1
FACULDADE D. PEDRO IICurso: Curso Licenciatura em Pedagogia
Disciplina: FUNDAMENTOS E METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMTICA
Aluna(o) Professor: Adalberto Santos
A CONSTRUO DO CONHECIMENTO MATEMTICO Adalberto da Silva Santos
Shirley Costa Este texto foi estruturado a partir da pesquisa e
compilao das referncias citadas, bem como da nossa experincia em
sala de aula como professores dos diversos segmentos da educao,
voltada para Educao Matemtica. Tratar do conhecimento matemtico
tratar das aes do homem em suas relaes de vida, sejam elas sociais,
culturais, polticas, antropolgicas, ambientais, biolgicas, etc.
Neste texto discutiremos sobre a aplicabilidade da matemtica ao
cotidiano, caracterizando os conhecimentos matemticos, associando-o
aos processos civilizatrios da humanidade. Enfatizando os
conhecimentos necessrios a serem desenvolvidos na Educao Infantil e
nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. de suma importncia o
estudo e aprofundamento destes aspectos relacionados Caracterizao
da Matemtica, para que voc possa ter uma melhor compreenso dos
fenmenos relacionados ao ensino aprendizagem da Matemtica. Aqui
faremos estudos sobre os fundamentos tericos e metodolgicos
voltados para o ensino-aprendizagem da Matemtica na Educao Infantil
e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, identificaremos os
conhecimentos matemticos como meios de compreender e interagir com
o mundo a sua volta, percebendo o carter intelectual caracterstico
da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade,
o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas.
2 Vamos conhecer tambm funes as do
nmero quando e onde apliclo, a relao da
Acordei s 6h30min. Tomei um banho rpido, pois teria nesse dia, 2
reunies. Na primeira dessas reunies, seria tratada a questo da
incluso de mais 10 alunos, nas 4 salas de 1 serie do Colgio So
Joo.
criana com os aspectos quantificadores e abstratos do nmero e
principalmente os esquemas bsicos para a aprendizagem da Matemtica
pela criana. Voc j se deu conta do quanto sua vida est cercada por
nmeros? Faa o seguinte exerccio: identifique todos os passos dados
por voc no dia anterior, desde a hora (nmero) em que acordou, at a
hora em que foi dormir. Veja o exemplo:
Quantas atividades voc elencou? Em que atividades executadas
ontem foi necessrio o emprego do nmero, para melhor identific-las?
Voc consegue imaginar-se vivendo sem os nmeros? Os nmeros
incorporam-se, ao nosso dia-a-dia, de tal forma que no nos mais
possvel prescindir deles.
A EVOLUO DA IDIA DO NMERO
3 A idia de nmero muito antiga. No existe um inventor, mas as
situaes vividas pelo homem, participante da construo de sua prpria
histria, em diversos lugares do mundo, promoveram o desenvolvimento
da numerao falada ou escrita. A Histria nos mostra que o homem
inventou vrias maneiras para realizar contagens e represent-las, e
todas elas associadas s necessidades de sua poca. Todo seu processo
de construo fez parte do seu prprio contexto histrico-cultural. A
relao biunvoca (exemplo: para cada ovelha, uma pedra) esteve
presente neste processo. Usando os dedos, contas, pedras, marcas
(conjunto comparador), entre outros, o homem ia garantindo o
conhecimento e a memria das quantidades j relacionadas. No entanto,
a dificuldade de trabalhar com grandes quantidades foi exigindo
mudana nas formas de registros. O registro escrito vai sendo
construdo para facilitar a prpria vida humana. Imaginemos, por
exemplo, o trabalho que tinham os homens ditos primitivos para
registrar, com pedrinhas ou riscos, a quantidade de mil
quatrocentos e vinte e seis ovelhas. Para ns basta escrever
1.426.
Vrios sistemas de representao escrita dos nmeros surgiram na
histria da humanidade: o sistema de numerao egpcio, o da
Mesopotmia, o romano, o maia, o arbico entre outros. Temos sistemas
de numerao em diferentes bases: 2, 5, 10... A idia de nmero foi
sendo construda desde os primrdios da humanidade e passou por
muitas mudanas at os dias de hoje. Com seu sistema de nove sinais
(o zero surge depois), o povo hindu contribuiu de forma
significativa para o sistema de numerao decimal que usamos hoje. O
sistema indo-arbico utilizado em quase todo o mundo apresenta
alguns princpios bsicos:
4 i. Possuir base decimal, ou seja, a cada dez, formo um novo
grupo da
ordem posterior. ii. Fazer uso de dez smbolos, que so os
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para representar qualquer
nmero desejado. iii. Ser um sistema de valor posicional, ou seja, o
algarismo 2 pode valer 2, 20, 200... dependendo da ordem em que se
encontre no nmero representado. Quando conhecemos um pouco da
histria da construo dos nmeros (Visite o site
http://vitoria.upf.tche.br/~pasqualotti/hiperdoc/matematica.htm),
podemos perceber que o homem levou muitos milnios nesta construo.
