9. Loksodroma i ortodroma - unizd.hr

71

9. Loksodroma i ortodromaLoksodromaLoksodroma1 je krivulje na površini Zemlje koja sve meridijane sijece pod istim kutom. Osim u

posebnim slucajevima ima oblik spirale cije ishodište i završnica teže prema polovima ali ih ne dostižu. Posebni slucajevi loksodrome su ako sjecište krivulje i meridijana iznosi 90 ili 270 . U tim slucajevima loksodroma ima oblik kružnice koja se dobije presijecanjem Zemlje ravninom okomitom na polarnu os. Ako je takva kružnica istodobno i glavna kružnica (ako ravnina prolazi središtem kugle), loksodromska krivulja identicna je ortodromskoj.

Ortodroma2 je krivulja koja predstavlja najmanju udaljenost izmedu dvije tocke na površini Zemlje. Loksodroma i ortodroma su dvije jedino važne krivulje za praksu navigacije.

Na kracim putovanjima (do 500 nautickih milja) elementi loksodrome mogu se racunati iz trokuta koji se dobije ako se sa površine Zemlje preslikaju elementi puta: razlika širine, razmak, kurs i udaljenost izmedu dvaju tocaka. Za tako male udaljenosti površina Zemlje može se smatrati ravnom pa se svi elementi mogu prikazati u obliku pravokutnog trokuta s hipotenuzom koja predstavlja udaljenost, katetama koje predstavljaju razliku širine i razmak, te kutovima od kojih kut uz meridijan predstavlja kurs. Medusobni odnosi za bilo koji slucaj dobiju se jednostavnim matematickim relacijama ravne trigonometrije. Ovako konstruiran trokut zove se trokut kursa (slika).

Iz trokuta kursa racunaju se svi elementi plovidbe za manje udaljenosti. Kod prvog loksodromskog problema poznata je razlika širina i razlika dužina, a iz tih se podataka racunaju kurs i udaljenost. Kod rješavanja drugog loksodromskog problema poznate velicine su kurs i udaljenost a racuna se razlika širina i razmak. Kod oba racuna potrebno je pretvarati razmak u razliku geografskih dužina i obratno.

Razlika dužina (? ) je kraci luk ekvatora izmedu meridijana dvaju tocki na površini Zemlje, a razmak kraci luk paralele izmedu meridijana dvaju tocaka na njihovoj srednjoj geografskoj širini.

Na donjoj slici na lijevoj strani prikazana je Zemlja u polarnoj stereografskoj projekciji. Veca kružnica predstavlja ekvator, središte kružnice pol Zemlje, a manja kružnica paralela na nekoj geografskoj širini. Razlika širina izmedu dva mjesta A i B koja se nalaze na istom paralelu prikazana je lukom ekvatora (? ?), a razmak lukom paralele (R). Iz slike se može izracunati dužina tih lukova:

Ako se gornje dvije jednadžbe medusobno podijele dobije se:

Prema tome razlika dužina (? ?) prema razmaku (R) odnosi se jednako kao polumjer r1 prema polumjeru r2.

1

2

Ε Ε

λ

Slika 70.

Od grckog: LOKSOS = kos, i DROMOS = put. Od grckog: ORTOS = ravan, i DROMOS = put.

72

Slika 71.

Slika 72.

Iz slike je vidljivo da r1 predstavlja ekvatorski polumjer Zemlje. Odnos izmedu polumjera r1 i r2

može se vidjeti iz slike na desnom crtežu koji predstavlja presjek Zemlje. Polumjer r1 je ekvatorski polumjer Zemlje a r2 je polumjer male kružnice. Iz slike se vidi da je kut u središtu Zemlje zapravo geografska širina tocaka A i B, a matematicki odnos polumjera je:

Ako se ovo unese u prethodni izraz dobije se:

Kad se mjesta ne nalaze na istoj geografskoj širini u racun se uzima srednja geografska širina pa se razmak i razlika dužina mogu medusobno pretvarati po formulama:

Iz tih odnosa može se konstruirati trokut koji ima oblik kako je prikazano na donjoj slici. Takav se trokut zove drugi loksodromski trokut ili trokut srednjih širina.

