9711 Flows Lonely Runner (1).Ps

8/10/2019 9711 Flows Lonely Runner (1).Ps

1/11

F l o w s , V i e w - O b s t r u c t i o n s a n d t h e L o n e l y R u n n e r

W o j c i e c h B i e n i a

1

L u i s G o d d y n

2

P a v o l G v o z d j a k

3

A n d r a s S e b } o

4

M i c h a e l T a r s i

5

F e b r u a r y 1 0 , 1 9 9 7

1

E N S I M A G , L a b o r a t o i r e L e i b n i z - I M A G , F r a n c e

2

S i m o n F r a s e r U n i v e r s i t y , V a n c o u v e r , C a n a d a . R e s e a r c h s u p p o r t e d b y N S E R C o f C a n a d a

3

S i m o n F r a s e r U n i v e r s i t y , V a n c o u v e r , C a n a d a .

4

C N R S , L a b o r a t o i r e L e i b n i z - I M A G , F r a n c e . R e s e a r c h s u p p o r t e d b y W . C u n n i n g h a m ' s g r a n t o f N S E R C

o f C a n a d a

5

T e l A v i v U n i v e r s i t y , I s r a e l . R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y a g r a n t f r o m t h e I s r a e l S c i e n c e F o u n d a t i o n .


2/11

A b s t r a c t

W e p r o v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

L e t G b e a n u n d i r e c t e d g r a p h . I f G h a s a n o w h e r e z e r o o w w i t h a t m o s t k d i e r e n t

v a l u e s , t h e n i t a l s o h a s o n e w i t h v a l u e s f r o m t h e s e t f 1 ; : : : ; k g

W h e n k 5 , t h i s i s a t r i v i a l c o n s e q u e n c e o f S e y m o u r ' s \ s i x - o w t h e o r e m " . W h e n k 4 o u r p r o o f

i s b a s e d o n a l o v e l y n u m b e r t h e o r e t i c p r o b l e m w h i c h w e c a l l t h e \ L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e " .

S u p p o s e k r u n n e r s h a v i n g n o n z e r o c o n s t a n t s p e e d s r u n l a p s o n a u n i t - l e n g t h c i r c u l a r

t r a c k . T h e n t h e r e i s a t i m e a t w h i c h a l l r u n n e r s a r e a t l e a s t 1 = ( k + 1 ) f r o m t h e i r c o m m o n

s t a r t i n g p o i n t .

T h i s c o n j e c t u r e a p p e a r s t o h a v e b e e n f o r m u l a t e d b y J . W i l l s ( M o n t a s h . M a t h . 7 1 ( 1 9 6 7 ) ) a n d

i n d e p e n d e n t l y b y T . C u s i c k ( A e q u a t i o n e s M a t h . 9 ( 1 9 7 3 ) ) . F o r t u n a t e l y f o r o u r p u r p o s e s , t h i s

c o n j e c t u r e h a s b e e n v e r i e d f o r k 4 b y C u s i c k a n d P o m e r a n c e ( J . N u m b e r T h e o r y 1 9 ( 1 9 8 4 ) ) i n

a c o m p l i c a t e d a r g u m e n t i n v o l v i n g e x p o n e n t i a l s u m s a n d e l e c t r o n i c c a s e c h e c k i n g . A m a j o r p a r t o f

t h i s p a p e r i s a n e l e m e n t a r y s e l f - c o n t a i n e d p r o o f o f t h e c a s e k = 4 o f t h e L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e .

A M S C l a s s i c a t i o n s ( 1 9 9 1 ) : 1 1 J 1 3 , ( 0 5 B 3 5 , 0 5 C 1 5 , 0 5 C 5 0 , 1 1 J 7 1 , 1 1 K 6 0 , 5 2 C 0 7 , 9 0 B 1 0 )

K e y w o r d s : N o w h e r e z e r o o w , r e g u l a r m a t r o i d , d i o p h a n t i n e a p p r o x i m a t i o n , v i e w o b s t r u c t i o n .

S h o r t t i t l e : F l o w s a n d V i e w O b s t r u c t i o n s


3/11

1 I n t r o d u c t i o n

L e t G = ( V ; E ) b e a n u n d i r e c t e d g r a p h . A n o w h e r e z e r o o w o f G i s a n o r i e n t a t i o n o f G s u p p l i e d

w i t h a v e c t o r f = ( f

e

) o f p o s i t i v e i n t e g e r s i n d e x e d b y E ( G ) , s u c h t h a t f o r e v e r y v 2 V ( G ) t h e s u m

o f f

e

o n e d g e s e n t e r i n g v i s t h e s a m e a s t h a t o n e d g e s l e a v i n g v . T h e n u m b e r f

e

i s c a l l e d t h e v a l u e

o f t h e e d g e e . T h e t h e o r y o f n o w h e r e z e r o o w s i s a m a j o r t o p i c i n c o m b i n a t o r i c s r e l a t e d t o g r a p h

c o l o r i n g a n d t h e c y c l e d o u b l e c o v e r c o n j e c t u r e ; s e e 9 , 1 4 , 1 6 ] .

