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MATEM
TICA E SU
AS TECN
OLO
GIA
SEN
CCEJAEN
SINO
MD
IOLIVRO
DO
ESTUD
AN
TE
LIVRO DO ESTUDANTEENSINO MDIO
E SUAS TECNOLOGIASMATEMTICA
1122 6633++44
%%$$
6633++ 44 %%$$ EXAME NACIONAL PARA CERTIFICAODE COMPETNCIA DE
JOVENS E ADULTOS
EXAME NACIONAL PARA CERTIFICAODE COMPETNCIA DE JOVENS E
ADULTOS
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Repblica Federativa do Brasil
Ministrio da Educao
Secretaria Executiva
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Ansio
Teixeira
Diretoria de Avaliao para Certificao de Competncias
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Matemtica
e suas Tecnologias
Livro do Estudante
Ensino Mdio
-
Braslia
MEC/INEP
2006
Matemtica
e suas Tecnologias
Livro do Estudante
Ensino Mdio
-
Coordenao Geral do Projeto
Maria Ins Fini
Coordenao de Articulao de Textos do Ensino MdioZuleika de Felice
Murrie
Coordenao de Texto de reaEnsino Mdio
Matemtica e suas Tecnologias
Maria Silvia Brumatti Sentelhas
Leitores Crticos
rea de Psicologia do Desenvolvimento
Mrcia Zampieri TorresMaria da Graa Bompastor Borges DiasLeny
Rodrigues Martins TeixeiraLino de Macedo
rea de Matemtica
rea de Matemtica e suas Tecnologias
Eduardo Sebastiani FerreiraMaria Eliza FiniMaria Cristina Souza
de Albuquerque Maranho
Diretoria de Avaliao para Certificao de Competncias (DACC)
Equipe Tcnica
Atade Alves DiretorAlessandra Regina Ferreira AbadioClia Maria
Rey de CarvalhoCiro Haydn de BarrosClediston Rodrigo Freire
Daniel Verosa AmorimDavid de Lima SimesDorivan Ferreira
Gomesrika Mrcia Baptista CaramoriFtima Deyse Sacramento
PorcidonioGilberto Edinaldo MouraGislene Silva LimaHelvcio Dourado
PachecoHugo Leonardo de Siqueira CardosoJane Hudson AbranchesKelly
Cristina Naves PaixoLcia Helena P. MedeirosMaria Cndida Muniz
TrigoMaria Vilma Valente de AguiarPedro Henrique de Moura
ArajoSheyla Carvalho LiraSuely Alves WanderleyTase Pereira
LiocdioTeresa Maria Abath PereiraWeldson dos Santos Batista
Capa
Marcos Hartwich
Ilustraes
Raphael Caron Freitas
Coordenao Editorial
Zuleika de Felice Murrie
O MEC/INEP cede os direitos de reproduo deste material s
Secretarias de Educao, que podero reproduzi-lo respeitando a
integridade da obra.
M425 Matemtica e suas tecnologias : livro do estudante : ensino
mdio /Coordenao : Zuleika de Felice Murrie. 2. ed. Braslia : MEC :
INEP, 2006.244p. ; 28cm.
1. Matemtica (Ensino Mdio). I. Murrie, Zuleika de Felice.
CDD 510
-
Sumrio
Introduo
..........................................................................................................................................
Captulo I
A Matemtica: uma construo da humanidade
........................................
Suzana Laino Cndido
Captulo II
Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
.....................................
Fabio Orfali
Captulo III
Convivendo com os nmeros
.........................................................................
Elynir Garrafa
Captulo IV
Nossa realidade e as formas que nos rodeiam
............................................
Marlia Toledo
Captulo V
Medidas e seus usos
........................................................................................
Jos Luiz Pastore Mello
Captulo VI
As grandezas no dia-a-dia
............................................................................
Lci M. Loreto Rodrigues
Captulo VII
A Matemtica por trs dos fatos
...................................................................
Wilson Roberto Rodrigues
Captulo VIII
Grficos e tabelas do dia-a-dia
.....................................................................
Jayme Leme
Captulo IX
Uma conversa sobre fatos do nosso dia-a-dia
...........................................
Helenalda Nazareth
8
11
39
65
87
117
143
175
197
221
-
7
-
8Este material foi desenvolvido pelo Ministrio da Educao com a
finalidade de ajud-lo a
preparar-se para a avaliao necessria obteno do certificado de
concluso do Ensino
Mdio denominada ENCCEJA Exame Nacional de Certificao de
Competncias de Jovens e
Adultos.
A avaliao proposta pelo Ministrio da Educao para certificao do
Ensino Mdio
composta de 4 provas:
1. Linguagens, Cdigos e suas Tecnologias
2. Matemtica e suas Tecnologias
3. Cincias Humanas e suas Tecnologias
4. Cincias da Natureza e suas Tecnologias
Este exemplar contm as orientaes necessrias para apoiar sua
preparao para a prova de
Matemtica e suas Tecnologias.
A prova composta de 45 questes objetivas de mltipla escolha,
valendo 100 pontos.
Este exame diferente dos exames tradicionais, pois buscar
verificar se voc capaz de usar
os conhecimentos em situaes reais da sua vida em sociedade.
As competncias e habilidades fundamentais desta rea de
conhecimento esto contidas em:
I. Compreender a Matemtica como construo humana, relacionando o
seu
desenvolvimento com a transformao da sociedade.
II. Ampliar formas de raciocnio e processos mentais por meio de
induo,
deduo, analogia e estimativa, utilizando conceitos e
procedimentos
matemticos.
III. Construir significados e ampliar os j existentes para os
nmeros naturais,
inteiros, racionais e reais.
IV. Utilizar o conhecimento geomtrico para realizar a leitura e
a representao da
realidade- e agir sobre ela.
V. Construir e ampliar noes de grandezas e medidas para a
compreenso da
realidade e a soluo de problemas do cotidiano.
VI. Construir e ampliar noes de variao de grandeza para a
compreenso da
realidade e a soluo de problemas do cotidiano.
VII. Aplicar expresses analticas para modelar e resolver
problemas, envolvendo
variveis socioeconmicas ou tcnico-cientficas.
Introduo
-
9VIII. Interpretar informaes de natureza cientfica e social
obtidas da leitura de
grficos e tabelas, realizando previso de tendncia, extrapolao,
interpolao
e interpretao.
IX. Compreender o carter aleatrio e no determinstico dos
fenmenos naturais e
sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e clculos
de
probabilidade, para interpretar informaes de variveis
apresentadas em uma
distribuio estatstica.
Os textos que se seguem pretendem ajud-lo a compreender melhor
cada uma dessas nove
competncias. Cada captulo composto por um texto bsico que
discute os conhecimentos
referentes competncia tema do captulo. Esse texto bsico est
organizado em duas
colunas. Durante a leitura do texto bsico, voc encontrar dois
tipos de boxes: um boxe
denominado de desenvolvendo competncias e outro, de texto
explicativo.
O boxe desenvolvendo competncias apresenta atividades para que
voc possa ampliar
seu conhecimento. As respostas podem ser encontradas no fim do
captulo. O boxe de texto
explicativo indica possibilidades de leitura e reflexo sobre o
tema do captulo.
O texto bsico est construdo de forma que voc possa refletir
sobre vrias situaes-
problema de seu cotidiano, aplicando o conhecimento
tcnico-cientfico construdo
historicamente, organizado e transmitido pelos livros e pela
escola.
Voc poder, ainda, complementar seus estudos com outros materiais
didticos, freqentando
cursos ou estudando sozinho. Para obter xito na prova de
Matemtica e suas Tecnologias
do ENCCEJA, esse material ser fundamental em seus estudos.
-
Suzana Laino Cndido
A MATEMTICA: UMA CONSTRUO
DA HUMANIDADE
COMPREENDER A MATEMTICA COMO CONSTRUO
HUMANA, RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO
COM A TRANSFORMAO DA SOCIEDADE.
Captulo I
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
12
Captulo I
A Matemtica: uma
construo da humanidade
A Matemtica e o dia-a-diaAs condies de vida da humanidade
semodificaram ao longo do tempo, com odesenvolvimento da
agricultura, do comrcio, daindstria, do conhecimento e da
tecnologia . Eatravs das conseqncias do avano em todasessas
reas.
Apesar de o homem no ter registrado o que faziae pensava no
incio de sua histria, ele precisavaresolver problemas de seu
dia-a-dia, ligados suasubsistncia.
Ao buscar solues para eles, o conhecimentomatemtico comeou a ser
construdo.
Figura 1 - Na comparao entre o nmero de aves do
caador e o nmero de peixes do pescador est a raiz de
uma das mais belas idias matemticas: a
proporcionalidade.
1
Desenvolvendo competncias
Reflita sobre a seguinte situao:
Se os pescadores e caadores daquela poca trocassem sempre 2 aves
por 3 peixes, quantospeixes deveria ter um pescador para trocar por
22 aves?
Como voc resolveria esse problema?
Os homens das cavernas no dispunhamainda dos registros e tcnicas
operatriasatuais para resolver a questo.
O pescador poderia pensar assim: queroaves, mas s tenho peixes.
Vou agruparmeus peixes de 3 em 3 e para cada grupoponho 2 pedrinhas
ao lado para representaras aves, at completar 22 pedrinhas.
Ento,conto quantos peixes preciso. So 33 peixes!
Figura 2
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
13
O caador poderia pensar de um modo semelhante,para resolver o
problema, agrupando suas 22 avesem grupos de 2; agora, as pedrinhas
seriam peixes:3 para cada grupo de aves. Contanto as pedrinhas,ele
descobre que so 33 peixes!
Assim como esse, outros problemas que o homemtem resolvido em
seu cotidiano deram grandeimpulso ao conhecimento da humanidade e,
emparticular, ao conhecimento matemtico.
A Matemtica e a linguagemTanto o pescador como o caador pensaram
deum modo at bastante sofisticado. Entretanto,talvez a estratgia
que utilizaram para resolvera questo da troca j no fosse to
eficiente setivessem que decidir quantos peixes trocar por560
aves!
Com o correr do tempo, o homem passou aproduzir mais e a ter um
estoque do queproduzia (supervit), alm da necessidade doconsumo
prprio e de seu grupo. Com isso, asidias e tcnicas matemticas foram
seaperfeioando, para poder resolver osproblemas que envolviam
grandesquantidades, por exemplo.
bem possvel que voc tenha resolvido oproblema dos peixes de um
modo mais rpido,como por exemplo:
Esses smbolos que atualmente combinamos eusamos de um modo
conveniente para registrar aresoluo do problema dos peixes fazem
parte deuma linguagem escrita que foi sendo construda, medida que
as idias e conceitos matemticosforam sendo descobertos, elaborados
e aplicadospelo homem em outras situaes: a linguagemmatemtica.
Essa linguagem, quando escrita, utiliza smbolosprprios e
universais, o que permite umacomunicao que ultrapassa fronteiras
dasdiversas lnguas. Entretanto, quando noscomunicamos oralmente,
utilizando essalinguagem, lanamos mo da lngua materna.Veja um
exemplo:
Um fregus de uma padaria compra,todos os dias, leite a R$1,10 o
litro ealguns pezinhos a R$ 0,20 cada. Comose pode representar a
despesa dessapessoa num dia?
