Top Banner
30

A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

Feb 08, 2016

Download

Documents

Herescu Daniel
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �

� ������������ �� �� ��� ������������ � ��������

��������� ����

��������� �� ���� ��� � � ���� ������������ � ������� ��� ���� � ����� ����� ���

� �� ����� �������� �� �� � �� ���� �� ���� ������� ���� ����� �������� ��� � ���� ����

������� � � ����� �� � �� �����! �� ���� ���� �� � � � ����" �� ��������� �� �� �� �������

�����# ������ ���� �� ���� ����� �������� �� � ��� ���� ��! $ ����� ���� �� �� ����

���� � �� ���� �%���� ���� ��� ��� �������&� ������ ���� �� ���������� �� ��� � ����� ����'

������! ������� ���� � �� �� ���� ����� � ������� ���� � �� ����� �������� �� %���

�� ���� ����� �� �� ���� ��� � ��� ���� �� �� ������� ����� � �������� ����� ��

� � ��� �� ��� (� ������!

���������

��� � � ��� �� � �������� ���� ���������� �������� ������� ����� ����� � ��� ����� �� ���� ���� �� �� �������� � �� � � ���� � �� � ����� ������� ��� � ��� �� � ���� ��� ������� ��� � � � � � �� � �� ������� ��� ��� ���� ���� �� ��� ���������� �! ���� �� � �"������� �

� � �� �� �� ! �� � ���

��� #$��%&'!� (�� ��������� � ���� ������ ��� ��� ����� � )� *� ! �� ���������������� ����� �������� �� � ������� $����� ���� � $��� � � + ! ��� ����������� �� ��� � � $��� ! ��� ���� �� ������� ������� �������� �� � �������� ������� ��� �� �� ����� ��� �� � �� �� ������ ���� �� ��� ��� � ������ �� ��������� ���� ������ �� ��� ��� ��� ����� ��� #��$%,'� #��$&-'!�

(� ��� ����� �� �������� ������� � ��� ����� ������� ��� �� � � ������� ��� ��� � ��� �������� ���� ��� ���������� ��� .��) � � ��� �� ��� �������� ������� ���� ��� � �"������� �� �� � ����� � ����� �� ��� ��� ��� ������� �� /�����$������� ���� ���� ���� ��� � ��������� ����� ����� �������� �������� ������� ���� ��������� ���������� ��� ���� ���� � �� ��� ���������� ��� ����)�� �! �� ��������� 0�� � ������� � ���� ���������� ���� ��� ���������� ��� � �"������� ����� � ������ � /�����1$������� �������� 2� �������� ������� ���� �� �������������� ��� ����� /�����1$������� ������� � 0� �� ���� ��� �� ��� �� /�����1$������� �� ���� �������3�� �� �������� ������� ������� ���� $����� ���� ! �� *�� ��� #*�45'��� 6�7��� #6�745' �� 2����� 08�- �� #��99' ��� �� ���� ��� �� �� �� ���!� 0� ��� � �������� /�����1$������� �������� ���� 6�7���: ��������� ���� ��� �� �� ���/�����1$������� ������� ����� � ��� ��� ��� ����� � ����� ������� ��� �� � � ��� ������������ ��� �� ��� ���� �������� ����� � � *� ! �� � $����� ���� ������ �� ������ ������ �������� �� ��� ����� � ��� ���� ��� � *� !�+ ! �� �� ��� �������� �� ���� �������� �������� 0� �� �� � ��� �� �� ���; ��� ������� �������� ������ ���� �������� �� <��� ����� ������ � ��� � ������� �������� ������ ����� �<����� ���� �� ��� ���� � !�� !� ����� � �� �������� � ! � ����� �� ��� � ��� � ! ��� ����������� �� � ���� ��� ��� ��� ������� ����� � ���� � ������� ������������� �� ��� �����

Page 2: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� )���'� ���� * %

+ �! �� ������ �� � ������� =����� ���� � � 7 ���� ��� �� ������� ��� ��� ������� ������� ����� � =����� ���� � ���� ��� �� � �� ������ � ��� ��� ������ =���������� � ��� ���� �� ��� ����� � ������� �������� ���������

>��� ������ �� ��� ��� � ������� ���� ���� ��� ������� =����� ������� ������� ������� ��� � ������� �������� ?� ��� ������ (� ��� �������� ��� ���� ����������� ��� =����� ������� � ������� ��� � ?� ��� ����� ��� � ���� � )�� � ��� ��� ������� ?� ��� ����� ������� ����� �������� ���� ���� ����� ����� � ������ �� 2����� 0��� ��� ������� !� ��� �������� ����� �� ��� ��� ��� ����� � �������3���� �� ��� /�����1$������� ������� �� ��� ������� � 7 ;�� ���� ���� ��� ��<������� ���� ��� ���� ����� � � ��� ���������� ��� ����)�� �! � � ������ ����� �� � ��� �� � ���� ��� ���� � �� �! ��� �"������� � ���� !)�� �! � �������� �! �������� ��� ����� ��� ?�� ����������� �� � �� ������� �<������� �� � ����� ��������� ���������� � ���� ����;� �� � ��� ������� �� @ ��������� ���������A � ��� ������� �� ��

0� 2����� 00 �� �� � ��;� � ��� �� ���; �� � ����� �������� �� � =����� ���� � � ���;�� �� ��� �� �� ����� ������� 00�4 ���� ���� ��� � ������� �������� ��� �������� �

� ����� � ��� ���� � � � ! ���

��������

����� ��B����� ��� ����� �� ��� ��� � � C� >�

�� � ��� ���� � � ������� ��� ��� �� ! ��� � �� ������ � ���� � ������ ��������

��� ����� ���

0� 2����� 000 �� ���� �� ������� ���� � ��� �� � �� ��� � >� ������ ��� ���� ����� �� � ������� ���� � ���� ��� ��� ��� ������� ��� ���� ��<������������� �� �� ��������� 0� ��� �������� ���� �� � �� ��� ������� ������ ��� �#��49' � ��� ������� �� ����� ������� ������ ���� ��� ��� ���; � ��� =����� ������ 0���� ������� ���� � ��� �� ������ � ��� � ����� � � =�����1�� ����� ��� � ������ ������� �� ��� ����� �� ���� ���� �� �� �������� � � ���� �� ����� � ������� ��� ��������� ?� ��� ����� �� � �� ���� �� � ������� ��� ��������� ��������� ���� ��������� �� � �������� �� ��� ����� ������ ������ ������� �� �������� + �� ��� �� ��� ��2����� 00� �� ��� ���� � �� ��������� ��������� � ��� ���� � ��� �������� � ��!� �� � � � � ��� � ������

0� 2����� 0D �� ��������� �� ������ ��� ������� =����� �� ������� ���� ��;� � ����� �� ����; ���� ��� ������� ������ � 2����� 000 �� ����

2����� D ������ ��� ��� �� ��� �� ��� �� ����� �� � ����� ������� ��� ��� � ������� =�����1�� ����� �� �! ���� �� � ����� �� � ���� ������ �� ������� ���� ����������� ���� �� � �� ��� ����� ������� ��� �� ��� �������� ����� *� !� 0� ���������� ����� �� ��� @�������������A �� ��� ����� + �! ��� ��� =����� �����

>� �������� �� ����� ��� 2����� D0 ���� ������ � � �� �� �� ��� ����� ��� � �� ������� ��� ������� �� ���; �� ����� ������ �� ����� ���� �� ������� ���� ��� ��������� ��������� ��� � ������� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ������� �� � �� ��������

0� ����� �� ���� ����� ��� �� ����� ���� ��� ������� ������� ��� ?� ��� ������� �� ��������� ��������� � �� �� � �� ����� ��� ������� ����� ���� ��� ����� ������������ ��� #7=9C'� #=$99'!� ?�� �������� ������� �� �������� �� � �<������� �� ��� �� ������������� ��� ���� ��� �� ���������� ��� �������� ����� ���� �� #��99� 80� �-'!�2��� � ���� ���� ��� ��� ���� ����� �� � � ��<�� @������A� ����� ��� =����� ���� ��� �� ���� �� �������� � ���� � ��� ��� ��� �� ���� ���� ��� � ��� ������� ?� ��� ��������E��������� ����� ���� �� ����� ��� ������� � ��� ?� ��� ����� ��� ���� ��� ������� ���� ��� �������� �������

F���� ��� ���������� �� �� ���� ���� 0 ������� � ��� ���� ������ ���� ��� $� +����� ��� ����� �� ������� #+�&5'� 0 �� � ����; G� 7��3� ��� ���������� � �� �� � ?���������� 0 ����; $� +����� ��� ?� $� ����� ��� ����� �� �� ��� .���2���H������0� ������� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ��������� ��� � D�����

7�� ������� � �� ����� ��� ����� ������� ������� ���� =����� ���� � >� ����� ������: ���; #��99' ��� ��� �� � �"������� �������� �� =����� ������� �

Page 3: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �

�� � � � ���������� �� �� ������������ �� ��

0� �� ����� �� �������3� ��� ��� ��� ������� �� /�����1$������� �� =�����1?� ���������� �� ��������� ��������� ������� 0�IC!�

������� ��� ��� � �� � =����� �������� 7 ������������ ���� ���� �� � � ���������� � )�� � ��� �� �� �� ���� � �! � � ��� � ����� �)�� �� ��� ���B�������� ��� #��99� 0D� �-'!� ��� � � � ��� ��� )�� � �� ������ ��� ����������� �� � ����� ������� ����� 7 ����� ����� ������ ���� � �� �� ������ � � ��� �

� ��! � � ��� ! �� �!! ��� ��� � � �� � � ��

��� #��99� 0D� �-'!� ��� ����� ���� �� ��� �� �� ��� ��� � ���� � � �� �! ��� ������� ������ ������� ����� ��) � � �� �� � �� �� I � � ��� ���� �! )� � �� I!!� ����) #�� �' � � �� � ����� � �� ������ >� ����

� � �!)��� �! � ���� �!

��� ��� ����� ������ ����� ��� ���� �� �������� ���� ���� ����� � ��� #��99� ��� D000�-�J'!�

����� ��� �� � ���3� ��� ������� �������� �� ��� ��� �� ���� �� �� � � ��� =����� ���� � � ���� �� � � � � � � � �! � � ��� � � � � � � ��� � �! � �� �� �! � � �!���������� � ���������� ������ ���� � )�� � ��� ��� �� ������ �

� � �! ��� �� �� � �!

��

����� )� � � � � � ����� ���� ��� ���� ������� ���� ����

� ��� ��� � ��!! � � � ��! � � ��� !�� �! � � ��� !�� �� ��� � � �!

�� � ��� ��� �� � �!!

���� ���� ���� ��� ��� � �! ��� <��������

������� ��� �! ��� #+�&5� F��� I,�I9'! ��� � �� � =����� �������� 7 ����� ������ � � ������� !)� �! � � ��� � �� ������ �� ����� ������� ���� �� �! � �����7 �������� ������� ���� ! �� � ������ ��� ����� � ��� ���� � � � ����� �� � � �����")� � � � �� ���� ����������� �� � � � � =����� ����! ��� ��� ���� #�� � C ���

# � ! �! � �" ! �! �� � ! �!

��� ��� � � �� �!� � � � 7 ������� �������� � ��� �� !! �� � =����� ������� � ��� ���������� ������� ���� ! 0� #+�&5' +����� ���� ��� � ��B��� ������ ������ ���������!�

�! 7 ����� � �� � ������ ������� ��� ����� � ��� ���� � �� ����� �� � � ����� ")� � ���� ��� ���� #�� � C ���

# � � � $! � " !� " $! �� � � � $!

��� ��� � $ � � � 7 ����� � ������ ��� ����� � � ������� ��������� ��� ��� �������������� ���� ��� ����� � ������ ��� ��� ������ ��������� 7 ����� ������ �������� ���� ���! �� � =����� ������� � ��� � ��������� ����� � �

�! 0� ��� �������� �� �� � ���� � )� ! �! ��� � � �� �! ��� � � � � >� ����� ��� ������� � ����� � � ����� �) � �� �� ��� ������� ������ �������

% �! )�

��

K� �! �� �

��

! K� �!! �� � #C��'&

>� ����� � ����� � �� � ��� � $! )� ��� % �!�

����� ��� ����� ��;�� ���� ��� �������� ����� � � ����� ��������� �� $ � 7��������� #+�&5� L���� I,�,,'� ��� ����� � �� � ��������� ��� ������� ����� ��� ����� 7�� �� !!�� ��� �"������� � " �� � ��� ! Æ �" � ! � 0� �� �� � ����� ?� ��� ������� � �����=����� ������� � � �������� �� ���� >� ���� �� !! ��� ��� � � � �������� ����� ������� �� ���� �� ��� ����� � �

Page 4: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� )���'� ���� * %

������� ��� �! ��� � �� � ���� �� ��� ?� ��� ������� �� !!� >� ���� �� !� � ! �������� �������� ��� � ��� � ��� ���� ������� !)�� � � ������� ����� �������� ���� ��������� ����� � � 0� � ���������� ���� ��� ���� � � ��� �� B���� �� � ����� � ����� ������� � ���� ! ��<���� ��������� �� � ����� � � ���� ������� ���� ��� �!�

�! >� �� ���� �� !� � ! �� ���������� ������� � ��� ��� � �� ��� � � � �� �! � ����

�� ���� � ���� ! �! � � �

��� � ���� ! �������� ��� ���� � �� �!����� � �� ���� ����� � �� �������� ���������� =����� ���� �� �! ��� �������� �! ��� ����� ��� � ���� ! �������� ��� � ���� �

� ���� !!� � �����������

������ ��� �! ��� � �� � =����� ����� >� ������ �� ��� � �� ��� ����� � ����������� �� ! � �! )� � � ?�� ����� ����� � � ����� �) #'� !' � � �� ����

� !!� � '! �

�� �! �� �

�� �! �� � % �!�

� ���� � � $! � � $ ��� ����� ��������� �� ! � 2��� � � =����� ����� ��� ����� ���� (� �! ��������� ��� � � ��������� ����� �� � �

0�������� ��� ��� �� � � � � � � � �� ����� ��� ����� ���� ���� �� � � �! � � �� �� C!� ��� ������� ����� �� �� ���� ��� ���� �� ������ �! � � ��� �!� � ���� �������� � ������ � � ������� � ���� �� ���� �! � � �� � ��� �������� ���� ���� ��� � �

�! � ������ �� � ����� � � ��� ��� ������ �� � � ����� ���� �� !� � ! � ?� ���������� ��� �����

�! 0� �� )! � �������� �������� ���� � ����� � �������� ���� ��� ��� ����� ������

�� ��� ���1/��� ���������!� ��� ���� ��� ������� ������� ���� ���� �� ! �! � ) �� �!��

������� ����� �������� ���� ���� #��99� ��� D000�J�,'!�

?�� � �������� ������� �� )! � ������ ���� ������� 80�-�5 � #��99' ���� � �� ��������� ��������� � ��� � ��� �� � � ��� ���� � ��� ���������� ��� ������� ���������� �� �� ����� ����� ���� �� ���� ��;�� � ��� ������� � ��� ���� ������� ���� ��?� ��� ������� ��� ���� � ?�� �������� ������� �� �������� �� � �<������� �� ��� �� ������������� ��� ���� ��� �� ���������� ��� �������� ����� ���� �� #��99� 80� �-'!�2��� � ���� ���� ��� ��� ���� ����� �� � � ��<�� @������A� ����� ��� =����� ���� ��� �� ���� �� �������� � ���� � ��� ��� ��� �� �� � ���� � ��� ?� ��� ��������

����� ��� ?�� �������� ������� � �� ���� ���� �� 6�7��� ���� ��� ��<����������� � ���� ! �������� ��� ���� � �� �! ��������� � F������ 0�J ����� #��99� 08���� -�%'!� 0 �� �� � ���� ��� ?� ��� ������� M ��� ����� ���� ���� � #��99' ��� ��� ����� �������3� �� ��� ����� �� ?� ��� ������� ��� ���� �

����� ��� 0� � � ���� �� � � ���� ��� ����� ������ �������� �������� * ���� ����� ��������� ��� ��

+ ,� -� .! � *�*�. �*�*�. �*�����.

