a b ' ' z a b a b c // c - daythem.edu.vn b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng . 5/ Lập phương trình ba đường trung

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

[Type text]

Chƣơng III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Phƣơng rình tham số.

* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ chỉ phương );( 21 uuu

là

)0( 2

2

2

1

20

10

uu

tuyy

tuxx

* Phương trình đường thẳng đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0).

* Nếu có VTCP );( 21 uuu

với 01 u thì hệ số góc của 1

2

u

uklà .

* Nếu có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là );1( ku

.

2. Phƣơng trình tổng quát.

* Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vec tơ pháp tuyến );( ban

là:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b

2 )0

* Phương trình ax + by + c = 0 với a2 + b

2 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận

);( ban

làm VTPT; a ( b; -a ) làm vectơ chỉ phương

* Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là :

)0,(1 bab

y

a

x

* Cho (d) : ax+by+c=0 Nếu // d thì phương trình là ax+by+m=0 (m khác c)

Nếu vuông góc d thì phươnh trình là : bx-ay+m=0

3. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.

Cho hai đường thẳng 0:

0:

2222

1111

cybxa

cybxa

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 21 và ta xét số nghiệm của hệ phương trình

0

0

222

111

cybxa

cybxa (I)

Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :

2

1

2

1

2

121

2

1

2

1

2

121

2

1

2

121

//

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a

b

b

a

a

4. Góc giữa hai đƣờng thẳng. Góc giữa hai đường thẳng 21 và có VTPT

21 nvàn được tính theo

công thức:


[Type text]

2

2

2

1

2

2

2

1

2121

21

212121

.

||

||||

|.|),cos(),cos(

bbaa

bbaa

nn

nnnn

5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

d(M0, ) = 22

00 ||

ba

cbyax

B. BÀI TẬP.

1/ Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hơp sau:

a) (d) đi qua điểm M(1 ; 1) và có VTPT )2;3(

n

b) (d) đi qua điểm A(2 ; -1) và có hệ số góc k = - 1/2

c) (d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3).

d) (d) đi qua điểm A(1 ; -2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0.

e) (d) đi qua điểm A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng x – y + 5 = 0.

2/ Cho đường thẳng

ty

tx

3

22:

a) Tìm điểm M nằm trên và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với đường thẳng x + y + 1 = 0.

c) Tìm điểm M trên sao cho AM ngắn nhất.

3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn

có độ dài bằng nhau.

4/ Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0, (d2): 2x – y + 6 = 0.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng.

b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng .

5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0), N(4 ;

1),

P(2 ; 4).

6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao

AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh

còn lại của tam giác.

7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết

phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4).

9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình

hành là A(4 ; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.

10/ Cho đường thẳng : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)

a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng .

b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua .

c) Tìm trên điểm B sao cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn nhất.

KHOẢNG CÁCH

Dạng 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

1) M(2;-7); d: 5x-12y+15=0

2) M(1;-3); d: 4x-3y+3=0


[Type text]

3) M(2;3); d: x-y+1=0

4) M(2;4); d: 1

x t

y t

(hd: chuyển d về dạng tổng quát)

5) M(3;5) và (d):2 1

3 5

x y

6) M(1;3) và (d):3x+4y-2=0

Bài 2: Cho d : x-2y-3=0 ; d’ : x-2y+4=0.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’

Bài 3: Tìm bán kính đường tròn tâm I(2 ;4) tiếp xúc với đường thẳng d : 6x+8y-1=0

Bài 4: 1d : x-2y-3=0; 2d : x+y+1=0. Tìm M 1d để khoảng cách từ M đến 2d bằng 1

2

Bài 5: Tìm M

a)Mox và cách : 4 3 1 0x y một khoảng cách bằng 5

b) Moy và cách : 4 1 0x y một khoảng cách bằng 17

Bài 6: (1;1); 4; 3A B , (d): x-2y-1=0. Tìm C thuộc (d) để khoảng cách từ C đến AB bằng 6

Đ/s: 43 27

7;3 ; ;11 11

C C

Bài 7: 1d : x+y+3=0; 2d : x-y-4=0; 3d : x-2y=0. Tìm M thuộc 3d để khoảng cách từ M đến 1d bằng 2 lần

khoảng cách từ M đến 2d

Bài 8: 1d : 3x-4y+6=0; 2d : 4 x-3y-9=0.Tìm Moy để khoảng cách từ M đến 1d bằng khoảng cách từ M

đến 2d

Bài 9: Tam giác ABC có (1;0); 3; 1A B , (d): x-2y-1=0. Tìm C(d) để 6ABCS Đ/s: C(7;3);C(-5;-3)

Bài 10: Tam giác ABC có (2; 4); 0; 2A B , (d): 3x-y+1=0. Tìm C(d) để 1ABCS

Bài 11: Tam giác ABC có (2; 1); 1; 2B C , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x+y-2=0. Tìm A để

3

2ABCS Đ/s: C(6;0);C(3;3)

Bài 12: Tam giác ABC có (4;0); 0;3A B , 45

2ABCS , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x-y-2=0. Tìm

tọa độ C

Bài 13: Tam giác ABC có (3;1); 1; 3A B , 3ABCS , trọng tâm G thuộc trục hoành. Tìm tọa độ C

