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A IMPORTÂNCIA
DAS UNIDADES CENTRAIS
EM ANÉIS DE GRUPO
ANTÔNIO CALIXTO DE SOUZA FILHO
DISSERTAÇÃO APRESENTADAAO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOPARA
OBTENÇÃO DO GRAUDE
MESTRE EM MATEMÁTICA
Área de Concentração: Álgebra
Orientador: Prof. Dr. Orlando Stanley Juriaans
-São Paulo, 14 de dezembro de 2000-
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2
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A IMPORTÂNCIA DAS UNIDADES CENTRAIS
EM ANÉIS DE GRUPO
Este exemplar corresponde à redação finalda dissertação
devidamente corrigida e
defendida porANTÔNIO CALIXTO DE SOUZA FILHO
e aprovada pela comissão julgadora
–São Paulo, 16 de janeiro de 2001–
BANCA EXAMINADORA
-Prof. Dr. Orlando Stanley Juriaans (IME-USP)-
-Prof. Dr. Noráı Romeu Rocco(UnB)-
-Prof. Dr. Michael Dokuchaev(IME-USP)-
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iii
agradecimentos
Acima de tudo, agradeço a Deus.
Agradeço a meus pais, Terezinha Costa de Souza e Antônio
Calixto de Souza pela educaçãoe conduta que me ajudam a
construir, as minhas irmãs, Liliane Cristina de Souza e Sônia
ReginaVieira pela compreensão por minha ausência e a minha
sobrinha, Patŕıcia Regina Vieira por suaconfiança e estima.
Agradeço a minhas tias, tios, primas e primos que participaram
comigo dessa etapa.
Agradeço a meu amigo Antônio Sérgio Munhoz, por sugerir o
verão IME-97, que me ligou aoinstituto de matemática. Aos meus
amigos e colegas do instituto: Édson Iwaki, Wálter
Martins,Ronaldo Garcia, Clézio, Emivan, Noel, Raul, Célia,
Sônia, Nestor, Jorge, Jose Domingo, Sandra,Luciano, entre outros,
cuja diversidade de relação é grande, são pessoas de valorosa
participaçãonestes anos. Agradeço à Ângela por seu fenômeno
recente e à Regina e sua irmã Cida, pelapaciência, zelo e
energia nas correções do texto.
Agradeço à professora Iracema Bund por sua orientação
inicial, a minha orientadora daespecialização, professora Elza
Gomide, ao professor Héctor Mérklen, presidente da CPG, eaos
professores —dedicados professores!— desse instituto. Agradeço aos
meus professores dasgraduações em Engenharia e Filosofia.
Particularmente agradeço à professora Maria HelenaNunes, por sua
presença e força em meus primeiros anos escolares.
Agradeço aos funcionários, alunos, e professores, do Instituto
de Matemática e Estat́ıstica eda Universidade de São Paulo, pelo
apoio e à estrutura, posśıveis pelo trabalho destes.
Agradeço aos professores integrantes das bancas de
qualificação e defesa pela valiosa contri-buição para este
trabalho.
Agradeço a meu orientador, professor Stanley. Śıntese de todo
um processo, de anos de buscae tentativas.
Antônio Calixto de Souza Filho
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v
Dedicatória
“A inocência é uma coisa admirável; mas é, por outro lado,
muito triste que ela se possa pre-servar tão mal e deixe-se tão
facilmente seduzir. E é por isso que a própria sageza —que
deresto consiste mais em fazer ou não fazer, do que em saber—
precisa também da ciência, nãopara aprender dela, mas assegurar
às suas prescrições entrada nas almas e para lhes dar
estabi-lidade.” (I. Kant)
“Pois eu sou e sempre tenho sido uma daquelas naturezas que deve
ser guiada pela razão; nãoimporta o que a razão possa ser, sobre
a reflexão ela surge como a melhor.” (Platão)
Dedico este trabalho a minha famı́lia, exemplo constante e
referência de vida.
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0.1 Resumo vii
0.1 Resumo
Na presente dissertação, discutimos o Problema do Isomorfismo
em anéis de grupo para gru-pos infinitos da forma G × C∞,
apresentado no artigo de Mazur [14], que enuncia um
teoremamostrando a equivalência para o Problema do Isomorfismo
entre essa classe de grupos infini-tos e grupos finitos que
satisfaçam a Conjectura do Normalizador. Nossa ênfase
concentra-sena relação entre a Conjectura do Isomorfismo e a
Conjectura do Normalizador, primeiramente,observada nesse artigo.
Em seguida, consideramos um teorema de estrutura para as
unidadescentrais em anéis de grupo comunicado, pela primeira vez,
no artigo de Jespers-Parmenter-Sehgal[9], e generalizado por
Polcino Milies-Sehgal em [17], e Jespers-Juriaans em [7].
Evidenciamosa importância desse teorema para a Teoria de Anéis de
Grupo e apresentamos uma nova de-monstração para o teorema de
equivalência de Mazur, considerando, para tanto, uma
apropriadaunidade central e sua estrutura, caracterizada pelo
teorema comunicado para as unidades cen-trais. Conclúımos a
dissertação, descrevendo a construção do grupo das unidades
centrais parao anel de grupo ZA5, um grupo livre finitamente gerado
de posto 1, utilizando a construçãodada no artigo de Aleev
[1].
(Abstract)
In this dissertation, we discuss the Problem of the Isomorphism
in group rings for infinite groupsas G×C∞. This is presented in
[14]. Such article states a theorem which shows an equivalenceto
the isomorphism problem between that infinite class group and
finite groups verifing theNormalizer Conjecture. Our main purpose
is the Normalizer Conjecture and the IsomorphismConjecture
relationship remarked in the cited article to the groups above.
Following, we considera group ring theorem to the central units
subgroup firstly communicated in [9] and generalized in[17] and
[7]. We point up the importance of such theorem to the Group Ring
Theory and we givea short and a new demonstration to Mazur’s
equivalence theorem from using a suitable centralunit altogether
with its structure lightly by the Central Unit Theorem on focus. We
concludethis work sketching the ZA5 central units subgroup on
showing it is a free finitely generatedgroup of rank 1 from the
presenting construction in Aleev’s article [1].
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viii
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Sumário
0.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . vii
0.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 PRELIMINARES 1
1.1 Grupos e Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Noções Básicas da Teoria dos Grupos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1
1.1.2 Anéis Semi-Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 8
1.2 anéis de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Unidades Centrais em anéis de grupo . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 19
1.2.2 Produto Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 20
2 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS 25
2.1 O Problema do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador . .
. . . . . . . . . 25
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 26
3 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO 35
3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis de
grupo . . . . . . . 36
3.2 As Unidades Centrais em anéis de grupo . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Reflexão sobre Alguns Resultados Obtidos . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 44
4 O GRUPO DAS UNIDADES CENTRAIS DE ZA5 47
4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Teoria de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 47
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x SUMÁRIO
4.1.2 Teoria dos Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 55
4.1.2.1 O Teorema dos Invert́ıveis de Dirichlet . . . . . . . .
. . . . . . 55
4.1.2.2 Invert́ıveis em Corpos Quadráticos . . . . . . . . . .
. . . . . . . 56
4.2 O Grupo das Unidades Centrais em RG com G Finito . . . . . .
. . . . . . . . . 59
4.2.1 O Grupo das Unidades Centrais U(ZA5) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 61
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0.2 Introdução xi
0.2 Introdução
Seja G um grupo, e R um anel associativo com unidade. O anel de
grupo RG é um R-módulolivre com base G, cuja multiplicação é
induzida pela multiplicação de G.
Os anéis de grupo relacionam-se com a Teoria dos Anéis, Teoria
dos Grupos, Teoria dosNúmeros, Teoria dos Anéis de Matrizes sobre
Anéis de Divisão, entre outras, o que torna a teoriainteressante
em si mesma. Além de que, a teoria alcança várias áreas da
matemática como,por exemplo, Cohomologia de Grupos Finitos ou
Topologia Algébrica, implicando, portanto,preparo e conhecimento
matemático em importantes áreas de pesquisa. Grandes
matemáticos,como Hans J. Zassenhaus, A. Amitsur têm contribúıdo
nessa área. D. S. Passman também temcolaborado,
significativamente, com problemas como a Semi-Simplicidade de uma
Álgebra deGrupo e Os Divisores de Zero ([16]), isto é, para
grupos livres de torção é perguntado se o anelKG, para K um
corpo, tem divisores de zero.
A seguir citaremos algumas das conjecturas e problemas
relevantes da área ([22]):
• (NC) Seja α uma unidade de U1(ZG) que normaliza o grupo G.
Então existe g ∈ G, euma unidade central w, tal que α = gw. Ou
seja, a conjugação de α sobre G é induzidapor um elemento de
G.
• (ISO) Seja ZG um anel de grupo. Pode-se afirmar que a classe
de isomorfismo de G édeterminada por ZG?
• (ZC1) Seja α uma unidade de torção. Então, existe uma
unidade u ∈ QG, tal queu−1αu ∈ ±G.
• (ZC3) Seja H um subgrupo finito de ZG, tal que �(H) = 1, onde
� é o homomorfismo deaumento. Então, H é conjugado em QG a um
subgrupo de G.
Os problemas e conjecturas acima são de fácil enunciado, mas
como a maioria dos problemas,nessa área, são de dif́ıcil
verificação. Muitos deles estão em aberto há mais de meio
século. Valeobservar que as conjecturas (ZC) foram formuladas pelo
famoso matemático alemão Hans J.Zassenhaus. Berman e Higman, de
certa forma, foram os primeiros a verificarem as conjecturasde
Zassenhaus para determinada classe de grupos finitos. De fato, como
conseqüência de seustrabalhos, temos o seguinte resultado:
Teorema 0.2.1. Seja G um grupo abeliano finito. Então, as
unidades de torção de ZG sãotriviais.
Esse resultado, recentemente, foi estendido por
Bovdi-Marciniak-Sehgal ([2]) para gruposabelianos em geral (veja
também [17]).
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xii SUMÁRIO
Teorema 0.2.2. Seja G um grupo, e u ∈ ZG uma unidade central
normalizada. Se u é elementode torção, então u ∈ G.
Neste trabalho oferecemos uma nova demonstração para esse
resultado.
Em 1995, M. Mazur mostrou [14] uma ı́ntima ligação entre a
conjectura do isomorfismo e aconjectura do normalizador. Roggenkamp
e Marcianiak [12] valeram-se dessa descoberta paraproduzir um
contra-exemplo à conjectura do isomorfismo para certa extensão de
Z, demons-trando que a conjectura do normalizador é falsa, se o
anel de coeficientes não for Z.
No artigo Sobre o Problema do Isomorfismo para anéis de grupo
de grupos Infinitos, MarcinMazur apresenta um teorema para anéis
de grupo sobre a famı́lia dos grupos infinitos do tipoK = G× < t
>, sendo G um grupo finito, e t um elemento de ordem infinita.
Esse teoremamostra que o problema do isomorfismo para os grupos
infinitos, do tipo acima, equivale aoproblema do isomorfismo para
grupos finitos, que verifiquem a conjectura do normalizador.
Uma conseqüência desse teorema é a relação, para essa
famı́lia de grupos, entre o Problemado Isomorfismo e a Conjectura
do Normalizador. Portanto, como corolário desse teorema, paraos
grupos da forma K, demonstramos neste trabalho que K satisfaz o
Problema do Isomorfismo,se e somente se, G satisfaz o Problema do
Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador.
Tal propriedade, que relaciona essas duas conjecturas, até
então, não era conhecida. Demodo que, a partir desse teorema de
Mazur a tentativa de produzir um contra-exemplo para oProblema do
Isomorfismo passou a considerar, para isso, também, a Conjectura
do Normalizador.
Em 1996, Hertweck, usando essas idéias, anunciou um
contra-exemplo para a conjectura doisomorfismo sobre os inteiros.
Isto colocaria fim a uma conjectura que está em aberto há maisde
meio século! Porém, a prova final, até o momento, ainda não foi
publicada em artigo.
Jespers, Parmenter e Sehgal, em [9], provaram o seguinte
resultado:
Teorema 0.2.3. Seja G um grupo nilpotente finitamente gerado, T
(G) o subgrupo de torção deG, e u ∈ ZG uma unidade central.
Então, existe g ∈ G, e w ∈ ZT (G), tal que u = gw.
Esse é um dos resultados mais importantes de estrutura de
unidades centrais, em anéis degrupo, que se conhece. E. Jespers e
O. S. Juriaans, usando esse teorema, generalizaram osresultados de
Mazur em [14], e provaram que para grupos nilpotentes finitamente
gerados existeuma forte ligação com várias outras
conjecturas.
Um contra-exemplo para uma determinada conjectura para grupos
nilpotentes finitamentegerados implicaria uma outra para os grupos
finitos. Por exemplo, em [7] é provado que se aclasse de
nilpotência de G não for um invariante do anel de grupo, então
existe uma imagemhomomórfica finita de G, que é um contra-exemplo
à famosa conjectura sobre os grupos dedimensão. Isso mostrou que
as unidades centrais desempenham papel fundamental em anéis
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0.2 Introdução xiii
de grupo, porém só recentemente esse papel está tornando-se
claro. Em [8] é demonstrado umteorema de caracterização para
NU1G, o subgrupo normalizador de um grupo G no grupo dasunidades
normalizadas de ZG (teorema 1), permitindo novos resultados em
anéis de grupo.