Com isto, pensamos que trabalhar a idia de nmero com crianas em
processo escolar traz tona um pouco deste vasto conhecimento
elaborado ao longo da histria da humanidade. Se, na condio de
professores, nos colocarmos como observadores das estratgias
apresentadas pelas crianas, veremos que algumas delas esto em
comunho com as estratgias utilizadas pelo homem ao longo da inveno
dos nmeros. A contagem utilizando os dedos uma das heranas de que
at hoje fazemos uso. Os nmeros em nossa vida. Eles esto no endereo,
nos documentos, nos telefones, etc. como podemos perceber, o nmero
pode exercer vrias funes.
Dentre estas destacamos: Nmero localizador - quando utilizado
parar indicar endereo, latitude ou distncia, por exemplo: moro na
Rua 25 de maro, nmero 15; moro a 13 km de distncia do meu
trabalho.
15
5 Nmero identificador - quando utilizado em datas,
telefones,
pginas, camisas de jogadores. Por exemplo: os cristos comemoram
o Natal no dia 25 de dezembro; o telefone da Fundao Demcrito Rocha
0800-1010; O ala da Seleo Americana de Basquete, o nmero 7. Nmero
ordenador - quando indica o andar de um apartamento, posio obtida
em uma competio, sua posio na escala familiar. Por exemplo: moro no
4 andar; a seleo brasileira foi a quinta colocada na copa do mundo,
na Alemanha. Nmero quantificador - quando indica a
velocidade, remunerao, consumo, altura e etc. Por exemplo: a
velocidade mxima permitida na cidade de 60 km/h; a altura de Pedro
1,10m.
A relao da criana com o nmero. A intimidade que temos hoje, com
os nmeros, s vezes impedem-nos de compreender as dificuldades que a
criana enfrenta quando trava os primeiros contatos com eles. muito
comum, quando comentem erros do tipo: i. ii. dizer a seqncia, fora
de ordem e com repeties: um, dois, dez, cinco, sete, numa contagem
de objetos, contarem o mesmo objeto mais de uma vez ou um cinco
dois trs seis quatro iii. contar como se estivessem nomeando os
objetos. Por exemplo: na contagem acreditam que o trs a terceira
bolinha. sete dois, seis, sete,doze...; deixarem de contar
algum:
6
um
dois
trs
Esses procedimentos deixam transparecer que ainda no existe o
domnio do conceito de nmero. Segundo Piaget (1981) (Visite o site
para
http://www.espirito.org.br/portal/palestras/piaget/piaget-biografia.html,
saber mais sobre Piaget), antes da criana chegar ao raciocnio
abstrato, necessrio ao conhecimento matemtico, ela precisa passar
por experincias concretas que aos poucos lhe proporcionaro
conhecimentos cada vez mais complexos e abstratos. Piaget (1981),
diz ainda que existem trs tipos de conhecimentos: o matemtico, o
fsico e o social. O conhecimento social consiste das convenes
estabelecidas pelas pessoas, de forma arbitrria e que so
socialmente transmitidas, de forma repetida, de gerao em gerao. As
crenas, as datas comemorativas, os nomes das coisas e objetos, so
exemplos de conhecimento social.
O conhecimento fsico o conhecimento dos objetos da natureza, de
suas caractersticas individuais, como peso, tamanho, cor, forma,
caractersticas essas que podem ser notadas a partir da observao
direta de que um objeto. Assim a percepo de que um objeto de uma
determinada cor um conhecimento fsico.
O conhecimento matemtico de natureza bastante diferente da dos
outros dois. Ele no pode ser ensinado e s estruturado pela ao
reflexiva decorrente da manipulao de objetos. Assim, o conhecimento
matemtico no est na percepo dos objetos e sim na relao que uma
pessoa pode estabelecer mentalmente entre eles. Estabelecer
diferenas e semelhanas entre os objetos um exemplo de
7 conhecimento matemtico. Ao compararmos duas fichas, uma azul e
outra vermelha, a diferena entre elas no est nem na ficha azul e
nem na ficha vermelha e sim na comparao que a pessoa venha a fazer
entre esses dois objetos. Se estivermos interessados nas fichas
independentes da sua cor, ento esta diferena (cor), no ser levada
em conta, no existir, para ns.
