Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 1 nach oben. Es gilt also: g(x)= f (x) +1 b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h mit h(x)= f (x) - 2 ein. Vertikale Verschiebung x → f (x)+ d mit d> 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben. x → f (x) - d mit d> 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten. Oben oder unten? Die Graphen der quadratischen Funktionen f und g mit f (x)= x 2 bzw. g(x)=(x +2) 2 sind dargestellt. Vervollständige die Wertetabellen. Was fällt dir auf? Es gilt: g(x)= f (x +2). x f (x) -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 x g(x) -5 9 -4 4 -3 1 -2 0 -1 1 0 4 1 9 Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links. Horizontale Verschiebung x → f (x + c) mit c> 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links. x → f (x - c) mit c> 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts. Links oder rechts? a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f : 1) Horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts 2) Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach oben Es gilt also: g(x)= f (x - 3) +2 b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h(x)= f (x + 2) - 1 ein. Verschiebungen Datum: 11. Dezember 2019
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a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen ... · MathematikmachtFreu(n)de AB–Funktionsgraphen a) Der Graph von gentsteht durch Verschiebung des Graphen von f um
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f
um 1 nach oben. Es gilt also: g(x) = f(x) + 1
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h mit h(x) = f(x)− 2 ein.
Vertikale Verschiebung
x 7→ f(x) + d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach oben.
x 7→ f(x)− d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um d Einheiten nach unten.
Oben oder unten?
Die Graphen der quadratischenFunktionen f und g mit
f(x) = x2 bzw. g(x) = (x+2)2
sind dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.Was fällt dir auf?
Es gilt: g(x) = f(x+ 2).
x f(x)
−3 9
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
x g(x)
−5 9
−4 4
−3 1
−2 0
−1 1
0 4
1 9
Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um 2 E. nach links.
Horizontale Verschiebung
x 7→ f(x + c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach links.
x 7→ f(x− c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um c Einheiten nach rechts.
Links oder rechts?
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f :
1) Horizontale Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts
2) Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach oben
Es gilt also: g(x) = f(x− 3) + 2
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h(x) = f(x+ 2)− 1 ein.
Der Graph von g entsteht durch Spiegelung des Graphen von f . . .. . . an der x-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = −f(x)
. . . an der y-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = f(−x)
. . . am Ursprung (0 | 0).Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) = −f(−x)
Spiegelungen
Gilt h(x) = h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine gerade Funktion.Der Graph jeder geraden Funktion ist also symmetrisch zur y-Achse.
Beispiele für gerade Funktionen sind x 7→ x2, x 7→ x4, x 7→ x6 und x 7→ cos(x).
Gilt h(x) = −h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine ungerade Funktion.Der Graph jeder ungeraden Funktion ist also symmetrisch zum Punkt (0 | 0).
Beispiele für ungerade Funktionen sind x 7→ x1, x 7→ x3, x 7→ x5 und x 7→ sin(x).
Gerade Funktionen und ungerade Funktionen
Wollen wir in die selbe Richtung verschieben und skalieren, dann kommt es auf die Reihenfolge an:
a) Wir strecken die Gerade y = x zuerst um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y = 3 · x
Danach verschieben wir die Gerade um 2 nach oben: y = 3 · x+ 2
b) Wir verschieben die Gerade y = x zuerst um 2 Einheiten nach oben: y = x+ 2
Danach strecken wir um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y = 3 · (x+ 2) = 3 · x+ 6
Auf die Reihenfolge kommt es an.
Gib nach jedem Schritt eine neue Funktionsgleichung an. Wir starten mit f1(x) = x2 · ex.
1) Der Graph von f1 wird an der y-Achse gespiegelt:
f2(x) = f1(−x) = (−x)2 · e−x = x2 · e−x
2) Der Graph von f2 wird um 3 Einheiten nach links verschoben:
Die Funktion x 7→ 2 · sin(4 · x− 3) + 5 entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).Entscheide in jedem Schritt, ob eine Verschiebung oder eine Skalierung durchgeführt wird.
sin(x)
2 · sin(x)
2 · sin(x) + 5
2 · sin(x− 3) + 5
2 · sin(4 · x− 3) + 5
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
2 22 2
2
2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2
4
44
42
5
3
1/4
Verschiebungen & Skalierungen
Die Funktion x 7→ A · sin(ω · x+ ϕ) + c entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).A > 0 . . . Amplitude ω > 0 . . . Kreisfrequenz ϕ > 0 . . . Nullphasenwinkel
sin(x)
A · sin(x)
A · sin(ω · x)
A · sin(ω · (x+ ϕω))
A · sin(ω · x+ ϕ) + c
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
22 22 2
2 2 2 22 2 2 2
2 2 22 2
44
44 4
A
1ω
ϕω
↑ c ↓ |c| c<0falls
Die horizontale Entfernung benachbarter Tiefpunkte ist die Periodendauer. In welchem Schritt ändert sich die Periodendauer?