A -générateurs génériques pour l'algèbre polynomiale

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Advances in Mathematics 186 (2004) 334–362

A-generateurs generiques pourl’algebre polynomiale

Tran Ngoc Nam1

Departement de Mathematiques, Universite des Sciences a Hanoı, Viet Nam

LAGA, Departement de Mathematiques, Universite de Paris XIII, France

Received 23 January 2003; accepted 13 August 2003

Communicated by Mark Hovey

Dedie au Pr. Nguyen Duy Tien a l’occasion de son soixantieme anniversaire

Abstract

Nous resolvons generiquement le probleme ‘‘hit’’ (pose en 1986 par Franklin P. Peterson)

par la decouverte en degres generiques d’un systeme generateur minimal explicite pour

l’algebre polynomiale comme module sur l’algebre de Steenrod mod 2: Cette solution implique

en particulier un resultat de J. Repka–P. Selick, une partie de celui de M. C. Crabb–J. R.

Hubbuck et nous permet en meme temps de verifier une conjecture due a M. Kameko. Ce

systeme generateur sera applique a l’etude du transfert algebrique de W. M. Singer et de la

representation modulaire du groupe lineaire general.

r 2003 Elsevier Inc. All rights reserved.

Keywords: Operations de Steenrod; Algebre instable; Generateurs

1. Introduction

Soient A l’algebre de Steenrod mod 2 et P :¼ F2½x1; x2;y; xk� l’algebrepolynomiale graduee a k generateurs sur le corps a deux elements F2; chaquegenerateur etant de degre 1: En tant que cohomologie modulo 2 du classifiant

BðZ=2Þk; l’algebre P est dotee d’une structure naturelle de A-algebre instable.

ARTICLE IN PRESS

E-mail address: [email protected], [email protected] L’auteur benificie d’une bourse de doctorat BDI 2002 du CNRS.

0001-8708/$ - see front matter r 2003 Elsevier Inc. All rights reserved.

doi:10.1016/j.aim.2003.08.004

Soient ACA l’ideal de l’augmentation et APCP le sous-ensemble des elements

‘‘hit’’, c’est-a-dire de la formeP

yP avec yAA et PAP: Nous attaquons le probleme

‘‘hit’’ qui consiste a expliciter une base pour l’espace vectoriel P=AP (autrement dit,un systeme generateur minimal pour le A-module P). Ce probleme est d’uneimportance significative en topologie algebrique. Parmi ses applications, citons lestravaux de Peterson [43] en cobordisme, de Wood [55] en representationmodulaire des groupes lineaires et de Hung [20] sur l’homologie de l’espace de

lacets infini QS0: D’autres applications sont fournies par les travaux de Singer [50] etde Minami [35,36].

Singer [50] construit un morphisme F2-lineaire

Tr�k : TorAk ðF2; F2Þ-TorA0 ðF2;PÞGLðk;F2ÞDðP=APÞGLðk;F2Þ:

L’importance de ce morphisme pour la theorie de l’homotopie vient de ce que

(i) son dual Trk; baptise le ‘‘transfert algebrique’’, est induit ‘‘au niveau E2’’ par le

transfert homotopique pS� ðBðZ=2Þk

þÞ-pS� ðS0Þ [4,16,24,29,37,44],

(ii) Trk donne des informations sur les groupes Ext ¼ Ext kA ðF2; F2Þ; le terme E2 de

la suite spectrale d’Adams qui converge vers les groupes d’homotopie stable despheres mod 2;

(iii) Trk est un isomorphisme pour kp3 [50,5],(iv) Trk n’est pas un epimorphisme pour k ¼ 4; 5 [7,50], mais reste un outil

interessant pour l’etude des groupes Ext: Que ce soit un monomorphisme engeneral est encore une question ouverte [50].

Cela etant, ajoutons que les efforts [5,7,14,50] pour etablir la bijectivite de Trk (kp3)et la non-surjectivite de Trk (k ¼ 4; 5) reposent essentiellement sur la connaissance

d’une base explicite de P=AP:Lies a ceux de Singer, les travaux de Minami [35,36] touchent aussi le probleme

‘‘hit’’ mais portent sur un autre aspect de la theorie de l’homotopie. En effet, a ladifference de Carlsson [9], Miller [33], Adams–Gunawardena–Miller [1] et Lannes

[28] qui etudient BðZ=2Þk en tant qu’espace source, Minami se propose d’etudier les

groupes d’homotopie stable de BðZ=2Þk: En utilisant des techniques venant de laBP-theorie et les travaux de Kameko [25] (voir ci-dessous) et de Boardman [5],Minami a trouve des resultats interessants sur l’image de Hurewicz stable de

BðZ=2Þk: De plus, ses recherches ont mis a jour les conjectures surnommees‘‘doomsday’’, de pleine actualite.

Ces quelques citations donnent une idee assez claire du role que joue P=AP:

Pourtant, malgre son importance significative, la description de P=AP avait lareputation d’etre difficile. Celle-ci est facile pour k ¼ 1; connue pour k ¼ 2 [18,42,56]

mais se revele tres compliquee des que kX3: Les premiers calculs complets de P=APpour k ¼ 3 ont ete effectues par Kameko dans sa these [25] soutenue a l’UniversiteJohns Hopkins en 1990. Ils constituent une source de reference pour deux autresgroupes de topologues: Alghamdi–Crabb–Hubbuck [2] et Boardman [5], qui ont

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aussi explicite le cas k ¼ 3 mais par des approches differentes. Tous ces travaux ontete communiques au moment de la Conference a la memoire d’Adams en 1990.Signalons que meme pour le cas k ¼ 3; les calculs [25] sont longs et n’ont ete publiesque beaucoup plus tard sous forme reduite [26]. Le probleme ‘‘hit’’ demeure nonresolu jusqu’ici pour kX4:

En raison de la complexite du calcul de P=AP; souvent on contourne la difficulte:

soit on cherche a decrire AP et les generateurs de P=AP qui en decoulent, soit on

examine P=AP en degres petits, soit on mesure sa dimension globale

maxdX0 dimðP=APÞd : (Il y a aussi l’approche plus homotopique comme [3], mais

on n’en parlera pas ici. Le lecteur pourra consulter [18,19,21–23,56] pour desproblemes proches de celui que nous traitons.)

Citons d’abord le theoreme celebre de R.M.W. Wood (alias la Conjecture dePeterson–cf. [6] pour son contexte):

Theoreme 1.1 (Wood [54]). En degre d; l’espace vectoriel P=AP est nul sauf si d est

de la forme d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þ ð2mk � 1Þ avec m1Xm2X?XmkX0:

Ce theoreme est le point de depart de tout un courant de recherche actuel: celui dedeterminer les elements ‘‘hit’’ et les conditions qui les gouvernent. Nombreux sont leschercheurs qui cherchent a raffiner et generaliser la technique de Wood, dont Chen–Shen [10], Crossley [12,13,15], Karaca [27], Meyer [31,32], Monks [38], Silverman[47,48], Singer [51]y Ajoutons que cet ordre d’idee donne lieu a des systemes

generateurs de P=AP [15,55] [56, p. 502] mais qui ne sont pas minimaux et neconstituent donc pas une solution du probleme ‘‘hit’’.

Pour l’examen de P=AP en degres petits, citons les travaux pioniers de Peterson[42], ceux de Singer [50] et, plus recemment, ceux de Bruner–Ha–Hung [7]. Les calculs

explicites de P=AP en degre 8 pour k ¼ 4 ont permis a ces derniers d’affirmer que le

transfert algebrique Tr4 ne detecte pas les elements giþ1AExt4;2iþ4þ2iþ3

A ðF2; F2Þ [30].

