2. §9 . 1685 1< - Fg = = 27,2 r = 384000 60 = 6400 R(f) = _!_ r 60 = 0,0027 g = 9,8 0, 00 27 ) 2 g 9,8 3600 60 2 r· Fg Fg G - 1798 1, "11 2, 3. r 4 }i 2 G = 6,67 ·10- 11 1 1
Глава 2. Динамика материальной точки
§9. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ В 1685 г. Исаак Ньютон предположил, что движение земных объе1<тов и небесных тел
подчиняется общим закономерностям: все тела nритяrиваются друг 1< другу гравитационными
силами. Единый универсалы1ый закон тяготения справедлив для всей Вселенной: свободное
падение яблон.а на Землю и движение Луны имеют общую причину - гравитационное uри·rя
жение к Земле.
Радиус действия грави:тационвого притяжения неограничен. Выясним зависимость силы
притяжения от расстояния междУ телами ф. Для этого достаточно знать зависимость ускорения от расстояния междУ телами, так как Fg = та.
Луна, вращаясь вокруг Земли с периодом Т = 27,2 сут = 2 ,36 · 106 с, находится на расстоянии r = 384000 :км от Земли, в 60 раз большем радиуса Земли ~ = 6400 км:
R(f) =_!_ r 60
Нормалъное (центростремительное) ускорение Луны, приобретаемое под действием грави
тационного притяжения Земли, ап = 4л:2r /Т2 = 0,0027 м /с2 , можно сравнить с ускорением сво-
бодного падения g = 9,8 м /с2 на Землю.
а" = 0,0027 =-1- = _1_ =(~ )2
g 9,8 3600 602 r·
Это означает, что ус1<орение тела под действием гравитационной силы Fg обра·rво пропор
ционально квадрату расстояния между телами. Также изменяется с расстоянием и сила Fg
гравитационного притяжения двух тел:
Закон всемирноzо тяготения:
Между яюбыми двумя материальными точ.ками действует сияа взаимн.оzо
притяжен.ия, прямо пропорцион.аяьн.ая произведению масс этих то-ч,ек, обратно
пропорчионаяьн.ая квадрату расстояния между ними, наnравяен.ная вдояь пря·
мой, соединяющей эти точки:
где G - zравитацион.ная постоян.пая (коэффициент пропорциональности, одинаковый для
всех тел) ~· В 1798 г. гравитационная постоянная была измерена английским физиком Генри Кавен
дишем с помощью крутильных весов®. Два шарика 1, имеющих одинаковую массу "11 · укреплены на концах легкого коромысла 2 ,
подвешенного на упругой нити 3. Шарики находятся на расстоянии r от более массивных шаров 4 массой т2 • Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло повора-
чивается. По углу закручивания нити определяется сила гравитационного притяжения }i2
шариков массами т1 и ~. Кавендиш нашел числовое значение гравитационвой постоянной:
G = 6,67 ·10-11 Н ·м 2 / к г2 •
Гравитационная постоянная численно равна силе гравитационного при·rяжения двух тел,
массой по 1 кг каждое, находящихся на расстоянии 1 модно от другого .
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПРИТЯЖЕНИЕ
ф
Совпадеиие 11ор.wи.1ы10.:о ус11."Орен11я Лхны, вращшощеii.ся вокру.~ Зе.ч.щ с )'CKOfКНUt.\/, приобретаемы."' Луной под дt!licm11ue.w си1ы npиntI01Cc11UJ1 к .k•c.ie
а. = 0,0027 м/t:/
r = 384 ООО км
g = 18 м/с1
4п• а. = -pi" г = 0,0027 мtс:'
а. 0.0027 \t 'cJ 1
я. = 1 r 60
-= 11 9,8 м/с1 = 3600
(..&.)' ( 1 )J 1 г " 60 " 3600
1 а. - F, - -т r
С1111" i'pa1111ma1111111moгo пр111ш1.же1111я dвух тел обрат110 11ро11tJр1111011алы1а кмдрату расстояuия
,11('.JIC'()J' l/ILЩJ
ЮПИТЕР СО СПУТНИКАМИ
Закон всемирного тяготения
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
Между то6ы w11 д~ wя ,wатер11а.1ь11N.м11 пrочка.1111 деШ:тгует сила 11Заш1ного t1pиmJfЖe1111Jl. пря.110 пропорцио11аJьнШl
произведеиию .11осс 'Jm1« точек и обратио nро11орцио11а:Jьная кваОрату paccmo11н1JJ1 чежду 111.c.w11
F.= G
где G - гравитационная постоянная (коэффициент
пропорциональности, одинаковый для всех тел)
Пр111111111тt1J1Ы1Ш1 с:хе.мо 011ьипt1 Каве11д1111ю
по m1peдl'.1/!llll/(I •'JJllRl/f/IOl/llQllllOri llQClllOЯllllQU
Крутиль11ые весы
1 - шарики, имеющие одинаковую массу m1
1 - легкое коромысло
З - упругая нить
4 - массивные шары массой т,
Под действием сил притяжения малых шаров к большим
коромысло поворачивается . По углу закручивания нити
определяется сила гравитационного притяжения F12
шариков массами т1 и m,
G = 6,67 · 10-11н м2/кг2
Гровшпацио1111ая постон11нШ1 числе11но
ров11а силе .•рав11тоц1101111ого притяжения
двух тел. ,11оссой по 1 кr каждое, 11аходящ11хся 110 расстоя111ш 1 м
од110 от другого
Глава 2. Динамика материальной точки
§10. СИЛА ТЯЖЕСТИ Все тела притягиваются друг к другу гравитационными силами.