��� ������ ���� , � - ��� . � ��� ��� �� �������� �� + ���� ���� ��� ���� ���� � � � ����� � �� �� ����� �� �������� +� �� �!)�� �! � �� �! ��� ����

+� �� �! �! � + ,� -� .!

���� ��� ����� ������ ���� , � - � . ��� , �! � � � - �! � � ��� . �! � � ��� #��99� �� ,-,'!�?�� �������� ������� ������� ��� ��� ���/��� ��������� ��� ����� ������������������ �� ��� �������� ����

�+� �� �� �!� �� � C ��� ��� �� � � �� �!&

0� ��������� ������� ���� �� ���� ���� ��� �������� �+� �� �� �! �� �� �! ��� � ������ �������� �� ��� =����� ���� �� �! F������ 00�I!� 0 �� ������� ��� =�����1?� ���������� ��� ���� �<������� �� ����� ��������� ��������� � ��� �� � �� F������ 0�JM

Page 5: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �

!�� �"� �� ) (� !� ! � �� !�! �� � � ��� ������ ������� ���������� ������ ������ �� � ������ � � C ���� �� ��� ��� $ � ( ��� � � �� ( ! �� ��� !�

�� �!

�� �!� �!&

�� �) #'� !' � ( �� � �������� ����� �� �� ( � ��� % Æ �! � � � % �!&

���#� �� ������ ��������� ���� ��� ������� ��� #��99� D000� ����� 4�&'!�

!�� �$� �� ' / ! ��� �) #'� !#� � �� � �������� � ����� �� �� ��� ��� ��������������� �� !! ��� ������ �� % �! /� � ���� ���� � �! � ��� �� � �

���#� ?�� ���� 0 � C ����� �� � � Æ � C ��� !� Æ � ' ��� % � �� �Æ� �! / 0 � �� ����

���� ��� �� �� � #!�� !# �� ���� ��� �!� � ��!

�� % � �� �� �! / 0& ��� � �!!����� � � /�����

��� � ��� �������� ����� ���� �� �!� � ���� )� ���� � �! �� � �

!�� �%� �� �� !� � �� ! �� � ��� ��� ������� �������� ��� � ���� ���� � �� ������������� ��� ��� �� �� ����� �� ���� � �� �

���#� ��� � � ��� � � ���� � �� �!� >� ��� ��� ��� ������ ����� � 1) '� � �� � #��� � �� ���� ��!� ����� �� � � �'C��' � 0� � � � � ���� ����� ������ �� ���� 2� �� � ������� � /� � 2��� 1� � �������� ������ ���� ����� ��� ����� 1 � �� �����

% 1! �

� �

1� �! �� � � � /��

��� ��������� � )� ����� 1 � ! �� � � � ����� 0�%!� + �� #��99� D000� /��� 5�,'� �� ��� �� ���� ��� ����� � 1 ��� �� �������� �� �� ���� ������� �������� #C� � ' � �� ��������� ��� �������� �� � ��� ��������� ����� ��� � ������

��� )� � ( �� � � ��� �� ������� � >� �� ���� �� ��� ���!�� �� ������ �� ��� � ���� � ���� $ � ( � � ����� � � ���� � � ( ������ ���� $ � ��� � ���� � ���� ! � $ � ����� �� � � ��<�� ����� � � ���� � � � ��� Æ � � � ������ � � ��� �������� ������� � �������3���� �� ������� 4�9 � #��99� D000' ����� ��������������� ! �� ��� ����� �� ?� ��� ������� � 0� � �������� ;�� �� ��� � �� ������

&'���� �(� �� �� !�! � ��� ��� ������� �������� ��� (� !� � �� ! �� � �������� ��������������� ��� � ���� �� )� � ( �� � ����� � ���"����� ���� ��� ����� ���� � ��� � ������� � C ���� �� ��� ��� � � �� �� ���

!� � �!! � � � !� �!&

���� �� ���#����� �� � ������� ��� ��� �� ���!�� �� ������ �� ���� ��� ( �� ��� ����

���#� >� ��� ��� ������ ��� ����� � #��99' ��� ��� �� � �� �������� ������� � ��� ����� � ����� ��� � ?� � �� ��� ���� ��B����� ��� �� ��� ��<�� ���� ����� ������������ � � ��� $ )� !� .���� ���� � ( ��� �� B���� �� $ �� � ����� � � ����� ����) #'� !' � ( �� ��� � ���� B���� $ � � '! ��� � !!� >� ���� ����� ���� � ��� �� �������<���� �� � ���� � � ������ ���� � �� ��� ������� � ��� �� � ���� ��� 2 �� ��� ���� ������� � � #'� !' ��� ���� � ������ ��� �� ����� ��<���� �� � ���� � � � ������ �� � 0�' � ! � ����� ������ �� ���� � �� � ��� ���� ' / ! � ��� �� ��� ����� ����� � ' � 2 ���� � ���� ����� � � ����� �"������� �� 6�������� � ����� ���� ��� ����������� 2 �� �������� 0� ! �� 2 � ���� 2 � #'� �# � ����� � � ��2 � ��� �� ���� � ��<�� ����) #'� �#� � �� � ��� � '! � � + �� ����� 0�4� �� �����

% �! � % � �����! � % Æ �! � �% �!&

��������� % �! /� � ��� ����� 0�% ���� ���� )� ���� � �! �� � � + �� ��� � ���������� ��� �� ���� ����������� � �� �"������������ ���� �!� �� ����� � ��<����� �� � �� �� ������� #'� ��' �������� �������� #'� �' � �� ��������� ��� �������� �� � ���� �� ��� ����� 2 � #'� !' � �� ����� ���� ��B����� ��� ���� � �� ��� ��<�� ��������� ���������

Page 6: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

" )���'� ���� * %

��� ���� ��� �� ������ ��� ������� �� ��� �� � ����� � ����� ������ �� ?� ���������� � �� �� �� � ��� !�� )� !� Æ� �� ��� �������; �� ��� ������� ���� !� �� � � (� �������� !�� � ��������� ������� ���� �� � ����� � � ����� �"������� �� 6����������� � ������ ���� !�� � �!� ��� ��������� ��� � ��� ��� ��� ����� ������ ����� ��� ����� 0�4!� >� ���� ���� � �������� ��� �� ���� �� ��� � 2� ��� �!��� �� � ��� /����� �<����� � � � ���� � �� � � /����� �<����� ��� �� ���� �� �� � ����� �������� �� �� ������� � � � ��� ��� ��� ����� ��� ���������� � ������ ���� ��� ����� ���� �� ���! ��������� 2��� � ����� �"������� �� ��� ���� �� )�( � ��( ��� �������� ���; �� � ���� �� )�� � ��� �� � ��� �� Æ �� � �� Æ � � E�� ��� ����� �� !�� � ��! � ?� ��� ������� ��� ���� ����� � ��� ��� � )�� � �( ��������� ������ ����� ������ �������� ���� ���� ��� � ����� 0�& ���� ���� ����� � �� � � ���� ������������� �� � ��� ��� ���� ���� ����

�( � �� ����� ��� ���� Æ� � Æ ���� &

7 �� ���� ��� � ��� ����� ���� �� ��� � ��� ���� � ����� ������ �� ?� ���������� ���� � ����� � �� ������� ��� ���� � 0� ��� �� � ��� �� ��� ���� ��������� 2��� �� ���! ��������� �� ��� �� � ����� ���� (� �� ! ��������� ��� ����������������� ��� ������ ��� $ � ( � 0� ��� �� #��99� /��� 5�,'� ����� �� � �� ���� ���� 3 �� ( !

��� ���� ���� ��� 3 �"������������ ���� �� ���� �� �� � )� ���� 3!� ��� �� )� � � !�?�� ���� � � $! �� ��� 3� )� � !� 3! �� �!� ���� �� )� ���� 3�! � �� ��

��! � ���� 3�!! � ���� 3! � �&

2��� ��� ��� ��� Æ ���� ���)3� � � ������ ��� ���� �� Æ � !� �� �� ���� ���� ���

��"������� � ���� �� ���� �� �� �� � ����� � �� ��� �B����� ��� �� �� ����������������� �"�������� >� ���� ���� �� �

�������

��&

0� ����� ��� 4 � �� � ���� 4! � ���� '! � � ��� ��� ' � 3 � ���� ��� ����� � �������) #C� I' � (� � �� ���� �'! � 3 �� � ��<�� ��� �� � ����� � ������ 1) #C� I' � � ���1 I! � 4 ��� Æ 1 � � � �� ��� ���� )� 1 C! � � � C!! � � $!� ��� ���! )� 1� C! � � !� '! � 3� �� �! �� ���� 1 �! � ���� �!!� 0� ���������� �� ���4 � ���� !! � �� � E��� �� ��� ���� ��� � ��� �� N ���� � � � 2� ��� 4 � ��� � ��� �>� ���� 4 � ����� !! � ����� !�! ��� ! � 3�� ��� !� � 3�� � 7������ ���� 4! � ���� � !&!! � ���� � �!&!�! ��� ��������� ' )� � !&! � � �!&!� � E�� ������ ����� � ������

#C� I' � �� � �� ����� �!!� ����� �!�!

����� � $ ��� ��� �� ��� ��� ����� � ������

#C� I' � (� � �� ���� �'!�

� ���� ��� ��<���� �� ��� ���� ����� �������� ���� ����� �!! � ����� �!�! ��� ��� � � #C� I'�

��� ������ ���� � � � �� ��� ���� �� ��

�������� �� � � B��� ���� �� ���� ���� ��"�������� �� �� � ��� ��������� ���� � ��������

��� ����� �� ������� 0�9 ���� ����� ���� ��� ��� ���� � #��99' ��� ��� ����� �� ��� �������� ������� ���� ��;� � � �� ����� � �������� �������� �� ����� ���� � ���� ����� �� ��� *��O ������ 7 *��O ����� ��;� �� �� � � ��� ������ ��� ����������� ��� ��� �� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ������ �� �

&'���� ��)� /�����1$�������1*�� ���16�7��� ������� ��� =�����1?� ��� ������� ! �� �� !� � ! �� � �������� ������������ ��� ��� ������� �������� ��� � ��� ����� ������������� �������� ���� ��� ���� � � � �� � ������� �� ����)�� �! � � �� ����#���� ������� ��� � �� ��� ����

Page 7: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� $

���#� 2��� � ����� ����� ��������� .�� )� ���� ������ �� ��� ����� ������� ���� �� �!� 2��� � �� ��������� ���������� ��� ���� � �� �! ��� �"��������.�� !)�� �! � ������� �! ����� �� ��� ��������� >� ����� � )� �� �! ������ �������� �� !�! �� � �������� ?� ��� ������� � � .������ 0�5 �!� E�� ��� ���.��)� �� � ����� �"������� � �� ���� !

�� .�� �!

�� � � !� �! ��� ��� � � �� �

��������� ������� 0�9 ����� ��� ��� ���� .�� � ��B����� ������� ����

*�������+ ���� �� �� !� � ! �� � �������� ������� �������� ��� � ��� ����� ��� ����������� �������� ���� � �� ��� ��� �� ��� ���� �� � �� ������������ ��� ����

���#� �� ������ ���� ����� 0�& ��� ������� 0�IC�

>� ���� � ���� ��������� �������� ?� ��� ������� ��� ���� ���� �� ������������������ � �������$%����$&������� ���������

*�������+ ���� �� �� !� � ! �� � �������$%����$&������� ��������� ���� �� ������������������ ����'

��� ��� ���� � �� �� � ������� �� ����)�� �! �� �� � ��"����� �����

���� �� �)� �� �� � �������� �� � ��� �� � ��� ������ ��� �!�

�� �&

����� ��� �� ���� � $ �� ���� � ��� � ���!�� ����� ������(��� �������� ������ �) #C� I' �� ��� � C! � ��� � I! � $ �

���#� ! ������ ������� ���� ������� 0�IC�

! 0� ��� �� !� �� ��� � ��� ���� � � � � =����� ���� ��� ���� � �! � �� ��� ���� � � � ���� ��� ����� ����� �� �������� �� ��� ���������� ������� ���� ����

�� � �!� ! � �� ��� ! � � �� � �

��� �� �� �

! 2��� ����)�� �! �� ��B������ ����� �� � � � � �� �! ��� ���� �! � $ � >� ���� �! )� ���� ��! ��� � � #C� I'� ���� � � ����� � ������ ��� ��� ������ ����� �� ���������� ��� ���������� ������� ���� ���� � � ������ C� �! � � � $! � % �! � � � � ���� � � ����� ���3��� ��� ��<���� ������ ���� ��� �B������ �� ���� �

��� �����<�� � �� � ��� ����� �� /�������� 0�I, ��� ���; �� $������� #$�94'! ��������� ��� �� ��� ��� ������ � .� /����� �������3�� � �� �������� ���� �������� ������� ��� #/�4-'!� ��� �������3���� �� ��������� ���� �������� ������� ��� ��*�� ��� #*�45' ��� 6�7��� 6�745'� >� ��� ��� �������� ��� ���� ��� � #��99'�

����� ��� ��� �� !� � ! �� � ?� ���1/�����1$������� ��������

I! ��� � � ��� �)� �� �� � ����� �� 0 ��� ������� )� � � ��� �! � � � � �!!�

������M ?�� ��� �������� �� � �� ������ ������� ���� ��� �� ������������� ��� �������� ���� ��� �� � � � �� ����

��� � �

� !��� �

�� � �

� !��

� ���� �!� � �!

