6� & ���!-�I� ������! C��� �����! ����� ��� 4�� ���! ;<�'8!!A+A*%A++3�

)38, -� &�������! 2� -�����������! 1�@� �����! 6� & ���!-�I� ������! C��� �����! ����� ��� 4�� ���! ;<�'8!!A++4%A++7�

)3*, -�-� 6��� ��� �! ���� ������� �& �������� ��� ��!:! 747%75A�

)33, �� ���! <� I���! �� /�)�� 4������ � ! A8��D'!! *3.%*44�)34, ���� @������! ��C� ���������! (+��� �� � �! 8>�A!!

**?*%A4�)35, ���� @������! ��C� ���������! �� ���� ������� 4���

� ! �8G�G!! 35++%7*�)3?, ��1� &������! ��-� M����"�� �! &� D��������! �� ���� ���

����� 4��� � �! �8A�A!! 3445%53�)3A, I�&� J�! ����>����! �� ���� ������� 4��� � ! �:<��!!

4.%5?�)3+, C� =�! I�&� J�! �� �� >����! (+��� �� ���! :<��E!!

38?4%38A5�)3., �� >�����E�! �� �� >����! �� ���� ������� 4��� ���!

�:A��'!! -*435%-*44?�)37, �� D����! =� :��! &� 6� � ! (+��� �� � �! ::���!!

35*8%3533�)48, -� 6�"��! =��� :��! 2� ������! �� (���� ���� ������� � !

'G��'!! *587%*5*A�)4*, -�-� 6��� ��� �! I� ������ ! -�-� 6�������! �� ���� ���

����� 4��� � ! �:<���!! 47.*%477*�)43, -��� C���! ���� ������! �� (���� ���� ������� � �! '<�<!!

??+%?A?�)44, -�-� 6��� ��� �! I� ������ ! -�-� 6�������! �� ���� ���

����� 4��� ���! �:>�8!! 7?4%7?7�)45, ���� >����! <�1� C����! �� ���� ������� 4��� � �!

�:E�A!! 3*+.%.A�)4?, D�1� &�����! 6�-� =��! ����� ��� 4�� ���! ;;��'!!

334+%335+�)4A, &� B�! ��J� C��! 6�&� ���! �� ���� ������� 4��� ���!

�:>��'!! 55.?%5574�

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# &

Page 26: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

)4+, M� =� C��! ��J� C��! 6�&� ���! �� /�)�� 4���������! G:��!! 58%?8�

)4., #��� =���! 2��� ����� �! ����� ��� 4�� ���! ;;��G!!5387%53*.�

)47, =� �� @�����! �� 6���! <� ������! �� /�)�� 4������� �! >���D'!! 3*.%333�

)58, M� =� C��! ��J� C��! /���� D ���� ������� 4��� �3��� *� ����� #��� �����! ���! 'EE�D:! 3.A%4*7�

)5*, ��1�&������! �� <� ����! ��-� M����"�� �! &� D���������! �� ���� ������� 4��� ���! A��!! -**%-34�

)53, ���� ������! I� >����! �� ���� ������� 4��� � �! �:E�;!!*3*.%3?�

)54, 6� �������! 2� 1 ����! D� :�������! �� (���� ����� ������� ���! 8E��'!! *4++%*4.+�

)55, D� I� �� I����! �� ���� ������� 4��� ���! �:A��'!!-*4*4%-*434�

)5?, -�-� 6��� ��� �! #��� ����� ���! ��'!! *A3%*A7�)5A, 2� ���������! ����� ��� 4�� ���! ;<�'!! 434%443�)5+, &� �����! &� &��������! I�C� �� M��! �� (���� ���� ���

����� ���! 8E�'!! *4?%*5A�)5., &� �����! &� &��������! I�C� �� M��! +� � �� ��� *���

"����0�� ���! ::���!! 3837%3853�)57, �� @����! ���� :�! >� �E�����! �� /�)�� 4������ ��!