Za udaljenosti vece od 500 nautickih milja trokut kursa ne može se zamijeniti ravnim trokutom, pa se problem loksodromske plovidbe rješava na karti Merkatorove projekcije na kojoj je površina Zemlje prikazana u ravnini (slika).

73

Slika 73.

Slika 74.

Iz svojstava Merkatorove karte poznato je da je ona konformna (vjerno prikazuje kutove) pa se iz ovog trokuta može racunati loksodromski kurs. Loksodromska udaljenost može se izracunati iz prvog loksodromskog trokuta (trokuta kursa), a razlika širina i razmak mogu se racunati iz trokuta srednjih širina. Sva tri loksodromska trokuta prikazana su na donjoj slici.

Elementi loksodromske plovidbe za udaljenosti vece od 500 NM mogu se izracunavati jedino iz sva tri loksodromska trokuta.

Loksodromski kurs racuna se iz Merkatorova trokuta:

Razlika geografskih dužina i razmak mogu se racunati iz trokuta srednjih širina:

Loksodromska udaljenost može se izracunavati iz trokuta kursa. Ako je kurs manji od 87loksodromska udaljenost može se izracunati iz razlike geografskih širina:

Ako je loksodromski kurs veci od 87 loksodromska udaljenost može se racunati iz razlike geografskih dužina:

Matematicki je moguce objediniti sve loksodomske trokute preko zajednickog kuta (KL). Iz trokuta kursa i Merkatorovog trokuta može se dobiti:

Ε

Ε

74

Izjednacavanjem, može se odrediti vrijednost hipotenuze u Merkatorovom trokutu izražena loksodromskom udaljenošcu (KL):

Zamjenom vrijednosti u Merkatorovom trokutu može se dobiti loksodromski trokut iz kojeg se mogu izracunavati svi elementi loksodromske plovidbe (slika).

Iz trokuta se može izracunati:

Kod rješavanja loksodromskih problema potrebno je voditi racuna o kvadrantima plovidbe. Pravila su poznata (iz poglavlja Odredivanje pravaca na moru).

Kl = KL za plovidbu u prvom kvadrantu,Kl = 180 - KL za plovidbu u drugom kvadrantu,Kl = 180 + KL za plovidbu u trecem kvadrantu,Kl = 360 - KL za plovidbu u cetvrtom kvadrantu.

Ortodroma je kraci luk glavne kružnice cija ravnina prolazi pozicijama polaska i dolaska. Razlike izmedu ortodrome i loksodrome mogu se svesti na tri obilježja:

1. Ortodroma je kraci put izmedu dvije tocke na površini Zemlje, dok je loksodroma duži put.2. U vožnji loksodromom nije potrebno mijenjati pocetni kurs, dok je promjena kursa u vožnji

ortodromom cesta. 3. Plovidba ortodromom vodi u više geografske širine.Dok su brodovi bili spori i dok svjetska trgovina nije bila intenzivna kao što je to slucaj u

današnje vrijeme, prednost ortodrome kao kraceg pomorskog puta bila je manje izražena. Medutim povecanjem nosivosti brodova, porastom potrošnje goriva i potrebom za što bržom manipulacijom tereta svako bezrazložno zadržavanje broda postalo je skupo, pa je porasla i važnost najkraceg puta plovidbe.

Ortodrome na sjevernom Atlantiku povezuju luke istocne obale SAD i zapadne Europe. Zbog relativne kratkoce uštede se krecu oko stotinjak nautickih milja, medutim zbog zalaženja u vece geografske širine plovidbe loksodromom cesto imaju svoje opravdanje. Ortodrome u srednjem i južnom Atlantiku povezuju luke južne Europe i zapadne Afrike sa lukama sjeverne, srednje i južne

Slika 75.