��

���� �!�

���

���� �!�

��&

7 ���� ����� �������� ���� � #��99� ��� 08�J�J'�

,! F�� ����� ���� ����� ����� �� ������ �� � ���� � ���� ����M ?�� ��� ���������� � �� ��� �� ������ �� ��� =�����1�� ?��� L��� ������� #��99� ��� 80�-�,'!� � ����� ���� ���� ���! � =������� ����� ���� � �������� ����� ���� � ���� ��� ��������������� ��� ���� � ?�� ��� ���� � ������� �� 2���� �� ��� ���� ����� ������� �� �� �������� � � ��<�� ��� �� ���� �� ����� ���� �

��� � �������� ��� ��� � ����� � /�������� 0�I, ��� � �� �� � ��� ����� �� �������� ���� �������� �������� � .� /�����: ���; #/�4-'�

Page 8: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

% )���'� ���� * %

��� �� ����� �� �� ������ �� ������ ���� �

0� �� ����� �� ������� ��� �� ��� �� �������� �� =����� ���� � 7 ;�� �� ��� �������00�4 ���� ���� � � ������� �������� �� � =����� ���� ��� ���� � � � ������ ����� �����

� � ��B����� ����� ��� �� ������� � ��������� �� ��� � ������� � ��� �� � ���� 5��� ��� � �� ������ � >� � � �� �� ��� � 2����� 0D �� ����� � ������� ���� ������ ������� �� ������� �� ���� �� � ������� ���� ��� ��������� ����������

��,,�����-� ��������,

������� ��� ��� � �� � =����� ����� >� ���� 3 �! ��� ��� ���� �� ������� �������� � � � � ?�� 4 � � �� ���

� 4! )� �� � � �) � � I� ��� 4� � 4 �&

>� ���� � 3 �! ����� ��� � ��� ���� 4 � � ����� �� � �� � � � 4! ��� ����� 4!� � C&>� ���� F �! ��� ��� �� �� ������� � ����� �������� �� � �

2��� �� ���� ���� ��� ������� �������� � ��� �� ��� �� ��� ��� � ����� ����������������� ������ ���� ������ >� ������ ���� � ��� �������� ��������

&'���� ��� ��� � 3 �! �� ��������� ��� �!������'

��� �� ����� ����

��� ��� ���� � � C �� � ����� �� � �� � ������

��� 5�� � I ����� ��� ��� � � C �

��� ����� 4!� � C ����� ��� ��� 4 � � � � � � 4! �

��� ��� ���� � � C �� � ����� �� � �� � ����� ��� ���#�����

���#� I! �� ,!) ���� �� � ��� ��������� �������� ��� #L�3&-� ��� J�,'!�

I! �� -!) >� ���� ���� ��� 6 / I ��� �������� � � 6 ��������� ����� ��B��������������� ��� � ����� � ��� �<���� �� ��� �����1L���� ������� ��� #L�3&-� ��� J�-'!�

-! �� J! �� � ������ ���� #L�3&-� ��� J�-'�

I! �� 5!) 2��� I! ���� ,!� �� ���� ���� �� �� ���� �� � �������� ��� ���� � � C���� �� ������ ���� 2��� !�'C��#� N ���� � ��� �<����� �� -! #L�3&-� ��� J�-'!�

*�������+ ��� �� � 3 �! �� ����� ��� ��� � � � ������ �������� ���� ���� ��� ��� �� ����� ����

���#� �� � ����� ��� �<����� �� ������� 00�, ,!�

!�� ��� �� 0 � C ��� �) #C� 0' � 3 �! �� � � ����� ��� � C! � � ��� � �! � I ������ � � ��� �� C! ����� ����

���#� ��� 4 � � ��� � � � 4!� ���� � �! 4! � 4 ��� ��� � � C ���� ����

����� � �!&4� � 4 � ����� � C!&4�

��� ��������� ����� �� C!&4� � C&

������� ��� >� ��� ��� ��� ����� ������� �) � � � ���� �� ��� ����� ���

� 4! )�

����

4�

,7� I!P&

Page 9: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� (

���� � 4�! � � ������ & 6�������� ?��� #��95� �I�-' �� ������ ��� ������� ����� ��

� 4 � 4

���

I�

4�

7���

�� 4 � � &

��� ������� �� �4! � � � 4 ��� ���� �� � �� �� �

����

I � ��

����

���� ��������� ��

� 4! �

���

I �

4

7���

�� 4 � � &

&'���� �"� ��� � 3 �! �� ��������� ��� �!������'

��� � �� ����� ����

��� ��� ���� � � C �� � ����� � � ! �� � ������

��� ��� ���� � � C �� � ����� � � ! �� ���#���� ��� � ������

���#� I! � ,!) 0� � � ������ ���� ��� ��� ���� ��� �� ��� ��� � � C� ���������� ��� �� ��� ���� � ! ����� ��� + �� ��� ������� ����� �� �� ��� ������� � � �������

� ! ��

��

I �

7���

� ��� #��%-� ��� IC�,%'!� >� � � ������� 00�, �� �� ���� ���� �������� I� �

���� ����� ��� ����� ��� ����������� �� ��� ����� ������� ���� ���� � ! ����� ���

,! � I!) >� ���� � 4! � C � ��� ���� � 4 � �7��� ��� ��� 7 � � � ��������� ��� 2�������6����� ������� #��%-� ��� IC�,&'! ���� ���� ��� �������� � � ! �������� � � / �� �L�; 0 � C ��� 0 / �� � ?�� � � #C� 0' �� ��� � �! )� � � !� � (�� � ������ ���� ���� � �! � I ��� ��� � � � ���� �� C! � �

�� � ����� ����� 00�J!�

I! � -!) 0� � � ������ ���� 2��� !�' � �� C#� N� � ���� ��� 2������� 6������������ ���� ���� � ! ��������� ��� ��� ������ �� ���� � �� ������� �� � ��� ��� � � C�

-! � ,! ������

������� ��������,

������� �$� ��� � �� � ������� =����� ����� >� ���� 3 �! ��� ��� =����� ��������� ������� ����� �������� �� � ��� *� �! ��� � ����� �� ��� � >� ������� ����

+ �! )� �) � *� �!) ) � )� � I�

��� ��� ����� �� ������� ���� �B����� ����� ������ �� � � 7������� �� #+�&5� /��� %�&'� �� ����� ����� � ������� ���� =�����1�� ����� �������� ��� �������� ���� �� ���� ���� ����������� ���� ��������! ��� ���� � �� ������� ���� ��

� �! � � � 3 �!) ��� �! + �!�&

7� �������� � 3 �! ������ �������� � ��� ��! + �!� >� ���� $��� �! )� �� �! ������ ��� �� �� ���� �� ��� ������� �������� �� � #+�&5� L���� IJ�,9'!�

����� �%� /������ J! � ������� 00�, ���� � ��������� ���� F �! � ��� �������� ����� ��� ������� 00�, -! ������� ��� ����

F �! ��F �! � �$��� �! � � �!&

���� � �! ���� �� <��� ���� ������ ���� ���; �� =��; �� ��� L���� �� ��� ����������� �� ��� $���� ���� �� ��� ���� ��� ��� ����� � � �

� � ���� ��� ���� ��� ��� � =����� ���� �� ���� � �! � ��� � � ���� $��� �! � �� ��� #=L&C'!� 7 ������� �� ��� ��� ��D� ���� #D�%9'! �� ���� ��� ���� � % ���� ���� ��� ���� ���� ������� ���� ��� ������������� �

Page 10: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�) )���'� ���� * %

����,���� �(� �� � �� � ��� �� ������ � ��� ��� � $��� �! � ���� � � ������� ��� ��� � ���

� �� ���#���� ��� � ������

���#� 0� � $��� �!� ���� �� � ����� ��� ���� � � � �����; 00�-!� � ���� �� �� ����� �� �� ������� 00�, ,!� ?�� � �� C �� ��� �� ����

�� �� � � �� �� ! �� �� !

�� � ����� ��� $���� ������� 00�, ,! ���� ���� � � � ������ E�� ��� � ����������� ���� ������� 00�4�

����,���� ��)� �� � �� � ������ � ���� ���� �� ���'

��� 2��� )! � ��� ) � + �! �

���� 2��� ! � ��� �� � 2��� !� � ��� � $��� �! �

����� � �! )� $��� �!� �$��� �! �� � ������ ��� ���������� �� 3 �! ��� � �$ �� � �$!� )�� �$ ������ � ��������� �������� �� � �! �

��� $��� �! )� � � $��� �!) 2��� ! � � #C��#� �� � ������ ���� ���� ��� �������$��� �! �*� �! � � � $��� �!) 2��� ! 'C��#� �

�� ��� ������� ") $��� �! � �� �� �� 2��� ! �� ���� ��� + �!�������� ��� ��� ��� �� ���#������ ������

��� 5� � 5���������� ��� � $��� �! �

���#� ! ��� #+�&5� ����� IJ�,C'! ��� � � � ��� 6 � � � ���� )&� � 6� � )&� ��6� � � I� �6�! � & >� �������� ���� ��� �6� �� I� ��� �������� )� 6� �B����� ��� ��� �������� ��� ��� �������� ����� �� ��� ��B��� �� ) � ����� ���� ) � 6� ���������

! ��� #+�&5� ����� IJ�,C'! ��� � $��� �!� ���� ��� ��! + �!� ���� ! ���� ������� ��� � � � �� ���� 5�� ������� � 2��� 5���! �& $���� 2��� ! � � ?�� ��� ����� � ������� ����� �� #+�&5� ����� IJ�-C'

! #+�&5� /��� IJ�-4'

�! #+�&5� ��� IJ�-I'

�! ��� + �!�������� �� ��� ������� " ������ 0� ��� �� !� �� ���� ���� �� ��� ����" � ������ ������� �� $��� �!� ���

� )� �1 � 3 �!�) 1 � I � 1 �!�

�� ��� �� �� ���� �� ��� =����� ������� 3 �!� ���� ��� ���� � $��� �! �� ����

� ! � �����2��� !

� #+�&5� /��� IJ�-%'! ��� ��������� " ! � �� � !!& 7 � ������� �� ��� �� � �� �������� ����� ������� �� $��� �!� ��� ������� " �������

�! ��� 2������� 6����� ������� #��%-� ��� IC�,&'! ���� ���� 2��� 5�! � 5������� ���� ����� ���� # )� ��2��� ! �� �� 5� � �� 2��� 5�! � 5� � 0� ����� �� �� ���� 5� � 5� � �������� �� �#� � �� ��� � ��� ���� # � C� ���� ���� 2��� ! �� �>� ��� ��� ���� �� ���� ���� � ������ ��� ����� ���� 5� � I ������� 00�, -!!�

��� 4 � � ��� 4 � I ��� � � � 4!� ���� ��� ����� ��������� 1)3 �! � � �1 ! � ��� &4� �� �� 1 � I � 1 �!� ���� 1 � � � E�� 1 ! � ��� ! � C ���� ���� � ������

���� �� ���� ���� �

?�� ������� =����� ������� ��� ��� ��� ���� ����� ������� ��� ��������� ���� ������ ��� #Q69%'!� ��������� ���� ������ ��B��� ���� �������� ���� �"������� �������� ������ � � ������ �"����� �� � � ��<��� � ���� �� ������ �������� � ��� ��������� ����

Page 11: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

�����R ��� ��������� �� ��� ������ ������ �� ��� ���� ���� ������� ��� ��� ����� �������� ���� ����; ���� �� ������ ���� ���� ������ ��� ������� �� � ���� ���� � ��� �� �� 0� ������� �� ��� � �� �� ����� ����� � � ������ ��� ���������� ������� ����� ��������� �������� 0� �� ����� �� � �� ������� ���� � ��� �� � �� ��� ���#��49'! � ���� ������� ��� � ����������� �� ���� ������ ���� � ��� ��������� �� �� �������� ���� � �� ��������� ��������� �������� � ��� � ��� ���� ���� ��� ������� �������� � ������� ���� �� � ������� �������� �� � ������� �����

��� ����� �� � ��������� �� � ������� ������ ���� ����� � � =����� ����� ���#��99'! ��� ��� ��� ���� ��� ��� ����� ������� ������ � � �� �� ��� � #��49'� =���� �������� ��� ��� � ����� �� � ������� ���� � ���� ��� ��� ��� ������� ��� ���� ��<���� ��������� �� �� ��������� 0� ��� �������� ���� �� � �� ���� �� ��� �#��49' � ��� ������� �� ����� ������� ������ � 2��� �������� ���� ���� ����� ��� ����� � ����� ���� ���� �� ������ ������� � ��� � ������ ���� ����� �� ��� ����� � ������ <����� � �� ����� ������� � ������� ���� �� � ������� ���� ������� ����� �������� ���� �����

�� ������� �������� �� � ��� ���� ��� ������� ���� � ��� �� ������ � ��� � ������ � =�����1�� ����� ��� � �� ���� ������� �� ��� ����� �� ���� ���� �� �� ��������� � 0� � ������� ���B������ ���� �� �� �� ������ �� ���������� ��� �� ��� ����� ��L������ 000�I!� >� ���� ����� � ������� ��� � �������� ���� �� � �� ���� �� � ���� �� ���� ��� ����������

������� ��� ��� � �� � ����� �������� >� �� ���� ��8! � �������� � ��� � ��� �� � �� ��� ! ��� #��49'! �

8)� �� ��� � $! �� � $

� ����� ��� ��� ��� �������� �������� )

��� � ��� ��� �� �

��� � � $! � $ ��� ��� � $ �� �

��� � $ � 4! � � $! � � 4! ��� ��� � $ �� �

��� .���� �� �� � ����������� � ��� ���� � $ � $ ���� � $ ��� ��� $ � � �

>� ���� �� ��� ���� ���� ������� ���� � ����� � �������� ��������� � ��� �� ��� #��99'�

!�� ��� �� � �� � �������� � ��� ��� ��� �� �� � �� $! )� � $ � ���

��� ! � � ������ &

���#� 0� ������ ���� 2,! ���� ��� � �� � � ���� �� ! � ���� ���� ��� ! ���������� �� ��� =����� ���� � )� �� �!�

��� � � �� �� ���� C����������� ��� ���� � ���� ")� � � � ����� ���" C! � � 2��� � ���� ���� �� �� � �� ��� �������� � ��� ���� �� � ! � � � >� ��� ������ �������� ����� ��� )� � � ������ �� �! )� "� �� " �!!!� ���� � � �� ��� )� � C! � �" C!���� !�" C! �� ��������� >� ���� �� ��� ���� � �� � 2���� ����� �� ��� ��� �� � ��� ����

� � � � ��� � � ;�� � �!� �� � ;�� � �!&

>� ���� ������� �� � � ��� '� !! � � � �� ��� ��� ��� ��� �������

�)� � �� � '� !! � � '� !!� '� !!&

����9�

9' C� C! � ��� � ��� � ) ���

9�

9! C� C! � ��

� ���

� �, ���

&

$���� ��� 0����� ?������ ������� ���� ���� ����� �� � � C����������� : � � ���� ����� ��� "): � �� ��� ����

� '� " '!! � C ��� ��� ' �:&

2��� ��� 3��� �� �� � ��� � �� ���� ���� �� � ��� 2J! ���� ���� C �� ������ �������� �� � �� �������� ���� � � �C� � ��� ��������� ���� � �� �

Page 12: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�� )���'� ���� * %

����,���� ��� �� ��8! �� � �������� � ��� ��� ������� � ���! ��� ����� ����� �8 ������ ��

� � � )� � 8! �� �!

�� �� ����� ������ �� ������� �� � �������� � ���� �� ���� ����� � ��� �� �! � �� ��� ����� ������� � � � � ,� � �&

���#� ��� #��49� ��%J'! (�� �� �� ����� ��� �������� 2I!1 2-! �� ���������� ������ �� �� ���� ���� ��� ��� ����� �� ��� ������� � � ?�� 2I! �� ���� S)� � � �� ��� ���������� ���� ���� 2I! ���� ���� 8 ÆS � �� � ��� �� �� �� ��� ������� ��� ���� ���8Æ�S � �� ��� ����� � �S ����� ���� �� ��� ������� ��� �� �� ����� ��� ����������� � ��! � �� � �� �

/������ 2,! ��� �� ������ � 8 Æ ��8! Æ S � �! � ��� ����� ��)�� � � ���

���B����� ���� ��� ����� ���������� ��� �;�� � 2-! ���� ����

8 Æ ��8! � 8 Æ� 8 Æ ��!� 8 Æ ��!