A situao acima, descrita em nossa lnguamaterna, pode ser
registrada por meio dalinguagem matemtica, que favorece
arepresentao da despesa desse fregus paraqualquer quantidade de pes
que ele compre.
Podemos representar por n o nmero de pes epor f(n) (l-se f de n)
a despesa. Assim, adespesa pode ser representada pela
igualdade:
f (n) = 1,10 + 0,20 . n
Despesa
total
Despesa
com o leite
Despesa
com os pes
Figura 3
11 . 3 = 33
ou
22 2
1100
23
22x
=
ento x = = 333 . 222
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Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
14
2
3
Desenvolvendo competncias
Voc e as placas de trnsito
Algumas placas de trnsito que vocencontra nas ruas e estradas
utilizam umalinguagem simblica, muitas vezesimpregnada de idias
matemticas.Observe as placas ao lado.
a) O que elas significam?
b) Que idia matemtica cada uma delasutiliza?
Desenvolvendo competncias
Represente o que solicitado em cada situao por uma sentena
matemtica, de acordocom as informaes dadas:
1. Um txi cobra R$3,50 a bandeirada e R$1,20 por quilmetro
rodado. Como voc poderepresentar a despesa de um passageiro que faz
um percurso de alguns quilmetros nessetxi? Represente por n o nmero
de quilmetros rodados e por f(n) a despesa do passageiro.
2. Todos os terrenos de um condomnio tm 10m de frente, porm tm
largura que varia deum terreno para outro. Como voc pode
representar a rea de um terreno qualquer dessecondomnio, que tem
alguns metros de largura? Represente por A a rea do terreno e por
lsua largura.
claro que at chegarmos a esse tipo delinguagem, milhares de anos
se passaram.
Alm de todos esses smbolos que utilizamos paranos comunicar e
para resolver problemas, muitasvezes nos valemos de uma linguagem
,constituda de cones, grficos e diagramas,
impregnada de idias matemticas e cujo objetivo comunicar
informaes do modo mais claro epreciso possvel.Agora sua vez de
simbolizar:
A linguagem matemtica est sempre emevoluo, j que novas idias e
conceitos socriados a todo momento.
Figura 4
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
15
A todo momento, podemos constatar nos meiosde comunicao
(televiso, jornais, revistas,internet, folhetos, livros etc.), a
presena dessalinguagem. Uma pessoa que no a domina, no
Pense um pouco sobre os grficos acima:Os grficos publicados pelo
jornal fizeram parte dematria sobre o caso cracolndia, ocorrido
na
capaz de compreender as informaes apresentadas,o que poder
torn-la incapaz de participar demaneira integral de uma vida em
sociedade.
cidade de So Paulo, no final de 2001, e dizemrespeito s aes
promovidas pela Corregedoria dapolcia civil e situao de seus
funcionrios.
Adaptado da Folha de S. Paulo, So Paulo, 17 dez. 2001.
Cotidiano, p. C4.
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Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
16
5
O grfico denominado de Os motivos dasdemisses chamado grfico de
barras, pois constitudo de barras retangulares horizontais,cujo
comprimento representa o percentual dosmotivos de corrupo no perodo
de 1996 a 2001.
Ao justificar suas respostas sobre o grfico dosdemitidos , voc
deve ter argumentado, baseando-se nos conhecimentos que construiu
at hoje.
Por exemplo, quando dizemos que em 2001 o
nmero de demitidos foi de aproximadamente
22% do total, entre 1996 e 2001, estamos
comparando 172 com 797 e registrando o
nmero na forma percentual.
Confira:
dividimos 172 por 797, obtendoaproximadamente 0,215808 (confira
com umacalculadora);
multiplicamos 0,215808 por 100 para escreveresse nmero na forma
percentual: 21,5808%(agora voc j no precisa de calculadora!);
4
O grfico denominado de O nmero de demitidos chamado grfico de
linha, j que uma linha (a laranja)liga os pontos que representam os
nmeros dedemitidos, mostrando a evoluo desse nmero noperodo de 1996
a 2001.
Desenvolvendo competncias
a) Voc pode concluir que no perodo de 1996 a 2001 o nmero de
demitidos da polcia civil,em So Paulo, sempre cresceu? Por qu?
b) Na primeira metade desse perodo (1996-1998) foram demitidos
aproximadamente 50%dos policiais demitidos no perodo todo
(1996-2001). Voc considera essa afirmaoverdadeira? Justifique sua
resposta.
tambm aproximamos esse nmero para 21,6%,desprezando as demais
casas decimais que norepresentariam sequer 1 pessoa.
A forma percentual indica que comparamos umaparte dos demitidos
com um total de 100.Assim, o nmero 21,6 % representa a
seguintesituao ideal: se pudssemos agrupar os 797demitidos em
grupos de 100 e espalharigualmente por esses grupos os 172
demitidos,aproximadamente 21,6 pessoas em cada grupoteriam sido
demitidas em 2001, o que narealidade no acontece, j que no existe
0,6 depessoa. Ento, esse nmero (21,6%), por estarmais prximo de 22%
do que de 21%, deve seraproximado para 22%, significando que,
emcada grupo de 100 demitidos entre 1996 e2001, h aproximadamente
22 demitidos em 2001.
Desenvolvendo competncias
Agora com voc.
Observe o grfico de barras e verifique quantos policiais foram
demitidos no perodo de1996 a 2001 por corrupo.
A partir das situaes apresentadas, voc deve terpercebido a
importncia da linguagem matemticapara controlar e prever resultados
(como no casoda despesa dos pes e leite), bem como paracomunicar
dados e idias (como no caso das
placas de trnsito e dos grficos do jornal).Essa linguagem foi
pseudo-construda ao longodo tempo, medida que as idias matemticas
queela descreve foram ficando cada vez mais claras eprecisas para a
humanidade.
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
17
O desenvolvimento da Matemtica
e os outros campos do conhecimento
Voc j viu que o desenvolvimento da Matemticase deve em grande
parte busca de solues paraproblemas que a humanidade tem enfrentado
emseu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos:
Que chance tenho em ter meu bilhete sorteadonuma loteria de
nmeros?
Como fixar as ripas de meu porto?
Quantas estampas diferentes posso obter nostecidos da tecelagem
onde trabalho, se o fundopode ser ou azul ou amarelo e o desenho
podeser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou,ainda, xadrez
vermelho?
Questes semelhantes a essa fizeram o homempensar nos fenmenos
probabilsticos, emquestes geomtricas, e nos problemas decontagem,
respectivamente. Alm desses camposespecficos da Matemtica aos quais
eles sereferem, outros mais foram desenvolvidos a partirde
problemas que envolviam nmeros, medidas,lgebra, ligados realidade
da humanidade.
Entretanto, os outros campos do conhecimentotambm tm solicitado
respostas da Matemticapara solucionar seus problemas
especficos,contribuindo indiretamente para seudesenvolvimento.
Para citar um exemplo que mostra a Matemticasendo utilizada em
outro campo do conhecimento,
vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria,ramo da Matemtica
que, at por volta do sculoXVII, desenvolveu-se em decorrncia de
umaligao estreita entre a teoria e a prtica.
No incio de sua criao, a Trigonometria eraum campo da Matemtica
no qual os ngulos deum tringulo e as medidas de seus lados
eramrelacionados.
As razes trigonomtricas apareceraminicialmente por necessidades
da Astronomia,da Agrimensura e da navegao.
Posteriormente, por volta dos sculos XVI e XVII,a Trigonometria
esteve a servio da Fsica paradescrever e explicar fenmenos
peridicos, comopor exemplo:
o movimento peridico dos planetas, estudadopor Kepler.
o movimento peridico dos pndulos, estudadopor Galileu.
a propagao do som em forma de ondas,estudada por Newton.
a propagao da luz em forma de ondas,estudada por Huyghens.
a vibrao de uma corda de violino, estudadapor Mersenne.
Astronomia
a cincia que estuda as posies relativas, os movimentos, a
estrutura e a evoluo dos astros.
Agrimensura
a tcnica de medida dos elementos geomtricos das partes de um
terreno
Tri gono metria(trs) (medida)(ngulo)
Todos sabem que, se voc deseja ser um fsico ou engenheiro,
deveria ser bom em Matemtica.Mais e mais pessoas esto descobrindo
que, se desejam trabalhar em certas reas daEconomia ou Biologia,
deveriam rever sua Matemtica. A Matemtica penetrou naSociologia,
Psicologia, Medicina e Lingstica. Sob o nome de cliometria, est se
infiltrandona Histria, para sobressalto dos mais velhos.
DAVIS, Philip J.; KERSH, Reuben. A experincia matemtica. Traduo
de Joo Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: F. Alves,
c 1989. 481p. (Coleo Cincia): The Mathematical experience.
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Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
18
J no final do sculo XVII, com o incio dodesenvolvimento do
conceito de Funo, oestudo da Trigonometria se ampliou para umcampo
mais abstrato, desligando-se assim dasaplicaes prticas.
Figura 6 Onde a, b e c so as medidas dos catetos
e da hipotenusa desse tringulo retngulo; a e b seus
ngulos agudos; e sen (seno), cos (co-seno) e tg
(tangente) so razes entre medidas dos lados desse
tringulo, como esto descritas acima.
h1 h2 h3
v1 v2 v3= = = ... = c (constante)
As razes trigonomtricas j eram utilizadas pelosegpcios para
resolver problemas de Arquitetura,por ocasio das construes das
pirmides. Paramanter constante a inclinao das paredes daspirmides
durante a construo, eles mantinhamconstante o quociente do
afastamentohorizontal pelo afastamento vertical, que erammedidos
com unidades diferentes.
Na figura a seguir os afastamentos horizontaisforam
representados por h
1
, h2
e h3
e osverticais, por v
1
, v2
e v3
.
Figura 7
Assim, quando eles constatavam que
Atualmente, as razes trigonomtricas numtringulo retngulo so
apresentadas como naFigura 6.
concluam que a parede apresentava sempre amesma inclinao.
Ora, o quociente entre essas medidas nada mais,nada menos, do
que uma razo trigonomtrica,conhecida hoje por cotangente do ngulo
deinclinao da parede com o cho.
Hoje em dia mede-se a inclinao de uma reta poruma razo entre
segmentos verticais e horizontais(tangente do ngulo de inclinao),
razo essainversa da utilizada pelos egpcios pararesolverem
problemas arquitetnicos.
Figura 5 - Tringulo retngulo o tringulo que tem um
ngulo reto (de 90).
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
19
Hoje usa-se:
Egpcios usavam:
tg D vh
=
cotg D hv
=
Atualmente, os topgrafos dispem deinstrumentos de medida de
ngulo que lhespermitem determinar medidas por vezesinacessveis.
tg 30 = h
200ou 0,57 =
h
200
Desejando saber qual a altura do morro que tinha sua frente, um
topgrafo colocou-se com seuteodolito a 200m do morro. Ele sabe que
a alturado teodolito de 1,60m. Posiciona o aparelho quelhe fornece
a medida do ngulo de visada de partedo morro: 30. Consulta uma
tabela de tangentes everifica que tg 30 = 0,57.Assim, no tringulo
TPM temos:
Figura 8
o que lhe permite calcular h:
h = 200 x 0,57 = 114
O topgrafo conclui que o morro tem114 + 1,60 = 115,60m de
altura.