T h e m a i n r e s u l t o f t h i s p a p e r i s t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 1 . 1 L e t G b e a n u n d i r e c t e d g r a p h . I f G h a s a n o w h e r e z e r o o w w i t h a t m o s t k d i s t i n c t

v a l u e s , t h e n i t a l s o h a s o n e w i t h a l l v a l u e s f r o m t h e s e t f 1 ; : : : ; k g

I n v i e w o f t h e m a t r o i d d u a l i t y 1 6 , 1 5 , 9 , 1 1 , 1 4 ] b e t w e e n v e r t e x c o l o r i n g s a n d n o w h e r e z e r o

o w s t h e r e i s a c o g r a p h i c a n a l o g u e t o T h e o r e m 1 . 1 . A c o l o r i n g o f G i s a f u n c t i o n c : V ( G ) ! R , s o

t h a t f o r a l l x y 2 E , c ( x ) 6= c ( y )

T h e o r e m 1 . 2 I f G h a s a c o l o r i n g w i t h r e a l n u m b e r s s o t h a t t h e s e t f c ( x ) c ( y ) : x y 2 E g h a s a t

m o s t k d i s t i n c t v a l u e s , t h e n G h a s a ( k + 1 ) - c o l o r i n g ( a n d t h u s o n e w h e r e c ( x ) c ( y ) 2 f 1 ; : : : ; k g

f o r a l l x y 2 E )

T h e o r e m 1 . 2 i s e a s y t o p r o v e : B y o r i e n t i n g e a c h e d g e t o w a r d t h e e n d p o i n t w i t h t h e l a r g e r c o l o r

a n d i d e n t i f y i n g t h e c o l o r c l a s s e s , o n e o b t a i n s a n a c y c l i c d i g r a p h h a v i n g m a x i m u m o u t - d e g r e e k A n

e a s y g r e e d y a l g o r i t h m r e s u l t s i n a ( k + 1 ) - c o l o r i n g o f G

T h e o r e m 1 . 1 i s m o r e d i c u l t . O u r p r o o f r e l i e s o n S e y m o u r ' s s i x - o w t h e o r e m 1 3 ] a n d a n u m b e r

t h e o r e t i c r e s u l t o f C u s i c k a n d P o m e r a n c e 6 ] t o w h i c h w e g i v e a s h o r t p r o o f . W e s t a t e h e r e t h e

s i x - o w t h e o r e m . A g r a p h i s c a l l e d b r i d g e l e s s , i f i t h a s n o b r i d g e , w h e r e e 2 E i s a b r i d g e i f G e

h a s m o r e c o m p o n e n t s t h a n G

T h e o r e m 1 . 3 E v e r y b r i d g e l e s s g r a p h h a s a n o w h e r e z e r o o w w i t h v a l u e s f r o m t h e s e t f 1 ; : : : ; 5 g

T h e r e i s a c o m m o n g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m s 1 . 1 a n d 1 . 2 r e g a r d i n g o w s i n r e g u l a r m a t r o i d s

( s e e 1 1 , 1 5 ] ) w h i c h i s s t r o n g l y s u g g e s t e d b y S e y m o u r ' s r e g u l a r m a t r o i d d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m 1 2 ] .

A m a t r i x i s t o t a l l y u n i m o d u l a r i f e v e r y s u b d e t e r m i n a n t b e l o n g s t o f 0 ; 1 g

C o n j e c t u r e 1 . 4 L e t A b e a t o t a l l y u n i m o d u l a r m a t r i x a n d s u p p o s e t h a t A f = 0 h a s a r e a l s o l u t i o n

f = ( f

e

) w h e r e e a c h f

e

i s n o n z e r o a n d w h e r e f f

e

: e 2 E ( G ) g k . T h e n t h e r e e x i s t s a s o l u t i o n

f

0

= ( f

0

e

) w i t h e a c h f

0

e

2 f 1 ; 2 ; : : : ; k g

T h e a n a l o g o u s s t a t e m e n t c o n c e r n i n g g r o u p - v a l u e d o w s 1 6 , 9 ] i s f a l s e . F o r e x a m p l e , t h e g r a p h

w i t h t w o v e r t i c e s a n d t h r e e p a r a l l e l e d g e s h a s a o w w i t h r a n g e f 1 g i n Z

3

, b u t n o t i n t h e i n t e g e r s .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n S e c t i o n 2 , C o n j e c t u r e 1 . 4 i s r e d u c e d t o t h e \ L o n e l y R u n n e r

P r o b l e m " ; i n p a r t i c u l a r T h e o r e m 1 . 1 i s r e d u c e d t o t h e s p e c i a l c a s e k 4 . A g e n e r a l p r o o f t e c h n i q u e

f o r t h i s p r o b l e m i s i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 3 , a n d a p p l i e d t o t h e c a s e k = 4 i n S e c t i o n 4 .

