ค าน า - kroobannok.com · 3.7 คณิตคิดสนุก เอกสารแนะแนวทาง ใบความรู้ แบบฝึกกิจกรรม

ล าดบและอนกรม : ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 เรอง ล าดบ ก

=======================================================

ค าน า

ชดกจกรรมการเรยนร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษา

ปท 5 จดท าขนตามเนอหาสาระมาตรฐานการเรยนรทก าหนดไวในหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยพยายามปรบเนอหาและกจกรรมใหมความเหมาะสมกบผเรยนมากทสด ส าหรบใชประกอบการจดการเรยนร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษาปท 5 เรองล าดบและอนกรม เพอแกไขปญหาการเรยนรของนกเรยนท ขาดทกษะกระบวนการคด การค านวณ และการแกปญหา ทางคณตศาสตร โดยจดท าทงหมด 5 ชด ชดกจกรรมการเรยนรแตละชดประกอบดวยค าชแจง แบบทดสอบกอนเรยน เกมคณตคดสนก เอกสารแนะแนวทาง ใบความร แบบฝกกจกรรม และแบบทดสอบหลงเรยน ซงมการน าเสนอใหนกเรยนไดเรยนร จากงายไปหายาก แบงเนอหาเปนขนตอน นกเรยนไดฝกปฏบตไปตามล าดบ สามารถสรางองคความรได จากการศกษาเนอหา ตวอยาง ดวยกระบวนการเรยนรทหลากหลาย สามารถเรยนรไดดวยตนเอง เปนการสงเสรมการจดการเรยนรทเนนผเรยนเปนส าคญไดเปนอยางด พรอมทงการสงเสรมใหนกเรยนไดมโอกาสเรยนรตามความถนดของตนเองท าใหผเรยนมความเขาใจในเนอหามากยงขน สงผลกระตน ใหนกเรยนมเจตคตทดตอการเรยนคณตศาสตร ตระหนกและเหนคณคาของการเรยน อนน าไปสการบรรลผลตามมาตรฐานการเรยนรของ หลกสตรคณตศาสตร

ผจดท าหวงวา ชดกจกรรมการเรยนรน จะเปนแนวทางในการจดกจกรรมการจดการเรยนรในชนเรยนไดเปนอยางด และท าใหนกเรยนมความร ความเขาใจ และมเจตคตทดตอกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรดยงขน วภาภรณ สเทว

โรงเรยนดอนเมองทหารอากาศบ ารง

ล าดบและอนกรม : ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 เรอง ล าดบ ข

=======================================================

สารบญ

หนา ค าน า.............................................................................................................................................. ก สารบญ .......................................................................................................................................... ข ค าชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนร ............................................................................................. 1 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบคร.......................................................................... 2 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบนกเรยน ................................................................. 3 มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด .......................................................................................................... 4 ขนตอนการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร ชดท 1 .................................................................... 5 แบบทดสอบกอนเรยน ................................................................................................................... 6 คณตคดสนก 1 ............................................................................................................................... 9 เอกสารแนะแนวทางท 1.1 ......................................................................................................... 10 ใบความรท 1.1 ........................................................................................................................... 11 แบบฝกกจกรรมท 1.1 ................................................................................................................ 13 เอกสารแนะแนวทางท 1.2 ........................................................................................................... 15 ใบความรท 1.2 ............................................................................................................................ 16 แบบฝกกจกรรมท 1.2 .................................................................................................................. 20 คณตคดสนก 2 ............................................................................................................................. 22 เอกสารแนะแนวทางท 1.3 ........................................................................................................... 23 ใบความรท 1.3 ........................................................................................................................... 24 แบบฝกกจกรรมท 1.3 ................................................................................................................ 27 คณตคดสนก 3 ............................................................................................................................. 29 เอกสารแนะแนวทางท 1.4 ......................................................................................................... 30 ใบความรท 1.4 ........................................................................................................................... 32 แบบฝกกจกรรมท 1.4 ................................................................................................................ 36 แบบทดสอบหลงเรยน .................................................................................................................. 37 บรรณานกรม ............................................................................................................................... 40

ล าดบและอนกรม : ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 เรอง ล าดบ ค

=======================================================

สารบญ(ตอ)

หนา ภาคผนวก .................................................................................................................................... 41 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ........................................................................................... 42 เฉลยคณตคดสนก 1 ....................................................................................................... 43 เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.1 .................................................................................... 44 เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.1 ........................................................................................... 45 เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.2 ..................................................................................... 47 เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.2 ............................................................................................ 48 เฉลยคณตคดสนก 2 ....................................................................................................... 50 เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.3 ..................................................................................... 51 เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.3 ........................................................................................... 52 เฉลยคณตคดสนก 3 ....................................................................................................... 54 เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.4 .................................................................................... 55 เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.4 ........................................................................................... 57 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ............................................................................................ 60 ทมาภาพประกอบ ........................................................................................................... 61

ล าดบและอนกรม : ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 เรอง ล าดบ 1

=======================================================

ค าชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนร

1. เอกสารฉบบนเปนชดกจกรรมการเรยนร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวยชดกจกรรมการเรยนรจ านวน 5 ชด ดงน

ชดท 1 เรอง ล าดบ จ านวน 4 คาบ ชดท 2 เรอง ล าดบเลขคณต จ านวน 4 คาบ ชดท 3 เรอง ล าดบเรขาคณต จ านวน 4 คาบ ชดท 4 เรอง อนกรมเลขคณต จ านวน 3 คาบ ชดท 5 เรอง อนกรมเรขาคณต จ านวน 3 คาบ 2. ชดกจกรรมการเรยนรชดน จดท าขนเพอเปนสอการจดกจกรรมการเรยนการสอน มกจกรรม และแบบฝกกจกรรมทหลากหลาย เพอใหผเรยนไดศกษาท าความเขาใจและสามารถฝกฝนได ดวยตนเอง

3. ชดกจกรรมการเรยนรชดนเปน ชดท 1 เรอง ล าดบ ประกอบดวย 3.1 ค าชแจงในการใชชดกจกรรมการเรยนร 3.2 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบคร 3.3 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบนกเรยน 3.4 มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด จดประสงคการเรยนร 3.5 ขนตอนการเรยนโดยใชชดกจกรรม 3.6 แบบทดสอบกอนเรยน 3.7 คณตคดสนก เอกสารแนะแนวทาง ใบความร แบบฝกกจกรรม 3.8 แบบทดสอบหลงเรยน


=======================================================

ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบคร

การใชชดกจกรรมการเรยนร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ระดบ

ชนมธยมศกษาปท 5 ครผสอนเปนผทมบทบาทส าคญทจะชวยใหการด าเนนการเรยนรของนกเรยนบรรลตามวตถประสงคทตงไว ครผสอนจงควรศกษารายละเอยดเกยวกบการปฏบตตนกอนทจะใชชดกจกรรมการเรยนร ดงน 1. ครตองศกษาชดกจกรรมการเรยนร และอานเนอหาสาระอยางละเอยดรอบคอบ พรอมทงท าความเขาใจกบเนอหากอนน าชดกจกรรมการเรยนร ไปใช 2. ครตองเตรยมชดกจกรรมใชครบถวนและเพยงพอกบจ านวนนกเรยน 3. ครเตรยมเครองมอวดผลและประเมนผล เพอใหทราบความกาวหนาของนกเรยน 4. ครชแจงใหนกเรยนทราบล าดบขนตอนการเรยน และวธการใชชดกจกรรมอยางชดเจนตงแตตนจนจบ 5. ครชแจงใหนกเรยนทราบเกยวกบบทบาทของนกเรยน ในการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร ใหเขาใจและเนนย าเรองความซอสตยโดยไมลอกเพอน หรอไมดเฉลยกอนลงมอท าดวยตนเอง

6. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอวดความรพนฐานและดผลการพฒนาเมอเรยนเรองนจบ 7. แจงจดประสงคการเรยนรใหนกเรยนทราบ 8. จดกจกรรมการเรยนการสอนตามแผนการจดการเรยนรประกอบการใชชดกจกรรมการเรยนร 9. ในกรณทนกเรยนมปญหาขอสงสยในการใชชดกจกรรมการเรยนร ครตองดแลและใหค าปรกษา แกนกเรยนทนท

10. ครตองค านงถงความแตกตางระหวางบคคลของนกเรยน พรอมทงสงเกต คอยใหค าปรกษา กระตนและเสรมแรงในโอกาสทเหมาะสม

11. เมอนกเรยนท าใบกจกรรมเสรจแลว ใหตรวจค าตอบจากเฉลยใบกจกรรม ซงอยในภาคผนวก 12. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน 14. การสรปบทเรยนควรเปนกจกรรมรวมกนของนกเรยนทกคน


=======================================================

ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ส าหรบนกเรยน

ในการศกษาชดกจกรรมการเรยนร เรอง ล าดบและอนกรม รายวชาคณตศาสตร พนฐาน ระดบ ชนมธยมศกษาปท 5 นกเรยนควรปฏบตตามค าแนะน า ดงน

1. อานค าชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนร ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนร ใหเขาใจกอน ลงมอปฏบตกจกรรมหรอท าการศกษาทกครง

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยน ซงมลกษณะเปนปรนยชนดเลอกตอบจ านวน 10 ขอ ลงในกระดาษ ค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน

3. นกเรยนลงมอปฏบตกจกรรมตามขนตอนทก าหนดไวในชดกจกรรม โดยไมขามขนตอน และ สรปความรทไดจากกจกรรมทปฏบต โดยมครเปนทปรกษาในการปฏบตกจกรรม

4. นกเรยนศกษาชดกจกรรมการเรยนร โดยศกษาและปฏบตเอกสารแนะแนวทาง ศกษาใบความรและท าแบบฝกกจกรรมตามล าดบ

5. ในระหวางการท ากจกรรมแตละชดนน นกเรยนตองมความซอสตยหามเปดดเฉลยค าตอบกอน 6. ถานกเรยนมปญหาขอสงสยหรอไมเขาใจใหสอบถามครทนท 7. ตรวจค าตอบในใบเฉลยกจกรรมแตละกจกรรม ซงอยในภาคผนวก แลวบนทกคะแนนไวทได