Figura 9
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
20
Uma experincia que voc
tambm pode fazer
Veja como possvel encontrar a tangente de umngulo agudo,
experimentalmente. Como exemplo,vamos determinar a tangente de um
ngulo de 35(indica-se tg 35), utilizando:
Construmos, com a rgua e o transferidor, umngulo de 35.
Apoiamos o esquadro em um dos lados dongulo em vrios pontos
desse lado (porexemplo, A, B, C); traamos perpendiculares aesse
lado at encontrar o outro lado em pontoscorrespondentes (A, B,
C).
Rgua
Transferidor
Esquadro
Figura 10
Figura 11
Figura 12
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
21
Foram construdos, assim, vrios tringulosretngulos: OAA, OBB,
OCC, destacados a seguir
medida do cateto oposto ao ngulo de 35
Como
tg 35 = ,medida do cateto adjascente ao ngulo de 35
em cada tringulo medimos o cateto oposto aongulo de 35 (AA, BB,
CC) e o cateto adjacentea esse ngulo (OA, OB, OC) para encontrarmos
ovalor de tg 35:
1,02tg 35 = = 0,67
1,52
3,05
4,06tg 35 = = 0,75
tg 35 = = 0,733,564,83
Calculamos a mdia aritmtica dos valores obtidospara expressar o
valor mais representativo de
tg 35, do seguinte modo:
tg 35 = = 0,710,67 + 0,75 + 0,733
Com um processo semelhante podemos determinarexperimentalmente o
seno e o cosseno de ngulosagudos.Figura 13
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
22
6
Desenvolvendo competncias
Para voc desvendar uma construo estranha
O quebra-cabea a seguir muito conhecido.Para desvend-lo, voc
precisa pensar natangente de ngulos agudos em tringulosretngulos.
Vamos experimentar?
A Figura 14 uma regio quadrada, montadacom figuras de um
quebra-cabea formado por4 peas: dois tringulos e dois trapzios.
Essas peas so compostas de outra maneira,formando outra regio
retangular na Figura15.
Isso possvel, j que as peas que formam oquebra-cabea da Figura
14 so as mesmasque formam o quebra-cabea da Figura 15.Concorda ou
no?
Voc acha que eles deveriam ter a mesmarea, j que so compostos
pelas mesmaspeas?
Agora, confira se a regio quadrada da Figura14 tem 64 de rea e a
regio retangular daFigura 15 tem 65 de rea.
Finalmente responda: por que a rea daFigura 14 tem uma unidade a
mais do quea rea da Figura 15?
Para resolver esse problema, imite os egpcios,porm usando a
tangente dos ngulos D e Eassinalados na Figura 16 ao lado.
Se eles possurem a mesma tangente porqueso iguais e, ento, a
linha AB realmenteum segmento de reta.
Caso eles no tenham a mesma tangente,ento a linha AB muda de
inclinao no
ponto X.
Aproveite o quadriculado e escolha doistringulos retngulos
convenientes, na figura,para voc determinar tg D e tg E. Considere
olado do quadradinho como uma unidade demedida (u).
Mos obra! Figura 16
Figura 14
Figura 15
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
23
Depois de tirar sua concluso, voc podeconfirm-la, montando o
quebra-cabea da Figura14 numa malha quadriculada de 2cm x 2cm
edepois recortando as peas e montando o quebra-cabea da Figura 15.
Vai ter uma surpresa, queconfirmar sua resoluo anterior.
Experimente!
Neste quebra-cabea voc foi incentivado autilizar seu
conhecimento sobre as tangentes dengulos agudos, na prtica, a fim
de explicar porque a rea da nova regio retngular diferenteda rea da
regio quadrada inicial.
Voc observou que foi necessria uma ferramentaterica para dar tal
explicao: o conceito detangente de um ngulo agudo de um
tringuloretngulo.
Mas voc fez tambm o caminho inverso.Experimentou montar a regio
quadrada inicialnum quadriculado maior, separando suas
peas,rearranjando-as para montar a segunda regioretangular.
Verificou, ento, que nesse caso, oquebra-cabea no fecha (fica uma
fenda nomeio dele), mostrando que a rea da segundafigura maior do
que a da primeira. Essa prticaconfere ao conhecimento construdo
(conceito detangente) uma certa confiabilidade.
Esse movimento (conhecimento-prtica-conhecimento) ocorreu
inmeras vezes naconstruo do conhecimento matemtico.Algumas teorias,
como as geometrias no-euclidianas, foram criadas no por
necessidadesimpostas pela realidade, nem para atender aoutras
cincias, nem Matemtica, mas porsimples exerccio do intelecto e s
muito tempodepois de sua criao encontraram aplicao naFsica. A
teoria geral da relatividade elaboradapor Einstein no teria sido
possvel sem umadessas geometrias. a aplicao prticanovamente dando
confiabilidade ao conhecimentomatemtico construdo.
Ainda vale a pena lembrar que muitos problemasprticos ou
cientficos so resolvidos pormodelizao, isto , criam-se
modelosmatemticos para resolv-los, como no caso daQumica.
Durante muito tempo, no campo daQumica, procuraram-se modelos
pararepresentar os tomos de elementosqumicos. Era desejvel que tais
modelos,por meio de sua configurao espacial,pudessem descrever e
explicar aspropriedades desses elementos, como porexemplo, o
tetraedro que representa otomo de carbono.
O que voc pensa sobre isso?
Voc considera que um modelo desse tipo algbrico, geomtrico ou
aritmtico?
7
Desenvolvendo competncias
Esse modelo do tomo de carbono pode serconsiderado como o
esqueleto de um slido o tetraedro.
No caso da modelizao, nem sempre os modelosconstrudos so
suficientemente bons pararesponder s necessidades prticas. Por
isso, asteorias tm que ser colocadas prova: aexperincia validando o
conhecimento construdo.
Figura 17
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
24
A Matemtica e suas questes internasQuantas vezes voc j deve ter
feito a mesmapergunta que aparece na Figura 18, no mesmo?
Muitas vezes aprendemos conceitos matemticosque, primeira vista,
nada tm a ver com arealidade em que vivemos.
Posteriormente,percebemos que eles serviram para construirmosnovos
conceitos e idias matemticas que tmgrande aplicao em nossa
vida.
Um exemplo interessante o dos nmeroscomplexos. muito comum
entrarmos em contatocom esse tipo de nmero por meio de problemasque
envolvem raiz quadrada de nmero negativo.Veja um problema famoso a
seguir:
Descubra dois nmeros cujasoma 10 e cujo produto 40.
Esse problema foi objeto de estudo do matemticoitaliano Cardano,
em 1545, que o consideroumanifestamente impossvel, mas mesmo
assimvamos operar.
A equao do segundo grau j era conhecida notempo de Cardano:
ax
2
+ bx + c = 0 e a frmulaque a resolve tambm:
onde a, b e c so nmeros reais.
Cardano concluiu que a equao que resolvia esseproblema x
2
10 x + 40 = 0 e que
eram solues do problema. Entretanto considerouessas expresses
inteis, pois envolviam nmerospara os quais ainda no tinha sido dado
nenhumsignificado: a raiz quadrada de nmero negativo.
Nesse tempo, Bombelli, outro matemtico italiano,resolveu operar
com esses nmeros, mesmo semdar a eles um significado, imitando
oprocedimento que utilizava para operar comnmeros reais.
Bombelli confirma, por exemplo, que a soma e oproduto dos nmeros
e solues do problemainicial so 10 e 40, respectivamente. Ele
operoucom esses nmeros usando as mesmas regras epropriedades dos
nmeros reais que conhecia.
Figura 18
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
25
9
Desenvolvendo competncias
Voc j operou com os nmerosAgora, represente-os por dois pontos
no plano.
Antes, porm, escreva-os na forma e construa os dois eixos
perpendiculares: o daparte real (onde voc vai marcar o nmero a) e o
da parte imaginria (onde voc vai marcaro nmero b).
Figura 19
8
As razes quadradas de nmeros negativos
continuaram a aparecer nos sculos XVI, XVII
e XVIII. Os matemticos manipulavam esses
nmeros sem saber o que significavam, tanto
que os nomes que tais nmeros
receberam na poca descreviam bem esse
desconforto: sofsticos, fictcios, impossveis,
msticos, sem sentido, imaginrios (este ltimo
perdura at hoje).
O conjunto desses nmeros s passou a ter status
de campo numrico a partir dos trabalhos de
Gauss, no final do sculo XVIII e incio do sculo
XIX, quando os nmeros da forma ,
onde a e b so nmeros reais, passaram a ser
Como voc pode ver, a criao dos nmeroscomplexos no se deveu a
nenhum problema docotidiano das pessoas, mas sim necessidade dedar
um significado a solues de equaes ondeapareciam razes quadradas de
nmeros negativos.E essa uma questo interna Matemtica!
Aprender sobre os avanos da Matemtica quesurgiram em virtude da
necessidade de resolver
seus problemas internos, contribui para:
desenvolver maneiras particulares de raciocinar.
compreender como um contedo matemtico degrande aplicao na
realidade foi criado a partirde outro que, aparentemente, nada tem
a vercom ela, mas somente como exerccio do pensar.
aumentar sua cultura.
chamados de nmeros complexos e a serrepresentados por um par
ordenado de nmerosreais (a, b), que admitia uma
representaogeomtrica por um ponto no plano.
Desenvolvendo competncias
Imitando Bombelli
Tente encontrar a soma e o produto abaixo:
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
26
Afinal, o que a Matemtica tem a ver com o lixo?
Ora, uma campanha de conscientizao sobre acoleta do lixo pode
ser feita com as pessoas quemoram em seu quarteiro. Ela pode
serdesenvolvida em vrias etapas, como, por exemplo:
Um grupo de vizinhos interessados em solucionar
o problema pode se organizar para fazer essa
campanha.
Fazer um levantamento:
do tipo de lixo que jogado nas ruas(observando as ruas todos os
dias, durante umcerto perodo estipulado pela equipe,recolhendo e
anotando o lixo encontrado:papis, casca de frutas, embalagens,
garrafas etc).Para fazer essa coleta, o grupo de vizinhos devese
munir de luvas de borracha, sacos de lixo de20 litros marcados com
cores diferentes (azul
Usando a Matemtica para modificar o mundoA todo momento
convivemos com uma grandequantidade de objetos, fatos e informaes
deprocedncias e naturezas diversas. Por isso,precisamos
compreend-los, analis-los,relacion-los e, muitas vezes modific-los,
paratornar melhor a realidade em que vivemos.
Voc pode notar que essas trs situaes so decarter muito
diferente.
Arrumar os objetos no armrio demanda de vocuma habilidade em
ocupar o espao de modoconveniente para que todos os objetos
caibam.
Mas no s isso. possvel que voc queiracolocar na prateleira de
cima os objetos que usapara escrever (lpis, caderno e livro) e na
debaixo os que no utiliza para esse fim (relgio,tesoura,
caixinhas). Isso mesmo, voc classifica osobjetos de acordo com o
critrio que mais lheinteressa.