Bài 14: Tam giác ABC có (1; 2); 2; 3A B , 4ABCS , trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x-y-2=0. Tìm

tọa độ C

Bài 15: Tam giác ABC có (2; 5); 3;7A B , 69

2ABCS , trọng tâm G thuộc đường thẳng

d: 5x-3y+1=0. Tìm tọa độ C

Bài 16 : (1;0); 2;4A B ; ( 1;4); 3;5C D .Tìm tập hợp điểm M để MAB MCDS S

Đ/s : 3x+7y-21=0 ; 5x-y+13=0 (hd : 1 1

. , CD. ,CD2 2

MAB MCDS S AB d M AB d M )

Lập phương trình đường thẳng


[Type text]

Bài 1 : Lập phương trình đường thẳng d biết

1) Song song với d’ : 3x+4y+2=0 và cách điểm A(4 ;1) một khoảng là 3

2) Song song với d’ : x-y+1=0 và cách điểm A(5 ;-2) một khoảng là 4 2

3) Vuông góc với d’ : 5x+12y+3=0 và cách điểm A(-4 ;3) một khoảng là 5

4) Vuông góc với d’ : 6x+8y-5=0 và cách điểm A(-7 ;1) một khoảng là 5

Bài 2 : Lập phương trình đường thẳng d biết d//d’ và cách d’ một khoảng l

1) d’ : x+3y+4=0 ; 10l Đ/s : x+3y+14=0 ; x+3y-6=0

2) d’ : 4x+3y-6=0 ; 2l Đ/s : 4x+3y+4=0 ; 4x+3y-16=0

3) d’ : 5x-12y+10=0 ; 1l Đ/s : 5x-12y+23=0 ; 5x-12y-3=0

Bài 3 : Lập phương trình đường thẳng d biết d d’ và cách M một khoảng l

1) d’: x-y+2=0 ; M(1 ;1) ; 2l Đ/s : x+y-4=0 ; x+y=0

2) d’: 3x-4y+3=0 ; M(2 ;-1) ; 3l Đ/s :4x+3y+10=0 ; 4x+3y-20=0

3) d’ : 8x+6y-1=0 ; M(-4 ;3) ; l=1 Đ/s : 3x-4y+29=0 ; 3x-4y+19=0

Bài 4 : Lập phương trình đường thẳng d biết d qua A và cách B một khoảng l

1) A(2 ;0) ; B(1 ;3) ; 2l Đ/s : x+y-2=0 ; 7x-y-14=0

2) A(0 ;0) ; B(1 ;2) ; 2l Đ/s : y=0 ; 4x+3y=0

3) A(1 ;1) ; B(2 ;-1) ; 10

2l Đ/s : x+3y-4=0 ; 3x-y-2=0

4) A(2 ;5) ; B(5 ;1) ; 3l Đ/s : x-2=0 ; 7x+24y-134=0

Bài 5 : Cho đường thẳng d : 2 2

3

x t

y t

; A(0;1);N(4;2)

Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cách N một khoảng bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

Đ/s: x-2y+2=0 ; x-38y+38=0

Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm B và C

1) A(2 ;4) ; B(4 ;-1) ; C(0 ;3) Đ/s : x+y-6=0 ; x-2=0

2) A(4 ;-1) ; B(1;2) ; C(-3 ;4) Đ/s : x+2y-2=0 ; 4x+5y-11=0

3) A(0;-3) ; B(1 ;-5) ; C(-3 ;1) Đ/s : 3x+2y+6=0 ; x+y+3=0

Bài 7 : Cho tam giác ABC, biết AB : x-y-2=0 ; BC : 7x+y-26=0 ; CA : x+y-2=0. Viết phương trình các

đường phân giác trong của các góc A, B, C. Tìm tọa độ tâm J và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC. Hd : A(0 ;2); B(3 ;5) ; C(4 ;-2) ; J(3 ;2) ; 3 2

: 2 0; : x 3 0; : 4x 14 0;r2

A B Al y l l y

Bài 8 : Cho tam giác ABC, biết AB : x-2y+2=0 ; BC : x+2y+6=0 ; CA : 2x-y-8=0. Viết phương trình các


ABC. Hd : A(6 ;4); B(-4 ;-1) ; C(2 ;-4) ; J(1 ;-1) ; : x 2 0; : y 1 0; :3x 2 0;r 5A B Al y l l y

Bài 9 : Cho tam giác ABC, biết AB : 2x-y+2=0 ; BC : x-2y-5=0 ; CA : 2x+y-10=0. Viết phương trình các


ABC. Hd : A(2 ;6); B(-3 ;-4) ; C(5 ;0) ; J(2 ;1) ; 3 5

: x 2 0; : x y 1 0; : x 3 5 0;r5

A B Al l l y

II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN


1. phƣơng trình đƣờng tròn.


[Type text]

* Phƣơng trình đƣờng tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)

2 = R

2.

* Nếu a2 + b

2 – c > 0 thì phƣơng trình x

2 + y

2 – 2ax – 2by + c = 0 là phƣơng trình của đƣờng tròn

tâm I(a ; b), bán kính

R =

cba 22

* Nếu a2 + b

2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phƣơng trình: x

2 + y

2 – 2ax – 2by + c =

0

* Nếu a2 + b

2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phƣơng trình: x

2 + y

2 – 2ax – 2by +

c = 0

2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn.

Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đƣờng tròn tâm I(a ; b) có phƣơng trình (x0 – a)(x – x0) +

(y0 – b)(y – y0) = 0

B. BÀI TẬP.

1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

a) x2 + y

2 - 6x + 8y + 100 = 0 b) x

2 + y

2 + 4x – 6y – 12 = 0 c)

2x2 + 2y

2 – 4x + 8y – 2 = 0

2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau :

a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ

c) (C) tiếp xúc với trục Ox. d) (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4x + 3y – 12 = 0

3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5).

a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tìm tâm và bán kính của

(C).

4/ Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng : 3x – y + 10 =

0

a) Tìm tọa độ tâm của (C) b)Tính bán kính R của (C) c)Viết phương trình của

(C).

5/ Lập PTcủa đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x + y – 3

= 0.

6/ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4 ; 2).

7/ Cho đường tròn (C): x2 + y

2 – x - 7y = 0 và đường thẳng (d) :7x-y=0

a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d).Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

8/ Cho đường tròn (C) : x2 + y

2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ; 3)

a) Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường tròn (C).

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A.

9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2 + y

2 - 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến :

a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0 b)Vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x – y

+ 4 = 0

10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2 )

2 = 9 và điểm M(2 ; -1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d1) và (d2) với (C).Hãy viết phương trình của (d1)

và (d2).

b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của (d1) và (d2) với (C), hãy viết phương trình của đường

thẳng (d) đi qua M1 và M2.

III. ELIP – HYPEBOL- PARABOL



[Type text]

I.ELIP II. HYPEBOL

1) Định nghĩa:

(E) = aMFMFM 221

F1F2 = 2c, a > c>0

2) Phƣơng trình chính tắc:

2

2

2

2

b

y

a

x = 1 với b

2 = a

2 – c

2

a>c>0 và a>b>0

3) Hình dạng và các yếu tố:

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố:

A1A2 = 2a: trục lớn

B1B2 = 2b : trục nhỏ

Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0),

B1(0;-b),B2(0;b)

Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)

Tiêu cự: F1F2 = 2c

Bán kính qua tiêu của điểm M )(E :

M

M

xa

caMF

xa

caMF

2

1

Tâm sai: e = 1a

c (0<e<1)

Phƣơng trình đƣờng chuẩn:

(1): x = - c

a

e

a 2

; (2): x = c

a

e

a 2

-----------------------------------------------------------

III.PARABOL

1. Định nghĩa:

)},(/{)( MdMFMP

1) Định nghĩa:

(H) = aMFMFM 221 F1F2 = 2c, c > a

2) Phƣơng trình chính tắc:

2

2

2

2

b

y

a

x = 1 với b

2 = c

2 – a

2

3) Hình dạng và các yếu tố

a) Hình dạng:

b) Các yếu tố

A1A2 = 2a: trục thực

B1B2 = 2b : trục ảo

Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0)

Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)

Tiêu cự: F1F2 = 2c

Bán kính qua tiêu của điểm M )(H

M

M

xa

caMF

xa

caMF

2

1

Tâm sai: e = 1a

c

Phƣơng trình đƣờng chuẩn:

(1): x = - c

a

e

a 2

; (2): x = c

a

e

a 2

Phƣơng trình tiệm cận:

(d1): y = - xa

b; (d2): y = x

a

b

-----------------------------------------------------------


[Type text]

F: tiêu điểm, : đƣờng chuẩn

P = d(F, ) > 0: tham số tiêu của (P)

2. Phƣơng trình chính tắc của (P). y2 = 2px ( p

> 0 )

3. Các yếu tố.

O(0;0) là đỉnh của parabol

Ox là trục đối xứng của parabol

Bán kính qua tiêu của điểm M

(P):

MF = 2

p+ xM

Tiêu điểm F( )0;2

p

Đƣờng chuẩn 2

:p

x

B. BÀI TÂP

* Elip (E):

1/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:

a) 11625

22

yx

b) 4x2 + 16y

2 – 1 = 0 c) x

2 + 4y

2 = 1 d) x

2 + 3y

2 = 2

2/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.

a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).

b) F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)

c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.

d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = 3,4 y

e) (E) đi qua hai điểm M(4 ; 3 ), N( )3;22 .

3/ Tìm những điểm trên elip (E) : 19

22

yx

thỏa mãn :

a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

4/ Cho elip (E) : 149

22

yx

.

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).

b) Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung

điểm của AB.

*HYPEBOL (H) :

5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các

đường tiệm cận của mỗi hyperbol (H) sau :( Vẽ (H) có phương trình ở câu a), b) và d))

a) 1416

22

yx

b) 4x2 – y

2 = 1 c) 16x

2 – 25y

2 = 400 d) x

2 – y

2 = 1

6/ Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết :

a) Một tiêu điểm là (5 ; 0), một đỉnh là (- 4 ; 0). b)Độ dài trục ảo là 12, tâm sai bằng

5/4.


[Type text]

c) Tâm sai bằng 2 , (H) đi qua điểm A(-5 ; 3). d)(H) đi qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ;

2 )2 .

7/ Tìm các điểm trên hyperbol (H) : 4x2 – y

2 – 4 = 0 thỏa mãn :

a) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b)Có tọa độ nguyên.