O teorema de estrutura para as unidades centrais foi também
empregado em [9] e [7],[17], [8]para calcular subgrupos de ı́ndice
finito no subgrupo de unidades centrais do grupo de unidadespara
grupos nilpotentes finitamente gerados, e para grupos em geral,
respectivamente. Noentanto, somente em alguns casos, tem-se uma
descrição completa de subgrupos de unidadescentrais do anel. [1]
foi o primeiro a exibir o subgrupo do centro do anel de grupo sobre
osinteiros para os grupos alternados A5, A6 e A7. Para esses grupos
o subgrupo de unidadescentrais é ćıclico. É importante lembrar
que Ritter e Sehgal provaram em [18] que a trivialidadedo grupo de
unidades centrais depende apenas do grupo G em questão.
Os fatos acima evidenciam que as unidades centrais têm papel
fundamental na verificaçãode importantes conjecturas da área e
na descrição do grupo de unidades centrais de um anel degrupo.
Por isso elas serão objeto de estudo sistemático desta
dissertação.
Em linhas gerais temos o seguinte cenário: Mazur anuncia um
teorema para o problemado isomorfismo para anéis de grupo, cujo
grupo base é um grupo infinito. Concomitantemente,Jespers,
Parmenter e Sehgal publicam um teorema de estruturas para as
unidades centrais de umgrupo nilpotente finitamente gerado, o qual
caracteriza a unidade central de um anel de grupoRG, para um anel R
que é G-adaptado. A famı́lia de grupos, apresentada por Mazur,
satisfaz ascondições do teorema para as unidades centrais, de
modo que, utilizando-se adequadamente essarepresentação para a
unidade central, é posśıvel simplificar a demonstração dada por
Mazur,bem como exibir a unidade a qual seu teorema refere-se.
Este trabalho constitui-se de três partes: inicialmente
discutimos o teorema de Mazur para oproblema do isomorfismo em
anéis de grupo, cujo grupo base seja da forma H×C∞, apresentandoa
relação existente entre o Problema do Isomorfismo, daqui em
diante tratado por (ISO) ea Conjectura do Normalizador, referida
por (NC). Apontamos para um corolário que indicaexatamente uma
famı́lia de grupos que refute a (ISO), para o caso infinito, e
observamos apossibilidade de uma nova demonstração a partir da
consideração de uma unidade central noanel de grupo. Em seguida,
passamos à consideração do centro das unidades de um anel
degrupos e demonstramos um teorema de estrutura para esse subgrupo.
Apresentamos uma outrademonstração para o teorema discutido
anteriormente sobre (ISO) para anéis de grupo cujogrupo base é
infinito. Obtemos como resultado do teorema, anteriormente
mencionado, deestrutura para as unidades centrais de um anel de
grupo, que o subgrupo das unidades centraisé finitamente gerado.
Ademais, é ainda posśıvel construir subgrupos do grupo das
unidadescentrais, de ı́ndice finito sobre esse grupo, a partir de
um número finito de geradores. Conclúımosa dissertação
construindo o grupo das unidades centrais para um grupo tipo Mazur,
cujo centrodas unidades é obtido pelo centro das unidades do anel
ZA5. Nossa escolha para tal exemplo
-
xiv SUMÁRIO
justifica-se porque Aleev, [1], determinou completamente esse
subgrupo e não um subgrupo destede ı́ndice finito.
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Caṕıtulo 1
PRELIMINARES
Admitimos conhecidas as definições de grupos, módulos e
anéis. Utilizamos, ao longo do texto,as letras G,H,K,L para os
grupos, M para os módulos, e R,S, ou Z para os anéis, esse
últimoo anel dos inteiros. Para o subgrupo das unidades de um anel
usamos a letra U ; o conjunto doselementos de torção de um anel
de grupo está denotado por T ; Ker(ϕ) é o núcleo de um
dadomorfismo ϕ, e Aut(G), ou Aut(K) são os grupos dos
automorfismos, respectivamente, de umgrupo G ou um corpo K. Salvo
referência indicada, os anéis considerados são associativos
comunidade. Para a ordem de um elemento g de um grupo, utilizamos
o(g), enquanto que para aordem de um grupo, ou para a cardinalidade
de um conjunto, por exemplo C, denotamos por|C|. As principais
fontes utilizadas, para a teoria de Grupos e Anéis, são as
referências [19] e[6], respectivamente.
1.1 Grupos e Anéis
A seguir apresentamos alguns resultados conhecidos na teoria de
grupos, que serão utilizadosnas discussões procedentes.
1.1.1 Noções Básicas da Teoria dos Grupos
Seja G um grupo. Podemos, para um subgrupo H de G, considerar os
conjuntos formadospela operação de cada elemento g ∈ G com o
subgrupo H, por exemplo, à esquerda, isto é,G ·H = {g ·H, com g ∈
G}. Os elementos desse conjunto são as classes laterais do
subgrupo Hem G. A cardinalidade deste é definida como o ı́ndice de
H em G e denotada por [G : H], ouseja, o número de classes
laterais de H em G. Podemos obter o grupo G a partir do conjuntodas
classes laterais, isto é, definindo-se um transversal de H em G,
denotado por T , como um
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2 PRELIMINARES
conjunto formado a partir das classes laterais de H em G, ou
seja, T = {t: t ∈ gH, para cada g∈ G, e t um único elemento de
gH}. Nesse caso
G =⋃̇t∈T
tH.
Teorema 1.1.1. ([19], 1.3.11) Seja G um grupo, e H,K dois
subgrupos de G. Então [G :H ∩K] ≤ [G : H][G : K] com a igualdade
válida para [G : K] e [G : H] inteiros co-primos.
Corolário 1.1.2. (Teorema de Poincaré)([19], 1.3.12) A
intersecção de um conjunto finitode subgrupos, cada qual de
ı́ndice finito, é também de ı́ndice finito.
Definição 1.1.3. Seja G um grupo. Dizemos que g ∈ G é um
elemento de torção se existe uminteiro n tal que gn = 1.
Denotamos por T (G) o conjunto de todos os elementos de torção
dogrupo G. Dizemos que G é de torção se G = T (G) e que G é
livre de torção se T (G) = {1}.Se existir um inteiro m, tal que
gm = 1, para todo g ∈ G, o menor número inteiro com
essapropriedade é denominado expoente de G e denotado por
exp(G).
Para um grupo G, não é sempre verdadeiro que o conjunto T (G)
seja um subgrupo de G,embora isso ocorra para os grupos abelianos,
[19].
Proposição 1.1.4. ([19], 4.2.9) Um grupo abeliano finitamente
gerado que é de torção é umgrupo finito.
Teorema 1.1.5. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal finito de
G. Se G/N é livre detorção, então N = T (G), com T (G) a
torção de G. Ademais, se g 6= 1 ∈ G/T (G), entãoo(g) =∞.
Teorema 1.1.6. (Teorema da Correspondência para Grupos) Seja σ
: G � H um epi-morfismo. Então há uma correspondência biuńıvoca
entre os subgrupos normais de H e ossubgrupos normais de G que
contêm o subgrupo Ker(σ).
Definição 1.1.7. Seja G um grupo. O comutador, ou grupo
derivado de G é definido comoG′ =< [a, b] = aba−1b−1, a, b ∈ G
>. Dizemos, também, que G′ é o subgrupo comutador de G.Seja X1
e X2 subgrupos de G. Podemos definir o subgrupo comutador de X1 e
X2 como
[X1, X2] =< [a, b] = aba−1b−1, tal que a ∈ X1, b ∈ X2 >
.
A partir daqui, se a, b são elementos de um grupo G,
denotamos
aba−1 := ba.
Proposição 1.1.8. Sejam x, y, z elementos de um grupo.
Então
[xy, z] = [y, z]x[x, z].
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1.1 Grupos e Anéis 3
Pela proposição anterior, tem-se que [x2, y] = [xx, y] = [x,
y]x[x, y].
Proposição 1.1.9. Seja G um grupo, e N um subgrupo de G, tal
que N contém G′. Então Né um subgrupo normal em G.
Proposição 1.1.10. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal de
G. Então
G/N é abeliano ⇐⇒ N ⊃ G′.
Teorema 1.1.11. (Teorema de Schur) Seja G um grupo, tal que [G :
Z(G)] = n , subgrupo normal de G, de modo que G/N é um grupo
finito e N temuma série subnormal
< t >= N0 �N1 =< 1 >
cujos fatores são ćıclicos.
Definição 1.1.14. Um grupo G é noetheriano se G satisfaz a
condição de cadeia ascendentesobre seus subgrupos, isto é, se
qualquer seqüência
G0 ⊆ G1 ⊆ · · · ⊆ Gn ⊆ · · · ,
de subgrupos de G estaciona, ou seja, existe k, natural, tal que
Gk+i = Gk, para todo i inteironão negativo.
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4 PRELIMINARES
Os únicos exemplos conhecidos de grupos noetherianos são os
grupos polićıclicos-por-finito,veja [21].
Definição 1.1.15. Definimos um grupo G ordenado se os
elementos de G podem ser linearmenteordenados de um modo
compat́ıvel com a operação do grupo. Ou seja, os elementos de G
estãolinearmente ordenados pela relação de ordem �, e para todo
a, b, c ∈ G, a � b implica ac � bc eca � cb.
Inferimos dessa definição que todo grupo ordenado é livre de
torção.
Teorema 1.1.16. ([22], corolário 6.45.4) Seja G um grupo
nilpotente livre de torção. Então Gé um grupo ordenado.
Teorema 1.1.17. ([19], 5.2.6) Seja P uma propriedade
grupo-teórica herdada por imagens deprodutos tensoriais e por
extensões. Se G é um grupo nilpotente, tal que G/G′ possui
essapropriedade P, então também, o grupo G satisfaz P.
Teorema 1.1.18. Seja G um grupo nilpotente. Então o conjunto
dos elementos de torção deG forma um subgrupo normal de G.
Ademais, se G é um grupo finitamente gerado, então T (G)tem ordem
finita, e o grupo G/T (G), que é livre de torção e finitamente
gerado, é ordenado.
Demonstração. Pelo teorema 1.1.17, T (G) é um subgrupo normal
de G. Considerando o grupoG finitamente gerado, seja T ′ o
comutador de T (G), T (G)/T ′ é um grupo abeliano
finitamentegerado, logo pela proposição 1.1.4, esse grupo
quociente é finito. Considere para a propriedadegrupo-teórica do
teorema 1.1.17 P =finita. Assim, por esse teorema, se |T (G)/T ′|
é finita, então|T (G)| é finita. Finalmente, G/T (G) é um grupo
nilpotente livre de torção. Portanto, peloteorema 1.1.16, este é
ordenado.
Definição 1.1.19. Seja G um grupo, dizemos que dois
subconjuntos de G, S e S′, são conjugadosse existe um elemento g
de G, tal que S′ = gSg−1. A classe de conjugação de S é o
conjuntodos subconjuntos de G que são conjugados a S. Denotamos
cl(S) = {S′ ⊂ G: ∃ g ∈ G comgS′g−1 = S}. No caso de S = {g},
cl({g}) .= cl(g) = {h ∈ G: ∃ x ∈ G com xhx−1 = g}, essa éa classe
de conjugação de g em G. Desse modo, dizemos que h ∼ g se h ∈
cl(g).
Definição 1.1.20. Seja G um grupo, e S um subconjunto deste.
Definimos o centralizador deS em G, notado por CG(S), por
CG(S) = {g ∈ G : ∀s ∈ S, gs = sg};
CG(g) = {h ∈ G: gh = hg} é o centralizador de g em G.
Definição 1.1.21. Seja G um grupo, e S um subconjunto de G.
Definimos o normalizador deS em G por
NG(S) = {g ∈ G : gSg−1 ⊂ S}.
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1.1 Grupos e Anéis 5
Proposição 1.1.22. Seja G um grupo. Se S é um subconjunto de
G, então [G : NG(S)] =|cl(S)|.
Corolário 1.1.23. Seja G um grupo e x ∈ G. Então [G : CG(x)] =
|cl(x)|.
Definição 1.1.24. Seja G um grupo. Definimos o FC-centro de G,
que denotamos por ∆(G),por
∆(G) = {g ∈ G : |cl(g)|
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6 PRELIMINARES
Seja N :=⋂
16=x∈YNx, pelo teorema 1.1.2, [G : N ] < ∞. Sendo |G| = ∞.
Então N 6=< 1 >.
Seja π : G −→ G/N . Suponha x 6= y ∈ Y , tais que π(x) = π(y);
π(xy−1) = 1 =⇒ xy−1 ∈Ker(π) = N . Então z = xy−1 ∈ N ⊂ Nz =⇒ z ∈
Nz. Contradição. Portanto, x = y.
