Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Zavod za tehničku mehaniku 19. svibnja, 2019. Doc. dr. sc. Ivan Duvnjak 9. Vježbe Metoda konačnih razlika
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet
Zavod za tehničku mehaniku
19. svibnja, 2019.
Doc. dr. sc. Ivan Duvnjak
9. Vježbe
Metoda konačnih razlika
2
METODA KONAČNIH RAZLIKA
Osnovne napomene:
• Numerička metoda za približno rješavanje diferencijalnih
jednadžbi
• Potrebo je zadovoljiti poznate vrijednosti funkcije na konturi
• Nepoznate vrijednosti funkcije određuje se u diskretnim
točkama
• Diskretne točke predstavljaju čvorove mreže razapete nad
područjem ograničenim zadanom konturom
• Mreža je najčešće pravokutna ili kvadratna
• Potrebno je raspisati jednadžbe konačnih razlika za prvu,
drugu i preostale derivacije
• Nakon toga se jednadžbe uvrste u diferencijalnu jednadžbu i
dobivamo sustav linearnih jednadžbi
METODA KONAČNIH RAZLIKA
3
METODA KONAČNIH RAZLIKA
• Jednadžbe konačnih razlika mogu biti definirane preko
derivacija: sljedeće, prethodne i centralne.
3x
1x
iw 1+iw1−iw
x x
1
1
+ −
i idw w w
dx x
• Prva derivacija za središnju točku
• uzlazna
• centralna
• silazna
1 1
1 2
+ −−
i idw w w
dx x
1
1
−−
i idw w w
dx x
• Druga derivacija za središnju točku3x
1x
iw 1+iw1−iw
x x
2−iw 2+iw
x x
( )
2
1 222
1
2 + +− +
i i id w w w w
dx x
( )
2
1 122
1
2− +− +
i i id w w w w
dx x
( )
2
2 122
1
2− −− +
i i id w w w w
dx x
• uzlazna
• centralna
• silazna
4
1x
3x
F
l
/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l
Primjer 1. Primjenom MKR odredite progib i kut zaokreta na kraju
konzole duljine l opterećene silom F. Za zadani primjer izvršite
diskretizaciju u pet segmenata
METODA KONAČNIH RAZLIKA
Rješenje:
diferencijalna jednadžba progibne linije za nosač
2 1( )= − −M F l x2
2
2
1 2
= −Md w
dx EI
2
212
1 2 2
( )= − = −Md w F
l xdx EI EI
1x
3x
F
l
.=EI konst
5
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1x
3x
F
l
/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w
1−w2
1 1
2 2
1 1
2− +− +=
i i iw w wdw
dx x2
2
2
1 2
= −Md w
dx EI
2
1 1 2
2 2
1 1 2
2− +− += = −
i i iw w w Mdw
dx x EI
2
1 112 2
1 1 2
2( )− +− +
= = −
i i iw w wdw Fl x
dx x EI
2
1 1 1
2
2 ( )25
− +− + = −i i i
l Fw w w l x
EI
( )1 1
12
2
2( )
/ 5
− +− += −i i iw w w F
l xEIl
1 1
1 12
+ −−=
i iw wdw
dx x
6
