A CONSIDERAÇÃO DE DEFORMAÇÕES IMPOSTAS NO PROJECTO DE TANQUES Óscar Ferreira Vieira Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Fernando Manuel Fernandes Simões Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Camara Vogais: Professor António José da Silva Costa Outubro de 2011
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A CONSIDERAÇÃO DE DEFORMAÇÕES IMPOSTAS NO PROJECTO DE … · i Resumo As estruturas de betão armado estão sujeitas a deformações impostas quando expostas à acção do meio
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A CONSIDERAÇÃO DE DEFORMAÇÕES IMPOSTAS NO
PROJECTO DE TANQUES
Óscar Ferreira Vieira
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor Fernando Manuel Fernandes Simões
Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Camara
Vogais: Professor António José da Silva Costa
Outubro de 2011
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Resumo
As estruturas de betão armado estão sujeitas a deformações impostas quando expostas à acção do
meio ambiente. Estas deformações ao serem restringidas pelas condições de apoio ou de ligação a
outros elementos estruturais, como no caso dos reservatórios, induzem tensões axiais. Este trabalho
tem como finalidade estudar os efeitos das deformações impostas nas paredes de reservatórios.
Como se sabe na construção de um tanque as fundações são betonadas em primeiro lugar, e só
numa fase seguinte as paredes. As fundações ficam com uma face em contacto com o terreno, que
constitui um ambiente húmido e impede o contacto directo do betão com o ambiente exterior. Por
outro lado, quando a parede é betonada o betão da fundação já retraiu parcialmente, em especial a
sua parcela endógena. Estes dois factos juntamente com o facto da rigidez da fundação ser em geral
maior que a da parede originam uma retracção a longo prazo, diferencial e restringida parcialmente
entre a parede e a fundação. O betão da parede fica, então, sujeito a tensões de tracção horizontais,
que se podem sobrepor aos efeitos das cargas, e que poderão provocar fendas verticais. Estas
fendas devem ser convenientemente controladas com armaduras horizontais junto às faces do muro.
Refira-se que nas estruturas de betão estrutural a fendilhação é quase inevitável ou, pelo menos
difícil de assegurar a não formação de fendas, daí a necessidade de tomar medidas para controlar a
sua abertura, de modo a garantir condições de funcionalidade adequadas em serviço, em particular
em tanques.
Esta dissertação tem como objectivo avaliar as quantidades de armaduras nas paredes dos
reservatórios de modo a assegurarem características aceitáveis, não só esteticamente, mas
principalmente de garantia de uma estanquidade adequada. Para tal apresentam-se e aprofundam-se
as mais recentes disposições regulamentares para ter em consideração estes efeitos e os critérios
propostos para dimensionamento estrutural. Analisa-se a aplicação a um tanque de uma ETAR dos
princípios gerais de dimensionamento tendo em conta as deformações impostas, na qual se discutem
as diferenças para o caso usual de uma deformação impostas a actuar num elemento restringido nas
extremidades.
Palavras-chave: Deformações impostas, Restrição ao longo de um bordo, Sobreposição de
efeitos, Tanques, Fendilhação, Estanquidade
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Abstract
Concrete structures are subjected to imposed deformations when exposed to the action of the
environment. The restriction of these deformations by conditions of support or connection to other
structural elements, as in the case of reservoirs, induces axial stress. This work aims to study the
effects of the strain imposed on tank walls by these deformations.
It is known that during the construction process of a tank the foundations are concreted first, with the
walls coming at later phase. The foundations are left with one side in contact with the ground,
providing moisture and preventing the direct contact of concrete with the outside environment. On the
other hand, when the walls are concreted, the foundations have already partially shrunk, specifically in
their endogenous parts. These two facts, together with the fact that the stiffness of the foundations is
generally greater than that of the walls, leads to a long-term shrinkage, differential and partially
restricted between the walls and the foundations. The concrete in the walls is then subject to
horizontal tensile stresses that can lead to superposition of load effects, which can cause vertical
cracking. These cracks should be properly controlled with horizontal reinforcement along the sides of
the walls.
Note that in structural concrete constructions cracking is almost inevitable and very difficult to prevent,
hence the need to take measures to control its formation, in order to ensure appropriate service
functionality, particularly in tanks.
This paper aims to assess the amount of reinforcement to be used in the walls of the reservoirs in
order to ensure acceptable characteristics, not only aesthetically, but in first instance to guarantee an
adequate permeability control. For this purpose we present and analyze the latest regulations to take
into account these effects and the proposed criteria for structural design. An analysis of the general
principles of design, taking into account imposed deformations is applied to a tank at a wastewater
treatment plant. The results present the differences to the usual case of imposed deformations acting
on an element that is restrained at its ends.
Keywords: Imposed deformations, Restrained along one edge, Superposition of effects, Tanks,
Cracking, Permeability control
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Agradecimentos
Agradeço ao professor José câmara, pela sua orientação, disponibilidade que sempre demonstrou
para tirar todas as dúvidas que foram surgindo no decorrer do trabalho e várias revisões do texto, que
foram contribuído para a consolidação dos meus conhecimentos e do texto final do documento.
Agradeço a todos os que me ajudaram na elaboração deste trabalho nomeadamente o Bruno Santos,
Alexandre Teixeira e o João Pereira.
Agradeço aos meus pais, pelo apoio prestado em todo o percurso escolar e, em particular, nesta
fase, sendo exemplos em dedicação e amor dado aos filhos.
Dedico este trabalho ao meu pai, um exemplo a todos os níveis. A vida prega-nos partidas que nunca
imaginamos. Com a tua enorme força, não tenho dúvidas que vais conseguir passar por este desafio
que a vida te pôs a prova. Conta comigo para dar sempre o meu melhor.
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Índice
I. Introdução ......................................................................................................................................... 1
1.1. Enquadramento do tema ............................................................................................................. 1
VIII. Bibliografia ................................................................................................................................. 134
IX. Anexos ........................................................................................................................................... 138
Anexo 1 – Cálculo da extensão de fluência ..................................................................................... 138
Anexo 2 – Cálculo da extensão de retracção .................................................................................. 140
Anexo 3 – Formulação do controlo indirecto da fendilhação ......................................................... 142
Anexo 4 – Cimentos adequados para os reservatórios [16] ........................................................... 145
Anexo 5 – Tipos de cimentos, composição e classes de resistência [18] ........................................ 146
Tabela IV.2– Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [38] .................... 67
Tabela IV.3 – Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira
[48] para uma parede encastrada na base e com espessura de 0,30 m .............................................. 69
Tabela IV.4 – Valores de T1 (⁰C) para diferentes classes de resistência de betão e para diferentes
espessuras de cofragem metálica e de madeira (mm). Neste quadro assume-se que foi usado o
CEM I ..................................................................................................................................................... 77
Tabela V.1 – Coeficientes de redução de esforço axial de fendilhação para uma deformação imposta
Tabela VI.5 – Espaçamento máximo de fendas para um esforço normal e uma armadura típica para o
caso em análise ................................................................................................................................... 116
Tabela VI.6– Armaduras mínimas para os dois tipos de espessura da parede ................................. 121
Tabela VI.7– Abertura média, característica e máxima de fendas para as armaduras do estado limite
último ................................................................................................................................................... 125
Tabela VI.8 – Armaduras necessárias de moda a que a abertura de fendas seja compatível com a
classe de estanquidade 1 do EC2 – parte 3 [25] ................................................................................ 126
Tabela VI.9– Comparação entre o controlo directo e indirecto de abertura de fendas ...................... 127
Tabela VI.10– Comparação entre o controlo directo e controlo indirecto de abertura de fendas ...... 128
Tabela VII.1 – Valores de Kh na expressão VII.16 .............................................................................. 140
Tabela VII.2 – Diâmetro máximo em função da tensão nas armaduras para uma abertura de fendas
de 0,3 mm. Taxa de armadura mínima para um dado valor de 𝝈𝒔 que cumpre a condição 𝝈𝒔 > 𝝈𝒔𝒓.
Ec,28 - Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias
Ec,ajust - Módulo de elasticidade ajustado do betão
Ec,eff - Módulo de elasticidade efectivo do betão
Es - Módulo de elasticidade do aço
F - Força
fcd - Tensão resistente de compressão do betão (de segurança)
fct - Tensão resistente de tracção do betão
fct,ef - Tensão resistente de tracção do betão na área efectiva(=fctm)
fctm - Tensão resistente média de tracção do betão
fck - Tensão resistente característica de compressão do betão
fcm - Tensão resistente média de compressão do betão
fy - Tensão resistente de cedência do aço
fyd - Tensão resistente de cedência do aço (de segurança)
fyk - Tensão resistente característica de cedência do aço
h - Altura do elemento; espessura
h0 - Espessura equivalente
I - Inércia
K - Rigidez
L - Comprimento do elemento
ℓ0 - Comprimento de transmissão de força entre a armadura e o betão em tracção
n - Relação entre os módulos de elasticidade Es/Ec
N - Esforço axial
xviii
Ncr - Esforço axial de fendilhação (ou Nr)
Ncr,n - Esforço axial de fendilhação da fenda n (ou Nr,n)
Ncs - Esforço axial devido à retracção
Ndi - Esforço axial devido à deformação imposta
Nserv - Esforço axial devido às cargas aplicadas em serviço
Ny - Esforço axial de cedência
NΔt - Esforço axial devido a uma variação de temperatura
M - Momento flector
Mdi - Momento flector devido à deformação imposta
My - Momento flector de cedência
Mu - Momento flector último
Mcr - Momento flector de fendilhação
Mserv - Momento flector devido às cargas aplicadas em serviço
RH - Humidade relativa
s - Deslizamento; Escorregamento
sr - Espaçamento entre fendas
srm - Espaçamento médio entre fendas
sr,max - Espaçamento máxima entre fendas
sr,min - Espaçamento mínimo entre fendas
sc - Sobrecarga
t - tempo
T - Temperatura
u - Perimetro
Wc - Módulo de flexão
w - Abertura de fendas
wk - Abertura de fendas característica
wm - Abertura média de fenda
wmax - Abertura máxima de fendas
x - Distância; coordenada
y - Coordenada
z - Braço; coordenada
1/r - Curvatura
1/rm - Curvatura média
Alfabeto grego
β - Coef. multiplicativo; parâmetro de busca; coef. de redução de momento de fend.
Δ - Variação
χ - Curvatura; coeficiente de envelhecimento do betão
xix
ε - Extensão
εc - Extensão no betão
εca - Extensão de retracção endógena
εcd - Extensão de retracção por secagem
εcs - Extensão total de retracção
εcm - Extensão média no betão entre fendas
εsm - Extensão média nas armaduras
εff - Extensão de fim do processo de formação de fendas
εΔt - Extensão de uma variação de temperatura
εimp - Extensão imposta
εs - Extensão na armadura
εyk - Extensão característica de cedência do aço
ε0 - Extensão na linha média
ϕ - Diâmetro dos varões
φ - Coeficiente de fluência
γ - Coeficiente de segurança; factor de orientação de localização da extensão
ν - Coeficiente de poisson
ρ - Percentagem geométrica de armadura
ρmin - Percentagem mínima de armadura
ρef - Percentagem de armadura na área efectiva
σ - Tensão
σc - Tensão no betão
σs - Tensão na armadura
ζ - Coeficiente de repartição
ξcs - Coeficiente de redução para a retracção
ξΔt - Coeficiente de redução para variação de temperatura
τb - Tensão de aderência aço-betão
τbm - Tensão de aderência média aço-betão
Índices Numéricos
I - Estado de secção não fendilhada
II - Estado de secção fendilhada
1 - Estado de secção não fendilhada; Coeficiente
2 - Estado de secção fendilhada; Coeficiente
xx
1
I. Introdução
1.1. Enquadramento do tema
Como é conhecido para as estruturas, em geral, e em particular para as de betão, as verificações de
segurança à rotura, que garantem uma probabilidade de colapso quase nula, têm de ser
complementadas com as verificações de segurança relativas ao comportamento em serviço. Um
dimensionamento estrutural, com avaliação das quantidades de armaduras, verificando apenas a
segurança à rotura, pode conduzir a deficiências no comportamento em serviço, com mais acuidade
em estruturas para as quais as exigências de funcionalidade dependam da limitação da abertura de
fendas. Assim, será sempre necessário, mas em particular nestes casos, avaliar o comportamento
em serviço através das verificações aos estados limite utilização, e, se for caso disso, condicionar as
disposições de dimensionamento, geometria ou/e quantidades de armadura, nesse contexto.
Muitos dos problemas que as estruturas de betão apresentam em serviço prendem-se com uma má
quantificação das deformações impostas (acções indirectas) e da avaliação dos seus efeitos nas
estruturas. Uma vez que as deformações impostas não podem ser responsáveis pelo colapso duma
estrutura de betão armado, a menos de situações com relevância dos efeitos de 2ª ordem, as
consequências, de uma má concepção estrutural para este tipo de acções ou de uma avaliação
menos correcta dos seus efeitos, centram-se, sobretudo, no comportamento em serviço.
O comportamento próximo da rotura das estruturas com alguma ductilidade aproxima-se ao da
formação de um mecanismo e, portanto, os efeitos de deformações impostas (variação de
temperatura, retracção do betão, assentamentos diferenciais) não geram, nessa fase, esforços
internos mas sim deformações e/ou rotações nalguns elementos estruturais que exigem capacidade
de deformação, ou seja, ductilidade.
Torna-se necessário esclarecer bem, neste âmbito, a diferença da resposta estrutural para acções
directas e indirectas. As acções directas são, tipicamente as cargas verticais ou horizontais (acção do
vento), que solicitam a estrutura através de forças, gerando necessariamente, para garantir o
equilíbrio daquelas, esforços na estrutura. O valor global destes esforços depende apenas das
acções aplicadas, sendo independente do material estrutural ou das suas características de
comportamento, que influenciam a sua distribuição pelos elementos estruturais. Já as deformações
impostas dependem do tipo de material (através do módulo de elasticidade, ou mais genericamente
da relação tensão-extensão), da sua geometria (inércia) e do seu estado (variação da rigidez através
da fendilhação no betão armado). Num elemento de betão armado solicitado por uma deformação
imposta, a abertura de fendas e /ou cedência das armaduras, com consequente perda de rigidez leva
a uma diminuição global dos esforço na peça, que tendem a desaparecer próximo da rotura.
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Assim, uma vez que as tensões induzidas pelas acções indirectas dependem da rigidez e que os
esforços devido às acções directas tendem a fendilhar as peças de betão armado, pode também
concluir-se que os esforços provocados pelas acções indirectas podem ser inferiores quando se
verifica, por exemplo, uma sobreposição de efeitos destes dois tipos de acções.