Considere F e Λ uma famı́lia de grupos e de ı́ndices,
respectivamente. Seja F = {Gλ, λ ∈ Λ}.Definimos
C =∏λ∈Λ
Gλ
o produto cartesiano dos membros da famı́lia de grupos, ou seja,
C é o conjunto de vetores(gλ)λ∈Λ, no qual gλ ∈ Gλ, para cada λ ∈
Λ.
Definição 1.1.31. O produto direto externo dos grupos da
famı́lia F é o conjunto dos elementosde C, isto é, (gλ)λ∈Λ ∈ C,
cujos termos gλ são os elementos neutros de Gλ, a menos de
umnúmero finito desses elementos. Denotamos o produto direto
externo por
D = Drλ∈ΛGλ.
O produto direto externo D é um subgrupo normal de C.
Considerando-se para cada ı́ndiceλ0 ∈ Λ o homomorfismo de inclusão
iλ0 : Gλ0 ↪→ C, que associa a cada elemento de Gλ0 aidentidade de
Gλ na posição λ 6= λ0, e os elementos de Gλ0 na posição λ0,
temos assim, asseguintes relações:
i. D =< iλ(Gλ) : λ ∈ Λ >;
ii. < iλ(Gλ) : λ ∈ Λ >⋂µ6=λ
< iµ(Gµ) : µ ∈ Λ >= 1C , ∀ λ, µ ∈ Λ.
Definição 1.1.32. Seja H um grupo, e F = {Hλ : λ ∈ Λ} uma
famı́lia de subgrupos normaisem H, tais que:
i. H =< Hλ : λ ∈ Λ >;
ii. Hλ ∩ < Hµ : µ ∈ Λ, µ 6= λ >= 1H , ∀ λ ∈ Λ.
Então, dizemos que H é o produto direto interno de Hλ,
denotado por:
H = Driλ∈ΛHλ.
Consideremos πλ : D −→ Gλ a projeção canônica. Se definirmos
ϕ : Drλ∈ΛGλ −→ Driλ∈ΛHλ,tal que ϕ((gλ)) =
∏πλ(gλ). Então ϕ é um isomorfismo; ϕ é um homomorfismo:
ϕ((g1λ)(g
2λ)) =∏
πλ(g1λg2λ), pela propriedade 2 do produto direto interno,
∏πλ(g1λ)πλ(g
2λ) =
∏πλ(g1λ)
∏πλ(g2λ) =
-
1.1 Grupos e Anéis 7
ϕ(g1λ)ϕ(g2λ); ϕ é sobrejetora, pois para todo g = g1. · · · .gn
∈H, este é o produto de um número fi-
nito de elementos gλ ∈Hλ, não idênticos à unidade, e,
portanto, existeD 3 x = iλ1(g). · · · .iλn(g),tal que ϕ(x) = g;
pela propriedade 2, Ker(ϕ) = 1, logo ϕ é um isomorfismo.
Definição 1.1.33. Seja G um grupo, e H e N subgrupos de G, tal
que N seja normal em G,G = HN , e H ∩ N = {1}. Então dizemos que G
é o produto semidireto interno de H e N , edenotamos isso por G =
N oH, ou H nN . Nesse caso, podemos definir um homomorfismo
degrupos
α : H −→ Aut(N), porh 7→ αh : N −→ N
n 7→ hnh−1.
Definição 1.1.34. Sejam H e N dois grupos, e α : H −→ Aut(N)
um homomorfismo degrupos. Introduzimos a seguinte notação: α(h) :
N −→ N , com α(h) .= hα e hα(n) .= nhα. Oproduto semidireto externo
entre H e N , dado o homomorfismo α, denotando-o por H nαN ouNαoH,
é o conjunto de todos os pares (n, h), n ∈ N e h ∈ H, com a
seguinte operação:
(n, h)(n1, h1) = (nnhα
1 , hh1).
Observação 1.1.35. Assim como fizemos para o produto direto
externo, consideramos as in-clusões:
iH : H ↪→ G iN : N ↪→ Gh 7→ (1N , h) n 7→ (n, 1H),
definindo H∗ = iH(H) e N∗ = iN (N). Então H∗ ∼= H e N∗ ∼= N ,
H∗ e N∗ são subgrupos deG, tais que são verificadas as seguintes
condições:
i. G = N∗H∗;
ii. N∗ ∩ H∗ = {1}, sendo N∗ subgrupo normal de G, isto é, para
o par (x, y), com x ∈ N , e y∈ H,
(x, y)(n, 1H)(x, y)−1 = (xnyα, y)(x−1, y−1) = (xnh
α(x−1)y
α, 1H) ∈ N∗.
Então G = N∗oH∗ = NoαH. Sendo N isomorfo a N∗, podemos
identificá-los indistintamenteno produto semidireto interno, ou no
produto semidireto externo.
Proposição 1.1.36. Seja G um grupo, H e N subgrupos de G,
sendo o subgrupo N normal emG, e α : H −→ Aut(N), um homomorfismo.
Então podemos identificar o produto semidiretointerno com o
produto semidireto externo
H nα N = H nN.
-
8 PRELIMINARES
1.1.2 Anéis Semi-Simples
Definição 1.1.37. Seja M um R-módulo; M é denominado simples
se os seus únicos R-submódulos são os triviais, ou seja, 0 e M
são os únicos R-submódulos de M .
Definição 1.1.38. Seja M um R-módulo. Seja {Ni}i∈I uma
famı́lia de R-submódulos do móduloM , para o qual I é uma
famı́lia de ı́ndices. Dizemos que M é soma direta dos
R-submódulos Nise todo elemento m ∈ M pode-se escrever, de modo
único, na forma
m =∑i∈I
ni, ni ∈ Ni,
ou equivalentemente, satisfazendo as seguintes condições:
i. M =∑i∈I
Ni;
ii. Nj ∩ (∑I3i 6=j
Ni) = 0, ∀ j ∈ I.
Nesse caso, denotamosM ∼=
⊕i∈I
Ni,
e cada Ni é um somando direto de M .
Definição 1.1.39. Seja M um R-módulo; M é um módulo
semi-simples se todo R-submódulode M é um somando direto de M
.
Proposição 1.1.40. Seja M um R-módulo semi-simples. Se N é
um R-submódulo de M , entãoN é um módulo semi-simples e contém
um módulo simples.
Podemos considerar um anel R como um R-módulo, sobre si mesmo,
à esquerda. Denotamosisso por RR; note que os R-submódulos do RR
são os ideais à esquerda do anel R.
Definição 1.1.41. Seja R um anel. Dizemos que R é
semi-simples se o R-módulo RR forsemi-simples.
Com o seguinte teorema, estaremos em condições de caracterizar
um anel semi-simples apartir de seus ideais minimais laterais.
Teorema 1.1.42. Seja M um R-módulo; M é semi-simples, se e
somente se, M é soma diretade R-submódulos simples.
Dizemos que o comprimento de um R-módulo semi-simples é o
número de componentessimples na decomposição do módulo em soma
direta de R-módulos simples.
-
1.1 Grupos e Anéis 9
Definição 1.1.43. Um anel R é artiniano(noetheriano) se toda
cadeia descendente(ascendente)de ideais estabiliza-se, ou
equivalentemente, se toda famı́lia de ideais de R admite um
elementominimal(maximal).
Proposição 1.1.44. Se o anel R é semi-simples, então o
R-módulo à esquerda RR é um módulode comprimento finito, isto
é, RR é um R-módulo artiniano e noetheriano.
Teorema 1.1.45. Seja R um anel. São equivalentes:
i. Todo R-módulo é semi-simples;
ii. R é semi-simples;
iii. R é soma direta finita de ideais à esquerda minimais.
Teorema 1.1.46. Seja R um anel semi-simples com unidade. Então
existe uma famı́lia F ={e1, ..., en} de elementos de R, tal
que:
i. e2i = ei, 1 ≤ i ≤ n (idempotentes);
ii. eiej = δij (ortogonais);
iii. 1 =n∑i=1
ei (F é uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais);
iv. Se ei = e′i + e′′i , com e
′i e e
′ii idempotentes ortogonais distintos, então e
′i, e′′i ∈ {0, ei} (primi-
tivos).
Reciprocamente, se F = {e1, ..., en} satisfaz as condições
acima, então Li = Rei é um ideal àesquerda minimal, e
R ∼=n⊕i=1
Li.
Lema 1.1.47. Seja R um anel semi-simples, M um R-módulo
simples, e L um ideal à esquerdaminimal de R. Então LM 6= 0⇐⇒ L
∼= M . E, nesse caso, LM = M .
Proposição 1.1.48. Seja R ∼=n⊕i=1
Li, um anel que é isomorfo à soma direta de ideais à
esquerda
minimais, e seja M um R-módulo simples. Então M ∼= Li para
algum ı́ndice i.
Lema 1.1.49. Seja L um ideal à esquerda minimal de um anel R
semi-simples, e seja B a somade todos os ideais à esquerda de R
isomorfos ao ideal L. Então B é um ideal bilateral de R.
Lema 1.1.50. Seja I um ideal bilateral de um anel R
semi-simples. Se I contém um ideal àesquerda minimal de L, então
I contém todo ideal à esquerda minimal de R que é isomorfo
aoideal L.
-
10 PRELIMINARES
Teorema 1.1.51. Nas condições do lema 1.1.49, o ideal
bilateral B é um ideal bilateral minimal.Logo, considerado como
anel, ele é simples.
Se consideramos R um anel semi-simples, cujos ideais à esquerda
minimais são Li, sabemos
que R ∼=n⊕i=1
Li. Tomando-se S = {Li1 , · · · , Lij}, 1 ≤ ij ≤ n, um conjunto
com todos, a
menos de isomorfismos, os tais ideais não isomorfos entre si.
Então Ai =∑
S3Lji∼=Lk
Lk é um ideal
bilateral de R, com 1 ≤ k ≤ n e 1 ≤ i ≤ |S| = m.
Teorema 1.1.52. Com a notação acima, se A é um anel
semi-simples, então o anel A é
isomorfo à soma direta de um número finito de anéis simples,
isto é, R ∼=m⊕i
Ai, com AiAj = 0,
se i 6= j.
Teorema 1.1.53. (Teorema de Artin-Wedderburn) Um anel R é
semi-simples, se e so-mente se,
R ∼= Mn1(D1)⊕ · · · ⊕Mns(Ds),
no qual Di é um anel de divisão, e Mni(Di) é uma matriz ni ×
ni sobre Di com 1 ≤ i ≤ s.
1.2 anéis de grupo
Definição 1.2.1. Seja G um grupo, e R um anel. O anel de grupo
RG é o conjunto formadopelas somas formais
∑g∈G
αgg, sendo αg = 0, a exceção de um número finito de termos em
cada
soma, e αg ∈ R, g ∈ G, com as seguintes operações:∑g∈G
αgg +∑g∈G
βgg =∑g∈G
(αg + βg)g,
(∑g∈G
αgg)(∑h∈G
βhh) =∑g,h∈G
(αgβh)gh,
rg = gr, ∀g ∈ G, e r ∈ R.
Definimos o suporte de α ∈ RG como o conjunto dos elementos g ∈
G, cujo escalar αg ∈ R sejanão nulo, isto é, se α =
∑g∈G
αgg. Então
Supp(α) = {g ∈ G tal que αg 6= 0}.
Pela definição de RG, temos que a cardinalidade de Supp(α) é
finita.
-
1.2 anéis de grupo 11
Definição 1.2.2. Seja R um anel comutativo. Uma R-álgebra é
um anel A, com estrutura deR-módulo, tal que a multiplicação de
A, como anel, e a multiplicação, com relação à estruturade
R-módulo, são compat́ıveis no seguinte sentido
x(ab) = (xa)b = a(xb)∀x ∈ R; a, b ∈ A.
Quando R é um corpo, uma base para a R-álgebra A é uma base
para A vista como R-espaçovetorial. Nesse caso, a R-álgebra A é
dita de dimensão finita sobre R se admite uma R-basefinita.
Proposição 1.2.3. Seja R um anel comutativo, e G um grupo. O
anel de grupo RG é umaR-álgebra.
Definição 1.2.4. Seja dada uma seqüência de R-módulos e
R-homomorfismos
· · · // Mi−1ϕi // Mi
ϕi+1 // Mi+1 // · · · .
Essa seqüência é dita exata em Mi, quando Im(ϕi) = Ker(ϕi+1).
Uma seqüência é exata quandoé exata em cada componente Mi.
Definição 1.2.5. Dizemos que um R-módulo N é plano se dada
uma seqüência exata à esquerda
0ϕ1 // · · · // Mi−1
ϕi // Miϕi+1 // Mi+1 // · · · .
Então, a seqüência
0ϕ1⊗1// · · · // Mi−1
⊗R
N ϕi⊗1 // Mi⊗R
N ϕi+1⊗1// Mi+1⊕R
N // · · ·
é exata à esquerda.
Teorema 1.2.6. Seja R um anel, e sejam os grupos A,G,H. Se RG ∼=
RH, então R[G×A] ∼=R[H ×A].
