9 tu giac noi tiep

Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10 Thầy Hồng Trí Quang

1

Nội dung

Phần 1. Kiến thức bổ sung

1.Số đo cung – góc ở tâm – góc nội tiếp

2.Góc ở trong và ngoài đường tròn

3.Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Phần 2. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800

Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau

Dấu hiệu 3. Dấu hiệu tích.

Phần 3. Ứng dụng tứ giác nội tiếp

Ứng dụng hai hệ thức

Định lí P tô lê mê

Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Chứng minh ba đường đồng quy.

Tài liệu này của khóa học “Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10” của thầy Hồng Trí

Quang

Facebook thảo luận https://www.facebook.com/chuyentoanlop9/?ref=bookmarks

SỐ ĐO CUNG – GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt (O) tại E. Chứng

minh:

1/ Tam giác BEC cân

2/ BEC ABC ACB

3/ . .AB AC AE AF

4/ 2 . .AF AB AC BF CE

HD: Bài đơn giản, câu 3, 4 sử dụng tam giác đồng dạng.

Bài 2. Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi PQ là một dây thay đổi của

đường tròn (O) sao cho PQ = R. Vẽ hình bình hành PAQM.

https://www.facebook.com/chuyentoanlop9/?ref=bookmarks


2

a) Chứng minh rằng B là trực tâm tam giác MPQ

b) Tính theo R khoảng cách từ tâm O đến PQ

c) Khi dây PQ thay đổi thì điểm M di động trên đường nào?

HD c) gọi H là giao AM và PQ, thì OH là đường trung bình. Điểm M di động trên đường tròn

tâm B bán kính R\sqrt3

Bài 3. Điểm M tùy ý trên đoạn AB cố định. Trên AM và MB dựng về một phía đối với AB

hai hình vuông. Các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai

b) Tìm quỹ tích của điểm N khi điểm M di động trên AB

c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng nối hai tâm hình vuông

HD a) 0 0 045 45 90ANB ANM NMB , tương tự: 090DNB ; b) N nằm trên đường tròn

đường kính AB; giới hạn trong nửa đường tròn; c) Từ hai tâm hạ hai đường vuông góc; khoảng

cách từ I đến AB bằng AB/4, giới hạn khi M trùng A, M trùng B là đoạn PQ (P, Q cũng chính là

giao của đt cách AB một đoạn AB/4 cắt AE và BD).

Luyện tập Góc …

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của

đường tròn đó. Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và BK vuông góc với AB.

Chứng minh rằng: BC AC AB

DH DI DK

M

P

Q

AB


3

HD ý tưởng của bài toán là tìm điểm M trên BC để tách tỉ số: BC BM MC

DH DH DH , và từng tỉ số

của tổng này ứng với tỉ số cần chứng minh.

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BMD ADC

( . )BMD ADC g g DH BM

DI AC (tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng)

AC BM

DI DH

Chứng minh tương tự thì: AB CM

DK DH

Cộng lại ta có Đpcm

Bài 5. Tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O) đường kính 4 2cm . Tiếp tuyến tại

C của đường tròn cắt tia phân giác góc B tại K. Tính độ dài BK biết BK cắt AC tại D và BD =

4cm.

Hướng dẫn

Gọi giao điểm hai đường tròn là M. Đặt MD = MK = x. Từ 2 .BC BM BK ; 2 17 2BK

(cm)

Bài 6. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Gọi

M là trung điểm AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B). Tia AK cắt đường tròn tại

D (khác K). Chứng minh rằng BD song song với AC

HD

Ta có: MKC CBM MCK MBC MC MK

MB MC

MC MK

MB MA (vì MA = MC)

Vì AMK chung nên MAK MBA MAK ABM

Mà BDK ABM nên BDK KAM Đpcm

Bài 7. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, r) tiếp xúc trong tại A (R > r). Dây BC của đường tròn

(O;R) tiếp xúc với (O’; r) tại M. Chứng minh rằng AM là tia phân giác góc BAC

HD Kẻ tiếp tuyến chung từ A cắt BC tại F.

Vì: MBA CAF , mà FMA FAM suy ra Đpcm

Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại I, AB là tiếp tuyến chung. Kẻ đường

kính AOD, từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’). Chứng minh tam giác DAE cân.


4

HD a) Kẻ tiếp tuyến chung tại I; b) Kẻ tiếp tuyến chung AB, chứng minh D, I, B thẳng hàng;

2 2

.DB DDE DI A

Bài 9. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với

đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: IC MC

ID MD

HD: Khi chứng minh các đẳng thức tích, người ta thường vận dụng các tam giác đồng dạng.

Nhưng nếu không ghép được trực tiếp vào các tam giác đồng dạng thì nên vận dụng thông qua

các đẳng thức trung gian.

Từ các cặp tam giác đồng dạng ta có:

( . )IAC IDB g g AC IC

DB IB

( . )IBC IDA g g BC IB

AD ID

Suy ra: . .IC IC IB AC BC

ID IB ID DB DA

Từ đó ta chứng minh: .MC AC BC

MD DB DA

Xét các cặp tam giác đồng dạng

( . )MAC MDA g g AM MC AC

DM MA DA

AM AC

DM DA và 2 .MA MC MD

( . )MBC MDB g g BM BC

DM DB

Ta có: 2

.MC MC MD

MD MD

2

2

MA

MD .

MA MA

MD MD

AC BC

AD BD

Bài 10. *Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di

chuyển trên (O), (O’) sao cho chiều đi từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn theo chiều

kim đồng hồ và sđ AM = sđ AN . Chứng minh rằng đường trung trực MN luôn đi qua một điểm

cố định.

