Convert by TVDT 1 Chuyên đề :Phương trình và bất phương trình đại số Mét sè d¹ng hÖ ph-¬ng tr×nh th-êng gÆp 1) HÖ ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt: C¸ch tÝnh ®Þnh thøc 2) HÖ ph-¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1: HÖ kh«ng thay ®æi khi ta thay x bëi y vμ ng-îc l¹i 3) HÖ ph-¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2: NÕu ®æi vai trß cña x vμ y th× ph-¬ng tr×nh nμy trë thμnh ph-¬ng tr×nh kia vμ ng-îc l¹i 4) HÖ ph-¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2: XÐt 2 tr-êng hîp, sau ®ã ®Æt x = ty 5) Mét sè hÖ ph-¬ng tr×nh kh¸c C¸c vÝ dô VÝ dô 1. Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n 1) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh 8 ) 1 )( 1 ( 2 2 y x y x m y x xy a) Gi¶i hÖ khi m = 12 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 2) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh 2 2 2 1 1 2 a x y x y a T×m a ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt 3) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 4) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh 2 2 2 6 a y x a y x a) Gi¶i hÖ khi a = 2 b) T×m GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lμ nghiÖm cña hÖ 5) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh y m x x m y 2 2 ) 1 ( ) 1 ( T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 6) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 2 2 2 2 x y y x 7) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: m y x x y y x y x 1 1 1 1 3 1 1 a) Gi¶i hÖ khi m = 6 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm VÝ dô 2. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 TH2 chó : x>0, y> 0 suy ra v« nghiÖm VÝ dô 3. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 35 8 15 2 3 3 2 2 y x xy y x www.luyenthi24h.com www.luyenthi24h.com
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Convert by TVDT 1
Chuyên đề :Phương trình và bất phương trình đại số
Mét sè d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh thêng gÆp 1) HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: C¸ch tÝnh ®Þnh thøc 2) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1: HÖ kh«ng thay ®æi khi ta thay x bëi y vµ ngîc l¹i 3) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2: NÕu ®æi vai trß cña x vµ y th× ph¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph¬ng tr×nh kia vµ
ngîc l¹i 4) HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2: XÐt 2 trêng hîp, sau ®ã ®Æt x = ty 5) Mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c C¸c vÝ dô VÝ dô 1. Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n
1) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 8
)1)(1(
22 yxyx
myxxy
a) Gi¶i hÖ khi m = 12 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
2) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 2 2 2
1 1
2
ax y
x y a
T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
3) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
4) Cho hÖ ph¬ng tr×nh 222 6 ayx
ayx
a) Gi¶i hÖ khi a = 2 b) T×m GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ
5) Cho hÖ ph¬ng tr×nh ymx
xmy
2
2
)1(
)1( T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
6) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 22
22
xy
yx
7) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: myxxyyx
yx
1111
311
a) Gi¶i hÖ khi m = 6 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
VÝ dô 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2
2
2
23
23
y
xx
x
yy
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 TH2 chó : x>0, y> 0 suy ra v« nghiÖm
VÝ dô 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 358
152
33
22
yx
xyyx
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 2
HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt S = 2x + y vµ P = 2x. y §s: (1, 3) vµ (3/2, 2)
VÝ dô 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: tõ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hµm sè: tttf 33 trªn [-1;1] ¸p dông vµo ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 5. CMR hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
x
axy
y
ayx
22
22
2
2
HD: 2232 axx
yx; xÐt 232)( xxxf , lËp BBT suy ra KQ
VÝ dô 6. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 22
22
xy
yx
HD B×nh ph¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
VÝ dô 7. )1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ a = 8
VÝ dô 8. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: )2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD: Rót ra yyy
yx
55 2
; C« si 525
yy
x ; 202x theo (1) 202x suy ra x, y
VÝ dô 9.
2
)1(3
yxyx
yxyx(KB 2002) HD: tõ (1) ®Æt c¨n nhá lµm nh©n tö chung (1;1) (3/2;1/2)
VÝ dô 10. ayx
ayx
3
21T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm
HD: Tõ (1) ®Æt 2,1 yvxu ®îc hÖ dèi xøng víi u, -v
ChØ ra hÖ cã nghiÖm th× ph¬ng tr×nh bËc hai t¬ng øng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
Bµi tËp ¸p dông
1) 495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2) )(322
22
yxyx
yyxx KD 2003
3) 095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4) 2
)(7
22
33
yxyx
yxyx HD: t¸ch thµnh nh©n tö 4 nghiÖm
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 3
5) mxyx
yxy
26
12
2
2
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
6) 19
2.)(
33
2
yx
yyx §Æt t = x/y HÖ pt cã 2 nghiÖm
7) 64
9)2)(2(
2 yxx
yxxx §Æt X = x(x + 2) vµ Y = 2x + y
8) 2 2 2 2
2 (1)
4
x y x y
x y x y HD: §æi biÕn theo v, u tõ ph¬ng tr×nh (1)
9) 22
333
6
191
xxyy
xyx HD: §Æt x = 1/z thay vµo ®îc hÖ y, z §S ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)
10)
12
11
3xy
yy
xx
(KA 2003)
HD: x = y V xy = - 1
CM 024 xx v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hµm sè kq: 3 nghiÖm
11) axy
ayx
2
2
)1(
)1( x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ
12)
3
322
xyyx
x
y
y
x
HD b×nh ph¬ng 2 vÕ
13)
78
17
xyyxyx
xyx
y
y
x
HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi xy
§2. Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ph¬ng tr×nh ®¹i sè Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh thêng gÆp 1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai
§Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p hµm sè
2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
2 2
0
( 0)
A B A B
A BA B B
A B
A B B A B B
3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. T×m m ®Ó mxxxx )64)(3)(1( 2 nghiÖm ®óng víi mäi x
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 4
HD: sö dông hµm sè hoÆc tam thøc: m ≤ - 2
VÝ dô 2. T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm 2)1(2
2
ayxxy
yx
HD: 2 2
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
x y
x y a
TH1: a + 1 ≤ 0 HÖ v« nghiÖm TH2: a + 1>0. VÏ ®å thÞ (2) lµ ®êng trßn cßn (1) lµ miÒn g¹ch chÐo: a ≥ - 1/2 VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh sau
1) 014168 2 xxx
2) xxx 2114 : x = 0
3) 510932)2(2 22 xxxxx
4) 211 22 xxxx HD: TÝch 2 nh©n tö b»ng 1 suy ra c¸ch gi¶i
5) 023)3( 22 xxxx KD 2002
VÝ dô 4. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm 012
0910
2
2
mxx
xx §S: m≥4
VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2212 xxx
HD + / Nh©n 2 vÕ víi biÓu thøc liªn hîp cña VT + / BiÕn ®æi vÒ BPT tÝch chó ý §K
VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 72
12
2
33
xx
xx
HD §Æt 2,2
1t
xxt , AD B§T c« si suy ra §K
VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 4)11( 2
2
xx
x
HD: + / XÐt 2 trêng hîp chó y DK x> = - 1 + / Trong trêng hîp x ≥ 4, tiÕn hµnh nh©n vµ chia cho biÓu thøc liªn hîp ë mÉu ë VT
VÝ dô 8. Cho ph¬ng tr×nh: mxxxx 99 2 . T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
HD: + / B×nh ph¬ng 2 vÕ chó ý §K + / §Æt t = tÝch 2 c¨n thøc, T×m §K cña t + / Sö dông BBT suy ra KQ
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (KA 2004) : 3
73
3
)16(2 2
x
xx
x
x
Bµi tËp ¸p dông
1) 0
1222
ayx
xyx T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m nghiÖm duy nhÊt ®ã.