Demonstração. Seja θ : RG −→ RH um isomorfismo. Então a
seqüência
0 // RGθ // RH // 0
é exata. O anel de grupo RA é uma álgebra livre, portanto, um
módulo plano. Dessa forma, aseqüência
0 // RG⊗R
RA θ⊗1 // RH⊗R
RA // 0
-
12 PRELIMINARES
é exata. Logo RG⊗R
RA ∼= RH⊗R
RA (∗). Portanto, é suficiente mostrar que R[G × A] ∼=
RG⊗R
RA. Para isso, definimos
ν : RG×RA −→ R[G×A](∑g∈G
rgg,∑a∈G
saa) 7→∑g,a∈G
rgsa(g, a), que é uma função balanceada.
Seja
f : RG×RA −→ B uma aplicação balanceada.
Definimosf∗ : R[G×A] −→ B∑
g,a∈Grga(g, a) 7→
∑g,a∈G
rgaf(g, a).
Então, temos que f∗ ◦ ν = f , isto é, o diagrama
R[G×A]
f∗
��999
9999
9999
9999
>|||||||||||||||| f // B
comuta. Pela propriedade universal do produto tensorial, temos
que R[G × A] ∼= RG⊗R
RA.
Logo, obtemos que
R[G×A] ∼= RG⊗R
RA ∼= RH⊗R
RA ∼= R[H ×A].
Corolário 1.2.7. Seja C∞ um grupo ćıclico infinito. Se ZG ∼=
ZH, então Z[G× C∞] ∼=Z[H × C∞].
Teorema 1.2.8. (Teorema de Mashke) Suponha |G|
-
1.2 anéis de grupo 13
Definaπ̂ : KG −→ KG
α 7→ 1|G|
∑g∈G
g−1π(αg).
Ocorre que g−1π(αg) ∈M , pois M é KG-submódulo; de fato, π(KG)
⊂M , π̂(α) ∈M , portanto,Im(π̂) ⊂ M . Tome m ∈ KG, π̂(m) = 1
|G|∑g∈G
g−1π(mg), mas π(mg) ∈ M =⇒ π(mg) =
π(m)g = gπ(m), então, π̂(m) = π(m), para todo m ∈ KG. Portanto,
π̂ = π̂2. Logo π̂ é umaprojeção; π̂ é KG-linear, pois sabemos
que π̂ é K-linear. De fato, π é K-linear, seja h ∈ G, x ∈KG,
então π̂(hx) =
1|G|
∑g∈G
g−1π(ghx) =1|G|
∑g∈G
h(h−1g−1)π(ghx) =h
|G|∑g∈G
(gh)−1π(ghx) =
h
|G|∑y∈G
y−1π(yx) = hπ̂(x). Portanto, π̂ é KG-linear. Então para a
seqüência exata
1 // Ker(π̂) // KGπ̂ //
M,i
oo
π̂ ◦ i = i. Portanto, a seqüência cinde, e KG ∼= M
⊕Ker(π̂).
Corolário 1.2.9. Para todo K ⊃ Q e |G| < ∞, KG é
semi-simples. Ou seja, KG ∼=n∑i=1
Mni(Di).
Lema 1.2.10. Nas condições do corolário 1.2.9, se K é um
corpo algebricamente fechado, entãoas seguintes afirmações são
verdadeiras:
i. Di = K, para todo i;
ii. |G| =n∑i=1
n2i ;
iii. dimK(Z(KG)) = n, o número de componentes simples de
KG;
iv. Z(KG) ∼=n⊕i=1
K.
Demonstração. Sendo G um grupo finito. Então [KG : K] < ∞.
O anel KG é semi-simples
e, portanto, pelo Teorema de Artin-Wedderburn KG ∼=s⊕i
Mni(Di). Então dimK(KG) = k =
s∑i=1
dimK(Mni(Di)) =∑
n2i [Di : K] < ∞ (∗). Logo dimK(Mni(Di)) < ∞ =⇒ [Di : K]
< ∞.
Dáı, Di é algébrico sobre K para todo 1 ≤ i ≤ s. Seja α ∈ Di,
e Irr(α,K)(X) = Fα(X)∈ K[X] o polinômio irredut́ıvel de α. Esse
polinômio é não nulo, pois sendo Di algébrico,
-
14 PRELIMINARES
podemos supor que [K(α) : K] = mi, logo o conjunto B = {α, · · ·
, αmi} é linearmente de-pendente sobre K. Ora, sendo K um corpo
algebricamente fechado, α ∈ K. Logo Di = K.
De (∗) e [Di : K] = 1, conclúımos que |G| =s∑i=1
n2i . Para o item iii., basta observar que
Z(Mni(Di)) ∼= Z(Di)Iid = {diag(λ · · ·λ) : λ ∈ Z(Di)}, logo
dimK(Z(Mni(Di))) = [Z(Di) : K].
Portanto, dimK(Z(KG)) =s∑i=1
[K : K] = s, o número de componentes simples de KG, pois K
é algebricamente fechado.
Corolário 1.2.11. Se K é algebricamente fechado, e |G| é
finito, então dimK(Z(KG)) é onúmero de classes de conjugação
de G.
Definição 1.2.12. Seja G um grupo, e R um anel. A
aplicação
� : RG −→ R∑g∈G
αgg 7→∑g∈G
αg,
denomina-se homomorfismo de aumento.
O homomorfismo de aumento é um homomorfismo do anel RG.
Portanto, Ker(�), o núcleodo homomorfismo, é um ideal de RG.
Teorema 1.2.13. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal em G.
Então ∆(G,N) .=< 1−h,h ∈ N > é ideal de RG.
Corolário 1.2.14. Nas condições do teorema 1.2.13, RG/∆(G,N)
∼= R(G/N).
Definição 1.2.15. Dizemos que um homomorfismo de anéis
ϕ : RG −→ RH
preserva aumento se dados �G e �H , os homomorfismos de aumento
dos anéis RG e RH, res-pectivamente, e α ∈ RG. Então
�G(α) = �H(ϕ(α)).
Isto é, o diagrama
RGϕ //
�G
""FFF
FFFF
FFRH
�H��R
comuta. Nesse caso, se ϕ é um isomorfismo que preserva aumento,
dizemos que este é umisomorfismo normalizado.
Definição 1.2.16. Seja G um grupo, e R um anel. Dado α ∈ RG, α
=∑g∈G
αgg, definimos o
traço de α por tr(α) = α1. Sendo 1 ∈ G o elemento neutro do
grupo G.
-
1.2 anéis de grupo 15
Teorema 1.2.17. Seja φ um isomorfismo de anéis de grupo sobre o
anel dos inteiros. Entãoexiste um isomorfismo, definido a partir
de φ, que preserva aumento e traço.
Demonstração. Seja φ : ZG −→ ZH um isomorfismo. Definimos
φ̂ : ZG −→ φ(ZG) = ZH∑g∈G
αgg 7→∑g∈G
αg�H(φ(g))
φ(g).
Mostremos que φ̂ é um isomorfismo de anéis que preserva
aumento e traço. A aplicação estábem definida, pois, �H(φ(g)) =
±1. Verificamos que φ̂(1) = 1; φ̂ é um homorfismo de
anéis.Tomemos a, b ∈ ZG, com a =
∑agg, b =
∑bgg. Então φ̂(ab) = φ̂(
∑g∈G
agg∑h∈G
bhh) =
φ̂∑g,h∈G
(agbhgh) =∑g,h∈G
agbh�H(φ(gh))
φ(gh) =∑g∈G
ag�H(φ(g))
φ(g)∑h∈G
bh�H(φ(h))
φ(h) = φ̂(a)φ̂(b),
também, para φ̂(a + b) = φ̂(∑g∈G
(ag + bg)g) =∑g∈G
ag + bg�H(φ(g))
g = φ̂(a) + φ̂(b); a aplicação é
injetiva, pois se tomamos a ∈ Ker(φ̂) =⇒∑g∈G
ag�H(φ(g))
φ(g) = 0 e φ(g) 6= 0 =⇒ αg = 0,
porque G é uma Z-base. Logo a = 0; φ̂ é sobrejetiva. Com
efeito, dado a ∈ ZH, a =∑g′∈H
ag′g′ =
∑g=φ−1(g′)∈G
agφ(g) =∑g∈G
ag�H(φ(g))�H(φ(g))
φ(g) =∑g∈G
a′g�H(φ(g))
φ(g) = φ̂(a′), para a′ =∑g∈G
ag�H(φ(g))g ∈ ZG. Com isso, podemos mostrar que φ̂ preserva
aumento e traço. Seja
α =∑g∈G
αgg um elemento de ZG. Temos que �H(φ̂(α)) = �H(∑g∈G
φ̂(αgg)) = �H(∑g∈G
αgφ̂(g)) =
�H(∑g∈G
αgφ(g)
�H(φ(g))) =
∑g∈G
αg�H(φ(g))
�H(φ(g)) =∑g∈G
αg = �G(α). Portanto, φ̂ preserva aumento.
Pela definição de traço, tr(α) = α(1); tr(φ̂(α)) =α1
�H(φ(1))φ(1), sendo φ(1) = 1h, e �H(φ(1)) = 1.
Então φ̂ preserva traço.
Definição 1.2.18. Seja RG um anel de grupo. Denotamos por
U(RG) o conjunto das unidadesde RG, isto é, U(RG) = {α ∈ RG: ∃ β ∈
RG, tal que αβ = βα = 1}. As unidades u = vg,tais que v ∈ U(R) e g
∈ G são chamadas Unidades Triviais. Se u ∈ U(RG) é um elemento
detorção, então u é chamada unidade de torção de RG. As
unidades, u ∈ U(RG), de aumentoum, �(u) = 1, são chamadas unidades
normalizadas. Denotamos por U1(RG) o conjunto dasunidades
normalizadas de RG, isto é, U1(RG) = {u ∈ U(RG): �(u) = 1}, que é
um subgrupodo grupo das unidades do anel de grupo.
Se |G|
-
16 PRELIMINARES
Teorema 1.2.19. (Berman-Higman-Passman)([21], 6.45.8) Sejam G um
grupo qualquer,γ =
∑g∈G
γgg, uma unidade de torção de ZG e γ1 6= 0. Então γ = ±1.
Corolário 1.2.20. (Bovdi-Marciniak-Sehgal) Se u é uma unidade
central de torção de umanel de grupo ZG, então u é trivial.
Observação 1.2.21. Neste trabalho, não apresentamos a
demonstração do teorema 1.2.19, poisesta é uma demonstração
clássica, encontrada na bibliografia. Para o corolário 1.2.20,
quetrata de unidades centrais, julgamos conveniente dar duas
demonstrações para esse corolário:a primeira, no final deste
caṕıtulo e a segunda, no terceiro caṕıtulo. Ao longo de
algumasdemonstrações neste trabalho, referimo-nos ao corolário
1.2.20, “para o caso finito”, ou seja,em condições onde é
suficiente supor que o referido grupo G, desse corolário, seja um
grupofinito. Isso ocorre, mais exatamente, na demonstração do
teorema 3.2.2, que é o mesmo corolário1.2.20, e do corolário
3.1.10. Vale mencionar que essa primeira demonstração é
inédita.
Teorema 1.2.22. Sejam G e H dois grupos. Se ZG ∼= ZH, então
U1(ZG) ∼= U1(ZH).
Demonstração. Pelo teorema 1.2.17, existe φ̂ : ZG −→ ZH um
isomorfismo que preservaaumento. Então φ̂(U1(ZG)) ⊆ U1(ZH),
analogamente para φ̂−1, obtemos que U1(ZG) ∼= U1(ZH).
Uma conseqüência imediata, que simplifica muito a condição
de isomorfismo entre anéis degrupo de um isomorfismo normalizado,
é que podemos, quando RG ∼= RH, considerar RG =RH. Essa
identificação é elucidada a partir do seguinte teorema:
Teorema 1.2.23. Seja RG ∼= RH, tal que θ : RG −→ RH seja um
isomorfismo normalizado.Então RGθ = RH, isto é, RG = RH, onde
θ(G) = Gθ.
Demonstração. Mostremos que Gθ é uma R-base de RH. De fato,
seja h ∈ θ(G), existe umúnico g ∈ G, θ(g) = h;
∑h∈Gθ
rhh = 0 =⇒∑h∈Gθ
rhθ−1(h) =
∑h∈Gθ
rhg = 0. Portanto, rh = 0.
Seja x ∈ RH, então θ−1(x) ∈ RG. Portanto, θ−1(x) =∑g∈G
xgg =⇒ x = θ(θ−1(x)) =∑g∈G
xgθ(g)
∈ Rθ(G). Dáı, RGθ = RH. Sendo G ∼= Gθ, podemos identificar G
com Gθ e, portanto,RG = RH.
Definição 1.2.24. Seja G um grupo, e R um domı́nio de
integridade de caracteŕıstica zero,que satisfaz U(R) ∩ {o(g), tal
que g ∈ G, o(g) um número primo } = {1}, isto é, os elementosde
ordem prima do grupo G não são invert́ıveis em R. Nesse caso, R
é chamado um anelG-adaptado.