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1x
3x
F
l
/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w
1−w
Čvor 0, x1=0, RU:
2
1 1
2
( 0)25
− + = −l F
w w lEI
1 1 1 1
1
25
+ − + −
− = → =
i i i i
l dww w w w
dx
0
0, 0
= =
dww
dx
3 3
1
2 2
52
25 125= =
Fl Flw
EI EI
Čvor 1, x1=l/5:
3
1 2
2
42
125− + =
Flw w
EI
Čvor 2, x1=2l/5:
3
1 2 3
2
32
125− + =
Flw w w
EI
Čvor 3, x1=3l/5:
3
2 3 4
2
22
125− + =
Flw w w
EI
Čvor 4, x1=4l/5:
3
3 4 5
2
12
125− + =
Flw w w
EI
Iz sustava jednadžbi
3 3
1 2
2 2
3 3 3
3 4 5
2 2 2
1 9, ,
50 125
37 6 17, , ,
250 25 50
= =
= = =
Fl Flw w
EI EI
Fl Fl Flw w w
EI EI EI
7
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1x
3x
F
l
/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w
1−wProgib na kraju konzole – točno
rješenje? OM:
3 3
5
2 2
170,34
50= =
Fl Flw
EI EI
3 3
1
2 2
, 0,3333
= = =Fl Fl
x l wEI EI
Diskretizacijom u 5 točaka :
greška aproksimacije iznosi 2%
8
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1x
3x
F
l
/ 5l / 5l / 5l / 5l / 5l0w 1w 2w 3w 4w 5w
1−w
Kut zaokreta na slobodnom kraju x1=5l/5
Trebamo dodati još jedan čvor, za centralnu
razliku:
1xF
/ 5l / 5l4w 5w 6w
/ 5l
2
4 5 6 6 5 4
2
2 ( ) 0 225
− + = − = → = −l F
w w w l l w w wEI
6 4 5 4
1 5
5 5
25
− −= =
w w w wdw
ldx l
3 3
4 5
2 2
6 17, ,
25 50= =
Fl Flw w
EI EI
2
1 252
=
dw Fl
dx EI
greška aproksimacije za kut
zaokreta iznosi 0%
9
Primjer 2. Primjenom MKR odredite maksimalni progib i kut zaokreta na
prostoj gredi duljine l opterećene silom F. Za zadani primjer izvršite
diskretizaciju u četiri segmenta.
METODA KONAČNIH RAZLIKA
Rješenje:
diferencijalna jednadžba progibne
linije za nosač
2 12
=F
M x2
2
2
1 2
= −Md w
dx EI
2
212
1 2 22= − = −
Md w Fx
dx EI EI
1x
3x
F
l
.=EI konst
Rubni uvjeti:
1 0 0 0= → = → =x w M
1 0 0= → = → =x l w M
10
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2
1 1
2 2
1 1
2− +− +=
i i iw w wdw
dx x2
2
2
1 2
= −Md w
dx EI
2
1 1 2
2 2
1 1 2
2− +− += = −
i i iw w w Mdw
dx x EI
2
1 112 2
1 1 2
2
2
− +− += = −
i i iw w wdw Fx
dx x EI
2
1 1 1
2
216 2
− +− + = − i i i
l Fw w w x
EI
( )1 1
12
2
2
2/ 4
− +− += −i i iw w w F
xEIl
1 1
1 12
+ −−=
i iw wdw
dx x
1x
3x
F
l
.=EI konst
/ 4l / 4l / 4l / 4l
itd…. DZ
11
Primjer 3. Primjenom MKR za slobodno oslonjenu tanku kvadratnu ploču
odredite progib ploče zavisne o vanjskom opterećenju q.