Hướng dẫn

Vẽ hình dự đoán điểm cố định nằm trên đường thẳng đi qua A, vuông góc AB

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) và (O’) lần lượt tại C, D. Gọi I là trung

điểm CD thì I cố định. Ta chứng minh I nằm trên trung trực MN.


5

Gọi H là trung điểm MN thì IH là đường trung bình của hình thang vuông MDNC.

Đpcm.

Bài 11. *Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O) tại

A cắt (O’) tại C. Tiếp tuyến với (O’) tại A cắt (O) tại D. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng

AB và CD. Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng:

1/ 2

2

'MC R

MD R 2/ CAM DAN

Hướng dẫn

1/ BAC BDA 'BA BC AC R

BD BA DA R và BM là phân giác góc DBC

Từ đó: 2

2

'MC BC BC BA R

MD BD BA BD R

2/ Gọi I là trung điểm AD, cộng trừ góc ta có: AIN ABC . Từ đó:

( . . )AIN ABC c g c . Đpcm

Bài 12. *Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB.

Đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh rằng AC đi

qua trung điểm MB.

Dự đoán h.b.h, tạo hình bình hành

HD Gọi D là giao điểm của AC với đường tròn qua M tiếp xúc AB. ABDM là h.b.h do

DM C CAB

Bài 13. *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A là điểm cố định; B và C thay đổi. Kẻ

đường cao BH và CK. Chứng minh rằng HK luôn song song với một đường thẳng cố định.

HD Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh AKH KAx . Chú ý: chứng minh AKH HCB vì cùng phụ

với góc HBC

Bài 14. *Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA,

MB, gọi D là điểm trên cung lớn AB , đường thẳng AD cắt MB kéo dài tại E sao cho D là

trung điểm của AE. Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng BI song

song với AD.

GÓC TRONG VÀ GÓC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

Chú ý: Hai dây cung song song tạo ra hai cung có số đo bằng nhau.


6

Bài 15. Cho đường tròn (O; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ hơn R.

Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt nhau tại K.

Chứng minh rằng:

1/ BIC BKD 2/ IBC KBD ; CBD IBK

Hướng dẫn 2/ TH1 (g.g), đồng dạng thứ 2 (c.g.c)

HD cộng trừ góc – bài dễ

Bài 16. Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân

giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E sao cho AD = AE. Tính

2 2AB AC theo R.

Hướng dẫn:

Đưa hai cạnh AB, AC về độ dài hai cạnh của tam giác vuông.

Gọi AD cắt (O) tại M, kẻ đường kính BF. Vì: FA AC nên AF = AC. Do đó:

2 2 24AB AC R

Bài 17. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua A và

D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng

minh rằng:

a) EF song song với BC

b) AED ADC và AFD ADB

c) 2. .AE AC AF AB AD

Bài 18. Cho đường tròn (O; R) với ba dây cung liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng

nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và

D cắt nhau tại K. Chứng minh rằng

a) BIC BKD

b) IBC KBD

c) CBD IBK

Bài 19. Từ điểm E ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến EAB, EDC sao cho AB <

CD. Tia DA và CB cắt nhau tại F. Tia phân giác của hai góc CEB và CFD cắt nhau tại I.

Chứng minh rằng EI FI

Hướng dẫn Để chứng minh 090FIE ta chứng minh: PN MQ NQ MP

PP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ỨNG DỤNG


7

Dấu hiệu 1 Chỉ ra hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cung một góc bằng nhau (ví dụ D DCA CB )

Dấu hiệu 2: Chỉ ra tổng hai góc đối nhau bằng 1800.

Dấu hiệu 3: Mở rộng

Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M thỏa mãn MA.MB = MC.MD thì ABCD nội tiếp

Nếu AC cắt BD tại N thỏa mãn NA.NC = NB.ND thì ABCD nội tiếp.

Chú ý.

1. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Nếu qua M kẻ tiếp tuyến MN và hai cát tuyến MAB,

MCD thì 2. .MA MB MC MD MN

2. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một đường tròn,

+) Ta chứng minh 2 tứ giác bất kì (ví dụ ABCD, ABCE) nội tiếp.

+) Ta chứng minh 5 điểm cách đều một điểm cho trước

Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800

Bài 20. Từ 1 điểm M ở ngoài (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB

lấy 1 điểm C. Vẽ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB. Gọi I là

giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ICKD nội tiếp

b) IK vuông góc với CD

c) CD2 = CE.CF (góc tiếp tuyến và dây cung – hai tam giác đồng dạng)

a) ta có: 1 1A B (cùng chắn cung AC)

+ do tứ giác BFCD nt 1 1F B (cùng chắn cung CD)

C

2

2

2

2

21

1

1

1

1K

I

F

E

D

O

B

M

A


8

Suy ra: 1 1F A (1)

+ do tứ giác AECD nt 1 1A D (cùng chắn cung CE) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1 1 1F D B

Mặt khác: 2 2A B (cùng chắn cung BC)

+ do tứ giác AECD nt 2 2A E (cùng chắn cung CD)

Suy ra: 2 2E B (3)

+ do tứ giác BFCD nt 2 2D B (cùng chắn cung CF) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 2 2 2E D A

b) Xét tứ giác ICKD, ta có: 0

1 2 1 2 180ICK IDK ICK D D ACB B A (tổng các góc

của tam giác ABC), mà ;ICK IDK là 2 góc ở vị trí đối nhau, suy ra tứ giác ICKD nt

d) ta có tứ giác ICKD nt 1 2I D (cùng chắn cung CK), mà 2 2D A (cmt)

Suy ra 1 2I A , mà 1 2;I A là 2 góc ở vị trí đồng vị nên IK // AB, lại do AB vuông góc với CD,

nên IK vuông góc với CD

c) Xét tam giác CDE và tam giác CDF, ta có:

1 1 2

2 2

. .D F CD CE

CDE CFD g g CD CE CFCF CDE D

Bài 21. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên một nửa đường tròn đường kính AB lấy

điểm C, D sao cho AC AD (D khác B). Trên nửa đường tròn còn lại lấy điểm E (khác A và

B). CE cắt AD tại I. Đường thẳng IO cắt BE tại K.

a) Gọi F là điểm đối xứng của D qua IK, chứng minh tứ giác IFEK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác CDK vuông.