จากนนรวมกนสรปองคความร โดยครคอยชแนะแนวทาง และอธบายเพมเตม 8. ท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอประเมนความกาวหนาของตนเองหลงจากศกษาชดกจกรรมการ

เรยนร ชดท 1 จบแลวซงมลกษณะเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ จ านวน 10 ขอ ลงในกระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เพอทราบผลการพฒนาหลงการใชชดกจกรรมการเรยนร

9. ตรวจค าตอบแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนจากเฉลยทายเลม แลวบนทกผลลงในแบบ บนทกคะแนน ซงอยในภาคผนวก เพอทราบผลการเรยนและการพฒนา


=======================================================

มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด

สาระท 4 พชคณต

มาตรฐาน ค.4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป(pattern) ความสมพนธและฟงกชน ตวชวด ม.4-6/4 เขาใจความหมายของล าดบและหาพจนทวไปของล าดบจ ากด

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆทางคณตศาสตรและ เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆและมความคดรเรมสรางสรรค ตวชวด ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบกาตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม ตวชวด ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมายและการ น าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน

จดประสงคการเรยนร

ดานความร (K) 1. อธบายความหมายของล าดบได 2. บอกไดวาล าดบทก าหนดใหเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต 3. เขยนล าดบในรปแจงพจนได 4. หาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได

ดานทกษะกระบวนการ(P) 1. ในการใหเหตผล 2. การสอสาร สอความหมายและการน าเสนอ

ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A) 1. มระเบยบวนย 2. มความรบผดชอบ 3. มความซอสตย 4. มความตรงตอเวลา


=======================================================

ขนตอนการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร ชดท 1 เรอง ล าดบ

1. อานค าแนะน าส าหรบนกเรยน

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยน

3. ศกษาชดกจกรรมการเรยนร - ท าเอกสารแนะแนวทาง - ศกษาใบความร - ท าแบบฝกกจกรรม

5. ศกษาชดกจกรรมการเรยนรชดตอไป

4. ท าแบบทดสอบหลงเรยน

ไมผานเกณฑ

ประเมนผล

ผานเกณฑ

4. ตรวจเฉลยใบกจกรรมแตละกจกรรม


=======================================================

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ล าดบ

ค าชแจง แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน ใชเวลาสอบ 20 นาท ค าสง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสด จาก ก, ข, ค และ ง แลวท าเครองหมาย ลงในชอง บนกระดาษค าตอบ

1. ขอใดถกตอง ก. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตม ข. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ค. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมลบ ง. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนจรงบวก

2. ขอใดเปนล าดบ ก. {(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)} ข. {(2,3), (4,6), (8,9), (16,12)} ค. {(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6)} ง. {(1,2), (2,4), (3,5), …, (8,10)}

3. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. an = 2n – 1 เปนล าดบจ ากด ข. an = (-1)n + 2 เปนล าดบอนนต ค. 1, 3, 9, … 3n – 1, … เปนล าดบจ ากด ง. 1, 2, 3, 4, …, n เปนล าดบอนนต

4. ฟงกชนในขอใดเปนล าดบจ ากด ก. {(2,4), (4,6), (6,8), …} ข. {(2,1), (4,2), (8,3), (16,4)} ค. {(1,5), (2,7), (3,12), (4,17), (5,22)} ง. {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4), (e,5), (f,6)}

5. ฟงกชนในขอใดเปนล าดบอนนต

ก. +x, y y =5x +2, x I ข. -x, y y = 3x -1, x I

ค. x, y y =4x, x =1,2,3,4,...,10 ง. 2x, y y =3x +1, x =1,2,3,4


=======================================================

6. ขอใดคอสพจนแรกของล าดบ an = 3n – 2

ก. 1, 2, 3, 4 ข. 1, 4, 7, 10 ค. 1, 3, 6, 9 ง. 3, 6, 9, 12

7. ล าดบ 3 3 3 3, , ,4 8 16 32 คอสพจนแรกของล าดบขอใด

ก. an = 12n

ข. an = n12

ค. an = 32n

ง. an = n+13

2

8. สองพจนถดไปของล าดบ 15, 30, 60, 120 คอขอใด

ก. 180, 240 ข. 240, 360 ค. 240, 480 ง. 360, 480

9. สองพจนถดไปของล าดบ 24, 8, 83, 89 , … คอขอใด

ก. 8 8,27 81

ข. 8 8,18 27

ค. 8 8,18 81

ง. 8 8,12 15

10. พจนทวไปของล าดบ 3, 5, 9, 15,… คอขอใด

ก. an = n2+n ข. an = 3n2- n + 1 ค. an = n2- n + 3 ง. an = (n + 1)2

ไมตองกงวลใจวาจะตอบผด เพราะนเปนเพยง แบบทดสอบเพอประเมนวา เพอนๆ มความร

เรอง ล าดบ มาแลวมากนอยเพยงใดจา


=======================================================

กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 เรอง ล าดบ

ลงชอ.......................................................... ....................ผตรวจ

(.....................................................)

ลงชอ....................................................... ....................ครผสอน ( นางสาววภาภรณ สเทว )

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนทได


=======================================================

คณตคดสนก 1 ตามหาฉนใหเจอ

ชดท 1

ตวเลขทหายไป คอ ......................

ชดท 2

ตวเลขทหายไป คอ .....................

ชดท 3

ตวเลขทหายไป คอ .......................

ชดท 4

ตวเลขทหายไป คอ …………..........

95 85 55 ……

…

65

7 21 ……. 28 35

…… 18 -36 72 -144

1 ………….. ………

งายใชไหมคะ เพอนๆ


=======================================================

เอกสารแนะแนวทางท 1.1 เรอง ความหมายของล าดบ

1) ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ

1.1

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4 รปท 5

ในแบบรปขางตนพบวา ล าดบของรปและจ านวนจดในรป มความสมพนธกนดงน รปท 1 2 3 4 5

จ านวนจด

จากตารางความสมพนธของล าดบของรปและจ านวนจดคอ………………………………………….……….… ความสมพนธทไดเปนฟงกชนหรอไม…………….…………………………………………...………………………….. มโดเมนคอ ……………………………….…และมเรนจคอ……………………………………………………………...…

1.2 1 2 3 4

ในแบบรปขางตน ล าดบของรปและจ านวนพนทในรปมความสมพนธกนดงน รปท 1 2 3 4

จ านวนพนท(ตารางหนวย)

จากตารางความสมพนธของล าดบของรปและจ านวนพนทคอ ………………………………….… เปนฟงกชนหรอไม ……………………………………………………………………………………….……..…. มโดเมนคอ ………………………………… และมเรนจคอ ……………………………..……………….…

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เชนเดยวกบฟงกชนในขอ 1.1 , 1.2 เรยกวา ล าดบ

ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1


=======================================================

ใบความรท 1.1

เรองความหมายของล าดบ

จดประสงคการเรยนร 1. อธบายความหมายของ 2. บอกไดวาล าดบทก าหนดใหเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต

ความหมายของล าดบ

ตวอยางท 1 จงพจารณาวาขอใดตอไปนเปนล าดบ

1) f = 1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 เปนล าดบ เพราะ มโดเมนเปน 1,2,3,4 เปนเซตของจ านวนเตมบวก 4 ตวแรก

2) g = 1,2 , 2,4 , 3,6 , 4,8 ,...(10,20) เปนล าดบ

เพราะ มโดเมนเปน 1,2,3,4, ...,10 เปนเซตของจ านวนเตมบวก 10 ตวแรก

3) h = 1, -1 , 2, -2 , 3, -3 , 4, -4 , ... เปนล าดบ

เพราะ มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1

4) t = 1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 ,... เปนล าดบ

เพราะ มโดเมนเปน 1,2,3,4,... เปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1

5) h = 2,6 , 3,8 , 4,10 , 5,12 , ... ไมเปนล าดบ เพราะ มโดเมนเปน 2,3,4,5,... เปนเซตของจ านวนเตมบวกทไมเรมตนดวย 1

6) x, y | y = 3x -1 , x I ไมเปนล าดบ

เพราะ มโดเมนเปน I หรอ ..., -2, -1,0,1,2,... เปนเซตของจ านวนเตมบวกทไมเรมตนดวย 1

ในกรณทฟงกชนเปนล าดบทม โดเมนเปน 1,2,3, ... , n เรยกวา ล าดบจ ากด ในกรณทฟงกชน

เปนล าดบทมโดเมนเปน 1, 2, 3, 4, ... เรยกวา ล าดบอนนต ในกรณทไมระบสมาชกในโดเมน ใหถอวาเปนล าดบอนนต

ล าดบ (Sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรกหรอ โดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามากโดยเรมตงแต 1


=======================================================

ความหมายของล าดบจ ากดและล าดบอนนต

ล าดบจ ากด ( finite sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก ล าดบอนนต (infinite sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอย ไปหามากโดยเรมตงแต 1 ตวอยางท 2 จงพจารณาวาขอใดตอไปนเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต

1) 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 , 5,7

มโดเมนเปน 1,2,3,4,5 เปนล าดบจ ากด

2) 1,4 , 2,5 , 3,6 , 4,7 ,..., n,n+3 ,...