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
18= L x
28= L x
q
q
2 2
2 2
1 2
w w M
x x D
+ = −
3
2
t ED
12 (1 )=
−
2 2
2 2
1 2
M Mq
x x
+ = −
4 4 4
4 2 2 4
1 1 2 2
w w w q2
x x x x D
+ + = −
( ) ( )i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1
2 2
1 2
M 2M M M 2M Mq
x x
+ − + −− + − ++ = −
i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 i, j
2 2
w 2w w w 2w w M
k h D
+ − + −− + − ++ = −
1
2
k x
h x
=
=
11 22M MM
1
+=
+
12
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
6
79
8
10
18= L x
28= L x
2`
6`
9`
i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1
2 2
M 2M M M 2M Mq
L L
8 8
+ − + −− + − ++ = −
2
i 1, j i, j i, j 1 i 1, j i, j i, j 1
qLM 2M M M 2M M
64+ + − −− + + − + = −
2
i, j i 1, j i, j 1 i 1, j i, j 1
qL4M M M M M
64+ + − −− + + + + = −
Čvor 1:2
1 2 2
qL4M M M
64− + + = −
2
1 2
qL4M 2M
64− + = −
Čvor 2:2
2 1 3 5
qL4M M M M
64− + + + = −
Čvor 3:2
3 2 4 6
qL4M M M M
64− + + + = −
U jednadžbama treba
uzeti u obzir da su
momenti i progibi na
osloncima jednaki 0
Nadalje, koristiti uvjete
simetrije 2 i 2`, 6 i 6`, 9 i 9`
13
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
6
79
8
10
18= L x
28= L x
2`
6`
9`
Čvor 4:2
4 3 7
qL4M 2M M
64− + + = −
Čvor 5:2
5 2 6
qL4M 2M 2M
64− + + = −
Čvor 6:2
6 3 8 7 5
qL4M M M M M
64− + + + + = −
Čvor 7:2
7 6 4 9
qL4M 2M M M
64− + + + = −
Čvor 8:2
8 9 6
qL4M 2M 2M
64− + + = −
Čvor 9:2
9 7 10 8
qL4M M M 2M
64− + + + = −
Čvor 10:2
10 9
qL4M 4M
64− + = −
14
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1
2
3
4
25
6
7
8
9
10
M4 2 0 0 0 0 0 0 0 0
M1 4 1 0 1 0 0 0 0 0
M0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
M0 0 2 4 0 0 1 0 0 0
M0 2 0 0 4 2 0 0 0 0 Lq
M0 0 1 0 1 4 1 1 0 0
M0 0 0 1 0 2 4 0 1 0
M0 0 0 0 0 2 0 4 2 0
M0 0 0 0 0 0 1 2 4 1
M0 0 0 0 0 0 0 0 4 4
−
− −
− −
= − −
−
− − −
1
1
1
1
1
164
1
1
1
1
1M A X−=
Ovo nisu vrijednosti za dijagram momenata
11 22M MM
1
+=
+
2LM
64=
za q 1=
15
METODA KONAČNIH RAZLIKA
Da bi smo odredili progib ploče potrebno je riješiti Poissonovu
diferencijalnu jednadžbu2 2
2 2
1 2
w w M
x x D
+ = −
Čvor 1:
Čvor 2:2
22 1 3 5
M L4w w w w
64D− + + + = −
Čvor 3:2
33 2 4 6
M L4w w w w
64D− + + + = −
Čvor 5: 2
55 2 6
M L4w 2w 2w
64D− + + = −
2
11 2
M L4w 2w
64D− + = −
Čvor 4:2
44 3 7
M L4w 2w w
64D− + + = −
Čvor 6: 2
66 3 8 7 5
M L4w w w w w
64D− + + + + = −
Čvor 9:2
99 7 10 8
M L4w w w 2w
64D− + + + = −
Čvor 10:
2
1010 9
M L4w 4w
64D− + = −
Čvor 7:2
77 6 4 9
M L4w 2w w w
64D− + + + = −
Čvor 8:2
88 9 6
M L4w 2w 2w
64D− + + = −
16
METODA KONAČNIH RAZLIKA
1
2
3
4
25
6
7
8
9
10
w4 2 0 0 0 0 0 0 0 0
w1 4 1 0 1 0 0 0 0 0
w0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
w0 0 2 4 0 0 1 0 0 0
w0 2 0 0 4 2 0 0 0 0 L
w0 0 1 0 1 4 1 1 0 0 6
w0 0 0 1 0 2 4 0 1 0
w0 0 0 0 0 2 0 4 2 0
w0 0 0 0 0 0 1 2 4 1
w0 0 0 0 0 0 0 0 4 4
−
− −
− −
= − −
−
− − −
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M
M
M
M
M
M4D
M
M
M
M
M =
w =
za D 1 i L 1= =
17
Primjer 4. Primjenom MKR za slobodno oslonjenu tanku pravokutnu ploču
odredite progib ploče zavisne o vanjskom opterećenju q. Zadano je:
L1=8λ, L2=6λ, q=10kN/m2, E=210MPa, ν=0,3, t=0.1m, λ=1m.