1


4/11

2 R u n n e r s a n d F l o w s

L e t u s i n f o r m a l l y s t a t e t h e L o n e l y R u n n e r P r o b l e m : A t t i m e z e r o , k p a r t i c i p a n t s d e p a r t f r o m

t h e o r i g i n o f a u n i t l e n g t h c i r c u l a r t r a c k t o r u n r e p e a t e d l a p s . E a c h r u n n e r m a i n t a i n s a c o n s t a n t

n o n z e r o s p e e d . I s i t t r u e t h a t r e g a r d l e s s o f w h a t t h e s p e e d s a r e , t h e r e e x i s t s a t i m e a t w h i c h t h e

k r u n n e r s a r e s i m u l t a n e o u s l y a t l e a s t 1 = ( k + 1 ) u n i t s f r o m t h e s t a r t i n g p o i n t ? T h e t e r m \ l o n e l y

r u n n e r " r e e c t s a n e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n i n w h i c h t h e r e a r e k + 1 r u n n e r s w i t h d i s t i n c t s p e e d s .

I s t h e r e a t i m e a t w h i c h a g i v e n r u n n e r i s ` l o n e l y ' , t h a t i s , a t d i s t a n c e a t l e a s t 1 = ( k + 1 ) f r o m t h e

o t h e r s ? T h i s p o e t i c t i t l e ( g i v e n b y t h e s e c o n d a u t h o r ) m a d e i t s w a y t h r o u g h a n i n t e r n e t i n q u i r y

( o f t h e s e c o n d a n d l a s t a u t h o r ) u p t o t h e c o v e r p a g e o f a p u b l i c r e l a t i o n b o o k l e t f o r t h e W e i s s m a n

I n s t i t u t e i n I s r a e l 2 2 ] .

W e i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n . T h e s e t s o f r e a l n u m b e r s a n d p o s i t i v e i n t e g e r s a r e d e n o t e d R

a n d N r e s p e c t i v e l y . T h e r e s i d u e c l a s s o f a 2 R m o d u l o 1 ( c a l l e d t h e f r a c t i o n a l p a r t o f a ) i s

d e n o t e d b y h a i . W e v i e w t h e u n i t - l e n g t h c i r c l e C a s t h e s e t f h a i : a 2 R g , w h i c h w e f r e q u e n t l y

i d e n t i f y w i t h t h e r e a l i n t e r v a l 0 ; 1 ) . A n i n s t a n c e o f t h e l o n e l y r u n n e r p r o b l e m c o n s i s t s o f a s e t

o f r u n n e r s R : = f 1 ; 2 ; : : : ; k g a n d a s p e e d v e c t o r v : = ( v

1

; : : : ; v

k

) h a v i n g n o n z e r o r e a l e n t r i e s . A t

t i m e t = 0 , e a c h r 2 R b e g i n s r u n n i n g o n C f r o m t h e p o i n t 0 m a i n t a i n i n g t h e c o n s t a n t s p e e d

v

r

. T h e p o s i t i o n o f r u n n e r r o n C a t t i m e t i s h t v

r

i . T h e p o s i t i o n o f R a t t i m e t i s t h e v e c t o r

h t v i : = ( h t v

1

i ; : : : ; h t v

k

i ) 2 0 ; 1 )

k

. A v e c t o r x = ( x

1

; : : : ; x

k

) 2 0 ; 1 )

k

i s a p o s i t i o n ( f o r t h e s p e e d

v e c t o r v ) i f t h e r e e x i s t s t 2 R w i t h x = h t v i . T h e s e t o f a l l p o s i t i o n s i s d e n o t e d X = X ( v ) 0 ; 1 )

k

T h e d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s o n C i s t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e r o f t h e t w o ( a r c ) i n t e r v a l s b e t w e e n

t h e m . W e s a y t h a t r 2 R i s d i s t a n t ( f r o m 0 ) i n x 2 X o r a t t i m e t i f x

r

= h t v

r

i 2

1

k + 1

;

k

k + 1

A

s u b s e t R

0

R i s d i s t a n t ( i n s o m e p o s i t i o n x ) i f e a c h r 2 R

0

i s d i s t a n t i n x . ( h e r e , k i s u n d e r s t o o d

b y c o n t e x t t o e q u a l R , n o t R

0

)

T h e a f o r e m e n t i o n e d i n t e r n e t i n q u i r y l e d u s t o t h e f o l l o w i n g a s s e r t i o n , w h i c h w e c a l l t h e L o n e l y

R u n n e r C o n j e c t u r e . T h i s c o n j e c t u r e a p p e a r s t o h a v e b e e n i n t r o d u c e d b y J . W i l l s 1 7 ] a n d a g a i n ,

i n d e p e n d e n t l y b y T . C u s i c k 3 ] .

C o n j e c t u r e 2 . 1 F o r a l l k 2 N a n d v 2 ( R f 0 g )

k

, t h e r e e x i s t s a p o s i t i o n w h e r e R i s d i s t a n t .