OrtodromaOpcenito

75

Amerike. Zbog niskih geografskih širina uštede nisu posebno velike i iznose do stotinu nautickih milja.

Posebno su znacajne ortodromske uštede na sjevernom i južnom Pacifiku. Na tim rutama brodovi u vožnji ortodromom mogu uštedjeti i do 500 NM.

Najvece su uštede na ortodromskim pravcima koji iz luka Južne Amerika vode u luke Australije, Novog Zelanda, Indonezije. Tako ortodroma koja povezuje Cap Horn i Sundski kanal vodi po granicnom paralelu 60 južne geografske širine na istok, a ušteda iznosi oko 1300 nautickih milja.

Ortodroma je dio velike kružnice. To je kružnica na površini Zemlje cija ravnina prolazi središtem Zemlje. Velike kružnice su ekvator i svi meridijani, ali ne i paraleli.

Sferni trokut može se dobiti ako su sve njegove stranice lukovi velikih kružnica, pa se elementi ortodrome koja je luk velike kružnice mogu rješavati pravilima sferne trigonometrije.

Na lijevoj strani slike prikazana je Zemlja sa polovima (PN i PS), pozicijama polaska i dolaska (A i B), ekvatorom, meridijanima i ortodromom. Kao što je poznato geografska širina tocke A je luk meridijana od ekvatora do te tocke, a geografska širina tocke B je luk meridijana od ekvatora do te tocke. Buduci da od ekvatora do pola ima 90 to ce luk meridijana od pola do tocke A imati vrijednost (90 - A). Isto tako luk meridijana od pola do tocke B ima vrijednost (90 - B). Kut u polu izmedu ova dva meridijana je razlika geografskih dužina tocki A i B. Luk velike kružnice koja prolazi tockama A i B je ortodroma, a udaljenost izmedu tocki A i B je ortodromska udaljenost izmedu tih tocaka (Do). Prikloni kut meridijana u tocki A je kut izmedu meridijana i uzdužnice broda na samom pocetku putovanja, prema tome to je kurs na pocetku putovanja. S obzirom da se tijekom plovidbe po ortodromi kurs neprestano mijenja, ta je velicina odredena samo u tocki A i u svakoj slijedecoj tocki ortodrome ima drugaciji iznos. Zbog toga ovaj kut možemo oznaciti kao pocetni ortodromski kurs (Kpc).

Kod rješavanja problema ortodromske navigacije zadane su koordinate polazne i dolazne pozicije, pa su u ortodromskom sfernom trokutu poznate stranice 90 - A i 90 - B i kut izmedu njih (? ?). Ostali pocetni elementi ortodrome (Do i Kpc) mogu se izracunati pomocu kosinusovog poucka sferne trigonometrije:

Matematickim uredivanjem dobije se:

cos)-90(sin)-90(sin+)-90(cos)-90(cos=Docos Bo

Ao

Bo

Ao

Ε

Εν ν

Ε ν Ε ν

λ∆ϕϕϕϕ

Analiticki model ortodrome

Slika 76.

76

Izraz predstavlja ortodromsku udaljenost izmedu tocaka polaska i dolaska u stupnjevima. Udaljenost u nautickim miljama dobije se ako se dobivena vrijednost pretvori u lucne minute.

Po sinusovom poucku iz trokuta na slici može se dobiti:

sin Kpc : sin ? ? = sin (90 - B) : sin Do

Sredivanjem ovaj izraz dobije oblik:

sin Kpc : sin ? ? = cos B : sin Do

Odnosno:

Na isti nacin može se izracunati i vrijednost dolaznog ortodromskog kursa (Kd):

Medutim ako je pocetni ortodromski kurs veci od 90º (ako se vrh ortodrome nalazi izvan plovnog puta) rješavanje pocetnog i dolaznog kursa sinusovim pouckom može dovesti do zabune pa je te vrijednosti bolje rješavati kosinusovim pouckom:

Pocetni i dolazni ortodromski kurs služe samo kao podatak za racunanje ostalih elemenata ortodrome ali ne i za prakticnu plovidbu, jer se iz polazne pozicije do prve medutocke ortodrome plovi u loksodromskom a ne ortodromskom kursu.