-
1.2 anéis de grupo 17
Lema 1.2.25. ([22], 5.37.1) Qualquer grupo finito de unidades
normalizadas de ZG é um con-junto de elementos linearmente
independentes em ZG.
Lema 1.2.26. ([22], 5.37.3) A ordem de qualquer H ⊂ U1(ZG)
divide a ordem de G.
Corolário 1.2.27. ([22], 5.37.2) Qualquer subgrupo finito de
U1(ZG) tem ordem no máximoigual a |G|.
Lema 1.2.28. ([22], 5.37.4) Se H é subgrupo de U1(ZG), com |H|
= |G|, então ZH = ZG.
O lema seguinte é uma generalização desses resultados ([21],
5.37.1 a 5.37.4) para um anelR-adaptado e G um grupo finito.
Lema 1.2.29. Seja G um grupo finito. Se R é G-adaptado, e G1 é
um subgrupo finito dasunidades normalizadas de RG, então
i. |G1| divide |G|;
ii. se |G1| = |G|, então RG = RG1.
Demonstração. A primeira parte é conseqüência imediata do
lema 1.2.26 para anéisR-adaptados.Para a segunda afirmação, é
suficiente verificar que se |G| = |G1|, então G1 é uma R-base de
RG.Seja
∑g∈G1
agg = 0, calculamos tr(∑g∈G1
aggh−1) = a1 para cada h ∈ G1. Logo ah = 0. Afirmamos
que G1 gera RG: ∀ h ∈ G ∃ xg ∈ R, tal que h =∑g∈G1
xgg ∈ RG1. Para isso, inicialmente,
mostremos que existe a ∈ R, ah =∑g∈G1
agg. De fato, seja K o corpo de frações de R. Então
dimKKG = dimKKG1, pois |G| = |G1|. Logo como h ∈ G, h =∑g∈G1
kgg, sendo kg =agbg
, ag e
0 6= bg ∈ R. Seja a =∏g∈G1
bg nesse caso, ah ∈ RG1. Então para todo b ∈ G1, considere o
traço
de ahb−1 =∑g∈G1
aggb−1, tr(ahb−1) = ahb−11 = ab. Dáı a|ab. Logo h =
∑g∈G1
agag =
∑xgg ∈
RG1, com xg =aga
.
Para RG ∼= RH, existem casos onde é importante determinar em
que condições os subgruposnormais em G estão em correspondência
com os subgrupos normais do grupo H. Para os sub-grupos normais
finitos de G, o seguinte teorema mostra que há uma
correspondência biuńıvocaentre esses subgrupos e os subgrupos
normais finitos do grupo H.
Teorema 1.2.30. (Teorema da Correspondência para Subgrupos
Normais Finitos)Seja G um grupo, e R um anel G-adaptado. Suponha
que RG ∼= RH. Sendo LFNG o reticulado
-
18 PRELIMINARES
de subgrupos normais finitos em G, e LFNH o reticulado de
subgrupos normais finitos em H,as seguintes afirmações são
verdadeiras:
i. Existe uma bijeção φ entre LFNG e LFNH, isto é
φ : LFNG −→ LFNHG�M ←→ N �H;
ii. Se φ(M) = N , então ∆(G,M) = ∆(H,N).
A demonstração desse teorema encontra-se em ([21], III.4.17,
III.4.18 e III.4.19).
Definição 1.2.31. Seja RG um anel de grupo. Denotando-se ∼ a
relação de conjugação emum grupo G, definida em 1.1.19, para α
∈ RG, α =
∑g∈G
αgg, definimos
α̃g :=∑h∼g
αg =: tcl(g)(α).
Teorema 1.2.32. ([10], Teorema 2.1) Seja G um grupo que contém
um subgrupo normal Hlocalmente noetheriano, tal que G/H é um grupo
de torção. Se α ∈ U1ZG é uma unidade detorção, e g ∈ G é um
elemento de ordem infinita, então α̃(g) = 0.
Esse resultado, originalmente, foi apresentado em [22],
proposição 47.5, por Bovdi-Marciniak-Sehgal para grupos
noetherianos.
Teorema 1.2.33. ([10], Corolário 2.3) Seja K um grupo, e H um
subgrupo localmente no-etheriano, livre de torção e normal em K,
tal que K/H seja um grupo de torção. Então ohomomorfismo
canônico ψ : ZK −→ Z(K/H) é injetivo sobre os subgrupos de
torção de ZK.Em particular, todo subgrupo de torção de U1(ZK)
é finito, se o ı́ndice de H em K for finito.
Demonstração. Seja N < U1(ZK), subgrupo finito, e α ∈ N ,
tal que ψ(α) = 1. Queremosprovar que α = 1. De fato, seja T um
transversal de H em G, T = {tλ}, λ ∈ Λ, sendo Λum conjunto de
ı́ndices. Então podemos escrever α =
∑λ∈Λ
αλtλ, tλ ∈ T , e αλ ∈ ZH. Logo
1 = ψ(α) = ψ(α1) = �(α1). Portanto,∑h∈H
αh = 1, e existe h0 ∈ H, tal que α̃(h0) 6= 0, por
1.2.31, h0 = 1. Assim, por 1.2.19, α = 1. Portanto, ψ|N é
injetiva.
Proposição 1.2.34. Nas condições do teorema anterior, seja K
um grupo com G e H subgruposde K, tais que G seja um subgrupo
finito, H um subgrupo normal em K, e W um grupo, tal queZK ∼= ZW .
Se T é um subgrupo de W , tal que |G| = |T |, e Z(K/H) ∼= ZG,
então ZT ∼= ZG.
-
1.2 anéis de grupo 19
Demonstração. Seja o isomorfismo Ψ : ZW −→ ZK. Pelo teorema
anterior o homomorfismocanônico ψ : ZK −→ Z(K/H) é injetivo,
quando restrito a F , um subgrupo de torção de ZK.Sendo Ψ um
isomorfismo, T ∼= Ψ(T ) ⊂ ZK. Portanto, |T | = |Ψ(T )|. Considere F
= Ψ(T ),então ψ|F é injetiva. Sendo ψ(Ψ(T )) ∼= Ψ(T ) ∼= T ,
esses subgrupos têm a mesma ordem. Pelolema 1.2.29, com Z um anel
G-adaptado, sendo ψ(Ψ(T )) ⊂ ZK/H = ZG, e G ⊂ U1Z(K/H),então
Zψ(Ψ(T )) = ZG. Logo ZT ∼= ZG.
1.2.1 Unidades Centrais em anéis de grupo
Lema 1.2.35. Seja G um grupo finito, e k1, · · · , ks as classes
de conjugação de G. Seja Ki =∑x∈ki
x ∈ ZG, 1 ≤ i ≤ s. Então {K1, · · · ,Ks} forma uma base do
Z(ZG).
Demonstração. Inicialmente, mostramos que Ki ∈ Z(ZG). De fato,
gKig−1 = g∑x∈ki
xg−1 =
∑x∈ki
gxg−1 =∑x∈ki
x = Ki. Ses∑j=1
αjKj = 0 =s∑j=1
αi(∑x∈kj
x) =s∑j=1
∑x∈kj
αjx =⇒ αj = 0, pois
Supp(Ki) são disjuntos. Finalmente, se∑g∈G
αgg = α ∈ Z(ZG), e h ∈ G, então hαh−1 = α =∑g∈G
αggh =
∑g∈G
αgg. Portanto, αgh = αg, para todo h ∈ G. Logo α é combinação
linear dos
Ki.
Teorema 1.2.36. Seja G um grupo, e ∆(G) o FC-subgrupo de G.
Então Z(U1(ZG)) ⊂ Z∆(G).
Demonstração. Seja u ∈ Z(U1(ZG)). Vamos provar que Supp(u) ⊂
∆(G). Supomos ocontrário, isto é, que Supp(u) 6⊂ ∆(G). Seja g0 ∈
Supp(u) e g0 6∈ ∆(G); gi ∈ cl(g0) =⇒ ∃x ∈ G,tal que gi = gx0 .
Sendo u um elemento central, u = u
x = (∑g∈G
αgg)x = αg0gx0 +
∑g0 6=g∈G
αggx =
αg0gi+∑
g0 6=g∈Gαgg
x, com gi 6∈ {gx, g0 6= g ∈ G}, portanto, gi ∈ Supp(u), então
cl(g0) ⊂ Supp(u).
Contradição. Pois g0 foi tomado de modo que |cl(g0| = ∞ e
|Supp(u)| < ∞. Logo Supp(u) ⊂∆(G). Portanto, u ∈ Z∆(G).
Corolário 1.2.37. Seja u uma unidade central normalizada de um
anel de grupo sobre osinteiros. Então o grupo gerado pelo suporte
da unidade é um FC-grupo finitamente gerado.
Demonstração. Pelo teorema, u ∈ Z∆(G), logo G0 =< g : g ∈
Supp(u) > ⊂ ∆(G) é umFC-grupo finitamente gerado.
-
20 PRELIMINARES
1.2.2 Produto Cruzado
Definição 1.2.38. Produto Cruzado ([21], VI.1) Seja G um
grupo, e R um anel. Suponhamosconhecida uma função ρ : G × G −→
U(R), chamada fator de sistema, e automorfismos σg ∈Aut(R) de
conjugação para cada g ∈ G. Supondo que ρ e σ satisfaçam, para
cada g, h, l ∈ G, ea ∈ R, as seguintes propriedades:
ρ(g, h)ρ(gh, l) = σg(ρ(h, l))ρ(g, hl); (1.1)
ρ(h, g)σhg(a) = σh(σg(a))ρ(h, g). (1.2)
Então, pelo produto cruzado R(G, ρ, σ) de G sobre R com fator
de sistema ρ e automorfismosσ, que denotaremos por R ∗G, entendemos
o conjunto das somas finitas
{∑
aigi : ai ∈ R, gi ∈ G},
o qual gi é um śımbolo correspondente a gi. Igualdade e
adição estão definidas componente acomponente, e para g, h ∈ G,
e a ∈ R, temos
gh = ρ(g, h)gh; (1.3)
ga = σg(a)g. (1.4)
Proposição 1.2.39. Seja G um grupo, e R um anel. O produto
cruzado R ∗ G é um anelassociativo.
Demonstração. Estendendo-se as aplicações 1.3 e 1.4,
distributivamente, não há problemas emverificar que R∗G é um
grupo abeliano com a propriedade de soma. Para o produto,
verificamosque se a, b ∈ R ∗G
ab =∑g∈G
agg∑h∈G
bhh =∑g,h∈G
aggbhh =∑g,h∈G
agσg(bh)gh =∑g,h∈G
agσg(bh)ρ(g, h)gh =∑l=gh
cll.
com cl = agσg(bh)ρ(g, h) ∈ R, portanto, ab ∈ R ∗ G. A
propriedade associativa decorre dadefinição da ação 1.3 e da
torção 1.4. Com efeito, inicialmente verificamos que a
associatividadeé garantida para os escalares com os elementos da
base
(gh)a = (ρ(g, h)gh)a = ρ(g, h)σgh(a)gh;g(ha) = gσh(a)h =
σg(σh(a))gh = σg(σh(a))ρ(g, h)gh.
Pela propriedade 1.1, bem como para os elementos da base, temos
que se g, h, l ∈ G, então
g(hx) = g(ρ(h, x))hx = σg(ρ(h, x))ghx = σg(ρ(h, x))ρ(g,
hx)ghx;(gh)x = ρ(g, h)ghx = ρ(g, h)ρ(gh, x)ghx.
-
1.2 anéis de grupo 21
Com isso verificamos a associatividade de R∗G. De fato a, b, c ∈
R∗G, ocorre que abc = a(bc) =(ab)c. Com efeito,
a(bc) =∑g∈G
agg(∑h∈G
bhh∑l∈G
clx) =∑
agg(∑∑
bhhcxx) =∑
agg(∑∑
bhσh(cx)hx) =
=∑
agg(bhσh(cx))(hx) =∑
agσg(bhσh(cx))g(hx);
(ab)c = (∑g,h∈G
aggbhh)∑x∈G
cxx =∑
g,h,x∈G(agσg(bh)gh)(cx)x =
∑agσg(bh)σgh(cx)(gh)x.
Ora, sendo a condição g(hx) = (gh)x satisfeita, então segue a
associatividade do produto cruzado(R ∗G).
Proposição 1.2.40. Seja G um grupo, e N subgrupo normal em G.
Então ZG ∼= (ZN) ∗G/N .
Demonstração. Devemos mostrar que G = G/N é uma ZN -base, e
as funções ρ e σ estãodefinidas. Seja {g} o conjunto de
representantes de G e T o transversal de N em G, obtido apartir
deste conjunto. Temos que G =
⋃̇t∈T
Nt e, portanto,
ZG =⊕
((ZN)t), sendo t = Nt ∈ G,
Logo G é uma ZN -base. Sendo N �G, temos que gZNg−1 = ZN .
Portanto ,σg : ZN −→ ZN
α 7→ gαg−1,está bem definida e é um automorfismo do anel ZN .
