Institute of Philosopy Research Centre for the Humanities Hungarian Academy of Sciences A matematikai és a metafizikai végtelen Georg Cantornál, Ludwig Wittgensteinnél és Tengelyi Lászlónál, és a matematikai végtelen „valódi paradoxona” MTA BTK Székely László Working Papers in Philosophy 2018/2 Szerkesztő: Kovács Gábor
50
Embed
A matematikai és a metafizikai végtelen Georg Cantornál ... · 3 Georg Cantor (1845-1918) 2. Számlálás, számosság és a matematikai végtelen cantori fogalma Ha meg akarjuk
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
I n s t i t u t e o f P h i l o s o p y R e s e a r c h C e n t r e f o r t h e H u m a n i t i e s H u n g a r i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s
A matematikai és a metafizikai végtelen Georg Cantornál, Ludwig Wittgensteinnél és Tengelyi Lászlónál, és a matematikai végtelen „valódi paradoxona”
MTA BTK
Székely László
Working Papers in Philosophy 2018/2 Szerkesztő: Kovács Gábor
A szerzőről
Székely László (1954) matematikus, filozófus, kozmológus-csillagász; az Einstein kozmoszától a fölfúvódó világegyetemig (Bp: 1990) és Az emberarcú kozmosz: az antropikus elv (Bp: 1997) című monográfiák szerzője, az Einstein válogatott írásai (2005) kötet szerkesztője, a Kopernikuszi fordulat fél évezred távlatában (2017) és az Észlelés és fantázia: válogatás Palágyi Menyhért írásaiból (2017) című kötet társszerkesztője; az MTA BTK Filozófiai Intézetének senior főmunkatársa. Munkásságában nagy hangsúlyt fektet mind a résztudományok eredményeit túlértékelő, a filozófiát a résztudományokra hivatkozva ignorálni szándékozó szcientizmus, mind a résztudományokba spekulatív módon beavatkozni kívánó filozófiai törekvések kritikájára. További írásaiból: "A világ "világtalanításának" stációja: Albert Einstein relativitáselmélete a létre vonatkozó heideggeri kérdés kontextusában. Világosság 43. (2002/10-12); „Tudományfilozófia versus kultúrfilozófia: az európai tudománytörténet Oswald Spengler filozófiájának perspektívájában.” Világosság 50. (2009/4); “Szcientizmus és anti-szcientizmus a tudományfilozófiában” (In: Nyíri-Palló: Túl az iskolafilozófián, 2005); „A fizikai megismerés határairól és határtalanságáról: A Higgs-bozon és a fizika »végső elmélet«-e.”(Pannonhalmi Szemle 2013); „Csillagsors: A csillagvilág kövője az újkori természetfilozófiában és a modern asztrofizikában (Pannonhalmi Szemle, 2016); „Az információtechnológiai forradalom és a virtualitás Teilhard de Chardin kozmológiájának kontextusában.” (Magyar Tudomány, 2017); „A matematikai végtelen cantori fogalma Ludwig Wittgensteinnél és Tengelyi Lászlónál” In: Marosán Bence (szerk.): Élettörténet, sorsesemény, önazonosság. Tanulmányok Tengelyi László emlékére. Budapest: 2019 (megjelenés alatt).
Abstract
László Székely: The notions of mathematical and metaphysical infinity in the theories of Georg Cantor, Ludwig Wittgenstein and László Tengelyi
Whereas Wittgenstein’s criticism of Cantor’s concept of mathematical infinity was motivated by his anti-metaphysical philosophical attitude, his arguments are valid independently of his philosophical commitment: in mathematics we indeed face only endlessness, limitlessness and no actual quantitative infinity. However, in contrast to the extreme finitist point of view, this does not mean that mathematical set theory is philosophically incorrect. What must be reformed for its correct presentation is only the verbal narrative attached to the genuine mathematical theory: it is enough to eliminate the words „transfinite” and „infinite” and replace them […]
[…] with the qualitative determination „unlimited” or “boundless” and the concept of mathematical limit. In his monograph Welt und Unendlichkeit László Tengely aims at a phenomenological metaphysics „without ontotheology”. As a part of his project, he analyses Cantor’s theory of transfinite sets and concludes that these mathematical constructions are inappropriate to be mathematical prototypes or counterparts of the phenomenological concept of the infinity, which means the openness of the things inside the world. However, he does not take into consideration Wittgenstein’s criticism of the Cantorian concept of infinity and does not recognize that in the presentation of set theory Cantor merges pure mathematics with its Platonist interpretation. Despite this failure, Tengelyi’s reference to Cusanus’ concept of symbolization of the Absolute with the help of mathematics is illuminative: It makes clear that in contrast with Tengelyi’s conclusion the non-platonically interpreted mathematical infinity, that is, infinity as limitlessness may be interpreted as symbol of the phenomenological openness, while the platonically interpreted mathematical infinity symbolizes the Absolute of ontotheology. But at this point, denying actual quantitative infinity and accepting only limitlessness and openness, a disturbing question arises: from where comes this openness? .Although working in different philosophical frameworks, both Wittgenstein and Tengelyi reject this question. Nevertheless, even if one agrees with Wittgenstein that there is no quantitative infinity but only endlessness, it is hard to eliminate the intuitive idea of the former. It seems that this idea unavoidably haunts when one deals with unlimited mathematical objects (such as e.g. the series of natural numbers or the set of the real ones). According to Wittgenstein this intuitive idea is generated by the misuse of language: language enchants us. But is it really an explanation? It is not equally or more rational to assume that this openness is not the ultimate fact but it is directed out of the world, toward a transcendent sphere, the source of the world’s openness? The Cantorian mathematics (even in its Wittgensteinian interpretation) as well as the poetry of János Pilinszky, his and the excellent late musician Zoltán Kocsis’ witness about Bach’s music, the oeuvres of Bach and the other great composers: all this invokes the intuitive felling of the transcendence and through this feeling orients us toward a metaphysics with ontotheology. Whether a program of a phenomenological metaphysics might ignore these phenomena?
1
Székely László: A matematikai és a metafizikai végtelen Georg Cantornál,
Ludwig Wittgensteinnél és Tengelyi Lászlónál,
és a matematikai végtelen „valódi paradoxona”
Tengelyi László (1954-2014)
1. Bevezetés: a filozófiai problémák jellegéről és a filozófia műveléséről
Leszek Kolakowski Metafizikai horror című művében arról ír, hogy természetes
törekvésünk az idegen nyelvezetnek számunkra ismerős dialektikusba történő átfordítása. Ám
egyúttal fölhívja a figyelmet ennek filozófiai veszélyére is. Heidegger alábbi szavait olvassa:
„az ittlét ígyléte a gond” – fejtegeti Kolakowski – az analitikus filozófus hajlamos arra
gondolni, hogy a német filozófus e szavakkal azt szeretné kifejezni, hogy az emberek gyakran
aggódnak különböző dolgok miatt. Ám az ilyen saját dialektusban való olvasat nem
2
megnyitja, hanem elzárja a megértés útját: amennyiben ugyanis „némi ismeretségbe kerülünk
az új nyelvvel” – folytatja Kolakowski – „valószínűleg arra a belátásra jutunk, hogy a legjobb
módja annak elmondására, amit itt Heidegger mondani törekszik, az, ahogyan ő ezt teszi.”
(Kolakowski, L.: Metafizikai horror. Budapest: Osiris, 1988. ) Ez a figyelmeztetés a valódi
filozófiai problémák megfogalmazhatóságának, kifejezhetőségének nehézségére utal –
bizonyos értelemben arra, amivel mindvégig küszködve Wittgenstein radikális megoldásként
az ilyen problémák hamis, illetve nem létező, illuzórikus volta mellett érvel.
A kiváló magyar filozófiatörténész, filozófus és egyetemi tanár, Munkácsy Gyula
(Tengelyi László egyik mestere) olvasatában a Sein und Zeit Heideggere ott folytatja, ahol
Wittgenstein a Tractatus-ban kiteszi a pontot a „hallgatni kell” után: tudja ugyan, hogy olyan
dolgokról fog beszélni, melyet képtelen megragadni a hagyományos nyelvvel, és ezen utóbbi
normái szerint megméretve szövege abszurd lesz, de ezt tudatosan vállalja. S tulajdonképpen
mi más a filozófia értelme, mint töprengeni és beszélni arról, amiről tudjuk: nem lehet
beszélni (legalábbis a wittgensteini értelemben). A wittgensteini végtelenkritika
reprodukciójától eltekintve a most következő kérdésfölvetések és válaszkísérletek
Wittgenstein filozófiája értelmében értelmetlenek lesznek: olyanok, amelyek elrettentő
példával szolgálnak arra, ami ellen ő küzd: a nyelv általi megbabonázottságunkra. (V. ö.:
Ludwig Wittgenstein: Philosophische Untersuchungen §109. Pl. in:Wittgenstein, Ludwig
De vajon nem éppen ezért érdemes foglalkozni velük?
3
Georg Cantor (1845-1918)
2. Számlálás, számosság és a matematikai végtelen cantori fogalma
Ha meg akarjuk érteni azt a matematikai újítást – mondhatjuk forradalmat –, amelyet
Cantor hozott a matematikában, akkor elsőként a Cantor előtti matematikának a mennyiségi
végtelenhez való viszonyát kell érintenünk. Az arisztotelészi utáni európai
gondolkodástörténetet egészen Cantorig gyakran jellemzik úgy, hogy az mindvégig
elutasította a valóságos, tényleges, azaz „aktuális” végtelent, és csak a lehetőség szerinti,
„potenciális” végtelent ismerte el. Ez azonban – mint amiképpen erre Tengelyi László joggal
hívja föl a figyelmet1 – tévedés: a középkori gondolkodás kezdeteitől egészen a XIX. századig
általánosan elfogadott volt Istennek, mint a világ teremtőjének és korlátok nélküli abszolút
irányítójának föltétlen és valóságos végtelensége. Mi több, ez a fogalom egészen Platónig
vezethető vissza, akinél a legfőbb jó ideája „végtelenül” tökéletes, s mint ilyen,
tökéletességében az aktuális végtelen hordozója. S bár a keresztény teológia ennél jóval
átfogóbb és mélyrehatóbb végtelenséget tulajdonít Istennek, végtelenségfogalmának előképe
mégiscsak az abszolút jó platóni képzete.
1 WU 475-476. A témával kapcsolatosan vesd össze még: Clayton 1996, és Neidhart2007.
4
A végtelenségnek e most érintett típusát minőségi, intenzív végtelenségként
jellemezhetjük, és ennek jegyében az előző bekezdés elején tévesnek minősített
gondolkodástörténeti állítást úgy korrigálhatjuk, hogy amíg az európai gondolkodásban a
középkor kezdeteitől egészen mindmáig helye volt és van a minőségi aktuális végtelennek, a
mennyiségi végtelennek – talán Cusanust kivéve – csupán mint lehetőség szerinti,
„potenciális” végtelennek jutott hely.
A mennyiségi végtelen, mint aktuális és matematikai végtelen, határozott formában
elsőként az újkori tudományok kezdetén, a Newton- és Leibniz-féle differenciál- és
integrálszámításban jelent meg a végtelenül kicsiny mennyiségek formájában. Ez a newtoni és
leibnizi elmélet hihetetlenül hatékonynak bizonyult a fizikában, és nélküle a mai tudomány
kialakulása elképzelhetetlen lett volna. Ám a kor a végtelen kicsiny mennyiségek fogalmának
e matematikán belüli megjelenését mégis elfogadhatatlannak tekintette, és a matematika
fejődésének egyik ösztönzője ebben az időszakban éppen az a szándék volt, hogy e „végtelen
kicsiny”-t oly módon tüntessék el a matematikából, hogy ugyanakkor a Newton- és Leibniz-
féle differenciál- és integrálszámítás korrigált – a végtelen kicsinyt már nem tartalmazó –
változata érvényben maradhasson. Ezt a programot azután számos matematikus fáradozását
követően a határátmenet és a határérték fogalmának megalkotásával a francia
matematikusnak, Augustus-Lion Cauchynak sikerült teljesítenie, majd – mintegy jelezve a
német matematikának a franciával párhuzamos előretörését – e tekintetben Bernhard
Riemann a kétoldalú megközelítések módszerével ugyancsak sikeresnek bizonyult. A XIX.
század második felét így egy olyan korszakként jellemezhetjük, amikorra a differenciál- és
integrálszámítás megőrzésével és továbbfejlesztésével egyidejűleg sikerült eltüntetni a
végtelen kicsiny fogalmát a matematikából.
