Unidad 9. Estadística ESO Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4 1 Página 191 El valor de las muestras. Un curioso experimento ¿Quiénes crees que obtendrán mejores resultados? Es decir, en general las medidas de las muestras de A, ¿se parecerán más a μ que las de B o al revés? Como veremos, los del equipo B, que eligen las muestras aleatoriamente, se aproximan (en gene- ral) más a μ que los del equipo A. Resuelve 1. Elige varias muestras de 10 números concienzudamente (es decir, observando los núme- ros seleccionados con el fin de que sean representativos de la totalidad). Selecciona varias muestras aleatoriamente (es decir, diez de estos números elegidos al azar). Compara los resultados calculando la media de cada muestra y comparándola con la ver- dadera media: x – = 603,4. • Posibles muestras de 10 números elegidos concienzudamente: 1 2 200 2 4 553 3 3 700 37 2 830 2 211 193 2 001 122 4 780 400 418 3 259 1 4 902 μ 1 = 1 336,7 76 70 72 μ 2 = 1 259,1 1 532 184 290 μ 3 = 1 323,3 490 923 1 187 789 1 584 317 11 45 14 • Posibles muestras de 10 números aleatorios: 1 4 001 2 456 3 1 401 188 311 120 130 111 4 850 17 8 146 3 820 2343 μ 1 = 1 541,9 220 97 215 μ 2 = 1 181,7 131 2 001 147 μ 3 = 681,4 (la más próxima 190 5 000 19 a la verdadera) 370 33 500 4 990 75 3 159
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9 Estadística ESO aáia inaa a a nana aia 4 · 5 Parámetros de posición para datos agrupados Página 200 1. Obtén la distribución de frecuencias acumuladas y representa el correspondiente
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Unidad 9. Estadística ESOMatemáticas orientadas
a las Enseñanzas Académicas 4
1
Página 191
El valor de las muestras. Un curioso experimento
¿Quiénes crees que obtendrán mejores resultados? Es decir, en general las medidas de las muestras de A, ¿se parecerán más a μ que las de B o al revés?
Como veremos, los del equipo B, que eligen las muestras aleatoriamente, se aproximan (en gene-ral) más a μ que los del equipo A.
Resuelve
1. Elige varias muestras de 10 números concienzudamente (es decir, observando los núme-ros seleccionados con el fin de que sean representativos de la totalidad).
Selecciona varias muestras aleatoriamente (es decir, diez de estos números elegidos al azar).
Compara los resultados calculando la media de cada muestra y comparándola con la ver-dadera media: x– = 603,4.
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2. Halla, gráfica y numéricamente Q1, Me, Q3 y p90 en la distribución del ejercicio propuesto de la página anterior. Averigua qué percentil corresponde a un valor de 325.
Q1≈245
Me≈277
Q3≈312
p90≈355
200
10%
240 280 320 400 440
MeQ1 Q3 p90
50%
100%
360
Numéricamente:
CálculodeQ1:
a=52,45–21,51=30,94
b=25–21,51=3,49
,,
x3 4930 94 40= → x = 4,5
Portanto:Q1=240+4,5=244,5240 280
b
a
x
CálculodeMe:
a=52,45–21,51=30,94
b=50–21,51=28,49
,,
x28 4930 94 40= → x=36,83
Portanto:Me=240+36,83=276,83
240 280
b a
x
CálculodeQ3:
a=80–52,45=27,55
b = 75 – 52,45 = 22,55
,,
x22 5527 55 40= → x = 32,74
Portanto:Q3=280+32,74=312,74280 320
b a
x
Unidad 9. Estadística ESO
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Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4
3. El dueño de un vivero tiene 285 plantas de interior. Para probar la eficacia de un nuevo fertilizante, las mide todas antes y después del semestre que dura el tratamiento.
El conjunto de esas 285 plantas, ¿es población o muestra? ¿Por qué?
