8686882-MATEMATICAS-1-fasciculo6

H.G. WellsEscritor británico, 1866-1946

“De una manera indescriptible, mientras(Davidson) iba de un lado a otro en Londres, sumirada iba de un lado a otro de maneracorrespondiente por aquella isla lejana... Cuandoyo le señalé que no se podía alterar el hecho deque ese lugar (la isla Antípoda) estaba a ocho milmillas de distancia, me respondió que aunquedos puntos estuvieran separados por una yardaen una hoja de papel, se les podía poner unojunto al otro al dar vuelta al papel sobre sí mismo.”

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo de las medidasFascículo

Medidas II

La matemática y la astronomía tuvieron un gran avancecon los científicos del Islam, quienes hicieron grandesaportes en álgebra, geometría y trigonometría. Esta es unailustración persa del s. XVI y en ella se observa a variosastrónomos utilizando diversos instrumentos de medida yde observación como son: compás, astrolabio, plomada,reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.

¿Qué medimos?Las líneas: segmentos, poligonales y curvas (objetos unidimensionales),a las que calculamos sus longitudes.

Joan MiróPintor español (1893-1983)

El hermoso pájaro que revelalo deconocido a una pareja de enamorados

Del segmento De la poligonal De la curva y deobjetos enrollados

Las regiones de un plano limitadas por líneas (objetos bidimensionales),a las que calculamos sus áreas.

Del triángulo Del polígono Del círculo de una región

Los cuerpos en el espacio (objetos tridimensionales), a los que calculamossu volumen.

Del tetraedro Del paralelepípedo Del cilindro

De la esfera Del barril Capacidaddel recipiente

También se calculan: las áreas de las superficies (planas o curvas) que loslimitan, las longitudes de sus aristas y los contornos rectos o curvos.

¿Longituddel ecuador?

¿Distanciaentre la Tierra y laLuna?

Calculando las longitudes

Cuando medimos el largo, ancho o altura de un objeto estamosmidiendo la longitud de las dimensiones de ese objeto. Al medircada una de estas longitudes lo que hacemos es medir la distanciaentre los extremos de un segmento. Por ejemplo, en el dibujo elancho, el largo y la altura del paralelepípedo, son respectivamentela distancia entre los puntos A y B, B y C, C y D.Asimismo, cuando medimos la distancia entre Barcelona y Maturín,bien sea en línea recta en un mapa o por carretera, la profundidadde un pozo, el perímetro de un polígono o la circunferencia deun círculo, medimos longitudes.

A

B

C

D

LargoAncho

Altu

ra

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

¿Superficiede la Tierra?

A B

C

D

EF

Perímetro del polígono=AB + BC + CD + DE +EF+ FA

A

B

C

D

E

F

G

Longitud de la poligonal=AB + BC + CD + DE +EF+ FG

C

R

Longitud de laCircunferencia C = 2πR

Unidades de longitudLa unidad patrón de la longitud es el metro.Se considera la unidad base del Sistema Internacional de Medidas (SI)porque las unidades de superficie, volumen y peso derivan de esta unidadde longitud.Cuando necesitamos medir longitudes muy grandes, por ejemplo, la distanciaentre dos ciudades, utilizamos el kilómetro que es un múltiplo del metro, elcual es equivalente a 1 000 m. Si, por el contrario, queremos medir longitudespequeñas utilizamos submúltiplos del metro como el centímetro o el milímetroequivalentes a 0,01 m y a 0,001 m, respectivamente.Para medidas microscópicas se utiliza la micra o micrón equivalente a unamillonésima parte del metro (0,000 001 m) o sea una milésima de milímetro(0,001 mm). Análogamente, para grandes distancias se usa el megámetroequivalente a 1 000 000 m = 1 000 km. Para expresar distancias enormesen astronomía se utiliza el Año Luz, el cual representa la distancia que laluz recorre en un año.

Otras medidas de longitud

Debido a tecnologías importadas y a la influencia del comercio internacional,en nuestro país coexisten junto a las medidas del SI otras medidas comola pulgada, medida inglesa equivalente a 2,54 centímetros que es utilizadapara medir, por ejemplo, herramientas como tornillos, llaves, tubos y otros.

