Top Banner
%&MZEVMEXI(MWXVMFYXMSRJSV-RJPEXMSRERH 3YXTYX*SVIGEWXW F] 1Å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conomics Deparment, Sveriges Riksbank, S-103 37 Stockholm, Sweden. Email: [email protected] and [email protected]. We have benefitted from discussions with and comments from Tomas Lindström, Anders Vredin and Lars E.O. Svensson. We would also like to thank Hanna Widell for research assistance and Ann-Christine Högberg för secretarial assistance. The views expressed in this paper are solely the responsibility of the authors and should not be interpreted as reflecting the views of the Executive Board of Sveriges Riksbank. Author for correspondence: Mårten Blix.
30

A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

Mar 26, 2023

Download

Documents

Khang Minh
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

����������������� ����������������������

� �� ������������

������������������������∗

��������� ����

��� ����!"#�$%%%

��������

&'�������� ���������'������������������������������������� ����������������������� �� �� ����������(��'���(��)��������������� �*�����* ��+���,�&'�+�������������� ������ ���� ���������� ���� � �� �� ���(�'� ��� ������ ���+� ���������� ��� �'+����� ��������� �'��� ��� �+�� ��� �� �+�������� ���� � � �� ���������� ���� � �� ����(�',�&'� ��������������'�+��������������������������'���'���������������������������#� � �� (� ����(� �'�� ��� �� � �*������� ��* ���� ��� �'�� ��� ������ ��� �+���������� ���������'���'�����������,�-����������(�������� �*����������+������'����������� ��� #� �,,�('�'�� �'�������� ������ ��� ��++����� ������,�.���� �'+�������� ������� ������ ���� ���������� ���� � �� �� ���(�'� (� ����� �� ��������������� ����� ������'�������������+�'��,�/�������������'����������������� ����(� ��� ��� �� ��������� ��� ���� ��� ���������� �������� ���������� ������������ ��� �'���(�'����� �� ��0�����������1,�&'���������������������������������'�������+����'����(����������,

��� ������������2�3!4#�3"5#�654,��������������������� ���������������������7$6!"#�7$6!8#�7$�$%,��� ��!���������������������#�� �� ���������#���������������������#��(�)������+���������� ����#�������������+�'��#�9�'���������+,

�����������������������������������������������∗ Economics Deparment, Sveriges Riksbank, S-103 37 Stockholm, Sweden. Email: [email protected] [email protected]. We have benefitted from discussions with and comments from Tomas Lindström,Anders Vredin and Lars E.O. Svensson. We would also like to thank Hanna Widell for research assistance andAnn-Christine Högberg för secretarial assistance. The views expressed in this paper are solely the responsibilityof the authors and should not be interpreted as reflecting the views of the Executive Board of Sveriges Riksbank.Author for correspondence: Mårten Blix.

Page 2: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!

��"����!������

������������ ������'������ ������������������� ����'���������������������� �� �

����������������,������#��'������������ �������'����'������������������������'�����

�������,������#��'���������������������'����������� :����(�����'����������

��� ������'�� ����,���������� ���#��������(���'����������� ������++ ������('�'�

�'���� �0�,,������������1���������������'��'���'�������������(���������(��������

�'��������,�&'���#��'������� ����������'�������'���������� �������������� ��������

�'����������� ���� ���'��� ����������������� ����������������� ���'��

; �����������+�������,

&'�������+�����'��������('����������� ���� ��������� ����'����������������

��������(��'� ������������������� ������������'��+���!448����������������,

������������������0!44<1�(��������'�(��'�� ������������������������,�&'

+����������� ���������'��������(����'��������������� ����������(��'���(��)�����

��������� �*�����* ��+���,�-��'������ ������ �������������� +������(�(�

�������������'�������������� �������������+���������������+���������

�+������������� � ����������������'�������������� ���������������,������'��(����#��'

� �*����������+��������'�+�����������������+����'�������������� �������'

�����������������,

������������������0!44<1��'���� ��(������ �������������������������������� �����

�������������,�����'��������(�������'����������������� ������ �� �����(�'�0����'

� �� �����1����(��,�.�����'���������������� ������������������������� �� �����(�'�(

����������������������� �����(��'��'��������� ����������'�+��������������� �����,

/�������������'����������������� �����(������������������������� ������������

�������� ��������������������������'����(�'����� �� ��0�����������1,

Page 3: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$

-'�����(�������+���� ���������+�����+������������������������������=

&'�����������������������'��,������#����������+������� �������'��� ���� ����

+� ������������������� �� ����������,�������#����(� �����������(��������������+�����

�����������'������� ����������������������� ��,�&'���#������'�����������'���

��������'���>����(���������������0 ������(������1�� �*�����* ��+����'��

������������+�����������+� �����������������,�-�(� ����'������������� ����

�������'��'������������#�������������� ��������������#��� ��� �*�����* ��+���

��� �� ������������������� ��,�9 ��+������� �� ����������(�������� �����(�����

* ��+�������������('�'�� �����������������������+������'�������'����������

������������,

������(���'�+�'���>�����'���(�(����+� �����������������(���'�+�������������

�'�������+����������������������������������������,�?� (���(�+� ��������������

��(��� �� �������'�����������'�����������,�&'�+������������������������

��* ��������� �*����� ���������#�������� ��������������$,��&'� ��������������'

��������������� �� ����������#�����'���'��'���#���������������+��'� ���������

�����+��������'�+�������������,�&'�������������+��������������������� �� �

�����������'���'��+��������������������������������'�������������'����������

���������'�+����������������������,�&' �#���������������� �� �� ������������

��������������+�������+� ������������ +������,

�����������������������������������������������1 Uncertainty regarding the parameters of the various forecast models is not dealt with in our analysis. For adiscussion of this type of uncertainty see Söderström (1999).