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4
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4. Se les ha pasado un test a los 64 individuos de una muestra seleccionada aleatoriamente. Con los resultados obtenidos se ha llegado a la siguiente conclusión:
“La puntuación media que alcanzarían los individuos de toda la población si se les pa-sara este test estaría entre 42,7 puntos y 44,1 puntos. Y esto lo podemos afirmar con un nivel de confianza del 95%”.
a) Si el intervalo que se diera fuera 42-44,8, el nivel de confianza sería del...
• 90% • 95% • 98%
b) Si quisiéramos un nivel de confianza del 99% y un intervalo de la misma amplitud, ¿cómo tendría que ser la muestra?
a) Construye una tabla con datos agrupados en seis intervalos de longitud 6 que empiecen en 9,5.
b) Representa el polígono de porcentajes acumulados y ayúdate de él para hallar Q1, Me, Q3, p90 y p95. ¿En qué percentil está una planta de 26 cm de longitud?
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4. Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 euros y una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B, la media es 15 000 euros, y la des-viación típica, 2 500 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene más variación relativa.
EmpresaA:x–=100000€σ=12500€
C.V. = qx 100 000
12 500= =0,125obien12,5%
EmpresaB:x–=15000€σ=2500€
C.V. = 150002 500 = ,0 16
!obien16,67%
TienemayorvariaciónrelativalaempresaB.
Parámetros de posición para datos aislados
5. La altura, en centímetros, de un grupo de estudiantes de una misma clase es:
6. Halla la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distri-buciones correspondientes al número de respuestas correctas en un test realizado por dos grupos de estudiantes:
•Losdosvalorescentralesson23y25→ Me = 223 25+ = 24
•414 = 3,5 → Q1=21(4.aposición)
•14·43 =10,5→ Q3=29(11.aposición)
•14· 10060 = 8,4 → p60=27(9.aposición)
7. Rellena la columna de los porcentajes acumulados en la siguiente tabla. Calcula, a partir de la tabla, la mediana, los cuartiles y los percentiles p70 y p90.
8. En la fabricación de cierto tipo de bombillas se han detectado algunas defectuosas. Se analiza el contenido de 200 cajas de 100 bombillas cada una y se obtienen los si-guientes resultados:
DEFECTUOSAS 1 2 3 4 5 6 7 8
N.° DE CAJAS 5 15 38 42 49 31 18 2
Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles p10 , p90 y p95.
Matemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4
a) Elabora la tabla de frecuencias y porcentajes acumulados. Indica en la tabla, en lugar de los intervalos, los extremos.
b) Representa, a partir de la tabla, el polígono de porcentajes acumulados.c) Calcula, de forma aproximada (sobre el polígono), la mediana, los cuartiles y los per-
centiles p10, p90 y p95.d) ¿Qué percentil corresponde a un estudiante de 180 cm de altura?a)
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Diagramas de caja
11. Las puntuaciones obtenidas por 87 personas tienen los siguientes parámetros de posición: Q1 = 4,1; Me = 5,1 y Q3 = 6,8. Todas las puntuaciones están en el intervalo 1 a 9. Haz el diagrama de caja.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q1 Me Q3
12. En una clase de 38 estudiantes de Primaria, las estaturas de 35 de ellos están com-prendidas entre 153 cm y 179 cm. Los tres restantes miden 150 cm, 151 cm y 183 cm. Sabemos que Q1 = 163; Me = 166 y Q3 = 170.
Representa los datos en un diagrama de caja.
Q1 Me Q3
145 150 155 160 165 170 175 180 185
***
13. Haz el diagrama de caja correspondiente a las siguientes distribuciones.
a) La del ejercicio 5. b) La A y la B del ejercicio 6.
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 4
c)Q1=0;Me=1;Q3 = 2
Q1 Me Q3
0 2 41 3
d) Q1 = 3; Me = 4,5; Q3=6
1 3 5 72 4 6 8
Q1 Me Q3
14. A los estudiantes de dos clases numerosas de un mismo centro les han puesto un test. Las notas vienen reflejadas en los siguientes diagramas de caja:
2
A
B
5 9
a) ¿Cuál de las clases es más homogénea?
b) ¿En cuál ha aprobado la mitad de la clase?
c) En una de las clases, la tercera nota más alta ha sido un 6,5. ¿De qué clase se trata?
d) ¿En qué clase las notas del 25 % de los estudiantes difieren en medio punto o menos?
18. Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de 2 000 electores, aproximadamente, se va a elegir una muestra de 200 individuos. Di si te parece válido cada uno de los si-guientes modos de seleccionarlos y explica por qué:
a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué individuos le parecen más representativos.
b) Se eligen 200 personas al azar entre las que acuden a la verbena el día del patrón.
c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les encuesta por teléfono.
d) Se acude a las listas electorales y se seleccionan al azar 200 de ellos.
20. Al preguntar a los miembros de un grupo de lectura cuánto tiempo dedicaron a leer durante un fin de semana, se obtuvieron estos resultados:
a) Dibuja el histograma correspondiente (¡Atención! Los intervalos tienen distintos tamaños y las frecuencias deben ser proporcionales a las áreas de los rectángulos que forman el histograma).
b) Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.
c) Dibuja el polígono de porcentajes acumulados.
TIEMPO EN HORAS N.° DE PERSONAS
[0; 0,5) 10
[0,5; 1,5) 10
[1,5; 2,5) 18
[2,5; 4) 12
[4, 8) 12
[8, 12] 8d) Halla Q1, Me, Q3 y p90.
e) A un miembro del grupo que en ese fin de semana ha leído 6 horas y cuarto, ¿qué percentil le corresponde?
Porotrolado,losdatosenlagráfica2estánmásdispersosqueenlagráfica4,portanto,ladesviacióntípicaesmayor.Así:C→ 2; A → 4
Deigualforma,losdatosestánmásdispersosenlagráfica3queenlagráfica1y,portanto:B → 3; D →1.
25. En un grupo de estudiantes, cada uno cuenta el número de personas y el número de perros que viven en su portal. Juntan sus resultados y obtienen una muestra con la que se puede estimar el número de perros que hay en su ciudad.
Por ejemplo, supongamos que en su observación obtienen un total de 747 personas y 93 perros. Y saben que en su ciudad viven 75 000 personas.
a) Con estos datos, ¿cuántos perros estiman que habrá en la ciudad?
b) ¿Te parece que el procedimiento de elección de muestra es estadísticamente correcto? ¿Es aleatoria?
c) Teniendo en cuenta la elección de muestra, ¿cómo de fiable es esta estimación?
26. Para hacer un estudio sobre los hábitos ecológicos de las familias de una ciudad, se han seleccionado por sorteo las direcciones, calle y número, que serán visitadas. Si en un portal vive más de una familia, se sorteará entre ellas la que será seleccionada. ¿Ob-tendremos con este procedimiento una muestra aleatoria?
Piensa si tiene la misma probabilidad de ser incluida en la muestra una familia que vive en una vivienda unifamiliar que otra que vive, por ejemplo, en un portal de 32 viviendas.
b) ¿Cuál es el percentil de una persona que tiene 65 respuestas correctas?
a)CálculodeMe:
, , ,
8x50 44 2 61 7 44 2
50 40– –
–=
, ,8 8x5 8 17 5
10=
→ x=3,31→ Me=43,31 40
44,2%
50%
61,7%
50
x
CálculodeQ3:
, , , 8x75 61 7 75 8 61 7
10– –=
, ,8 8x 10
13 3 14 1=
→ x=9,43→ Q3=59,43 50
61,7%
75%75,8%
60
x
Cálculodep20:
, , , 8x7
1020 16 29 2 16 7– –=
,,8 8x3 12 5
103 =
→ x=2,64→ p20=22,64 20
16,7%20%
29,2%
30x
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Cálculodep85:
, , , 8x 1085 75 8 89 2 75 8– –=
, ,8 8x
110
9 2 3 4=
→ x=6,87→ p85=66,87 60
75,8%
85%89,2%
70x
b) , , 8x5
89 2 75 810–=
,
8 8x 13 4105 =
→ x=6,7→75,8+6,7=82,5→ p83 60
75,8%
89,2%
705
x
28. En una fábrica se ha medido la longitud de 1 000 piezas de las mismas característi-cas y se ha obtenido:
LONGITUD (en mm) N.° DE PIEZAS
67,5-72,5 5
72,5-77,5 95
77,5-82,5 790
82,5-87,5 100
87,5-92,5 10
a) Representa el histograma correspondiente.
b) Se consideran aceptables las piezas cuya longitud está en el intervalo [75, 86]. ¿Cuál es el porcentaje de piezas defectuosas?