Hướng dẫn. Bỏ a

a) BIK DIK FDB FAB

Mà 0180FAB FEB nên tứ giác IFEK nội tiếp.


9

b) Ta có IEK IFK IDK

Vậy 0180IDK CDB 0 090 180IDK CDI . Đpcm.

Tự luyện

Bài 22. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là

giao điểm của BC và DE. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Gọi P (khác O) là giao điểm của các

đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBE và OCD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác HEPD nội tiếp

b) Tứ giác MEPC nội tiếp

c) Chứng minh MP AO

Hướng dẫn a; b bỏ

a) Chứng minh A, D, P, E, H cùng nằm trên đường tròn.

b) Chú ý. O là tâm ngoại tiếp BEDC, và sử dụng a chứng minh b.

DEC ODB PED PDO PCO

c) MPC MEC và MEB OCD ODC OPC nên MP PO

Tuy nhiên, cần chứng minh A, P, O thẳng hàng.

Do 0180 APD DPO OCD DPO

Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung

Bài 23. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng d cắt (O) và (O’) lần

lượt tại C và D. Hai tia CO và DO’ cắt nhau ở E. Chứng minh rằng C, A, D, E cùng thuộc một

đường tròn.

HD 'D AOC AO ACO ADE

Bài 24. Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Các đường trung trực của các đoạn

thẳng BM, CM lần lượt cắt AB, AC tại D, E.

a) Gọi S là điểm đối xứng của M qua DE, SM cắt AH tại K, chứng minh tứ giác SAKB nội tiếp

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với DE luôn đi qua điểm cố định.


a) Chứng minh 1

2BSK BDM ABK


10

b) Đã có BSAK nội tiếp, nhưng chưa đủ suy ra K cố định. Ta cần chứng minh S, K thuộc đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức chứng minh SACK nội tiếp (chứng minh tương tự).

Tự luyện

Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có 2AB < BC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD =

AB. Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB ở E. Tia phân giác góc ABC cắt DE ở F.

a) Gọi N là giao điểm của AF và đường tròn (O. Đường thẳng qua D song song với AB cắt AF ở

M. Chứng minh tứ giác DNMC nội tiếp.

b) Chứng minh rằng đường thẳng AF đi qua trung điểm I của BD.


a) Ta có NMD BAN NCD

b) Để chứng minh I là trung điểm BD ta chứng minh tứ giác ADMB là hình bình hành, tức

chứng minh hai cặp cạnh đối AB và DM song song và bằng nhau.

2 2 2BDM ABD FBD FND DCM

Mà BDM ABD DCM DMC nên DM = DC = AB.

Bài 26. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm

M, vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OM với BC và

BD.

a) Kẻ tiếp tuyến MN, chứng minh tứ giác MCNE nội tiếp.

b) Chứng minh rằng OE = OF.


a) Chứng minh NME NAO NCE

b) AOE BOF EAO OBF MAE OAD MNE BCD (Theo a)

Cách 2. Qua C kẻ song song với EF cắt AB, BD tại H, K. Kẻ ON vuông CD tại N, chứng minh

ACHN nội tiếp và NH song song BD. Suy ra H là trung điểm CK. Sử dụng talet ta chứng minh

được OE BO OF

CH BH HK

Bài 27. *Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ax, trên nửa

mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ay sao cho 090yAC xAB . Vẽ BD Ax tại D,

CE Ay tại E. Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh

rằng M, H, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

Chứng minh hai góc cùng nhìn cung bằng nhau


11

Ta có 0180DHE DHB EHC 0180 2DAB

Để sử dụng giả thiết M là trung điểm BC, ta lấy thêm I, K lần lượt là trung điểm AB, AC.

Khi đó ( . . )AIM MKE c g c

DMH AMI IMK KME IDM DMI BAC

0 0180 180DIM BAC DIB 0180 2DAB DHE

Tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng.

Bài 28. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường

thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của

AD và BC.

a) Gọi N là trung điểm của OA, chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp

b) Chứng minh rằng 3BC AE

AD BE

HD Bỏ a.

a) Ta chứng minh NDE NBE

Có NBE ADC

Nên NDE NBE NDA ADC DMA NDO DMO NDO (c.g.c)

b) Áp dụng tính chất của tứ giác nội tiếp ta có

Bài 29. *Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia

đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần

lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng.

a) Gọi E là giao điểm của AC và PB, F là giao điểm của AB và PC. Qua P kẻ đường thẳng song

song với BC cắt AC, AB lần lượt tại E’, F’. Gọi I là giao điểm của HQ và AB, K là giao điểm

của HR và AC. Chứng minh IK song song với QR.

b) Chứng minh tứ giác BHAS nội tiếp với S là giao điểm của RA và PB

c) Chứng minh A là trực tâm tam giác PQR

Hướng dẫn. Bỏ a; b

3 . 3 . . . AE AE AN AB BN BA BE BC


12

a) Talet, chứng minh P là trung điểm E’F’

Talet, chứng minh EF song song BC.

