第8回Zansa 俺の人生ランダムウォーク

俺の人生ランダムウォーク

慶應義塾大学大学院理工学研究科　基礎理工学専攻

修士二年

松尾 洋一

自己紹介松尾洋一

慶應大学修士２年専攻

数学　数値計算　 C 言語　ハイパフォーマンスコンピューティング

VECPAR2012 ポスター発表“Parallel Block Gram-Schmidt

Ortho-gonalization with Optimal Block-size”

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6 月のある日・・・ 島田「今度発表してよ」 松尾「いいよー．ランダムウォークとか？」 島田「ｲｲﾈ !! じゃあ，それで告知しとくねー !! 」 松尾「了解」

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6 月のある日・・・ 島田「今度発表してよ」 松尾「いいよー．ランダムウォークとか？」 島田「ｲｲﾈ !! じゃあ，それで告知しとくねー !! 」 松尾「了解」

島田「今度の発表は，松尾君の『俺の人生ランダムウォーク』です」

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俺「え，なにそれこわい」

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今までを振り返ってみると，

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ZANSA

第１回　「統計入門以前」第２回　「正規分布」第３回　「分布」第４回　「重回帰分析」第５回　「推定」第６回　「ベイズの定理」第７回　「信頼性工学」

第８回　「？？」7統計解析入門はほとんど終わった？

ZANSA

『研究と実務の乖離』

確率なら，“統計っぽい”し，学問と実務が 近い

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簡単な確率論とその応用を（僕が復習したので）みんなで学ぼう！！

確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

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確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

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確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

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確率論とは『近代の確率論は，対数の法則，中心

極限定理から続いて確率変数や分布の極限理論を経て，～（中略）～，マルコフ過程，特に拡散過程の研究』

（「確率論の基礎と発展」　飛田武幸著　共立出版　 2011 年）

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ランダムウォークも最も初歩的な確率過程の１つ

OUTLINE

ランダムウォーク

応用

13

俺の人生ランダムウォーク

14

人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

俺の人生ランダムウォーク

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人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

俺の人生ランダムウォーク

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人生 (wiki) 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

人生が再帰的（同じ戻ってくる）じゃまずくね !?!?成長してない・・・

俺の人生ランダムウォーク

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人生 人間がこの世で生きる

ことや，生きている時間，経験などのことである．

ある法則のもとで人生を何度も繰り返しながら成長している（飯田史彦）

“ つき”の存在：勝ち続ける or負け続ける

ランダムウォーク 次に現れる位置が確率

的に無作為（ランダム）に決定される運動である．

単純ランダムウォークは再帰的

ランダムウォークには偏りがある !!

“ つき”の存在 !?

1 次元単純ランダムウォーク

18

𝑡=0 1

1 次元単純ランダムウォーク

19

𝑡=0 1 2

1 次元単純ランダムウォーク

20

𝑡=0 1 2 3

1 次元単純ランダムウォーク

21

𝑡=0 1 2 3 5 6 74

ランダムウォーク 定義　を独立かつ同分布な値確率変数とす　る．この時，

　を次元ランダムウォークという．特にが値であり，　かつ

　であるとき， を次元単純ランダムウォークという．

22つまり，どういうこと ??

：経過時間 ：進む方向の数 ：進む速度が実数値 ：時間での進み方 ：時間での位置 ：進む速度が整数値 ：ある方向とその逆方向に進む確率が同じで，かつ

一定

23

1 次元単純ランダムウォークの場合 定義　を独立かつ同分布な値確率変数とす　る．この時，

　　を次元ランダムウォークという．特にが値であり，　かつ

　であるとき， を次元単純ランダムウォークという．

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位置

1 と -1 が出る確率が同じ 1/2

𝑋 n={𝑥∈𝑍∨ x=1 ,−1 }(0,0)

(1,0)(-1,0)