Ortodroma je krivulja koja se približava vidljivom polu. Tocka u kojoj se najviše približi polu zove se vrh ortodrome. Kurs broda u toj je tocki 90 ili 270 , pa se ortodromski trokut pretvara u pravokutni sferni trokut (slika).

Kod rješavanja zadataka ortodromske plovidbe poznati elementi trokuta su komplement geografske širine polazne pozicije (90 - A) i pocetni ortodromski kurs (Kpc). Sa ta dva elementa, po Napierovim (Neperovim) pravilima (na slici je nacrtano Napierovo kolo) mogu se izracunati svi ostali elementi trokuta. Za geografsku širinu vrha ortodrome ( V) može se dobiti:

Dosin

cossin=Kpcsin B

Dosin

cossin=Kdsin A

Ε ν

ν

Ε Ε

Ε ν

ν

ϕλ∆

ϕλ∆

Racun koordinata vrha ortodrome

Slika 77.

77

cos V = sin (90 - A) sin Kpccos V = cos A sin Kpc

Za razliku geografskih dužina polazne pozicije i vrha ortodrome (? ?V) može se dobiti:

cos ? ?V = ctg V ctg (90 - A)cos ? ?V = ctg V tg A

Ili:

Geografska dužina vrha ortodrome izracuna se zbrajanjem geografske dužine polazne pozicije i razlike geografskih dužina:

?V = ?A + ? ?V

Predznak razlike geografskih dužina polazne pozicije i vrha ortodrome (? ?V) isti je kao i predznak razlike geografskih dužina polazne i dolazne pozicije (? ?).

Ako je razlika dužina polazne pozicije i vrha (? ?V) veca od razlike dužina polazne i dolazne pozicije (? ?) vrh se nalazi izvan dijela ortodrome od polazne do dolazne tocke. Takva ortodroma zove se ortodroma bez vrha. To može biti slucaj kad se na relativno maloj razlici dužina mnogo mijenja geografska širina.

Elementi Do, Kpc, Kd i koordinate vrha nedovoljni su za konstrukciju ortodrome na Merkatorovoj karti. Potrebno je izracunati i koordinate odredenog broja medutocaka ravnomjerno rasporedenih s jedne i druge strane vrha ortodrome (slika).

Razlike geografskih dužina medutocaka (? ?M) biraju se proizvoljno, najcešce po 5 , 10 ili 15 . Geografska dužina svake medutocke može se dobiti iz poznate geografske dužine vrha:

?1 = ?V + ? ?M

?2 = ?V + 2 ? ?M

?3 = ?V + 3 ? ?M

Ili opcenito:

?n = ?V + n ? ?M

Geografske širine medutocki mogu se izracunavati iz pravokutnih sfernih trokuta ciji su vrhovi pol, vrh ortodrome i odgovarajuce medutocka. Poznati elementi tih pravokutnih trokuta su komplement geografske širine vrha i zadana razlika dužina odredene medutocke i vrha ortodrome. Po Napierovom pravilu:

cos n? ?M = ctg V ctg (90 - M)

Iz toga:

ν νν ν

ν νν ν

Ε Ε Ε

ν ν

Racun medutocaka

Slika 78.

78

tg 1 = cos ? ?M tg V tg 2 = cos 2? ?M tg V

tg 3 = cos 3? ?M tg V

Ili opcenito:

tg M = cos n? ?M tg V

Broj medutocaka zavisan je o ortodromskoj udaljenosti. Prva i zadnja medutocka prilagodene su vrhu, a ne polaznoj odnosno dolaznoj poziciji. Racuna se onoliki broj medutocaka koliko se, po zadanim uvjetima, može smjestiti na ortodromu.