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต 3) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42

มโดเมนเปน 1,2,3,4,5,6 เปนล าดบจ ากด 4) 4 , 9 , 16 , 25 , 35 , … , (n+1)2,…

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต 5) 4 , 8 , … , 2n , …

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต

6) na =2n+1,n 1,2,3,...,20

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ...,20 เปนล าดบจ ากด

7) 2n1a =n

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต 8) na =2n-1

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต

9) 2x, y | y = 3x , x +I มโดเมนเปน 1,2,3,4, ... เปนล าดบอนนต

10) n-1n nn,a | a = 2 , n 1,2,3,...15

มโดเมนเปน 1,2,3,4, ...,15 เปนล าดบจ ากด

จากตวอยางสงเกตได

วาถาล าดบใดสามารถ

บอกจ านวนพจนได

เรยกวาล าดบจ ากด

แตถาล าดบใดไม

สามารถบอกไมไดวา

มกพจน เรยกวา

ล าดบอนนต

ไมยากเลยใชไหมคะ


=======================================================

แบบฝกกจกรรมท 1.1 เรอง : ความหมายของล าดบ

1. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางพรอมทงพจารณาวา ขอใดเปนล าดบหรอไมเปนล าดบ

โดยเขยนเครองหมาย ใหตรงค าตอบทถกตอง

ขอ ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบ

เปน ไมเปน 1 f = {(1,1) , (2,4) , (3,9)} 2 f = {(0,2) , (1,3) , (2,4) , (3,5)} 3 f = {(2,4) , (4,8) , (6,12) , (8,16) , …} 4 f = {(1,a) , (3,b) , (5,c) , (7,d)} 5 f = {(1,x) , (2,y) , (3,z) , (4,w)} 6 f = {(1,-1) , (2,-2) , (3,-3) , (4,-4) , …} 7 f = {(a,1), (1,2), (b,3), (2,1), (c,3), (3,3)} 8 2

na =n -1 เมอ n 3,4,5,6

9 f = x, y y = 4x เมอ x =1,2,3,...,10

10 f = { (x,y) | y = x2 + x , x I และ x < 4 }

11 f = { (x,y) | y = x +1 ,2 x +I และ x ≥ 1 }

12 f = { (x,y) | y = 2x –1 และ x ≥ 3 } 13 f = x, y | y = 2x +1 , x +I

14 f = n nn-1n,a | a =2 , n I

15 f = x, y y = 3x , x R

งายมากเลยใชไหมคะ ฝกท าเยอะๆนะคะจะไดเขาใจมากยงขน งนไปท า

แบบฝกกจกรรมตออกสกขอนะคะ


=======================================================

2. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางและท าเครองหมาย ใหตรงชองล าดบทถกตอง

ขอ ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบจ ากด ล าดบอนนต

1 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , (4,6)}

2 {(1,1) , (2,2) , (3,4) , (4,8) , …}

3 {(1,5) , (2,25) , (3,125) , …}

4 {(1,0.1) , (2,0.01) , (3,0.001)}

5 {(1,-2),(2,-4),(3,-6),…,(10,-20)}

6 {(1,1) , (2,4) , (3,8) , … , n-1n,2 }

7 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , …

8 0 , -5 , -10 , -15 , … , -100

9 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , … , (n,n+2) , …}

10 a =2n+1,n 1,2,3,...,20n

11 2x,y y =3a -5 เมอ x = 1,2,3,4,5

12 x, y | y = 2x , x +I

13 2 n,n +3n | n , n< 4+I

14 x, y y = x+1, x I เมอ 0 < x 8

15 x, y y = x+2 เมอ x =1,2,3,...,15

ล ำดบจ ำกด คอ ………………………………………………. ล ำดบอนนต คอ ……………………………………………….

อยาลมตรวจค าตอบนะคะ


=======================================================

เอกสารแนะแนวทางท 1.2

เรอง การเขยนล าดบ

ค าชแจง พจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ

1. ให f(x) = x+2 เมอ x { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ถา x = 1 จะได f(1) = 1 + 2 = 3 ถา x = 2 จะได f(2) = 2 + 2 = 4 ถา x = 3 จะได f(3) = …………………………. ถา x = 4 จะได f(4) = …………………………. ถา x = 5 จะได f(5) = ………………………….

ฟงกชนดงกลาวเปน ล าดบ ....................... (จ ากด / อนนต) เมอน าคา f(1) , f(2) , f(3) , f(4) , f(5) มาเขยนเรยงกน จะได ..... , ..... , ..... , ..... , .....

การเรยงล าดบในลกษณะน เรยกวา การเขยนล าดบโดยการแจงพจน เนองจากโดเมน คอ …………………….……………. เรนจ คอ ……………..……………………. นนคอ การน าสมาชกของเรนจมาเขยนเรยงล าดบกนไป เรยกวา ....................................................... และเรยก f(1) วา พจนท 1 ของล าดบ f(2) วา พจนท 2 ของล าดบ f(3) วา .................................... f(4) วา .................................... f(5) วา ....................................

2. ถา f(n) = 10 – 2n เมอ n {1, 2, 3, . . ., 9} จาก f(n) = 10 – 2n

f(1) = 10 – 2(1) = 10 – 2 = ……………….. f(2) = 10 – 2(2) = ……………….. = ……………….. f(3) = 10 – 2(3) = ……………….. = ……………….. . . . . . . . . . . . . f(9) = …………… = ………………. = ………………. ถาเขยนล าดบโดยการแจงพจนจะไดล าดบ คอ .................................................................................... เปนล าดบ ....................... (จ ากด / อนนต)

ลองท าดกอนศกษาเนอหาตอไป เชอวา

ทกคนท าไดคะ


=======================================================

ใบความรท 1.2 เรอง การเขยนล าดบ

จดประสงคการเรยนร 1. เขยนล าดบในรปแจงพจนเมอก าหนดพจนทวไปได 2. หาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหได

การเขยนล าดบ

ในการเขยนล าดบใดๆ โดยทวไปนยมเขยนได 2 แบบ คอ 1) เขยนแบบแจกแจงพจน

2) เขยนแบบพจนทวไป

1) เขยนแบบแจกแจงพจน คอ เขยนเฉพาะคาสมาชกของเรนจหรอพกดหลงของคอนดบเรยงกนไป กลาวคอ ถา a เปนล าดบจ ากดจะเขยนแทนดวย a1 , a2 , a3 , … , an ในกรณท a เปนล าดบอนนตจะเขยนแทนดวย a1 , a2 , a3 , … , an , …

เรยก a1 วา พจนท 1 ของล าดบ (first term) a2 วา พจนท 2 ของล าดบ (second term) a3 วา พจนท 3 ของล าดบ (third term)

an วา พจนท n ของล าดบหรอพจนทวไป (General Term) ของล าดบ

เชน 1. {(1,1) , (2,4) , (3,9) , (4,16) , (5,25)} เขยนล าดบโดยการแจกแจงพจนได 1, 4, 9, 16, 25 เปนล าดบจ ากด

ม a1 = 1, a2 = 4 , a3 = 9 , a4 = 16 , a5 = 25 2. {(1,1) , (2,2) , (3,4) , (4,8) , (5,16) , …}

เขยนล าดบโดยการแจกแจงพจนได 1, 2, 4, 8, 16, …,2n-1 ,… เปนล าดบอนนต ม a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 4 , a4 = 8 , a5 = 16 , an = 2n-1

3. 1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 , (5,7) เขยนล าดบโดยการแจกแจงพจนได 3,4,5,6,7 เปนล าดบจ ากด

ม a1 = 3, a2 = 4 , a3 = 5 , a4 = 6 , a5 = 7 4. 1,10 , 2,20 , 3,30 , 4,40 ,..., (99,990) เขยนล าดบโดยการแจกแจงพจนได 10,20,30,40,...,990 เปนล าดบจ ากด

ม a1 = 10, a2 = 20 , a3 = 30 , a4 = 40,..., a99 = 990

a1 = 1st term a2= 2nd term a3 = 3rd term a4 = 4th term an = nth term


=======================================================

2. เขยนแบบพจนทวไป คอ เขยนในรปของฟงกชน ซงอาจจะระบโดเมนดวยกได เชน

เชน 1. ล าดบ 1, 4, 9, 16, 25 เขยนแบบพจนทวไป ได an = n2 เมอ n { 1, 2, 3, 4, 5} 2. ล าดบ 1, 2, 4, 8, 16, … เขยนแบบพจนทวไป ได an = 2n-1 เมอ n เปนจ านวนเตมบวก 3. ล าดบ 1, 2, 3, 4, 5, … เขยนแบบพจนทวไป ได an = n+1 เมอ n เปนจ านวนเตมบวก 4. ล าดบ 1, 4, 9, 16, 25,36, …,100

เขยนแบบพจนทวไป ได an = n2 เมอ n 1,2,3,4,...10

หมายเหต การเขยนล าดบในรปพจนทวไป ถาไมระบโดเมน ใหถอวาล าดบนนเปนล าดบอนนต

การหาพจนใด ๆ จากพจนทวไป

การหาพจนใด ๆ ของล าดบเมอก าหนดพจนทวไป (an) มาให ท าไดโดยแทนคา n ในพจนทวไปดวยจ านวนทตองการ

ตวอยางท 1 ก าหนด f(n ) = 2n – 1 เมอ n {1, 2, 3, 4} จงเขยนล าดบในรปแจงพจน

วธท า จาก f(n) = 2n – 1 จะได an = 2n – 1 ให n = 1 จะได a1 = f(1) = 2(1) – 1 = 1 n = 2 จะได a2 = f(2) = 2(2) – 1 = 3 n = 3 จะได a3 = f(3) = 2(3) – 1 = 5 n = 4 จะได a4 = f(4) = 2(4) – 1 = 7 ตอบ ล าดบในรปแจงพจน คอ 1, 3, 5, 7

ตวอยางท 2 จงหา 3 พจนแรกของล าดบ an = 3n+1 แลวเขยนล าดบนโดยการแจงพจน

วธท า จาก an = 3n+1 a1 = 3(1)+1 = 4 a2 = 3(2)+1 = 7 a3 = 3(3)+1 = 10 ตอบ ล าดบนคอ 4, 7, 10, … 3n+1 , …

ไมยากเลย ลองด ตวอยางหนาถดไปอกนะคะ

ในกรณทเขยนล าดบในรปพจนทวไป ถาไมระบโดเมน ใหถอวาล าดบนนเปนล าดบอนนตนะ

จะ


=======================================================

ตวอยางท 3 จงหาสพจนแรกของล าดบ n(n+1)a =n 2

วธท า จาก an = n n+12

11 1+1a =

2 = 1

2

2 2+1a =2

= 3

3

3 3+1a = = 62

a4 = 4(4 +1)2 = 10

ตอบ สพจนแรกของล าดบน คอ 1 , 3 , 6 , 10 ตวอยางท 4 จงหาพจนท 5 ของล าดบ an = 2n+1

วธท า จากพจนทวไป an = 2n+1 จะได a5 = 2(5)+1 = 10 + 1 = 11 ตอบ พจนท 5 (a5) ของล าดบนมคาเทากบ 11 ตวอยางท 5 ก าหนดล าดบ an = 3n + 4 จงหาคาของ 2a5 - 3a2