T h i s p r o b l e m a p p e a r s i n t w o d i e r e n t c o n t e x t s . C u s i c k 3 , 4 , 5 , 6 ] w a s m o t i v a t e d b y a b e a u t i f u l

a p p l i c a t i o n i n n d i m e n s i o n a l g e o m e t r y | v i e w o b s t r u c t i o n p r o b l e m s . O u r s t a t e m e n t o f t h e p r o b l e m

i s c l o s e r t o t h e d i o p h a n t i n e a p p r o x i m a t i o n a p p r o a c h o f W i l l s 1 , 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 ] . A m o r e g e n e r a l

c o n j e c t u r e a p p e a r s i n 2 ] . T h e c a s e s k = 2 ; 3 ; 4 w e r e r s t p r o v e d i n 1 7 ] , 1 ] , 6 ] r e s p e c t i v e l y .

T h e o r e m 2 . 2 I f k 4 , t h e n f o r a n y v 2 ( R f 0 g )

k

t h e r e e x i s t s a t i m e a t w h i c h R i s d i s t a n t .

T h e p r o o f b y C u s i c k a n d P o m e r a n c e 6 ] o f t h e c a s e k = 4 i s n o t e a s y , a n d r e q u i r e s a c o m p u t e r

c h e c k . I n s e c t i o n s 3 a n d 4 w e p r o v i d e a s i m p l e s e l f - c o n t a i n e d p r o o f . S e c t i o n 3 a l s o c o n t a i n s a v e r y

s h o r t p r o o f f o r t h e c a s e k = 3

2


5/11

W e n o w p r o v e T h e o r e m 1 . 1 u s i n g T h e o r e m s 2 . 2 a n d 1 . 3 .

P r o o f o f T h e o r e m 1 . 1 . L e t f b e a n o w h e r e z e r o o w w i t h k d i e r e n t v a l u e s . I f k 5 , t h e n t h e

r e s u l t i s a t r i v i a l c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 1 . 3 s i n c e a n y g r a p h h a v i n g a n o w h e r e z e r o o w m u s t

b e b r i d g e l e s s . I f k 4 , t h e n b y T h e o r e m 2 . 2 t h e r e e x i s t s t 2 R s u c h t h a t t h e f r a c t i o n a l p a r t o f

e a c h e n t r y o f t f i s i n t h e i n t e r v a l

1

k + 1

;

k

k + 1

] . T h e o w t f i s a f e a s i b l e o w i n t h e e d g e - c a p a c i t a t e d

n e t w o r k ( G ; l ; u ) w h e r e l = b t f c a n d u = d t f e ( w e t a k e o o r s a n d c e i l i n g s c o m p o n e n t w i s e ) . B u t

t h e n t h e r e a l s o e x i s t s a f e a s i b l e i n t e g e r - v a l u e d o w f o r ( G ; l ; u ) ( F o r d a n d F u l k e r s o n 7 ] ) , i n w h i c h

e a c h e d g e e h a s v a l u e e i t h e r b t f

e

c o r d t f

e

e . L e t u s d e n o t e t h i s o w b y b t f e . T h u s t f b t f e i s a

o w w i t h a l l e n t r i e s i n

k

k + 1

;

1

k + 1

1

k + 1

;

k

k + 1

] . M u l t i p l y i n g t h i s o w b y k + 1 a n d r e o r i e n t i n g t h e

e d g e s c o r r e s p o n d i n g t o n e g a t i v e e n t r i e s y i e l d s a o w w i t h v a l u e s i n 1 ; k ] . A g a i n , t h e r e a l s o e x i s t s

t h e n a n i n t e g e r o w w i t h v a l u e s i n 1 ; k 2

N o t e : w e m a y l o o s e l y d e n o t e t h e n a l o w i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . 1 a s b ( k + 1 ) ( f b t f e ) e

W e r e m a r k t h a t t h i s p r o o f c a n b e d i r e c t l y g e n e r a l i z e d t o o w s i n r e g u l a r m a t r o i d s b y a p p l y i n g

H o m a n ' s t h e o r e m 8 ] i n o r d e r t o d e n e f

0

= b ( k + 1 ) ( f b t f e ) e . T h u s , C o n j e c t u r e 1 . 4 i s a w e a k

f o r m o f t h e L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e .

T h e o r e m 2 . 3 F o r a n y k 2 N , i f t h e L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e h o l d s t r u e f o r k r u n n e r s , t h e n t h e

s t a t e m e n t o f C o n j e c t u r e 1 . 4 h o l d s t r u e f o r t h a t p a r t i c u l a r v a l u e o f k

T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e . W i l l s 1 7 ] r e d u c e d

t h e L o n e l y R u n n e r C o n j e c t u r e f r o m t h e c a s e o f i r r a t i o n a l s p e e d s t o t h e r a t i o n a l c a s e . S o w h e n

p r o v i n g a n y c a s e k 1 , o n e c a n a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t v 2 N

k

, w h e n c e t h e s p e e d s

e x p r e s s t h e n u m b e r o f l a p s t h e r u n n e r s m a k e i n u n i t t i m e . O n e c a n f u r t h e r a s s u m e t h a t t 2 0 ; 1 ) ,

a l t h o u g h t h e r e i s u s u a l l y n o a d v a n t a g e i n d o i n g s o .

