-
116
9 Funtzio linealak eta koadratikoak
116
Unitatearen aurkezpena
•Unitatehonetanfuntziolinealakerasistematikoanaztertukodira,etafuntziokoadratikoakaztertzenhasikogara.Horrelabukatukodugufuntzioenazterketaikasturtehonetan.
•Ikasleekdagoenekobadakitezuzenakzerdiren,ekuaziolineale-tanlandudituztelako.Orainarteaztertubezala,zuzenbatekopuntuakbi
ezezagundituenekuaziobateko
soluzioakdira.Unitatehonetan,aldiz,zuzenakfuntziogisaaztertukoditugu,etahorietan,x-renbaliobakoitzariy-renbaliobakarradagokio.
•Ikasleekargiulertubehardutezuzenbatidagokionmaldarenesanahiaetamaldahorinolalortubeharden,bikasuhauetan:batetik,zuzena,eraabstraktuan,dagokionekuazioarenbitartezematendigutenean(halakoetan,ybakanduetagero,x-renko-efizienteabegiratubehardugu);bestetik,zuzenakegoerajakinakadieraztendituenean:ekonomiaridagozkionenuntziatuak(kos-tua),fisikaridagozkionenuntziatuak(abiadura)edobestebatzuk.
Maldarenbitartez,x-renunitatebakoitzekoy-renaldakuntza(handiagotzeaedotxikiagotzea)adieraztenduelapentsatuzge-ro,zuzenaketengabekogorapenaedobeherapenaadieraztendutenfuntzioakizangodira.Hortaz,zuzenarenedozeinbipuntuaztertuzjakingodugumaldazeinden.
•Ikasleekeurenburuaktrebatubeharkodituztezuzenahainbatadierazpenanalitikoerabilizadierazteko:ekuazioaemanda,mal-daadierazteko;maldarenadierazpengrafikoaaztertu(edozeinbi
puntuadierazitabaditu,edomaldaetapuntubakarbatadierazi-tabaditu),etamaldaridagokionekuazioalortzeko.
Horrela,aurrekounitateanaztertzenhasiginenenuntziatuarenetagrafikoarenartekoelkarketaaberastuegingoda,etahauekikasikodituzte:enuntziatuarenetaadierazpenanalitikoarenelkarketa,etagrafikoarenetaadierazpenanalitikoarenelkarketa,funtzioaklinealakdirenean.
•Funtziokoadratikoaksakonagoikasikodiradatorrenikasturtean;halaere,ikasleakfuntziokoadratikoakerabiltzenetainterpretatzenhasikodiraaurten,funtzioberrigehiagorenadierazpenanalitikoakjakiteko.Horrezgain,ikasleekhigidurauniformeariburuzkoproble-mentrataeraanalitikoaetagrafikoaegitenikasikodute,baitahigi-durarenazeleraziouniformeaadieraztendutenproblemakere.
•Unitatehonetanaztertutakoenbidez,ikasleekikasitakobaliabidearitmetikoaketaalgebraikoakberrikusikodituzte;esaterako,pro-portzionaltasunzuzenariburuzkoproblemak,hitzezkolengoaia-tiklengoaiaalgebraikorakoitzulpenaketalehenetabigarrenmailakoekuazioenebazpena.
Gutxienekoezaguerak
Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:
•y=mxproportzionaltasun-funtzioaktrebetasunezerabiltzea:
Unitatearen eskema
FUNTZIO LINEALAK FUNTZIO KOADRATIKOAK
•a>0izanezgero,adarrakgorantzdituzte.•a<0izanezgero,adarrakbeherantzdituzte.•Zenbateta|a|handiagoaizan,orduanetalirainagoaizangodaparabola.
etahonelairudikatzenda:
etahonelairudikatzendira:
zeinakhoneladeitzendiren:
honelasailkatzendira: zeinenadierazpenanalitikoaden
honakohauekdira:
horietan
zeinetan
honakohauekdira:
formaa-renaraberakoada
proportzionaltasun-funtzioak
mdamalda
betac-kbalioenaraberakokokapenadute
y=ax2+bx+c,etaa≠0
jatorritikpasatzendenzuzena
(0,n)pasatzendenzuzena
y=mxfuntzioak
y=mx+nfuntzioak
zuzenenbidezirudikatzendirenfuntzioak
parabolabatenbidezirudikatzendirenfuntzioak
-
117
LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA
169.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 165.or.3.ariketa.(*)
171.or.1.ariketa.(*)
166.,167.(*)eta168.(*)or.Ariketaebatziak.
174.or.2.ariketa.(*)
169.(*)eta170.(*)or.Problemaebatziak. 175.or.17.ariketa.(*)
172.or.2.(*)eta3.(*)ariketak. 176.or.23.ariketa.(*)
173.or.Ariketaetaproblemaebatziak.(*) 177.or.36.ariketa.
174.or.3.ariketa.(*)
178.or.«Pentsatuetaerabaki.Zeindazein?»(*)
175.or.13.ariketa.(*)
177.or.30.ariketa.(*)
DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA
176.or.25.ariketa.(*) 162.or.PDhonetaniradokitakoariketa.
163.or.«Ebatzi».3.(*)eta4.ariketak.
Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.
176.or.27.ariketa.(*)
163.or.«Ebatzi».1.ariketa.(*)(sakonduinformazioa)
164.or.1.ariketa.(*) 170.or.1.ariketa.(*)
177.or.28.ariketa.(*) 166.or.2.ariketa.(*)
176.or.24.(*)eta26.(*)ariketak.
170.or.PDhonetaniradokitakoariketa.
177.or.29.(*)eta34.(*)ariketak.
178.or.«Goraetabehera».(*)
179.or.«Trebatuproblemakebatziz».(*)
Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,proposamendi-daktikoanbertanjasoditugu.
Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.
adierazpengrafikoaegitekogaiizatea,ekuazioalortzea,maldakalkulatzeaetaesanahiaazaltzea.
•y=mx+nfuntzioarenerabilerantrebatzea:adierazpengrafikoaegiteaetakoefizienteenesanahiaazaltzea.
•Zuzenbatenekuazioalortzea,puntubatetamaldajakinda,edobipuntujakinda(puntu-maldaekuazioa).
•Enuntziatuetanerlaziofuntzionallinealakerabiltzendituztenpro-blemakebaztekogaiizatea.
•Bifuntziolinealenazterketabateraegitekogaiizatea:horienar-tekoebaki-puntualortzeaetainterpretatzea.
Osagarrigarrantzitsuak
Komenidaikasleekedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposatukodira:
•Grafikobatenbidezirudikatutakofuntziokoadratikoaaztertzea,etaemandakoadierazpenanalitikoenartetikfuntziohorridago-kionaaukeratzea.
•Funtziokoadratikoarenadierazpenanalitikoagrafikobatenbidezadieraztea.
•Funtziolinealaketakoadratikoakbateraaztertzea:eurenebaki-puntuaklortzeaetainterpretatzea.
Lanakaurreratu
•GeoGebraprogramaerabiliz,hainbat
jardueraegingodira.Ikasleek,programarenirristatzekotresnaerabiliz,maldarenetajatorrikoordenatuarenbalioarenaraberazuzenanolaaldatzendenadierazibeharkodute.
•GeoGebraprogramaerabiliz,hainbatariketaegingodira,x2-renkoefizienteakontuanhartuz,parabolabatenformanolaaldatzendenaztertzeko.Horrezgain,parabolakformarikaldatuezarren,bes-tekoefizienteenbalioaaldatzeannolamugitzendenerakutsikoda.
-
118
«Ebatzi» atalaren soluzioak
1 Erantzunirekia.
2
Armiarmakhormanduenposizioafinkatzeko,sistemakbikoordenatu-ardatzbeharditu.Alabaina,eulihegalaribatenposizioafinkatzeko,hirukoordenatu-ardatzbeharditu.
3 A(0,6);B(4,8);C(6,9);D(8,10);M(10,11)
4 LUZAPENA (cm)
100 200 MASA (g)
1020304050607080
163162
9 Funtzio linealak eta koadratikoak
Ebatzi
1. Jo informazio bila eta laburtu, lerro batzuetan, Descartesen
bizitzako daturik nabarmenenak.
2. Zenbat koordenatu-ardatz ditu horman zehar mugitzen ari den
eulia-ren posizioa finkatzeko gauza den kartesiar sistemak? Eta
gelan zehar hegan ari den euliaren posizioa finkatzeko?
3. Adierazi zein diren A, B, C , D eta M-ren puntuen
koordena-tuak armiarmaren eta euliaren margolanean. Egiaztatu puntu
guztiak aipatu den ekuazioari dagozkiola.
4. Adierazi kartesiar ardatzetan masa eta malgukiaren luzapena
erlazioan jartzen dituen taularen balioak. Egiaztatu lerroan
daudela eta, gutxi go-rabehera, A = 0,29 · M formulari erantzuten
diotela.
Funtzio linealak
Funtzio linealak bi ezezaguneko lehen mailako ekuazioei dagozkie
eta zuzen baten bidez irudikatzen dira.Descartesen eulia azkenean
margolan batean jarri dela joko dugu. Armiarmak ikusi eta eulia
dagoen tokira doa lerro zuzenean.
Armiarma pasatzen den pun-tuak (ibilbideko puntuak) x2 + 6
ekuazioarenak dira.
A
BC
DM
5 10
5
10
Beste funtzio lineal bat
Malgukitik pisuak esekiko ditugu. Pisua zenbat eta handiago
izan, orduan eta gehiago luzatuko da malgukia.Honako taula honek
esekitako pisuak (M) eta pisuei dagozkien malgukiaren luzapenak (A
) ematen dizkigu:
M (g) 2 30 60 90 120 150 180 210 240 270
A (cm) 0 9 17 26 35 43 52 61 70 79
Malgukitik esekita dagoen masaren eta malgukiaren luzapenaren
arteko erlazio horri Hookeren legea esaten zaio.
MASA
LUZ
APEN
A
(M)
(A)A
M
XVII. mendeko zientzialari handia…Frantziako René Descartes
(1596-1650) filosofo eta matematikariak era-gin handia izan zuen
bere aldiko pentsaeran eta hurrengo mendeetakoan.Bizitza osoan
zehar osasun gutxikoa izan zen. Horregatik, gaztetan, etzanda
ikasteko baimena izan zuen. Jarrera hori ohitura bihurtu eta ohean
egin zuen bere lanaren zati handia.
… Ideia zoragarriaKoordenatuen sistema ohean bururatu zitzaion:
behin, euliaren hegal- diari begira denbora ematen ari zela,
euliaren posizioa une bakoitzean, horma batetik besterako
distantzia zeharkatzen ari zela, nola adieraziko zuen pentsatzen
hasi zen.Ordurako, koordenatu geografikoak, latitudea eta
longitudea, ezagunak ziren eta ideia hori ez zen guztiz originala;
hala ere, egin zuen asmakizunari esker, kurbak beren koordenatuak
ekuazioen bidez lotuz adieraztea lortu zuen. Zientziaren mundura
egindako ekarririk handienetakoa izan zen hori.
Nondik dator «kartesiar» hitza?Aldi hartan, zientzialariek
latinez idazten zutenez, Descartesi bere abizenak latinez zuen
formaren bidez esaten zioten: Cartesius. Hortik datoz, esate-rako,
kartesiar pentsaera edo kartesiar koordenatuak.
Descartesen «Geometria» liburuaren hasierako orrialdea. 1637an
argitaratu zen.
René Descartes (1596-1650).
René Descartes Suediako Kristina erreginari astronomia irakasten
1649an.
Unitatea
hasteko•162.orrialdeandagoeneuliariburuzkopasadizoaoinarrianhartudaite-
kekartesiarkoordinatuakhirudimentsiotanpraktikatzeko(zergatikez?).Horretarako,nahikoaizangodapuntuakikasgelabarrukohainbattoki-tanezartzea(arbelekoizkinan,lanparan...).Jokoarenbitartez,irakasleakjakingoduedukihauetatikzeinazaldubeharduenzehatzago:
– Koordenadenerdiguneanolaaukeratu.
– Ardatzakadieraztekozerordenajarraitu.
– Zerunitateerabilibeharden(metroak,arrak…).
– Ardatzakperpendikularrakizatearenabantailahandia.
IKT
Honakoariketahauiradokitzendugu:
Bilatuinformazioaetalaburtu,lerrogutxitan,RenéDescartesenbizitzakodaturikaipagarrienak.
OHARRAK OHARRAK
-
119
165164
1 y = mx proportzionaltasun-funtzioak
1. Paper koadrikulatua erabiliz, kartesiar ardatzetan, marraztu
jatorritik pasatzen diren eta malda positiboak dituzten bi zuzen
eta malda negatiboak dituzten beste bi zuzen.
Pentsatu eta egin
Y
X
y = 3x
y = –2x
1y = —x 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10DENBORA (min)
DISTANTZIA (km)
AUTOA
MOTORRA
BIZIKLETA
123456789
101112131415161718
Grafikoa bere ekuaziotik abiatuta
irudikatzeaProportzionaltasun-funtzio bat, y = mx, adierazteko,
honako hau hartuko dugu kontuan:
— Zuzen bat da, x-ren aldakuntza berdinei y-ren aldakuntza
berdinak dagoz-kienez gero.
— (0, 0) puntutik pasatzen da, x = 0 izanez gero, orduan, y = m
· 0 = 0.