วธท า จากพจนทวไป an = 3n + 4 จะได a5 = 3(5) + 4

= 15 + 4 = 19

และ a2 = 3(2) + 4 = 6 + 4

= 10 นนคอ 2a5- 3a2 = 2(19) - 3(10)

= 38 - 30 = 8

ตอบ 2a5- 3a2 ทไดจากล าดบ an = 3n + 4 มคาเทากบ

เขาใจไหมคะ งนลองมาศกษาตวอยางเพมเตมตอนะคะ

นล าดบอนนตนะจะ

เขาใจแลวนะจะ


=======================================================

การหาพจนถดไปของล าดบแบบแจงพจน

หลกการ จากล าดบแบบแจงพจนทก าหนดให ตองท าการหารปแบบการเปลยนแปลงของพจนในล าดบ จากพจนท 1 มการเปลยนแปลงอยางไรจงไดพจนท 2 จากพจนท 2 มการเปลยนแปลงอยางไรจงไดพจนท 3 ท าเชนนไปเรอย ๆ จนครบทก พจนในล าดบ พจนถดไปในล าดบกจะเปลยนแปลงคาในลกษณะเดยวกน ตวอยางท 1 จงหาพจนถดไปอกสองพจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 3 , 7 , 11 , 15

วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ

3 7 11 15 19 23 +4 +4 +4 +4 +4 จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเพมขนทละ 4 ดงนน สองพจนถดไปของล าดบคอ 19 และ 23 ตวอยางท 2 จงหาพจนถดไปอกสองพจนของล าดบทก าหนดใหตอไปน 2 , 8 , 32 , 128


2 8 32 128 512 2048 4 4 4 4 4

จะเหนวาพจนทอยถดไปจะเปน 4 เทาของพจนทอยขางหนา ดงนน สองพจนถดไปของล าดบคอ 512 และ 2048

ตวอยางท 3 จงหาพจนถดไปอกสองพจนของล าดบ 100 , 98 , 94 , 88


100 98 94 88 80 70 -2 -4 -6 -8 -10 จะเหนวาพจนทอยถดไปของล าดบนจะลดลง 2 , 4 , 6 ตามล าดบ ดงนน พจนสองพจนถดไปของล าดบน

จะลดลง 8 และ 10 ตามล าดบ จะได 80 และ 70 เปนพจนสองพจนถดไปของล าดบทก าหนดให

สนกจงเลยคะ อยากลอง

ท าแบบฝกหดแลวส...


=======================================================

แบบฝกกจกรรมท 1.2

เรอง การเขยนล าดบ

1. จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ฟงกชน เขยนแบบแจกแจงพจน (a1, a2, a3,…,an,…) 1. {(1,–1), (2,5), (3,11), (4,17)} 2. {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3), …} 3. {(1,4), (2,6), (3,8), (4,10), …, (7,16)} 4. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)}

2. หาพจนตางๆ ของล าดบทก าหนดใหตอไปน 1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 2) -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 ตอบ a2=.…..… a4=.…..… a6=.…..… ตอบ a1=.…..… a2=.…..… a7=.…..…

3) 7, 14, 21, 28, 35, 42 4) 4, 9, 16, 25, 36,…,(n+1),… ตอบ a2=.…..… a5=.…..… a6=.…..… ตอบ a3=.…..… a4=.…..… a5=.…..…

3. จงเขยนล าดบตอไปนในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบใหสมบรณ 1) ก าหนดล าดบ f(n) = 10 – 2n เมอ n { 1 , 2 , 3 } ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ .…………......…………...…........……… 2) ก าหนดล าดบ an = 2n2 เมอ n { 1 , 2 , 3,…,8 }

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ .…………......…………...…............……

f(1) = …………...…………......…………...….......…… f(2) = …………...…………......…………...…..........……

f(3) = …………...…………......…………...…..........……

a1 = …………...…………......…………...…......….… a2 = …………...…………......…………...….........….…

a3 = …………...…………......…………...….........….… a4 = …………...…………......…………...….........….…

a9 = …………...…………......…………...…..........……

ลงมอท ากนเลยคะ สๆนะทกคน


=======================================================

4. จงหาสพจนแรกของล าดบตอไปน

1) an = 3 + (–1)n 2) na =n n-1

3) an = n2 - 2n + 1 4) n1+2na =1- 3n

5. จงหาพจนท 10 และพจนท 20 ของล าดบ an = (n – 1)(n + 1)

6. ก าหนดล าดบ an = 2n + 1 จงหาคาของ 34

a5a +3

7. จงหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปน 1) 26 , 22 , 18, 14 ตอบ ……………………………………………………………………………………………………… 2) 1 , 3 , 7 , 13 ตอบ ……………………………………………………………………………………………………… 3) 1 , 4 , 9 , 16 ตอบ ……………………………………………………………………………………………………… 4) 5 , 10 , 30 , 120 ตอบ ……………………………………………………………………………………………………… 5) 4 , 6 , 10 , 16 ตอบ ………………………………………………………………………………………………………

a1 = …………... =……… =……… a2 = …………... =……… =………

a3 = …………... =……… =……… a4 = …………... =……… =………

a1 = …………... =……… =……… a2 = …………... =……… =………

a3 = …………... =……… =……… a4 = …………... =……… =………

a1 = …………... =……… =……… a2 = …………... =……… =………

a3 = …………... =……… =……… a4 = …………... =……… =………

a1 = …………... =……… =……… a2 = …………... =……… =………

a3 = …………... =……… =……… a4 = …………... =……… =………

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ …............................. ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ ….............................

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ …............................. ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ ….............................

………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………


=======================================================

คณตคดสนก 2 คนหาอจฉรยะ

ตารางจ านวนดานลางน แตละแถวจะเปนไปตามกฎทอยในรปลกโปงสมวงซายสดของแถว ทหวของแตละคอลมนเปนคาของจ านวน (n) ทจะใชใหเตมค าตอบทมความสอดคลองกบกฎทางซายและคา n ทหวของแตละคอลมน (จ าไววาใหค านวณคาทอยในวงเลบกอน)

1.

2.

3.

4.

5.

n=1 n=2 n=3 n=4

n+5

n-3

2n-1

n(n+2)

n2+3


=======================================================

เอกสารแนะแนวทาง 1.3 การหาพจนทวไปของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ 1. ถาล าดบ คอ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 จะได a1 = 3 = 1 + 2 a2 = 4 = 2 + 2 a3 = 5 = ............ a4 = 6 = ............ a5 = 7 = ............ ดงนน an = n + ..... เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 2. ถาล าดบ คอ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 จะได a1 = 2 = 1 2 a2 = 4 = 2 2 a3 = 6 = ............ a4 = 8 = ............ a5 = 10 = ............ ดงนน an = n 2 = 2n เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 3. ถาล าดบ คอ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 จะได a1 = 1 = (1 2) – 1 a2 = 3 = (2 2) – 1 a3 = 5 = ………………… a4 = 7 = ………………… a5 = 9 = ………………… ดงนน an = (n 2) – 1 = 2n – 1 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 4. ถาล าดบ คอ 2 , 4 , 8 , 16 , 32 จะได a1 = 2 = 21 a2 = 4 = 22 a3 = 8 = ………… a4 = 16 = ………… a5 = 32 = ………… ดงนน a1 = 2n เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

ไมยากใชไหมละ.... ถาตงใจท ากท าได นะจะบอกให

ท าแบบฝกกจกรรม ไมยากอยางทคด


=======================================================

ใบความรท 1. 3

การหาพจนทวไปของล าดบ จดประสงคการเรยนร สามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได

การหาพจนทวไปของล าดบ

พจนทวไปหรอพจนท n ของล าดบ เขยนแทนดวย an เชน an = 4n + 2 เมอ n = 1, 2,3,...,n,... ซงในการหาพจนทวไปของล าดบจะตองพจารณาความสมพนธระหวาง an กบ n แลวจงสรปเปนกฎเกณฑ

การหาพจนทวไป โดยใชการสงเกตความสมพนธของพจนตางๆ และความสมพนธระหวางพจน กบล าดบทของพจน

เขยนต าแหนงของล าดบแตละคาไว หาวาคาของล าดบในแตละคามการเปลยนแปลงคาจากคาต าแหนงอยางไร (ซงอาจจะเปลยนแปลงไดหลายแบบเชน บวกเพม ลบออก คณเขา หาร ยกก าลงดวยจ านวนใดจ านวนหนง) จากรปแบบการเปลยนแปลงทงหมดทไดในขอ ใหเลอกเอารปแบบการเปลยนแปลงคาในลกษณะเดยวกน น าผลทไดจาก มาเปลยนคาต าแหนงดวย n จะไดพจนทวไปหรอพจนท n ของล าดบ ตวอยางท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 6 , 7 , 8 , 9 , 10

วธท า จากล าดบจ ากด 6 , 7 , 8 , 9 , 10

จะได a1 = 6 = 1 + 5 a2 = 7 = 2 + 5 a3 = 8 = 3 + 5 a4 = 9 = 4 + 5 a5 = 10 = 5 + 5 an = n + 5

ตอบ พจนทวไปของล าดบจ ากดน คอ an = n + 5 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

ดตวอยางหนาถดไป ดกวา....