§S a = - 1 vµ a = 3
2) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: mxx 41624
3) 16212244 2xxxx
4) 12312 xxx
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 5
5) 1212)1(2 22 xxxxx HD: §Æt 122 xxt , coi lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t
6) 22)2()1( xxxxx
7) 2
31)2(12
xxxxx
8) Cho ph¬ng tr×nh: mxxxx 444
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 6 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
9) 11
251 2
x
xx
10) 0232432 xxx
11) T×m a ®Ó víi mäi x: 32)2()( 2 axxxf §S a≥ 4 ; a≤ 0
Chuyªn ®Ò 3: Lîng gi¸c
§1. Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c c«ng thøc biÕn ®æi lîng gi¸c
Mét sè d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n Ph¬ng tr×nh bËc 2, bËc 3 theo mét hµm sè lîng gi¸c Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt víi sinx, cosx: asinx + bcosx = c Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 víi sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0 Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 víi sinx, cosx: a. sin3x + b. sin2x. cosx +
c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0 a. sin3x + b. sin2x. cosx +
c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0
Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0 Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi tgx, cotgx Ph¬ng tr×nh ®èi xøng víi sin2nx, cos2nx C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. 2.cos 4
cot tansin 2
xx x
x HD: ®Æt §K x = ± /3 + k.
VÝ dô 2. )1(sin2
1
3
2cos
3cos 22 xxx
HD: Sö dông c«ng thøc h¹ bËc xx sin3
cos).2cos(.21 §S 3 hä nghiÖm
VÝ dô 3. 2sin
2sin
2sin
sin2
2
2
2
x
x
x
x HD: Nhãm, nh©n lªn vµ t¸ch 2 thµnh 2 nhãm
VÝ dô 4. 3 3sin .sin3 cos .cos3 1
8tan .tan
6 3
x x x x
x x
HD: §Æt §K rót gän MS = 1; AD c«ng thøc nh©n 3; §S x = - /6 + k VÝ dô 5. 3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x
HD: BiÕn ®æi theo sin vµ cos ®îc 0)cos21(sin)cos21(cos.3 22 xxxx §S x = ± /3 + k
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 6
VÝ dô 6.
3.tan 6sin 2sin( )2
tan 2sin 6sin( )2
yx y x
yx y x
HD: nh©n (1) víi (2) rót gän 2 2tan 4sin2
yy ®Æt 2tan
2
yt ; t = 0, 3t
VÝ dô 7. xxxxxx cos13sin.2
1sin.4cos2sin.3cos HD: B§ tÝch thµnh tæng rót gän
VÝ dô 8. 2
15cos4cos3cos2coscos xxxxx
HD: nh©n 2 vÕ víi 2. sin(x/2) chó y xet trêng hîp b»ng 0
NX: Trong bµi to¸n chøa tæng cos cos 2 .. cos
sin sin 2 .. sin
T x x nx
T x x nx thùc hiÖn rót gän b»ng c¸ch trªn
VÝ dô 9. 2 2tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x HD: B§ sau ®ã ®Æt t = tg(x/2)
VÝ dô 10. 29 sincos
2
log 4.log. 2 4x
x HD: 4
)(sinlog
2log.2.log2
2
sin
sinsin
xx
xx
§2. Gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt, ph¬ng tr×nh cã tham sè
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Ph¬ng ph¸p hµm sè: Bµi to¸n Max, Min trªn 1 kho¶ng vµ mét ®o¹n. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc, nhËn xÐt ®¸nh gi¸. C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. T×m GTLN, GTNN: xx
xxy
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
HD: t = cos2x, t×m Max, Min trªn 1 ®o¹n M = 8/5 m = 4/3
VÝ dô 2. Cho ph¬ng tr×nh: tgxxmx 1cos.2cos 2
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1
2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖn thuéc ®o¹n [0; /3]
HD: t = tgx, 0; 3t ; LËp BBT f(t) §S: 1;31)31(m
VÝ dô 3. : T×m GTLN, GTNN: xxy 2cossin.2 48
HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 t×m Max, Min trªn 1 ®o¹n 33, )1(80 tttf §S:M = 3, m = 1/27
VÝ dô 4. T×m GTLN, GTNN: 1cos.sinsincos 44 xxxxy
VÝ dô 5. Cho ph¬ng tr×nh: 02sin24cos)cos.(sin2 44 mxxxx
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖn thuéc ®o¹n [0; /2] §S: [ -10/3; -2]
VÝ dô 6. Cho ph¬ng tr×nh 3cos2sin
1cossin2
xx
xxa
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a = 1/3 2) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm HD: §a vÒ d¹ng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 §S [ -1/2, 2]
VÝ dô 7. T×m nghiÖm cña pt sau trong kho¶ng (0, ) : 4
3cos212cos.3
2sin4 22 xx
x
Bµi tËp ¸p dông
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 7
1) 2
13sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx
2) 2cos.3sincos.3sin xxxx
3) 2 25 33sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0
2 2 2x x x x
4) x
xx
xcos
13cos.2
sin
13sin.2
5) 2
1 cos 21 cot 2
sin 2
xx
x HD: Chó ý §K §S: x = - /4 + k /2
6) 2cos2 cos (2.tan 1) 2x x x
7) 03cos2cos84cos3 26 xx
8) 11cos2
3sin42
sin2cos)32( 2
x
xx
x
9) 02cos2sincossin1 xxxx
Mét sè ®Ò thi tõ n¨m 2002
1) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng 0;2 cña ph¬ng tr×nh 32cos2sin21
3sin3cossin5 x
x
xxx KA 2002
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2
4
4
(2 sin 2 )sin31 tan
cos
x xx
x (DB 2002)
3) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng 0;2 cña ph¬ng tr×nh 2
cot 2 tan 4sin 2sin 2
x x xx
KB 2003
4) T×m x nghiÖm ®óng thuéc kho¶ng 0;14 cña ph¬ng tr×nh cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x KB 2003
5) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh 4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n
0;2
(DB 2002)
6) Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 4sin cos 1 1
cot 25sin 2 2 8sin 2
x xx
x x (DB 2002)
7) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2tan cos cos sin 1 tan .tan2
xx x x x x (DB 2002)
8) Cho ph¬ng tr×nh 2sin cos 1
(1)sin 2cos 3
x xa
x x
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) khi 1
3a
b) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
9) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2
1sin
8cosx
x (DB 2002)
10) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
xx x x
x (KA 2003)
11) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x (DBKA 2003)
12) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos 2 cos 2 tan 1 2x x x (DBKA 2003)
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 8
13) Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 23cos4 8cos 2cos 3 0x x x (DBKB 2003)
14) Gi¶i ph¬ng tr×nh
22 3 cos 2sin2 4
12cos 1
xx
x (DBKB 2003)
15) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2sin .tan cos 02 4 2
x xx (KD 2003)
16) Gi¶i ph¬ng tr×nh
2cos cos 12 1 sin
cos sin
x xx
x x (DBKD 2003)
17) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin 4
cot tansin 2
xx x
x (DBKD 2003)
18) Gi¶i ph¬ng tr×nh 25sin 2 3 1 sin tanx x x (KB 2004)
19) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x (KB 2004)
Chuyªn ®Ò 4: Mò & L«garit
§1. Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh Mò l«garit
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c c«ng thøc vÒ mò vµ l«garit. Giíi thiÖu mét sè ph¬ng tr×nh c¬ b¶n.
