Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia Email: [email protected]CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – FENÔMENOS DE TRANSPORTE FORMULÁRIO NÚMERO DE REYNOLDS – Rey (1) VD Re y ⋅ = ν (2) VD Re y ⋅ ⋅ρ = μ (3) VD Re y g ⋅ ⋅γ = μ⋅ (4) μ ν= ρ Rey ≤ 2300 ⇒ Regime Laminar Rey ≥ 4000 ⇒ Regime Turbulento V ≡ Velocidade em m/s D ≡ Diâmetro em m ν ≡ Viscosidade Cinemática em m²/s ρ ≡ Massa Específica em kg/m³ μ ≡ Viscosidade Absoluta em m²/s γ ≡ Peso Específico em N/m³ 2 3 HO 9,81 10 N/m³ γ ≡ ⋅ Hg d 13,6 = FATOR DE ATRITO – f (5) 64 f Re y = (6) 2 0,9 1,325 f 5,74 ln 3,7 D Re y = ε + ⋅ EQUAÇÃO DE BERNOULLI (7) + + -∆ -∆ - + = + + γ γ 2 2 1 1 2 2 1 f L T B 2 p v p v z h h H H z 2g 2g PERDA DE CARGA - ∆ h (8) 2 fLV h 2g D ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ (9) 32 LV h D ⋅μ⋅ ⋅ ∆ = γ⋅ (10) 2 1 P P h - ∆ = γ PERDA DE CARGA UNITÁRIA – J 1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668
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Equação de Bernoulli, entre A e B com referência em A:
( )
2 2A A B B
A AB B
A B
A B
A B
AB água
p v p vZ h Z
2g 2gDados :
Z 0 Re ferência Z 4,57 m
p 210 kPa p ?
v 3,14 m / s v 0,786 m / s
h 1,83 m d 0,811 9,82 kN /m³ 7,96 kN /m³
+ + − = + +γ γ
= =
= == == γ = ⋅ γ ⇔ γ = × ⇔ γ =
2 2A A B B
A AB B
B
B B
BB B
p v p vZ h Z
2g 2g
Substituindo :p210 3,14² 0,786²
0 1,83 4,577,96 19,62 19,62
p p26,38 0,503 1,83 4,57 0,0315 25,05 4,60
p25,05 4,60 20,45 p 20,45 20,45 7,96 kPa p 162,78 kPa
+ + − = + +γ γ
+ + − = + +γ
+ − = + + ⇔ = +γ γ
= − = ⇔ = γ = × ∴ =γ
2. Em um projeto de sistema de tubulação BCD, transportará óleo (d = 0,96) entre os reservatórios R1 e R2. Determine a perda de carga total entre os reservatórios e a vazão.
3. A água escoa num tubo horizontal de 150mm sob uma pressão de 414 kPa. Admitindo que não haja perdas, qual será a vazão se a pressão de redução de 75 mm de diâmetro for de 138 kPa?Solução:Aplicando a Equação de Bernoulli, entre os pontos 1 e 2 de uma mesma horizontal temos:
4. Para o sifão de 50 mm de diâmetro que retira óleo, com densidade d = 0,82, do reservatório, a perda de carga do ponto 1 ao ponto 2 é de 1,50 m e do ponto 2 ao ponto 3 é de 2,40 m. Determine a descarga de óleo do sifão e a pressão do óleo no ponto 2.
Solução:Sabemos que:
( ) ( )2
3,14 0,05²0,00196 1
4 4
Q A v
DQ v Q v Q v
π
= ⋅
⋅= ⋅ ⇔ = ⋅ ∴ = ⋅
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3, tomando como referência o ponto 3, temos:223 31 1
E para encontrarmos a pressão no ponto 2, devemos aplicar a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 tomando o ponto 1 como referência:
( )
+ + − = + +
− = + + = = ⋅ =
= − + + = − × = −
2 21 1 2 2
1 12 2
22
2
2 2
4,640 1,5 2 9,81. 9,81 0,82 8,04 / ³
19,62
2 1,5 1,097 4,6 8,04 36,98
óleoóleo
óleo
v p v pz h z
g g
pd kN m
p kPa
γ γ
γγ
γ
5. Em um tubo encurvado, tem-se os pontos 1 e 2. No ponto 1 existe uma pressão de 1,9 kgf/cm², assinalada no manômetro M, com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro de 100 mm, a velocidade é 3 m/s e a água é descarregada na atmosfera. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2. Sabe-se que γágua = 1000 kgf/m³
8. Na tubulação que parte da barragem (veja a figura abaixo), a vazão é de 28 l/s. A carga de pressão no ponto (1) é de 29,6 m. Calcular o diâmetro da tubulação desprezando-se as perdas de energia.
Solução:
Aplicando a Equação de Bernoulli no sentido do escoamento de (2) para (1), tomando como referência o ponto (1), temos:
2 2 22 2 1 1 1
2 1
2 22 21 11 1 1
v p v p vz z 30 0 0 0 29,6
2g 2g 19,62
v v30 29,6 0,4 v 0,4 19,62 v 7,848 v 2,80m / s
19,62 19,62
+ + = + + ⇔ + + = + +γ γ
− = ⇔ = ⇔ = × ⇔ = ∴ =
Mas sabemos que: 2D
Q v A e A4
π= ⋅ = e fazendo as devidas substituições isolando D temos:
D² 4Q 4QQ v D² D
4 v vπ = ⇒ = ∴ = π π
. Substituindo os valores:
4Q 4 0,028D D m D 0,113 m
v 3,14 2,8×= ⇔ = ∴ =
π ×
9. A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3 m. Em cada ponto da seção transversal do conduto, a velocidade é definida por v = 1,8 – 20 x², sendo x a distância do referido ponto ao centro O da seção (veja a figura abaixo). Calcular a vazão.