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
8 = L
6
=
L
q
q
Krutost ploče iznosi:
3
2
t E 250D kNm
12 (1 ) 13= =
−
1
2
k x
h x
= =
= =
i 1, j i, j i, j 1 i, j 1 i, j i, j 1
2 2
M 2M M M 2M Mq
k h
+ + + −− + − ++ = −
18
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
69
8
12
8 = L
6 = L
710
11
2
1 2 44M M M q− + + = −
2
2 1 3 54M M M M q− + + + = −
2
2 3 62M 4M M q− + = −
2
4 1 7 54M M M M q− + + + = −
2
5 4 6 2 84M M M M M q− − + + + = −
2
6 3 9 54M M M 2M q− + + + = −
2
7 4 10 84M M M M q− + + + = −
2
8 7 9 11 54M M M M M q− + + + + = −
2
12 9 6 8M 4M M 2M q− + + = −
2
10 7 114M 2M M q− + + = −
2
11 10 12 84M M M 2M q− + + + = −
2
12 11 94M 2M 2M q− + + = −
Čvor 1:
Čvor 2:
Čvor 3:
Čvor 4:
Čvor 5:
Čvor 6:
Čvor 7:
Čvor 8:
Čvor 9:
Čvor 10:
Čvor 11:
Čvor 12:
19
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
69
8
12
8 = L
6 = L
710
11
1
2
3
M4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
M1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
M0 2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 0 1
0 0 0 0 0 0 2 0 0 4 1 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 4 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 4
−
− −
− −
− −
− − −
− −
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
10
10
M 10
M 10
M 10
M 10
10M
10M
10M
10M
10M
= −
Rješavanjem sustava dobijemo (u kNm):
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
M 10.214,M 15.238,M 16.768,M 15.618,M 23.971, M 26.596
M 18.286,M 28.432,M 31.674,M 19.092,M 29.798, M 33.236
= = = = = =
= = = = = =
20
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
69
8
12
8 = L
6 = L
710
11
Čvor 1:
Čvor 2:
Čvor 3:
Čvor 4:
Čvor 5:
Čvor 6:
Čvor 7:
Čvor 8:
Čvor 9:
Čvor 10:
Čvor 11:
Čvor 12:
211 2 4
M4w w w
D− + + = −
222 1 3 5
M4w w w w
D− + + + = −
232 3 6
M2w 4w w
D− + = −
244 1 7 5
M4w w w w
D− + + + = −
2912 9 6 8
Mw 4w w 2w
D− + + = −
288 7 9 11 5
M4w w w w w
D− + + + + = −
277 4 10 8
M4w w w w
D− + + + = −
266 3 9 5
M4w w w 2w
D− + + + = −
255 4 6 2 8
M4w w w w w
D− − + + + = −
21010 7 11
M4w 2w w
D− + + = −
21111 10 12 8
M4w w w 2w
D− + + + = −
21212 11 9
M4w 2w 2w
D− + + = −
21
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
69
8
12
8 = L
6 = L
710
11
1
2
3
w4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
w1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
w0 2 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 2 4 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 0 1
0 0 0 0 0 0 2 0 0 4 1 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 4 1
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 4
−
− −
− −
− −
− − −
− −
1
2
3
4 4
5 5
26 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
M
M
M
w M
w M
w M
w MD
w M
w M
w M
w M
w M
= −
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
w 0.96257,w 1.6199,w 1.8501,w 1.6992,w 2.8745,w 3.2888
w 2.1477,w 3.6436,w 4.1730,w 2.2973,w 3.9007,w 4.4689
= = = = = =
= = = = = =
22
METODA KONAČNIH RAZLIKA
2x
1x
1
2
3
4
5
69
8
12
8 = L
6 = L
710
1112w 4.4689=
Programom SAP2000 uspoređeni su
progibi u centru ploče (w12)=4,6994
Razlika rješenja 5%
23
Primjer rješavanja stanja naprezanja za visokostijene nosače
opterećene u svojoj ravnini primjenom metode konačnih razlika
METODA KONAČNIH RAZLIKA
11 22
4
4 4 4
4 2 2 4
1 1 2 2
, ?