�E<��D'!! 3.5%375�)?8, -� <���! P� :�! �� /�)�� 4������ ���! �E'��D'!! .3%7A�)?*, �� @�����! �� C���! 6� J�����! 6� 9����! �� (���� �����

������� � �! '>���!! *3?5%*3A5�)?3, D� ������! �� <� �����! :� 2��! :� �� /�)�� 4������

���! �E��'!! 3+?%3.A�)?4, �� ����! P� :�! P������ �� /�)�� 4������ � ! >>��!!

*+%3+�)?5, 6� &���� ���! 6� & ���! ����� ��� 4�� � !

;:��8D�:!! 373+%374A�)??, -�-� 6��� ��� �! �� (���� ���� ������� ���! 8E�G!!

*88?%*8*5�)?A, �� 1� �����! J�#� 6��� ���! -�-� 6�������! J��� ����

��� �! �� ���� ������� 4��� � �! �:;�A!! 3A.5%3A77�)?+, 6� &���� ���! �� & ����"! &� M���! 6� & ���! �� D� ��!

1��� D�����! ����� ��� 4�� ���! ;<�'!! 444%45*�)?., =� �����! I� ������ ! <� I��! �� /�)�� 4������ ���!

A<��D'!! 5A7%5++�)?7, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! �� (���� ���� ���

����� � ! 'G�<!! AA*%AA7�)A8, ���� �� �! &� @�����! &� ������! I� & ���! ��J� C��!

/���� D ���� ������� 4��� �3��� *� ����� #��� �����! ���!'EE�D:! 35*%3?4�

)A*, �� D����! �� @�����! =� :��! �� ���� ������� 4��� ���!�:>�>!! 35A.%35++�

)A3, ���� 6�����! >�1� ����������! /���� +� ������ ����&���2���� ��� ���0� � ! '>� 8!! 4�5*4%4�5*+�

)A4, ��J� C��! 2� ����! +� � �� ��� F *��� "����0�� � �!8G��>!! 4A8+%4A*.�

)A5, ��1� &������! ��&� C����! &� D��������! �� ���� �������4��� � �! �:E��'!! 4?*4%3A�

)A?, D� ������! :� 2����! �� �������! @� �;-����! ������ ������� 4��� ��! �:G��!! -4*%-4.�

)AA, �� D������! <� �����! �� (���� ���� ������� � �! '>�G!!*837%*84?�

)A+, 6� @�� �! 2� 1 ����! �� (���� ���� ������� � �! '>�8!!3.*%3.7�

)A., �� @����! &� D�����"��! -�I� -������! �� (���� ���� �������� � ! 'G�G!! *87?%**83�

)A7, J� @�����! 2� 9"��! <� �����! �� (���� ���� ������� � �!'A�8!! 3A7%3+A�

)+8, J� @�����! 2� 9"��! <� �����! �� (���� ���� ������� � !'G�G!! *83?%*844�

)+*, J� @�����! 2� 9"��! <� �����! �� (���� ���� ������� ���!8E��'!! *4A7%*4+A�

)+3, &��� @�(���! ��&� @��������! <�1� C����! �� ���� ������� 4���� ! �:<�'!! 54+%55+�

)+4, ��J� C��! 2� ����! +� � �� ��� *��� "����0�� � �!8G��>!! 4A8+%4A*.�

)+5, I�I� @�� �� ! P� :�! �� /�)�� 4����� ���! A<��D'!! *.*%*7A�)+?, I����� ��� !6� & ���! �� /�)�� 4������ � �! >E��!! 58%5+�)+A, 6� & ���! C� �����! I� ���� ��� ! �� (���� ���� �������

� �! 'A�8!! 3.7%37+�)++, 6� & ���! C� �����! I� ���� ��� ! �� /�)�� 4������

� �! <;��D'!! *?7%*+*�)+., P��� ��! 1�1� �� ��������! (+��� �� � �! ::��!! 4?%5+�)+7, �� ������! &� ��������! =� ���! <� �����! �� ���� ���

����� 4��� ���! �:>�G!! 4353%43?8�).8, ��-� M����"�� �! ��1� &������! �� B����! &! D��������!