Tekintettel arra, hogy a Newton-Leibniz-féle integrálszámítás sikeres volt, nem annak
használhatatlan volta motiválta a végtelen kicsiny eltüntetésére irányuló törekvést. Az ok
egyik oldalról az a már jelzett matematikán kívüli meggyőződés volt, mely a végtelen kicsinyt
filozófiailag tarthatatlan és ezért a matematikából kizárandó fogalomnak tekintette. Ezt a
meggyőzősét erősítette meg azután másik oldalról az a tény, hogy Newton és Leibniz
elméletét e fogalmat megőrizve nem sikerült matematikailag teljesen egzakttá tenni. E két
tényező közül az utóbbi nyilván a matematika tudományán belüli, mely mint ilyen a
matematika belügyét képezi. Az előbbi viszont prematematikaiként jellemezhető, mivel
megelőzi a matematikát, s azt szabályozza, hogy milyen matematikát szabad alkotni.
5
Mármost azzal a prematematikai meggyőződéssel, hogy a végtelen kicsinynek nincs helye a
matematikában, maga Cantor is egyetértett.2 Ám másik oldalon, a végtelen nagy mennyiség
fogalmát éppen ö emelte be a tudományba, szembefordulva ezzel kora matematikusaival, akik
a kor szellemét átható prematematikai meggyőződés jegyében a „végtelen nagy” fogalmát
ugyanúgy elfogadhatatlannak tekintették, mint a végtelen kicsiny képzetét.
Cantort természetesen nem filozófusi elmélkedések vezették el újításhoz: kora konkrét
matematikai problémáinak megoldásával foglalkozott, és ennek során jutott el a halmaz –
csupán intuitív – matematikai fogalmához, és a halmazokra vonatkozó elméleten belül a
végtelen számosságú halmazokig. Mert a cantori újítást elsődlegesen nem a végtelen
számosságok bevezetése képezi, hanem a „halmaz” fogalma, és ennek csupán járuléka –
persze kulcsfontosságú járuléka – a halmazok számosságának, és a végtelen számosságú
halmazoknak megjelenése.3
A végtelen számosság fogalmának megvilágítása érdekében tekintsünk olyan egyedi,
elkülöníthető elemekből álló sokaságokat, amilyenekkel a mindennapi élet során
találkozhatunk: egy liget tölgyfáinak összességét, egy nőstényoroszlán éppen megszült
kölykeit vagy egy kosár almát. Ezek a világ valós sokaságai, amelyeknek elemei jól
meghatározott mennyiséggel bírnak. Viszont az is nyilvánvaló, hogy e mennyiségek nem
számok: ezek az utóbbiak csupán emberi fogalmak, emberi konstrukciók, amelyek arra
szolgálnak, hogy segítségükkel megragadjuk e valóságos véges sokaságok elemeinek
mennyiségét. Mivel e mennyiségeket az általunk létrehozott természetes számokkal írjuk le,
egy-egy összesség elemeinek a számáról beszélünk: „a tisztáson álló tölgyfák száma
negyvenkettő”, „az oroszlán kölykeinek száma négy”. Ám a kevésbé fejlett kultúrák egy
részében csak bizonyos mennyiségig vannak számszerű meghatározások, míg ezen fölül már
csak olyan kifejezésekkel rendelkeznek, mint pl. „ötnél több”, „sok”, „nagyon sok” stb. Ennek
pedig ezért van jelentősége, mert bár úgy szoktunk a sokaságok elembeli nagyságáról
beszélni, hogy pl. „a kosárban lévő almák száma huszonöt, „az oroszlán kölykeinek száma
2 V. ö. pl. Bell 2006.
3 Cantornak e témával foglalkozó matematikai tanulmányait lásd a Gesammalte Schriften kötet III. részében, az „Abhandunglen zur Mengentheorie” alcím alatt. Vö: Cantor 1932: 115-356. Cantor életének és munkásságának ma már klasszikusnak tekinthető áttekintése:Fraenkel 1932. A cantori elméletnek történetileg hű, de a mai standard matematikának is megfelelő kifejtését lásd: Deiser 2002., Hallett 1984, illetve Fraenkel – Bar-Hiller 1958. Cantor elméletét, a végtelennel kapcsolatosa koncepciójának kialakulását ugyancsak tárgyalja:Tapp 2005. Magyarul kivonatok Cantornak a matematikai végtelenről szóló elméletéből: Cantor 1988.
6
négy”, és az ilyen kijelentéseket objektív kijelentésnek tekintjük, azok már magukban
foglalják az ember által megkonstruált számfogalmat.
Fejlett számfogalommal rendelkező kultúrákban a sokaságok elemeinek „számát” úgy
határozzuk meg, hogy az elemeket megszámláljuk. Könnyű belátni, hogy ebben az
értelemben nem beszélhetünk olyan sokaságok „számának” meghatározásáról, amelyek
végtelen sok elemet tartalmaznak, hiszen egy ilyen sokaság elemeit akkor sem tudnánk
végigszámlálni, ha örökkévaló életünk volna: ekkor sem juthatnánk sohasem a végére, hiszen
ekkor életünknek sem volna sohasem vége: a véges sokaság, legyen az bármily nagy is, egy
örökéletű lény által mindig megszámlálható lesz, ám a végtelen sohasem. Annak okát tehát,
hogy a matematikai mennyiségi végtelent az európai gondolkodás sokáig csak mint lehetőség
szerinti végtelent ismerte el, és tagadta valóságosságát, nem egyszerűen Arisztotelész
tekintélyében kell keresnünk. Éppen megfordítva: Arisztotelész koncepciója többek között a
számlálás mindennapi élményén nyugodott, és más tényezők mellett éppen ez a mindennapi
élmény hitelesítette azt. A végtelen „végigszámlálásának” lehetetlensége volt az elsődleges
tényező abban, hogy egészen Cantorig a mennyiségi végtelen megmaradt formátlan,
meghatározatlan, csak lehetőség szerint létező mennyiségnek, s ezért nem lehetett helye a
matematikában.
Az előbbi példákban említett, elkülöníthető elemekből álló sokaságokra Cantor
bevezette a halmaz fogalmát, a halmazokhoz pedig az azok által tartalmazott elemek
mennyiségi mértékekét hozzárendelte relatív számosságuknak – azaz elemeik „kardinális
számának” – fogalmát. Eszerint két halmaz egymáshoz viszonyítva akkor és csak akkor
azonos számosságú, ha elemei kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak, míg
egy adott halmaz számossága akkor kisebb egy másik halmaz számosságánál, ha nem
lehetséges közöttük ilyen kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, de az első halmaz elemei
kölcsönösen egyértelműen leképezhetőek a második halmaz valamely részhalmazára. Könnyű
belátni, hogy e cantori fogalom nem abszolút, hanem csupán relatív fogalom: nem egy halmaz
önálló, „magában való” számosságát, hanem csupán két különböző halmaz számosságának
viszonyát határozza meg. Relatív ez a fogalom, hiszen csak halmazok egymáshoz való
viszonyában értelmezhető, miközben például egy katonai századra és ezredre tekintve minden
számlálás nélkül – mondjuk így: abszolút módon – látjuk a mennyiségi különbséget. A
számosság e cantori fogalma azonban relativitása ellenére a végesek esetében ekvivalens az
ilyen számlálás nélkül élményekkel (pl. a cantori fogalommal is azt fogjuk kapni, hogy az
ezred „nagyobb”, mint a század). Továbbá a kulcsfogalmát képező „kölcsönösen egyértelmű
7
megfeleltetés” pontosan megfelel annak a műveletnek, amit számláláskor végzünk.
Konkrétan: ha például megszámláljuk egy almáskosár almáit, a cantori fogalom értelmében
nem teszünk mást, mint kölcsönösen egyértelműen megfeleltetjük egymásnak a természetes
számok sorozatának elejét az almaszemeknek, s ha például 25-nél fogynak el az almák, akkor
a cantori fogalmat használva éppen azt állapítjuk meg, hogy az első 25 természetes szám
halmazának „számosság”-a az almáskosárban lévő almaszemek „számosság”-ával azonos.
Így a véges elemű halmazok esetében a cantori „számosság” értéke azonos a
hagyományos számlálás által adódó mennyiséggel: ez még az elképzelhetetlenül nagy véges
számok esetében is így van, mert mindig elképzelhetünk egy olyan lényt, mely sokáig él, és
végigszámolja a halmaz elemeit. A cantori számosság relatív meghatározása azonban a
végtelennek tekintett matematikai halmazok esetében újat hozott. Ugyanis nyilvánvaló, hogy
például az összes természetes szám nem számlálható végig (mint láttuk, azok „mennyisége”
elsősorban éppen ezért maradt meg amorf, meghatározhatatlan, potenciális mennyiségi
végtelenként). A cantori számosság megállapítása viszont nem minden esetben előföltételezi
a halmaz elemeinek végigszámolását, azaz e cantori fogalmat használva egy új módszert
kapunk a halmazok elemeinek mennyiségi meghatározása: elég csupán egy kölcsönösen
egyértelmű leképezést definiáló formulát találnunk. Vegyük például az 1.000.001-nél kisebb
páros természetes számok halmazát. Ha az 1-hez a 2-őt, a 2-höz a 4-et, és a n<500.001-hez a
2n-t rendeljük, könnyű belátni, hogy ily módon az első 500.000 természetes szám
halmazának és 1.000.001-nél kisebb természetes páros számok halmazának kölcsönösen
egyértelmű egymáshoz rendeléséhez jutunk, és ezért számlálás nélkül is megállapítható, hogy
e két halmaz számossága a cantori értelemben azonos, ami hagyományos megfogalmazásban
azt jelenti, hogy az 1.000.001-nél kisebb természetes páros számokat tartalmazó halmaz
elemeinek „száma” ötszázezer. De ilyen kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés az is, ha
például minden természetes számhoz hozzárendeljük annak kétszeresét, hiszen ilyenkor
minden természetes számhoz egy és csak egy jól meghatározott páros szám rendelődik: pl. az
„n”-hez a „2n”, és megfordítva, minden „2i” alakú páros számhoz egy és csak egy
természetes szám, az „i”. Ez az utóbbi példa azonban mégiscsak erősen különbözik az előző,
véges esettől: a véges esetben fele annyit páros számot találunk az ezeregynél kisebb
természetes számok között, mint ahány ilyen természetes szám van, míg az utóbbi példában
annak a halmaznak a számossága, amelyhez a természetes számok halmazának
megfelezésével jutunk, a cantori definíció szerint azonos lesz az eredeti, „megfelezett”
halmaz számosságával. S mivel a számosság a végesben azonos az elemek számával, ennek
8
nyomán könnyen abban a kísértésbe esünk, hogy a következőképpen fogalmazzunk: a páros
természetes számok „száma” ugyanannyi mint a természetes számok „száma”. Ez azonban
fogalmi csúsztatás, amelyet a népszerűsítő irodalom ki is használni, hogy így a természetes
számok és az azok megfelezésével kapott páros számok halmazának „ugyanakkora” vagy
„azonos elemszámú” voltának paradoxonához jusson, és azt szenzációként tálalhassa.