=======================================================

ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 3, 5, 7, 9, 11 วธท า จะได a1 = 3 = 2 + 1 = 2(1) + 1 a2 = 5 = 4 + 1 = 2(2) + 1 a3 = 7 = 6 + 1 = 2(3) + 1 a4 = 9 = 8 + 1 = 2(4) + 1 a5 = 11 = 10 + 1 = 2(5) + 1 an = 2n + 1 ตอบ พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 2n + 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5

ตวอยางท 3 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 5 , 6 , 7 , 8 , 9

วธท า จะได a1 = 5 = 1+4

a2 = 6 = 2+4 a3 = 7 = 3+4 a4 = 8 = 4+4 a5 = 9 = 5+4

an = n+4 ตอบ พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 2n + 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5

ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบอนนต 1 , 12 , 1

4 , 18 , 1

16 , …

วธท า จะได a1 = 1 = 1 - 11

2

a2 = 12 = 2 - 1

12

a3 = 14 = 3 - 1

12

a4 = 18 = 4 - 1

12

a5 = 116 = 5 - 1

12

ตอบ พจนทวไปของล าดบอนนตนคอ an = n - 11

2 เมอ n เปนจ านวนเตมบวก

ตอไปเราจะตองศกษาใหมาก

จะไดท าขอสอบผานทกขอ


=======================================================

ตวอยางท 5 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด

2 4 6 8, , ,3 5 7 9

วธท า จากล าดบจ ากด 2 4 6 8, , ,3 5 7 9

จะได a1 =

23 = 2(1)

2(1) +1

a2 = 45 = 2(2)

2(2) +1

a3 = 67 =

2(3)

2(3) +1

a4 =

89 =

2(4)

2(4) +1

ตอบ พจนทวไปของล าดบจ ากดน คอ a4 = 2n2n+1 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4

ตวอยางท 6 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด

310 , 3

100 , 31000 , 3

10000

วธท า จากล าดบจ ากด 310 , 3

100 , 31000 , 3

10000

a1 = 310 =

13

10

a2 = 3100 =

23

10

a3 = 31000 =

33

10

a4 = 310000 =

43

10

ตอบ พจนทวไปของล าดบจ ากดน คอ an = n

310

เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4

เขาใจแลวกไปท า

แบบฝกกจกรรมกน


=======================================================

แบบฝกกจกรรมท 1.3 การหาพจนทวไปของล าดบ

1. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากดตอไปน

1) ถาล าดบ คอ -5 , -2 , 1 , 4 , ... จะได a1 = ……………………………….………… a2 = ……………………………….………… a3 = ……………………………….………… a4 = ……………………………….………… ดงนน an = ………………….………………………

2) ถาล าดบ คอ 8 , 9 , 10 , 11 , 12 จะได a1 = ……………………………….………… a2 = ……………………………….………… a3 = ……………………………….………… a4 = ……………………………….………… a5 = ……………………………….………… ดงนน an = ………………….………………………

3). ถาล าดบ คอ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 จะได a1 = ……………………………….………… a2 = ……………………………….………… a3 = ……………………………….………… a4 = ……………………………….………… a5 = ……………………………….………… ดงนน an = ………………….………………………


=======================================================

4) ถาล าดบ คอ 3 , 9 , 27 , 81 , 243

จะได a1 = ……………………………….………… a2 = ……………………………….………… a3 = ……………………………….………… a4 = ……………………………….………… a5 = ……………………………….………… ดงนน an = ………………….………………………

5) ถาล าดบ คอ 0.2 , 0.02 , 0.002 , 0.0002 , 0.00002 จะได a1 = ……………………………….………… a2 = ……………………………….………… a3 = ……………………………….………… a4 = ……………………………….………… a5 = ……………………………….………… ดงนน an = ………………….………………………

6) ถาล าดบ คอ 1 1 1 11, , , ,2 3 4 5


7) ถาล าดบ คอ 1-2 , 23 , 3-

4 , 45 , 5-

6


ตอบเสรจแลวตรวจค าตอบกบเฉลยทายเลมดวย

นะจะ


=======================================================

คณตคดสนก 3 ดอกไมของความเทากน

จงขดเสนใตจ านวนทอยในกลบดอกไมทมคาเทากบล าดบตรงกลางของดอกไม

2,3,4,5

n2

n+1

n-1

n2-1

2n+1 3,6,9,…

2n 3n

3n+1

2n-2

n

n2

1,2,4,… 2,4,6,…

2,4,9,…

1,2,3,…

1,4,9,… n

2,3,4,… 1,2,3,…

3,4,5,…

0,1,2,…

3,2,1,…


=======================================================

เอกสารแนะแนวทาง 1.4 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ โดยการใชฟงกชนพหนาม

ค าชแจง ใหนกเรยนเตม จ านวน ขอความ หรอประโยคสญลกษณทถกตองลงในชองวางใหถกตอง

1) จงหาพจนทวไปของล าดบ -5 , -3 , -1 , 1 , 3 วธท า จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน

-5 -3 -1 1 3 2 2 2 2 จะเหนวาผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป na =an+b แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1,2,3,4,5 จาก na = an+b จะได a1 = a + b = -5 (1) a2 = 2a + b = -3 (2) a3 = 3a + b = …… (3) a4 = ……... = …… (4) a5 = ……... = …… (5) แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b จาก (1) จะได a = -5 - b แทนคา a = -5 - b ในสมการ(2) จะได 2(-5-b)+b = -3 ……… = ……… ……… = ……… ……… = ……… ……… = ……… จาก a = -5 – b แทนคา b จะได a = ……… = ……… แทนคา a = ……. , b = …….. ในฟงกชนพหนาม na =an+b จะได an = ……… ดงนนพจนทวไป หรอ an = ……… เมอ ………………………………


=======================================================

2) จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 13 , … วธท า จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน

1 3 7 13 ผลตางครงท 1

2 4 6 ผลตางครงท 2 2 2 จะเหนวาผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an2 + bn + c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 จาก an = an2 + bn + c จะได a1 = a + b + c = 1 (1) a2 = 4a + 2b + c = …. (2) a3 = …………… = …… (3) a4 = …….……... = …… (4) แกระบบสมการเชงเสนเพอหาคาของ a , b และ c (2) – (1) จะได …………… = …… (5) (3) – (2) จะได …………… = …… (6) (6) – (5) จะได …………… = …… …………… = …… แทนคา a = ……. ใน (5) จะได b = …… แทนคา a = … และ b = …ใน(1) จะได ….. = …… an = ………………. เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 จะได a1 , a2 , a3 , a4 เทากบคาทก าหนดให แสดงวา an = ……………….. เปนพจนทวไปของล าดบทก าหนดให

ความพยายามอยทไหน

ความส าเรจอยทนนนะคะเพอน


=======================================================

ใบความรท 1.4 การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม

จดประสงคการเรยนร สามารถหาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได

การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม

การหาพจนทวไปของล าดบทกลาวมาตามหวขอ 1.3 เปนการหาโดยใชการสงเกตความสมพนธของแตละพจนกบล าดบของพจน ซงในบางครงอาจจะไมสะดวกทจะใชวธการดงกลาว อกวธหนงทนยม ใชกนคอ การใชฟงกชนพหนามหาพจนทวไปดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 2 , 1 , 0 , – 1 , – 2

วธท า จะไดผลตางระหวางพจนทอยตดกน ดงน

2 1 0 – 1 – 2

– 1 – 1 – 1 – 1 จะเหนวา ผลตางครงท 1 มคาคงทเทากบ – 1 ใหพจนทวไปของล าดบนอยใน รป an = an + b แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จะได a1 = a + b = 2 …………………. (1)

a2 = 2a + b = 1 …………………. (2) a3 = 3a + b = 0 …………………. (3)

a4 = 4a + b = -1 …………………. (4) a5 = 5a + b = -2 …………………. (5)

จาก (1) จะได a = 2 – b …………………. (6) แทนคา a ในสมการ (2) จะได 2(2 – b) + b = 1

4 – 2 b + b = 1 b = 3

แทนคา b ในสมการ (6) จะได a = – 1 ดงนน an = – n + 3 หรอ an = 3 – n

ในหวขอนตองอาศยความรเรอง

การแกระบบสมการนะคะเพอนๆ


=======================================================

ตวอยางท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด – 10 , – 5 , 0 , 5 , 10


– 10 – 5 0 5 10

5 5 5 5

จะเหนวา ผลตางครงท 1 มคาคงทเทากบ 5 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an + b แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จะได a1 = a + b = – 10 …………………. (1)

a2 = 2a + b = – 5 …………………. (2) a3 = 3a + b = 0 …………………. (3)

a4 = 4a + b = 5 …………………. (4) a5 = 5a + b = 10 …………………. (5)

จาก (1) จะได a = – 10 – b …………………. (6) แทนคา a ในสมการ (2) จะได 2 (–10 – b) + b = – 5 –20 – 2 b + b = – 5 – b = 15

b = – 15 แทนคา b ในสมการ (6) จะได a = 5 ตอบ an = 5n – 15 โดยล าดบบางล าดบผลตางของพจนทอยตดกนอาจจะไมคงตว แตถาน าผลตางดงกลาวมาหา

ผลตางของพจนทางขวา ลบ ดวยพจนทางซายทอยตดกนอกครง พบวามคาคงตวจะท าใหไดวาพจนทวไปของล าดบนเปน พหนามของ n ทมดกร 2 ดงตวอยางหนาถดไปนะคะ


=======================================================

ตวอยางท 3 จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด – 2 , 1 , 7 , 16


– 2 1 7 16

3 6 9 (ผลตางครงท 1) 3 3 (ผลตางครงท 2)

จะเหนวา ผลตางครงท 2 มคาคงทเทากบ 3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = 2an +bn+c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1, 2 , 3 , 4 จะได a1 = a + b + c = – 2 …………………. (1)

a2 = 4a + 2b + c = 1 …………………. (2) a3 = 9a + 3b + c = 7 …………………. (3)

a4 = 16a + 4b + c = 16 …………………. (4) (2) – (1) จะได 3a + b = 3 …………………. (5) (3) – (2) จะได 5a + b = 6 …………………. (6)

(6) – (5) จะได 3 = 2a นนคอ a = 32

แทนคา a ในสมการ (5) จะได b = 93 -2 = 3-

2

แทนคา a = 32 และ b = 3-

2 ในสมการ (1) จะได c = – 2 – 32 – ( 3-

2 ) = – 2

ดงนน an = 23 3n - n -22 2

วธลด สตร k21n 1 11

d (n-1)(n -2)...(n -k)d (n-1)(n -2)a = a +d (n-1) + +. . .+2 ! k !