��

����� ��� ���)�� � �� ��� ���� �� �� � $� 4! � � $!� �� � $� 4! � � 4!& 7������ �

���� �� ��� ����� ������ ������� ��� �8 �

�� ����� 2J!� �� �� � ���� ���� ��� ���B����� �)�� �� �� ��

� Æ �8 � 8 Æ � � �!�

����� � ��������� ���� �� �! � �� �! �� �! ���� ��� ���� � � � ?�� �� � � �� �!����� 000�, ���� ��

�8 �� �! � �8 � ! �� �! � �8 � ! �� C! � �8 � ! C� �!

� �8 � ! �� C! � ��� !&� � �8 � ! �� C! � �&

E�� �8 �� �! � � ���� �8 � ! �� C! � ,� � ��� ��������� � � � � �8 �� �! � ,� � �& E���� ��� ����� 2J!� ��� � � �� ��� )� � �!� L�; � ����������� � �� � � ��� ���� ��� ���� ���� ���� �� �� � � � 0� � � �� �! �� �� �8 �� �! � � � ���� �� �����8 � �!� � �!! � � �!� ���� ���� � �! � � �! � � ��������� � � � � � � ,� � � ���� � � � �

?�� � � �� �� ���� �� )�� � �� ��� ��� ������� � � ���� �� �� �! )� �8 �� �! �� � � L���� ��� 000�-! ��� �)� � �� ��� ��� 3��� ������

&'���� ��� ��� �������

� )�� � ���� � �! )� �� � ��Æ �! �!

������ � � ��� �� � �

E��� ���� � ��Æ �)� � �� � � ���� � � �

�Æ �! ��� �� ��� ��� �

���#� ?� � �� ��� ���� � � ������ ���� �� �� � ���� � ����� �� ��� ��������� )��� � �� � >� ����� ��� � � �! ��� �������

��� � �!! � ��� Æ � � ��Æ �! �! � � �

��! � �!! �

,� � � �!! � �

L���� ��� 000�-!� �� ����� ���� ��� Æ � � ��� � � ���� � � ������ ���� �� �� �6��������

� �!� �! � �� � Æ � ��Æ �! �! � �� �� Æ � Æ�! �! � �� ��! �! � ���� ! �! � �

��� ���� � � ����� ����� ������ ���� �� �� ��� F������ 0�I!� ?�� ��� ������� �� ���� ����

� � � � �8 �� �! � �8�� �!� � �!

� �� �!�

����� ���� ��� � � � �� ����

��! � � � �8 ��� �! � �8�� �!� � �!

� ��� �! � � � � �!

� � � C � ����� �!� ���� �� Æ � � ��� Æ � ��� ��� � � �� � �� ���� ��

� ��! � �� � ����! ��! � ��� ���� �

��! �! � � ��� !

���� � �

��! �!

�� � ��� !

��� �!

�&

Page 13: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

!�� ��� �� ��� ! �� � �������� �������� ��� � � ��� ��� � ))� � � �� � ������� ����� ��� ����� ���� � ��� � ��� �� ��� ! � ) ! ��� � ! � �) ! � ���� � ) �

���#� ?� � �� ���� ���� ��� ���� � ������ � �� � ��� ������� ��� � ��� ���� ���� � ��� �� ���� Æ ��� � ��� Æ� �� ���� � 0� ��������� �� ��� ��� � � �� �! ��� �������

���� �!! � ����� !&�

��

����� ���� ��� ����� �� � ��� ����������� ���� �� �!! �� ��� ��������� �� !��� � !�

>� ��� ��� ��� �� �� ; �� ��� ���� � � � ��� ���� ��� ) ������ �� � ����������� �� � � 0� ����� ���� ; ����� + �� ��� ��������� �� ��� ���������� �����������)�� �! � � � C� �� �� ����

; � �� �� ) �! � ) �!� � �! � �) �!��

����� ���� ; ��� ��� 6�������� � ; ���� ���� ; � �������� ���� ��� ��� �� �� �� �� � � ����� ������ ��� � �

&'���� �"� �� ��8! �� � �������� �������� � ��� ��� � �� � ��� �� � �������� ������� 000�J� ���� �� ��������� ��������� ����'

��� 7�� ��8! � 7�� ��� ! �

���� � �� ���!���� ��������� �� �� �� ��� �� ����� ������� ����� ��� ��������� �� � �� �

����� ��� ! �� ������������ ��� ����

��� �� �)� � � �� � �������� ��� ���� �� �� � <� )� �� �� �Æ ���� � � � �� ����������

����� � � ���� ���� ��� ������ ����� �� ��8! ���

<�&� �! � � � � �! ��� �<� � �!! � � �� �!

��� ��� �� � � � �

���#� ! @A) ��� " � 7�� ��8!� ���� " Æ 8 � 8 Æ " � "! ���� �� � �� � L� ���� ��� ������� ��� � �� �� ���� �" �� ������ � �� ��� ������� ���� ��� �8! ���L���� ��� 000�-!� 0� ��������� �� ���� �" Æ�� � �� ��� � Æ�" �� �� ��� ���� � � �� � E���� ���������

� Æ � "! �! � �� ������

Æ �! Æ � "! �! � �� ������

Æ � Æ "! �!

� �� ������

Æ � "! Æ �! �! � �� � "! Æ � ��Æ �! �!

� ��� "! Æ � � ��Æ �! �! � �� "! Æ � �!&

@�A) ��� " � 7�� ��� ! ��� � � � 0� ��� �� ��� �� � ���� �� ��� ����� ��� 2-!� �� ������ � 7�� ��� ! ��� ���� � � � $���� " Æ �� ��� ����� Æ " ��� ��� � ��������� � �� ������� �� " ! ��� ����

� " Æ ��! ! � �" !��� ! � ��" ! ��� � ����� Æ "! ! � � ����� " !!�" ! � ��" !

����� 000�,!� ��������� ����� 000�5 ���� ���� " Æ�� � ����� Æ" ���� ��� ��� �� � �� ���� ���� " � 7�� ��8!�

! ��� #��49� �� &J'! ��� � ��� �� �� ��� ���� �� � ���� ��� ������� ����� ��� �������

�� � �� � >� ��� ��� ��� ������ ���� )� � � �� �� �� �

��� � � ��� �)� � � � ����� ������ ��� � ����� �� �������� � �������� )� �� Æ �� � ���� Æ � ������� >� ������ �� ��� � � � ��� � =����� ���� � ����� � ���� ! � �! � ���! ���� ���� ���������� � ���� ! $� �! � ���� &$� ����� $!&�!� ?����� ����� ������� ���� �� ���� ��

�� ����! � �� C� �! � ���� C���!&

Page 14: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�� )���'� ���� * %

0� ����� ��������� �� ������� ����

�� � �! � � �� �� ! �� �!!� ��� � �! � � �� �� � ! �� �!! ��� �����; 0�,!� � ���� � � �! � � �� C� = ! �� �!!� ����� = ! � 2�� � �R� ! � ������� ������ ���� ��� �������� �� � ����� ���� ���� ���� � � ����! � �� ����! � ���� � � �! �� ��� �����

���� C� = ! �� �!! � � ���! � �� ����!� � �! � ���� C��= ! �� �!!&

��������� = ! �� �! � �= ! �� �! ���� �� = ! �� �! � C� ���� � C�

! ! ���� ���� ��� � ����� � ������ �) '�0� 0#�� ��� � C! � ��� $ � � �! ��� �����1 )� �� � � ����� � ����� ��� 1� �! � ��� �!� ?�� � � C �� ��� ���� � �� 1 ,�� �! � ����� � ������ ��������� ��� � ��� ������ �� ',�� 0� ,�� 0# � /������� � �� �� ������ �� ���� � ��� �� �������� �� � ����� � � � � � ����� ���� ��� ! ����� ��������������

�! 0� ��� �� !� ��� ������ ����� � �� � ��� ������ �� � � ��� � ����� ������ ����#��99� L���� 8000�5�5' ��� � ����� ��� �� � ���; � ��� ��������

*�������+ �$� �� ��8! �� � �������� �������� � ���� � �� ��������� � ��� �� � ���� ! � ��� ����� ����� ���� �� � � �� ! �� ������� ����� ��� ��)������ �� � �� � ��� �� !� � ! �� � ������� �������� ��� � ����

���#� >� ���� ��� � ������� 000�4 �! ���� �������� ���� ���� ����� � ����� � � ����� �� ����� � � �"������� �� � ���� ����� �� � ����� �� 2��� ��� �������� �� ! ����� �����T����� ���� ���� � ������� ����� ��� ���� ����� ����� ����� � � � �� � ������������ �������� ���� ���� ����� ����� � �

����� �%� 0� #��99' 2� ���� � � ��� �������� ������� �� � ������� ���� � ���� � �� � ���� �� � ��� * ��� ����� ������ �������� �������� #��99� �D000�,'!� 7* �������� � � � �� �������� * ������ � ��)� � � ��� �� ! � ������ ! � � ������ � ��� ��� ��*! ������ * ��������� � ����� ���� � � �� �* ������� ��� ����)�� �! �� ��B����� ��� ���� �� �

7 �� ���� ��� � ������� 000�J� ����� ������� ���� � ��� �� � �� ��� ���������� � ������� ���� � ����� ��� � �������� ��������!� ��� ���� �������� ���� ��� ������������ � ������� 000�4!� ��� ������� �� ����: ������� ���� � ��� ��� ���� �������� �������� ���� ������� ���� ����� � ��� ���������� ������� �� � ������� ������� ���� ���� ��� �� ��B������ $ �������� �� � � �� ������� ��� �� �� � ����� 8000�5�I���� ������� �� ��� ����� 000�5� $���� �������3�� ����: ����� 8000�5�I � �� ���� ����� ����� ����� �� ��� �� ��� ������ � /�� 8000 �� #��99'�

������ �(� �! 0� � � =�����1�� ����� ��� � �� �������� ��������� � �� � � ������ ���� �� �! � �������� ��� ���� � ��� ������� �! )� � � �)�& � � �� ��� ������� ��� ���� ���� � ��� � �! �� ���� �������� 0� ������ �� ��� ����� �� � � �� ��������������� �� � ��� ���� � � �� ������� �� � � ?���������� ��� �� ������� � �� � � ��� �� ��������� �� � ���� ������������ �� ��� ��� �� �� ���� � )� � � �) �� �!& � �� � ����� ��� <������ ���� � )� ��� ����� ��� �������� �� � =����� ������� #=��9C� /�� 000��I�4� L���� II'!� ��� >)� � �� ) �� )� �� ��� <������ ���� ���� � ������� ����� ������? )� � �! ���� �� � �� ������ �� ��� � ������� ��

.��) ���� �� � ��� !

�� ��� �� � ������ ���� ����������� �� C � � � >� ����� � ����������� 8 �� � ��

8 )�� =�! )� )� )!�� =!�

��� �� ���� ���� �� ���� ������ ����� � ��� �� �� � � �� ���� )�� )�!�� =��!� �

)��� � )!� =!��� � )� )!� =!�& (�� �� �� ����� ���� � ��� �� � �� ��������� �

Page 15: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

�� �� ����������� ��� ���� 2I!1 2-! ��� ������� 2��� � ��� ���� ����� �� � � � ��� �� ����� 2J! � ��� �� � ���� ? � ����� �" �! � 8 ?� �! � � !� ���� ������" ?! � � ������� ��� ����� ���� ? �� ������ ���� ����� �� ����� ���� ��8! � ������� �����

�� ��������� ��� ����� � �� ��� � ������� ����� �� ��� ��� ��� �� � ���� ? ���� � �" �! � � � ��� ���������� � � �" �! ������� �� ��� �B����� �> �! ��) �� �" �!���� �)� �� �� ��� ����� � ��� � C! � ? ��� �� C! � � � ��� ��� <� )� �� �� �

Æ ���� ��������� ���� ����� ����� � � ����

,� )��

�� ���<�)� � ��

��� ��<�� Q���� ������ ���� �� � �� ���� ,� ?! � � ��� �"&,� � �,� ��� #��99� ���5�&'!� ?�� � � � �� ��� ��� ��� ������ ����

-� �! )��

�� ������ ��!&�

���� � Q���� ������ ���� �� ���� �"&-� � �-� ��� -� ?! � �> �!&� � >� �������� ������� � � �> �!&� �� ���� -� � ,� � � ���� ��� ����� � � ���� ��

� �! � ��� ��!&? � .�� ��!&

��� �������� ��� ������� ��� ���� .�� � ���" �> �! �� �

�! .��� =�����1�� ����� � � ������� ���� ��� �� ���� �� ��� �����������

8 � $! )� $�&

�� ��� �� ��� �� � �� ��� ��� ������� ����� �!� ��� �� ����� � � � ��� ���� ������� � �� )� )�!& � ))

�� � ��� ����3�� �� ��� ������ � ��� ������� ������� � )�

� )� )!) ) � �� � ��� � �� �� � � � � � �!�� � 6�������� � � � � �!! � ����� � ���T� �������� �� ��� ���� �� � � $! � $� !� ���� ��� ������� ����� �! ����

8 � $! � 8� ��!&�� $��!&�

�� ��! �� ! �� $!&� � $�&

?�� ��� ����� �� �� ����� � � � � =����� ���� ��� ��� ����� �������� ���� �� ��������� ���� ���� 8 � $! � ,� $ ��� L���� ��� 000�-!� ��� ���������� ���

.��) � � � ����!)� � �� � �

���� �� .�� ����! � ��� �! ��� �! � ��� ,�!� � � � ������� ��� �� ������� ������ ���������� ��� ���) �� � �� ��� �� ����� � �

����� ��� 2��� ���� ��� ����� � )� 7�� ��8! �� ��������� � �� � ������� ���� ��8! � =�����1�� ����� ����� ���� ����� �� � � � ���� � � ��� � ����� � � �� ���� ���� � �� � ��� � �� ���� ������� �� ��� ����� �� ���� ���� � � ��� ��� �������� <�� � ���� �� < )! )� �� Æ ) Æ�� � ��� ����� ������ ����� ��� ��� �������� ���� �� � ������ ��� � #��49' � � L��� : ������� �� ��� ���������� �� � �������� ���� �� ��������� �������� ������ ���� �� � ����� �� ����� ������ 0� ��� �� �� �������� ���� �� ��� �������������� ����� ��� � � ��� =����� ������ E��������� � �� ������ ��� ���� �� �� �����0� � ���� ���������� �� ������ ���� 7�� ��8!� ������ ��� ��� =�����1�� ����� ����������� � �� ��� =�����1�� ����� �������� �� �� �!�

?��� ��� �� �� ��� ��� ��� ����� �� .������ 000�9 �!� ����� �� �! ������ � ��������� ������� =�����1�� ����� ��� � � ��� � >� ���� �� ���� � ��� � ?� ��� ������� ������ � ��� ����������� >� ���� � ���� �� � =����� ���� ��� ����� � � ����� ��� ��������������� 0� �� �� � �� � ��� ���� ����� �� � � ��������� ���� �� � ���� ������������ ��� ����� 7� �!� >� ������ ��� ������� ������ � �! �� � ��� ��� � ������ ������� �! � � �# � � ����� ��� ����� �� � �� � � � ���� �� �& )� ! � )���7� �!&!� >����� #)� �' � � �! ��� � ������� ������ � )� �� � ���� !� #)� �'! )� #)� �' )� � ���������� ��� ����� � ������� ���� �� � ���� ������� ����� ��� ����� �� � �� � �!���� ���� ���� �� )&#)� �' � #))� �' � >� ���� �� !� ! � ������� �������� � ����

Page 16: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�" )���'� ���� * %

!�� ��)� *� ������� �" �! ��� � ��� ���� 8$ )� � � ��� �� �� �� )& ����� �� ������� �� .�� �� � � �� ���� ��

�.�� ! � �8���� ?! �� ��

����&

���� �� �� �������� �� ��� ���� �� 2���� ��!� ��

�� ��7���)7 � �� � �C�&

���#� ��� #$��%&� ��� 0D�J�I'! >� ������ ���� ��� ���� � � �� ����

� ��� ! � �6���� �!�� 5� ���

���

����� 6%)�� �� ) �� =) ������ ��� ���� ������������ ��������� �� ����� ��� $ � � )

�.�� !&$ � �> ��� !� ��� !&$ � �> ���!�6��� � �!�� 5� ���

��&$

� �8�����> �!�� 5� ���

��&$ � �8����

�� ��

��&$�

����� ��� 5� ���

��&$ �

�� �� � ��

��&$ �� �

��

� �� ��

��&$ �� �

��

&

�� ����� ��� �� � � ������

?�� 4 � � �� ������ ��� ������� � ���� F������ 00�5 ��� ���� ���� ��� 3��� �� � ��� ��������� �7��� � 7 � � � 0� ��� �� � �� ���

��� �� � � ��!� ��!� ��� 2������� 6����� ������� #��%-� ��� IC�,&'! ��� ���� �� �������� �������� � ��� ���� � ��� ������� �� ��!� �������� �� 3��� �� ��� ������� � � �� �������� ��� ������

����,���� ���� ��� ����� ���� ���� � ��� � ������$������� ���������

���#� �� �� ���� ��� ������� ���� �� � ���������� � ��� �� ��� ���� ���� �� ��������� �� � � � ��� �� ����; �� ��� ��� �������� ����� ����� ? ���� �� ��� ������������������ 7������� �� ����� 000�IC� �� ���� ��� � � � � )

�.�� !&� ���� �� ��

��&���� �

��� !&����

����� � ) � � 3 �! � �������� ������� ��� � C! � � � $���� ����� �� � � 3�������������� � �� C � � ��� #�� � C ��� � !� � # ��� � ! � � ��� ��� � � � ����

# � � �.�� ! �! �� �

��� ��� � � ��� � � � ����� ��� ���������� �� ��� ������� ���� �� � �

����,���� ���� +������� �� ������� �������� � ��� �� !� ! ��� �� ��������� � ���� � �� ����� � ������������ ��� ��� ������� �������� ��� � ��� �� !� � � ! �

���#� �� �� ������� ��� �<����� �� /�������� 000�%�

��� �������� ����� ������ � ��� ����� �� ������� 000�IJ�

!�� ���� ��� �� ������ ' �� �� ������ ������� �� ���'

��� ;�� 5� � �! ��

���;�� '� 7,���!&

���� �� 5� � � � ��� ' �� � ������� �� ������ ��� ���� � ����� ��� ����� ��������������������

���#� ! >� ���� ���� �� �� ���� ���� ��� � ������ �� #=��9C� /�� -�� �4�J� ����� ,'��� �� ��� ����� � ��� 3��� �� ��� ���������� ������� 4! � 5� � � �� � ��� ���� ������� �� ��� �� ,��� �

! � ����� ��� �<����� �� !�

Page 17: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �$

&'���� ���� �� � ��� ���������� �������� ��� �� � ������� �� .��) � � ��� � ������� �� ������ ��������� ��� U )� � � �) .�� � ?� �� � ������� ������ ������� �� �� ������ � ��� � ��� � �! � U ��� � � ��U �

���#� ��� �� � ���� �� ��� � ����� ������ ���� ������� 0�IC� ��� � � ��� .�� � ? ����� ��� � � �! � ���� ��� � � ���! � ��� �! ���� ���� ��� , � � � >� ������������ 5� ��� � � � ����� ���� �� �������3���� ��� ���� ������ ������� ��������$���� ��!� �� �� ����� ��� ���� ��������� ����� 000�I- !!� 2��� .�� ������� ������ ������� �� � �� �������� ���� ��!�&� � �C� � ��� ��� �� �������3����� ����#� �' � �C� � �;�� � �� ��� ��!�&� ��!&� � �C� ��� ��������� ��&� � �C� � ��������� � � �!� ��� U )� .��� ?!� ���� U � �! � � � � ����� ������� �� � ��� ��� � U��� $ � � �� ����

.�� � $! � > ��� � $!! � > ��� $ ���! � ��� $&.�� � ��� $&? � .�� $&

��������� U ��� �� ����� � ��� ����� �� ���; ���� �������� �� ��� ������� ��� .��) ��� � � ���� ��� ���� ���� � ���� ��������� ���� ���� � �! � U ��� � � ��U�

>� �������� �� ����� �� � ���������3���� �� ��� ������� ���� ���� ���� ��� ���������� � ?� ��� ������� ���� �� !� � � ! �� ���� ��������� ��������� �� � �������� �� �������� ������ ������� �� ������� �� �� �!!�

����,���� ���� ��� � ������� �������� � ��� � � ��� � �� ��������� ��� �!������'

��� � ��� ���������� ��������

��� ��� ���� � � �� � ����� � �� �� ���� �� � � ��!� ��! �� ���#���� ��� � ������

��� ��� ���� � � �� � ����� � �� �� ���� �� � � ��!� ��! �� � ������

��� ��� ���� � � �� � ����� � ��!� �� �� ����� ����

���#� �� �� ������� ��� �<����� �� ��� ������� ��� �.�� ! ����� 000�IC!� ���������� �� ��������� ��������� F������ 0�J!� ��� ������� 00�4�

��� �������� ����� ��� ����� ��� �� � ����� � � �������� ������� ���� ���� �� � �� $����� ������� � 0� � � �������� ������� ����� ���� ��� ���� �� � ������ �� � ����� ������� ��� �� �

����,���� ��"� �� � �� � &����� � ��� ��� �� � ������ ��!� �� � � � � ��� ���������� ��������� ��� ,-.%/ �� ��������

���#� 0� )� ��!� �� ���������� ��� �������� ���� 5��� � I ��� ��� � � C ������ ���� ��� ��������� ������� ��� ������� �������� �� ��� $����� ���� � � ��������� � � ������

��� ���� ��� ��� � �� ����� � ���� � �� � ��� ���� ���

0� ��� ���� �� L���� ��� 000�I5 ��� ������� 000�IJ� � �� �������� ������� �� ��� ��������� � ������ ������� �� ������� �� <� !! ���� ���� 2E/! ��� ���� ��� �� ����;�� ����� ������ � 2��� ������ ��� �� ������ � 2����� 0D� ����� �� ��� ��� � ������������� ��������� ������ ������� �� ������� �� �� 2E/!�

������� .��� ��� � �� � =�����1�� �������� ����� !) � � � ������ ��� ����������� �� � � < � �������� ����� �������� ��������� � �� � � � � �� � ��� < ���� ����������� ���� ��� � ��� ���� ��� ���� ! �� � ������� ����� 5�� � � ���� �� ���� �������� �� <� !! � ������ �������� ��� ��������

�! >� �� ���� �� <� !! ������� ,-.%/ ��������� ���������! � ��� ���� � � ��� ��������� ��!� �� � ������ E��� ���� �� ������� ������ ���� �� ��� ���� �� � �

�! >� ���� �� <� !! �� ������� � !& ��$! )� ! �$!� � � � $ � � � ����� � ���� �� �& � �������� ������� ����� ��� ����� 0�� �&! )� �5�� �

� �� ���� ��������� � �� �& �

Page 18: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�% )���'� ���� * %

�! 7 ������ �������� ���������� �� �� <� !! � ����� �� <� !!� ����� � � ��� �� < ������� ��������� �� � � < � < ��� � ��� ! � ! ��� �

�! ��� �' � <' � !'!� @ � I� ,� �� ��� ������ ������� �� ������� � ���� � )� � � �� � =�����1�� ������� ��� �� ���� �� ! � $! )� ��� ! !� !� $!!� ��� ��� ������ < � $! � < !� <� $!! ����� � �������� �������� �� � ��� � � � � �� � � ���� �� ����� ��������� ������� �� ������� �� <� !!� 0� ������ ��� �� ����� ��� �� �' � <' � !'! � @ � I� ,�

�! ��� �� <� !! �� � ������ ������� �� ������� ��� � � ������� ����� ���� � �� �! � =�����1�� ������� ��� �� ���� �� !� ! )� ����� ! !!� 6�������� <� ! ! )�< !! ����� �� �������� �� � �� �!� ���� ���� �� ��� ������ ������� �� ������� � �� �!� <� � !�!�

!�� .��� ! �� �� ������ �������� ��� ������� �� <� !! ������� ,-.%/� ��� ���������� �������� ���������� ������� ,-.%/�

! -� ����� ���� �� �� ������ �������� ��� �������� ��� ,-.%/ ������ ,-.%/�

! �� �� <� !! ������� ,-.%/ ��� � �� � ��� �� � ���� ��� � �� �!� <� � !�! ������� ,-.%/�

���#� >� � � ��� ������� �� F������ 0D�I�

! ������ ������� ���� /�������� 00�-�

! ��� � � �! � � � ���� � ���� )� � ��!� �� � � � � ����� ' )� � ��'!� ��� �

@ � I� ,� ?�� ���� � � C ��� �������� �� � ' � @ � I� ,� ��� ����� ��� � ����

�� � ! $� $�! � ��� �� � ! $! � �� � �! $�! ! � ��� $ � $� ! � $� $�! &

E�� ������� 00�, ,! ��� ���� � ������ ����� ���� � � � � �� �� �� 2E/!�

! ?�� � ) � � �� �! ��� � � C �� ����

�� � �� !�! )! � ����� �� � �� !!�! ) !! � ����� ) ! � ) &

7��� ������� 00�, ,! ��� ���� � �� !� �(����� � ������ � ���� � �� �! �� �� 2E/!�

>�� ������� 00�4 �� ��� ����� � <��� ����� ������� ��� � ������ ������� �� ������� �� <� !! �� �� �� 2E/!� ��� �������� ������� ��� �� � ���� � �� ��������

������� .��� >� �� ���� � ���� =�����1�� ������� � ���� �� � ��� ���� �� � ������� ����� ��� ����� 0�� �! )� �5�� �� 7�� �! �� ����� ������ ������

7 �������� ���� �� ������� � ������ ��� �� ���� �� ��� ���� � ��� ���� � � �������� 0� ����� ��� �� ����� �� �� ������� ���� ��� 5��� ���� ���� ��� ����� �� ������������� � ��������� �������� ���� � ���� ���� ���� � � ������� �� �������� 0��� �� � ��� ��<������� �� �� ������� ����� ������� ���� �� ��� ��� ��� �� �� ������� � ���� ��� ��������� ���� ������� �� �"������ $��� ��� ��<������� �� �� ������� ������������ ������ � ��� � ���� $����� ���� ���� �� ��� �������� �� � ������� %� ������� �� ���������������� �� �� � � 2���� %� ������� ��� �� ��� ���� ��� ���� %� ������� � $����� ���� ����� �� �� ���� ���� ��� � ������ ��� #/*69C'� ��� �� � #2�99' ��� � ��� ������� � �� �������� �������!� 0� ��������� ��� ��� ������ ��� ���� .���� %� ������� ����� ����3�� � � ��� �� ��������� �� ��� %� ������� 3� ! �� $�����12����� �������� �� �������� $����� ���� � ��������� ��� ��<������� �� �� ������� ����� ������� �� � ���� �� ��� ����������� ��� ��� �� ������� �� ! �� ;��������� $�����12����� �������� �� � $����� ���� � ��� ��� �� ������ �� ������� ���� ������ 0� ������ ��� �������� ! �� ;��������� ������� �� � �� ������� ��� � ��������� ��� �� ������� � ! ����� ���� ������ ����� �� � $����� �����

7������ ����� ��� ���� ���� �������� ���� ��������� �� ����� ��� ������� ��������� ���� � ��B����� ���������� �������� � ���� � ����� �� ���������� �� �� � ��� ������ ���� �� ���� ��� ��������� ���� ����� ��� ������ �� ������� � ����� +�������������� ��� �� � ���� �� L����� ��� >���� � #L>5,') ��� ���������� ����� ( ! �� � ����$����� ���� � ��������� =�����1�� ����� ��� ������ �� �������� ��� � ����������������� ��� ��B������

Page 19: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �(

!�� .��� �� � �� � ��� �� ������ � ���� ��� �� ��� ������� � �! �� �� ���� + �!�� ��������� �� � �� ���� ���

���#� ��� �������� ���� �� � �! ������� ����� ���B������ ��� ������� �� + �!������ ������� ����� ��� ��������� � 5��� � � � � ���� ��� ���� �� 5���&$ � 5�$5�� �E�� ��� � ����� ������ ���� ��� ��� ���� �� � �! � 3 �! #+�&5� /��� IJ�-4'!�

!�� .��� �� � �� ���� ���

��� +��� ������ ���������� �� � �� ���� ���

���� �� � � � �� � ������ ������ ��� �� !����� ������� ��� �� ���� ���� ���

���#� ! ��� � � �� � ��� �� ���������� .��� ���� ��������� � �� � ������ �� ������ ��������� � �� � � � ���� ���� 0�� �!������� ��������� ���� �� � �� ���� �� ��0�� �!������� ��������� ���� �� � �

! ��� ���� �� ��� <������ ���� ��� ���� �� � � � ����� � $ � � � � �!� 2������ ���� �� � ��� ��� �� ���� � ��� ������� ����� ���� ��������� � � ��� ���� ������������� � �� ��� ������� �� ������3���� �� �� ���� ��������� � �� � � �� �� ������� ���� �� ��� ������� ����� ���� ��������� � �

!�� .�"� �� � �� � ������ � ���� ( � � ������ ���� ���� ��� � 3 �! ��� &( (��� 2��� ! � � ��� 2��� �� ! 2��� ! � �

���#� >� ��� ��� ��� =����� ������� 3 )� 3 �! ��� ��� ��� �� ��������� )� �! �3) !&( ( � � 2��� 2��� ! � 2���� ! � ������� �� �� �� � � � ��� ��� ������� � � ���#��%-� ��� IC�I&' ���� ���� 2���� ! � 2���� !� ?������ ��� ��� A) � 3 ( !� ' �� ' �� � ��������� � �� =����� ������� ��� ������� ����� ���� 2��� �� ! � 2������� A !! 2���� ! ��� ���� � � �� ����� ��� ������

E��� ���� � ������� � ��� � ���� � �� �������� � 3 �! ��� ���� � ��� �� �� ����( � ���� 2��� �� ! 2��� !� 7 ������ ������� ��� ��� �������� �� � )� B� �! ������� ���� ( � B� �!� 0� �� �� � ������� ��� 2��� �� ! ��� ��� �� ��� � � �� #$�4%�L���� &,'!�

!�� .�$� �� � �� � ������ � ���� �� � 3 �! ��� � � ��� 2��� ! � � ���2��� ��� ! � �

���#� 2��� 2��� ! � � ��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ���� ����������� �������� 6� ��� C� �� ��� =����� ������� 3 �! �� ��� ������� �������� �� � � + �� #��%-� ���II�,-'� �� �������� ���� 2������� �� � 2������� 6� � C�! � � ��� ����� 0D�4 ��� ����2��� ��� ! � �

��� �������� ������� � ���� ����� ����

����,���� .�%� �� �� <� !! �� � ������ �������� ��� �������� ���� �� ������$���������� �& )� �� �� �� ���� �� ��� ��� �� � !& � �$! )� ! � $! ��� � � � $ � � � �� ��� ������ �� <� !! �� �� �������� �� ��� ���� �� <� !! ������� ,-.%/�

���#� ��� �� � � ����� ������ ���� ��� ������� �� ��� ����������� �� �� <� !!� ���� � ��� ���� �� <� !! ���������� >� ������ ��� ���� !& �� �& �� � ��������� ���� ���� � � � �� � �& � ��& �� ! '� �!! )� ��� !& '!� !& !!! ��� '� ! � �& �

��� � � ��& � ���� ��� �������� ���� � 3 �� ! �������� � ���� ������� 00�4 ��� ���� � ���� !