Ez a most jelzett fogalmi csúsztatás abból fakad, hogy az „elemek száma” kifejezés a
hagyományos számláláshoz kapcsolódik, míg a cantori számosság esetében mesterséges
definícióról van szó, mely a végesben való értékegyenlőség ellenére fogalmilag nem azonos
sem „az elemek számá”-val, sem a hétköznapi értelemben vett „ugyanannyi”-val. Az a tény
ugyanis, hogy véges halmazok esetében e kettő érték – tehát a „számosság” értéke és az
„ugyanannyi” vagy „az elemek száma” – számszerűleg egybeesik, semmiképpen sem
jogosít föl arra, hogy a végtelen számosságú halmazok számossága kapcsán is
hagyományos értelemben az „elemek számá”-ról beszéljünk. A matematikai végtelennel
kapcsolatos, az olvasókat elbűvölni szándékozó népszerűsítő irodalom viszont tudatosan vagy
tudatlanul éppen ezt a csúsztatást követi el: a végtelen halmazok cantori értelemben vett
azonos számosságát a mindennapi életben használatos „ugyanannyi”-val azonosítja.
A n --- 2n leképezési formula tehát kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a
természetes számok halmaza és az annak megfelezésével kapott páros természetes számok
között, aminek nyomán mindkét halmazra ugyanazon cantori számosságot kapjuk. Ha
azonban egy mennyiséget megfelezünk, annak feleakkorának kellene lennie, mint az eredeti
mennyiségnek, és az, hogy ez a végtelen számosságú halmozok esetében nem így van,
mindaddig, amíg figyelmen kívül hagyjuk a végtelenek strukturáltságára vonatkozó, később
érintendő cantori eredményt, megerősítheti azt a hagyományos elképzelést, hogy a
mennyiségi végtelen amorf, meghatározatlan, hiszen ami meghatározatlan, annak a fele is
meghatározatlan. De e két halmaz számosságának azonossága érv lehet amellett is, hogy amit
Cantor itt számosságnak nevez, az – amiképpen ezt Wittgenstein is állítja – a végtelen
halmazok esetében valójában nem mennyiségi kategória, hanem valami más. Ugyanakkor e
fogalom nem tartalmaz, formális ellentmondást, és ezért Cantorban az ilyen fogalmi jellegű
ellenérv nem vetődött föl, és ö maga is öntudatlanul elkövette azt a csúsztatást, amelyet a
későbbi populáris irodalom kapcsán már jeleztünk: a természetes számok halmazának
ugyanolyan lezárt, jól meghatározott jelleget tulajdonított, mint amivel például az
almáskosárban lévő 25 almaszem halmaza rendelkezik. Csakhogy az almaszemek mennyisége
a hagyományos számlálással is meghatározható, és önmagában az, hogy az első 25
9
természetes szám és az almák közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel ugyanúgy 25-
öt kapunk értékként, mint az almák hagyományos megszámlálásával, nem jogosít föl arra,
hogy a 25-ös értéket és a természetes számok halmazára kapott „végtelen” számosságot
azonos jellegűnek vagy minőségűnek tekintsük. Az összes természetes szám ugyanis a cantori
számosságdefiníció bevezetése ellenére továbbra is ugyanúgy végigszámolhatatlan marad,
mint azelőtt volt, és halmazuk elemeinek végtelensége csak akkor volna párhuzamba állítható
a 25-tel (vagy bármely véges természetes számmal), ha föltennénk, hogy a végtelen sok
természetes szám hasonlóképpen létezik valahol lezárt összességként, mint amiképpen az
almák az almáskosárban, vagy a katonák egy katonai században.
Ha mégis elfogadjuk azt a cantori attitűdöt, mely a végtelen számosságot a véges,
lezárt halmazok elemszámával azonos jellegűnek tekinti, fölvetődik a kérdés: vajon
lehetségesek-e olyan halmazok, amelyek számossága nagyobb mint a természetes számok
számossága? Cantor válasza erre, hogy a valós számok halmazának számossága nagyobb a
természetes számok számosságánál, továbbá minden végtelen számossághoz megadható olyan
halmaz, melynek számossága nagyobb – „még végtelenebb” – ennél az eredeti, már végtelen
számosságnál.
A végtelen nagyságú számosságok sorozatának első tagját Cantor az „ omega ”4
jellel jelöli, és ez megfelel a természetes számok „megszámlálható”-nak nevezett
végtelenségének (amelyeket, mint láttuk, valójában még egy végtelen életű személy sem
számolhat meg sohasem), következő számosságként pedig az „ omega ” számosságnál
nagyobb „kontinuum végtelen”-t adja meg. Az általa így bevezetett számosságokra azután a
héber ábécé első betűjét fölhasználva mint az alef-0, alef-1 …….. alef-n …. számosságokra
utal, ahol az alef-0 az omega , az alef-1 a kontínuum végtelen.5 Azzal a kérdéssel viszont,
hogy az alef-i számosságok között vannak e újabb számosságok, nem képes boldogulni, s ma
már tudjuk, hogy ez az axiómarendszer megválasztásának kérdése –– azaz az alkotó
matematikai tevékenység során meghozható szabad döntéstől függ. Arra a kérdésre viszont,
hogy lehetséges-e legnagyobb számosság, illetve lehetséges-e olyan halmaz, melynek
számossága minden más számosságnál nagyobb, sikerül választ találnia: ha föltesszük egy
4 A felső vonás nélküli „omega” a később említésre kerülő rendszámok vagy ordinális számok egyike: a véges számokat követő „legkisebb” végtelen – „transzfinit” – ordinális számot jelöli Cantornál.
5 Lásd mindezzel kapcsolatosan korábbi, 3. lábjegyzetünket.
10
ilyen halmaz létezését, ez logikai ellenmondáshoz vezet, és ezért ilyen számosság és ilyen
számosságú halmaz nem vezethető be a matematikába. 6
Cantor a számosságok mellett szintén bevezeti az „ordinális számok”-at vagy
másképpen „rendszámok”-at, melyek a sorszámoknak felelnek meg, és a véges rendszámok
mellett ezek között is definiál megszámlálhatóan sok végtelen nagyságút. (Pl. az öt mint
mennyiség – öt pohár – és az öt mint sorszám – az ötödik pohár – nem azonos, s a kettő közül
az „ötödik” kifejezés felel meg a cantori „ordinális szám”-nak). Viszont amiképpen a
számosságok elméletében sem adható meg legnagyobb számosság, úgy az ordinális (azaz a
„rend”-) számokra is igaz, hogy nem rendelhető föléjük egy olyan „szuper”-ordinális szám,
egy „OMEGA”, mely ahhoz hasonlóan, amiképpen az„ omega ”, azaz a megszámlálható
végtelen számosság minden természetes számnál nagyobb, minden ordinális számánál
nagyobb volna.7
Cantor mind a végtelen számosságokat (azaz a végtelen kardinális számokat), mind a
végtelen rendszámokat (azaz a végtelen ordinális számokat) „transzfinit” – „végesen túli” –
mennyiségeknek illetve számoknak nevezi, s az ezekre vonatkozó elmélet a transzfinit
számok (azaz a végtelen nagyságú számosságok és rendszámok) cantori elmélete.
Megjegyzendő, hogy az eredeti cantori halmazelmélet – és így a transzfinit számokra
vonatkozó matematikai elmélet is – a mai matematikai megítélés szerint „naiv” volt (ez azt
jelenti, hogy nem adott alapfogalmaira precíz definíciókat, és elméletét nem alapozta meg
axiomatikusan). Következő fejtegetéseinkben azonban nem fogjuk kihasználni a cantori
elmélet ezen „naiv” voltát, és ezért azok a mai kritériumoknak megfelelő, korrigált,
axiomatikus halmazelméletre, valamint az ennek keretében bevezetett végtelen
számosságokra is ugyanúgy érvényesek maradnak, mint az elmélet eredeti, cantori
megfogalmazására.
3. A transzfinit számok cantori elméletének gondolkodástörténeti jelentősége
6: Cantor 1897 után nem tesz közzé újabb tanulmányokat, de intenzív levelezésének tartalma tanúsítja, hogy ezután is foglalkozik matematikai kérdésekkel. Az összes „alef” egyesítésével adódó halmaz számosságának ellentmondásosságáról v. ö. pl.: Cantor 1899/1932B: 448. (Lásd még Fraenkel 1932: 470; Cantor 1899/1932: 446-447; Cantor 1988: 83-85.)
7 Annak bizonyítását, hogy ilyen rendszám nem létezik, 1897-ben Cesaro Burali-Forti olasz matematikus tette közzé. Abraham Adolf Fraenkel szerint azonban Cantor a Burali-Forti-antinómiában megjelenő ellenetmondást már 1895-ben ismerte (Fraenkel 1932: 470.). Fraenkel e tekintetben Cantornak Hilberthez 1896-ban írott levelére hivatkozik. V. ö. még: Cantor 1899/1932)
11
Halmazelméletével, és különösen elméletének azon részével, mely a végtelen
halmazokkal és végtelen számosságokkal foglalkozik, Cantor teljes új és rendkívül hatékony
eszközt adott a matematika kezébe, mely e tudomány számos területén kiválóan alkalmazható,
és alkalmas arra, hogy az egymástól különböző matematikai területek tárgyalásában egységes
szemléletmódot alakítson ki. A később axiomatikusan korrigált cantori elmélet pedig nagy
jelentőséggel bír a matematika megalapozásában is.
Mint láttuk, gondolkodástörténetileg tekintve Cantor elmélete nem sokkal azután
jelent meg, miután a matematikusoknak sikerült végre a végtelen kicsiny botrányosnak tartott
fogalmát eltávolítani tudományukból. Cantor ebben a helyzetben halmazelméletével a másik
pólusról – a végtelen nagy mennyiségek oldaláról – visszahozta a matematikába a végtelen
fogalmát., s egyúttal az arisztotelészi tradícióval szemben kiállt a reális, valóságos – tehát
aktuális – mennyiségi végtelen mellett, aminek nyomán a filozófiát is arra kényszerítette,
hogy pro vagy kontra új módon közelítsen a végtelen problematikájához. Továbbá azzal,
hogy definíciójára alapozva a végtelen nagy számosságok nagyság szerint rendezhető
sorozatát vezette be, a mennyiségi végtelen addigi meghatározatlan, amorf képzetét
fokozatokkal bíró, strukturált mennyiségként állította elénk. Ezért a természetes és a páros
természetes számok azonos cantori számossága mégsem intézhető el a korábbiakban fölvetett
módon egyszerűen azzal, hogy végtelenségük meghatározatlanságára hivatkozunk (tehát arra,
hogy a meghatározatlannak a fele és a kétszerese is értelemszerűen meghatározatlan marad),
hiszen az, hogy a cantori elméletben egymástól különböző mértékű végtelen nagy
számosságok vezethetőek be, éppen ezen meghatározatlanság ellen szól. Így e tekintetben két
lehetőség marad: vagy elfogadjuk, hogy Cantornál olyan valóságos végtelen mennyiségekről
van szó, melyek megfelezésük ellenére változatlanok maradnak, vagy megmutatjuk, hogy
az, amit Cantor mennyiségnek tekint, és akként kezel, nem mennyiség, hanem valami más.
A most jelzett fogalmi problémák ellenére ugyanakkor az axiomatikusan rendbetett
cantori halmazelmélet a matematika legjobb tudomása szerint nem tartalmaz formális logikai
ellentmondást, s ebben az értelemben matematikailag hibátlan. Az olyan fogalmi problémák,
amily pl. a 25 almát tartalmazó halmaz és a természetes számok halmaza számosságának
azonos természetűként való kezelése, és az ilyen csúsztatásokból adódó fogalmi
ellentmondások (így az, hogy egy mennyiség fele azonos magával az eredeti mennyiséggel),
nem formális, nem logikai ellentmondások, és nem érintik az elmélet matematikai
hatékonyságát.