โดยท d11 เปนผลตางของพจนทอยตดกนครงท 1 คแรก d21 เปนผลตางของพจนทอยตดกนครงท 2 คแรก

dk เปนคาคงท ( ผลตางของพจนทอยตดกนครงท k )

โดยมแบบรปสมการ ดงน an = an2 + bn + c เมอ 1 1 1d 3da= , b = b - , c = a - b +d2 2

.

.

.

การเรยนร….เปนสะพาน

ไปสบณฑต


=======================================================

1 = 2 + 2 - 1 = d + b - a = c

1- = 2

3(2) - 2 =

23d

- b = b

1 = 22

= 2d

= a

11

1

ตวอยางท 4 จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 13 , ...

วธท า พจารณาผลตางของสองพจนทอยตดกนจะพบวา

1 3 7 13

2 4 6 (ผลตางครงท 1) 2 2 (ผลตางครงท 2)

จะเหนวา ผลตางครงท 2 มคาคงทเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = 2an +bn+c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1, 2 , 3 , 4 จะได a1 = a + b + c = 1 ………………(1)

a2 = 4a + 2b + c = 3 …………......(2) a3 = 9a + 3b + c = 7 ……….…..…(3)

a4 = 16a + 4b + c = 13 ……….….…(4) (2) – (1) จะได 3a + b = 2 ……………...(5) (3) – (2) จะได 5a + b = 4 ……………...(6) (6) – (5) จะได 2 = 2a นนคอ a = 1 แทนคา a = 1 ในสมการ ( 5 ) จะได 2 = 3( 1 ) + b b = -1 แทนคา a = 1 และ b = -1 ในสมการ ( 2 ) จะได c = 1 ดงนน พจนทวไปของล าดบคอ an = 2an +bn+c วธท า 2 ( วธลด ) จากสตร an = 2an +bn+c เมอ ดงนน พจนทวไปของล าดบคอ an = n2 – n + 1 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4

ยากไหมแตคงไมเกน

ความพยายาม


=======================================================

แบบฝกกจกรรมท 1.4

การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม

ค าชแจง ใหนกเรยนแสดงวธท าการหาพจนของล าดบโดยใชฟงกชนพหนามตอไปน

1. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 2 , 5 , 8 , 11 , 14 2. จงหาพจนทวไปของล าดบ 2 , 10 , 26 , 50 , …

3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 5 , 9 , 16 , 26 , …

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


=======================================================

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ล าดบ

ค าชแจง แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน ใชเวลาสอบ 20 นาท ค าสง ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตองทสด จาก ก, ข, ค และ ง แลวท าเครองหมาย ลงในชอง บนกระดาษค าตอบ

1. ขอใดถกตอง ก. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมลบ ข. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนจรงบวก ค. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตม ง. ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก

2. ขอใดตอไปนถกตอง ก. 1, 3, 9, … 3n – 1, … เปนล าดบจ ากด ข. an = 2n – 1 เปนล าดบจ ากด ค. an = (-1)n + 2 เปนล าดบอนนต ง. 1, 2, 3, 4, …, n เปนล าดบอนนต

3. ขอใดเปนล าดบ ก. {(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6)} ข. {(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)}

ค. {(1,2), (2,4), (3,5), …, (8,10)} ง. {(2,3), (4,6), (8,9), (16,12)}

4. ฟงกชนในขอใดเปนล าดบอนนต ก. x, y y =4x, x =1,2,3,4,...,10 ข. +x, y y =5x +2, x I ค. -x, y y = 3x -1, x I ง. 2x, y y =3x +1, x =1,2,3,4

5. ฟงกชนในขอใดเปนล าดบจ ากด

ก. {(1,5), (2,7), (3,12), (4,17), (5,22)} ข. {(2,4), (4,6), (6,8), …} ค. {(2,1), (4,2), (8,3), (16,4)} ง. {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4), (e,5), (f,6)}


=======================================================

6. ล าดบ 3 3 3 3, , ,4 8 16 32 คอสพจนแรกของล าดบขอใด

ก. an = 12n

ข. an = n+13

2

ค. an = n12

ง. an = 32n

7. ขอใดคอสพจนแรกของล าดบ an = 3n – 2

ก. 1, 4, 7, 10 ข. 1, 2, 3, 4 ค. 3, 6, 9, 12 ง. 1, 3, 6, 9

8. พจนทวไปของล าดบ 3, 5, 9, 15,… คอขอใด

ก. an = (n + 1)2 ข. an = n2- n + 3

ค. an = 3n2- n + 1 ง. an = n2+n

9. สองพจนถดไปของล าดบ 24, 8, 83

, 89

, … คอขอใด

ก. 8 8,12 15

ข. 8 8,18 27

ค. 8 8,18 81

ง. 8 8,27 81

10. สองพจนถดไปของล าดบ 15, 30, 60, 120 คอขอใด

ก. 180, 240 ข. 360, 480 ค. 240, 360 ง. 240, 480

หวงวาทกคนจะท าขอสอบดวยความตงใจ

ไดคะแนนเตมแนนอน...... ส ส นะ


=======================================================

กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน

ชดท 1 เรอง ล าดบ

ลงชอ..............................................................................ผตรวจ (.....................................................)

ลงชอ............................................................................ครผสอน ( นางสาววภาภรณ สเทว )

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนทได


=======================================================

บรรณานกรม กนกวล อษณกรกลและรณชย มาเจรญทรพย. (2548). คณตศาสตรพนฐานและเพมเตมเรองล าดบและ อนกรม ชวงชนท 4 (ม.4 – ม.6). กรงเทพฯ : เดอะบคส. กระทรวงศกษาธการ. (2553). หนงสอเรยนสาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา. ณรงค ปนนมและคณะ. (2546). คมอเตรยมสอบคณตศาสตรรวม ม.4-5-6. กรงเทพฯ : ภมบณฑต. พพฒนพงศ ศรวศร. (2554). คณตศาสตรพนฐาน ม.4-6 เลม 3. กรงเทพฯ : เดอะบคส จ ากด. วทย สวรรณธาดา. (2552). New สรปเขมคณตศาสตรพนฐานและเพมเตม ม.5. กรงเทพฯ : แมค. ศภกจ เฉลมวสตมกล. (2554). หนงสอเรยนคณตศาสตรพนฐาน ม. 5 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ : แมค. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2546). คมอครสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 5. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพ

ครสภา. ________. (2554). หนงสอเรยนเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐานคณตศาสตร เลมท 3 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. พมพครงท 3. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา. ________. (2554). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา. ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : ไทยวฒนาพานช. อเนก หรญ และกวยา เนาวประทป. (2547). คณตศาสตรพนฐาน 5 ชวงชนท 4 (ม.4–ม.6) ส าหรบ นกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร.


=======================================================

ภาคผนวก


=======================================================

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 เรอง ล าดบ

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

เปนไงบางท าถกกน

หมดเลยใชไหมคะ


=======================================================

เฉลยคณตคดสนก 1

ตามหาฉนใหเจอ

ชดท 1

ตวเลขทหายไป คอ .......75..........

ชดท 2

ตวเลขทหายไป คอ .....14............

ชดท 3

ตวเลขทหายไป คอ .....-9............

ชดท 4

ตวเลขทหายไป คอ ... 12 ., ... 16

1 ..........

95 85 55 ……

…

65

7 21 ……. 28 35

…… 18 -36 72 -144

1 ………….. ………


=======================================================

เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.1 เรอง ความหมายของล าดบ

1) ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ 1.1

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4 รปท 5

ในแบบรปขางตนพบวา ล าดบของรปและจ านวนจดในรป มความสมพนธกนดงน รปท 1 2 3 4 5

จ านวนจด 1 3 6 10 15

จากตารางความสมพนธของล าดบของรปและจ านวนจดคอ f = {(1,1), (2,3), (3,6), (4,10), (5,15)} ความสมพนธทไดเปนฟงกชนหรอไม………เปน………………………………………..…….. มโดเมนคอ ………{1,2,3,4,5}…………และมเรนจคอ……..{1,3,6,10,15}………………

1.2 1 2 3 4

ในแบบรปขางตน ล าดบของรปและจ านวนพนทในรปมความสมพนธกนดงน รปท 1 2 3 4

จ านวนพนท(ตารางหนวย) 1 4 9 16

จากตารางความสมพนธของล าดบของรปและจ านวนพนทคอ f = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} เปนฟงกชนหรอไม ……เปน……………………. มโดเมนคอ ………………{1,2,3,4,5}…………… และมเรนจคอ ……..{1,4,9,16}………………

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เชนเดยวกบฟงกชนในขอ 1.1 , 1.2 เรยกวา ล าดบ

ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก โดยเรมตงแต 1


=======================================================

เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.1

เรอง : ความหมายของล าดบ

1. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางพรอมทงพจารณาวา ขอใดเปนล าดบหรอไมเปนล าดบ โดยเขยนเครองหมาย ใหตรงค าตอบทถกตอง

ขอ ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบ

เปน ไมเปน 1 f = {(1,1) , (2,4) , (3,9)} {1,2,3} 2 f = {(0,2) , (1,3) , (2,4) , (3,5)} {0,1,2,3} 3 f = {(2,4) , (4,8) , (6,12) , (8,16) , …} {2,4,6,8,…} 4 f = {(1,a) , (3,b) , (5,c) , (7,d)} {1,3,5,7} 5 f = {(1,x) , (2,y) , (3,z) , (4,w)} {1,2,3,4} 6 f = {(1,-1) , (2,-2) , (3,-3) , (4,-4) , …} {1,2,3,4,…} 7 f = {(a,1), (1,2), (b,3), (2,1), (c,3), (3,3)} { a,1,b,2,c,3} 8 2

na =n -1 เมอ n 3,4,5,6 {3,4,5,6}

9 f = x, y y = 4x เมอ x =1,2,3,...,10 {1,2,3,4,…,10}

10 f = { (x,y) | y = x2 + x , x I และ x < 4 } {3,2,1,0,-1,-2,…}

11 f = { (x,y) | y = x +1 ,2 x +I และ x ≥ 1 } {1,2,3,4,…}

12 f = { (x,y) | y = 2x –1 และ x ≥ 3 } จ านวนทกจ านวนทมากกวา 3 13 f = x, y | y = 2x +1 , x +I {1,2,3,4,…}