Ondorioz, zuzena irudikatzeko, beste puntu bat lortzea baino ez
da falta. Hori x-ri balio bat emanez eta y-ren dagokion balioa
ateraz lortzen da.
Adibidez, y = 53 x , irudikatzeko, x = 5 dagokion puntua lortuko
dugu:
x = 5 izanez gero, orduan, y = 53 · 5 = 3
(0, 0) eta (5, 3) puntuetatik pasatzen den zuzena da.
Ekuazioa grafikoan oinarrituta. Malda lortzeaFuntzioaren
grafikoa jatorritik pasatzen den zuzen bat izanez gero, orduan,
pro-portzionaltasun-funtzioa, y = mx da. Horren ekuazioa
determinatzeko, m-ren balioa (maldarena) zenbat den kalkulatzea
baino ez dago.
Y
X4 aurrera
3 igo
Y
X
Y
X
5 aurrera
3 behera
3 aurrera
3 behera
3Malda m = — 4
3Malda m = –— 5
–3Malda m = — = –1 3
Malda (x-ren koefizientea) y-k izaten duen aldakuntza da
(positiboa edo negatiboa), x unitate bat handiagotzen denean.
Aldakuntza hori zenbat den aurkitzeko, y-ren aldakuntza x-ren bi
punturen arteko aldakuntzarekin zatitzen da.
2. Irudikatu honako funtzio hauek:
a) y = x b) y = 2x c) y = –x
d) y = –2x e) y = 31 x f ) y = –
31 x
g) y = 23 x h) y =
23– x i) y =
32 x
3. Aurkitu honako zuzen hauen ekuazioak:Y
X
a
b
cY
X
d
Pentsatu eta egin
Y
(0, 0)
(5, 3)
X
3y = —x 5
Atal honetan, bi aldagaiak proportzionalak diren funtzioak
ikasiko ditugu. Adibidez:higikaria abiadura konstantean mugitzen
den denbora → egiten duen distantzia
Zuzenen bidez adierazten diren funtzioak dira eta antzeko
adierazpen analitikoa dute: y = mxdenbora → distantzia ereduari
erantzuten dioten hiru funtzio aztertuko ditugu.•motorra: kilometro
bat egiten du minutu bakoitzean. Zuzen berdeak denbo-
ran zehar egiten duen distantzia deskribatzen du.
1 min → 1 km (1, 1) puntutik pasatzen da.4 min → 4 km (4, 4)
puntutik pasatzen da.y (distantzia) berdin x (denbora).
Ekuazioa: y = x
•autoa: 2 km egiten ditu minutu bakoitzean. Zuzen urdinak
denboran zehar egin duen distantzia deskribatzen du.
1 min → 2 km (1, 2) puntutik pasatzen da.3 min → 6 km (3, 6)
puntutik pasatzen da.y (distantzia) x (denbora) bi halako da.
Ekuazioa: y = 2x
•bizikleta: 0,5 km egiten du minutu bakoitzean. Zuzen gorriak
denboran zehar egin duen distantzia deskribatzen du.
2 min → 1 km (2, 1) puntutik pasatzen da.10 min → 5 km (10, 5)
puntutik pasatzen da.y (distantzia) x-ren (denbora) erdiaren pareko
da.
Ekuazioa: y = 21 x
Proportzionaltasun-funtzioak y = mx ekuazioa du.(0, 0)-tik
pasatzen den zuzen baten bidez irudikatzen
da.Proportzionaltasun-konstanteari, m, (negatiboa edo positiboa
izan daiteke) zuzenaren malda esaten zaio eta zerikusia du
zuzenaren inklinazioarekin.
Alboan irudikatu diren hiru zuzenetako bakoitzak zer malda duen
adie-raztea.
Maldak, hurrenez hurren, 3, 1/2 eta –2 dira. Malda zenbat eta
handiago izan, inklinazioa ere handiago dela ageri da. Malda
positiboa izanez gero, zuzena gorakorra da eta, negatiboa izanez
gero, zuzena beherakorra da.
Ariketa ebatzia
Ez ahaztuProportzionaltasun-konstantea zenbat eta handiago izan,
orduan eta malda handiagoa izango du zuzenak; hau da, inklinatuago
egongo da X ardatzari dagokionez.
Garrantzitsuay = mx zuzenaren malda x-ren koefiziente da y
bakanduta dagoenean.y = 0 funtzioa ere proportzionaltasu-nekoa da.
Malda 0 du.
Indartu: y = mx proportzionaltasun-funtzioa.Webgunean
Iradokizunak•Proportzionaltasun-funtzioarenezaugarriakgogoratuzgero(harengra-
fikoajatorririkpasatzendenzuzenada),osoerrazaizangozaiguhurairudikatzea;izanere,bestepuntubatlortubeharkodugusoilik,x-rize-roezdenbesteedozeinbalioemanez.
•Grafikoaoinarrihartutaekuaziobatidatzinahibadugu,honakohaueginbeharkodugu:koordenatuosoetakopuntubathartukodugu,etax-renhandiagotzeay-renigoerarekinedojaitsierarekinerlazionatuz(koorde-natu-jatorritikhartuz),maldalortukodugu.
Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:15.orrialdeko2.eta3.ariketak.16.orrialdeko1etik4rakoariketak.18.orrialdeko2.ariketa.
Sakontzeko:17.orrialdeko5etik8rakoariketak.18.orrialdeko3.ariketa.
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUmaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.
Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.Ariketetakoc)atala.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
2
X
Y
2
2
4
4
a
e
bd
c
X
Y
2
2
4
4
g
f
hi
3 a→y=43 x b→y=–
23 x c→y=4x d→y=–
31 x
Iradokizunak
•Epigrafehonetan,y=mxfuntzioaaurkeztudugu,proportzionaltasunzuzenekoerlazioakadieraztekoeredugisa.Garrantzitsuadamunitate-kokostuedoproportzionaltasun-konstantegisaidentifikatzea;horrela,maldakontzeptudefinitukodugu.Gero,zuzenareninklinazioarenerla-zionatukodugu,etahainbatzuzenenmaldeninklinazioarierreparatuz,handiagoakedotxikiagoakdirenaztertukodugu.
•Ariketahori,leheniketabehin,maldapositiboa,osoaedozatikiarradu-tenzuzenekinegingodugu.Gero,maldanegatiboadutenadibideetarapasatukogara(ariketaebatzibatdagoorrialdehonetan),eta,amaitze-ko,maldarenzeinuazuzenarengorapenarekinedobeherapenarekinlo-tukodugu.
•Ikasleakgaiizanbeharkodutey=mxadierazpenakoordenatu-jatorri-tikpasatzendenzuzenadelajakiteko.Horrezgain,zuzenhorietakobatidagokionekuazioaidaztenjakinbeharkodute;horretarako,maldarenbalioabainoezdutelortubeharko.
Indartu eta sakondu
Honakohauekgomendatzendira:
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:15.orrialdeko1.ariketa.18.orrialdeko1.ariketa.
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.
Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 Erantzunirekia.
-
120
167166
3 Zuzena, puntu bat eta malda ezagututa2 y = mx + n funtzioaHiri
bateko uraren fakturan, 3 euroko kantitate finkoa gehi 1,50
kontsumitzen den metro kubiko bakoitzeko ordaintzen da.Enuntziatuan
ikusten dugunez, hasierako kantitatea, 3 , ordainduta, gainerako
kostua uraren kontsu-moaren (m3-tan) proportzioan dago.kontsumoa →
kostua funtzioak ekuazio hau du:
y = 3 + 1,5xHorren grafikoa 1,5 malda duen zuzena da (uraren
kontsumoa 1 gehituz gero, kostua igotzen dena).Hasierako
kantitatea, 3, Y ardatzeko puntua da eta funtzioa puntu horretatik
abiatzen da.
y = mx + n ekuazioa honako ezaugarri hauek dituen zuzen baten
bidez iru-dikatzen da:— Horren malda m da (malda x-ren koefizientea
da y = mx + n ekuazioan).
Horrek y-ren aldakuntza adierazten du x-ren unitate bakoitzeko.—
Horren jatorriko ordenatua n da. Hau da, x = 0 izanez gero,
orduan,
y = n. Ondorioz, Y ardatza (0, n) puntuan ebakitzen du.
Malda m = 0 denean, y = n zuzena X ardatzaren paralelo da.
Funtzio kons-tante esaten zaio y-k balio bera duelako beti (n),
nahiz eta x aldatu.Zuzenen bidez irudikatzen diren funtzioei
funtzio lineal esaten zaie
1. Paper koadrikulatua erabiliz, irudikatu kartesiar ar-datzetan
honako ekuazio hauek:
a) y = 3x – 2 b) y = 3 – 2x c) y = 43
41– x
d) y = 32 x – 5 e) y = –2 f ) y = x
25 3–
2. Bilduma bateko liburuen lodiera neurtu dugu. Azaletako
bakoitza 5 mm lodi da. Jakinik 200 orrial-dek zentimetro bateko
lodiera dutela, idatzi orrialde kopu-rua → liburuaren lodiera
funtzioa eta irudikatu arda-tzen gainean.
3. Idatzi honako zuzen hauetako bakoitzaren ekuazioa:
a
b
cY
X
Pentsatu eta egin
Ariketa ebatziaHonako zuzen hauek irudika-tzea:
a) y = 5x – 1 b) y = –2
c) y = –45 x + 3
a) b) c) Y
X
y = – —x + 354
Y
X
y = 5x – 1Y
Xy = –2
Y
X
n
y = mx + n
(0, n)
1 2 3 4 5 6 7
123456789
101112
KONTSUMOA (m3)
KOSTUA (€)
Zuzen baten puntu bat, (x0, y0), eta horren malda ezagutzen
ditugula joko dugu. Orduan, horren ekuazioa honela jar daiteke: y =
y0 + m(x – x0) puntu-malda ekuazioa
•Argi dago zuzena (x0, y0) puntutik pasatzen dela, zeren:x = x0
izanez gero, orduan, y = y0 + m(x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0
•Malda m da, y bakantzen denean x-ren koefiziente denez
gero.
1. Kasu bakoitzean, idatzi P-tik pasatzen den eta m mal-da duen
zuzenaren ekuazioa:
a) P (4, –3), m = 4 b) P (0, 2), m = –21
c) P (–3, 1), m = 45 d) P (0, 0), m = –1
e) P (–1, 3), m = –53 f ) P (0, –2), m = 0
2. Idatzi beren grafikoen bidez irudikatuta dauden a eta b
zuzenen ekuazioa. Bakoitzean, aukeratu ekuazioa idazteko har-tu ez
duzun puntu bat. Idatzi berriz ekuazio bat beste puntu horrekin.
Egiaztatu ekuazio bera dela bi kasuetan.
Pentsatu eta egin
Ariketa ebatziak1. Puntu eta maldaren bidez
emandako honako zuzen ekuazioak idaztea:
a) P (3, 7) m = 4
b) P (–2, 5) m = –32
c) P (4, –1) m = 1,2
d) P (–3, 0) m = 51
Zuzenetako bakoitzarentzat, puntu-malda ekuazioa lortuko
dugu.
a) ekuazioa: y = 7 + 4(x – 3) Hau da, y = 4x – 5
b) ekuazioa: y = 5 – 32 (x + 2) Hau da, y = –
32 x +
311
c) ekuazioa: y = –1 + 1,2(x – 4) Hau da, y = 1,2x – 5,8
d) ekuazioa: y = 51 (x + 3) Hau da, y = x
51
53+
2. a, b eta c zuzenen ekua-zioa idaztea.
(–7, 5)(2, 2)
(2, –5)
3
3
3
4 2
4
X
a
bc
Y
a) (2, 2)-tik pasatzen da. Horren malda 42
21= da.
ekuazioa: y = 2 + 21 (x – 2)
b) (–7, 5)-etik pasatzen da. Horren malda –34 da.
ekuazioa: y = 5 – 34 (x + 7)
c) (2, –5)-etik pasatzen da. Horren malda 33 = 1 da.
ekuazioa: y = –5 + (x – 2)
X
a
bY
Oharra Goi-matematikan, y = mx motakoei esaten zaie funtzio
lineal.Honako beste hauei, y = mx + n, funtzio afin esaten
zaie.Hala ere, matematika aplikatuan, ekonomian, kasurako, funtzio
lineal zuzenen bidez irudikatzen direnei esaten zaie.Honela egiten
dugu hemen:
linealak → y = mx + nproportzionaltasunekoak → y = mx
Indartzea: y = mx + n funtzioa.Webgunean
Praktikatu y = mx + n funtzioekin.Webgunean
Hartu kontuany = y0 + m(x – x0) ekuazioak sinpli-fikatu egin
daitezke y = mx + n forma lortu arte.Adibidez:
y = 3 + 52 (x – 1) ⇒ y =
52 x +
513
Indartu: puntu-malda ekuazioa.Webgunean
Kontzeptua: zuzenaren malda.Webgunean
1 f(x)=201
x+10(Irudikapena:(0,0)eta(200,20)puntuetatikpasatzen
denzuzena).
2 a→y=–32 x–1 b→y=2x–3 c→y=4
Iradokizunak
•Zuzenarenpuntu-maldaekuazioakeraginkortasunhandiadu.Ikasleektrebetasunezerabiltzenikasibehardute,1.ariketaebatzianegindenbezala.