*PARABOL (P) :

8/ Xác định tham số tiêu, tọa độ đỉnh, tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol (P) sau :

a) y2 = 4x b) 2y

2 – x = 0 c) 5y

2 = 12x ( Vẽ (P) có phương trình ở câu a))

9/ Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết :

a) (P) có tiêu điểm F(1 ; 0)

b) (P) có tham số tiêu p = 5

c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 là đường chuẩn.

10/ : Cho parabol (P): y2 = 8x

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)

b) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ

tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4

MỘT SỐ ĐỀ KT1T THAM KHẢO

ĐỀ1

Bài 1. Cho tam giác ABC, biết A(1 ; 4), B(3 ; 1), C(6 ; 2). Lập phương trình tổng quát của các đường

thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác.

Bài 2. Cho điểm A = (1 ; 2) và đường thẳng x 1 2t

: y 2t

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng .

b) Tính diện tích của hình tròn tâm A tiếp xúc với .

Bài 3. Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a)(C) có tâm I(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng : x 2y + 7 = 0.

b)(C) có đường kính là AB với A(1 ; 1), B(7 ; 5).

Bài 4.Cho phương trình 2 2x y 2mx 4my 6m 1 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương

trình của đường tròn?

ĐỀ 2

Câu 1: Cho đường tròn ( C) : x2 + y

2 + 4x + 4y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn ( C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A (-3;0).

c) Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn ( C),biết d song song :2x-y+1=0

d) Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn ( C),biết d vuông góc :2x-y+1=0

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;-2); B(4;-3); C(2;3).

a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm B, C..

b) Lập phương trình đường trung trực cạnh AB.


[Type text]

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng (d) : x – y + 2 = 0

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng :

1 2x t

y t

a) Tìm vectơ chỉ phương và phương trình tổng quát của đường thẳng .

b) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho độ dài đoạn OM ngắn nhất, với O là gốc tọa độ./.

ĐỀ 3 Bài1. Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; -2) và B(3;3) .Tìm phương trình tổng quát (d)

Bài 2. Cho (d1) : x - 2y + 1 = 0 và (d2): 3x - y - 2 = 0 . Tìm số đo của góc giữa 2 đường thẳng (d1)

và (d2 ) .

Bài 3 Cho elip (E) : 9x2

+ 25y2 = 225 . Tìm tiêu điểm ;tâm sai ;các đỉnh ;độ dài các trục ;tiêu cự

của (E )

Bài 4 Cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y

2 - 6x + 2y + 6 = 0

a)Tìm tọa độ tâm và bán kính (C) .

b)Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A(3;1)

c)Định m để đường thẳng (d) : x + y + m = 0 tiếp xúc với (C).

d)Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn ( C),biết d có hệ số góc k=3

Bài 5 : Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (Cm) : x2

+ y2

+ 2 (m + 2)x - 2 ( m + 4) y + 34 = 0 là phương

trình của một đường tròn .

Đề 4

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng )Rt(

ty

tx

:d

36

416

a) Tìm tọa độ các điểm M ; N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox; Oy.

b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OMN.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

d) Viết phương trình chính tắc của Elip biết qua điểm N và nhận M làm một tiêu điểm

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(- 2; 1) B(6; - 3); C(1;7).

a) Tính vectơ : C;AB A . Chứng minh : ABC là một tam giác vuông.

b) Viết phương trình đường trung tuyến AM và đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: a) Viế`t phương trình chính tắc của Elip biết Tiêu cự bằng 8 và qua điểm M( ;15 -1)

b) Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm; tọa độ các đỉnh của Elip có phương trình sau :

x2 + 5y

2 = 20.

ĐỀ 5

Bài 1: Cho đường thẳng

ty

tx

3

22:

a) Tìm điểm M nằm trên và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với đường thẳng x + y + 1 = 0.

c) Tìm điểm M trên sao cho AM ngắn nhất.

Bài 2: Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0),

N(4 ; 1), P(2 ; 4).


[Type text]

Bài 3: Cho elip (E) : 149

22

yx

.

a)Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).

b)Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung

Bài 4 :a)Viết phương trình của đường tròn (C) biết qua hai điểm A(2 ; 6) ; B(6 ; 6) và tiếp xúc với đường

thẳng (d): 2x-9y-10 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1 ; 1).

Bài 5 :Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết cạnh (AB): 4x + y - 12 = 0; đường cao

(AA'): 2x + 2y - 9 = 0; đường cao (BB'): 5x - 4y - 15 = 0. viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác

ABC.

ĐỀ 6

Bài 1: Cho ABC biết A (-1;2); B (2;-4), C (1;0)

a) Viết phương trình ba đường cao của ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC.

Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC biết phương trình các cạnh ABC:

(AB): 3x + 4y - 6 = 0

(AC): 4x + 3y - 1 = 0

(BC): y = 0

Bài 3: Cho elip (E): 9x2 +16y

2 = 144. Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, tiêu cự của (E).

Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho ABC với A(3 ; 4) , B(1 ; 3) , C(5 ; 0)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC . Tính diện tích ABC.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC, xác định rõ tâm và bán kính

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (ABC) biết song song với đường thẳng

d : 6x – 8y + 19 = 0

Chƣơng VI. CUNG VÀ GÓC LƢỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Góc và cung lƣợng giác.

* Cung tròn có số đo bằng 1

360 số đo của đường tròn gọi là 1 độ và kí hiệu : 1

0 . Cung tròn có độ dài

bằng bán kính gọilà cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian.

