9. 交流における直列接続及び並列接続...9. 交流における直列接続及び並列接続 9. Series Connection and Parallel Connection in Alternating Current 講義内容

9. 交流における直列接続及び並列接続9. Series Connection and Parallel Connection in Alternating Current

講義内容

1. 回路要素の直列接続2. 回路要素の並列接続3. インピーダンスとアドミタンス

回路要素の直列接続：R-L直列回路 2

抵抗 R とインダクタンス L の直列接続

R

L

I

V

RV

LV

R L

R

L

V V V

V RI

V jωLI

= +

= =

( )R LV V V R jωL I= + = +

Im

I

V

Re0

RV

LV

Vθ

Iθ

オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい

第 １ 象限

回路要素の直列接続： R-C直列回路 3

抵抗 R とキャパシタンス C の直列接続

R

C

I

V

RV

CV

R C

1V V V R j I

ωC

= + = −

R C

R

C

1 1

V V V

V RI

V I j IjωC ωC

= +

=

= = −Im

I

V

Re0

RV

CV

Vθ

Iθ

オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい

第 ４ 象限

インピーダンス 4

R – C 直列回路

R – L 直列回路

( )V R jωL I= +

1V R j I

ωC

= −

( )22 1

RL Tan [Ω]ωL

Z R jωL R ωLR

−= + = + V ZI=

2

2 1

RC

1 1 1Tan [Ω]Z R j R

ωC ωC ωCR

− = − = +

：インピーダンスZ 左辺：複素数 表示，右辺：極 (座標)表示

V

I

Z

インピーダンスの詳細 5

インピーダンス [Ω]X　Z R j= +

リアクタンス

抵抗( レジスタンス )