AZUL
VERMELHA
Ao tomarmos uma ficha vermelha e outra azul, podemos
exemplificar os trs tipos de conhecimentos. Quando dizemos que
temos duas fichas uma azul e uma outra vermelha estamos lidando
como o conhecimento fsico (percepo da cor do objeto); com o
conhecimento social (o nome das cores); e com o conhecimento
matemtico quando dizemos que temos duas fichas e quando dizemos que
elas so diferentes por causa da cor (relao). Conclumos, portanto,
que nmero faz parte do conhecimento matemtico. A criana precisa
pegar, juntar, separar, apertar, amassar objetos slidos, massas,
lquidos para chegar aos conceitos e aes prprios do conhecimento
matemtico. Atravs da manipulao desses materiais sero trabalhados os
sete esquemas mentais bsicos para aprendizagem da matemtica:
incluso, Classificao, sequenciao, comparao, conservao,
correspondncia, ordenao. ESQUEMAS BSICOS PARA A APREDIZAGEM DA
MATEMTICA Segundo Piaget (1981), nmero uma sntese de dois esquemas
mentais bsicos: ordenao e a incluso. Nesta seo caracterizaremos
cada um dos esquemas bsicos para aprendizagem da matemtica. Esses
esquemas devem ser trabalhados com as crianas a fim de que estas
venham a desenvolver o conceito de nmero.
Comparao
8
Semelhanas Brinquedos Cor branca
Diferenas Forma Tamanho
A comparao o ato de examinar para estabelecer diferenas ou
semelhanas. Assim, quando olhamos para um gato ou um cachorro e
percebemos que eles so diferentes por serem animais diferentes
(gato e cachorro) e possuem em comum o fato de serem animais, ns
estamos comparando os dois. Ao olhar para um tringulo grande azul e
outro pequeno e vermelho, a criana que percebe que as duas figuras
possuem em comum as caractersticas de um tringulo (semelhanas), mas
possuem pelo menos duas diferenas: o tamanho (uma grande e o outro
pequeno) e a cor (um azul e o outro vermelho), est estabelecendo
uma comparao entre os objetos.
Os
Blocos
Lgicos
(Visite
o
site
http://www.ensino.net/novaescola/111_abr98/html/matematica.htm)
so um timo recurso para trabalhar: cor, forma, tamanho, espessura.
Entretanto, esses mesmos atributos podem ser trabalhados com outros
materiais como: brinquedos, material escolar, colees de objetos,
etc. muitas das atividades feitas em sala de aulas se prestam ao
desenvolvimento da capacidade de comparar objetos. O processo
mental de comparao importante, pois estabelecendo diferenas e
semelhanas que se chega classificao.
Classificao Classificar separar objetos, pessoas e idias em
categorias de acordo com atributos percebidos por meio de
semelhanas ou diferenas. A classificao deve comear de maneira
espontnea, onde a prpria criana de posse de um grupo de objetos
9 determina o que so semelhantes, e diferentes segundo o seu
critrio de classificao. importante que, inicialmente, as crianas
sejam incentivadas a separar os objetos de acordo com a sua prpria
classificao, sem determinao prvia do professor. Vale ressaltar que
neste tipo de atividade no h respostas certas e nem erradas. Todas
estaro corretas segundo a lgica de quem est classificando. Assim de
posse de: bola, carrinho, boneca, caderno, giz, par de meias,
banana, ma a criana pode perceber que o atributo ser brinquedo pode
servir a carrinho, boneca, bola e no aos demais objetos.
Neste momento, ao professor caber, apenas, a tarefa de
identificar junto ao aluno os critrios que este est empregando para
fazer sua classificao. Num momento posterior o professor poder dar
os atributos e os alunos devero separar os objetos, segundo esses
atributos. Para as atividades de classificao, alm do material
existente na escola, importante que os alunos contribuam, trazendo
suas prprias colees: chaveiros, tampinhas, botes, figurinhas,
carrinhos, sementes etc. Incluso Incluir o ato de abranger,
envolver um conjunto ou idia por outro (a). , em termos matemticos,
a percepo da existncia de subconjuntos de um determinado conjunto.