A adopção de juntas é sempre uma hipótese que se coloca quando, por efeito de acções indirectas,
se prevêem riscos de ocorrerem fendas pois torna a estrutura menos hiperestática, como ilustrado na
figura I.1. De facto a colocação das juntas, neste caso dos muros, faz com que se diminua de forma
significativa as fendas no elemento estrutural, sendo de notar que, em certa medida, as juntas
substituem as potenciais fendas transversais.
Figura I-1 – Influencia do sistema estático e das juntas no risco de fissuração [27]
No entanto, há várias razões que apontam para que a adopção de juntas estruturais não seja a
solução conceptual mais eficiente para resolver a necessidade de controlar as aberturas de fendas no
betão estrutural e que a seguir se analisam.
O principal motivo, no caso dos reservatórios, está relacionado com o facto de as juntas estruturais
serem reconhecidamente um ponto fraco em termos da garantia da estanquidade, com risco de
menor eficácia (ver figura I.2), e/ou durabilidade pois o tempo de vida útil dos elementos da junta é,
em geral, inferior à prevista para a estrutura dos tanques. Por exemplo no caso de uma ETAR, seria
de prever que fossem necessárias interrupções no normal funcionamento de alguns órgãos, ao longo
do tempo, para efectuar a sua manutenção/reparação, com os inevitáveis prejuízos em termos do
normal desempenho da infra-estrutura no seu conjunto.
Outro motivo assenta no próprio comportamento do betão estrutural. Sendo a retracção uma
característica intrínseca do material, só anulável nos casos em que se garante a permanente imersão
do mesmo, o seu valor não depende do comprimento total do elemento que se betona, apesar dos
seus efeitos serem menores em paredes menos compridas, como acima ilustrado.
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Os problemas que a execução deste tipo de juntas gera no planeamento e execução das obras é,
também, um aspecto importante a considerar na fase de concepção. Por um lado, o faseamento da
obra fica condicionado e, por outro lado, a preparação da junta para uma correcta e eficiente
execução é exigente e requer um trabalho particularmente cuidado.
Assim, a adopção de juntas de dilatação deve ser considerada em situações particulares, como entre
tanques ou outros elementos com variações de geometria significativas, mas tendo sempre presente
a necessidade de medidas de controlo da fendilhação ao nível dos critérios de dimensionamento do
betão estrutural. Aliás, como nas estruturas em geral, o princípio da concepção estrutural de adoptar
tanta continuidade quanto razoável é hoje praticamente consensual.
Neste enquadramento o EC2 – parte 3 [25] aponta para duas linhas gerais de concepção para o
dimensionamento das paredes, que dependem das condições de serviço e do grau de exigência
admissível. Estas opções são:
(a) cálculo para uma restrição total. Dimensionamento considerando as paredes contínuas,
sem juntas de dilatação, sendo a abertura e o espaçamento das fendas controladas de
acordo com as recomendações técnicas conhecidas, em particular, a secção 6 e 7.3 do EC2
[24].
(b) cálculo para uma liberdade de movimento. Dimensionamento considerando juntas, que
libertam parcialmente as dilatações das paredes, sendo as deformações absorvidas em parte
pelas juntas, e permitindo, desta forma, moderar a quantidade da armadura necessária para
o controlo das aberturas de fendas.
As opções acima referidas implicam, a nível de dimensionamento, as indicações da tabela I.1
apresentada pelo EC2 – parte 3 [25], no anexo N e apresentada seguidamente.
Figura I-2 – Infiltração de água numa junta deficiente
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Opção Método de controlo Espaçamento das juntas de
dilatação Armaduras
(a) Continuidade – restrição
total
Em geral não existem juntas, embora no caso em que se preveja uma deformação imposta considerável (temperatura ou retracção) possa ser desejavel a existencia de juntas bastante espaçadas.
Armaduras de acordo com os capitulos 6 e 7.3 do EC2
(b) Juntas de dilatação próxima – restrição
mínima
Juntas com um espaçamento no máximo de 5 m ou de 1,5 vezes a altura da parede
Armaduras de acordo com capitulo 6 mas não inferiores ao minimo dado em 9.6.2 a
9.6.4 do EC2
Tabela I.1 – Projecto das juntas para controlo da fendilhação [23]
Segundo este anexo temos um espaçamento maximo de 5,0 m ou de 1,5 vezes a altura da parede
para as juntas (ver figura I.3).
Pensa-se que, no essencial, como atrás referido, a utilização de juntas faz sentido quando existem
transições geométricas bruscas ou assimetrias de rigidez. Também a sua utilização se deve ponderar
quando existem partes da estrutura com diferentes condições de fundação de modo a minorar efeitos
previsíveis de assentamentos diferenciais.
Se a solução adoptada for o recurso a juntas e tratando-se de estruturas como a que será
considerada no exemplo do capítulo IV, de tanques, é necessário prevenir as possíveis fugas de
líquido, como as ilustradas na figura I.2. Uma adequada escolha e boa aplicação dos conhecidos
perfis de Waterstop (ver figura I.4) pode ser uma boa opção. Estes são compostos de resinas de
cloreto de polivinil de alta qualidade e plastificantes seleccionados que lhe conferem a maleabilidade
necessária para assegurar a aderência eficaz aos elementos de betão, conforme explicado por
Borges [8].
Figura I-3 – Distancia máxima entre juntas de dilatação segundo o EC2-parte 3 [23]
5
É importante distinguir as juntas estruturais, que temos estado a descrever, das de construção. As
primeiras são referidas no EC2 parte 3 [25], e destinam-se a permitir o movimento relativo entre os
elementos ligados (devido à acção térmica uniforme ou à retracção, como explicado), pelo que as
armaduras são interrompidas. Pelo contrário, as armaduras nas juntas de construção não são
interrompidas, pois é suposto que estas não comprometam a continuidade entres os elementos
estruturais.
As juntas de construção são inevitáveis nas estruturas e, na betonagem de grandes volumes e/ou
comprimentos de betão. Minoram os efeitos da retracção endógena e do calor de hidratação libertado
pelo betão jovem. São indicados por Montoya [41], valores 7,5 m para os comprimentos de parede
entre juntas (figura I.5), nos quais também se propõe a utilização de vedantes de borracha.
Tipo de depósito Separação entre juntas
Dilatação Construção
Enterrados, piscinas
25-30 m 7,5 m
Apoiados, pouco expostos
15-25 m 7,5 m
Apoiados, muito expostos
10-15 m 5-7 m
Figura I-4 – Pormenor de uma junta Waterstop e sua colocação em obra
Figura I-5 – Juntas de construção e dilatação indicadas por Montoya [43]
6
1.2. Faseamento construtivo
A adopção de um faseamento construtivo (com juntas de construção) concebido de modo a minimizar
as restrições às deformações livres iniciais permite diminuir os riscos de fendilhação do betão. O tipo
de faseamento construtivo a que se refere dever-se-á basear num processo sequencial e, no caso de
paredes por exemplo, com comprimentos limitados de betonagem dos vários troços das paredes,
diminuindo-se o efeito restritivo da laje de fundo (ver figura I.6)
Como se pode ver pela figura I.6, para se evitar a fendilhação, cada etapa de betonagem deve seguir
o faseamento previsto. Desta forma reduz-se a retracção diferencial entre as etapas de construção
e/ou o grau de restrição contrariando a eventual fendilhação. Quanto maior for o tempo decorrido
entre a construção de duas zonas da estrutura que imponham uma restrição relativa à deformação
livre, maior o efeito estrutural (risco de fendilhação e dimensão da abertura de fenda).
1.3. Cuidados especiais na pormenorização e dimensionamento de
reservatórios
Ao definir a geometria de um reservatório há que considerar alguns aspectos específicos, como por
exemplo, nas ligações monolíticas de ligação parede – laje de fundo adoptar esquadros (ver figura
I.7). Estes esquadros para além de terem a função de dificultar a deposição de resíduos e favorecer
as operações de limpeza, têm um importante papel estrutural – a zona de ligação fica mais rígida e
permite uma mais suave transmissão de tensões naquela zona e uma eventual fendilhação mais
distribuída (contrariando a abertura de uma fenda maior localizada no canto).
Figura I-6 – Avaliação do risco de fissuração de um muro muito longo, em função das escolhas das fases de
betonagem [27]
7
No caso da susceptibilidade do terreno de fundação provocar assentamentos diferenciais
significativos devem adoptar-se juntas estanques na laje de fundo de modo a que estas possam
acomodar esses deslocamentos.
Quando o reservatório é térreo é necessário analisar a situação de água existente no terreno
envolvente e as suas eventuais acções sob a laje de fundo, devendo ser previsto um sistema de
drenagem adequado. Assim, se houver condições para se gerar um nível freático estável no terreno a
laje de fundo, numa situação de depósito vazio, fica sujeita a uma pressão hidrostática “de baixo para
cima”. Deve, então, verificar-se desde logo se o peso da estrutura é superior ao efeito de impulsão da
água, para evitar o fenómeno geralmente designado por “flutuação”. Esta verificação pode conduzir à
necessidade de aumentar a espessura da laje de fundo ou considerar a extensão para o exterior das
paredes, de forma a tirar proveito do peso do terreno sobrejacente (ver figura I.8). Em alternativa
haveria que prevêr um sistema de drenagem em funcionamento contínuo para baixar o nível da
pressão da água exterior.
Figura I-8 – Efeito do nível freático exterior
Por outro lado, em caso de eventual acumulação sazonal de água nos muros e/ou laje de fundo é
usual prever sistemas de drenagem adaptados às situações. Com efeito, a compactação das
camadas laterais de terreno não é em geral suficiente para evitar a acumulação de água de origem
pluvial na envolvente do depósito.
Figura I-7 – Exemplo de esquadro na ligação parede á laje de fundo
8
Em qualquer caso há que estimar as acções a considerar no dimensionamento e avaliar quantidades
de armadura necessárias, que podem ser significativas para controlo eficaz da fendilhação do betão.
Para além do controlo da abertura de fendas, pode-se recorrer a uma protecção epoxídica nas
superfícies de betão. Por exemplo nos tanques de ETARes, é favorável a pintura com uma tinta
epoxídica que ajuda na impermeabilização e atenua os efeitos da fendilhação.
No caso de paredes sujeitas a esforços significativos, e se pretender nomeadamente garantir a
verificação das condições de não fendilhação (considerando o critério de estanquidade 2 ou 3 do EC2
– parte 3 [25] ou tabela III-2), é possível recorrer a soluções pré-esforçadas (ver figura I.9). De entre
as variantes possíveis, destaca-se o recurso a cabos horizontais e/ou verticais colocados no interior
da parede, para tanques rectangulares, e a cabos helicoidais contínuos ou independentes, no caso
de depósitos circulares, dispostos exteriormente á parede e ao longo de toda a sua altura.
Com o objectivo de reduzir os efeitos das deformações impostas, é possível, nos depósitos
enterrados ou ao nível do solo, colocar uma camada de terra sobre a estrutura de cobertura com o
objectivo de proteger esta última de gradientes térmicos (embora à custa duma sobrecarga vertical
que deve, nesse caso, ser considerada no projecto).
Em reservatórios com grandes dimensões, é frequente adoptar uma ligação articulada entre as
paredes e o elemento de cobertura, ou seja, sem transmissão do momento flector (ver figura I.10).
Neste caso, a ligação é assegurada com uma junta deslizante que permite movimentos horizontais
relativos, de forma a evitar que a retracção e acção térmica uniforme induzam esforços transversos
na ligação ás paredes. Em relação a este aspecto, refira-se que mesmo em juntas deslizantes o
esforço transverso transmitido às paredes não é exactamente nulo devido ao atrito que se desenvolve
na ligação.
Figura I-9 – Tanques com soluções pré-esforçadas (cabos horizontais e verticais).
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1.4. Organização e Objectivos do Estudo
Este trabalho tem como objectivo estudar os efeitos das deformações impostas nas paredes de
reservatórios. As dimensões dos tanques considerados como base do estudo foram definidas com
base nas dimensões de uma proposta de concurso dos tanques de decantação primária da ETAR de
Alcântara.
Como já se referiu as estruturas de betão estão sujeitas a deformações impostas por efeito do
comportamento do betão ao longo do tempo e das acções do meio ambiente, como as variações de
temperatura. Estas deformações ao serem restringidas pelas ligações ao exterior, e entre os
diferentes elementos estruturais, induzem tensões axiais de tracção e/ou flexão que podem fendilhar
o betão. As aberturas dessas fendas têm de ser limitadas de modo a permitir um comportamento
adequado em serviço, em particular garantido condições de funcionamento adequadas. Para limitar
eficientemente as aberturas de fendas, há que adoptar quantidades de armadura adequadas, como
será discutido.
A regulamentação sugere que se use uma armadura mínima, que poderá ser insuficiente como se
verá, nomeadamente quando as exigências funcionais são elevadas.
Também no cálculo da abertura de fendas, para a situação de uma parede restringida na base
(parede dos reservatórios) existem várias formas de abordar o problema, as quais serão discutidas.
Para esta situação bastante corrente parece não existir total consenso na comunidade científica e
técnica, pelo que, neste trabalho, se dá um contributo para clarificação desta problemática.
No presente capítulo, é apresentado o enquadramento geral do trabalho, referindo-se a necessidade
de verificar com mais cuidado o estado limite de serviço, ao nível dos critérios e modelos de cálculo.
Apresenta-se, também, neste capítulo o tipo de acções a que este tipo de estruturas pode ser
submetido e refere-se o papel das juntas estruturais na concepção estrutural.
Figura I-10 – Exemplo de uma junta entre a cobertura e a parede [40]
10
No capítulo II apresentam-se e analisam-se as características dos materiais em estudo, o aço e
betão. Também neste capítulo se descrevem as acções indirectas no caso de uma parede de
reservatório e quantificam-se os valores de extensão de retracção do betão e do módulo de
elasticidade ajustado como definidos no EC2 [24]. Destaca-se, ainda neste capítulo, a avaliação da
forma que permite definir o espaço temporal na qual a combinação conjunta da acção da extensão de
retracção e do módulo de elasticidade ajustado, que tem em conta a fluência, pode gerar efeitos mais
desfavoráveis. Esta análise é desenvolvida como se tratasse de um tirante, no entanto dará boas
indicações sobre o espaço temporal onde são de prever efeitos mais significados nas estruturas em
geral.