Quant a l’estimation de maxdX0 dimðP=APÞd ; citons d’abord les travaux de

Carlisle–Wood [8] qui prouvent qu’il existe une constante cðkÞ ne dependant que de k

telle que dimðP=APÞdpcðkÞ pour tout d: Une generalisation a ete faite par Crossley

[12], et des constantes cðkÞ ont ete proposees dans [8,12,24]. Il reste cependant a entrouver la valeur exacte (la plus petite possible). A la fin de ses calculs [25], Kameko apropose la suivante:

Conjecture 1.2 (Kameko [25]). Soit dX0 un entier quelconque. Alors

dimðP=APÞdpY

1pcpk

ð2c � 1Þ:

Cette conjecture est reprise par deux groupes: Crabb–Hubbuck [11] et Repka–Selick [45], qui cherchent tous deux a generaliser les resultats de [2]. Ils ont

considere une certaine sous-algebre de l’objet dual ðP=APÞ� et l’ont etudiee en tant

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que representation du group lineaire GLðk; F2Þ: En minorant la dimension de cette

sous-algebre, ils ont trouve une borne minoree generique pour dimðP=APÞ:

Theoreme 1.3 (Crabb and Hubbuck [11]). Soit d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þð2mk � 1Þ; avec 2m1�m24k; 2m2�m34k � 1;y; 2mk�1�mk42 et mkX0: Alors

dimðP=APÞdXQ

1pcpkð2c � 1Þ:

Theoreme 1.4 (Repka and Selick [45]). Soit d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þ ð2mk �1Þ avec m1Xm2X?XmkX0: Alors dimðP=APÞdX

Q1pcpkð2c � 1Þ si m1cm2c

?cmk: (Cette condition est un peu vague mais elle sera remplie si mc�1 � mcXk pour

tout 1ocpk:)

Ayant retabli le contexte, nous passons maintenant a nos resultats. Vu le

Theoreme 1.1, resoudre le probleme ‘‘hit’’ consiste a expliciter une base de ðP=APÞd

pour les degres d de la forme

d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þ ð2mk � 1Þ

avec m1Xm2X?XmkX0: Comme le titre de notre article l’indique, nous faisonscela de maniere generique. Par une recurrence sur le nombre de generateurs

de P; nous construisons une base de ðP=APÞd pour les degres d de cette forme et

qui verifient

m1 � m240; m2 � m3X3;y;mk�1 � mkXk et mkX0:

Il s’avere que dans le cas le plus generique, la valeur dimðP=APÞd trouvee par

notre methode coıncide avec la constante qu’on trouve dans la Conjecture 1.2, leTheoreme 1.3 et le Theoreme 1.4. Ainsi, la construction de notre base (que nousappellerons ‘‘generique’’ suivant la terminologie utilisee dans [11,45]) non seulementresout de maniere generique le probleme ‘‘hit’’, mais aussi redemontre le Theoreme1.4 ainsi qu’une partie du Theoreme 1.3, et verifie la Conjecture 1.2 dans le casgenerique. Cette base sera utilisee dans [40], ou nous donnons, entre autres,

(i) la preuve d’une conjecture de Singer [50] sur le comportement de Trk en degresgeneriques,

(ii) un analogue du resultat principal de Bruner–Ha–Hung [7] (nous montrons que

Tr4 ne detecte pas l’element D3A Ext4;65A ðF2; F2Þ [53]),

(iii) une description de P=AP en tant que representation de GLðk; F2Þ:

L’article est organise comme suit: pour des raisons techniques, l’enonce precis denos resultats est reporte jusqu’en Section 2. L’independance lineaire de la basegenerique est demontree (avec plus de generalite) dans la Section 3. Cette sectionpeut donc etre consideree comme la redecouverte d’une partie des resultats de[11,45]. La propriete generatrice de la base est etablie dans la Section 4 et la preuve


finale s’ensuit dans la Section 5. Nos remarques et commentaires sont donnes dans laderniere section: la Section 6.

N.B. Peu apres notre envoi de la premiere version de cet article, le Pr. Wood nous ainforme qu’il connaissait notre base generique depuis quelques annees, mais qu’iln’avait pas de prepublication a ce propos. En revanche, le Pr. Wood a donne unmini-cours sur ce resultat lors de la Conference de Theorie d’Invariants a Gottingenen Mars 2003. Ce mini-cours a fait l’objet de la note [57].

2. Enonce des resultats

Dans tout l’article, on note E :¼ f1; 2;y; kg; P :¼ F2½x1; x2;y; xk�; X :¼x1x2?xk; Xi :¼ X=xi ðiAEÞ:

Etant donne un ensemble non vide ICE; on note jI j son cardinal et min I son pluspetit element. De plus, si I ¼ fi04?4irg et m4r; on pose

XðI ;mÞ :¼Y

0pcor

X 2c

ic

!X 2m�2r

ir:

Notons que le degre de cette expression est independant de l’ensemble I qu’onconsidere: deg XðI ;mÞ ¼ ð2m � 1Þðk � 1Þ:

Pour tout iAE; on designe par PðiÞCP la sous-algebre engendree par toutes lesvariables sauf xi: Pour tout entier positif n; on note aðnÞ le nombre de chiffres nonnuls dans son developpement 2-adique.

Soit p : P-P=AP la projection canonique. Etant donnes un sous-ensemble BCPet un sous-A-module P0CP; on dit (i) que B est A-lineairement independant si pðBÞest lineairement independant, (ii) que B engendre P0 si pðBÞ engendre pðP0Þ; et (iii)

que B forme une base de P0 si pðBÞ forme une base de pðP0Þ:Notre premier resultat est le:

Theoreme 2.1. Soient n; d 0X0 des entiers. Pour chaque iAE; soit BðiÞCPðiÞ un sous-

ensemble dont tous les elements sont de degre d 0: Notons B l’ensemble des elements

X 2n�1X ðI ; kÞ2n

P2kþn

; ou |aI ¼ fi04?4irgCE et PABðirÞ:

(i) Si BðiÞ est A-lineairement independant pour tout iAE; alors B l’est egalement.(ii) Soit d :¼ 2kþnðd 0 þ k � 1Þ þ 2n � k: Supposons que BðiÞ engendre le A-module

PðiÞ en degre d 0 pour tout iAE et que soit aðd 0 þ k � 1Þ ¼ k � 140;soit (n ¼ 0 et aðd 0 þ k � 2ÞXk � 240). Alors B engendre le A-module P en

degre d:

Soit O l’ensemble des suites d’ensembles o :¼ ðIk; Jk;y; I1; J1Þ definies par:

|aIkCJk :¼ E et |aIcCJc :¼ Jcþ1\fmin Icþ1g pour 1pcok: Si k41; on designe


par O l’ensemble des suites o ¼ ðIk; Jk;y; I2; J2Þ telles que I2aJ2 et ðIk; Jk;y;I2; J2; J2\I2; J2\I2ÞAO:

Etant donnes des ensembles non vides I ¼ fi04?4irgCJCE et un entier nX0;on pose

FðI ; J; nÞ :¼YjAJ

xj

!2n�1 Y0pcor

YjAJ\ficg

xj

0@

1A2cþn

0B@

1CA Y

jAJ\firgxj

0@

1A2jJjþn�2rþn

;

CðI ; J; nÞ :¼YjAJ

xj

!2n�1

x2n

i0si r ¼ 0 et jJj ¼ 2pk:

Notre deuxieme resultat et la solution generique du probleme ‘‘hit’’ est donne parle:

Theoreme 2.2. Soit d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þ ð2mk � 1Þ avec mkX0 et mc�1 �mcXc pour 2ocpk:

(i) Si k ¼ 1; alors FðE;E;m1Þ ¼ x2m1�11 est l’unique generateur non nul du A-module

F2½x1� en degre d: Si k ¼ 2 et m1 � m2 ¼ 1; alors les deux elements

Cðf1g;E;m2Þ ¼ x2m1�11 x2m2�1

2 ;

Cðf2g;E;m2Þ ¼ x2m2�11 x2m1�1

2 ;

forment un systeme generateur minimal du A-module F2½x1; x2� en degre d:(ii) Supposons k41 et m1 � m241: Posons

FðoÞ :¼ FðIk; Jk;mkÞY

1ocpk

FðIc�1; Jc�1;mc�1 � mc � cÞ2mcþc

pour chaque oAO: Alors, l’ensemble B :¼ fFðoÞ joAOg forme un systeme

generateur minimal du A-module P en degre d: Par consequent

dimðP=APÞd ¼Y

1pcpk

ð2c � 1Þ:

(iii) Supposons k42 et m1 � m2 ¼ 1: Posons

CðoÞ :¼FðIk; Jk;mkÞY

3ocpk

FðIc�1; Jc�1;mc�1 � mc � cÞ2mcþc

CðI2; J2;m2 � m3 � 3Þ2m3þ3


pour chaque oAO: Alors, l’ensemble B :¼ fCðoÞ joAOg forme un systeme

generateur minimal du A-module P en degre d: Par consequent

dimðP=APÞd ¼ 2Y

3pcpk

ð2c � 1Þ:

Remarque 2.3. Signalons qu’une autre ecriture des monomes de B et B pour k ¼ 3est proposee dans [5,15,26]. Pour etre plus explicite, les trois elements de B dans lecas k ¼ 2 s’ecrivent comme suit:

o1 :¼ ðf1g;E; f2g; f2gÞ; Fðo1Þ ¼ x2m2�11 x2m1�1

2 ;

o2 :¼ ðf2g;E; f1g; f1gÞ; Fðo2Þ ¼ x2m1�11 x2m2�1

2 ;

o3 :¼ ðE;E; f2g; f2gÞ; Fðo3Þ ¼ x2m2þ1�11 x2m1�2m2�1

2 :

On retrouve donc, sous cette forme, les resultats classiques [42,56].