Incluir um conjunto em outro significa, basicamente, encontrar um
atributo que generalize e o atributo do conjunto que vai ser
includo. Assim se temos um conjunto de gatos e outro de cachorros
esses elementos, formam conjuntos diferentes. Mas, olhando para o
conjunto de todos os animais, os gatos e os cachorros pertencem ao
mesmo conjunto. Portanto, o conjunto dos animais ou, em outras
palavras o conjunto dos gatos est contido ou includo no conjunto
dos animais. O mesmo se aplicando ao conjunto dos cachorros.
Dominar a incluso de classes se faz necessrio, pois para construir
com significado a seqncia numrica a criana deve perceber que
cada
10 nmero, a partir do um, est includo dentro do nmero seguinte.
Quando a criana no percebe tal fato, ela simplesmente nomeia os
nmeros, ou seja, ela os canta e no os conta. Cantando:um dois trs
quatro
Contando:um dois trs quatro
Correspondncia Antes de aprender a contar a criana j pode
comparar duas quantidades. Isto pode ser feito por meio do
emparelhamento de elementos de uma coleo com os da outra. Por
exemplo, para sabermos se existem mais pessoas do que cadeiras em
um determinado local basta que associemos a cada pessoa uma
cadeira. Se sobrarem pessoas sem cadeira porque existem mais
pessoas do que cadeiras, se sobrarem cadeiras porque existem mais
cadeiras do que pessoas. Se, por outro lado, der uma cadeira para
cada pessoa e no sobrarem pessoas nem cadeiras porque existe o
mesmo nmero de cadeiras. Mais pessoas Mais cadeiras Mesma
quantidade
Neste caso, dizemos que existe uma correspondncia um a um entre
os elementos das duas colees ou entre duas colees. A criana deve
tomar conscincia de que o emparelhamento ou a correspondncia um a
um , excetuando-se a contagem, a melhor ferramenta para se comparar
quantidade de elementos de dois conjuntos, ou melhor, para
estabelecer dentre dois conjuntos aquele que possui mais elementos.
Inicialmente comparando quantidades bastante diferentes, a criana
percebe os conceitos de mais e de menos, de muito e de pouco e de
diferente. Estes conceitos precisam ser refinados. Para isso
deve-se
11 coloc-la diante de situaes em que no se possui mais
elementos. Com isso estaremos desenvolvendo na criana sua
capacidade de estabelecer a correspondncia um a um. Sequenciao
Sequenciar fazer suceder, a cada elemento, um outro, sem levar em
conta a ordem linear de grandeza desses elementos. Assim quando
dispomos lado a lado, um objeto grande ao lado de um pequeno
estamos diante de uma seqncia. Uma das atividades bastante comuns
de sequenciao a de colares de contas, neles pode-se sequenciar
utilizando vrios atributos como: tamanho das contas, formato, cor
etc.
A sequenciao um processo muito importante para o desenvolvimento
do conceito de nmero. Alm disso, a sequenciao tambm muito
importante quando da escrita dos numerais, as crianas devem
perceber que o numeral 13 diferente do numeral 31, embora sejam
constitudas dos mesmos algarismos. A diferena resultante da seqncia
em que os algarismos aparecem. Ordenao Ordenao a sequenciao de
objetos segundo uma ordem direta e linear de grandeza, ou seja,
segundo uma ordem crescente ou decrescente. Assim, a ordenao
envolve um conceito matemtico, enquanto a sequenciao no,
necessariamente envolve. Vale ressaltar que a criana comea
ordenando pequenas quantidades de objetos. Somente com a manuteno
de suas estruturas mentais que ela consegue ordenar quantidades
maiores de objetos.