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ logarit chó §K. C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. Cho ph¬ng tr×nh: 0121loglog 2
3
2
3 mxx
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 2
2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc 33;1 HD: m [0;2]
VÝ dô 2. 4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx ®s (4, 4)
VÝ dô 3. )4(log)1(log4
1)3(log
2
12
8
42xxx HD: §K x>0 Vµ x≠1; §S x = 2, 332x
VÝ dô 4. xxxx 3535 log.loglog.log HD: §æi c¬ sè §S: x = 1 vµ x = 15
VÝ dô 5. 633
)(39
22
3log)(log 22
xyyx
xyxy
VÝ dô 6. xx )1(log32
HD: §K x> - 1 TH1: - 1<x ≤ 0 ph¬ng tr×nh vn
TH2: x>0, ®Æt y = log3(x + 1) Suy ra 13
1
3
2yy
VÝ dô 7. 32
2
2 231
log xxx
x HD: VP ≤ 1 víi x>0, BBT VT ≥ 1 ; C«si trong l«gagrit §S x = 1
VÝ dô 8. y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
§S (0, 1) (2, 4)
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 9
VÝ dô 9. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thuéc [32, + ) : 3log3loglog 2
4
2
2
1
2
2 xmxx
HD: t > = 5; 31
1
31
1,0
2
2 mt
m
m
mm
VÝ dô 10. 322
loglog
yx
xy yxy
HD §K x, y>0 vµ kh¸c 1; B§ (1) ®îc TH1: y = x thay vµo (2) cã nghiÖm
TH2: 2
1
yx thay vµo (2) CM v« nghiÖm chia thµnh 2 miÒn y>1 vµ 0<y<1
§2. BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh Mò l«garit
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Giíi thiÖu mét sè bÊt ph¬ng tr×nh vÒ mò vµ logarit
Chó y §K C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. T×m k ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 1)1(log
3
1log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
HD: §K x>1; Gi¶i (2) 1<x ≤2; BBT3 3
1 x
f x x §S: k > - 5
VÝ dô 2. 06log)1(log2log 2
4
1
2
1 xx
VÝ dô 3. xx
xx22 log
2
3log
2
1
.2.2 HD: LÊy logarit 2 vÕ theo c¬ sè 2
VÝ dô 4. 1))279.((loglog 3
x
x
VÝ dô 5. 2
2
4
log log ( 2 ) 0x x x
VÝ dô 6. 06log)52(log)1(2
1
2
2
1 xxxx
HD: §Æt t = log x , coi BPT ®· cho lµ Bpt bËc 2 Èn t; Chó ý so s¸nh 2 trêng hîp t1, t2
§S (0;2] v (x≥ 4)
VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh xx
x22 log
2
3log
2
1
22
VÝ dô 8. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 01
)3(log)3(log 3
3
1
2
2
1
x
xx
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x
Bµi tËp ¸p dông
1) xx
xx
2
3
323 log2
1
3loglog.
3log
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 10
2) )112(log.loglog2 33
2
9 xxx
3) 33
129
2
2
2
2
xx
xx
4) 0loglog
034
24 xx
yx§K x, y≥ 1 §S: (1, 1) (9, 3)
5) 3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
6)
25
1)1
(log)(log
22
4
4
1
xy
yxy
KA 2004 §S: (3; 4)
7) 6)22(log).12(log 1
22
xx §S x = log23
8) T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
0)1(
1)32(
2
4
32log
25,0
axax
xx x
x
HD: a>3/2
9) 3log log (9 6) 1x
x
10) Gi¶i ph¬ng tr×nh )2(log)12(log 2
2
2
3 xxxx
11) yx
xyyx
xyx 1
22
22
12) 06)(8
13).(4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
13) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 0loglog42
1
2
2 mxx cã nghiÖm thuéc kho¶ng (0;1)
Chuyªn ®Ò 5. TÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ øng dông
§1. Ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n I. TÝch ph©n c¸c hµm sè h÷u tØ
VÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1) ;23
B ;)1(
.0
1
2
3
2
9
2
xx
dx
x
dxxA
2) ;)1(
B ;1
.22(4
2
10
32
1
3
2
x
dxx
x
dxxxA
3)
;)1()3(
B
;65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23
xx
dx
xx
dxxxxA
4) ;23
)47(B ;
65
).63(0
1
3
1
1
23
23
xx
dxx
xxx
dxxxxA
5) ;34
B ;2
2
1
24
2
1
23 xx
dx
xxx
dxA
6) ;)4(
.B ;
).14(1
0
28
32
1
34
23
x
dxx
xx
dxxxxA
7) ;)1.(
).1(B ;
)1(
3
1
4
42
1
26 xx
dxx
xx
dxA
8) 1
0
22
24
3
36
5
;)1)(2(
1322B ;
2
3
3
dxxx
xx
xx
dxxA
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 11
Bµi tËp
1) (C§SP HN 2000):
3
0
2
2
.1
23dx
x
xI
2) (§HNL TPHCM 1995)
1
0
2 65xx
dxI
3) (§HKT TPHCM 1994)
1
0
3.
)21(dx
x
xI
4) (§HNT HN 2000) 1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxxI
5) (§HSP TPHCM 2000)
1
0
2 65
).114(
xx
dxxI
6) (§HXD HN 2000)
1
0
3 1
.3
x
dxI
7) (§H M§C 1995 )
1
0
24 34xx
dxI
8) (§HQG HN 1995). X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A,B,C ®Ó
21)1(23
33323
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx TÝnh
dxxx
xxI .
23
3333
2
9) (§HTM 1995)
1
0
2
5
1
.
x
dxxI
10) (§H Th¸i Nguyªn 1997)
xx
dxxI
x
1 t: HD
1
).1(2
1
4
2
11) X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A,B ®Ó
1)1()1(
222 x
B
x
A
x
x TÝnh
dxx
xI .
