๑ องค ความรู ... - afaps.ac.thkmcorner/km.html/pdf/5320.pdf · สมการของพหุนาม ป...

๑ องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๕

เรอง “ระบบจานวนจรงและฟงกชนตรโกณมต” ชนปท ๑

กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร

ชอองคความร

ระบบจานวนจรง ศกษาเนอหาคณตศาสตรเกยวกบ

อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและอสมการคาสมบรณ

ฟงกชนตรโกณมต ศกษาเนอหาคณตศาสตรเกยวกบ

คาของฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆทงทอยบนแกนพกดฉาก และนอกแกนพกดฉาก

วตถประสงค

๑. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทตา

๒. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๓. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร

หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน

๑. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน

( องคความรท นตท. ตองผาน ไดแก

๑. อธบายความหมายของ อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและอสมการคาสมบรณ ฟงกชน

ตรโกณมตของมมตางๆ

๒. สามารถแกอสมการของพหนามดกรสองขนไปได

๓. สามารถแกสมการและอสมการคาสมบรณได

๔. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณของมมตาง ไๆด)

๒. ประเมนความรเดมในเนอหา การแยกตวประกอบของพหนาม การแกอสมการพหนามดกรหนง การแก

สมการของพหนาม ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน โดยใชใบงาน

๓. เชอมโยงองคความรเรองแยกตวประกอบของพหนาม การแกอสมการพหนามดกรหนง การแกสมการ

ของพหนาม ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน กบ อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและ

อสมการคา สมบรณ ฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆ

๔. ผสอนอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด โดยใช

๔.๑ ใบความรทบทวน

๔.๑.๑ เรองการแยกตวประกอบและการแกอสมการพหนามดกรหนง

๔.๑.๒ การแกสมการของพหนาม

๔.๑.๓ ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน

๔.๒ ใบความร-ใบงานเนอหาหลก

๔.๒.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป

๔.๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ

๔.๒.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆ

๒

๔.๓ สอการสอน

๔.๓.๑ power point เรอง 9 กฎทองคาสาหรบการแกอสมการกาลงสองและสงกวา

๔.๓.๒ power point เรอง กฎทองคาในการแกสมการอสมการคาสมบรณ

๔.๓.๓ power point เรอง การหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ

และ นตท.สามารถทบทวนเนอหาวชาทเรยนดวยตวเอง โดยเขาไปโหลดสอการสอน power point ทง

สามเรองไดท เวบไซต http://www.gotoknow.org/blog/krukanid-kidna/toc

วธดาเนนการ

ทาการสอนทกวนพธ ระหวางภาคเรยน ๓ ครง เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐

ครง

ท

วนท เรอง หองเรยน

๑ 3 ส.ค. 54 การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป 2-18

๒ 10 ส.ค. 54 ทดสอบหลงเรยนครงท๑ /การแกสมการและอสมการคาสมบรณ 2-18

๓ 17 ส.ค. 54 ทดสอบหลงเรยนครงท๒ /การหาคาฟงกชนตรโกณมต /

แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๓ นากลบไปทามาสง

2-18

การประเมนผล

ประเมนองคความรดวยแบบทดสอบหลงเรยน โดยใชเวลา ๑๐ นาทตนชวโมงถดไป ดวย

แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๑ เรองการแกอสมการพหนามดกรสองขนไป

แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๒ เรองการแกสมการและอสมการคาสมบรณ

และ แบบทดสอบหลงเรยนโดยใหไปทาดวยตวเองแลวนากลบมาสง ดวย

แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๓ เรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต

(แตละแบบทดสอบตองไดคะแนนรอยละ ๘๐ ขนไปจงถอวาผาน ถาไดคะแนนตากวารอยละ ๘๐ ตองนาเอา

แบบทดสอบกลบไปแกไขใหถกทงหมดจงถอวาผาน)

แหลงอางอง

๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม

๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตร เรองจานวนจรง และฟงกชนตรโกณมต

๓. เวบไซต http://www.gotoknow.org/blog/krukanid-kidna/toc

ภาคผนวก

๑. ใบความรทบทวน

๑.๑ เรองการแยกตวประกอบและการแกอสมการพหนามดกรหนง

๑.๒ การแกสมการของพหนาม

๑.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมม 30˚, 45˚ และ 60˚

๓

๒. ใบความรเนอหาหลก

๒.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป

๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ

๒.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ

๓. ใบงาน

๓.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป

๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ

๓.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ

แผนการสอนเรอง การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป

ขนนา

ครเขยน ประโยคทงสามบนกระดาน

52 x

0232 xx

023 23 xxx แลวถามวา

๑. นตท.รจกประโยคบนกระดานหรอไม ใครตอบไดบางประโยคทงสามบนกระดานเรยกวาอะไร

(อสมการ)

๒. แลวอสมการทงสามแตกตางกนอยางไร ( ดกรของแตละพหนามไมเทากน)

๓. นตท.สามารถแกอสมการขอใดไดบาง (ขอแรก อาจใหตวแทน นตท.ออกมาแสดงใหด ) แลวอกสอง

ประโยคตอมาจะทาอยางไรด

ขนสอน

อธบายเพมเตมวาการแกอสมการทดกรสงขน คอตงแตดกรสองขนไปทาคลายสมการคอตองใชการ

แยกตวประกอบชวย ถามเพมเตมวาม นตท.คนใดแยกตวประกอบพหนามยงไมคลอง ( ถาม นตท.ยกมอ ใหแจก

ใบความรทบทวนเรองการแยกตวประกอบพหนาม แลวครอธบายวธการทาพรอมฝกให นตท.ทาแบบฝกหด

ประกอบ) ถาไมม หรอทบทวนเรยบรอยใหอธบายวธการแกอสมการกาลงสอง โดยใชสอการสอน power point

เรอง 9 กฎทองคาสาหรบการแกอสมการสองและสงกวา พรอมแจกใบความรเนอหาหลก อสมการของพหนาม

ดกรสองขนไป อธบายกฎทองคาขอท 1 อธบายจบ ถาม นตท.วาคนใดไมเขาใจ (ถาม อธบายเพมเตม) แลวใหจด

ตวอยางทยกพรอมทาแบบฝกหดประกอบในแตละหวขอ อาจเรยกออกมาทาใหดทกระดาน ทาเชนนจนจบ กฎ

ทองคาขอท9 และทาแบบฝกชดท 9

๔

ขนสรป

ครและ นตท.ชวยกนสรปวธการแกอสมการดกรสองขนไปวามการกแบบ แตละแบบตองทาอยางไร ให

แบบฝกหด นตท.ไปทาเพมเตม และใหดขอทม * ดอกจนทรหนาขอ จะเปนแนวทางในการทดสอบหลงเรยนใน

ชวโมงหนากอนการเรยนการสอนเรองตอไป คอการแกสมการและอสมการคาสมบรณ

ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง 9 กฎ

ทองคาสาหรบการแกอสมการกาลงสองและสงกวา ไดท http://www.gotoknow.org/file/krukanid-

kidna/view/608884

ใบความรทบทวนเรอง การแยกตวประกอบพหนาม

การแยกตวประกอบพหนาม คอ การเขยนพหนามนนในรปการคณกนของพหนามประกอบ

วธการแยกตวประกอบ เชน 21232 xxxx

1. การดงตวรวม เชน 2363 2 xxxx

แบบฝกหด จงแยกตวประกอบแตละขอตอไปน

1.1) 22 64 abba

1.2) xxx 9612 23 =

1.3) 3252 693 adcabcca

1.4) yxyx 772

2. ผลตางกาลงสอง หนา 2 - หลง2 = ( )( )

เชน 44162 xxx

แบบฝกหด

2.1) 92a

2.2) 12x

2.3) 6254y

2.4) 11 2a

๕

3. .รป cbxax 2 แยกเปน2วงเลบคณกน

เชน 32652 xxxx


3.1) 652 xx

3.2) 62 xx

3.3) 62 2 xx

3.4) 20712 2 xx

ใบความร-ใบงาน เนอหาหลก อสมการของพหนามดกรสองขนไป

9กฎทองคาสาหรบแกอสมการกาลงสองและสงกวา มทงหมด 9 กฎดวยกนไดแก

1.ปกหลกสรางสรรค

2.ปกหลกสรางสรรคมากกวาหนอย

3.เปลยนความคดชวตเปลยน (— → +)

4.รวาบวกตดทง

5.ทงหมดกาลงสองตองมองใหด

6.กาลงจะสงสงสกเพยงใดคนกลบสสามญ

7.หารกคอคณแต...

8.ดเหมอนงายแตกงาย

9.สดยอด

1.ปกหลกสรางสรรค

ตวอยาง จงแกอสมการ

1252 2 XX

๖ วธทา

แบบฝกหดท จงแกอสมการ

1. 062 2 xx

2. 020712 2 xx

2.ปกหลกสรางสรรคมากกวาหนอย

ตวอยาง

วธทา

เซตคาตอบของอสมการ คอ

แบบฝกหดท 1.

2.

01252 2 XX0)4)(32( XX

1252 2 XX

],4[ 23X

0 0 + + -

-4 23

0)5)(4)(32( xXX

-4 23 5

+ - + -

5,234,

0)5)(4)(32( xXX

0)5)(4)(32( xXX

๗

3. เปลยนความคดชวตเปลยน (— → +)

ตวอยาง


4.รวาบวกตดทง

ตวอยาง


5.ทงหมดกาลงสองตองมองใหด

ตวอยาง

แบบฝกหด 1.

2.

3.

6. กาลงจะสงสงสกเพยงใดคนกลบสสามญ

ตวอยาง

แบบฝกหด 1.

2.

0)5)(4)(32( xXX

0)5)(4)(23( XXX

0)5)(4)(23( XXX

0)5)(4)(3( 2 xXx

0)1)(5)(3( 2 xXX

0)1)(5)(3( 2 xXX

0)1)(5)(3( 2 xXX

0)5)(4()3( 2 xXx

0)5)(4()3( 2 xXx

0)5()4()3( 765 xXx

0)1()5()3( 987 xXX

0)1()5()3( 121110 xXX

๘

7. หารกคอคณแต...

ตวอยาง 02156

xx


02221

45

32

xxxx

8. ดเหมอนงายแตกงาย


xx

แบบฝกหด 2

121

xxx

9.สดยอด

ตวอยาง


แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป

จงแสดงวธแกอสมการตอไปน

1. 062 2 xx

2. 062 2 xx

*3. 062 2 xx

4. 062 2 xx

5.

0162 XX

01462 XX

0)7)(2)(32( xXX

๙ *6.

*7.

*8.

9.

10.

11.

12.

03

12

xxx

13. 0

4312

xxxx

*14.

04312

3

2

xxxx

15.

04312

3330

2120

xxxx

16.

17. 0

43

122

2

xxxx

*18. 21

21

xx

xx

19. 1

3

xxx

*20. 0262 xx

21. 01162 xx

025)5)(4)(23( xxxX

0)7)(2)(32( xXXx

0)7)(2()32( 2 xXX

025)5)(4()23( 22 xxXX

0)7()2()32( 853 xXX

025)5()4()23( 33442211 xxXX

0)7()2()32( 253 xXX

๑๐

ใบความรทบทวนเรอง การแกสมการและอสมการ

การแกสมการ

ตวอยางท 1. 4523 xx

ตวอยางท 2. 43.02.1 xx


ตวอยางท 4. 23652

211_2

32

xxx

ตวอยางท 5.