•Puntu-malda ekuazioa garatzeak aurreko epigrafean ikasi
duguny = mx +nfuntzioraeramangogaitu.
•Osointeresgarriadaikasleekhonakohauegiaztatzea:y = y0+m(x–x0)ekuazioan,(x0,y0)puntuazuzenarenedozeinpuntuizandaitekeela,etaekuazioarenamaierakoadierazpena,edozeinpuntuhartzendugularikere,ezdelaaldatzen.Horretarako,bigarrenariketaebatziahardezake-gu,etaedozeinzuzenetan,bestepuntubathartu;horrela,ekuazioaga-ratuondoren,berdingelditzendelaikusikodugu.
Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:22.orrialdeko1etik5erakoariketak.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
3 a)y=4x–19 b)y=2–21 x c)y=
45 x+
419
d)y=–x e)y=512
53– x f) y=–2
4 a→y=–32 x b→y=
23 x+1
Iradokizunak•y=mx+nfuntzioaaurkezteko,adibidebaterabilikodugu.
•Ezinbestekoadamaldarenesanahia jakiteaeta, y
bakandutada-goenean,x-renkoefizientearengisakoadierazpenanalitikotikabiatuz,maldalortzekogaiizatea.Horrezgain,beharrezkoadan(jatorrikoor-denatua)y-renbaliogisainterpretatzea,x=0denean.Halaber,ikas-leekjakinbeharkodutex-renbaliopositiboentzatdefinitutakofun-tzioenkasuan,funtzioarengrafikoarenabiapuntuadela.
•Ikasleekgaiizanbeharkodutey=mx+nadierazpenammaldadueneta(0,n)puntutikpasatzendenzuzenaridagokiolajakiteko.
Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:19.orrialdeko1etik3rakoariketak.20.orrialdeko4.eta5.ariketak.
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko2.ariketakob)etac)atalak.Afitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.
Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1
X
Y
2
2
4
4
a
b
c
X
Y
2
2
4
4
d
e
f
-
121
169168
5 Funtzio linealaren aplikazioak. Higidurei buruzko
problemak
4 Bi puntutatik pasatzen den zuzenaZuzen baten bi puntu ezagutuz
gero, horietatik abiatuta, zuzenaren malda lor dezakegu eta, gero,
maldarekin eta puntuetako batekin, horren ekuazioa aurki dezakegu,
aurreko orrialdean ikusi dugun bezala.
Malda lortzea bi puntu ezagutuzEzagun ditugun bi puntutatik
pasatzen den zuzenaren malda aurkitzeko, era gra-fikoan joka
daiteke, x-ren aldakuntza eta y-ren aldakuntza neurtuz (edo
karra-tutxoak zenbatuz).Baina honako kalkulu honen bidez ere
lortzen da (bizkorrago eta eraginkorrago):
( , )( , ) ren aldakuntza
ren aldakuntza8P x yP x y m x
yx xy y
––1 1 1
2 2 2 2 1
2 1=-- =4
1. Kasu bakoitzean, aurkitu P eta Q puntuetatik pa-satzen den
zuzenaren ekuazioa:a) P (2, 5), Q (–3, 6) b) P (3, – 4), Q (–2,
–1)c) P (–1, 0), Q (5, 5) d) P (–7, 1), Q (3, 4)e) P (3, 1), Q (–2,
1) f ) P (2, –2), Q (2, 5)
2. Aurkitu a, b eta c zu-zenen ekuazioak. Era-bili markatuta
dauden puntuak maldak kalku-latzeko.
Pentsatu eta egin
Ariketa ebatziak1. Bi punturen bidez eman-
dako zuzen hauen maldak kalkulatzea:
a) (2, –5), (6, 1)
b) (–1, 0), (3, 2)
c) (–3, –1), (2, –2)
era grafikoan:a) b) c)
(2, –5)
(6, 1)
4
6X
Y(3, 2)
(–1, 0)4
2X
Y
(–3, –1)(2, –2)
15
X
Y
m = 46
23= m =
4 22 1= m = –
51
eragiketak eginez:
a) m = ( )6 2
1 546
23
–– – = = b) m =
( )3 12 0
42
21
– –– = =
c) m = ( )( )
2 32 1
51
– –– – – –=
2. P eta Q-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa lortzea:
a) P (5, 3), Q (–3, 4)
b) P (–3, 5), Q (–2, 3)
a) m = 3 5
4 38
181
– ––
––= = ekuazioa: y = 3 –
81 (x – 5)
b) m = ( )2 3
3 512
– – –– –= = –2 ekuazioa: y = 5 – 2(x + 3)
X
ab
c
Y
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
y2 – y1(y-ren aldakuntza)
x2 – x1(x-ren aldakuntza)
Funtzio linealak baliozkoak dira era proportzionalean aldaturiko
bi magnitude erlazionatzen dituzten fenomeno asko deskribatzeko.
Adibidez: produktu baten pisua → horren kostua higidura
uniformearen denbora → egindako distantziaHigidura uniformeak ageri
diren egoerak deskribatzen dituzten funtzio batzuk ikusiko
ditugu.
Eskalak ardatzetanEguneroko egoeretatik ateratako fun-tzioak
adierazteko, ohikoa izaten da ardatzetan testuinguruari
egokitu-tako eskalak erabiltzea.
1. Robotak 7 m egiten ditu minutuko (7 m/min). Zer distantzia
egingo du t minututan?
2. Robotak 7 metro egiten ditu minutuko. Orain dela 2 min jarri
dugu martxan. Gugandik zer distantziatan egongo da t minutu
barru?
3. Robota gugandik 40 metrora dago eta 5 m/min-ko abia-duran
hurbiltzen ari da. Non egongo da t minutu barru?
4. 10:00etan, bizikleta orduko 5 euroan alokatu dugu eta 100 €
utzi ditugu aurrerakin eran. Zenbat itzu-liko digute egun horretako
t orduan bueltatuz gero?
Pentsatu eta egin
Problema ebatziak1. Alizia 5 km/h-ko abiaduran
atera da etxetik. Zer distan-tzia egingo du t ordu barru?
Distantzia kilometrotan eta denbora ordutan adieraziz gero,
Aliziak, honako distantzia hau egingo du t ordutan:
d = 5t
2. Jagoba orain dela 2 ordu atera da hemendik orduko
4 km-ko abiaduran. Gugan-dik zer distantziatan egongo da t
ordu barru?
Orain dela 2 h atera denez, 2 + t orduan ibili da. Orduan, 4(2 +
t) km egingo zituen.
d = 4(2 + t)
3. Rikardo gugandik 25 km-ra dago. Bizikletan atera da guganantz
15 km/h-ko abia-duran. Gugandik zer dis-tantziatan egongo da t ordu
barru?
Rikardok, t ordu barru, 15t kilometro eginda izango ditu.
Gugandiko distantzia kilometro kopuru horretan murriztuko da.
Ondorioz:
d = 40 – 15t
4. Erromesari 50 km falta zaiz- kio Santiagora iristeko.
Goi-zeko 8etan atera da bideari berriz ekiteko orduko 6 km-ko
abiaduran. Hel-mugatik zer distantziatan egongo da egun horretako t
orduan?
Bidean, t orduak direnean, t – 8 ordu daramatza. Egin duen
distantzia 6(t – 8) da.Santiagora duen distantzia izango da:
d = 50 – 6(t – 8)Erromesak, geldialdirik egin gabe, 6 orduko
ibilaldia egingo balu, defini-zio-eremua 8-14 izango litzateke.
1
5
10
2 3 4
DISTANTZIA (km)
DENBORA (h)
1
10
20
30
40
2 3 4
DISTANTZIA (km)
DENBORA (h)
1
10
0 2–2 –1
DISTANTZIA (km)
DENBORA (h)
8
10
20
30
40
50
9 10 11 12 13 14
DISTANTZIA (km)
SANTIAGOORDUA
Indartu: bi puntutatik pasatzen den zuzenaren
ekuazioa.Webgunean
Ardatzetako eskalak aukeratzeko laguntza.Webgunean
Iradokizunak
•Unitatehonetakolehenepigrafeanmaldakontzeptuaikasigenuen.Horilortzeko,puntubatkalkulatubehardasoilik;izanere,y=mxekua-zioarenzuzenguztiak(0,0)puntutikpasatzendira.
Orain,prozesuhoriedozeinzuzenetarakoorokortukodugu,baldinetazuzenhorrenbipuntuezagutzenbaditugu.Honakohaueklortukoditu-gu:malda(zatidurazatiy-renaldakuntzagisa)etax-renaldakuntza.
•Maldakalkulatzekoorduan,ikasleekarazoakizatendituzteemandakopuntuetatikP1etaP2.zeindirenjakiteko.Halaere,egiaztapenakegi-nez,honakohauondorioztatubeharkodute:puntuakedozeinordena-tanhartutaere,maldarenbalioaezdelaaldatzen.
•Honakoondoriohauereaterabeharkodute:puntu-maldaekuazioaidaztekobehardugunpuntuaemandakobipuntuetakoedozeinizandaitekeela,etazuzenetikhartzenditugunpuntuakbesteedozeinbipun-tuizanikere,ekuazioarenbalioaezdelaaldatzen.
Indartu eta sakondu
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:24.orrialdeko1.,2.eta4.ariketak.
Sakontzeko:25.orrialdeko5.ariketa.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 a)y=527
51– x b)y=–
511
53– x c)y= x
65
65+
d)y= x103
1031+ e)y=1 f) x=2
2 a→y=34
34– x b→y= x
41
23+ c→y=–2
Iradokizunak
•Funtziolinealakbaliabideonadirabimagnitudezuzenbatenbitarteznolaerlazionatzendirenazaltzekoetaaztertzeko.
•Lehenengoorrialdean,ikasleekhigidurarekinlotutakoohikoproblemakizangodituzteaztergai.Ikasleekgaiizanbeharkoduteenuntziatubatda-gokionzuzenarenadierazpenanalitikobihurtzeko,moduautomatikoan.
•Garrantzitsuadaikasleek,funtzioairudikatuaurretik,aldagaiaskeari(de-finizio-eremuari)emandakizkiokeenbalioeiburuzgogoetaegitea.
Indartu eta sakondu
•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Sakontzeko:26.orrialdeko1etik4rakoariketak.27.orrialdeko5etik8rakoariketak.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 Egindakodistantziadbada,orduand=7t.
2 tminutubarru,d=14+7tdistantzianegongoda.
3 Gugandikegongodendistantziadbada,orduand=40–5t.
4 Ditzulikodigutendiruabada,orduan,D=100–5(t–10).
Lankidetzan ikasi
Grafikoakinterpretatzearietaeraikitzeariburuzkoariketaktaldetxikianegindaitezke,berdinenartekoikasketasustatzeko.
Honakoariketahauiradokitzendugu:ikasleekelkarriproposatukodizkietehainbatmetodorenbitartezdefinitutakofuntzioakgrafikoekinirudikatzeaedolotzea.
-
122
171170
7 Parabolak eta funtzio koadratikoak6 Bi funtzio lineal batera
aztertzeaBi funtzio lineal batera aztertzeko, ardatz beretan
irudikatuko ditugu. Horien ebakitze-puntua garrantzi handikoa da
baterako interpretaziorako. Koorde-natuak aurkitzeko, grafikoan
argi ikusi ezik, bi ekuazioek osatutako sistema ebatziko da.
Problema ebatziaPaula 10:00etan atera da etxe-tik oinez 4
km/h-ko abiaduran Alexen bila. 12:00etan, Alex bizikletan atera da
Paularen bila 12 km/h-ko abiaduran. 24 km-ko distantzian bizi dira.
Zer ordutan eta non elkartuko dira?
Distantziak eta denborak erlazioan jarriko ditugu. Distantziak
Paularen etxetik hartuko ditugu eta denbora, aldiz, Alex ateratzen
denetik.Alexen mugimenduaren ekuazioa:
t unean, 12t km hurbildu da Paularen etxera; ondorioz, Paularen
etxe-rako distantzia d = 24 – 12t da.
Paularen mugimenduaren ekuazioa:Hasierako unerako, Paulak 2 ordu
egin ditu oinez. Beraz, t unean (t + 2) h darama. Ondorioz,
Paularen bere etxerako distantzia t unean d = 4(t + 2) da.
Elkartzen diren unean, toki berean daude. Denborari eta
posizioari dagokien bat etortze horrek problema ebaz-tera darama bi
ekuazioek deskriba- tzen dituzten zuzenek elkar ebaki-tzen duten
puntua lortuz.
DENBORA (h)
10(1, 12)
20
1–1–2
DISTANTZIA (km)ALEXd = 24 – 12t
PAULAd = 4(t + 2)
Zuzenen ebakitze-puntuak, (1, 12), esan nahi du Alex etxetik
atera eta ordubete barru elkartu direla Paularen etxetik 12
km-ra.eraginez:Ebakitze-puntuaren koordenatuak bi ekuazioek
eratutako sistema ebatziz ere aurki daitezke:
( )d td t
2 14 24 2–=
= +4 → 24 – 12t = 4t + 8 → 16t = 16 → t = 1 → d = 12
Soluzioa: 13:00etan elkartu dira Paularen etxetik 12 km-ra.