J a questo do lixo mais complexa, pois suasoluo no depende
apenas de voc! Que tal umacampanha de conscientizao entre as
pessoas quemoram no seu quarteiro? Como fazer isso? Seriabom fazer
uma coleta seletiva? As pessoas sabemo que isso?
Os exemplos so tantos, que tropeamos neles emnosso dia-a-dia,
desde os mais simples, at osmais complexos:
Figura 20 Figura 21 Figura 22
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
27
para papel; verde para vidro; amarelo paralatas; vermelho para
plsticos; branco para lixoorgnico).
de como feita a coleta de lixo nesse quarteiro(por caminho
coletor, por cada morador quequeima seu lixo ou leva-o para um
depsitocomunitrio etc.);
sobre o conhecimento que as pessoas tm sobrecoleta seletiva e se
praticam a coleta seletiva;
Papel
Vidro
Latas de bebida
Orgnico (restos de
alimentos, folhas,
animais mortos etc)
Plstico
2kg
1kg
3kg
3kg
Sarjeta
Portas de casas
Sarjeta, caladas
Sarjeta, caladas, rua
porta de casa
Tipo de lixo Quantidade Local
1kg Sarjeta, esquinas
Conhece
No conhece
10
1
15
64
Coleta seletiva de lixo Pratica No pratica
papel
34
12
44
vidro
2
0
88
lata
24
15
51
orgnico
13
8
69
plstico
6
10
74
Tipo de lixo
Em relao ao hbito de jogar lixo na rua,
a Tabela 1 apresenta o n de moradores em cada situao:
Em relao ao conhecimento e prtica da coleta seletiva de
lixo,
a Tabela 2 apresenta o n de moradores em cada situao:
Em relao ao tipo de lixo e quantidade encontrados nas ruas
durante
um certo perodo (por exemplo, 1 semana):
Tabela 1
Tabela 2
Tabela 3
sobre os insetos mais freqentes nas casas dessequarteiro e na
parte externa s moradias;O grupo de vizinhos poder encontrar
outrositens que considerar mais convenientes.
De posse desses dados, o grupo poder arrum-los
em tabelas, poder tambm confeccionar grficos
para a conscientizao dos moradores do
quarteiro, como, por exemplo:
Joga
freqentemente
raramente
nunca
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
28
A elaborao das tabelas favorecer:
a observao de semelhanas e diferenas entreos materiais coletados
e, portanto, favorecer osprocessos de classificao para a realizao
decoleta seletiva.
a tabulao e anlise de dados. Na coletaencontrou-se um nmero
muito maior de latasdo que garrafas de vidro. A que se deve
essefato? Na pesquisa, percebeu-se que o hbito dejogar papel e
latinhas de refrigerante ou cervejaainda muito forte entre os
moradores dessequarteiro. O que se poderia fazer a respeito?
os clculos que por ventura devam ser feitospara, por exemplo,
fazer previses: se cadagarrafa coletada pesa em mdia 300g e cada
lata50g, quantas garrafas e quantas latas foramcoletadas na semana?
Se os sacos de lixoutilizados na coleta suportam em mdia 20kg,de
quantos sacos vamos precisar para a prximasemana de coleta?
a observao de regularidades. A tabela anteriormostra que na
sarjeta que se encontra a maiordiversidade de lixo.
a verificao de quantos moradores estoenvolvidos, direta ou
indiretamente, na coletade lixo do quarteiro em questo: na
primeiratabela fcil perceber que so 90 essas pessoas.
a previso sobre as medidas que devero sertomadas para
conscientizar as pessoas que noconhecem ou no praticam a coleta
seletiva (aotodo 80 moradores do quarteiro). Essasmedidas podem ser
de vrios tipos: folhetosexplicativos, reunies com os moradores
doquarteiro, visitas do grupo de pesquisa a cadacasa do quarteiro
para explicar sobre a coletade lixo etc.
a confeco de grficos que possam, por meiodo impacto visual,
mostrar aos moradores doquarteiro o problema do lixo de
formaimediata. Um cartaz como o seguinte (Figura23) nos mostra que
os moradores do quarteiroprecisam ser informados sobre o que a
coletaseletiva e suas vantagens.
Para confeccionar um grfico desse tipo(grfico de setores), voc
precisa mobilizarconhecimentos sobre:
ngulo, ngulo central.
setor circular.
proporcionalidade (entre ngulo central do setore o nmero de
moradores que no conhecem ouno praticam coleta seletiva do
lixo).
80= 0,8888... = 88,8%
90
~
Veja como possvel fazer isso.
Dentre os 90 moradores pesquisados, 80 noconhecem ou no praticam
a coleta seletiva. Issopode ser registrado assim:
ou seja, 88,8% dos moradores no conhecem ouno praticam coleta
seletiva.
O setor circular que corresponde a 88,8% docrculo determinado
por um ngulo centralque deve medir 88,8% de 360 , que 0,888 . 360 #
320.
AB um ngulo central
(tem o vrtice no centro do
crculo pintado de duas
cores).
Cada uma das regies (branca
e cinza) chamada de setor
circular.Figura 24
No conhecem ou
no praticam coleta
seletiva
Figura 23
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
29
O valor que se obtm com a calculadora 319,68, que aproximamos
para 320, parafacilitar a confeco do grfico com umtransferidor.
Caso o elaborador do grfico disponha de ummicrocomputador e de
um programa que faagrficos, tudo fica bem mais fcil. s alimentar
oprograma com os dados obtidos na pesquisa que ogrfico sai
prontinho!
De posse de todo esse material, o grupo devizinhos que fez a
pesquisa poder discutir comos demais moradores sobre a questo do
lixodaquele quarteiro, no sentido de conscientiz-losa no jogar lixo
nas ruas, a praticar a coletaseletiva e, quem sabe, a ampliar esse
projeto paraoutros quarteires do bairro.
Eis a um grupo de vizinhos que usou aMatemtica para modificar as
condies de suarealidade, de seu mundo!
Voc tambm pode fazer isso!
Construindo o setor de 320
Dica:
Comece por reduzir o consumo. Aproveiteprodutos que usualmente
no costuma utilizar(como, por exemplo, as folhas da beterraba
parafazer um refogado ou as cascas do abacaxi paraum refresco) e
depois, sempre que possvel,reutilize as embalagens. Com isso, voc
estarcombatendo o aumento do lixo, o que facilitar,posteriormente,
a reciclagem.
Caso o grupo tenha algum outro tipo de interesseem promover
mudanas em seu bairro, noquarteiro onde mora, no espao em que
trabalhaou nas instituies que freqenta (igrejas, centrosde sade,
por exemplo), possvel promov-las nosmesmo moldes da coleta do lixo,
com as devidasadaptaes que o prprio grupo far.
Alguns temas podero ser escolhidos como motivode um levantamento
estatstico para ser o pontoinicial de tais mudanas:
Interesse da comunidade em promover umsbado cultural, a cada ms,
com os artistas daprpria comunidade.
A vacina contra a gripe e os idosos: funciona ouno?
O perodo de lazer das crianas do bairro: quem,como e onde
promov-lo e organiz-lo?
O trabalho voluntrio: uma opo para qualquerpessoa.
Mos obra!
Para voc intervir em sua realidadeVoc tambm pode fazer uma
campanha deesclarecimento junto sua comunidade sobre areduo
reutilizao reciclagem do lixo.
O levantamento de dados sobre essas aes podeser obtido mediante
um questionrio que seriaaplicado s pessoas da comunidade, alvo da
talcampanha.
Para que essa comunidade se conscientize daimportncia da reduo
reutilizao reciclagem do lixo, importante que osresultados de sua
pesquisa sejam mostrados eanalisados por elas; nesse caso, nada
melhor doque um grfico para que percebam clara eimediatamente em
que situao se encontramdiante do problema e decidam que atitudes
tomarpara elimin-lo.
Ento, combine com alguns amigos interessadosnas vantagens da
reduo-reutilizao-reciclagem e da coleta seletiva do lixo
paradesenvolver um programa de conscientizao emseu quarteiro, em
seu bairro ou em sua escola,como o que foi descrito
anteriormente.
Figura 25
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
30
Fazendo uma
maquete
claro que quando se quer modificar o mundo a
nossa volta preciso pensar no s na
Matemtica, mas tambm muito alm dela: em
outras reas do conhecimento. Por exemplo,
iniciar uma campanha de esclarecimento sobre o
lixo leva as pessoas envolvidas a buscar
conhecimentos sobre desvantagens do lixo a cu
aberto, processos de coleta, de reciclagem,
vantagens e desvantagens da reciclagem, como
reaproveitar o material reciclado, como
recoloc-lo no mercado para o consumo, etc.
Muito provavelmente, a Fsica, a Qumica, a
Biologia, a Sociologia e a Economia so campos
do conhecimento que contribuiro para que essa
campanha tenha sucesso.
Se a Matemtica tem algo a ver com o problema
do lixo o que dizer sobre sua relao com a
exposio da qual a menina deseja participar?
Como a Matemtica pode ajudar a garota a
externar esse sentimento de prazer e orgulho de
ser aluna de uma escola que ela considera bonita?
Para comear seu projeto, a menina foi medir o
terreno de sua escola e a altura, comprimento e
largura do prdio. Percebeu que seria difcil,
pensou at em providenciar um teodolito para
imitar o topgrafo quando vai encontrar o ngulo
de visada e, com sua tangente, determinar a altura
do prdio. Entretanto, no foi necessrio.
Como havia um terrao no alto desse prdio, foi
ajudada por alguns colegas: enquanto segurava a
ponta do barbante do alto do terrao do prdio,
um colega cortava o barbante no ponto em que
ele atingia o cho e depois mediu o barbante. Para
medir a largura e comprimento mais fcil, pois
pode-se fazer todas essas medies no cho
mesmo.
.
Figura 26
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
31
Depois de tanto trabalho algum lhe deu a idiade procurar a
planta do prdio da escola naPrefeitura e foi o que ela fez. Com a
planta namo, resolveu fazer uma maquete de tal maneiraque a relao
entre as medidas da maquete e asmedidas reais deveriam estar na
razo 1: 50, isto, cada centmetro de comprimento na
maqueterepresentava 50 cm na realidade ou cada 2 cmcorrespondia a 1
m.
Fez sua maquete em cartolina, com uma base depapelo. Construiu
um paraleleppedo pararepresentar o prdio principal, com as
medidasadequadas e outro para representar a cantina. Noesqueceu de
um prisma triangular para o telhadoda cantina. Recortou vrios
retngulos para asjanelas e parte da porta e um semicrculo para
oalto da porta. Com arame fino fez os enfeites doterrao do telhado,
que foram fixados empequenos prismas de isopor.
A exposio foi um sucesso e a menina chamou aateno dos visitantes
para sua escola que, durantetantos anos, havia passado despercebida
pelosmoradores do bairro, menos para as crianas,professores e
funcionrios que l trabalhavam.Muitas pessoas se interessaram em
saber se nessaescola havia trabalho voluntrio das pessoas
dacomunidade, se a escola recebia os moradores dobairro para
oferecer cursos de alfabetizao deadultos, de atendente de
enfermagem etc, etc, etc.
A partir desse dia, professores, alunos e demaisfuncionrios
dessa escola, juntamente compessoas da comunidade, resolveram
desenvolverum projeto de carter scio-educativo a cada ano.O
primeiro foi o de alfabetizao de adultos.