No capítulo III analisa-se o comportamento do betão estrutural quando solicitado por vários tipos de
acções, directas e deformações impostas (internas e externas). Também neste capítulo, apresentam-
se as formulações propostas pelo EC2 [24] para a definição de armadura mínima, avaliação de
abertura de fendas e espaçamento máximo de fendas. Neste capítulo estuda-se, ainda, as
propriedades essenciais para assegurar características de funcionalidade adequadas às paredes dos
reservatórios e a regulamentação em causa, analisando-se em particular o regulamento específico
para o caso de reservatórios EC 2 - para 3 [25].
No capítulo IV analisam-se as características principais da resposta das paredes laterais face às
deformações impostas, com base em estudos recentemente realizados. Também neste capítulo se
apresenta o anexo M do EC 2 – parte 3 [25], em que as deformações impostas ao longo de um bordo
são tratadas de uma maneira diferente do habitual.
No capítulo V estudam-se situações de sobreposição dos efeitos de flexão gerados por cargas
aplicadas, com efeitos axiais provocados pelas deformações impostas. Apresentam-se também
algumas recomendações propostas para o dimensionamento de estruturas de betão armado face às
deformações impostas.
No capítulo VI apresenta-se o caso de estudo, com geometria baseada nos reservatórios de uma
ETAR, e nos quais são analisados os efeitos das deformações impostas nas paredes desses
reservatórios. Nestas paredes ocorre uma sobreposição de efeitos que será analisada de acordo com
as diferentes metodologias de dimensionamento.
No capítulo VII apresentam-se as considerações finais deste trabalho.
11
II. Caracterização do comportamento dos materiais
A análise do comportamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado em condições de serviço
e as regras de dimensionamento aos estados limites de utilização exigem a avaliação das
propriedades dos materiais constituintes e a compreensão da forma como contribuem para a resposta
estrutural às acções de serviço. São abordados, nos parágrafos seguintes, as formas de
quantificação das características dos materiais, em particular, aquelas que mais se enquadram no
presente tema da tese.
2.1. Betão
O comportamento do betão pode ser expresso pela relação constitutiva extensão - tensão. Esta
relação, segundo o Model Code 90 [19], apresenta o comportamento representado na figura II.1.
Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um material que
possui uma boa resistência à compressão e uma baixa resistência à tracção (da ordem de 1/10 a
1/15 da resistência à compressão). Para cargas de carácter permanente, é comum não ter tensões
superiores a valores da ordem de 40% da capacidade resistente à compressão do material, o que
significa que, geralmente, é possível assumir um comportamento elástico-linear para esta gama de
acções. O EC2 [24] recomenda que para as acções quase permanentes a tensão deva ser limitada a
0,45𝑓𝑐𝑘 para considerar a fluência como linear. A partir deste valor começa-se a observar a não
linearidade nas deformações diferidas no tempo devido a fluência pelo que, em princípio, se deve
evitar esse nível de tensão. Também é possível assumir um comportamento elástico linear quando o
material é mobilizado por tracção, desde que não se ultrapasse a resistência á tracção. Para além
deste valor pode ser considerado, com controlo de extensões, um ramo descendente como
representado na figura II.1.
2 a 5 MPa 20 a 80 MPa
Figura II-1 – Diagrama de tensão-extensão do betão [19]
12
Como a resistência à compressão do betão é a sua característica mais importante, este é
normalmente classificado tendo em conta esse valor, sendo a resistência à tracção obtida em função
daquela. O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção, parâmetro importante na análise do
comportamento em serviço, pode ser estimado, segundo o EC 2 [24], pela expressão (válida para
betões de classes baixa a media, ≤ C50/60):
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,30 × 𝑓𝑐𝑘2/3
, 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 (II.1)
Refira-se que segundo o EC 2 [24] a tensão de compressão no betão em serviço deve ser limitada,
para além do valor atrás mencionado para as combinações de acções permanentes, à tensão
compressão máxima a 0,6𝑓𝑐𝑘 para as combinações características de acções, com o objectivo de
evitar alguma micro-fendilhação ou mesmo o aparecimento de fendas longitudinais.
2.2. Aço
O comportamento do aço é bastante mais simples. Por um lado, responde de forma semelhante à
compressão e à tracção e, por outro lado, o comportamento do aço não é, praticamente, influenciado
por processos diferidos no tempo, muito embora possa se deteriorar por corrosão, se não for
convenientemente protegido.
Na figura II.2, mostra-se o diagrama “tipo” de extensão-tensão do aço. Refira-se ainda que, para
verificação do comportamento em serviço, se pode utilizar um diagrama elasto-plástico, semelhante
ao de cálculo aos E. L. Últimos, apresentada na figura, mas com início do comportamento plástico
para 𝜍𝑠 = 𝑓𝑦𝑘 .
As tensões de tracção na armadura devem ser limitadas a fim de evitar as deformações não elásticas
assim como níveis de fendilhação ou de deformação inaceitáveis. Neste contexto, e para além de
outras verificações mais explícitas, é imposto que, para a combinação característica de acções, a
tensão de tracção na armadura não deverá exceder 0,8𝑓𝑦𝑘 . Nos casos em que a tensão é devida a
uma deformação imposta, a tensão de tracção poderá se aproximar a 𝑓𝑦𝑘 .
Figura II-2 - Diagrama de tensão-extensão do aço [4]
13
2.3. Caracterização das acções indirectas no comportamento dos materiais
2.3.1 Retracção
A retracção é um fenómeno caracterizado pela diminuição gradual de volume do betão ao longo do
processo de endurecimento, na ausência de cargas aplicadas medido a temperatura constante. Essa
redução que acontece quer devido à perda de água para o exterior, quer devido a reacções químicas
dos seus componentes, denomina-se de retracção hídrica, que como veremos no subcapítulo
seguinte, é composta por duas parcelas (parcelas de secagem e endógena). De qualquer forma é
usual considerar outras componentes do fenómeno que ocorrem em simultâneo, identificadas pelas
seguintes denominações: retracção plástica, retracção térmica e retracção de carbonatação que
serão analisadas seguidamente, de acordo com [21, 29, 37, 47, 48].
A retracção plástica é a retracção antes da presa, por vezes denominada retracção capilar. Esta é
devida à velocidade de evaporação da água da superfície livre do betão fresco, ser superior à água
que migra do interior do betão para a superfície. Pode provocar uma fendilhação superficial e
consequentemente prejudicar a durabilidade futura da estrutura. É devida a ela, que por vezes, se
observa em obra algumas horas, ou dias após a betonagem, uma fendilhação irregular. Para diminuir
o seu efeito, deve assegurar-se uma boa protecção para diminuir a velocidade de evaporação, quer
aplicando produtos de cura, quer cobrindo o betão com uma camada impermeável, o mais cedo
possível, após a betonagem.
A retracção térmica tem em conta o arrefecimento do betão devido ao efeito das reacções químicas
de hidratação do cimento, que são exotérmicas e libertam calor. No fim da presa (1 a 2 dias), as
reacções são mais lentas e a temperatura baixa progressivamente graças à dissipação de calor para
o exterior através das cofragens e da superfície livre. A retracção térmica é o efeito da contracção do
betão que acompanha este arrefecimento gradual (ver figura II.3). Por outro lado, o gradiente térmico
entre o interior da peça de betão e o exterior gera tensões de tracção que podem provocar a
ocorrência de fendilhação superficial como se pode ver na figura II.3. Depende da temperatura do
meio ambiente exterior, da natureza do material da cofragem, da dimensão do elemento e da
dosagem do cimento utilizado. Com o aumento da dosagem do cimento, maior é a quantidade de
componentes hidratados e, assim, maior será a libertação de calor para o exterior e por conseguinte
maior será o risco de fissuração. O nível de fendilhação causado por este tipo de retracção pode
agravar-se no caso de uma descofragem prematura (perda precoce de isolamento térmico) pois o
betão pode não ter adquirido o nível de resistência desejável. Este tipo de retracção encontra-se bem
discriminada no documento CIRIA C660 [5], a qual irá ser analisada com mais detalhe no subcapítulo
4.2.
14
Figura II-3 – Avaliação do risco de aparecimento de fissuras com a evolução da retracção térmica [27]
A retracção de carbonatação produz-se logo que o hidróxido de cálcio Ca(HO)2 reage com o dióxido
de carbono CO2 para formar o carbonato de cálcio Ca(HO)3. É um fenómeno muito localizado no
betão superficial e que muitas vezes, nem é considerado como de retracção.
No entanto, como referido anteriormente, a parcela mais importante que contribui para retracção
global é a retracção hídrica. Este tipo de retracção ocorre devido á perda de água do interior do
betão, segundo dois processos distintos: o processo endógeno e o de secagem:
Retracção endógena que é também chamada de autogénea. Esta retracção ocorre sem
trocas de humidade com o exterior e aumenta com a diminuição da relação água/cimento,
fazendo com que esta parcela da retracção seja mais relevante nos betões de elevada
resistência, onde a razão entre a dosagem de água e cimento é baixa. Isto explica-se pois
estes betões consomem toda a água dos poros maiores na hidratação.
Nesta retracção à medida que as reacções químicas de hidratação ocorrem, a água presente
no interior dos poros do betão é consumida, causando perda de pressão. Esta diminuição de
pressão nos poros origina a retracção no betão. A retracção endógena é uma parcela
normalmente pequena da retracção total e ocorre cerca de 80% até aos 28 dias, pelo que a
retracção endógena é um fenómeno que acontece nas primeiras idades do betão e é função
linear da resistência do betão.
15
Retracção de secagem, por vezes denominada de retracção de dissecação, é a parcela
mais significativa da retracção global. Produz-se pela difusão da água na direcção das faces
expostas à secagem em presença de um gradiente hídrico entre o betão e o ar ambiente e é
tanto maior quanto maior for a relação água/cimento (ver figura II.4). Assim este fenómeno
em betões de alta resistência é menor que no caso dos betões correntes devido às pequenas
quantidades de água livre após a hidratação e á menor porosidade. A retracção de secagem
tem lugar muito lentamente e dura vários anos até que a humidade do betão fique em
equilíbrio com a humidade média do meio ambiente. Esta retracção depende do equilibro
entre a humidade relativa do meio ambiente e humidade interna do betão pelo que se
tivermos uma humidade relativa do meio ambiente de 100% não existe retracção de
secagem. Também depende da razão agregado/cimento (ver figura II.4). Quanto maior esta
razão menor é a retracção de secagem pois o uso de agregados grossos minimiza a
quantidade total de água e restringe o encurtamento da pasta de cimento.
Figura II-4 – Efeito da razão entre o agregado e cimento (a/c) e da razão água e cimento (A/C) na retracção de secagem [44]
Apresenta-se nas figuras II.5 e II.6, dois gráficos com estas duas parcelas de retracção ao longo do
tempo para uma peça com 300 mm de espessura equivalente utilizando-se um cimento de classe N
(presa normal ou rápida).
16
Figura II-5 – Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e endógena) para um betão C25/30 (azul) e C35/45 (vermelho) num ambiente interior com uma humidade relativa de 50%
Figura II-6 - Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e endógena) para um ambiente interior (humidade relativa de 50%) e exterior (humidade relativa de 80%) num betão C35/45
Para a obtenção destes gráficos foram utilizadas as equações do anexo 2 presentes no EC 2 [24]
para a retracção. Este regulamento considera apenas a parcela hídrica da retracção para o cálculo da
extensão de retracção. Esta simplificação pode fazer sentido pois esta é a mais elevada e, porque as
extensões devidas às restantes “retracções”, dão-se ou muito rapidamente e numa fase muito jovem,
ou têm pouco significado, pelo que o efeito global na estrutura, depois de construída, em geral, não é
significativa.
Total
Secagem
Endógena
Endógena
Secagem
Total
Secagem
Total
17
Temos assim:
𝜀𝑐𝑠 = 𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑐𝑎 (II.2)
Analisando a figura II.5, verifica-se que com o betão C25/30, a parcela de retracção de secagem é
muito mais significativa que a endógena, ao passo que com o betão C35/40 há uma clara menor
diferença relativa entre as duas parcelas. Esta diminuição acentua-se para uma humidade relativa
mais alta (figura II.6) que, conduz a uma menor retracção de secagem. No limite com uma humidade
relativa de 100% não há retracção de secagem. Por outro lado, a parcela endógena não é
influenciada pela humidade.
Assim, para betões de alta resistência, com baixa relação água/cimento (<0,4), a retracção endógena
pode exceder a retracção de secagem [6].
Um aspecto importante realçar é que a retracção de secagem desenvolve-se muito mais lentamente,
dando-se ao longo de anos, mas com maior incidência, até aproximadamente aos 1000 dias. Assim,
quando esta parcela é significativa, o faseamento construtivo, em que a construção se faz por troços
independentes, com estabelecimento de ligação após 30 a 45 dias, não é uma forma eficaz de
eliminar os efeitos da retracção ou grande parte deles. Neste período, poder-se-á ter um valor de
retracção da ordem de 30% do valor final para betões com classes de resistência normais (≤
C40/50). Sendo assim, em estruturas sensíveis aos efeitos de deformações impostas, haverá sempre
necessidade de avaliar a eventual fendilhação, não só nas primeiras horas de vida do betão, mas
também as que possam surgir posteriormente. A forma de controlar essas aberturas de fendas é com
a adopção de quantidades de armadura convenientemente avaliadas e, em geral, superiores aos
valores considerados como mínimos.
Importa referir que nestes gráficos não se encontra representada a parcela denominada de retracção
térmica atrás referida. No entanto esta pode atingir, consoante a dosagem e a natureza do cimento,
extensões de 0,4 a 0,5‰ (ΔT=40 a 50 ºC) no caso de peças de grande espessura (ver tabela IV.4) e
tem especial significado em termos de valores diferenciais na mesma secção, sendo responsável, por
vezes, por fendilhação superficial. Para a análise global das estruturas, a sua quantificação e
modelação é “esquecida” devido á sua rápida evolução no tempo, que termina com o fim do processo
de cura do elemento. Porém, a sua importância não deve ser esquecida na fase inicial uma vez que,
em conjunto com a endógena, que é caracterizada igualmente por uma evolução muito rápida, pode
gerar valores de extensão consideráveis numa idade “jovem” do betão e contribuir para o
aparecimento de fendilhação indesejada. Pode contudo ser limitada através de medidas construtivas
como, por exemplo, uma composição adequada do betão, cuidados de cura, cofragem especial ou
ainda através da utilização de juntas de construção. No subcapítulo 4.2 será analisada e quantificada
este tipo de retracção, que encontra-se muitas vezes esquecida, até pela própria regulamentação.
