VIII. Bilangan Kompleks, Phasor,Impedans,admitans Bab VIII 1
VIII. Bilangan Kompleks, Phasor,Impedans,admitans
Bab VIII 1
Bab VIII 2
BILANGAN KOMPLEKSDefinisi:
Satuan bilangan khayal (imajiner) adalah bilangan 1
yang umumnya dinyatakan dengan simbol 1j atau1i
Penyelesaian persamaan 0565 2 xx adalah 8,06,0 j
Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks
79)36()43( jjj jjj 3)36()43(
12
j
Bab VIII 3
BILANGAN KOMPLEKS
Perkalian bilangan kompleksjjjjj 336)1224918()36()43( jjjjj 1530)1224918()36()43(
25)1612129()43()43( jjjj
Pembagian bilangan kompleks
22 361530
)36()36()36()43(
3643
j
jjjj
jj
)36( j )36( jadalah Konjugat dari
)36( jZ )36( jZ
Konjugatnya adalah
Bab VIII 4
BILANGAN KOMPLEKS
Bentuk kutub bilangan kompleks
a
b
x
y
jjba )sin(cos jr
r
abarctan 22 bar
Bentuk-bentuk kompleksjyxz
Polar atau steinmetz: zzExponensial: jrezTrigonometri: )sin(cos jrz
Rectangular
Bab VIII 5
BILANGAN KOMPLEKSPerkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar
)sin(cos 1111 jrjbaz
)sin(cos 2222 jrjdcz)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz
)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz
)(... 2121221121 rrrrzz
Andaikan:
Bab VIII 6
BILANGAN KOMPLEKSPerkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar
)sin(cos 1111 jrjbaz)sin(cos 2222 jrjdcz
)]sin(cos)][sin(cos[))((. 22211121 jrjrjdcjbazz
)]sin()[cos(. 21212121 jrrzz
)(... 2121221121 rrrrzz
Andaikan:
Pembagian bilangan komplek
)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos
21212
1
222
111
2
1
jrr
jrjr
zz
Sumber gelombang sinusoidal
Bab VIII 7
Gelombang Sinusoidal
Bab VIII 8
Sumber tegangan dan arus sinusoidal;satuan sudut(Derajat dan radian)
r
r
57.296o
1 radian
Bab VIII 9
(a) Sumber tegangan ac sinusoidal
(b) Sumber arus sinusoidal
2 rad = 360o
1 rad = 57,3o
dl=rd
Perioda,frekuensi,kecepatan sudut
f 2
(rad/s) 2
)(det
1 T 1
T
sikTHzf
fdan
Tf
Bab VIII 10
Satuan frekuensi : Hertz (Hz)1 Hz = 1 cycle per second (c/s)
t
)(det) (kecepatan
dant
ikwakturadianatauderajatjaraksudut
Bentuk Umum Sinyal Sinusoidal
Bab VIII 11
Sinyal sinusoidal bisa dinyatakan dalam bentuk matematis :Am sin
AtauAm sin t
Pergeseran Gelombang
t
Bab VIII 12
• Jika sinyal sinusoidal digeser ke kanan atau kiri dari titik 0, bentuknya menjadi :
Am sin (t + )dengan adalah sudut geser dalam derajat atau radian
• Jika gelombang melalui sumbu horisontal dan slope ke arah negatif (naik seiring waktu) terjadi sebelum 0o (gambar a), maka bentuk matematis gelombangnya :
Am sin (t + )• Jika gelombang melalui sumbu
horisontal dan slope ke arah positif terjadi setelah sumbu 0o (gambar b), maka bentuk matematis gelombangnya :
Am sin (t - )
(a)
(b) di mana
Pergeseran Gelombang
Bab VIII 13
Jika gelombang melewati sumbu horizontal dengan slope ke arah kiri artinya lebih cepat 90o (/2) seperti pada gambar di bawah,maka disebut gelombang cosinus
90 t2
atau
sin t-90 t2
sin( ) sin cos
cos( ) cos
o
o
t t
t
Bab VIII 14
Bagaimana respons paksa ( arus yang diakibatkan mengalir dalam rangkaian ) jika masukan fungsi sinusoidal diberikan pada rangkaian RL seri ?