Figura 27
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
32
10
Desenvolvendo competncias
Como ser que a menina fez?
a) Se o prdio principal da escola tem 10 m de altura, 12 m de
comprimento e 8 m delargura, quais as medidas desse prdio na
maquete?
b) Dos moldes abaixo qual voc acha que a menina utilizou para
fazer o prdio da escola?
c) E para fazer o telhado da cantina?
d) Quantos cm2 de cartolina a menina gastou na confeco do prdio
da escola em suamaquete?
Terminando...
Figura 28
Figura 29
Nestas poucas pginas, voc teve a oportunidadede refletir sobre a
Matemtica como uma cinciaque foi e continua sendo construda
pelahumanidade, no s em decorrncia de problemasque surgem em muitas
situaes de nossa
realidade, mas tambm por solicitao de outroscampos do
conhecimento e por questes internas prpria Matemtica.
Voc deve ter notado tambm que os problemasque resolvemos em
nosso cotidiano tm carter
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
33
interdisciplinar: ningum sai de casa pensandohoje vou resolver
um problema de subtraopara calcular o troco, quando fizer as
compras nosupermercado.
Muito provavelmente, alm do troco, precisofazer estimativas,
para ver se o dinheirodisponvel para as compras ser suficiente ou
se adata de validade conveniente, tendo em vista oritmo de consumo
do comprador em relao aoproduto que est querendo comprar.
Um comprador tambm precisa estar atento, nahora da compra, para
o que mais vantajoso emtermos de preo: uma embalagem de molho
detomate de 350 ml por R$ 2,80, ou outra, damesma marca, de 500 ml
por R$ 3,80?
Alm disso, preciso decidir por uma ou outramarca de um produto;
prefervel comprar umproduto de marca comprovadamente idnea do
Afinal...Por que a Matemtica importante? Por ser til como
instrumentador para a vida. Por ser til como instrumentador para
o
trabalho. Por ser parte integrante de nossas razes
culturais. Porque ajuda a pensar com clareza e a
raciocinar melhor. Por sua prpria universalidade. Por sua beleza
intrnseca como construo
lgica, formal etc.
Texto adaptado de: DAMBRSIO, Ubiratan.Etnomatemtica: arte ou
tcnica de explicar e conhecer.So Paulo: tica,c1990. 88 p.
(Fundamentos; v. 74)
Figura 30
Figura 31
Figura 32
11
Desenvolvendo competncias
E voc o que acha?
O que mais vantajoso: comprar uma embalagem de molho de tomate
de 350 ml por
R$2,80 ou outra, da mesma marca, com 500ml por R$3,80?
que de outra, desconhecida, da qual no sabemosa procedncia dos
artigos utilizados na confecodo produto e os cuidados com seu
preparo.
No podemos esquecer tambm que, aoescolhermos este ou aquele
supermercado parafazermos as compras, temos que levar em conta oque
sabemos sobre a higiene do estabelecimento,seus procedimentos de
estocagem, o tratamentoque os funcionrios dispensam aos fregueses,
etc.Enfim, o problema das compras, como muitos emuitos problemas
que resolvemos a todomomento em nossa vida, no se limita a um
nicocampo do conhecimento humano.
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
34
Conferindo seu conhecimento
Voc e as placas de trnsito
Largura mxima 1,8mMedidaGrandeza medida: comprimento
Velocidade mxima permitida: 80km/hMedida
Grandeza medida: velocidade
Altura mxima: 3mMedida
Grandeza medida: comprimento
Restaurante a 500mMedidaGrandeza medida: comprimento
3
a) Entre 1996 e 2001, o nmero de demitidos nem sempre cresceu.
Ele diminui de 1998para 1999 e de 2000 para 2001.
b) De 1996 a 1998 foram demitidos 75 + 96 + 134 = 305 policiais
corruptos.
De 1996 a 2001 foram demitidos 797 policiais corruptos.
Logo,
4
1 - f(n) = 1,20 . n + 3,50
2 - A=10 . l
2
305= 0,38 = 38% = 50%
797
~
Agora com voc:
De 1996 a 2001 foram demitidos 75 + 96 + 134 + 131 + 189 + 172 =
797 policiaiscorruptos.
5
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
35
Para voc desvendar uma construo estranha:
Como as duas figuras so compostas pelas mesmaspeas, ento
deveriam ter mesma rea.
rea da Figura 33 = 64
rea da Figura 34 + 65
6
7
8tg D = = 2,66...
3
5
2tg E = = 2,5 ` logo, De E no so iguais,porque suas tangentes
sodiferentes
Assim, o segmento AB no um segmento na verdade,j que AX e XB tm
inclinaes diferentes. Nessa Figura34 o que ocorre que as quatro
peas no se juntamno meio, mas ficam dispostas como ao lado.
O primeiro de rea extra a rea do paralelogramosombreado, que na
Figura 34 est exagerada. Fazendo aspeas num quadriculado de 2cm x
2cm jse pode notar o paralelogramo.
O modelo para descrever o tomo de carbono de carter
geomtrico.
O tetraedro associado a esse modelo um poliedro: slido, cuja
superfcie sempre pode serdecomposta num nmero finito de partes
planas e poligonais (as faces).
Figura 33
Figura 34
8 Imitando Bombelli:
2
2
5 15 5 15 =(5+5)+ 15 15 10 0 10
5 15 5 15 = - 15 25 15 25 15 405
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
36
a b
Representando-os no plano cartesiano
Como voc viu, os nmeros complexos
podem ser postos na forma , onde ae b so nmeros reais. Nesse
caso, quandob = 0, o nmero fica reduzido a a queindica simplesmente
um nmero real. Issosignifica que todo nmero real um nmero
complexo da forma .
9 Registrando os nmeros na forma :
a b
-
Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade
37
a) Na maquete, o prdio dever ter 20 cmde altura, 24 cm de
comprimento e 16 cmde largura.
c) Molde do telhado da cantinaMolde do prdio da escola
Na maquete No prdio
E voc, o que acha?
Efetuando-se R$2,80 : 350 ml obtm-se R$0,008 por 1ml de
molho.
Efetuando-se R$3,80 : 500ml obtm-se R$0,0076 por 1ml de
molho.
Ento o molho mais barato o segundo, o da embalagem maior.
10
11
d) A menina gastou 2 . 24 . 20 + 2 . 24 . 10 + 2 . 20 . 10 =
1.840cm2 de cartolina.
b)
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
38
ORIENTAO FINAL
Para saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste
captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de:
Identificar e interpretar, a partir da leitura de textos
apropriados, diferentes registros do conhecimentomatemtico ao longo
do tempo.
Reconhecer a contribuio da Matemtica na compreenso e anlise de
fenmenos naturais, e daproduo tecnolgica, ao longo da histria.
Identificar o recurso matemtico utilizado pelo homem, ao longo
da histria, para enfrentar e resolverproblemas.
Identificar a Matemtica como importante recurso para a construo
de argumentao.
Reconhecer, pela leitura de textos apropriados, a importncia da
Matemtica na elaborao deproposta de interveno solidria na
realidade.
-
Fabio Orfali
LGICA E ARGUMENTAO: DA PRTICA
MATEMTICA
AMPLIAR FORMAS DE RACIOCNIO E PROCESSOS
MENTAIS POR MEIO DE INDUO, DEDUO,
ANALOGIA E ESTIMATIVA, UTILIZANDO CONCEITOS E
PROCEDIMENTOS MATEMTICOS.
Captulo II
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
40
Captulo II
Lgica e argumentao:
da prtica Matemtica
Argumentao
Voc j pensou no que existe em comum entreuma propaganda de certo
produto na televiso,um artigo do editorial de um jornal e um
debateentre dois polticos? Essas situaes podemparecer bem
diferentes, mas, se voc analisar comcuidado, ver que, nos trs
casos, basicamente,tenta-se convencer uma ou mais pessoas
dedeterminada idia ou teoria.
Os criadores do comercial procuram convencer opblico de que
aquele produto melhor do que ode seus concorrentes. O jornalista
que escreve umartigo defende seu ponto de vista sobre
umacontecimento do dia anterior e procuraconvencer os leitores de
que suas idias so asmais corretas. J cada um dos polticos
tentamostrar aos eleitores que possui melhores
condies de ocupar determinado cargo pblicodo que seu
adversrio.
Mas como convencer algum, ou ns mesmos, deque determinada idia ,
de fato, correta? necessrio que sejam apresentados fatos
quejustifiquem aquela idia. Esses fatos so chamadosde argumentos.
Eles devem ser bem claros, teruma relao lgica entre si, de tal
maneira que aidia considerada seja uma conseqncia naturaldos
argumentos apresentados.
Nem sempre, porm, isso ocorre. Muitas vezes, aargumentao no
feita de modo consistente e oresultado que aquela idia acaba no
sendoaceita pelas outras pessoas. Observe o exemplo aseguir:
Voc acha que o argumento utilizado pelo marido para justificar
seu atraso est consistente?Figura1
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
41
argumentar uma habilidade extremamenteimportante ao ser humano.
Ora, os resultados deuma teoria matemtica s so aceitos medianteuma
argumentao rigorosamente correta. o queos matemticos chamam de
demonstrao.Assim, no estudo da matemtica, as regras doraciocnio
lgico devem ser muito bemconhecidas e analisadas, o que leva
aoaprimoramento de nossa capacidade deargumentar, mesmo em situaes
fora damatemtica.Observe a histria abaixo:
Voc j percebeu o quanto a argumentao importante no dia-a-dia das
pessoas? Observe queutilizamos argumentos para convencer nossochefe
de que merecemos um aumento, paraconvencer nossa namorada, ou
namorado, a ir aocinema quando ela, ou ele, preferia ficar em
casa,e em diversas outras ocasies. De uma boaargumentao pode mesmo
depender o resultadode uma entrevista para se conseguir um
novoemprego.
Mas afinal como a matemtica se relaciona comtudo isso? J
discutimos que a capacidade de
Figura 2
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
42
A expresso utilizada por Juninho (CQD- comoqueramos demonstrar)
foi emprestada daMatemtica. Ela normalmente usada ao final deuma
demonstrao, quando os argumentosexpostos j so suficientes para
comprovar aafirmao que foi feita inicialmente.
Assim, o menino fez duas afirmaes, querendodizer que na sua cama
o ambiente est tranqilo,aconchegante e fora dela a situao
ruim,confusa. Neste instante, a me grita, pedindoauxlio com as
compras. Ora, como algum podepreferir guardar compras a uma cama
quente econfortvel? Para Juninho, essa uma prova deque l fora o
caos. Por isso, na sua opinio,aquele era um argumento que
demonstrava suasafirmaes iniciais.
Muitas vezes, na vida real, usamos apenas um fatopara demonstrar
que nossas idias soverdadeiras. Em certas ocasies isso aceitvel,em
outras no.Observe os exemplos abaixo:
No disse que aquele time no era bom? Aps 25jogos, ele foi
derrotado no ltimo domingo.
No disse que aquele poltico era desonesto? Foicomprovado pela
polcia seu envolvimento como crime organizado.
As duas argumentaes baseiam-se em apenas umfato. Em sua opinio,
qual dos argumentos omais razovel?