)1(
)2(3
2
2
12) Cho hµm sè 32 )1()1(
)(xx
xxf
a) §Þnh c¸c hÖ sè A,B,C,D,E sao cho
11)2)(1()(
2
2
x
dxE
x
dxD
xx
CBxAxdxxf
b) TÝnh
3
2
)( dxxf
II TÝch ph©n c¸c hµm sè lîng gi¸c
VÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1) 32
2
0
6
tan .; B
1 sin cos cos sin .cos
dx x dxA
x x x x x
2) 3 4 3
0
6
tan .; B ( cos sin ).
cos 2
x dxA x x dx
x
3) dxxxx
dxxxA .2cos.sinB ;
cos1
)sin( 22
0
24
0
4) ;sin1
.cos.2
0
2 x
dxxxA
Bµi tËp 1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh :
2
0
4
2
0
4 1cos
.2sinJ va;
sin1
.2sin
x
dxx
x
dxxI
2) (§HSP TPHCM 1995)
Cho xx
xxf
cossin
sin)(
a) T×m A,B sao cho
xx
xxBAxf
sincos
sincos)(
b) TÝnh 3
0
).( dxxfI
3) (§HGTVT TPHCM 1999)
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 12
a) CMR 2
0
44
42
0
44
4
sincos
.sin
sincos
.cos
xx
dxx
xx
dxx
b) TÝnh 2
0
44
4
sincos
.cos
xx
dxxI
4) (§HTS 1999) TÝnh :
2
0
2 .)cos1.(cos.sin dxxxxI
5) (§HTM HN 1995) TÝnh 4
0
4cos x
dxI
6) (HVKTQS 1999):TÝnh4
0
4
3
cos1
.sin.4
x
dxxI
7) (§HNN1 HN Khèi B 1998) 2
0cos1
.2cos
x
dxxI
8) (§HQGHN Khèi A 1997) 2
0
2
3
cos1
.sin
x
dxxI
9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh
2
6
.cossin
.2cos2sin1dx
xx
xxI
10) (§HQG TPHCM 1998) 2
0
23 .sin.cos dxxxI
11) (HVNH TPHCM 2000) 4
0
2cos1
.4sin
x
dxxI
12) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè
2)sin2(
2sin)(
x
xxh
a) T×m A,B ®Ó x
xB
x
xAxh
sin2
cos.
)sin2(
cos.)(
2
b) TÝnh
0
2
).( dxxhI
13) (§HBK HN 1998)
2
0
44 ).sin.(cos2cos dxxxxI
14) (HVNH TPHCM 2000) 3
0
2cos
).sin(
x
dxxxI
III. TÝch ph©n c¸c hµm sè v« tØ
VÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1) a
adxxaxdxxxA
2
0
2
1
0
815 )0(.2.B ;.31.
2) 4
10
222 )0( )1(
B ;.. axx
dxdxxaxA
a
3) 2
1
0
12 )2)(1(
B ;1 xx
dx
xx
dxA
4) 0
1
1
2
12
2
24B ;
.1
xx
dx
x
dxxA
5) 22
0
2
2
12
.1B ;1.
dxxxxx
dxA
6) 2
7
03
1
04 3 12
B ;1 x
dx
x
dxxA
7) 3
02
3
8 112
)21((*)B ;
1 xxx
dxx
xx
dxA
8) ;11
1(*)
0
1
3
x
dx
x
xA
9) 0
1
2
1
0
2 .22B ;4 dxxxdxxA
10) 1
2
12
22
1
2
.1
B ;1
dxx
xdx
x
xA
Bµi tËp
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 13
1) (HVNH THCM 2000)
1
02
3
1
.
xx
dxxI
2) (§H BKHN 1995)
2
3
22 1. xx
dxI
3) (HVKTQS 1998)
1
12 11 xx
dxI
4) (§HAN 1999)
4
72 9. xx
dxI
5) (§HQG HN 1998)
1
0
23 .1. dxxxI
6) (§HSP2 HN 2000)
2
13 1. xx
dxI
7) (§HXD HN 1996)
1
0
2
1
).1(
x
dxxI
8) (§HTM 1997)
7
03 2
3
1
.
x
dxxI
9) (§HQG TPHCM 1998)
1
0 12
.
x
dxxI
IV. Mét sè d¹ng tÝch ph©n ®Æc biÖt
VÝ dô1 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1) 6
0
4
0cossin
cosB
cossin
sin
xx
xdx
xx
xdxA 2) dxxx
ee
dxeA
xx
x
.2cos.cosB . 4
0
2
1
0
VÝ dô2 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1) 1
1
35 .B ;.2cos2
dxexdxxxA x
2) 2
2
32
1
2
1
2 .cos1
sinB ;.
1
1ln. dx
x
xdx
x
xxA
VÝ dô 3 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1) 2
0
20042004
20042
0
4.
sincos
cosB ;.
sin1
2sindx
xx
xdx
x
xA
2) 0
2
0
2.
cos1
sin.B ;.
cos3
sin.dx
x
xxdx
x
xxA
Bµi tËp
1) (§HPCCC 2000) TÝnh
1
1
2
.21
1dx
xI
x
2) (§HGT 2000 )TÝnh 2
2
2.
sin4
cosdx
x
xxI
3) (§HQG HN 1994) TÝnh 0
3 .sin. dxxxI
4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh dxx
Ix
.13
sin 2
5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh
1
1
4
.21
dxx
Ix
§2. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Néi dung c¸c bµi to¸n vÒ diÖn tÝch h×nh ph¼ng: 3 bµi to¸n c¬ b¶n.
Bµi to¸n vÒ thÓ tÝch trßn xoay.
C¸c vÝ dô Bµi 1. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc ox cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
trôc ox vµ ®êng )0(sin2 xxy .
Bµi 2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng: 3,342 xyxxy .
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 14
Bµi 3. TÝnh diÖn tÝc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng: 24
,4
422 x
yx
y .
Bµi 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) y2 = 16x vµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A(1;4) B(4; - 8).
Bµi 1 DiÖn tÝch ph¼ng
1) (§HBKHN 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 2
x0; x va0y ;cos.sin 32 xxy
2) (§HTCKT 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1 x vay ; xx eey
3) (HVBCVT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 2
x0; x va12
1y ;2
3sin21 2 xx
y
4) (HVBCVT 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi xxxy 3y ;22
5) (§HTM 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 22 x; yxy
6) (§HKT 1994) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi xxxy 3y ;342
7) (§HC§ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi x
8y va
8y ;
22 x
xy
8) (§HSP1 HN 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 5y ;12 xxy
9) (§HKTQD 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi h×nh phÝa díi (P) : y=ax2 (a>0) vµ trªn y=ax+2a
10) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 34:)( 2 xxyP vµ 2 tiÕp tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm A(0;-3) vµ B(3;0)
11) (§H HuÕ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1 x vay ;)1( 5 xexxy
12) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin 33 xxy
13) (HVQY 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 342:(C) ;0 23 xxxyy vµ tiÕp tuyÕn víi ®êng
cong (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x=2
14) (§HKT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 1
44x
xy (C ) vµ Ox, hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=1;
x=-1 *****Mét sè bµi tham kh¶o************
1) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2:)( xyC trôc Ox vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=2
2) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2.2
1:)( 2xyC trôc Ox vµ 2 ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=1 vµ
x=3
3) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2:)( xyC trôc Ox vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh x=2, y=x
4) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ xyP 2:)( 2 vµ ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh y=2x-2
5) TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 2
2
2
1 31:)(P va2:)( yxyxP
Bµi 2 ThÓ tÝch cña c¸c vËt thÓ
1) (§HNN1 HN 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 0;3
;0; yxxtgxyD
a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D
b) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D quay quanh Ox 2) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh giíi h¹n bëi trôc Ox vµ (P)
y=x2-ax (a>0) 3) (§HXD 1997) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoaydo h×nh ph¼ng exxyxxyS ;1;0;ln.