14 f = n nn-1n,a | a =2 , n I {-1,-2,-3,-4,…}

15 f = x, y y = 3x , x R R


=======================================================

2. ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางและท าเครองหมาย ใหตรงชองล าดบทถกตอง

ขอ ฟงกชน โดเมนของฟงกชน ล าดบจ ากด ล าดบอนนต 1 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , (4,6)} {1,2,3,4} 2 {(1,1) , (2,2) , (3,4) , (4,8) , …} {1,2,3,4,…} 3 {(1,5) , (2,25) , (3,125) , …} {1,2,3,4,…} 4 {(1,0.1) , (2,0.01) , (3,0.001)} {1,2,3} 5 {(1,-2),(2,-4),(3,-6),…,(10,-20)} {1,2,3,4,…,10} 6 {(1,1) , (2,4) , (3,8) , … , n-1n,2 } {1,2,3,4,…,n}

7 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , … {1,2,3,4,…} 8 0 , -5 , -10 , -15 , … , -100 {1,2,3,4,…21} 9 {(1,3) , (2,4) , (3,5) , … , (n,n+2) , …} {1,2,3,4,…,n,…} 10 a =2n+1,n 1,2,3,...,20n {1,2,3,4,…,20}

11 2x,y y =3a -5 เมอ x = 1,2,3,4,5 {1,2,3,4,5}

12 x, y | y = 2x , x +I {1,2,3,4,…}

13 2 n,n +3n | n , n< 4+I {1,2,3,}

14 x, y y = x+1, x I เมอ 0 < x 8 {1,2,3,…,8}

15 x, y y = x+2 เมอ x =1,2,3,...,15 {1,2,3,…,15}

ล ำดบจ ำกด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก n ตวแรก ล ำดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวก


=======================================================

เฉลยเอกสารแนะแนวทางท 1.2 เรอง การเขยนล าดบ

ค าชแจง พจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ

1. ให f(x) = x+2 เมอ x { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ถา x = 1 จะได f(1) = 1 + 2 = 3 ถา x = 2 จะได f(2) = 2 + 2 = 4 ถา x = 3 จะได f(3) = 3 + 2 = 5 ถา x = 4 จะได f(4) = 4 + 2 = 6 ถา x = 5 จะได f(5) = 5 + 2 = 7

ฟงกชนดงกลาวเปน ล าดบ .....จ ากด....... (จ ากด / อนนต) เมอน าคา f(1) , f(2) , f(3) , f(4) , f(5) มาเขยนเรยงกน จะได 3,4,5,6,7

การเรยงล าดบในลกษณะน เรยกวา การเขยนล าดบโดยการแจงพจน เนองจากโดเมน คอ {1,2,3,4,5} เรนจ คอ {3,4,5,6,7} นนคอ การน าสมาชกของเรนจมาเขยนเรยงล าดบกนไป เรยกวา . ล าดบ . และเรยก f(1) วา พจนท 1 ของล าดบ f(2) วา พจนท 2 ของล าดบ f(3) วา พจนท 3 ของล าดบ f(4) วา พจนท 4 ของล าดบ f(5) วา พจนท 5 ของล าดบ

2. ถา f(n) = 10 – 2n เมอ n {1, 2, 3, . . ., 9} จาก f(n) = 10 – 2n f(1) = 10 – 2(1) = 10 – 2 = 8 f(2) = 10 – 2(2) = 10 – 4 = 6 f(3) = 10 – 2(3) = 10 – 6 = 4 . . . . . . . . . . . . f(9) = 10 – 2(9) = 10 – 18 = -8 ถาเขยนล าดบโดยการแจงพจนจะไดล าดบ คอ {8, 6, 4, . . ., -8} เปนล าดบ จ ากด (จ ากด / อนนต)


=======================================================

เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.2 เรอง การเขยนล าดบ

1. จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

ฟงกชน เขยนแบบแจกแจงพจน (a1, a2, a3,…,an,…) 1. {(1,–1), (2,5), (3,11), (4,17)} -1 , 5 , 11 , 17 2. {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3), …} 0 , 1 , 2 , 3 , … 3. {(1,4), (2,6), (3,8), (4,10), …, (7,16)} 4 , 6 , 8 , 10 , … , 16 4. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)} 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

2. ใหนกเรยนหาพจนตางๆ ของล าดบทก าหนดใหตอไปน 2) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 2) -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 ตอบ a2=.…4..… a4=.…8..… a6=.…12..… ตอบ a1=.…-4..… a2=.…-2..… a7=.…8..…

3) 7, 14, 21, 28, 35, 42 4) 4, 9, 16, 25, 36,…,(n+1),… ตอบ a2=.…14..… a5=.…35.. a6=.…42..… ตอบ a3=.…16.… a4=.…25.… a5=…36...

3. ใหนกเรยนเขยนล าดบตอไปนในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบใหสมบรณ 1) ก าหนดล าดบ f(n) = 10 – 2n เมอ n { 1 , 2 , 3 } ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ 8 , 6 , 4 2) ก าหนดล าดบ an = 2n2 เมอ n { 1 , 2 , 3,…,8 }

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ 2 , 8 , 18 , 32.,…,128

f(1) = 10 – 2(1) = 10 - 2 = 8 f(2) = 10 – 2(2) = 10 - 4 = 6

f(3) = 10 – 2(3) = 10 - 6 = 4

a1 = 2(12) = 2(1) = 2 a2 = 2(22) = 2(4) = 8

a3 = 2(32) = 2(9) = 18 a4 = 2(42) = 2(16) = 32

a8 = 2(82) = 2(64) = 128


=======================================================

4. จงหาสพจนแรกของล าดบตอไปน

1) an = 3 + (–1)n 2) an =n n-1

3) an = n2 - 2n + 1 4) n1+2na =1- 3n

5. จงหาพจนท 10 และพจนท 20 ของล าดบ an = (n – 1)(n + 1)

6. ก าหนดล าดบ an = 2n + 1 จงหาคาของ 4a35a +3

7. จงหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปน 1) 26 , 22 , 18, 14 ตอบ ……10.,.6……………………………………………………………………………………… 2) 1 , 3 , 5 , 7 ตอบ ….…9.,.11……………………………………………………………………………………… 3) 1 , 4 , 9 , 16 ตอบ ……25.,.36……………………………………………………………………………………… 4) 5 , 10 , 30 , 120 ตอบ ……600.,.3,600……………………………….……………………………………………… 5) 4 , 6 , 10 , 16 ตอบ ……24.,.34……………………………………….……………………………………………

a1 = 3 + (-1)1 = 3 – 1 = 2 a2 = 3 + (-1)2 = 3 + 1 = 4

a3 = 3 + (-1)3 = 3 – 1 = 2 a4 = 3 + (-1)4 = 3 + 1 = 4

a1 = 1(1-1) = 1(0) = 0 a2 = 2(2-1) = 2(1) = 2

a3 = 3(3-1) = 3(2) = 6 a4 = 4(4-1) = 4(3) = 12

a1 = 12 – 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 a2 = 22 – 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1

a3 = 32 – 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4 a4 = 42 – 2(4) + 1 = 16- 8+ 1 = 9

a1 = 1+2(1)1-3(1)

=1+21- 3

= 3-2

a2 = 1+2(2)1-3(2)

=1+41- 6

= 5-5

a3 = 1+2(3)1-3(3)

=1+61- 9

= 7-8

a4 = 1+2(4)1-3(4)

= 1+81-12

= 9-11

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ 2 , 4 , 2 , 4 ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ 0 , 2 , 6 , 12

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ 0 , 1 , 4 , 9

ดงนน ล าดบในรปแจงพจน คอ , , ,

วธท า จาก an = (n – 1)(n + 1) . จะได a10 = (10 – 1)(10 + 1) a20 = (20 – 1)(20 + 1) . a10 = (9)(11) a20 = (19)(21) . a10 = 99 a20 = 399 .

วธท า จาก an = 2n + 1 .

จะได a4 = 24 + 1 a3 = 23 + 1 นนคอ = .

a4 = 16 +1 a3 = 8 + 1 = 85 + 3 . a4 = 17 a3 = 9 = 88 .

…………………………………………………………………………………………………………………………………………


=======================================================


คนหาอจฉรยะ

ตารางจ านวนดานลางน แตละแถวจะเปนไปตามกฎทอยในรปลกโปงสมวงซายสดของแถว ทหวของแตละคอลมนเปนคาของจ านวน (n) ทจะใชใหเตมค าตอบทมความสอดคลองกบกฎทางซายและคา n ทหวของแตละคอลมน (จ าไววาใหค านวณคาทอยในวงเลบกอน)

1.

2.

3.

4.

5.

n=1 n=2 n=3 n=4

n+5

n-3

2n-1

n(n+2)

n2+3

6 7 8 9

-2 -1 0 1

1 3 5 7

3 8 15 24

4 12 7 19


=======================================================

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง 1.3 การหาพจนทวไปของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรปตอไปนพรอมเตมขอความลงในชองวางใหสมบรณ 1. ถาล าดบ คอ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 จะได 1a = 3 = 1 + 2 2a = 4 = 2 + 2 3a = 5 = 3 + 2 4a = 6 = 4 + 2 5a = 7 = 5 + 2 ดงนน na = n + 2 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 2. ถาล าดบ คอ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 จะได 1a = 2 = 1 2 2a = 4 = 2 2 3a = 6 = 3 x 2 . 4a = 8 = 4 x 2 . 5a = 10 = 5 x 2 . ดงนน na = n 2 = 2n เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 3. ถาล าดบ คอ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 จะได 1a = 1 = (1 2) – 1 2a = 3 = (2 2) – 1 3a = 5 = (3 x 2) – 1 4a = 7 = (4 x 2) – 1 5a = 9 = (5 x 2) – 1 ดงนน na = (n 2) – 1 = 2n – 1 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 4. ถาล าดบ คอ 2 , 4 , 8 , 16 , 32 จะได 1a = 2 = 12 2a = 4 = 22 3a = 8 = 23

4a = 16 = 24 5a = 32 = 25 ดงนน na = n

2 เมอ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5


=======================================================

เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.3 การหาพจนทวไปของล าดบ

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบใหถกตองสมบรณ 1. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากดตอไปน

1) ถาล าดบ คอ -5 , -2 , 1 , 4 , ... จะได 1a = -5 = 3 – 8 = 3(1) - 8

2a = -2 = 6 – 8 = 3(2) - 8

3a = 1 = 9 – 8 = 3(3) - 8

4a = 4 = 12 – 8 = 3(4) - 8 ดงนน

na = 3n – 8 2) ถาล าดบ คอ 8 , 9 , 10 , 11 , 12

จะได 1a = 8 = 1 + 7 .