3. Demonstration du Theoreme 2.1(i)

Pour tout monome non nul PAP et tout iAE; notons mðxi;PÞ la puissance de xi

dans P: Soit

mðxi;PÞ ¼ 20m0ðxi;PÞ þ 21m1ðxi;PÞ þ 22m2ðxi;PÞ þ?

(avec mcðxi;PÞAf0; 1g) le developpement 2-adique de mðxi;PÞ:

Definition 3.1. (i) Soit PAP un monome non nul. On appelle etage c-ieme de P et onnote Pc le monome

Pc :¼YiAE

xmcðxi ;PÞi :

(ii) Soient m; nX0 des entiers. On definit Vðm; nÞCP comme etant le sous-espacevectoriel engendre par les monomes P tels que

min0pcon

deg Pcok ou minnpcomþn

deg Pcok � 1:

On pose ViðmÞ :¼ PðiÞ-Vðm; 0Þ pour chaque iAE:

Remarque 3.2. On a P ¼Q

cX0 P2c

c ; ce qui justifie la Definition 3.1(i). On

renvoie a [21,22,31,49] pour des notations analogues. Quant a 3.1(ii), observonsque Vð0; 0Þ ¼ Við0Þ ¼ f0g: On verra dans la Section 6 que Vð0; nÞ peut etreinterprete comme le noyau de la puissance n-ieme d’un morphisme construit parKameko [25].


Definition 3.3. Soient P;QAP des elements quelconques, m; nX0 des entiers et iAE:On dit

(i) P � Q ssi P þ QAAP;(ii) P � Q ðmodVðm; nÞÞ ssi P þ QAAPþ Vðm; nÞ;

(iii) P � Q ðmodViðmÞÞ ssi P þ QAAPþ ViðmÞ:

Lemme 3.4. Soient pXnX0 des entiers et PAP un element quelconque.

(i) Si P � 0; alors QP2n � 0 ðmodVðn; 0ÞÞ pour tout monome QAP tel que

Qc ¼ 1 8 cXn:(ii) Soit mX0 un entier. Si X 2n�1P2n � 0 ðmodVðm; pÞÞ; alors P � 0

ðmodVðm; p � nÞÞ: En particulier P � 0 si m ¼ p � n ¼ 0:(iii) Soit iAE: Supposons PAPðiÞ et X 2n�1

i P2n � 0 ðmodViðpÞÞ: Alors

P � 0 ðmodViðp � nÞÞ: En particulier P � 0 si p ¼ n:

(cf. [7,25,26,36,39], ou ce lemme est utilise sous des formes variees.)

Demonstration. (i) Supposons que P ¼ Sq1ðu1Þ þ Sq2ðu2Þ þ? avec u1; u2;y des

elements de P: Rappelons la formule Sq2iSq0 ¼ Sq0Sqi (ou Sq0ðuÞ :¼ Sqdeg uðuÞ ¼ u2

pour tout u) pour l’action de l’algebre de Steenrod sur les A-algebres instables [46].Puisque P est une A-algebre instable, celle-ci et la formule de Cartan impliquent que

Sq2niðQu2n

i Þ ¼ QðSqiðuiÞÞ2n

þX

0ojpi

Sqj2nðQÞðSqi�jðuiÞÞ2n

pour tout i40: D’ou QðSqiðuiÞÞ2n

�P

0ojpi Sqj2nðQÞðSqi�jðuiÞÞ2n

: Puisque

Q ¼Q

0pcon Q2c

c par hypothese, il s’ensuit que

QðSqiðuiÞÞ2n

�X

0ojpi

XEj

Y0pcon

ðSqjcðQcÞÞ2cðSqi�jðuiÞÞ2n

;

ou Ej ð0ojpiÞ designe l’ensemble des suites ð j0; j1;y; jn�1Þ d’entiers ðX0Þ tels que

j0 þ j12 þ?þ jn�12n�1 ¼ j2n:Soient 0ojpi une indice quelconque et ð j0; j1;y; jn�1ÞAEj une suite quelconque.

Notons qX0 le plus petit entier tel que jq40: Alors jq est un nombre pair, d’ou

SqjqðQqÞAVð1; 0Þ et Y0pcon

ðSqjcðQcÞÞ2cðSqi�jðuiÞÞ2n

AVðn; 0Þ:

Ces arguments montrent que QðSqiðuiÞÞ2n

� 0 ðmodVðn; 0ÞÞ: D’ou

QP2n ¼Xi40

QðSqiðuiÞÞ2n

� 0 ðmodVðn; 0ÞÞ:


(ii) Soit uAVðm; pÞ tel que X 2n�1P2n þ u � 0: Par hypothese, on peut trouver deselements vAVðm; p � nÞ; wAVð0; nÞ; vcAP; wcAVð0; nÞ tels que

u ¼ X 2n�1v2n þ w;

X 2n�1P2n þ u ¼Xc40

SqcðX 2n�1v2n

c Þ þXc40

SqcðwcÞ:

Observons d’abord que Vð0; nÞ est stable sous l’action de l’algebre de Steenrod. En

particulier, on aP

c40SqcðwcÞAVð0; nÞ:D’autre part, il est facile de verifier SqiðX 2n�1ÞAVð0; nÞ pour tout i40: D’ou,

d’apres la formule de Cartan,Xc40

SqcðX 2n�1v2n

c Þ þ X 2n�1Xc40

Sqcðv2n

c Þ

¼Xc40

X2njðc�iÞ40

SqiðX 2n�1ÞðSqðc�iÞ=2nðvcÞÞ2n

AVð0; nÞ:

Ces arguments montrent que

X 2n�1P2n ¼ X 2n�1v2n þ X 2n�1Xc40

Sqcðv2n

c Þ;

d’ou P ¼ v þP

c40 Sqc=2nðvcÞ � 0 ðmodVðm; p � nÞÞ:(iii) Ce lemme n’est autre que le Lemme 3.4(ii) applique (avec m ¼ 0) a l’algebre

PðiÞ au lieu de P: &

Lemme 3.5. Soient m; nX0 des entiers. Supposons qu’on ait un element PIAPðirÞ pour

chaque sous-ensemble non vide I ¼ fi04?4irgCE et queX|aICE

X 2n�1X ðI ; jI jÞ2n

P2nþjI j

I � 0 ðmodVðm; nÞÞ:

Alors PI � 0 ðmodVirðm � jI jÞÞ pour tout sous-ensemble non vide ICE tel que

jI jom: De plus PE � 0 si m ¼ k:

Demonstration. D’abord, par application du Lemme 3.4(ii) on aX|aICE

XðI ; jI jÞP2jI j

I � 0 ðmodVðm; 0ÞÞ:

Soit uAVðm; 0Þ un element tel que

X|aICE

X ðI ; jI jÞP2jI j

I � u: ð1Þ


On demontre le lemme par recurrence sur jI j: Supposons pour commencer queI ¼ fi0g: Soit pI : P-Pði0ÞDP=ðxi0Þ la projection canonique. Observons que

pI ðAPÞCAP et pI ðVðm; 0ÞÞCVðm; 0Þ: D’autre part, du fait que tous les termes

dans la relation (1), sauf Xi0 P2fi0g et u; sont annules par pI ; on a Xi0 P2

fi0g ¼pI ðXi0 P2

fi0gÞ � pI ðuÞ: Or, par definition Vi0ðmÞ ¼ Vðm; 0Þ-Pði0Þ; il s’ensuit que

Xi0 P2fi0g � 0 ðmodVi0ðmÞÞ: En appliquant le Lemme 3.4(iii), on obtient Pfi0g �

0 ðmodVi0ðm � 1ÞÞ:Supposons maintenant 0osom � 1 et PI � 0 ðmodVirðm � jI jÞÞ pour tout I ¼

fi04?4irgCE tel que 0ojI jps: Soit J ¼ f j04?4jsgCE un sous-ensemblequelconque. Il faut montrer que PJ � 0 ðmodVjsðm � jJjÞÞ:

Soit pJ : P-Pð jsÞ le morphisme d’algebres defini par la substitution

xjs :¼X

cAJ\f jsgxc

et qui laisse invariant les autres variables. Il est facile de verifier que pJðXcÞ þXjsAVjsð1Þ si cAJ et pJðXcÞAVjsð1Þ si cAE\J:

Soit I ¼ fi04?4irgCE un sous-ensemble non vide quelconque. Si rXm � 1;

alors fi0;y; im�1g-ðE\JÞa|; d’ou pJðXicÞAVjsð1Þ pour un certain 0pcom: Il en

resulte que

pJðXðI ; jI jÞP2jI j

I Þ ¼Y

0pcpr

pJðXicÞ2c

!pJðPIÞ2jI j � 0 ðmodVjsðmÞÞ:

Si rom � 1; alors pJðXðI ; jI jÞP2jI jI Þ � 0 ðmodVjsðmÞÞ sauf si ICJ: De plus, si ICJ

et IaJ; par hypothese de recurrence on a

PI � 0 ðmodVirðm � jI jÞÞ � 0 ðmodVðm � jI j; 0ÞÞ:

Soit vAVðm � jI j; 0Þ un element tel que PI � v: Par application du Lemme 3.4(i) on a

XðI ; jI jÞP2jI jI � X ðI ; jI jÞv2jI j ðmodVðjI j; 0ÞÞ: Clairement XðI ; jI jÞv2jI jAVðm; 0Þ; d’ou

XðI ; jI jÞP2jI jI � 0 ðmodVðm; 0ÞÞ:

Observons que pJðAPÞCAP et pJðVðm; 0ÞÞCVjsðmÞ: Il s’ensuit que

pJðX ðI ; jI jÞP2jI jI Þ � 0 ðmodVjsðmÞÞ:

De maniere analogue, si I ¼ J; on a

pJðXðJ; jJjÞP2jJj

J Þ ¼Y

0pcps

pJðXicÞ2c

!pJðPJÞ2jJj

�Y

0pcps

X 2c

js

!pJðPJÞ2jJj ðmodVjsðmÞÞ

�X 2jJj�1js

P2jJj

J ðmodVjsðmÞÞ:


Appliquons pJ aux deux membres de la relation (1). Il resulte des arguments quiprecedent que

X 2jJj�1js

P2jJj

J � pJðuÞ ðmodVjsðmÞÞ � 0 ðmodVjsðmÞÞ:

D’apres le Lemme 3.4(iii), cela implique PJ � 0 ðmodVjsðm � jJjÞÞ:Montrons le reste du lemme. Supposons m ¼ k: On a montre plus haut queX

|aICE

X ðI ; jI jÞP2jI j

I � 0 ðmodVðk; 0ÞÞ:

De plus, on a montre que XðI ; jI jÞP2jI jI � 0 ðmodVðk; 0ÞÞ pour tout jI jok; i.e. pour

tout IaE: Il en resulte que X ðE; kÞP2k

E � 0 ðmodVðk; 0ÞÞ:Soit pE : P-Pð1Þ le morphisme d’algebres defini par la substitution x1 :¼

x2 þ?þ xk et qui laisse invariant les autres variables. Il est facile de voir que

pEðX ðE; kÞP2k

E Þ � X 2k�11 P2k

E ðmodV1ðkÞÞ; d’ou X 2k�11 P2k

E � 0 ðmodV1ðkÞÞ: D’apres

le Lemme 3.4(iii), cela implique PE � 0: &

Demonstration du Theoreme 2.1(i). Supposons qu’on ait une relation lineaireP|aICE X 2n�1X ðI ; kÞ2n

P2kþn

I � 0; ou PI est une certaine somme (peut-etre vide)

d’elements distincts de BðirÞ pour chaque sous-ensemble non vide I ¼fi04?4irgCE: Posons PI :¼ X 2k�jI j�1

irP2k�jI j

I : Alors

X|aICE

X 2n�1XðI ; jI jÞ2n

P2nþjI j

I � 0:

Par application du Lemme 3.5 (avec m ¼ k), on en deduit que

PI � 0 ðmodVirðk � jI jÞÞ

pour tout |aICE: D’apres le Lemme 3.4(iii), cela implique a son tour PI � 0: Or,BðirÞ etant A-lineairement independant par hypothese, il s’ensuit que PI est la

somme vide pour tout |aICE: Le Theoreme 2.1(i) est demontre. &

4. Demonstration du Theoreme 2.1(ii)

Lemme 4.1. Soient m; nX0 des entiers, PAP et jcAE ð0pcomÞ des elements

quelconques, non necessairement distincts. Alors, il existe un ensemble unique

|aI ¼ fi04?4irgCE avec rom tel que I ¼ f j0;y; jm�1g: De plus, on a la

relation

X 2n�1Y

0pcom

X 2nþc

jc

!P2mþn � X 2n�1X ðI ;mÞ2n

P2mþn ðmodVðm; nÞÞ:


Demonstration. L’existence et l’unicite de l’ensemble I sont claires. Montrons la

relation lineaire. Pour toute suite J ¼ ð j0;y; jm�1Þ; soit ½J� la classe modulo APþVðm; nÞ du monome X 2n�1ð

Q0pcom X 2nþc

jcÞP2mþn

: Le lemme resulte de la proposition

suivante: la classe ½J� ne change pas quand on remplace dans J toute partie de laforme ð jm0 ;y; jm0þn0�1Þ ¼ ði;y; i|fflffl{zfflffl}

n0�140

; jÞ par ð j;y; j|fflfflffl{zfflfflffl}n0�1

; iÞ:

En effet, il est facile de verifier que par ces remplacements, on peut obtenir la suiteI ¼ ði0;y; ir�1; ir;y; ir|fflfflfflffl{zfflfflfflffl}

m�r

Þ a partir de la suite J ¼ ð j0;y; jm�1Þ donnee.

Montrons cette proposition. Soient 0pm0om0 þ n0 � 1om et i; jAE deuxelements distincts quelconques. Soient jc ¼ i pour m0pcom0 þ n0 � 1 et jm0þn0�1 ¼j: Posons

Q :¼ X 2n�1Y

0pcom0X 2nþc

jc; R :¼

Ym0þn0pcom

X 2c�m0�n0

jc

!P2mþn�m0�n0

:

Il s’agit de montrer que

QðX 2n0�1�1i X 2n0�1

j Þ2m0

R2m0þn0 �QðX 2n0�1�1j X 2n0�1

i Þ2m0

R2m0þn0

ðmodVðm; nÞÞ:

Soit Y :¼ X=ðxixjÞ: D’apres la formule de Cartan,

Sq1ðX 2n0�1�1Y 2n0�1

R2n0 Þ ¼ ðX 2n0�1�1i X 2n0�1

j þ X 2n0�1�1j X 2n0�1

i ÞR2n0

þX

cAE\fi;jgX 2n0�1�1

c ðYxcÞ2n0�1

R2n0:

Puisque YxcAVð1; 0Þ pour tout cAE\fi; jg; il s’ensuit que

QX

cAE\fi;jgX 2n0�1�1

c ðYxcÞ2n0�1

R2n0

0@

1A2m0

AVðm0 þ n0; 0ÞCVðm; nÞ:

D’autre part, d’apres le Lemme 3.4(i) on a

QðSq1ðX 2n0�1�1Y 2n0�1

R2n0 ÞÞ2m0

� 0 ðmodVðm0 þ n; 0ÞÞ

� 0 ðmodVðm; nÞÞ:


Ces arguments impliquent que

QðX 2n0�1�1i X 2n0�1

j þ X 2n0�1�1j X 2n0�1

i Þ2m0

R2m0þn0 � 0 ðmodVðm; nÞÞ;

d’ou la proposition. &

Rappelons que mðx1;PÞ designe la puissance de x1 dans P pour tout monome nonnul PAP:

Lemme 4.2. Soit PAP un monome non nul quelconque. Alors P �P

P pour certains

monomes PAP tels que mðx1;PÞ ¼ 2m � 1 et m ¼ aðmðx1;PÞÞ:

Demonstration. Si mðx1;PÞ ¼ 0; rien n’est a demontrer. Supposons que mðx1;PÞ40:

Soit mðx1;PÞ ¼ 2j0 þ?þ 2jm�1 ð j0o?ojm�1Þ son developpement 2-adique.Rappelons d’abord la coaction de Milnor [34] (cf. aussi [17])

l : F2½x1�-F2½x1�#A�; lðuÞ ¼XxJ

SqðJÞðuÞ#xJ ;

ou les produits tensoriels sont pris sur le corps F2; A� ¼ F2½x1; x2;y� est l’algebre de

Steenrod duale, xJ parcourt la base monomiale usuelle de A� et SqðJÞAA designe

l’element dual de xJ par rapport a cette base. La coaction l est multiplicative. Elle estdeterminee sur le generateur x1 par la formule

lðx1Þ ¼XnX0

x2n

1 #xn;

ou par convention x0 :¼ 1AA�:

Posons xJ :¼Q

0pcom x2c

jc�c: On verifie aisement que l’expression xmðx1;PÞ1 #xJ ¼

x2j0þ?þ2jm�1

1 #Q

0pcom x2c

jc�c apparaıt dans le developpement de

lðx2m�11 Þ ¼ lðx1Þ2m�1 ¼

XnX0

x2n

1 #xn

!2m�1

:

D’ou xmðx1;PÞ1 ¼ SqðJÞðx2m�1

1 Þ:Notons Q :¼ P=x

mðx1;PÞ1 : Soit w l’anti–automorphisme canonique de l’algebre de

Steenrod [34,52]. Rappelons ensuite le suivant, connu sous le nom de ‘‘w-technique’’[41,54]:

Lemme 4.3. Soient u; vAP et yAA: Alors yðuÞv � uwðyÞðvÞ:


Ceci dit, on applique la w-technique et obtient que

P ¼ xmðx1;PÞ1 Q ¼ SqðJÞðx2m�1

1 ÞQ � x2m�11 wðSqðJÞÞðQÞ;

ce qui implique le lemme. &

Soit G l’ensemble des couples ðI ;PÞ; ou ICE est un sous-ensemble non vide etPAP est un monome non nul. Pour tout couple ðI ;PÞAG; soit m ¼ mðI ;PÞ lapuissance de xmin I dans P:

Definition 4.4. Soient ðI ;PÞ; ðJ;QÞAG: On dit ðJ;QÞoðI ;PÞ ssi ðmin Jomin IÞ ouðmin J ¼ min I et mðJ;QÞomðI ;PÞÞ:

La clef de la demonstration du Theoreme 2.1(ii) se trouve dans les deux lemmessuivants.

Lemme 4.5. Soient nX0 un entier et ðI ;PÞAG un couple quelconque. Supposons k41et m ¼ mðI ;PÞ40: Alors, sauf dans le cas I ¼ E et P ¼ x1; on a

X 2n�1XðI ; kÞ2n

P2nþk �X

X 2n�1XðJ; kÞ2n

Q2nþk

þX

X 2n�1R2n ðmodVðk; nÞÞ

pour certains monomes RAP tels que aðmðx1;RÞÞ ¼ k � 1 et certains couples

ðJ;QÞoðI ;PÞ dans G:

Lemme 4.6. Supposons nX0 et 1okp4: Alors

X 2n�1XðE; kÞ2n

x2nþk

1 �X

X 2n�1XðJ; kÞ2n

Q2nþk

þX


pour certains monomes RAP tels que aðmðx1;RÞÞok et certains couples ðJ;QÞAG tels

que mðJ;QÞ ¼ 0:

Demonstration du Lemme 4.5. Soit I ¼ fi04?4irg: On prouve le lemme parl’examen de 3 cas suivants:

Cas 1: IaE:Posons P0 :¼ P=xir : D’apres la formule de Cartan, on a

Xir P2 ¼Xir x

2irP02 ¼ Sq1ðXP02Þ þ

XiAE\firg

Xix2i P02

�X

iAE\firgXix

2i P02:


Par application du Lemme 3.4(i), cela implique que


P2nþk

¼ X 2n�1X ðI ; k � 1Þ2n

ðXir P2Þ2nþk�1

� X 2n�1X ðI ; k � 1Þ2n XiAE\firg

Xix2i P02

0@

1A2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ

�X

iAE\firgX 2n�1ðXðI ; k � 1ÞX 2k�1

i Þ2n

ðxiP0Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ:

Soit iAE\firg une indice quelconque. Posons J :¼ I,fig et Q :¼ xiP0: Il est facile

de verifier que ðJ;QÞoðI ;PÞ: D’apres le Lemme 4.1, on a

X 2n�1ðXðI ; k � 1ÞX 2k�1

i Þ2n

ðxiP0Þ2nþk

� X 2n�1XðJ; kÞ2n

Q2nþk ðmodVðk; nÞÞ;

d’ou


P2nþk �X

iAE\firgX 2n�1XðJ; kÞ2n

Q2nþk ðmodVðk; nÞÞ:

Cas 2: I ¼ E et Paxm1 :

Observons d’abord que m :¼ aðmÞ ¼ aðmðx1;PÞÞ40 par hypothese. Si ma2m � 1;

alors m42m � 1: D’apres le Lemme 4.2 on a P �P

P pour certains monomes P avec

mðx1;PÞ ¼ 2m � 1om: D’apres le Lemme 3.4(i), ceci implique que


P2nþk �X 2n�1XðI ; kÞ2n XP

2nþk

ðmodVðn þ k; 0ÞÞ

�X 2n�1XðI ; kÞ2n XP

2nþk

ðmodVðk; nÞÞ;

ce qui entraıne le lemme.Supposons m ¼ 2m � 1: Soit i41 le plus petit entier tel que xi jP: Posons P00 :¼

P=xi et I 0 :¼ E\fig: Puisque I ¼ I 0,fig; d’apres le Lemme 4.1 on a


P2nþk

� X 2n�1XðI 0; k � 1Þ2n

ðXiP2Þ2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ:


D’apres la formule de Cartan

XiP2 ¼XiðxiP

00Þ2 ¼ Sq1ðXP002Þ þX

jAE\figXjðxjP

00Þ2

�X

jAE\figXjðxjP

00Þ2:


X 2n�1XðI 0; k � 1Þ2n

ðXiP2Þ2nþk�1

�X

jAE\figX 2n�1ðXðI 0; k � 1ÞX 2k�1

j Þ2n

ðxjP00Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ

� X 2n�1XðI 0; kÞ2n

ðxjP00Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ;

ceci etant a cause du Lemme 4.1 et du fait que I 0 ¼ I 0,f jg pour tout jAE\fig:Soit jAE\fig une indice quelconque. Si j41; alors mðI 0; xjP

00Þ ¼ m: Puisque I 0aE;

le Cas 1 precedent implique que

X 2n�1XðI 0; kÞ2n

ðxjP00Þ2nþk

�X

X 2n�1X ðJ; kÞ2n

Q2nþk ðmodVðk; nÞÞ

pour certains couples ðJ;QÞoðI 0; xjP00Þ: Il suit du fait min I 0 ¼ 1 que min J ¼ min I 0

pour tout couple ðJ;QÞ dans cette somme. D’ou mðJ;QÞomðI 0; xjP00Þ ¼ m et

ðJ;QÞoðI ;PÞ:Si j ¼ 1; alors mðx1; xjP

00Þ ¼ mþ 1 ¼ 2m et

aðmðx1;XðI 0; kÞðxjP00Þ2k

ÞÞ ¼ aðmðx1;XðI 0; kÞÞÞ þ aððmðx1; xjP00ÞÞÞ

¼ aðmðx1;XðI 0; kÞÞÞ þ 1 ¼ k � 1:

On conclut en posant R :¼ XðI 0; kÞðx1P00Þ2k

:

Cas 3: I ¼ E et P ¼ xm1 avec m41:

Ce cas-ci etant plus calculatoire que les autres, nous n’en avons pas trouve unedemonstration plus compacte. Observons tout de suite qu’on peut toujours supposerque m ¼ 2m � 1 avec m ¼ aðmÞ41 (voir le debut du Cas 2).