4) (§HY 1999) TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay sinh ra bëi 1:)(2
2
2
2
b
y
a
xE khi nã quay quanh Ox
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 15
5) (§HTS TPHCM 2000): Cho h×nh ph¼ng G giíi h¹n bëi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay h×nh ph¼ng (G) quanh Ox ta ®îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy
6) (HVQY 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi xyxyD ;2 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D
quay quanh trôc Ox
7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch do D quay quanh Ox xxxxyyD ;2
;sincos1;0 44
8) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh ph¼ng S giíi h¹n bëi c¸c ®êng
y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 )
9) (§HXD 1998) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o bëi h×nh 1164
)4(:)(
22 yxE quay quanh trôc Oy
10) (§HNN1 1999): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 2
;1
1 2
2
xy
xyD
a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D b) TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox
11) (§HKT 1996) : Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi xyxyD 4;)4( 232
a) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D b) TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox
12) (§HPCCC 2000): Cho hµm sè 2)1.(:)( xxyC
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ 0(0,0) ®Õn (C) c) TÝnh thÓ tÝch giíi h¹n bëi (C) quay quanh Ox
13) Cho miÒn (H) giíi h¹n bëi ®êng cong y=sinx vµ ®o¹n 0≤ x ≤ cña trôc Ox . TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay khi (H) quay quanh a) Trôc Ox b) Trôc Oy
Chuyªn ®Ò 6: §¹i sè tæ hîp - NhÞ thøc newt¬n
§1. Mét sè Bµi to¸n ¸p dông quy t¾c nh©n, céng,
ho¸n vÞ, tæ hîp, chØnh hîp 1.1 C¸c bµi to¸n chän sè:
* VÝ dô 1: Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc: a/ Bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. b/ Bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. c/ Bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã ph¶i cã mÆt cña sè 5. * VÝ dô 2: Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶: a/ Gåm 8 ch÷ sè tõ c¸c sè trªn. b/ Gåm 8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt 3 lÇn cßn c¸c ch÷ sè kh¸c cã mÆt ®óng 1 lÇn. * VÝ dô 3: Víi c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã cã hai ch÷ sè 1 vµ 2 kh«ng ®øng c¹nh nhau. * VÝ dô 4:Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : a/ Sè ®ã chia hÕt cho 5. b/ Trong c¸c ch÷ sè ®ã cã mÆt cña ch÷ sè 0 vµ 1. c/ Nhá h¬n 600000. * VÝ dô 5: XÐt c¸c ho¸n vÞ cña 6 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6. TÝnh tæng S cña tÊt c¶ c¸c sè t¹o thµnh bëi c¸c ho¸n vÞ nµy. * VÝ dô 6: Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ trong ®ã tæng cña 3 ch÷ sè ®Çu nhá h¬n tæng cña 3 ch÷ sè cuèi 1 ®¬n vÞ.
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 16
Bµi tËp
* Bµi 1: Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,5,6,7,8 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau tõ 5 ch÷ sè trªn sao cho: a/ Sè t¹o thµnh lµ mét sè ch½n. b/ Sè t¹o thµnh kh«ng cã mÆt cña ch÷ sè 7. c/ Sè t¹o thµnh ph¶i cã mÆt cña ch÷ sè 1 vµ 5. d/ Sè t¹o thµnh nhá h¬n 278. *Bµi 2: Cho 8 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7. a/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. b/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. c/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 3 gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau .
*Bµi 3: Cho tËp A 1,2,3,4,5,6,7,8
a/ Cã bao nhiªu tËp con X cña A tho¶ ®iÒu kiÖn chøa 1 vµ kh«ng chøa 2. b/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A vµ kh«ng b¾t ®Çu bëi sè 123.
*Bµi 4: Cho tËp A 0,1,2,3,4,5,6,7 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A sao
cho: a/ Sè t¹o thµnh lµ mét sè ch½n. b/ Mét trong 3 ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i b»ng 1. *Bµi 5: XÐt nh÷ng sè gåm 9 ch÷ sè, trong ®ã cã 5 ch÷ sè 1 vµ 4 ch÷ sè cßn l¹i chän tõ 2,3,4,5. Hái cã bao nhiªu sè nh vËy nÕu a/ 5 ch÷ sè 1 xÕp kÒ nhau. b/ C¸c ch÷ sè ®îc xÕp tuú ý. *Bµi 6: Cho 7 ch÷ sè 0,2,4,5,6,8,9. a/ Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lËp tõ c¸c sè trªn. b/ Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã ch÷ sè 5.
*Bµi 7: Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 7 ch÷ sè 1 2 7
a a ...a tho¶ c¸c ®iÒu
kiÖn ch÷ sè 3
a lµ sè ch½n , 7
a kh«ng chia hÕt cho 5, c¸c ch÷ sè 4 5 6
a ;a ;a ®«i mét kh¸c nhau.
*Bµi 8: Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 ta cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè : a/ Gåm 8 ch÷ sè, trong ®ã ch÷ sè 1 cã mÆt 3 lÇn, c¸c ch÷ sè kh¸c cã mÆt 1 lÇn. b/ Gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ ch÷ sè 2 ®øng c¹nh ch÷ sè 3. *Bµi 9: Ta viÕt c¸c sè cã 6 ch÷ sè b»ng c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5 . Trong ®ã mçi sè ®îc viÕt cã mét ch÷ sè ®îc xuÊt hiÖn 2 lÇn cßn c¸c ch÷ sè cßn l¹i xuÊt hiÖn 1 lÇn. Hái cã bao nhiªu sè nh vËy. * Bµi 10: Cho 7 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7. XÐt tËp E gåm 7 ch÷ sè kh¸c nhau viÕt tõ c¸c ch÷ sè ®· cho. Chøng minh r»ng tæng S cña tÊt c¶ c¸c sè cña tËp E chia hÕt cho 9. 1.2 C¸c bµi to¸n chän c¸c ®èi tîng thùc tÕ:
D¹ng 1: T×m sè c¸ch chän c¸c ®èi tîng tho¶ ®iÒu kiÖn cho tríc.
