A QUELLES CONDITIONS ? APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES Septembre 2012 Roland Charnay 1
Jan 06, 2016
A QUELLES CONDITIONS ?
APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
Septembre 2012 Roland Charnay
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LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLEI
Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul.
IIl faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.
LLa maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.
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COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION
UN EXEMPLE AU CE2
DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE
Un problème réussi précocement
Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?
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Deux problèmes réussis plus tardivement
Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ?
Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?
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Un problème mal réussi, même tardivement
Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?
LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS(exemple de la soustraction)
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LE PASSAGE À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE
• La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution.
• Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une addition « à trou ».
• Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ?
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LE PROBLÈME CHOISICombien de points cachés ?
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MATERIEL DE L'ENSEIGNANT
une feuille de points
(nombre de points connu des élèves)
une feuille cache
LA QUESTION
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34 points sur la feuille
Combien de points sont cachés ?
DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES
A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin,
surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul
A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en
avoir plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé
6…
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CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ
Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 !
La réponse par addition ne convient donc pas.
Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ?
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POURQUOI LA SOUSTRACTION ?
Nouveau problème : Feuille avec 34 points.11 points visibles.
Une question avant comptage des points cachés :
Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ?
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D’UNE QUESTION A UNE AUTRE
Suggestions : Il faut cacher ceux qu’on voitIl faut couper la partie visible…
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Question :Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ?
Réponse : On a enlevé 11 points.Il faut calculé 34 -11….
UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE
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On cherche
ce qui manque à 11 pour avoir 34.
ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34
ce qui conduit à calculer 11 + … = 34
On peut remplacer la question initiale par une autre question
Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles
ce qui conduit à calculer 34 – 11 =
La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément.
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CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES
Un apprentissage marqué par 4 interactions
CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME
Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes.
Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles.
Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses.
Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance.
Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être évoquée pour traiter d’autres problèmes.
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CONFRONTATION ELÈVE ELEVES
La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse.
La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures.
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CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT
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L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution.
L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels.
L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…).
L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, être utile pour résoudre d’autres problèmes.
CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS
Exercices d’entraînement, de consolidation.
Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance.
Evaluation.
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EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION
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RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTALEquivalence complément-soustraction
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2 pour aller à 47 plutôt soustraction
36 pour aller à 40 plutôt complément
20 pour aller à 50 plutôt ?
52 – 4 plutôt soustraction
61 – 58 plutôt complément
60 – 35 plutôt ?
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UN EXEMPLE AU CM1
Les nombres décimaux
UN APPRENTISSAGE DIFFICILE(exemples d’erreurs)
Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6
Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième…
Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes
Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite
35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47% de réussite
2,3 + 0,8 = 2,11(2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11)
2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24)
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DIFFICULTÉS, OBSTACLES
La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants"
Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule
Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties)
Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567
234567234,567
Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux
Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes
Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c
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LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100…
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Les élèves cherchent les réponses par deux.Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel.
RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT
Réponses erronées utilisant la « règle des 0 »0,40 argument : c’est 0,4 !00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 !0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4 pris
10 fois !00,40 argument : c’est 0,4 !
Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois)
Réponses correctes obtenues par raisonnement0,4 c’est 4 dixièmes
0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes
10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4
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0,4 x 10
VERS L’APPRENTISSAGE(mise en commun)
Inventaire des réponses et procédures.
Les réponses erronées sont démenties par des arguments
par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre)
Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement »
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0,4 x 10
0,4 ou 4 dixièmes
Un dixième pris 10 fois
EN SYNTHÈSE
Premier élément de synthèse
La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux.
Deuxième élément de synthèse
Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande.
Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué)
Troisième élément de synthèse
Le raisonnement traduit dans le tableau de numération.
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La virgule ne change pas de place !!!
,
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UN EXEMPLE AU CM2
DIFFÉRENTS TYPES DE PREUVE
La proportionnalité
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PROPORTIONNALITÉ ET AGRANDISSEMENT CAP
MATHS
Validation expérimentale
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Proportionnalité et comparaison Cap mathsCap maths
Validation par le débat
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PLUSIEURS TYPES DE RAISONNEMENT
A l'école primaire : se ramener à un référent commun
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• Se ramener au même nombre de pages
• Se ramener au même nombre de pages illustrées
• Utiliser le rapport entre nombre de pages illustrées et nombre de pages ("1 sur 3" ou "1 pour 3" dans le dernier cas)
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Autre exemple
Référent commun : on peut chercher pour des livres de 12 pages, de 48 pages, de 144 pages…
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Septembre 2012
TRAVAIL DE L’ENSEIGNANT ET DES ÉLÈVES DANS LE CADRE D’UNE SITUATION-PROBLÈME.
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Recherche à la charge des élèves.
Moments d’explicitation des solutions et d’argumentation entre élèves sur leur validité.
Validation par les élèves (matérielle ou par arguments convaincants).
Synthèse par l’enseignant : généralisation, éléments à retenir, langage…
Traces écrites (références).
Entraînement sur la connaissance mise en place.
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RÔLE DE L’ERREUR DANS CE MODÈLE D’APPRENTISSAGE.
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L’erreur devient un point d’appui en cours d’apprentissage d’abord comme révélateur des obstacles que rencontrent l’élève :
exemple de la soustraction assimilée à une situation de diminution
L’erreur n’est un point d’appui pour l’apprentissage que si les conditions de sa prise de conscience et de son dépassement sont réunies :
par le débat : pourquoi telle réponse n’est pas correcte ? Pourquoi telle autre est possible ?
par l’expérimentation (cf. points cachés ; cf. agrandissement).
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AUTOUR DU CERCLE EN CM1…
EXEMPLES DE PROBLÈMES
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Construire un cercle de diamètre donné
En exemple, des pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrées au préalable.
A la fin une validation expérimentale est possible.
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PROBLÈME : FAIRE APPARAÎTRE UN DIAMÈTRE
Roland Charnay 38
1ère étape : tous les moyens sont possibles.
2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.
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