* Góc lượng giác là góc được gắn với đường tròn lượng giác có nghĩa là có chiều dương, chiều âm và độ

lớn tùy ý. Hai góc lương giác có chung tia đầu và tia cuối có dạng 2kvà .

* Cho đường tròn lương giác gốc A, góc có tia cuối là OM. Khi đó tung độ của M gọi là sin , hòanh

độ của M gọi là cos , tỉ số sin

cos

gọi là tang , kí hiệu : tan , tỉ số

cos

sin

gọi là côtang , kí hiệu :

cot

Ta có : 1cos,sin1 ; sin)2sin(;cos)2cos( kk

2 2 2 2

2 2

1 1sin cos 1; ... tan .cot 1;...1 tan ; ...1 cot

cos sin


[Type text]

2. Giá trị lƣợng giác của những góc có liên quan đặc biệt.

* Hai góc đối nhau thì có cosin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.

* Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.

* Hai góc hơn kém nhau thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau.

* Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

3. Công thức lƣơng giác.

* Công thức cộng.

sinsincoscos)cos( cossincossin)sin(

tantan1

tantan)tan(

* Công thức nhân đôi.

* 1cos2sin21sincos2cos 2222 *sin 2 2sin cos

*

2tan1

tan22tan

* Công thức hạ bậc.

2

2cos1sin;

2

2cos1cos 22

*Công thức biến đổi tổng thành tích.

)cos()cos(2

1coscos

)cos()cos(2

1sinsin

)sin()sin(2

1cossin

*Công thức biến đổi tổng thành tích.

2sin

2sin2coscos;

2cos

2cos2coscos

yxyxyx

yxyxyx

2sin

2cos2sinsin;

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

B. BÀI TẬP.

LOẠI 1 : Tính giá trị lượng giác 1 cung

1. a) Cho sinα = 5

3; và

2.Cho Tính cosα, tanα, cotα.

b) Cho tanα = 2 và 2

3 Tính sinα, cosα.

2. a) Cho cosα = 12

13 ; và

2. Tính sin 2 , cos2 , tan 2 , cot 2


[Type text]

b) Cho cotα = 2 và 04

. Tính sin 2 , cos2 , tan 2 , cot 2 .

c) Cho 1

sin cos5

. Tính sin 2 , cos2 .

3. a) Cho sinα = 5

9 ; và

2. Tính sin , cos , tan , cot

2 2 2 2

.

b) Cho cos α =5

13 và

32

2

. Tính sin , cos , tan , cot

2 2 2 2

.

4. Cho sinα = 4

5; và 0

2

.Cho Tính cosα, tanα, cotα

LOẠI 2: Chứng minh hằng đẳng thức

5. Chứng minh rằng:

3 3

2 2 2 22 6

2 2 2

2 2

2 2 3 3

) 1 cot sin 1 tan cos sin cos

sin 2cos 1 sin tan) sin ) tan

cot cos cot

) cot tan cot tan 4 ) cos 4 sin 4 1 2sin 2

sin cos tan 1 sin cos) ) 11 2sin cos tan 1 sin cos

a

b c

d e

f g

2

2

2

sin cos

4sin 1 cos sin sin 2 sin) 16cos ) cot ..... ) tan

2 1 cos sin 2 1 cos 2 cos1 cos

2

h k l

6.Chứng minh rằng:

2

s inx sin1 cos os2 2) cotx ) tan

sin2 s inx 21 cos ox

2

2 os2 sin4 sin( )) tan ) t anx tan

2 os2 sin4 4 cos .cos

x

x c x xa b

xxx c

c x x x yc x d y

c x x x y

7. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

a) 3 3sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) b) 3 3sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx)

c) 4 4 2 2cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x d) 2 2(1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cot x

e) sin x.cotx

1cosx

f) 2 2 2

2

1sin x tan x cos x

cos x

8. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

a. 2 2 2sin cos cos 1 tan sin 1 cota a a a a a b. 2 2 2 2tan sin tan .sina a a a

c.3 3sin cos

1 sin .cossin cos

d.

2 2sin cos tan 1

1 2sin .cos tan 1

e. 4 4 6 6 2 2sin cos sin cos sin .cosa a a a a a f.

4 4 6 63 cos sin 2 cos sin 1a a a a


[Type text]