� � ������ 2��� � ��� ���� ��� �� ���� � � ��� �������� � ��!� �� � ����� �� /�������� 00�-�

*�������+ .�(� �� � � �� ��� � � �� � ��� �� <� !! ������� ,-.%/�

���#� 0� �� �� � �� ���� �& � � � �� � � � � � �� ������� � ����� � ����� ���� �� ���������� ��������� �� �� � ��� �� �� ��� ���������� �� ����� 0� ����� ���� ��� � ���������� ���� ��� �� ������� �� � ������ ��� �� ���� �� ��� ���� � $! � ��� ! !� ! $!!

���� ����� ���� �� ��� ��������� ���� �! �� � ���� ���! � �$! � � $� � $! � ��� ! � $!� ! � $!!&

0� ��� �� �! �� � ! �� � L���� ��� 0D�& ���� ���� �� <��!! ��� ����� �� <� !! �� �� 2E/!�

Page 20: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�) )���'� ���� * %

*�������+ .��)� �� � �� � ��� �� ������ � ��� ��� � $��� �!� �� � ������ ���� �������������� ������� ��� �� �������� < � �$! � � � �$ ��� � �$ � � � � $ � $��� �! ���� �� <! ������� ,-.%/ ��� ��� �� � �� � ����� �����

���#� ��� �� ������� �& � �� �� � ��� �� ��������� �� ��� =�����1�� ������� � �! ������ ��� �������� ���� ������� ����� 0�� � �!!� ��������� L���� ��� 0D�& ����� �

��� �������� ����� ��� ��� ���� ��� �������� ���� ������� �� ������� ����� ������ �� �������� ������� ���� �� ���������� ����� ��� ������� ���� �� �� 2E/!�

����,���� .���� �� �� <� !! �� � ���������������� ������ �������� ��� ������� ������ ��� ���� � � �� � ����� �� �� ���������(���� ��� � � ���� � ������� ,-.%/�

���#� 2��� �� <! � ��������� ������� �� ������� � ��� �� � �� #QE94'� L���� I�I9 �#E�99�' ��� ���� ��� ������ 0�� �!������� ������� )� ! �� ������ �� �� 0�� �&!������������� ������� �� ��& ���� ��

! � �� !�> 0�� �&!&!

��

����� >) � � �� � � ��� ���B����� ����� �� � 2��� ����� ���� �� � �������� � � ��� � � ����� ������� �� ��� � ��� ���� � ��� ��� ������ ��� ��� ���3��� ����� ���� ����� �� ����� ���� � ���� �� ��& ���� ������� ����� 0�� �&!� >� �������� ����L���� ��� 0D�& ���� ���� ��� ������� �� ������� �� <� ! �� �� 2E/!�

����� .���� L���� ��� 0D�II ���� ���� ��� ��� ������� ���� � )� ��� ����� ������ �� �� <! ��� ��� ����� �������� ?� ��� �������� �� � � ��� ������� ���� ��� ��������� ���������� $���� ��� ��� �� ��� �� 2����� 0 ����� �� � ������� ��� ���������� ?� ��� ��������� 0� � ���� ��������� ��� ��� � ������ �� L���� ��� 0D�II��� �� ���� ���� � � �� � ��� � ����� ��� � �������� ������� ���� �� ���������� ���� ��� #QE94'!� � �� �� ��� ���� � ������� ��� ?� ��� �������� �� �������� ������� ���� �� ���������� �����

�� !���� ����������� �� �� ���� "� ��� ��

0� �� ����� �� ��� ����� � ������� ������� ����� ��� �� ����� �� � ����� ������� ��� ��� ������� =�����1�� ����� �� �! ���� �� � ����� �� � ���� ������ �� ������� ���� ����������� ���� �� � �� ��� ����� ������� ��� �� ��� �������� ����� *� !� 0� ���������� ��� ����� �� ��� ������� ����� � � 7�� ���! �� � �3� ����� � � ����� � � 7�� �! ������������ � ����� �� � ��� F������ D0�I �����!�

?��� ��� �� �� �! ������ � ��������� ������� =�����1�� ������ � � �! � ���� )� ��� � � .������ 000�9�

&'���� .��� �� �� <� !! ������� ,-.%/� ��� �� ���� ��

#)� � �� �� �� ! �� � ���

�� � ���#���� ������� �� ����� ����� ��� ���� �� �� ��� � � ��� 4� � 4!) 4 � U� � �����U )� .��� ?! � �� �� ���������� ���� �� ��� �

���#� 0� ����� ���� # � ����� ���� ?� � �� ��� ���� � �"������� ������������������ ��� 6) ������ ��� ��������������� �� � �� � � ���� # Æ 6) � ��! � 6) Æ# ��� ���� � �Æ�� �� ��� ���� �# �� ! ������� ��� ���� � � � >� ������ ���� ��� ���� � �

�� ����

� ��� ! � �6���� �!�� 5� ���

��� �C���� �!

5��� � �

��&

Page 21: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

���������

�# �� ! $� 4! � �C���� �!&$� � ��� !&4 � �C���� �!&$�

5��� � �

��&4�

� �C���� �!&� ! $� 4!�

����� ��� ��� � ! � 3 �! �� ��� �������� ����; �������� ��� �� ���� �� � � �� � )

� ! �

�� ���� �����

���

) � �� ������

�&

2��� � �� ������ �������� �� � � ��� �������� � ! ��������� ��� ��� �# �� ! ���������

>� �������� ���� ��� �"������� �� # ���������� ��������

0� ��� �� ������� 000�IJ� ��� ���������� ��� .��) � � ��� � ������� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� �� �� ��� ������� U �� ��� =����� ���� � � >� �������� ����� ��� � � ��� �!� � >� .�� �! � >� ���! � � � � ���� # ��B������

0� # �� ! � # ��� �!� ����

.�� �! � > # �� !�! � > # ��� �!

�! � .�� ��!

���� ���� 4 )� � � � U ������� 000�IJ!� ��������� � ��� ! � �� ��� � 4! ��� ��� �4! ��� ! ���� �� �� � � ��� 4! ��� � � � 4 � /����� ���� ��� 4 � U� �� ���# � ��� 4� � 4! � � ��� 4 ��� � 4! � � ��� 4 ��� �4! ��� � � ��� � # �� !� �� ����� ��� �������� ����� ��� ���� �� # � >� �������� ���� ��� ��� #)� � � � � � ����������� U ��� ����� ������ ����� �� ���; ���� �������� �

*�������+ .��� �� �� <� !! ������� ,-.%/� ��� �� � ��� �� )� � � � ������� � ������

������� �� � ������$��� ���� ���� �� �� ���� �� #) ��� � �� � ������� ������� �����

���#� �� ������� ������� ������ �� ����� #=��9C� /�� 000� �I�9'!�

!�� .��� -� ��� �� �� ������� � $ �� �� ��� ������� � �� �� ������$��� ���� ������� ��� � ��� $ � ��� �� ��� �� ������������ � � ���� #� $' � C ��� ��� � $! � � �

���#� ��� #$$�&9� D�4�%'! 7�� ������� ��� �$ � � � � � ������� ��� ��� � ��� $ � ���

��� � ��� �$! ��� ��� ��$! � ��� 5� �� �!

��� ��� � � � � ��� ��������� C � **� ���� ��� 5� �� �! � � ��� !&#$� '& 2��� ��� ��� ������

� �� � ������� �� ����� #� $' � C� ���� ��� � $! � ��� ! ��� �$! � � ������ �

!�� .��� �� � �� � ������ � ���� ��� �� �������

���)$��� �! � *� �!� �� 5�

�� ��#�����

���#� 2���� � ���� 5� � 5� ��� � $ � $��� �!� 0� ��� �� ����� 0D�%� �� ����2��� ��! � �� 3 �!� � ���� � ������� ���� ��� ��� ���������� �������� $��������� D�- ���� ���� ��� � $! � � � E�� �� � � ����� 000�I- ! �� �� ���� � $ �� ���� ��� 2��� � $! � �C� ���� ���� ���� � $ �

&'���� .��� �� � �� � ��� �� ������ � ��� ��� �� �! � �������� ������$���������� �� *� �! ����� ��� ������� � �� � ���#������ ������� ���������� �� $��� �!� ������ �� ��� �� ���#������ �� � �!� ������� �� �! �� � � ���� �� �������� �� � ��������� �� �������� �� � ����� � �� ��� ���� � �� ��������� ��� �� ��� � ��"����� ��� ���� ����� ������

� � �� � ��� � � �&

Page 22: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�� )���'� ���� * %

���#� ?� � �� ��� ��� ��� ���� ��������� ������� ����� �� �� � ��� �� ������� � ����� ��� �������� < �� � �������� �� �� �������� � �� �� � 0� ��� �� /�������� 0D�IC� ��������� ������� �� ������� �� <� � ! �� �� 2E/!� � ���� ������� D�I ���� ���� ���

����� ��� #) ��! � �� �� ��B����� ��� � ���� ��� ���� �� ��� �����

U � � � �) ��� � ��!� � � � �) ��� , � ��&

0� � � �� �� ����+ , � � � ���� �� ����� � ��������� 5� � � �� � � � ���� ����� D�J���� � C� $���� U � �C� ��� ���� # �B������ ����� � �"������� �� 0� ���������

�� �� ���� ��� ����� ��! ����������

E�� �� ��� ��� ��� ;����� * �� �� ��� ������� ��� �) �� � � � ��� � � * ��� ����� � � � � ��� ��� � �! � � ��� � � � ���� � �! � 5�� �� ������� ��� ��� ���� ��� 5� � � �!� � ��������� 2��� 5�! � ���� ���� 2��� ! �� � � ���� 2��� ! �

���� �� 2��� ! � �C� � � ���� � �� � 2��� !� � C L���� ��� 000�IC !!� �� ���

���� * ��! � ��������� ��� ����� ������� ��� �� �� ������ ������� �� � �B����� ����� ���� � � � � � ����� � � � ��!! � ����+ �� � ��� �� ��������� �� ������� �� � � >� �� �

�� ���� ��� �������� � �� �� ������ �� �� �������� �+ �� � � ?�� ) � � ��� �� �����+ )! � � ��� �!� ����� ���� � � �! �

*�������+ .�"� �� � �� � ��� �� ������ � ��� ��� � �! �� �������� ������$��� ���� ��� ��� ������� � �! )� � �!� ������ ������ � �� ������� ������� ���� � �!� *� �! � ���� �! ����� �� ���������� ��� �������� � ��� � �!! � � �!� � ��� �� ��� � ��#���� ���� �� � �!� � �� �! � � �!&

>� �������� �� ����� ��� ��� ������� �����; ��������� ��� ������� ������� �������� ��� ��� ��� ���������� ������� �� ��� �

����� .�$� �! ��� ����� �� ������� D�I ��� ���� ��� ����� ��� # ������� � ��� ����

� � ��������� � �� ������� ��� ���� � � � �� �<������� �� ��� ��������� �� ��� ����������

������� .�� �� � � ��� �

�! ��� ����� ��� # � �"������� � � ��� ���� � .�� � �"������� �� ?���� ��� � � ��� �!� � �� .�� �! � ������ ���� # ��B����� � ��� ���� � .�� ��B������0� ��� �� �!� � ��������� ��� �� ����; ���� # �B����� � ��� ���� � .�� �B������0� .�� �B������ ���� ��� ����� �� ������� D�I ��� ���� # �B������ 0�� ������ ���� # �B������ ��� .�� � .��� � ���� ��� � ����� ���� ���� ��� � ���� ������������ � � �

�! 2���� � ���� � � ��� � ��������� ������� ���� ��� ���� .�� � �"������� ����� �� �� ��� � ��� ���� � ���������� 2��� ��� � �������� � ��� ������ ����������� � � ��� ���� ������� �� ��� ���� ����� �� � � ��������� ��� ����� ��� #)����� ��B������ 6�������� �! ���� ���� � �������� ��� ��� �B������ �� �� � � ���� ����� �B����� �� � � � � ����� � �"������� ��

��� #$��� � �� �� � ���%� �

0� �� �� � ����� �� � �� ��� ���� ������� �� �� � ��� ������� �� �� ������ >� �� �� �� ��� ����� ��� � �� ?� ��� ������� ���� ���� ���� ������� ���� ����� � � ������ ������ ������� � ��� ����������

/����� ,+����� ����,

=����� �� ���� �� ������� ������� ����� � �� ���� �� ������ ��� ������� ��������� G����� ����� �

Page 23: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

������� . ��� ��� � �� � ������ ���� ���� � ���� � ��� � $� 4! �� �� $� 4� �������� ���� ?�� � $ � � �� ����� ��� �������� �$ �� �$!&4 )� �� $� 4� ��� ���� ! $! )� �� $� � � ���� � �� �� �� � 0����� �� �� �

����� �� $� 4� � �4� $� � ���

����� #'�!� �$' �� '�!!&

��$ � �

� !�'!&$

����� ��� ��� '� !� � $� 4 � � �

�! 7 ���� G����� ����� � ������ �������� � � �� � ������� �������� ��� ���� �� $� 4� ������� ����� � � 4 � ��� �������� � $ �

�! 7 ������$0����� �� �� � G����� ����� ���� � =����� ���� ��� ��� ���� ��� ������ �� ��)�� � � �������� �

�! 7 �������� ������$0����� �� �� � ������� G����� ����� ��� ���� � � =�����1G����� ������ ���� � ������� ��� �� � � � ��� �������� ��� � ��� �������� � ��� ��������� �� ��� =�����1�� ����� + �! ��� #+�&5� F��� &�%'!� 7 ������� =�����1G����� ����� �� �� �� ����� � 2��� ���! � ��� ��� � � � �

�! 7 �3� ��� �� � �� ��� ������� =�����1G����� ����� ��� ���� ��� � � � ���� ��� ��� � � � �

��� � �� � =����� ���� ��� � � �� � ������� �������� ������� ���� �� ������������� �� �� ��� ���� ��� ���� 4 � � ����� �� � �� �������� @� � 7�� �!� ��� ����� ������������� ������ �� � � ��� ���� 4 �� ������ ���� ���� �� @� � 7������� �� #+�&5���� ,C�,-' ��� ���� � ����� ��� �������� �� � �3� ����� ��� � ����������� �� ��� ������� ���� � � � ��������� �� � ��� ���� ��� �� ���� � � �3� ����� ���

� � �4 � �) 4 / I�&

��� ����� � )� 7�� �! ����� � ������� =�����1�� ����� �������� ��� ���� ��� ���� �������� �� � �� � ���� ������� #+�&5� ��� I-�IJ'!� 0� � � ��� ����3�� �� C � � � ����� � ��� � ��� ���B������ ��� @� ���� �� �� �������� �� � � ����� ���� � � ������� ���� � ��� �� � �� .������ 000�9� ��� ����� � ����� � ������� ?� ��� �������� ���� ����� %����1������ ����� ����

! � �! )� ��� �� ! �!�

I� � !��) � $�� ��S!