0
2 0
=
=
+ + =
x x x x
4 4
1 1 2 2
4 4 4
1( ) 1( ) 1
6 4( ) ( )+ − + − − + + + = =
k k k k k
k kx x x
1 2x x =
Za slučaj kada imamo
pravilnu mrežu:
4 0 =
20𝛷j,k − 8 𝛷j−1,k + 𝛷j+1,k + 𝛷j,k−1 +𝛷j,k+1 +
+2 𝛷j−1,k−1 + 𝛷j+1,k−1 + 𝛷j−1,k+1 +𝛷j+1,k+1
+ 1 𝛷j,k−2 + 𝛷j−2,k + 𝛷j+2,k + 𝛷j,k+2 = 0
a = 6λ
b =
4λ Γ
x2
x1
24
METODA KONAČNIH RAZLIKA
20𝛷j,k − 8 𝛷j−1,k + 𝛷j+1,k + 𝛷j,k−1 +𝛷j,k+1 +
+2 𝛷j−1,k−1 + 𝛷j+1,k−1 + 𝛷j−1,k+1 +𝛷j+1,k+1
+ 1 𝛷j,k−2 + 𝛷j−2,k + 𝛷j+2,k + 𝛷j,k+2 = 0
j,kj,k-1j,k-2 j,k+1 j,k+2
j-1,k
j-2,k
j+1,k
j+2,k
j-1,k+1
j+1,k+1
j-1,k-1
j+1,k-1
20-8 -8
-8
-8
2
2
2
2
1
1
1
1
a = 6λ
b =
4λ Γ
x2
x1
25
METODA KONAČNIH RAZLIKA
a = 6λ
b =
4λ Γ
x2
x1
Primjena
simetrije
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
Γ je područje unutar konture K,
K* je proširenje za jedan korak mreže λ.
Primjena Levyjeve analogije -> poznate su vrijednosti Φ na konturi
26
Primjer 5. Primjenom MKR za visokostijeni nosač jedinične debljine
odredite stanje naprezanja.
METODA KONAČNIH RAZLIKA
a = 6λ
b =
4λ Γ
x2
x1
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
Primjena Levyjeve analogije -> poznate su vrijednosti Φ na konturi K i proširenoj konturi K*
ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2
27
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
𝜕Φ
𝜕n11
=𝜕Φ
𝜕n21
=𝜕Φ
𝜕n31
= −qλ
ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i
Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2
ቤ𝜕Φ
𝜕n𝐾
= −𝑁 𝑠𝜕Φ
𝜕n12
=𝜕Φ
𝜕n13
=𝜕Φ
𝜕n14
= 0
Na osnovu poznatih vrijednosti na konturi možemo odrediti vrijednosti na proširenoj konturi i u području Γ
ቤ𝜕Φ
𝜕n𝐾
=ȁΦ 𝐾∗ − ȁΦ 𝑛−𝜆
2𝜆
𝜕Φ
𝜕n12
=Φ02 −Φ22
2𝜆⟹ Φ02 = Φ22;
𝜕Φ
𝜕n13
=Φ03 −Φ23
2𝜆⟹ Φ03 = Φ23;
𝜕Φ
𝜕n14
=Φ04 −Φ24
2𝜆⟹ Φ04 = Φ24
28
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
𝜕Φ
𝜕n11
=𝜕Φ
𝜕n21
=𝜕Φ
𝜕n31
= −qλ
ȁΦ 𝐾 = 𝑀 ⟹ Φ12= Φ13= Φ14=0 i
Φ11= Φ21= Φ31=-qλ2/2
ቤ𝜕Φ
𝜕n𝐾
= −𝑁 𝑠𝜕Φ