g.sin 1 cos 2

1 cos sin sin

a a

a a a

h.1 os 1 cos

2cot 01 cos 1 os 2

c a aa a

a c a

9. Chứng minh rằng:

4

1) cos cos cos cos3 ) 5 2sin cos 4 cos 2 sin

3 3 4

sin sin 3 sin 5 3 4cos 2 cos 4) tan 3 ............................. ) tan

cos cos3 cos5 3 4cos 2 cos 4

a x b Sin

c d

LOẠI 3: Rút gọn một biểu thức

10:Rút gọn các biểu thức: os2a-cos4a 2sin 2 sin 4

) )sin 4 sin 2 2sin 2 sin 4

sin ossin sin 34 4

) )2 os4

sin os4 4

c a aa A b B

a a a a

a c aa a

c C d Dc a

a c a

e/21 2sin

sin cos

aA

a a

f/

1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

a aB

a a

.g/ 2 2 21 sin cot 1 cotM a a a

h/22cos 1

sin cos

aN

a a

i/ 2 2sin 1 cot cos 1 tanK a a a a

j/ 3 31 cot sin 1 tan cosP a a a a

k/2 2

2

sin 2cos 1

cot

a aQ

a

l /

2 2

2 2

sin tan

cos cot

a aE

a a

m/

2

sin cos 1

cot sin .cos

a aF

a a a

LOẠI 4: Tính giá trị một biểu thức

12/tính cot 2 tan

tan 3cot

a aE

a a

biết

3sin

5a và 0 090 180a 13.Tính

sin 3cos

cos 2sin

a aF

a a

biết tan 3a

14.Tính 2 2

2 2

2cos sin .cos sin

sin 3cos 4

a a a aG

a a

biết cot 2a 15.Tính

2sin 3cos

sin cos

a aB

a a

biết tan 2a

16.Tính 2 2

2 2

3 os 2sin 1

sin 3cos 5

c a aP

a a

biết tan 3a

LOẠI 5: Chứng minh một biểu thức cho không phụ thuộc x

17. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:

4 4 6 63 cos sin 2 cos sinA x x x x

8 8 6 6 43 sin os 4 cos 2sin 6sinB x c x x x x

2

4 4 2 2 8 82 cos sin sin .cos sin osC x x a a x c x 4 44 sin cos os4D x x c x

3 3os sinsin .cos

sin cos

c x xE x x

x x

LOẠI 6:Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn LG


[Type text]

18 Biểu diễn các cung sau trên đƣờng tròn LG

a. -5

4

b. 225 0 c. -765 0 d.

10

3

LOẠI 7:Bài toán trong tam giác

19 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

)sin sin ) sin cos2 2

A B Ca A B C b

c) cos cos cos 1 4sin .sin .sin

2 2 2

A B CA B C

d) cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cosA B C A B C

Loại 7: CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC

BIỆT

( ù)A B C b

2 2 2

A B C (phụ)

sin sinA B C

os osc A B c C

sin os2 2

A B Cc

tan cot2 2

A B C

20.Chứng minh rằng:

1) 0 0 0 0tan10 .tan 20 ...tan70 .tan80 1

2) 0 0 0 0os20 os40 ... os160 os180 1c c c c

3) 0 0 0 0tan50 tan75 tan 230 tan 255

4) 0 0 0 0os20 os40 sin110 sin130c c

5) 0 0 0 0sin 25 sin65 sin155 sin115

6) 0 0 0 0sin75 sin65 os165 os205 0c c

7) 0 0

0

0

sin168 sin192cot12 2

sin 78

21. Tính giá trị biểu thức :

8) 0 0

0

0 0

sin( 234 ) os216tan36

sin144 os126

cA

c

9) 0 0 0

0 0

0

cot 44 tan 226 os406ot17 . ot73

os316

cB c c

c

10) 0 0 0 0cot 5 cot10 ...cot80 .cot85C

11) 0 0 0 0 0 0cos10 cos20 cos30 cos190 cos200 cos210D

12)

9 6 11os os os

165 5 5 tan3 6 5

os sin10 5

c c c

E

c

22.Đơn giản biểu thức sau :


[Type text]

13) 3

sin os cot 2 tan2 2

F c

14) 3 3

os 5 sin tan .cot2 2 2

G c

15) 3

cot 2 . os os 6 2sin2

H c c

ÔN TẬP CHƢƠNG VI. LƢỢNG GIÁC

Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:

a. A = sin 50° cos (–300°) b. B = sin 215° tan (3π)

c. C = 4π π 4π 9π

cos sin tan cot5 3 3 5

Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của các biểu thức sau:

a. sin (α + π/2) b. cos (α – 45°) c. cos (270° – α)

d. cos (2α + 90°) e. sin (α + 270°)

Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức

a. A = sin A + sin B + sin C b. B = sin A sin B sin C

c. C = A B C

cos .cos .cos2 2 2

d. D = A B C

tan tan tan2 2 2

Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°. Tính sin a, tan a, cot a

b. sin a = 5/13; với π/2 < a < π. Tính cos a, tan a, cot a

c. tan a = 3; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, cot a.

d. cot a = 2; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, tan a.

e. Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π. Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.

f. Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 . Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.

g. Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α.

h. Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, tan α.

Bài 5. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức

a. Tính cot a tan a

Acot a tan a

với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2

b. Tính 2 2

2 2

sin a 2sin a.cosa 2cos aB

2sin a 3sin a.cosa 4cos a

với cot a = –3

c. Tính 3 3

sin a 5cosaC

sin a 2cos a

với tan a = 2

d. Tính cot a 3tan a

D2cot a tan a

với cos a = –2/3

Bài 6. Cho sin a + cos a = 5/4. Tính giá trị các biểu thức sau:

a. A = sin a cos a b. B = sin³ a + cos³ a

Bài 7. Cho tan a + cot a = 5. Tính giá trị các biểu thức sau:

a. A = tan² a + cot ² a b. B = tan³ a + cot³ a

Bài 8. Cho 3sin4 x + cos

4 x = 3/4. Tính A = sin

4 x + 3cos

4 x

Bài 9. Cho 3sin4 x + cos

4 x = 1/2. Tính B = sin

4 x + 3cos

4 x

Bài 10. Cho 5(sin x + cos x) = 1. Tính sin x, cos x, tan x

Bài 11. Cho tan x + cot x = 4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x


[Type text]

Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:

a. A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2)

b. B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x)

c. C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x)

d. D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x)

e. E = 2sin 2a sin 4a

2sin 2a sin 4a

Bài 13. Tính giá trị các biểu thức

a. sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )

Acot 572 tan( 212 )

b. B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°

c. C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°

d. D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + ... + sin 360°

Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:

a. sin4 x + cos

4 x = 1 – 2cos² x sin² x

b. sin6 x + cos

6 x = 1 – 3cos² x sin² x

c. sin8 x + cos

8 x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin

4 x cos

4 x

d. (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x

e. 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x)

f. sin x cos x 1 2cos x

1 cos x sin x cos x 1

g. 2 2 4

2 2 2 2

tan a 1 cot a 1 tan a.