La milla náutica internacional, también conocida como milla marina, es unamedida utilizada para medir distancias en navegación marítima. Su valorestá fijado por convención en 1 852 m, valor que se obtiene al dividir lacircunferencia aproximada de la Tierra (40 000 km) entre 360 grados y dividirese resultado entre 60 que es la cantidad de minutos de arco en un grado.

135 km

210 km

Escala gráfica

0 50 km 100 km

19 pulgadas

Al referirnos al tamaño de un monitorde computadora o un televisor, loexpresamos en pulgadas (ejemplo: 15”,19”, 27”), refiriéndonos a la longitud dela diagonal de la pantalla.


Micrómetro o tornillo micrométrico: Instrumentoque permite medir con gran precisión longitudes oángulos muy pequeños.

Odómetro: Instrumento que permite contar la distancia.Ejemplo: El cuentakilómetros de un automóvil.

RETO:En la figura se tienen dos circunferenciasconcéntricas en O, siendo OB = 9 cm yOA = 3 cm. Determina el perímetro dela zona roja.

Medida de una circunferencia

Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, un método muy fácil consiste entomar un pabilo o cinta (inextensible), fijar uno de sus extremos en un punto A de lacircunferencia y bordear ésta con el pabilo hasta completar la curva. El punto en el cualel pabilo completa la curva lo marcamos y lo llamamos B. Así obtenemos un segmento ABdel pabilo cuya longitud es la longitud de la circunferencia que llamaremos L. Si efectuamosesta operación con diferentes objetos circulares como monedas, discos compactos, ruedas, etc.y observamos los resultados, notaremos que siempre el segmento AB resultante contiene tresveces el diámetro d y sobra un pequeño trozo CB el cual podemos comprobar que esaproximadamente del diámetro. Es decir que la medida de cualquier circunferencia, conrespecto a su diámetro d como unidad es la misma; esta constante es el número que conocemoscomo π (pi). Entonces π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.Es decir π = L/d aproximadamente igual a 3 + = .Entonces la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula L=2 πR.

R

d

A

A C B

d d d


O A B

17

17

227

Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes

Calculando áreas


El área de una superficie (plana o curva) es una magnitud que

mide su extensión superficial con una unidad de medida prefijada.

En el Sistema Internacional (SI) la unidad es el metro cuadrado

(m2). Igual que para otras magnitudes, en el SI hay múltiplos y

submúltiplos del metro cuadrado, y éstos van de 100 en 100.

Un múltiplo muy utilizado es el hectómetro cuadrado (hm2) el

cual es empleado para la medición de parcelas de terreno y

recibe el nombre de hectárea (ha), y es equivalente a 10 000

m2. Cuando se trata de mediciones referidas a la construcción

de una casa recurrimos al metro cuadrado.

Si se trata de medir la extensión territorial de un país se emplea

el kilómetro cuadrado (km2). Por ejemplo, Venezuela tiene una

extensión territorial de 916 445 km2.

(Fuente: Imagen de Venezuela,1992, PDVSA)

Pietro LorenzettiPintor italiano (c. 1280-1348)Historia de la Beata HumildadLa escena representa el acarreo de ladrillos paraconstruir el convento y el hospicio. Para edificar esnecesario conocer correctamente las medidas desuperficies planas.

La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lofuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59)2=509 260 302,25 km2. De éstos, aproximadamente, 381 945 226,68 km2,(sus partes) están cubiertas de agua.Hemos tomado como aproximación de π el valor 3,14 y como radio de laTierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatorial(6 378,38 km).

34

¿Cómo calculamos el área de una figura plana?


Herón de Alejandría (s. I d.C.) presenta en el libro I de su tratado Las métricas,la fórmula A= s(s-a)(s-b)(s-c) para calcular el área de un triángulo de lados a, b yc, donde s es el semiperímetro, [s= ]. Esta fórmula se conoce como fórmulade Herón aunque algunos la atribuyen a Arquímedes.