Del 2.º intervalo habrá que rechazar las que midan entre 72,5 y 75. Calcula, como en el ejer-cicio anterior, qué tanto por ciento de la amplitud representa la diferencia 75 – 72,5 y calcula el porcentaje de la frecuencia correspondiente. Haz lo mismo para el 4.º intervalo.
a) Portenertodoslosintervaloslamismalongitud,laalturadecadaunadelasbarrascoinci-diráconlafrecuenciadecadaintervalo.
fi
100
200
300
400
500
600
700
800
67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 LONGITUD (mm)
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b)
b)EXTREMOS Fi %�ACUM.
25303540455570
03829576975
04
10,7≈1138,7≈39
7692100
x25 1139 11 40 35
–– –=
x = 2,5 → Q1=35+2,5=37,5
35
11%
25%
39%
40x
x50 3976 39 45 40
––– =
x=1,86→ Me=40+1,86=41,86
40
39%
50%
76%
45x
x75 3976 39 45 40
–– –=
x=4,86→ Q3=40+4,86=44,86
40
39%
75%76%
45x
x30 1139 11 40 35
–– –=
x=3,39→ p30=35+3,39=38,39
35
11%
30%
39%
40x
Unidad 9. Estadística ESO
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x60 3976 39 45 40
–– –=
x = 2,84 → p60=40+2,84=42,84
40
39%
60%
76%
45x
x95 92100 92 70 55
–– –=
x=5,63→ p95=55+5,63=60,63
55
92%
95%
100%
70x
Reflexiona sobre la teoría30. Completa la tabla de esta distribución en la que sabemos que
su media es 2,7.
Llamamos zalafrecuenciaabsolutadeldatoxi = 2.
Aplicamosladefinicióndelamedia:
x– = SS
ff x
i
i i → 2,7 = zz15
3 2 21 20+
+ + +
xi fi
1234
3…75
2,7·(15+z)=44+2z
40,5+2,7z=44+2z →0,7z = 3,5 → z = 5
31. Si a todos los datos de una distribución le sumamos un mismo número, ¿qué le ocurre a la media? ¿Y a la desviación típica? ¿Y si multiplicamos todos los datos por un mismo número?
Llamamos aalvalorsumadoacadadatodeladistribución:
•media
( ) ( ) ( )
nx a f x a f x a f… k k1 1 2 2+ + + + + +
=
= ( )
nx f x f x f a f f f… …k k k1 1 2 2 1 2+ + + + + + +
33. La empresa A, con 500 trabajadores, tiene un ingreso anual medio por persona de 30 000 €, y la empresa B, con 750 trabajadores, tiene un ingreso anual medio de 25 000 €. Si las dos empresas se fusionan, ¿cuál será el ingreso anual medio tras la fu-sión?
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34. La nota media de los aprobados en un examen de matemáticas ha sido 6,8, y la de los suspensos, 3,5. Calcula la nota media de la clase sabiendo que hubo 35 aprobados y 15 suspensos.
6,8=35
Suma total notas aprobados →Sumatotalnotasprobados=238
3,5 = 15
Suma total notas suspensos → Suma total notas suspensos = 52,5
Notamediadelaclase= , ,35 15
238 52 5 5 81++ =
35. La estatura media de los 38 estudiantes de una clase es de 168 cm. Las 17 chicas mi-den 162 cm de media. Calcula la media de los chicos.
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Lee, resuelve y aprende por tu cuentaTerrenos, rebaños y gráficasEn la ilustración puedes ver una finca con su rebaño. Observa también que tiene una zona pantanosa en la que solo entran algunas reses despistadas.
A
En la gráfica que hay debajo se ha representado la distribución de los animales sobre el te-rreno.