Além disso, definimos a aplicação
ρ : G×G −→ U(ZN)(g, h) 7→ n, tal que, gh = nt, n ∈ N ⊂
U(ZN).
Dados g, h ∈ G, existem únicos t ∈ T, n ∈ N , tal que gh = nt,
portanto gh = ngh e definimosρ(g, h) := n, portanto, ρ está bem
definida.
Assim, por essa, proposição,
Z[G× C∞] ∼= ZG ∗ C∞, com C∞ = [G× C∞]/G ∼= C∞.
Teorema 1.2.41. Seja G um grupo ordenado, e R um domı́nio.
Então
U1(R∗G) = {u ∗ w : u ∈ U(R), w ∈ G}.
Demonstração. Seja u ∈ U1(R∗G). Admita que u seja não
trivial
u =∑g∈G
rgg e u−1 =∑g∈G
sgg;
uu−1 =∑g∈G
rgg∑h∈G
shh =∑g,h∈G
rggshh =∑g,h∈G
rgσg(sh)gh =∑g,h∈G
rgσg(sh)ρ(g, h)gh︸ ︷︷ ︸equações 1.3,1.4
= 1.
-
22 PRELIMINARES
Sendo R um domı́nio, então rgσg(sh)ρ(g, h) são não nulos para
g, h ∈ G. Tomando-se os termosg1, h1 e g2, h2, respectivamente, os
elementos mı́nimos e máximos de seus respectivos suportesem G,
então
g1 < g2 =⇒ g1h1 < g2h1;h1 < h2 =⇒ g2h1 < g2h2.
Se g1 6= g2 ou h1 6= h2, então g1h1 < g2h2. Portanto,
|Supp(uu−1)| ≥ 2. Absurdo.
Proposição 1.2.42. Se G é um grupo abeliano finitamente
gerado livre de torção, e R é umdomı́nio de integridade de
caracteŕıstica 0, então o grupo das unidades do anel RG é
trivial.
Demonstração. Sendo G um grupo nilpotente e livre de torção,
então pelo teorema 1.1.16, Gé um grupo ordenado. Pelo teorema
anterior as unidades de RG são triviais.
Corolário 1.2.43. Seja C um grupo ćıclico infinito. Então
U1(ZC) = C.
Proposição 1.2.44. (Krempa) Seja u ∈ NU(ZG)G. Então o
automorfismo de G induzido pelaunidade u2, isto é, ϕ2, é um
automorfismo interno, ou seja, u2 ∈ (G)Z(U(ZG)).
Na demonstração que apresentamos a seguir para o próximo
teorema, temos uma aplicaçãodo teorema 1.1.30. Obviamente, esse
é um caso particular do teorema 1.2.19, porém de demons-tração
mais simplificada. Como veremos na demonstração do teorema,
recáımos no caso de umgrupo residualmente finito.
Teorema 1.2.45. Seja G um grupo. Se u ∈ Z(U(ZG)) é de torção,
então u é trivial.
Demonstração. Seja u ∈ Z(U(ZG)) de torção, seja X = Supp(u).
Consideramos G1 =< x : x∈ X >. Pelo corolário 1.2.37, G1 é
um FC-grupo finitamente gerado, portanto, é
polićıclico-por-finito. Dáı inferimos 1.1.29, que este é
residualmente finito. Pelo lema 1.1.30, ∃ N� G,cujo [G : N ] <
∞, e π : G −→ G/N , sobre X = Supp(u), é injetora. Estendemos π :
ZG −→Z(G/N), então π(u) = u é central, de torção e |G/N | <
∞. Pelo teorema 1.2.19, temos que|Supp(π(X))| = 1, logo |Supp(u)| =
1. Portanto, u ∈ G.
A seguir, ressaltamos a propriedade, para grupos infinitos da
forma G × C∞, sendo G umgrupo finito, e C∞ um grupo ćıclico
infinito, de que há uma relação entre (ISO) e (NC),
definidasabaixo.
• (ISO) Seja ZG um anel de grupo. Podemos afirmar que a classe
de isomorfismo de G édeterminada por ZG?
• (NC) Seja α uma unidade de U1(ZG) que normaliza o grupo G.
Então existe g ∈ G, euma unidade central w, tal que α = gw. Ou
seja, a conjugação de α sobre G é induzidapor um elemento de
G.
-
1.2 anéis de grupo 23
No caṕıtulos II, destacamos a relação entre essas duas
conjecturas para grupos do tipo G×C∞,sendo G um grupo finito e C∞
um grupo ćıclico infinito, ressaltando que no isomorfismo entreos
anéis de grupos sobre anel dos inteiros para esses grupos é
suficiente estudar a parte finitadesses grupos, ou seja, o grupo G.
No caṕıtulo III demonstramos que existe uma estrutura paraas
unidades centrais. Uma Caracteŕıstica que permite maior
abrangência em problemas queenvolvam essas unidades, assim como,
simplifica certas demonstrações. No presente trabalho,desejamos
explorar esse último fato, apresentando alternativas para
demonstrações de algunsteoremas, quando se considera para a
unidade central uma estrutura.
-
24 PRELIMINARES
-
Caṕıtulo 2
ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS
DE GRUPOS INFINITOS
Se ZG ∼= ZH, quais propriedades do grupo G são preservadas em
H? Por exemplo, se G é umgrupo finito, ou abeliano ([21],
III.2.10), ou nilpotente infinito ([22], Röhl), ou
meta-abelianofinito [Withcomb], ou residualmente finito, ou FC e
finitamente gerado ([14], lema 2), então Htem a respectiva
propriedade. Não sabemos, porém, caso G seja nilpotente infinito,
se H temo mesmo comprimento de nilpotência de G. Porém, quando a
classe de nilpotência de G é 2,sabemos que H ∼= G, veja [7].
Vamos concentrar nosso estudo no anel dos inteiros. Para outras
classes de anéis existemcontra-exemplos para o Problema do
Isomorfismo [20].
Ainda em [14], é feita uma relação entre (NC) e (ISO), até
então não observada (teorema2.2.1). Esse teorema permitirá um
novo caminho para o Problema do Isomorfismo para gruposinfinitos.
Com efeito, a partir do trabalho de Mazur, [14], Hertweck anunciou
a construção de umcontra-exemplo para o Problema do Isomorfismo
para anéis de grupo sobre o anel dos inteirospara grupos finitos,
o qual não iremos tratar neste trabalho. Em [12], Roggenkamp e
Marciniakdiscutem as principais idéias envolvidas nessa
construção.
Iniciamos nossa apresentação do Problema do Isomorfismo com a
classe de grupos abelianos,para a qual esse problema tem resposta
positiva.
2.1 O Problema do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador
Teorema 2.1.1. Seja G um grupo abeliano finito, e H um grupo,
tal que ZG ∼= ZH. EntãoG ∼= H.
-
26 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS
Demonstração. Podemos considerar ZG = ZH. Pelo corolário
1.2.20, as unidades de torçãode ZG e ZH são triviais. Como para
qualquer h ∈ H, o(h) < ∞, então h ∈ G. PortantoG = H.
Observação 2.1.2. Esse teorema é verdadeiro para |G| =∞, ver
[13] e ([21],III.2.10).
Proposição 2.1.3. Sejam C e S dois grupos, sendo C ćıclico
infinito, tal que ZC ∼= ZS. EntãoC e S são isomorfos.
Demonstração. Seja φ : ZC −→ ZS um isomorfismo normalizado.
Sendo C um grupo ćıclicoinfinito, C é ordenado. Logo pela
proposição 1.2.43, U1(ZC) = C. Sendo φ um isomorfismo,ZS tem
somente unidades triviais, então U1(ZS) = S, como φ é
normalizado, temos que C =U1(ZC) ∼= U1(ZS) = S.
Se os anéis de grupo ZG e ZH são isomorfos, observamos no
ińıcio deste caṕıtulo, quea menos que (ISO) verifique-se para o
grupo G, não são todas as propriedades do grupo Gque se estendem
ao grupo H. A seguinte proposição evidencia, também, que a
conjectura donormalizador estende-se para o anel ZH, quando (ISO)
ocorre.
Proposição 2.1.4. Se ZG ∼= ZH, e G satisfaz (ISO) e (NC),
então H satisfaz NC.
Demonstração. Como G satisfaz (ISO), então G ∼= H.
Consideremos o isomorfismo ϕ : H −→G estendendo-o para o anel de
grupos, isto é, ϕ : ZH −→ ZG. Seja w ∈ NU(ZH)H, entãowHw−1 = H.
Dáı ϕ(w)Gϕ(w−1) = ϕ(w)ϕ(H)ϕ(w−1) = ϕ(wHw−1) = ϕ(H) = G.
Portanto,ϕ(w) ∈ NU(ZG)G, logo da hipótese que G satisfaz (NC)
temos que ϕ(w) = gv, g ∈ G, v ∈ Z(ZG).Portanto, w = ϕ−1(gv) =
ϕ−1(g)ϕ−1(v), para ϕ−1(g) ∈ H e ϕ−1(v) ∈ Z(ZH).
A seguir, apresentamos um dos resultados centrais deste
trabalho. Nosso objetivo é apontaralgumas questões que o seguinte
teorema permite formular, procurando ressaltar a relação
desseteorema com as conjecturas (ISO) e (NC).
A partir da próxima seção, denotaremos:
• AutR(G) o conjunto dos automorfismos de G que são a
conjugação de alguma unidade u ∈U1(RG) que normaliza G, isto é,
u ∈ NU1(RG)G, e ηu ∈ AutRG seja tal que ηu(g) = ugu−1.
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos
Seja H um grupo finito, e C∞ um grupo ćıclico infinito.
Consideramos grupos da forma
K = H oϕ C∞.
-
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 27
Lembrando que se h ∈ H e C∞ =< t >, então
tht−1 := ϕ(h), e (g, tm)(h, tn) = (gϕm(h), tm+n).
Teorema 2.2.1. Seja G um grupo finito, R um anel G-adaptado, e W
um grupo qualquer.Então as R-álgebras R[G×C∞] e RW são
isomorfas, se e somente se, W = HoϕC∞, de modoque
i. O grupo H ⊆W é um subgrupo finito, tal que as R-álgebras RG
e RH são isomorfas;
ii. O automorfismo ϕ, do grupo H, é induzido pela conjugação
com uma unidade x ∈ RH, quenormaliza H.
Observação 2.2.2. (1) Embora o teorema esteja enunciado para
um anel R que é G-adaptado,demonstramos o teorema para o anel
Z.
(2) Partindo-se do fato G × C∞ ∼= G oϕ C∞ ⇔ ϕ ∈ Inn (G),
corolário 2.2.7, então seZ[G× C∞] ∼= Z[Goϕ C∞] satisfaz (ISO),
obtemos a importante relação entre (ISO) e(NC). Veja proposição
2.2.8 , a partir desse teorema.
(3) No caṕıtulo 3 demonstramos essa mesma relação anterior
sem o uso dos lemas 4,5 de [14].
(4) A afirmação (ii) do teorema é outra forma de dizer que ϕ
∈ AutR(H).
Antes de prosseguirmos com a demonstração do teorema 2.2.1,
vamos inicialmente provaralguns resultados que permitam uma melhor
compreensão das idéias envolvidas nesse teorema. Aseguir,
demonstramos algumas afirmações, conclúımos a demonstração do
teorema e enunciamosuma proposição que relaciona (ISO) e (NC) a
partir desse teorema.
Teorema 2.2.3. Seja G um grupo finito. Se as Z álgebras Z[G oχ
C∞] e ZW são isomorfas,então existe um grupo finito H de mesma
ordem de G, tal que W = H oη C∞, η ∈ Aut(H).
Demonstração. Seja φ : Z[G oχ C∞] −→ ZW um isomorfismo, e
denotemos G oχ C∞ = K.Sendo G um grupo finito, e Z um domı́nio de
integridade, tal que U(Z) ∩ {o(g), g ∈ G} = {1},podemos afirmar,
pelo teorema 1.2.30, que há uma correspondência biuńıvoca entre
os subgruposfinitos normais em K e W . Logo ∃ H ≤W , tal que K �G↔
H �W e |G| = |H|. Além disso,pelo teorema 1.2.30, item [ii.]
∆(K,G) = ∆(W,H). Segue, então que
ZK∆(K,G)
∼=ZW
∆(W,H)=⇒ Z(K/G) ∼= Z(W/H).
Como Z(K/G) ∼= ZC∞, decorre da proposição 2.1.3 que W/H ∼= C∞.
Sendo |H| < |∞|, seguepor 1.1.5 que H = T (W ), o subgrupo de
torção de W . Pela proposição 1.1.10, W/T (W ) éabeliano,
então T (W ) ⊇ W ′, sendo este o subgrupo comutador de W . Seja θ
: W � W/T (W )
-
28 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS
a projeção de W em W/T (W ); W/T (W ) =< w >, o(w) = ∞ ⇒
∃w ∈ W , tal que θ(w) = w,então por 1.1.5, o(w) = ∞. Logo < w
>⊆ W . Além disso, < w > ∩T (W ) = 1, pois < w >
élivre de torção. Considerando-se a proposição 1.1.9 na cadeia
de inclusões abaixo, então
W ′ ⊆ T (W ) ⊆ T (W ) < w >⇒ T (W ) < w > �W.