Talet, chứng minh IK song song với QR

b) ; HQ HI HB

BHQ AHRHR HK HA

(c. .c) BHQ AHE g nên BHAS nội tiếp

c) SR vuông PQ, PA vuông QR nên A là trực tâm.

Tự luyện

Bài 30. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MD thì bốn điểm

A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.

Bài 31. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát

tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Kẻ OH vuông góc với CD, cắt

AB ở E. Chứng minh rằng:

a) CMOE là tứ giác nội tiếp

b) CE, DE là các tiếp tuyến của (O).

HD cm góc CME = COE

Bài 32. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt

AC tại F. Các tia BE cà CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh rằng tứ giác

EMKF

Bài 33. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.

a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía

đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M.

a) Chứng minh tứ giác ADEN nội tiếp.

b) Chứng minh rằng tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố

định.


a) NB IB BD

NC IC CE nên NBD NCE . Đpcm

b) Tứ giác ADEN nội tiếp nên OA = ON, tức O thuộc đường thẳng cố định là trung trực của AN

Bài 34. *Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các

đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q.

a) Chứng minh tứ giác AKEQ nội tiếp.

b) Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.



13

a) Gọi I là giao điểm của AH và PQ, K là giao điểm của AM và PQ. Ta có I là trung điểm AH.

MAC IQH AMC QIH ;AC MC

ACM IHQQH IH

ACM IHQ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

AC MC

QH IH

AC BC

QH AH ( . )ABC QAH g g (hai góc có cạnh tương ứng vuông

góc)

b) Hiển nhiên

Bài 35. *Cho hình thoi ABCD có 060BAD . Đường thẳng d qua C cắt AB, AD lần lượt ở M và

N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh rằng A, B, D, K cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD, E thuộc BN

MA NA AE

CD ND BD MA AE ( . . )AEB AMD c g c . Đpcm.

DẤU HIỆU 4. SỬ DỤNG DẤU HIỆU TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Trong chương trình toán nâng cao hình học lớp 9, chứng minh tứ giác và sử dụng tứ giác nội

tiếp là rất quan trọng. Trong đó dấu hiệu tích là dấu hiệu để nhận biết và chứng minh nhanh tứ

giác nội tiếp mà các bạn chưa khai thác. Một vài ví dụ dưới đây sẽ chỉ cho các bạn thấy ứng

dụng đơn giản mà tuyệt vời này.

Tính chất tích

Thuận. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn cắt nhau tại một điểm M

(nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn) thì: . .MAMB MC MD

Đảo. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MD thì bốn điểm A,

B, C, D thuộc cùng một đường tròn.

Hướng dẫn. Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.

Chú ý. Nếu M nằm ngoài đường tròn (O), cát tuyến MAB và tiếp tuyến MP thì 2.MA MB MP

Bài 36. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và

cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E

là giao điểm của CH và đường tròn (O).


14

a) Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMN). Chứng minh tứ giác

AEKC và HKCD nội tiếp.

b) Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.


a) Xét . . .HKHE HC HM HN HA

2. . .AH AK AF AO AN AC AD

b) 0180AEC BEC HKC EDC . Đpcm

Bài 37. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến và cát tuyến ADE

(tia AD nằm giữa hai tia AB và AO). OA cắt BC tại H. Vẽ BK vuông góc với DE tại K, KH cắt

AB tại G và cắt đường thẳng đi qua A song song với CD tại M. Vẽ AS vuông góc với GD tại S.

Chứng minh tứ giác DKMS nội tiếp

Hướng dẫn

Hạ DT vuông góc với AB tại T

Ta có . .GT GA GDGS

Nên tứ giác DKMS nội tiếp . .GT GA GK GM tứ giác ATKM nội tiếp BTK AMK

Ta có BTK TKA TAK VCH VHC DVH AMK

Bài 38. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) có đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với

BC ở N, đường tròn (I) đi qua B, C tiếp xúc với AD ở M. Chứng minh rằng tứ giác MNCD nội

tiếp

Hướng dẫn

Gọi S là giao điểm của AD và BC

Xét tích ta có 2 .SM SB SC ; 2 .SN SA SD

Cần chứng minh . .SM SD SN SC2 2

2 2

SM SC

SN SD

2

2

.

.

SB SC SC

SA SD SD

SB SC

SA SD (luôn đúng)

I H

O

G

A

B

F N

K

H

E

I

N

C


15

Bài 39. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động

trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là

giao điểm của AB và CD.

a) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh tứ giác

AODE nội tiếp, tứ giác BNED nội tiếp.

b) Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.


a) Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO

Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau

NDE NBE EDC EBA EKB EBA AEO DEO OA OD (luôn đúng)

b) END NBD END BCD / /EN BC

Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC.

Bài 40. Cho tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (BF < CE). BE cắt CF tại H, FD

cắt đường tròn (O) tại M, ED cắt đường tròn (I) tại N. Chứng minh tứ giác DMSN nội tiếp

Hướng dẫn

Gọi A là giao điểm BF và CE, ta có A, H, D thẳng hàng

; . . .FD FM FH FC FA FB ; . . .EEN ED EH EB EA C

. : . .FM FA FB FD FA FB ED

EN EA EC ED EA FD EC . . 1

AC BC AB

AB AC BC FM EN

Vậy (c.g.c) SFM SEN . Đpcm.

Bài 41. *(Thi hsg cấp tỉnh – đề số 3) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại

điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và

N. Tiếp tuyến chung tại T của (O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ

hai A và MN cắt (O1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại

điểm thứ hai C.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMND là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AB song song với PN.

c) Gọi E là giao điểm của AB và CD, chứng minh . .EB PN EC PM

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.


