A busca da verdade: Da lógica à Computação · resume a essência da demonstração de Gödel: • O Teorema da Incompletude significava o fim de um sonho de 2500 anos. INDECIDIBILIDADE

DA LÓGICA À COMPUTAÇÃO

Prof. André Vignatti – DINF - UFPR

ALGO ERRADO COM A FIGURA?

NA GRÉCIA ANTIGA

Pensadores: como ganhar uma discussão?

Como saber se um argumento é VERDADEIRO?

NA GRÉCIA ANTIGA

1ª Tentativa: argumentos geométricos

Ex: Teorema de Pitágoras

NA GRÉCIA ANTIGA

2ª Tentativa: Argumentos Lógicos:

1. Deus é Amor

2. Amor é Cego

3. Steve Wonder é Cego

CONCLUSÃO: Steve Wonder é Deus!

VERDADEIRO OU FALSO?

Ex. da Grécia Antiga - livro “Elementos” de Euclides:

• É possível desenhar um linha reta de um ponto a outro ponto

• É possível prolongar um segmento finito de reta indefinidamente em ambas as direções

• É possível descrever um círculo, dado um centro e um raio

AXIOMAS

Axioma: uma verdade evidente, aceita sem questionamentos

São “peças básicas” para construir verdades mais complexas

TEOREMAS

Teorema: uma verdade deduzida logicamente através de outras verdades

Na Grécia Antiga: ninguém sabia exatamente o que era “deduzir logicamente”

PAUSA DE 2000 ANOS NA BUSCA PELA VERDADE....

LÓGICA BOOLEANA (≈1847)

Deduções Lógicas = Fazer “contas” com lógica

Álgebra Comum: 2+(3*4)/5

• operadores: +, -, X, /

• operandos: números Álgebra Booleana: (V e F) ou ¬(V ou ¬ V)

• operadores: e, ou, não

• operandos: V, FConstruções com fundações sólidas e boa argamassa

EXEMPLO DE LÓGICA BOOLEANA

Exemplos:•“2 é par” é VERDADEIRO•“3 é par” é FALSO •“2 é par e 3 é par” é FALSO•“2 é par e 4 é par” é VERDADEIRO

Deduzindo verdades graaaaandes:

•“2 é par e 4 é par e 6 é par e 8 é par e 10 é par e 12 é par e 14 é par e 16 é par e 18 é par e 20 é par e22 é par e 24 é par e 26 é par . . .” é VERDADEIRO

LÓGICA DE PREDICADOS (≈1884)

Melhora a lógica booleana:

•Variáveis

•Quantificadores (“para todo”, “existe”)

Exemplo: “𝑝𝑝(𝑥𝑥) : 𝑥𝑥 é par”• 𝑝𝑝(2) é VERDADEIRO• 𝑝𝑝(3) é FALSO

Deduzindo verdades graaaaandes:

• “𝑝𝑝(𝑥𝑥), para todo 𝑥𝑥 = 2𝑘𝑘” é VERDADEIRO

Gottlob Frege

Mais fácil! Mais simples!Mais limpo!

TEORIA DOS CONJUNTOS (≈1870)

Georg Cantor

Estuda “coleções de objetos”:

• Objetos podem ser qualquer coisa

• Intersecção: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵

• União: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵

• Complemento: 𝐴𝐴

objetos = verdades e mentiras

a e b

a ou b

não a

JUNTANDO LÓGICA E CONJUNTOS:

Vamos ver um exemplo...

PARADOXO DE RUSSELL (≈1901)

Livros autorreferentes: que contém referências a si mesmos

Christos Papadimitriou explica o paradoxo:

PARADOXO DE RUSSELL (≈1901)

PARADOXO DE RUSSELL (≈1901)

PARADOXO DE RUSSELL (≈1901)

Um pouco mais formal:

“o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros”

E em “matematiquês”:

{𝐴𝐴 | 𝐴𝐴 ∉ 𝐴𝐴}

BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970)

De acordo com Wikipedia:

Quem é: Filósofo, Lógico, Matemático, Historiador, Crítico Social e Ativista Político

O que fez: • Fundou a filosofia analítica• Pacifista nas 1ª e 2ª Guerras Mundiais, e

do Vietnam• Prêmio Nobel de Literatura por escrever

sobre liberdade de pensamento

Legado:• Influenciou lógica, matemática, teoria dos conjuntos, linguística, inteligência artificial,

ciências cognitivas, ciência da computação, filosofia da linguagem, epistemologia e metafísica

• Principia Mathematica• “um dos mais importantes livros em filosofia da matemática escritos da História”• “23º dos 100 mais importantes livros em inglês de não ficção do século XX”

PRINCIPIA MATHEMATICA (≈1912)

Russell (e seu amigo Whitehead) gastou 10 anos para resolver seu paradoxo

O resultado foi o livro “Principia Mathematica”:• Reescreveu toda a base da matemática• Objetivo: provar matematicamente qualquer coisa• Métodos complicados, mas bem fundamentados

Na página 379, eles provaram que 1+1=2, vejam:

NOVAS INDAGAÇÕES... (DÉCADA DE 1920)

Apesar do sucesso, Principia Mathematica levantou questões...

Existe um sistema lógico-formal que seja:

1. Consistente? (não leva a contradições)

2. Completo? (não permite verdades indemonstráveis)

3. Decidível? (existe passo-a-passo para decidir se uma verdade se segue dos axiomas ou não)

INCOMPLETUDE (≈1931)

Em 1931, aos 25 anos de idade, Kurt Gödel abalou o mundo da matemática

INCOMPLETUDE (≈1931)

INCOMPLETUDE (≈1931)

INCOMPLETUDE (≈1931)

Esse é John Von Neummann

A frase clássica de Von Neummann “Está tudo acabado” resume a essência da demonstração de Gödel:

• O Teorema da Incompletude significava o fim de um sonho de 2500 anos

INDECIDIBILIDADE (≈1936)

A questão da decidibilidade também teve uma resposta decepcionante...

Lembrando...

A Lógica é Decidível?Ou seja, existe um passo-a-passo para decidir se uma verdade se segue de axiomas ou não?

Alan Turing, em 1936, provou que a lógica era indecidível!

INDECIDIBILIDADE (≈1936)

O que Turing fez?

Formalizou matematicamente os conceitos de:

• “passo-a-passo”: algoritmo

• “verdade seguir-se de axiomas”: computação

Como Turing fez?

• Definiu um modelo matemático que executava algoritmos e realizava computação

• Provou que o Problema da Parada era indecidível

• O modelo ficou conhecido como Máquina de Turing

MÁQUINA DE TURING E COMPUTADORES

OK, agora sabemos que a lógica é limitada

MAS ideias como “algoritmos” e “computação” são interessantes!!!

Legal seria a máquina abstrata se tornar concreta...

ENIAC (1946): 1º dispositivo físico a adotar completamente as ideias da Máquina de Turing

TODOS os computadores de hoje são derivados da Máquina de Turing

E a Máquina de Turing pode modelar o funcionamento de QUALQUER computador atual

MAS...

COMO VERDADEIROS E FALSOS SE TORNAM NÚMEROS, PALAVRAS, IMAGENS, SONS, VIDEOS?