Na coroas circular (figura acima), de área elementar dA, estão os pontos que distam x do centro. Assim, podemos escrever:
dA 2 xdx= π (1)
Mas como cada ponto da coroa está submetido à velocidade v, temos:
dQ vdA= (2)
Fazendo as devidas substituições e integrando:
( )
( )
( )
0,3Q 0,3 4
0 0 0
2 4
dQ vdA dQ 1,8 20x² 2 xdx
1,8x² 20xdQ 2 1,8x 20x³ dx Q 6,28 m³ / s
2 4
Q 6,28 0,9 0,3 5 0,3 m³ / s Q 0,254 m³ / s
= ⇒ = − π
= π − ⇔ = −
= × − ∴ =
∫ ∫
g g
10. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um tubo cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e inferior do tubo têm diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente, como mostra a figura abaixo. Se a vazão é de 23 l/s, determinar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo.
Solução:
Vamos aplicar a Equação de Bernoulli no sentido indicado:
Mas pela Equação da Continuidade, podemos escrever:
( )
( )
1 1 2 222
11 1
222
2 1
Q v A v A , mas:
3,14 0,05DA m² A 0,00196 m²
4 4
3,14 0,10DA m² A 0,00784 m²
4 4
= ⋅ = ⋅
⋅π= = ∴ =
⋅π= = ∴ =
Substituindo:
1 1 2 2
11 2
2
1 1
2 2
Q A v A v 0,023 m³ / s
0,00196v 0,0230,00196v 0,00784v 0,023
0,00784v 0,023
0,023v m / s v 11,73 m / s
0,001960,023
v m / s v 2,93 m / s0,00784
= ⋅ = ⋅ =
== = ⇔ =
= ∴ =
= ∴ =
Substituindo os valores encontrados na Equação (1):
( ) ( )
2 22 1 1 2
1 2
2 22 1
2 1
2 12 1
2 1
p p v vz z
2g 2g
11,73 2,93p p0 1,83
19,62 19,62p p
7,01 0,438 1,83
p p4,74 p p 4,74 4,74 9,81 kPa
p p 46,50 kPa
− = + − −γ γ
− = + − −γ γ
− = − −γ γ
− = ⇔ − = γ = ×γ γ
− =
11. A água escoa através de uma turbina. A vazão é de 0,214 m³/s e as pressões em A e B são, respectivamente, 147,5 kPa e – 34,5 kPa. Determinar a potência fornecida à turbina pela água.
Considerando o escoamento de A para B, com referência em B, vamos aplicar a Equação de Bernoulli:
2 2 2 2A A B B A A B B
A T B T A Bv p v p v p v p
Z h Z h Z Z (1)2g 2g 2g 2g
+ + − = + + ∴ = + + − + +γ γ γ γ
Mas:
( )
( )
2 2A A
A A B B A B
A A
B B
D DQ v S v .S Q v v 0,214
4 44 0,214
v m / s v 3,03 m / s3,14 0,3 ²
4 0,214v m / s v 0,757 m / s
3,14 0,6 ²
π π= ⋅ = ⇔ = ⋅ = ⋅ =
×= ∴ =×
×= ∴ =×
Substituindo os valores em (1):
( )
2 2A A B B
T A B
T
T T
v p v ph Z Z
2g 2g
34,53,03² 147,5 0,757²h 1 0
19,62 9,81 19,62 9,81h 1 0,468 15,04 3,52 0,0292 h 20 m
= + + − + + γ γ
−= + + − − −
= + + + − ∴ =
A potência é dada pela expressão:
TP Qh P 9,81 0,214 20 kW P 41,99 kW= γ ⇔ = × × ∴ =
12. Para a turbina anterior, se forem extraídos 48,3 kW enquanto as pressões manométricas em A e B são, respectivamente, 141,3 kPa e – 33,1 kPa, qual será a vazão da água?
14. De uma caixa d’água sai um tubo horizontal com diâmetro D1 = 200 mm e pequeno comprimento. Logo após a saída, o tubo reduz seu diâmetro para D2 = 75 mm e jorra a água na atmosfera, com vazão Q = 32 l/s. Considere as perdas de energia igual a 15% da carga cinética do jato. Determine:
a) a carga de pressão no início de D1.
b) a carga total He.
c) a potência da corrente líquida.
Solução:
a) A carga de pressão no início de D1.
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
15. A bomba E eleva a água entre os reservatórios R1 e R2. O eixo da bomba está situado 5,0 m acima da superfície livre de R1, ponto A. No ponto final do sistema elevatório (a 50,2 m acima do eixo E), a água descarrega na atmosfera. Há o desnível d = 20 cm entre o eixo (entrada) da bomba e a sua saída (ponto C). São dados:
Q v S Q v 1,27 m³ / s Q 0,0908m³ / s Q 90,8 l / s4 4
π ×= ⋅ ⇔ = ⋅ = × ∴ = ∴ =
17. Um tubo de 150 mm transporta 81,3 l/s de água. Este se bifurca em um tubo de 50 mm de diâmetro e em outro de 100 mm de diâmetro. Se a velocidade no tubo de 50 mm é de 12,2 m/s, qual é a velocidade no tubo de 100 mm?
18. Em um tubo curvado tipo S, tem-se os pontos 1 (cota 124,35 m) e 2 (cota 131,78 m). No ponto 1 tem-se uma pressão de 2,29 kgf/cm², com diâmetro 25% maior que em 2. Na extremidade 2, com diâmetro D2 = 100 mm, a água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 23,56 l/s. Calcular a perda de carga entre os pontos 1 e 2.