16

HD

a) Theo dấu hiệu ta có

2. .PA PM PT PD PN nên tứ giác AMDN nội tiếp

b) 1 1

3 3

O A O BMA MB

MP O P O N MN / /AB NP

c) EBC PNM

d) EB PM PA EA

EC PN PD ED

Luyện tập

Bài 42. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ AM là tiếp tuyến của

(O). Kẻ MK vuông góc với OA tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, D là giao điểm của

AH và BC. Chứng minh rằng D, H, K, O cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn. Xét tích 2. . .AH AD AN AB AM AK AO

Bài 43. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát

tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Chứng minh rằng:

a) CMOD là tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD.

Hướng dẫn

C M O

K

A

B D

E N

M

B C

O1

O3

O2

D

P

A

T


17

a) 2. . MA MO MA MC MD nên tứ giác OMCD nội tiếp

b) Để chứng minh CMB DMB ta chứng minh CMK DMO

Thật vậy CMK ODC OCD DMO

Bài 44. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA. D là điểm nằm

trên đường tròn (H). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB và DC. Chứng minh rằng bốn

điểm D, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn

Gọi E là giao điểm của DH và (H) thì 2. .BH HC AH HD HE nên DBEC nội tiếp.

BED BCD MHD MND

Bài 45. Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC.

Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường

thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).

a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.

b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC

Hướng dẫn

a) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp,

tức A, F, H, E đã nằm trên 1 đường tròn.

Ta chứng minh tứ giác AMFH,

AMFE hoặc MEHF nội tiếp sẽ có đpcm.

Ta chứng minh AMFE nội tiếp.

Thật vậy, theo dấu hiệu tích . . . IM IA IB IC IF IE Đpcm.

b) Ta chứng minh HN, HM cùng vuông góc với AI, khi đó M, H, N thẳng hàng. Thật vậy

0 0180 90HMA HAE

Sử dụng bài toán cơ bản. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường kính

AD. Khi đó DH cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Áp dụng. Nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng. Khi đó NH vuông góc với IA

A

B C

F

E

I

M

H

N


18

Vậy HM, HN cùng vuông góc với IA nên H, M, N thẳng hàng

c) Sử dụng định lí P tô lê mê (xem chi tiết về Định lí P tô lê mê trong chuyên đề tứ giác nội tiếp)

Bài 46. Chuyên toán ĐHSPHN 2008 - 2009 Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy

điểm M tùy ý (M khác A và B). Kí hiệu 1 2; ;O O O lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp

các tam giác ABC, AMC và BMC.

a) Chứng minh bốn điểm 1 2; ; ;C O M O cùng nằm trên một đường tròn ( )

b) Chứng minh O cũng nằm trên đường tròn ( )

c) Xác định vị trí điểm M để đường tròn ( ) có bán kính nhỏ nhất

HD c) Gọi R là bán kính của (C) thì 𝐶𝑂 ≤ 2𝑅. Khi đó M là hình chiếu của C trên AB

Bài 47. (Chuyên KHTN 2002 – 2003) Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC

(M không trùng với B), N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:

MAN MAB DAN

a) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng

nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay

đổi

c) Kí hiệu 1S là diện tích tam giác APQ, 2S là diện tích tứ giác PQMN. Chứng minh rằng tỉ số:

1

2

S

Skhông đổi khi M và N thay đổi.

d) Tìm GTNN của MN

HD ADNQ nội tiếp; các điểm cùng thuộc đường tròn đk MN; b) (A; AD); Tỉ số diện tích bằng

bình phương đồng dạng; đs 1d) Tính 2 2 22 2 2MN CN CM CN CM

Bài 48. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là

trung điểm của BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác

I)

a) Chứng minh năm điểm A, E, H, K, D nằm trên cùng một đường tròn

b) *Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.


19

HD a) AEKD nt, AEHD nt; b) A, K, I thẳng hàng; ICK IAC ; MEKC nội tiếp;

090MKI BEC

Bài 49. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường

tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M

và N tương ứng. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng

a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn b) *O là trung điểm MN

HD a) Đường tròn đk OE; b) Từ A kẻ đường thẳng song song OE cắt BC tại F; tứ giác AIDJ nt;

IJ song song BC nên JA = JF, đpcm.

Bài 50. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D

trên AC, E trên AB). Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D,

I cắt nhau tại K (K khác I).

a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và 𝐵𝐷�̂� = 𝐶𝐸�̂�

b) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

HD chứng minh 2 tứ giác AEKD, AEHD nội tiếp

b) 5 điểm A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH nên HK AI (1)

0180AKE EKI nên A, K, I thẳng hàng.

ICK DEK nên MEKC nội tiếp MEC MKC

Mặt khác MEB AED 090MKI BEC MK AI (2)

Từ (1) và (2) thì M, H, K thẳng hàng

Bài 51. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường

thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của

AD và BC. Chứng minh rằng 3BC AE

AD BE

Bài 52. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.

a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía

đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M. Chứng minh rằng

tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 53. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và

cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E

là giao điểm của CH và đường tròn (O). Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.


20

Bài 54. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động

trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là

giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 55. *Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia

đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần

lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng. Chứng minh A là trực tâm tam giác

PQR

Bài 56. *Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các

đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh

rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.

ỨNG DỤNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Ứng dụng hệ thức để chứng minh đẳng thức

Hệ thức 1. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp

điểm) và các cát tuyến ACD, AEF với đường tròn. Chứng minh rằng

2 2 2. .AFAB AC AD AE AO R (*)

Hệ thức 2. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trong đường tròn A O . Qua A kẻ hai

dây cung CD và EF. Chứng minh rằng 2 2. .AFAC AD AE R OA (**)

Các hệ thức (*) và (**) được gọi là hệ thức lượng giác trong đường tròn. Bạn đọc có thể chứng

minh chúng bằng kiến thức của tam giác đông dạng. vận dụng hệ thức lượng đó ta sẽ giải quyết

được nhiều bài toán về chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức trong đường tròn. Sau đây là một

thí dụ minh họa.