Para betões com classe de resistências correntes a retracção de secagem, que tem maior relevância
para o comportamento conjunto da estrutura, toma valores da ordem de 0,15 a 0,40‰ e a retracção
18
endógena, entre 0.05 a 0.15‰. É, portanto, importante realçar que, para diminuir o valor da acção de
retracção nas estruturas, pode fazer sentido optar por composições que assegurem uma menor
parcela da retracção de secagem, mesmo que á custa de um aumento da componente endógena. No
entanto, esta possível opção, em geral, está associado a um maior custo.
2.3.2. Fluência
A fluência do betão é definida como o aumento gradual, no tempo, da sua deformação relativa, sob
uma tensão aplicada. Quando a tensão se mantém constante no tempo chama-se fluência intrínseca.
A descrição aqui apresentada baseia-se nas referências [6, 21, 29].
Do ponto de vista da ciência dos materiais, a fluência pode ser considerada como a soma de duas
componentes:
A fluência básica, que é a fluência que se produz sem troca de humidade entre o elemento
da estrutura e o ar ambiente.
A fluência de secagem ou de dissecação, que pode ser definida como a fluência adicional,
que se produz logo que o betão, sob carregamento, é submetido às condições de secagem.
Na prática estas fluências ocorrem simultaneamente e sobrepõem-se.
A fluência do betão e a velocidade do seu desenvolvimento no tempo são influenciadas por diversos
parâmetros ligados à composição do betão, às condições ambientes e às condições de
carregamento. Estes parâmetros são:
Período do carregamento [t,t0]
A idade do betão no momento do carregamento t0;
A relação água/cimento e, indirectamente, a correspondente resistência do betão;
A velocidade de endurecimento do betão;
A temperatura e humidade relativa ambiente;
Tipo de cimento utilizado;
Dimensões do elemento.
Do nível das solicitações aplicadas se 𝜍𝑐 > 𝑓𝑐𝑘 2
Apresenta-se nas figuras II.7 e II.8, exemplos de gráficos de fluência para uma peça com 300mm de
espessura equivalente utilizando-se um cimento de classe N (resistência inicial normal) a uma
temperatura média de 20ºC. No gráfico da figura II.7 o betão tinha 20 dias quando foi carregado.
Estes gráficos foram obtidos segundo as equações do anexo 1 presentes no EC2 [24] para fluência.
19
Figura II-7 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, para diferentes classes de resistência de betões (C25/30 e C35/45) e diferentes humidades relativas (50% e 80%)
Figura II-8 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, num betão C35/45 com uma humidade relativa de 80%, fazendo variar a idade do betão na data do carregamento.
20
Como podemos ver pelo gráfico da figura II.7 um aumento da resistência do betão corresponde, em
geral, a uma diminuição da fluência: quanto mais alta a resistência, menor a sua deformabilidade a
curto e longo prazo. A fluência é tanto menor quando maior for o diâmetro máximo dos inertes e
também a sua dureza.
A fluência depende da idade do betão no instante do carregamento, mais precisamente do grau de
hidratação do cimento no momento do primeiro carregamento. A fluência diminui com a idade do
betão no início do carregamento, como podemos ver pelo gráfico da figura II.8. O carregamento de
betões muito jovens produz um incremento significativo da fluência. No entanto, a tendência a fluir,
mesmo de um betão com maior idade, não deixa de se verificar. Também podemos ver no gráfico da
figura II.8 que a parte elástica instantânea da deformação global, diminui à medida que a idade do
primeiro carregamento aumenta. Isto deve-se ao facto de o módulo de elasticidade do betão
aumentar com a idade e, por isso, a extensão, correspondente à mesma tensão, diminuir.
A fluência é também função de factores que afectam a secagem do material, como sejam, a
humidade relativa e a temperatura do ambiente. Aumenta com o abaixamento da humidade relativa
gráfico da figura II.7 e com a diminuição das dimensões do elemento. O incremento da temperatura
aumenta igualmente a fluência. A dependência da fluência com a temperatura é muito mais
pronunciada a temperaturas elevada. A fluência a uma temperatura media de 40º C é cerca de 25%
mais elevada que a 20º C.
Por fim, a fluência depende do nível da tensão aplicada. Desde que a tensão para a acção quase
permanente seja limitada a 0,45𝑓𝑐𝑘 (como referido no subcapítulo 2.1) a fluência é aproximadamente
proporcional à tensão aplicada e é definida como fluência linear. Para níveis de tensão elevados, a
fluência aumenta a uma velocidade mais rápida e torna-se não linear em relação à tensão. Pensa-se
que este comportamento não linear a níveis de tensão elevados está ligado a um aumento da
microfissuração.
A definição fiável do valor final do coeficiente de fluência φ é difícil, principalmente na fase de
projecto, variando entre valores da ordem de 1 a 4. Em obras especiais, estes valores podem ser
eventualmente medidos através de ensaios em provetes retirados do betão da obra e guardados em
condições similares.
2.3.3. Módulo de elasticidade ajustado
Para calcular os efeitos de acções de longa duração nas estruturas de betão, é necessário ter em
conta os efeitos que a fluência e a idade do betão provocam na resposta das estruturas. Assim, para
avaliar as tensões provocadas por uma deformação imposta aplicada lentamente ao longo do tempo
ou a evolução das deformações no tempo provocadas por variações de tensão nesse período, pode
utilizar-se um processo simplificado baseado no módulo de elasticidade ajustado, 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 , definido a
21
χ partir do coeficiente de envelhecimento. Este é dado, de acordo com a formulação proposta por
Trevino [49]:
𝜒 𝑡, 𝑡𝑜 ≅ 𝜒 𝑡𝑜 = 𝑡𝑜3
1 + 𝑡𝑜3
(II.3)
No cálculo do coeficiente de envelhecimento admite-se que este depende unicamente da idade do
carregamento 𝑡𝑜 pois a função, formalmente correcta, atinge rapidamente o valor a longo prazo. Esta
simplificação é suficientemente precisa para casos em que o intervalo de tempo de 𝑡𝑜 a 𝑡 ultrapassa
os três dias [21].
A representação gráfica da equação II.3 varia entre 0,5 e 1 e apresenta-se na figura II.9:
Figura II-9 – Evolução do coeficiente de envelhecimento do betão com tempo, segundo Trevino [49]
A deformação total de um elemento é então dada, nesta formulação simplificada, pela seguinte
expressão:
𝜀𝑐 𝑡, 𝑡0 =𝜍𝑐 𝑡0
𝐸𝑐 ,𝑒𝑓𝑓
+∆𝜍𝑐 𝑡, 𝑡0
𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
(II.4)
Caso as tensões sejam constantes ao longo do tempo, as deformações associadas podem ser
calculadas utilizando o módulo de elasticidade efectivo (sem o coeficiente de envelhecimento) em vez
do ajustado. No caso da tensão ser variável ao longo do tempo de acordo com uma evolução
semelhante à da fluência, a deformação associada à variação de tensão deve ser calculada utilizando
o módulo de elasticidade ajustado que é dada por:
22
𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =𝐸𝑐(𝑡0)
1 + 𝜒(𝑡, 𝑡0)𝐸𝑐(𝑡0)𝐸𝑐 ,28
𝜑(𝑡, 𝑡0) (II.5)
Isto deve-se ao facto da variação de tensão, ∆𝜍𝑐 , não ser introduzida de uma só vez no instante inicial
(𝑡0) e sim gradualmente variando de 0 no instante 𝑡0 até ∆𝜍𝑐 no instante 𝑡. Refira-se que na
formulação matemática deste modelo se admite que esta variação gradual no tempo se dá de uma
forma homotética à variação do coeficiente de fluência. Como a retracção e a fluência têm variações
no tempo do mesmo tipo esta é uma boa aproximação para analisar a resposta estrutural aos efeitos
da retracção.
Na figura II.10 mostra-se a representação gráfica da equação II.5, considerando para o coeficiente de
fluência e para o coeficiente de envelhecimento os resultados apresentado nos gráficos das figuras
II.7 e II.9, respectivamente. De realçar que para este gráfico foi utilizado um betão C35/45 ou seja,
com um módulo de elasticidade aos 28 dias de 34 GPa, com uma humidade relativa de 80%
(ambiente exterior) e todas as condições descritas na elaboração do gráfico da figura II.7.
Figura II-10 – Evolução do módulo de elasticidade ajustado com o tempo
Pela análise da figura II.10 percebe-se que o módulo de elasticidade ajustado tem um decréscimo
muito elevado para acções com duração de 30 a 200 dias, tendendo a estabilizar para acções
impostas num maior período de tempo.
𝐸𝑐
,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
(𝐺𝑃𝑎
)
23
2.3.4. Análise conjunta da evolução da retracção e a evolução do módulo de
elasticidade
Ao aplicar uma extensão a uma secção de um qualquer material, pode-se estabelecer uma relação
entre essa extensão e a tensão por ela provocada:
𝜍 = 𝐸𝑐 × 𝜀𝑐 (II.6)
Ao aplicar uma extensão no betão, ao longo do tempo, não se verifica uma relação constante entre as
extensões e as tensões como a apresentada na equação II.6. No entanto, o aumento de tensão pode
considerar-se como proporcional à relação 𝐸(𝑡) × 𝜀(𝑡), onde o módulo de elasticidade e o valor da
extensão variam no tempo. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre o valor da extensão de
retracção, se esta estiver impedida, para um dado tempo t e a evolução do módulo de elasticidade
ajustado, para avaliar as variações de tensões no betão. Temos, então, que:
∆𝜍𝑡 ≅ −𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 𝑡 × 𝜀𝑐𝑠 𝑡 (II.7)
Refira-se que esta situação de impedimento total da deformação livre de retracção não se verifica nas
obras em geral, o que diminui os efeitos da retracção a nível de tensões e/ou eventual fendilhação,
como será analisado no capítulo VI.
Na gráfico da figura II.11, mostra-se a representação gráfica da função II.7. Para os valores de
𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡) e 𝜀𝑐𝑠(𝑡) usaram-se os gráficos das figuras II.10 e II.6, respectivamente. Importa dizer que
para os valores de 𝜀𝑐𝑠(𝑡) foi usado uma humidade relativa de 80% (ambiente exterior) e um betão
C35/45, ou seja as mesmas condições usadas para os valores de 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡).
Figura II-11 – Evolução da tensão devido á retracção para um elemento bi-encastrado com o tempo
𝜍𝑐𝑠
=𝐸𝑐
,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡
𝑡
× 𝜀𝑐𝑠 𝑡
(𝑀𝑃𝑎
)
28
24
Analisando o gráfico da figura II.11, podemos concluir que, neste caso, os valores máximos de 𝜍𝑡 se
verificam para t=1500 a 2000 dias, tendendo a diminuir de uma forma não perceptível a partir daí.
Assim, este é o espaço temporal em que, numa estrutura, se poderão esperar efeitos mais
desfavoráveis. Em termos práticos faz sentido, por simplificação, tomar o tempo infinito já que, como
foi referido, a diminuição a partir do ponto máximo é pouco significativa.
2.3.5. Variações de temperatura
Se a retracção acontece, de forma crescente a partir da fase inicial da vida de uma obra, as
diferenças de temperatura ocorrem ao longo de toda a sua vida, de uma forma cíclica, com maior ou
menor intensidade, consoante esta se encontre mais ou menos exposta ao meio ambiente, e em
particular ao efeito directo do sol. A magnitude do efeito térmico dependerá das condições climáticas
locais, conjuntamente com outros efeitos secundários, como a orientação da estrutura, a sua massa,
o tipo de revestimento, e no caso de edifícios, os regimes de aquecimento e ventilação e o sistema de
isolamento térmico. Podem ainda ser caracterizadas como sazonais (verão/inverno) ou diários
(dia/noite).
A exposição da estrutura á variação térmica depende dos vários factores apresentados, pelo que a
sua amplitude será menor em edifícios devido aos revestimentos adoptados e aos sistemas de
climatização interior, de aquecimento/arrefecimento, que estabilizam a temperatura ao longo do dia e
do ano. No entanto, existem estruturas, como é o caso pontes, de reservatórios e outras, que são
sujeitas a variações de temperatura directamente relacionadas com as condições de ambiente e de
exposição que, na generalidade dos casos, também têm situações diferentes entre elementos e na
sua espessura.
De facto o efeito da temperatura numa secção não é uniforme, pelo que a sua distribuição como
acção é dividia, em geral, em diferentes parcelas como representado na figura II.12:
Componente de temperatura uniforme ΔTu;
Componente de temperatura diferencial linear, segundo as componentes definidas pelos
planos yy e zz, ΔTMy, ΔTMz;
Componente não linear de temperatura, que gera um sistema de tensões auto-equilibradas.
Figura II-12 – Diagramas das componentes de um perfil de temperaturas [23]
25
Com a introdução do Eurocódigo 1 parte 5 [23] passou a existir um tratamento da acção temperatura
nas estruturas mais detalhado e aproximado da realidade. Este regulamento considera vários efeitos
como:
A distribuição em altura de diferentes temperaturas, consoante a exposição do elemento e a
sua geometria;
Diferentes distribuições de temperatura para estruturas em betão, aço ou mistas;
O efeito de arrefecimento e de aquecimento, ocorrendo em modo diferente;
Introdução dos efeitos não lineares da acção da temperatura, dependentes das diferentes
inércias térmicas, assim como de outros parâmetros;
Consideração da acção diferencial em elementos não estruturais, que induzem efeitos
suplementares na estruturas, como os carris em pontes ferroviárias.
Como exemplo apresentam-se, nas figuras II.13 e II.14, alguns exemplos de avaliação das variações
de temperaturas nas estruturas pelo Eurocódigo 1 parte 5 [23].
Em estruturas de betão estrutural:
Figura II-13 – Variações diferenciais de temperatura para tabuleiros de betão [23]
26
Em reservatórios (caso estudado nesta tese):
Tal como apresentado na figura II.14, considerando a deformação da secção plana é possível dividir
estes diagramas em três parcelas, isto é, uniforme, diferencial e em escada. A distribuição em escada
da temperatura ao longo do perímetro admite-se quando um quadrante do perímetro está a uma
temperatura média superior á dos restantes. Quanto à componente linear de variação de
temperatura, esta deve ser considerada como sendo resultante da diferença entre a temperatura
mínima (ou máxima) do ar á sombra na face exterior e o valor da temperatura do líquido ou do gás na
sua face interior, tendo em conta os efeitos de isolamento.
A variação de temperatura, ao actuar numa estrutura isostática, provoca extensões axiais associadas
à parcela de variação uniforme e curvaturas associadas á parcela de variação linear (ver figura II.15).