4��� 4 � � +���� � �! <E��D8!! *77%3**�).*, ��C� ���������! <��� =���! 1�C� & ������! (+��� ��

� ! 8A��!! 74%*88�).3, ��C� ���������! 1�C� & ������! <�&� �����! <��� =���!

�� ���� ������� 4��� � ! �8G��'!! 453*%.�).4, ��C� ���������! <��� =���! �� ���� ������� 4��� � �!

�8>�8!! .74%7�).5, �� 1� �����! -�-� 6�������! B� &������! �� /�&��

����� H � �! �E��;E!! *8.8+%*8.38�).?, ��>� @� ��! D�D� & �����! �� ���� ������� 4��� ���!

�:A�8!! -*.4%-*..�).A, �� @����! �� @� ��! =� �����! I� ������! <� >���"��!

/�������� D ���� ��������� 4��� & �3��� *� ����� #��������! ���! 'EE�D:! 438%448�

).+, �� ����������! <�1� C����! �� ���� ������� 4��� � �!�::�;!! *+*+%*+34�

).., 1� =����! ��I� 1� �����! �� @�������! 2�:� D�� ��%J�����! :� ��"�! �� /�)�� 4������ ���! A<��D'!! 4A4%4A.�

).7, >�1� ����������! I�<� =�! I� =�������! /���� +� ����������& ���2���� ��� ���0� � � ! ':�8!! *A4+%58�

)78, I�&� J�! ���� >����! �� ���� ������� 4��� � �! �:;�:!!**57%**?7�

)7*, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! ������� �������� ������� � ! >8�8!! 3*+%33+�

)73, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! ������� �������� ������� � ! >8�8!! 337%35?�

)74, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! ������� �������� ������� � ! >A��!! 37%5*�

)75, <�-� @�E���! 1�=� I���! �� #��� ������� � ��! �'!A?5%AAA�

�����

' 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# 4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6�

Page 27: A review of mathematical models for hydrogen and direct methanol polymer electrolyte membrane fuel cells

��� �� ���? � 0�+��A �$ ����#������ ����� $� ;���'� �� "���� ������ ����#� &���������B

)7?, -�@� �����! -�6� ��E�����! +� � �� ��� F *��� � ��!'�:!! 3?4%3A3�

)7A, I�@� <����! +��� ��� ����� ���� � ��! '<��!! *37%*44�)7+, -� - �����! @��� @�� � ! <�:� 2�����! ����� ��� 4��

� � ! �E��!! **3%*35�)7., I��� 6�����! 2�-� 2���������! �� (���� *������� � � !

�G�8!! ++%.?�)77, -�@� �����! -�6� ��E�����! +� � �� ��� F *��� � ��!

'<�G!! *4*3%*43.�)*88, 1� ��� ���! ������� � � ! �A>�'!! *?8%*?*�)*8*, 2� ���������! 1� -����! 1� - ���� �! B� <���! ��

/�)�� 4������ � �! ;'�'!! 354%357�)*83, I��� -�������! <��� ��! @�-� 2������! 2�<� <������!

-� <��������! �� /�)�� 4������ � �! <���D'!! *.4%*..�

)*84, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! �� /�)�� 4������� ! >G�'!! *A7%*.4�

)*85, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! �� /�)�� 4������� ! >G�'!! *.5%*7.�

)*8?, D� ������! �� <� �����! �� ������""�! �� /�)��4������ � �! <'�'!! *A+%*+5�

)*8A, I�=� :��! ��<� :�� ! �� /�)�� 4������ � �! >8�'!! 337%35*�)*8+, 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! ������� ���

����� F "�������& ���! '8���!! 7.?%77?�)*8., 2� -�����������! 6� & ���! C��� �����! �� (���� ���� ���

����� ���! 8E�A!! .77%7*4�)*87, I������� ! I� ������! 6� D�����! <� I��! �� ���� ���

����� 4��� ���! �;E�<!! -.**%-.3?�

����������������������

�����

4*&- %&--5 �33!� !� .�� �6� 7 �33!81-&�9:%; :���' <#=; > %�� �<��� 8�����# (