1 tan a cot a tan a cot a

h.

2

2

sin a cosa 1 cot a

sin a cosa cosa sin a 1 cot a

i. 2 2sin a cos a

1 sin a.cosa1 cot a 1 tan a

j. 2

2

sin a sin a cosasin a cosa

sin a cosa tan a 1

Bài 15. Cho 4 4sin x cos a 1

a b a b

với a, b > 0. Chứng minh rằng

8 8

3 3 3

sin x cos x 1

a b (a b)


a. A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)² b. B = 2 2 2

2 2 2

cos x cos x.cot x

sin x sin x.tan x

c. C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)²

Bài 17. Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x.

a. A = (sin4 x + cos

4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2)

b. B = 4 4

6 6 4

sin x 3cos x 1

sin x cos x 3cos x 1

c. C = 2 2 2 2

2 2

tan x cos x cot x sin x

sin x cos x

Bài 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a. A B C

sin cos2 2

b. cos (A + B – C) = –cos 2C

c. 3A B C

cos sin 2A2

d.

A B 2C 3Ctan cot

2 2

Bài 19.


[Type text]

a. Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π

b. Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π

c. Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2.

d. Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2 2 . Từ đó suy ra giá

trị a và b.

Bài 20. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140°

b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20°

c. C = cot 225 cot 79 .cot 71

cot 259 cot 251

d. D = tan 15° + cot 15°

Bài 21. Chứng minh

a. 2sin(x y)

tan x tan ycos(x y) cos(x y)

b. π π 2π 2π

tan x tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan(x ) tan x 33 3 3 3

c. π π π 3π 2

cos(x )cos(x ) cos(x )cos(x ) (1 3)3 4 6 4 4

d. o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 ) o o o o(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0

e. 2 2

2 2

tan 2x tan xtan x.tan3x

1 tan 2x.tan x


a. 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b)

b. tan a tan b = 1

3 nếu cos (a + b) = 2cos (a – b)

Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh

a. sin C

tan A tan Bcos A.cos B

với A, B ≠ 90°.

b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông

c. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1

d. A B B C C A

tan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2

e. A B C A B C

cot cot cot cot .cot .cot2 2 2 2 2 2

f. A B C A B C A B C A B C

cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


a. tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 với ABC nhọn

b. tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn

c. tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≥ 3

Bài 25.

a. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết cos x = –5/13; với π < x < 3π/2

b. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x nếu tan x = 2


[Type text]

Bài 25. Tính giá trị của biểu thức.

a. A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°

b. B = sin 10° sin 50° sin 70°

c. π 4π 5π

C cos .cos .cos7 7 7

d. D = cos 10° cos 50° cos 70°

e. E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°

f. F = 2π 4π 8π 16π 32π

cos .cos .cos .cos .cos31 31 31 31 31

g. G = sin 5° sin 15° sin 25° ... sin 75° sin 85°

h. H = cos 10° cos 20° cos 30° ... cos 70° cos 80°

i. I = π 2π 3π 4π 5π 6π 7π

cos cos cos cos cos cos cos15 15 15 15 15 15 15

j. π π π

J sin cos cos16 16 8


a. 2 3 n

n

n

a a a a sin aP cos cos cos ... cos

a2 2 2 22 .sin

2

b. n

π 2π nπ 1Q cos .cos ... cos

2n 1 2n 1 2n 1 2

c. 2π 4π 2nπ 1

R cos .cos ... cos2n 1 2n 1 2n 1 2

Bài 28. Chứng minh các hệ thức:

a. 3 3 1sin x.cos x cos x.sin x sin 4x

4 b. 6 6 2x x 1

sin cos cos x(sin x 4)2 2 4

c. π 1 sin 2x

tan( x)4 cos 2x

d.

2cot x tan x

sin 2x

e. 1 1 1 1 1 1 x

cos x cos2 2 2 2 2 2 8 với 0 < x < π/2

Bài 29. Chứng minh:

a. 4cos x cos (π/3 – x) cos (π/3 + x) = cos 3x b. 4sin x sin (π/3 – x) sin (π/3 + x) = sin 3x

Áp dụng tính:

A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°.