Refira-se que a parcela de deformação não linear gera estados de tensão auto-equilibrados, que
poderão provocar alguma fendilhação local na secção nas zonas traccionadas. Por sua vez se as
parcelas de deformação uniformes e de curvatura estiverem restringidas, como acontece em
Figura II-14 – Principais componentes da temperatura para condutas, silos e reservatórios [23]
27
Figura II-15 – Resposta estrutural, a) parcela uniforme e b) parcela diferencial [37]
Neste trabalho damos maior atenção à parcela uniforme da temperatura pois é aquela que
juntamente com a retracção gera efeitos mais significativos. No entanto, os vários efeitos devem ser
sempre considerados.
Verifica-se, que uma variação uniforme de temperatura juntamente com a retracção de betão induz,
em geral, esforços axiais que se devem sobrepor aos efeitos das cargas verticais que, em vigas ou
lajes, são de flexão. Uma vez contabilizada a perda de rigidez por fendilhação ou/e o efeito do tempo,
devem ser sobrepostos os efeitos axiais provocados pela deformação imposta axial aos efeitos de
flexão das cargas, para uma coerente análise do comportamento em serviço.
28
29
III. Mecanismo de fendilhação e as suas propriedades
O betão, como discutido nos capítulos anteriores, está sujeito a efeitos diferidos no tempo como a
retracção e a variação de temperatura, que correspondem a deformações impostas que, ao serem
restringidas, podem gerar tensões de tracção nos elementos estruturais (em particular nas paredes
dos reservatórios) e provocar fendilhação. Para introduzir o mecanismo de fendilhação e, assim
apresentar a forma de controlar a abertura de fendas, analisa-se seguidamente o comportamento de
um tirante de betão submetido a diferentes acções. Esta descrição foi efectuada com recurso a
diversas referências bibliográficas [14, 21, 29, 37, 47, 48].
3.1. Efeito das acções isoladas
3.1.1. Resposta estrutural de um tirante submetido tracção pura
O elemento estrutural mais simples é o de um tirante. Nesse sentido começa-se por descrever a sua
resposta quando solicitado por uma força de tracção, para posteriormente se compreender o
comportamento do mesmo quando solicitado por uma deformação imposta axial.
O tirante de betão armado ao ser solicitado por uma força de tracção pura (N) crescente, passa no
essencial por três estados até atingir a rotura, como se pode verificar na figura III.1: inicialmente um
estado não fendilhado (estado I, regime elástico), depois o estado fendilhado (comportamento não
linear do elemento) que se subdivide em duas fases, a primeira de formação de fendas e a segunda
de fendilhação estabilizada e, finalmente, um terceiro estado a partir da cedência do aço ate á rotura.
No estado não fendilhado o tirante exibe um comportamento elástico-linear, Estado I, no qual as
tensões de tracção são inferiores às da resistência do betão, fctm, sendo de salientar o peso pouco
significativo do aço.
Figura III-1 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por um esforço axial de tracção crescente [27]
CEDÊNCIA
30
A partir do momento em que a solicitação ultrapassa o esforço Nr,1 nalguma zona, correspondente ao
valor mínimo da resistência à tracção do betão, o elemento fendilha; a extensão média sob a qual a
primeira fenda aparece é aproximadamente igual a 0,10‰, se se tratar de uma acção a curto prazo e
da ordem de duas a três vezes este valor se for ao longo prazo. A fase fendilhada pode dividir-se em
duas partes: fase formação de fendas e fase de estabilização de fendas como se ilustra na figura III.1.
Na fase de formação de fendas a abertura média das fendas permanece praticamente constante
durante esta fase, verificando-se que o número de fendas aumenta com o esforço, desde que a
quantidade de armadura seja suficiente para evitar a plastificação a quando da formação das
primeiras fendas como se verá adiante. Observa-se, assim, um comportamento caracterizado por
uma diminuição progressiva da rigidez do elemento à medida que aparecem novas fendas, para uma
variação do esforço normal, num intervalo, entre valores NR,1 e NR,n, correspondente à aparição da
primeira e n-ésima fenda, respectivamente.
Entra-se num processo de fendilhação estabilizada quando não é possível a formação de mais
fendas, correspondente a uma extensão média da ordem de 1,00 a 1,50‰. A partir daqui o elemento
comporta-se de novo quase linearmente, mas com uma rigidez incremental superior á anterior. A
deformação global segue uma lei intermédia entre as rectas correspondentes ao Estado I (não
fendilhado) e ao Estado II (fendilhado, com a rigidez só da armadura, sem qualquer contribuição do
betão traccionado). Sob solicitação crescente durante esta fase não se formam mais fendas e
verifica-se um aumento progressivo da abertura das fendas formadas anteriormente.
Refira-se que em todo o estado fendilhado a estimativa da deformação média pode ser obtida como
um valor intermédio entre os estados I e II tal que:
𝜀𝑠𝑚 = 1 − 𝜁 𝜀𝑠1 + 𝜁𝜀𝑠2 (III.1)
Em que 𝜁 é um coeficiente de repartição sempre inferior a 1 e dado por uma expressão do tipo:
𝜁 = 1 − 𝛽 𝑁𝑐𝑟𝑁
2
(III.2)
Em que 𝛽 é um coeficiente que se obtêm do produto de 𝛽1 que define a influência do tipo de varões e
propriedades de aderência da armadura com 𝛽2 que define a influência da duração da aplicação e o
carácter de repetição da mesma.
Por último, na sequência do carregamento a armadura atinge o valor limite de elasticidade, ou seja, a
cedência. A rotura produz-se quando se atinge a extensão de rotura que tem valores entre 3,0 e 8,0%
para os aços correntes.
31
Como apontamento, importa salientar que a transição entre a fase de formação de fendas e a de
fendilhação estabilizada produz-se sob uma extensão média de 1,00 a 1,50‰ para elementos com
uma pequena a média percentagem de armadura (0,40 ≤ ρ ≤ 1,00%). Só para percentagens de
armadura mais elevadas (1,0% e mais) a extensão média, nessa transição, poderá apresentar
valores inferiores da ordem de 0,50 a 1,00‰.
3.1.2. Resposta estrutural de um tirante submetido a uma deformação imposta
axial
No caso de uma deformação imposta, observa-se que, após a formação da cada nova fenda, ocorre
uma redução brusca do esforço N sob uma deformação, ΔL, mantida constante, como se poderá
observar na figura III.2. Essa é a principal diferença de comportamento, pois enquanto que no caso
da força aplicada, após a abertura de uma fenda, a extensão aumenta para o mesmo nível de força
aplicada, na resposta a uma deformação imposta acontece o oposto, ou seja, após a abertura de
fenda a deformação mantém-se e a força diminui. Este aspecto deve-se à diferença do tipo de acção
em causa, pois quando se trata de uma força aplicada é necessário que essa força seja equilibrada,
logo, quando a rigidez de uma secção diminui (com a abertura de uma nova fenda) ocorre
obrigatoriamente um aumento de deformação, quando a força no elemento é devido a uma
deformação imposta, ela é tanto maior quanto maior for a rigidez, assim, ao se abrir uma nova fenda,
a perda de rigidez origina uma diminuição da força instalada no elemento (ver figura III.2).
Figura III-2 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por uma deformação imposta axial crescente [27]
CEDÊNCIA
32
No que concerne às etapas do mecanismo de fendilhação, verifica-se que são as mesmas que se
observaram no caso da acção de uma carga. Como se salientou, após a formação de cada nova
fenda ocorre um decréscimo de esforço e, à medida que a deformação imposta aumenta, o processo
repete-se até que ocorra a sua estabilização, para um valor de extensão de aproximadamente 1,0 a
1,5‰. A partir dessa extensão, a deformação imposta desenvolve-se com rigidez próxima de Estado
II até que a cedência seja alcançada.
Como modelo de simulação do comportamento podemos tomar o esquema apresentado na figura
III.3, onde se verifica que na formação de cada nova fenda a rigidez, num dado comprimento próximo
desta, passa a ser só a correspondente ao aço. Inicialmente o comportamento é elástico linear
(elemento homogéneo ao longo de todo o comprimento, estado I), em que a rigidez axial é dada pela
soma da rigidez dos dois materiais que a compõe (EsAs+AcAc), sendo a parcela do betão muito mais
significativa. Com o incremento da extensão começam a aparecer sucessivas fendas, e junto a estas,
passa-se a ter somente o comportamento em Estado II, sendo a rigidez dada por EsAs (ver figura
III.3).
Em condições de serviço a deformação imposta axial normalmente não ultrapassa valores da ordem
de 0,5 a 0,7‰ (sob o efeito conjunto da retracção 𝜀𝑐𝑠 ≈ 0,30 𝑎 0,40‰, e de variações de temperatura,
ΔTmax= ±20ºC 𝜀𝛥𝑇 = 0,20‰), logo, os elementos estruturais encontram-se usualmente na fase de
formação de fendas, marcada pela aparição de algumas fendas isoladas com aberturas controladas,
desde que se tenha uma quantidade mínima de armadura. É com base neste tipo de avaliação que
se é levado a adoptar, em zonas de paredes dos reservatórios que possam estar sujeitas a restrições
à deformação livre, pelo menos uma armadura mínima de tracção para o controlo da fendilhação. No
entanto, esta orientação, embora essencial, poderá, como também se refere neste trabalho, não ser
Abertura da 2ª Fenda
Estado I Fase Elástica
Abertura da 1ª Fenda
Figura III-3 – Comportamento global da abertura de fendas num elemento de betão estrutural
33
suficiente para a garantia da estanquidade requerida, além de que não tem em conta situações de
sobreposição de efeitos de outras acções que, de certo modo, alteram a resposta estrutural. Neste
trabalho analisa-se precisamente a influência da sobreposição da flexão devida ás cargas
permanentes (liquido presente no reservatório) com o esforço axial provocado por uma deformação
imposta.
3.1.3. Conceito de armadura mínima para o efeito axial
Um primeiro critério para definição da quantidade de armadura mínima, para qualquer tipo de
solicitação, quer seja força ou deformação imposta, é condição necessária que a armadura não
plastifique para o esforço de fendilhação da peça. Com efeito, ao assegurar que os esforços de
cedência da secção são superiores aos de fendilhação, garante-se, por um lado, um mínimo de
ductilidade para o caso da acção de uma carga, evitando a rotura “frágil” (caso de betão não armado),
e por outro lado, a não formação de uma fenda isolada para o caso de uma deformação imposta.
Para esta última situação, caso o esforço de fendilhação seja superior ao de plastificação da
armadura, após a formação da 1ª fenda nunca mais será possível a formação de outra, conduzindo a
uma abertura de fenda que aumenta proporcionalmente à deformação imposta (ver figura III.4 -
situação a).
Figura III-4 – Evolução típica das tensões nas armaduras e consequente abertura de fendas num tirante sujeito a uma deformação imposta: a) sem armadura mínima; b) com armadura superior á mínima [37].
Na figura III.4 pode observar-se a diferença de comportamento de dois tirantes, submetidos a uma
deformação imposta, um com resistência da armadura inferior à força de fendilhação do tirante e
outro com resistência superior.
34
No primeiro caso, como foi referido, a armadura plastifica na secção onde se formou a primeira fenda
e o alongamento imposto irá se concentrar nessa abertura. De facto, depois da formação da primeira
fenda e da queda do esforço associado, na continuação da imposição da deformação vai dar-se a
plastificação da armadura junto à referida fenda e não é possível atingir mais o nível de tensão no
betão, fctm, que daria origem a novas fendas. No segundo exemplo, verifica-se que ocorre todo o
processo de formação de fendas, pois após a formação da primeira fenda e com a continuação da
imposição da deformação não ocorre a plastificação da armadura formando-se novas fendas, com
aberturas de fendas controladas. Assim, para que ocorra este processo de fendilhação distribuída,
tem que se prever uma quantidade de armadura mínima.
O critério de não plastificação da armadura (𝜍𝑆 ≤ 𝑓𝑦𝑘 ), define essa quantidade mínima de armadura.
Sendo o esforço constante no tirante há que assegurar que a resistência em Estado I é inferior à do
Estado II, ou seja:
𝑁𝑟 ,𝐼 < 𝑁𝑟 ,𝐼𝐼 ⟺ 𝐴𝐶 × 𝑓𝑐𝑡 < 𝐴𝑠 × 𝑓𝑠𝑦 (III.3)
Ou em termos de definição de uma armadura mínima:
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑐 ×𝑓𝑐𝑡𝑚𝑓𝑦𝑘
⟺ 𝜌 =𝐴𝑠𝐴𝑐≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 =
𝑓𝑐𝑡𝑓𝑦
(III.4)
Para que, no caso de uma deformação imposta maior, se possa garantir a ocorrência de todo o
processo de formação das fendas, a expressão anterior deveria ser multiplicada por um coeficiente
da ordem de 1,3, que equivale ao aumento do esforço de fendilhação entre a formação da primeira e
última fenda (Nr,n/Nr1) (ver Figura III.4). Contudo não se justifica a utilização deste coeficiente de
majoração pois só em casos de geometria particular é que se poderia atingir uma situação de
fendilhação estabilizada para deformações impostas.
No entanto, a consideração desta armadura mínima, definida pelo critério de não plastificação das
armaduras, pode revelar-se insuficiente. Se é verdade que o cumprimento deste critério, permite a
formação de algumas fendas, sem concentração de deformação numa só, tal não implica que a
deformação aconteça com as exigências de serviço adequadas. De facto, a estimativa de cálculo da
abertura de fendas, para uma peça dimensionada segundo aquele critério, mostra que se obtém uma
fissuração controlada, com abertura de fendas da ordem dos 0,4 a 0,7 mm (dependendo da tensão
de cedência do aço adoptado e da pormenorização de armaduras). Ora valores desta ordem de
grandeza podem não ser, em geral, aceitáveis do ponto de vista da aparência, nem, certamente, da
estanquidade, quando há exigências desse tipo. Não é também uma boa solução, em ambientes com
maior agressividade, para protecção das armaduras em relação ao risco de corrosão.
i
35
3.1.4. Análise comparativa entre Deformação imposta exterior e interior.
Uma deformação imposta externa, como é o caso da variação de temperatura, é aplicada a toda a
secção, aço e betão, ao passo que a deformação imposta interna, como é o caso da retracção, é
aplicada somente num dos materiais da peça, o betão, apresentando-se a própria armadura como
elemento de restrição ao fenómeno. As características de resposta estrutural têm algumas afinidades,
mas existem diferenças mais ou menos relevantes que interessa explicitar. Essas diferenças foram
resumidas na figura III.5.