Bài 57. Cho tam giác ABC với I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp

góc A. chứng minh rằng .AJ .AI AB AC .

Lời giải.

Ta có ICJ 90oIBJ

A

J

B C

I

O

D


21

Suy ra tứ giác IBJC nội tiếp đường tròn đường kính IJ, tâm O (trung điểm IJ). Trên tia AB lấy

điểm D sao cho AD AC . Tam giác ACD cân tại A nên AJ là trung trực của CD, suy ra

OD OC . Vậy D thuộc đường tròn (O).

Áp dụng hệ thức (*) ta có .AJ .AI AD AB , mà AD AC nên .AJ .AI AB AC (đpcm)

Bài 58. Cho tam giác ABC với hai đường phân giác trong và ngoài của góc BAC lần lượt là AD

và AE. Chứng minh rằng 2 2. . D .AB AC DB DC A EB EC AE

Lời giải.

Giả sử O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tia AD cắt đường tròn ở M (điểm

chính giữa cung BC). Tia đối của tia AE cắt đường tròn tại N. dễ thấy 90oMAN nên MN là

đường kính của đường tròn (O). Suy ra MN BC . Xét hai tam giác AMB và ADC có

1 2( ),A A gt AMB ACD (góc nội tiếp cùng chắn cung AB), suy ra AMB ACD (g.g)

Nên . .AB AM

AB AC AM ADAD AC

hay 2. . .AB AC AD DM AD AD DM AD

Áp dụng hệ thức (***) với hai dây cung AM và BC ta có . .DM AD DB DC .

Do đó 2. . DAB AC DB DC A (1)

Hai tam giác ANB và ACE có 3 4A A (cùng phụ với hai góc bằng nhau 1 2A A );

ABN AEC AMN , suy ra ANB ACE (g.g) nên AB AN

AE AC

2

. . .

. .

AB AC AN AE EN EA AE

AB AC EN AE AE

Áp dụng hệ thức (*) với hai cát tuyến EAN và ECB ta có . .EN AE EB EC , do đó

2. .AB AC EB EC AE (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có đpcm

4

2

1

3

DE

N

M

B

A

C


22

Bài 59. Hệ thức Euler. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là tâm và r là bán

kính đường tròn nội tiếp, J là tâm và or là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác

ABC. Chứng minh rằng 2 2 2OI R Rr và 2 2 2 oOJ R Rr .

Lời giải.

Theo thí dụ 1, ta có tứ giác IBJC nội tiếp đường tròn đường kính Ị, tâm M là trung điểm IJ đồng

thời là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn (O) nên MB MI MJ

Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của I và J xuống đường thẳng AB, còn MN là

đường kính của đường tròn (O).

Xét hai tam giác vuông IAD và MNB có 1A N (góc nộ tiếp cùng chắn cung MB) nên đồng

dạng, suy ra IA ID

MN MB . . . 2IAMB IAMI ID MN Rr

Áp dụng hệ thức (**) đối với dây cung AIM ta có 2 2.IA IM R OI , suy ra 2 2 2R OI Rr hay

2 2 2OI R Rr

Tương tự, hai tam giác vuông JAE và MNB đồng dạng nên ta có JA JE

MN MB hay

. . 2 . a

JA JEJA MJ JE MN R r

MN MJ .

Áp dụng hệ thức (*) đối với cát tuyến JMA, ta có 2 2.JA JM OJ R . Từ đó suy ra

2 2 2 22 . 2 .a aOJ R R r OJ R R r

Tự luyện

Bài 60. Cho tam giác ABC (các góc B, C đều nhọn), các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

chứng minh rằng 2. .BH BD CH CE BC

D

E

N

M

O

B

A

C

J


23

Bài 61. Cho M là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ

M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong đó P, Q là các tiếp điểm. Hạ OH vuông

góc với đường thẳng d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng

a) 2. .OI OH OK OM R .

b)Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn cố định.

Bài 62. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp

điểm) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm

của AB và OM. Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh rằng 2DEC DBC .

Lời giải.

Áp dụng hệ thức (*) ta có 2 .MB MC MD . Trong tam giác vuông OBM có BE là đường cao nên

2 . . .MB ME MO MC MD ME MO .

Suy ra ( . . )MEC MDO c g c MEC MDO tứ giác CDOE nội tiếp DOC DEC .

Mà 2DOC DBC (cùng chắn cung DC của đường tròn (O)) nên 2DEC DBC .

Bài 63. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) ở C và D.

Kẻ dây BN của đường tròn(O), cắt đường tròn (A) tại điểm E ở bên trong đường tròn (O).

Chứng minh rằng 2 .NE NC ND .

Bài 64. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AD, BC và AB, CD lần lượt cắt nhau tại E và F.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là

2. .EA ED FA FB EF .

Lời giải.

E

C

MO

A

B

D


24

Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt EF tại M, đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF

cắt EF tại N. Áp dụng hệ thức (*) với hai cát tuyến EAD, ENF và hai cát tuyến FAB; FMN ta có

. .EF

. .

EA ED EN

FA FB FM EF

(1)

(2)

Từ (1) và (2) có . .EA ED FA FB EF EN FM (3)

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp, ta có ABC ADF (cùng bù với góc ADC ), mà ABC AME

(cùng bù với góc ABE ) nên AME ADF .