Armando BarriosPintor caraqueño (1920-1999)

Composición

Existen varias formas para calcular el área de una figura plana. Para algunas

figuras tenemos fórmulas; por ejemplo, el área del círculo de radio R viene dada

por A=π R2. También existen instrumentos como el planímetro (o integrómetro)

mediante los cuales podemos hacer mediciones de áreas. A veces es necesario

hacer estimaciones para determinar el área. Esto último ocurre si queremos

conocer el área de una finca, de un país o de una región.

Asimismo, existen teoremas, como el de Pitágoras, los cuales establecen

interesantes relaciones entre áreas.

Sin embargo, también se calcula el área de figuras que no son planas. Por ejemplo,

el área de la superficie de una esfera de radio R es 4 π R2.

Actualmente existen modernos instrumentos digitales para la medición de áreas

como los planímetros que se muestran a continuación.

El círculo tiene la mayor área entre todas las áreas de regiones limitadas por curvas con una longitud dada. Porejemplo, si tenemos una cuerda de longitud L =10 m y construimos un triángulo, un cuadrado y un pentágono regularcuyos perímetros sean iguales a 10 m, y también construimos una circunferencia de longitud 10 m, entonces dichocírculo tiene mayor área que los otros tres polígonos.

Esta propiedad del círculo fue demostrada por Pappus de Alejandría(s. IV d.C.), quien lo hizo para los polígonos regulares. “De todas lasfiguras planas de igual perímetro, el círculo es el de mayor área”.Hay una leyenda curiosa en torno de esta propiedad, denominada elproblema o la leyenda de Dido relacionada con la fundación de Cartago,la ciudad rival de Roma durante varios siglos: la princesa fenicia Didodesembarcó en las costas del Norte de África y realizó un conveniocon el rey del lugar que consistía en canjear sus joyas por un pedazode terreno, todo aquél que se podía limitar con una piel de toro. Unavez que se aceptó ese convenio, ella cortó la piel del toro en trozosmuy delgados uniéndolos entre sí y luego formó una curva cerrada degran longitud, precisamente en forma de una circunferencia, dentro dela cual construyó la ciudad de Cartago.

(a+b+c)2

INTERESANTEUtilizando una trenza delongitud L representamos

diversos polígonos. Deellos, el cuadrado es el

que encierra mayor área.


Vamos a mostrar algunas figuras planas y la respectiva fórmula que permite calcular sus áreas.

b

h

b

h

b

h

Un caso partícular de paralelogramo es el rectángulo, donde a la base y a la altura se les llama comúnmente largo yancho.

A su vez, un caso particular es el cuadrado.En esta figura la base y la altura miden lomismo y se les llama simplemente lado.Si denotamos el lado por m, el área del cua-

drado viene expresada por A= m2.

h

b m

l m

Otra figura muy conocida es el triángulo.

El área de un triángulo viene dada por A= bhLos triángulos ABC y ABD tienen la misma áreapuesto que tienen la misma base AB, y la mismaaltura ya que CD es paralelo a AB.

h

bA B

C D

Veamos algunas otras figuras planas.

El área de un rombo vienedada por A = dd’, donde dy d’ son sus respectivasdiagonales.

d

d’ A

B

C

Para calcular el área de un po-lígono, lo subdividiremos entriángulos, calculamos sus res-pectivas áreas y las sumamos.

D

E

F

Hay figuras planas cuyo contorno no está formado por líneas poligonales y para las cuales existen también fórmulas

que permiten calcular su área.

El área de un círculo viene

dada por A = π R2, donde Res su radio.

Si quieres calcular el área deuna región W con forma irregu-lar apelamos a la estimación delárea, ya que no conocemos nin-guna fórmula para hacerlo.

R

W

12

Todos estos paralelogramostienen la misma base b, y la mismaaltura h. Su área viene dada porla fórmula A = bh.


¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas?Veamos ahora las áreas de algunas figuras que no son planas.

Dado cualquier cuerpo en el espacio podemos preguntarnos

cuál es el área de la superficie que conforma el borde o frontera

del cuerpo.

Frank Lloyd Wrightarquitecto norteamericano (1867-1959)Charles Ennis House, Los Ángeles, EE.UU.