Figura III-5 – Comparação de resultados entre deformações impostas externa (a) e a retracção do betão (b) [15]
A partir da resposta elástica, numa situação de deformação imposta exterior cada nova fenda forma-
se para um valor de esforço axial próximo de Ncr, enquanto no caso da retracção do betão o esforço
axial resultante para formar cada nova fenda tem tendência a ser inferior a Ncr e menor do que o valor
da anterior fenda. Tal facto é justificado pelo efeito restritivo da acção da armadura relativamente ao
livre encurtamento do betão, gerando tensões auto-equilibradas na secção em estado não fendilhado,
com tracção no betão e compressão no aço, conforme se pode observar na figura III.6. Estas tensões
no betão, que aumentam à medida que se processa o fenómeno da retracção, é tal que diminui a
reserva para que se atinja de novo a tensão de resistência do betão e, consequentemente, o valor de
esforço axial na abertura de cada nova fenda.
Este aspecto, chama a atenção para o facto do fenómeno da retracção introduzir, em estruturas
hiperestáticas, duas características diferenciadas da resposta. Em primeiro lugar, o facto da armadura
impedir o livre encurtamento do betão, gera tensões auto-equilibradas na secção, e em segundo
lugar, a restrição estrutural, que temos vindo a estudar através do encastramento nas extremidades
provoca um esforço global hiperestático. Refira-se, que é precisamente o estado de tensões auto-
equilibradas que distingue a resposta à acção da retracção da de uma deformação imposta exterior.
36
Figura III-6 – Equilíbrio de tensões numa secção sujeita ao efeito da retracção.
O incremento das tensões auto-equilibradas, com o aumento de extensão, verifica-se de forma linear,
segundo uma relação proporcional à rigidez da armadura (𝐸𝑠𝐴𝑠), como está representado na figura
III.5, resultando no aparecimento de fendilhação para valores mais baixos de esforço axial, podendo
assemelhar-se o fenómeno a um enfraquecimento progressivo do betão à tracção.
Como se chamará a atenção posteriormente, é de salientar que apesar do nível de tensões no aço
ser inferior neste caso da deformação imposta por retracção do betão, as aberturas de fendas têm
valores da mesma ordem de grandeza do que no caso de uma deformação imposta exterior. Isto
acontece pois o encurtamento simples do betão em relação à armadura na zona entre fendas
também contribui para o aumento da abertura de fendas.
3.1.5. Flexão
As características do comportamento à flexão de um elemento de betão estrutural são, no geral,
semelhantes às de tracção, uma vez que a zona traccionada apresenta um comportamento análogo
ao de um tirante.
No entanto, as estruturas de betão são concebidas, em geral, para resistir a efeitos de flexão, sendo
os momentos variáveis ao longo do vão, quer para a acção de cargas, quer mesmo para
deformações impostas (caso de assentamentos diferencias nos apoios). Assim se, por um lado, ao
nível do comportamento de um elemento, a resposta à flexão é do mesmo tipo da de um tirante, por
outro lado, relativamente ao comportamento global, o facto dos esforços de flexão não serem, em
geral, constantes no vão, introduz alguma diferença nas características do comportamento, quer
considerando a acção isoladamente ou em sobreposição. De facto, para situações correntes de
flexão, os esforços maiores concentram-se em determinadas zonas das estruturas, ao passo que na
resposta estrutural com efeitos de tracção, há maior uniformidade na sua distribuição pelo elemento.
Uma outra distinção na resposta à flexão consiste no facto da resistência do betão, quando solicitado
à tracção simples ser inferior ao verificado à flexão. Uma forma simples de compreender o fenómeno
37
é o de tratar o elemento como um conjunto de fibras longitudinais, justapostas entre si. Na situação
de tracção, as fibras são todas sujeitas a tensões de tracção idênticas, ao passo que, na situação de
flexão, as fibras mais distantes do centro de gravidade, sujeitas a tensões superiores, têm adjacentes
fibras com menores extensões, que restringem a deformação daquelas e contribuem para aumentar a
resistência global à tracção. Este fenómeno pode ser compreendido como um efeito de
contraventamento lateral. O EC2 [22] contempla este aumento de resistência à tracção no caso de
No anexo 3 é mostrado como se avaliaram os diâmetros máximos dos varões para o controlo
indirecto. Também é explicado porque razão o diâmetro máximo dos varões poderá ser modificado da
seguinte forma:
Flexão (com pelo menos uma parte da secção em compressão):
𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓
2,9
𝑘𝑐𝑐𝑟2( − 𝑑)
(III.40)
Tracção (tracção simples):
𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓
2,9
𝑘𝑐𝑐𝑟8( − 𝑑)
(III.41)
onde,
60
Tensão das armaduras, σs (N/mm2)
Diâ
me
tro
má
xim
o d
os v
arõ
es (
mm
)
𝜙𝑠 é o diâmetro máximo dos varões já modificado;
𝜙𝑠∗ é o diâmetro máximo do varões obtido a partir do quadro III.3;
h é a espessura total da parede;
𝑐𝑟 altura total da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação para a combinação
quase - permanente de acções;
d é a distância do centro de gravidade da camada exterior das armaduras à face oposta do
betão.
Assim, podemos ver que o quadro III.3, foi desenvolvido com base em algumas simplificações as
quais implicam aproximações. Uma das simplificações, como se pode ver no anexo 3, consiste em
considerar (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) = 0,6𝜍𝑠
𝐸𝑠, que é o limite inferior para 𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 , hipótese não conservativa para a
acção de cargas. De notar que o quadro III.3 também foi construído para k=1,0 ou seja para alturas
até 0,3m pelo que este factor também devia entrar na correcção do diâmetro para espessuras
maiores.
O EC2 – parte 3 [25] também estabelece gráficos para o controlo indirecto das fendas. Estes gráficos
estão nas figuras 7.103N e 7.104N do referido regulamento, apresentando-se o gráfico da figura
7.103N [25] na figura III.27. Este gráfico fornece os valores máximos dos diâmetros para os vários
limites de aberturas características, em função da tensão na armadura após a fendilhação.
Figura III-27 – Diâmetro máximo dos varões para o controlo de fendilhação em função da tensão nas armaduras [25]
De referir novamente que quando a fendilhação é provocada predominantemente por acções
indirectas (deformações impostas) apenas a condição de limitação do diâmetro máximo dos varões é
válida, ou seja o gráfico da figura 7.104N do EC2 – parte 3 [25] não é valido nestas situações.
61
Os máximos diâmetros das armaduras dadas pelo gráfico da figura III.27 devem ser modificados
através da expressão seguinte:
𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓
2,9
10( − 𝑑) (III.43)
Onde os diversos parâmetros foram referidos anteriormente.
Desta expressão é importante salientar que, sendo em geral − 𝑑 da ordem de 4 a 5 cm, para
espessuras da ordem de 0,40m a 0,50m os valores dos diâmetros de referência do quadro não
necessitam de adaptação mas que, para menores espessuras, as exigências são significativamente
maiores.
Do gráfico da figura III.27 constata-se quão elevado é o grau de exigência em relação à tensão
admissível nas armaduras para valores de abertura característica de fendas da ordem de 0,05mm a
0,1mm.
Refira-se, ainda, que se têm valores da mesma ordem de grandeza para os limites de tensões na
armadura, para aberturas características de 0,2 mm e 0,3 mm, entre os apresentados no EC2 – parte
1 [24], para o controlo indirecto da abertura de fendas (ver tabela III.3) e os apresentados no EC2 –
parte 3 [25] (ver figura III.27). Como exemplo podemos ver no gráfico da figura III.28, a comparação
entre a tabela III.3 e o gráfico da figura III.27 para uma abertura de fendas de 0,2 mm, por efeito de
tracção.
Figura III-28 – Comparação da tabela 7.2 do EC2 parte 1 com a figura 7.103 do EC2 parte 3 para uma abertura de fendas de 0,2 mm
Como os valores da tabela III.3 do EC2 - parte 1 [24] tem uma expressão de correcção para tracção
com um 8 no denominador (expressão III.41), em vez de um 10 (expressão III.43) corrigiu-se os
valores do quadro III.3 multiplicando por 1,25 (=10/8) para permitir a comparação.
Tensão das armaduras, σs (MPa)
Diâ
me
tro
má
xim
o d
os v
arõ
es (
mm
)
Figura 7.103
Tabela 7.2
62
Como se pode constatar os diâmetros apresentam a mesma ordem de grandeza com ligeiras
diferenças. Assim, no caso de se querer adoptar o controlo indirecto de fendilhação por efeitos de
tracção resultantes de deformações impostas, o gráfico da figura III.27 deve ser preferencialmente
utilizado porque foi directamente preparado para a tracção (k2=1), contrariamente à tabela III.3 da
parte 1 do EC2 – parte 1 [24] que foi construído para situações de flexão (k2=0,5), apesar de que, se
for aplicada a correcção regulamentar indicada, o resultado é semelhante.
63
IV. Comportamento de paredes laterais
No caso de muros de contenções de terras e das paredes laterais dos depósitos, a sapata da
fundação ou a laje de fundo, respectivamente, betonadas em geral numa fase anterior e com
espessuras maiores, restringem o seu livre encurtamento por retracção e/ou variações da
temperatura, induzindo, assim, tensões de tracção na parede.
4.1. Abordagem efectuada por Luís [38] e Teixeira [48]
A avaliação elástica da distribuição das tensões de tracção na parede mostram que, apesar da
restrição se verificar ao longo da ligação inferior parede/fundação, há só uma pequena variação de
tensões em altura, tendendo para uma distribuição quase uniforme na zona central. Apresenta-se de
forma qualitativa, na figura IV.1, a distribuição das tensões e resultantes de tensões ao longo do
comprimento da parede.
Figura IV-1 – a) Geometria geral da parede; b) Distribuição de tensões antes de formar a 1ª fenda; c) Resultante das
tensões longitudinais antes de formar a 1ª fenda [48]
Assim, constata-se que, o comportamento elástico da parede sujeita a deformação imposta é
semelhante ao de um tirante restringido nas extremidades. Esta semelhança fica melhor quantificada
na figura IV.2, na qual se observa que a uniformização das tensões, na zona central da parede
lateral, é tanto mais significativa quanto maior for o seu comprimento em relação à altura, l/b.
64
Figura IV-2 – Comparação de distribuição de tensão no centro das paredes com as dum tirante em função da razão l/b [27]
Devido a estas características elásticas do comportamento das paredes laterais, a área de armadura
mínima necessária é usualmente avaliada pelo mesmo procedimento que é aplicado para um tirante
restringido nas extremidades. Assim, essa área é dada pela expressão regulamentar referida
anteriormente (expressão III.13), para avaliação das quantidades de armadura longitudinal nas duas
faces:
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝑠= 𝑘𝑐 × 𝑘 × 𝐴𝑐𝑡 ×
𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓
𝜍𝑠= 1,0 × 𝑘 × ×
𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓
𝜍𝑠 [𝑐𝑚2/𝑚] (IV.1)
em que:
𝑘 = 𝑘 , em que h é a espessura das paredes laterais, dado pela figura III.12
𝑘𝑐 = 1,0 para tracção pura
𝐴𝑐𝑡 = × 1
De acordo com um estudo realizado por Luís e apresentado no artigo “Controlo de fendilhação para
deformações impostas” [38], verificou-se que, depois da formação da primeira fenda transversal, e
perda consequente da rigidez longitudinal, a resultante de tensões transversais na parede, a quando
da formação de uma 2ªfenda, deixa de ter um valor quase constante ao longo da parede, tomando na
zona da 1ªfenda uma resultante inferior (ver na figura IV.3 uma representação qualitativa).
65
Figura IV-3 – Característica imediatamente antes da formação da 2ª fenda: a) Parede; b) Distribuição de tensões; c) Resultante de tensões, para um comportamento não linear [48]
Luís [38], através de uma análise não linear, e Teixeira [48], através de análises lineares e um
processo iterativo que simula o comportamento não linear, estudaram a acção das deformações
impostas em paredes laterais. Em ambos os casos foi simulada uma parede com as seguintes
características geométricas (ver figura IV.4): 30 metros de comprimento, 3 metros de altura e 0,3
metros de espessura. A fundação da parede foi modelada com restrição total, pois o processo de
retracção da laje de fundo, no momento da betonagem da parede, encontra-se numa etapa mais
avançada e dá-se mais lentamente, devido à sua maior espessura e condições de exposição
ambiental mais desfavorável à evolução da retracção.
Figura IV-4 – Características geométricas da parede utilizada nas análises de Luís [37] e Teixeira [48]
Os dois estudos [38, 48] efectuados sobre o comportamento de paredes laterais apontam para
conclusões no mesmo sentido no que diz respeito à variação das tensões em altura da parede e à
evolução da tensão média nas armaduras. Seguidamente, esses resultados são analisados.
66
Luís [38] estudou a resposta das paredes laterais à acção das deformações impostas efectuando
análises não lineares, com o ATENA®, simulando três situações de distribuição de armadura,
indicadas na tabela IV.1, sendo que o caso 1 corresponde à armadura mínima regulamentar, definida
pela expressão IV.1, e as restantes situações correspondem a uma quantidade inferior (caso 2) e
superior (caso3).
Casos de análise
As,adoptado Percentagem de
Armadura (%)
1 Ø 12//0,15 (2x7,54 cm2/m) 0,50
2 Ø 10//0,15 (2x5,14 cm2/m) 0,35
3 Ø 16//0,15 (2x13,41 cm2/m) 0,89
Tabela IV.1– Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise não linear de Luís [38]
Na figura IV.5 apresenta-se, para o caso 1, a variação da resultante das tensões longitudinais ao
longo da parede, obtida por Luis [38], à medida que a deformação imposta aumenta e o processo de
fendilhação evolui, notando-se a simetria do sistema. Cada linha corresponde à distribuição do
esforço axial, sendo de referir que os casos intitulados 1ª fenda (linha roxa) e 2ª fenda (linha verde)
correspondem às situações antes da formação de uma nova fenda.
Figura IV-5 – Variação das resultantes de tensões ao longo da parede para o caso 1 [38]
Betão:
Ec=30,5 GPa
fct=2,35 MPa
A500:
Es=200 GPa
fyk=500 MPa
67
Pela observação da figura verifica-se que a formação das fendas ocorre das extremidades para o
centro da parede, devido a picos de tensões de tracção na proximidade da zona de ligação
parede/fundação. Pode notar-se que, à medida que se formam as fendas, o esforço axial não se
mantém constante ao longo da parede, o que constitui um comportamento distinto do verificado no
tirante sujeito a uma deformação imposta axial. Neste último caso o esforço axial, por equilíbrio, é
necessariamente o mesmo em todas as secções, ao passo que na situação das paredes laterais tal
não acontece, verificando-se que a resultante das tensões normais, ao longo dessas paredes,
distingue-se da que ocorre no tirante, devido à ligação inferior parede/fundação.