Posons I :¼ E\f1g: D’apres la formule de Cartan, on a

X1x2m1 ¼ Sq1ðXx

2m�21 Þ þ

XiAE\f1g

Xix2i x

2m�21 �

XiAE\f1g

Xix2i x

2m�21 :




P2nþk

¼ X 2n�1X ðI ; k � 1Þ2n

ðX1x2m1 Þ2nþk�1

� X 2n�1X ðI ; k � 1Þ2n XiAE\f1g

Xix2i x

2m�21

0@

1A2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ

�X

iAE\f1gX 2n�1X ðI ; kÞ2n

ðxixm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ;

ceci etant a cause du Lemme 4.1 et du fait que I ¼ I,fig 8 iAE\f1g:Considerons le terme qui correspond a l’indice i ¼ 2: Il est clair que x2x

m�11 �

x22x

m�21 : Il en resulte d’apres le Lemme 3.4(i) que


ðx2xm�11 Þ2nþk

� X 2n�1XðI ; kÞ2n

ðx22x

m�21 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ

� X 2n�1XðI ; k � 1Þ2n

ðX2x42x

2m�41 Þ2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ:

D’autre part, d’apres la formule de Cartan, on a

X2x42x

2m�41 ¼Sq1ðXx2

2x2m�41 Þ þ

XjAE\f2g

Xjx2j x2

2x2m�41

�X

jAE\f2gXjx

2j x2

2x2m�41 :


X 2n�1XðI ; k � 1Þ2n

ðX2x42x

2m�41 Þ2nþk�1

� X 2n�1XðI ; k � 1Þ2n XjAE\f2g

ðXjx2j x2

2x2m�41 Þ2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ

�X

jAE\f1;2gX 2n�1XðI ; kÞ2n

ðxjx2xm�21 Þ2nþk

þ X 2n�1X ðE; kÞ2n

ðx2xm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ;

ceci etant a cause du Lemme 4.1 et du fait que I,f jg ¼ I pour toute indice

jAE\f1; 2g et I,f jg ¼ E pour j ¼ 1:


Puisque min I ¼ 2; pour toute indice jAE\f1; 2g on a



¼ X 2n�1XðI ; k � 1Þ2n

ðX2x2j x2


:

D’apres la formule de Cartan:

X2x2j x2

2x2m�41 ¼Sq1ðXx2

j x2m�41 Þ þ

XcAE\f2g

Xcx2cx

2j x

2m�41

�X

cAE\f2gXcx2

cx2j x

2m�41 :

Par application du Lemme 3.4(i), ceci implique que

X 2n�1XðI ; k � 1Þ2n

ðX2x2j x2


�X

cAE\f2gX 2n�1XðI ; k � 1Þ2n

ðXcx2cx2

j x2m�41 Þ2nþk�1

ðmodVðk; nÞÞ

�X

cAE\f1;2gX 2n�1XðI ; kÞ2n

ðxcxjxm�21 Þ2nþk

þ X 2n�1X ðE; kÞ2n

ðxjxm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ:

Prenant la somme sur toutes les indices jAE\f1; 2g; on aXjAE\f1;2g



�X

jAE\f1;2g

XcAE\f1;2g


ðxcxjxm�21 Þ2nþk

þX

jAE\f1;2gX 2n�1XðE; kÞ2n

ðxjxm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ

�X


ðx2j x

m�21 Þ2nþk

þX


ðxjxm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ:

En resume, on obtient la relation suivante:


P2nþk �X

iAE\f1;2gX 2n�1X ðI ; kÞ2n

ðxixm�11 Þ2nþk

þX


ðx2j x

m�21 Þ2nþk


þX


ðxjxm�11 Þ2nþk

þ X 2n�1XðE; kÞ2n

ðx2xm�11 Þ2nþk

ðmodVðk; nÞÞ:

Observons que xixm�11 � x2

i xm�21 pour tout iAE\f1; 2g: Il suit de la d’apres le Lemme

3.4(i) que la somme de deux premiers termes dans le membre de droite de cette

relation est nulle modulo APþ Vðk; nÞ: Pour les deux termes qui restent, il suffit deretourner au Cas 2 pour conclure. &

Demonstration du Lemme 4.6. En fait, on a la relation

X 2n�1XðE; kÞ2n

x2nþk

1 � X 2n�1X ðE; kÞ2n

ðx2 þ?þ xkÞ2nþk

;

qui est demontree dans [25,39] pour kp3: Il suffit donc de montrer le lemme pourk ¼ 4: Notons que ce cas-ci n’est pas indispensable pour la demonstration duTheoreme 2.2, mais il est essentiel pour celle [40] de l’analogue du resultat principalde [7] dont nous avons parle dans l’Introduction. Ajoutons que les arguments quisuivent peuvent etre legerement modifies pour s’adapter au cas kp3:

Soit VCP le sous-espace vectoriel engendre par les monomes

X 2n�1XðJ; kÞ2n

Q2nþk

; o "u mðJ;QÞ ¼ 0;

X 2n�1R2n

; o "u aðmðx1;RÞÞok:

Notons que les elements de l’ensemble B du le Theoreme 2.1 sont selectionnesprecisement parmi les generateurs de V: Pour P;P0AP; definissons P � P0

ðmodVÞ comme etant la relation P þ P0AVþAPþ Vðk; nÞ: Il s’agit alors demontrer que

X 2n�1X ðE; kÞ2n

x2nþk

1 � 0 ðmodVÞ:

Rappelons que X ðE; 4Þ ¼ X4X 23 X 4

2 X 81 : Il est clair que X1x2

1 ¼ Sq1ðXÞ þ X2x22 þ

X3x23 þ X4x2

4 � X2x22 þ X3x2

3 þ X4x24: D’apres les Lemmes 3.4(i) et 4.1, on a

X 2n�1XðE; 4Þ2n

x2nþ4

1

¼ X 2n�1ðX4X 23 X 4

2 Þ2n

ðX1x21Þ

2nþ3

� X 2n�1ðX4X 23 X 4

2 Þ2n

ðX2x22 þ X3x2

3 þ X4x24Þ

2nþ3

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX4X 23 X 12

2 Þ2n

ðx2 þ x3 þ x4Þ2nþ4

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX4X 23 Þ

2n

ðX 32 x4

2Þ2nþ2

ðmodVÞ:


D’apres la formule de Cartan, on a

X 32 x4

2 ¼Sq1ðX 3Þ þ X 31 x4

1 þ X 33 x4

3 þ X 34 x4

4

�X 31 x4

1 þ X 33 x4

3 þ X 34 x4

4:


X 2n�1ðX4X 23 Þ

2n

ðX 32 x4

2Þ2nþ2

� X 2n�1ðX4X 23 Þ

2n

ðX 31 x4

1 þ X 33 x4

3 þ X 34 x4

4Þ2nþ2

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1X 2n

4 ðX 73 x8

3Þ2nþ1

ðmodVÞ;

ceci etant a cause du Lemme 4.1 et du fait que

aðmðx1;X4X 23 X 12

1 x161 ÞÞ ¼ 3ok ¼ 4:

Appliquons encore la formule de Cartan:

X 73 x8

3 ¼Sq1ðX 7Þ þ X 71 x8

1 þ X 72 x8

2 þ X 74 x8

4

�X 71 x8

1 þ X 72 x8

2 þ X 74 x8

4:

D’apres le Lemme 3.4(i), on a

X 2n�1X 2n

4 ðX 73 x8

3Þ2nþ1

� X 2n�1X 2n

4 ðX 71 x8

1 þ X 72 x8

2 þ X 74 x8

4Þ2nþ1

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX4X 62 Þ

2n

ðX2x22Þ

2nþ3

þ X 2n�1ðX 154 x16

4 Þ2n

ðmodVÞ:

Observons que X2x22 � X1x2

1 þ X3x23 þ X4x2

4: Il suit de la d’apres les Lemmes 3.4(i)

et 4.1 que

X 2n�1ðX4X 62 Þ

2n

ðX2x22Þ

2nþ3

� X 2n�1ðX4X 62 Þ

2n

ðX1x21 þ X3x2

3 þ X4x24Þ

2nþ3

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1X 2n

4 ðX2X 61 x8

1 þ X3X 62 x8

3 þ X 72 x8

4Þ2nþ1

ðmodVð4; nÞÞ

� 0 ðmodVÞ:


En resume, on a montre jusqu’ici que

X 2n�1XðE; 4Þ2n

x2nþ4

1 � X 2n�1ðX 154 x16

4 Þ2n

ðmodVÞ:

Pour l’examen de ce dernier terme, appliquons la formule de Cartan:

X 154 x16

4 ¼Sq1ðX 15Þ þ X 151 x16

1 þ X 152 x16

2 þ X 153 x16

3

�X 151 x16

1 þ X 152 x16

2 þ X 153 x16

3 :