Page 4: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

5

&'���������� ��������������(�,�����'�����������#�(����� ����'�� �*����

�����+���������'�������� ���������� +������,��������5��'�(��'�(���������

� (��������'�������������������� ����������'�+����������������������� ����

� (��������'���������������� �� ����������������� �����,��������@������(��'��'

������ ��������������������������������������� �����������'�+��������������� ��������

�'���������������� �� �����(�'���������,�-��'������ ������������������ ��������

������������������������������������ +����������������� �� �����(�',��������"

���� ������+���� ������+�������������,��������7������ ��,

#�$���������������������

����'����������(�(�������� ����'����+(�� ������'� ���������������+�������'

��������������� �� ����������,��&'���������������� �� ������������'+����������

�� ����'���� �� ������� ������'���+�'��#�� ��(�������������� �������������,��&'�

����� ����������������'�� ����������'�������,

#%����!��&�������

�������������'���������������� �� ����������#�'�(��#�����������������,

&'����������������������'���'������� ��������,�&'�+��������������� ���������

��������+�� ������������������#�� ��(������+��+����������(��'��'�+�����

�'�+�����0�������'����+���������� ����1,�&'����������'�+������; �������������

������������ ���������'�+������ ���� ���+,�����������������������'���������������

���+������� �'��������������������'�����������'�������� ����,

�����������������������������������������������2 This section builds on Blix and Sellin (1998). The new feature is that the analysis now includes output forecastsas well as inflation forecasts.3 This is strictly true only for a discrete distribution, where a single outcome can be associated with a positiveprobability measure. For the continuous distribution in this paper, the two piece normal, the ���� is the most

Page 5: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

@

&'����+�����������������������������������������(��'��'�+������'���'���(��'��'

+�������'������+� ��+������ ��������������(��'�������������������'�+������ ��

� ���+#��,,��'�+��,�&'������*�� ��� ���������(����+���,�&'�����������'����'

����������������������+��������* ��+�������������,����'� �'�����+��������

��'��+�������� �������������������+�����'�+���������������'�������(������

�+������* ��+����������,�&'���������+�������'���* ��+����������������

����������'�+����'�������'�+��#���� ���������������������'�+������ ��

�������������������(��'����������������� ������(��'��'������������0�+���1

�������������������'�����������,�-�'����� ���� �����������'������*�� ������'

�����������+��+������������ ��+�'�������'��� ���� ,� ������'�+�����

+�� ������������!448)4<�* ��+������������������'�������������� ���� ���������

������������������������� ������'����������(�������� ,�/����'������������������

+�������������'�������������������������� �����A����(���+� �����A�(� ���������

'������������ �������� #�����'����������������������������'�����������������������

����������(� ���'����'�������(��������(��'�+���0�����'�+����1,

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������likely outcome in the sense that it maximizes the probability density function � �( ) .

Page 6: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

"

&'����������'�������� ������������ ������+������������� ��+�'��,�&'��������

��(���'������ ~µ ������'�����µ #����������γ µ µ≡ −~ #������������������������ �

��������,�&'�����+���γ #�������� ��������'�����������#���������(������

+�� ������ (���������'�������� ����,�-'��γ �����������'�������� ��������� (�

����'����#���������'��(����#��'�����+�����(�������� ��'��� ����,����+����#��'��

���������������� pr � ≤ >µ 05. ,�3�������#����γ ������������'����+������'����'����

+��� �������� ��'�����(�������� ,�-'���'�������� ����������++������'�������

� (����0γ = 0 1,�&'�����+��γ �' ��� ++���>���'�����������0 ��������

��(����1���� �������+�������+�� ������ (���,

����������"�(����� ���+���������������������������������������+��'��'������

+�� �������������������������� ����� ����������+(�� ���������������������

�������������������,

#%#�'������������ ������(����

?�� ��������'�+���������������'�������+��������� ����'�� � ��������

�������������� �M

( ) ( )π ������'����'���������� �� �����(�'�0����������������'�� �� �

���1����� �M

\( ) ( ) ,����'� �'��'�����+ �'���++����������(���'���(���������+����

��������#��'�������+��'������������������������������+��'��������������� �� �,

-�� ++���>��'���������������������� �M

O( ) ( ) �('�� = π,∆� ������ � �O

= 1, ,� ,�-

(������� +��'�����'�����'��M

O( ) �0���(��������������������� �� �1�������(�����+��'

���������������� ������������

Page 7: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

7

0!1 � �

� �

� �

( ; , , )

exp

exp ,

µ σ σ σµ µ

σµ µ

1 212

2

22

2

1

2

1

2

=− −

������

− −���

���>

��

('�� �= + −σ σ1 2

1 � #� � = 2 / π �����µ �����'�����,�������+�������#��'�������

��� �, ����� � ����� ������,�&'���������� �������� ��(������'������������������� ������'

B�(�)�������+��B#���9�'����#�C��>#��������� ���'����0!44@1,�&'������+���#

�'�����������(��+�� �������������������������������,�&���'���������'�����#������

���������������������������.� ������(��'������µ �����������������������σ 1 D�����'

���'������'�����#���������+���������� �����(��'������µ �����(��'������������������

σ 2 ,�&'�������� �����'����'����������'�������������������'����+���������� �����('�

σ σ1 2= ,�-'��σ σ1 2> �������� (������'����#��,,� pr[ ] .� ≤ >µ 0 5 ��������������('�

σ σ1 2< ,

-�'����'�������(�� �(��'��'�������� ��������0!1������'��+����������,������#

�'��(�)�������+���������� ���������������(�� �(��',������������ ��(��'���+��

��������������������������'�+�+����(���������+������'��'������+�����'��

��������,������#����++����������'������������������������'���+�(��� ���

+������'��(��� ��(�����++������������ �����,�&'���#����'����'����+���������� ����

���������������,�&' �#�����'������������������������ (����(�(������(�� ���

(��'��'����+���������� ����#�('��'����������+������������ +���+�������������,

&'�0�'�)����+��1��(�)�������+���������� ������������ ��������������������

9�'��0!4<$1#�('��'����'�(���'����'�����������

0$1 σ σ σ σ σ[

�2 22 1

2

1 21= − − +� �

�����'����'��'�����������+�+�������������

Page 8: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

8

051 E � � �− = − − − +µ σ σ σ σ σ σ � � � �3

2 12

2 1

2

1 22 1 ,

&'����������'��'�����������+�+�������������� � σ σ2 1− � ������2 1 02� − > ,

&'����#

0@1 γ µ µ σ σ≡ − = −~ � 2 1 ��������������������051�����(�(���� ����������+�� ������ (���,�&'������������

�����0@1����'���'����'� � ���+�� ������ (���#�('��'����051������������'

������������������� ��#���+�����+���������0������1��'�����������(���'

����������'����������'�������� ����,�������#����+�0@1��'�+�������'�������� ����

�������������������� ~µ µ σ σ= + −� 2 1 � ,

#%)���������*����������������$����������

������ ������'�+�'���(���� ���������������+��������'�+�������������,�&'

�����+�������������� �*����#�� ���� ���������������������'�'��������������,�&'���(

���+���>������������(��; �������������'��������� �M�������'����� �������,

!,�-'�������'��'�����'����'�� ���+�(��������(���'����'��������������µ =���

��'��(����#�('�������'���(�������� =����+������+����#�('�����

� �M

O

M

O

M

O( ) ( ) ( )= pr ≤ µ =�&'���������� ����"%������#��,,�; ��� ��������

��(�������� #�('��'�(� ������'���� ������� ���������������'�������������

�������������+����������������'�������������� �,

$,�/�(����������'� ��������������'�����������+���������'�'���������

�������������+�� �������'������������������=�&'����(��������������M

O( )#��

+ �����������������������'������������������,�&'���������� ������� ����

�'�������+��������������+����������������'���(� ������� �������������+��

Page 9: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

<

������� �������,������ �����M

O( ) <1��+������'���(�������� ���������'��

'������������������������������M

O( ) >1,

���('������ ����+��'����������+�����+��� ���������'���'�����������=����

��+��#����(�������'����'�����+������������'������� ����������������'�� �����

������'���+��'��* �����������+��� �������#������� ����������������������� ����'���

����������,�

/�(�����(� ���'����(������������'���������������� ����������������0!1=��&'��

���('��� ���'�������������� �������� �� �,�-���������������������'����(�������'

������'����(����; ������������������'�����+��������'��(�)�������+��

������� ����,�?���'�������������M

O( ) ��'���'������������(��'� ��������������+��

����������

0"1 ω σM M

O

M

O

M

O� � � �,( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= � �2

#

('��σM

O �( ) ( ) �����'�'��������������������������������M

O( ) ,�����'��������������������

������0!44<1��������'�(���'����'����������

071 σ ω12 2

2 1

11 2

1

1, ,

( )( )

( )

( )

( ), ( ) ( )

( )

( )

( )

( )M M M

O M

O

M

O

M

N

M

O� � �

� �

� �

� �

� � � = −

−−

���

��� +

−���

���

����

����

#

081 σ ω22 2

2 1

11 2

1 1, ,( )

( )

( )

( )

( ), ( ) ( )

( )

( )

( )

( )M M M

O M

O

M

O

M

O

M

N� � �

� �

� �

� �

� � � = −

−−

���

��� +

−���

���

����

����

���� �'��'����'��������������������0"1����� � � � �M

O

M

O

M

O( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= ≤Pr µ ���������,

�����������������������������������������������4 See for example Hamilton (1989).

Page 10: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

4

&'���� �����������'�����������������+��,�E����'����071�����081���

����������������σ σ12 2 2 1≅ −� � �/ � �����σ σ2

2 2 2 1≅ −� � � � / ,�&'��������� ��' ��'����'

�����������������'�+�� ����������������������������'����������� �(��������������'

σ 1 �����σ 2 #���������������������+����� ,�&'��������� � ������'�����������(��'��'

��+�����������('��'��'��(�����+���(�(������� �A��������� � = 0 6. ,�-��'�

'����'��� � �/ ( )1 1− > ����� ( ) /1 1− <� � #���������; �����σ 1 �(������������ �(����

����σ 2 ���(�(����,���������σ 1 ��'���σ 2 ��������� ����'���+����'������+��

������������+��������'���������'�+��#���������'��(����#�+�����(�������� ,

)�"�� ��������!�+��(���&��������'������������

����'������ ���������(�����(��� �*�����* ��+��������������(��)���������,���

�'����������(�(�������� ���'�(��'�������+������������������,�&'���������

����������'���� +�������'����'���������������� �� ��������������������� �������'

�(�)�������+������0!1�(��'�����+����µO#�σ 1,O �����σ 2,O #�('�� =F���������#�� �� �G,

&'���������µO�( )����(�������'�������������'���������σ

O�2 ( ) ������ ���������,�&'