Bài 30. Biến đổi thành tích:

a. 1 – 3 tan² x b. sin 2x + sin 4x + sin 6x

c. 3 + 4 cos 4x + cos 8x d. sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x

e. 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x f. cos 2x + sin 2x + 1


a. cos7x cos8x cos9x cos10x

Asin 7x sin8x sin9x sin10x

b.

sin15x 2sin12x sin9xB

cos15x 2cos12x cos9x


[Type text]

c. 2

1 cos x cos 2x cos3xC

cos x 2cos x 1

Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. π 7π

B tan tan24 24

b. B = 1 3

sin10 cos10

c. C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°

Bài 33. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. A = π 7π 13π 19π 25π

sin sin sin sin sin30 30 30 30 30

b. B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°

c. C = 2π 4π 6π 1

cos cos cos7 7 7 2

d. D = 2(π 2π 3π

cos cos cos7 7 7 )

e. E = 2π 4π 6π 8π

cos cos cos cos5 5 5 5

f. F = π 3π 5π 7π 9π

cos cos cos cos cos11 11 11 11 11


a. tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3 3

b. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = 8 3

3 cos 20°.

Bài 35. Tính các tổng sau:

a. A = cos α + cos 3α + cos 5α + ... + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ

b. B = π 2π 3π (n 1)π

sin sin sin ... sin .n n n n

c. C = π 3π 5π (2n 1)π

cos cos cos ... cos .n n n n

d. D = 1 1 1

...cosa.cos 2a cos 2a.cos3a cos 4a.cos5a

với a = π/5

e. E = n 1

1 1 1 1(1 )(1 )(1 )...(1 )

cos x cos 2x cos3x cos 2 x

Bài 36. Tính n 2 n

x x xP cos cos ...cos .

2 2 2 ĐS:

n

n

sin x

x2 sin

2

Bai 37. Tính 2 2 n 1 2

n 2 n n 1

a a a a aS tan .tan a 2 tan .tan ... 2 tan .tan

2 2 2 2 2

ĐS: n

n n

aS tan a 2 tan

2

Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau:

a. 21 2sin 2x 1 tan 2x

1 sin 4x 1 tan 2x

b.

1 sin 2x cos 2xtan 4x

cos 4x sin 2x cos 2x


[Type text]

c. tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x

d. sin 7x

1 2cos 2x 2cos 4x 2cos6xsin x

e. cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x

Bài 39. Cho sin (2a + b) = 5 sin b. Chứng minh: 2 tan(a b)

3tan a

.

Bài 40. Cho tan (a + b) = 3 tan a. Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b.


a. A B C

sin A sin B sin C 4cos cos cos2 2 2

b. A B C

cos A cos B cosC 1 4sin sin sin2 2 2

c. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

d. cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C

e. sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C

Bài 42. Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1.

Bài 43. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là

a. cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1 b. b c a

cos B cosC sin B.sin C

Bài 44. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là sin A sin B 1

(tan A tan B)cos A cos B 2

Bài 45. Chứng minh bất đẳng thức

a. sin A + sin B + sin C ≤ 3 3

2 HD: cộng thêm sin (π/3)

b. cos A + cos B + cos C ≤ 3/2 HD: cộng thêm cos (π/3)

c. 8cos A cos B cos C ≤ 1 HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức.


[Type text]

HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho điểm A(5;2) và đƣờng thẳng d: 3x+2y-6=0

a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A lên d H(2;0)

b) Tìm tọa độ A’ là điểm đối xứng với A qua d A’(-1;-2)

Bài 2:

a) Cho điểm A(1;2) và d: x+2y-1=0. Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua d A’3 6

;5 5

b) Cho điểm A(-2;1) và d: 3x-y+2=0. Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua d A’(1;0)

c) Cho điểm A(3;2) và d: x+2y-4=0. Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua d A’9 2

;5 5

d) Cho điểm M(6;5) và d: 2x+y-2=0. Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua d A’9 2

;5 5

e) Cho điểm M(1;2) và d: 4x-14y-29=0. Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua d A’9 2

;5 5

f) Cho điểm M(1;-6) và d: 2

1

x t

y t

. Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua d H(-2;0);M’(-5;6)

Bài 3: Cho điểm C(4;3) và đƣờng thẳng d: x+2y-5=0 và điểm A(9;-2). Gọi C’ đối xứng với C qua d.

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AC’ Đ/s: C’(2;-1); AC’:x+7y+5=0

Bài 4: A(3;-3) và 2 đƣờng thẳng 1 2: 2 2 0; : 2 6 28 0d x y d x y . Gọi B, C lần lƣợt là điểm đối

xứng với A qua 1 2;d d . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua B, C 4x-y-19=0

Bài 5: A(4;-1) và 2 đƣờng thẳng 1 2: 2 3 12 0; : 2 3 0d x y d x y . Gọi B, C lần lƣợt là điểm đối

xứng với A qua 1 2;d d . Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua B, C

Bài 6: A(7;9), B(0;10); 1 : 7 20 0d x y . Gọi 1 1;A B lần lƣợt là hai điểm đối xứng với A và B qua d.

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng 1 1;AB A B

Hd: 1 1 2 1 1 1(6;2);A (5; 5); ( 1;3);A ( 2; 4);A B:3x y 10 0;AB :13 9 10 0H H x y

Bài 7: Cho tam giác ABC, A(-1;0); B(2;3);C(3;-6) và đƣờng thẳng d: x-2y-3=0. Tìm tọa độ điểm

1) I :d IA IB nhỏ nhất

2) J :d IA IC nhỏ nhất

3) H :d HA HC lớn nhất

4) M :d MA MB MC nhỏ nhất

a b ' ' z a b a b c // c - daythem.edu.vn b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng . 5/ Lập phương trình ba đường trung

Documents