1. AHT bat goizeko 10etan atera da gure hiritik 750 km-ra dagoen
hiri jakin batetik eta 200 km/h-ko abiaduran dator. Beste alde
batetik, merkantzien trena bi ordu lehenago atera da gure hiritik
eta 50 km/h-ko abiaduran doa AHTren bide paraleloan zehar.a)
Adierazi bi funtzioren bidez gure hiritik trenetako
bakoitzera t ordu barru dagoen distantzia.
b) Irudikatu koordenatuen ardatzetan funtzioei dagoz-kien bi
zuzenak.
c) Adierazi zer puntutan ebakitzen duten elkar bi zuzenek eta
azaldu zer esan nahi duen koordena-tuetako bakoitzak.
d) Kalkulatu ekuazio-sistema baten bidez zer ordutan gurutzatu
diren trenak eta gure hiritik zer distan-tziatan dauden.
Pentsatu eta egin
x y
– 4–2–1
0124
1641014
16
1. Elkartu funtzio koadratikoen honako adieraz-pen analitiko
hauek eskuinean irudikatuta ageri diren eta dagozkien
parabolekin:i) y = 2x 2 – 2x + 1 ii) y = –x 2 + x – 3
iii) y = 21 x 2 – 1 iv) y = –3x 2 + 8x
Pentsatu eta egin
20
5
Y
X
10
15
4–4 –2
Y
X
y = 3x2 – 42x + 138
y = –x2 + 2x – 4
1y = —x2 + x 4
Y
ab
c
d
X
Indartu: bi funtzio batera aztertzea.Webgunean
Ebatzi «Txangoa» izeneko problema.Webgunean
Saskira jaurtitzen dugunean baloiak deskribatzen duen kurba
parabola da. Gol-feko pilotek edo ur-txorrotek ere parabolak
deskribatzen dituzte. Satelite artifi-zialetatik datozen emisioak
jasotzen dituzten antenen sekzioak eta automobilen argienak ere
parabolak dira.Parabolen bidez irudikatzen diren funtzio asko
daude:— Karratuaren azalera aldearen funtzioan (A = l 2) edo
zirkuluarena, erradioaren
funtzioan (A = πr 2).— Gorantz jaurti dugun harriak une jakin
batean duen altuera jaurti denetik
igaro den denboraren funtzioan (a = v0t – 4,9t 2).— Automobil
batek, galgatzea erabaki dugun unetik, benetan gelditu arte
egiten
duen bidea, zeraman abiaduraren funtzioan (e = 0,0074v 2 +
0,21v).
Parabola eredua: y = x2 funtzioaParabola motarik sinpleena
adieraziz hasiko gara; parabola mota hori y = x 2 funtzioari
dagokio.Eskuinean, horren balio-taula ikus dezakezu eta,
ezke-rrean, horren adierazpen grafikoa.Y ardatzari dagokionez,
kurba simetrikoa da; minimo bat du (0, 0) puntuan, eta puntu horri
erpin esango diogu.Bi adar ditu, bat beherakorra da eta bestea,
gorakorra.
Funtzio koadratikoaky = ax 2 + bx + c funtzioei, a ≠ 0 izanik,
koadratiko esaten zaie eta guztiak parabolen bidez irudikatzen
dira; simetria-ardatza Y ardatzari paralelo dute.Horren forma
(beherantz, gorantz, zabalago…) x 2-ren koefiziente den a-ren mende
dago, honela:•Bi funtzio koadratikok x 2-ren koefiziente bera
izanez gero, dagozkien parabo-
lak berdin-berdinak dira; hala ere, posizioak desberdinak izan
daitezke.•a > 0 izanez gero, adarrak gorantz dituzte eta a a
< 0 izanez gero, beherantz.•Zenbat eta | a | handiago izan,
orduan eta estuagoa izango da parabola.
Iradokizunak•Ardatzbereanirudikatutakobigrafikoaztertzenbaditugu,bigrafikoho-
riekdituztenaldakuntzaerrazagohautemangoditugu:bakoitzarengo-rapenaedobeherapena,ebakitze-puntuaetaharenesanahia;horries-ker,grafikoakhobetoaztertukoditugu.
•Unitateosoak,etaepigrafehonekbereziki,besteatalbatzuetanikasi-takozenbaki-etaaljebra-trebetasunakberrikustekobaliokodigute.
Ekimena
Irakasleakgrafikobataurkeztukodu,testuingururikgabe.Ikasleekgrafikohorriaplikatzekomodukotestuingurubatpentsatu,etadagokionfuntzioajarrikodiote.
Indartu eta sakondu•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko3.koadernotik:
Indartzeko:29.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.
Sakontzeko:30.orrialdeko4.,5.eta6.ariketak.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 a)daht=750–200t
dmerkantzia=50t
b)(0,750)puntutikpasatzendenzuzenbat,eta(0,0)puntutikpasatzendenbestezuzenbat.Bizuzenak(3,150)puntuanebakitzenduteelkar.
c)(3,150)puntuanebakitzenduteelkar.Horrekesannahidugurehiri-tik3orduraeta150kilometroragurutzatukodirela.
d)d td t
750 20050
–AHTMERKANTZIA
==
4t=3orduak→daht=dmerkantzia=150km
Iradokizunak•Funtzio koadratikoak lantzen hasteko, parabolen
zenbait adibide
praktikoaztertukoditugu.
•y=x2adierazpenarenbitartez,ikasleekfuntziokoadratikoarenezauga-rriesanguratsuenakondorioztatzekogaiizanbeharkodute:eremua,go-rapenaetabeherapena,erpinaetajarraitasuna.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
1 I) y=2x2–2x+1→b
II) y=–x2+x–3→c
III)y=21 x2–1→a
IV)y=–3x2+8x→d
Indartu eta sakondu
Honakohauekgomendatzendira:
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.
Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.
OHARRAK
-
123
Iradokizunak
•Parabolakirudikatzeariekingodiogu,haienadierazpenanalitikoakon-tuanhartuz;horrela,ikasleekulertukodutey=ax2+bx+cadierazpe-na(0,c)puntutikpasatzendenparabolaridagokiola.Halaber,akoefi-zienteakfuntziohorrengrafikoanduenpaperariburuzhausnartukodute.
•Ikasturtehonetan,funtziokoadratikoenaurkezpenorokorrabainoezdu-guegingo.
Ikasleekzenbaitbaliabideizangodituzte,halanolaerpinaetaharenon-dokopuntuaknolakalkulatubehardiren.
«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak
2 3Y
a
b
X2–2 4 6 8
2
–2
–4
4
6
Ya b
X2–2–4–6–8 4 6
2
–2
–4
4
6
Indartu eta sakondu
Honakohauekgomendatzendira:
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.
Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko3.ariketa.
Iradokizunak•Unitatekoazkenorrialdehonetanaurretikikasitakoguztiaaztertukodu-
gu.Zuzenbatetaparabolabatdituenhigidurenadibidebatikusikodu-gu.Ikasleekbifuntzioakirudikatubeharkodituzte,etaebakitze-puntuakgrafikokietaekuazio-sistemabatenbitartezerekalkulatubeharkodituz-te.Ikasleeigogoratukodiegu,irudikapenakegitekoorduan,osogarran-tzitsuadelaeskalaegokiaerabiltzea.
Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:
•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:
Indartzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko4.ariketa.
Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko1etik4rakoariketak.
«Zeuk egin» atalaren soluzioak
2 8eta28segundotanegingodutebat.
Ariketa eta problema ebatziak
172 173
Funtzio koadratikoak irudikatzeaEsan denez, funtzio koadratikoak
parabolen bidez irudikatzen dira; horien forma x 2-ren
koefizientearen mende baino ez dago. Orain y = ax 2 + bx + c
irudikatzeko zer pauso eman beharko diren ikusiko dugu:
1. Erpinaren abzisa lortzea: p = –a
b2
2. Erpinetik hurbileko puntuak lortzea.Erpinetik hurbil dauden
abzisa osoetan, eskuinean eta ezkerrean, kalkulatuko dugu funtzioak
zer balio duen. Horrela, kurba bere zatirik interesgarrienean
ezagutuko dugu.
3. Ardatzekiko ebakitze-puntuak lortzea.Horien bidez,
grafikoaren punturik nabarmenenei buruzko informazioa osa-tzen da:—
X ardatzarekin ebakitzea: ax 2 + bx + c = 0 ekuazioa ebazten da.— Y
ardatzarekin ebakitzea: (0, c) da.
4. Irudikapena.Ardatzetan, informazioa zentzuzko espazioan
irudikatzen utziko diguten eskalak aukeratuko ditugu.
2. Irudikatu honako parabola hauek:
a) y = x 2 – 2x + 3 b) y = x 2 – 6x + 5
3. Marraztu honako funtzio hauek:
a) y = 41 x 2 + x – 2 b) y = 2x 2 – 10x + 8
Pentsatu eta egin
Ariketa ebatziay = x 2 – 3x – 4 irudikatzea.
2
Y
X
2
4
6
4–2–2
–4
–6 y = x2 – 3x – 4
1. Erpina lortzea:
: ,p 1 5Abscisa = = =( )2 1
323
·– –
2: ( , ) ( , ) · , ,f 1 5 1 5 3 1 5 4 6 25Ordena – – –tua = =4
Erpina (1,5; – 6,25).
2. Erpinetik hurbileko puntuak lortzea:
x –2 –1 0 1 2 3 4 5y 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6
3. Ardatzekiko ebakitze-puntuak:
•X ardatzarekin ebakitzea:
x 2 – 3x – 4 = 0 → x = ±2
3 9 16+ → x 1 = –1, x 2 = 4
•Y ardatzarekin ebakitzea: (0, – 4)(Informazio hori aurreko
taulan genuen).
4. Irudikapena ezkerrean ageri da.
1. Adierazpen analitikoa eta irudikapena
Arranoa habian dago 525 m-ko altueran. Eztanda entzun eta hegan
igotzen da 10 m/s-ko abiadura konstantean 50 s-an.
Altueraren, a, adierazpen ana-litikoa lortzea, m-tan,
denbo-raren, t, funtzioan, s-tan.
Arranoaren altueraren adierazpen analitikoa da: a = 525 + 10t 0
< t < 50
10
500
DENBORA (s)
ALTUERA (m)1000
20 30 40 50
2. Funtzio lineala eta koadratikoa
Aurreko ariketan arranoak entzun duen eztanda kanoi batek sortu
du: bala gorantz jaurti du hasierako abia-dura 200 m/s-koa dela.
Bola-ren altuera, a, m-tan, denbo-raren, t, funtzioan, s-tan, a =
200t – 5t 2 ekuazioak ema-ten du.
a) Funtzio horren grafikoa iru-dikatzea.
b) Zein da definizio-eremua?
c) Jaurti eta zenbat denbora barru iritsi da bala gorengo
altuerara? Zer altuera da hori?
d) Arranoak bala gorantz pasa-tzen ikusi du eta, gero, jais-ten.
Zer unetan gertatu dira gurutzatze horiek? (Hau da, zer unetan
datoz bat arra-noaren eta balaren altue-rak?).
Zeuk egin. Hegazti bat 1 120 m-ko altueran dago. Gainbehera
bizian egiten du behera 20 m/s-ko abiadu-ran lurretik bala bat
gorantz 160 m/s-ko abiaduran ateratzen den une berean. Balaren
higidu-raren ekuazioa honako hau da: altuera = 160t – 5t 2. Zer
unetan egingo dute bat?
a) a = 200t – 5t 2 parabola da eta erpina hemen du: p = · ( )2
5200–
– = 20.
Denboraren ardatza den X ardatzarekiko ebakitze-puntuak 200t –
5t 2 = 0-ren soluzioak dira. Ekuazioa ebatziz, t = 0, t = 40 lortu
dugu.Grafikoa irudikatzeko, balio-taula prestatuko dugu:
t 0 2 4 6 10 16 20 24 30 34 36 38 40
a 0 380 720 1 020 1 500 1 920 2 000 1 920 1 500 1 020 720 380
0
b) Definizio-eremua 0-40 tar-tea da, muturrak sartuta:t = 0-n,
bala gorantz atera da. T = 40-n, balak lurra ukitu du.
c) Altuerarik handiena erpi-nean lortu du, 20. s-an:a (20) = 200
· 20 – 5 · 202 =
= 2 000Gorengo altuera 2 000 m da.
d) Bi grafikoen ebakitze-puntuak aurkitu behar ditugu.Grafikoei
erreparatuz gero, ebakitze-puntuen koordenatuak hurbildu ditzakegu.
Emaitza zehatza izan dadin, honako ekuazio-sistema hau ebatziko
dugu:
a t ta t
200 5525 10
– 2== +
4 → 200t – 5t 2 = 525 + 10t → → 5t 2 – 190t + 525 = 0 → t = 3; t
= 35
Balak arranoaren altuera 3. segundoan gainditu du 525 + 10 · 3 =
555 m-ko altueran eta, jaistean, arranoarekin 35. s-an gurutzatu da
525 + 10 · 35 = = 875 m-ko altueran.
Erpinaren abzisa
y = ax2 + bx + c
y = c
O b– — 2a
b– — a
ax 2 + bx + c = c → ax 2 + bx = 0 →
→ (ax + b)x = 0 → x1 = 0, x2 = – ab
Erpinaren abzisa x1 eta x2,-ren erdi-
gunean dago, hau da p = – ab2 pun-
tuan.
