02/07/2004 13:31 Teilchen & Wellen SS 2004 Denninger Harmonischer Oszillator 1 8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanisch Quantenmechanische Behandlung Klassisch: Rückstellkraft für ein Teilchen der Masse m sei ∝ zur Auslenkung x: F = -D⋅x D x m Bewegungsgleichung: x D x m ⋅ − = Potentielle Energie: ∫ ⋅ = ⋅ x x D x d x D 0 2 2 1 ~ ) ~ ( Kinetische Energie: m p x m 2 2 2 2 = Lösungsansatz: x(t) = x 0 ·cos(ωt) -m·ω 2 x 0 ·cos(ωt) = -D·x 0 ·cos(ωt) m D = ω Dies ist die klassische Schwingungs-Kreisfrequenz. Potentielle Energie am Punkt ±x 0 : 2 0 0 2 1 ) ( Dx x V = ± -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 harmonicpotential.opj V(x) = D/2*x 2 V(x) x
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8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanisch · 02/07/2004 13:31 Teilchen & Wellen SS 2004 Denninger Harmonischer Oszillator 1 8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanisch
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und errechnet die Wellenfunktion für alle x ≠ 0 für beliebige Energie E
2) ψu(0) = 0 , ψu´(0) = 1/∆x
Für beliebig gewählte Werte von E steigt |ψ(x)| für x → ±∞ exponentiell an!
Diese Lösungen sind nicht normierbar! Und damit für gebundene Teilchen nicht akzeptabel!
Nur für bestimmte Werte von E gehen die Lösungen |ψ(x)| → 0 für x → ±∞ .
Diese speziellen Lösungen lassen sich normieren, ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeitist endlich. Nur diese Lösungen sind akzeptable Lösungen für das quantenmechanische Problem.
Im Hinblick auf die Anwendungen in der Atomphysik interessieren uns hier vor allem die Lösungen für E < 0, also für gebundene Teilchen.
„Experimentell“ („Computational Physics“) wurden folgende Eigenwerte bestimmt: Es gilt: = 1.8743·1015 1/s
mD
=ω
eV2337.1e =ω
Man hat eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den numerisch bestimmten Werten und den Werten aus der analytischen Lösung.
In den meisten interessanten Fällen ist die Schrödinger-Gleichung nur numerisch lösbar. Die Vergleiche mit den analytischen Lösungen (sofern diese bekannt sind) dienen also dazu, die Genauigkeit der numerischen Lösungen abzuschätzen.