252

332 xx

การแกอสมการ



ตวอยางท 3. 13215 x

ตวอยางท 4. 35231 xxx

๑๑

แผนการสอนเรอง การแกสมการพหและอสมการคาสมบรณ

ขนนา

ครทบทวนความรเรองคาสมบรณ เชน คาสมบรณคออะไร จานวนใดทอยภายใตคาสมบรณ และผลลพธ

เมอใสเครองหมายคาสมบรณ

ขนสอน

ครเขยนสมการและอสมการคาสมบรณบนกระดานแลวบอกนตท.วาอะไรคอสมการคาสมบรณ อะไรคอ

อสมการคาสมบรณ แลวใหนตท.สรปวาสมการและอสมการคาสมบรณคออะไร(สมการหรอสมการทตด

เครองหมายคาสมบรณ) แลวถาม นตท.วาเราจะมวธการแก หรอหาคาตอบของมนอยางไร(ปลดคาสมบรณออก)

เรามาดวธการปลดคาสมบรณโดยใชสมบตของคาสมบรณดงน ใหใชสอการสอน เพาเวอรพอยตเรองหลกการแก

สมการและอสมการคาสมบรณ จากเวบไซต http://www.gotoknow.org/file/krukanid-

kidna/view/608997

โดยใหนตท.พจารณาตวอยางพรอมไปกบคร จากนนใหทาแบบฝกหดของหลกตางๆแตละวธรวมกนไปดวย(ใบ

ความร-ใบงานเรองการแกสมการและอสมการคาสมบรณ) จนครบทกวธ

ขนสรป

ครและนตท.ชวยกนสรปวธการแกสมการและอสมการคาสมบรณแตละแบบตองทาอยางไร ให

แบบฝกหดนตท.ไปทาเพมเตม และใหดขอทม * ดอกจนทรหนาขอ จะเปนแนวทางในการทดสอบหลงเรยนใน

ชวโมงหนากอนการเรยนการสอนเรองตอไป คอฟงกชนตรโกรมต

ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง การแก

สมการคาสมบรณไดท http://www.gotoknow.org/file/krukanid-kidna/view/608997

ใบความร-ใบงาน เนอหาหลก สมการและอสมการคาสมบรณ

การแกสมการคาสมบรณ

หลกการท1 ax จะไดวา

ตวอยาง 1 จงแกสมการ

853 x

๑๒





หลกการท2 yx จะไดวา



หลกการท3

-๑๗-

ตวอยาง จงแกสมการตอไปน


ตวอยาง จงแกสมการ

การแกอสมการคาสมบรณ


853 x

Xx 3103

xx 3553

5353 xx

6824 Xx

312

xx

0432 xx

x 0; xx0; xx

22 xx

521 xx

๑๓

ตวอยาง 1 จงแกอสมการ 32 x




ตวอยาง 5 จงแกอสมการ 123 xx






ตวอยาง 5 จงแกอสมการ 123 xx

หลกการท3 yx จะไดวา

ตวอยาง 1 จงแกอสมการ 132 Xx

ตวอยาง 2 จงแกอสมการ 2123

xx


x 0; xx0; xx

๑๔

ตวอยาง 1 จงแกอสมการตอไปน 521 xx

ตวอยาง 2 จงแกอสมการตอไปน 53

12

xx

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกสมการและอสมการคาสมบรณ

จงแกสมการและอสมการแตละขอตอไปน

1.

*2.

*3.

*4. 53

12

xx

* 5. 523 x

*6. 123 xx

*7. 132 Xx

*8. 2123

xx

* 9. 521 xx

523 x

523 xx

xx 3223

๑๕

แผนการสอนเรอง การหาคาของอตราสวนตรโกณมต

ขนนา

1. ครทบทวนฟงกชนตรโกณมตและการหาคาอตราสวนตรโกณของมม 30˚, 45˚ และ 60˚ โดย

สรปเปนตาราง ดงน

คา

มม 30 45 60

Sin 21

21

23

cos 23

21

21

tan 3

1 1 3

ขนสอน

1. ครใหนกเรยนหาคาของ 30sin บนกระดาน แลวถามนกเรยนวา ถาคามมเปลยนไป จะ

สามารถหาคาไดอยางไร

2. ครเรยกถาม นตท.เปนรายบคคลเพอใหตอบคาถามทครถาม

3. ครให นตท.ทาแบบฝกหดชดท 1

4. ครแสดงวธการหาคาของอตราสวนตรโกณมตของมมทมากกวา 90 )2

( ใหดเปนตวอยาง

(ใบความรเนอหาหลก)

5. ครให นตท.หาคามมทมากกวา 90 องศา ในแบบฝกหดชดท 2

ขนสรป

1. ครให นตท.สรปเกยวกบการหาคาอตราสวนในกรณมมอยในควอแดรนตางๆ ให

แบบฝกหดนตท.ไปทาเพมเตม

2. ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง

ตรโกณมตเบองตนไดท http://www.gotoknow.org/media/files/608168

๑๖ ใบความรทบทวนเรอง ฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมต

จากอตราสวนตรโกณมต สามารถนยามอตราสวนตรโกณมตในรปของพกดจดในระบบพกดฉากได

กาหนดวงกลมรศม 1 หนวย หรอวงกลม 1 หนวย (Unit Circle) ทมจดศนยกลางอยทจด

กาเนด O(0,0) ดงรป

P(x,y) เปนจดใดๆ บนเสนรอบวงกลมของวงกลมหนงหนวย พจารณา สามเหลยม PQR ม

90Q จะไดวา

sin yyOPPQ

1

cos xxOPOQ

1

จะเหนไดวา พกดของจด P(x,y) นน คา x = cos และ y = sin ทาใหสามารถบอกไดวา

สมาชกตวหนาของคอนดบ (x,y) คอคา cos และสมาชกตวหลงของคอนดบ (x,y) คอคา sin

ซงจากพกดของ P(x,y) นทาใหทราบคาอตราสวนตรโกณมต 2 อตราสวน จงนยามเพมเตม ดงน

tan

cossin

เมอ cos 0

cot

sincos

เมอ sin 0

sec

cos

1 เมอ cos 0

cosec

sin

1 เมอ sin 0

θ P

P(x,y)

Q O X

Y

๑๗

X

Y

225˚

45˚

P

O

ตารางสรปคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30˚, 45˚ และ 60˚

คา

มม 30 45 60

Sin 21

21

23

cos 23

21

21

tan 3

1 1 3

ใบความรเนอหาหลก การหาคาของอตราสวนตรโกณมต

การหาคาของอตราสวนตรโกณมตของมมทมากกวา 90 )2

(

สามารถทาได 2 วธ คอ

1. การหมนแขนของมมรอบจดศนยกลาง โดยมหลกการทาเปนขนตอนดงน

- หมนแขนของมม (Radius Vector) ใหไดมมตามตองการ โดยใชหลกตอไปน

ก. หมนแขนของมมเพอใหไดมมตามตองการ จะไดทราบวามมตองการอยใน

Quadrant ใด ทาใหทราบเครองหมายของอตราสวนตรโกณมตทตองการ

ข. ดวาแขนของมมทหมนไปนนทามมกบแกน X เทาใด

ตวอยาง จงหาคาของ

ก. sin 225 ค. cos( 30 )

ข. tan )4

7( ง. tan( 120 )

วธทา

ก. sin 225

มม 225 อยใน 3Q

คา sin 225 มคาเปนลบ แขนของมมทามม

45 กบแกน X

sin 225 = - sin 45 = 2

1

๑๘

X

Y

P

Q

O

315˚

45˚

XO

Y

P

Q

O -30˚

XO

Y

PO

Q O60˚

-120˚

ข. tan )4

7( = tan )4

)180(7( = tan 315

มม 315 อยใน 4Q

คา tan 315 มคาเปนลบ แขนของมมทามม

45 กบแกน X

tan )4

7( = tan 315

= -tan 45 = -1

ค. cos( 30 )

มม 30 ตองหมนในทศทางตามเขมนาฬกา

ดงนน มม 30 อยใน 4Q

คาของ cos( 30 ) มคาเปนบวก แขนของมม

ทามม 30 กบแกน X

cos( 30 ) = cos 30 = 23

-๒๐-

ง. tan( 120 )

มม 120 ตองหมนในทศทางตามเขมนาฬกา

ดงนน มม 120 อยใน 3Q

คาของ tan( 120 ) มคาเปนบวก แขนของ

มมทามม 60 กบแกน X

tan( 120 ) = tan 60 = 3

๑๙

2. ใชวธการกระจายใหอยในรป A90 ),2

( A

)2(360),2

3(270),(180 AAAAAA เมอ 2

0 A

แลวใชหลกการพจารณาดงน

ก. ดวามมทโจทยตองการอยใน Quadrant ใด เพอจะไดทราบวา คาอตราสวนตรโกณมตท

ตองการมคาเปนบวกหรอลบ

ข. ดวาตองเปลยนคาอตราสวนหรอไม โดยดท

- ถามมอยในรป )2(360),(180 AAAA ไมตองเปลยนฟงกชน คอ

ถามฟงกชนใดตอบฟงกชนนน

- ถามมอยในรป A90 ),2

( A )

23(270 AA ตองเปลยนฟงกชนตอไปน

sin cos

tan cot

sec cosec

ตวอยาง จงหาคาของ

ก. tan 210 ค. sec 330

ข. sin 4

5 ง. cosec 3

7

วธทา ก. tan 210 = tan( 30180 ) ; 30180 อยใน 3Q

= - tan 30

= 3

1

ข. sin 4

5 = sin (4 ) ;

4 อยใน 3Q

= -sin 2

14

ค. sec 330 = sec( 60270 ) ; 60270 อยใน 4Q

= cosec 3

260

ง. cosec 3

7 = csc(3

2 ) ; 3

2 อยใน 1Q

= csc 3

23

๒๐ จ. cos 120 = cos( 60180 )

ฉ. cot 3

11 = cot (32

3 )

ช. sin 225 = sin( 45270 )

ใบงาน

แบบฝกหดชดท 1

จงหาคาของ

1.) 2sin30˚ – 6sin 60˚ + 2 sin 45˚

2.) 2tan230˚ + 4cos230˚ - 3sin230˚

3.) 2cos30˚ + 2cos 60˚ - 2 cos 45˚

4.) 3tan2

6 -

31 sin2

3 -

21 cosec2

4 +

34 cos2

6

5.) 21 cos

3 + cosec

6 - 2cot

6 + 1

แบบฝกหดชดท 2


1. sin 120 2. cos 150

3. tan 120 4. sec6

5

5. sin 225 6. cot 3

4

7. cosec(6

) 8. tan 300

9. cos6

13 10. cos 240

๒๑ แบบทดสอบ

*1. sec 315 2. cot )120(

*3. tan4

7 4. sin(-3

8 )

5. cosec 855 6. sin 480

7. cos(-2 ) *8. cos )1230(

9. tan )330( 10. sin6

23

*11. 21 cos

3 + cosec

6 - 2cot

6 + 1

12. 3tan2

6 +

31 sin2

6cos

34

4csc

21

32

13. cos2

6 - 2cos2

3 -

43 sec2

4 - 4sin2

6

๒๒

องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔

เรอง “ เวกเตอร ” ชนปท ๒



เวกเตอร ศกษานยามการหาผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอร และสามารถหา

ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวคเตอร โคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร และหามมระหวางเวกเตอรท

ก าหนดใหของเวกเตอรได


๑. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทต า

๒. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๓. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร


๑. กาหนดขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน

๒. ทบทวนความรเดมในเรองการหาผลคณของเวกเตอรดวยสเกลาร

๓. เชอมโยงองคความรเรอง การหาผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวคเตอรโคไซนแสดง

ทศทางของเวกเตอร และหามมระหวางเวกเตอรทก าหนดใหของเวกเตอร

๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด

๕. อาจารยสอนเนอหา ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอร โดยเนน

การแกโจทยปญหาเปนหลก

๖. อาจารยให นตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง


ทาการสอนวนพธท ๑๐ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น


ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา



๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวกเตอร


๑. ใบงาน

๒. แบบทดสอบเรองเวกเตอร

รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน

๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย

๑. นตท. สามารถบอกนยามของ ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอรได

๒. นตท. สามารถ หาผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอรได

๒๓

๓. หาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรทก าหนดใหได

๔. หามมระหวางเวกเตอรทก าหนดใหได

๒. ประเมนความรเดมในเรองตรโกณ


มมองศา มมเรเดยน cos 00 0

030 6

045 4

มมองศา มมเรเดยน cos 060

3

090 2

0120 3

2

0135 4

3

0150 6

5

0180 2

๒๔

๓. เชอมโยงองคความรเรองตรโกณและหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร

๑. ทาการยกตวอยางเวกเตอร คอ

ตวอยางท ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v

วธทา จาก cosvuvu

49)8)(6()5)(2()3(3 vu

749)6()2(3 222 u

2798)8()5()3( 222 v

ดงน น 49 = 7( 27 ) cos

cos =2

1 ดงน น 45

๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน

การหาผลคณเชงสเกลาร และโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร

บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb

ผลคณเชงสเกลาร ระหวางa และ b คอ 332211 babababa

ba อานวาเวกเตอรเอดอตเวกเตอรบ หรออานส นๆ วา เอ ดอต บ

ตวอยางท 1 5,3,1u และ 2,4,0v จงหา vu

วธทา vu = 1(0)+3(4)+5(2)

= 22

ถา เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 แลว cosbaba

ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa ต งฉากกบb กตอเมอ 0 ba

ตวอยางท 2 ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v


49)8)(6()5)(2()3(3 vu

749)6()2(3 222 u

2798)8()5()3( 222 v

ดงน น 49 = 7( 27 ) cos

cos =2

1 ดงน น 45

๒๕

๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอร โดยมแผนการสอนดงน

เนอหา

เวกเตอร

ผลคณเชงสเกลาร

บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321, bbbb

ผลคณเชงสเกลารระหวาง a และ b คอ 332211 babababa

ba อานวา เวกเตอร เอ ดอต เวกเตอรบหรออานส น ๆ วา เอ ดอต บ (a dot b)