Za medutocke izmedu vrha i polazne pozicije predznaci razlika geografskih dužina (? ?M) raznoimeni su predznaku razlike geografskih dužina polazne i dolazne tocke (? ?), a za medutocke izmedu vrha i dolazne pozicije predznaci su istoimeni.

Ako je razlika geografskih dužina mala a razlika geografskih širina velika, može se dogoditi da je vrh ortodrome smješten izvan ortodrome. Da ortodroma nema vrh može se vidjeti ako je jedan od kutova u polaznoj poziciji (Kpc') ili dolaznoj poziciji (Kd') veci od 90º. Zbog toga je te kutove potrebno racunati kosinusovim a ne sinusovim pouckom.

Izracun elemenata ortodrome istovjetan je opisanom, jedino se medutocke nalaze na jednoj strani vrha. Uštede kod ovakvih vrsta ortodroma su najcešce zanemarive.

Plovidba po meridijanu je poseban slucaj plovidbe u kursu 0 ili 180 . Buduci da je meridijan sam po sebi dio velike kružnice ortodroma i loksodroma su istovjetne. Svi

elementi plovidbe racunaju se metodama terestricke navigacije. Loksodromska i ortodromska udaljenost je razlika geografskih širina.

Kompozitni put je kombinacija ortodromske i loksodromske plovidbe i u praksi je najcešci oblik plovidbe. Vecina svjetskih luka ne nalazi se neposredno na obalama vec su smještene ili unutar kopna (na ušcima velikih rijeka) ili unutar prostranih zaljeva. Zbog toga se u praksi najcešce plovi po rutama koje su sastavljene dijelom od loksodrome, a dijelom od ortodrome. Elementi loksodrome i ortodrome dobiju se posebno za loksodromu, a posebno za ortodromu na opisani nacin.

Plovidba po paraleli je poseban oblik plovidbe u kojoj se elementi loksodrome mogu racunati skracenim postupkom.

ν νν νν ν

ν ν

Ε Ε

Specijalni slucajevi ortodromeOrtodroma bez vrha

Plovidba po meridijanu

Kompozitni put

Plovidba po paraleli i ortodroma izmedu tocaka iste geografske širine

Slika 79.

79

Slika 80.

Loksodromska udaljenost odgovara razmaku:

DL = ? ? cos Loksodromski kurs nije potrebno racunati (iznosi 90 ako je razlika dužina pozitivna ili 270 ako

je razlika dužina negativna). Vrh ortodrome nalazi se tocno na polovini dužine ortodrome. Razlika dužina polazne pozicije i vrha iznosi polovinu vrijednosti razlike dužine polazne i dolazne pozicije.

Kut u polaznoj poziciji (pocetni ortodromski kurs za plovidbu prema istoku na sjevernoj hemisferi) i kut u dolaznoj poziciji (dolazni ortodromski kurs za plovidbu prema istoku na južnoj hemisferi) jednaki su i mogu se dobiti iz:

Ortodromska udaljenost:

Medutocke ortodrome ravnomjerno su rasporedene s obe strane vrha ortodrome.Elementi ortodrome mogu se racunati skracenim postupcima iz pravokutnog sfernog trokuta:

Najvece uštede u plovidbi postižu se u visokim geografskim širinama kad se ortodromska udaljenost znatnije razlikuje od loksodromske. Velike svjetske luke rasporedene su tako da ortodromske rute izmedu nekih od njih nerijetko prolaze u samoj blizini zemaljskog pola. Ovakvi putevi cesti su na južnoj hemisferi: ortodroma koja spaja Cape Town i luku Dunedin na Novom Zelandu ima vrh koji prelazi 80 južne širine. Ortodroma Rt Horn - Fremantle prolazi još bliže polu. I dok avioni ove putove mogu prevaljivati bez vecih teškoca, podrucje plovidbe ograniceno je geografskim širinama 60 N i 60 S. Iznad tih širina je podrucje opasno za plovidbu. Ledene sante nerijetko se spuštaju i južnije od +60 , odnosno sjevernije od -60 . Zbog toga se cesto mora plovidbi ortodromom do odredene geografske širine (najcešce 60 ), zatim po granicnom paralelu i ponovo ortodromom (slika).