Suy ra tứ giác AMFD nội tiếp, chứng tỏ M N .

Từ (3) suy ra 2. . EFEA ED FA FB (4)

Ngược lại, giả sử có (4), kết hợp với (3), suy ra EF EN FM . Chứng tỏ M N .

Từ đó ;AME ABC AME ADF , suy ra ADF ABC nên 180oADC ABC hay tứ giác

ABCD nội tiếp đường tròn.

Định lí P tô lê mê và ứng dụng

Định lí Ptô-lê-mê có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

-Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng

các tích của các cặp cạnh đối diện.

- Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của

hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. *]

Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức

Bài 65. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi M là điểm bất kì

thuộc cung BC

C

E

F

D

BM

A

N


25

a) Chứng minh rằng MA = MB + MC

b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng: 1 1 1

MB MC MD

c) * Tính tổng 2 2 2MA MB MC theo R.

HD b) MCD đồng dạng MAB; c) Đặt MA = x, MB = y, Tổng = 2 2 22( )x y xy

Kẻ BH vuông góc AM; 2MH = y nên 2 2 2 2 2 2 22 2( ) 2( ) 6RAB AH BH x y xy

(Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quí Đôn, Quảng Trị, năm học 2005-2006)

Bài 66. Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a.Trên AC lấy điểm Q di động, trên tia đối

của tia CB lấy điểm P di động sao cho 2.AQ BP a . Gọi M là giao điểm của BQ và AP. Chứng

minh rằng: AM MC BM

Chứng minh:

Từ giả thiết 2. . .ABAQ BP a AQ BP AB .

Xét ΔABQ ΔBPA(c.g.c) ABQ=APB (1)

Lại có ABQ+MBP=600 (2)

Từ: (1), (2) ⇒BMP=1800 − MBP−MPB =1200

AMB=1800 −BMP=1800−1200 = 600 =ACB.

tứ giác AMCB nội tiếp được đường tròn.

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác AMCB nội tiếp

và giả thiết AB = BC = CA ta có:

. . . AB MC BC AM BM AC AM MC BM (đpcm)

Bài 67. Tam giác ABC vuông có BC > CA > AB. Gọi D là một điểm trên cạnh BC, E là một

điểm trên cạnh AB kéo dài về phía điểm A sao cho BD = BE = CA. Gọi P là một điểm trên

cạnh AC sao cho E, B, D, P nằm trên một đường tròn. Q là giao điểm thứ hai của BP với đường

tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng: AQ + CQ = BP

(Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000)

Dựa vào các đại lượng trong tam giác bằng nhau theo giả thiết, ta sử dụng ĐL tam giác đồng

dạng để suy ra các tỉ số liên quan và sử dụng phép thế để suy ra điều phải chứng minh.

Chứng minh:

Xét các tứ giác nội tiếp ABCQ và BEPD ta có:

CAQ=CBQ=DEP (cùng chắn các cung tròn)


26

Mặt khác AQC=1080 −ABC=EPD

Xét ΔAQC và ΔEPDcó: AQC=EPD; CAQ=DEP

ΔAQCΔEPD AQ/EP=CA/ED

AQ.ED =EP.CA=EP.BD( 1) (do AC=BD)

AC/ED=QC/PD ED.QC=AC.PD=BE.PD (2) (do AC=BE)

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp BEPD ta có:

EP.BD+BE.PD=ED.BP (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

AQ.ED + QC.ED = ED.BP AQ+QC=BP (đpcm)

Bài 68. Định lí Carnot

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đường tròn (I,r). Gọi x, y,

z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh tam giác. Chứng minh rằng: x y z R r

Chứng minh:

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.

Giả sử x = OM, y = ON, z = OP, BC = a, CA = b, AB = c.

Tứ giác OMBP nội tiếp, theo đẳng thức Ptô-lê-mê ta có:

. . .OB PM OP MB OM PB

Do đó: 2 2 2. . 1(. )R b z a x c

Tương tự ta cũng có 2 2 2. . .R c y a x b

(2) và 2 2 2. . . R a y c z b (3)

Mặt khác:

2 2 2 2 2 2( ) . . r a b c SABC SOBC SOCA SOAB x a yb z c (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: 2 2( )( ) ( )( )R r a b c x y z a b c R r x y z

(Bài này còn gọi là Định lí Carnot- 1 định lí khá là quen thuộc và cách chứng minh cũng khá

đơn giản. Ứng dụng của định lí này như đã nói là dùng nhiều trong tính toán các đại lượng

trong tam giác)

Ứn dụng Carnot:

Bài 69. *Ứng dụng Định lí Carnot

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R = 1, có AB = 2.BC. Tính

bán kính đường tròn nội tiếp (O’) nội tiếp tam giác ABC?


27

Sử dụng tam giác đồng dạng, r = 3/8

R + r =OI + OK + OH (khoảng cách đến 3 canh). Sử dụng diện tích;

Chứng minh AO’ = 4r bằng tam giác đồng dạng;

OI, OK, OH vuông

Bài 70. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và AC=2AB. Các đường thẳng tiếp

xúc với đường tròn (O) tại A,C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của

cung BAC.

Chứng minh:

Gọi giao điểm của BP với đường tròn là N. Nối AN,NC.

Xét NPCvà CPB có: PCNˆ=PBCˆ,Pˆ chung

ΔNPC ΔCPB(g.g) PC/PB=NC/BC(1)

Tương tự ta cũng có ΔPAN ΔPBA(g.g)

AP/BP=AN/AB (2)

Mặt khác PA=PC (2)

PA/PB=NC/BC=AN/AB

NC.AB=BC.AN(3)

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ABCN ta có:

AN.BC+AB.NC=AC.BN

Từ (3) 2AB.NC=AC.BN=2AB.BN

NC=BN. (đpcm)

Bài 71. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và

trọng tâm G. Giả sử rằng 𝑂𝐼�̂� = 900. Chứng minh rằng IG song song với BC.