ตวอยางท 1 u = [1, 3, 5] และ v = [0, 4, 2] จงหา vu

วธทา vu = 254301

= 22

ทฤษฎบท ให ba , และ c เปนเวกเตอรใด ๆ ในสามมต s เปนสเกลารจะไดวา

1. ba = ab

2. cabacba

3. bsabasbas

4. 00 a

5. 2aaa

6. 0 kjkiji

7. 1 kkjjii

ถา เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 แลว cosbaba

ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa ต งฉากกบb กตอเมอ 0ba

ตวอยางท 2 ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v


49)8)(6()5)(2()3(3 vu

749)6()2(3 222 u

2798)8()5()3( 222 v

ดงน น 49 = 7( 27 ) cos

cos =2

1 ดงน น 45

๒๖

โคไซนแสดงทศทาง

ในการกาหนดทศทางของเวกเตอร สามารถทาไดโดยมมทเวกเตอรดงกลาวทากบแกน X แกน Y และ

แกน Z

ให ,, เปนมมทเวกเตอร 321 ,, aaau ทากบแกน X แกน Y และ แกน Z

เรยก ,, วา มมแสดงทศทาง(direction angle)

เรยก cos,cos,cos วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosine)

บทนยาม โคไซนแสดงทศทาง(dierection cosine) ของเวกเตอร

321 ,, aaaa ซง 0a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ

คอจานวนสามจานวน ซงเรยงตามลาดบดงน aa

aa

aa 321 ,,

ตวอยางท 3 จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ วธทา

21020010)8(6 222 a

ดงน นโคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ คอ

210

6,

2108

,210

10 หรอ

253

,254

,2

1

บทนยาม

เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชด

เดยวกน และจะมทศทางตรงกนขามกตอเมอโคไซนแสดงทศทาง เทยบกบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปน

จานวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

กจกรรม

ขนนา

ครช แจงจดประสงคการเรยนรและทบทวนความรเดมโดยใชค าถามนกเรยนเกยวกบการหาผลคณของ

เวกเตอรดวยสเกลารวาทาไดอยางไร หากเราตองการหาผลคณเชงสเกลารระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรจะ

ทาไดอยางไร และคดวาหาเชนเดยวกบการหาผลคณเชงเวกเตอรในสองมตหรอไม

X

Z

Y

๒๗

ขนสอน

1. ครยกตวอยางท 1 โดยครหาผลคณเชงสเกลารใหนกเรยนโดยย งไมบอกนยามการหา

ผลคณเชงเวกเตอร แลวใหนกเรยนสงเกตวธการและความสมพนธ ครอาจจะยกตวอยางอนเพมเตมเพอให

นกเรยนไดสงเกตหานยามของผลคณเชงสเกลาร

2. ครถามนกเรยนโดยการสมเกยวกบวธการทจะทาใหไดผลคณเชงสเกลาร สก 3-4 คน

แลวครกใหนกเรยนชวยกนสรปนยามการหาผลคณเชงสเกลารรวมกน แลวครกใหนยามทถกตองของการ

หาผลคณเชงสเกลารและทฤษฎทเกยวของ

3. ครถามถงการแสดงทศทางของเวกเตอรวาสามารถบอกทศทางของเวกเตอรไดอยางไร

บาง แลวครกอธบายนกเรยนวาการบอกทศทางของเวกเตอรสามารถบอกไดอวธหนงโดยอาศยโคไซน

เรยกวา โคไซนแสดงทศทาง

4. ครใหนยามการหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร เสรจเเลวยกตวอยางท 3 ให

นกเรยนลองหาโคไซนเเสดงทอศทางของเวกเตอรทก าหนดให

5. ครยกตวอยางท 2 เกยวกบการหามมระหวางเวกเตอร โดยใหนกเรยนลองทากอน คร

เดนตรวจตามโตะ แลวใหนกเรยนมาเฉลยหนาชอนเรยน ครใหเพอนตรวจความถกตองของตนเองกบท

เพอนทา ครเฉลยพรอมกบอธบายใหนกเรยนเขาใจ

6. ครสมนกเรยนใหมาทาหนาช นเรยนใหนกเรยนตรวจสอบคาตอบของตนเองกบ

คาตอบของเพอน แลวครตรวจสอบความถกตองพรอมกบอธบายใหนกเรยนเขาใจ

7. ครใหนยามเกยวกบการมทศทางเดยวกนของเวกเตอรโดยอาศยโคไซนเเสดงทศทาง

ของเวกเตอร

สอการสอน

1. แบบเรยนคณตศาสตร

การวดและประเมนผล

การวดผล การประเมนผล

1. การเรยกถามตอบ

2. ตรวจแบบฝกหดจากในแบบเรยน

1. นตท. สามารถตอบคาถามได………

2. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนได........

๖. แบบฝกหด ดงน

แบบฝกหดท ๑

1. ก าหนดให u , v เปนเวกเตอรใด ๆ จงหา vu

1.1 2,1,0,1,0,1 vu

๒๘

1.2 3,2,1,5,4,3 vu

1.3 kjivkjiu 221,632

2. ให 2,1,1,3,4, vxu ถา vu = 2 จงหาคาของ 2x

3. ให kjiwkjiv 538,236 จงหามมระหวาง wv

4. ให 1,3,2,2,1,2 vu และ 2,0,3w

ถา 5.2 avau และ 5aw จงหา a

5. ให u และ v เปนเวกเตอรทมขนาด 2 หนวย และ 3 หนวย ตามลาดบ ถามมระหวาง u

กบ v เปน 120 องศา จงหา vu 31

6. ให u = 10, v = 6 และ w = 14

ถา 0 wvu แลวจงหามมระหวาง u และ v

7. ให vu = 2 และ w ต งฉากกบ v

ถา 4 5 2 , 2u i j k w i j k และ kcjbiav โดยท 3 ba

จงหา v

8. ให 1,0,1u

จงหาโคไซนแสดงทศทางเทยบแกน X แกน Y และแกน Z แลวพจารณาวา u ทามมกองศา เมอ

เทยบกบแกนท ง 3 แกน

9. ให 5,10 vu และมมระหวาง u กบ v เปน 3

2 จงหา vu

10. ให kjivkjiu 22,23 จงหา uuuvv

11. จงพจารณาวา u ต งฉากกบ v หรอไม

11.1) u = [1,-2,3], v = [2,1,0]

๒๙

11.2) u = [1,-1,5], v = [2,1,4]

11.3) u = [2,-2,1], v = [3,-1,-8]

12. ให kcjiu 23

kjiv 42

จงหาคา c ททาให vu = 20

13. ให yxu ,,2 และ u ต งฉากกบ v และ u ต งฉากกบ w

โดย v = [2,-1,1], w = [-1,4,1] จงหา yx

๓๐ องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔

เรอง “เวคเตอรสามมต” ชนปท ๒



ศกษาและฝกทกษะเกยวกบการเขยนปรมาณเวกเตอร เวกเตอรทขนานกน เวกเตอรทเทากน นเสธ

ของเวกเตอร เวกเตอรศนย การบอกทศทางของเวกเตอร การบวกและการลบเวกเตอร การคณเวกเตอร

ดวยสเกลาร การใชเวกเตอรพสจนในทางเรขาคณต เวกเตอรในระบบพกดฉาก ขนาดของเวกเตอร เวกเตอร

หนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของเสนตรงบนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง

ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดง

ทศทาง ผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอร


๔. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทตา

๕. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๖. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร


๓. กาหนดขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน

๔. ประเมนความรเดมในเนอหาเวกเตอรหนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของเสนตรง

บนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ

เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง

๓.เชอมโยงองคความรเรองผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใช

เวกเตอร


๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนตรโกณมต โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก

๖. อาจารยให นตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง


สอนวนพธท ๑๗ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐


ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา นตท.ตองสามารถแกโจทยปญหาทอาจารยกาหนดให ๓ ขอขนไปจาก ๕

ขอ

๓๑ แหลงอางอง


๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวคเตอรสามมต


๓. ใบงาน

๔. แบบทดสอบเรองเวคเตอรสามมต


๑.ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย

๑. นตท.สามารถหาผลคณเชงเวกเตอร ไดอยางถกตอง

๒.นตท.สามารถหาพนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอรไดอยาง

ถกตอง

๒.ประเมนความรเดมในเรองเนอหาเวกเตอรหนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของ

เสนตรงบนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ

เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง

โดยใหโจทยปญหาดงน

ประเมนเรองเวคเตอรสามมต

๑. กาหนด O เปนจดกาเนด จงหา OA เมอ

1) A(2,7,5) 2) A(2,1,-9)

๒. จงหาเวกเตอร เมอกาหนดจดและ ดงน

1) A(0,2,9) , B(2,0,2)

2) A(-2,5,4) ,B(5,-3,1/4)

ประเมนเรองผลคณเชงสเกลาร

๓ จงหามมระหวางเวกเตอรสองเวกเตอรทกาหนดให

๓.๑ kiu 3 และ kiv 22

๓.๒ 0,4,2u และ 4,1,1 u

ประเมนเรองโคไซนแสดงทศทาง

๔. จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ

๓.เชอมโยงองคความรเรอง เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง

อาจารยสอนเชอมโยงเรองเวกเตอรในสามมต

๓๒ เวกเตอรในสามมต

บทนยาม กาหนดให x,y,z เปนจานวนจรง เรยก z,y,x วา เวกเตอรใน 3 มต หรอ เรยกสนๆ วา เวกเตอร

ในทางเรขาคณต เราแทนเวกเตอร z,y,x ดวยสวนของเสนตรง ทกาหนดทศทาง ซงมจดเรมตนทจด

O(0,0,0) และมจดสนสดท(x,y,z) (ดงรป(ก))

ถาสวนของเสนทระบทศทาง ซงมจดเรมตนท )z,y,x(P 1111 และจดสนสดท )z,y,x(P 2222

เวกเตอร 121212 ,, zzyyxx ซงแทนดวย 21PP หมายถง

(ดงรป(ข))

Z

P(x,y,z)

)z,y,x(P 1111

Y

X

(ก)

(ข)

OP = z,y,x 21PP = 121212 ,, zzyyxx

ตวอยางท ๓ กาหนด P(5,3,8) และ Q(6,2,4 ) จงหาเวกเตอร PQ

วธทา PQ = 84,32,56

= 4,1,1

อาจารยสอนเชอมโยงเรองผลคณเชงสเกลาร

ผลคณเชงสเกลาร

บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb

ผลคณเชงสเกลาร ระหวางa และ b คอ 332211 babababa

ba อานวาเวกเตอรเอดอตเวกเตอรบ หรออานสนๆ วา เอดอตบ

ตวอยางท ๑ กาหนดให 5,3,1u และ 2,4,0v จงหา vu

วธทา vu = 1(0)+3(4)+5(2)

= 22

)z,y,x(P 1111

)z,y,x(P 2222

๓๓

ตวอยางท ๒ ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v


49)8)(6()5)(2()3(3 vu

749)6()2(3 222 u

2798)8()5()3( 222 v

ดงนน 49 = 7( 27 ) cos

cos =2

1 ดงนน 45

อาจารยสอนเชอมโยงเรอง โคไซนแสดงทศทาง

โคไซนแสดงทศทาง

ในการกาหนดทศทางของเวกเตอร สามารถทาไดโดยมมทเวกเตอรดงกลาวทากบแกน X แกน Y และ

แกน Z

ให ,, เปนมมทเวกเตอร 321 ,, aaau ทากบแกน X แกน Y และ แกน Z

เรยก ,, วา มมแสดงทศทาง(direction angle)

เรยก cos,cos,cos วาไซนแสดงทศทาง (direction cosine)

บทนยาม โคไซนแสดงทศทาง(dierection cosine) ของเวกเตอร

321 ,, aaaa ซง 0a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ

คอจานวนสามจานวน ซงเรยงตามลาดบดงน aa

aa

aa 321 ,,

X

Z

Y

๓๔ ตวอยางท ๓ จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ วธทา

21020010)8(6 222 a

ดงนนโคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ คอ

210

6,

2108

,210

10 หรอ

253

,254

,2

1

บทนยาม

เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะม

ทศทางตรงกนขามกตอเมอโคไซนแสดงทศทาง เทยบกบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจานวนตรงขาม

กบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

๔.อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน

อาจารยสอนเรอง เวคเตอรสามมต ผลคณเชงสเกลารและโคไซนแสดงทศทางแบบประยกต โดยอาจารยอธบาย

วธการอยางละเอยด

๑.จงหาคาคงตว c ททาใหมมระหวาง jciu กบ jiv เทากบ 45 องศา

๒.จงหามมระหวางเวกเตอรสองเวกเตอรทกาหนดให

๒.๑ kiu 3 และ kiv 22

๒.๒ 0,4,2u และ 4,1,1 u

๓. เครองบนอยหางจากสนามบนทางทศตะวนออก 5 กโลเมตร ทางทศใต 4 กโลเมตร และอยเหนอ

พนดน 6 กโลเมตร จงหาโคไซนแสดงทศทางของเครองบนลาน

สนามบ

ใต

เหนอ

ออก

๓๕ ๕.อาจารยสอนเนอหา ผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอร

เนอหา

ผลคณเชงเวกเตอร

บทนยาม ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอร 321 ,, aaaa และ เวกเตอร 321 ,, bbbb เขยน