1 次元単純ランダムウォーク

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𝑡=0 1

1 次元単純ランダムウォーク

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𝑡=0 1 2

1 次元単純ランダムウォーク

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𝑡=0 1 2 3

1 次元単純ランダムウォーク

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𝑡=0 1 2 3 5 6 74

2 次元ランダムウォークの例

29

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再帰的 定義　　ランダムウォークがスタートの位置に確率 1 で戻ってくるとき，そのランダムウォークは再帰的であるという．そうでないときは非再帰的であるという． 定理　 1 次元ランダムウォークがいつか原点に戻る確率は．したがって， 1 次元単純ランダムウォークは再帰的．

31

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

32

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

33

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

求める確率再起確率

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証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

35

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

36

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

37

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

38

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

39

足し算する

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

これは，等差数列40

足し算する

定数

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

41

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．

42

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．よって，となる．また，に対しても同様に行うと となる．

43

証明原点からスタートして， n地点に来る確率をとする．

すると，次式が成り立つ．

ここで，ならばとなる．すると十分大きなに対して，となる．しかし，は確率なのでより矛盾．よって，となる．また，に対しても同様に行うと となる．以上より，

再帰確率となる． 44

1 次元ランダムウォーク， 2 次元ランダムウォークは再帰的

3 次元ランダムウォークは非再帰的

再帰的 確率 1 で戻ってくるとき，そのランダムウォークは再帰

的であるという．そうでないときは非再帰的であるという．

戻ってこないとは言っていない．45

（ 2 次元も好きだけど）俺の人生は 3 次元だからオッケー ^^

ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

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ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

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ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

つまり，過去は関係ない

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ランダムウォークの性質独立増分性

現在の状態が既知

未来の状態・期待値は現在の状態にのみ依存

つまり，過去は関係ない

本当にそうだろうか？ 49

現在位置がスタート位置から上側だとしても，次の動きが下になりやすいわけではない．

片側に寄る傾向がある

１次元ランダムウォーク点の存在分布：正規分布点が正の領域にいる時間の割合の分布 50

点が正の領域にいる時間の割合の分布

51

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

グラフ

逆正弦定理 に対し，

　　が成り立つ．

52

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

53

存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

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存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

十分に大きい回数，試行を行ったとき，正の位置にいる割合

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存在位置の割合 確率[00.1] or [0.91] 0.200

[010.2] or [0.] 0.090

[00.3] or [0.7] 0.074

[0.30.4] or [0.6] 0.067

[0.40.5] or [0.] 0.064

正の位置にいる割合は 0 or 1 に近いことが多い

どのような応用があるのか？

56

破産問題 コイントスをし，表なら勝ち，裏なら負けとする．

表が出る確率はとする．倍がけ戦略

はじめに， 1 をかける．その後，コインを投げ表がでるまでかけ金を倍にする．

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破産問題 コイントスをし，表なら勝ち，裏なら負けとする．

表が出る確率はとする．倍がけ戦略

はじめに， 1 をかける．その後，コインを投げ表がでるまでかけ金を倍にする．

いま， N 回目に初めて，表が出たとすると，それまでに負けた額は，

N 回目で勝って額は．つまり，儲かる．

58

破産問題 さらに， N 回目まで表が出ない確率

つまり，有限時間内に絶対に表は出る．よって，絶対に勝てるし，儲かる．

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破産問題 さらに， N 回目まで表が出ない確率

つまり，有限時間内に絶対に表は出る．よって，絶対に勝てるし，儲かる．

これは必勝法なのか？

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破産問題 いま， N 回目に初めて表が出たとする．負けた額

は．

初めて表が出るまでに，いくら負けるか，その期待値を求めてみる．

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破産問題 いま， N 回目に初めて表が出たとする．負けた額

は．

初めて表が出るまでに，いくら負けるか，その期待値を求めてみる．

62

破産問題つまり，この方法が成立するためには始めに，円持っていないといけない．

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破産問題つまり，この方法が成立するためには始めに，円持っていないといけない．

そんなのは無理

賭け事や株で，資金があれば勝てるのはこういうこと？

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確率過程

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離散的ランダムウォー

ク

マルコフ時系列

連続的ブラウン運動

マルコフ過程

伊藤の公式ブラック・ショー

ルズの公式

一般化 一般化

ですが，今回はここまでー．　また，機会があれば話します！＾＾

ありがとうございました．

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