P r o o f o f T h e o r e m 2 . 2 w h e n k 2 T h e c a s e k = 1 i s t r i v i a l . I n c a s e k = 2 w e p r o v e a s t r o n g e r

s t a t e m e n t :

S u p p o s e v

1

; v

2

2 N a r e r e l a t i v e l y p r i m e s p e e d s . A t a n y t i m e t , t h e n e a r e r r u n n e r h a s

d i s t a n c e a t m o s t

v

1

+ v

2

2

= ( v

1

+ v

2

) . M o r e o v e r , t h i s b o u n d i s a c h i e v e d a t t i m e t =

v

1

+ v

2

f o r s o m e 2 N

W h e n e v e r t h e d i s t a n c e f r o m 0 t o t h e n e a r e r r u n n e r i s m a x i m u m , w e h a v e h t v

1

i = 1 h t v

2

i . T h i s

e q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y i f t i s a n i n t e g e r m u l t i p l e o f 1 = ( v

1

+ v

2

) . F o r s u c h t , b o t h r u n n e r s a r e

a t d i s t a n c e a = ( v

1

+ v

2

) f o r s o m e i n t e g e r a b

v

1

+ v

2

2

c . S i n c e g c d ( v

1

; v

1

+ v

2

) = 1 w e c a n s o l v e t h e

c o n g r u e n c e v

1

b ( v

1

+ v

2

) = 2 c m o d v

1

+ v

2

, t o o b t a i n a t i m e a t w h i c h t h e b o u n d o n a i s a c h i e v e d ,

p r o v i n g t h e s t a t e m e n t . 2

3


6/11

3 P r e - j u m p s

W e s t a t e t h e f a c t t h a t t h e s e t X o f p o s i t i o n s i s c l o s e d u n d e r a d d i t i o n m o d u l o 1 i n a p a r t i c u l a r f o r m

s u g g e s t i n g a t e c h n i q u e u s e d b y a l l t h e p r o o f s h e r e a f t e r .

( 1 ) I f x

1

; x

2

2 X a n d 2 Z , t h e n t h e v e c t o r x = h x

1

+ x

2

i 2 0 ; 1 )

k

i s a l s o i n X . I f m o r e o v e r ,

x

1

= h t

1

v i , x

2

= h t

2

v i , a n d t t

1

+ t

2

m o d 1 , t h e n x = h t v i

O u r u s e o f ( 1 ) i s a s f o l l o w s . W e r s t n o t e t h e e x i s t e n c e o f c e r t a i n \ k e y " p o s i t i o n s i n X w h i c h

w e c a l l p r e - j u m p s . I n t h e p r o o f o f o u r m a i n r e s u l t , i t s o m e t i m e s b e c o m e s c o n v e n i e n t t o a d d o n e o f

t h e s e p r e - j u m p s t o a p o s i t i o n t h a t h a s a l r e a d y b e e n c o n s t r u c t e d , t h e r e b y o b t a i n i n g a p o s i t i o n i n

w h i c h a l l r u n n e r s a r e d i s t a n t . O u r r s t e x a m p l e o f p r e - j u m p s w i l l b e u s e d i n a s h o r t p r o o f o f t h e

c a s e k = 3 . ( C o m p a r e w i t h t h e p r o o f s i n 1 ] a n d 3 ] . )

( 2 ) L e t v 2 N

k

, k 3 I f g c d ( v

1

; : : : ; v

k 1

) d o e s n o t d i v i d e v

k

, t h e n t h e r e e x i s t s a t i m e w h e n R i s

d i s t a n t i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a t i m e w h e n R n f k g i s d i s t a n t .

P r o o f . L e t d 2 b e t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r d e n e d i n t h e s t a t e m e n t , a n d s u p p o s e w i t h o u t

l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t g c d ( d ; v

k

) = 1 . T h e n

h

0

d

v

r

i = h

1

d

v

r

i = = h

d 1

d

v

r

i = 0 f o r r = 1 ; : : : ; k 1 , w h e r e a s

f h

0

d

v

k

i ; h

1

d

v

k

i ; : : : ; h

d 1

d

v

k

i g = f

0

d

;

1

d

; : : : ;

d 1

d

g

L e t n o w x = h t v i b e a p o s i t i o n w h e r e R n f k g i s d i s t a n t . S i n c e R n f k g i s a l s o d i s t a n t i n e a c h o f

t h e d p o s i t i o n s h x +

j

d

v i ( j = 0 ; 1 ; : : : ; d 1 ) , i t s u c e s t o s h o w t h a t k i s d i s t a n t i n o n e o f t h e s e

p o s i t i o n s . H o w e v e r , t h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t 1 = d i s a t m o s t t h e l e n g t h 1 2 = ( k + 1 ) o f t h e

i n t e r v a l o f d i s t a n t p o s i t i o n s s i n c e k 3 a n d d 2 2

P r o o f o f T h e o r e m 2 . 2 w h e n k 3 W e a s s u m e t h a t t h e s p e e d s v