แทนดวย bxa อานวา เอครอสบ หมายถง เวกเตอรซงนยามดงน

kbbaa

jbbaa

ibbaa

bxa21

21

31

31

32

32

หมายเหต ๑. ในทน 323232

32 abbabbaa

คอดเทอรมนนต

๒.เพอความสะดวกเราอาจเขยนสตรสาหรบเวกเตอร โดยอาศยรปดเทอรมนนตดงน

321

321

bbbaaakji

bxa

ใหสงเกตวา สวนทนาหนา I หาไดโดยการปดแถวและหลกทม ทเหลอคอ สวนทนาหนา ดง

รป

321

321

bbbaaakji

การหาสวนทนาหนา j และ k กทาเชนเดยวกน

ทฤษฎบท ใหa ,b และc เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต k เปน เปนจานวนจรง

๑. bxa )( axb

๒. )()()( cxbcxacxba

๓. )()()( cxabxacbxa

๔. )()( bxakbkxa

๕. 0axa

๖. )()( bxakbxak

๗. jixkikxjkjxi ,,

๘. cbxacxaa )()(

๓๖

h

๙.ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa จะไดวา sinbabxa

เมอ เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 และ

nbabxa )sin( โดย n เปนเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ a และb

๑๐.ให bxa เปนเวกเตอรในสามมต ซงไมใชเวกเตอรศนย และไมขนานกน จะไดวา bxa ตง

ฉากกบa และb

๑๑. )()()( bacaxcbcxba

ตวอยางท ๑ ให 2,1,0a และ 3,1,1 b จงหา bxa

วธทา จาก kbbaa

jbbaa

ibbaa

bxa21

21

31

31

32

32

kji11

103120

3121

kji ))1(1)1(0())2(1)3(0()2)1()3(1(

kji 25

ความหมายทางเรขาคณต

๑. พนทของรปสเหลยมดานขนาน

พนทสเหลยมดานขนาน เทากบ ความยาวฐานxความสง

จากรป พนทสเหลยมดานขนาน = u xh

= u sinv

= vxu

ดงนนพนทสเหลยมดานขนานทม u และ v เปนดานประชด เทากบ u sinv ซงเทากบ vxu

v

u

๓๗

u

r

h

๒.ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน

จากรป h เปนความยาวของเสนตงฉากทลากจากจดสนสดของ u มายงระนาบทกาหนดดวย v และ

r ดงนน h = cosu

และ rxv เปนพนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประกอบมมเปน v และ r

ดงนนปรมาตรของรปสเหลยมดานขนานทรงตน = cosu rxv

= cosrxvu

= )( rxvu

ตวอยางท ๒ จงหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน ABCD เมอ kjiBA 32

และ

jiDA 35

วธทา

iDxABA0313

j0512

+ k35

32

= kji 2153

195475441259 DxABA

ดงนนพนทรปสเหลยมดานขนาน ABCD เทากบ 195 ตารางหนวย

ตวอยางท ๓

กาหนด jiu , kjv และ kir

จงหาปรมาตรรปสเหลยมดานขนานทรงตน

วธทา ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนเทากบ )( rxvu

v

๓๘

101110kji

rxv

= i1011

j1110

k0110

= kjèi )10()10()01(

= kjèi

)( rxvu = )()( kjiji

= 2011)1)(0()1)(1()1)(1(

ดงนนปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนคอ 2 ลกบาศกหนวย

กจกรรมการเรยนการสอน

ขนนา

อาจารยชแจงจดประสงคการเรยนรและทบทวนความรเดมโดยใชคาถาม นตท.เกยวกบการหาผลคณ

ของเวกเตอรดวยสเกลารวาทาไดอยางไร หากเราตองการหาผลคณเชงสเกลารระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรจะทา

ไดอยางไร

ขนสอน

๑.อาจารยถามถงการคณในเวกเตอรท นตท.ไดเรยนมาวามอะไรบาง (การคณเวกเตอรดวย สเกลาร ,

ผลคณเชงสเกลาร) แลวการคณระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรไดเรยนแลวหรอยง

๒.อาจารยบอก นตท.วา นอกจากคาตอบท นตท.ตอบมายงมผลคณอกแบบหนงเรยกวา ผลคณเชง

เวกเตอร แลวอาจารยใหนยามเกยวกบการหาผลคณเชงเวกเตอร โดยเชอมโยงกบการหาดเทอรมแนนตของ

เมตรกซ

๓.อาจารยยกตวยางท ๑ ให นตท.ลองทา แลวอาจารยเฉลยคาตอบพรอมกบการอธบายให นตท.เขาใจ

๔.อาจารยกลาวถงวาเราสามารถนาความรเรองผลคณเชงเวกเตอรไปประยกตใชในการหาพนทและ

ปรมาตรของสเหลยมดานขนานได แลวอาจารยกอธบายการประยกตใชผลคณเชงเวกเตอร

ขนสรป

อาจารยให นตท.ชวยกนสรปเนอหาทเรยนรวมกนอกครงโดยอาจารยอาจจะใชคาถามกระตน แลวให

นตท.ทาใบงาน สงทายคาบ

๓๙ ๖.แบบฝกหด ดงน

อาจารยทดสอบโดยให นตท.ทาแบบฝกหด

๑.ให kjciu 32 และ kjiv 423 จงหาคา c ททาให u และv ตงฉากกน

๒.ให 1,, yxu โดยท ตงฉากกบ 1,1,3 และตงฉากกบ 2,2,3

แลว x2-yมคาเทาใด

๓.จงหาพนทของรปสเหลยมดานขนานโดยม u และv เปนดานประชด

1. ให kju 3 และ kiv 53

2. ให kjiu 22 และ jiv 2

๔๐


เรอง “เวกเตอรในสามมต” ชนปท ๒



เวกเตอรในสามมต ศกษาบทนยาม หาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกน และทศตรงขามกน


๗. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า

๘. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๙. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร


๕. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน

๖. ประเมนความรเดมในเนอหาเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร

๓. เชอมโยงองคความรเรองเวกเตอรในสามมต กบการแกโจทยปญหา


๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอรในสามมต โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก

๖. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง


ทาการสอนวนพธท ๓ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น





๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวกเตอรในสามมต


๕. ใบงาน

๖. แบบทดสอบเรองเวกเตอรในสามมต



๑. นตท. สามารถบอกนยามของเวกเตอรหนงหนวยได

๒. นตท. สามารถหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกน และทศตรงขามกนได

๓. นตท. สามารถแกปญหาโจทยประยกตเวกเตอรหนงหนวยได

๔๑

๒. ประเมนความรเดมในเรองเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร

๑. ให w เปนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (-1 , -3, 2) และจดสนสดอยทจด (-7, 5, 0)

จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนขนานกบเวกเตอร w หรอไม

๑.๑) 1,4,3 u

๑.๒) 4,16,12v

๑.๓)

32,

38,2s

๒. ให kjvkjiu 32,3 จงหา

๒.๑) ขนาดของ u และขนาดของ v

๒.๒) ขนาดของ vu 2

๓. เชอมโยงองคความรเรองเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร

๑. เวกเตอรทขนานกน

ให u และ v เปนเวกเตอรใด ๆ ทไมเทากบเวกเตอรศนย u ขนานกบ v กตอเมอมจ านวนจรง

k ทไมเปนศนยททาให vku

ถา k > 0 จะไดวา u มทศทางเดยวกบ v

ถา k < 0 จะไดวา u มทศทางตรงขามกบ v

๒. การหาขนาดเวกเตอร

ก าหนด a = 321 ,, aaa ขนาดของ a เขยนแทนดวย a

หมายถง 23

22

21 aaa

ตวอยาง จงหาขนาดของเวกเตอร 2,5,3a

วธทา ขนาดของ 222 253 a = 6


การหาเวกเตอรหนงหนวย

๑. ใหเรมตนดวยการหาขนาดของเวกเตอรทโจทยก าหนดโดยใชสตร

ก าหนด a = 321 ,, aaa , a = 23

22

21 aaa

๔๒

๒. หาเวกเตอรหนงหนวยโดยใชสตร

ให 32 ,, aaau

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ uu

๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอรในสามมตโดยมแผนการสอนดงน

เนอหา

เวกเตอรหนงหนวยของ u

บทนยาม เรยกเวกเตอรมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนงหนวย (unit vecter)

ให 32 ,, aaau เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ uu

ขอตกลง แทนสญลกษณของเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน ดงน

i0,0,1 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน x

j0,1,0 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน y

k1,0,0 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน z

เรยก 0,0,0 วาเวกเตอรศนย เขยนแทนดวย 0

หมายเหต ให 321 ,, aaau เปนเวกเตอรใด ๆ สามารถเขยนแทนดวย u ไดอกแบบ

คอ kajaiau 321

ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ kjiu 22

วธทา เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu

กระบวนการจดการเรยนร

กจกรรมนาสการเรยน

1. ขนสรางความสนใจ ( 10 นาท)

1.1 ใหนตท. พจารณาขนาดของเวคเตอรในสามมต

๔๓ 1.2 ใหนตท. รวมกนอภปรายวาขนาดของเวคเตอรในสามมต เปนอยางไร

1.3 ใหนตท. รวมกนต งค าถามเกยวกบสงทตองการร จากเนอหาทเกยวกบเรองขนาดของ

เวคเตอรในสามมต

กจกรรมพฒนาการเรยนร

2. ขนสารวจและคนหา ( 30 นาท)

2.1 แบงนตท. เปนกลมละ 5 คน

2.2 ใหนตท. วเคราะหการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต

3. ขนอธบายและลงขอสรป ( 20 นาท)

3.1 นตท. แตละกลมนาเสนอการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต

3.2 ครต งค าถามวา

- นตท. แตละกลมไดผลการศกษาเหมอนกนหรอตางกนอยางไร เพราะเหตใด

3.3 นตท. ท งหมดรวมกนสรปผลการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต

4. ขนขยายความร ( 30 นาท)

4.1 ใหนตท. รวมกนทาแบบฝกหดการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมตเพมเตม

4.2 ใหนตท. แตละกลมอภปรายถงการนาเวกเตอรหนงหนวยในสามมตไปใชประโยชน

5. ขนประเมนผล ( 30 นาท)

5.1 ใหนตท. ทบทวนคาตอบในใบงาน

5.2 ใหนตท. แตละคนย อนกลบไปอาน สงทตองการร แลวตรวจสอบวาไดเรยนร

ครบถวนหรอไมเพยงใด

5.3 ครใหคะแนนตามผลการเรยนร


2. แบบเรยนคณตศาสตร




2. ตรวจแบบฝกหดจากใน

แบบเรยน

1. นตท. สามารถตอบคาถามไดไมนอยกวารอยละ 75

2. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนได

คะแนนไมนอยกวารอยละ 75

๔๔



๑. ก าหนดให = 4i – 3j + 5k และ Q(3, -1, 2) จงหาจด P

๒. ก าหนดให kbjiau 12

kajcIbv 223

ถา vu 2 แลว จงหา a, b, c

๓. จงแสดงวาจด A(4,7,-6),B(2,1,0),C(1,-2,3) อยบนแนวเสนตรงเดยวกนหรอไม

แบบฝกหดท ๒

๑. จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u และทศทางตรงขามกบ u เมอกาหนดให

kjiu 332

๒. ให kju 34 และ 10 8 5v i j k จงหาเวกเตอรทมขนาดเทากบ v แตมทศทาบงเดยวกบ

u

๓. จงหาเวกเตอร u ซงมทศทางตรงขามกบ v และยาวเปนสองเทาของ v เมอ kjiv 22

๔. จงหาเวกเตอร b โดยท b = 3 และ b ขนานกบ 2,1,2 a แตมทศทางตรงขามกน

๔๕


เรอง “ฟงกชนลอการทม” ชนปท ๓



ลอการทม ศกษาบทนยาม สมบต การกลบสมการลอการทมเปนสมการเอกซโพเนนเชยล และ

สามารถนาคณสมบตมาบางขอของลอการทมไปใชทาโจทย


๑๐. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า

๑๑. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๑๒. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร


๗. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน

๘. ประเมนความรเดมในเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนลอการทมกบการแกโจทยปญหา


๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนลอการทมโดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก



ทาการสอนวนพธท ๑๗ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น





๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม


๗. ใบงาน

๘. แบบทดสอบเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม



๑. นตท. สามารถบอกนยามของฟงกชนลอการทมได

๒. นตท. สามารถบอกสมบตของฟงกชนลอการทมได

๓. นตท. สามารถกลบสมการลอการทมเปนสมการเอกซโพเนนเชยลได

๔. นตท. สามารถนาคณสมบตมาบางขอของลอการทมไปใชทาโจทยได

๔๖

๒. ประเมนความรเดมในเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

ทาแบบทดสอบเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

จงหาคาตอบของสมการตอไปน

1. x 2x 13 3

2. x 15 1

3. x5 25

4. x(x 1)2 4

5. x(x 4) 43 3

6. x x 1 1 2x3 9 27

7. 2x 1 x 3x5 25 5

เฉลย

1. -1 2. 1 3. -2 4. -1 , 2 5. -2

6. 1 7. 13

๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

ทาการยกตวอยางฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ

y = a x ฟงกชนน เปนการสมมตคา X แลวหาคา y ออกมาคอ a ยกกาลง x แลวไดคา

เปนเทาไร เชน y = 2 x

ให x = 0 y = 1

x = 1 y = 2

x = 1 y = 21

แตถากลบกนคอทราบคาy ตองการหาวา a ยกกาลงจงจะไดคาน เชน

32 = 2 x X = 5

0.001 = 10 x X = -3

2 = ( 2 ) x X = 2


๑. การแปลงฟงกชนจากเอกซโปเนนเชยลเปนลอการทม

ในการเรมแปลงฟงกชนจะตองเขาใจนยามของฟงกชนท งสองกอน คอ

ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลจะอยในรปของ xy a เมอ a คอ ฐาน เชน 29 3 อานวา 9 เทากบ 3

ยกกาลง 2 โดยม 3 เปนฐาน และ 2 เปนเลขช ก าลง

๔๗

5log 25 2 225 5

ฟงกชนลอการทมจะอยในรปของ ay log x เมอ a คอ ฐาน เชน 3log 9 2 อานวา ลอก 9 ฐาน

3 เทากบ 2 ซงคา 3log 9 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

เนองจากฟงกชนท งสองเปนฟงกชนผกผนกน ใหเราสงเกตวาฟงกชนท งสองจะมฐานเหมอนกน

คอ ฐาน a ดงน นการแปลงฟงกชนใหทาดงน

๑. ถาตองการแปลง 29 3 อยในรปฟงกชนลอการทม ใหทาการใส log หนาตวทไมมเลขช

ก าลง คอ 9 จะได log 9

๒. เนองจาก 23 ม 3 เปนฐาน ดงน นฟงกชนลอการทมกมฐานเปน 3 เหมอนกน จะได 3log 9

๓. จากน น 3log 9 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล น นคอ 2

๔. จะได 3log 9 2

๒. การแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล

การแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล จะมลกษณะคลายกบการแปลงฟงกชนจาก

เอกซโปเนนเชยลเปนลอการทม แตเปนไปในลกษณะทาย อนกลบ เชน 5log 25 2 โดยมข นตอน ดงน

๑. เนองจาก 5log 25 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงน น ฟงกชน

เอกซโปเนนเชยลจะมเลขช ก าลงเทากบ 2

๒. เนองจาก 5log 25 มฐานเทากบ 5 ดงนน ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลจะมฐานเทากบ 5 ดวย

๓. จะไดฟงกชนเอกซโปเนนเชยล คอ 225 5

๔. แผนภาพแสดงการแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล

๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนลอการทมโดยมแผนการสอนดงน

๑. ฟงกชนลอการทม

เนอหา

ฟงกชนลอการทม ( LOGARITHMIC FUNCTION )

5 เปนฐาน

5log 25 = เลขช

นา 5 มาเขยนเปนฐานและ

นา 2 มาเขยนเปนเลขช

นา 5 มาใสลาง 2

๔๘

เนองจากฟงกชนเอกซโพเนนเชยล { (x,y) RxR / y = ax , a > 0 ,a 1 } เปนฟงกชน 1-1

จาก R ไปท วถง R+ ดงน นตวผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลจงเปนฟงกชน จาก R+ ไป R

และฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ

{(x,y) R+R / x = ay , a > 0 , a 1 }

จาก x = ay สามารถเขยนใหอยในรป y = f(x) ได โดยกาหนดให

y = logax ซงอานวา “ ลอการทมเอกซฐานเอ” หรอ “ ลอกเอกซฐานเอ” ดงน นฟงกชนผกผนของ

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลจงเขยนใหมไดเปน { (x,y)R+x R / y = logax , a > 0 , a 1 }

นยาม ฟงกชนลอการทม คอ { (x,y) R+ R / y = logax , a > 0 , a 1 }ซงเปนฟงกชน

ผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (x,y) R+x R / y = logax , a > 0 , a 1 }

ตวอยางการเขยนสมการของจานวนจรงทเขยนในรปเลขยกกาลงเปนการเขยนในรปลอการทม

ตวอยาง

๑. 9 = 32 เขยนในรปลอการทมไดเปน 2 = log 3 9

๒. 1000 = 103 เขยนในรปลอการทมไดเปน 3 = log 10 1000

๓. 5 =

1

225 เขยนในรปลอการทมไดเปน 1

2 = log 25 5

กจกรรม

ขนนา

1. ครนาดวยเรองสมการเอกซโพเนนเชยล คอ

y = a x ฟงกชนน เปนการสมมตคา X แลวหาคา y ออกมาคอ a ยกกาลง x แลวไดคาเปน

เทาไร เชน y = 2 x

ให x = 0 y = 1

x = 1 y = 2

x = 1 y = 21

แตถากลบกนคอทราบคาy ตองการหาวา a ยกกาลงจงจะไดคาน เชน

32 = 2 x X = 5

0.001 = 10 x X = -3

2 = ( 2 ) x X = 2

ขนสอน

๑. ครใหนยามของลอการทม

๒. เนองจากการเขยนลอการทมของ x ฐาน a ยาว เราจงใชสญลกษณ log a x

๓. เพอดความเขาใจครใหนกเรยนชวยกนทาประโยคเอกซโพเซยลใหเปนประโยคตาม

ตวอยางท 1

๔. ใหนกเรยนชวยกนหาคาโดยใชนยามของ ลอการทม

๔๙

๕. เพอทดสอบความเขาใจจงลองใหนกเรยนกลบประโยคลอการทมใหเปนประโยคเอกซ

โพเนนเชยลตามตวอยางท 2

๖. เมอนกเรยนพอจะเขาใจลอการทมบางแลวลองใหนกเรยนนยามฟงกชนลอการทม โดย

ครแนะนาวา ฟงกชนทกลบกนกบฟงกชนเอกซโพเซยลเนนเชยล

ขนสรป

นกเรยนชวยกนสรปความหมายของสมการน นลกษณะของสมการลอการทมตางๆ


แบบเรยนคณตศาสตร



๑. การเรยกถามตอบ

๒. ตรวจแบบฝกหดจากใน


๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข น

ไป

๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดท ๑ ในแบบเรยน

เสรมไดถกตองมากกวา ๑๐ ขอ จาก ๑๔ ขอ

๒. สมบตลอการทม

เนอหา

สมบตทสาคญของลอการทมมดงตอไปน

เมอ a , b , M , N เปนจานวนจรงบวกท a 1 และ k เปนจานวนจรง

1 . log a MN = log a M + log a N

2 . log a NM

= log a M - log a N

3 . log a Mk = klog a M

4 . log a a = 1

5 . log a 1 = 0

6 . Mkalog = k1

log a M

7 . log b a = balog

1

8 . Maa log

= M *

9 . log a M = aM

b

b

loglog

๕๐

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

1. log 7 3 7 = log 7

137 =

31

log 7 7 = 31

2. 16log21 = 16log

21 =

4

21 2

1log

=

21log4

21 = -4

3. log 10 100 =………………………………………………………………………

4. log 10 0.1 =………………………………………………………………………

5. log a a4 = ………………………………………………………………………

6. 32log21 =……………………………………………………………………

7.

21log 22 = …………………………………………………………………

8. 3 52 21632log = …………………………………………………………

เฉลย

3. 2

4. -1

5. 4

6. -5

7. 23

8. 165

๕๑

กจกรรม

ขนนา

๑. ใหนกเรยนชวยกนสรปคณสมบตของลอการทมทเรยนกนไปกอนหนาน

ขนสอน

๑. ครเขยนบทแทรก log g A 1 A 2 …A n = log a A 1 + log a A 2 +…+ log a An

โดยแทนตว A i เปน M ทกตว

๒. สมนกเรยนชวยหาคาตอบในการข นสอนตวอยางท 1

๓. ครสอนคณสมบต 2 – 9 พรอมท งยกตวอยางโดยเฉพาะคณสมบตท 8 บรรทดททา

เครองหมาย คอการtake log ( เทค log ฐาน b ไปท งสองขาง ) และยกตวอยางท 1 ประกอบ

๔. ครใหสงเกตกฎการเปลยนฐานลอการทม พยายามทาฐานทางซายของเครองหมายเทากบโดย

ใชคณสมบตของ log ตางๆทเรยนไปแลว

๕. ครเขยนตวอยางท 2- 3 พรอมท งสมนกเรยนทาโจทยโดยเรยกทละคนทาทละบรรทด

ขนสรป

นกเรยนชวยกนสรปคณสมบตของลอการทมทเรยนไปโดยเรยกถามทละคน


แบบเรยนคณตศาสตร เรองลอการทม






๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข นไป

๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดท ๒ ในแบบเรยน

เสรมไดถกตองมากกวา ๓๐ ขอ จาก ๓๖ ขอ

๕๒



1. จงเขยนสมการตอไปนในรปลอการทม

1.1 52 = 25 จะไดวา ………………………………

1.2 31

27 = 3 จะไดวา ………………………………

1.3 2

21

=

41 จะไดวา ………………………………

1.4 10-5 = 0.00001 จะไดวา ………………………………

1.5 5

21

= 32 จะไดวา ………………………………

1.6 3

32

=

827 จะไดวา ………………………………

1.7 3

101

= 1,000 จะไดวา ………………………………

1.8 23

4

= 0.125 จะไดวา ………………………………

2. จงเขยนสมการตอไปนเปนสมการในรปเลขยกกาลง

2.1 log 10 100 = 2 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….

2.2 log 2 32 = 5 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………

2.3 log 7 1 = 0 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….

2.4 log 4

641

= -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….

2.5 log 10 0.001 = -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได ……………………….

2.6 log 3 3 9 = 32 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….

๕๓

เฉลยแบบฝกหดท ๑

1.1 52 = 25 จะไดวา 52 log 25

1.2 31

27 = 3 จะไดวา 271 log 33

1.3 2

21

=

41 จะไดวา 1

2

12 log4

1.4 10-5 = 0.00001 จะไดวา 105 log 0.00001

1.5 5

21

= 32 จะไดวา 1

2

5 log 32

1.6 3

32

=

827 จะไดวา 2

3

273 log8

1.7 3

101

= 1,000 จะไดวา 103 log 1000

1.8 23

4

= 0.125 จะไดวา 43 log 0.1252

2.1 log 10 100 = 2 เขยนสมการเลขยกกาลงได 210 100



2.4 log 4

641

= -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได 3 1464

2.5 log 10 0.001 = -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได 310 0.001

2.6 log 3 3 9 = 32 เขยนสมการเลขยกกาลงได

2333 9

๕๔


1. จงหาคาในแตละขอตอไปน

1.1 log 5 1 = ………………………………..

1.2 log 5 5 = ……………………………….

1.3 log 3 81 = ……………………………….

1.4 log 2 3 2 = ……………………………….

1.5 9log31 = ……………………………….

1.6 64log 22 = ……………………………….

1.7 6log1010 = ……………………………….

1.8 5log2 1313 = ……………………………….

1.9 5log1 28 = ……………………………….

1.10 4log93 = ……………………………….

1.11 10log3

101

= ……………………………….

1.12 log 10 log 3 log 5 125 = ……………………………….

1.13 8log3log 55 38 = ……………………………….

1.14 log 2 3 • log 3 4 • log 4 5 … log 127 128

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

1.15 16log32log21log

81log

81

214 z

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

1.16 4log15log

64log27log125log

77

777

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

๕๕

1.17 log 4 ( log 10 81 ) – log 4 ( log 10 3 )

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….……………….........................................................................................

1.18 abcabcabc cba log

1log

1log

1 เมอ a , b , c เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….……........................................................................................................

1.19 120log

1120log

1120log

1120log

1

5432

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….…….......................................................................................................

1.20 ....222log 2

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ………………….…….........................................................................................

๕๖

1.21

71log2 7

7

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….………………….......................................................................................

1.22 7log1 22

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….………………….......................................................................................

1.23 3log2log2log1 435 16325

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….………………….......................................................................................

1.24 log 10 2 = 0.3010 จงหาคาของ log 10

…………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….………………….......................................................................................

๕๗ 1.25 log 2 a = 3 จงหาคาของ log a

= …………………………………………………………………………………………

= …………………………………………………………………………………………

= ……….………………….......................................................................................

2. กาหนดให 2log 2 a – 3log 2 b = 4 และ 3log 2 a – 4log 2 b = 6

จงหาคา 21

22 log ba ab

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.………………………………......................................................................................