12
A képen Georg Cantor látható idősebb korában
4. Cantor filozófiai reflexiói saját elméletére
Mármost Cantor tisztába volt vele, hogy elmélete, mint matematikai fogalmak,
szabályok, számítások, tételek és bizonyítások rendszere, filozófiai értelmezésre szorul. S
miután oly neves matematikus kortársak, mint Kronecker vagy Poincaré – nem matematikai,
hanem prematematikai, filozófiai jellegű megfontolások alapján – elutasították elméletét,
rákényszerült arra, hogy azt filozófiai érvekkel is védelmezze.
Tekintetbe véve, hogy az elméletével kapcsolatos fönntartások elsősorban az aktuális
végtelent érintették, filozófiai reflexiói is elsősorban az aktuális végtelenre irányulnak. Egyik
– s talán általa legerősebbnek tartott – érve az aktuális végtelen létezése mellett az általa
bevezetett végtelen számosságok és rendszámok logikai ellentmondás-mentessége. Úgy véli,
hogy ez az ellentmondás-mentesség evidencia az aktuális végtelen matematikában belül
jelenléte mellett. Ez azonban hibás érv. Kantot parafrazálva: hiába van hibátlan logikai
elméletem a zsebemben lévő száz tallérról, az még nem válik létezővé sem a zsebemben, sem
fejemben: ami létezni fog, az csupán a zsebemben lévő száz tallér fogalma, és az is csak a
fejemben. Igaz, ha elképzelem darabra e nem létező száz tallér mindegyikét, akkor a száz
tallér halmázának fogalma mellett a fejemben mind a száz tallér képzete (azaz száz egyedi
képzet) is ott lesz, de éppen itt van az a pont, ahol Cantor érve megbukik: az összes
természetes számot vagy az összes valós számot képtelenek vagyunk elképzelni. Halmazuk
fogalma megalkotható, és annak ellentmondásmentesen végtelen számosság tulajdonítható, de
ettől még elménkben, fejünkben, matematikai könyveinkben nem fog megjelenni aktuálisan
végtelen sok természetes vagy valós szám. Abból például, hogy az aktuálisan végtelen sok
számosságú természetes szám fogalma nem generál formális ellentmondást, nem következik,
13
hogy akár elméletünkben, akár elméletünkön kívül ténylegesen létezne ez az aktuálisan
végtelen sokaság. A végtelen fogalma nem azonos magával a végtelennel: ott ahol e
fogalom jelen van, még nincs jelen a végtelen, mint amiképpen a száz tallér fogalma sem
garantálja még csak elménkben sem a száz tallér egyenkénti képzetének jelenlétét: ehhez e
fogalmon túl egyenként el kellene képzelni mind a száz tallért, ami még talán lehetséges. Ám
az „összes” természetes szám esetében ez nyilvánvalóan lehetetlen.
Cantor második érve elméletének fizikai használhatóságára hivatkozik.8 Állítása
szerint a megszámlálható végtelen matematikai fogalma a világegyetem fizikai elemeinek
megszámlálható végtelen sokaságát ragadja meg, a kontinuum végtelen pedig a folytonos
fizikai háttérközeg pontszerű alkotórészeinek mennyiségét. Ő maga konkrétan az atomok
számára és az éterre gondol, de ez lefordítható a mai fizikába az atomok helyére a kvarkokat,
az éter helyére a gravitációs mezőt helyezve. Ennek ellenére a kvantumosság és
határozatlansági relációk miatt a kontinuum esetében ez az érv a mai fizika szerint nem áll
meg, és az azt sem tartja szükségszerűnek, hogy végtelen sok számú elemi részecske létezzék
a világegyetemben. Ám Cantor ezen érvével mégsem ez a fő probléma: eleve hibás az az
állítás, mely szerint a mennyiségi végtelen matematikai elméletének fizikai alkalmazhatósága
e végtelen fizikai aktualitását vonná maga után. E gondolatmenet filozófiai-ismeretelméleti
problematikusságába itt nem tudunk belebocsátkozni. Arra viszont utalhatunk, hogy a mai
fizika matematikája használja a matematikai végtelenfogalmát, de – mint láthattuk – az ezen
matematikával leírt fizikai világban nem föltétlenül föltételezi végtelen mennyiségek
létezését: bár használja e végtelenfogalmat, összeegyeztethető véges fizikai világgal is.
Cantor harmadik érve teológiai érv: alapjául Isten abszolút végtelensége és jósága
szolgál.9 Eszerint Isten abszolút, a matematika által sem megragadható végtelenségéből és
jóságból inkább következik, hogy aktuális végteleneket is teremtett, mint ennek ellenkezője.
A teremtett végtelenek pedig maguk az isteni végtelenség felé mutató, de annál alacsonyabb
rendű transzfinit végtelenek, melyeket azután az emberiség Cantor szerint éppen az ő
matematikájában ismer és ragad meg a traszfinit számosságok és rendszámok formájában.
Mindebből kitűnik, hogy Cantor matematikája nem ragadta meg az aktuális végtelent,
illetve nem bizonyította annak létezését: matematikai ellenmondásmentességéből nem
8 V. ö. pl.: Cantor 1887-1888/1932: 400.
9 U.o.
14
következik a végtelen valós létezése, „aktualitása”. A mennyiségi végtelen aktualitását csak
matematikán kívüli érvekre hivatkozva állíthatjuk, s Cantor vonatkozó érvei közül csak a
teológiai működik. Ahhoz viszont előbb el kel fogadnunk Istennek mint abszolútumnak
létezését.
A harmadik, teológiai érvben viszont egyúttal implicit módon bennfoglaltatik a
teoplatonsita álláspont is: ha Isten transzfinit végteleneket teremtett, akkor azoknak előzetesen
ott kellett lenniük örökkévaló elméjében, azaz ezen esetben a cantori transzfinitek örökkévaló
létezők egy a fizikain és emberin túli szellemi szférában, Isten elméjében. Ismereteink szerint
a transzfinitek ezen örökkévaló szellemi létezésének platonista ideáját Cantor ugyanakkor
kifejezett módon is megfogalmazta. Így egy alkalommal a harmadik világot tételező
klasszikus platonizmus jelenik meg nála, amikor arról ír, hogy a teremtett világban az emberi
elmén és a fizikai világon kívül egy harmadik, szellemi szférában is jelen vannak a transzfinit
számok10, míg egy másik helyen kifejezetten a teoplatonista álláspont mellett kötelezi el
magát, amikor azt fejtegeti, hogy a transzfinit mennyiségek örökkévalóan jelen voltak és
vannak Isten értelmében.11
5. Cantor saját elméletének filozófiai státuszáról és Kanthoz való viszonyáról
Cantor filozófiai nézeteivel foglalkozva két elképzelését kell még megemlítenünk:
i) Elmélete alapján úgy véli, hogy meghaladta a mennyiségi végtelent érintő kanti antinómiát, és
a transzfinit mennyiségekkel kapcsolatos saját eredményeire hivatkozva büszkén állíja, hogy
Kant az emberi értelem tekintetben kishitű volt.12 Elméletét tehát a mennyiségi végtelen
elméleti meghódításában elért vélt sikerre hivatkozva mint az emberi értelem és ezen belül a
matematika tudományának diadalát méltatja
10 Cantor 1883/1932: 181.
11 Lásd Cantor 1895. november 30-án kelt Charles Hermite-höz írt levelét. Idézi, illetve hivatkozik rá.pl. Dauben 1979: 228; Hallett 1984: 149; Purkert 1989: 58. (Bár idéz belőle, de a levél vonatkozó részletét a Cantor válogatott levelezésének 1999-es kötete nem tartalmazza, így tekintetében csak másodlagos források állnak rendelkezésünkre. Alevél eredetijének lelőhelye: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen, Nachlass Georg Cantor.) 12 Cantor 1885/1932: 375.; illetve Cantor 1988: 79-80.
15
ii) Másik oldalról azonban a matematikát korlátozott hatókörűnek tartja, és az az
álláspontja, hogy az csupán a transzfinit, tehát a „végesen túli” értelemben vett végteleneket
képes megragadni, míg Isten intenzív végtelensége és maximális nagysága a teológia tárgya
lehet csupán. Sőt, nézete szerint az isteni végtelenség mint „ abszolút végtelen” és a
matematika által megragadható alacsonyabb rendű, transzfinit végtelenek között
áthatolhatatlan szakadék tátong, és amíg a transzfinitek a matematika tárgyát alkotják, addig
már a maximális mennyiségi végtelen is csak a teológia tárgyát képezheti.13 Ugyanakkor ezen
áthatolhatatlan szakadék ellenére úgy vélte, hogy a transzfinit rendszámok – azaz az
„ordinális számok” – lezáratlan, végtelenbe szaladó sorozata Isten végtelenségét
szimbolizálja,14 és így a matematika, mint sajátos résztudomány, bár az abszolút végtelen
megközelíthetetlen számára, mégis e végső végtelen és azon keresztül az abszolútumra
irányul.
iii) Ezen utóbbi cantori gondolatmenettel szemben fölvethető persze, hogy a
rendszámok – az „ordinális számok” – végtelen sorozata hasonló természetű a természetes
számok végtelen sorozatához, és így Cantor miért csak ezek sorozatát tekinti az abszolút
végtelen szimbolizálásának? Csakhogy e két sorozat azonos természete látszat csupán.
Ugyanis az „ omega ”, azaz az „alef-0”, annak ellenére, hogy a legkisebb cantori számosság,
a cantori elmélet szerint nagyobb az 1,2,3 ….n …. sorozat valamennyi tagjánál. Ezzel
szemben – mint láthattuk – a rendszámok sorozatához nem adható meg egy „szuper”
OMEGA rendszám, mely valamennyi rendszámnál nagyobb volna, mint amiképpen az alef-0,
alef-1 ….. alef-n …. sorozathoz sem adható meg ilyen, a sorozat minden tagjánál nagyobb
„szuper” ALEF számosság, mivel mind egy ilyen OMEGA, mind egy ilyen legnagyobb
számosság fogalma logikai ellentmondást tartalmaz. Ezért amíg a cantori elméletben az 1,2,3
….n …. sorozatot az omega, mint végtelen, de jól meghatározott rendszám korlátozza, és a
sorozat irányultsága e jól meghatározott transzfintit ordinális szám felé mutat, addig mind az
alef-0, alef-1, alef-2 ……. alef-n ……. sorozat, mind a rendszámok sorozata irányultságaként
a formális ellentmondást tartalmazó, és ezért a matematika által már megragadhatatlan, az
emberi elme számára fölfoghatatlan abszolút végtelen nagyság adódik. Így e sorozatok, bár
magukban még a matematikán belüliek, Cantor értelmezésében már a matematikán kívülre
13 Pl. Cantor 1887-1888/1932: 402.
14 Cantor 1883/1932: 205. illetve uő: 1887-1888/1932: 405
16
mutatnak15 (bár az abszolút végtelen és a matematika közötti áthatolhatatlan szakadék miatt
azt még csak meg sem közelíthetik16).
iv) Ami Cantornak saját elméletét Kanttal szemben magasztaló állítását illeti: az
nyilvánvalóan a kanti antinómia félreértésén alapul, mivel Kant nem formális logikai, hanem
a személetünkben és fogalmainkban adódó ellentmondásra hivatkozik. Továbbá a
végtelenség-antinómia pontosan arról szól, hogy a végtelen összességek nem kezelhetőek
lezárt egészként, és az összes számosság egyestésével kapott „legnagyobb számosság”
fogalmának Cantor által fölfedezett logikai ellentmondásossága pontosan Kant ezen állítását
támasztja alá. Ezért még a cantori szemléletmódot elfogadva is csak annyit állíthatunk, hogy
Cantor elmélete csupán az alacsonyabb rendű mennyiségi végtelenek – a transzfinitek –
megragadására képes, de a tulajdonképpeni mennyiségi végtelen tekintetében – tehát azon
mennyiségi végtelen tekintetében, amelynél (úgy mint amiképpen ezt a végtelen eredeti
fogalma magában foglalja) nincs „nagyobb”, s ebben az értelemben valóban végtelen –
kudarcot vallott. Ez pedig éppen – mint amiképpen erre a Cantor összegyűjtött műveinek
kiadását szerkesztő Zermerlo is helyesen utal vonatkozó jegyzetében17 – Kant álláspontját
erősíti meg.