* VÝ dô 1: Cã 3 b«ng hång vµng, 3 b«ng hång tr¾ng vµ 4 b«ng hång ®á ( c¸c b«ng hoa xem nh ®«i 1 kh¸c nhau) ngêi ta muèn chän ra mét bã hoa gåm 7 b«ng. a/ Cã bao nhiªu c¸ch chän c¸c b«ng hoa ®îc chän tuú ý. b/ Cã bao nhiªu c¸ch chän sao cho cã ®óng 1 b«ng mµu ®á. c/ Cã bao nhiªu c¸ch chän sao cho cã Ýt nhÊt 3 b«ng hång vµng vµ Ýt nhÊt 3 b«ng hång ®á. * VÝ dô 2: Mét cuéc khiªu vò cã 10 nam vµ 6 n÷, ngêi ta chän cã thø tù 3 nam vµ 3 n÷ ®Ó ghÐp thµnh 3 cÆp. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän. * VÝ dô 3: Mét líp häc cã 30 häc sinh trong ®ã cã 3 c¸n sù líp.Çn chän 3 em trong 30 häc sinh trªn ®i trùc tuÇn sao cho trong 3 em ®îc chän lu«n cã 1 c¸n sù líp. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän. * VÝ dô 4:Mét trêng tiÓu häc cã 50 häc sinh tiªn tiÕn, trong ®ã cã 4 c¹p anh em sinh ®«i. Ngêi ta cÇn chän 3 häc sinh trong 50 häc sinh trªn ®i dù héi tr¹i cÊp thµnh phè sao cho kh«ng cã cÆp anh em sinh ®«i nµo ®îc chän. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän. * VÝ dô 5:Trong mét m«n häc, gi¸o viªn cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u khã , 10 c©u trung b×nh vµ 15 c©u hái dÔ. Tõ 30 c©u hái ®ã cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu ®Ò kiÓm tra, mçi ®Ò gåm 5 c©u hái kh¸c nhau, sao cho trong mçi ®Ò nhÊt thiÕt ph¶i cã ®ñ 3 lo¹i c©u (khã, trung b×nh vµ dÔ) ®ång thêi sè c©u dÔ kh«ng Ýt h¬n 2.
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 17
* VÝ dô 6: Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu H cã 20 c¹nh. XÐt c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh ®îc lÊy tõ c¸c ®Ønh cña H. a/ Cã bao nhiªu tam gi¸c nh vËy. b/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 2 c¹nh lµ c¹nh cña H. c/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 1 c¹nh lµ c¹nh cña H. d/ Cã bao nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña H.
D¹ng 2: XÕp vÞ trÝ c¸c ®èi tîng tho¶ ®iÒu kiÖn cho tríc.
* VÝ dô 7: Cã bao nhiªu c¸ch xÕp 5 b¹n A,B,C,D,E vµo mét ghÕ dµi sao cho a/ B¹n C ngåi chÝnh gi÷a. b/ B¹n A vµ E ngåi hai ®Çu ghÕ. * VÝ dô 8: Trong mét phßng häc cã 2 d·y bµn dµi, mçi d·y cã 5 chç ngåi. Ngêi ta muèn xÕp chç ngåi cho 10 häc sinh gåm 5 nam vµ 5 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp nÕu: a/ C¸c häc sinh ngåi tuú ý. b/ C¸c häc sinh nam ngåi mét bµn vµ n÷ ngåi mét bµn. * VÝ dô 9: Mét héi nghÞ bµn trßn cã 4 ph¸i ®oµn c¸c níc : ViÖt Nam 3 ngêi, Lµo 5 ngêi, Th¸i Lan 3 ngêi vµ Trung Quèc 4 ngêi. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp chç ngåi cho mäi thµnh viªn sao cho ngêi cïng quèc tÞch th× ngåi gÇn nhau. * VÝ dô 10: Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 4 ghÕ. Ngêi ta muèn s¾p xÕp chç ngåi cho 4 häc sinh trêng A vµ 4 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp trong mçi trêng hîp sau: a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.
Bµi tËp
* Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 nam vµ 15 n÷. Cã bao nhiªu c¸ch chän 4 häc sinh sao cho : a/ Sè häc sinh nam hoÆc n÷ lµ tuú ý. b/ Ph¶i cã 2 nam vµ 2 n÷. c/ Ph¶i cã Ýt nhÊt 1 n÷. d/ Sè häc sinh nam kh«ng vît qu¸ 2. * Bµi 2: Mét líp häc cã 40 häc sinh cÇn cö ra 1 ban c¸n sù gåm 1 líp trëng, 1 líp phã vµ 3 uû viªn . Hái cã mÊy c¸ch lËp ra ban c¸n sù líp. * Bµi 3: Gia ®×nh «ng A cã 11 ngêi b¹n trong ®ã cã 1 cÆp vî chång. «ng muèn mêi 5 ngêi ®Õn dù tiÖc, trong ®ã cã cÆp vî chång cã thÓ cïng ®îc mêi hoÆc kh«ng cïng ®îc mêi. Hái «ng A cã bao nhiªu c¸ch mêi. * Bµi45:Mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn cã 15 ngêi, gåm 12 nam vµ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch ph©n c«ng ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn ®ã vÒ gióp ®ì 3 tØnh mÒn nói , sao cho mçi tØnh cã 4 nam vµ 1 n÷. * Bµi 5: §éi tuyÓn häc sinh giái cña mét trêng gåm 18 em, trong ®ã cã 7 häc sinh khèi 12, 6 häc sinh khèi 11 vµ 5 häc sinh khèi 10. Hái cã bao nhiªu c¸ch cö 8 häc sinh trong ®éi ®i dù tr¹i hÌ sao cho mçi khèi cã Ýt nhÊt mét em ®îc chän. * Bµi 6: Cho hai ®êng th¼ng song song. Trªn ®êng thø nhÊt cã 10 ®iÓm ph©n biÖt vµ ®êng th¼ng thø hai cã 20 ®iÓm ph©n biÖt. Cã bao nhiªu tam gi¸c ®îc t¹o bëi c¸c ®iÓm ®· cho.
* Bµi 7: Cho ®a gi¸c ®Òu 1 2 2n
A A ...A (n 2,n )néi tiÕp ®êng trßn t©m O. BiÕt r»ng sè c¸c tam gi¸c cã
c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm 1 2 2n
A ;A ;...;A nhiÒu gÊp 20 lÇn sè c¸c h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n
®iÓm 1 2 2n
A ;A ;...;A . H·y t×m n.
*Bµi 8 : Mét tæ gåm 6 häc sinh A,B,C,D,E,F ®îc xÕp vµo 6 chç ngåi ®· ®îc ghi sè thø tù trªn mét bµn dµi. T×m sè c¸ch xÕp c¸c häc sinh nµy sao cho: a/ A vµ B ngåi chÝnh gi÷a c¸c häc sinh cßn l¹i. b/ A vµ B kh«ng ngåi c¹nh nhau. *Bµi 9 : Mét häc sinh cã 12 cuèn s¸ch ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã 2 cuèn s¸ch m«n to¸n, 4 cuèn m«n v¨n, 6 cuèn m«n anh v¨n. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp tÊt c¶ c¸c cuèn s¸ch ®ã lªn mét kÖ dµi , nÕu mäi cuèn s¸ch nµy ®îc xÕp kÒ nhau vµ nh÷ng cuèn cïng m«n häc xÕp kÒ nhau.