CuboTetraedroParelelepípedo

Estas figuras tienen el borde formado por caras. Cada cara es un

polígono y ya sabemos calcular áreas de polígonos. Luego basta

calcular el área de cada cara y sumarlas.

RETOEl área del hexágono regular es S. ¿Cuánto es el

área del triángulo de vértices ABC?

A

B

C

Pitágoras de Samos, nació en la primera mitad del siglo VI a.C. en Samos, isla del mar Egeo.Se dice que fue alumno de Tales de Mileto (uno de los Siete Sabios de la Antigüedad). Viajópor Egipto y Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “todo es número”. Descubriólas progresiones armónicas de la escala musical y a él se debe la tabla de multiplicar.

El Teorema de Pitágoras, el cualsólo se cumple en triángulos

rectángulos, algebraicamente seescribe así:c2 = a2 + b2

Ordinariamente la interpretacióngeométrica es como se presenta en

la figura, en términos de área decuadrados.

A

B C

c2

a2b2

Existen diversas extensiones del Teoremade Pitágoras en las cuales está involucradala noción de áreas.

a bc

AB

C

Una forma más general es ésta. Elárea de S3 se obtiene como la sumade las respectivas áreas de S1 y deS2, suponiendo que las figuras son

semejantes.

S2

S3

S1

C = A + B donde A, By C son las respectivasáreas de lossemicírculos.

E l m u n d o d e l a s m e d i d a s

FascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s


Calculando volúmenes

David TeniersPintor flamenco (1610-1690)El alquimista

RETOS:1) Toma una cajita de fósforos de las queutilizan en tu casa, que tenga forma deparalelepípedo, y calcula su volumen (encm3). Calcula el volumen de un paquetecon 9 cajitas de fósforos.2) Calcula el volumen de la caja dibujadatomando como unidad un pequeño cubo de2 cm de arista.

Si tenemos un paquete que a su vez contiene 9 cajitas de fósforos, esenúmero mide el volumen del paquete considerando la cajita de fósforoscomo la unidad de medida.

En el sistema Internacional deMedidas (SI), la unidad patrónde longitud es el metro (m), dela que se deriva la unidad devolumen, el metro cúbico (m3).Otras unidades usuales que seutilizan (submúltiplos del m3)son el cm3 y el dm3.

1 c

m

1 cm 1 cm

Un cm3 es elvolumen de uncubo cuyas aristasmiden 1 cm.

1 dm

1 d

m

1 dm

1 dm3 = 1 000 cm3.El dm3 es el volumen deun cubo cuyas aristasmiden 1 dm.

1 dm3 es equivalente a un litrode agua pura a la temperaturade 4 ºC. Litro, centilitro, mililitro,son medidas de capacidad quetienen sus equivalentes envolumen:1 m3 =1 000 dm3 = 1 000 l1 dm3 =1 000 cm3 = 1l100 cl = 1 000 ml1 cm3 = 1 ml

INTERESANTEEn varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros(ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc.,expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen)en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido).Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 mI); 4,2 fl oz (125 mI) como se lee en las etiquetas de algunos deesos productos. ¿Cuántos mI equivalen a 1 fl oz?

6 c

m

24 cm

20 c

m

2

2

2


El matemático griego Zenodoro (siglo II a.C.) escribió un libro en el que uno de sus enunciados se refiere a

las esferas. “Entre todos los sólidos con la misma superficie, la esfera es la que encierra mayor volumen”.

Interesante Sandro Botticellipintor florentino (1455-1510)

San Agustín, fresco donde apareceeste santo en su estudio, rodeado

de instrumentos astrológicos y libros

Figuras de un plano con áreasiguales y perímetros distintos.

1 cm

1 c

m

4 cuadrados formandoun cuadrado

Área = 4 cm2

Perímetro = 8 cm

4 cuadrados formandoun rectángulo

Área = 4 cm2

Perímetro = 10 cm

1 cm

1 c

m

Sólidos del espacio con volúmenesiguales y suma de áreas de las

superficies que los limitan, distinta.