1

; v

2

; v

3

a r e d i s t i n c t p o s i t i v e

i n t e g e r s h a v i n g n o c o m m o n f a c t o r . I f a l l t h r e e s p e e d s a r e o d d , t h e n h

1

2

v i = (

1

2

;

1

2

;

1

2

) , s o w e m a y

a s s u m e t h a t v

2

i s e v e n . B y ( 2 ) w e m a y f u r t h e r a s s u m e t h a t v

1

a n d v

3

a r e o d d . S o h

1

2

v i = (

1

2

; 0 ;

1

2

) ,

a n d t h i s w i l l p r o v i d e o u r p r e - j u m p x

1

= h t

1

v i , t

1

: =

1

2

C o n s i d e r t h e t i m e i n t e r v a l T : =

1

4 v

2

;

3

4 v

2

] , d u r i n g w h i c h r u n n e r 2 i s f o r t h e r s t t i m e i n t h e

d i s t a n t r e g i o n

1

4

;

3

4

] . F o r r = 1 ; 3 , l e t T

r

= f t 2 0 ; 1 ) : h t v

r

i 2

1

4

;

3

4

g

I f T n ( T

1

T

3

) 6= ; , t h e n u s e ( 1 ) w i t h t h e d e n e d p r e - j u m p x

1

, a n a r b i t r a r y t

2

2 T n ( T

1

T

3

) ,

a n d = 1 : h ( t

1

+ t

2

) v i = (

1

2

; 0 ;

1

2

) + h t

2

v i . S i n c e 2 i s t h e o n l y d i s t a n t r u n n e r a t t i m e t

2

, f 1 ; 2 ; 3 g i s

d i s t a n t a t t i m e t

1

+ t

2

W e m a y n o w a s s u m e T T

1

T

3

. S u p p o s e t h a t T T

i

, f o r s o m e i 2 f 1 ; 3 g . T h e n T i s

c o n t a i n e d i n o n e o f t h e c l o s e d i n t e r v a l s c o m p r i s i n g T

i

, w h i c h i m p l i e s v

2

v

i

. F u r t h e r m o r e , i r s t

b e c o m e s d i s t a n t n o l a t e r t h a n 2 d o e s , s o v

2

v

i

w h i c h c o n t r a d i c t s v

2

6= v

i

T h u s T T

1

T

3

, T \ T

i

6= ; ( i = 1 ; 3 ) . B o t h T \ T

1

a n d T \ T

3

c o n s i s t o f d i s j o i n t c l o s e d

i n t e r v a l s a n d t h e i r u n i o n i s T . H e n c e ; 6= ( T \ T

1

) \ ( T \ T

3

) = T \ T

1

\ T

3

, a n d w e a r e d o n e . 2

4


7/11

4 T h e c a s e k = 4

B e f o r e c o m p l e t i n g t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 2 , w e s e t s o m e n o t a t i o n a n d p r e s e n t t w o m o r e p r e - j u m p

f a c t s w h i c h h o l d t r u e w h e n e v e r k + 1 i s p r i m e . T h e n o t a t i o n a b m e a n s t h a t a e v e n l y d i v i d e s b . F o r

x e d k 2 w e p a r t i t i o n t h e c i r c l e C = 0 ; 1 ) a s f 0 g C

1

C

2

w h e r e

C

1

: = ( 0 ;

1

k + 1

) (

k

k + 1

; 1 ) f

1

k + 1

;

2

k + 1

; : : : ;

k

k + 1

g a n d

C

2

: = (

1

k + 1

;

2

k + 1

) (

2

k + 1

;

3

k + 1

) (

k 1

k + 1

;

k

k + 1

)

G i v e n a s p e e d v e c t o r v 2 N

k

a n d a p o s i t i o n x 2 X = X ( v ) w e d e n e D : = f r 2 R : ( k + 1 ) v

r

g a n d

p a r t i t i o n t h e r u n n e r s R a s R

0

( x ) R

1

( x ) R

2

( x ) w h e r e

R

0

( x ) : = D f r 2 R : x

r

= 0 g ;

R

1

( x ) : = f r 2 R n D : x

r

2 C

1

g ;

R

2

( x ) : = f r 2 R n D : x

r

2 C

2

g

( 3 ) L e t k + 1 b e p r i m e , a n d s u p p o s e t h e r e e x i s t s x 2 X i n w h i c h D i s d i s t a n t , a n d R

2

( x ) R

2

( x ) . S i n c e D = f 2 g i s d i s t a n t , w e

a r e d o n e b y ( 3 ) . 2

P r o o f o f T h e o r e m 2 . 2 . W e a s s u m e k = 4 , R = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g , a l l s p e e d s a r e d i s t i n c t a n d h a v e

n o c o m m o n p r i m e f a c t o r . C o n s i d e r t h e ( p r o p e r ) s u b s e t D = f r 2 R : 5 v

r

g I f D = 0 , t h e n

5


8/11

R i s d i s t a n t a t t i m e

1

5

. S u p p o s e 2 D 3 . B y i n d u c t i o n o n k t h e r e e x i s t s a p o s i t i o n y

w h e r e D i s d i s t a n t . E i t h e r w e a r e d o n e a t y , o r s o m e r u n n e r i n R n D i s n o t d i s t a n t , w h e n c e