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 18
* Bµi 10: Mét bµn dµi cã hai d·y ghÕ ®èi diÖn nhau, mçi d·y gåm 6 ghÕ. Ngêi ta muèn s¾p xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh trêng A vµ 6 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp trong mçi trêng hîp sau: a/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi c¹nh nhau hoÆc ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau. b/ BÊt cø hai häc sinh nµo ngåi ®èi diÖn nhau còng kh¸c trêng víi nhau.
§2. C¸c bµi to¸n nhÞ thøc, ph¬ng tr×nh bÊt ph¬ng tr×nh
Ho¸n vÞ, tæ hîp & chØnh hîp
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
1. Hoán vị : . 1 ...2.1nP n n
2. Chỉnh hợp: !
1 ... 1!
k
n
nA n n n k
n k
0! 1, 1nO A 0 k n
3. Tổ hợp: !
!. !
k
n
nC
k n k 1 ,0O
nC k n k n k
n nC C 1
1
k k k
n n nC C C
4. Nhị Thức nưu tơn: 0 0
. . . .k n
n k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quát 1 . .k n k k
k nT C a b
C¸c vÝ dô I. Gi¶i pt, hÖ pt, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ bÊt ph¬ng tr×nh vÒ ®¹i sè tæ hîp
*VÝ dô 1. Giải phương trình: a, 1 2 3 26. 6. 9 14x x xC C C x x b, 2 1
5 5 5 25x x xC C C
*VÝ dô 2. Giải phương trình: 5 6 7
5 2 14x x xC C C
*VÝ dô 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình
a, 4 3 2
1 1 2
50
4n n nC C A §S: n=11
b, 2 2 2 3 3 3. 2 100n n
n n n n n nC C C C C C c, 0 1 22 4 ... 2 243n n
n n n nC C C C
*VÝ dô 4. 2 272 6 2x x x xP A A P
*VÝ dô 5. Giải hệ phương trình2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C §S: x=5 ,y=2
*VÝ dô 6. Giải bpt: a)2
1
2
3
10
n
n
Cn
C b) 3 1
1 1 14 1n
n nA C n §S: a)2
53
n 7
) 42
b n
*VÝ dô 7. Giải bất phương trình: 4
4 143)
2 ! 4
n
n
Aa
n P
4
3 4
1
24)
23
n
n
n n
Ab
A C
§S: ) 9,5 2,5a n )1 5b n
*VÝ dô 8. Giải bất phương trình: a, 4 3 2
1 1 2
50
4x x xC C A b, 2 2 3
2
1 610
2x x xA A C
x
§S: a, 5 11x b, 4x Bµi tËp
1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1/ 2 2
x 2x2A 50 A 2/
x x x
4 5 6
1 1 1
C C C
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 19
2. T×m k sao cho c¸c sè k k 1 k 2
7 7 7C ;C ;C theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng.
3. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1/ 4 3 2
n 1 n 1 n 2
5C C A 0, n
4 2/
3 n 2
n nA 2C 9n
4. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
1/
y y
x x
y y
x x
2A 5C 90
5A 2C 80 2/
y y 1 y 1
x 1 x xC :C : C 6 : 5 : 2
5. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1/ 2 2
x x x xP A 72 6(A 2P ) 2/
x x x
5 6 7
1 2 14
C C C
3/ 2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149 4/
1 2 3 2
x x xC 6C 6C 9x 14x
6. Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau:
1/
x 3
x 1
4
x 1 3
C 1
A 14P 2/
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5C C A 0
4
3/ 2 2 3
2x x x
1 6A A C 10
2 x 4/
2 4 2x 2003
2x 2x 2xC C ... C 2 1
7. Gi¶i c¸c PT vµ hÖ PT sau:
1/
y y 1
x x
y y 1
x x
C C 0
4C 5C 0 2/
m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1C :C : C 5 : 5 : 3
8. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 2
3
5 60)!(
k
n
n Akn
P víi 2 Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004)
9. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2:5:6:: 11
1
y
x
y
x
y
x CCC (TNPT 2002 - 2003)
10. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh 12...... 20032
2
4
2
2
2
x
xxx CCC
11. T×m sè n nguyªn d¬ng tho¶ m·n bÊt ph¬ng tr×nh nCA n
nn 9.2 23 §S: n = 4, n = 3
12. T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n: 100..2. 333222 n
nnnn
n
nn CCCCCC .
T×m sè tù nhiªn n biÕt (KA 2005) 20052).12...(2.42.32.2 12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
n
n
n
nnnn CnCCCC
II. Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
*VÝ dô 1.Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển
101
xx
*VÝ dô 2. Tìm số hạng x31
, Trong khai triển
40
2
1x
x
*VÝ dô 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1x
x
*VÝ dô 4. Trong khai triển 28
3 15
n
x x x Tìm số hạng không chứa x biết 1 2 79n n n
n n nC C C
*VÝ dô 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x43
trong khai triển
21
5
3 2
1x
x
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 20
*VÝ dô 6. Biết trong khai triển 1
3
n
x Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Hãy tính số hạng
đứng giữa trong khai triển
*VÝ dô 7. Cho khai triển 3
3 2
3n
xx
. Biết tổng của ba số hạng đầu itên trong khai triển bằng 631. Tìm hệ
số của số hạng có chứa x5
*VÝ dô 8. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 3
15 28
1n
x xx
bằng 79 .Tìm số hạng
không chứa x
*VÝ dô 9. tìm hệ số của 6 2x y trong khai triển
10
xxy
y
*VÝ dô 10. Trong khai triển .12
23 xy xy . Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số
nguyên dương.
*VÝ dô 11. Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển 19
33 2
*VÝ dô 12.
a, Cho khai triển 101
1 x . Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn nhất
b, Cho khai triển .30
1 2x .Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
Bµi tËp
1. BiÕt r»ng 100
10010
100 ...)2( xaxaax
a) CMR: a2 < a3 .
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ak< ak + 1 (0≤k≤99)
2. T×m k thuéc {0, 1, …. 2005} sao cho: kC2005 ®Æt GTLN.
3. T×m sè nguyªn n>1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: 1262 2
n
2
nnn APAP .
4. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thc )!1(
3AA 3
n
4
1n
nM n lµ sè nguyªn d¬ng BiÕt r»ng:
14922 2
4
2
3
2
2
2
1 nnnn CCCC
5. T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña (2 - 3x) 2n.
6. Gi¶ sö n
n
n xaxaax ...)21( 10 vµ 729...10 naaa .
T×m n vµ sè lín nhÊt trong c¸c sè: naaa ,...,, 10
7. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d¬ng vµ n
n
n xaaax ...)1( 10
BiÕt r»ng k nguyªn (0<k<n) sao cho 2492
11 kkk aaa TÝnh n? §S: n = 10
8. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d¬ng vµ 11
10
11
1110 ...)2()1( axaaxxx . H·y tÝnh hÖ sè a5 §S 672
9. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc. BiÕt: )3(73
1
4 nCC n
n
n
n §S: 495
10. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc 82 )1(1 xx .
11. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triiển 124
43 5
12. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển 64
34 7 3
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 21
13. Khai triển đa thức 9 10 14 14
0 1 141 1 ... 1 ...P x x x x A A x A x . Tính A9
14. Cho khai triển :1
322 2
nxx
. Biết 3 15n nC C và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n
15. Trong khai triển : 33
n
a b
b a tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau
16. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển
401 2
3 3x
17. Biết tổng các hệ số trong khai triển 1 2n
x bằng 6561. Tìm hệ số của x4
18. Biết tổng các hệ số trong khai triển 21n
x bằng 1024 .Tìm hệ số của x12
19. Tìm hệ số x8 trong khai triển : 5
3
1n
xx
Biết 1
4 3 7 3n n
n nC C n
III. Chøng minh ®¼ng thøc *VÝ dô 1.
a, (§HBK HN - 1998). Chøng minh r»ng: 16 0 15 1 16 2 16 16
16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C
b, (§HYD TP HCM - 2000). Chøng minh r»ng:
b1, 0 1 2 ... 2n n
n n n nC C C C
b2, 1 3 5 2 1 0 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2... ...n n
n n n n n n n nC C C C C C C C
c, Chøng minh r»ng: 2005 0 2004 1 2003 2 2 2002 3 3 2005 2005
2005 2005 2005 2005 20057 7 .6. 7 .6 . 7 .6 . ... 6 1C C C C C
*VÝ dô 2. a, (§HAN-CS khèi A - 1998). Chøng minh r»ng:
2 3 4 22.1. 3.2. 4.3. ... .( 1). ( 1).2 , , 2.n n
n n n nC C C n n C n n n n
b, (§H H»ng H¶i - 1997). Chøng minh r»ng: 1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1.4 . ( 1).4 . ( 2).4 . ... ( 1) . 4 2 ... .2 , , 1.n n n n n n
n n n n n n n nn C n C n C n C C C C n C n n
*VÝ dô 3.
a, (§H Giao th«ng vËn t¶i - 1996). Chøng minh r»ng: 2 3 1
0 1 22 2 2 1 ( 1)2 ... ( 1)
2 3 1 1
n nn n
n n n nC C C Cn n
b, (§H Më Hµ Néi - 1999). CMR: 1
0 1 21 1 1 1 2 1... , , 2.
3 6 9 3 3 3( 1)
nn
n n n nC C C C n nn n
*VÝ dô 4.
a, Chứng minh 11m m
n m m n
mC C
n
b, Cho n,m,k là các số nguyên dương và ,m n k m Chứng minh: m k k m k
n m n n kC C C C
c, Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 1
2 2 2 2
1
2
n n n
n n nC C C
d, Cho n≥2 và n nguyên . Chứng minh: 2 2
1n nC C n
e, Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh: 2 2 2
2 3
1 1 1 1... 1
nnA A A
=T
HD: 2 2 ! 3 2 ! 2 !
....2! 3! !
nT
n,
1 1 1 1 1 1 1... 1
1 2 2 3 1T
n n n
*VÝ dô 5. (Sử dụng tính chất: 1
1
k k k
n n nC C C )
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 22
a, Chứng minh 1 2 3
33 3 3k k k k k
n n n n nC C C C C k n
b, Chứng minh : 1 2 3 2 3
2 32 5 4k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
c, Cho 4 k n .Chứng minh rằng 1 2 3 4
44 6 4k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
d, .Cho 1 m n .Chứng minh rằng 1 1 1 1
1 2 1...m m m m m
n n n m mC C C C C
*VÝ dô 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cách khác nhau sau đó đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng: 0 1 1 6 6
6 6 6 6. . ... .k k k k
n n n nC C C C C C C
b, Chứng minh: 2 2 2
0 1
2... n n
n n n nC C C C
c, Chứng minh.2 2 2
0 1
2... 1 1n nn n
n n n nC C C C
d, Chứng minh rằng: 0 1 1 0. . ... .p p p p
n m n m n m n mC C C C C C C
HD: a,6
1 . 1n
x x ! 6
1n
x ! so sánh kx
b,0 0
1 . 1n n
n n k k k n k
n n
k k
x x C x C x Hệ số của xn là
2 2 20 1 ... n
n n nC C C
22
2
0
1n
n k k
n
k
x C x Hệ số xk là 2
k
nC
c,22 2 21 . 1 1
nn nx x x
d, Xét 1 1n m
x x =! Hệ số của xp ,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển 1
m nx Hệ số của x
p là
Bµi tËp
1. a, (§HQG Hµ Néi khèi D - 1997). Chøng minh r»ng: 0 1 2 10 10
10 10 10 10... 2C C C C
b, Cho: 0 n . Chøng minh r»ng: 0 1 2 ... ( 1) 0n n
n n n nC C C C
2. . (§HTCKT - Hµ Néi - 2000).
Chøng minh r»ng: 1 2 3 12 3 ... .2 , , 1n n
n n n nC C C nC n n n
3. (§HKTQD - 2000).
Chøng minh r»ng: 1 1 2 2 3 3 11.2 2.2 3.2 ... .3 , , 1n n n n n
n n n nC C C nC n n n
4. (§H LuËt Hµ Néi - 1997).
Chøng minh r»ng: 0 1 21 1 1 1 1... ( 1)
2 4 6 2 2 2 2
n n
n n n nC C C Cn n
5. (§H §µ N½ng - 2001).
Chøng minh r»ng: 2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 12 ... ,
2 3 1 1
n nn
n n n nC C C C nn n
6. (§H N«ng nghiÖp - 1999).
Chøng minh r»ng: 0 1 2 19
19 19 19 19
1 1 1 1 1...
2 3 4 21 420C C C C
7. (Bé ®Ò tuyÓn sinh c©u IVa, ®Ò 81).
Chøng minh r»ng: 1 2 31 1 1 ( 1) (2 )!!
1 ...3 5 7 2 1 (2 1)!!
nn
n n n n
nC C C C
n n
8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997).
Cho:4
,
k n
k n . Chøng minh r»ng:
1 2 3 44 6 4 4k k k k k k
n n n n n nC C C C C C
9. Chøng minh r»ng: 0 1 1 0
2...k k k k
n n n n n n nC C C C C C C
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Convert by TVDT 23
Tõ ®ã suy ra: 2 2 2 2
0 1 2 100 100
100 100 100 100 200...C C C C C
10. Chøng minh r»ng:
a, 9 8 7 6 5 9
10 10 10 10 10 144 6 4C C C C C C
b, 2 2 2 2
0 1 2 1999
1999 1999 1999 1999... 0C C C C
www.luyenthi24h.comwww.luyenthi24h.com
Related Documents
![[Vnmath.com] Dap an 101 Chuyen de Luyen Thi Hay Tran Anh Tuan](https://static.cupdf.com/doc/110x72/55cf98b4550346d033993947/vnmathcom-dap-an-101-chuyen-de-luyen-thi-hay-tran-anh-tuan.jpg)