𝜕n12
=𝜕Φ
𝜕n13
=𝜕Φ
𝜕n14
= 0
Na osnovu poznatih vrijednosti na konturi možemo odrediti vrijednosti na proširenoj konturi i u području Γ
ቤ𝜕Φ
𝜕n𝐾
=ȁΦ 𝐾∗ − ȁΦ 𝑛−𝜆
2𝜆
𝜕Φ
𝜕n11
=Φ10 − Φ12
2𝜆,
𝜕Φ
𝜕n11
= −qλ; Φ12 = 0; ⟹ Φ10 = −2qλ2
𝜕Φ
𝜕n21
=Φ20 − Φ22
2𝜆,
𝜕Φ
𝜕n21
= −qλ; ⟹ Φ10 = −2qλ2 + Φ22
𝜕Φ
𝜕n31
=Φ30 − Φ32
2𝜆,
𝜕Φ
𝜕n31
= −qλ; ⟹ Φ30 = −2qλ2 +Φ32
29
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
Nakon što smo odredili unaprijed definirane
vrijednosti funkcije u čvorovima treba stvoriti
sustav algebarskih jednadžbi u šest čvorova
za koje ne znamo vrijednosti funkcije
naprezanja.
čvor (2,4)
20Φ24 − 8 Φ14 +Φ34 + 2Φ23 + 2 2Φ13 + 2Φ33 + Φ04 +Φ24 + 2Φ22 = 011Φ24 − 4Φ34 − 8Φ23 + 2Φ33 +Φ22 = 0čvor (2,3)
20Φ23 − 8 Φ22 +Φ24 +Φ13 +Φ33 + 2 Φ12 +Φ14 +Φ34 +Φ32 + Φ03 +Φ21 + 2Φ23 = 023Φ23 − 8Φ22 − 8Φ24 − 8Φ33 + 2Φ34 + 2Φ32 = qλ 2/2
čvor (2,2)
20Φ22 − 8 Φ21 +Φ23 +Φ12 +Φ32 + 2 Φ11 +Φ13 +Φ33 +Φ31 + ሺሻ
Φ02 +Φ22 +Φ24 +2Φ20 =0
23Φ22 − 8Φ23 − 8Φ32 − 2Φ33 +Φ24 = 0
30
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
čvor (3,4)
20Φ34 − 8 2Φ33 + 2Φ24 + 2 4Φ23 + 2Φ14 + 2Φ32 =0
10Φ34 − 8Φ33 − 8Φ24 + 4Φ23 +Φ32 = 0
čvor (3,3)
20Φ33 − 8 Φ32 +Φ34 + 2Φ23 + 2 2Φ22 + 2Φ24 +2Φ13 +Φ31 +Φ33 =0
21Φ33 − 8Φ32 − 8Φ34 − 16Φ23 + 4Φ22 + 4Φ24 = qλ 2/2
čvor (3,2)
20Φ32 − 8 Φ31 +Φ33 + 2Φ22 + 2 2Φ21 + 2Φ23 +Φ30 +Φ34 + 2Φ12 =0
21Φ32 − 8Φ33 − 16Φ22 + 4Φ23 +Φ34 = 0
31
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
32
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
Komponente naprezanja u čvorovima
određuju se iz veze s funkcijom naprezanja
Φ, tako da se parcijalne derivacije
zamijene konačnim razlikama:
σ11 =𝜕2Φ
𝜕x22 =
Φj−1,k − 2Φj,k +Φj+1,k
Δx22
σ22 =𝜕2Φ
𝜕x12 =
Φj,k+1 − 2Φj,k +Φj,k−1
Δx12
σ12 =𝜕2Φ
𝜕x1 𝜕x2=ሺΦj−1,k+1+Φj+1,k−1ሻ − ሺΦj+1,k+1+Φj−1,k−1ሻ
4Δx1 Δx2
33
METODA KONAČNIH RAZLIKA
x1
Γ
K
K*
1110 12 13 14
0100 02 03 04
2120 22 23 24
3130 32 33 34
λ λ λ λ