10
500
ALTUERA (m)
1000
1500
2000
20 30 40DENBORA(s)
OHARRAK
-
124
174 175
Ariketak eta problemak
Egin Funtzio linealak. Zuzenak
1. Irudikatu honako zuzen hauek:
a) y = 4x b) y = –2,4x c) y = – x2
d) y = –2x + 1 e) y = – x2
+ 3 f ) y = –58
g) y = x2
3 5– h) y = 2,5x – 1 i) y = 43 x +
21
2. Elkartu zuzen bakoitza bere ekuazioarekin:
a) y = –31 x
b) y = 23 x + 1
c) y = 52 x
d) y = 52 x + 2
e) y = –2
X
ps
q t
r
Y
3. a) Idatzi zuzen bakoitzaren ekuazioa:b) Zein dira fun-
tzio gorakorrak? Eta beherakorrak? Egiaztatu maldaren zeinua
kasu bakoi-tzean.
Ya
b
c
d
X
–22 4 6–2–4
4
2
6
4. Zuzenetako bakoitzaren puntuetako bat eta mal-da ezagutzen
ditugu. Idatzi zuzenen ekuazioak:a) P (–2, 5), m = 3 b) P (0, –5),
m = –2
c) P (0, 0), m = 23 d) P (–2, – 4), m = –
32
5. Lortu A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.a) A
(2, –1), B (3, 4) b) A (–5, 2), B (–3, 1)
c) A ,23 2d n, B ,1
32d n d) A ,
21
43–d n, B ,
31 1d n
6. Lortu honako zuzen hauen maldak eta irudikatu ardatz beretan.
Zer ondorio ateratzen duzu?a) y = 2x b) y = 2x – 3c) 2x – y + 1 = 0
d) 4x – 2y + 5 = 0
7. Andel bateko uraren maila a = (5/4)t funtzioaren arabera
aldatzen da denboran zehar (a metrotan, t segundotan).
a) Irudikatu. Andelak 5 m-ko altuera izanez gero, zein da
funtzioaren definizio-eremua?
b) Proportzionaltasun-funtzioa al da?
c) Adierazi zer malda duen eta azaldu horren esanahia.
8. Honako taula honek andelean dagoen uraren bolumena hustubidea
irekitzean nola aldatzen den erakusten du:
t (min) 0 1 2 3 5V (l) 20 18 16 14 10
a) Adierazi denbora → bolumen funtzioa.b) Idatzi horren ekuazioa
eta definizio-eremua.
c) Adierazi zer malda duen eta zer esan nahi duen.
d) Proportzionaltasun-funtzioa al da?
9. Honako taula honek zutoinen eta horien itzalen luzerak
erakusten ditu une jakin batean:
zutoina (m) 0,5 1 1,5 2 2,5itzala (m) 1,25 2,5 3,75 5 6,25
a) Adierazi zutoinaren luzera → itzalaren luzera funtzioa.
b) Idatzi horren ekuazioa eta adierazi zer malda duen.
c) Zenbateko luzera izango du 3,5 m-ko zutoinaren itzalak?
d) Zer luzera du 3 m-ko itzala duen zutoinak?
10. Milia bat, gutxi gorabehera, 1,6 km-ren baliokide da.
a) Egin miliak kilometro bihurtzeko taula.
b) Marraztu grafikoa eta idatzi horren ekuazioa.
11. Jakinik 100 libra 45 kg-ren baliokide direla:
a) Idatzi ekuazioa honako hau determinatzeko: zenbat kilo, y,
diren x libraren baliokide.
b) Marraztu ekuazioaren grafikoa.
12. Izozkiak egiteko errezeta baten arabera, 200 cm3 esneko 10 g
banilla jartzea komeni da. Kalkulatu zer erlazio dagoen esne eta
banilla kantitateen artean eta irudikatu funtzioa.
13. Mamen 3 km/h-ko abiaduran doa eta etxea igerilekutik 10
km-ra dago. Elkartu honako enuntziatu hauetako bakoitza beheragoko
ekuazioe-tako batekin:
a) Orain hasiz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu
barru?
b) Duela 3 h hasi dela joz gero, zer distantzia izango du eginda
t ordu barru?
c) Etxetik bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer
distantziatan egongo da t ordu barru?
d) Etxetik 10:00etan bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik
zer distantziatan egongo da t ordu ba-rru?
e) Etxetik duela 3 ordu atera bada, zer distantziatan egongo da
igerilekutik t ordu geroago?
d = 3t + 3 d = 10 + 3(t – 10) d = 3(t + 3)
d = 3(t – 3) d = 10 – 3(t – 10) d = 10 – 3t
d = 3t d = 10 – 3(t + 3) d = 10 + 3(t + 3)
14. Marraztu aurreko ariketako enuntziatuetako bakoitzaren
grafikoa.
15. Honako enuntziatu hauetako bakoitzean, aur-kitu ekuazioa eta
irudikatu funtzio lineala kartesiar ardatzetan:
a) Andonik 3 €/kg-ko prezioko laranjak erosi ditu. Zenbat
ordaindu du p kilo laranja?
b) Sonia 08:00etan atera da 120 km/h-ko abiaduran. Zer
distantzia izango du eginda t ordu barru?
c) Jonek 5 € ordaindu behar du patinak alokatzea, gehi euro bat
irristatzen ibiliko den ordu bakoitzeko. Zenbat ordaindu beharko du
t orduan ibiliz gero?
d) 25 € ditut eta taxiak honako hau kobratuko dit: 2,5 € martxan
hasteagatik eta 1,20 € kilome-troko. Zenbat diru izango dut sobera
taxiak d km-ko distantziara eramanez gero?
e) 12:00etan, freskagarria 10 °C-ko tenperaturan atera dut
hozkailutik. Minutuko 1,5 °C berotuz gero, zer tenperatura izango
du freskagarriak t ordu barru?
f ) Duela 10 min, bainuontzia betetzen duen txorro-ta ireki dut.
Uraren maila minutuko 2 cm igo eta bainuontziak 40 cm-ko sakonera
izanez gero, zenbat zentimetro faltako dira urak gainezka egiteko t
minutu barru?
Funtzio koadratikoak. Parabolak
16. Elkartu funtzio koadratiko bakoitza dagokion
grafikoarekin:
i) y = x 2
ii) y = – x 2
iii) y = –2x 2
iv) y = 21 x 2
Ya
b
cd
X
17. Elkartu ekuazioetako bakoitza dagokion parabolarekin:
i) y = x 2 + 3x – 2
ii) y = –x 2 + 2x – 1
iii) y = –2x 2 – 6x + 1
iv) y = 21 x 2 – 4x + 2
Ya
b
c
d
X
18. Adierazi honako funtzio hauek kasu bakoitzean honen moduko
balio-taula prestatuz, eta esan zein den parabola bakoitzaren
erpina:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y … … … … … … … … …
a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 – 4
c) y = 2x 2 d) y = 0,5x 2
19. Esan zer puntutan (abzisa eta ordenatua) dagoen honako
parabola hauen erpina; kasu bakoitzean, adierazi maximo bat ala
minimo bat den:
a) y = x 2 – 5 b) y = 3 – x 2 c) y = –2x 2 – 4x + 3
d) y = 5x 2 + 20x + 20 e) y = – 25 x 2 + 5x –
23
20. Irudikatu honako parabola hauek, erpina, erpine-tik
hurbileko puntu batzuk eta ardatzekiko ebakitze- puntuak
aurkituz:
a) y = (x + 4)2 b) y = 31 x 2 + 2x
c) y = –3x 2 + 6x – 3 d) y = –x 2 + 5
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
1 Y a)
b)
c)
X
2–2–4 4 6
2
–4
4
6
Yd)
e)
f)
X2–2–4 4 6
2
–2
–4
4
6
Y g)h)
i)
X2–2–4 4 6
2
–2
–4
4
6
2 a)s b)q c) r d) t e) p
3 a)a→y=4–51 (x–3) b→y=
51 x+1
c→y=2x–2 d→y=–2
b)betacgorakorrakdira(maldapositiboa).abeherakorrada(mal-danegatiboa).
4 a)y=5+3(x+2) b)y=–2x–5
c)y=23 x d)y=–4–
32 (x+2)
5 a)y=–1+5(x–2) b)y=2–21 (x+5)
c)y=2+ x38
23–e o d)y= x
43
103
21+ +e o
6 Laurekdutemaldabera(m=2);paraleloakdira.
ab
cd
X2
–2
–4–6 4 6
2
–2
–4
4
7 a)Eremua0-4da.
b)Bai.
c)m=5/4.Lausegundorikbehin,deposi-tuarenaltuerak5megitendugora.
2 4 6DENBORA (s)
ALTUERA (m)
2
4
6
8 a) b)y=–2x+20.Eremua:0-10.
c)
m=–2.Hustubideazabalikda-goenminutubakoitzeko,2 lurgutxiagodaudedeposituan.
d)Ezdaproportzionaltasun-fun-tzioa.
4 8 12DENBORA (s)
BOLUMENA (l )
4
8
12
16
20
9 a) b)y=5x/2.m=5/2
c) Itzalak8,75m-koluzeraizangodu.
d)Zutoinak1,2m-koluzeraizangodu.
1 2 3ZUTOINA (m)
ITZALA (m)
2
4
67
1
3
5
10 a)
miliak 1 2 3 4
kilometroak 1,6 3,2 4,8 6,4
b)Ekuazioay=1,6xda.
40 80MILIAK
KILOMETROAK
40
80
120
160
11 a)x:librak;y:kiloak→y=10045 x
b)Grafikoa(0,0)eta(100,45)puntuetatikpasatzenda.
50 100 150LIBRAK
KILOGRAMOAK
20
40
12
Haudaesnekantitatearen(x-ren)etabanillakantitatearen(y-ren)artekoerlazioaadieraztenduenfuntzioa:
y=20010 x→y=0,05x
200 400 600 800 1 000ESNEA (cm3)
BANILLA (g)
20
40
-
125
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
13 a)d=3t b)d=3(t+3) c)d=10–3t
d)d=10–3(t–10) e)d=10–3(t+3)
14 a) b)
1
2DENBORA (h)
DISTANTZIA (km)
4
6
8
10
2 3 4 1
2DENBORA (h)
DISTANTZIA (km)
4
6
8
10
2 3–3 –2 –1
c) d)
1
2
DENBORA (h)
DISTANTZIA (km)
4
6
8
10
2 3 4
10:00
2
ORDUA
DISTANTZIA (km)
4
6
8
10
11:00 12:00
e)
1DENBORA (h)
DISTANTZIA (km)
4
6
8
10
2 3–3 –2 –1
2
15 a)C=3p b)d=120(t–8)
1
2
c = 3p
PISUA (kg)
KOSTUA (€)
4
6
8
10
2 3 4 8:00
120
ORDUA
DISTANTZIA (km)
240
360
9:00 10:00
c)C=5+t d)D=25–(2,5+1,2d)
1
5
KOSTUA (€)
6
7
8
9
2 3DENBORA (h)
2
5
DISTANTZIA (km)
SOBERA IZANGO DUDAN DIRUA (€)
10
15
20
25
4 6 8 10 12
e)T=10+1,5(t–12) f)E=40–2(t+10)
12:00
10
ORDUA
TENPERATURA (°C)
20
30
40
12:10 12:20
2 DENBORA (min)
10
15
20
25
30
35
40
4 6–6–8–10 –4 –2
5
ALTUERA (cm)
16 I)→b II)→c III)→d IV)→a
17 I)→a II)→c III)→b IV)→d
18 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 erpina
a) y 19 12 7 4 3 4 7 12 19 (0,3)
b) y 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 (0,–4)
c) y 32 18 8 2 0 2 8 18 32 (0,0)
d) y 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 (0,0)
Y
X2–2–4 4
b
a
2
–2
–4
4
6
Y
X2–2–4 4
c
2
–2
–4
4
6d
19 a)Minimoa:(0,–5) b)Maximoa:(0,3) c)Maximoa:(–1,5)
d)Minimoa:(–2,0) e)Maximoa:(1,1)
20 Y
X–6–8 –4 –2 2
6
4
2
–2
8a b
Y
X2–2–4 4
2
–2
4
6
c
d
174 175
Ariketak eta problemak
Egin Funtzio linealak. Zuzenak
1. Irudikatu honako zuzen hauek:
a) y = 4x b) y = –2,4x c) y = – x2
d) y = –2x + 1 e) y = – x2
+ 3 f ) y = –58
g) y = x2
3 5– h) y = 2,5x – 1 i) y = 43 x +
21
2. Elkartu zuzen bakoitza bere ekuazioarekin:
a) y = –31 x
b) y = 23 x + 1
c) y = 52 x
d) y = 52 x + 2
e) y = –2
X
ps
q t
r
Y
3. a) Idatzi zuzen bakoitzaren ekuazioa:b) Zein dira fun-
tzio gorakorrak? Eta beherakorrak? Egiaztatu maldaren zeinua
kasu bakoi-tzean.
Ya
b
c
d
X
–22 4 6–2–4
4
2
6
4. Zuzenetako bakoitzaren puntuetako bat eta mal-da ezagutzen
ditugu. Idatzi zuzenen ekuazioak:a) P (–2, 5), m = 3 b) P (0, –5),
m = –2
c) P (0, 0), m = 23 d) P (–2, – 4), m = –
32
5. Lortu A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.a) A
(2, –1), B (3, 4) b) A (–5, 2), B (–3, 1)
c) A ,23 2d n, B ,1
32d n d) A ,
21
43–d n, B ,
31 1d n
6. Lortu honako zuzen hauen maldak eta irudikatu ardatz beretan.
Zer ondorio ateratzen duzu?a) y = 2x b) y = 2x – 3c) 2x – y + 1 = 0
d) 4x – 2y + 5 = 0
7. Andel bateko uraren maila a = (5/4)t funtzioaren arabera
aldatzen da denboran zehar (a metrotan, t segundotan).
a) Irudikatu. Andelak 5 m-ko altuera izanez gero, zein da
funtzioaren definizio-eremua?
b) Proportzionaltasun-funtzioa al da?
c) Adierazi zer malda duen eta azaldu horren esanahia.