tVRidtdiL m cos
tBtAi f sincos
tVtBtARtBtAL m cossincoscossin
mVLBRA 0 RBLA
222 LRRV
A m
222 LRLV
B m
R
L
itmV cos
Dengan tabel trial solution akan diperoleh:
Bab VIII 15
tLR
LVtLR
RVi mmf
sincos 222222
RLt
LRVi m
f
1
222tancos
tIi mf cos
222 LRVI m
m
RL 1tan
tLR
n eAi
1
dimana
L
R
Bab VIII 16
RLt
LR
Vi m
1
222tancos
Solusi nya dalam keadaan mantap
tZVi m cos
Bab VIII 17
Contoh berikut adalah rangkaian R//C dicatu oleh sumber arus sinusoidal atau forcing functionnya sinusoidal
Tentukan v dan i di kapasitor C dalam keadaan mantap
Bab VIII 18
RCV
dtdV
CtI cCm
cos
tBtAVCf sincos
)sincos(1cossincos tBtARC
tBtAC
tIm
tBRC
AtARC
BC
tIm sin1cos1cos
CRAB
RCACRA
RCCRAA
RCB
CIm
22 )(111
Dari Trial Solution
RVitI c
cm cos
01
RCA
Bab VIII 19
CR
1
t
CR
CRtCRCR
RIV mCf
sin1
cos1
1
1 222
sinsincoscos
1 2tt
CR
RIV mCf
t
CR
RIV mCf cos
1 2
21 CRRIA m
22
2 11 CRCRIR
CRRICRB mm
ACRRIm2)(1
Bab VIII 20
Solusi nya adalah :
t
CR
RIV mC cos
1 2
dtdvCi c
c
t
CR
CRIi mc sin
1 2
90cos
1 2
tCR
CRIi mc
Cara penyelesaian dengan menggunakan trial solution ,adalah cara kuno dan tidak menarik buat calon sarjana Teknik Elektro .Cara lain lebih elegan adalah dengan menggunakan Phasor
Bab VI 21
PHASOR
)cos( tVv m
maka )( )( tjmeVev
Jika kecepatan sudut dari fungsi tersebut diketahui, dan fungsi tsb dapat ditentukan oleh nilai mV dan
maka ditulis mm VV
90sin0cos
)cos(phasordomain time
mmm
mmm
mmm
VVtVVVtVVVtV
Jika terdapat suatu fungsi
Pemahaman Phasor dalam dimensi ranah waktu dan bidang komplek
Phasor dalam arah maju ( leading )dan mundur ( lagging)
Bab VIII 24
Hitunglah amplituda dan phasa dari fungsi sinus berikut (Beca 10.1.2)
)602cos()433()302cos()334()
2sin42cos3)00
ttb
tta 00 9.36;5)1.53;5) ba
Tentukan frekuensi fungsi sinus berikut ( Beca 10.1.3)
tbta
377sin4))106cos(3) 0 Hzba 60);3)
Jawab 10.1.2
Bab VIII 25
Pada R
PHASOR Contoh penggunaan:
i R
tVm cosiRtVm cos
RIVm 00
RV
I m
VVm 0
IIm 0
Diagram phasor
Bab VIII 26
Pada L
PHASOR Contoh penggunaan:
fi
LtVm cos
tVdtdiLv mL cos
LjV
jjjx
LV
LV
LVI mmmm
00
0
90900
maka ILjLIVL 090
induktans Reaktansi LXLjX LL
V
I
tL
VttdVL
i mm
sincos1
)90cos( tL
Vi m
Bab VIII 27
Pada C
PHASOR Contoh penggunaan:
fi
CtVm cos
))90cos((sincos tVCtCV
dttdVC
dtdVCi mm
m
mmm CVjCVCVI 000 90900
09011
CCjXC
kapasitif reaktansi1
CX C
I
V
Bab VIII 28
PHASOR
Dari sini diperoleh:
RRZ R 00LL XLLjZ 090
CC XCCj
Z
09011
Animasi phasor
Animasi Phasor 2
1 10 50cos( )v t 2 12 10sin( )v t dan
Hitunglah sudut antara V1 dan V2
Bab VIII 31
IMPEDANSI
Z
I
V
Jika:
VV II
IV
IV
IVZ
danmaka
Jika111111
jXRZZ ZZ
1X
1Z
1R
Z
Bab VIII 32
IMPEDANSI
Jika2220
2jXRZZ 2X
2Z
2R
ADMITANSI Y
RjX
jBGjXRZ
Y
11
G = konduktansi, B= suseptansi
2222 ;XR
XBXR
RG
Bab VIII 33
R jX
jXRZ111
IMPEDANSI SERI
jGY G
B Y
nT ZZZZ ....21
V
1Z 2ZI
nZ
Bab VIII 34
IMPEDANSI PARALEL
V 1Z 2Z nZ
1I 2InI
nT ZV
ZV
ZV
ZV
...21
nT ZZZZ1...111
21
nT YYYY ...21
Y = admitansi
Bab VIII 35
Tentukan impedans dari rangkaian jika diketahui dalam domain waktu yang direpresentasikan oleh phasor IdanV Adalah: (Beca 10.15)
Ampti
voltttva
)202cos(7.1
2sin162cos30)0
mAeji
voltjevbtj
tj
)302(
2
0
)1(
)
09.17120
k0152
1
Jawab 10.15
Bab VIII 36
Dari gambar tentukan v1 dan gunakan untuk mencari v1 bila tegangan masuk 34cos4t ( Beca 10.9)
Jawab 10.9
volttvAmpev tj )1.284cos(1010 0)1.284(1
0
Bab VI 38
21 2
1 2 3
xs s
x
Z ZV V V VZ Z Z
22 3 1
1 2 3
xx
x
Z Z Z Z Z ZZ Z Z
32
1x
ZZ ZZ
1
2x s
RC CR
Bab VI 41
2
1x s
RL LR