6. A cantori végtelenfogalom lehetséges kritikái. Prematematika és posztmatematika
Mint említettük, Cantor elmélete hihetetlenül hatékonynak bizonyult a matematikában,
s a ma uralkodó matematika elképzelhetetlen volna nélküle. Fölvetődik tehát a kérdés, hogy
mi értelme van kritikájának, és különösképpen az, hogy Wittgenstein mint filozófus vajon
milyen jogon kritizálja azt?
E kérdésre megválaszolva elsőként arra a tényre kell emlékeznünk, hogy a Newton-
Leibniz-féle differenciál- és integrálszámítás is hihetetlenül termékeny és sikeres volt, ám
mégsem szűntek meg annak idején a vele kapcsolatos prematematikai fönntartások, és végül
a bennük szereplő „végtelen kicsiny” kiküszöbölésre került. (Igaz, azóta bebizonyították,
hogy a végtelen kicsiny newtoni-leibnizi fogalma is rendbe tehető matematikailag. Ám az így 15 A témával kapcsolatosan v. ö. még: Neidhart 2007, illetve Tapp 2005 és Tapp 2014.
16 V. ö. Cantor 1887-1888/1932: 405-406.
17 Cantor 1885/1932: 377; Cantor 1988: 77.
17
kapott elmélet egyrészt már nem teljesen azonos az eredetivel, másrészt azt sem vonja maga
után, hogy a mai matematikát ne lehetne a végtelen kicsiny fogalma nélkül művelni.)
Hasonló a helyzet Cantor elméletével is: sikere és axiomatikus változatának
kidolgozása sem teszi érvénytelenné a vele kapcsolatos prematematikai fönntartásokat. És
enne kapcsán nem alkalmazható a zseniális, de a korral haladni nem képes tudósokra
vonatkozó mitológia sem: egyrészt azért nem, mert pl. az elméletet ellenző Henri Poincaré
legalább annyira volt XX. századi modern gondolkodó, mint XIX. századi tudós. Másrészt
azért sem, mert miután Cantor elmélete végül betört a matematikába, és oly nagy tudósok
váltak hívévé, mint David Hilbert, immáron fiatal, tehetséges, „forradalmi” gondolkodású
matematikusok szegültek szembe vele, és léptek föl egy új, nem cantoriánus, a végtelen
fogalmát mellőző matematika kidolgozásáért. E fiatal matematikusok, így Brouwer és Weyl
szemében pedig már éppen a cantori elmélethez való ragaszkodás tűnt elavultnak,
régimódinak. De megemlíthetjük még azt is, hogy a konstruktív matematikának a matematikai
végtelent szintén elutasító programja – amelynek egyik képviselője a szintén kiváló
matematikus, Markov volt – ma is él és tudományosan elismert. A cantori matematikai
végtelen kritikája tehát kiváló matematikusoktól fakadt, s mint ilyen, ma is létező matematikai
irányzat, amelyet az 1920-as években ifjú, tehetséges, a matematika megújításán lelkesen
dolgozó tudósok képviseltek. Wittgensteint pedig a már említett Brouwer insprirálta a cantori
elmélet kritikájára, azaz e kritika nem a filozófusok, hanem famatematikusok felől érkezett.
Nem Wittgenstein formálta Brouwer nézeteit, hanem az utóbbi mint matematikus gyakorolt
jelentős hatást Wittgenstein filozófiájára. Persze Wittgenstein nem vált Brouwer mechanikus
követőjévé: az utóbbi csak az inspirációt és az alapideákat nyújtotta számára, amelyeket ő
azután továbbgondolt, átformált, elmélyített, és késői filozófiájának szuverén részévé tett.
A végtelen kicsivel kapcsolatos fönntartások kapcsán már használtuk a
”prematematika” fogalmát. A cantori végtelen Wittgenstein-féle kritikájának megjelenik
ugyanakkor egy ezzel ellentétes mozzanata: az osztrák filozófus több alkalommal is
hangsúlyozza, hogy a filozófiai kritikának a matematikát érintetlenül kell hagynia, e kritika
csupán arra irányul, amiképpen a matematikára tekintünk, amiként azt látjuk: föladata az,
hogy az eddigi hibás megvilágítás helyett mintegy új fényben tárja elénk e tudományt. Az így
fölfogott matematika-filozófiát posztmatematikainak nevezhetjük: a tárgyát képező
matematikai elmélet megalkotása után, azt immár adottnak tekintve foglalkozik vele, elemzi
azt. Ennek megfelelően a wittgensteini kritika nem a matematikába hatol be, hanem csupán
azokat a konstrukciókat elemzi, amelyekre Cantor a mennyiségi végtelen különböző
18
fokozatainak megragadásaként tekint, és Cantorral szemben amellett érvel, hogy itt nem
jelennek meg mennyiségi végtelenek: az, amit Cantor annak vél, valójában nem mennyiségi
meghatározás, hanem csupán véges konstrukciók tulajdonsága. Ezzel együtt kritikájának
radikális volta és néhány megjegyzése alapján olykor mégiscsak úgy tűnik, mintha
elemzéseinek a posztmatematikai mellett prematematikai – azaz a matematika
megváltoztatására irányuló – értelmet is tulajdonítana. Ezen a következetlenségen azonban
nem kell csodálkoznunk, hiszen matematikai nézeteit sohasem formálta egésszé: azokat
hosszú évek alatt megfogalmazódott töredékes feljegyzései tartalmazzák. S e kettőséget
értelmezhetjük úgy is, hogy ha maga Wittgenstein nem is akart a matematikához hozzányúlni,
kritikájának egyik célja talán mégis az volt, hogy a matematikusokat a cantori matematika
lecserélésére ösztönözze.
7. A cantori transzfinit fogalmának kritikai értelmezése Wittgenstein matematikafilozófiai
jegyzeteiben
A végtelen kapcsán hangsúlyozandó első wittgensteini gondolat szerint a végtelennek (pl.
egy végtelen fasornak) – fogalmából következőleg – nincs vége, 18 azaz „a vég nélküliségben
éppen a vég nélküliség a végtelen”19. Filozófiailag „egzaktabb” megfogalmazásban:
„értelmetlen a végtelen számsorozat egészéről beszélni”,20 mivel a „végtelen totalitás”
fogalma ellentmondáshoz vezet.21 (Csak zárójelben jegyezzük meg, hogy itt az osztrák
filozófus nem föltétlenül logikai ellenmondásra gondol. Így a tényszerűen egyébként sem
végtelen cantori konstrukciók logikai ellentmondásmentessége nem lehet ellenérv vele
szemben.)
E gondolat olvasható csupán posztmatematikai megállapításként is: nem azt állítja,
hogy eleve hibásak azok a matematikai konstrukciók, amelyeket Cantor és követői a
18Wittgenstein: Philosophische Bemerkungen (PhB) XII/123 (Wittgenstein 1964: 146.), illetve uő: Philosophische Grammatik (PhG) Teil VII/39. 16. bekezdés (Wittgenstein 1984: 455.)
19 PhB XII/145. utolsó mondata (1964: 167.)
20 PhB XII/144. első bekezdése (i.m.: 164.)
21 PhB XII/145. negyedik bekezdés (i.m.: 166.)
19
mennyiségi végtelen megragadásának tekintenek: csupán arra mutat rá, hogy tényszerűen itt
nem mennyiségi végtelenekről van szó, hanem végesek vég nélküli folytathatóságról, mint
tulajdonságról. S ha nem tételezzük föl, vagy nem hiszünk abban, hogy Isten vagy valamely
istenség elméjében, illetve egy platóni harmadik világban ténylegesen létezik a végtelen sok
természetes szám, azaz ha nem építkezünk matematikán kívüli föltételezésekre és/vagy
hitbeli tételekre, e wittgensteini bírálatot el kell fogadnunk. Hiszen ekkor például a
természetes számok esetében csak annyit állíthatunk, hogy azok a természetes számok
léteznek tényszerűen, amelyeket eddig az emberiség és eszközei (pl. a számítógépek) már
megkonstruáltak, és ezek halmazának elemszáma szükségképpen véges, továbbá hogy ezen
felül matematikai elméleteinkben jelen van a megszámlálhatóan végtelen sok természetes
szám logikailag ellentmondásmentes elméleti fogalma (mely utóbbiból – mint láttuk –
egyáltalában nem követezik, hogy akárcsak elménkben valóban létezne ez a végtelen sok
természetes szám).
Ám ha ez így van, akkor ez utóbbi, a végtelen sok természetes szám fogalma hibás,
’”lyukra futó” fogalom volna? Wittgenstein válasza erre a kérdésre az, hogy téves, de nem
üres fogalomról van itt szó: van matematikai vonatkozása, ám ez nem a mennyiségi
értelemben vett végtelen, hanem a vég nélküli továbbfolytathatóság mint tulajdonság. Így
például a természetes számok képzési szabálya véges szabály, melyet egy véges lény is
alkalmazni képes, de végtelen tulajdonságú abban az értelemben, hogy vég nélkül folytatható.
Ugyanígy, ennek nyomán a természetes számok bármely nagy, de mindig kikerülhetetlenül
véges elemszámú halmaza is a vég nélküliség tulajdonságával rendelkezik, amennyiben újabb
és újabb természetes számokkal bővíthető. Ennek megfelelően Wittgenstein szerint a
természetes számok esetében a végtelenség mint „vég nélküliség”, mint lezárulatlanság vagy
nyitottság, tényszerűen két mozzanatra vonatkozik: a természetes számok képzési szabályára,
és a természetes számok bármely nagy, de mindig véges halmazára vagy sorozatára. Nem
végtelen mennyiségekről van itt szó, hanem egyrészt egy véges képzési szabály vég nélküli
alkalmazhatóságáról, hiszen az a szabály, mely szerint, ha n természetes szám, akkor mindig
képezhető a n+1 természetes szám, véges szabály, másrészt a természetes számok véges
elemszámú halmazainak és sorozatainak azon tulajdonágáról, hogy mindig, azaz „vég nélkül”
bővíthetőek. Ez a tulajdonság valósásos, azaz aktuális: bennük aktuális végtelenről van szó,
de nem mennyiségi végtelenről, hanem „vég nélküliség”-ről, „lezáratlanság”-ról, „nyitottság”-
ról mint tulajdonságról.
20
Bár utóbbi példánkban csak a természetes számok szerepelnek, a wittgensteini kritika
természetesen vonatkozik minden olyan konstrukcióra, amelyekhez a cantori matematika a
mennyiségi végtelen képzetét társítja. Így tisztán matematikai rétegét tekintve Wittgenstein
nyomán belátható, hogy Cantor matematikája valójában nem az aktuális mennyiségi
végtelennel, hanem csak a vég nélküliség különböző fajaival foglalkozik. A hiba nem
magában a matematikában, hanem annak értelmezésben keresendő: a mennyiségi végtelen
tekintetében súlyos fogalomtévesztésnek áldozatai vagyunk, s e tévedés nemcsak egyszerűen
abban áll, hogy egy fogalmat összekeverünk egy másik fogalommal (pl. a feketét a fehérrel),
hanem egyúttal kategória- vagy típustévesztés (modern számítástechnikai kifejezésével „type
mismatch”) is. Mintha azt mondanánk, hogy zöld színt hallunk, vagy terc hangközt
szagolunk. Mert amikor „végtelen” nagyról vagy „végtelen sok” számról beszélünk, akkor a
„végtelen”-t, amely nem mást jelent mint „vég”-telent, azaz „vég nélküliség”-et, ugyanúgy
mennyiségi kategóriaként, mennyiségi típusú jelzőként használjuk, mintha mondjuk egy két
méter nagy fáról, vagy egy százezer lakosú városról beszélnénk. A mindennapi gondolkodás
és Cantor matematikája ennek ellenére mennyiségi jelzőként kezeli e fogalmat, és
Wittgenstein kritikájának lényege az, hogy ha ezt elkövetjük, kategóriatévesztés miatt
értelmetlen képzetek rabjává válunk.