No ambiente cientfico, porm, as regras so bemmais rgidas. Uma
afirmao no pode sercomprovada baseando-se em apenas um fato. Eesse
rigor est muito presente na matemtica, deonde tiraremos vrios
exemplos analisados nestecaptulo. Observe o dilogo abaixo:
Paulo: Todo nmero elevado ao quadrado igual ao seu dobro.
Cludia: Como voc pode comprovar isso?
Paulo: Veja s: o quadrado de 2 22
= 4 e odobro de 2 tambm 4.
Encontre um exemplo que mostre que a primeiraafirmao feita por
Paulo falsa.
Est vendo? Neste caso pode at ter sido fcilencontrar um exemplo
mostrando que a afirmaoacima no verdadeira. Observe que o
quadradode 3 3
2
= 9, mas o dobro de 3
2 x 3 = 6.
Existem outros casos, porm, em que certocomportamento pode ser
observado em muitosnmeros diferentes, o que nos d vontade de
dizerque ele ocorre com todos os nmeros. Cuidado!Em Matemtica,
analisar apenas alguns exemplosno suficiente para comprovar uma
propriedade,pode no mximo nos dar uma pista de queaquela
propriedade possa ser verdadeira.
Vamos mostrar um outro exemplo, para ressaltarainda mais a
importncia desse fato:
Considere trs retas r, s e t que se cruzam numnico ponto P.
possvel que r e s sejamperpendiculares e, ao mesmo tempo, r e t
sejamperpendiculares?
(Lembre que retas perpendiculares so
aquelas que se cruzam formando ngulos retos,
como mostra a Figura 3.)
Figura 3
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
43
Tente pensar nesse problema antes de ler asoluo. Uma boa dica
utilizar modelos pararepresentar as retas como, por exemplo,
trscanetas, colocando-as em diferentes posies eobservando se, em
alguma delas, uma dascanetas fica perpendicular, ao mesmo tempo,
soutras duas.
Ao tentar resolver esse problema, Carlos noutilizou modelos: foi
fazendo diversos desenhos,imaginando a situao sugerida no
enunciado. Noentanto, depois de desenhar as retas r e
sperpendiculares, nunca conseguia uma posiopara a reta t, de tal
modo que ela tambm ficasseperpendicular a r. Observe alguns
dessesdesenhos:
Muitos desenhos depois, sempre sem sucesso,Carlos finalmente
concluiu: No possvelobtermos trs retas r, s e t nas condies
doproblema. Os desenhos anteriores comprovam essaconcluso.
Ao utilizar apenas desenhos, Carlos novisualizou todas as
situaes possveis para asretas. Com as canetas, voc
enxergoupossibilidades diferentes das de Carlos? Vocconcorda com o
argumento utilizado em suaconcluso?
Dias depois, olhando uma caixa de sapatos, Carlosfinalmente
visualizou uma soluo para oproblema: conseguiu enxergar, sobre a
caixa, trsretas que se cruzavam em um ponto e eramperpendiculares
entre si!
Se voc no encontrou a soluo do problema comas canetas, pegue uma
caixa com o mesmoformato de uma caixa de sapatos e tenteencontrar a
soluo de Carlos para o problema.
Na Figura 5, voc encontra uma caixa parecidacom a utilizada por
Carlos. Observe as retas r, s e tque passam por trs arestas da
caixa.
Figura 4
Figura 5
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
44
1
Note que Carlos, em seus desenhos, noconsiderou a possibilidade
das trs retas noestarem no mesmo plano. Assim, mesmo quefizesse
muitos desenhos, no conseguiriavisualizar a soluo do problema.
Ento, suaargumentao inicial estava invlida do ponto devista
matemtico: ele tirou uma conclusobaseando-se apenas em alguns
desenhos, que norepresentavam todas as possibilidades.
Ento no se esquea: embora no nosso dia-a-diafaamos isto em
algumas situaes, em matemticano devemos generalizar uma
afirmaobaseando-nos em apenas alguns exemplos, sembuscar uma
comprovao daquele fato por umademonstrao que englobe todas as
possibilidades.
Desenvolvendo competncias
1. Observe os seguintes clculos efetuados entre nmeros
mpares:
1 + 1 = 2 3 + 3 = 6
1 + 3 = 4 3 + 5 = 8
1 + 5 = 6 5 + 5 = 10
A partir apenas dos clculos efetuados acima, voc pode concluir
que sempre que somamosdois nmeros mpares, obtemos como resultado um
nmero par? Por qu?
2. Num torneio de basquete, seis equipes enfrentam-se entre si,
num total de cinco rodadas.Se uma equipe vencer todas as suas
partidas, automaticamente declarada campe. Casocontrrio, as duas
equipes com maior nmero de vitrias disputam uma final para decidira
campe. A tabela abaixo mostra a posio de cada equipe, aps a
realizao de trsrodadas:
Pelas regras do torneio e pela anlise da tabela pode-se afirmar
que a:
a) equipe V ser a campe do torneio.
b) final do torneio ser entre as equipes III e IV ou entre as
equipes IV e V.
c) equipe V a nica que pode ser a campe sem ter de jogar a
partida final.
d) equipe I no pode mais ser a campe do torneio.
Equipe Vitrias Derrotas
Tabela 1
I 1 2
II 0 3
III 2 1
IV 2 1
V 3 0
VI 1 2
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
45
1 220 210
2 100 330
3 180 210
4 230 360
5 90 250
6 200 160
7 180 410
Jorge 150 270
2
Desenvolvendo competncias
No ltimo ms, o consumo de energia eltrica na residncia de Jorge,
apontado na conta deluz, teve um aumento significativo, subindo de
150 para 270 kWh. Como aparentementeno havia motivo para tal
aumento, Jorge comeou a desconfiar que o problema pudesseser da
companhia fornecedora de energia eltrica. Por isso, ele decidiu
perguntar aos seusvizinhos se eles tinham tido problema semelhante
ultimamente. A Tabela 2 mostra o quecada vizinho respondeu:
Tabela 2
1. Em quantas das 8 casas da rua de Jorge houve aumento do
consumo de energia eltrica doms de maro para o ms de abril?
2. Das residncias onde houve aumento do consumo, em quantas esse
aumento foi maiordo que 100 kWh?
3. Utilizando como argumento os nmeros da tabela acima, voc
diria que a companhiafornecedora de energia eltrica:
a) certamente a responsvel pelo aumento do consumo de energia
nas casas da rua deJorge.
b) provavelmente a responsvel pelo aumento do consumo de energia
nas casas da ruade Jorge.
c) provavelmente no tem relao com o aumento do consumo de
energia nas casas da ruade Jorge.
d) certamente no tem relao com o aumento do consumo de energia
nas casas da rua deJorge.
4. Jorge vai solicitar companhia fornecedora de energia eltrica
que verifique se halgum problema com a instalao eltrica de sua rua,
que possa explicar o aumento doconsumo de energia em algumas casas.
Para isso, ele deve preencher um formulrio,fazendo uma pequena
justificativa de seu pedido. Escreva, em no mximo trs linhas,
essajustificativa, dando argumentos que convenam a companhia da
necessidade de enviar umtcnico rua de Jorge.
Casa Consumo em maro (kWh) Consumo em abril (kWh)
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
46
Silogismos
Embora, do ponto de vista matemtico, aargumentao de Jlio no
esteja rigorosamentecorreta (no podemos generalizar uma conclusoa
partir de apenas trs observaes), voc tomariaa mesma atitude que
Jlio? Por qu?
Note que o fato de Jlio ter passado maljustamente nos trs dias
em que almoou lpoderia ser uma coincidncia. Como, porm, nose
tratava de uma comprovao cientfica, baseadaem argumentos rigorosos,
Jlio preferiu no searriscar e no voltou mais ao restaurante.
Vamos tentar agora obter uma conclusobaseando-nos em argumentos
rigorosos.
Observe este exemplo:
Toda ave tem penas.
As garas so aves.
Que concluso pode-se tirar a partir das duasafirmaes acima?
Bem, se voc respondeu que as garas tm penas,ento acertou. Se voc
no tinha chegado a essaconcluso, tente pensar por que ela est
correta.
Note ainda que, no caso de Jlio, a concluso erabem provvel, mas
no era necessariamenteverdadeira. J nesse exemplo, considerando
asduas afirmaes iniciais, a concluso obrigatoriamente
verdadeira.
Este tipo de argumentao, composta de duasafirmaes e uma
concluso, conhecida comosilogismo e foi muito estudada pelos
filsofosgregos.
Observe agora o seguinte silogismo:
Todos os carros da marca X tm direohidrulica.
Alguns carros da marca Y tm direohidrulica.
Logo, alguns carros da marca X so da marca Y.
Note que a concluso do silogismo certamenteinvlida, pois um
carro no pode ser ao mesmotempo de duas marcas. Explique, nesse
caso, porque, considerando as duas afirmaes iniciais, aconcluso no
necessariamente verdadeira.
Flvia possui dois filhos: Pedro, de 7 anos, eAmanda, de 3
anos.
Considerando as afirmaes acima, o que Flviapode concluir? Ela
deve levar seus dois filhos aum posto de sade?
Como voc pde notar no exemplo acima, muitocomum, a partir de
duas ou mais afirmaes,tirarmos concluses sobre um
determinadoassunto. Quando, porm, essas concluses sovlidas? Em
outras palavras, ser que existemmaneiras que nos ajudem a decidir
se a conclusoobtida realmente era uma conseqncia necessriadas
afirmaes iniciais?
A resposta sim: dentro daquilo que osmatemticos chamam de
raciocnio formal, existemregras claras para decidir se um argumento
ouno vlido. muito til trabalharmos algunsexemplos disso, que nos
ajudem a melhorar nossasargumentaes e a no aceitar
certasargumentaes completamente sem fundamentos.
Lembre-se sempre, porm, de uma coisa: a nossavida cotidiana no
exige tanta preciso quanto amatemtica. Em algumas situaes do
dia-a-dia,certos raciocnios, embora no sejamrigorosamente corretos,
so plenamente aceitveis.
Observe o exemplo:
Jlio foi almoar trs sextas-feiras seguidasem um restaurante que
foi inauguradorecentemente perto de seu trabalho. Nas trsvezes,
acabou passando muito mal doestmago. Concluiu que a comida
dorestaurante no lhe fazia bem e decidiu queno almoaria mais
naquele lugar.
A vacina contra a Paralisia Infantil vai estardisponvel nos
postos de sade at o dia 31de agosto. Todas as crianas com menos
decinco anos de idade devem tomar a dose.
Fonte: http://www.saude.sc.gov.br
Observe a frase abaixo, sobre a campanha devacinao contra a
paralisia infantil:
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
47
Observe agora este outro exemplo:
A direo de uma empresa decidiu que somente osfuncionrios que
trabalham h mais de 10 anos nafirma tm direito de solicitar ao
setor debenefcios emprstimo para compra de casaprpria. O funcionrio
mais antigo dodepartamento de compras trabalha na empresa h7
anos.Se o Sr. Odcio trabalha no departamento decompras, pode-se
concluir que:
a) dentre os funcionrios do departamento decompras, somente o
Sr. Odcio no tem direitode solicitar emprstimo para compra de
casaprpria.
b) somente os funcionrios do departamento decompras no tm
direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria.
c) no possvel saber se o Sr. Odcio tem direitode solicitar
emprstimo para compra de casaprpria, pois no sabemos h quanto tempo
eletrabalha na firma.
d) o Sr. Odcio e todos os demais funcionrios dodepartamento de
compras no tm direito desolicitar emprstimo para compra de
casaprpria.