RLZ R jωL= +

R – L 直列回路 抵抗：R

リアクタンス： X ωL=

R – C 直列回路

RC

1Z R j

ωC= −

抵抗：R

リアクタンス：1

XωC

= −

リアクタンスの符号が 正：誘導性 リアクタンス

L と C で構成されるエネルギを消費 しない 疑似的な抵抗

リアクタンスの符号が 負：容量性 リアクタンス

アドミタンスとその詳細 6

アドミタンス2 2 2 2

1 1 R XY j G j

Z R jX R X R X= = = − = +

+ + +[S]B　

サセプタンス

コンダクタンス

RLZ R jωL= +

R – L 直列回路

( ) ( )RL 2 22 2

R ωLY j

R ωL R ωL= −

+ +

サセプタンスの符号が 負：誘導性 サセプタンス

インピーダンスの 逆数

R – C 直列回路

RC

1Z R j

ωC= −

RC 2 2

2 2

1

1 1

R ωCY j

R RωC ωC

= +

+ +

サセプタンスの符号が 正：容量性 サセプタンス

インピーダンス図，アドミタンス図 7

R – L 直列回路

RLZ R jωL= +

( ) ( )RL 2 22 2

R ωLY j

R ωL R ωL= −

+ +

R – C 直列回路

RC

1Z R j

ωC= −

RC 2 2

2 2

1

1 1

R ωCY j

R RωC ωC

= +

+ +

R

jωLRLZ

ZθRLY

( )22

R

R ωL+

( )22

ωLj

R ωL−

+

Yθ

R

1jωC

−Zθ

RCZYθ

RCY

2

2 1

R

RωC

+

2

2

1

1

ωCj

RωC

+

及び は矢印 を用いて表さない ことに注意！Z Y

各種タンスのまとめ 8

[Ω]Z R jX= +

リアク タンスレジス タンスインピー ダンス

[S]Y G jB= +

サセプ タンスコンダク タンスアドミ タンス

( )0Z X 　

誘導性 リアク タンス

誘導( L )性 インピー ダンス

( )0Z X 　

容量性 リアク タンス

容量( C )性 インピー ダンス

( )0Y B

誘導性 サセプ タンス

誘導性 アドミ タンス

( )0Y B 　

容量性 サセプ タンス

容量性 アドミ タンス

インダク タンス

キャパシ タンス

回路要素の並列接続：R-L並列回路 9

抵抗 R とインダクタンス L の並列接続

R L

R

L

I I I

VI

R

V VI j

jωL ωL

= +

=

= = −

R L

1 1I I I j V

R ωL

= + = −

オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい

第 ４ 象限

R

I

V L

RI LI

Im

Re0

Vθ

Iθ

V

I

RI

LI

回路要素の並列接続：R-C並列回路 10

抵抗 R とキャパシタンス C の並列接続

R C

R

C

I I I

VI

R

I jωCV

= +

=

=

R C

1I I I jωC V

R

= + = +

オーム の法則より電流と抵抗の電圧降下の位相 は常に 等しい

第 １ 象限

R

I

V

RI CI

CIm

V

I

Re0

RI

CI

Vθ

Iθ

インピーダンスとその詳細 11

インピーダンス2 2 2 2

1 1 G BZ j R j

Y G jB G B G B= = = − = +

+ + +[Ω]X　

リアクタンス

抵抗

RL

1 1Y j

R ωL= −

R – L 並列回路RL 2 2 2 2

11

1 1 1 1

ωLRZ j

R ωL R ωL

= +

+ +

リアクタンスの符号が 正：誘導性 リアクタンス

アドミタンスの 逆数

R – C 並列回路

RC

1Y jωC

R= + ( ) ( )

RC 2 22 2

1

1 1

ωCRZ j

ωC ωCR R

= −

+ +

リアクタンスの符号が 負：容量性 リアクタンス

インピーダンス図，アドミタンス図 12

R – L 並列回路

( ) ( ) ( ) ( )RL 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

R ωLZ j

R ωL R ωL= +

+ +

RL

1 1Y j

R ωL= −

R – C 並列回路

( ) ( ) ( ) ( )RC 2 2 2 2

1

1 1

R ωCZ j

R ωC R ωC= −

+ +

RC

1Y jωC

R= +

RLZ

Zθ

RLY

( ) ( )2 2

1

1 1

ωLj

R ωL+ Yθ

Zθ

RCZ

Yθ

RCY

及び は矢印 を用いて表さない ことに注意！Z Y

( ) ( )2 2

1

1 1

R

R ωL+

1jωL

−

1

R

( ) ( )2 2

1

ωCj

R ωC−

+

( ) ( )2 2

1

1

R

R ωC+

1

R

jωC

例題： R-L直列回路，R-L並列回路 13

R = 40[Ω] L = 0.1[H]

a b図のようなR-L直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-L並列回路の R’ および L’ を求めよ

RLS 40 10 [Ω]Z R jωL j π= + = + 　

R – L 直列回路のインピーダンスは

R – L 直列回路のアドミタンスは

( ) ( ) ( ) ( )RLS 2 2 2 22 2 2 2

1 40 10 40 10[S]

40 10 40 10 40 10

R jωL j π πY j

R jωL R ωL π π π

− −= = = = −

+ + + + +　

a bR’

L’

例題： R-L直列回路，R-L並列回路 14

R = 40[Ω] L = 0.1[H]

a b

a bR’

L’

図のようなR-L直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-L並列回路の R’ および L’ を求めよ

実部と虚部を取り出して，

( )

( )

22

22

1 40

' 40 10

1 10

' 40 10

R π

π

ωL π

=

+ = +

R – L 並列回路のアドミタンスは

RLP

1 1[S]

' 'Y j

R ωL= −

( )

( )

22

22

40 10'

40

40 10'

10

πR

πωL

π

+=

+=

( )

( )

22

22

40 10' 64.47 Ω

40

40 10' 0.262[H]

10 2 50

πR

πL

π π

+= =

+= =

例題： R-C直列回路，R-C並列回路 15

R = 400[Ω] C = 10[μF]

a b図のようなR-C直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-C並列回路の R’ および C’ を求めよ

RCS

1 1000400 [Ω]Z R j

jωC π= + = − 　

R – C 直列回路のインピーダンスは

R – C 直列回路のアドミタンスは

RCS 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1000 1000400

1 400[S]

1 1 1000 1000 1000400 400 400

R j jωC π πY j

R j RωC ωC π π π

+ +

= = = = + − + + + +

a bR’

C’

例題： R-C直列回路，R-C並列回路 16

R = 400[Ω] C = 10[μF]

a b図のようなR-C直列回路と周波数50[Hz]で等価なR-C並列回路の R’ および C’ を求めよ

a bR’

C’

R – C 並列回路のアドミタンスは

RCP

1'[S]

'Y jωC

R= +

実部と虚部を取り出して，

( )

( )

22

22

1 400

' 400 1000

1000'

400 1000

R π

πωC

π

=

+ = +

( )

( )

22

22

400 1000' 653.30[Ω]

400

1000' 3.877[μF]

400 1000 2 50

πR

πC

π π

+= =

= = +