νΕ Ε

Ε

Ε ΕΕ Ε

Ε

Plovidba po granicnom paralelu

80

Slika 81.

Za razliku od "normalne" ortodrome u ovom slucaju poznata je geografska širina vrha koju predstavlja granicni paralel ( G). Ortodrome od polazne pozicije postupno se približava granicnom paralelu i u trenutku kad ga dosegne kurs iznosi 90 (ili 270 ). Od te pozicije vozi se po granicnom paralelu do pozicije u kojoj se kurs pocinje mijenjati. Time su definirane dvije tocke na granicnom paralelu (tocke C i D na slici) u kojima je kurs 90 . Ortodromski trokuti su pravokutni sferni trokuti.

Geografska širina tocki G1 i G2 je poznata ( G). Ostali elementi kombinirane plovidbe mogu se dobiti pomocu Napierovih pravila. Iz slike se može izracunati:

sin 1 = cos Do1 sin G

Iz toga:

Za pocetni kurs ortodrome:

cos G = sin Kpc cos 1

Za geografsku dužinu tocke G1:

cos ? ?G1 = tg 1 ctg G

?G1 = ?A + ? ?G1

Razlika dužina tocki A i G1 (? ?G1) ima predznak razlike dužina tocki A i B (? ?). Za drugu ortodromsku udaljenost:sin B = cos Do2 sin G

Izracun dolaznog ortodromskog kursa:cos G = cos B sin Kd

Geografska dužine tocke D:

G

B2

sin

sin=Docos

A

G

cos

cos=Kdsin

νΕ Ε

Εν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

81

?G2 = ?B + ? ?G2

Razlika dužina ima suprotan predznak od razlike geografskih dužina tocaka A i B.Razlika dužina izmedu tocaka G2 i G1 dobije se:

? ?G2G1 = ?G2 – ?G1

Loksodromska udaljenost izmedu tocaka G1 i G2 (plovidba po granicnom paralelu) dobije se pretvaranjem razlike dužina u razmak i pretvaranjem u minute:

DL = R = ? ?G2G1 cos G

Ukupna udaljenost kombinirane plovidbe je zbroj ortodromskih udaljenosti izmedu tocaka A i G1

te G2 i B (Do1 i Do2) i loksodromska udaljenost izmedu tocaka G1 i G2 (DG):

Dk = Do1 + Do2 + DG

Medutocke kombiniranog puta racunaju se na isti nacin kao i medutocke ortodrome.

Problemi ove vrste ortodrome rješavaju se istim matematickim modelima. Karakteristicna tocka ortodrome je sjecište ortodrome i ekvatora.

Ortodromska udaljenost i pocetni ortodromski kurs izracunat ce se iz ortodromskog trokuta:

Ostali elementi ortodrome mogu se izracunati iz pravokutnih trokuta ACS i BDS. Koristeci Napierova pravila može se izracunati:

ν

Ortodroma koja prelazi ekvator

Slika 82.

82

Medutocke ortodrome racunaju se od tocke sjecišta ortodrome sa ekvatorom (S).

Iz pravokutnih trokuta na slici može se izracunati:

Medutocke ortodrome mogu se racunati i po drugim kriterijima, na primjer jednaka udaljenost izmedu medutocki ili jednaka promjena kursa u svakoj medutocki. Cest je slucaj da se medutocke racunaju na zadane geografske širine medutocki (racunaju se geografske dužine), ili na zadanu geografsku dužinu kad se racunaju geografske širine svake medutocke.

Slika 83.