8. Honako taula honek andelean dagoen uraren bolumena hustubidea
irekitzean nola aldatzen den erakusten du:
t (min) 0 1 2 3 5V (l) 20 18 16 14 10
a) Adierazi denbora → bolumen funtzioa.b) Idatzi horren ekuazioa
eta definizio-eremua.
c) Adierazi zer malda duen eta zer esan nahi duen.
d) Proportzionaltasun-funtzioa al da?
9. Honako taula honek zutoinen eta horien itzalen luzerak
erakusten ditu une jakin batean:
zutoina (m) 0,5 1 1,5 2 2,5itzala (m) 1,25 2,5 3,75 5 6,25
a) Adierazi zutoinaren luzera → itzalaren luzera funtzioa.
b) Idatzi horren ekuazioa eta adierazi zer malda duen.
c) Zenbateko luzera izango du 3,5 m-ko zutoinaren itzalak?
d) Zer luzera du 3 m-ko itzala duen zutoinak?
10. Milia bat, gutxi gorabehera, 1,6 km-ren baliokide da.
a) Egin miliak kilometro bihurtzeko taula.
b) Marraztu grafikoa eta idatzi horren ekuazioa.
11. Jakinik 100 libra 45 kg-ren baliokide direla:
a) Idatzi ekuazioa honako hau determinatzeko: zenbat kilo, y,
diren x libraren baliokide.
b) Marraztu ekuazioaren grafikoa.
12. Izozkiak egiteko errezeta baten arabera, 200 cm3 esneko 10 g
banilla jartzea komeni da. Kalkulatu zer erlazio dagoen esne eta
banilla kantitateen artean eta irudikatu funtzioa.
13. Mamen 3 km/h-ko abiaduran doa eta etxea igerilekutik 10
km-ra dago. Elkartu honako enuntziatu hauetako bakoitza beheragoko
ekuazioe-tako batekin:
a) Orain hasiz gero, zer distantzia izango du eginda t ordu
barru?
b) Duela 3 h hasi dela joz gero, zer distantzia izango du eginda
t ordu barru?
c) Etxetik bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik zer
distantziatan egongo da t ordu barru?
d) Etxetik 10:00etan bainatzeko atera baldin bada, igerilekutik
zer distantziatan egongo da t ordu ba-rru?
e) Etxetik duela 3 ordu atera bada, zer distantziatan egongo da
igerilekutik t ordu geroago?
d = 3t + 3 d = 10 + 3(t – 10) d = 3(t + 3)
d = 3(t – 3) d = 10 – 3(t – 10) d = 10 – 3t
d = 3t d = 10 – 3(t + 3) d = 10 + 3(t + 3)
14. Marraztu aurreko ariketako enuntziatuetako bakoitzaren
grafikoa.
15. Honako enuntziatu hauetako bakoitzean, aur-kitu ekuazioa eta
irudikatu funtzio lineala kartesiar ardatzetan:
a) Andonik 3 €/kg-ko prezioko laranjak erosi ditu. Zenbat
ordaindu du p kilo laranja?
b) Sonia 08:00etan atera da 120 km/h-ko abiaduran. Zer
distantzia izango du eginda t ordu barru?
c) Jonek 5 € ordaindu behar du patinak alokatzea, gehi euro bat
irristatzen ibiliko den ordu bakoitzeko. Zenbat ordaindu beharko du
t orduan ibiliz gero?
d) 25 € ditut eta taxiak honako hau kobratuko dit: 2,5 € martxan
hasteagatik eta 1,20 € kilome-troko. Zenbat diru izango dut sobera
taxiak d km-ko distantziara eramanez gero?
e) 12:00etan, freskagarria 10 °C-ko tenperaturan atera dut
hozkailutik. Minutuko 1,5 °C berotuz gero, zer tenperatura izango
du freskagarriak t ordu barru?
f ) Duela 10 min, bainuontzia betetzen duen txorro-ta ireki dut.
Uraren maila minutuko 2 cm igo eta bainuontziak 40 cm-ko sakonera
izanez gero, zenbat zentimetro faltako dira urak gainezka egiteko t
minutu barru?
Funtzio koadratikoak. Parabolak
16. Elkartu funtzio koadratiko bakoitza dagokion
grafikoarekin:
i) y = x 2
ii) y = – x 2
iii) y = –2x 2
iv) y = 21 x 2
Ya
b
cd
X
17. Elkartu ekuazioetako bakoitza dagokion parabolarekin:
i) y = x 2 + 3x – 2
ii) y = –x 2 + 2x – 1
iii) y = –2x 2 – 6x + 1
iv) y = 21 x 2 – 4x + 2
Ya
b
c
d
X
18. Adierazi honako funtzio hauek kasu bakoitzean honen moduko
balio-taula prestatuz, eta esan zein den parabola bakoitzaren
erpina:
x – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y … … … … … … … … …
a) y = x 2 + 3 b) y = x 2 – 4
c) y = 2x 2 d) y = 0,5x 2
19. Esan zer puntutan (abzisa eta ordenatua) dagoen honako
parabola hauen erpina; kasu bakoitzean, adierazi maximo bat ala
minimo bat den:
a) y = x 2 – 5 b) y = 3 – x 2 c) y = –2x 2 – 4x + 3
d) y = 5x 2 + 20x + 20 e) y = – 25 x 2 + 5x –
23
20. Irudikatu honako parabola hauek, erpina, erpine-tik
hurbileko puntu batzuk eta ardatzekiko ebakitze- puntuak
aurkituz:
a) y = (x + 4)2 b) y = 31 x 2 + 2x
c) y = –3x 2 + 6x – 3 d) y = –x 2 + 5
-
126
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
21 a)c=–26 b)b=3 c)k=–5
d)a=–1/2 e)m=–3
22 a)A→33,3!m/minB→33,3
!m/minC→133,3
!m/min
b)A→y=3
100 (x–5)B→y=500+3
100 xC→y=3
400 x
23 a)A→zuzenurdina→y=150–5
100 x
B→zuzengorria→y=10x
b)Sarrera:10l/min.
Irteera:20l/min.
c)5minutura.
24 a)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8IZOZKIA (l )
KOSTUA (€)
1
2
3
4
5
AB
A→y=1+5x B→y=0,5+6x
b)Litroerdiizozkibainogutxiagoerosizgero,merkeagoaizangodaBizozki-dendanerostea.Litroerdibainogehiagoerosizgero,ordea,Aizozki-dendaizangodaaukerarikonena.
25 a)
1 000 2 000 3 000 4 000DENBORA (min)
PREZIOA (€)
20
40
60
80
100
Guayandu
Jomeil
Guayandu→y=20+0,01x Jomeil→y=0,02x
b)2000minututatikaurrera,supertarifaitzeltarifabainoerrentagarria-goada.
26 a)
birak 0 3 6 9
luzera 0,5 2 3,5 5
l (cm)
3 6 9BIRA-KOPURUA1
23456
b)y=0,5+0,5x;birabakoitzean0,5cmsartzenda;14bira.
c)8biraemanondoren.
27 a)y=1,8x+32
10°C GRADUAK
°F GRADUAK
–10
–20
–30
10
–10
–20
20
30
40
50
b)25°C⇔77°F
36,5°C⇔97,7°F
10°C⇔50°F
c)86°F⇔30°C
63,5°F⇔17,5°C
176 177
Ariketak eta problemak
Erabili ikasi duzuna21. a) Kalkulatu c, 3x – 5y = c zuzena (–2,
4) pun-
tutik pasa dadin.
b) Kalkulatu b, 2x + by = –11 zuzena (2, –5) puntu-tik pasa
dadin.
c) Kalkulatu k, y = kx 2 – 2x + 3 parabola (–1, 0) puntutik pasa
dadin.
d) Kalkulatu «zenbat balio duen a-k, y = ax 2 + 2x + 3
ekuazioa duen parabolak erpina x = 2 abzisa- puntuan izan
dezan.
e) Kalkulatu zenbat balio duen m parametroak y = mx + 2 zuzenak
eta y = x 2 – 3x + 2 parabolak ebakitze-puntu bakarra izan
dezaten.
22. Honako hau hiru mendizalek abiadura konstan-tean joanda
zeharkatzen duten espazioaren grafikoa da:
500
1 000ESPAZIOA (m)
DENBORA (min)5 10 15 20
A
B
C
a) Zer abiadura darama bakoitzak, m/min-tan adiera-zita?
b) Idatzi funtzio horien adierazpen analitikoa.
23. A eta B bi ur-deposituek honela funtzio-natzen dute: A hustu
ahala, B betetzen doa.
Grafikoak honako hauek dira:
1
255075
100125150175
2 3 4 5 6 7 8 9 10 DENBORA (min)
BOLUMENA (l )
a) Adierazi zein den A-ren grafikoa, zein den B-rena eta idatzi
horien ekuazioak.
b) Zer abiaduratan sartzen eta ateratzen da ura?
c) Zer unetan dute bi deposituek ur kantitate bera?
Ebatzi problemak24. A izozki-dendan, izozkien prezioa 5 €
da litroko eta ontzi bakoitzeko 1 € kobratzen dute, tamaina bat
zein beste izan. B izozki-dendan, ontzia-ren prezioa 0,50 € da eta
litro bat izozkirena, 6 €.a) Irudikatu izozki-denda bakoitzaren
izozki-litroak –
kostua funtzioa eta idatzi horien ekuazioak.b) Aztertu bi
eskaintzetatik zein den onena erosiko
dugun izozki kantitatearen arabera.
25. Interneteko guayandu zerbitzariak, hilean 20 € eta 0,01 €
minutuko super kuota du. jomeil zerbitzariak itzel tarifa du, kuota
finkorik gabe eta minutuko 0,02 € kobratuz.a) Egin tarifa
bakoitzaren grafikoa denboraren fun-
tzioan eta idatzi horien adierazpen analitikoak.b) Hilean zenbat
minututatik aurrera da errentaga-
rriago super tarifa itzel tarifa baino?
26. Torloju hau 1,5 sartzen da eginarazten zaizkion hiru birako.
Zurezko habean sartzeko, lehe-nengo, mailukada bat eman zaio eta,
horrela, 0,5 cm sartu da.
8 cm
0,5 cm3 bira = 1,5 cm
a) Egin torlojuari zenbat bira emanarazten zaion, x, eta zenbat
sartzen den, y, erlazioan jartzen dituen taula. Eraiki erlazio
horren taula.
b) Zein da adierazpen analitikoa? Zenbat da torlo-juaren haria
(bira bakoitzean zenbat sartzen den)? Zenbat bira eman beharko dira
torlojua habean osoan sartuta egon dadin?
c) 5 cm-ko lodierako estrabea zeharkatzeko prozedu-ra bera
erabili dela joko dugu. Zenbat bira eman ondoren hasiko da torlojua
agertzen estrabearen beste aldean?
27. Eskala zentigradoan, izotza 0 ºC gradutan ur-tzen da eta,
Fahrenheit eskalan, 32 ºF gradutan. Ura 100 ºC-tan, 212 ºF-en
baliokide da, lurruntzen da.
a) Kalkulatu eta adierazi bi eskalen arteko erlazioa ematen duen
funtzio lineala.
b) Adierazi Fahrenheit gradutan honako tenperatura hauek: 25 ºC;
36,5 ºC; 10 ºC.
c) Bihurtu gradu zentigrado 86 ºF eta 63,5 ºF.
28. Estatu Batuetara joateko, Israel eta Susana dolarrak
erostera joan dira. Susanari 189 dolar eman dizkiote 150 euroren
truke, eta Israeli, 151,20 dolar eman dizkiote 120 euroren truke.a)
Aurkitu «zenbat euro eman hainbeste dolar hartu»
kalkulatzeko balioko digun funtzioa.b) Zenbat dolar emango
dizkigute 200 euroren truke?
Eta 350 euroren truke? Zenbat euro izango geni-tuzke 220,50
dolar eman balizkigute?
29. a) Zein da karratuaren perimetroa aldea-ren neurriaren
arabera ematen digun funtzioaren ekuazioa? Eta azalera ematen
diguna?b) Marraztu bi funtzio horiek.
30. Gorantz bota dugun harriaren altuera, a, une bakoitzean, t,
honako hau da: a = 20t – 5t 2.a) Adierazi funtzioa era grafikoan.b)
Esan zein den definizio-eremua.c) Zer unetan iristen da gorengo
altuerara? Zenbat
da altuera hori?d) Zer unetan jotzen du lurra harriak?e) Zer
denbora tartetan dago harria 15 metrotik
gorako altueran?