Wittgenstein fasor-érve egyénként akkor is érvényes, ha a platonista fölfogás
követjük: attól ugyanis, ha a természetes számokat mind létezőnek tekintjük egy elménk
kívüli világban, azok sorozata még nem válik lezárttá, nem lesz e sorozatnak „vége”. Így
továbbra sem juthatunk el annak a végére, hasonlóan ahhoz, mint a végtelen fasornak sem
juthatnánk még akkor sem a végére – még végtelen sebességgel sem – ha az létezne valahol.
Hiszen ami nincs, oda végtelen sebességgel sem lehet eljutni. Ezért a végtelen halmazok
elemeinek jól meghatározott végtelen mennyiségként adódó számosságát a platóni értelmezés
sem biztosítja önmagában. Ehhez nem elég külön-külön tételeznünk a halmaz valamennyi
lehetséges elemeinek létezését Isten elmeéjében vagy egy harmadik világban, hanem azt is föl
kell tennünk, hogy ezen elmében vagy harmadik világban valamily, eszünk által
fölfoghatatlan értelemben mégiscsak a végére juthatunk, lezárhatjuk a végtelen sok
elemsokaságát – ha másképp nem, azok összességbe foglalás révén.. Amikor a természetes
vagy a valós számok összességére jól meghatározott halmazként tekintünk, valójában éppen
ezt az összességbe foglalás műveletét követjük: nem csupán a természetes számokra, hanem
azok összességbe foglalására is platonista módon gondolunk.
21
A második itt tárgyalandó wittgensteini gondolat a számsorok végére tett „és így
tovább”, illetve az azt helyettesítő pontok jelentésére vonatkozik. Ezeket a pontokat
szokásosan rövidítésként értelmezzük: a számok végtelen sorozatában szereplő ki nem írt
elemek rövidítéseként. Csakhogy, hívja föl a figyelmet Wittgenstein, e pontok valójában nem
ezt jelentik, hanem csak azt, hogy bármily nagy számmal is végződik sorozatunk, azt
továbbfolytathatjuk. Mégpedig nem azért, mert azon túl ott vannak és „valamiféle gigantikus
kiterjedés”-ként22 a végtelenbe nyúlnak a sorozat további tagjai, hanem mert a sorozatot egy
soha le nem záruló képzési szabállyal képezzük. A pontok így arra utalnak, hogy a sorozat
bármilyen „távoli” eleméhez is jutottunk el, erre is alkalmazhatjuk a képzési szabályt.23
Ez a wittgensteini állítás tulajdonképpen az előző állítást ismétli meg, de most nem a
végtelenség matematikai fogalma, hanem a matematikai jelölésmód tekintetében: arra
vonatkozik, hogy bár e pontok tényszerűen a vég nélküli továbbfolytathatóságra utalnak,
azokat hajlamosak vagyunk tévesen mennyiségi jelként értelmezni, és e hajlam nyomán
tévesen a Wittgenstein szerint tényszerűen nem létező végtelen sok természetes szám
pótlásaként tekinteni rájuk. Így míg az 1,2,3 ………………………………….. n
………………………. jelölési módban a 3 és az n közötti pontok Wittgenstein szerint is
valóban számokat helyettesítenek, mégpedig a 3 és a n véges természetes számok közötti
véges elemű számhalmaz rendezett elemeit, ami értelmes jelölés, addig hibát követünk el, ha
az n utáni pontokat ugyanígy értelmezzük: itt e pontok már nem kiterjedésre, nem halmazra,
hanem tulajdonoságra: a vég nélküli folytathatóságra utalnak. Arra, hogy folytatólagosan, vég
nélkül újabb és újabb számokat alkothatunk.
Fölvetődik a föntiek jegyében az a kérdés, hogy mi a helyzet az irracionális számokkal
és a kontinuum-végtelennel? Ez a kérdés jóval bonyolultabb, mint a természetes számok
kérdése, de itt is belátható, hogy tényszerűen (tehát valamennyi elvben lehetséges valós szám
elménken kívüli létezésének föltevése nélkül) a valós számok kontinuum-végtelensége sem
mennyiségi meghatározás, hanem vég nélküli képezhetőségük tulajdonsága. Wittgenstein
elemzés alá veszi a jól ismert átlós eljárást, s arra a következtetésre jut, hogy ez az eljárás
csupán azt bizonyíthatja, hogy a valós számok jellegükben különböznek a kardinális
számoktól, azaz a számosságoktól, de azt nem, hogy mennyiségileg „többen” volnának.24 Bár
22 Wittgenstein: Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (BGM) V-19 (Wittgenstein 1974: 278-279)
23 Vö. pl: BGM V-19 (1974: 278-279), PhG Teil II. /10. (Wittgenstein 1984: 280-288)
24 V. ö.: BGM II 1-23, különösen II 22.(1974 125-132)
22
ezen álltás, mely a harmadik általunk itt tárgyalásra kerülő wittgensteini gondolat, a
kardinális számokra vonatkozik, az érvényes a természetes számok és a valós számok
viszonyára is. Wittgenstein szerint tehát az átlós módszerrel azt mutathatjuk meg, hogy a
kardinális számok és a valós számok (illetve a természetes számok és a valós számok)
jellegükben alapvetően különböző fogalmak. Viszont – folytatódik elemzése – a cantori
szóhasználat ezt e jellegbeli különbséget terjedelmi különbséggé torzítja, (azaz előbb
használt kifejezésünkkel itt egy újabb „type mismatch”, azaz kategóriahiba keletkezik), amit ő
azután „hókusz-pókusz”-nak („Hokus-Pokus”)25minősít, s azt, hogy ez megtörténhet, a kor
betegségeként jellemzi.26
Ez a Wittgenstein által „hókusz-pókusz”-nak nevezett eljárás, azaz az a mód, ahogy az
átlós eljárást mennyiségi különbség demonstrálására használják, ma a matematikusok
többsége számára problémamentesként jelenik meg, ami persze érthető: mint már jeleztük,
mind a matematikai végtelen cantori fogalma, mind pedig az annak alapjául szolgáló cantori
halmazelmélet technikailag oly hatékonynak bizonyult a matematikában, és oly forradalmian
újította meg annak szemléletét, hogy ez minden további vizsgálódást elnémított. Hilbert
kifejező hasonlatát fölhasználva, Cantor olyan „paradicsom”-ot teremtett a matematikusok
számára, amellyel nem csupán kárpótolta a matematikus észt a bibliai paradicsom
elvesztéséért cserébe, hanem amely technikai értelemben elképzelhetetlenül hatékonynak
bizonyult a matematika szinte valamennyi területén, és ez az élmény sokak számára elzárja az
utat a cantori koncepció alapjaira irányuló filozófiai reflexió elől. Ugyanakkor láttuk azt is,
hogy a cantori végtelen wittgensteini bírálata nem valami külső-idegen, a filozófusok által a
matematikára rá oktrojálni kívánt kritika, hanem a matematika művelésének szabályaival,
elvárásaival van összefüggésben, s elsőssorban matematikusoktól ered. Amit az osztrák
filozófus csinál, az ugyan radikális, és a saját (metafizikaellenes és ennek részeként
antiplatonista) filozófiájának kontextusába illeszkedik, ám különböző – részben az övéhez
hasonló, részben más – megfontolásokból olyan kiváló matematikusok is szkepszist fejeztek
ki, és fölléptek a cantori végtelennel szemben, mint Kronecker, Poincaré, Brouwer, Weyl,
Markov, stb.
25 BGM II-22. utolsó mondat. (1974 :132.)
26 BGM II-23.(1974: 132)
23
Mint már említettük, az, hogy Wittgenstein ezen elemzései mennyiben csupán a
matematikát változatlanul hagyó posztmatematikai értelmezések, és fogalomkorrekciók, és
mennyiben irányulnak a matematika reformjára, nem egyértelmű. Kritikája radikalizmusa és
néhány megjegyzése alapján úgy tűnik, hogy ő maga nemcsak a végtelen platonista-
mennyiségi értelmezései ellenlép föl, hanem az ilyen értelmezésre csábító, vagy azt
egyáltalában lehetővé tévő cantori matematika ellen is, és vele szemben egy olyan
matematikát tartana kívánatosnak, mely a mennyiségi végtelen platonista értelmezését eleve
kizárja. A továbbiak szempontjából azonban ennek számunkra nincs jelentősége. Ami fontos
az az, hogy elemzésében a lezárt, meghatározott mennyiséggel rendelkező végtelen elemű
halmazok fogalmát értelem nélkülinek tekinti, és arra mutat rá, hogy a matematika cantori
végtelenjei valójában nem mennyiségi meghatározások, hanem mint „vég nélküliség”, „vég
nélkül továbbfojtathatóság, mint „lezáratlanság” vagy „nyitottság”, végesek tulajdonságai. Ez
a nyitottság mint minőség pedig (szemben a mennyiségi végtelen Wittgenstein által tévesnek
tartott képzetével) mindig itt és most, aktuálisan, a végesben, a véges emberi elméletek véges
képzeteiben van jelen.
8. A matematikai „végtelen” valódi paradoxona: a faktikusan véges matematikai konstrukciók
és a platonista végtelen intuitív képzetének konfliktusa
A matematikai végtelen úgynevezett „paradoxonai”-nak bőséges irodalma van. Ilyen
kedvelt, sokat hivatkozott állítólagos paradoxon például az az említett cantoriánus állítás,
mely szerint ugyanannyi páros egész szám létezik, mint ahány páros és páratlan egész szám
együttvéve, s amely kapcsán rámutattunk arra a fogalmi csúsztatásra, amelyen ez a tétel
alapul. A szóban forgó irodalom persze vitathatatlan adottságnak tekinti e cantori tételt, s
nem veszi észre, hogy nem más, mint a szigorúan matematikai értelemben vett tétel téves, a
vég nélküliség fogalmát a mennyiségi végtelenbe átcsúsztató, ezáltal a természetes és a páros
természetes számok nyitott halmazát lezárt halmazként kezelő átértelmezése. Ennek
megfelelően a kérdésre, hogy miképpen lehet egy mennyiség fele azonos az eredetivel, azt
válaszolja, hogy a végtelen más mint a véges; a végtelennek (s így a végtelen sok egész szám
„végtelen”-jének) természete eltér a végesétől: a végtelen a véges kapcsán megszokott
képzeteinkkel összevetve paradox természetű, és a természetes számok, illetve a páros
természetes számok összességének azonos számossága, amely annak ellenére fönnáll, hogy az
utóbbit az előző „megfelezésével” kapjuk, e paradox természet megjelenése. A matematikai
24
végtelen e szokványos megközelítésének népszerű kifejtését lásd pl. Péter Rózsa élvezetes és
közérthető stílusban megírt Játék a végtelennel című könyvében. (Pl.: 9. kiadás, Budapest:
Typotex 2010.)
Mármost láttuk, hogy minden hitbeli, filozófiai illetve matematikán kívüli hipotetikus
kiegészítés nélkül, mely szerint valamilyen módon létezik az összes természetesen szám.