R

0

( y ) + R

1

( y ) D + 1 3 , s o R

2

( y ) 1 w h e r e a s R

0

( y ) D 2 > 1 R

2

( y ) a n d w e

a r e d o n e b y ( 3 ) . W e h e n c e f o r t h a s s u m e D = f 2 g , w h e n c e 2 2 R

0

( x ) f o r e v e r y p o s i t i o n x

I f n o r u n n e r i s f a s t e r t h a n 2 , t h e n a t t i m e

1

5 v

2

, 2 i s t h e o n l y d i s t a n t r u n n e r , w h e n c e R

2

(

v

5 v

2

) = 0 ,

R

0

(

v

5 v

2

) = 1 , a n d w e a r e a g a i n d o n e b y ( 3 ) . W e t h u s a s s u m e v

1

> v

2

; v

3

; v

4

A t l e a s t o n e o f v

3

; v

4

, s a y v

3

, i s n o t e q u a l t o v

1

v

2

. S i n c e v

2

; v

3

a r e d i s t i n c t a n d l e s s t h a n v

1

,

t h e a s s u m p t i o n s v

3

6= v

2

a n d v

3

6= v

1

v

2

i m p l y v

3

6 v

2

m o d v

1

I f d : = g c d ( v

1

; v

3

) > 1 , t h e n i f d

d i v i d e s v

2

, w e a r e d o n e b y ( 2 ) ; i f i t d o e s n o t , w e a r e d o n e b y ( 4 ) .

T h u s w e c a n a s s u m e g c d ( v

1

; v

3

) = 1 . T h e n t h e r e e x i s t s 2 N , v

3

1 m o d v

1

. L e t x b e t h e

p o s i t i o n a t t i m e

v

1

. W e h a v e x

1

= 0 a n d x

3

= 1 = v

1


9/11

R e f e r e n c e s

1 U . B e t k e , J . M . W i l l s , U n t e r e S c h r a n k e n f u r z w e i d i o p h a n t i s c h e A p p r o x i m a t i o n s -

F u n k t i o n e n , M o n a t s c h . M a t h . 7 6 ( 1 9 7 2 ) , 2 1 4 { 2 1 7 .

2 Y . G . C h e n , O n a c o n j e c t u r e a b o u t d i o p h a n t i n e a p p r o x i m a t i o n s . I . ( C h i n e s e ) , A c t a M a t h .

S i n i c a 3 3 ( 1 9 9 0 ) , 7 1 2 { 7 1 7 .

3 T . W . C u s i c k , V i e w - o b s t r u c t i o n p r o b l e m s , A e q u a t i o n e s M a t h . 9 ( 1 9 7 3 ) , 1 6 5 { 1 7 0 .

4 T . W . C u s i c k , V i e w - o b s t r u c t i o n p r o b l e m s i n n - d i m e n s i o n a l g e o m e t r y , J . C o m b i n . T h e o r y

S e r . A 1 6 ( 1 9 7 4 ) , 1 { 1 1 .

5 T . W . C u s i c k , V i e w - o b s t r u c t i o n p r o b l e m s . I I , P r o c . A m e r . M a t h . S o c . 8 4 ( 1 9 8 2 ) 2 5 { 2 8 .

6 T . W . C u s i c k , C . P o m e r a n c e , V i e w - o b s t r u c t i o n p r o b l e m s . I I I , J . N u m b e r T h e o r y 1 9

( 1 9 8 4 ) 1 3 1 { 1 3 9 .

7 L . R . F o r d , D . R . F u l k e r s o n , N e t w o r k o w a n d s y s t e m s o f r e p r e s e n t a t i v e s , C a n a d .

J . M a t h . 1 0 ( 1 9 5 8 ) , 7 8 { 8 4 .

8 A . J . H o f f m a n , S o m e r e c e n t a p p l i c a t i o n s o f t h e t h e o r y o f l i n e a r i n e q u a l i t i e s t o e x t r e m a l

c o m b i n a t o r i a l a n a l y s i s , P r o c . S y m p o s . A p p l . M a t h . , V o l . 1 0 , R . B e l l m a n , M . H a l l J r . ,

e d s . , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R I 1 9 6 0 , p p . 1 1 3 - 1 2 7 .

9 F . J a e g e r , N o w h e r e - z e r o o w p r o b l e m s , S e l e c t e d T o p i c s i n G r a p h T h e o r y 3 ( 1 9 8 8 ) , 7 1 { 9 5 ,

L . W . B e i n e k e a n d R . W i l s o n , e d s . , A c a d e m i c P r e s s , S a n D i e g o , C A , 1 9 8 8 .