31. Irudikatu honako funtzio lineal eta koadratiko hauek,
hurrenez hurren, eta kalkulatu era grafikoan zein diren
ebakitze-puntuak. Gero, ekuazio-sistema baten bidez, kalkulatu
puntu horiek eta egiaztatu bat datozela.
y = –2x + 1 y = x 2 – 3x – 5
32. Honako adierazpen honek enpresa batek x ordenagailu
fabrikatzeko urtean zenbat euro gas-tatzen dituen ematen digu:
G (x) = 20 000 + 250xEta ordenagailuak salduz gero dauden
diru-sarrerak honako hauek dira, sarrerak ere eurotan:
I (x) = 600x – 0,1x 2
Zenbat ordenagailu fabrikatu behar dira sarrerak gas-tuak baino
handiago izan daitezen; hau da, etekinak egon daitezen?
Problema korapilatsuagoak
33. Helioz beteriko globoa askatu da eta 5 m/s-ko abiadura
konstantean ari da igotzen. 30 s barru, gezi bat jaurti da
bertikalean gorantz eta horren altuera, a, denborari, t,
dagokionez, honako ekuazio honen bidez adierazten da:
a = 60t – 5t 2.
a) Zer altueratan zulatuko du geziak globoa? Zenbat denbora
pasatuko da gezia jaurti denetik?
b) Geziak globoa gorantz doala ziztatu baldin ez balu, zer
altueratan ziztatuko luke beheranzkoan?
c) Marraztu geziaren eta globoaren altuerei dagozkien grafikoak.
Denboraren abiapuntua gezia jaurtitzen den unea izango da.
34. 200 kg laranja ditugu eta gaur 0,40 €/kg-ko prezioan salduko
lirateke. Hortik aurrera, 1 kg laranja lorrintzen da egunero eta
prezioa 0,01 € igotzen da. Noiz saldu beharko ditugu laran-jak
etekinik handiena lortzeko? Zenbat izango da ete-kina?
35. Marraztu honako ekuazio hauek dituzten parabolak:
y = 3x 2 – 12x + 7 y = – x 2 + 4x – 5
Bilatu ebakitze-puntuak ekuazio-sistema baten bidez eta
egiaztatu era grafikoan aurkitutakoei dagozkiela.
Hausnartu teoriari buruz36. Egia ala gezurra? Justifikatu
erantzunak.
a) Malda eta Y ardatzarekiko ebakitze-puntuak jaki-nik,
zuzenaren ekuazioa lor daiteke.
b) Ardatzekiko ebakitze-puntuekin, beti lor daiteke zuzen baten
ekuazioa.
c) Zuzen baten malda y bat handiagotuz x handia-gotzen dena
da.
d) Zuzen baten malda x 1 handiagotuz gero y han-diagotzen dena
da.
e) Parabolak X ardatza bi puntutan ebakiz gero, erpina puntu
horien erdian egongo da.
OHARRAK
-
127
«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak
28 a)y=5063 x
b)200eurorentruke,252dolar.350eurorentruke,441dolar.175euroizangogenituzke.
c)Teníamos175€.
29 a)Perimetroa:P=4l
Azalera:A=l2
b)
Y
X4–4
4
8
12
16
30 a) b)Dom=[0,4]
4
Y
8
12
16
20
2 X4 6
c) t=2s;a=20m
d)t=4s
e)1eta3segundoenartean.
31 (–2,5)eta(3,–5)puntuetanebakitzendira.
Y
X2
4
–2
2
–2
–4
–6
4
6
32
59eta3441ordenagailuarteansaldubehardira,etekinakegondaite-zen.
33 a)175m-ra.5segundopasatudirageziajaurtidenetik.
b)180m-raziztatukoluke.
c)Globoarenaltuera30.segundotikaurreramarraztendugu.
20
40
60
80
100
120
140
160
180
2 4 6 8 10 12 DENBORA (s)
ALTUERA (m)
34 Etekinafuntziohonenaraberakoada:
B=–0,01t2+1,6t+80
Laranjak80egunerasaldubeharkoditugu,eta144eurokoetekinalor-tukodugu.
35 (1,–2)eta(3,–2)puntuetanebakitzendira.
2
Y
–2
2 X4 6
–8
–6
–4
36 a)Egia.
b)Gezurra.Koordenatu-jatorrianebakitzenbadira,bestepuntubatezagutubehardugu,ekuazioalortzeko.
c)Gezurra.x1handiagotuzyhandiagotzendenada.
d)Egia.
e)Egia.
176 177
Ariketak eta problemak
Erabili ikasi duzuna21. a) Kalkulatu c, 3x – 5y = c zuzena (–2,
4) pun-
tutik pasa dadin.
b) Kalkulatu b, 2x + by = –11 zuzena (2, –5) puntu-tik pasa
dadin.
c) Kalkulatu k, y = kx 2 – 2x + 3 parabola (–1, 0) puntutik pasa
dadin.
d) Kalkulatu «zenbat balio duen a-k, y = ax 2 + 2x + 3
ekuazioa duen parabolak erpina x = 2 abzisa- puntuan izan
dezan.
e) Kalkulatu zenbat balio duen m parametroak y = mx + 2 zuzenak
eta y = x 2 – 3x + 2 parabolak ebakitze-puntu bakarra izan
dezaten.
22. Honako hau hiru mendizalek abiadura konstan-tean joanda
zeharkatzen duten espazioaren grafikoa da:
500
1 000ESPAZIOA (m)
DENBORA (min)5 10 15 20
A
B
C
a) Zer abiadura darama bakoitzak, m/min-tan adiera-zita?
b) Idatzi funtzio horien adierazpen analitikoa.
23. A eta B bi ur-deposituek honela funtzio-natzen dute: A hustu
ahala, B betetzen doa.
Grafikoak honako hauek dira:
1
255075
100125150175
2 3 4 5 6 7 8 9 10 DENBORA (min)
BOLUMENA (l )
a) Adierazi zein den A-ren grafikoa, zein den B-rena eta idatzi
horien ekuazioak.
b) Zer abiaduratan sartzen eta ateratzen da ura?
c) Zer unetan dute bi deposituek ur kantitate bera?
Ebatzi problemak24. A izozki-dendan, izozkien prezioa 5 €
da litroko eta ontzi bakoitzeko 1 € kobratzen dute, tamaina bat
zein beste izan. B izozki-dendan, ontzia-ren prezioa 0,50 € da eta
litro bat izozkirena, 6 €.a) Irudikatu izozki-denda bakoitzaren
izozki-litroak –
kostua funtzioa eta idatzi horien ekuazioak.b) Aztertu bi
eskaintzetatik zein den onena erosiko
dugun izozki kantitatearen arabera.
25. Interneteko guayandu zerbitzariak, hilean 20 € eta 0,01 €
minutuko super kuota du. jomeil zerbitzariak itzel tarifa du, kuota
finkorik gabe eta minutuko 0,02 € kobratuz.a) Egin tarifa
bakoitzaren grafikoa denboraren fun-
tzioan eta idatzi horien adierazpen analitikoak.b) Hilean zenbat
minututatik aurrera da errentaga-
rriago super tarifa itzel tarifa baino?
26. Torloju hau 1,5 sartzen da eginarazten zaizkion hiru birako.
Zurezko habean sartzeko, lehe-nengo, mailukada bat eman zaio eta,
horrela, 0,5 cm sartu da.
8 cm
0,5 cm3 bira = 1,5 cm
a) Egin torlojuari zenbat bira emanarazten zaion, x, eta zenbat
sartzen den, y, erlazioan jartzen dituen taula. Eraiki erlazio
horren taula.
b) Zein da adierazpen analitikoa? Zenbat da torlo-juaren haria
(bira bakoitzean zenbat sartzen den)? Zenbat bira eman beharko dira
torlojua habean osoan sartuta egon dadin?
c) 5 cm-ko lodierako estrabea zeharkatzeko prozedu-ra bera
erabili dela joko dugu. Zenbat bira eman ondoren hasiko da torlojua
agertzen estrabearen beste aldean?
27. Eskala zentigradoan, izotza 0 ºC gradutan ur-tzen da eta,
Fahrenheit eskalan, 32 ºF gradutan. Ura 100 ºC-tan, 212 ºF-en
baliokide da, lurruntzen da.
a) Kalkulatu eta adierazi bi eskalen arteko erlazioa ematen duen
funtzio lineala.
b) Adierazi Fahrenheit gradutan honako tenperatura hauek: 25 ºC;
36,5 ºC; 10 ºC.
c) Bihurtu gradu zentigrado 86 ºF eta 63,5 ºF.
28. Estatu Batuetara joateko, Israel eta Susana dolarrak
erostera joan dira. Susanari 189 dolar eman dizkiote 150 euroren
truke, eta Israeli, 151,20 dolar eman dizkiote 120 euroren truke.a)
Aurkitu «zenbat euro eman hainbeste dolar hartu»
kalkulatzeko balioko digun funtzioa.b) Zenbat dolar emango
dizkigute 200 euroren truke?
Eta 350 euroren truke? Zenbat euro izango geni-tuzke 220,50
dolar eman balizkigute?
29. a) Zein da karratuaren perimetroa aldea-ren neurriaren
arabera ematen digun funtzioaren ekuazioa? Eta azalera ematen
diguna?b) Marraztu bi funtzio horiek.
30. Gorantz bota dugun harriaren altuera, a, une bakoitzean, t,
honako hau da: a = 20t – 5t 2.a) Adierazi funtzioa era grafikoan.b)
Esan zein den definizio-eremua.c) Zer unetan iristen da gorengo
altuerara? Zenbat
da altuera hori?d) Zer unetan jotzen du lurra harriak?e) Zer
denbora tartetan dago harria 15 metrotik
gorako altueran?
31. Irudikatu honako funtzio lineal eta koadratiko hauek,
hurrenez hurren, eta kalkulatu era grafikoan zein diren
ebakitze-puntuak. Gero, ekuazio-sistema baten bidez, kalkulatu
puntu horiek eta egiaztatu bat datozela.
y = –2x + 1 y = x 2 – 3x – 5
32. Honako adierazpen honek enpresa batek x ordenagailu
fabrikatzeko urtean zenbat euro gas-tatzen dituen ematen digu:
G (x) = 20 000 + 250xEta ordenagailuak salduz gero dauden
diru-sarrerak honako hauek dira, sarrerak ere eurotan:
I (x) = 600x – 0,1x 2
Zenbat ordenagailu fabrikatu behar dira sarrerak gas-tuak baino
handiago izan daitezen; hau da, etekinak egon daitezen?
Problema korapilatsuagoak
33. Helioz beteriko globoa askatu da eta 5 m/s-ko abiadura
konstantean ari da igotzen. 30 s barru, gezi bat jaurti da
bertikalean gorantz eta horren altuera, a, denborari, t,
dagokionez, honako ekuazio honen bidez adierazten da:
a = 60t – 5t 2.
a) Zer altueratan zulatuko du geziak globoa? Zenbat denbora
pasatuko da gezia jaurti denetik?
b) Geziak globoa gorantz doala ziztatu baldin ez balu, zer
altueratan ziztatuko luke beheranzkoan?
c) Marraztu geziaren eta globoaren altuerei dagozkien grafikoak.
Denboraren abiapuntua gezia jaurtitzen den unea izango da.
34. 200 kg laranja ditugu eta gaur 0,40 €/kg-ko prezioan salduko
lirateke. Hortik aurrera, 1 kg laranja lorrintzen da egunero eta
prezioa 0,01 € igotzen da. Noiz saldu beharko ditugu laran-jak
etekinik handiena lortzeko? Zenbat izango da ete-kina?
35. Marraztu honako ekuazio hauek dituzten parabolak:
y = 3x 2 – 12x + 7 y = – x 2 + 4x – 5
Bilatu ebakitze-puntuak ekuazio-sistema baten bidez eta
egiaztatu era grafikoan aurkitutakoei dagozkiela.
Hausnartu teoriari buruz36. Egia ala gezurra? Justifikatu
erantzunak.
a) Malda eta Y ardatzarekiko ebakitze-puntuak jaki-nik,
zuzenaren ekuazioa lor daiteke.
b) Ardatzekiko ebakitze-puntuekin, beti lor daiteke zuzen baten
ekuazioa.
c) Zuzen baten malda y bat handiagotuz x handia-gotzen dena
da.
d) Zuzen baten malda x 1 handiagotuz gero y han-diagotzen dena
da.
e) Parabolak X ardatza bi puntutan ebakiz gero, erpina puntu
horien erdian egongo da.
OHARRAK
-
128
178 179
Taller de matemáticas
Irakurri eta jo informazio bilaGottfried Wilhelm von Leibniz
(1646-1716) legeak eta filosofia ikasi, zuzenbidean lizentzia lortu
eta politikan aritu zen; Europan zehar ibili zen, horren ondorioz.
Hori eta eremu guztietarako zuen jakituria-egarria dela eta,
harreman estuak izan zituen hainbat herrialdetako unibertsitateekin
eta zientzialariekin. Beste eremu batzuetan, biologian, fisikan eta
matematikan ere jakintza zabalak izan zituen eta, horrez gai-nera,
lorpen handiak izan zituen kalkuluan eta logikan.Leibnizek erabili
zuen lehenengoz funtzio hitza matematikan gaur egun ematen dio-gun
esanahian, Eulerrek zehaztu eta zabaldu baino lehen, eta gaur egun
erabiltzen diren notazio eta berbak sartu zituen hizkuntza
matematikoan (esaterako, konstante, aldagai eta parametro).
Matematika-lantegia
Pentsatu eta erabakiZein da zein? Grafikoetako bakoitzak
abiadura konstantean doazen bi ibilgailu irudikatzen ditu.