λλ
λ
Naprezanja u čvoru (2,1)
σ11 =Φ11 − 2Φ21 + Φ31
λ2=−qλ 2
2+2qλ 2
2−qλ 2
2λ2
= 0
σ22 =Φ22 − 2Φ21 +Φ20
λ2=
=0,0909
qλ 2
2+2qλ 2
2+ 0,0909
qλ 2
2− 2qλ 2
λ2= −0,91q
Naprezanja u čvoru (1,2)
σ11 =Φ02 − 2Φ12 + Φ22
λ2=0,0909
qλ 2
2+ 0 + 0,0909
qλ 2
2λ2
= 0,09q
σ22 =Φ13 − 2Φ12 + Φ11
λ2=0 − 0 −
qλ 2
2λ2
= −0,5q
Naprezanja u čvoru (2,2)
σ11 =Φ12 − 2Φ22 + Φ32
λ2=0 − 2 ∙ 0,0909
qλ 2
2+ 0,1439
qλ 2
2λ2
= −0,02q
σ22 =Φ23 − 2Φ22 +Φ21
λ2=0,2359
qλ 2
2− 2 ∙ 0,0909
qλ 2
2−qλ 2
2λ2
= −0,47q
34
METODA KONAČNIH RAZLIKA
λ λ λ
λλ
+0,09
-0,02
-0,05
+0,24
-0,06
-0,12
+0,23
-0,05
-0,13
λ λ λ
λλ
-1,0
0-0
,86
-0,9
1
-0,4
7-0
,46
-0,1
1-0
,08
-0,0
+0
,01
σ11 σ22
35
Primjer 6. Primjenom MKR za visokostijeni nosač jedinične debljine
odredite stanje naprezanja.
METODA KONAČNIH RAZLIKA
a = 8λ
b =
6λ Γ
x2
x1
q
q
q
, ?
0
2 0x x x x
11 22
2
4 4 4
4 2 2 4
1 1 2 2
=
=
+ + =
== 21 ΔΔ xx
36
METODA KONAČNIH RAZLIKA
a = 8λ
b =
6λ Γ
x2
x1
q
q
q00 01 02 03 04 05
10 11 12 13 14 15
20 21 22 23 24 25
30 31 32 33 34 35
40 41 42 43 44 45
M
0
q
2
2q
k
15 14 13
2
12
2
11 21 31 41
=
= = =
= −
= = = = −
0n n n
qn
4qn n n n
15 14 13
12
11 21 31 41
= = =
= −
= = = = −
Nn k
=
37
METODA KONAČNIH RAZLIKA
00 01 02 03 04 05
10 11 12 13 14 15
20 21 22 23 24 25
30 31 32 33 34 35
40 41 42 43 44 45
4q 8qn 2
4q 8qn 2
240 42
40 42
41
230 32
30 32
31
− = = − = −
− = = − = −
03
04
05
q 2qn 2
0n 2
0n 2
0n 2
202 2202 22
12
2303 23
13
2404 24
14
2505 25
15
− = = − = −
− = = =
− = = =
− = = =
01
4q 8qn 2
4q 8qn 2
4q 8qn 2
220 2220 22
21
210 1210 12
11
22101 21
11
− = = − = −
− = = − = −
− = = − = −
38
METODA KONAČNIH RAZLIKA
00 01 02 03 04 05
10 11 12 13 14 15
20 21 22 23 24 25
30 31 32 33 34 35
40 41 42 43 44 45
itd…. DZ
( ) ( ) ( ) ( )20 8 2 2 2 4 1 2 1 2 045 44 35 34 43 25 − + + + + =
( ) ( ) ( )20 8 2 2 2 2 1 2 2 035 25 34 45 24 44 33 15 − + + + + + + =
čvor (45)
čvor (35)