Wittgenstein érveinek ismeretében csak annyit állíthatunk, hogy a ténylegesen adott
természetes számok száma véges, és amit azok mennyiségi végtelenségének szokás nevezni,
az valójában tulajdonság:. a nyitottság, a lezáratlanság, a vég nélkül folytathatóság
tulajdonsága. Láttuk azt is, hogy tényszerűen, az emberi világban, az emberi elméletek
rendszerében – így a matematikában – megalkothatjuk ugyan a természetes számok
mennyiségileg végtelen sok elemet tartalmazó halmazának a fogalmát, s az a matematikán
belül lehet formállogikai értelemben ellentmondásmentes, ám ebből nem következik még,
hogy akár az ember világában, akár máshol ténylegesen létezne ilyen halmaz az általa
tartalmazott végtelen sok természetes számmal, mint amiképpen az sem, hogy a fizikai
világban létezne az e halmaz feltétezett mennyiségi végtelenségének megfelelő fizikai
végtelenség – például végtelen sok elemi részecske. S mivel ugyanez elmondható az
irracionális számok halmazáról, és a cantori végtelen minden formájáról, nehezen vitatható,
hogy Witttgensteinnek tényszerűen, a tulajdonképpeni, a matematikain kívüli állításokkal ki
nem egészített matematika tekintetében igaza van.
De Wittgenstein ahhoz is megadja a kulcsot, miképpen korrigálható a cantori
matematika fogalomhasználata úgy, hogy magához a matematikához ne kelljen
hozzányúlnunk. Így ha – immár nem őt követve, hanem csupán gondolatait alkalmazva – a
végtelen számosságú halmazok helyett bevezetnénk az „alef tulajdonságú halmazok”
szóhasználatot, amely a végtelen számosság kifejezéssel, mint mennyiségi terminológiával
szemben a vég nélküli továbbfolytathatóságra, a lezáratlanságra, a határtalanságra, a
nyitottságra, mint tulajdonságra utal, kikerülhetővé válhatnának a félrevezető
megfogalmazások. Így nyilvánvalóvá válhatna hogy amíg a 25 almát tartalmazó kosár
almahalmazának számossága egy lezárt sokaság mennyiségi meghatározása, addig ezzel a
szemben a természetes számok halmazát nem illeti meg mennyiségi meghatározás, csak az
alef tulajdonság, mint vég nélküliség, mint vég nélkül továbbfolytathatóság. A végtelen
(„transzfintit”) számosságok sorozata helyett pedig az alef tulajdonságú halmazokon belül
mint elsődleges faktor, ösztönzi e nyelvhasználati hibát. Wittgenstein persze elutasítaná ezt az
állítást, és a végtelen ezen intuitív képzetét is a nyelv általi elvarázsoltságra vezetné vissza.
Ám az ellentétes elképzelés, mely szerint a végtelen ezen bennünk lévő, és a matematika
művelése során mennyiségi végtelenként megjelenő intuitív képzete elsődleges a nyelvhez
képest, azt megelőző, attól független fenomén, legalább annyira értelmes, racionális
koncepció, mint az eredeti, wittgensteini állítás.
Az eddigiekből az is kiderül, hogy a matematikai végtelen most jellemzett „valódi”
paradoxonát nem lehet pusztán racionálisan fölismerni: csak élményként megélve
szembesülhetünk vele. Ennek oka pedig a következő:
i) Egyik oldalról e paradoxon észleléséhez szükség van a matematikai végtelennel
kapcsolatos intuícióra, amely mindig egyes számú, első személyű, a maga eredetiségében
közvetíthetetlen, nem racionális élmény, valamint arra, hogy az elnyomására irányuló
törekvés helyett tudatosan szembesüljünk ezzel az élménnyel..
28
ii) Másik oldalról e paradoxon észlelésének föltétele annak fölismerésére is, hogy a faktikus,
tényszerű matematikában csak véges definíciókkal, axiómákkal van dolgunk, s bár a
„végtelenek matematikájá”- ban a képzési szabályok és műveletek vég nélkül folytathatóak,
tényszerűen mindig csak véges lépés hajtható végre belőlük. (Mint például a számolás
műveletében, mely ugyan vég nélkül folytatható, de pontosan ezért sohasem juthatunk el a
„végé”-re).
Azok számára, akiknek nincs meg az i)-ben jelzett intuitív élmény, vagy ugyan megvan, de
platonista módon úgy véli, hogy a matematikában ettől függetlenül is egzakt, jól megragadott
módon jelen van az aktuális végtelen, ez a paradoxon nyilván nem lép föl, hanem helyette a
populáris irodalomban nagy kedvteléssel tárgyalt végtelenségparadoxonok jelennek meg
„igaziakként”.
Ami Wittgensteint illeti, esetében csak tűnődhetünk, hogy
a) megvolt-e benne vajon az i)-ben jelzett élmény, csak éppen mint káros, félrevezető,
irracionális vízióval, elkeseredetten küzdött ellene, meg akarta azt semmisíteni;
b) nemcsak megvolt benne, hanem el is fogadta, de olyan nyelvileg meg nem közelíthető
tényezőnek tekintette, mely a nyelvre nem képes hatást gyakorolni, és amelynek minden
nyelvi megjelenése félrevezető és eltávolítandó hiba;
c) egyáltalában nem is rendelkezett ezzel az élménnyel.
Bármelyik eset is állt fönn nála, az ő számára az előbbiekben általunk „valódi”-ként leírt
végtelenség-paradoxon nem létezett, és a jelen írásban történő fövetését minden bizonnyal
olyan beszédmódnak minősítené, ami éppen a nyelv elvarázsoló erejére szolgál elrettentő
példával.
29
9. A fenomenológiai metafizikai Tengelyi László-féle programja és a cantori végtelen
koncepciója
Tengelyi László Cantor-elemzése az általa megfogalmazott, „ontoteológia nélküli”
(azaz Isten, az abszolútom vagy más transzcendens, világon fölüli tényező létezésének
elmélete nélküli) fenomenológiai metafizika programjának részét képezi: egy ilyen metafizika
lehetséges végtelenségfogalmat veti össze a filozófia perspektívájából a cantori
végtelenfogalommal, mint egy speciális résztudomány, a matematika sajátos
végtelenfogalmával. A „végtelenség” kérdésének elemzése és fenomenológiai fogalmának
előkészítése ezen program első lépcsőfokát (mintegy a program metafizikai irányultságának
és alapkérdéseinek első fölvázolását) jelentette volna számára, s ez az első lépcsőfok képezi
tulajdonképpeni tárgyát Tengelyi utolsó, „Világ és végtelenség” című monográfiájának. 27
Tragikusan korai halála következtében azonban e monográfia ma mint az életpályát lezáró mű
áll előttünk.
Az említett monográfia célja tehát, hogy megalapozza a világ végtelensége
fenomenológiai fogalmának kidolgozását, melynek során e végtelenségre mint valóságos,
tehát aktuális végtelenégre tekint. Nyilvánvaló, hogy amíg ez a fogalom a fenomenológiai
metafizika egyik alapfogalmaként nem lehet azonos sem a hagyományos, a „teremtett” vagy
véges téridőbeli világgal szembeállított abszolútummal, sem a téridőbeli világ extenzív
(időbeli, térbeli és mennyiségi) végtelenségével, addig az éppen a középkori ontoteológiák
aktuális végtelennek tekintett abszolútuma helyére kerülne: az annak elvetésével keletkezett
űrt töltené be, immáron nem ontoteológiai, hanem a fenomenológiai metafizika
kulcsfogalmaként.
Tengelyi e törekvésében egyszerre jelenik meg szellemi habitusa és gondolkodói
életpályájának szintézise. Programja egyik oldalról a filozófus széles körű filozófiai
műveltségén, így különösen a középkori latin filozófiában való jártasságán alapul (ami a XX.
századi filozófia művelőinek jelentős részéről nem mondható el). Másik oldalról törekvését
áthatja fogékonysága a világ „végső” megértésére irányuló filozófiák iránt. Ez a két mozzanat
pályája kezdetétől jellemezte munkásságát: nem véletlen, hogy korai monográfiájában nagy
hangsúlyt fektet e „végső” megértés egyik kulcsproblémáját, a világban jelenlévő rossz
kérdésére, de általában e korai monográfiának a világrend és az autonómia viszonyával
27 WU
30
kapcsolatos vizsgálódásai is bensőséges kapcsolatban állnak e „végső” megértéssel. 28 Az e
két oldallal jellemzett filozófiai törekvés pedig a husserli fenomenológiai filozófia iránti több
évtizedes elkötelezettséggel összefonódva e filozófiai irányzat kontextusában fogalmazódik
meg konkrét filozófiai programként.
Természetesen egy ilyen nagyszabású program keretében a mennyiségi – extenzív –
végtelen kérdése csak partikuláris kérdésként szerepelhet, mely elsősorban a filozófia és az
olyan résztudományok mezsgyéjén jelenik meg, mint a téridőbeli világ mennyiségi
aspektusait vizsgáló fizika, vagy a mennyiségi végtelen elvont fogalmaival dolgozó cantori
matematika. S ha ezen utóbbi végtelenfogalma Tengelyinél mégis a fenomenológiai elemzés
tárgyává válik, ennek két oka van: Egyrészt – mint már ezt említettük – szemben a
mennyiségi végtelen addig általánosan elterjedt arisztotelészi fölfogásával, az aktuális
végtelennek nem ontoteológiai (tehát nem Isten vagy az abszolútum végtelenségének
értelmében vett) fogalma annak ellenére éppen Cantor matematikája nyomán jelent meg újra
markánsan az európai gondolkodásban, hogy az utóbbi a teoplatonizmus és az ontoteológia
elkötelezettje volt. Másrészt – nyilván a cantori végtelen előbb jelzett gondolkodástörténeti
szerepétől is motiváltan – Tengelyit az érdekli, hogy a cantori matematikai végtelen miképpen
viszonyulhat az általa kidolgozni szándékozott fenomenológiai metafizika
végtelenfogalmához: mennyiben lehet annak mintája, illetve mennyiben reprezentálhatja azt a
matematika mint speciális résztudomány területén.
Ennek megfelelően Tengelyi egyrészt méltatja a végtelen cantori matematikai elmélet
gondolkodástörténeti jelentőségét, melyet abban lát, hogy az nem csupán a matematikán
belül, hanem a filozófiában is hozzájárult az aktuális végtelenről szóló diszkusszió
fölelevenedéséhez. Ugyanakkor fölteszi azt a kérdést, hogy vajon ezen túl a mennyiségi
végtelen ezen új fogalma nyújthat még újat a filozófia számára?
Mint láttuk, az aktuális mennyiségi végtelen korábbi – az arisztotelészi tradíció
nyomán többnyire elutasított – fogalma a véges mértékekhez hasonló konkrét, minden végest
fölülről lezáró, de ezzel együtt amorf, meghatározatlan mértékre vagy mennyiségre utalt:
tipikusan ilyen az atomok és a világok végtelensége a görög atomista kozmológiában, vagy a
világok végtelen sokasága Giordano Bruno kozmológiájában. Mármost az aktuális végtelen
újbóli tematizálásán túl Tengelyi éppen abban látja a cantori elmélet jelentőségét, hogy az
28 Tengelyi korai monográfiája az „Autonómia és világrend” és a „Világ és végtelenség”, mint a világra irányuló kozmikus monográfiák, mintegy keretbe zárják életművét, jelezve annak alapvetően a világ és az emberi l ét végső értelmére irányuló, ebben az értelemben véve „kozmológiai” beállítódását.
31
aktuális mennyiségi végtelen e hagyományos, egyedi fogalmával szemben a mennyiségi
végtelent strukturálja, és végtelen mennyiségek nyitott, le nem zárható sorozatát állítja elénk.
Ennek kapcsán konkrétan az alef-0, alef-1, …….. alef-n, …….. transzfinit számosságok
sorozatára gondol, és arra utal, hogy ezek fölé – éppen a maximális számosság fogalmának
Cantor által fölfedezett, a jelen tanulmányban már említett ellenmondásossága miatt – nem
helyezhető egy újabb, valamennyinél nagyobb számosság.