Or Ordem decrescente Conservao
dem
crescente
a percepo de que a quantidade no depende da arrumao, forma ou
posio dos objetos. A passagem do estagio de no-conservao para o de
conservao, um
12 processo gradual, esta mudana , em grande parte, resultante
de aes que as crianas realizam sobre os objetos. Se mostrarmos a
uma criana com menos de 7 anos duas fileiras com igual nmero de
objetos emparelhados e pedirmos que compare ambas as fileiras e
diga em qual delas h mais objetos, ela diria que possuem a mesma
quantidade de objetos. Se espalhssemos os objetos de uma das
fileiras ela agora acreditaria que na fileira dos objetos
espalhados h mais objetos. Mesmo que a ao de espalhar fosse feita
na sua frente. Mesmo que contssemos os objetos ela continuaria
afirmando que na fileira dos objetos espalhados h mais objetos. A
criana nesta idade no desenvolveu a conservao do nmero. Ela ainda
no consegue perceber que o nmero de elementos no sofreu alterao. A
criana encontra-se presa ao conhecimento perceptvel. Quando
colocada diante de um problema em que solues cognitivas e
perceptivas se conflitam, ela toma decises baseadas em indicadores
perceptivos. Problemas semelhantes ocorrem com relao conservao de
massas, rea, volume e peso. Vale ressaltar ainda que a aquisio de
esquemas que permitem perceber a conservao no acontece ao mesmo
tempo pra todas as reas, eles so adquiridos na seqncia a seguir,
conforme as idades: Conservao de: Nmero Massa rea Volume lquido
Peso Volume Slido Idade 56 78 78 7-8 9 -10 11 12
indispensvel conhecer o indispensvel conhecer o momento adequado
para momento adequado para trabalhar trabalhar matemticas,
matemticas, as noes as noes a fim de que a fim de que e educando e
educando
educador educador consigam xito no processo consigam xito no
processo de ensino-aprendizagem. de ensino-aprendizagem.
Consideraes Finais Vimos neste texto que os nmeros
incorporaram-se em nossa vida de tal forma que no mais possvel
prescindir deles, Segundo Piaget (1981), existem trs tipos de
conhecimentos que proporcionam a aprendizagem da matemtica, que so:
o social , o fsico e o matemtico. Para a criana desenvolver o
conhecimento de nmero preciso trabalhar os sete esquemas mentais
bsicos da aprendizagem da matemtica, comparar, classificar,
corresponder, incluir, sequenciar, ordenar e conservar, cada um
13 desses esquemas deve ser trabalhado vrias vezes e de diversas
formas com diferentes tipos de materiais. Observamos tambm que e
importante valorizar o conhecimento numrico, que o aluno traz ao
iniciar a aprendizagem em Matemtica. Os alunos constroem
significados a partir de mltiplas e complexas interaes. Pudemos
perceber que a Matemtica est presente em nossas aes cotidianas,
para o desempenho das nossas funes profissionais, sendo assim, de
suma importncia para o desenvolvimento da sociedade contempornea.
Vimos tambm que o ensino da Matemtica no pode ser mais dissociado
da realidade, devendo o mesmo tornar o aluno apto para atividades
que permitam se relacionar com o mundo a sua volta e o exerccio da
cidadania. Um outro aspecto abordado no texto est ligado questo
histrica do desenvolvimento da Matemtica, para formao dos alunos,
bom desmistificar a Matemtica mostrando que ela uma obra humana,
feita por homens em tempos historicamente datados, e em evoluo
constante. Referncias: Brasil. Parmetros curriculares nacionais de
Matemtica: 1 a 4 srie, Vol 3. Braslia: MEC/SEF, 2001 BRASIL.
Ministrio da Educao e do Desporto/ SEF. Referencial Curricular para
Educao Infantil, Vol 3. Braslia: MEC, 1998. CENTURIN, Marilia.
Nmeros e operaes .So Paulo: Scipione, 1994. KAMII, Constance.
Crianas pequenas continuam reinventando a aritmtica (sries
iniciais): implicaes da Teoria de Piaget / Constance Kamii com
Linda Joseph; trad. Vincius Figueira. 2. ed. Porto Alegre: Artmed,
2005. KAMII, Constance. A Criana e o Nmero . So Paulo: Papirus,
1995. NETO, E. R. Didtica da Matemtica. 11a ed. So Paulo : Editora
Atica.2001 PIRES, Magna Natalia Marin, Fundamentos Tericos do
Pensamento Matemtico. Curitiba: IESD,2006.
14 RANGEL,A.C.S. Educao Matemtica e a construo do nmero pela
criana ; uma experincia em diferentes contextos scio-econmicos.
Porto Alegre: Artmed Editora ,, 1992 SAIZ, C. P. I. Didtica da
Matemtica : reimpresso.Porto Alegre: Artmed Editora , 2001.
reflexes psicopedaggicas. 2
SMOLE, Ktia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades bsicas para aprender Matemtica. / Ktia Stocco Smole e
Maria Ignez Diniz. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. TOLEDO , M.
e TOLEDO M, Didtica da Matemtica : como dois e dois : a construo da
matemtica. So Paulo ; FDT ,1997.