Сил.а тяжести - гравитац.ион.ная сил.а, действующая на тел.о ф.
Например, на тело массой т, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, действует
гравитационная сила притяжения Земли:
F = G т.МФ = G тМе; . g г2 (Rit + li)2
Ускорение, приобретаемое телом под действием гравитационной силы, можно найти из
:второго закона Ньютона:
тМ а = G $ .
g (R~ + h)2
Вблизи поверхности Земли ( h ~ Rw )
Следовательно (g),
mMtfo Fg = G--
2- .
R-±<
Ускорение свободного nаден,ия (zравитацион,ное ускорен.ие) - ускорение, приоб
ретаемое тел.ом под действием zравитациопн.ой сил.ы вблизи поверхности небес
ных тел. (планет, звезд) .
Гравитационное ускорение у поверхности планет Солнечной системы зависит от массы и
радиуса планеты ®· В отсутствие сопротивления воздуха все тела вблизи поверхности Земли падают с одинако
вым ускорением g . Анг лийсRИ:Й ученый Роберт Бойль наблюдал синхронное падение различ-ных предметов в сосуде, из которого был от1<ачан воздух@ . В -вакууме яблоко и перо падают синхронно. Синхронное падение птичьего пера и молотка на поверхность Луны наблюдали аме
риканские астронавты Д. Скотт и Дж. Ирвин..
В воздухе падение тел происходит иначе, чем в вакууме. На тело, движущееся в воздухе,
действует сила сопроти'Вления воздуха. Свободно падающее тело вначале движется, :как в ва
кууме, с ускорением свободного падени.я, так как сила сопротивления воздуха пренебрежимо
мала при небольшой скорости. Увеличение скорости падения тела приводит к увеличению си
лы сопротивления воздуха и соответственно к уменьшению ускорения тела. Когда сила сопро
тивления воздуха становится равной силе притяжения тела к Земле, ускорение тела оказывает
е.я равным нулю. Вблизи Земли тела, падающие с большой высоты, имеют постоянную ско
рость ®· Легкие тела с большой площадью поверхности (снежинки, Щ1стья) через короткий проме
жуток времени начина.ют двигаться в воздухе равномерно с небольшой скоростью.
Схорость тяжелых предметов при падении в атмосфере Земли возрастает в течение не
скольких первых секунд, а затем остается постоянной (порядка 100 м/с).
СИЛА ТЯЖЕСТИ
Гравитацион11ая с1та в поле тяжести Земли
ф
F, = mg
Сила тяжести - гравитационная сила,
действующая иа тело
ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ОТСУТСТВИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА
®
Си11.r:рон11ое свобод11ое паде1111е яблока u пера в вакууме
Сила тяжести
УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
При h << R~
а = g = F, = G М2е = 9 8 м/с1 , т щ '
Ускоре11ие свобод11ого падения (грав11тацио11ное
ускоре11ие) - ускоретtе, приобретаемое тело.~1
под воздеtiств11еА1 грав11тациотt0й силы вблизи поверх11остu 11ебес11ых тел (пла11ет, звезд)
®
ГРАВИТАЦИОННОЕ УСКОРЕНИЕ
НА ПЛАНЕТАХ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ГpatJ11maц11u1111oe Плт1е111а ускире1111е,
м/с1
Меркурий 3,7
Венера 8,9 Земля 9,8 Луна 1,6 Марс 3,7
Юпитер 26 Сатурн 12 Уран 11 Нептун 12
ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ВОЗДУХЕ
Скорость падеиия тел с большой высоты на Землю
® Скорость паде11ия
Падающее разл11ч11ых те.!/
с6ольщой тело вwсоты 110 Землю.
м/с
Перо mицы 0,4
Лист бумаги 0.5
Снежинка 1 Парашютист (раскрытый парашют) 7
Монета 9
Мышь 13
Парашютист 60 (нераскрытый парашют)
Пуля (крупного калибра) 100
Большой камень 200
Глава 2. Динамика материальной точки
§11. СИЛА УПРУГОСТИ, ВЕС ТЕЛА Внешнее механическое воздействие на тело может приводить к изменению его формы и
размеров. Восстановление первоначальных размеров и формы тела происходит в результате
действия силы упругости.
