A diszkrimináns és a gyöktényezős alak · DEF.: A másodfokú egyenlet diszkriminánsa = a gyökjel alatti rész: 𝐷= 2−4 Tulajdonságok: I. 𝐷>0⇔2 db különböző

HF

■ Megoldások:– 1A) 0;−2

– 2A) 2; −2

– 3A) 0; 5

– 4A) 5

3; −

5

3

– 5A) nincs

– Példatár/1208./a) 1; 1

– Példatár/1209./a) −3; 1

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 1

Ami eddig volt…

■ Általános másodfokú egyenlet:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0

■ Ebben az…

– …ismeretlen: 𝑥– …együtthatók: 𝑎, 𝑏, 𝑐

■ Megoldóképlet:

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 2

Hány különböző megoldás van?

■ Vegyük szemügyre a megoldóképletet!

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

■ DEF.: A másodfokú egyenlet diszkriminánsa = a gyökjel alatti rész:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 3

A diszkrimináns

■ DEF.: A másodfokú egyenlet diszkriminánsa = a gyökjel alatti rész:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

■ Tulajdonságok:

I. 𝐷 > 0 ⇔ 2 db különböző gyök

II. 𝐷 = 0⇔ 2 db azonos gyök, azaz 1 db kétszeres gyök

III. 𝐷 < 0 ⇔ 0 db gyök

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 4

A diszkrimináns II.

■ Példák:

I. 𝐷 > 0: 𝑥2 + 2𝑥 = 0, 𝑥2 − 4 = 0 (múltkoriak: 1A-4B.)

II. 𝐷 = 0: gyártsunk rá példát!

III. 𝐷 < 0: 𝑥2 + 1 = 0 (múltkoriak: 5A-5B.)

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 5

A diszkrimináns III.

■ Példagyártás:

II. 𝐷 = 0: legyen ez a kétszeres gyök a 4.

𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0𝑥 − 4 2 = 0

𝑥2 − 2 ∙ 4 ∙ 𝑥 + 42 = 0𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 6

A gyöktényezős alak

■ Az előbbi átalakítás visszafelé is megy; a 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0egyenlettől is eljuthatunk átalakításokkal a 𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0egyenlethez.

■ Sőt! „Az összes másodfokú egyenletet, aminek van megoldása, az előbbi 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 egyenlethez hasonlóan létezik olyan alakja, ami a 𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0 egyenlethez hasonlít.”

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 7

A gyöktényezős alak

■ DEF.: Tegyük fel, hogy az 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 másodfokú egyenlet gyökei: x1, x2 . Ekkor az egyenlet gyöktényezős alakjának az𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 kifejezést nevezzük.

■ Megjegyzés: ha 𝑎 = 1, akkor 𝑎-t nem kötelező kiírni.

■ Például:

▪ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 gyöktényezős alakja 𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0

▪ 2𝑥2 − 16𝑥 + 32 = 0 gyöktényezős alakja 2 𝑥 − 4 𝑥 − 4 = 0

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 8

Feladat

■ Ha létezik, akkor írjuk fel a múlt órai egyenletek gyöktényezős alakját!

1. A) 𝑥2 + 2𝑥 = 0 B) 𝑥2 + 3𝑥 = 0

2. A) 𝑥2 − 4 = 0 B) 𝑥2 − 210 = 0

3. A) 𝑥2 − 5𝑥 = 0 B) 𝑥2 −𝑥

7= 0

4. A) 𝑥2 −25

9= 0 B) 𝑥2 − 3−4 = 0

5. A) 𝑥2 + 1 = 0 B) 𝑥2 + 4 = 0

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 9

Következő órára

■ Kötelező HF:

A 9. dia A) feladatait befejezni:diszkrimináns kiszámolása, gyöktényezős alak felírása.+ Próbaröpi a 11-12. dián.+ Feladatkalendárium: az osztályfül alatt a honlapon (handedsite.wordpress.com).

■ Szorgalmi HF:

A 9. dián található B) feladatok.

■ Átnézni:

Amit eddig és a mai órán a másodfokú egyenletekről tanultunk.

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 10

Próbaröpi1. feladat

a) A 0 megoldása az 𝑥2 + 7𝑥 = 0 egyenletnek.

b) Az 𝑥2 − 3𝑥 = 2 egyenlet hiányos.

c) Az 1 nem gyöke az 𝑥2 − 𝑥 = 0 egyenletnek.

d) Az 𝑥2 + 2x + 1 = 0 egyenlet diszkriminánsa 0.

e) Az 𝑥2 + 5 egyenletnek nincs (valós) gyöke.

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 11

Próbaröpi2. feladat

a) Határozzuk meg az 𝑥2 + 5𝑥 − 14 = 0 egyenlet diszkriminánsát!

b) A diszkrimináns értékéből mondjuk meg, hány darab és milyen (egyszeres vagy kétszeres) gyöke lesz az egyenletnek!

c) Számítsuk ki az egyenlet gyökeit!

d) Írjuk fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

e) Szorgalmi: Számítsuk ki a gyökök összegét! Hol jelenik meg az összegük az egyenletben?

f) Szorgalmi: Számítsuk ki a gyökök szorzatát! Hol jelenik meg a szorzatuk az egyenletben?

g) Szorgalmi: Ábrázoljuk az 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 − 14 függvényt!

12/17/2018 Diszkrimináns és gyöktényezős alak 12