�����������������������������'����������������������������������������,

&'� ��; ���������'�(����������'���������������� �����������'�+�������������

����'�����������0���� �� �1��������,�������� ����������������������0!44<1��'�����

���+�����+�������������������� ���,�� ���������'��������� ����'���� �,�?���'

� (���������������������� �� �������������γ π �����γ \����������,�-�+� ��'

�����(���� ����� +���������� ��'�(��'� ��������������'�+���������������M

O( ) ���

������������ � �����������2

Page 11: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!%

0<1 γ β γ πO M O M O

M

Q

� � � O

( ) ( ) ( ), ,, ,= ==

∑1

∆� �

('��γM , �����'�� (��������'���������������� ����������������� M

O( ) ,�6; ������0<1

�+������'����'�� (�������+��'�+���������������M

O( ) ���������'�� (������

���������H� �� ��(��'��'�(��'��βM O, ,�&'�(��'���β M O, �����'������������(��'������

������������H� �� �������������+���������������'���������'�M

O( ) �����

+��������+�����+�����������������'�������������������H� �� ����������(�

������'��,

&'�� (��������+��������'��/�����0<1�����++�����������������

� ����� �����071�����081������0@1#

041 γ µ µ σ σM O M O M O M M

� � � � � � , , , , ,( ) ~ ( ) ( ) ( , ) ( , )≡ − = −2 1� �,

.�����'�� (����γO�( ) ����+�0<1������'�������������������������������������

������σO�( ) #�(����������σ 1,O �����σ 2,O �������������'������(����; ����������+#

0!%1 σ σ σ σ σO O O O O� � � � � �2 2

2 1

2

1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,= − − +�

0!!1 γ σ σO O O� � � �( ) ( ) ( ), ,= −2 1� ,

&'�������� ���(��; ������������(�� � ��(��#�('��'��������� �������'�; �����

0!$1 σ σ12

1 0, ,( ) ( )O O O O� � � �+ + =

('��� �O O= ( / )γ ������ �

O O O= − − +1 1 2 2 2/� γ σ ,�&'������(����� ���������0!$1#�� �

���������'���(�������������0�'���'����� ������������������������1,�&'������ ����

����σ 1, ( )N� ������'����� ����� ��������0!!1#�('��'������σ 2, ( )

N� ,���� ��!��������

��+�����������'��� (��������� ���������'��(�)�������+�����+���,

Page 12: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!!

��������������� ��������������������� ��������������

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

,%���-�*�������'������������ ����.�*������/��� �'������������

����'�������� �����������(�(���������+�'��������������������������������� ����,

����'�������� ��������(� ���'���+�'����������������������������� ����#�(��'

�����+��������������� ������ ��������������������������� �� �,�&'�+�������

������� ����������������'��(�)�������+�����+�������������� �����,�����'��'���

� ��������(����� ����'�������������'����������������� ����� �����'������������������

�'�� �*�����* ��+����������������'������ ���(���������,��������#�(�������

��+������������������������ ����������������������� �� �#����(�������������������

�����������������,

Page 13: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!$

,%��0���0���� �����������!

&'�����������+�'�����'��������� ����������������������������� ������ ������

0�,�,1�(��'��������'������������,�-�(���� ���'�������������+�'��#�('��'�����

��� ����6��(���'�0!<471,���������#��'�������������+�'������ ��������������+��

��+���������,�,�0�'���'������� ���� ��������������'�����1���������,�,������+��

������������+�0('��'�����(���'� �����������������������������������������+�1,

� ���������������� ����������#��������'�������#����������������������)��������

�,�,�(��'����������)����������������,

��'�����'�+����� ����� ������������������+�����'���������������+������

��������������9�'�����0!4@4�1,�&'�������������������������������'������������

������������������+�����#������� ���'����+

0!51 � � �= +α β ( ),

('��� ������������������+����������#� � ������+�������� �����������'�� )���������'��

(��������������#�����α �����β ��������+���,�&'���+�������������+�������� ���

���+���� +�����'��� � � �( ) .= �&'��������������� ������������������+��#�β �(����'��

������'���������������'����������������������� #�β σ= 1/ ,[�����α �(������+�� ���'

��������� �����������������'����������������������� #�α µ σ= −[ [

/ . �&' �#

0!@1 ��

[

[

= − µσ

,

('��'��������������+�������'������ � ��������������������������>���� ,�9�'����

0!4@4�1�������������(�+�����+�������� � �� �������,�&'��� �������,�,:����� � ����

�������������'�9�'�������+�������������� �����,

Page 14: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!5

���9�'�����0!4@4�1��'�9�'�������+�����������������'�������������,���� +

�'����'������������������� ( , )� �1 1 ����� ( , )� �2 2 ����'�������+����0!51,�������������,��,

������������������������ +�����'��� ( , )� �1 2 �'����'�*�����������������+�����������

�������������������� �������0�,�,�,1#

0!"1 � � � � � � �( , ) exp .1 2 2 2 12

1 2 221

2 1

1

2 12=

−−

−− +

���

���π ρ ρ

ρ� �

&'�����������+�����'�*������������ �������� ( , )� �1 2 #�����������������+�����'

���������(���������'�����������,�,�,

0!71 � � �� �

� � � � � � � �( , ) exp~

( )~

( )~

( )~

( )1 2 2 2 12

1 1 1 2 2 22

2

1

2 1

1

2 12=

−−

−− +

���

���π

ρ� #

('�� ~( ) ( )� � � �

L L L L L L= +α β ,

,%#�'���*��/���-�*�������'������������ ����.�*������/��� �'������������

-�(� ����� ��������������������������� �����(��'�+��������������� ������ �������

0+���������,�,:�1��'�������'�����(�'��� ������������� ����������������� �� �

��������,��&'���������+������ �������'��������(�����' ��'�������� ��'�+�������

�,�,:����������������������'����������������� ������ ������,�������'��(����#�(�(���

�'�����'�� ������� � �( ) �� �'��'����'�+���������,�,:��(��������������'��(�)���

���+�����+�������������� �����,

?�� � ( )π ����� � ( ) ����'�+���������,�,�,:�#�����������'������ ��������#����

��������������� �� �����(�'����������,�-������������������ � ����������

������� ������ �������(��'��'�+���������,�,:�� �( )π ������ ( ) ���� ������'

��������+�����

Page 15: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!@

0!81 �( ) ( ),π π= Φ 0 ����� ( ) ( )= Φ 0

('��Φ(.) �����'�������������+���������� ������ ������,�&' �#��'����������π0 ����

0 �������+������������ ���(��'�+���>���������������; ��������,�?�� �π ����� � \

���'���������+��������+���������'�+��������������� �����#��,,#

0!<1π π ππ0

1

01

= ≡

= ≡

� �

� � \

( ) ( ( )),

( ) ( ( )).

Φ

Φ

/��#��'���������+������(� ���������'��������������� ��������'������ �

� �������,

E�����0!47$1�'����'�(���'����������������+ �����������,�,������� �������'�

(��'��'���������+���������0!<1�������������+ �����������,��(��'������+���������,�,:�,

/��#�(�������������������� �����������(�����������0��������������� �� �1������(

������������������� ������'�+ �������������+���������� ����,������������'���������

���+���(�(���� ���'�*������,�,�,����������������0!48%#��,�5%12

0!41 � � �

� � � � \ \

( , )( ) ( )

exp( )

( ) ( ) ( ) ( ) .π πρ

ρρ

ρ π ππ π=−

−−

+ −���

���1 2 12

2 22 2� �

&'����,�,�,�'�����+�������������,�������+��#�����������������'�������ρ = 0

��������������� �� ��(� �������������#�������'���'�*������,�,�,�(� �����+�����

���������'����� �������'�+���������,�,�,:�,�&'����������� ��������� ���������'����

����(��������������������+�������'�����+��� ρ ,�-�(�������� ����'����+�����

����'�������+�������'������ �������,�����'������������������'���+������+���

�'��������������,�,�,:�#����(�(����������,

�����������������������������������������������5 Another variable of special interest might be the instrument rate.

Page 16: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!"

�������0!48%1�����������'�� ��������������������������������������������������

� ������,�/����������������'����'�����+�,�� ���������������+� ����� ���'����'

��������� ��������(�'��� ���� ����������������������; ��������'�������,�&'�����

������������; ��������������:�������������'����'�� ����������������������� ����

� ������������'������� � �����,�&'���������������������� �����������'��,�,:�

�������������'���+��������(�)�������+���������� �����#��'���(�'��� ��,

,%)�&�����/�����'�����������

&'����������������� ��������0!41����� �����������������������+���2

µ σ σ µ σ σ ρπ π π, , , , , , ., , , ,1 2 1 2\ \ \�&'����������������������'�+���������,�,:������������������

� �� �,���������������+����'����+������+����(�������'�; ����������+�0!%1)

0!!1#�('��'��; �����/����� ����� ( , )σ γπ π2 ����� ( , )σ γ

\ \

2 ����������,�&'���++�

����+���������������+� ������+�6;,�0<1,�������+�����+�������������+� ���'

������������������������������������� �� �#����������#������'��������'���>��,

&'��������� �������+� ������'������������������� ���'���������� ������'�����

�'����'���������� �������'��� ���� ����+��� �����'���� +�������������������

�������,�

�����������������������������������������������6 This is done mainly for pedagogical reasons. If the inflation forecast is above (below) the target, then this is anargument for raising (lowering) the repo rate to bring the inflation forecast back in line with the target. The factthat the forecasts are made under the assumption of an unchanged repo rate means that the historical forecastswill have to be adjusted, before they are compared with actual inflation and output growth for the relevantforecast periods.

Page 17: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!7

E���(�'�������������������+�������'�����+��� ρ. �&'�������+�������'

�����������������������(���'���������+�����������π0 ����� 0 ,�/��#�(�+ ��

�������'���������+����������0!<1�����'�'��������������������������������� �� �����(�'

�����(�������+� ��������+������ ρ ,�&'����+������� ����ρ �(��������������

�������'����'��������������(����������������� �� �,�?��������0!4"81�'��

�'�(���'��

0$%1 ρ π ρ π0 0, , , � �≥

�,,��'��������������(���'���������+���������������������'������; �������'

�������������(���'������������������,

,%,����1��( �

-�(�����������������+���('���'����� �������� �������'���������������� �� �,

������ ��$��(���('����'�������� �����(������� ��� � �����'����������,�&'�+��

������������� �� �����(�'������������������5�����������$����������������#�('��

�'�+�������5,@�����$,!7����������,�&'����+������'���������� (����+�� ��

γ\

= 0 4. ������ �� ������γ π = 016. ��������������,�-'������ ��'� ���(������������'

����+��� ρ =����+����+�����������'����'� �������� ����� �� ���'� ����

����+������������ �������� ������������������+�����'�� ����+����,�&'���������

; �������'� ��������������+������(��'��'�����+������������#�('��'���

���+������'������+� �� ���'����'������������ ������'�������������� ��������������

���������,�������� ������ �'������� ������(� �������� �����������+������ ρ #�('��'