2a = 9 = 2 + 7 .

3a = 10 = 3 + 7 .

4a = 11 = 4 + 7 .

5a = 12 = 5 + 7 . ดงนน

na = n + 7 3). ถาล าดบ คอ 4 , 8 , 12 , 16 , 20

จะได 1a = 4 = 4 x 1 .

2a = 8 = 4 x 2 .

3a = 12 = 4 x 3 .

4a = 16 = 4 x 4 .

5a = 20 = 4 x 5 . ดงนน

na = 4n 4) ถาล าดบ คอ 3 , 9 , 27 , 81 , 243

จะได 1a = 3 = 31 .

2a = 9 = 32 .

3a = 27 = 33 .

4a = 81 = 34 .

5a = 243 = 35 . ดงนน

na = n3


=======================================================

5) ถาล าดบ คอ 0.2 , 0.02 , 0.002 , 0.0002 , 0.00002 จะได 1a = 0.2 = 2 x 10-1 .

2a = 0.02 = 2 x 10-2 .

3a = 0.002 = 2 x 10-3 .

4a = 0.0002 = 2 x 10-4 .

5a = 0.00002 = 2 x 10-5 . ดงนน

na = 2 x 10-n

6) ถาล าดบ คอ 1 1 1 11, , , ,2 3 4 5

จะได 1a = 1 = 10+1

2a = 12 = 1

1+1

3a = 13 = 1

2+1

4a = 1

4 = 13+1

5a = 1

5 = 14 +1

ดงนน na = 1n+1

7). ถาล าดบ คอ 1

2 , 2

3 , 3

4 , 4

5 , 5

6

จะได 1a = 1-2 =

11(-1)1+1

2a = 23 =

22(-1)2+1

3a =

3-4 =

33(-1)3+1

4a = 4

5 = 44(-1)

4 +1

5a = 5-

6 = 55(-1)

5+1

ดงนน na = nn(-1)

n+1

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .


=======================================================


ดอกไมของความเทากน

จงขดเสนใตจ านวนทอยในกลบดอกไมทมคาเทากบล าดบตรงกลางของดอกไม

2,3,4,5

n2

n+1

n-1

n2-1

2n+1 3,6,9,…

2n 3n

3n+1

2n-2

n

n2

1,2,4,… 2,4,6,…

2,4,9,…

1,2,3,…

1,4,9,… n

2,3,4,… 1,2,3,…

3,4,5,…

0,1,2,…

3,2,1,…


=======================================================

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง 1.4 เรอง การหาพจนทวไปของล าดบ โดยการใชฟงกชนพหนาม


1) จงหาพจนทวไปของล าดบ -5 , -3 , -1 , 1 , 3 วธท า จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน

-5 -3 -1 1 3 2 2 2 2 จะเหนวาผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an + b แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1,2,3,4,5 จาก an = an + b จะได a1 = a + b = -5 (1) a2 = 2a + b = -3 (2) a3 = 3a + b = -1 (3) a4 = 4a + b = 1 (4) a5 = 5a + b = 3 (5) แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b จาก (1) จะได a = -5 - b แทนคา a = -5 - b ในสมการ (2) จะได 2(-5-b)+b = -3

-10-2b+b = -3 . -10 - b = -3 . b = -10+3 b = -7 จาก a = -5 – b แทนคา b จะได a = -5-(-7) = 2 . แทนคา a = 2 , b = -7 ในฟงกชนพหนาม an = an + b จะได an = 2n – 7 ดงนนพจนทวไป หรอ an = 2n – 7 เมอ n = 1,2,3,4,5


=======================================================

2) จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 , 3 , 7 , 13 , …

วธท า จากล าดบทก าหนดให หาผลตางระหวางสองพจนทอยตดกนไดดงน 1 3 7 13 ผลตางครงท 1

2 4 6 ผลตางครงท 2 2 2 จะเหนวาผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 2 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an2 + bn + c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 จาก an = an2 + bn + c จะได a1 = a + b + c = 1 (1) a2 = 4a + 2b + c = 3 (2) a3 = 9a + 3b + c = 7 (3) a4 = 16a + 4b + c = 13 (4) แกระบบสมการเชงเสนเพอหาคาของ a , b และ c (2) – (1) จะได 3a + b = 2 (5) (3) – (2) จะได 5a + b = 4 (6) (6) – (5) จะได 2a = 2 . a = 1 . แทนคา a = 1 ใน (5) จะได b = -1 . แทนคา a = 1 และ b = -1 ใน(1) จะได …c.. = 1 . na = n2 –n + 1 เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 จะได 1a , 2a , 3a , 4a เทากบคาทก าหนดให แสดงวา na = n2 – n + 1 เปนพจนทวไปของล าดบทก าหนดให


=======================================================

เฉลยแบบฝกกจกรรมท 1.4 การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม


1. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากด 2 , 5 , 8 , 11 , 14

วธท า ถาล าดบ คอ 2 , 5 , 8 , 11 , 14 จะไดผลตางระหวางพจนทอยตดกน ดงน

จะเหนวา ผลตางครงท 1 คงทและมคาเทากบ 3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an + b แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จาก an = an + b จะได a1 = a + b = 2 (1) a2 = 2a + b = 5 (2) a3 = 3a + b = 8 (3)

a4 = 4a + b = 11 (4) a5 = 5a + b = 14 (5) แกระบบสมการเชงเสนเพอหา a , b จาก (1) จะได a = 2 - b . แทนคา a ในสมการ (2) จะได 2(2-b) + b = 5 .

4 - 2b +b = 5 . 4 - b = 5 . b = 4 – 5 . b = - 1 .

แทนคา b ในสมการ a = 2 - b . จะได a = 2 – (-1) . = 3 . แทนคา a = 3 , b = -1 ในฟงกชนพหนาม an = an + b จะได an = 3n - 1 ดงนนพจนทวไป หรอ an = 3n – 1 เมอ n = 1,2,3,4,5

11 5 2 8 14

3 3 3 3


=======================================================

2. ถาล าดบ คอ 2 , 10 , 26 , 50 , …


(ผลตางครงท 1) (ผลตางครงท 2) จะเหนวา ผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 8 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an2 + bn + c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 จาก an = an2 + bn + c จะได a1 = a + b + c = 2 (1) a2 = 4a + 2b + c = 10 (2) a3 = 9a + 3b + c = 26 (3) a4 = 16a + 4b + c = 50 (4) แกระบบสมการเชงเสนเพอหาคาของ a , b และ c (2) – (1) จะได 3a + b = 8 (5) (3) – (2) จะได 5a + b = 16 (6) (6) – (5) จะได 2a = 8 . a = 4 . แทนคา a = 4 ใน (5) จะได b = -4 . แทนคา a = 4 และ b = -4 ใน(1) จะได …c.. = 2 . an = 4n2 –4n + 2 เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 จะได a1 , a2 , a3 , a4 เทากบคาทก าหนดให แสดงวา an = 4n2 –4n + 2 เปนพจนทวไปของล าดบทก าหนดให

2 10 26 50

8 16 24

8 8


=======================================================

3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 5 , 9 , 16 , 26 , …


(ผลตางครงท 1) (ผลตางครงท 2) จะเหนวา ผลตางครงทสองคงท และมคาเทากบ 3 ใหพจนทวไปของล าดบนอยในรป an = an2 + bn + c แทนคา n ในพจนทวไปดวย 1 , 2 , 3 , 4 จาก an = an2 + bn + c จะได a1 = a + b + c = 5 (1) a2 = 4a + 2b + c = 9 (2) a3 = 9a + 3b + c = 16 (3) a4 = 16a + 4b + c = 26 (4) แกระบบสมการเชงเสนเพอหาคาของ a , b และ c (2) – (1) จะได 3a + b = 4 (5) (3) – (2) จะได 5a + b = 7 (6) (6) – (5) จะได 2a = 3 .

a = 32

แทนคา a = 32 ใน (5) จะได b = 1-

2 .

แทนคา a = 32 และ b = 1-

2 ใน(1) จะได …c.. = 4 .

an = 32 n2 – n

2 + 4

เมอแทน n ดวย 1 , 2 , 3 จะได a1 , a2 , a3 , a4 เทากบคาทก าหนดให

แสดงวา an = 32 n2 – n

2 + 4 เปนพจนทวไปของล าดบทก าหนดให

5 9 16 26

4 7 10

3 3


=======================================================

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ชดท 1 เรอง ล าดบ

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ตรวจเฉลยแลว คะแนนหลงสอบคง

ไดเยอะกอนสอบใชไหมคะ เกงจง

เลย


=======================================================

1. น.ส.เณศรา พฒนพนธ นกเรยนระดบชน ม.5/1

ทมาภาพประกอบ

นกเรยนโรงเรยนดอนเมองทหารอากาศบ ารง ปการศกษา 2558

2. น.ส.ทพรดา เกดด นกเรยนระดบชน ม.5/1

ค าน า - kroobannok.com · 3.7 คณิตคิดสนุก เอกสารแนะแนวทาง ใบความรู้ แบบฝึกกิจกรรม

Documents