Analisando a figura IV.5 constata-se, que, com o crescimento da deformação imposta, na zona das
fendas anteriormente formadas, o nível de esforço axial nunca retoma o valor correspondente ao de
fendilhação, Ncr, tomando antes valores máximos da ordem de grandeza de metade de Ncr, como
indicado na tabela IV.2. Nesta, estão resumidos os principais resultados das análises aos vários
casos. É de salientar que para deformações impostas elevadas o esforço axial resultante,
dependente da quantidade de armadura e converge para um valor quase uniforme ao longo da
parede, sendo que no caso 1 esse valor corresponde a 1000 KN.
Casos de análise
ρ (%)
Deformação imposta externa
Deformação imposta interna
N (KN) N/Ncr N (KN) N/Ncr
1 0,50 1000 0,47 850 0,40
2 0,35 850 0,40 720 0,34
3 0,89 1250 0,60 1020 0,48
Tabela IV.2– Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [38]
É interessante notar também que o esforço axial estabilizado no caso de a acção ser uma
deformação imposta interna é inferior ao que se verifica no caso de essa ser externa. Tal é explicado
pela existência das tensões auto-equilibradas, exactamente pela mesma razão constatada no
subcapítulo 3.1.4. Na figura IV.6 mostram-se os resultados apresentados por Luís e obtidos no
programa Atena [38], para o caso 1 (armadura mínima), em relação à evolução da tensão nas
armaduras (corresponde à média das tensões ao longo da altura da parede) e a abertura de fendas
nas secções previamente fendilhadas.
68
Figura IV-6 – Evolução da tensão média e abertura de fendas ao longo da parede para o caso 1, para deformação imposta externa e interna respectivamente [38]
Na figura IV.6 verifica-se que os níveis de abertura de fendas são da ordem de 0,20mm e que esses
valores são semelhantes para ambos os casos de deformação imposta (externa e interna). É de notar
que os níveis de tensão nas armaduras para os dois tipos de deformação imposta são inferiores aos
que se verificam no tirante e à tensão de cedência, aspecto realçado por Luís [38].
Verificam-se também aberturas de fendas da mesma ordem de grandeza, apesar das tensões serem
menores para o efeito da retracção. Esta constatação também está de acordo com a análise de
tirantes para acções internas e externas.
Com o objectivo de clarificar algumas destas características de comportamento, Teixeira [48],
efectuou um estudo, para uma parede com o mesmo tipo de geometria mas recorrendo a uma análise
linear, com o SAP2000® para a variação diferencial de temperatura entre a parede e a base, tendo
procedido à modelação da perda de rigidez da zona onde as fendas se vão formando de uma forma
simplificada. É um processo por etapas, pois recorre a uma sequência de análises lineares, que exige
após a formação de cada nova fenda baixar a rigidez dessa zona. Para tal, fez actuar uma diminuição
de temperatura na parede até se atingir, numa dada secção, uma resultante de tensões axiais
correspondentes ao início da fendilhação, tendo constatado que seria na secção central da parede.
Após atingir o valor de Ncr, Teixeira [48] teve em conta indirectamente a não linearidade do
comportamento do elemento no modelo, simulando a perda de rigidez nessa zona. A avaliação da
perda de rigidez baseou-se num modelo simplificado de avaliação da abertura de fendas, referido no
subcapítulo 3.5, onde se admite que na zona da fenda, e num comprimento de 0,35 ℓ0 para cada
lado, a rigidez do elemento é a das armaduras, rigidez em Estado II.
Refira-se que no modelo não linear elaborado por Luís [38], as fendas se formaram da extremidade
para o meio da parede, como referido anteriormente, contrariamente ao que sucedeu nesta análise
69
linear. No entanto, este aspecto não afecta as características principais da modelação simplificada
adoptada e da comparação com esses resultados.
Na tabela IV.3 apresentam-se as quantidades de armadura consideradas para cada caso de parede
estudada por Teixeira [48], sendo que a armadura no caso 1 corresponde à mínima regulamentar,
admitindo tracção simples, e os casos 2 e 3 correspondem, respectivamente, a menos e mais,
aproximadamente 1/3 daquela quantidade. São casos de pormenorização próximos aos adoptados
na análise não linear, efectuada por Luís [38], de modo a permitir uma comparação de resultados.
Casos de análise
As,adoptado ρef (%)
1 Ø 10//0,10 (2x7,85 cm2/m) 0,785
2 Ø 10//0,15 (2x5,14 cm2/m) 0,524
3 Ø 12//0,10 (2x11,31 cm2/m) 1,131
Tabela IV.3 – Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira [48] para uma
parede encastrada na base e com espessura de 0,30 m
Nas figuras IV.7, IV.8, e IV.9 apresenta-se para os três casos, a variação da resultante da força
(resultante de tensões na secção transversal) ao longo da parede com uma deformação imposta
equivalente a um abaixamento de temperatura efectuada por Teixeira [48]. Os valores da resultante
das forças em cada secção apresentados naqueles gráficos foram obtidos a partir da soma de todos
os valores da força de cada nó pertencente à secção em causa.
Figura IV-7 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 1 (armadura mínima) [48]
Betão:
Ec=30,5 GPa
Fct=2,6 MPa
A500:
Es=200 GPa
Fyk=500 MPa
70
Figura IV-8 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura inferior á mínima) [48]
Reconhece-se que os resultados obtidos da análise linear, com introdução, após a formação de cada
fenda, de uma redução de rigidez, são qualitativamente e mesmo quantitativamente semelhantes aos
da análise não linear. Um exemplo disso é o facto de se ter chegado nos dois casos a valores de
esforço axial máximo gerado nas secções anteriormente fendilhadas da mesma ordem de grandeza.
Teixeira [48] também conclui que, quanto menor a quantidade de armadura, maior é o abaixamento
dos esforços globais nas zonas previamente fendilhadas, o que é expectável pois há uma maior
diminuição da rigidez (ver figuras IV.7, IV8 e IV.9). Também se conclui que o valor da deformação
imposta, para formar o mesmo número de fendas, é maior para quantidades de armadura menores, e
Figura IV-9 - Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura superior á mínima) [48]
71
isto porque a diminuição da tensão e da rigidez, aquando da formação de uma nova fenda, são
maiores.
A tensão nas armaduras é um parâmetro importante do controlo da fendilhação pelo que faz sentido
ser analisada. Assim, apresenta-se na figura IV.10, para os casos analisados, as variações de
tensões médias no aço nas secções fendilhadas à medida que se impõe a variação da temperatura.
Figura IV-10 – Variação da tensão média na secção central, para os casos analisados [48].
Os resultados apresentados revelam que antes da formação da primeira fenda ocorre uma pequena
variação de tensão na armadura, a qual se deve ao comportamento elástico da secção (estado I).
Quando se forma a primeira fenda observa-se um aumento significativo da tensão, apesar da queda
do esforço axial global, conforme também verificado no caso do tirante.
Com o aumento da variação da temperatura, a tensão no aço volta a aumentar, verificando-se com a
formação de cada nova fenda, uma diminuição ligeira, mas brusca, da tensão no aço. Estas variações
tendem a ser menores, quanto maior for a quantidade de aço na secção. Nesta figura nota-se
também como se formam mais fendas, para um dado valor de deformação imposta, quanto maior for
a quantidade de armadura.
Da análise das tensões médias nas armaduras Teixeira [48] atestou o mesmo que Luís [38], ou seja,
que mesmo para uma armadura inferior à mínima, a tensão média máxima, antes da formação da
fenda seguinte, é significativamente inferior à tensão característica de cedência. No entanto, o facto
de se considerar, nesta avaliação, valores médios ao longo da altura da parede implica que se está a
desconsiderar a existência de tensões não uniformes ao longo da parede. Para a avaliação da
abertura máxima de fendas dever-se-ia, portanto, tomar, eventualmente, valores de tensão
superiores.
Teixeira [48] analisou a distribuição de tensões ao longo da altura da parede na secção central da
mesma, para o estados I e II e para o caso 1 de quantidade de armadura. Na figura IV.11 apresenta-
72
se a variação de tensões no betão na zona central no Estado I (não fendilhado) e a razão entre a
tensão no topo e na base, σc, com a tensão uniforme, σ0, imediatamente antes da formação da 1ª
fenda.
Figura IV-11 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 1ª fenda, ΔT=8,63
0C para o caso 1 [48]
Na zona de ligação entre a parede e a laje de fundo há restrição total da deformação imposta, logo a
tensão é maior nessa zona, mas a variação ao longo da altura é quase nula (da ordem de 1,3%). O
valor obtido para a razão das tensões no topo e base da parede é concordante com o que tem sido
referido por outros autores, em particular por Favre [27] (ver figura IV.2, onde l/b=10).
Na figura IV.12 apresenta-se a distribuição de tensão nas armaduras na 1ª fenda (central) para a
situação imediatamente antes da formação da 2ª e 3ª fendas (formam-se em simultâneo).
Figura IV-12 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 4ª e 5ª fenda, ΔT=12,35
0C para o caso 1 [48]
73
Como se pode constatar, ao contrário do que se verifica no modelo não fendilhado, na secção central
a distribuição de tensões nas armaduras não é uniforme, mas antes aumenta ao longo da altura da
parede. Este comportamento deve-se à restrição na base da parede, que faz com que as aberturas
tendam a ser maiores no topo (ver figura IV.13). Assim, o modelo utilizado por Teixeira [48], com
impedimento total da deformação na base faz com que a deformação imposta na base seja
absorvida, no essencial, em tensões no betão e, na zona superior, estando o efeito de restrição mais
afastado, a deformação concentra-se nas zonas menos rígidas e anteriormente fendilhadas. Assim, é
natural que, devido às maiores tensões no betão na zona de ligação, se venham a formar fendas
suplementares, com menor altura, junto à base (ver figura IV.14), situação que corresponde ao
encontrado em muitas situações práticas.
Figura IV-13 – Deformada para a situação imediatamente antes da formação da 3º fenda, ao longo do comprimento da
parede SAP2000 [48]
Figura IV-14 – Fendilhação tipo que ocorre num muro sem juntas
Na figura IV.15 apresenta-se, para os 3 casos de distribuição de armadura, os gráficos da variação de
tensão na secção central da parede, juntamente com o seu valor médio. Estes valores médios de
tensões foram indicados no gráfico da figura IV.10 para a mesma situação de variação de
temperatura, marcados naquela figura com letra de A a C.
Verifica-se em todos os casos, pelos motivos mencionados anteriormente, uma considerável variação
de tensão em altura, que diminui, no entanto, com o aumento da quantidade de armadura.
74
Figura IV-15 – Variação da tensão (azul) e valor médio (cinzento), na secção central da parede aquando da formação das fendas seguintes para: a) caso 1; b) caso 2; c) caso 3 [48]
Observa-se, também, que, de qualquer forma, a tensão máxima na secção central é de cerca de 385
Mpa para o caso 1 (armadura mínima) e de cerca de 445 Mpa para o caso 2, com armadura inferior à
mínima. Estes valores são inferiores à tensão característica de cedência (500 Mpa) mas não são
aceitáveis em termos de exigência em serviço, pois os valores das aberturas de fendas expectáveis,
com tensões desta ordem de grandeza, podem tomar valores não admissíveis em termos de
durabilidade, aspecto e/ou estanquidade.
Para valores mais exigentes de abertura de fendas, com o fim de assegurar boas características em
termos de estanquidade (reservatórios analisados no capitulo IV), Teixeira [48] concluiu que poderiam
ser necessárias quantidades de armaduras superiores às do caso 3. Apesar desta constatação, o
mesmo autor admitiu que, o facto de se poder ter o processo de formação de fendas com esforços
axiais inferiores aos da fórmula da armadura mínima para deformações impostas, permite assegurar,
determinados níveis de exigências, com menores quantidades de armadura.
Em ambos os estudos concluiu-se que com a formação de fendas transversais, e consequente perda
de rigidez, as tensões nas armaduras tomam valores inferiores àqueles que teriam se de facto se
tratasse de uma situação típica de tirante, na qual se baseia a expressão base de estimativa da
armadura mínima ou de avaliação do nível de tensão para o caso da deformação imposta. Verificou-
se, de facto, que o nível de tensões nas armaduras, nas secções previamente fendilhadas é inferior à
tensão de cedência do aço, mesmo para o caso em que se adopta uma quantidade de armadura
inferior à mínima definida para o caso do tirante, em termos complementares.
75
4.2. Abordagem de acordo com anexo M do Eurocódigo 2 – parte 3 [25]
No anexo M do EC2 - parte 3 [25] são tratadas a retracção e os movimentos de origem térmica inicial
devido ao arrefecimento dos elementos durante os dias imediatamente a seguir à betonagem. Neste
anexo a situação (b) (restrição ao longo do bordo) enquadra-se no estudo efectuado neste capítulo.
Esta situação ocorre por exemplo quando uma parede é betonada sobre uma laje de base rígida já
existente (ver figura IV.16) como já referido.
Figura IV-16 – Deformações impostas de um muro longo de betão armado restringido na base
Para esta situação, este anexo recomenda que pode ser feita uma avaliação razoável da largura de
fendas substituído o valor de (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) dado pela expressão III.34 pela expressão IV.2.
𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 = 𝑅𝑎𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 = 𝜀𝑟 (IV.2)
em que:
𝑅𝑎𝑥 é o factor que define o grau de restrição axial exterior devido aos elementos ligados à parede
considerada e pode ser avaliado pela figura IV.17.
76
Factores de restrição
horizontal para a zona
central das paredes
Relação L/H Factor restrição
na base
1 0,5
2 0,5
3 0,5
4 0,5
>8 0,5
1 - Factor restrição vertical
2 - Factor restrição horizontal
3 - Juntas de dilatação
4 - (o maior dos valores)
5 - Fendas primárias
e 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 é a extensão que ocorreria se o elemento tivesse totalmente livre
Neste caso, a formação de uma fenda apenas influencia a distribuição local de tensões, e a sua
abertura é função da extensão impedida e do grau de restrição.
Este anexo é um pouco vago na definição de 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 mas no livro CIRIA C660 - Early-age thermal crack
control in concrete [5] de 2007 e na British Standard 8007:1987 - Design of concrete structures for
retaining aqueous liquids – anexo (a) [9] esta formulação encontra-se bem explicada.