Por 1.1.6, existe N, subgrupo normal de W/T (W ), tal que N =
θ(T (W ) < w >) =< w >.Portanto, T (W ) < w >= W
, pois θ é um epimorfismo, e
W = T (W )o < w > .
Estando definido um homomorfismo η da seguinte forma:
η :< w >−→ Aut(T (W )).
Paraηw ∈ Aut(T (W ))
ηw : T (W ) −→ T (W )t 7→ wtw−1 ,
identificando-se ηw com η, temos que, pela proposição
1.1.34,
W = T (W )oη < w > .
Definição 2.2.4. Seja G um grupo, e H um subgrupo de U1(ZG).
Dizemos que H é uma basede grupo de ZG se {
ZG = ZHH é linearmente independente sobre o anel Z.
A proposição 1.1.36 mostra que o produto semidireto externo
pode ser identificado com umproduto direto interno, de modo que as
operações podem ser feitas como se estivéssemos tratandodo
produto semidireto interno.
Lema 2.2.5. Seja G um grupo finito φ, θ ∈ Aut(G), tais que η =
φθ−1 ∈ AutZG. Então as Zálgebras Z[Goφ C∞] e Z[Goθ C∞] são
isomorfas.
Demonstração. Sejam u ∈ NU(ZG)G, tal que ηu ∈ AutZG, e C∞
=< v > em G oθ C∞. Sejaϕ a aplicação definida por
ϕ : Goφ C∞ −→ Z[Goθ C∞], de modo que Goθ C∞ = Goθ < v >gun
7→ g(uv)n,
-
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 29
que é estendida a Z[Goφ C∞] por
ϕ : Z[Goφ C∞] −→ Z[Goθ C∞],∑g∈G,n∈Z
an,ggun 7→
∑g∈G,n∈Z
an,gg(uv)n,
Vamos demonstrar que ϕ é um isomorfismo. De fato, temos
que:
ϕ((gvm)(hvn)) = ϕ(gφm(h)vm+n) = (gφm(h)(uv)m+n);ϕ(gvm)ϕ(hvn) =
(g(uv)m)(h(uv)n). (∗)
Afirmamos que (uv)mh = φm(h)(uv)m. Pois por indução no
expoente n temos: (uv)h =uvhv−1u−1uv = uθ(h)u−1uv = η(θ(h))uv =
φ(h)uv; supomos por indução que (uv)m−1h =φm−1(h)(uv)m−1. Então
da hipótese de indução,(uv)mh = (uv)(uv)m−1h =
uvφm−1(h)v−1u−1uv(uv)m−1 = φm(h)(uv)m. Portanto, ϕ é
umhomomorfismo. Sejam (g1, vm), (g2, vn), tais que ϕ(g1vm) =
ϕ(g2vn) =⇒ g1(uv)m = g2(uv)n,portanto, g1 = g2 e m = n. Logo ϕ é
homomorfismo injetor. Para provar a sobrejetividade, de ϕvamos
considerar o grupo H = ϕ(Goφ < u >) e provar que H é uma
base de grupo para o anelde grupo Z[Goθ < v >]. Sendo ϕ um
homomorfismo, nesse caso �(ϕ(gvn)) = �(g(uv)n) = 1,para g ∈ G, e n
∈ Z, portanto, H ⊂ U1(Goθ < v >). Observamos que uv ∈ H, e
afirmamosque v ∈ ZH. Com efeito, definimos z := uv, dáı, v = u−1z.
Ora u−1 ∈ ZG =⇒ u−1 =
∑g∈G
ugg.
Portanto, v = (∑g∈G
ugg)z =∑g∈G
ug(gz), com gz = h ∈ H. Logo v =∑h∈H
uhz−1h ∈ ZH. De
forma que, se k ∈ K = Goθ < v >, então k = gvn n ∈ Z, g ∈
G, assim, k = g(∑h∈H
uhz−1h)n
∈ ZH. Desse modo, α ∈ ZK =⇒ α =∑k∈K
αkk ∈ ZH. Logo ZK ⊆ ZH ⊆ ZK =⇒ ZH = ZK.
Também, H é Z-linearmente independente. De fato
suponha∑h∈H
αhh = 0, com αh inteiro, para
cada h existem gh ∈ G, e nh ∈ Z, tal que h = g(uv)nh . Por
indução no expoente de (uv)n,vemos que (uv)n = u1vn, com u1 ∈
U(ZG), de modo que h = g(uv)nh = guhvnh . Portanto,0 =
∑h∈H
αhh =∑h
αhguhvnh , e {vn, n ∈ Z} é (ZG)-LI. Logo αhguh = 0, para todo h
∈ H,
implicando que αh = 0, pois guh ∈ U(ZH). Usando isso, segue que
ϕ é injetora.
Com os resultados acima, estamos em condições de provar o
teorema 2.2.1
Demonstração. Seja K = G× C∞. Inicialmente observamos que
ZK = Z[GoId C∞] ∼= ZW.
Pelo lema 2.2.3
W = T (W ) oφ C∞, com |T (W )| = |G|, φ ∈ Aut(T (W )).
-
30 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS
Consideremosψ : ZK −→ Z[T (W ) oφ C∞]
um isomorfismo normalizado, posśıvel pelo teorema 1.2.17, de
modo que podemos considerarZK = Z[T (W )oφC∞]. Sejam H = ψ−1(T (W
)), e v o gerador da parte livre de torção do grupoK, ou seja, C∞
=< v >. Definindo-se R = Z[v−1, v], o anel de polinômios nas
indeterminadasv e v−1, então R é um anel G-adaptado, H ⊂ Z[G×
< v >] = RG, e |G| = |H|. Logo pelo lema1.2.29, RG = RH.
Definindo-se I=̇∆(K,C∞) segue, pelo corolário 1.2.14, que
RG/I ∼= Z[G× C∞]/I ∼= Z[G× C∞/I] ∼= ZG,como RG = RH temos que ZG
∼= ZH.
Vamos mostrar que existe φ ∈ AutZHH, que é induzida pela
conjugação de uma u ∈ NU(ZH)H.Consideramos a projeção de Z[G×
< v >] sobre Z[G× < v >]/ < v >. Do isomorfismoZG
∼= ZH obtemos,
Z[G× < v >] ψ //
π
��
Z[T (W )oφ < w >]
ZG.
Seja t := ψ−1(w), então π(t), é uma unidade que normaliza o
subgrupo H, logo induz umautomorfismo ϕ ∈ Aut(H). Com efeito,
π(ψ−1(w))H(π(ψ−1(w)))−1 = π(ψ−1(w)ψ−1(T (W ))ψ−1(w−1)) =
π(ψ−1(wT (W )w−1)) =π(ψ−1(φ(T (W )))) = π ◦ ψ−1 ◦ φ ◦ ψ(H).
Sendo K um grupo noetheriano, < v > um grupo livre de
torção, e o quociente K/ < v >um grupo de torção, pelo
teorema 1.2.33, a restrição de π sobre H, é injetiva. Portanto,
ϕ =ψ−1 ◦ φ ◦ ψ, é um automorfismo de H. Isto é, ϕ ∈ Aut(H) é
induzida pela unidade π(t) ∈U(ZH), que conjuga o grupo H. Da
proposição 1.1.36, Hoϕ < v >∼= Ho < v >, e este
último éisomorfo a T (W )oφ < w >= W . Portanto, Hoϕ < v
>∼= W . Reciprocamente ZG ∼= ZH, entãopelo corolário 1.2.7,
Z[G× C∞] ∼= Z[H × C∞]. Sendo x uma unidade que induz ϕ ∈ AutZH,pelo
lema 2.2.5, Z[G× C∞] ∼= Z[H × C∞] ∼= Z[H oϕ C∞].
Denotamos por Out(G) o quociente
Out(G) = Aut(G)/Inn(G).
Retomemos o item 3 da observação 2.2.2 do teorema 2.2.1. Com o
seguinte lema, temos umacompreensão melhor daquela
observação:
Lema 2.2.6. Seja G um grupo que não admite epimorfismos sobre o
grupo ćıclico infinito.Então os grupos Goφ C∞ e Goθ C∞ são
isomorfos, se e somente se, φ e θ� são conjugados emOut(G), e � =
±1.
-
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 31
Demonstração. Seja
Φ : Goφ C∞ −→ Goθ C∞;
um isomorfismo de grupos, e
π : Goθ C∞ −→ C∞,
a projeção de Goθ C∞ sobre C∞. Consideremos o diagrama
abaixo
Goφ C∞ Φ //
π◦Φ &&NNNNN
NNNNNN
Goθ C∞π
��C∞.
Afirmação: Φ(G) ⊂ Ker(π) = G. De fato, considere a restrição
f = π ◦ Φ|G : G −→ C∞.Mostremos que f(G) = 1. Suponha que ∃ g ∈ G,
t = f(g) 6= 1. Então 0 6= n ∈ Z, f(G) =< tn >.Portanto,
|f(G)| =∞. Nesse caso a restrição de f : G −→ Im(f) é um
epimorfismo de G sobreum grupo ćıclico infinito. Absurdo, pois o
lema afirma o contrário para o grupo G. Entãoπ(Φ(g)) = 1, ∀g ∈ G,
portanto, Φ(G) ⊂ Ker(π). Analogamente, repetimos o argumento
paraΦ−1 e, portanto, Φ(G) = Ker(π) = G, logo Φ|G ∈ Aut(G) para todo
isomorfismo Φ. Mostremosa partir dáı que, Goφ C∞ ∼= Goθ C∞ =⇒ φ,
θ� são conjugados em Out(G), sendo � = ±1. SejaΦ um isomorfismo,
tal que definamos Φ(1, t) = (g, t�), fixado g ∈ G, e identificado
no produtosemidireto interno por Φ(t) = gt�. Em particular, para g
= 1, Φ(t) = (1, t�) ∼= C∞ =⇒ � = ±1.Pelo argumento acima, Φ(h, 1) =
(Φ(h), 1) está bem definida, cuja identificação no
produtosemidireto interno é (Φ(h), 1) = Φ(h)1 = Φ(h). Para checar
a conjugação de φ, θ� em Out(G),basta utilizar que Φ é
homomorfismo
Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(1, t)Φ(h, 1) = (g, t�)(Φ(h), 1) = (gθ� ◦
Φ(h), t�); (∗)Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(1φ ◦ (h), t) = Φ(φ(h), t),
identificando-se essa operação no produto semidireto interno,
temos:
Φ(φ(h)t) = Φ(φ(h))Φ(t) = (Φ ◦ φ(h))(gt�) = (Φ ◦ φ(h)g)t�,
que tem como representação no produto semidireto externo
(Φ ◦ φ(h)g, t�).
Portanto,
Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(φ(h), t) = (Φ ◦ φ(h)g, t�), (∗∗)
logo igualando-se as expressões em (∗) e (∗∗), temos:
(gθ� ◦ Φ(h), t�) = (Φ ◦ φ(h)g, t�) ∀h ∈ G =⇒gθ� ◦ Φ = Φ ◦ φg =⇒
θ� = g−1Φ ◦ φg ◦ Φ−1.
-
32 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS
Logo θ� = g−1Φ ◦ φ ◦ (g−1Φ)−1. Então φ, θ� são conjugados em
Out(G). Reciprocamente,suponha que φ e θ� são conjugados em
Out(G), e � = ±1. Queremos provar que os grupos sãoisomorfos. De
fato, definindo-se a conjugação externa
(F) φ(h) = qΦ−1 ◦ θ� ◦ Φ(h)q−1, para algum q ∈ G,Φ ∈ Aut(G), e ∀
h ∈ G.
A aplicaçãoϕ : Goφ C∞ −→ Goθ C∞
(h, tm) 7→ (Φ(qhq−1), t�m)
é um isomorfismo. Supondo φ e θ� conjugados em Out(G),
verificamos que ϕ é homomorfismo
ϕ((g, tm)(h, tn)) = ϕ(gφm(h), tm+n) = (Φ(qgφm(h)q−1), t�(m+n))
=(Φ(qgq−1)Φ(qφm(h)q−1), t�(m+n));
ϕ(g, tm)ϕ(h, tn) = (Φ(qgq−1), t�m)(Φ(qhq−1), t�n) = (Φ(qgq−1)θ�m
◦ Φ(qhq−1), t�(m+n));então das igualdades das condições
acima
Φ(qgq−1)Φ(qφm(h)q−1) = Φ(qgq−1)θ�m ◦ Φ(qhq−1) =⇒ Φ ◦ αq ◦ φm =
θ�m ◦ Φ ◦ αq;tomando-se o quociente em Inn(g) obtemos
Φ ◦ φm = θ�m ◦ Φ, de acordo com (F)
ϕ é monomorfismo
ϕ(h1, tm) = ϕ(h2, tn) = (Φ(h1)Φ(q), t�m) = (Φ(h2)Φ(q), t�n)
portanto h1 = h2, m = n,
ϕ é epimorfismo.