1 cm

1 c

m

4 cubos formando unparalelepípedo

Volumen = 4 cm3

Área = 18 cm2

1 cm 1 cm

1 cm


Volumen = 4 cm3

Área = 16 cm2

Figuras de un plano con áreas distintasy perímetros iguales.

Sólidos del espacio con volúmenesdistintos e suma de áreas de las

superficies que los limitan iguales.

Un cuadrado de lado 12 cm

Área = 144 cm2

Perímetro = 48 cm

12 cm

12

cm

10 cm

14

cm

Un rectángulo delados 10 cm y 14 cm

Área = 140 cm2

Perímetro = 48 cm

1 cm

1 c

m


Volumen = 5 cm3

Área delas caras = 22 cm2

1 cm 1 cm

1 cm


Volumen = 6 cm3

Área delas caras = 22 cm2

Hay varios sólidos para loscuales se conocen fórmulas

que determinan sus volúmenes.

a

a

a

CuboV = a3

a

hl

ParalelepípedoV = lah

PirámideVolumen =

área de la base.h 3

h

h

R

CilindroV = πR2h

h

R

Cono

V =

EsferaV = (4πR2) 3

R

(πR2h) 3

1 c

m

1 c

m

Cámara de combustión

A mayor cilindrada hay mayorconsumo de combustible y porende más combustión. Lo queimplica más energía generada.

TransmisiónPistón

Carrera


Medidas y tecnologíaMotor 4 cilindros

La energía generada por el motor de un vehículo hace que las ruedas giren y por elloéste se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna en donde elcombustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión).Esa combustión, la "explosión" de la mezcla de combustible con aire (motor deexplosión), produce una energía que hace girar un eje, el eje-cigüeñal, y dichomovimiento de rotación se transmite a las ruedas que hacen desplazar el vehículo yéste se mueve.Es frecuente leer en las partes traseras de los vehículos números y siglas como lassiguientes: 1.3, 1.6, 2.0 L, 4.0 L, 16V, entre otros.¿Qué significan esos números?Ellos se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros.Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual:Motor 1.6 LCilindros 4 en líneaVálvulas 2 por cilindroDiámetro de los cilindros 82,07 mmCarrera 75,48 mmCilindrada 1 597 cm3

Calculando el volumen de cada cilindro, resulta V=πR2h:V= 3,1416 • • 7,548 cm ≈ 399,29 cm3 luego 4V ≈1 597 cm3, cilindrada especificada en el manual.En la inscripción de la parte trasera del automóvil se lee 1.6,lo que indica 1,6 litros = 1 600 cm3 con el fin práctico de noescribir tantos números.

Hay vehículos con 4válvulas por cilindro (total16 válvulas si son 4cilindros) y otros con 24válvulas y 6 cilindros.Este Ferrari de 1944 tenía24 cilindros y 48 válvulas.

Las fuentes principales para el conocimiento de la matemática egipcia de la épocade los faraones son los papiros, entre los que se encuentra el denominado papiroRhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Otro de estos importantesdocumentos es el papiro Golenischev o papiro de Moscú, así llamado porconservarse en el Museo de Artes de Moscú. Este papiro fue escrito hacia el año1850 a.C. por un escriba desconocido y contiene 25 ejemplos o problemas, la mayoríarelacionados con la vida práctica.La resolución del problema 14 del papiro de Moscú es digna de admiración cuandonos situamos en esa época tan lejana de la actual: se trata de determinar el volumende una pirámide truncada con bases cuadradas, la cual tiene por dimensiones 6unidades de altura, con dos bases cuadradas cuyos lados miden, respectivamente,4 y 2 unidades. La respuesta dada en ese papiro es 56, lo que efectivamente coincidecuando hoy en día aplicamos la fórmula:

para calcular tal volumen de manera general.En el caso del papiro de Moscú se tiene h=6, a=4, b=2.