Chứng minh

Kéo dài AI cắt (O) tại N. Khi đó N là điểm chính

giữa cung BC (không chứa A).

Ta có: BN=NC(1). Lại có:


28

IBNˆ= BINˆ BN=IN(2)

Do OI AI suy ra IA=IN=1/2 sđ cung BC(3)

Từ (1),(2),(3) BN=NC=IN=IA(4)

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ABNC ta có:

BN.AC+AB.NC=BC.AN

Từ (4)

BN(AC+AB)=2BN.BC AC+AB=2BC (5)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và (5) ta có:

AB/BD=IA/ID=AC/CD=(AB+AC)/(BD+CD)=(AB+AC)/(BC)=2BC/BC=2

Vậy IA/ID=2(6)

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác suy ra AG/GM=2(7)

Từ (6),(7) IA/ID=2=AG/GM

Suy ra IG là đường trung bình của tam giác ADM hay IG song song với BC. (đpcm)

Bài 72. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM là trung tuyến. Các tiếp tuyến tại A

và B của (O) cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: ACD BCM

Chứng minh:

Gọi N là giao điểm của CD với (O). Xét tam giác DNB

và DBC có:

DBNˆ=DCBˆ,Dˆ chung.

ΔDBN ΔDCB(g.g) NB/CB=BD/CD(1)

Tương tự ta cũng có :

ΔDNA ΔDAC(g.g) NA/AC=DA/CD(2)

Mà BD=DAnên từ (1),(2)NB/CB=NA/AC NB.AC=AN.BC(3)

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ANBC ta có:

AN.BC+BN.AC=AB.NC

Từ (3) và giả thiết

AB=2BM 2AN.BC=2BM.NC AN/NC=BM/BC


29

Xét ΔBMC và ΔNAC có:

MBCˆ=ANCˆ, AN/NC=BM/BC ΔBMC ΔNAC(c.g.c) BCMˆ=NACˆ

Vậy bài toán được chứng minh.

Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức

Bài 73. Cho tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q.

Chứng minh rằng: 2 2 2 2pq a b c d

HD Bài toán đơn giản, sử dụng Ptoleme và Bunhia

Cho đường tròn (O)) và BC là một dây cung khác đường kính của đường tròn. Tìm điểm A

thuộc cung lớn BC sao cho AB + AC lớn nhất.

Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC thì DB = DC = a không đổi. Áp dụng Ptoleme thì A

là là điểm chính giữa cung lớn BC.

Tự luyện

Bài 74. (149T5/246 – 45 năm).Cho tam giác ABC, biết rằng: �̂� = 2�̂� = 4�̂�. Chứng minh

rằng:

1

𝐴𝐵=

1

𝐵𝐶+1

𝐴𝐶

HD: Trên cung BC lấy D sao cho hai cung AB = BD. Áp dụng định lí Ptoleme

Bài 75. Cho tứ giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh: . .

. .

AC BC CD AB BD

BD BC BA DC DA

Lấy E, F thuộc đường tròn sao cho: ;CDB ADE BDA DCF

Áp dụng định lí cho tứ giác AECD và BCDF. Chứng minh ED = FC (do 2 cung bằng nhau) ta

có đpcm

Bài 76. Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

BM CN AM AN BN CM


30

HD Đặt BC = a, CA = b, AB = c.

áp dụng đli cho tứ giác AMBC, ANCB. Mặt khác ;AM MF AN AF

BN BF BM MF

Theo tính chất phân giác ta có: .

.

AM AN AF b

BM BN BF a

Tương tự: .

.

AM AN AE c

BM BN CE a

Bài 77. Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ;MAB NAC MBA NBC .

Chứng minh rằng: . . .

1. . .CB

AM AN BM BN CM CN

AB AC BA BC CA

HD lấy K trên đường thẳng BN sao cho BCK BMA ; AB BK

MB BC

Mặt khác: AB BK AK

MB BC CM

Từ đó tính được CK, AK, BK. Thay vào định lí Ptoleme trong tứ giác ABCK ta có:

. . .AC NK AN CK CN AK

..( ) . . .

AB BCAC BK BN AN CK CN AK AC BN

BM


31

Bài 78. (CMO 1988, Trung Quốc)

ABCD là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm ) và bán kính R. Các tia AB, BC,

CD, DA cắt (O,2R) lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh rằng:

( )2A B B C C D D A AB BC CD DA

Bài 79. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung

lớn BC của đường tròn để AB+2AC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 80. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O′) nằm trong (O) tiếp xúc

với (O) tại T thuộc cung AC (ko chứa B). Kẻ các tiếp tuyến AA′,BB′,CC′tới (O′). Chứng minh

rằng: BB′.AC=AA′.BC+CC′.AB

Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Updating…

Chứng minh dựa vào góc

Chứng minh dựa vào song song

Bài 81. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M,

N, D là điểm chính giữa các cung nhỏ BC, CA, AB. Giả sử MN cắt AC tại Q; MD cắt AB tại

P. Chứng minh rằng:

a) MB = MI

b) Ba điểm P, I, Q thẳng hàng.

HD a) nếu I thuộc AD thì I là tâm nội tiếp khi và chỉ khi MB = MI. b) Từ câu a suy ra MP là

trung trực BI, suy ra góc PBI = góc PIB, suy ra IP song song BC. Tương tự IQ song song BC

Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba đường đồng quy

Updating…


32

9 tu giac noi tiep

Education