�� � �! � � �! � � � ��

����� S � ��� ���� ��� � � ��� #+�&5� L���� I,�,-'!� ��� ����� ������ ����� ���/�����V������ �����

� � $! )� ���Æ !� $!!) � $�� ��S!��

����� Æ ��� L�����V� ����� �� S #+�&5� /��� I,�-C'!� 0� �� �� ������ ���� ��� $���1=����� ������� ��� ��� /����� � ����� �� S ���� ! �! � � ��� � � �� �! ��� #+�&5�L���� I,�,5'!� 0� �� �� � �� ������ � ��� �� �! � =����� ���� � =���� �� ��� ������� ��� ������� ?� ��� ������� � �� ��������� ����������

7 ������ ������� �� � �3� ����� ��� ���� 3 �� ! �� ������� �������� ���� ���$����� ���� � �� ��� $����� ���� ������� ��� ��� �������� ����� ��� ����� ������� ���� �� �� $� 4� �

� $�4 � 4$�!� /�� �� ������� �� 3 �� ! ��� ������ ��� ����� �

��� � ��� �� � �3� ����� � ���� ���� ���������� ����� ��� �� ������� �� � �3� ����� ��3� ����� #+�&5� /��� ,C�9'!�

������ . ��� ��� � � 3 �� !� ����� � ��� $����� ���� � >� ����� ��� $����� ���� )� �� ��� ��� ������� ������� ���� ���� �� = �� �! )� ��� �� � ���� ��� ����� �� ��� ���� � � ��� � ����� � *� � �! ��� � ���������� �����

� � + �� ! � �) � *� !) �� � != )&�� )&�! � = �� �!�&

0� ����� ��� ����� � ��� ���� ����� �� � �� )&4 � '4 � !! D4 � �!� � ����� ) �

�' !D �

������ � � ,� ,!����; ����� �������� �� ��� ������� ��� � �� � ��� ����3��

Page 24: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�� )���'� ���� * %

�� �� C � � ��� ������� � � � �! � � !� ?�� ��� �������� � )! )� )�!� �����)� ������ ��B��� �������� �� !� �� ��������� ����� � � �! ��� � � � � �! � � � ������� � � � !� � �! ���

� ���

C ��� C

�)� � 3 �� !

����

���� C ��� C

���� � � &

��������� �& � � � �� � � ! �� ������ �� ������� ����� ��� ���� �� �� ����� ���� ����� �������� ���� �� 3 !� >� �������� ���� � �� �� � �� <� � ! � ��������� ������ ������� �� ������� ��� �� ���� �� < �! � ��� � ����� �� �� 2E/!�

������ . ��� ��� � �� � ������� ���� ��� � �� � �������� ���� �3� ������ ����� )� � ��� ! � �3� ����� ��� �� ���� �� � � )� =� ! )� � !� ) !� = !� ��� ��� ���� )� ��� ! ) � �� � 0� ����� ��� � )� = � � �� ���� 5������&= � = ����� � 5������������&= ! � = ! ���� ��� ���� � � � ��� �;�� � �� ����� 5���� � I� ����� ���� ���� �� 2��� � ! �

L���� ��� 000�9 !!� 6������� � � � � ! � ! �

#+�&5� ����� ,C�&'! ��� !� ! � ! � ��� ���� � � ���� � � � � � � ������������ � � � � � �

2��� � �������� ����� �� ��� ��� � � �� � ����� �� � �� � �� � �������� ���� ��������� ������ ������� �� �������� ���� � )� � �� �� ! �� �� 2E/! ����� 0D�, !!�

&'���� . ��� �� � �� � ������� �������� ������� ��� � �� � ������� �������� � ������ ���������� ��������

���#� ��� � �� ��� ����� ������ �3� ����� �������� � � � ���� ��� �����

7������� �� ��� *������1E����; ������� ��� �3� ����� #?�&4'!� ����� �3� �����

� ���������� ������� �� � ��� �� ������� �� �� )� 3 ! �� � ��� !� ����� �$����� ����� � � ������� ���� ��� � � �������� ���� �3� ����� ��� ��� ��;���� ��������� �3� ����� �� ���� �� ,%!� /������ .������ D0�- ��� D0�J ��� �����

0D�, !� �� �� ���� �� ��� �� ������� ��� �� � � ������ ������� �� ������� ��� �< � !! ��� 2E/!� ����� �� ��� �I!���� ���� �� �< �

>� ��� � )� � �� � �� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� ���� � )� �� � �) #�� �' �� � ����� )� � � � � ��� �� �< ������� ��������� �� �� � ����� � ������ ������� �� ������� ��� 2E/! ����� 0D�, !!� E�� ��� � ����� ������ ���� L���� ��� 000�I5�

������� D0�J ���� � ��������� ���� ��� ����� ��� �� ��� ����� 7�� �! � �"������� �� �� �� ��� �� �� � ���� ����� �� >� Q��� ��� #Q�&-� L���� J�4'!�

����� . ��� ��� � 3 �� ! �� � ��� ������ >� ������ � ��� � ��� ��� ��������� � � ��� �! �� ��� =�����1�� ����� � )� 7�� �!� � ���� ��� ���������� ������� ����� ������� ���� � � ��� � ���� �"������� � .��)� � � � + �� #+�&5� L���� 5�,I�

����� I&�I,'� ��� ����� �4� )� 44�!�� � 3 !� �� �����

.�� 4! � �� �4�

�4�4 �� �

� 4�4!

��

���

�� �4�

�4� �� � �4�!�4 �

���� �4�

�4�4

��� #+�&5� ��,5%'!� �� � �������3���� �� ��� ���� ;���� ������� ��� ��� ��� � ��

������ . �"� 7 G����� ������� � ������ ���� � ��� � ���������� ��� ���� ����� ������! ����������� � $! �� $ ��� ���� �$! � � $! ���� ��� � $ � � � 7��������� �� � ������� G����� ������� � �� �������� �������� ��� 4 �� 4� ��� 4�!� ���4� ��� ��� 4� � � � � 7 �3� ������� � ������� =����� ���� � ������� ��� ��� ���������� � G����� ������� ��� �������� � ��� ����

4� � 4 � � ��� �4� 4� 4� � 4 �

Page 25: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� ��

��� 4� � � � � �����

�� $� 4� � $�!4 � $�4!� $� 4!

��� �������� G����� ����� �������� �� � #+�&5� L���� ,C�-5'!�

������ ������� ��� �� ������� � ����� ��� G����� ������� ���� �� 'Æ! )� � '!�!'!�

.���� ��� �� �������� G����� ��������� �� � � �3� ������� ��� #+�&5� .�� ,C�,&'!�

��� � �� � �3� ������� ��� ��� ������� 5 � � �� ���� 5� � 5 � ��� ��� ��� ��� ���� ��������� � )� �4 � �) 4� � 4� � ���� � � �� � ?�� 4 � � �� ���� �� ! )� 4 ��� �������������� �������� �� � � >� ��� ��� ��� �� ��

� )� � � � ) 2��� ��! 'C��#�&

0� ���� ��� ���� � �� ���� ������ ���� � � � ���� � � �3� ������ ��� ���� ��� /��������� ����

))� )� �4 � �) 4 / I� � � � ��� ) 4! � 5� 4! 5� 4!�

� ����������� ��� #+�&5� /��� ,I�,,'!� ?�� 4 � � �� ��� �� ! )� �4� � 4� ��� ��� ������ ��

7�� ���! )� �) � *� �!) )&5 ��������� �4 � �!�$ � � )��)���

����� )�) � )��$, � �� �� � ��� �� ������� �� *� �! ���� � =�����1�� ����� ����� ���� �� ��� �������� ����� ��� � )! )� )�!� �� �������� ��������� � �� 7�� ���!�?�� ����� ��������� � ) �� ���� )� � )� ��� �� � ��� ��� ����� �������� ������� 4 � � #+�&5� /��� ,,�I4'!� 2���� �������� ���� ��� ��� ������� 7�� ���! *� �! ���������� 7�� �! � � ��� �� �������� ?�� ��� �� ������� �� ���� ��� ����� ������� ���

��� ���! � ��� �!��� � ����� �� � ���) � �� 3 �!

���

� �! � ��� �! � ��� �!� ��� � ��� �!&

#+�&5� L���� ,,�,J'!� �� ��� � ��������� ���� ��� ���!& �� ������ �� ������� ����� ���� �� ��� �������� ����� � ���� ��� ���!� �� �!� � ! � ��������� ������ ��������� ������� L���� ��� 0D�&!�

��� � )� 7�� ���!� �� ��� ������ ��������� �� 7�� ���!� ���� ������� D�5 ���� ���� � �� � ����� ������� ��� � � � ��� � � � � � � ����� � � 7�� �!� ��� � � ��

#+�&5� /��� ,,�,9'� #Q�&-'!� 0� ��� �� � � �) � �) )&5 � 5� � ��� ����� �� � �� � ���� ��

��� � �&5 � ��� �!�&5 � ��� ��!&5 � 5� � ��

����� 5� )���

�����

�� ��� ���������� ������� �� ��� ���� =�����1G����� ������� � #+�&5���� ,,�-%'!� ��������� ��� ���� ���� � ����� � ������� �������� �� � ?� ��� ������� ������ ��������� ���������� 0�������� � ��� � �� ��� ��� �� ����&5 � � ��� ����������������� �� � ���� ��

.��)� � �� �� 5�&

��� ?� ��� �������� �� � ���� �� ! 5�� �! � 5��� &� � ��� ��� ����� � �) #C� I' � ���� � C! � 5� � � I! � 5� ��� �� C! � 5�� &4 �� �� � �! � 5��5��& 0� ������ ������ % �! � ! 5�� �� C!! � 4 � ��� �� ���� 5� � 5���5� � ��� ���� ���� � �� ������������������ ���� ���� .��)� � � ����� ��� � ����

4&I! 4 � �( 5�� 5�! � �� � $! � � $ &

=���� �� ������ ��� 4�I! ������� �� ��� ��<�����

4&,! 5�� � 5�� &5�

Page 26: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�" )���'� ���� * %

��� � $ � � � 2��� ���� �������� �� �� � ������ �� � ������� �������� �� ��� =����� ���� � � �� � �� ����

A ! )� ��� 5�� � �� 2��� ��! � ���� � C) �5� � ��

��� #+�&5� ����� ,I�I,'!� 6�������� ��&5 � ���� � �� � ��� A !� A �!!�

�! E�� �� ��� ���� 4�I! ���� 4�,!� �������� �� � � 4�I! ���� ��

� $ � ��� 5��5�!

��� ��� � $ � � � ��� 4 � � ��� 5� � 5��5� � 0� 4 � � � ���� �� ���� ������� ��

A � $! � � $ � 4 � A 4!

��� ��������� �� 5�� � 5� � �� ���� ��� ��� ������� �� �� �� �� � ������� ��� $ ��� )� �75 ��� $� )� $�75 ��� 7 � � � ���� 4� � 4�,75 �� ��� ��� 7 ������� ������$����

5�� � 5��� 5���� � 5��� 5�� � 5� &

�! >� ��� ���� 4�,! �� � ������� ���� 4�I!) ?� � �� ���� ���� 4�,! �<������� �� 5��� � 5��� &5� ��� ��� � $ � � � ��� 4 � � ��� 5� � 5���5� � ���� 5��� � 5� ���� �� A $ � ! � A 4!� �������� ��� $ �� � ��� �$ � ���� 5�� � 5�!� � 5�� &5�� ���� ��

A � $! � ��� 5�� &5�� � ��� 5�� � A �4!&

L����� ��� � ��� ��<����� ��������� �� ���

$ � � ��� A $ � !� A � $!! � ��� A 4!� A �4!! � 4 �

��� �� � ������������ �� ��� ������ ����� �� �������� �� ��� ���������� ������� ������������� ������ ���� 4�,!�

������ . �$� 7 ����� �� � �� ��� ������ � �� �� � .������ D0�4 �� � � � � ������ �� �������� ���� � � �3� ������� ��� �� ���� �� 'Æ ! �

� '!� !'!� ��� � )� � !��� ��� ������ ��������� �� ��� ����� � ! �� ��� �� � ���� � )! )� )�!� ���� � ���� ������� �� ����� ��� �� ������� � � ����� � � =�����1�� �������!� 0� �� �� �� � �! ������ ��� ��� ������ ����� � ! � �' � ) '�' � ''� � �� �� ���

��� � )� �))�) ) � ��

��� ���� ���� �� �� ��� �������� �������� � � ��� ?� ��� �������� �� �� ���� ����� ����� ���� �� /������ L���� ��� ����� �� � ��������� #/L�9,'� #/L�9-' ��� #/L�9J'!�7 � ����� ������� �� ��� ������ � .������ D0�4� �� �� ���� �� ��������� ����������

��� ����������� �������� �� �� ��� ���� G����� ������� � � ���� �� �� �� %� �+�!� ����� %� $! � $ ��� +� $! � $ � ��������� 5�� &' � 5

��-�5

��.� &' � 5

�� '5

�� � ���

4�,! ���� �� -����2� ���!����� 5�� � 5

�� 5�5

��

��� � $ � ��� #�2%&� ��� 8�5%' ��� � ��� �� �� �� ��<����� ��� ��������� �����B����������� �� � $����� ����!� ?�� �� ����� �� � �� �� �� �� ���� �� ��<����� �� ������� ����� ��: ����� #��%I'� 0� #/L�9,' � ���� ���� �� ��<����� �<������� �� �������������� �� �������� �� ��� ���������� ��� ��� ?� ��� ����� �� �

7���� ���� 2����: ��<����� ����� ��� ���� ���� ����� ��� �������� �������� �� ���?� ��� ����� �� � >� ����� �� #/L�9-' ��� ���� ����� � �� ������ � ��� ����� )

I! ��� � ����� ������� � � � �!!� ����� � � ����� �� ��� �������

,! ��� ����� � ���� � ��� ������ �� �� �� � ���

-! ���� �� ��� ��������� " � / �� ���� �� �� ������ � ����� ����� ������ ������� ��

F� ��� � �������� �������3� �� ��� ����� �� .������ D0�4M

Page 27: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �$

������ . �%� 7 � ��� �<����� �� L���� ��� 0D�II� ����� �������� ���� �������� ������� ���� � �� ���������� ���� ������� ��� �� ������� ?� ��� �������� �� ��������� ���������� 7 ��������� ��� �� ������� ��� ������� ?� ��� �������� ������� ��� �������� ���� ���� ����� �� W� �� � #��99��'� $� ��� ��� �������� ���� ������� ���� X� 2��� ��� � ���� ��� �� ������� ��� ��� ���� � �� �� ��� ������� � � �������� G����� ������� � ��� #?Q9J'!� ��� ��� ���� �������� G����� ������� � ���������������� � �3� �������� �� ������ ������� �� ��� � �� �� � .������ D0�4�

�� ���� � ��������� �������� �� ��� ������ �������� �� X ���� � �� �� ������� ' ��� ! ��� ������ 'E! �� ��� ����� � ������ ��������� ����� 7 � ��� �<�������� ����� ��� ��<����� 4�,! ����� � �� ���� ��� � .������ D0�4� ��� ��� ������� �� ������� ���� � � ������� ���� ��� ��������� ��������� #��99�� /��� II'!� 0� #��99�'�� ��� ����� �� ������ �� ��� ����� �� X � ������ �� ��� ?� ��� �������� ���� ����� ������� ����� 0� ��������� �� ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ���� X ��� ������������ ��� �� ���� �� ��� ?� ��� ������

0��� ������,

����� . ��� ��� � �� � ������� =����� �����

�! 0 ��� ������� � �! )� ����$��� �!� � *� �! ��� ��M .��� ������ �� ���� ������������� ���� �� ��� * �! F� *� �!� � ��� ����� ������� ��� ���� ��� ���

�! >� ���� ��� � /�������� D�4 ���� ��� ������� ���� � �!�� �! � ?� ��� ������� ���� ��� ��������� ���������� � ���� .��)$��� �! � � �!�� �! � �"������� ��6�������� � �! � � �!! ���� ��� �� ������������� �������� � �� � �!� � ���� ��� ���

� �!�� �! � ����$��� �!