¿Cómo obtuvieron el resultado los egipcios? ¿Era conocida esa fórmula de manerageneral? No se sabe cuál fue el método empleado por ellos aún cuando se handado diversas explicaciones.Observa que si b=0 se tiene una pirámide de base cuadrada, cuyo volumen V resultaigual a a2h, es decir, área de la base • altura.

a

h

a=4

b=2

h=6

V = (a2+ab+b2)h3

8,207 cm2

3 3

2

Medidas y geografía


El primero que realizó el cálculo de la

circunferencia terrestre (circunferencia

máxima) bastante aproximado a lo

conocido hoy en día, fue el griego

Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría

(Egipto). Eratóstenes determinó como

medida de la circunferencia 250 000

estadios, referida a la que pasa por las

ciudades de Alejandría y Siena (ahora

Asuán, en Egipto). El estadio era una

medida antigua y el que posiblemente

utilizó Eratóstenes fue el estadio egipcio,

cuyo valor es 157,50 m. Por lo tanto,

250 000 estadios = 250 000 • 157,50 m

= 39 375 000 m = 39 375 km , valor

próximo del conocido actualmente.

RETO:Construye dos triángulos distintos que tengan lamisma base e igual altura, pero con perímetrosdistintos. ¿Qué concluyes?

EratóstenesMatemático, geógrafo y

astrónomo griego(s. III - s. II a.C)

El Ecuador terrestre mide 40 056,23 km (el radio ecuatorial es 6 378,38 km). El

meridiano de Greenwich mide 39 920,70 km (el radio polar es 6 356,80 km).

Observa que esas longitudes indican que la Tierra es más achatada en los polos

que en el Ecuador.

El promedio de esos dos radios es 6 367,59 km. Por lo tanto, suponiendo que

la Tierra sea de forma esférica con radio igual a 6 367,59 km, podemos calcular

su volumen:

Volumen 4π (radio)3 4 • 3,14 • (6 367,59)3 km3 ≈ 1 080 920,27 millones de

km3.

Volumen ≈ 1 080,1 millardos de km3.

360º = 50 • 7,20ºDe Siena aAlejandría hay 5 000estadios.5 000 • 50 estadios= 250 000 estadios.

Para tener idea de esas medidas, comparemos con el volumen del

Sol que es 1 301 503 veces el volumen de la Tierra y éste a su vez

es 49 veces el de la Luna (aproximadamente).

Asuán

Alejandría

7,2º

Rayos solaresAlejandría

Siena (Asuán)

N

S

7,2º

3 3= ≈


Medidas y cienciaLa Física estudia la materia, desde partículas tan diminutascomo los electrones y los quarks hasta cuerpos tangrandes como las galaxias y el universo entero, por lotanto, existe un rango enorme de medidas de las regionesque conforman el espacio conocido por la ciencia.Por ejemplo, en la figura se representan en formaesquemática diferentes longitudes (distancias o tamaños)de objetos. La escala que se utiliza no es lineal, pues seexpresa en potencias de diez y existe un factor de 104

entre datos sucesivos de la escala. También se puedenotar que entre las cosas más pequeñas y las más grandesexiste un rango del orden de 1041. Las partículas máspequeñas y los cuerpos más grandes son diferentes entamaño por más de 40 órdenes de magnitud. En esterango existe una pequeña porción de distancias en laque vivimos y que nuestros sentidos pueden apreciar confacilidad. ¿Cuál es este rango? Al responder a estainterrogante es posible afirmar que nuestro conocimientoacerca del universo se va desarrollando en la medida enque los científicos han diseñado y construido instrumentosy técnicas que permiten medir magnitudes y que amplíanel trabajo de nuestros sentidos.Estas ideas se comprenden mejor si se realiza unaexploración visual del dominio de la física en su intentopor desarrollar una visión del tamaño relativo de losobjetos del ambiente. La invitación consiste en emprenderun viaje fantástico, iniciándose desde lo familiar, es decir,considerando la escala humana. Durante el viaje te puedesdirigir hacia lo muy grande (macrocosmos) o descenderhacia lo muy pequeño (microcosmos). Cierra tus ojos eintenta viajar comprando para ello un boleto a tuimaginación.