Сияа упругости - сияа, возн.икающая при малой деформации растяжен.ия
(сжатия) теяа, н.аправяен.ш~я противопояожпо смещению частиц тел.а при де
формации.
Возникновение этой силы обусловлено силами электромаrнитного взаимодействия междУ
заряженными частицами, из которых состоят все макроскопические тела ф. В отсутствие внешнего воздействия атомы находятся в равновесных положениях. Увеличение межатомного
расстояния no сравнению с равновесным приводит к их притяжению, а его уменьшение к отталкюзавию атомов. Поэтому простейшей механической моделью кристалла являются шарики,
соединенные пружинами. В э·гой модели шарики играют роль атомов, а связывающие их пру
жины имитируют особенности элек1.'РОмаrнитного взаимодействия атомов. Предложенная мо
дель позволяет просто объяснить упругие свойства твердых тел. При растяжении твердого тела
увещrчивается среднее расстояние между атомами (пружины растягиваются). Поэтому сум
марная сила притяжения атомов (сила упругости пружин) стремится сжать тело до первона
чальных размеров. В случае сжатия тела уменьшение межатомкъrх расстояний (сжатие пру
жин) приводит к возникновению силы отталкивания атомов (растягивающей упругой силы),
восстанавливающей первоначальную длину тела.
Если воздушный шарик прижимается I< стене с силой F , то на PYI<Y действует сила н.ормальн.ой реакции опоры N1 - сила упругости, действующая на тело со стороны опоры пер
пендикулярно ее поверхности ~. О .величине силы упругости можно судить по степени растяжения или сжатия пружины.
Закон. Гука:
Модул.ь сияы упругости FY"P' возникающей при деформции пружины (тела),
пропорционален. ее удяимен.ию Лl = ll-Lo j,
где l - длина пружины, lo - длина нерастянутой пружины®:
3а~<он Гука справедлив пр:и малом у длине нии Лl « l0 .
На тело массой т , подвешенное на пружине, действует сила тяжести тg и сила натяже
ния Т ®· Сияа натяжен.ия - сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины. В равновесии Т = тg . По третьему закону Ньютона на пружину со стороны тела действует в направлении силы тяжести сила упругости, или вес, равный по модулю и противопо
ложно направленный силе натяжения: Р = -Т . При подвешивании тела на подвес (пружину) будет действовать упругая сила, направленная вниз.
Вес тела - суммарная сияа упругости тел.а, действующая при н.аяич.ии сияы
тяжести на все опоры, подвесы.
Вес тела на опоре® определяется приростом суммарной силы отталкивания между атомами, возникающим из-за сжатия тел силой тяжести. Сила тяжести приложена к телу, а вес к
опоре, подвесу.
Сипа упругости, вес тела 11
СИЛА УПРУГОСТИ - с11.10, воз11икающая 11р11 дефор.\lации тела и 11аправлен11ая противопо:1ож110 11011равлеиию с.11ещения
частиц 11ри дeфop.\IOЦtllt
УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛ
Мехо11ич«каи .wоде.1ь кристаtло
ф
Сили упругости восстпиавл11вае111 первоиа•1алы1111е pa1A1t'pti1
11 фор.vу m l!l1a
Сжо"'!!е возду~ш1ого шое.ика под дейстгие.u силы F и CU/IЫ рео1о.-ц11и N2стены
Си.110 ретщии опоры -- с1111а упругости,
действующая 110 тело
со сторо11ы опоры
----.-з._ перпе11дикуляр110 Р ее поверх11ост11
ЗАКОН ГУКА
Моду.1ь с1L1ы упругости F.,,,,, возникающей при дефор.мац1ш те.1а, пропорционалеи его уд.'1ш1ен11ю Лl
Frop = kЛl,
где k - жесткость пружины.,
дl =ll - lo\=jдxj . дl << l0
Упругие CWIЫ растяже1111я 11 С'Ж'аm11я в 11руж1111е 11од деriствием вue11111eli сц1ы
равновесие
а) 11ерастя11утая пруж1та
х
б) растянутая r1руж1то ЬWЬ: х
Fупр= - kЛх
в) сжатая пру.жzта 1~ х :---1.___: 6 ·-------·
ВЕС ТЕЛА - ср1.11ар11ая cu,10 упругости те.10. действующая при 11a.1uчuu сюы тяжесп111 110 все 011оры . подвесы
ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ ПРИ ПОДВЕШИВАНИИ ТЕЛА
Из.wерение веса те..10
Т = тg
т
i
Модi!Ль воэ1111х11ове1111R силы у11ругости
Р= - Т
ВОЗНИКНОВЕНИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ
ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ТЕЛА НА ОПОРЕ
Иэмере1111е иl!са тела
P=-N
Модель 1Юз11икногениR сuлы упругости
Р= тg