No documento CIRIA C660 [5] onde se faz referência ao EC2 - parte 3 [25] apresenta-nos a seguinte
formula para idade precoce do betão (≈3 dias):
𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 (IV.3)
E para longo prazo (assumindo que se encontra fendilhada):
𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 + 𝛼𝑐𝑇2𝑅2 + 𝜀𝑐𝑑𝑅3 (IV.4)
onde:
Figura IV-17 – Factores de restrição para situações correntes [25]
77
T1 é a diferença entre a temperatura de pico e a temperatura média do meio ambiente. Esta
temperatura tem em conta a conta o arrefecimento do betão após as reacções químicas de
hidratação do cimento, que são exotérmicas e libertam calor. Como já se referiu a propósito da
retracção térmica (subcapítulo 2.3.1) esta temperatura chega ao seu ponto máximo 1 a 2 dias após
betonagem, e depende de vários factores enumerados nesse subcapítulo, entre eles: dosagem de
cimento, tipo de confragem e sua espessura, dimensão do elemento e temperatura do meio
ambiente. No livro CIRIA C660 [5] encontra-se bem avaliada esta temperatura para os diferentes
casos. Como exemplo temos a seguinte tabela:
Tabela IV.4 – Valores de T1 (⁰C) para diferentes classes de resistência de betão e para diferentes espessuras de
cofragem metálica e de madeira (mm). Neste quadro assume-se que foi usado o CEM I
𝛼𝑐 é o coeficiente de dilatação térmica do betão (≈ 10−5)
𝜀𝑐𝑎 é a retracção endógena do betão (para idade precoce do betão aos 3 dias e para longo prazo aos
28 dias)
𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 restrição a curto, médio e longo prazo. Estes valores são, em geral, propostos como
sendo iguais a 0,5 – ver figura IV.17. Este valor é conservativo pois estes são indicados normalmente
entre os 0,26 - 0,46, como descrito no CIRIA C660 [5].
𝑘1 tem em conta o efeito da fluência e é igual a 1 (pois no valor de R dado pela figura IV.17 do EC2 –
parte 3 [25] já se encontra o efeito da fluência). O efeito da fluência proposto é igual a 0,65
(recomendado pelo CIRIA C660 [5]) pelo que, no fundo, o valor da restrição R seria igual a 0,8
(R = 0.5/0.65 ≈ 0.8).
𝜀𝑐𝑑é a retracção de secagem do betão
𝑇2 é a queda da temperatura a longo prazo (≈20ºC). A fundação é enterrada e irá responder a
condições ambientais mas mais lenta do que a parede.
78
Para haver fendilhação tem que existir a seguinte relação:
𝜀𝑟 > 𝜀𝑐𝑡𝑢 (IV.5)
em que 𝜀𝑐𝑡𝑢 é a extensão máxima do betão em tracção.
O EC2 – parte 3 [25] não tem em conta o facto de a secção depois de fendilhar ter uma extensão de
tracção residual no betão, que não contribui para a abertura de fendas. Assim como indicado no livro
No diagrama do modelo realizado no Sap2000® vê-se que o esforço normal apresenta valores
máximos de 1400 KN/m na zona central e de 1650KN/m nas extremidades esquerda e direita (sendo
na zona de baixo onde se obtêm os maiores valores como seria de esperar). Estes valores afastam-
se um pouco dos valores obtidos para uma restrição total pois a parede está menos “restringida”
neste caso. Assim, como se verificou no capítulo IV, no caso de comportamento elástico, a restrição
ao se verificar ao longo da ligação inferior parede/fundação, há uma variação de tensões elásticas em
altura, especialmente nas zonas mais afastadas da zona central, que tende para uma distribuição
mais uniforme na zona central.
No caso dos tanques cobertos (ver figura VI.21) as mesmas conclusões podem ser retiradas sendo
os esforços normais menores do que no caso anterior. Esta diminuição poderia ser considerada
inesperada, já que apesar da espessura diminuir e assim também os esforços axiais associados ás
deformações impostas, esta parede fica mais hiperestática que a parede descoberta devido á
cobertura, e assim maiores esforços axiais se poderiam verificar.
Posição da parede (vista de planta dos tanques):
Figura VI-21 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos tanques com cobertura (cobertura com retracção e temperatura uniforme igual ás paredes exteriores)
No entanto constata-se que a diminuição da tracção verifica-se pois a cobertura ao retrair tem como
restrição as paredes do reservatório. A cobertura fica assim á tracção e as paredes do reservatório ao
restringirem este movimento apresentam compressões. Essas compressões vão aliviar as tracções
produzidas nas paredes pela restrição da laje de fundo, diminuindo assim os esforços finais de
tracção. De realçar que a cobertura apresenta a mesma exposição que as paredes, pelo que foi dado
o mesmo valor de retracção e de variação de temperatura. Se a cobertura apresentar valores
superiores de retracção e temperatura, mais compressão se vai ter nas paredes e menores os
esforços globais de tracção nas paredes. Este aspecto foi verificado admitindo-se para a laje da
cobertura uma grande retracção (-100ºC), como se pode constatar comparando os valores de tracção
da figura VI.22 com os da figura VI.21.
y
x
110
Figura VI-22 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques com cobertura (cobertura com grande retracção: -100ºC)
Se pelo contrario, se se considerar que a laje da cobertura não retrai nem tem uma diminuição de
temperatura, os esforços de tracção nas paredes aumentam em relação ás paredes descobertas (ver
figura VI.20) pois a estrutura ficava mais hiperestática, estando a restringir os movimentos da parede:
a laje de cobertura e a laje de fundo (ver figura VI.23).
Figura VI-23 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques com cobertura (cobertura sem retracção e/ou variação de temperatura)
Por último apresenta-se o diagrama de esforços normais da parede exterior onde existem dois
tanques sem cobertura (2 tanques á esquerda) e dois tanques com cobertura (2 tanques á direita).
Aqui pode confirmar-se o referido anteriormente, notando-se que os esforços normais nas paredes
dos tanques cobertos são menores do que nas paredes dos tanques descobertos.
É de especial interesse realçar que, junto aos tanques cobertos existe um pico de tracção na zona
superior da parede descoberta (ver figura VI.24) que resulta da deformação imposta pela cobertura.
Esta tracção é tanto maior quando maior for a retracção da laje de cobertura.
Posição da parede (vista de planta dos tanques):
Figura VI-24 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques sem e com cobertura (cobertura com retracção e temperatura uniforme igual ás paredes exteriores)
y
x
y
x
y
x
111
Analisando agora o esforço normal provocado pela temperatura e pela retracção mas num
reservatório com apenas 4 tanques como apresentado no início deste capítulo pode ver-se pelas
figuras VI.25, VI.26 e VI.27 que estes apresentam valores da mesma ordem de grandeza aos casos
analisados. No entanto, pode observar-se que a distribuição dos esforços normais não chega a se
uniformizar completamente na região central pois o L/H das paredes exteriores é mais pequeno.
Assim, embora para a temperatura se possa recorrer também ao modelo de apenas 4 tanques, esta
simplificação tem que ser encarada com alguma reserva pois existe uma menor uniformização do
esforço normal na zona central, zona mais comparável com um tirante.
Figura VI-25 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques sem cobertura
Figura VI-26 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques com cobertura
Figura VI-27 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos
tanques sem e com cobertura
y
x
y
x
y
x
112
Em resumo, e tendo em consideração o anexo 9 e os esforços presentes nas paredes (ver figura
VI.28), para os reservatórios sem cobertura podemos ver que quanto maior a área do reservatório e
menor a altura mais significativos são os momentos Myy, sendo pouco importantes os esforços
normais Nxx e os momentos Mxx. Á medida que o reservatório tem uma maior altura e/ou uma base
mais pequena (a/b<3), surgem momentos Mxx e esforços normais Nxx, mais relevantes. Estes últimos
são importantes pois vão sobrepor-se ao esforço normal provocado pela temperatura uniforme e pela
retracção. De notar que o momento máximo Myy aparece sempre na base das paredes, e o momento
máximo Mxx, assim como o esforço normal máximo Nxx no topo superior das paredes para a/b>2.
Para a/b<2 vai deslocando-se para baixo á medida que a relação a/b é menor.
Para os reservatórios com cobertura os esforços vão ser, em geral, menores, sendo válidas, em
geral, as observações feitas para os reservatórios sem cobertura. Apenas há a realçar que para estes
reservatórios o momento Myy positivo é maior que nos reservatórios descobertos e que os momentos
máximos Mxx, assim como o esforço normal Nxx tem sempre o valor máximo perto do meio do
reservatório.
É de especial importância a zona de ligação das paredes sem cobertura com as paredes com
cobertura pois neste ponto desenvolvem-se tracções importantes tanto por efeito da temperatura e da
retracção, assim como do impulso da água.
Por último, e focando apenas os esforços de dimensionamento da armadura horizontal junto á base
temos essencialmente esforços de tracção devido á retracção e á temperatura sendo pouco
importantes os momentos Mxx. Para o topo vão crescendo os momentos Mxx e diminuído o esforço
axial elástico.
Figura VI-28 – Esforços devidos ao impulso hidrostático em paredes de reservatórios
113
6.6. Esforços nas paredes interiores
Para análise dos momentos Mxx nas paredes interiores considerou-se a distribuição mais
desfavorável do fluido nos diversos compartimentos. A compartimentação imporia naturalmente
diversas combinações com carregamentos paralelos, cruzados e isolados. No entanto como temos
reservatórios quadrados apenas é necessário considerar dois casos: um reservatório descoberto
cheio de água e um reservatório coberto cheio de água.
Como se pode verificar pela figura VI.29, apenas é necessário considerar um caso de carga na
eventualidade de termos só reservatórios quadrados cobertos ou descobertos. Se a célula 1 estiver
cheia e a 2 vazia, a impossibilidade de rotação de A1B1 será devida a A1A2, não tendo nenhum papel
A1C1. Se as duas células estão cheias (1 e 2), A1A2 não exerce nenhum papel, sendo a
impossibilidade de rotação de A1B1, devida a A1C1.
Este resultado é verdadeiro para qualquer que seja o número de células quadradas agrupadas e
todas as suas eventualidades de enchimento. No entanto, como temos alguns reservatórios cobertos
e outros descobertos, temos que considerar dois casos.
Para análise do esforço normal devido ao impulso da água considerou-se todos os reservatórios
cheios (caso mais desfavorável).
C2 A2 B2
C1 A1 B1
1
2
Figura VI-29 – Esforços nas Paredes interiores: Distribuição mais desfavorável do fluido nos diversos compartimentos
114
6.7. Deformações impostas de acordo com anexo M do EC2 parte 3
Apresenta-se no subcapítulo 4.2 [25] uma expressão para o cálculo da retracção e dos movimentos
de origem térmica iniciais devido ao arrefecimento dos elementos durante os dias imediatamente a
seguir á betonagem.
Para que estes efeitos se façam sentir o menos possível utilizou-se um cimento adequado de acordo
com o apresentado no subcapítulo 6.3. De acordo com este subcapítulo e a partir de cimentos
correntes em Portugal seleccionou-se o cimento Pozolânico (CEM IV/A (V) 32,5R), por ser o que
melhor se adequa á situação presente. Este cimento, como podemos ver no anexo 6, tem as
seguintes propriedades:
65% a 89% de clinquer de Portland
11% a 35% cinzas volantes
0% a 5% de outros constituintes
Para se estimar a temperatura libertada durante o arrefecimento do betão devido ao efeito das
reacções exotérmicas de hidratação do cimento, há que definir a quantidade de ligante usado. Assim
recorrendo ao documento CIRIA C660 [5] que como referido no subcapítulo 4.2, analisa esta situação
com todo o detalhe, podemos consultar a tabela VI.4.
Assim, usando um betão C35/45 e uma quantidade de 20 a 30% de cinzas volantes (característica do
cimento pozolânico escolhido), tem-se uma quantidade de ligante de 405 a 410kg/m3.
Tabela VI.4 – Quantidade de ligante (kg/m3) em função da classe de resistência e da quantidade de adições
– Quantidade de ligante (kg/m3) em função da classe de resistência e da quantidade de adições
115
Utilizando uma cofragem de madeira de 18 mm e consultando o anexo 11, temos para as paredes
dos tanques de 500mm uma temperatura libertada durante o arrefecimento do betão de 30 a 35ºC.
Para as paredes dos tanques de 350mm tem-se uma temperatura de 24 a 28ºC.
Se se utilizar uma cofragem metálica pode constatar-se pelo anexo 11, que obteríamos valores
menores pois a madeira isola melhor o calor libertado na hidratação do betão.
Também a título de exemplo pode observar-se que utilizando apenas o cimento Portland sem
adições, apesar da menor quantidade de ligante usada (para se obter o betão com a resistência
desejada - C35/45) temos uma temperatura maior do que no cimento pozolânico (com adições).
Assim, usando o cimento de Portland tem-se uma quantidade de ligante de 380 kg/m3
para se obter
um betão C35/45 em vez dos 410kg/m3 de ligantes utilizados num cimento pozolânico. No entanto
para uma secção de 500mm e utilizando uma cofragem de madeira de 18mm tem-se uma
temperatura libertada durante o arrefecimento do betão de 40ºC em vez dos 30 a 35ºC consoante a
dosagem de cinzas volantes seja mais ou menos, respectivamente.
Neste exemplo reforça-se a ideia referida no subcapítulo 6.3, ou seja, a importância que as adições
têm no abaixamento da temperatura libertada durante os dias imediatamente a seguir á betonagem, e
que contribui para diminuir a possibilidade de fendilhação precoce do betão.
Considerou-se nos cálculos das paredes dos reservatórios um abaixamento de temperatura de 35ºC
(paredes de 500mm), usando uma cofragem de madeira. Calculando em concordância com
subcapítulo 4.2 a abertura de fendas para idade precoce do betão (≈3 dias) e considerando o
𝜀𝑐𝑎 (3𝑑𝑖𝑎𝑠 ) = 0,2 × 10−4 de acordo com a figura II.6, temos assim:
6.8. Análise de secções e pormenorização de acordo com abertura de fendas
Num tanque em utilização existe a acção do impulso da água sobre as paredes, que geram efeitos de
flexão e tracção (ver figura VI.30) que se vão juntar às tracções e aos momentos das deformações
impostas (temperatura e retracção).
Figura VI-30 – Representação, em planta, da sobreposição de efeitos no tanque: a) acção da água nas paredes; b) N, esforço normal devido às deformações impostas e à acção da água e Mcp, momentos devido à acção da água – este diagrama está ao contrário apenas por uma questão apresentação.
Para o estado limite último, como se viu no capítulo I, as deformações impostas podem ser
desprezadas desde que haja suficiente ductilidade, ou seja, capacidade de deformação plástica dos
elementos estruturais, devendo ser consideradas no estado limite de utilização.
Em resumo:
- para os estados limite de utilização e aplicando a combinação da equação VI.11 temos :