10-16

10-12

10-8

10-4

100

104

108

1012

1016

1020

1024

Frontera deluniversoobservable≈ 1024 m

Diámetro denuestra galaxia≈ 7,6 x 1020 m

Distancia a laestrella máscercana≈ 4 x 1016 m

DistanciaTierra-Sol≈ 1,5 x 1011 m

DistanciaTierra-Luna≈ 108 m

Radio de laTierra≈ 6 x 106 m

Altura del picoBolívar≈ 5 x 103 m

Altura de unapersona≈ 1,7 m

Diámetro decien bolívares≈ 2,5 x 10-2 m

Diámetro deun glóbulo rojode la sangre≈ 10-5 mLongitud deonda de la luzvisible≈ 5 x 10-7 m

Diámetro delátomo≈ 1 x 10-10 m

Diámetro delprotón≈ 2 x 10-15 m

u d

ud

u du d

u d

ud

u d

u du d

u d

u d

ud


Para que los niños se formen una idea clara de lo que es el área, de lasfórmulas que se utilizan para calcularla y de las unidades en que se expresa,es conveniente hacerles vivir la experiencia de medir el tamaño de unasuperficie con un pedazo de cartón de base cuadrada, que podría ser de undecímetro por lado, para medir la superficie de una hoja de papel, de unamesa rectangular o del pupitre.

Al medir el tamaño de diferentes superficies rectangulares, se van dandocuenta de que el área depende de las longitudes de los lados. Luego sepuede plantear la situación de dibujar en el cuaderno diferentes rectángulosque tengan de área 24 cuadraditos.

Así representarán rectángulos de lados de 8 y 3, 4 y 6, 12 y 2, 24 y 1, parallegar a concluir que en todos estos casos el área es el producto del largopor el ancho, o también de la base por la altura.

8

3

6

4

12

2

241

Área de un triángulo

Experimentalmente verificamos la fórmula del área de lostriángulos. A un cartón de base rectangular cuya área esa x b se le traza una de las diagonales, obteniéndose dostriángulos iguales. Por tanto, el área de cada uno de estostriángulos es (a x b)

En general, se puede demostrar que el área de un triánguloes (base x altura)

Verifiquemos esta fórmula en las siguientes situaciones:Represente en un papel un triángulo isósceles, unoescaleno, o uno equilátero llamados ABC. Si trazamosuna paralela a la base AC en la mitad (M) de la altura deltriángulo, se puede comprobar que los triánguloscoloreados C’MB y A’MB corresponden a los triángulosC’XA y A’YC respectivamente. Estas dos últimas figurasagregadas a la parte blanca (AC’A’C) del triángulocompletan un rectángulo, el cual tiene la misma base yla mitad de la altura de los respectivos triángulos ABC.

Área de un paralelogramo

Con un pedazo de cartón de base rectangular se puede“ver” cómo calcular el área de un paralelogramo y elde un trapecio.

Del cartón de baserectangular se corta unpedazo triangular N que secoloca en otras posicionescomo las indicadas másabajo.

En este caso se observa unparalelogramo no rectánguloy su área sigue siendo basepor altura.

En este caso se tiene untrapecio de igual área quela del rectángulo de dondeproviene y se puedecomprobar que el área deun trapecio es igual a lasemisuma de las bases porsu altura.

A partir de estas experiencias se pueden proponerproblemas de cálculo de áreas.

Áreas

2

2

N

N

Nh

a

b

(a+b) x h2

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente

A

B

C

X YMC’ A’

A

B

C

MC’ A’ YX

Todos conocemos la obra de Leonardo daVinci La Monalisa o La Gioconda. Se sabeque las dimensiones del lienzo son 77 cm dealtura y 53 cm de ancho. Si la dama de lapintura tuviera los brazos extendidoshorizontalmente (1,70 m de longitud real) yLeonardo mantuviera la proporcionalidad deldibujo, ¿qué superficie mínima debería tenerel lienzo?


Tengo que pensarloImagina que dispones de una cintamétrica y de una foto de un edificio degran altura. ¿Cómo harías paradeterminar su altura sin tener que subirtepiso por piso?

El cubo de la figura tiene un volumen de27 cm3. ¿Cuánto es el área del rectángulo

rojo ABCD?