�����+�� ������'�������������������������,�&'����� ������+����'����� �������

('���������'���������� ������(�������������* ��+�������'�'���������������,

����� ������������ ��������#��'�����+��� ρ �'������������%,"������'��,�,

Page 18: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!8

��������������� ��$�#�('��'��+��������������������(����������������� �� �

���(�'������������%,",�&'����������������������(����������������� �� �����(�'���

�����������������'�����������,�,�,�� ������'�(�������� ��$�,��������������������+

�'������ ���'������(� �������������������������������������������������������

��������������� �� �����(�'#�������'������������������ �����������(��'��'�����

� �� �����(�',

-1

0.3

1.6

2.9

4.2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

RXWSXW�JURZWK

LQIODWLRQ

��������������������������������������������������� �����

0.25-0.3

0.2-0.25

0.15-0.2

0.1-0.15

0.05-0.1

0-0.05

Page 19: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!<

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

LQIODWLRQ

����������������������������������������

0.25-0.3

0.2-0.25

0.15-0.2

0.1-0.15

0.05-0.1

0-0.05

-'���������������������������'��� �����������������������������'���������������

���� ������('����'������������������� ������������� ���� � �����������

��� +�������������������(�'����� �� �,�&'�������������������+����'��(��'���� �

������������+(�� ������+� ������'��������������������������� �����#

0$!1

� � �

�� � � �

\ \

( | )( , )

( )

( )exp

( )( ) ( ) ( ) ( ) .

π π

πρ

ρρ

ρ π ππ π

=

=−

−−

+ −���

���1 2 12

2 22 2� �

Page 20: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

!4

������ ��5�)��(���+�����'�������������������������� �����������������������(�'

���� �� �����5�������(��'��'�������� ��������������������� �� �����(�'����@������,

-����'��#���� ������'����������������������(����������������� �� �#��'

����������+��������������'��'������������������ �� �����(�'����@�������0$,5

���������������1���+��������� �� �����(�'����5�������0!,4����������������1,

&'�������������������� ���������'�������������������'����'���������'����'�,����

+�����#��'����������+��� �������� �����'�����������������������������������'

'��'�����(�'����� �� �,

������������� ����������������������������� ��������������������

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

Page 21: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$%

������������� ����������������������������� ��������������������

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

2%�"�� ������&��������'������������0��/����/

����'����������(�� �������'�; ����������'���������������'����+(�� �������

�������������������+��������'������������'������������+��+�����������+������

������,

2%��.����� �������

-'�������������� ��� �����++�������� ����������� �������'�����������+������

������#��������+���������������������+����������������+���������'������� �#��

����� ��,��,�0!4441�������������(,����+����� �'�+��������++�������� ��������

���� �����������������,�������+��#���������0!4441�'���+�'�������'�������

������+����(��'��������� ����������������; �������������� ������#���������

; �������'����,�&'����+����#��+������'���'����#��'���+��������������� ������

����������������������������'� ������������'�+������� � �����������,

Page 22: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$!

/�(��#��'����� ���'����������� +��������� +��������'���+������������,������

������#��'�; �������������� ����������+��������������+�����#��������������������#

������������������(������ �����������������,������������'����+�����'�(����

� ������#����+��'���������� �'������������������������������&��������������

(��'���������������� �� ������������,�������+��#��'��+��'������'�������������

�'�(������ ������#��������'�+���������������+� ��,

�����#�(��'��+����0���� ���������1���� �������������'�+���#�� �'����(��'

+ ������������ ���������#����)�������'�������� �������(��'�����I(������������

���������; ����������������'����,�������� ��#������������������ �'�����������

������'�+�������'������� ������D��'���������������������������������+ +������

����'�('���������� ����,

&'�������� +�����'������� ��+�������������������� ������������������������

��������������������0��&1#�����+������������������0!4441,���+����� �#����+���

�'���('���'���� ��������++���������'�����������������'����'�.� �����#�������

+� ����'� ������������'�('������������������ �����('��������������������,������

������ �'������+���� ���'�+��#�+��������+��,�6��'�+�� �����������

�����������������������������������+��������� ���'���������������� �������

��� �������('���������������+��'�.� �����,

Page 23: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$$

�������+��#���� +��'����'����������������������������'�������'���>����������'���

������'�������� ���'���(�������� �����������'����'� ����,�3���; ����#��'

+����������'�+���(���������(��'�+��#���'���������������������������������

���+��'������,�����'�����+��#��'����++�������� ���' ��������������� +������

�����+�������������� ��'����,������ ��#��'��������� �������������

���������2��'�+����������������������#�� ���'� �������� ����������,��'� ��

+����������������������'�������(��'�����'�������'����'�+���������+����������

�����=�&'�������������� ���; �����#�� ��('��'������� ����������+�����������

������+� ��,

����'���+��������; ����������������'�������������������������� ������������������

����������+��'�.� �����#�������+��#�����������+����,�����+������������ �����+��

��������(�����+�� �������+��� ������ ���+�#�� �'�����'�������� ��������

���� �����������(�'� �����'����������J�(B�����J���B�����+����������+�,����� �'

����� �����#�+����+�� ����������������������������+�����0����'������'����'

�������� ���������������'�+�� ���������1,����'� �'���&���������J����B��'

�����+�����+�������������#����+���+������������� ��������+� �������'���� �

������������'���������������� ����,

Page 24: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$5

������������ ���������������'�������� ��������������� (��������+�������������#

� ��(�����+� ����(��+�� �,�������������#��'��������� (����0�,,�'�(

���++������'���� ����1�+��'������������,�����'�����������(���'�+�� �����

����������'�������������������#����(� �����������������������'���'����+����������

����������,������#��'�������� ����������+��'�����+�������,�����'� ������������

���������0�'������'������������(��1��'���+����+�����'������������+� ������� (���

(������������������+������������+�������������,������'��(����#��'��������'

���������'���������+���������������+��'���������� ������������ (������

�������������� �������������+����+�������,��������#�����'� �����������������

�'���+�������������������� +���������� �������+����� ��� ��������#��,,�����������

�'������ +������� ��'����,

2%#��3� �������!����������������(�������

-'���� ����������+� �������������=�����'���������(�'�����������+��������'

����+��������������'�(� ���������������������������+����������������������

0!4482@)!444251�� ����'������'��� ���� ��������������������'���� ����'������'

��� ����6������,�&'�����+�����'�(��'�������� ����������'������ ��������

��� +��������� ��������������������������������'���� (������������������

+�������������#�* ������(����� ��������,�&'��� �����������'� ���+� �����+��

�� ��� ���������(� ����+�������� �����������������������'�(�� ������������

0!4781#�� �����������������������+������ ���'�� (������� =

�����������������������������������������������7 The fan chart shows the confidence bands around the median for different forecast horizons. Wallis (1999) hascriticized the Bank of England for not having symmetric confidence bands around the median. The implicationsof this is that the Bank of England bands may have different probabilities in the tails of the distribution, which isa non-standard use of confidence intervals. We would like to point out that the Riksbank’s confidence bands aresymmetric around the median and have the standard interpretation.8 Before 1997:4 no explicit inflation forecast was published.

Page 25: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$@

������� ����������������������0!4441#��'�����+���������+�������������������

������� ���������������+�������'�6�� ���������#�('��'�+��'�������������

�����D��������; ��#��'������+�������'�������������������������'�+�*�����

��(�����'������,�E�(#�����������������������'����������������+�� ����'��+�� ���

�'����'��'�������������(��'����'������,����� �'����� +������#�� (��������'

�����+��������� ������������������������(��'����'������,�� ����������������

�'������++����'�� �����������������������+�+��������+�����+�����

������� ��������� � �������������������'��'�0��(1#�� ���'���'����'�� ��'�����������

��� �����'�,�&'�����+��'������������������'�����+���+������ ������'�+��

�������� ��'����#�� �������� ������ (��������'���������������,�K������ (���

������'�����+���+������ ����������' �����������('����������������������>�

('���'���(����������������������,����� ����������������+(�� ��'������������

����������������* �������'�� (��������'�������+�������������������������������

���� �� �,

�����������������������������������������������9 For example, minutes from Executive Board meetings on 1999/8/12, 1999/10/5, 1999/11/30 and 1999/12/8(published on the Riksbank’s web page www.riksbank.com).

Page 26: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$"

�������#�����)����������������+���������� ������ ��������������������+� ��,

��������������������(���'�.�����(�'������'�������; ��������!444���(����'

���+��������+����'���)�)�������������,�&'������K��������������.�����

���� ������������������� ������������'��������+2��'������������)+� ���'�������'

���������'���������+�+���+�����; ������������'����'�����������������,

���'������0!4481#������������#�'�����+������'�K��� �� �������'���(��������������

�'���+�����'���������� ��� ����������+�����+����������������� ����+�������

��������,�&'���������� ������ �����������'�������' �������������������)+� ������

('��'����������������,��&'������+���� ��������������; �����+� ������+�������

������ ������(������������������������������������+��+����������������������,

4����� �!��/�5����3�

����'��������(��'�(�'�(��'�������������� ����������� ��+�������+������#��,,��'

� (��������'�������� �����#���������� ������'�������������� ������������������

� �� �,�&'������+��������� ������'�+������������������������� �*������ ������

��������'��������������,�����'�������������'� ��������������'���+�����'

'���������������'���� �������++����,

&'���+�����'���������������������(��)��������������� �*����������+������

�'�+���������������'�������+��������� ������������������ �� �,�/������+��

�'���� �*����������+����(�'����'�����+������������������ ���������������

���������'�������������������� ����������'���������������� �� ����������,�����������

������� ����������'���������������� �� ���������������'��������(��'������+�������

������� �����,�&'����������������� �����+� �������������������� ���������������������

�������������������������� +�����������������'����(�'��������� �� �,

Page 27: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$7

�((��!�1��6�������������������������������� ��������(����

�*���/���5�3����3�

B�����������������+�����������#�('��'��������������+�����������#��'��� ���� (�� �������� +���������������������� ���������D��'���������������������'�����������+���������������������������� ����'������� ���������+�������������,B����������������!4482@#���������� ���� #�����5",

B3�����������'��+������� ��������������'������+���������������:��� � �����#+��������������'������������ ����(��'��� ����,B�����������������!4482@#��������� ���� #�����57,

B&'��+������ ��������������'����������������+����������������������� ��+�������������:�������� �����,���'��'�������� �������������������������������������������+����� ��� ��� ��B,�����������������!44<2!#���������� ���� #����5!,

B��������������������'���������������'���������� ������ +,�&'�����������������(�����������#�+������������� �������'�������������#�����������'�,�&'���������� ��(����#����('��'������'����� �������������������������������������'��(���'����+��+��'����+����������������������,�&'��� ��'�������'��'�����������#������������������(���������������(� ����� �����������(�'#�'���������,B����������������!44<2!#���������� ���� #�����55,