Na realidade, temos trs afirmaes iniciais equeremos, a partir
delas, tirar uma concluso:
1. Somente funcionrios com mais de 10 anos naempresa tm direito
de solicitar emprstimo paracompra de casa prpria.
2. Nenhum funcionrio do departamento decompras tem mais de 10
anos na empresa (pois omais antigo tem 7 anos).
3. O Sr. Odcio trabalha no departamento decompras.
Usando as informaes 2 e 3, conclumos que oSr. Odcio trabalha na
empresa h menos de 10anos. Ento, usando a informao 1, conclumosque
ele no tem direito a solicitar emprstimopara compra da casa
prpria.
Note ainda que, usando as informaes 1 e 2,podemos concluir que
nenhum funcionrio dodepartamento de compras tem direito de
solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Assim,conclumos que
a alternativa correta d.
Vamos analisar tambm a alternativa b. Peloenunciado, no podemos
afirmar com certeza sea afirmao est correta, pois podem
existiroutros funcionrios com menos de 10 anos naempresa que no
trabalham no departamento decompras e, portanto, no tm direito de
solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Sendoassim, a
afirmao no pode ser consideradacorreta.
3
Desenvolvendo competncias
1. Numa escola particular, 20 das suas 100 vagas so reservadas a
alunos que, por sedestacarem nos estudos, no pagam mensalidade.
Metade desses alunos participam dotime de futebol da escola. A
partir dessas informaes, pode-se concluir que:
a) Pelo menos 10 alunos da escola fazem parte do time de
futebol.
b) Todos os integrantes do time de futebol da escola no pagam
mensalidade.
c) Alguns alunos que pagam mensalidade fazem parte do time de
futebol.
d) Metade dos integrantes do time de futebol no pagam
mensalidade.
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
48
4
Desenvolvendo competncias
O diagrama abaixo (Figura 6) mostra a distribuio dos alunos de
uma escola de EnsinoMdio nos cursos optativos que so oferecidos no
perodo da tarde:
T: curso de teatro
F: curso de fotografia
D: curso de dana
Note que o diagrama mostra, por exemplo, que apenas 1 aluno
freqenta os trs cursos aomesmo tempo e que 31 alunos no freqentam
nenhum dos cursos optativos.
1. Dever ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que
freqentam mais de um cursooptativo. Assim, o nmero de alunos que
receber o aviso igual a:
a) 30 b) 13 c) 12 d) 1
2. Os nmeros de alunos matriculados nos cursos de teatro, de
fotografia e de dana so,respectivamente:
a) 10, 12 e 8 b) 11, 7 e 9 c) 16, 18 e 20 d) 21, 19 e 17
Diagramas e problemas numricos construo de um espao de recreao e
prtica
de esportes para crianas
construo de uma sala para leitura e realizaode palestras
nenhuma das duas
Os dados da pesquisa, que foi respondida portodas as famlias,
foram organizados na tabelaabaixo:
Na atividade 4, ns utilizamos diagramas pararepresentar as
quantidades de alunos quefreqentavam cada um dos cursos
optativosoferecidos pela escola. Vamos agora, usandodiagramas,
resolver outros problemas envolvendoquantidades numricas.
A associao de moradores de uma comunidadeconseguiu verba para
melhorar o centro decultura e lazer existente em sua sede.
Decidiu-se,ento, fazer uma consulta aos membros dacomunidade, para
definir a melhor maneira deaplicar o dinheiro.
Cada uma das 250 famlias recebeu uma ficha coma seguinte
pergunta: Quais das opes abaixo asua famlia considera importantes
para o centrode cultura e lazer de nossa comunidade? Asopes de
resposta eram:
Figura 6
Opo N de respostas
espao pararecreao e 111
Tabela 3
183
24
esportes sala paraleitura e palestras
nenhuma das duas
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
49
(dentro de F, mas fora de R e fora de L, ou seja,dentro do
retngulo, mas fora dos dois crculos).
Para preenchermos o diagrama com dadosnumricos, devemos comear
pela regio deinterseco, pois as outras regies dependem dela.Como no
conhecemos, no nosso problema,quantas famlias esto nessa regio,
chamamosesta quantidade de x.
H 111 famlias que optaram pelo espao pararecreao. Destas, x
tambm optaram pela sala deleitura. Ento, 111 - x so as que
optaramapenas pelo espao para recreao. Com o mesmoraciocnio,
conclumos que 183 - x optaramapenas pela sala de leitura. Como 24
no seinteressaram por nenhuma das duas obras, nossodiagrama
fica:
Um lder comunitrio, ao observar a Tabela 3anterior, perguntou se
muitas famlias seinteressaram tanto pelo espao para recreao
eesportes quanto pela sala de leitura, pois,dependendo da
quantidade,eles poderiam pensar em adiar a compra de umcomputador
para a associao, que estavaprogramada, e construir as duas
coisas.
A partir dos dados da tabela, possvel identificarquantas famlias
se interessaram pelas duas obras,quantas apenas pelo espao para
recreao equantas apenas pela sala de leitura?
Pode ser que, fazendo apenas algumas contas,voc consiga
responder questo acima. Mas e sea pesquisa fosse mais complexa e o
questionrioenvolvesse trs opes, por exemplo?
Por isso, bastante til representarmos oproblema acima com
diagramas. Observe aFigura 7. Nela, F o conjunto de todas
asfamlias, R o conjunto das famlias que optarampelo espao de
recreao e L o das que optarampela sala de leitura. Quais famlias
estariamrepresentadas na regio quadriculada dodiagrama?
Como h 250 famlias na comunidade, a soma dasquantidades das
quatro regies deve ser igual a250. Obtemos, ento, a seguinte
equao:
(111 x) + x + (183 x) + 24 = 250
318 x = 250
x = 68
x = 68
Com isso, conclumos que 68 famlias estointeressadas pelas duas
obras. Somente peloespao para recreao, existem 111 68 = 43famlias
interessadas. Somente pela sala de leitura,so 183 68 = 115 famlias
interessadas.
Note que a soma 68 + 43 + 115 + 24 deve serigual ao total de
famlias, ou seja, 250.
Figura 7
Observe que a regio quadriculada na figurapertence tanto ao
conjunto R quanto ao L e porisso reservada s famlias que optaram
pelasduas obras, pois isso era possvel na pesquisa.Dizemos que essa
regio corresponde interseco dos dois conjuntos.
H ainda uma regio reservada s famlias queno se interessam por
nenhuma das duas obras
Figura 8
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
50
A partir dos dados do grfico, pode-se concluir que o nmero de
entrevistados quehabitualmente lem os jornais I e II igual a:
a) 44 b) 55 c) 63 d) 71
2. Uma academia de ginstica, aps a inaugurao de sua piscina,
ofereceu mais dois cursosa seus freqentadores: hidroginstica e
natao. 52 pessoas inscreveram-se na hidroginsticae 47 na natao.
Constatou-se que 7 pessoas inscreveram-se nos dois cursos. Ento,
onmero de pessoas que se interessaram por pelo menos um dos novos
cursos :
a) 106 b) 99 c) 92 d) 85
Implicao
1. A frase abaixo foi retirada de uma propaganda
veiculada em um jornal de grande circulao e
diz respeito a uma grande festa promovida por
uma empresa:
SE VOC NO CONSEGUIU INGRESSO PARA A
FESTA DESTE ANO,
TENTE ENCARAR PELO LADO BOM:
VOC DANOU
As pessoas que no conseguiram ingresso, nopuderam ir festa deste
ano. Sendo assim, apalavra danou foi utilizada na propagandacom
qual significado?
Note que existe uma relao entre dois fatosmencionados na
propaganda: SE voc noconseguiu ingresso, ENTO danou. Esta uma
5
Desenvolvendo competncias
1. O Grfico 1 mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas
sobre o seu hbito deleitura dos jornais I e II:
relao de causa e conseqncia (tambmchamada de causa e
efeito):
CAUSA no conseguiu ingresso
CONSEQNCIA danou
Em matemtica, esta relao conhecida comoimplicao e representada
pelo smbolo:
Poderamos representar nosso exemplo daseguinte maneira:
no conseguiu ingresso danou2. Vamos analisar agora um outro
exemplo deimplicao. Suponha que voc chegue a sua casa eobserve que
a rua est molhada.
A partir desse fato, voc pode concluir que choveuna sua casa
naquele dia?
Grfico 1
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
51
Note que a sua rua pode estar molhadaporque algum cano de gua se
rompeu oualgum estava regando as plantas do jardim.Ento, no possvel
afirmar com certezaque choveu naquele dia.
Pensando sobre essa situao, observe as duasimplicaes abaixo:
1) Se chove, ento a rua fica molhada.
2) Se a rua est molhada, ento choveu.
As duas implicaes acima tm o mesmosignificado?
Repare que, apesar de serem muito parecidas (aimplicao 2 a
implicao 1 invertida), as duasfrases no tm o mesmo significado. A
nica coisaque fica garantida com a primeira frase que, nocaso de
ocorrer chuva, a rua ficar molhada. Ocontrrio, porm, no
necessariamenteverdadeiro. Como j vimos, a rua pode estarmolhada
sem que tenha chovido.
Inverter uma relao de implicao um errobastante comum em
argumentaes, que no deveser feito. Existe, no entanto, uma
maneiraequivalente de escrevermos uma implicao,muito utilizada em
matemtica, que iremosdiscutir a seguir.
3. Observe a questo abaixo:
O prefeito de uma cidade declarou imprensaque, se forem
contratados mais mdicos para ohospital municipal, ento os impostos
devero seraumentados. Qual das frases abaixo equivalente declarao
do prefeito?
1) Se os impostos aumentaram, ento maismdicos foram contratados
para o hospitalmunicipal.
2) Se os impostos no aumentaram, ento noforam contratados mais
mdicos para o hospitalmunicipal.
3) Se no foram contratados mais mdicos para ohospital, ento os
impostos no foramaumentados.
Note que a afirmao inicial do prefeito umaimplicao:
contratao de novos mdicos aumento deimpostos
Observe ainda que outros fatores podem levar aoaumento de
impostos: a contratao de novosprofessores para a escola municipal
ou oaumento do salrio dos funcionrios daprefeitura pode levar a um
aumento de impostos,mesmo que no sejam contratados novosmdicos.
Ento, no correto afirmar que se osimpostos aumentaram,
obrigatoriamente novosmdicos foram contratados. Assim, a afirmao
1no est correta.
Da mesma maneira, mesmo que no tenham sidocontratados novos
mdicos, os impostos podemter subido, devido a outros motivos. Logo,
aafirmao 3 tambm no est correta.
Mas uma coisa, porm, certa: se os impostos notiveram de ser
aumentados, podemos concluir queno foram contratados novos mdicos
(afinal, sefossem contratados, os impostos subiriam). Aafirmao 2 ,
portanto, equivalente frase inicialdo prefeito.