∀(h, ti) ∈ Goθ C∞ ∃(g, tj) ∈ Goφ C∞ tal que ϕ(g, tj) = (Φ(gq),
t�j) = (h, ti). Sendo� = ±1 −→ j = ±i e sendo Φ isomorfismo de G,
∃g ∈ G,Φ(g) = hΦ(q−1).
Corolário 2.2.7. Se G é um grupo finito, então G×C∞ ∼= Goθ
C∞, se e somente se, θ é umautomorfismo interno de G.
Demonstração. Basta verificar que estamos nas condições do
lema anterior. Sendo |G| < ∞,os elementos de G são de torção
e, portanto, a imagem Φ(G), do isomorfismo do lema anterior,está
contida em Ker(π), logo Φ|G ∈ Aut(G). Dessa forma, G finito
satisfaz às condições dolema anterior. Seja G×C∞ ∼= Goθ C∞, pelo
lema anterior Id, identidade, e θ� são conjugadosem Out(G).
Portanto, Id = Φ ◦ θ� ◦ Φ−1 =⇒ θ� ∈ Inn(G). Analogamente θ ∈ Inn(G)
=⇒,em Out(G) = Aut(G)/Inn(G), θ = Id, portanto, θ� = Id e Id são
trivialmente conjugados emOut(G), logo Pelo lema anterior, os
grupos são isomorfos.
-
2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 33
Se ocorre o isomorfismo Z[G×C∞] ∼= Z[GoϕC∞], então pelo teorema
2.2.1, ϕ ∈ AutZG. Pelocorolário 2.2.7, sabemos que G × C∞ ∼= G oϕ
C∞, se e somente se, ϕ ∈ Inn(G). Isso permite,para grupos onde
AutRG 6= Inn(G), exibir contra-exemplos para o problema da (ISO)
paragrupos infinitos. Além disso, AutRG = Inn(G) =⇒ G satisfaz
(NC), com efeito x ∈ NU1(ZG)G,x−1gx ∈ G ∀ g, ϕx−1(g) := x−1gx =⇒
ϕx−1 ∈ AutZG. Como AutZG = Inn(G) =⇒ ∃ h ∈ G,tal que ϕx−1 = ϕh.
Portanto, x−1gx = hgh−1 =⇒ g = xhg(xh)−1 ⇐⇒ xh ∈ Z(U(ZG)).
Assim,NU1(ZG)G =< G,Z(U(ZG)) >.
Enunciamos aqui a proposição que explicita a relação entre
as conjecturas (ISO) e (NC).
Proposição 2.2.8. Seja G um grupo finito, e K = G×C∞. Então
são equivalentes as seguintesafirmações:
i. K satisfaz (ISO);
ii. G satisfaz (ISO) e (NC).
Demonstração. Mostremos que i⇒ ii.
(1) Seja G um grupo que satisfaz (ISO). Tal como procedemos na
demonstração do teo-rema. Consideremos K = G × C∞; ZG ∼= ZH =⇒ ZK
∼= ZG
⊗ZC∞ ∼= ZH
⊗ZC∞ ∼=
Z[H × C∞]. Como K satisfaz (ISO), então K ∼= H × C∞. Logo G = T
(G × C∞) ∼=T (H × C∞) = H.
(2) G satisfaz (NC). Vamos provar que dado u ∈ NU1(ZG)(G)⇒ θu ∈
Inn(G). Consideremos< t >:= C∞. Nesse caso t é central em
ZK, e o(t) = ∞; tomemos v := ut = tu ∈ZK. Assim, Gv = vGv−1 =
(ut)G(ut)−1 = utGt−1u−1 = uGu−1 = G, portanto, v ∈NU1(ZG)(G).
Definimos W :=< G, v > com < v > ∩G = 1, de modo que
pela definição1.1.33, W = Go < v >. Nessas condições, W
é uma Z-base de ZK (veja a demonstraçãodo lema 2.2.6,
considerando a aplicação ϕ : Z[G× < t >] −→ Z[Go < v
>). Logo Wé Z-LI sobre ZK. Portanto, ZK = ZW , e pela hipótese
K = G× < t >∼= Go < v >.Podemos definir,
α :< t >−→ Aut(G)t 7→ θv.
portanto Go < v >∼= Goα < t >=⇒ Go < v >∼= G×
< t >∼= Goα < t >, sendo α = θve, pelo corolário
2.2.7, θv ∈ Inn(G) portanto θv = θut = θu é um automorfismo
interno deG. Logo G satisfaz (NC)
Reciprocamente, seja Z[G× C∞] ∼= ZW . Pelo teorema 2.2.1, W = H
oϕ C∞, e ZG ∼= ZH. Porhipótese, G satisfaz (ISO), e ZG satisfaz
(NC). Então do isomorfismo ZG ∼= ZH, pela proposição2.1.4, H
satisfaz (NC). Logo ϕ ∈ Inn(G)⇒ HoϕC∞ ∼= H×C∞, que é um resultado
do corolário
-
34 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS
2.2.7. Retomando a condição ZG ∼= ZH ⇒︸︷︷︸Gsatisfaz(ISO)
G ∼= H ⇒ K = G × C∞ ∼= H × C∞ ∼=
H oϕ C∞ = W . Portanto, K satisfaz (ISO).
Observamos que na rećıproca dessa demonstração é essencial o
teorema 2.2.1, bem como ofato da proposição 2.1.4.
Quando afirmamos que uma demonstração do teorema 2.2.1 pode
ser feita de forma maisdireta, estamos chamando a atenção para o
fato de que a demonstração dada não explicitadiretamente a
unidade u, segundo o teorema 2.2.1, que induz um automorfismo ϕ ∈
AutZH,para H um grupo finito. Ou seja, após mostrar pelo teorema
2.2.3 que W = T (W )oφC∞, aindatemos que construir um outro produto
semidireto H oϕ C∞, bem como determinar a unidade uem uma adequada
projeção no anel ZH. Afirmamos, no entanto, que essa unidade u
pode serconstrúıda no anel Z(T (W ) oφ C∞), sem a necessidade
daquela passagem adicional.
No caṕıtulo III apresentamos um importante teorema de estrutura
para as unidades centraisdo anel de grupo inteiro para grupos
nilpotentes finitamente gerados, que é estendido em [17]para
grupos quaisquer, veja também [7]. Com esse teorema, um resultado
de [10] e a proposição1.2.34, conduzimo-nos à nova
demonstração proposta.
-
Caṕıtulo 3
AS UNIDADES CENTRAIS NO
PROBLEMA DO ISOMORFISMO
Neste caṕıtulo, apresentamos um teorema de estrutura para as
unidades centrais em um anelde grupo RG, sendo R um anel G−
adaptado, e G um grupo nilpotente finitamente gerado. Oteorema é
demonstrado em [9] para o anel Z, e posteriormente generalizado em
[17] e [7], paragrupos quaisquer.
O teorema, que denominaremos por Teorema de Estrutura para as
Unidades Centrais (TEUC),mostra que toda unidade central de um anel
de grupo é igual ao produto de um elemento dogrupo G por um
elemento do anel de grupo RT , sendo T a torção de G. Na
demonstração doteorema 2.2.1, podemos considerar uma unidade
central do anel de grupo e aplicar o (TEUC),simplificando a
demonstração dada no caṕıtulo II.
Em [9] essa caracteŕıstica de estrutura para uma unidade
central, e conseqüentemente umaidéia mais precisa desse elemento,
é essencial para determinar geradores para subgrupos de
ı́ndicefinito no grupo das unidades centrais para os anéis de
grupo que verifiquem a condição desseteorema. Neste caṕıtulo,
também, desenvolvemos uma demonstração simplificada para
corolário1.2.20 do teorema 1.2.19.
A demonstração utiliza amplamente propriedades do produto
cruzado visto anteriormente.Essa abordagem, permite-nos utilizar
teoremas da Teoria de Grupos e da Teoria de Anéis de ummodo
sistemático.
-
36 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO
3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis
de grupo
Nesta seção vamos supor que R é um anel com unidade e um
domı́nio de integridade, K o corpode frações do anel R, G um
grupo, tal que o subgrupo de torção de G, denominado por T ,
sejafinito, e F := G/T ; I = {e1, · · · , en} uma é famı́lia
completa de idempotentes primitivos centraise ortogonais em KT
.
Lema 3.1.1. (Maschke, 1.2.9) Seja T um grupo finito, e K um
corpo de caracteŕıstica zero.Então o anel KT é semi-simples,
isto é,
KT ∼=n⊕i=1
Ai =n⊕i=1
(KT )ei,
sendo os anéis Ai = (KT )ei anéis simples e ei ∈ I.
Lema 3.1.2. Seja I a famı́lia de idempotentes primitivos,
centrais e ortogonais em KT . Aaplicação
ϕ : F × I −→ I(f, e) 7→ fef−1, onde fef−1 := fef−1 e ϕ(f, e) :=
ϕf (e)
é uma ação do grupo F sobre o conjunto I.
Demonstração. Com efeito, ϕ é uma ação de grupo. Pois seja
e ∈ I,ϕgh(e) = gheh
−1g−1 = gϕh(e)g
−1 = ϕgϕh(e) = ϕg ◦ ϕh(e) =⇒ ϕgh = ϕg ◦ ϕh(ϕg(e))2 = (geg−1)2 =
ge2g−1 = geg−1 = ϕge, um idempotente. Além disso, para e ∈ I ⊂Z(KT
), escrevemos e =
∑n∈T
enn. Logo ϕg(e) = g(∑n∈T
enn)g−1 =∑n∈T
engng−1 =
∑w∈T
eg−1wgw ∈
KT . Portanto, ϕg(ei) ∈ I, e ϕ está bem definida. Então ϕg(I)
⊂ I, ∀ g ∈ F , logo ϕ é umaação de grupos.
Corolário 3.1.3. Nas condições do lema anterior, se Oi define
a órbita de ei, Oi = |Oi|, e Oé o número de órbitas. Então os
elementos
Ei =∑ej∈Oi
ej ,
formam uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais e
centrais em KG. Nessas condições,
KT ∼=O⊕i=1
Ri, sendo Ri = (KT )Ei ∼=⊕ei∼ej
(KT )ej com ei, ej ∈ I.
-
3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis de
grupo 37
Demonstração. Seja Oi = {ej : ei ∼ ej} a órbita de ei. Então
Ei =∑ej∈Oi
ej 1,≤ i ≤ O,
formam uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais e
centrais em KG, ou seja, para cadai, Ei é um idempotente. De fato,
sendo ej é um idempotente ortogonal, E2i =
∑ej∈Oi
ej∑ej∈Oi
ej =∑ej ,eh∈Oi
ejeh =∑ej∈Oi
e2j = Ei
EiEj =∑eh∈Oi
eh∑el∈Oj
el =∑
eh∈Oi,el∈Oj
ehel =∑
eh∈Oi,el∈Oj
ehδh,l = Eiδi,j , sendo δi,j o delta de
Kronnecker. Seja o = |I|, sendo I =⋃̇i=1,O
Oi. Segundo a definição de Ei,O∑i
Ei =O∑i=1
∑ej∈Oi
ej =
o∑j=1
ej = 1, pois a famı́lia dos ej é completa. Logo os Ei formam
uma famı́lia completa.
Lema 3.1.4. Se R é um anel comutativo, e F = G/T é um grupo
ordenado, tal que
KG =O⊕i
Ri ∗ F, (?)
sendo, para cada i, Ri = (KT )Ei um anel semi-simples, e os Ei,
i = 1, · · · , O, são idempotentesortogonais e centrais em KG.
Então se u ∈ Z(U(RG)) ⊂ Z(U(KG)), e S for um transversalde T em G,
como definido em ??, temos que
u =O⊕i
αifi;
fi ∈ G, e os escalares αi ∈ Ri, sendo os Ri anéis artinianos, i
= 1, · · · , O.
Demonstração. Pela condição (?), u =O⊕i=1
ui, 0 6= ui ∈ Ri ∗ F , portanto, ui =∑f∈S
uff , uf ∈
Ri. Devemos provar que para cada componente ui =∑uff , seu
suporte, Supp(ui) = {fi}, é
um conjunto unitário, ou seja, |Supp(ui)| = 1. Afirmamos que
cada uf é uma unidade em Ri.Com efeito, considere
πi : KG −→ Ri ∗ Fα 7→ αi;
πi(u) = ui; πi(KT ) = (KT )Ei = Ri. Sendo u um elemento central
πi(u(KT )) = πi((KT )u) ,portanto,
uiRi = Riui, (∑f∈S
uff)Ri = Ri(∑f∈S
uff) =∑f∈S
(uff)Ri =∑
uf (fRif−1)f =
∑ufR
fi f ,
então ∑f∈S
(ufRfi )f =
∑f∈S
(Riuf )f.
-
38 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO
Sendo f ∈ F , uma K-base. Então ufRfi = Riuf . Por
construção, temos que Ri =⊕ei∼ej
(KT )ej ,
logo