D’apres le Lemme 3.4(i), on a

X 2n�1ðX 154 x16

4 Þ2n

� X 2n�1ðX 151 x16

1 þ X 152 x16

2 þ X 153 x16

3 Þ2n

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX 72 Þ

2n

ðX2x22Þ

2nþ3

þ X 2n�1ðX 73 Þ

2n

ðX3x23Þ

2nþ3

ðmodVÞ:

Puisque X2x22 � X1x2

1 þ X3x23 þ X4x2

4; d’apres les Lemmes 3.4(i) et 4.1 on a

X 2n�1ðX 72 Þ

2n

ðX2x22Þ

2nþ3

� X 2n�1ðX 72 Þ

2n

ðX1x21 þ X3x2

3 þ X4x24Þ

2nþ3

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX2X 141 x16

1 þ X3X 142 x16

3 þ X4X 142 x15

4 Þ2n

ðmodVð4; nÞÞ

� 0 ðmodVÞ:

De maniere analogue, en utilisant le fait X3x23 � X1x2

1 þ X2x22 þ X4x2

4 et les

Lemmes 3.4(i) et 4.1, on obtient que

X 2n�1ðX 73 Þ

2n

ðX3x23Þ

2nþ3

� X 2n�1ðX 73 Þ

2n

ðX1x21 þ X2x2

2 þ X4x24Þ

2nþ3

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX3X 141 x16

1 þ X3X 142 x16

2 þ X4X 143 x15

4 Þ2n

ðmodVð4; nÞÞ

� X 2n�1ðX3X 62 Þ

2n

ðX2x22Þ

2nþ3

ðmodVÞ

� X 2n�1ðX3X 62 Þ

2n

ðX1x21 þ X3x2

3 þ X4x24Þ

2nþ3

ðmodVÞ


� X 2n�1ðX3X 22 X 12

1 x161 þ X3X 14

2 x163 þ X4X 2

3 X 122 x16

4 Þ2n

ðmodVÞ

� 0 ðmodVÞ:

Le Lemme 4.6 est completement demontre. &

Demonstration du Theoreme 2.1(ii). D’apres le Lemme 4.2, pour montrer qu’en degred; le A-module P est engendre par l’ensemble B; il suffit de montrer que: modulo

AP; tout monome PAP tel que deg P ¼ d et mðx1;PÞ ¼ 2m � 1 (mX0 un entier) estengendre par B sur F2:

Soit P un tel monome. Montrons d’abord que modulo APþ Vðk; nÞ; P estengendre par B sur F2: Ceci est clair si PAVðk; nÞ: Supposons PeVðk; nÞ:Rappelons que Vðk; nÞ designe l’espace vectoriel engendre par les monomes P tels

que min0pcon deg Pcok ou minnpconþk deg Pcok � 1: Il suit du fait d ¼PcX0 2cdeg Pc � 2n � k ðmod 2nþkÞ que deg Pc ¼ k pour 0pcon et deg Pc ¼ k � 1

pour npcon þ k: D’ou Pc ¼ X pour 0pcon et il existe un unique ensemble nonvide I ¼ fi04?4irgCE tel que fPc j npcon þ kg ¼ fXi0 ;y;Xirg:

Posons P :¼Q

cXnþk P2c�n�k

c ; alors deg P ¼ d 0 et d’apres le Lemme 4.1:

P � X 2n�1X ðI ; kÞ2n

P2nþk

ðmodVðk; nÞÞ:

Si mðI ;PÞ ¼ 0 ou m ¼ aðmðx1;PÞÞon þ k; alors PAPðirÞ: Par hypothese, P etant

engendre par BðirÞ; on a P �P

Q pour certains elements QABðirÞ: D’apres leLemme 3.4(i),

P �X 2n�1XðI ; kÞ2n

P2nþk

ðmodVðk; nÞÞ

�X


Q2nþk ðmodVðn þ k; 0ÞÞ:

Puisque Vðn þ k; 0ÞCVðk; nÞ; il s’ensuit que modulo APþ Vðk; nÞ; le monome P estengendre par B sur F2:

Supposons maintenant que mðI ;PÞ40 et mXn þ k: On va raisonner par l’absurde.

Supposons le contraire qu’il existe des monomes P qui, modulo APþ Vðk; nÞ; ne

soient pas engendres par B sur F2: Soit P un tel monome avec ðI ;PÞ minimal par

rapport a la relation o dans G definie plus haut. Si IaE ou Pax1; alors d’apres leLemme 4.5:


P2nþk

�X


Q2nþk

þX


pour certains monomes RAP tels que aðmðx1;RÞÞ ¼ k � 1; et certains couples

ðJ;QÞoðI ;PÞ dans G: Puisque aðmðx1;X 2n�1R2nÞÞ ¼ n þ k � 1on þ k; d’apres ce


qui precede, X 2n�1R2n

est engendre par B pour tout R dans le membre de droite.

D’autre part, a cause de la minimalite du couple ðI ;PÞ; modulo APþ Vðk; nÞ; tousles monomes qui restent dans le membre de droite sont engendres par B: Il en estdonc de meme de l’autre membre et de P; ce qui est une contradiction!

Si I ¼ E et P ¼ x1; alors kp4: (Rappelons que aðk � 1Þ ¼ aðd 0 þ k � 2ÞXk � 2par hypothese!) D’apres le Lemme 4.6, on a


P2nþk

�X


Q2nþk

þX


pour certains monomes RAP tels que aðmðx1;RÞÞok; et certains couples ðJ;QÞAGtels que mðJ;QÞ ¼ 0: Vu ce qui precede, modulo APþ Vðk; nÞ; tous les termes danscette ecriture sont engendres par B sur F2: D’ou P l’est, ce qui est encore unecontradiction!

On a montre que modulo APþ Vðk; nÞ; le monome P est engendre par l’ensembleB sur F2: Le Theoreme 2.1(ii) resulte maintenant de la proposition suivante:

Proposition 4.7. Si 0pmpk et 0pn0pn; alors Vðm; n0ÞCAP en degre d: En

particulier, les relations P � Q et P � Q ðmodVðk; nÞÞ sont equivalentes en degre d:(On trouve des variantes de cette proposition dans [25,36].)

Montrons cette proposition par recurrence sur m þ n0: Il n’y a rien a faire sim þ n0 ¼ 0: Supposons m þ n040 et qu’elle est vraie pour toute valeur inferieure dem þ n0: Soit RAVðm; n0Þ un monome quelconque.

Supposons d’abord que RAVð0;m þ n0Þ-Vð0; nÞ: Soit qX0 le plus petit entier tel

que l’etage q-ieme RqaX : Par definition qominfn;m þ n0g: Posons R :¼Q

cXq Rc�qc ;

alors 2qdeg R ¼ d � ð2q � 1Þk; d’ou

deg R þ k ¼ ðd þ kÞ=2q ¼ 2nþk�qðd 0 þ k � 1Þ þ 2n�q:

A ce point, rappelons le:

Theoreme 4.8 (Wood [54]). Soit PAP un monome. Alors P � 0 si aðdeg P þdeg P0Þ4deg P0:

Puisque deg R0 ¼ deg Rqok et qon; il s’ensuit que deg R0 � k ðmod 2Þ et

deg R0pk � 2: Observons que n40 dans le cas qu’on considere. D’ou aðd 0 þ k �1Þ ¼ k � 140 par hypothese. On en deduit sans peine que aðdeg R þdeg R0Þ4deg R0 (voir la Section 6). D’apres le Theoreme 4.8, le monome R � 0:Par application du Lemme 3.4(i), on a

R ¼Y

0pcoq

R2c

c

!R

2q

� 0 ðmodVðq; 0ÞÞ:


Il est clair que Vðq; 0ÞCVð0; qÞ: Du fait que qom þ n0; par hypothese de recurrence

Vð0; qÞCAP: D’ou R � 0:Supposons maintenant que ReVð0;m þ n0Þ-Vð0; nÞ: Ceci implique que m þ n04n

et ReVð0; nÞ; car Vðm; n0ÞCVð0;m þ n0Þ: D’ou Rc ¼ X pour 0pcon: Soit sX0 leplus petit entier tel que deg Rsok � 1: Par definition npsom þ n0pn þ k: Il estfacile de verifier que deg Rc ¼ k � 1 pour npcos:

Posons R :¼Q

cXs Rc�sc ; alors 2s deg R ¼ d � ð2n � 1Þk � ð2s � 2nÞðk � 1Þ; d’ou

deg R þ k � 1 ¼ ðd þ k � 2nÞ=2s ¼ 2nþk�sðd 0 þ k � 1Þ: Puisque deg R0 ¼deg Rsok � 1 et son þ k; il s’ensuit que deg R0 � k � 1 ðmod 2Þ et deg R0pk � 3:Du fait que soit aðd 0 þ k � 1Þ ¼ k � 1; soit aðd 0 þ k � 2ÞXk � 240; on verifie

aisement que aðdeg R þ deg R0Þ4deg R0 (voir la Section 6). D’apres le Theoreme

4.8, le monome R � 0: Par application du Lemme 3.4(i), on a

R ¼Y

0pcos

R2c

c

!R2s � 0 ðmodVðs; 0ÞÞ:

Il est clair que Vðs; 0ÞCVð0; sÞ: Du fait que som þ n0; par hypothese de recurrence

Vð0; sÞCAP: D’ou de nouveau R � 0: &

5. Demonstration du Theoreme 2.2

Le Theoreme 2.2(i) est classique, on renvoie a [25,39,42,56], etc. pour les details.La premiere partie du Theoreme 2.2(ii) se verifie facilement par recurrence a partir

du cas k ¼ 1 du Theoreme 2.2(i). Il en est de meme de la premiere partie duTheoreme 2.2(iii), qui se demontre par recurrence a partir du cas k ¼ 2 du Theoreme2.2(i).

Il reste a verifier les affirmations concernant dimðP=APÞd dans ces theoremes. Il

est facile de voir que jBj est egal au nombre de suites ðIk; Ik�1;y; I1Þ: Il y a 2k � 1

choix de Ik: Une fois Ik choisi, il ne reste que 2k�1 � 1 choix de Ik�1: Si Ik et Ik�1 ont

deja ete choisis, il ne reste que 2k�2 � 1 choix de Ik�2 et ainsi de suite. D’ou jBj ¼Q1pcpkð2c � 1Þ:En raisonnant de la meme maniere, on obtient jBj ¼ 2

Q3pcpkð2c � 1Þ:

6. Remarques finales

6.1. Exemples

Nous tenons d’abord a signaler que l’idee d’une base de P=AP pour k ¼ 3 a dejaete con@ue dans notre memoire [39]. A ce moment-la (1999), le probleme ‘‘hit’’general nous semblait inaccessible et l’idee d’une construction generique nous etait


inconcevable. Par chance, nous avons reussi au fil du temps a generaliser notreconstruction du moment et formuler ainsi le Theoreme 2.1. Les exemples qui suiventexpliciteront ce theoreme dans le cas 2pkp4:

Soient nX0; d 0X0 et d :¼ 2nþkðd 0 þ k � 1Þ þ 2n � k: Donnons-nous un systeme

generateur minimal quelconque B½x1;y; xk�1� du A-module F2½x1;y; xk�1� endegre d 0: Supposons que soit aðd 0 þ k � 1Þ ¼ k � 140; soit (n ¼ 0 et

aðd 0 þ k � 2ÞXk � 240). Alors, l’ensemble des produits ðx1x2?xkÞ2n�1P2n

; ou P

parcourt les elements suivants, forme un systeme generateur minimal du A-moduleF2½x1; x2;y; xk� en degre d (pour etre plus commode, les variables s’ecriront x; y; z; t

au lieu de x1; x2; x3;x4):

Pour k ¼ 2:.

(I) x3Q4; ou QAB½x�;(II) y3Q4; xy2Q4; ou QAB½y�:

Pour k ¼ 3:.

(I) ðxyÞ7Q8; ou QAB½x; y�;

(II) ðxzÞ7Q8; ðxyÞðxzÞ6

Q8; ou QAB½x; z�;(III) ðyzÞ7

Q8; ðxyÞðyzÞ6Q8; ðxzÞðyzÞ6

Q8;

ðxyÞðxzÞ2ðyzÞ4Q8; ou QAB½y; z�:

Pour k ¼ 4:.

(I) ðxyzÞ15Q16; ou QAB½x; y; z�;

(II) ðxytÞ15Q16; ðxyzÞðxytÞ14

Q16; ou QAB½x; y; t�;(III) ðxztÞ15

Q16; ðxyzÞðxztÞ14Q16; ðxytÞðxztÞ14

Q16;

ðxyzÞðxytÞ2ðxztÞ12Q16; ou QAB½x; z; t�;

(IV) ðyztÞ15Q16; ðxyzÞðyztÞ14

Q16; ðxytÞðyztÞ14Q16;

ðxztÞðyztÞ14Q16; ðxyzÞðxytÞ2ðyztÞ12

Q16;

ðxyzÞðxztÞ2ðyztÞ12Q16; ðxytÞðxztÞ2ðyztÞ12

Q16;

ðxyzÞðxytÞ2ðxztÞ4ðyztÞ8Q16; ou QAB½y; z; t�:

6.2. Une propriete arithmetique

Soit mX2 un entier. La propriete suivante est implicitement utilisee dans lademonstration du Theoreme 2.1(ii): aðm � 1ÞXaðmÞ � 1 et aðm � 2Þ4aðmÞ � 2:Cette propriete est pourtant triviale et nous nous dispensons d’en inclure lapreuve.


6.3. Interpretation de Vð0; nÞ

Dans sa these [25], Kameko a construit un morphisme (baptise depuis le ‘‘Sq0 de

Kameko’’ [5,7,11,36]) Sq0 : P=AP-P=AP comme suit: soit ½P� la classe modulo

AP de l’element PAP; alors

Sq0ð½P�Þ :¼ ½Q� si P ¼ XQ2;

0 sinon:

�

Il montre que Sq0 est toujours surjectif et que ce morphisme est, en plus, bijectif encertains degres. Cette propriete suggere une methode de descente pour attaquer leprobleme ‘‘hit’’. Kameko s’en est largement servi pour mener a bout ses calculs de

P=AP pour k ¼ 3:

Le morphisme Sq0 ayant ete rappele, il est clair maintenant que modulo AP;

l’espace vectoriel Vð0; nÞ defini dans la Section 3 n’est autre que Ker ðSq0Þn: C’est lal’interpretation que nous voulons donner a Vð0; nÞ: En general, une description

explicite de Ker ðSq0Þn est, bien sur, difficile a obtenir. Mais dans les degresgeneriques que nous traitons dans cet article, ce noyau est simplement nul, comme entemoigne la Proposition 4.7. Cela contribue de maniere substantielle a l’aboutisse-ment de notre approche.

6.4. Raffinement du theoreme de Crabb–Hubbuck

Recemment, en utilisant une idee de Crabb–Hubbuck (exposee dans leur travaux[11]) et nos propres techniques, nous avons reussi a raffiner leur Theoreme 1.3. Nousnous contentons pour le moment d’annoncer ce raffinement et reporter sademonstration jusqu’au [40]:

Theoreme 6.1 (Nam [40]). Soit d ¼ ð2m1 � 1Þ þ ð2m2 � 1Þ þ?þ ð2mk � 1Þ avecm1 � m241; m2 � m341;y;mk�1 � mk41 et mkX0: Notons TCGLðk; F2Þ le

sous-groupe (dit de Borel) forme des matrices triangulaires inferieures. Alors le

GLðk; F2Þ-module F2½GLðk; F2Þ=T � s’injecte dans ðP=APÞd : Par consequent

dimðP=APÞdXQ

1pcpkð2c � 1Þ:

Remerciements

L’auteur tient a remercier les Professeurs Nguy*#en Huu Viet Hung (Universite desSciences a Hanoı) et Lionel Schwartz (Universite de Paris–Nord) pour avoir acceptede diriger sa these. Il tient a remercier le Pr. Hung pour l’avoir instruit au cours deses etudes a l’Universite des Sciences a Hanoı, et le Pr. Schwartz pour l’avoir integredans le laboratoire LAGA de l’Universite de Paris–Nord. L’auteur aimerait profiterde cette occasion pour remercier le Pr. Frederic Pham (Universite de Nice) et le


Programme ForMath Vietnam, qui ont rendu possibles ses etudes de DEA al’Universite de Paris–Nord dans l’annee scolaire 2000–2001. Ses remerciements vontegalement a l’Institut de Mathematiques a Hanoı pour le financement qu’il lui afourni durant la periode fin 1999–debut 2000. L’auteur tient finalement a remercier lePr. Mark Hovey qui a bien voulu recommander ses travaux, ainsi que le referee pourle rapport suggestif qui l’a aide a ameliorer cet article.

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A -générateurs génériques pour l'algèbre polynomiale

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