� �� )� �! �� )� )!�

� �"������� � ������ .�� ! �� ��� ,!� 0� ��� ����� �� � ����� � � $����� ���� ��� ����� �� �� ��� ��� ���� �� �� ��� �������� �������� �� � � 0 ����� � ������ ������ ��� � ������� =����� ����M 2��� ��� =����� ���� $��� �! ������ ��� �������� X)� � � $��� �!) 2��� ! 'C��#� � � ������� �� � ; ������� ���

�$��� �!

$��� �!� 0� �� ��� �� �� ���� ��� �������� �������� �� ��� ������� ��� #��%-'! ���� ���� ���

�$��� �!

� X� ��� ����� �� � �! �� ���

�$��� �!

� ���� �� )&' � )'� )!� �

� � ������� <�� ��� ������� ��� ����� �� � �! �� 3 �! ���� �� �� ������� ��� ���� ��� ���� $��� �!� 0����� ����� �� ���� �� ��� <�� ��� ������� ��� � ' � $��� �! ���������������� #� '' � ' � ' �������� � $��� �!� + �� �����3����� �� ����������� � ��� ���� ' � $��� �! �� ���� '� � $��� �!�

����� . ��� 7 =����� ������ �� ������� �������� ����� ! ��� � �� �� ������ �� ������F�� � ���� � ����� �� ������������� �� ��� � ����� ������� ��� �� � � ��� ��!M �������� �� ����� �� ������� ������ �� ��� �������� ���� ������� �������� ����� � ?��� ������� � �� �� �� ��� ������� ������� ��� ������������� �� =�����1�� ����� ������� �� #*�99'�

�! 0� � � �� ������� �� ��� ����� � �! �� ��B����� ������ �� � ������� =����� ���� �� ���� ���� � �� ������� � � ��� �� ��������� �� � �!!� ���� /�������� D�4 ������ � ������� ����� �� ��� � ����� ������� ��� ���� ������� ���� ��� ������� ����������� �� � *� �!� 0� �� � �� �� ���� �� ����� ����� �� � � ������������� �� � � 0������ � �)� � � ����� � �� � �� � ������� =�����1�� ������ ���� ��� �"��������� � ���� �� � ������� ����� �������� ��������� � �� � � ��� ��� �� � ������������������� � ��� ) ��� � � ����� ��� ��� ����� �� ������� ������ 2��� ��� �� � �� � �"�������� ����� ������� ��� �� ��� ��!� �� �� ���� ��� ������ ������� � ������������������� � �� )�� � �

�! ��� � �� �� ������ �� ����� ��� �)�� � ��������� � �� � ������� ����� ��� ������ �! �� ��� �� ������ ���� ��� ����� 3 )� � �! �� ������ �� ������� �� � ��� ���

Page 28: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�% )���'� ���� * %

��� �������� � � �! ��� ���� 3 �� � ����� �� ������������� 3� ��� � �"������������� ������� ��� 3� � 3 ��� �!� >� �������� ���� ���� � ������ ������� � ����� ��� 3� � ����� 3� � ������������� �� �� ������ �� ����� 3 ��� � ����� ������� ����

�! ��� � � � ������ ��� ���� ����� �� ��� ;����� �� �"������� �� �! �� ��������� ��)� � ��� ������� �� ����� � ���� � � ��� �� ���� �� � � � ���� �� ��� ���� ���<������ ������� )� ��� ���� ������ ����� 0D�5!� (�� ����� �;� �� ��� ���� � ����������� � ��� �� � ���� � ��� �� ������� �� � ���� ��������� ������� =�����1������� 3� � ���� 3� �� � ����� ������� ��� 3� � 3 ��� �!� 0� ��� ����� � �������������� ���� �� ���� � ������� ��������� � � � 3 ������ �� � ����� � 1)� � 3����� ��� �� ����� � � �!� �� �� � ����� �� ��������������

E�� ���� � ���� � ��� ���� ��������� ��� ���� �� � ����� �� �������� �������� ��������� � �)�� ��� � ������� ����� ��� �� � ��������� � ��) ��� ����� ���� ������ ������� �1) ��� 3� ��� � ���������� ��������� � �)3� � � 7��������� ��� ��� ������� �� � ��� ���� ����� �� ��� �� ������� �� ��� ;����� �� ��� ��������� � 3� � ������ F�� �� ���� � �� ����� �������! ���� * )�

�� ;�� � � �����M

�! 0� ���������� ���� ����� � ���� ����� �������� ���� ����� � � ��� �������� ?� ��� �������� �� � �� ��� ����� � ������� =����� ����� ������� �� � � 6���� �� ���������� ������ �������� ������� �� � ��� ���

����� . ��� ��� �� <� !! �� � ������ ������� �� �������� ?�� ���� ������ ��� ����� ������� �& � �� �� �� �� ������ � ��� �� � ���� �� ��& � �� �� �� � �� 0�� �&!����������� �������� ��� ���� ��� �� � �

2���� � ���� � �� 0�� �&!������� ���� �� ��& ���� ������� ����� ��� ������������� �� �� �< �� �� � ���� � ��& ���� ���� � � �

� � <&! � & ?�� � $ � � ����������� �����

$ � 5�� ��&$!� � �� ��!&$ &

>� �������� ���� �� ��! �� � I ���� ��� ���� � � � F�� �� �������� ������ �������� ���� � ������ �� �� 0�� �&!������� ���� �� ��&M 0 �� �<������� �� ��� �������� ��!� �� ���� � �����M

����� . ��� ��� � �� ��� ���� ��� ���� � �� �3� ����� � � ������� ������������!� 0 � �� ��� �� ��� �������� ������ ��������� �� ��� *������1E����; ������� ����3� ����� ���� ��� ���� � � ��� �������� � �� ���

��� �������� ��� ����� ��M 6���� � ���� ������� �� �����; �� ������� �� �� ������� ��� �� ������� �& � � � �� ������ ����� ���� �� � ������ ����� >���� �� ������� �� � � � ������ ���� �0 4! � �� �4� �� 4�! 1

1� ��� ���� #�0� ��' � ,���0�0�� ��� #�0� #�0� #��''' � ,�0���0�0�0��� � ���� ���0!

� ������� ���� �� � �� ��� �������� ����� �0& 0 �� �������� � ����� ��� ���� � � � M

��#�����,

#7=9C' 7��������� 2� =�� ��� �� �� = ���� ��� &��������%���� ������� �� �������%��� 3���� - ����� �:.� �������� 6���� �" I99C!� -C91-,C�

#=L&C' =��; ��� .�� ��� $� L����� ��� ���� �� ��������� �� &���� � ���� �� ��7����� ��� �� �������� *�� ��� 6���� G� �� I9&C!� I99,CJ�

#=��9C' =�����;� E�� 4��� �� � ���5����� �� ���� %�� ���� 6 � 7� 6� ��� L�� � I99C�

#=$99' =�� ��� 6� ��� ��� 7� $��T���� 3���� � ���� �� ���� ����� ��������*���������� ��� ����� > �� 2������ D������ =����� I999�

#/�4-' /������ .�� @��Y��� �� �� *V���V���� �� . ���� �� �������A *������ D���� � ����� ������ I94-�

#/L�9,' /������ *�� $� L����� ��� �� ������ � �������� ���� ������ �� -�����2����!����� 5�� � 5�2�5� 5�2� � L���� 7���� 6���� 2��� ���1� I99,!�,,91,-I�

Page 29: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

� ������������ �� �� ��� ������������ � �������� �(

#/L�9-' Z� 4�������� ��� � ����� ����� �� �� � ��� �� ����� � ������� 0����������� G� �� 6���� �1� I99-!� I9-1,C,�

#/L�9J' Z� %��� �� �� �� ��������� ������� �� � ���� �� ����� � ������� 0���� G� �� 6���� �%1� I99J!� &%19J�

#/*69C' /����� 6��� G� 7�� 7� *���� 6����� ��� /� 6���� *��3���3� -������ ������� %� ���������� 6���� L���� /���� L��� 2��� �)$ I99C!� -4I1-45�

#.�44' .��� � G�� � ����� ��� ������ ��������� =���� 7���� 6���� 2��� $� I944!� %5I1&C%�

#.�4%' .�� ��� $�� 4������ �� ��������� �� �� �� G� F"� *���� � I94%!� I491I9J�

#?Q9J' ?������ G�� ��� 7� Q������ @7���� �� ������� ���� �A (����� 6���������� 6�������� � (����� +���� �� L�� � I99J�

#?�&4' ?������� W�� ��� =� �� �� ��� 4�������.�����8 ������� ��� �3� ��� ����F�;� 6���� G� �� I9&4!� I-91IJ&�

#*�99' *�H��;���� $�� @0��������� ���� /������ *���� ��� 2������� ) ����� ������� �� /��� � ���� ��� /����;� 2������� �A F �������� +���� ���� ���������� F��� ����� I999�

#*�45' *�� ���� E�� &����� ��������� ����� � ����#���� ����� L���� �� ��� 7����6���� 2��� �" I945!� I-451I-%I�

#$�94' $�������� G�� ��� �������� 5� ��������� � ��1��� � ���� ������ �1������!���� G�6���� L��� �� 7���� 2�3 � I&94!� ,%1%-�

#$�4%' $���� � L� ��� @7 $����� 2���� L������ =��;�A *������� ���� � 6���� �(�2������ D������ I94%�

#��$%,' �� �� $����� L�� @/�� ��� =�����1�� 7������ ��� =�����1�� *���� ��(������� � $����� 2�����A ������� E��� � 6���� �%�� 2������ D������=����� I9%,�

#��$&-' Z� %�������� ���� � ��� ��������� ��� �������� �� � ������� L���� 2���� L���6���� �%1� I9&-!� J%%15I-�

#$��%&' $���� ��� 2�� @F"������� ��������� �� ����� � ��� ������� ���� �A 7����L�� � ������� I9%&�

#$$�&9' $������ G�� Q� $� $������� ��� G� F� ��� ��� @�� *���� � /����� /��� � ���2������� �A (����� +���� �� L�� � I9&9�

#$(94' $������ G�� V(��� ��� *�� @/�� �� 2������� 2���� � *������� ��� $������7���� �A 7���� L�� � I994�

#Q�&-' Q���� >�� � 9������ �� ��� ������ ��� ������� �������� ������� ����� �� ������ � ����� 6���� [� �%� I9&-!� 5C-15,9�

#Q69%' Q����� 7�� ��� L� 6����� @��� /�������� 2����� ��� *����� 7���� �A 6����2����� ��� 6�������� ��� 7���� 6���� 2���� I99%�

#QE94' Q�H��3� =�� ��� Q�$� E���� :� �� ������� ����� ��� �� �� �������� � �����G� �� ������ "1� I994!� 491IJ4�

#��99' ����� 2�� @?���������� �� F"������� *��������A *������� ���� � 6�����(�� 2������ D������ I999�

#��99�' ��� W�� � �������� �� �������� ����� �� �������� ������ ��������

#��99�' Z� 4������� ����� �� �������� ������ 7���� ��� 6����� �� �������

#��99�' Z� ������� ������ �� �������� ������ 6���� 7���� �� �������

#��49' ��� � (�� @2������� 2���� 0) *������ �������A =��B���� E�� W��;� 7� ������� I949�

#6�745' 6�7���� G�� @0����� F��� ���� 6������ ��� 6�� � �������A ��� � /������ +���� ��� I945�

#E�99�' E���� Q�$�� @$��������� ��� /������� � �� �������A .��� ��� � 6�������� �%� �� *������ D������ =����� I999�

Page 30: A Cartan Hadamard Theorem 4 Banach Finsler Manifolds Neeb p30

�) )���'� ���� * %

#E�99�' Z� :� �� ��� �� ������� �� ������� ������� �� ��� �� ���� ��������� ����� 7����� �� �:0� ���� ?����� �(1� I999!� I%%1,,5�

#L�3&-' L�3�� 7�� @2������� �� ����� (������� ��� 7�������� �� L����� F"������� .<����� �A 2������D������ =����� $��������� I9&-�

#L2&4' L�� ���� 7�� ��� *� 2����� @���� ����� �A (����� +���� �� L�� � (������I9&4�

#L>5,' L������ /� ��� ��� 7� >����� ��� ��������� ���� �� &����� � ���� 7����G� 6���� $� I95,!� 5,1%&�

#�2%&' ����� 2�� ��� =� 2���� @6����� �� 6����� 6���������� L�� � 0D) 7���� �� (������� A� 7������ L�� � E�� W��;� I9%&�

#��95' �������� ��� @?��;����������� 00�A 2������ ��������� 2������ D������I995�

#��%-' ����� >�� @?�������� 7���� �A 6�*��� $��� I9%-�

#��&4' Z� @���� ��� /������ 7���� �A 6�*��� $��� I9&4�

#2�99' 2������ E�� @��� 2�������� �� ������� ?��� 2��� �� ������� �A L��F� ��� �F��� ���� +���� �� �� ����������� I999�

#��%I' ����� ��� /� G�� ���!������� ��� ����� ������ �� ���� � ����� 0����� +���6���� G� �� I9%I!� J491J&C�

#+�&5' +������ $�� @2������� =����� 6������ ��� G����� �� ������� �A E����$������ 6�������� 2���� � I9&5�

#D�%9' D� ����� .�� ;�������� �� � ���� �� %����1������� 7��� 2����� E���� 2���L � $1� I9%9!� -914&�

Q���$������ E�������� ��� +���� �H�� F��� ����2���� ������ ��� � %F4J,&9 F��� ����F��� ������

����\��������;������� �������