1 0 ] F . J a e g e r , F l o w s a n d g e n e r a l i z e d c o l o r i n g t h e o r e m s i n g r a p h s , J . C o m b i n . T h e o r y S e r . B

2 6 ( 1 9 7 9 ) , 2 0 5 { 2 1 6 .

1 1 ] J a m e s G . O x l e y , M a t r o i d T h e o r y , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 2 .

1 2 ] P . D . S e y m o u r , D e c o m p o s i t i o n o f r e g u l a r m a t r o i d s , J . C o m b i n . T h e o r y S e r . B 2 8 ( 1 9 8 0 ) ,

3 0 5 { 3 5 9 .

1 3 ] P . D . S e y m o u r , N o w h e r e - z e r o 6 - o w s , J . C o m b i n . T h e o r y S e r . B 3 0 ( 1 9 8 1 ) , 1 3 0 { 1 3 5 .

1 4 ] P . D . S e y m o u r , N o w h e r e - z e r o o w s . A p p e n d i x : C o l o u r i n g , s t a b l e s e t s a n d p e r f e c t g r a p h s .

H a n d b o o k o f C o m b i n a t o r i c s , V o l . 1 , R . G r a h a m , M . G r

o t s c h e l , L . L o v

a s z , e d s . ,

E l s e v i e r , A m s t e r d a m , 1 9 9 5 , p p . 2 8 9 { 2 9 9 .

1 5 ] M . T a r s i , N o w h e r e z e r o o w a n d c i r c u i t c o v e r i n g i n r e g u l a r m a t r o i d s , J . C o m b i n . T h e o r y

S e r . B 3 9 ( 1 9 8 5 ) , 3 4 6 { 3 5 2 .

1 6 ] W . T . T u t t e , A c o n t r i b u t i o n t o t h e t h e o r y o f c h r o m a t i c p o l y n o m i a l s , C a n a d . J . M a t h . 6

( 1 9 5 4 ) , 8 0 { 9 1 .

7


10/11

1 7 ] J . M . W i l l s , Z w e i S a t z e u b e r i n h o m o g e n e d i o p h a n t i s c h e A p p r o x i m a t i o n v o n I r r a -

t i o n a l z a h l e n . M o n a t s c h . M a t h . 7 1 ( 1 9 6 7 ) 2 6 3 { 2 6 9 .

1 8 ] J . M . W i l l s , Z u r s i m u l t a n e n h o m o g e n e n d i o p h a n t i s c h e n A p p r o x i m a t i o n . I , M o n a t s c h .

M a t h . 7 2 ( 1 9 6 8 ) 2 5 4 { 2 6 3 .

1 9 ] J . M . W i l l s , Z u r s i m u l t a n e n h o m o g e n e n d i o p h a n t i s c h e n A p p r o x i m a t i o n . I I , M o n a t s c h .

M a t h . 7 2 ( 1 9 6 8 ) 2 6 8 { 2 8 1 .

2 0 ] J . M . W i l l s , Z u r s i m u l t a n e n h o m o g e n e n d i o p h a n t i s c h e n A p p r o x i m a t i o n . I I I , M o n a t s c h .

M a t h . 7 4 ( 1 9 7 0 ) 1 6 6 { 1 7 1 .

2 1 ] J . M . W i l l s , Z u r s i m u l t a n e n d i o p h a n t i s c h e n A p p r o x i m a t i o n . , Z a h l e n t h e o r i e ( T a g u n g ,

M a t h . F o r s c h u n g s i n s t . O b e r w o l f a c h , 1 9 7 0 ) B e r . M a t h . F o r s c h u n g s i n s t . , O b e r w o l f a c h , N o . 5 ,

B i b l i o g r a p h i s c h e s I n s t . , M a n n h e i m , 1 9 7 1 , p p . 2 2 3 { 2 2 7 .

2 2 ] W e i s s m a n I n s t i t u t e p u b l i c r e l a t i o n s b o o k l e t , 1 9 9 4 .

8


11/11

C o n t a c t a d d r e s s e s :

L u i s G o d d y n o r P a v o l G v o z d j a k

D e p t . o f M a t h . a n d S t a t s .

S i m o n F r a s e r U n i v e r s i t y

B u r n a b y B C V 5 A 1 S 6

C A N A D A

g o d d y n @ m a t h . s f u . c a

g v o z d j a k @ m a t h . s f u . c a

W o j t e c h B i e n i a o r A n d r a s S e b }o

L a b o r a t o i r e L e i b n i z - I M A G

U n i v e r s i t e F o u r i e r , B P 5 3

3 8 0 4 1 G r e n o b l e , C e d e x 0 9

F R A N C E

b i e n i a @ i m a g . f r

s e b o @ i m a g . f r

M i c h a e l T a r s i

S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e ,

T e l - A v i v U n i v e r s i t y

T e l - A v i v 6 9 9 7 8

I S R A E L

t a r s i @ m a t h . t a u . a c . i l

9

9711 Flows Lonely Runner (1).Ps

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