Tres pelotas de tenis estánestrechamente empaquetadas enuna caja cilíndrica, como semuestra en la figura. ¿Qué fracciónde volumen de la caja está ocupadapor las pelotas de tenis?

A B

C D

¿Cuánto mide el área de coloranaranjado –comprendida entre los

dos cuadrados– sabiendo que el radiode la circunferencia es 2 cm?

1,70 m

BibliografíaChamorro, Carmen y Juan Belmonte (1994). El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales.Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 17. Editorial Síntesis, Madrid, España.Gaceta Oficial de la República de Venezuela. Extraordinario Nº 2.823, 14 de julio de 1981.Rodríguez, Leonardo (2000). Pesos y medidas antiguas de Venezuela. Fondo Editorial Tropykos, Caracas, Venezuela.

Páginas webhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htmhttp://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_49.html

Resultados El área del rectángulo es ≈ 12,72 cm2.Las pelotas ocupan de la caja.El área de color anaranjado es 8 cm2.La superficie mínima del lienzo es de ≈ 4,2 m2.

23

Luis Báez Duarte

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en Caracas en 1938. Realizó susestudios en el Instituto de Tecnología de

California (Caltech), donde obtuvo conhonores el BSc. en Matemáticas, en 1959.Luego, en esa misma institución, obtuvoel PhD en matemáticas en 1965. El doctor

Báez Duarte ha sido profesor de laUniversidad de California y del Instituto

Tecnológico de Massachusetts y fuefundador del departamento de

matemáticas del IVIC, donde se mantienecomo colaborador visitante desde 1990.

Le fue conferido el Premio “LorenzoMendoza Fleury” de Fundación Polar en

1999.

Fotografía: Carlos Rivodó

Luis Báez Duarte ha centrado su trabajo de investigación en la búsqueda de la solucióna uno de los problemas más famosos de la matemática en la actualidad, quizás el másfamoso. Se trata de la Hipótesis de Riemann, RH, la cual fue planteada por el matemáticoalemán Bernard Riemann durante la segunda mitad del siglo XIX y nos dice, hablandode una manera muy informal desde el punto de vista matemático, dónde se piensa queestán ubicados los valores que anulan una cierta función (los ceros de la función),definida en los números complejos. Esta función se conoce hoy en día como la funciónZeta de Riemann. La verdad de esta conjetura está conectada con el fascinante problemade la distribución de los números primos dentro del conjunto de los números enteros.Hoy en día hay muchos resultados matemáticos importantes, cuya verdad depende dela veracidad de la Hipótesis de Riemann.

Varios matemáticos importantes del siglo XX han intentado resolver este problema sinéxito. En el mejor de los casos han logrado encontrar reformulaciones de la Hipótesis,es decir, han logrado plantear otros problemas cuya solución implicaría la solución deRH y viceversa, la solución de RH implicaría la solución de estos problemas. Esta esuna técnica muy común en Matemáticas y rinde sus máximos beneficios cuando sepuede lograr una reformulación equivalente al problema original, pero más sencilla deresolver. Algo similar a esto se logró hacer con éxito recientemente con el famosoTeorema de Fermat, cuya solución requirió esfuerzos por más de trescientos años y elhecho de haberla logrado, produjo un gran impacto en el mundo desde un punto devista noticioso, además del correspondiente impacto en la comunidad matemática.Volviendo a RH, el Dr. Báez Duarte es autor de algunas de las reformulacionesmencionadas, una de las cuales, según expertos en la materia, parece particularmenteesperanzadora. Se puede consultar en el sitiohttp://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHreformulations.htm.

En el camino a la búsqueda de la solución de RH el Dr. Báez Duarte ha logradointeresantes aportes a la matemática, particularmente en el área de Teoría de Números.Esta rama de la matemática ha sido considerada históricamente como una de las máspuras, sin embargo con el desarrollo de los computadores, se están utilizando muchosde sus resultados en la codificación de mensajes, dando origen al fascinante mundo dela criptografía.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

8686882-MATEMATICAS-1-fasciculo6

Documents