42 8 Teilchen im Kasten, TiK Quantenmechanische Behandlung des Teilchens im Kasten (vgl. obiges Schema): (a) Aufstellen des Hamiltonoperators ˆ H = ˆ T + V im gesamten Definitionsbereich: in diesem Fall muss zwischen den drei Bereichen unterschieden werden: ˆ H I , ˆ H II , ˆ H III (Abbildung 8.2) ˆ H I = ˆ H III = - 2 2m e d 2 dx 2 + ∞ ˆ H II = - 2 2m e d 2 dx 2 (b) Bestimmung des Funktionstyps für die Wellenfunktion ψ durch Lösung der Schrödingergleichung ˆ Hψ = Eψ Im Bereich unendlich positiven (abstoßenden) Potentials hält sich das Elektron nicht auf. Dies wird in der Quantenmechanik dadurch wiedergegeben, dass die Wellenfunktion in den Bereichen I und III zu Null wird. (I,III ): d 2 ψ dx 2 = 2m e 2 (V - E)ψ = ⇒ ψ = Ce - 2me(V -E) 2 x + De 2me(V -E) 2 x für V →∞ >>E : ψ =0 (erster Term Null, zweiter Term nicht normierbar und somit nicht erlaubt) = ⇒ ψ I = ψ III =0 (8.1) Alternativ kann das Verschwinden der Wellenfunktion außerhalb des Intervalls [0,L] auch mit Hilfe der Stetigkeitsforderung gezeigt werden: d 2 ψ dx 2 = ∞ψ unter der Annahme V>>E = ⇒ ψ = 1 ∞ d 2 ψ dx 2 Da gültige Wellenfunktionen ψ stetig differenzierbar sein müssen, hat die zweite Ableitung stets einen endlichen Wert. Damit folgt direkt ψ I = ψ III =0. Innerhalb des Moleküls (im Intervall [0,L]) wird zunächst der allgemeine Ansatz für die Wellenfunktion gewählt. ψ II = A sin (kx)+ B cos (kx) mit k 2 = 2mE 2 und E> 0. Dies entspricht einer stehenden Welle für das gebundene System, im Unterschied zu laufenden ebenen Wellen für freie Teilchen; alternativ wäre Ce ikx +De -ikx möglich, dieser Ansatz wird hier nicht verwendet. (c) Einschränkung von ψ durch Randbedingungen an erlaubte Wellenfunktion: Normierbarkeit: erfüllt durch Beschränkung auf Intervall [0,L] Stetigkeit: daraus ergibt sich die Forderung ψ(0) = ψ(L) ! =0 = ⇒ B =0. Stetige Differenzierbarkeit: überall erfüllt, außer an den Rändern. Dort gilt aber eine Ausnahme, da V dort Unendlichkeitsstellen (Unstetigkeiten) besitzt. Aus der Randbedingung ψ(L) ! =0 ergibt sich die Bedingung k = nπ L (8.2)