3. จงหาคาของ log atan 10+log atan 20+log atan 30+…+log atan 890

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.………………………………......................................................................................

………………………………………………………………………………………………

4. จงหาคาของ x ในแตละขอตอไปน

4.1 log 5 125 = x

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

๕๘ 4.2 log x 8 = 3

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

4.3 log x 625 = 4

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

4.4 log x (12527

) = - 32

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

4.5 log 32 x = 52

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

๕๙

4.6 log 2 x = 23

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

4.7 x53log = -2

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

4.8 log 4 3 = -3

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

.……………………………….......................................................................................

5. ถา (xy)n -1 = a , (xy)m -1 = b และ (xy)k -1 = c แลว จงหา

(m – k)log 10 a + (k – n)log 10 b + (n – m )log 10 c

………………………………………………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

…………………………………….…………………………………………………………

๖๐

เฉลยแบบฝกหดท ๒

1.1 0 1.2 1 1.3 4 1.4 13

1.5 -2 1.6 4 1.7 6 1.8 25

1.9 1000 1.10 2 1.11 13

1.12 0

1.13 0 1.14 7 1.15 16

1.16 3

1.17 1 1.18 1 1.19 1 1.20 1

1.21 149

1.22 27

1.23 94

1.24 1.7090

1.25 4 2 4 3 0 4.1 3

4.2 2 4.3 5 4.4 925

4.5 14

4.6 1

2 2 4.7

259

4.8 3

13

5 0

๖๑


เรอง “เลขยกกาลง” ชนปท ๓

กองวชาคณตศาสตร สวน+การศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร


เลขยกกาลง เพอใหสามารถบวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลงโดยการทาใหแตละจานวนอยในรปเลขยก

กาลงทมฐานเทากน หรอ เลขชก าลงเทากน และแกสมการเลขยกกาลงได


๑๓. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนตา

๑๔. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร ใหกบ นตท.

๑๕. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร ใหกบ นตท.


๙. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน

๑๐. ประเมนความรเดมในเนอหาเลขยกกาลง

๑๑. เชอมโยงองคความรเรองเลขยกกาลงกบการแกสมการ

๑๒. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด

๑๓. อาจารยสอนเนอหาเลขยกกาลง โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก

๑๔. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง


ทาการสอนวนพฤหสบดท ๓ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น


ประเมนองคความรโดยการทดสอบ โดยใชโจทยปญหา แบบอตนย


๙. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม

๑๐. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม


๑. ใบงานเรอง “เลขยกกาลง”

๒. แบบทดสอบเรอง “เลขยกกาลง”

รายละเอยด หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน


๑. นตท. สามารถบวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลงโดยการทาใหแตละจานวนอยในรปเลขยกกาลงทม

ฐานเทากน หรอ เลขช ก าลงเทากน และหาผลลพธได

๒. นตท. สามารถบวก ลบ คณ หาร จ านวนทมเครองหมายกรณฑได

๓. นตท. สามารถแกสมการได

๖๒

๒. ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง

เนองจากจาเปนจะตองใชความรจากเรองเลขยกกาลง ซง นตท. ไดเรยนมาแลวต งแตมธยมตน นตท.

โดยมเนอหาเกยวกบเลขยกกาลงซงมเลขช ก าลงเปนจานวนเตมบวกมา ดงน นกอนทจะกลาวถงเลขยกกาลงซง

มเลขช ก าลงเปนจานวนตรรกยะ (อยในรปเศษสวน)และจงจาเปนตองจะขอทบทวนสงท นตท. ไดเรยนมาแลว

พอสงเขป ดงน

เนอหา

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

นยาม n = a• a• a•…•a เมอ a ε R และ n ε I+

เรยก an วา เลขยกกาลง

เรยก a วา ฐานของเลขยกกาลง

เรยก n วา เลขช ก าลง

เชน 24 = 2• 2• 2•2

เรยก 24 วา เลขยกกาลง

เรยก 2 วา ฐานของเลขยกกาลง

เรยก 4 วา เลขช ก าลง

สมบตของเลขยกกาลง

ถา a , b เปนจานวนจรง โดยท a 0 , b 0 และ m , n เปนจานวนเตมแลว

1) am• an = am+n 2) m

m nn

a aa

3) (am)n = amn 4) (ab)n = anbn

5) n

ba

= n

n

ba

6) a0 = 1

7) a n = na1

; n เปนจานวนเตมบวก

หมายเหต 0 0 ไมมการนยาม

ตวอยางสมบตเลขยกกาลง

1) 23• 24 = 23+4 2) 5

5 44

2 22

3) (23)5 = a3x 5 4) (2x3)5 = 2535

5) 52

3

= 5

5

23

6) 20 = 1

7) 55

122

n ตว

4 ตว

๖๓

แบบทดสอบ ๒.๑


1) 2 33 4 2) 2 32 3

3) 5

2

33

4) 5

2

44

5) 2 3(5 ) 6) 2 3( 2 )

7) 3(2 3) 8) 5(4 3)

9) 32

5

10) 53

4

11) 010 12) 0( 5)

13) 212 14) 35

เฉลย

1) 2 33 4 576 2) 2 32 3 108

3) 5

2

3 273

4) 5

2

( 4) 64( 4)

5) 2 3(5 ) 15625 6) 2 3( 2 ) 64

7) 3(2 3) 216 8) 5 5(4 3) 12

9) 32 8

5 125

10) 53 243

4 1024

11) 010 1 12) 0( 5) 0

13) 2 112144

14) 3 15125

a. กจกรรม สาหรบ เพอการทบทวน

ขนนา

๑. ครแจงจดประสงคของการทบทวนในคร งน

ขนสอน

๑. ครบอกนยาม และสาธตการทาโจทยพรอมท งกระตนให นตท.คดโดยให นตท.ท งช น

พดสงทครก าลงจะเขยนบนกระดาน

๒. ครสาธตการทาโจทยตวอยางทขอท ๑ ถง ๗ พรอมท งกระตนให นตท.คดโดยให นตท.

ท งช น พดสงทครก าลงจะเขยนบนกระดาน

๖๔

ขนสรป

๓. ครลบโจทยบนกระดาน ครกระตนและประเมนผล นตท.โดยการสมถาม นตท.ขอละ ๒

นาย โดยในแตละขอครให นตท.ท งช นกลาวขอสรป ทาเชนน จนครบ ๗ ขอ


๑. แผนการสอนของคร ( แบบทดสอบ ๒.๑ )

๓. เชอมโยงองคความรเรองจานวนตรรกยะและการบวก ลบ คณ หารเศษสวน

๓.๑. จานวนตรรกยะ

จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทสามารถเขยนอยในรปเศษสวนได เชน 51

, 12

, 227

, 299

, 109

เปน

ตน

๓.๒. การบวกเศษสวน

a c ad bcb d bd

เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0

ข นตอนการบวกเศษสวน เชน 2 43 5

๑. หา ค.ร.น. ของ ตวสวน จะได ค.ร.น. ของ 3 กบ 5 คอ 15

๒. ทาใหสวนท งสองตวเทากน น นคอ 23

ใหทาสวนเปน 15 โดยการนา 55

มาคณ จะได 1015

และ 45



๓. นาเศษท งสองตวมาบวกกน จะได 10 12

15

๔. ดงน นผลลพธทได คอ 2215

ตวอยาง ๓.๒.๑ 2 4 2 5 4 33 5 3 5 5 3

10 1215 15

10 12

15

2215

๓.๓. การลบเศษสวน

a c ad bcb d bd

เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0

ข นตอนการลบเศษสวน เชน 2 43 5

๑. หา ค.ร.น. ของ ตวสวน จะได ค.ร.น. ของ 3 กบ 5 คอ 15

๒. ทาใหสวนท งสองตวเทากน น นคอ 23



๖๕

และ 45



๓. นาเศษท งสองตวมาบวกกน จะได 10 12

15


15

ตวอยาง ๓.๓.๑ 2 4 2 5 4 33 5 3 5 5 3

10 1215 15

10 12

15

2

15

๓.๔. การคณเศษสวน

a c acb d bd เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0

ข นตอนการคณเศษสวน เชน 2 43 5

๑. ใหนาตวเศษท งสองตวคณกน จะได 2 4 คอ 8

๒. ใหนาตวสวนท งสองตวคณกน จะได 3 5 คอ 15

๓. ดงน นผลลพธทได คอ 8

15

ตวอยาง ๓.๔.๑ 2 4 2 43 5 3 5

8

15

๓.๕. การหารเศษสวน

a c a db d b c เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , c , d 0

ข นตอนการคณเศษสวน เชน 2 43 5

๑. ใหทาการกลบเศษเปนสวน และ กลบสวนเปนเศษ ของตวหาร เชน 45

เปน 54

๒. จากน นใหนาตวเศษท งสองตวคณกน จะได 2 5 คอ 10

๓. ใหนาตวสวนทงสองตวคณกน จะได 3 4 คอ 12


ซงทาเปนเศษสวนอยางต าได คอ 56

๖๖

ตวอยาง ๓.๕.๑ 2 4 2 53 5 3 4

2 53 4

1012

56

๔. กจกรรม สาหรบ เนอหาในสวนท เชอมโยง มดงน

ขนนา

๑. ครถามคาถามนา เชน “การบวก ลบ คณ หรอหารเศษสวน มสงทตองคานงถงเปนพเศษม

หรอไม และถามสงน นคออะไร ”

๒. ครกระตน นตท.โดยสมถาม นตท.จานวน ๕ – ๖ นาย

๓. ครแจงจดประสงคของการเรยน ดวยการเขยนบนกระดาน

ขนสอน

๑. ครใชวธสาธตเรองการบวก เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๑.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม

โดยให นตท.ท งช นเรยน พดข นตอนตางๆของการทาโจทย

๒. ครใชวธสาธตเรองการลบ เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๒.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม


๓. ครใชวธสาธตเรองการคณเศษสวน โดยใชโจทย ๓.๓.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม


๔. ครใชวธสาธตเรองการหาร เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๔.๑ และกระตนใหนตท. คดตาม


ขนสรป

๑. ครกระตน นตท. สรปเรองการบวก การลบ การคณ และการหาร เศษสวน โดยให นตท.

ท งช นเรยนพดขอสรปท นตท. เขาใจ (ครอาจปรบแกเพอให นตท.เขาใจอยางถกตอง)

๒. ครเขยนขอสรปตางๆ บนกระดาน


เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร

๕. อาจารยสอนเนอหาเลขยกกาลง โดยมแผนการสอนดงน

๑. จานวนจรงในรปกรณฑ

เนอหา

๖๗

นยาม ก าหนดให x เปนจานวนจรงทมรากท n จ านวนจรง y จะเปนคาหลกของรากท n ของ

x กตอเมอ

1. y เปนรากท n ของ x

2. xy 0

แทนคาหลกของรากท n ของ x ดวย n x

ขอสงเกต 1. กรณ n เปนจานวนค x เปนจานวนจรงใดๆ จะไดวา n x จะเปนจานวนจรง

ใดๆ

2. กรณ n เปนจานวนค , x เปนจานวนจรงใด ๆ

2.1 x > 0 จะไดวา n x เปนจานวนจรงบวก

2.2 x < 0 จะไดวา n x หาคาไมได

2.3 x = 0 จะไดวา n x = 0

ขอตกลง ก าหนดให n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

a เปนจานวนจรงใดๆ และ a มรากท n

1. รากท n ของ a เขยนแทนดวย a n1

น นคอ

n a = n1

a

2. a n1

= n a1

สมบตเกยวกบรากท n

ก าหนด a, b เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 โดย n a และ n b เปนจานวนใด ๆ

1. nnn abba

2. nn

n

ba

ba , b 0

3. a nm

= n ma

4. nn a = a

a , n เปนจานวนค

5. n na =

a , n เปนจานวนค

6. ถา m เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1

6.1 mnm n aa

6.2 nmn m aa เมอ m เปนจานวนค

6.3 nmn m aa เมอ m เปนจานวนค , a 0

7. baabba 2 เมอ a 0 , b 0

๖๘

8. 2a b ab a b เมอ a 0 , b 0

9. รากทสองของ a + b + ab2 คอ ba เมอ a 0 , b 0

10. รากทสองของ a + b - ab2 คอ ba เมอ a 0 , b 0


1. จงหาคาของ

1.1 804520

1.2 31

311

2717147

1.3 359

184

73

152

1.4 ba50bab8aba183333

1.5 2x 2 2 23 4 9x a x a x x a , x 0

2. จงทาใหตวสวนไมตดกรณฑ

2.1 25

25

2.2 523

1


3.1 13

13

13

13

3.2 25

32

13

25

3.3 22

22

22

22

yxx

yyx

yyx

xyx


4.1 1027

4.2 รากท 2 ของ 1027

4.3 2029

4.4 รากท 2 ของ 2029

4.5 288

4.6 รากท 2 ของ 288

๖๙

4.7 รากท 2 ของ 6 4 2

4.8 รากท 2 ของ 3x- 1 + 2x3x22 2

4.9 312211

กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง – นยาม รากท n

ขนนา

1. ครแจงจดประสงคการเรยนร โดยเขยนบนกระดาน

2. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “ทาไมเราตองสนใจคาของ n และ x ของนพจน n x ?? ”

3. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “เราสามารถใชรปแบบอนไดอกหรอไม นอกจากวธ

จด รป mnnm 2 ”

ขนสอน

1. ครอธบายวธแกปญหา โจทยตวอยางท1 - 4 และกระตนให นตท.บอกสงทครจะเขยน

บนกระดาน และพรอมๆกบอธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน

2. ครยกตวอยาง 4 444

)5()5( และ 4

444

)5()5( พรอมสมถาม นตท.จานวน ๗

– ๘ นาย วา เหมอนหรอตางกน และอยางไร

3. ครสมถาม นตท.จานวน ๗ – ๘ นาย วา ขอควรคานงถงคออะไร

4. ครเขยนนยาม “รากท n ” บนกระดาน

5. ครยกตวอยาง

ขนสรป

1. ครใหนกเรยนชวยกนบอกขอสรป สรปเนอหา นยาม รากท n

2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร ง



กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง – คณสมบต ของ รากท n

ขนนา

1. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “นตท.คดวาโจทยขอน 804520 สามารถ

จดเปนรปแบบ ทงายกวาน ไดหรอไม หากทาไดใชวธใด??? ”

ขนสอน

1. ครยกโจทยตวอยางท1.1 ,1.4 โดยแนะให นตท.ใชคณสมบตจากเรองเลขยกกาลงมา

แกปญหาโจทย

๗๐

2. ครกระตนนตท. ดวยการให นตท. บอกสงทครจะเขยนบนกระดาน และพรอมๆกบคร

อธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน

3. ครสม นตท. ๓ – ๕ นาย ออกมาทาขอทเหลอ บนกระดานดา จากน นครอธบายข นการทา

ของ นตท. ในแตละขอ

ขนสรป

1. ครใหนกเรยนชวยกนสรปเนอหา “คณสมบต ของ รากท n”

2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร งหนง



กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง - รากท 2 ของนพจน abba 2

ขนนา

1. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “เราสามารถใชรปแบบอนไดอกหรอไม นอกจากวธจด

รป mnnm 2 ทงายกวาวธน ??? ”

ขนสอน

1. ครยกโจทยตวอยางท4.1 ,4.2 และกระตนนตท. โดยให นตท. บอกสงทครจะเขยนบน

กระดาน และพรอมๆกบอธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน

2. ครสม นตท. ๓ – ๕ นาย ออกมาทาขอ 4.3 - 4.7 บนกระดานดา จากน นคร

อธบายข นการทาของ นตท. ในแตละขอ

ขนสรป

3. ครใหนกเรยนชวยกนสรปเนอหา เลขยกกาลง (รากท 2 ของนพจน )

4. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร งหนง

5. ครส งให นตท.ทาแบบฝกหด 1 สง





๑. ใชวธการเรยกใหตอบ

๒. ทาแบบฝกหด (แบบฝกหดท ๒)

๑. นตท. สามารถตอบคาถามผดไมเกน

รอยละ ๑๕ ( ๓ คน จากประมาณ ๒๐ คน )

๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา

รอยละ ๘๕ ( ๑๗ จาก ๒๐ ขอ)

๗๑

๒. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ

นยาม ก าหนดให x เปนจานวนจรงใดๆ และ m,n เปนจานวนเตมโดย หรม. ของ m และ

n มคาเทากบ 1 จะไดวา

xnm

= mnx )(

1

ตวอยาง

64 32

= (64 31

)2

45

3

= (4 5

1

)3 เปนตน

๓. การแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ

เนอหา

การแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ หลกการคอพยายามทาใหเครองหมายกรณฑหมด

ไป โดยทวไปมกนยมใชวธการยกกาลง ซงจะทาใหสมการทไดใหม ไมสมมลกบสมการเดม ทา

ใหไดค าตอบเกน ดงน นจะตองนาคาตอบมาตรวจสอบทกคร ง

ตวอยาง จงแกสมการ 2 7x = 3x

วธทา 2 7x = 3x

ยกกาลงสองท งสองขาง 4(x+7) = 9x2

4x+14 = 9x2

9x2- 4x – 14 = 0

(9x+14)(x-2) = 0

X = - 2

14 , 2

ตรวจคาตอบ ถา x = 2 ; 2 72 = 2(3) = 6

3(2) = 6

ดงน น x = 2 เปนคาตอบ

๗๒

ถา X = - 9

14 ;

2 79

14 = 2

9

6314

= 29

49

= 2(3

7)

= 3

14

และ 3(-9

14) = -

3

14

จะเหนวา 3

14

3

14

ดงน น x = - 9

14 ไมเปนคาตอบ

ตวอยาง จงหาคาตอบตอไปน

1. 1x12 = 7

2. 7 5x3 = 28

3. 2 x - 1 = 14 x

4. 11x5x = 16x

5. 8x3 3 - x = 2

6. x2 + 6 522 xx = 11+2x

7. 5x7x230x7x322 = x+5

8. 8 1 2 2x x = 7 4 5x x

๗๓

9. 2x

3x

= 13x3

5x3

10. 9x – 3x2 + 4 5x3x 2 = 11

กจกรรม การสอนเนอหาการแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ

ขนนา

1. ครแจงจดประสงคการเรยนร “เพอให นตท.สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบจานวนทตด

กรณฑได”

2. ครช ใหนกเรยนเหนวา “หวขอสวนใหญจะเปนการจดรปใหอยในรปอยางงาย หรอหาคา

ในรปแบบตางๆ ทมตวแปรเขามาเกยวของเหมอนกบเลขชก าลงทมท งการทาใหเปนรป

อยางงาย และการแกสมการเลขยกกาลง เชนกนกบเรองน ครอธบายวธการตางๆทใชใน

การแกสมการ

3. ครยกตวอยาง โจทย สมการ 7x = 5 และแสดงวธทาบนกระดาน พรอมท ง

กระตนให นตท.ท งช นบอกวธทาในแตละข นตอนดวย

4. ครยกตวอยาง โจทย สมการ xx และแสดงวธทาบนกระดาน พรอมท งกระตนให

นตท.ท งช นบอกวธทาในแตละข นตอนดวย โดยเนนทการตรวจคาตอบ

ขนสอน

1. ครยกตวอยาง สมการเสรดอยางงายๆ บนกระดาน

เชน 2x

22x

= 4

พรอมกบใหนกเรยนท งช นชวยกนหาคาตอบ โดยวธบอกคร

2. ครใหนกเรยนชวยกนสรปหลกงายๆในการแกสมการเสรด โดยการสมถาม นตท. ๒ –

๓ นาย

3. ครยกตวอยาง สมการเสรดแบบตอไป (ตวอยางท ๒)

เชน จงแกสมการ 2 7x = 3x

วธทา 2 7x = 3x

ยกกาลงสองท งสองขาง 4(x+7) = 9x2

4x+14 = 9x2

9x2- 4x – 14 = 0

(9x+14)(x-2) = 0

X = - 2

14 , 2

๗๔

ตรวจคาตอบ กรณ x = 2 ; 2 72 = 2(3) = 6

3(2) = 6

ดงน น x = 2 เปนคาตอบ

กรณ X = - 9

14 ;

2 79

14 = 2

9

6314

= 29

49

= 2(3

7)

= 3

14

และ 3(-9

14) = -

3

14

จะเหนวา 3

14

3

14

ดงน น x = - 9

14 ไมเปนคาตอบ

4. ครกระตน นตท.ท งช นเรยน ใหชวยกนบอกแตละข นตอน ระหวางทาโจทย

5. ครแสดงการตรวจคาตอบ และใหช ใหเหนผลลพธทไดจากการตรวจคาตอบ

6. ครยกตวอยางท 3 x2 + 6 522 xx = 11+2x และ ตวอยางท 4 .

5723073 22 xxxx = x+5 โดยสม เรยก นตท.ให นตท. แก

สมการโดยถามทละคนและตอบทละข นตอน

7. ครยกตวอยางท 5 8 1 2 2x x = 7 4 5x x จากน น

- แสดงการแกสมการ ดวยวธยกกาลงสองขาง และแสดงให นกเรยน เหนวาไดสมการท

ยงยากซบซอน ยากตอการแกสมการ

8. จากตวอยางท 5 ครซงช ใหนกเรยนด วา ถาเราจดรปสมการโจทยโดยสงเกตจาก

ตวอยางทครแสดงหนากระดาน จากน นคร สรปพรอมกบนกเรยนวา

สมการทอยภายใตเครองหมายราก โดยเราจะย ายพจนทผลบวกของจานวนทอยใน

เครองหมายราก ท งสองเทากนใหอยขางเดยวกน

- แสดงการแกสมการ ดวยวธปรบรปสมการ และแสดงให นกเรยน เหนวาไดสมการท

ยงยากซบซอน ยากตอการแกสมการ

๗๕

9. จากตวอยางท 5 ถาเรายกกาลงสองท งสองขางกจะยงยากเราจงใชวธการต งเอกลกษณ

ใหม โดยพจารณาจากพหนามทอยในเครองหมายรากทง 2 และใหสงเกตพหนามท ง 2

น นวาพจนทมตวแปร x อย มาบวกลบกนแลวหมดไปเหลอแตจ านวนเตม

ขนสรป

1. ครกระตนใหนตท.ชวยกนสรปหลกการงายๆของการแกสมการ วา

ก าจดเสรดใหหมดไปดวยวธการยกกาลง

2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร ง






2. ทาแบบฝกหด (แบบฝกหดท 2)

1. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตองมากกวารอยละ

๘๕ ของจานวนผตอบ

2. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา

รอยละ ๘๕ ( ๑๗ จาก ๒๐ ขอ)


กจกรรม

1. ครส งใหนตท.ทาแบบฝกหดครงหนงในหองเรยน

2. ครเดนดการทาแบบฝกหด ใหท วท งช นเรยน

3. ครส งให นตท.ทาเปนการบาน


เอกสารประกอบการเรยนเสรม



๑. ทาแบบฝกหดทส งในช นเรยน

๒. ทาแบบฝกหดทส งเปนการบาน

๑. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา

รอยละ ๘๕

๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา

รอยละ ๘๕

๗๖

แบบฝกหดท 1

1) จงทาใหเปนผลสาเรจ

1) 22 3 2

2 3

22a ba b

2)

2

11

3

21

cab

c2ba5

3) 3

73

542

22

45

yxyx

yxyx

4) 2

3

242

3

21

cba

cba

5) 11

33

baba

6) 1

11

abba

)(

7) 1

11

baba

)(

8) (64)n-1 • (32)2-2n • (8)1+n

9) 23 2 4 2

2 2 2

n n

n n

10) 1 2

2 1

9 3 2 33 2 3

n n

n n

11)

1n

2n

n1

3n

521

353

๗๗

12) nm

nm

x1y

x1y

y1x

y1x

13)

1n3n

n22

32781279

14)

n2n23n33n

n21n2n2

2

161

4444

15) 2n

2n23n2

21022422

16) 4n4

1n1n22n

38139

17)

n1n1n

n1nn

42222

18)

52

43

00020100000000720002000060

.,,

.,

19) bcacabcbcaba xx11

xx11

xx11

20) 1 1 1 1

1 1 1 1

1 ax a x axa x xa ax x a

เฉลยแบบฝกหดท 1

1. 6410

ab

2. 53

2

cb5a2

3. 10

1x

4. 10

1a

5. 22

111baba

6. b – a 7.

abba 2

8. n2128

9. – 4 10. 527

11. 1,701 12.nm

yx

13. 9 14. 1 15. 1 16. 243

17. 22n 18. 1.510 6 19. 1 20. x

๗๘

แบบฝกหดท 2

1. จงหาเซตคาตอบตอไปน

1.1 6 = xx34

1.2 2x1x4 = 3x

2. คาของ y จากสมการ 5y232y5y22y = 7 2 มคา

เทาใด จงแสดงวธทา

3. จงแกสมการ xx

xx

11

= 26

1

4. จงหาผลบวกของสมาชกในเซต A = {x R | 2x2 +3 = 7x+3 7x7x2 2 }

5. จงหาคา x จาก 8x5x 2 + 4x5x 2 = 2

6. ถา a เปนคาตอบของสมการ จงหาคาของ

24x8x328x8x4 22 = x+2

7. จงหาคา x จาก 311x3 2 = 0

8. ถา s = {x R | 2x2 - 6x+11+2 5x3x 2 = 25} แลวผลบวกของสมาชกใน s มคาเทาใด

จงแสดงวธทา

9. 11x2x = 0 จงหาคา x

10. จงหาเซตคาตอบของสมการ 55 21x2)3x2()2x( - 3 = 0

จงหาคาตอบของสมการตอไปน

11. x 3

4

- 5x 3

2

+ 4 = 0

๗๙

12. 6x n2

1

- x n

1

- 8 = 0

13. x3

2

- x3

1

- 20 = 0

14. x4

1

- 8x 41

= 2

15. 2 2

x

+ 2 2x

= 2

16. 32x +3x+1 = 4

17. 6· 25x + 11· 23x - 3· 2x = 25x+1

18. 4· 32x + 9· 22x = 13·6x

19. xx

= x

20. 2x+1 + 2x+2 +2x+3 = 8

7

เฉลยแบบฝกหดท 2

1.1 4 1.2 6

2. 15 3. 13

4 หรอ

13

9 4.