Vamos fazer um esquema das concluses quetiramos:
contratao de mdicos aumento de impostos
Assim, se temos uma afirmao a que implica umaafirmao b, isto
equivalente a dizer que no bimplica no a. Veja:
a b EQUIVALENTE A no b no aEsse esquema dado acima pode ajud-lo
a decifrarum argumento, principalmente quando as frasesso muito
longas ou complexas. Basta transformaras afirmaes em smbolos!
no aumento de impostos no contrataode mdicos
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
52
6
Desenvolvendo competnciasDesenvolvendo competncias1. Um analista
econmico disse, em uma entrevista televiso, que, se os juros
internacionais estiveremelevados, ento a inflao no Brasil crescer.
A partir dessa afirmao, pode-se concluir que, certamente:
a) se os juros internacionais estiverem baixos, ento a inflao no
Brasil diminuir.
b) se a inflao no Brasil no tiver crescido, ento os juros
internacionais estaro baixos.
c) se a inflao no Brasil tiver crescido, ento os juros
internacionais estaro elevados.
d) se os juros internacionais no forem elevados, ento a inflao
brasileira cair ou ficar igual.
2. Um quadriltero um polgono de 4 lados. A Figura 9 mostra um
quadriltero ABCD. Os segmentosAC e BD so chamados diagonais do
quadriltero. Lembre-se que um retngulo e um quadrado
soquadrilteros.
As duas afirmaes abaixo, sobre quadrilteros, so verdadeiras.
Se um quadriltero um quadrado, ento ele tambm um retngulo.
As diagonais de qualquer retngulo so congruentes (isto , tm a
mesma medida).
A partir das informaes acima, correto afirmar que:
a) se um quadriltero tem as diagonais congruentes, ento ele um
quadrado.
b) todo retngulo tambm um quadrado.
c) um quadriltero que no um quadrado no pode ter as diagonais
congruentes.
d) um quadriltero que no tem as diagonais congruentes no pode
ser um quadrado.
Figura 9
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
53
Deduo
Note que a menina dona do ursinho sabe quem foio autor da
brincadeira. Utilizando-se de umraciocnio dedutivo ela concluiu
quem teriadeixado o ursinho do outo lado da margem,baseando-se em
um fato: o menino est molhado!
Tente lembrar-se de uma situao que lhe tenhaocorrido, em que voc
utilizou a deduo.
Figura 10
Vamos usar o que discutimos sobre argumentaopara entender como
se organizam as teoriasmatemticas, ou seja, como as pessoas
conseguemdescobrir novos fatos dentro da matemtica econvencer-se de
que eles so verdadeiros.
Na matemtica, assim como no nosso dia a dia,usamos com muita
freqncia o raciocniodedutivo. Observe a histria abaixo paraentender
o que chamamos de deduo:
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
54
Vamos agora, partindo de alguns fatosmatemticos, deduzir um novo
fato, que voctalvez j tenha ouvido falar: a soma dos ngulosinternos
de qualquer tringulo sempre iguala 180.
I. Fatos iniciais
a) Considere, em um plano, uma reta r e um pontoP fora de r,
como mostra a Figura 11. Ento,existe uma nica reta s, paralela a r,
passandopelo ponto P.
b) Considere, num plano, duas retas paralelas a eb, como mostra
a Figura 12, e uma retatransversal t. Ento, os ngulos D e
Eassinalados na figura so congruentes, isto ,tm medidas iguais.
c) Se um ngulo raso (ngulo de meia volta) dividido em trs
ngulos, ento a soma dessesngulos igual a 180.
II. Deduo da propriedade
Vamos considerar um tringulo ABC qualquer,cujos ngulos internos
medem x, y e z, comomostra a Figura 14.
Pelo fato a, podemos desenhar uma reta r,paralela ao lado BC,
passando pelo ponto A.
Finalmente, pelo fato c conclumos quex + y + z = 180. Acabamos
de deduzir que asoma dos ngulos internos de qualquer tringulo
sempre igual a 180. Note que a nossa deduo muito parecida com a da
menina do ursinho oucom aquela que usamos no dia-a-dia: partindo
dealguns fatos conhecidos e usando argumentoslogicamente vlidos,
podemos produzir novasafirmaes, tambm verdadeiras. A nicadiferena
que na matemtica sempre deixamosclaros os fatos iniciais que
estamos utilizando, oque no cotidiano nem sempre fazemos.
Figura 11
Figura 12
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Pelo fato b, podemos representar:
Figura 13
-
Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
55
7
Desenvolvendo competncias
Usando como fato conhecido que a soma dos ngulos internos de
qualquer tringulo vale180, deduza quanto vale a soma dos ngulos
internos de um quadriltero.
Sugesto: utilize a Figura 17 e divida o quadriltero em dois
tringulos.
Vamos observar agora a deduo de umapropriedade algbrica.
Utilizando a propriedadedistributiva da multiplicao, deduza
umamaneira equivalente de escrever o produto
(a + b) . (a - b).
Vamos relembrar a propriedade distributiva damultiplicao antes
de iniciarmos nossa deduo.Desenvolva o produto 2y . (y - 3).
Note que o fator 2y deve ser distribudo tantoao y quanto ao 3.
Assim:
Voltando nossa pergunta, vamos desenvolver oproduto (a + b) . (a
- b) utilizando a propriedadedistributiva:
Note que usamos tambm a lei do cancelamentoda adio: a . b - a .
b = 0. Assim, conclumos que(a + b) . (a b) = a
2
b2
.
Figura 17
-
Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
56
8
Desenvolvendo competncias
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao, deduza uma
maneira equivalentede escrever o produto (a + b)2.
Sugesto: Lembre-se de que (a + b)2 = (a + b) . (a + b).
Induo
Observe a seguinte seqncia de figuras:
Figura 1 2 3 4 5
Bolinhas 1 x 1=1 2 x 2=4 3 x 3=9 4 x 4=16 5 x 5=25
Figura 18
Note que o nmero de bolinhas em cada figura vaiaumentando
seguindo uma certa lei. De acordocom essa lei,
a) desenhe a 5 figura dessa seqncia.
b) Quantas bolinhas h na Figura 5?
c) Responda, sem fazer o desenho, quantasbolinhas h na figura
6?
Ao fazer o desenho, voc deve ter observado quea 5
figura possui 25 bolinhas.
Em seguida, voc pde, sem fazer o desenho, darum bom palpite
sobre o nmero de bolinhasexistentes na 6 figura. Para isso, voc
teve deanalisar o comportamento das figuras anteriores.Observe a
Tabela 4 abaixo:
Se o comportamento for mantido, esperaremosque a 6 figura tenha
6 . 6 = 36 bolinhas. Fazendoo desenho, voc pode comprovar que, de
fato,esse o nmero de bolinhas da figura 6 e quenosso palpite estava
certo.
O raciocnio que utilizamos na nossa resposta, semfazer o
desenho, um exemplo do que chamamosraciocnio indutivo. A partir da
observao dealguns casos particulares, identificamos umcomportamento
que se repetia e fizemos umaconjectura (ou seja, um palpite).
Observe que o raciocnio indutivo, emmatemtica, ajuda-nos a
desconfiar de umresultado e, por isso, extremamente importante.
Tabela 4
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Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica
57
No entanto, no devemos considerar vlida umaconcluso baseando-nos
apenas na induo. Nonosso caso, o desenho da 6 figura da Figura
18poderia nos confirmar a validade de nossaconcluso.
Esse fato no tira a importncia do raciocnioindutivo. graas a ele
que a maioria dasdescobertas em matemtica e nas demais cinciasfoi
feita. Normalmente, da observao de umcomportamento que se repete em
alguns casosparticulares que os cientistas tiram inspirao
para estudar determinado fenmeno. O raciocniodedutivo, depois,
serve para confirmar ou noaquelas suspeitas.
No nosso caso, poderamos usar um argumentogeomtrico para
confirmar o nosso palpite: a6 figura da Figura 18 um quadrado com
6bolinhas em cada lado. Sendo assim, possui 6fileiras com 6
bolinhas cada, ou seja, 6 . 6 = 36bolinhas. Observe ainda que, com
esse argumento,poderamos generalizar a nossa concluso: afigura n
possui n . n = n
2
bolinhas.
9
Desenvolvendo competnciasDesenvolvendo Competncias1. Considere a
sequncia de figuras formadas por bolinhas, representada na figura
18.Note que, em cada figura, acrescentamos uma nova camada de
bolinhas, todas damesma cor. Assim, a 4 figura, por exemplo, era
formada por 4 camadas de bolinhas:
1 (laranja) + 3 (brancas) + 5 (laranjas) + 7 (brancas) = 16
bolinhas.
a) Usando a 5 figura, desenhada por voc, tente, sem efetuar a
adio, prever o resultadoda soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
b) Note que o resultado que voc obteve no item a a soma dos 5
primeiros nmerosmpares positivos. Usando esse raciocnio, tente
prever o resultado da soma dos 10primeiros nmeros mpares
positivos.
2. Um restaurante tem mesas retangulares de diferentes tamanhos,
para acomodar umnmero diferente de clientes. A Figura 19 mostra os
trs menores tipos de mesa e onmero de clientes acomodados em cada
um deles:
Figura 19
Seguindo o mesmo padro apresentado na seqncia de figuras acima,
o nmero declientes que podem ser acomodados em uma mesa do tipo 6
:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18
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Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio
58
Seqncias
Os jogos olmpicos, o mais importante evento
esportivo do planeta, ocorrem a cada 4 anos. Os
ltimos jogos olmpicos ocorreram na cidade de
Atenas, no ano de 2004. possvel sabermos em
quais anos teremos a realizao de jogos
olmpicos? Ora, essa no uma pergunta difcil,
j temos as informaes necessrias para
respond-la:
2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ...
Os nmeros acima formam uma seqncia. Note
que obedecemos uma ordem ao escrevermos esses
nmeros. Dizemos que 2004 o 1 termo da
seqncia, 2008 o 2 termo, 2012 o 3 termo
e, assim, sucessivamente. Essa informao
normalmente dada de maneira mais resumida.
Observe:
a1 = 2004
a2 = 2008
a3 = 2012
Quem , na nossa seqncia, a4? E a
6?
A nossa seqncia formada por nmeros, mastambm podemos estudar
seqncias de figuras,objetos, letras ou qualquer outra coisa
quedesejarmos.
Note que existe uma lei em nossa seqncia, quenos permite
descobrir quais sero os seus
prximos elementos. Nem sempre, porm, issoocorre. Imagine que a
seqncia (3, 0, 2, 1, 1, 2)seja o nmero de gols que uma equipe
marcounos 6 primeiros jogos de um campeonato.
possvel sabermos o prximo elemento dessaseqncia apenas
observando os anteriores?
Neste captulo, vamos estudar apenas asseqncias que obedecem
alguma lei, permitindoprever quais sero seus prximos elementos.
Comisso, estaremos utilizando tanto o nosso raciocniodedutivo
quanto o indutivo.
Uma estrada possui telefones de emergncia a cada3 quilmetros. O
primeiro telefone est colocado noquilmetro 2 da estrada.
a) Determine a localizao dos cinco primeirostelefones de
emergncia.
b) Determine a localizao do 72 telefone deemergncia.
c) Se a estrada tem uma extenso de 350 km,quantos telefones de
emergncia ela possui?
a) Obser