Tengelyi így a platonikus metafizika keretében adódó cantori képzeteket fogadja el
matematikaiként, azaz nem különbözteti meg a tulajdonképpeni matematikát és annak
platonista metafizikai értelmezését, hanem ténynek tekinti, hogy a transzfinit mennyiségek
aktuális végtelen mennyiségi meghatározások. Az így fölfogott platonikus metafizikai
értelemben vett cantori elméletben pedig azért a végtelen mennyiségek tekintett végtelen
számosságok végtelenbe szaladó, le nem zárható nyitott sorozata kelti föl érdeklődését, mert
Husserlre hivatkozva a világ végtelenségét egy fenomenológiai metafizikában csak mint
nyitottságot, mint lezárulatlanságot – tehát sem mint az abszolútum végtelenségét, sem mint
létezők végtelen mennyiségi sokaságát – tartja elképzelhetőnek. Így eddig a pontig úgy
látszik, hogy az előzőek nyomán pozitív válasz adható a cantori végtelenfogalom és a
fenomenológiai metafizika viszonyára irányuló kérdésre: mivel a cantori elmélet strukturált, a
kisebb-nagyobb relációba állítható végtelen számosságokkal a végtelen fokozatainak nyitott
sorozatát állítja elénk, úgy tűnik, hogy ez a végtelen mint mennyiségi-matematikai végtelen
egyrészt mintául szolgálhat a fenomenológiai metafizika végtelenfogalma számára, mely a
végtelenséget mint nyitottságot fogja föl, másrészt a matematika speciális területén, a
mennyiségek világában egyúttal reprezentálja is azt.
Csakhogy e ponton radikális fordulat következik be Tengelyi elemzésében. Bármilyen
messzire is jut e tekintetben Cantor – állapítja meg–, elmélete mégsem alkalmas arra, hogy
segítségével illusztráljuk a világ végtelenségét. A világ fenomenológiai értelmében vett
végtelensége ugyanis azon túl, hogy nem a világban jelenlévő dolgok végtelen mennyiségét
jelenti, nem azonos e dolgok összességének lezáratlanságával sem. E nyitottság a
tapasztalatnak, illetve a tapasztalatban adott dolgoknak nyitottságát jelenti: azt, hogy e dolgok
nem rendelkeznek egyfajta előre adott, rögzített jelleggel, hanem mindig új tulajdonságokat
vehetnek föl.29 A világ végtelenségének adekvát fenomenológiai megragadásához ezért
szerinte nem elegendő a rögzített elemekből fölépülő végtelen számosságsorozat nyitottságát
29 WU: 543-546
32
és kimeríthetetlenségét figyelembe venni, mivel a végtelenség fenomenológiai fogalmához
hozzátartozik az elemek folyamatosan változó-formálódó, a történelem, a kultúra és a
szellemi élet kontextusában új és új minőségekkel és értelemmel fölruházódó, a maga
teljességében mindig meghatározatlan és ebben az értelemben dinamikus volta.30 Ez a
Tengelyi által hangsúlyozott fenomenológiai nyitottság azt jelenti, hogy a világ elemei,
„dolgai” nem lezártak, hanem itt és most, aktuálisan nyitottak, bármikor új aspektusban
jelenhetnek meg, azaz végtelenségük, mint nyitottság itt és most fönnáll – tehát aktuális.
Végül pedig e nyitottság a mindennapi élet apró dolgaiban ugyanúgy adva van, mint az olyan
életélményekben, mint az a megrázkódtatás, ami Tolsztoj katonatisztjét érte a bál utáni
reggelen, vagy amiként szintén Tolsztoj Iván Iljicse számára a betegágyban a világ és az élet
egésze korábban számára elképzelhetetlenül új tartalmat és minőséget kapott.
Mivel Tengelyi Cantort platonista értelmezésben olvassa, a cantori számosságokkal
jellemzett végtelen halmazok nem nyitott, hanem lezárt egységekként, a végtelen
számosságok pedig végtelenségük ellenére ugyanígy a véges számosságokhoz hasonló,
szintén lezárt, határozott mennyiségekként jelennek meg számára, azaz annak a fogalmi
csúsztatásnak áldozatává válik, amely a végtelen számosságú halmazok számosságát az
almáskosár 25 almájának számosságához hasonlóan lezártnak, a véges számosságokhoz
hasonló jellegűnek tartja. S bár a transfinti rendszámok és a végtelen számosságok alef-1,
alef-2 ……. alef-n… sorozata ezen platonista olvasatban is nyitott sorozat, a sorozat elemei
ebben az immár nem matematikai, hanem metafizikai kontextusban mégiscsak zárt
egységekként adódnak, ami éppen ellentétes a husserli végtelenségfogalommal, hiszen az –
mint láttuk –a világ végtelenségét elsődlegesen elemeinek nyitottságaként értelmezi. Ennek
megfelelően Tengelyi nemcsak elutasítja azt, hogy a fenomenológiai metafizika a cantori
matematikához kapcsolódva, azt filozófiailag továbbgondolva alkossa meg a világ
végtelenségének fenomenológiai fogalmát, hanem Cantort e szempontból negatív
ellenpéldának tekinti, amellyel a filozófiai végtelenfogalmat mintegy szembesíteni kell.
30 WU: 545-546
33
10. A „nyitottság” mint aktuális „vég”-telenség husserli-tengelyi-féle fogalmáról
Bár a végtelenség előbbi, fenomenológiai fogalma, mint a tapasztalati, vagy az
életvilágban élményszerűen megélt létezők lezáratlan nyitottsága, „képességük” arra, hogy
mindig új és új aspektusban jelenjenek meg, egyértelmű fogalomnak tűnik, a végtelen
hagyományos, arisztoteliánus és/vagy platonista tendenciájú képezte miatt mégis némi
megvilágítást igényel. Kísért ugyanis az a veszély, hogy e végtelent a létezők által a jelenben
nem hordozott, de bármely pillanatban általuk fölvehető új értelmeknek, dimenzióknak,
aspektusoknak, illetve kimeríthetetlen lehetőségeknek végtelen sokaságaként értelmezzük. Ez
azonban arisztoteliánus olvasat, amennyiben benne végtelen sok, még nem reális lehetőségről
van szó. Egy ilyen olvasat pedig könnyen platonizmusba fordulhat, ha e lehetőségekre mint a
jelen világban nem létező állapotokra, aspektusokra, tulajdonságokra tekintünk, hiszen e
személet egy harmadik világot involvál, ahol mintegy már e lehetőségek ott „szunnyadnak”.
Csakhogy husserli értelemben a világ nem elemeinek, a dolgoknak a nyitottságból adódó
lehetőségek halmazának mennységi végtelensége miatt „végtelen”, hanem maga ez az itt és
most adott nyitottság az, ami a világ „vég”-telensége. Nem a világon kívüli, még nem létező
potenciákról van ebben az összefüggésben szó, hanem a világon belül itt és most létező
dolgok nyitottságáról, mint aktuális tulajdonságukról.
De hogyan lehetséges ez a nyitottság aktualitásként, ha végeredményben mégiscsak a
dolgok még nem létező vagy éppen még nem adott aspektusairól, lehetőségekről van szó? E
kérdés már maga is elhibázott: még mindig ott kísért benne a végtelen mennyiségi fogalma,
melynek nyomán a nyitottságot mint végtelenséget a nyitottságból adódó potenciák
mennyiségének végtelenségébe értelmezi át. Csakhogy – mint már az előbb hangsúlyoztuk –
,itt nem lehetőségek mennyiségről van szó, hanem magukról az egyedi dolgok
tulajdonságáról. Nem a fölvehető aspektusok és értelmek végtelen mennyisége adja e
nyitottságot, hanem az maguknak a dolgoknak itt és most adott ontológiai természete. A
végtelenség mint nyitottság tehát sem a számok esetében (lásd Wittgenstein, akinél pl. az
1,2,3 ……. n véges sorozat az „n” értékétől függetlenül mindig nyitott, hiszen mindig
továbbfolytatható), sem életvilágunk létezői tekintetében (lásd Husserl és Tengelyi) nem a
számok vagy a dolgok megjelenési lehetőségeinek mennyisége vagy mennyiségi
tulajdonsága, hanem a létezők „itt és most” jelenlévő, aktuális nyitottsága, „lezáratlansága”.
Bár Tolsztoj hőse számára a bál eufórikus hangulatában a világ lezártnak tűnhetett,
végtelensége mint nyitottság már ott és akkor is aktuálisan adva volt, hiszen enélkül nem
34
válthatta volna ki a másnapi katonai fenyítés látványa azt a megrázó hatást, mely alapjaiban
formálta át számára a világot. E fenomenológiai végtelenség mint nyitottság a tapasztalati
létezők itt és most jelenlévő, reális, „aktuális” minőségi tulajdonsága, melyhez nem szabad
mennyiségi képzeteket (még az arisztotelészi potenciális mennyiségi végtelen képzetét sem)
társítani.
11. Tengelyi elemzése a wittgensteini kontextusban
Ezen alfejezet elején elsőként arra a kérdésre kell válaszolnunk, hogy miképpen
jelenhet meg ebben az összefüggésben Wittgenstein, aki a metafizika megrögzött ellensége, és
aki egy olyan filozófiai tradíció megalapítója, mely gyökeresen idegen a husserli filozófiától?
A válasz erre az, hogy amennyiben Wittgenstein Cantor-elemzése csupán az ő metafizika-
ellenességének projekciója volna, mely csak az ő sajátos filozófiájának keretében bír
értelemmel, akkor a jelen összefüggésben valóban nem volna helye megemlítésének.
Csakhogy láthattuk, hogy az osztrák filozófus – bár antiplatonista, antimetafizikai
beállításától motiválva, de e filozófiai állásponttól független – tényszerű összefüggésekre
mutat rá: elemzése filozófiailag semleges, tényszerűen igaz belátásokra vezet.
Mármost láttuk, hogy Tengelyi Cantor matematikai elméletét a mennyiségi
végtelenekről annak platonikus értelmezésében elemzi, és így nem teszi meg azt a finom
filozófiai-módszertani megkülönböztetést a tulajdonképpeni matematika és annak filozófiai
értelmezése között, amelyet Wittgensteinnél megtalálhatunk. Ennek jegyében nem reflektál a
cantori elmélet kapcsán fölvetődő azon filozófiai problémákra sem, melyeket
legjellegzetesebb módon szintén Wittgenstein fogalmazott meg, de amelyeket már Cantor
matematikus kortársai, majd később az intuicionista és konstruktivista matematikusok is
fölvetettek. Persze ez nem róható föl Tengelyi hibájaként, hiszen Cantor elmélete standard
módon így szerepel nem csupán a matematikusok, hanem a matematikafilozófusok
többségénél is. Ez sem változtat azonban azon, hogy Cantor-elemzésének megvannak a maga
filozófiai korlátjai. A platonikus olvasat tekintetében ugyan adekvát elemzést ad, és az így
értelmezett cantori végtelenek valóban matematikai ellenmintái az ő általa kidolgozni
szándékozott metafizikai-fenomenológiai végtelennek. Ám e platonikusan értelmezett
elméletet – amely tehát már filozófiai interpretáció, s így végeredményben filozófia és ezen
belül metafizika – tiszta matematikának tekinti. Nem válik világossá számára, hogy valójában
35
nem a matematikával, mint résztudománnyal, hanem egy filozófiával: a platonista metafizika
egy speciális formájával szembesül. Ennek megfelelően, amíg Tengelyi elemzése érvényes a
platonikus filozófiai értelmezésben vett cantori elméletre, addig nem vonatkoztatható a
cantori matematikára mint platonista módon még nem interpretált tiszta matematikára: ezen