29

หรอ -1

5. 1 หรอ 4 6. 2 7. 4 8. 3

9. ไมมค าตอบ 10. -2 , 242 11. 1 , 8 12. 16n , 4n

13. -64 หรอ 125 14. 256 15. 0 16. 0

17. -1 18. 0 หรอ 2 19. 4

1 20. -4

๘๐


เรอง “ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล” ชนปท ๓



เอกซโปเนนเชยล ศกษาบทนยาม การเขยนกราฟ และสามารถบอกฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดได


๑๖. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า

๑๗. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร

๑๘. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร


๑๕. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน

๑๖. ประเมนความรเดมในเนอหาเลขยกกาลง

๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล กบการแกโจทยปญหา


๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยล โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก



ทาการสอนวนพธท ๑๐ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น





๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม


๑๑. ใบงาน

๑๒. แบบฝกหดเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยล



๑. นตท. สามารถบอกนยามของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลได

๒. นตท. สามารถเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลได

๓. นตท. สามารถบอกไดวาฟงกชนใดเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

๘๑

๒. ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง

๑. การหาคาของเลขยกกาลง

3

2

1

0

1

2

3

2222222

3

2

1

0

1

2

3

3333333

3

2

1

0

1

2

3

4444444

๒. การเขยนกราฟ

จงเขยนกราฟของ

y = 2x + 1 y = x

x

y

y = 3-2x y = -2x+3

x

y

x

y

x

y

๘๒

เฉลย ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง

๑. การหาคาของเลขยกกาลง

3

2

1

0

1

2

3

128124122

2 12 22 42 8

3

2

1

0

1

2

3

1327139133

3 13 33 93 27

3

2

1

0

1

2

3

146414

16144

4 14 44 164 64


จงเขยนกราฟของ

y = 2x + 1 y = x

x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

y = 3-2x y = -2x+1

x -2 -1 0 1 2

y 7 5 3 1 -1

x -2 -1 0 1 2

y -2 -1 0 1 2

x -2 -1 0 1 2

y 5 3 1 -1 -3

๘๓

๓. เชอมโยงองคความรเรองเลขยกกาลงและการเขยนกราฟ

๑. ทาการยกตวอยางเลขยกกาลง คอ

เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม

นยาม an = a• a• a•…•a เมอ a ε R และ n ε I+

เรยก an วา เลขยกกาลง

เรยก a วา ฐานของเลขยกกาลง

เรยก n วา เลขช ก าลง

เชน 24 = 2• 2• 2•2

เรยก 24 วา เลขยกกาลง

เรยก 2 วา ฐานของเลขยกกาลง

เรยก 4 วา เลขช ก าลง


กราฟเสนตรง y = mx + c เมอ m คอ ความชน และ c คอ คาคงท

เชน y = 2x + 1

ข นตอนการวาดกราฟ คอ

๑. แทนคา x เพอหาคา y ในสมการ y = 2x + 1 เพอหาคอ นดบ 5 ค โดยกาหนดคา x เปน 0 และ

จานวนเตมทใกลเคยง 0 เชน 1 , 2 , -1 ,-2 เปนตน ดงตาราง

๒. ค านวณคา y จากคา x ในข นตอนท ๑ ดงน

เมอ x = -2 จะได y = 2(-2) + 1 = -3

x = -1 จะได y = 2(-1) + 1 = -1

x = 0 จะได y = 2(0) + 1 = 1

x = 1 จะได y = 2(1) + 1 = 3

x = 2 จะได y = 2(2) + 1 = 5

x -2 -1 0 1 2

y

n ตว

4 ตว

๘๔

จะไดคาดงตาราง

๓. จะไดจดทจะนาไปลงบนกราฟได 5 จด คอ (-2,-3) , (-1,-1) , (0,1) , (1,3) และ (2,5)

๔. นาจดท ง 5 จด ทไดในข นตอนท ๓ ไปลงจดบนกราฟ ดงรป

๕. ทาการเชอมจดเปนเสนตรง ดงรป

x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

y =2x + 1

๘๕


การเขยนกราฟฟงกชนเอกซโปเนนเชยล

ในการเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล จะเรมดวยการสรางตารางคาของฟงกชน เมอ

กาหนดคา x จ านวนหนง (สวนมากจะกาหนด 5 คา) เชน xy 2 โดยมวธการดงน

๑. ก าหนดคา x จ านวน 5 คา ดงตาราง

๒. แทนคา x ท ง 5 คาในสมการ เพอหาคา y ดงน

เมอ x = -2 จะได 2 1y 24

x = -1 จะได 1 1y 22

x = 0 จะได 0y 2 1

x = 1 จะได 1y 2 2

x = 2 จะได 2y 2 4

๓. นาคา y ทไดไปเขยนในตาราง

๔. คา x และ y ทไดท ง 5 ค คอพกดจดบนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลท ง 5 จด คอ (-2 ,

14

) , (-1, 12

) , (0,1) , (1,2) และ (2,4)

x -2 -1 0 1 2

y

x -2 -1 0 1 2

y 14

12

1 2 4

๘๖

๕. นาจดท ง 5 จดไปเขยนลงบนกราฟ ดงรป

๖. จากน นทาการลากเสนผานจดท ง 5 จด เปนเสนโคง โดยทเสนโคงไมตดแกน x เนองจาก x2 0 เสมอ ดงรป

๘๗

x

๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยลโดยมแผนการสอนดงน

เนอหา

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

เราจะพจารณาเรองเลขยกกาลงทมเลขช ก าลงเปนจานวนจรง และเพอชวยใหสามารถเขาใจไดด

ข นลองพจารณากราฟของฟงกชน xy 2 เมอ x เปนจานวนตรรกยะ

จะเหนวา กราฟ xy 2 เมอ x มคาเพมข น คาของ y จะเพมข นเรวมาก

ฟงกชน xy 2 เปนตวอยางหนงของฟงกชนทมชอวา ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ซงมนยาม

ดงน

นยาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชน

( , ) | , 0, 1xf x y R R y a a a

ขอสงเกต ๑. xy 1 เปนฟงกชนคงตว เพราะวา 11 x ไมเรยกฟงกชนน วา ฟงกชนเอกซโพเนน

เชยล

๒. โดเมนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอ R

x -2 -1 0 1 2

y 14

12

1 2 4

y

๘๘

x

ตวอยาง กราฟของฟงกชน xy 3

จากกราฟจะพบวา เมอคาของ x เปลยนจากนอยไปมากบนแกน x จด ( x, x3 ) จะเปลยนตาแหนง

ควบคตามไปดวย โดยทคาของ x3 เปลยนจากนอยไปมากอยางตอเนองกน เสนกราฟของฟงกชน xy 3 จะเปนกราฟเสนเดยวไมขาดตอน นอกจากนจะเหนวาคาของ x3 เพมเรวมากเมอ x มคาเปน

จานวนบวกมากข น และจะคอยๆ ลดลงเขาใกลศนยเมอ x เปนจานวนลบและนอยลงเรอย ๆ ดวย

เหตน เรนจของฟงกชน xy 3 จงเปนชวงเปด ,0 หรอ R และเนองจากเมอ x มคาเพมข น

จะไดคา y เพมข น ฟงกชน xy 3 จงเปนฟงกชนเพมในโดเมนของฟงกชนซงเปนเซตของจานวน

จรง

x -2 -1 0 1 2

y 19

13

1 3 9

y

๘๙

x

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชน xy )31(

เมอพจารณากราฟทได เมอ x มคาเพมข น y จะมคาลดลง ฟงกชน xy )31( จงเปนฟงกชนลด

ในโดเมนของฟงกชนซงคอเซตของจานวนจรง ในกรณนกจะเรยก xy )31( เปนฟงกชนลด

ขอสงเกต

๑) กราฟของฟงกชน xay , 0a และ 1a จะผานจด (0,1) เสมอ ท งน เพราะ 10 a

๒) ถา 0a แลว xay เปนฟงกชนเพม และกราฟ xay ไมแดแกน x แตเขาใกล

เสนตรง 0y เมอ x มคาลดลงโดยไมมขอบเขต ในกรณนกลาวไดวา เสนตรง 0y หรอ

แกน x เปนเสนกากบแนวนอน

ถา 10 a แลว xay เปนฟงกชนลด และกราฟ xay ไมตดแกน x แตเขาใกลเสนตรง

0y เมอ x มคาเพมข นโดยไมมขอบเขต ในกรณเชนน กลาวไดวา เสนตรง 0y หรอแกน x

เปนเสนกากบ แนวนอน

๓) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเปนฟงกชน 1 – 1 จาก R ไปท วถง R+

๔) โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา yx aa กตอเมอ x = y

y

๙๐

กจกรรม

ขนนา

๑. ครยกตวอยางฟงกชนพชคณต ดงน

y = 2x +1

y = x 2

แลวถามนกเรยนวาฟงกชนเหลาน เราเรยกวาอะไร

๒. นกเรยนชวยกนตอบคาถามข นนาท 1

๓. ครเขยนตวอยางบนกระดาน

y = x 2

y = ( 5 ) x

y = ( 31

) x

ถามนกเรยนวาแลวฟงกชนน เรยกวาอะไร

๔. นกเรยนชวยกนตอบแลวถามวานกเรยนสงเกตขอแตกตางระหวางฟงกชน 2 กลมไดอยางไร

ขนสอน

1. ครวาดรปท 1. ในบทนยามของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล พรอมท งยกตวอยางท 1

2. ครถามนกเรยนวาทาไมในบทนยามของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลตองมฐาน( a )

3. นกเรยนชวยกนตอบ

4. เขยนรปท 2 เนอหาเปนการสรปขอสงเกตในข นนา

5. ครยกตวอยางท 2 ใหนกเรยนชวยเขยนกราฟโดยเรยกนกเรยนทละคนชวยหาคาฟงกชนคา y

ทละตว ตามทกาหนดให เมอครบทกคาตวเปน x ใหนกเรยนกลบไปดทนยาม ฟงกชนเอกซ

โพเนนเชยลซงจะเหนวาเปนเซตของคอ นดบคา x , y ใหนกเรยนลงจดของกราฟ

6. ครยกตวอยางท 3 และมกจกรรมเหมอนข นสอนท 5

7. ครใหนกเรยนสงเกตตวอยางท 2 และ 3 ทละตวอยางดงน ถา x มคาเพมข นเรอยๆคา y แตละ

ตวเปนอยางไร

8. นกเรยนชวยกนสรปขอสงเกตดงกลาวและครบอกวาฟงกชนใดคอ ฟงกชนเพม

9. ครเขยนสรปโดยนกเรยนชวยกนบอก

10. จากตวอยางท 1 ครถามนกเรยนวาฟงกชนเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

๙๑

ขนสรป

๑. ครใหนตท.ชวยกนสรปฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคณสมบตตาง ๆ

๒. นกเรยนชวยกนบอกลกษณะของกราฟฟงกชนเอกซโพเนนเชยลท งฟงกชนเพม

และฟงกชนลด


๑. แบบเรยนเสรมคณตศาสตร






๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข นไป

๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนเสรมได

ถกตองมากกวา ๑๒ ขอ จาก ๑๕ ขอ



จงเขยนกราฟของฟ งกช นตอไปน

1) xy 5 2) x

y

21

๙๒

3) xy 3 4) x

y

43

5) x

y

34

6) x

y

43


จงพจารณาวาฟ งกช นตอไปนเปนฟ งกช นเพมหรอฟ งกช นลด

1) xy 4

2) xy 5

3) xy 7

4) x

y

32

5) x

y

23

๙๓

6) x

y

54

7) x

y

45

8) x

y2

21

9) 2

94

x

y

เฉลยแบบฝกหดท ๑

1) xy 5 2) x

y

21

3) xy 3 4) x

y

43

๙๔

5) x

y

34

6) x

y

43

เฉลยแบบฝกหดท ๒

1) เพม

2) ลด

3) เพม

4) ลด

5) เพม

6) เพม

7) ลด

8) ลด

9) ลด

๑ องค ความรู ... - afaps.ac.thkmcorner/km.html/pdf/5320.pdf · สมการของพหุนาม ป...

Documents