Ibilgailu bakoitzean distantzia eta denbora erlazioan jartzen
dituen funtzioa zuzen bat da. Elkartu enuntziatuetako bakoitza
dagokion grafikoarekin:
A Automobila atera da eta motorra horren atzetik joan da.
B Automobil bat joan doa eta beste bat etorri dator eta talka
egin dute.
C Automobila joan doa, kamioia eto-rri dator eta elkar gurutzatu
dute.
D Automobila joan doa eta beste bat urrundu egiten da.
E Bi autobus batera irten dira eta batek geldialdia egin du.
Egin gogoetaGora eta beheraMendizalea goizeko 10etan hasi da
mendian gora egiten eta arratsaldeko 4etan iritsi da gailurrera.
Babeslekuan lo egin eta, biharamunean, 10etan oraingoan ere,
jaisten hasi eta eguerdiko ordu batean iritsi da basera.Zure ustez,
igo den une berean jaitsi al da punturen batetik? Abiadura
konstantean igo eta jaitsi dela jota, zer ordutan ger-tatu zen
hori?Erreparatu eskuineko grafikoei eta, argi baldin ez baduzu
orain-dik, marraztu bi grafikoak ardatz beretan, bi mendizalek
alderan-tzizko bidea egun berean egin dutela jota.
Trebatu problemak ebatziz •Adin bereko 17 neska-mutileko talde
batek bidaia
antolatu du. Hasierako bileran, neska-mutilen gura-soak joan
dira eta horien batez besteko adina 45 urte da. Baina gurasoek eta
seme-alabek osatutako taldea aintzat hartuz gero, batez besteko
adina 35 urte da. Zenbat urte dituzte neska-mutilek?
•Jarri 10 soldadutxo mahai gainean 4 soldadutxoko 5 ilara
egoteko moduan.
•a) Honako hiru txanpon hauek dituzu: Zenbat diru kantitate
desberdin eratu ditzakezu txanpon horiekin?
b) Eta bost txanpon izanez gero?
1. Elkartu honako funtzio lineal hauetako bakoitza dagokion
ekuazioarekin eta idatzi bakoitzaren malda:
a) y = 3x – 4
b) y = –2x + 1
c) y = (4/3)x
d) y = –2/3x + 2
e) y = –3
f ) y = – x + 1
sp q r t
u
2. Adierazi honako funtzio lineal hauek eta idatzi azken hiruren
ekuazioak:a) y = 3x + 4 b) 3x + 2y = 5c) (3, 0) puntutik pasatzen
den malda 1/4 duen zuzena).d) (4, 1) eta (–2, 4) puntuetatik
pasatzen den zuzena). e) (4, –3) puntutik pasatzen den
proportzionaltasun-
funtzioa).
3. Elkartu ekuazio bakoitza dagokion parabolarekin:
y = – x 2 – 1
y = 12
x 2 – 2x + 2
y = –2x 2 – 8x – 5
y = x 2 – 6x + 8
A
B
CD
4. Irudikatu honako parabola hauek:a) y = x 2 – 4x + 1 b) y = –
x 2 + 6x – 7c) y = –2x 2 + 3 d) y = (1/3)x 2 + 2x + 1
5. Gaur, 20 °C-ko tenperatura dugu eta txangoa egingo dugu
globoan. Airearen tenperatura, gutxi gorabe-hera, 6 °C jaisten dela
dakigu gorantz egiten den kilometro bakoitzeko.a) Zer tenperatura
izango dugu 3 km igoz gero?
Zenbat metro egin dugu gora, 11 °C-ko tenpera-tura izanez
gero?
b) Adierazi altuera → tenperatura funtzioa eta idatzi horren
adierazpen analitikoa.
6. Idatzi honako enuntziatu hauen ekuazioa eta adie-razi
dagozkien funtzioak:a) Begoña 10 km/h-ko abiaduran hasi da
korritzen.
Zer distantzia egingo du t ordutan?b) Sonia duela bi ordu atera
da 6 km/h-ko abiadu-
ran. Zer distantzia egingo du t ordutan?c) Miren 4 km/h-ko
abiaduran atera da bere etxetik
18 km-ko distantzian dagoen gure etxerantz. Gure etxetik zer
distantziatan egongo da t ordu barru?
d) Koldo 5 km/h-ko abiaduran atera da 07:00etan 14 km-ra dagoen
porturantz. Portutik zer distan-tziatan egongo da t ordu barru?
7. Duela bi ordu, Estefania bere etxetik Bittorrenerantz atera
da bizikletan, 15 km/h-ko abiaduran. Bittor orain atera da, oinez,
6 km/h-ko abiaduran, Este-faniaren bila. 58 km-ko aldea dago bion
bizilekuen artean. Non aurkituko dira? Zenbat denbora egin du
Estefaniak bizikletan?
Autoebaluazioa
111
12 13 14 15 1610DENBORA (h)
GAILURRA
BASEA
DIS
TAN
TZ
IA
IGOERA
111
12 13 14 15 1610DENBORA (h)
GAILURRA
BASEA
DIS
TAN
TZ
IA
JAITSIERA
1 2 3 4 5
178
eta ikasiizan ekimenaAriketa hauek egitea.Webgunean
Irakurri eta jo informazio bila
«Ikastenikasteko»,ikasleeieskatukodiegu,irakurgaiaabiapuntutzathar-tuz,Leibniz-enbizitzariburuzkoinformaziogehiagobilatzeko,edo,beste-la,matematikarenmunduarekinlotutakobestepertsonaiabatenaipame-naidazteko.
Egin
gogoeta«Goraetabehera»logika-ariketabatda.Bigrafikoakelkarrengaineanja-rrizgero,erantzunaaurkitukodugu.
Badaariketaarrazoitzekobestemodubat:gorakoetabeherakoibilbideakbimendizaledesberdinekunebereaneginzituztelapentsatzea.Horrela,ibilbideanzeharpunturenbateanbategingodute;hauda,ordubereanlekubereanegongodira.
Soluzioa:
12ordura.
Pentsatu eta
erabakiAriketahauosointeresgarriada.Izanere,horriesker,honakohauegiazta-tukodugu:ikasleekfuntziobatekespazioa-denboragrafikoanhartzenduenitxurarenetagertatutakoarenarteanzererlaziodagoenulertudutenalaez.Antzekobesteariketabategitekoeskatukodiegu.
Soluzioa:
A→5;B→4;C→1;D→ 3;E→2
Diziplinartekotasuna Honakoariketahauiradokitzendugu:
Deskribatuhiruegoera,matematikarekinzerikusirikezdutenak,nonfun-tzioaketagrafikoakerabilgarriakdiren.
OHARRAK
-
129
178 179
Taller de matemáticas
Irakurri eta jo informazio bilaGottfried Wilhelm von Leibniz
(1646-1716) legeak eta filosofia ikasi, zuzenbidean lizentzia lortu
eta politikan aritu zen; Europan zehar ibili zen, horren ondorioz.
Hori eta eremu guztietarako zuen jakituria-egarria dela eta,
harreman estuak izan zituen hainbat herrialdetako unibertsitateekin
eta zientzialariekin. Beste eremu batzuetan, biologian, fisikan eta
matematikan ere jakintza zabalak izan zituen eta, horrez gai-nera,
lorpen handiak izan zituen kalkuluan eta logikan.Leibnizek erabili
zuen lehenengoz funtzio hitza matematikan gaur egun ematen dio-gun
esanahian, Eulerrek zehaztu eta zabaldu baino lehen, eta gaur egun
erabiltzen diren notazio eta berbak sartu zituen hizkuntza
matematikoan (esaterako, konstante, aldagai eta parametro).
Matematika-lantegia
Pentsatu eta erabakiZein da zein? Grafikoetako bakoitzak
abiadura konstantean doazen bi ibilgailu irudikatzen ditu.
Ibilgailu bakoitzean distantzia eta denbora erlazioan jartzen
dituen funtzioa zuzen bat da. Elkartu enuntziatuetako bakoitza
dagokion grafikoarekin:
A Automobila atera da eta motorra horren atzetik joan da.
B Automobil bat joan doa eta beste bat etorri dator eta talka
egin dute.
C Automobila joan doa, kamioia eto-rri dator eta elkar gurutzatu
dute.
D Automobila joan doa eta beste bat urrundu egiten da.
E Bi autobus batera irten dira eta batek geldialdia egin du.
Egin gogoetaGora eta beheraMendizalea goizeko 10etan hasi da
mendian gora egiten eta arratsaldeko 4etan iritsi da gailurrera.
Babeslekuan lo egin eta, biharamunean, 10etan oraingoan ere,
jaisten hasi eta eguerdiko ordu batean iritsi da basera.Zure ustez,
igo den une berean jaitsi al da punturen batetik? Abiadura
konstantean igo eta jaitsi dela jota, zer ordutan ger-tatu zen
hori?Erreparatu eskuineko grafikoei eta, argi baldin ez baduzu
orain-dik, marraztu bi grafikoak ardatz beretan, bi mendizalek
alderan-tzizko bidea egun berean egin dutela jota.
Trebatu problemak ebatziz •Adin bereko 17 neska-mutileko talde
batek bidaia
antolatu du. Hasierako bileran, neska-mutilen gura-soak joan
dira eta horien batez besteko adina 45 urte da. Baina gurasoek eta
seme-alabek osatutako taldea aintzat hartuz gero, batez besteko
adina 35 urte da. Zenbat urte dituzte neska-mutilek?
•Jarri 10 soldadutxo mahai gainean 4 soldadutxoko 5 ilara
egoteko moduan.
•a) Honako hiru txanpon hauek dituzu: Zenbat diru kantitate
desberdin eratu ditzakezu txanpon horiekin?
b) Eta bost txanpon izanez gero?
1. Elkartu honako funtzio lineal hauetako bakoitza dagokion
ekuazioarekin eta idatzi bakoitzaren malda:
a) y = 3x – 4
b) y = –2x + 1
c) y = (4/3)x
d) y = –2/3x + 2
e) y = –3
f ) y = – x + 1
sp q r t
u
2. Adierazi honako funtzio lineal hauek eta idatzi azken hiruren
ekuazioak:a) y = 3x + 4 b) 3x + 2y = 5c) (3, 0) puntutik pasatzen
den malda 1/4 duen zuzena).d) (4, 1) eta (–2, 4) puntuetatik
pasatzen den zuzena). e) (4, –3) puntutik pasatzen den
proportzionaltasun-
funtzioa).
3. Elkartu ekuazio bakoitza dagokion parabolarekin:
y = – x 2 – 1
y = 12
x 2 – 2x + 2
y = –2x 2 – 8x – 5
y = x 2 – 6x + 8
A
B
CD
4. Irudikatu honako parabola hauek:a) y = x 2 – 4x + 1 b) y = –
x 2 + 6x – 7c) y = –2x 2 + 3 d) y = (1/3)x 2 + 2x + 1
5. Gaur, 20 °C-ko tenperatura dugu eta txangoa egingo dugu
globoan. Airearen tenperatura, gutxi gorabe-hera, 6 °C jaisten dela
dakigu gorantz egiten den kilometro bakoitzeko.a) Zer tenperatura
izango dugu 3 km igoz gero?
Zenbat metro egin dugu gora, 11 °C-ko tenpera-tura izanez
gero?
b) Adierazi altuera → tenperatura funtzioa eta idatzi horren
adierazpen analitikoa.
6. Idatzi honako enuntziatu hauen ekuazioa eta adie-razi
dagozkien funtzioak:a) Begoña 10 km/h-ko abiaduran hasi da
korritzen.
Zer distantzia egingo du t ordutan?b) Sonia duela bi ordu atera
da 6 km/h-ko abiadu-
ran. Zer distantzia egingo du t ordutan?c) Miren 4 km/h-ko
abiaduran atera da bere etxetik
18 km-ko distantzian dagoen gure etxerantz. Gure etxetik zer
distantziatan egongo da t ordu barru?
d) Koldo 5 km/h-ko abiaduran atera da 07:00etan 14 km-ra dagoen
porturantz. Portutik zer distan-tziatan egongo da t ordu barru?
7. Duela bi ordu, Estefania bere etxetik Bittorrenerantz atera
da bizikletan, 15 km/h-ko abiaduran. Bittor orain atera da, oinez,
6 km/h-ko abiaduran, Este-faniaren bila. 58 km-ko aldea dago bion
bizilekuen artean. Non aurkituko dira? Zenbat denbora egin du
Estefaniak bizikletan?
Autoebaluazioa
111
12 13 14 15 1610DENBORA (h)
GAILURRA
BASEA
DIS
TAN
TZ
IA
IGOERA
111
12 13 14 15 1610DENBORA (h)
GAILURRA
BASEA
DIS
TAN
TZ
IA
JAITSIERA
1 2 3 4 5
178
eta ikasiizan ekimenaAriketa hauek egitea.Webgunean
3 A→y=–2x2–8x–5
B→y=21 x2–2x+2
C→y=–x2–1
D→y=x2–6x+8
4 Y6
–2
2 X4 6
a)
b) c)
d)
–6
–4
2
4
Y6
–2
2 X4
–6
–4
4
–2–4
2
5
a)3kmigozgero,2ºCegongodira.11ºC-kotenperaturaizanezge-ro,1,5kmegindugugora.
b)Funtzioarenadierazpenanali