B��������������'�+�����������������(����(��'�����������'��������������(������(���)�� ��+���'���'������+���������������+�������������,�&'�������������+����� ������������ ��������'��,����������'������ ��� �������������� ����'��#����������������+#��'�+������������������������+�����������+('���+������+ ���������������(��'� ����� ����� ����+�������'����������������B,�����������������!44<2$#��������� ���� #�����@5,

B&'������ +������� �����������+�������������'������� ���������+�������������,����'�������������'� ��������������'����������������+������������������������'�� � ���������� �������'�����������+�� �� ����������'�����; �������������'���������+���'������������������������+��������+��B,�����������������!44<25#��������� ���� #�����@4,

B&'������ +������� �������'���������������������'����+���������+�������������B,����������������!44<2@#���������� ���� #�����@8,

B&'������+������������'������ ������'��#��������* ��+���������������������������+�������������#�� ����������������������#��'�������������������(�������(���)�� ��+���'���'���(��������+('������(��'��� ���� :�������,����������������' ��������������������(��'�� �'������+���#�'�(��#��'�������������+���������������>���B,�����������������!4442!#���������� ���� #�����@",

Page 28: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$8

-��3�����/ ��!�

J���������������+��������'��+���#�����������+��������������('��'����+�����'����������������,�&'��������(���'��������+�������������������'�������������������� ��(��������+�������#�����(���������(��'��'����������'�����+�,�&'�����(���+���������������������������������������'�� ����������������������� ����������������������������'�������������(�,B����������������#���� ����!445#���� ���6������#�����",

J���������������+��������'��+���2�+���������+����������(�'�(���#���'���'���������; ��#��������+������������������,�� ���'������+����������+��'�������+������������������'���������'�������������������������+�����������('��'������ ������'����������+,B����������������#�����!445#���� ����6������#�����!"<,

J����������������������������������+������('���������������'������+��(������'��,��������'������*������('��'����+���������������������+�������������,J���������������#���� ����!44@#���� ����6������#�����57,

J����'����'������'�����������*�����������'���� ��� ��� ��������#��'���� ������� �������'����������+���������'���������������,B����������������#���� ����!448#��� ����6������#�����"@,

J�.�����'��� ����������#��'���3������ ����'���+����������������(����'���������������('��'�����'� ������������������ ��������������������'������������('��'��'���� ������� ������+��������,B����������������#���� ����!448#���� ���6������#�����"%,

J&'���������������� ������������ ��� �������'�����*������,������� ��� �������������������������������'����'������'�������#��������#���������)����+�����,�����������* ��+������� ���'����� �������+�3�++����++����������������������������������'���(� �����'��'�������(���'����'����'�(�����3'����$A����LM����!I$M�����'��(�)������������'���>��,B����������������#�E��+���!444#��� ����6������#��������,

Page 29: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$<

5���������

����� #��,�,#�&,�?� ���'#��,�,����' ��#������,�,������0!4441#���������� ��������� ����� ���� ��� ������������� ����������#����������K�������������#���������#�E(9���,

����#���������������������0!44<1#�JK��������������������������������������#B��������� ���� �-�� ���������E�,�7",

����#���������������������0!4441#�J�������������������(��'�K������������������#B��������� ���� �N ����������(�E�,�$#�!$)$<,

��������#�-�����+�0!4781#�JK���������������'��������������������B#����������������� ����!�"8#��������������������#�@!!)@$",

�������#�6�� #��� �����'����'�9�'��-'�����0!44<1#�J&'��������������������*������2 �������������'�����3'���B#�"��# �� ������� $������� "������,

�������#�6�� #����������3 �����'�+���'�9�'��-'�����0!4481#�B���++���#���� �������������������������� �����������������B#������#���� ����6������,

6��(���'#��,O,�0!<471#�J&'�3�+�� ���?�(����6����#B�%���& '��&�,�#�$%8)$!",

/�+�����#�9,�0!4<41#�J��E(��������'�����'�6����+���������������E������������&�+�����������'�� ������3���#B��������������"8�#�5"8)5<@,

9�'�#��,�0!4<$1#�B&'���(�)�������+�����+�������������� ���������������������B#(����������� �� )��������� ������ ��� '�����#���0<1#�<84)<<",

9�'����#�E,?,�0!4@4�1#�J����+�������; ����3 ����.�����������'������&����������#B�"�������#��)4#�!@4)!87,

9�'����#�E,?,�0!4@4�1#�J��������������� ����������������+���&���������������+�#B"�������#��)4#�$48)5%@,

9�'����#�C��>#��������� ���'����0!44@1#�(������ *��������� +���������#�P��,�!#��,!85,

?�������#�/,�,�0!4"81#�J��+��������������'����������E��+��������� ����3������������'����+������3����������&���#B�"����������,,#�$<4)4$,

������#�C,P,�0!48%1#�������� �� "�������� +���������,�.������#�?�����,

E����#��,�0!47$1#�Q��+����������������� ������������������Q�����������������������Q�#B�(& & ����& )��,#������#�#22#�@$)5,

���'�����#��,�0!4481#�J���������������� ��������������)&�+����#B�����������6����+������� ����������#�!44<)%5#�����������������#��+��,

Page 30: A Bivariate Distribution for Inflation and Output Forecasts

$4

�������#�?����6,�,�0!4441#�J������������������������������+�������������2������������+�������������������������B#������#������� �������������������6����+����� ���#���� '��+� ���������,

�R�����R+#�K,�0!4441#�J���������������(��'� ������������+���#B��������� ���� �-�� ���������E�,�<5,

-�����#�C,�,�0!4441#�J���++��������������������������������������'���� ���6������:������3'���#B�-������� ������� �������� ����!#�E�,�!#�!%7)!!$,